Polarisationsanalyse von Lichtmittels Stokes-Formalismus

Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen 11.1 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Lichtquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Aufbau 122.1 Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Messverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Aufgaben 21

4 Richtlinien zum Laserschutz der Abteilung A des F-Praktikums 22

1 Grundlagen

In diesem Praktikumsversuch soll der Polarisationszustand von Licht mittels Stokes-Formalismus voll-ständig bestimmt werden. Polarisation ist eine Eigenschaft von transversalen Wellen, die unter anderemin der Optik das Interferenz-, Reflexions- und Transmissionsverhalten von Licht beeinflusst und damit so-wohl in der Theorie als auch in der Praxis eine wichtige Rolle spielt. Für eine vollständige Analyse wirdein Formalismus benötigt, der in der Lage ist, nicht nur vollständig polarisiertes Licht, sondern ebensoteilweise polarisiertes Licht zu beschreiben. Ein entsprechender Formalismus wurde 1852 von G.G. Sto-kes [10] entwickelt. Er charakterisiert den Polarisationszustand durch vier direkt messbare Parameter.

1.1 Polarisation

Anfang des 19. Jahrhunderts stellten Fresnel und Arago durch Interferenzexperimente fest, dass es sichbei Licht um rein transversale Wellen handeln muss. Aus den Maxwellgleichungen folgt die Wellenglei-chung:

~∆~E = ε0µ0∂ 2~E

∂ t2

Aus der Wellengleichung folgt, dass sich ebene in z-Richtung propagierende Wellen als Überlagerungzweier orthogonaler Komponenten darstellen lassen:

~E(z, t) = Ex(z, t)~ex + Ey(z, t)~ey mit

Ex(z, t) =E0x cos(ωt − kz) (1a)

Ey(z, t) =E0y cos(ωt − kz+δ) (1b)

1

Für die Phasenverschiebung δ = 0 zwischen der x- und der y-Komponente oszilliert der E-Feldvektor ineiner Ebene. Man spricht in diesem Fall von linearer Polarisation. Für δ = π

2und Ex = Ey beschreibt

der E-Feldvektor eine Kreisschraube um die z-Achse, deren Projektion auf die x-y-Ebene einen Kreisergibt. Hier spricht man von zirkular polarisiertem Licht. Je nach Phasenverschiebung ergibt sich eineRechts- oder Linksschraube. Nach allgmeiner Konvention wird der Drehsinn aus Richtung des Detektorsbetrachtet. Bei δ 6= π

2und Ex 6= Ey spricht man von elliptisch polarisiertem Licht. Die Projektion des

E-Feldvektors beschreibt eine Ellipse.

1.1.1 Polarisationsellipse

Eliminiert man aus aus den Gleichungen 1 die Zeit- und Ortsabhängigkeit, erhält man eine Ellipsenglei-chung:

E2x

E20x

+E2

y

E20y

− 2E2

x

E20x

E2y

E20y

cos(δ) = sin(δ)

Eine ausführliche Diskussion der Eigenschaften dieser Polarisationsellipse findet sich bei Collet [3]. EineReihe der wichtigen Eigenschaften werden im Folgenden zusammengetragen. Für δ = 0 ergibt sich eineLinie mit einer von den Amplituden der Schwingungen der E-Feldkomponenten bestimmten Steigung:

Ey =±E0y

E0xEx

Für δ = π

2und E0x = E0y = E0 ergibt sich ein Kreis:

E2x

E0

2

+E2

y

E0

2

= 1

Die Ellipse ist durch ihre Orientierung ψ, ihre Elliptizität χ und den Winkel α charakterisiert. Die Ellip-tizität gibt hierbei das Verhältnis der beiden Halbachsen der Ellipse an.

tan(2ψ) =Ex Ey cos(δ)

E20x − E2

0y

tan(χ) =b

a

�

−π

4< χ <

π

4

�

tan(α) =E0x

E0y

Zur experimentellen Bestimmung des Polarisationszustandes auf Basis der Parameter der Polarisationsel-lipse kann das Licht mit einer Kombination aus einem Polarisator und einem λ

4-Plättchen gemäß Tabelle

1 analysiert werden.

1.1.2 Stokes-Formalismus

Um die charakteristischen Parameter der Polarisationsellipse zu bestimmen, ist es notwendig, die Zeit-abhängigkeit des Feldvektors, der mit einer Frequenz von ca. 1015Hz oszilliert, zu eliminieren. Mit derIntensität wird ein zeitliches Mittel über die Quadrate der Amplituden gemessen. Hierdurch kann zwarzwischen linear- und zirkular polarisiertem Licht unterschieden werden (siehe Tabelle 1). Der Drehsinnund der Grad der Polarisation bleiben allerdings verborgen.

Bei unpolarisiertem Licht existiert kein zeitlich konstantes Phasen- oder Amplitudenverhältnis. Es kannals Überlagerung vieler kurzer unterschiedlich polarisierter Wellenzüge aufgefasst werden und unter-scheidet sich in der Projektion im zeitlichen Mittel nicht von zirkular polarisiertem Licht. Eine Überlage-rung von polarisiertem und unpolarisiertem Licht erscheint wie elliptisch polarisiertes Licht.

2

Tabelle 1: Analyse der Polarisationszustände nach Jenknis/White [6]

3

x

y

ab

E0x

E0y

ψχ

Abbildung 1: Polarisationsellipse für E0x = 3,E0y = 2 und δ = 60◦

Um unpolarisiertes Licht mathematisch zu beschreiben, gewann Stokes 1852 vier direkt messbare Grö-ßen, indem er die nicht ohne weiteres zugänglichen zeitlich veränderlichen E-Feldterme in der Polarisa-tionsellipse durch ihre zeitlichen Mittelwerte ersetzte. Dies führt auf die Gleichung [3, S.34f.]:

(E20x + E2

0y)2− (E2

0x − E20y)

2− (2E20x E2

0y cos(δ))2 = (2E20x E2

0y sin(δ))2

Die vier Stokes-Parameter lassen sich nun identifizieren:

S0 = E20x + E2

0y

S1 = E20x − E2

0y

S2 = E0x E0y cos(δ)S3 = E0x E0y sin(δ)

S20 = S2

1 + S22 + S2

3

Die letzte Gleichung gilt in dieser Form für vollständig polarisiertes Licht. Für nicht vollständig polari-siertes Licht wird sie zu einer Ungleichung, wobei der Quotient aus der linken und der rechten Seite denGrad der Polarisation quantifiziert:

S20 ≤ S2

1 + S22 + S2

3 DOP=

p

S21 + S2

2 + S23

S0

Die Gesamtintensität ist in jedem Fall durch S0 gegeben.

