MATEMÁTICA - 3o ANOMÓDULO 50

POLIEDROS

Tetraedro regular Hexaedro regular Octaedro regular

Dodecaedro regular Icosaedro regular

Tetraedro regular Hexaedro regular Octaedro regular

Dodecaedro regular Icosaedro regular

A

B C

EH

G

DF

Como pode cair no enem

O poliedro da figura (uma invenção de Leo-nardo Da Vinci utilizada modernamente na fabri-cação de bolas de futebol) tem como faces 20 hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices do poliedro é:a) 64b) 90 c) 60d) 72e) 56

Fixação

1) (UNIRIO) Um geólogo encontrou, em uma de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler de 60 faces triangulares. O número de vértices deste cristal é igual a:a) 35b) 34c) 33d) 32e) 31

Fixação

1) (UNIRIO) Um geólogo encontrou, em uma de suas explorações, um cristal de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler de 60 faces triangulares. O número de vértices deste cristal é igual a:a) 35b) 34c) 33d) 32e) 31

Fixação

2) (UERJ) O poliedro abaixo, com exatamente trinta faces quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como um dado, em um jogo.

Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade de ser sorteada.

Calcule:a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo de 5, ao lançar esse dado uma única vez;b) o número de vértices do poliedro.

Fixação

3) (UERJ) Para construir um poliedro convexo, um menino dispõe de folhas retangulares de papel de seda, cada uma com 56 cm de comprimento por 32 cm de largura, e de 9 varetas de madeira, cada uma com 40 cm de comprimento.

Na construção da estrutura desse poliedro todas as faces serão triangulares e cada aresta corresponderá a uma vareta.

Admita que o menino usará as 9 varetas e que todas as faces serão revestidas com o papel de seda.

Determine o número mínimo de folhas do papel de seda necessárias para revestir o poliedro.

Fixação

4) (UERJ) Considere o icosaedro abaixo, construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão marcados.

A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros congruentes foram formados em cada face do icosaedro.

Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado a seguir:

Fixação

3) (UERJ) Para construir um poliedro convexo, um menino dispõe de folhas retangulares de papel de seda, cada uma com 56 cm de comprimento por 32 cm de largura, e de 9 varetas de madeira, cada uma com 40 cm de comprimento.

Na construção da estrutura desse poliedro todas as faces serão triangulares e cada aresta corresponderá a uma vareta.

Admita que o menino usará as 9 varetas e que todas as faces serão revestidas com o papel de seda.

Determine o número mínimo de folhas do papel de seda necessárias para revestir o poliedro.

Fixação

4) (UERJ) Considere o icosaedro abaixo, construído em plástico inflável, cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão marcados.

A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros congruentes foram formados em cada face do icosaedro.

Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, como ilustrado a seguir:

Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmento de reta, obtém-se uma nova estru-tura poliédrica de faces triangulares, denominadas geodésica.

O número de aresta dessa estrutura é igual a:a) 90b) 120c) 150d) 180

Proposto

1) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.

Proposto

1) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.

Proposto

2) Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?

Proposto

3) Um poliedro convexo tem 11 vértices, o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro.

Proposto

3) Um poliedro convexo tem 11 vértices, o número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares e uma face pentagonal. Calcule o número de faces desse poliedro.

Proposto

4) Calcule o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares de um poliedro com 20 arestas e 10 vértices.

Proposto

5) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo com 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos?

Ligações

Hexágonos

Pentágonos

Proposto

5) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo com 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos?

Ligações

Hexágonos

Pentágonos

Proposto

6) (PUC) Qual é o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas?a) Hexaedro;b) Octaedro;c) Dodecaedro;d) Icosaedro;e) Tridecaedro.

Proposto

7) (ESCOLA NAVAL) Um poliedro convexo de 25 arestas tem faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces quadrangulares vale o dobro do número de faces pentagonais e o número de faces triangulares excede o de faces quadrangulares em 4 unidades. Pode--se afirmar que o número de vértices desse poliedro é:a) 14b) 13c) 11d) 10

Proposto

7) (ESCOLA NAVAL) Um poliedro convexo de 25 arestas tem faces triangulares, quadrangulares e pentagonais. O número de faces quadrangulares vale o dobro do número de faces pentagonais e o número de faces triangulares excede o de faces quadrangulares em 4 unidades. Pode--se afirmar que o número de vértices desse poliedro é:a) 14b) 13c) 11d) 10

Proposto

8) (ENEM) Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo congruente ao triângulo base dos prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.

(Disponível em: www.escritosriodearte.com.br. Acesso em: 28 jul. 2009)

Imagine um plano paralelo à face a do prisma I, mas que passe pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário com a escultura contém:a) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos.b) dois retângulos congruentes e com lados corres-pondentes paralelos.c) dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares.d) dois paralelogramos congruentes com lados corres-pondentes paralelos.e) dois quadriláteros congruentes com lados corres-pondentes perpendiculares.