POLIEDROSProfessor: Ruy Ângelo

SÓLIDO LIMITADO POR POLÍGONOS PLANOS, DE MODO QUE:

DOIS DESSES POLÍGONOS NÃO ESTÃO NUM MESMO PLANO;

CADA LADO DE UM POLÍGONO É COMUM A DOIS E SOMENTE DOIS POLÍGONOSPolígono: Figura fechada simples formada por segmentos de retas

POLIEDROS REGULARES

PLANIFICAÇÃO

RELAÇÃO DE EULERUma igualdade descoberta por Euler em

1751 relaciona os números V de vértices, F de faces e A de arestas:

V - A + F = 2.Na tabela que se segue pode verificar-se diretamente a validade desta fórmula de

Euler no caso dos cinco poliedros regulares, dos prismas e das pirâmides; a fórmula é

verdadeira para outros poliedros , mas não para todos.

  V A F V-A+F

tetraedro 4 6 4 2

cubo 8 12 6 2

octaedro 6 12 8 2

dodecaedro 20 30 12 2

icosaedro 12 30 20 2

Exemplo

Um poliedro convexo possui seis faces quadrangulares e duas hexagonais. Calcular o número de vértices desse poliedro

Vamos inicialmente determinar o número de arestas:

Resposta: 18 arestas

Aplicando a relação de Euler: V – A + F = 2

Resposta Final: 12 vértices.

PRISMAS

O estudo dos poliedros é dividido em Prismas e Pirâmides.

Vamos inicialmente trabalhar com os prismas.

Prisma de base hexagonal

Os prismas são formados por dois planos paralelos, em um dos planos há um polígono e todas as retas com extremidades nesse polígono tem a outra extremidades no outro plano, Veja a figura abaixo:

                                       

Podemos dizer então que um prisma possui duas bases em planos diferentes.

Toda figura geométrica possui elementos específicos, Veja a figura abaixo, onde estão representados todos os elementos de um prisma.

Os polígonos ABCDEF e A’B’C’D’E’F’ são as bases desse prisma.

►Os pontos A,B,C,D,E,F,A’,B’,C’,D’,E’,F’ são os vértices do prisma.

►Os segmentos de reta:                               são as arestas laterais do prisma (arestas que formam as faces laterais).

►As bases também possuem arestas os segmentos de reta que formam essas arestas são:                                                                     

►Uma reta perpendicular as duas bases é a altura do prisma.

Os polígonos formados pelos pontos                                                          são as faces laterais do polígono.

Prisma regular: é um prisma reto cuja base é um

polígono regular.   

Áreas das figuras planas.

Situação problema:

Um fabricante de embalagens de papelão quer

construir uma caixa em forma de prisma hexagonal regular.

Sabendo que a altura da caixa é de 20 cm e que o lado do

polígono da base mede 16 cm, calcule a área de papelão

necessária para se construir essa embalagem. Admita que

se utilize 25% a mais de material do que o estritamente

calculado, devido às sobras de papelão e para que seja

possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa.

Áreas e superfícies de prismas.

Área do círculo

Área do retângulo

Área do quadrado

Área do triângulo

Área do paralelogramo

Área do losango

Área do trapézio

Área do hexágono

Perímetro de figuras planas

22 bad

baS sen

dS

2

2

d

a

b

Área do retângulo

1)Calcule a área de uma superfície retangular sabendo que a base é o dobro da medida da altura e a diagonal mede 5 metros.

d

a

2ad 2aS

2

2dS

Área do quadrado

2)Um hexaedro regular tem a diagonal medindo 6cm. Calcule a área total desse prisma.

3)Um terreno tem a forma da figura abaixo e suas medidas estão representadas na figura abaixo. Calcule a área desse terreno.

135° 16cm

20cm

haS bsenaS

h

a

b

D

d

2

DdS

senaS 2a a

a a

Área do paralelogramo

Área do losango

Determine o volume do prisma oblíquo cuja base é um paralelogramo com dois ângulos de 120°.

5cm

10cm

6cm

60°

h

a

2

3ah

4

32aS

c

b

ah cpbpappS

2

hbS

2

cbap

sencb

S2

Área do triângulo

Área do Triângulo Equilátero.

Calcule a área de um triângulo cujas medidas dos lados são 10cm, 12cm e 8cm.

L

L

L

L

L

L

2

33 2LS L2

hBb

S

2

b

B

h2

Bbm

m

Área do trapézio

Área do hexágono regular

L

L L

L

L

L

LL

a

n

180

anL

S 2

cot4

2nLS

POLÍGONO REGULAR DE “n” LADOS

Exemplo

Qual a área de um icoságono cujo apótema mede 12 cm . (Use:tg 9°= 0,16)

r

r

r r

r

rC 2

rD 2

2rA

360

2

rS

Área do círculo

PerímetroDiâmetro

Área do setor circular

R

r

22 rRS

22

4dDS

RD 2

rd 2

Área da coroa circular

Cálculo de áreas especiais

Contar o número de quadrados inteiros no interior da figura; 43

Contar o número de quadrados inteiros que cobrem toda a figura. 80

Soma todos e divide por dois

Calcule a área da figura abaixo.

