POLITECHNIKA POZNAŃSKAWYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INŻYNIERII ŚRODOWISKA

INSTYTUT KONSTRUCJI BUDOWLANYCH

BUDYNEK WYSOKI DI-WANG TOWER: OBLICZENIA STATYCZNE, OBLICZENIA DYNAMICZNE I KONSTRUOWANIE

79 – STOREY DI-WANG TOWER BUILDING: STATIC AND DYNAMIC ANALYSIS, DESIGN OF STRUCTURE

AUTOR:

PIOTR ANTECKI

KIERUJĄCY PRACĄ:

DR INZ. JACEK WDOWICKI

POZNAŃ 2007

2

Spis treści 1. WSTĘP...................................................................................................................................... ............6

2. CEL PRACY........................................................................................................................... ...............8

3. OPIS TECHNICZNY BUDYNKU .................................................................................... ......................9 3.1. DANE OGÓLNE...................................................................................................................................................... ...9 3.2. OPIS KONSTRUKCJI...................................................................................................................................... ...........12

4. OBCIĄŻENIA............................................................................................................. .........................19 4.1. ZEBRANIE OBCIĄŻEŃ DLA POWIERZCHNI BIUROWYCH..................................................................................................... ....20 4.2. ZEBRANIE OBCIĄŻEŃ DLA POWIERZCHNI KOMUNIKACYJNYCH............................................................................................. ...21 4.3. ZEBRANIE OBCIĄŻEŃ DLA POWIERZCHNI POMIESZCZEŃ TECHNICZNYCH...................................................................................22 4.4. ZEBRANIE OBCIĄŻEŃ DLA POWIERZCHNI KONDYGNACJI PODZIEMNYCH....................................................................................23 4.5. ZEBRANIE OBCIĄŻEŃ DLA DACHU........................................................................................................................... ......24 4.6. WARTOŚCI OBCIĄŻENIA WIATREM PRZYJĘTE DO OBLICZEŃ..................................................................................................25 4.7. OBCIĄŻENIE ŚNIEGIEM....................................................................................................................... ......................27

5. OPIS WYKORZYSTYWANYCH PROGRAMÓW KOMPUTEROWYCH............................ .................28 5.1. BW DLA WINDOWS........................................................................................................................................ ........28 5.2. ROBOT MILLENNIUM ......................................................................................................................... .....................31

6. PRZYGOTOWANIE MODELU CYFROWEGO KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCEJ.......................36 6.1. WSTĘPNE DOBRANIE PRZEKROJÓW ...................................................................................................... ......................36 6.2. PRZYGOTOWANIE MODELU CYFROWEGO KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCEJ DLA PROGRAMU BW DLA WINDOWS.................................40 6.3. PRZYGOTOWANIE MODELU CYFROWEGO KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCEJ DLA PROGRAMU ROBOT MILLENNIUM.................................50

7. WYNIKI ANALIZY STATYCZNEJ KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCEJ BUDYNKU OZMIENNYM PRZEKROJU W PROGRAMIE BW DLA WINDOWS.............................................. .............60

7.1. WARTOŚCI PRZEMIESZCZEŃ.................................................................................................................................... ..60 7.2. WARTOŚCI NAPRĘŻEŃ W TRZONIE ............................................................................................................. ................63 7.3. WARTOŚCI SIŁ W NADPROŻACH............................................................................................................... ..................65

8. WYNIKI ANALIZY STATYCZNEJ KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCEJ BUDYNKU W PROGRAMIE ROBOT MILLENNIUM........................................................................................................ ......................66