4

Es ist im Hinblick auf eine Beschreibung von unpolarisiertem Licht sowie für den Müller-Matrix-Formalismus praktisch, die Stokes-Parameter in einem Spaltenvektor, dem Stokes-Vektor, anzuordnen.Auch wenn es sich im mathematischen Sinn nicht um einen Vektor handelt, kann gezeigt werden [3,S. 52f.], dass sich die Stokes-Vektoren von unabhängigen Lichtstrahlen zu einem resultierenden Stokes-Vektor addieren lassen. So lässt sich unter anderem un- und teilpolarisiertes Licht beschreiben:

S =

S0S1S2S3

= (1−DOP)

S0000

+DOP

S0S1S2S3

Die einzelnen Komponenten des Stokes-Vektors lassen sich jeweils mit bestimmten Polarisationszustän-den identifizieren. Während S0 die Gesamtintensität angibt, gibt S1 den Anteil linear horizontal odervertikal polarisierten Lichts an, S2 den um ±45◦ polarisierten Anteil und S3 den links- bzw. rechtsdre-hend zirkular polarisierten Anteil.

S(l) = I0

1−100

S(↔) = I0

1100

S(↗↙) = I0

1010

S(↖↘) = I0

10−10

S(�) = I0

100−1

S(�) = I0

1001

Des Weiteren lassen sich einige interessante Identitäten herleiten, mit denen die elliptischen Parameteraus den Stokes-Parametern bestimmt werden können:

tan(2ψ) =S2

S1sin(2χ) =

S3

S0S =

1cos(2χ) cos(2ψ)cos(2χ) sin(2ψ)

sin(2χ)

Der in Abhängigkeit der elliptischen Parameter dargestellte Stokes-Vektor erinnert stark an die Trans-formationsformel, die Kugelkoordinaten in karthesische Koordinaten umwandelt. Die Darstellung desPolarisationszustandes als Punkte auf einer Kugeloberfläche, wobei die x-,y- und z-Koordinaten S1,S2und S3 entsprechen, wird Poincaré Darstellung genannt und die entsprechende Kugel Poincaré Sphäre(siehe Abb. 2).

1.1.3 Müller-Matrix-Formalismus

Der Müller-Matrix-Formalismus ermöglicht es, die Auswirkungen von polarisationsoptischen Komponen-ten auf einen einfallenden Stokes-Vektor und durch Berechnung des Matrixproduktes mathematisch zu

5

Abbildung 2: Poincaré Sphäre: Die Punkte auf der Kugeloberfläche können sowohl durch die Stokes-Parameter als auch durch die elliptischen Parameter dargestellt werden.

6

bestimmen. Der einfallende Lichtstrahl mit dem Stokes-Vektor S wird durch eine Polarisationsoptik mitder Müller-Matrix M in den resultierenden Stokes-Vektor S′ umgewandelt:

S′ = M · S bzw.

S′0S′1S′2S′3

=

m00 m01 m02 m03m10 m11 m12 m13m20 m21 m22 m23m40 m31 m32 m33

·

S0S1S2S3

Müller-Matrizen lassen sich für alle polarisationsoptischen Komponenten aufstellen. Für Komponenten,die den Polarisationszustand nicht ändern, entspricht die Müller-Matrix einer Einheitsmatrix. Im Folgen-den werden einige für diesen Versuch wichtige Müller-Matrizen zusammengestellt.

a) Müller-Matrix für einen idealen Polarisator mit Durchlassrichtung entlang der x-Achse, der diey-Komponente des elektrischen Feldes vollständig auslöscht:

Mpol−x =

1 1 0 01 1 0 00 0 0 00 0 0 0

b) Müller-Matrix für einen Verzögerer, dessen schnelle Achse in x-Richtung orientiert eine Phasenver-schiebung von δ zwischen der x- und der y-Komponente erzeugt:

Mv erz

1 0 0 00 1 0 00 0 cos (δ) −sin (δ)0 0 sin (δ) cos (δ)

c) Müller-Matrix für einen Rotator, der die orthogonalen Komponenten jeweils um einen Winkel αrotiert:

Mrot =

1 0 0 00 cos (α) sin (α) 00 −sin (α) cos (α) 00 0 0 1

Aus diesen drei Matrizen lassen sich Matrizen für viele polarisationsändernde Komponenten bestimmen.So lässt sich z.B. die Müller-Matrix für eine um α rotierte Verzögerungsplatte wie folgt bestimmen:

Mv erz(α,δ) = Mrot(−α)Mv erz(δ)Mrot(α)

Die zweite Rotation in Gegenrichtung ist hierbei notwendig, da der Rotator das Koordinatensystem umseine Drehachse dreht, die Polarisation aber weiterhin im ursprünglichen Koordinatensystem betrachtetwerden soll.

