PM 9 10

Estimasi Parameter

Materi untuk pertemuan 9 dan 10Tim Dosen PMS 2016

Tujuan

• Memperoleh suatu estimasi mengenai nilai parameter dari sampel.

Pengertian Estimasi

• Estimasi merupakan salah satu cara untuk menyatakan karakteristik populasi dengan menggunakan karakteristik yang didapat dari sampel.

• Estimator adalah statistik yang digunakan untuk mengestimasi parameter populasi,

Pengenalan• Misalkan,

kita mempunyai populasi dengan beberapa parameter yang tidak diketahui.Contoh: Normal()

dan adalah parameter• Kita butuh untuk menyimpulkan (membuat inferensi) tentang

parameter yang tidak diketahui.• Langkah-langkah dalam membuat inferensi,

1. memilih sampel2. meghitung nilai-nilai statistik3. membuat inferensi mengenai parameter yang tidak diketahui berdasarkan distribusi sampling statistik.

Pembagian Inferensi Statistik

• (1) Estimasi parameter (Baca buku Walpole bab 9)

a) Estimasi Titikb) Estimasi Interval

• (2) Uji Hipotesis parameter (Baca buku Walpole bab 10)

Metode Estimasi Klasik

• Estimasi titik:Estimasi titik suatu parameter populasi adalah nilai tunggal suatu statistik .Contoh: nilai suatu statistik dihitung dari suatu sampel ukuran merupakan suatu estimasi titik parameter populasi


• Estimasi interval (Interval Konfidensi) :estimasi interval suatu parameter populasi adalah suatu interval yang berbentuk yaitu Interval ini mengandung nilai benar dengan peluang

disebut suatu interval konfidensi untuk

,

𝜃𝐿<𝜃<𝜃𝑈

𝑃 (𝜃𝐿<𝜃<𝜃𝑈 )=1−𝛼

(𝜃𝐿 , 𝜃𝑈 )=(𝜃𝐿<𝜃<𝜃𝑈 )

(1−𝛼 )100%


• Estimasi interval (Interval Konfidensi) : disebut koefisien konfidensi adalah batas bawah konfidensi adalah batas atas konfidensinilai alpha umumnya adalah

dengan

(1−𝛼 )

𝜃𝐿

𝜃𝑈

(0<𝛼<1 )

Estimasi Mean

• Ingat:𝐸 ( 𝑋 )=𝜇𝑋=𝜇

𝑉𝑎𝑟 ( 𝑋 )=𝜎 𝑋2 =

𝜎2

𝑛

𝑋∼𝑁 (𝜇 , 𝜎√𝑛 )𝑍= 𝑋−𝜇

𝜎√𝑛

∼𝑁 (0,1 ) Interval konfidensi untuk

Estimasi Mean Keterangan notasi: adalah batas nilai yang meninggalkan wilayah ke kanan, yaitu atau

Estimasi Titik Mean

• Mean sampel adalah estimasi titik yang “baik”untuk .

𝑋=∑𝑖=1

𝑛

𝑋 𝑖

𝑛

Estimasi Interval Mean

• Kasus: diketahuiJika adalah mean sampel dari sampel acak berukuran dari populasi dengan mean dan varians maka interval konfidensi untuk adalah:

𝑋=∑𝑖=1

𝑛

𝑋 𝑖

𝑛

Estimasi Interval Mean Kasus: diketahui

adalah nilai yang meninggalkan wilayah ke kanan, yaitu atau

Kita yakin bahwa


• Contoh:Rata-rata konsentrasi zinc yang terekam dari suatu ukuran sampel zinc dalam 36 lokasi yang berbeda adalah 2,6 gram/milliliter.Tentukan interval konfidensi 95% dan 99% untuk mean konsentrasi zinc di sungai. Asumsikan bahwa standar deviasi populasinya adalah 0,3.


• Jawab:mean konsentrasi zinc di sungai (parameter tidak diketahui)Populasi Sampel


• Jawab:a) Interval Konfidensi 95% untuk


• Jawab:a) Interval konfidensi 95% untuk adalah

Jadi, kita yakin 95% bahwa nilai yang sebenarnya antara 2,502 dan 2,698


• Jawab:a) Interval Konfidensi 99% untuk

Dengan cara yang sama (sebagai latihan) didapatkan nilai adalah

Dengan kata lain, kita yakin bahwa nilai yang sebenarnya antara 2,471 dan 2,729.