8.1. WARTOŚCI PRZEMIESZCZEŃ DLA MODELU 1 .................................................................................................... ............66 8.2. WARTOŚCI PRZEMIESZCZEŃ DLA MODELU 2 .................................................................................................... ............69 8.3. WARTOŚCI PRZEMIESZCZEŃ DLA MODELU 3 .................................................................................................... ............71 8.4. WARTOŚCI PRZEMIESZCZEŃ DLA MODELU 4 .................................................................................................... ............73 8.5. WARTOŚCI NAPRĘŻEŃ DLA MODELU 1 ......................................................................................................... ..............75 8.6. WARTOŚCI NAPRĘŻEŃ DLA MODELU 3.......................................................................................................... ..............78 8.7. WARTOŚCI NAPRĘŻEŃ DLA MODELU 4.......................................................................................................... ..............79 8.8. WARTOŚCI SIŁY POPRZECZNEJ W TRZONIE OD OBCIĄŻENIA WIATREM DLA MODELU 1...............................................................81 8.9. WARTOŚCI SIŁY POPRZECZNEJ W TRZONIE OD OBCIĄŻENIA WIATREM DLA MODELU 4...............................................................81 8.10. WARTOŚCI SIŁ W NADPROŻACH DLA MODELU 1......................................................................................................... ...81 8.11. WARTOŚCI SIŁ W NADPROŻACH DLA MODELU 4................................................................................................. ..........81

9. WYNIKI ANALIZY DYNAMICZNEJ BUDYNKU W PROGRAMIE BW DLA WINDOWS....................82 9.1. WYNIKI ANALIZY MODALNEJ...................................................................................................................... .................82 9.2. WYNIKI ANALIZY SEJSMICZNEJ.......................................................................................................................... ..........83

10. WYNIKI ANALIZY DYNAMICZNEJ BUDYNKU W PROGRAMIE ROBOT MILLENNIUM...............85 10.1. WYNIKI ANALIZY MODALNEJ DLA MODELU 1............................................................................................................... ..85 10.2. WYNIKI ANALIZY MODALNEJ DLA MODELU 4............................................................................................................... ..85 10.3. WYNIKI ANALIZY SEJSMICZNEJ DLA MODELU 1.............................................................................................................89 10.4. WYNIKI ANALIZY SEJSMICZNEJ DLA MODELU 4.............................................................................................................89

11. WYMIAROWANIE WYBRANYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI USZTYWNIAJĄCEJ: ŚCIAN I NADPROŻY.............................................................................................................................................. .90

11.1. ŚCIANY ................................................................................................................................................... ..........90 11.2. NADPROŻA ...................................................................................................................................................... .124

3

12. PODSUMOWANIE.............................................................................................. ............................153 12.1. POZIOME PRZEMIESZCZENIA SZCZYTU BUDYNKU.............................................................................................. ............153 12.2. NAPRĘŻENIA W ŚCIANACH TRZONU.......................................................................................................... ................155 12.3. WYNIKI ANALIZY MODALNEJ................................................................................................................... ................156 12.4. WYNIKI ANALIZY SEJSMICZNEJ...................................................................................................................... ..........160 12.5. WARTOŚCI SIŁ W NADPROŻACH............................................................................................................ ..................160 12.6. OBLICZONE ZBROJENIE.................................................................................................................... ....................161 12.7. PORÓWNANIE PROGRAMÓW OBLICZENIOWYCH............................................................................................................161

13. ZAKOŃCZENIE..................................................................................................................... ..........163

LITERATURA........................................................................................................................... ...............165

ZESTAWIENIE OPROGRAMOWANIA................................................................................................... .168

PODZIĘKOWANIA .............................................................................................................. ...................168

ZAŁĄCZNIKI......................................................................................................................... ..................169

A. WPROWADZENIE DO PROBLEMATYKI OBCIĄŻEŃ SEJSMICZNYCH BUDOWLI. ...................170A.1. CO TO JEST TRZĘSIENIE ZIEMI ............................................................................................................. ....................170A.2. ZNISZCZENIA WYWOŁANE TRZĘSIENIAMI ZIEMI...................................................................................................... ..........171A.3. OBCIĄŻENIA WYWOŁYWANE PRZEZ TRZĘSIENIA ZIEMI.......................................................................................................172A.4. METODA SPEKTRUM ODPOWIEDZI DLA UKŁADÓW O JEDNYM STOPNIU SWOBODY. ....................................................................175

B. PODSTAWY TEORETYCZNE OBLICZEŃ STATYCZNYCH W PROGRAMIE BW DLA WINDOWS............................................................................................................................................................... ..180