Setzt man in die für Mv erz(α,δ) ermittelte Matrix für δ 180◦ein, so erhält man eine Matrix, die der einesRotators, der um den doppelten Winkel dreht, ähnelt:

7

Mv erz(β , 180◦) =

1 0 0 00 cos

�

2β�

sin�

2β�

00 sin

�

2β�

−cos�

2β�

00 0 0 −1

(2)

1.1.4 Doppelbrechung

Beim Übergang einer elektromagnetischen Welle in ein anisotropes Medium wird die Welle je nach Sym-metrie des Kristalls in zwei oder mehr Komponenten zerlegt, die unterschiedlich gebrochen werden.Im Folgenden wird von einem einachsigen Kristall ausgegangen. Die Zerlegung erfolgt in einen Strahl,der orthogonal zur optischen Achse polarisiert ist, und einen Strahl, der parallel zur optischen Achsepolarisiert ist. Ersterer wird analog zur Brechung in isotropen Medien nach dem Snellius’schen Bre-chungsgesetz gebrochen und wird daher als “ordentlicher Strahl” bezeichnet. Der andere Strahl wirdals “außerordentlicher Strahl” bezeichnet. Der Brechungsindex des außerordentlichen Strahls hängt vonseiner Ausbreitungsrichtung relativ zur optischen Achse ab.

In optisch anisotropen Materialien schwingen die Oszillatoren im Allgmeinen nicht parallel zum E-Feldvektor, da der Brechungsindex und damit die Ausbreitungsrichtung richtungsabhängig ist. Eineanschauliche Analogie bietet ein mechanisches Modell, indem ein Massepunkt zwischen Federn ver-schiedener Federkonstanten aufgehängt ist. Die Federkonstanten sind die mechanischen Analogi zu denBrechungsindices. Durch die Richtungsabhängigkeit des Brechungsindex sind Phasenfronten mit demNormalenvektor ~k nicht mehr parallel zur Ausbreitungsrichtung mit Poyntingvektor ~S = ε0c2~E × ~B alsNormalenvektor. Während ~S noch orthogonal zu ~E ist, ist ~k orthogonal zu ~D. Die Verschiebungsdich-te ~D und Feldstärke ~E sind durch die elektrische Feldkonstante ε0 und die Dielektrizitätskonstante ε′,die in anisotropen Medien ein Tensor ist, verknüpft. Es gilt folgende Beziehung (hier formuliert für einHauptachsensystem):

~D = ε′ε0~E = ~D =

ε1 0 00 ε2 00 0 ε3

ε0~E =

n2x 0 0

0 n2y 0

0 0 n2z

ε0~E

Für einen einachsigen Kristall gilt o.B.d.A nx = ny 6= nz.

Der durchx2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1

gegebene Ellipsoid wird Indexellipsoid genannt und beschreibt die Richtungsabhängigkeit des Bre-chungsindex (siehe Abb. 3a): Für eine Welle, deren Ausbreitungsrichtung für den außerordentlichenStrahl durch ~k gegeben ist, gibt die Länge der Strecke in der Richtung von ~D vom Nullpunkt zumSchnittpunkt mit dem Ellipsoid den Brechungsindex na des außerordentlichen Strahls an [4]. Der Bre-chungsindex n0 des ordentlichen Strahls ist, wie in der zweidimensionalen Darstellung in Abb. 3b zusehen ist, nicht von der Ausbreitungsrichtung abhängig.

1.2 Lichtquellen

1.2.1 Lichtemittierende Dioden und kantenemittierende Halbleiterlaser

Lichtemittierende Dioden (LED) und Halbleiterlaser spielen heutzutage eine tragende Rolle bei vielentechnischen Anwendungen wie einfachen Beleuchtungen, in der Kommunikation, wo Glasfaserkabel eine

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Abbildung 3: Quelle: Demtröder [4]

9

Abbildung 4: Energiebänder in einem pn-Übergang ohne (a) bzw. mit angeleger Spannung (b)[7]

immer wichtigere Rolle in der Informationsübermittlung einnehmen, und vielen weiteren Anwendungen.Die Gründe für die vielfältige Anwendbarkeit liegen unter anderem in ihrer geringen Größe, ihren nied-rigen Herstellungskosten und ihrer hohen Effizienz. Die Funktionsweise von LEDs und Halbleiterlasernbesteht prinzipiell in der strahlenden Rekombination von Elektronen-Lochpaaren in der Raumladungs-zone eines pn-Übergangs.

Ein pn-Übergang entsteht, wenn ein p-dotierter Halbleiter, in dem Löcher die Majoritätsladungsträgerbilden, und ein n-dotierter Halbleiter, in dem Elektronen die Majoritätsladungsträger bilden, in Kontaktgebracht werden. Die Majoritätsladungsträger diffundieren in Richtung der anderen Schicht und rekom-binieren an der Grenzschicht, bis sich die Fermi-Energien der beiden Materialien angeglichen haben(siehe Abb. 4a). Es entsteht eine Verarmungs- oder Raumladungszone, in der keine freien Ladungs-träger existieren. Wird eine Spannung in Durchlassrichtung angelegt, dass heißt die n-dotierte Schichtwird mit dem negativen Pol der Spannungsquelle und die p-dotierte Schicht wird mit dem positiven Polder Spannungsquelle verbunden, so steigt die Ladungsträgerdichte in der n-dotierten Schicht. Die neuhinzugekommenen Ladungsträger diffundieren bis zur Verarmungszone, wo sie mit einem Loch rekom-binieren (siehe Abb. 4b). Bei dieser Rekombination wird Energie frei, die betragsmäßig der Größe derBandlücke entspricht. Wird diese Energie in Form von Photonen frei, so emittiert die Diode Licht, dessenWellenlänge von der Größe der Bandlücke abhängt.

Weiße LEDs lassen sich entweder durch Integration mehrer unterschiedlicher Dioden in einem Bauele-ment konstruieren oder dadurch, dass man eine blaue LED mit einem oder mehreren Lumineszenzfarb-stoffen beschichtet, die das blaue Licht absorbieren und danach Licht höherer Wellenlängen emittieren.

.