• Catatan:


• Teorema:Jika dipakai untuk mengestimasi , dapat diyakini bahwa errornya (dalam estimasi) tidak akan melebihi

Contoh:Pada contoh di atas dengan keyakinan 95% mean sampelnya adalah berbeda dengan mean sebenarnya yaitu dengan jumlah kurang dari


• Catatan:Misal adalah nilai error maksimum, dengan kata lain

Sehingga


• Teorema:Jika digunakan untuk untuk mengestimasi maka dapat diyakini bahwa error (dalam estimasi) tidak akan melampaui suatu bilangan yang telah ditetapkan sebelumnya asal saja ukuran sampelnya adalah


• Catatan:1) Semua nilai desimal dari

dibulatkan ke atas2) Jika tidak diketahui, maka dapat diambil

ukuran sampel pendahuluannya dengan syarat untuk menaksir nilai dari dengan

rumus


• Contoh: Berapa besar sampel yang dibutuhkan pada contoh di atas jika kita ingin meyakini 95% bahwa estimasi untuk meleset kurang dari 0,05?


• Jawab: Diketahui

sehingga

Jadi kita dapat meyakini 95% bahwa sampel acak dengan ukuran akan memberikan estimasi yang perbedaannya dengan kurang dari

Estimasi Interval Mean • Kasus: tidak diketahui

Ingat:

Hasil:

Jika dan adalah mean

sampel dan standar deviasi sampel dari sampel acak berukuran dari populasi yang berdistribusi normal dengan nilai variansi tidak diketahui, maka interval konfidensi untuk adalah


Dengan adalah nilai- dengan derajat kebebasan yang meninggalkan wilayah ke kanan, yaitu atau.


• Contoh:Tujuh botol yang mirip masing-masing berisi asam sulfat 9,8; 10,4; 9,8; 10; 10,2; dan 9,6 liter. Tentukan interval konfidensi 95% untuk mean semua isi botol jika distribusinya diasumsikan hampir normal.


• Jawab:

Interval konfidensi untuk

Dengan derajat kebebasan


• Jawab:suatu interval konfidensi 95% untuk adalah

Jadi, kita yakin 95% bahwa

Dua Sampel: Mengestimasi perbedaan antara dua mean

• Ingat: Untuk sampel yang independen:

Dua Sampel: Mengestimasi perbedaan antara dua mean

• adalah estimasi titik yang “baik” untuk .

Interval Konfidensi kasus: dan diketahui

Interval konfidensi untuk adalah:


• Contoh:Suatu percobaan dilakukan pada 2 tipe mesin, A dan B yang dibandingkan. Angka konsumsi bensin dalam kilo meter per gallon diukur. 50 percobaan dilakukan menggunakan mesin tipe A dan 75 percobaan dilakukan menggunakan mesin tipe B. Bensin yang digunakan dan syarat-syarat yang lain dianggap sama dan konstan. Rata-rata bensin yang dikonsumsi untuk mesin A adalah 36 kilo meter per gallon dan rata-rata untuk mesin B adalah 42 kilo meter per gallon. Tentukan interval konfidensi untuk 96% untuk dengan dan adalah mean populasi konsumsi bensin untuk mesin A dan B. Asumsikan bahwa standar deviasi pupulasi untuk mesin A dan B adalah 6 dan 8.


• Jawab:Mesin A Mesin B

Estimasi titik untuk adalah


• Interval konfidensi:


• Interval konfidensi:I adalah

J

Interval Konfidensi kasus: tidak diketahui

• Estimasi varians yang dikumpulkan adalah

Derajat kebebasan dari adalah


• Interval konfidensi untuk adalah:

Dengan adalah nilai- dengan derajat kebebasan


• Contoh:Dalam membandingkan daya tahan kawat A dengan kawat B, suatu percobaan menunjukkan hasil berdasarkan dua sampel independen:Kawat A: 140, 138, 143, 142, 144, 137Kawat B: 135, 140, 136, 142, 138, 140dengan asumsi variansi sama, tentukan interval konfidensi 95% untuk dengan dan adalah mean daya tahan dari kawat A dan B.


• Jawab:kawat A kawat B

Estimasi titik untuk adalah


• Jawab:Interval konfidensi:

J

Documents

PM 9 10