B.1. METODA CIĄGŁYCH POŁĄCZEŃ DLA PŁASKIEGO UKŁADU DWÓCH ŚCIAN USZTYWNIAJĄCYCH ........................................................180B.2. OBLICZENIA STATYCZNE WG METODY CIĄGŁYCH POŁĄCZEŃ – SFORMUŁOWANIE OGÓLNE WYKORZYSTANE W BW ...........................193

C. PODSTAWY TEORETYCZNE OBLICZEŃ DYNAMICZNYCH W PROGRAMIE BW DLA WINDOWS ............................................................................................................................................................... ..207

C.1. MODEL DYNAMICZNY BUDYNKU ................................................................................................................ ................207C.2. DRGANIA WŁASNE ................................................................................................................................. ...............210C.3. DRGANIA BUDYNKU PRZY WYMUSZENIACH SEJSMICZNYCH – METODA SPEKTRUM ODPOWIEDZI DLA UKŁADÓW DYSKRETNYCH...............211

D. PODSTAWY TEORETYCZNE OBLICZEŃ STATYCZNYCH W PROGRAMIE ROBOT MILLENNIUM............................................................................................................................................................... ..215

D.1. RÓWNANIA ROZWIĄZYWANE PODCZAS OBLICZEŃ KONSTRUKCJI...........................................................................................215D.2. ANALIZA STATYCZNA ......................................................................................................................................... .....215

E. PODSTAWY TEORETYCZNE OBLICZEŃ DYNAMICZNYCH W PROGRAMIE ROBOT MILLENNIUM........................................................................................................................ ..................217

E.1. ANALIZA MODALNA........................................................................................................................................... ......217E.2. ANALIZA SEJSMICZNA.................................................................................................................... .........................217

F. OUTRIGGERY...................................................................................................................... .............219F.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O OURIGGERACH.............................................................................................. ..................219F.2. WPŁYW OUTRIGGERÓW NA PRACĘ BUDYNKU DI-WANGTOWER..........................................................................................220

G. WYZNACZENIE WARTOŚCI OBCIĄŻENIA WIATREM................................................................ ...223G.1. APROKSYMACJA WYKRESU SIŁ POPRZECZNYCH ............................................................................................................223G.2. WYZNACZENIE ROZKŁADU OBCIĄŻENIA WIATREM.............................................................................................. ..............225

H. PORÓWNANIE MAS WYBRANYCH ELEMENTÓW MODELI Z PROGRAMU BW I ROBOT MILLENNIUM....................................................................................................................... ...................226

I. 100 NAJWYŻSZYCH BUDYNKÓW ŚWIATA W 2007 WG COUNCIL ON TALL BUILDINGS AND URBAN HABITAT (CTBUH) .............................................................................................................. .....227

J. ZDJĘCIA BUDYNKU DI-WANG TOWER......................................................................................... .233

K. DANE DO OBLICZEŃ STATYCZNYCH PRZY UŻYCIU PROGRAMU BW DLA WINDOWS..........237

L. WYNIKI OBLICZEŃ STATYCZNYCH PRZY UŻYCIU PROGRAMU BW DLA WINDOWS..............238

M. DANE DO OBLICZEŃ DYNAMICZNYCH PRZY UŻYCIU PROGRAMU BW DLA WINDOWS.......239

4

N. WYNIKI OBLICZEŃ DYNAMICZNYCH PRZY UŻYCIU PROGRAMU BW DLA WINDOWS...........240

O. WYBRANE DANE DO OBLICZEŃ STATYCZNYCH I DYNAMICZNYCH PRZY UŻYCIU PROGRAMU ROBOT MILLENNIUM....................................................................................... ...............241

P. WYBRANE WYNIKI Z OBLICZEŃ STATYCZNYCH I DYNAMICZNYCH PRZY UŻYCIU PROGRAMU ROBOT MILLENNIUM...................................................................................................... ......................242