Kanten-Emitter-Laser (engl.: edge emitting Laser, EEL) funktionieren prinzipiell sehr ähnlich wie dieLEDs [7]. Kanten-Emitter-Laser haben im Gegensatz zu LEDs einen Resonator, der im einfachsten Fall(siehe Abb. 5) durch die Kanten, die bei der Spaltung der Wafer entstehen, realisiert ist. Bis es durchstimulierte Emission zur Rekombination kommt, werden die Photonen zwischen Kanten des Lasers, diepoliert werden und ca. 30 % des Strahls reflektieren und wie ein Fabry-Perot-Resonator funktionieren,hin und her reflektiert. Die hier geschilderte Grundkonstruktion kann duch Doppel-Hetero-Strukturen,für deren Entwicklung u.a. Herbert Krömer mit dem Nobelpreis ausgezeichnet wurde, effzienter gestaltetwerden. Durch die unterschiedlichen Materialien kann dafür gesorgt werden, dass die aktive Zone einenbesonders hohen Brechungsindex hat, woduch die Elektronen durch Totalreflexion in der aktiven Zonegehalten werden. Diese Art von Laser wird auch Wellenleiter (engl.: Waveguide) genannt.

1.2.2 VCSEL

Neben den Kantenemittern nehmen oberfächenemittierende Halbleiterlaser mit vertikalem Resona-tor(engl.: vertical-cavity-surface-emitting-laser, VCSEL) eine immer wichtigere Rolle ein. Der Aufbau

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Abbildung 5: Schematische Darstellung eines einfachen Kanten-Emitter-Laser, der nur aus einem p- undeinem n-dotierten Halbleiter besteht. Die Emission findet durch die teilreflektierenden Kan-ten statt. [7]

von VCSELn unterscheidet sich in einigen Aspekten deutlich von dem der Kantenemitter [7]. Im Gegen-satz zu Kantenemittern erfolgt die Emission nicht parallel zum pn-Übergang, sondern senkrecht dazuund wird an der Oberfläche ausgekoppelt. Dies bietet den prinzipiellen Vorteil, dass VCSEL auf Wafernin Arraystruktur hergestellt und direkt auf dem Wafen ankontaktiert sowie getestet werden können. Es istnicht notwendig, den Wafen erst zu zersägen und die Kanten zu spalten. Die Herstellung wird hierdurchso günstig, dass die Herstellungskosten für einen VCSEL im einstelligen Centbereich liegen. Ein weitererVorteil von VCSELn ist die kreisrunde astigmatismusfreie Emissionscharakteristik, die unter anderem dasEinkoppeln in Glasfasern erleichtert.

Bei VCSELn ist die aktive Schicht äußerst dünn. Sie besteht aus Quantenfilmen, die sich zwischen zweiDBR-Spiegeln (Distributet-Bragg-Reflector) befinden, die den Resonator bilden (siehe exemplarischeDarstellung in Abb. 6). Der Resonator ist im Gegensatz zu Kantenemittern vertikal ausgerichtet undsehr kurz. Die DBR-Spiegel bestehen aus vielen Schichten unterschiedlicher Brechungsindices, derenDicke ein Viertel der emittierten Wellenlänge beträgt. Da bei Reflexionen ein Phasensprung stattfindet,interferieren die reflektierten Photonen im Resonator konstruktiv. Durch diese Konstruktion wird eineReflektivität von über 99% erreicht, aufgrund der die extrem kurze Resonatorlänge in VCSELn auchnotwendig ist, um eine stimulierte Emission zu erzielen. Die Oxidapertur in der Peripherie der aktivenSchicht des VCSELs zwingt zum einen den Strom, vom elektrischen Ringkontakt aus durch die Mitte deraktiven Schicht zu fließen. Zum anderen wird durch einen hohen Brechungsindexsprung auch das Lichtin transversale Richtung geführt.

Durch die extrem kurze Resonatorlänge, die etwa im Bereich einer Wellenlänge liegt, existiert in derRegel nur eine einzige longitudinale Mode. Hierdurch wird unter anderem ein sehr geringer Schwell-strom, also der Strom, bei dem die Besetzungsinversion zustande kommt und die stimulierte Emissionüberwiegt, erreicht [8]. Die emittierte Leistung steigt nach Überschreiten der Schwelle näherungsweiselinear an, bis sie ein Maximum erreicht und danach aufgrund thermischer Effekte wieder abfällt. Ther-mische Effekte führen dazu, dass sich die Länge des Resonators ändert, was auch eine Verschiebung derWellenlänge zur Folge hat. Bei zu großen Wellenlängen nimmt die Effizienz des Resonators ab. Die starkeTemperaturabhängigkeit des Resonators ist in erster Linie in seiner geringen Länge begründet.

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Abbildung 6: Schematischer Aufbau eines VCSEL (Quelle: Diplomarbeit von Andreas Molitor)

Neben der Longitudinalmode entstehen auch Transversalmoden. Insbesondere entstehen bei großenAperturdurchmessern viele Transversalmoden höherer Ordnung, deren Intensität am Rand des Oxi-drings besonders hoch ist. Hierdurch wird im Nah- und Fernfeld eine ringförmige Intensitätsverteilungsichtbar.

Durch die Kreissymmetrie des VCSELs ist es nicht möglich, bestimmte Polarisationsrichtungen durchdas Design des Resonators zu bevorzugen, wie es bei Kantenemittern möglich ist. Die Richtung ist inder Praxis nicht vollständig beliebig, sondern durch die Kristallstruktur, thermische Einflüsse, Doppel-brechung und weitere Effekte eingeschränkt, sodass lineare Polarisationszustände beobachtet werdenkönnen. Die Richtung dieser Polarisationszustände ist jedoch hochgradig instabil und kann sich auchim Betrieb ändern [9]. Man spricht in diesem Fall von einem Polarisationsswitch. Eine Kontrolle derPolarisationsrichtung ist beispielsweise durch das Aufbringen einer Gitterstruktur möglich.

2 Aufbau

Für den Versuch stehen eine Reihe von Komponenten zur Verfügung, mit der verschiedene Polarisati-onszustände erzeugt und analysiert werden können. Die Komponenten können auf höhenverstellbarenReitern auf einer Schiene bewegt werden. Bei jeglicher Handhabung der Komponenten ist darauf zuachten, die Optiken nicht zu berühren.

