ZadatakZa nosač na skici odrediti dijagram momenata, komponentalna pomjeranja svih čvorova i obrtanja tetiva svih štapova usljed zadatih spoljašnjih uticaja.E=30000000kN /m2 , b /h=20 /40cm

Napomena: Prilikom redukovanja prepusta obratiti pažnju gdje djeluje koncentrisani momenat

- sila djeluje u čvoru a momenat na kraju štapa

- sila i momenat djeluju u čvoru

Redukovanje prepusta, oznake čvorovaPrvo numerišemo grupe krutih uglova čija su nam obrtanja nepoznata (φ1, φ2…φm).

Određivanje stepena deformacijske neodređenosti

- nepoznata obrtanja grupa krutih uglova: φ1i φ2 m=2

Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 1

Rešetka sistema

- nezavisni parametari pomjeranja rešetke sistema: Δ1i Δ2n=2K−N ( zo+zš )=2 ·8−(7+7)=2

Ukupna deformacijska neodređenost:n¿=m+n=4

Redukovane dužine i krutost štapova

- usvajamo: C=2 EI c=2 EI=2 ·32000

lik' =lik

I cI ik

lik' - redukovana dužina

k ik=1

lik' k ik – redukovana krutost štapa

Određivanje krutosti štapa promjenljivog poprečnog presjeka

C=2 EI

d ig=1α ig

α ig¿ =α 54

¿ =2 EI α 54=2∫s

❑

M 2d s '

α 54¿ =2[ 33 (12+1 ·0.4+0.42 )+ 4

3·0.42]

α 54¿ =3.547

Zamjenjujuća krutost: d ig=1α ig

¿ => d54=1

3.547=0.282

d ig=1.5k ig => k 54=d541.5

=0.188

Shema redukovanih dužina i krutosti

Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 2

Usvajanje nezavisnih parametara pomjeranja rešetke sistema (Δ1 i Δ2) i definisanje kinematike rešetke pri jedničnim stanjima usvojenih parametara

Stanje Δ1=1

ψ12,1=1 ψ28,1=−0.4 , ostali štapovi se ne obrću

Stanje Δ2=1

Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 3

ψ28,2=1, ψ12,2=−1.5, ψ17,2=1.0, ψ13,2=−13

, ψ54,2=0.6, ψ43,2=0

Matrični oblik uslovnih jednačina PMD

Elementi matrice krutosti

A11=a12+a17+d13=2· (0.177+0.139 )+1.5·0.167=0.8825A12=A21=b12=0.177A22=a21+d28=2·0.177+1.5 ·0.150=0.5790B11=−c12ψ12,1=−3 ·0.177·1=−0.5310B12=−[c12ψ12,2+c17ψ17,2+d13ψ13,2 ]=−¿B21=−[c12ψ12,1+d28ψ28,1 ]=− [3·0.177 ·1.0+1.5 ·0.150 ·(−0.4)]=−0.441B22=−[d28ψ28,2+c12ψ12,2]=−[1.5 ·0.150·1.0+3 ·0.177 ·(−1.50)]=0.5715C11=2c12ψ12,1

2 +d28ψ28,12 =2·3 ·0.177 ·12+1.5·0.150 ·0.42=1.098

C12=C21=2c12ψ12,1ψ12,2+d28ψ28,1ψ28,2=2 ·3 ·0.177 ·1 · (−1.50 )+1.5 ·0.150· (−0.4 ) ·1=−1.683C22=2c12ψ12,2

2 +d28ψ28,22 +2c17ψ17,2

2 +d13ψ13,22 +d54ψ54,2

2 =2 ·3 ·0.177 ·1.502+1.5·0.150 ·12+2 ·3 ·0.139 ·1.02+1.5·0.167 ·(1 /3)2+1.5 ·0.188 ·0.62=3.5778

Elementi vektora opterećenja

A10=M 12+M 13+M 17+M 1

A20=M 21+M 28

C10=−[ (M 12+M21 )ψ12,1+M 28ψ28,1+ p12 l12 ·1 ·2+ p28 l28 ·0.4 ·5−80·0.4 ]C20=−¿

Gotski momenti

Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 4

1. Opterećenje

M 12o =−M 21

o =−p l2

12=−10 ·42

12=−13.333 kNm

M 28p =−p l2

8=−10·102

8=−125.0kNm

M 28M=−M

2 (3 b2l2−1)=M2

=802

=40kNm

M 28o =M 28

p +M28M=−125.0+40=−85.0kNm

X1 · δ11¿ +δ10

¿ =0δ 11

¿ =α54¿ =3.547

δ 10¿ =2 EI∫

s

❑ M 1M 0

EIds=2∫

s

❑

M 1M 0ds

δ 10¿ =2[−3

6·240 (2 ·0.4+1 )−4

3·240 ·0.4]

δ 10¿ =−688

X1=M54P =

−δ10¿

δ11¿ =194.016kNm

2. Temperaturna promjena u osi štapa 1-3, t°=20°C

Da bi sračunali ovaj uticaj, potrebno je odrediti obrtanja tetiva svih štapova na stabilnoj rešetki sistema usljed zadate temperaturne promjene. Ova obrtanja određujemo pomoću Williot-ovog plana pomjeranja.