Q. SPIS RYSUNKÓW ZWYMIAROWANYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCJI TRZONU....................243RYS_1 – POZ. 1.1 ELEMENT 2 TRZONU GR. 75 CM SKALA 1:20.......................................................................................243RYS_2– POZ. 1.2 ELEMENT 2 TRZONU GR. 60 CM SKALA 1:20........................................................................................243RYS_3 – POZ. 2.1.1 NADPROŻE ŻELBETOWE SKALA 1:20...............................................................................................243RYS_4 – POZ. 2.1.2 NADPROŻE ŻELBETOWE ZE ZBROJENIEM DIAGONALNYM SKALA 1:20..............................................243RYS_5– POZ. 2.1.3 NADPROŻE STALOWE SKALA 1:20....................................................................................................243RYS_6 – POZ. 2.2.1 NADPROŻE ŻELBETOWE SKALA 1:20...............................................................................................243RYS_7– POZ. 2.2.2 NADPROŻE ŻELBETOWE ZE ZBROJENIEM DIAGONALNYM SKALA 1:20...............................................243RYS_8 – POZ. 2.2.3 NADPROŻE STALOWE SKALA 1:20...................................................................................................243

5

1. Wstęp

Historia budynków wysokich zaczęła się ponad 130 lat temu. Miejscem ich narodzin

jest Chicago, gdzie pod koniec XIX wieku powstała pierwsza szkoła budownictwa wysokiego.

Niewątpliwym impulsem do rozwoju budownictwa wysokiego było wynalezienie w 1853 roku

przez Elishę Otisa windy, a następnie zainstalowanie w niej w 1880 roku napędu

elektrycznego. Od samego początku wieżowce poza funkcjami użytkowymi i estetycznymi

(urozmaicanie przestrzeni miast) były symbolem prestiżu inwestora. Doprowadziło to do

rozpoczęcia na początku XX wieku pościgu za rekordami wysokości. Jednym z

najciekawszych owoców początków tej rywalizacji jest wybudowany w 1931 roku w Nowym

Jorku Empire State Building. Przez ponad 40 lat był najwyższym budynkiem świata, a dziś po

ponad 70 latach znajduje się wśród dziesięciu najwyższych.

Rozwój technologii (szczególnie betonu) pozwolił nie tylko na wznoszenie coraz wyższych

wieżowców, ale także na urozmaicanie ich formy i kształtów. Widać to szczególnie w

budynkach wysokich z ostatnich dwudziestu lat. Współczesne projekty burzą stereotypy

wysokościowców w postaci przeszklonych prostopadłościanów i zaskakują skomplikowanymi

formami nawiązującymi do historii, tradycji a nawet religii. Przykładem takiego obiektu są

Petronas Towers w Kuala Lumpur. Dwie bliźniacze wieże, których rzuty bazują na planie

islamskiej gwiazdy, stanowią symboliczną bramę miasta i całej Malezji.

Wieżowce sprzyjają rozwojowi nowatorskich rozwiązań nie tylko w zakresie konstrukcji, ale

także w dziedzinach komunikacji pionowej, ograniczenia zużycia energii, poprawienia komfortu

przebywania człowieka w budynku, czy też bezpieczeństwa przebywających w nim ludzi.

Organizacja działania i nowoczesne wyposażenie budynków wysokich sprawia, że zaliczane

są one do kategorii „budynków inteligentnych”. [Paw06], [Paw04], [Kap03]

Projektowanie budynków wysokich o skomplikowanych formach ułatwił rozwój technologii

komputerowych. Większa moc obliczeniowa komputerów pozwala na tworzenie bardziej

zaawansowanych programów inżynierskich, które umożliwiają budowanie modeli coraz lepiej

odwzorowujących rzeczywiste konstrukcje. Jednak rozwój programów inżynierskich (np.

stosowanie nowych rozwiązań obliczeniowych z innych dziedzin takich jak mechanika i

inżynieria kosmiczna) do projektowania konstrukcji jest ograniczony. Szczególnie dotyczy to

obliczeń dynamicznych – zachowania się budynków podczas trzęsień ziemi i huraganów.

