Poisson

Persamaan Poisson (Pendahuluan)Poisson 1D dengan Syarat Batas Dirichlet

Persamaan Poisson 1D untuk syarat batas RobinPersamaan Poisson 2D dengan syarat batas Dirichlet

Persamaan PoissonFisika Komputasi

Irwan Ary Dharmawan

Jurusan Fisika Universitas Padjadjaranhttp://phys.unpad.ac.id/jurusan/staff/dharmawan

email : [email protected]

Irwan Ary Dharmawan Persamaan Poisson



1 Persamaan Poisson (Pendahuluan)

2 Poisson 1D dengan Syarat Batas Dirichlet

3 Persamaan Poisson 1D untuk syarat batas Robin

4 Persamaan Poisson 2D dengan syarat batas Dirichlet




Dalam pertemuan ini kita akan membahas untuk menyelesaikanpersamaan Poisson di bawah ini

2u(r) = v(r). (1)

dengan u dan v(r) menyatakan potensial dan sumber. Dalamkasus Elektrostatik biasanya ditulis sebagai

E = . (2)

dengan E menyatakan medan listrik dan adalah medanpotensialnya. Potensial itu sendiri memenuhi persamaan Poissonsebagai berikut

2 =

0, (3)

Dengan (r) menyakan rapat massa dan 0 adalah permitivitasruang hampa




Dalam kasus gravitasi Newtonian f dapat dinyatakan sebagai gayaakibat medan potensial

f = . (4)

Potensialnya sendiri memenuhi persamaan Poisson berikut

2 = 42 G, (5)

(r) menyatakan rapat massa dan G adalah konstanta Gravitasi.




Misalkan kita memiliki persamaan Poisson 1D

d2u(x)

dx2= v(x), (6)

dengan xl x xh , syarat batas Dirichlet u(xl) = ul danu(xh) = uh. Sebagai langkah awal kita bagi domain xl x xhke dalam segmen yang serbasama

xi = xl +i (xh xl)

N + 1, (7)

Untuk i = 1, N , dan batas xl dan xh berada di titik i = 0 dani = N + 1 berturut-turut.




Selanjutnya kita diskritisasi d2u/dx2 pada titik-titik grid.Diskritisasi yang paling mudah dengan menggunakan

d2u(xi)

dx2=

ui1 2ui + ui+1(x)2

+O(x)2. (8)

Persamaan (8) merupakan persamaan central difference orde 2.Persamaan (8) dapat ditulis kembali menjadi

ui1 2ui + ui+1 = vi (x)2, (9)

untuk i = 1, N dengan vi v(xi), selanjutnya u0 = ul danuN+1 = uh, dengan vi menyatakan suku sumber yang telahdidiskritisasi.




Jika u = (u1, u2, , uN ) adalah vektor dari nilai u dan

w = [v1 (x)2ul, v2 (x)

2, v3 (x)2, , vN1 (x)

2, vN (x)2uh]

(10)merupakan vektor sumber. Maka diskritisasi persamaan menjadi

Mu = w. (11)




Jika ditulis dalam bentuk matriks maka akan menjadi :

M =

2 1 0 0 0 01 2 1 0 0 00 1 2 1 0 00 0 1 2 1 00 0 0 1 2 10 0 0 0 1 2

(12)

Matriks M merupakan matriks tridiagonal. Untuk menyelesaikanpersamaan (12) maka dapat digunakan persamaan berikut

u = M1 w, (13)

Dengan M1 menyatakan inverse matriks dari M. Persamaan(13) bisa diselesaikan menggunakan metoda iterasi untukpersamaan linier.




Pada slide sebelumnya kita membahas persamaan Poisson untuksyarat batas Dirichlet, lalu bagaimana jika kita menerapkan syaratbatas Robin untuk kasus ini, misalkan

l u(x) + ldu(x)

dx= l, (14)

pada x = xl, kemudian

h u(x) + hdu(x)

dx= h, (15)

pada x = xh. Dengan dan merupakan konstanta, dan syaratbatas di atas dikenal sebagai syarat batas Robin karena merupakancampuran antara syarata batas Dirichlet dan Neumann




Jika persamaan (14) dan (15) kita diskritisasi akan menghasilkan

l u0 + lu1 u0x

= l, (16)

dan

h uN+1 + huN+1 uN

x= h, (17)

Ekspresi di atas dapat ditulis kembali menjadi

u0 =l x l u1l x l

, (18)

uN+1 =h x+ h uNh x+ h

. (19)




Dengan menggunakan persamaan (8) dan (18), masalah dapatdireduksi menjadi persamaan tridiagonal matriks Mu = w denganelemen diagonal kiri, tengah dan kanan menggunakan elemensebagai berikut : ai = 1 untuk i = 2, N kemudian

b1 = 2l

l x l, (20)

dan bi = 2 untuk i = 2, N 1 dan

bN = 2 +h

h x+ h, (21)

dan ci = 1 untuk i = 1, N 1. Sedangkan ruas kanan

w1 = v1 (x)2

l x

l x l, (22)

dengan wi = vi (x)2 untuk i = 2, N 1. dan

wN = vN (x)2

h x

h x+ h. (23)




Misalkan kita memiliki persamaan Poisson 2D

2u(x, y)

x2+

2u(x, y)

y2= v(x, y), (24)

Dalam domain = {(x, y)|0 x L, 0 y H} dengan syaratbatas Dirichlet sebagai berikut (x, 0) = 0, (0, y) = 0, (L, y) = 100dan (x,H) = 0. Persamaan (24) dapat didiskritisasi denganpendekatan central differences menjadi

ui1,j 2ui,j + ui+1,j(x)2

+ui,j1 2ui,j + ui,j+1

(y)2= v(xi, yj) (25)




Untuk memudahkan persoalan kita set x = y sehinggapersamaan (25) menjadi

ui1,j + ui+1,j + ui,j1 + ui,j+1 4ui,j = x2vi,j (26)

Pertanyaan kita selanjutnya adalah bagaiman kita membangunmatriks dari persamaan (26)




Contoh : sebuah plat konduktor berukuran bujursangkar


Persamaan Poisson (Pendahuluan)Poisson 1D dengan Syarat Batas DirichletPersamaan Poisson 1D untuk syarat batas RobinPersamaan Poisson 2D dengan syarat batas Dirichlet

Documents

Poisson