2.1 Komponenten

2.1.1 Polarisatoren

Glan-Thompson-Polarisationsprismen bestehen aus zwei zu einem Quader verkitteten doppelbrechen-den Prismen, deren optische Achse parallel zur Eintrittsfläche liegt. Die Winkel der Prismen und der

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Abbildung 7: Schemaskizze eines Glan-Thompson-Polarisators (Quelle: Datenblatt des Polarisators)

Brechungsindex des Kittes sind so gewählt, dass der ordentliche Strahl an der Grenzfläche der Pris-men total reflektiert und dann an den speziell beschichteten Außenflächen absorbiert wird und deraußerordentliche Strahl ohne Ablenkung wieder austritt (siehe Abb. 7).

Glan-Thompson-Polarisationsprismen zeichnen sich durch ein besonders hohes Löschungsvermögen von10−5-10−7 über einen weiten Spektralbereich aus, eignen sich jedoch nicht für hohe Strahlintensitäten.

2.1.2 Verzögerungsplatten

Verzögerungsplatten bestehen aus einem doppelbrechenden Material, das so in den Strahlengang ge-bracht wird, dass die optische Achse senkrecht zur Ausbreitungsrichtung steht. Das Strahlenbündelwird in einen ordentlichen und einen außerordentlichen Teilstrahl aufgespalten, die mit verschiede-nen Geschwindigkeiten, aber in gleicher Richtung durch das Material propagieren. Für eine Dicke d desVerzögerungsplättchens ergibt sich für die Phasenverschiebung δ zu

δ =2πd

λ(na − no)

. Die zu realisierende Dicke der Platten, um einen Phasenunterschied von 1 · π2

im sichtbaren Wellenlän-genbereich zu erzeugen, ist zu gering, um sie herstellen und handhaben zu können. Um dieses Problemzu lösen, kann entweder eine Dicke verwendet werden, die eine Phasenverschiebung von δ = (2k+0.5)πerzeugt. Man spricht dann von Verzögerungsplatten kter Ordnung. Eine weitere Möglichkeit ist die Kom-bination zweier paralleler Platten, deren optische Achsen senkrecht zueinander sind. In diesem Fall istnicht die Gesamtdicke, sondern die Differenz der Dicken der beiden Platten entscheidend:

δ =2π(d1− d2)

λ(na − ne)

Derartige Platten werden Verzögerungsplatten nullter Ordnung (zero order) bzw. zusammengesetzteVerzögerungsplatten nullter Ordnung (compound zero order) genannt.

Die so konstruierten Verzögerungsplatten sind stark wellenlängenabhängig. Ähnlich wie bei der Ver-wendung von unterschiedlich stark brechenden Gläsern in achromatischen Linsensystemen lassen sichdurch Verwendung von mehreren unterschiedlichen doppelbrechenden Materialien für die beiden Plat-ten achromatische Verzögerungsplatten herstellen. Für Verzögerungsplatten nullter Ordnung, die auszwei Platten a und b verschiedener Materialien bestehen, ergeben sich zwei Wellenlängen λ1 und λ2,

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Abbildung 8: Verzögerung in Einheiten ganzer Wellenlängen als Funktion der Wellenlänge für ein achro-matisches Verzögerungsplättchen (Quelle: Datenblatt)

für die der beabsichtigte Phasenunterschied erreicht wird. Die Dicken da und db lassen sich dann wiefolgt bestimmen[1]:

δ =2π

λ1(da(naλ1− noλ1)− db(naλ1− noλ1))

δ =2π

λ2(da(naλ2− noλ2)− db(naλ2− noλ2))

Für Wellenlängen, die in der Nähe von λ1 und λ2 liegen, ergeben sich jedoch, wie in Abb. 8 beispielhaftfür ein λ

2-Plättchen gezeigt, bereits leichte Abweichungen von der gewünschten Verzögerung. Neben der

Wellenlänge beeinflussen auch Temperatur, Interferenzerscheinungen und der Einfallswinkel das Ver-zögerungsverhalten. Die Abhängigkeit der Phasenverschiebung vom Einfallswinkel kann hierbei auchausgenutzt werden, um die Phasenverschiebung von Verzögerungsplatten für die jeweilige Wellenlängeanzupassen. Das kann nötig sein, wenn z.B. zirkular polarisiertes Licht mit hoher Genauigkeit erzeugtwerden muss. Eine Rotation um die schnelle Achse bewirkt eine Verkleinerung der Phasenverschiebungund eine Rotation um die langsame Achse eine Vergrößerung. Eine Übersicht über die möglichen auftre-tenden Probleme wird z.B. von Hale [5] gegeben.

Die beiden im Versuch verwendeten achromatischen Verzögerungsplatten bestehen aus Quarz und MgF2.Die Änderung des Gangunterschiedes beträgt laut Herstellerangabe ca. ± 1nm

Grad2δϕ2.

Babinet-Soleil-Kompensator

Ein Babinet–Soleil-Kompensator ist ein Verzögerer, der eine variable Phasenverschiebung erzeugt. Derprinzipielle Aufbau ähnelt dem eines zusammengesetzten Verzögerungsplättchens nullter Ordnung, wo-bei eine der beiden Platten, deren optische Achsen orthogonal zueinander sind, durch zwei Keile ersetztwurde (siehe Abb. 9). Diese Keile können übereinandergeschoben werden, was eine Änderung der Dickeund damit eine Änderung der Phasenverschiebung zur Folge hat. Da die Phasenverschiebung wellen-längenabhängig ist, muss die Skala für jede Wellenlänge von A.U. auf Wellenlängendifferenzen bzw.Phasendifferenzen kalibriert werden.

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Abbildung 9: Quelle: Anleitungsblatt Polarisation und Doppelbrechung

2.1.3 Interferenzfilter

Um spektral aufgelöste Messungen durchführen zu können, stehen im Versuch vier Bandpassfilter zurVerfügung, die als Interferenzfilter ausgeführt sind.