Ograniczenie to wynika z niewielkiej liczby badań i pomiarów zachowania się rzeczywistych

budynków i uniemożliwia weryfikacje dokładności obliczeń. Niewielu naukowców może

pozwolić sobie na udoskonalanie modeli na podstawie pomiarów na rzeczywistych

6

konstrukcjach. Nowoczesna aparatura pomiarowa pozwalająca mierzyć wychylenia budynków

i przyspieszenia zainstalowana jest w niewielu budynkach. [Li04]

Jednym z obiektów wyposażonych w systemy pomiarowe jest Di-Wang Tower. Zlokalizowany

w centrum Shenzhen w południowych Chinach, ok. 2 km od granicy z Hongkongiem. Oddany

do użytku w 1996 roku budynek ma 79 kondygnacji i 325 metrów wysokości (od poziomu

terenu do poziomu dachu). Zastosowano w nim konstrukcję składającą się z wewnętrznego

żelbetowego trzonu i zewnętrznych stalowych słupów połączonych z żelbetowym trzonem za

pomocą kratownicowych outriggerów (wysięgników) rozmieszczonych na 4 poziomach wzdłuż

wysokości budynku. Budynek zaprojektowano zgodnie z przepisami chińskich norm oraz na

podstawie badań w tunelu aerodynamicznym Boundry Layer Wind Tunnel Laboratory na

uniwersytecie Western Ontario. [BLWTL], [Kim95], [Li04], [Xu03] W skład apartury pomiarowej

zainstalowanej w budynku wchodzą między innymi umieszczone na masztach na wysokości

348 m anenometry (do pomiaru kierunku i prędkości wiatru), zainstalowane na 69 kondygnacji

na wysokości 298 m akcelerometry oraz urządzenia do pomiaru przemieszczeń [Xu03]. Dzięki

tym urządzeniem udało się zarejestrować zachowanie budynku w czasie dwóch tajfunów: Sally

we wrześniu 1996 roku oraz Dujuan we wrześniu 2003 roku [Li03], [Xui03c]. Uzyskane

pomiary posłużyły do wielu badań, przede wszystkim Q.S. Li, który analizował odpowiedź

dynamiczna budynku w czasie tajfunów [Li02], a także porównywał wyniki obliczeń

dynamicznych z wynikami pomiarów [Li04].

Rys. 1.1 Widok budynku Di Wang Tower

7

2. Cel pracyCelem niniejszej pracy jest zbudowanie cyfrowego modelu, wykonanie obliczeń statycznych,

dynamicznych i sejsmicznych budynku Di-Wang Tower w dwóch programach obliczeniowych:

BW dla Windows oraz Robot Millennium. Następnie na podstawie uzyskanych wartości sił

wewnętrznych zwymiarowanie wybranych elementów wewnętrznego trzonu. Informacje o

konstrukcji budynku zaczerpnięto z publikacji [Kim95], [Li04] oraz [Xu03].

8

3. Opis techniczny budynku

3.1. Dane ogólne

3.1.1. Lokalizacja

Ukończony w 1996 roku Di-Wang Tower (Shun Hing Square) zlokalizowany jest w Shenzhen.

Miasto to leży w południowo-wschodnich Chinach w prowincji Guangdong ok. 2 km od granicy

z Hongkongiem. Ze względu na położenie w strefie przybrzeżnej często występują tam

tropikalne cyklony oraz monsunowe wiatry. Shenzhen uzyskało prawa miejskie w 1979 roku.

Rok później utworzono tam specjalną strefę ekonomiczną. Dzięki temu w ciągu dwudziestu lat

z niewielkiej rybackiej wioski, przerodziło się w wielomilionową nowoczesną metropolię.

Obecnie jest wielkim ośrodkiem przemysłowym i naukowo – technicznym z sektorem

zaawansowanych technologii.

Od 30 lipca 1993 roku Sheznhen jest miastem partnerskim Poznania. Miasta współpracują w

zakresie gospodarki, handlu, nauki, techniki,edukacji ochrony zdrowia i lecznictwa. [I2]

Adres budynku : Shun Hing Square - Di Wang Tower, 5002 Shen Nan Road East, Shenzhen,

GD China

Rys. 3.1 Lokalizacja miasta Shenzhen

9

3.1.2. Opis budynku

79 kondygnacyjny budynek biurowy Di-Wang Tower wraz z 33 kondygnacyjnym budynkiem

apartamentowym i 4 kondygnacyjnym centrum handlowym tworzą kompleks Di-Wang

Development, Zaprojektowane przez K.Y. Cheung Design Associates obiekty zostały oddane

do użytku w 1996 roku.

