1

Uvod – općenito o poboljšanju slike Fourier-ova transformacija (osnove) Filtriranje slike (linearno, korjenom i

homomorfno) Konvolucija i konvolucijske maske

2

Obrada slike pri kojoj je dobiveni rezultat prikladniji (bolji) od orginala za određenu specifičnu svrhu

Npr. Prepoznavanje osoba, uočavanje grešaka...

Prostorna i frekvencijska domena Prednost filtriranja u frekv. domeni je niža

računska složenost (relativno!) Za razumjevanje ovog područja potrebno je

osnovno znanje o Fourierovoj transformaciji

3

naglasak na osnovama i značaju kod digitalne obrade slike

proizvoljnu periodičnu funkciju možemo zapisati kao zbroj sinusoida različitih amplituda i frekvencija (koje je lakše analizirati jer su svojstva sinusoida dobro poznata)- Fourierov red

Funkcije koje nisu periodične (ali čija površina ispod krivulje je konačna)-Fourierova transformacija

4

5

Rekonstruiranje početne funkcije bez gubitka informacija-najvažnija karakteristika

FT kontinuirane funkcije s jednom varijablom f(x) dana je jednadžbom:

6

Inverzna FT:

Te dvije jednadžbe zajedno tvore Fourierov transformacijski par.

7

Diskretna Fourierova transformacija funkcije f(x) dana je jednadžbom:

Inverzna DFT:

8

F(u) se može izraziti i u polarnim koordinatama:

gdje je spektar FT-a

i fazni kut.

U svrhu poboljšanja digitalnih slika, najviše se radi sa svojstvima spektra.

Također radi se i sa spektralnom gustoćom koja je definirana kao kvadrat Fourierovog spektra.

9

M=1024A=1K=8

M=1024A=1K=16

10

Analogno DFT se proširuje na 2 dimenzije. DFT funkcije (slike) f(x,y) veličine MxN dana je jednadžbom:

I njezin inverz:

11

Fourierov spektar, fazni kut i spektralna gustoća definiraju se kao i kod1-D:

12

Vrijednost DFT pri (u,v)=(0,0) je

što je srednja vrijednost f(x,y) – ako je f(x,y) slika, vrijednost DFT-au ishodištu jednaka je srednjem “gray level-u” slike.

13

14

Postupak se sastoji od slijedećih koraka:1.Pomnožiti ulaznu funkciju (sliku) sa (-1)^x+y. 2. Izračunati F(u,v), DFT slike iz točke 1.3.Pomnožiti F(u,v) sa funkcijom filtera H(u,v).4. Izračunati inverznu DFT rezultata iz 3.5. Izdvojiti realni član rezultata iz 4.6.Pomnožiti rezultat iz 5 sa (-1)^x+y

15

Filter – ne propušta određene frekvencije, dok ostale ostaju nepromjenjene

Filtriranje se izvodi pomoću slijedećeg izraza:

Filtrirana slika se dobija inverzom FT-a od G(u,v):

16

17

niske frekvencije u FT – opći(prosječni) “grey level” glatkih površina

visoke frekvencije u FT – detalji, nagli prijelazi (rubovi, šum...)

nisko propusni filter – propušta niske frekv., a “reže”(attenuate) visoke frekv.-smoothing filteri

visoko propusni filter – propušta visoke frekv., a “reže” niske frekv.-sharpening filteri

18

19

Idealni NP filter Butterworth-ov NP filter Gauss-ov NP filter

20

Najjednostavniji NP filter “odrezuje” sve visokofrekvencijske

komponente koje imaju veću udaljenost od D0

od ishodišta (centrirane) transformacije

21

Udaljenost točke od ishodišta

22

Cutoff frequency

Total image power:

Krug radijusa r sa ishodištem u sredini frekvencijskog kvadrata zatvara α posto “snage”(power):

23

24

25

Prijenosna funkcija BNPF n-tog reda sa cutoff frekvencijom na udaljenosti D0 od ishodišta:

26

27

Prijenosna funkcija:

28

29

S obzirom da su rubovi i ostale nagle promjene gray level-a povezane sa visokofrekvencijskim komponentama, izoštravanje slike izvodi se sa VP filterima.

Funkcija im je suprotna on NP filtera pa prijenosnu funkc. pišemo:

Biti će prikazani idealni, Butterworth-ov i Gauss-ov VP filter

30

31

32

Slika f(x) može se izraziti kao umnožak osvijetljenja i reflektancije:

Osvijetljenje ima NF a reflektancija VF karakter

Smanjenjem intenziteta smanjuje se dinamički opseg slike a povećanjem reflektancije povećava se kontrast

33

Problem: osvjetljenje i reflektancija su u formi produkta-”nemoguće” nezavisno filtriranje obje funkcije

Rješenje: logaritmiranjem f(x,y) osvjetljenje i reflektancija pojavljuju se u formi zbroja, te se mogu nezavisno linearno filtrirati

34

Nakon filtriranja antilogaritmiranjem se rekonstruira originalna slika

Na taj način vrši se povećanje kontrasta

35

36

• Obratiti pažnju na detalje u unutrašnjosti.

Ako su v(k,l) DFT koeficjenti neke slike:

Kod filtriranja operacijom korjena nova se vrijednost dobiva kao:

37

Vađenje korjena naglašava visoke frekvencije relativno u odnosu na niske frekvencije

Filtriranje korjenom (engl. Alpha rooting) se koristi za naglašavanje viših frekvencija u slici

38

Svi frekvencijski filteri se teoretski mogu implementirati i u vremenskoj domeni, jer je

množenje u frekvencijskoj domeni ekvivalentno konvoluciji u vremenskoj domeni. Vrijedi

konvolucijski teorem:

G(u, v) = H(u, v)F(u, v) ⇔ g(x, y) = h(x, y) ∗ f (x, y)

39

Dvodimenzionalna diskretna konvolucija je dana s:

Filtriranje je računski manje zahtjevno u vremenskom području ako se radi o malim

konvolucijskim maskama, te se u takvim slučajevima uglavnom provodi sa prostornim

konvolucijskim maskama.

40

Za cilj prevođenja frekvencijskih filtera u konvolucijske maske može se postaviti da se dobije aproksimacija s najmanjom kvadratnom greškom.

U općem slučaju su članovi kompleksni, ali ako je frekvencijski filter realan i simetričan, onda će i konvolucijska maska biti takva.

Ako se ne može odrediti dovoljno dobra maska za aproksimaciju filtera ili ako aproksimacija filtera rezultira velikom konvolucijskom maskom, provodi se filtriranje u frekvencijskom području.

41

42