Atividade

1)Uma barra de chocolate tem o formato da figura abaixo.Calcule o volume de chocolate contido nessa barra.

4

4

4

12

Um poliedro é formado por 8 triângulos e 6 octógonos. Quantos vértices esse poliedro possui, sabendo que ele obedece a relação de Euler? Mostre fazendo os cálculos. (Veja a sua planificação)

PIRÂMIDEPLANIFICAÇÃO DA PIRÂMIDE

1) Uma barraca piramidal é sustentada por seis hastes metálicas cujas extremidades são o vértice da pirâmide e os seis vértices da base. A base é um polígono cujos lados têm todos o mesmo comprimento, que é de 3 m. Se a altura da barraca é de 3 m, qual é o volume de ar nessa barraca?

2) Uma peça de vidro tem o formato e as medidas da figura. Supondo-a maciça, qual o volume de vidro usado para fazer essa peça?

3)Uma pedra preciosa tem a forma da figura abaixo. Sabendo que a pedra tem 6 mm em todas as arestas, calcule o volume da pedra.

TRONCO DE PIRÂMIDEPLANIFICAÇÃO DO TRONCO DA PIRÂMIDE

Área lateral é a área de um retângulo .

rHA 2

CILINDRO

HAV b

1)Um aquário cilíndrico, com 30cm de altura e área da base igual a 1200cm2, está com água até a metade de sua capacidade. Colocando-se pedras dentro desse aquário, de modo que fiquem totalmente submersas, o nível da água sobe para 16,5cm. Então, calcule o volume das pedras.   

2) Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água, causando a elevação do nível da água em 1,5 cm. Se o raio da base do cilindro mede 5 cm, qual o volume do sólido?

CONE RETO CONE OBLÍQUO

CONE EQUILÁTERO.

Pelo Teorema de Pitágoras calcule h em função de R.

G=2R

G=geratriz

VOLUME

O V’

V

G=geratriz

grAlateral

lateralbasetotal AAA

Elementos do Cone:

Base - SRaio - rVértice - VGeratriz - gEixo - OVAltura - hSeção transversal - S'Seção reta - S''Seção meridiana - AVB

Exemplo 1 A geratriz de um cone equilátero mede cm. Calcule a área da secção meridiana do cone, em cm².

2)Bárbara colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica, conforme a figura, de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casquinha. Em seguida preencheu a região toda acima da casquinha com sorvete. Mostre com cálculos onde cabe mais sorvete. Se dentro da casquinha ou na forma inventada por ela?

TRONCO DE CONE

(1 UFRN)

Definição de uma esferaUma esfera é definida como um sólido de centro O e raio R cujos conjunto de pontos do espaço estão a uma distância do centro igual ou menor que R.

ÁreaA área de uma esfera pode ser obtida a partir da expressão: A = 4 π . R2

VolumeO volume da esfera é dado pela expressão:V =  4  .  π . R3         3

Questão 1Considere o planeta terra como uma esfera de raio R=6400Km. Sabendo que aproximadamente 70% de sua superfície é coberta por água e desprezando o relevo da superfície terrestre, determine a área ocupada pelas terras não submersas em nosso planeta. Considere Л=3.

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:

Considerando o ângulo a em graus podemos afirmar que a área do fuso é uma fração ά/ 360 da área da esfera.

Exercício1)Dois copos, um em formato de cone circular reto e outro em formato de cilindro circular reto, tem um mesmo volume. Se o raio da base do copo cilíndrico é um terço do raio da base do copo em formato de cone, a altura do copo cilindrico vale quanto em função da altura do cone?

2) Um rótulo retangular, contendo a prescrição médica, foi colado em toda a superfície lateral de um recipiente de forma cilíndrica de um certo remédio, contornando-o até as extremidades e se encontrando sem haver superposição. Sabendo-se que o volume do recipiente (desprezando-se a sua espessura) é 192π cm³ , pode-se afirmar que a área do rótulo, em cm², é igual a quanto?

H=12H=12

3)Qual o volume do cubo inscrito em uma esfera de raio R=4cm

4)(UFRN)Nove cubos de gelo, cada um com aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um copo cilíndrico, inicialmente vazio, com raio da base também igual a 3 cm.Após o gelo derreter completamente, a altura do nível da água no copo será de aproximadamente:a)8,5 cm b)8,0 cm c)7,5 cm d)9,0 cm