Mit Interferenzfiltern lässt sich ein spektral besonders schmaler Transmissionsbereich realisieren. Siefunktionieren nach dem Prinzip eines Fabry-Perot-Interferometers und bestehen aus vielen Schichtendielektrischen Materials unterschiedlicher Brechungsindices und unterschiedlicher Dicke, die die ein-fallenden Lichtstrahlen jeweils teilweise reflektieren und transmittieren und durch konstruktive bzw.destruktive Interferenz dafür sorgen, dass nur ein bestimmter Bereich um die Zentralwellenlänge trans-mittiert wird. Die Halbwertsbreite des Transmissionsbereichs der im Versuch verwendeten Filter beträgtjeweils (10± 2)nm. Die Zentralwellenlängen sind in folgender Tabelle zusammengestellt:

Nummer Zentralwellenlänge λ[nm]1 4882 543.53 6354 694.3

2.1.4 Linsen

Sowohl beim VCSEL als auch bei der LED handelt es sich um divergente Lichtquellen. Zur Kollimationund Fokussierung der Lichtquellen stehen drei unterschiedliche Linsen mit Brennweiten von 19mm,60mm und 80mm zur Verfügung. Die Linse mit der Brennweite von 19mm ist am Rand des Reitersangebracht, sodass eine Positionierung nahe an einer Lichtquelle ungeachtet des breiten Reiters möglichist.

2.1.5 Drehwinkelaufnehmer

Je ein Polarisator und ein Verzögerungsplättchen sind in einem Drehwinkelaufnehmer montiert. Mittelseiner Reflexionslichtschranke, unter der eine in 5◦-Schritten in stark und weniger stark reflektierendeBereiche eingeteilte Kreisscheibe (siehe Abb. 10) gedreht wird, wird bei jeder steigenden und fallendenFlanke der detektierten Spannung ein Signal generiert. Die Software liest, sobald sie ein Signal vomDrehwinkelaufnehmer erhält, einen Leistungswert vom Detektor. Somit lässt sich halbautomatisch dieIntensität als Funktion des Drehwinkels aufnehmen.

Bei der Nutzung ist zu beachten, dass ein zu schnelles Drehen aufgrund der Antwortzeit des Detek-tors dazu führen kann, dass der eingelesene Leistungswert nicht der dem Winkel zugehörige ist. Als

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Abbildung 10: Foto des im Versuch verwendeten Drehwinkelaufnehmers mit der in verschieden starkreflektierende Zonen eingeteilten Kreisscheibe

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Abbildung 11: Spektrum der M57L5111 LED; Quelle: Datenblatt

Anhaltspunkt für die Geschwindigkeit, mit der gedreht werden darf, kann die Schwankung der ermit-telten Stokes-Parameter in Abhängigkeit von der Drehgeschwindigkeit dienen. Bei zu schnellem Drehenkommt es hier zu auffälligen Schwankungen. Für die Anzahl der Werte, über die die Detektorelektronikmittelt, sollte ein verhältnismäßig kleiner Wert von z.B. 100 eingestellt werden, um eine hinreichendeDrehgeschwindigkeit zu erlauben.

Bei der Drehrichtung ist zu beachten, dass die schnelle Achse mit dem linken Rand der ausgezeichnetenreflektierenden Fläche zur Deckung gebracht wurde.

2.1.6 Lichtquellen

Für den Versuch stehen ein VCSEL PM67-F1P0N mit einer Wellenlänge von 682nm, ein VCSEL PM67-F1P0Nein VCSEL PM67-F1P0N mit einer Wellenlänge von 682nm mit einer Wellenlänge von 980nm undeine weiße LED M57L5111 (Spektrum siehe Abb.11) zur Verfügung. Für den VCSEL sind Justagebrillenvorhanden. Außerdem besteht die Möglichkeit, ihn mit einem ND-Filter (OD=0.4) abzuschwächen. Diegrundlegenden Bestimmungen zum Laserschutz sind zu beachten (siehe Anhang 4).

2.1.7 Stromquelle

Als Stromquelle dient eine ILX Lightwave LDX-3412. Es handelt sich hierbei um eine spezielle Stromquel-le für Diodenlaser und LEDs, die den Strom oder die Leistung sehr genau auf einen eingestellten Wertregelt und die Spannung entsprechend anpasst. Es lassen sich Ströme zwischen 0 und 200mA einstellen.Außerdem besteht die Möglichkeit, ein Limit einzustellen, um ein versehentliches Einstellen zu hoherStröme zu verhindern. Ein Foto der vorhandenen Bedienelemente ist in Abb. 12 zu sehen.

Folgende Regeln sind bei der Handhabung zu beachten, um die besten Resultate zu erzielen sowieeine Reduzierung der Lebensdauer der Lichtquellen und der Stromquelle selbst zu vermeiden:

a) Das Gerät wird während des Versuchs nicht ein- und ausgeschaltet. Stattdessen wird der Output(Knopf B) deaktiviert.

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Abbildung 12: Frontansicht der ILX Stromquelle mit Kennzeichnung der Knöpfe

b) Der Output wird immer deaktiviert, wenn die Lichtquelle gewechselt wird.

c) Nach jedem Wechsel der Lichtquelle wird vor Inbetriebnahme zuerst der Strom heruntergedreht(Knopf A) und das Limit (Knopf C) neu eingestellt.

d) Das Limit darf, während der Output aktiviert ist, in keinem Fall verändert werden. Eine Än-derung des Limits im Betrieb führt zu einer Stromspitze und mit hoher Wahrscheinlichkeit zurZerstörung der Lichtquelle.

2.2 Messverfahren

2.2.1 Grundlegende Justage

Vor jedem Versuch muss der Aufbau justiert werden. Zum einen müssen die Optiken in Höhe und Winkelzum Strahlengang ausgerichtet werden. Zum anderen müssen je nach Aufgabe die Lichtquellen auf denDetektor kollimiert bzw. fokussiert werden.