Δl12=l12 ∙ α t ∙t°=12 ∙10−5 ∙20=2.4 ∙10−3m

Williot-ov plan pomjeranja

tgα=32

=> x=2.4tgα

=1.60mm=1.6 ·10−3m

ψ13 ,t=−1.6·10−3

12=−0.4

3·10−3 rad

ψ17 ,t=1.6·10−3

4=2.4 ·10

−3

6=2.884 ·10

−3

√62+42=0.4 ·10−3 rad

ψ12 ,t=−2.4 ·10−3

4=−0.6 ·10−3 rad

ψ28 ,t=4 ·10−3

10=0.4 ·10−3rad

Pomjeranja dobijena na stabilnoj rešetki sistema usljed temperaturne promjene

Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 5

M 12t =M 21

t =−c12ψ12 ,tC=−3 ·0.177· (−0.6·10−3 )·2 ·32000=19.238kNm

M 13t =−d13ψ13 , tC=−1.5·0.167 ·(−0.43 ·10−3)·2·32000=1.603kNm

M 17t =M 71

t =−c17ψ17 , tC=−3·0.139 ·0.4 ·10−3·2 ·32000=−10.675kNmM 28

t =−d28ψ28, tC=−1.5 ·0.150 ·0.4 ·10−3 ·2 ·32000=−5.760kNm

3. Temperaturna razlika na štapu 2-8, Δt=20°C

M 28Δt=−3

2E I 28α t

Δth

=−32

·1.5 ·32000 ·10−5 ·200.4

=−36.0kNm

4. Obrtanje uklještenja u čvoru 5, CU=2'

1°= π180

=¿1'= π180 ·60

2'=2 · π180 ·60

=0.000582 rad

M 54cu=d54 cuC=1.5 ·0.188 · (−0.000582 ) ·2 ·32000=−10.504kNm

5. Pomjeranje oslonca u čvoru 7, CO=3mm

Da bi sračunali ovaj uticaj, potrebno je odrediti obrtanja tetiva svih štapova na stabilnoj rešetki sistema usljed zadatog pomjeranja oslonca. Dakle, prvo ustabilimo rešetku a potom oslobodimo pomjeranje u zadanom pravcu.

Pomjeranja dobijena na stabilnoj rešetki sistema usljed pomjeranja oslonca

Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 6

ψ17 ,co=3 ·10

−3

6=0.5 ·10−3rad

ψ13 ,co=−0.5 ·10−3 ·4

12=−0.5

3·10−3rad

ψ28 ,co=0.5 ·10

−3 ·410

=0.2 ·10−3 rad

M 13co=−d13ψ13 , coC=−1.5 ·0.167 ·(−0.53 ·10−3)·2 ·32000=2.672kNm

M 17co=M 71

co=−c17ψ17 , coC=−3 ·0.139·0.5 ·10−3 ·2 ·32000=−13.344 kNmM 28

co=−d28ψ28, coC=−1.5 ·0.150 ·0.2 ·10−3 ·2 ·32000=−2.880kNm

Konačne vrijednosti gotskih momenata

M 12=−13.333+19.238=5.905 M 21=13.333+19.238=32.571 M 28=−85−5.760−2.880−36=−129.640 M 13=1.603+2.672=4.275 M 17=M 71=−10.675−13.344=−24.019 M 54=194.016−10.504=183.512

Konačne vrijednosti elemenata vektora opterećenja

A10=5.905+4.275−24.019−80=−93.839kNmA20=32.571−129.640=−97.069kNmC10=−[ (5.905+32.571 ) ·1−129.640· (−0.4 )+10 ·4 ·1 ·2+10·10 ·0.4 ·5−80 ·0.4 ]=−338.332kNmC20=−[ (5.905+32.571 ) · (−1.5 )−129.640 ·1+4.275 · (−1/3 )−2·24.019 ·1+183.512 ·0.6−10·4 ·1.5 ·4.67−10 ·10 ·1·5+80 ·1−20 ·1.5 ·2.67−120·6−100 ·0.6 ·6 ]=1987.010kNm

Određivanje osnovnih nepoznatih veličina

Dobijene vrijednosti obrtanja čvorova i parametara pomjeranja su pomnožene sa konstantom redukcije C.S obzirom na to da su konstante krutosti podijeljene sa C, slijedi da će se prilikom množenja ovih veličina C poništiti te ćemo dobiti tačne vrijednosti momenta savijanja.