Łączna powierzchnia zabudowy wynosi 6 772 m2.

Tablica 3.1. Zestawienie danych o budynkach kompleksu Di-Wang Development [Kim95, Li04]

Budynek Liczba kondygnacji Funkcje Powierzchnia

użytkowa Wysokość budynku

Biurowiec 79Biurowe (68 kond.)

Techniczne (11 kond.)138 075 m2 325 m

Apartamentowiec 33 Apartamenty 43 125 m2 114 m

Centrum handlowe 4 Centrum handlowe 22 013 m2 21 m

Wszystkie budynki posiadają 3 kondygnacje podziemne

Zasadnicza część budynku Di-Wang Tower ma 324,95 m wysokości, na jego szczycie

zainstalowane są dwa 59 metrowe maszty, które sięgają 383,95 m (od poziomu terenu). Rzut

budynku składa się z części prostokątnej o wymiarach 43,5 x 35,5 m, oraz dwóch bocznych

półkoli o promieniu 12,5 m. Górna część budynku (od 290 m) zakończona jest dwoma

okrągłymi wieżami.

W budynku występują dwa rodzaje zagospodarowania powierzchni :

● open space – umożliwiający dowolną aranżacje całej kondygnacji (Rys. 3.2)

Powierzchnia kondygnacji 2161.00 m2

Powierzchnia publiczna 308.00 m2

Powierzchnia użytkowa 1853.00 m2

● z podziałem na pomieszczenia o powierzchniach od 87 m2 do 140 m2 (Rys. 3.3)

Powierzchnia kondygnacji 2161.00 m2

Powierzchnia publiczna 739.00 m2

Powierzchnia użytkowa 1422.00 m2

10

Rys. 3.2 Zagospodarowanie powierzchni typu open space [Kim95]

Rys. 3.3 Zagospodarowanie powierzchni z podziałem na pomieszczenia [Kim95]

Na podstawie Rys. 5 z publikacji [Li04] przyjęto wysokości i rzędne kondygnacji. Przekrój

pionowy przez budynek przedstawia Rys. 3.8.

11

Tablica 3.2. Opis kondygnacji

Nr Wysokość Rzędna Nr Wysokość Rzędna Nr Wysokość Rzędna Nr Wysokość Rzędna -3 3,50 -14,00 21 3,75 91,95 41 3,75 170,70 61 3,75 249,40-2 3,50 -10,50 22 3,75 95,70 42 3,75 174,45 62 3,75 253,15-1 7,00 -7,00 23 3,75 99,45 43 4,10 178,20 63 3,75 256,901 6,00 0,00 24 3,75 103,20 44 4,10 182,30 64 3,75 260,652 6,00 6,00 25 3,83 106,95 45 6,75 186,40 65 3,75 264,403 5,00 12,00 26 7,42 110,78 46 3,75 193,15 66 3,75 268,154 7,48 17,00 27 3,75 118,20 47 3,75 196,90 67 3,75 271,905 7,48 24,48 28 3,75 121,95 48 3,75 200,65 68 3,75 275,656 7,50 31,95 29 3,75 125,70 49 3,75 204,40 69 3,83 279,407 3,75 39,45 30 3,75 129,45 50 3,75 208,15 70 7,42 283,238 3,75 43,20 31 3,75 133,20 51 3,75 211,90 71 3,65 290,659 3,75 46,95 32 3,75 136,95 52 3,75 215,65 72 3,65 294,30