Je nach verwendeter Lichtquelle bieten sich verschiedene Linsen oder Kombinationen von Linsen an,um zum einen eine möglichst hohe Intensität auf dem Detektor zu erzielen und zum anderen möglichstebene Wellenfronten zu erzeugen. Letzeres ist wichtig, da die Form der Wellenfronten Einfluss auf dieWirkung der polarisationsmodifizierenden Optiken hat.

Je nach Messmethode ist auch eine Ausrichtung der Achsen der Polarisationsoptiken erforderlich, diedie durch die Verwendung der Skalen erzielbare Einstellgenauigkeit übersteigt. In diesem Fall kann derUmstand, dass für bestimmte Stellungen der Achsen zueinander Intensitätsminima oder -maxima zuerwarten sind, genutzt werden.

2.2.2 Bestimmung der Stokes-Vektoren mittels Fourieranalyse

Es existieren verschiedene Verfahren zur Bestimmung der Stokes-Parameter. Eine Beschreibung verschie-dener Verfahren einschließlich ihrer Vor- und Nachteile ist z.B. bei Collet [3] zu finden. Die folgendeBeschreibung des Verfahrens, das im Versuch mehrfach zur Anwendung kommt, stützt sich auf ein Papervon H.G. Berry und A.E. Livingston [2], in dem eine sehr allgemeine und umfassende Beschreibung desVerfahrens geliefert wird.

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Verwendet wird eine Verzögerungsplatte, die eine Verzögerung von δ erzeugt und mit der x-Achse denWinkel β einschließt, und ein Polarisator, der mit der x-Achse den Winkel α einschließt und zwischendem Detektor und der Verzögerungsplatte positioniert ist. Durch Multiplikation der entsprechenden Mül-lermatrizen erhält man folgenden Ausdruck für die resultierende S0-Komponente und damit für die In-tensität:

IT (α,β ,δ) =1

2(S0+

�

S1 cos�

2β�

+ S2 sin�

2�

cos�

2α− 2β�

+��

S2 cos�

2β�

− S1 sin�

2�

cos (δ) + S3 sin(δ)�

sin�

2α− 2β��

(3)

Dieser Ausdruck kann durch das Anwenden von Additionstheoremen in die Form einer Fourierreihegebracht werden:

IT (α,β ,δ) =1

2

�

S0+1

2

�

S1 cos(2α) + S2 sin(2α)�

(1+ cos(δ))

+ S3 sin(δ) sin(2α+ β0) cos(2β)− S3 cos(2α+ β0) sin(δ) sin(2β)

+1

2

�

S1 cos(2α+ 4β0)− S2 sin(2α+ 4β0)�

(1− cos(δ)) cos(4β)

+1

2

�

S1 sin(2α+ 4β0) + S2 cos(2α+ 4)�

(1− cos(δ)) sin(4β)�

IT (β) = C0+ C2 cos(2β) + S2sin(2β) + C4cos(4β)S4sin(4β) (4)

Rotiert man die Verzögerungsplatte eine gerade Anzahl N gleich großer Winkel und nimmt für jededer Winkelpositionen die Intensität I(β) auf, so kann man die Fourierkoeffizienten mittels diskreterFourieranalyse bestimmen:

C0=1

N

N∑

i=1

ITi

C2=2

N

N∑

i=1

ITi cos(2βi)

C4=2

N

N∑

i=1

ITi cos(4βi)

S2=2

N

N∑

i=1

ITi sin(2βi)

S4=2

N

N∑

i=1

ITi sin(4βi)

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βi ist hierbei die Winkelposition und ITi die Intensität für den i-ten Messwert. Die Stokes-Paramterlassen sich aus den Fourierkoeffizienten dann wie folgt berechnen: Man beachte, dass das Paper von Berrymehrere Fehler in S3 enthält.

S1 =2

1− cos(δ)�

C4 cos(2α+ 4β0) + S4 sin(2α+ 4β0)�

(5a)

S2 =2

1− cos(δ)�

S4 cos(2α+ 4β0) + C4 sin(2α+ 4β0)�

(5b)

S3 =−S2

sin(δ) cos(2α+ 2β0)=

C2

sin(δ)cos(2α+ 2β0)(5c)

S0 =C0−1+ cos(δ)1− cos(δ)

�

C4 cos(4α+ 4β0) + S4 sin(4α+ 4β0)�

(5d)

Hier fällt auf, dass die Frequenzen, die den Fourierkoeffizienten, aus denen die Stokes-Parameter S1 undS2 bestimmt werden, zugrunde liegen, doppelt so hoch sind wie die Frequenzen der Fourierkoeffizien-ten, die S3 zugrunde liegen. Dieser Umstand ermöglicht es, die linear und zirkular polarisierten Anteilebesonders gut trennen zu können und zeichnet diese Methode unter anderem aus.

Ein weiterer Vorteil dieser Methode ist, dass sie sich hervorragend automatisieren lässt. So existierenkommerziell erhältliche Systeme, bei denen schnell rotierende Verzögerungsplatten zum Einsatz kom-men (z.B. Thorlabs PAX Series Polarimeters; hier rotiert das λ

4-Plättchen mit 30 Hz).

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3 Aufgaben

Vorbereitung:

Machen Sie sich mit dem Messverfahren für die Stokes-Parameter vertraut. Wie vereinfacht sich Glei-chung 3 theoretisch für sinnvoll gewählte Parameter? Wie groß ist der Einfluss der Parameter auf denresultierenden Stokes-Vektor?