M ik=aik · φ i+bik · φk−c ik ·∑j

n

ψ ik , j · Δ j+M ik=k ik (2· φ i+φk )−3· k ik ·∑j

n

ψ ik , j · Δ j+M ik

M ig=d ig · φ i−d ig ·∑j

n

ψ ik , j · Δ j+Mig

M 12=a12 ·φ1+b12 · φ2−c12 (ψ12,1 Δ1+ψ12,2Δ2 )+M 12=2·0.177 · (−499.196 )+0.177 ·109.601−3 ·0.177 · (1 · (−2395.57 )−1.5 ·(−1635.13))+5.905=−181.747kNmM 13=d13 · φ1−d13ψ13,2 Δ2+M 13=1.5 ·0.167· (−499.196 )−1.5 ·0.167 · (−1/3 ) · (−1635.13 )+4.275=−257.307 kNm

Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 7

M 17=a17 · φ1−c17ψ17,2Δ2+M 17=2·0.139 · (−499.196 )−3 ·0.139 ·1· (−1635.13 )−24.019=519.054 kNmM 71=b17 · φ1−c17ψ17,2 Δ2+M 71=0.139 · (−499.196 )−3 ·0.139·1 · (−1635.13 )−24.019=588.442kNmM 21=a12 ·φ2+b12 · φ1−c12 (ψ12,1 Δ1+ψ12,2Δ2 )+M 21=2·0.177 ·109.601+0.177 · (−499.196 )−3 ·0.177 ·¿M 28=d28 · φ2−d28 (ψ28,1Δ1+ψ 28,2Δ2 )+M 28=1.5·0.150 ·109.601−1.5 ·0.150·¿M 54=−d54ψ54,2 Δ2+M 54=−1.5 ·0.188 ·0.6 · (−1635.13 )+183.512=460.176kNm

Dijagram momenata savijanja

Vrijednosti momenata savijanja su dobijene pod pretpostavkom da pozitivan momenat na kraju štapa ima smjer kazaljke na satu te o tome moramo voditi računa prilikom crtanja dijagrama

Komponentalna pomjeranja i obrtanja tetiva štapova

Pomjeranja i obrtanja određujemo linarnom superpozicijom stanja Δ1 i Δ2 te dodavanjem eventualnog uticaja pomjeranja oslonaca ili temperaturne promjene.Pomjeranja ćemo izraziti preko horizontalne i vertikalne komponente (u i v). Pretpostavićemo da je horizontalno pomjeranje pozitivno u desno a vertikalno na dolje.

Komponentalna pomjeranja čvorova

u1=13·18 ·

Δ2C

+u1 , t=13·18 ·

−1635.132 ·32000

+0.0024=−0.1509m

v1=−13

·12 ·Δ2C

+v1, c+v1 ,t=−13

·12 ·−1635.132·32000

−0.002−0.0016=0.0986m

u2=1 ·4 ·Δ1C

=1 ·4 ·−2395.572·32000

=−0.1497m

v2=1·4 ·Δ1C

−1.5 ·6.67 ·Δ2C

+v2 ,c+v2 ,t=1 ·4 ·−2395.572·32000

−1.5·6.67 ·−1635.132·32000

−0.002−0.004=0.0997m

u3=13·18 ·

Δ2C

=13·18 ·

−1635.132·32000

=−0.1533m

v3=0

u4=0.6 ·10 ·Δ2C

=0.6 ·10 ·−1635.132 ·32000

=−0.1533m

v4=0

u5=v5=u6=v6=v7=0

Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 8

u7=u7 ,c=−0.003

u8=0.4 ·10·Δ1C

=0.4 ·10 ·−2395.572·32000

=−0.1497m

v8=0

Obrtanja tetiva štapova

ψ12=ψ12,1·Δ1C

+ψ12,2 ·Δ2C

+ψ12 ,t=0.00029 rad

ψ28=ψ28,1 ·Δ1C

+ψ28,2 ·Δ2C

+ψ12, t+ψ12 ,c=−0.00998 rad

ψ17=ψ17,2·Δ2C

+ψ17 ,t+ψ17 , c=−0.02465 rad

ψ13=ψ13,2 ·Δ2C

+ψ13, t+ψ13 ,c=0.00822rad

ψ36=ψ36,2·Δ2C

=−0.02555 rad

ψ34=0

ψ45=ψ 45,2 ·Δ2C

=−0.01533 rad

Statika konstrukcija 2 PMD Primjer n=4 9