Durchführung:

a) Nehmen Sie eine P-I-Kennlinie der LED auf.

b) Bestimmen die das Auslöschungsverhältnis der Linearpolarisatoren.

c) Bestimmen Sie wellenlängenaufgelöst die Phasenverzögerung des achromatischen Verzögerungs-plättchens mit dem Babinet-Soleil-Kompensator.

d) Stellen Sie Licht verschiedener Polarisationszustände her und charakterisieren Sie den Polarisati-onszustand mit Hilfe des Stokes-Formalismus genau. Nutzen Sie hierfür die LED und den 694.3nmFilter. Verwenden Sie außerdem Ihre Erkenntnisse aus der Voraufgabe.

e) Nehmen Sie eine P-I-Kennlinie der VCSEL auf. Variieren Sie den Strom, bis die Leistung ein Maxi-mum erreicht. Welche Folgerungen ergeben sich für den Laserschutz?

f) Bestimmen Sie den Polarisationszustand des VCSELs unter Nutzung des Stokes-Formalismus inAbhängigkeit des Stroms.

Auswertung:

Zur Auswertung aller Aufgaben gehört eine ausführliche Dokumentation des Versuchsaufbaus mit Be-gründung und dessen Justage und Kalibration.

Zu allen Ergebnissen ist eine Betrachtung der Messunsicherheiten und eine ausführliche Diskussion derErgebnisse durchzuführen.

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4 Richtlinien zum Laserschutz der Abteilung A des F-Praktikums

Wichtige Punkte zum Laserschutz

Der Laserschutz spielt in unseren Labors eine sehr zentrale Rolle. Ganz allgemein gilt: Im Umgang mit Lasern ist der gesunde Menschenverstand nicht zu ersetzen! Einige spezielle Hinweise werden im folgenden angeführt.

1. Die Laserschutzvorschriften sind immer zu beachten.

2. Kopf niemals auf Strahlhöhe. Daher nie im Sitzen am Lasertisch arbeiten.

3. Richtige Schutzbrille aufsetzen; Wellenlänge und Leistung müssen bei der Wahl berücksichtigt werden. Bitte beim Betreuer oder Laserschutzbeauftragten, oder an den Aushängen an den Labortüren informieren!

4. Achtung: praktisch alle Laser für Laboranwendungen sind mindestens Klasse 3, also von vornherein für die Augen gefährlich, ggf. auch für die Haut – evtl. auch hiefür Schutzmaßnahmen ergreifen

5. Zur Justage kann der Laserstrahl mittels Wandlerkarten sichtbar gemacht werden. Zu beachten ist: Diese halten keine sehr hohen Leistungen aus und besitzen im allgemeinen eine reflektierende Oberfläche. Achtung deshalb vor Reflektionen! Auch Kameras besitzen eine Zerstörschwelle!

6. Spiegel und sonstige Komponenten nie in den ungeblockten Laserstrahl einbauen! Vor Einbau immer überlegen, in welche Richtung der Reflex geht! Diese Richtung zunächst blocken, bevor der Strahl wieder frei gegeben wird.

7. Nie mit reflektierenden Werkzeugen im Strahlengang hantieren! Unkontrollierbare Reflexe! Vorsicht ist z.B. auch mit BNC-Kabeln geboten, die in den Strahlengang gelangen könnten!

Gleiches gilt auch für Uhren und Ringe. Diese vorsichtshalber ausziehen, wenn Sie mit den Händen im Strahlengang arbeiten.

8. Auch Leistungsmessgeräte können Reflexe verursachen! Unbeschichtete Silizium-Fotodioden reflektieren über 30% des Lichtes!

9. Achtung im Umgang mit Strahlteilerwürfeln! Diese haben immer einen zweiten Ausgang! Ggf. abblocken!

10. Warnlampen bei Betrieb des Lasers anschalten und nach Beendigung der Arbeit wieder ausschalten

11. Dafür sorgen, dass auch Dritte im Labor die richtigen Schutzbrillen tragen, oder sich außerhalb des Laserschutzbereiches befinden

12. Filtergläser in Laserschutzbrillen dürfen grundsätzlich nicht aus- oder umgebaut werden!!!

13. In besonderem Maße auf Beistehende achten.

Hiermit erkläre ich, dass ich die vorstehenden Punkte gelesen und verstanden habe. Ich bestätige, dass ich eine Einführung in den Umgang mit Lasern sowie eine arbeitsplatzbezogene Unterweisung erhalten habe.

Name: Arbeitsgruppe:

Unterschrift: Datum:

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Literatur

[1] Jean M . Bennett. „Handbook of optics“. In: Hrsg. von Walter G. Driscoll. New York [u.a.]:McGraw-Hill, 1978. Kap. 3, S. 3.46–3.57.

[2] H. G. Berry, G. Gabrielse und A. E. Livingston. „Measurement of the Stokes parameters of light“.In: Applied Optics 16.12 (1977), S. 3200–3205.

[3] Edward Collett. Polarized light: fundamentals and applications. en. Marcel Dekker, 1993.

[4] Wolfgang Demtroeder. Experimentalphysik 2: Elektrizitaet und Optik. 5. überarb. u. erw. Aufl.2009. Springer, 2008.

[5] P. D. Hale und G. W. Day. „Stability of birefringent linear retarders (waveplates)“. In: AppliedOptics 27.24 (1988), S. 5146–5153.

[6] Francis A. Jenkins. Fundamentals of Optics. 4. Aufl. McGraw-Hill Inc.,US, 1976.

[7] Rolf Martin. „Photonik: Grundlagen, Technologie und Anwendung“. In: Hrsg. von Ekbert Heringund Rolf Martin. 2006. Aufl. Springer, 2005.

[8] Rainer Michalzik. VCSELs: Fundamentals, Technology and Applications of Vertical-Cavity Surface-Emitting Lasers. Springer, 2012.

[9] Andreas Molitor, Sebastien Hartmann und Wolfgang Elsäßer. „Stokes vector characterizationof the polarization behavior of vertical-cavity surface-emitting lasers“. In: Optics Letters 37.22(2012), S. 4799–4801.

[10] George Gabriel Stokes. „On the Composition and Resolution of Streams of Polarized Light fromdifferent Sources“. In: Mathematical and Physical Papers. Bd. 3. Cambridge Library Collection -Mathematics. Cambridge University Press, 2009.

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