10 3,75 50,70 33 3,75 140,70 53 3,75 219,40 73 4,00 297,9511 3,75 54,45 34 3,75 144,45 54 3,75 223,15 74 4,00 301,9512 3,75 58,20 35 3,75 148,20 55 3,75 226,90 75 4,00 305,9513 3,75 61,95 36 3,75 151,95 56 3,75 230,65 76 3,75 309,9514 3,75 65,70 37 3,75 155,70 57 3,75 234,40 77 3,75 313,7015 3,75 69,45 38 3,75 159,45 58 3,75 238,15 78 3,75 317,4516 3,75 73,20 39 3,75 163,20 59 3,75 241,90 79 3,75 321,2017 3,75 76,95 40 3,75 166,95 60 3,75 245,65 Dach 324,95

3.2. Opis konstrukcjiKonstrukcja budynku Di-Wang Tower składa się z wewnętrznego żelbetowego trzonu oraz

zewnętrznej stalowej ramy. Oba elementy połączone są ze sobą za pomocą outriggerów

(wysięgników) na czterech kondygnacjach. Pomiędzy słupami w osiach B i G zastosowano

pionowe stężenie biegnące wzdłuż wysokości budynku. Typowy widok konstrukcji przedstawia

Rys. 3.4. Szczegółowy opis elementów konstrukcji przedstawiono poniżej.

3.2.1. TrzonSymetryczny żelbetowy trzon umieszczony jest centralnie na planie budynku i zajmuje ok. 20%

powierzchni rzutu. Składa się on z 6 żelbetowych elementów (dwa ceowe na brzegach i cztery

dwuteowe w środku) połączonych stalowymi belkami nadprożowymi (Rys. 3.4). W pracy

dyplomowej przyjęto nadproża ze stali 18G2A, o przekroju dwuteowym HE 1000x584 i

wymiarach: 1000x314x35,5x64 (wys. przekroju x szer. półki x gr. środnika x gr. półki [mm] ) (p.

6.1.3). Trzon sięga do 72 kondygnacji. Grubość jego ścian zmienia się na wysokości, do 45

kondygnacji wynosi 750 mm, od 46 do 72 kondygnacji – 600 mm. Nadproża połączone są

sztywno z trzonem [Li04, s.1314]. W publikacji [Li04] podano, że trzon wykonany był z betonu

C55. Według Polskiej Normy [N5] odpowiada to betonowi C45/55, i taki beton przyjęto w

obliczeniach w pracy dyplomowej. Przyjęto zbrojenie stalą AIIIN.

12

Rys. 3.4 Opis elementów konstrukcji dla powtarzalnych kondygnacji

3.2.2. Rama zewnętrznaStalowe słupy wraz z łączącymi je stalowymi ryglami tworzą zewnętrzną ramę. Słupy wykonane

są z przekrojów skrzynkowych. Do 62 kondygnacji wypełnione są betonem klasy C45/55 w celu

zwiększenia ich sztywności. Przekroje poprzeczne mają wymiary od 1600 x 1500 mm do 600 x

600 mm. Zestawienie wszystkich przekrojów zamieszczono w Tablicy 3.3 Stalowe rygle

połączone są sztywno ze słupami [Li04]. Przyjęto rygle o przekrojach dwuteowych wg

japońskiej normy JIS G 3192 (1994): H 500 x 300 x 11 x 15 (wys. przekroju x szer. półki x gr.

środnika x gr. półki [mm] ) o w= 2418 cm3 (p. 6.1.2). Podczas projektowania w pracy

dyplomowej rygla ramy zewnętrznej przyjęto stal 18G2A.

Wzdłuż osi B i G (Rys. 3.5) znajdują się dwa pionowe pasma stężeń łączących słupy 1 i 4.

Sięgają one 70 kondygnacji. W zależności od wysokości wykonane są one z różnych profili.

Listę profili przedstawiono w Tablicy 3.4, a ich rozmieszczenie wzdłuż wysokości budynku

ilustruje rysunek 3.6

13

Rys. 3.5 Oznaczenia elementów ramy zewnętrznej

Tablica 3.3. Przekroje słupów zewnętrznych (powyżej 62 kondygnacji profile stalowe bez wypełnienia betonem)

Nrsłupa

Przekrój stalowy Wypełnienie betonem

h[mm]

b[mm]

tw

[mm]tf

[mm]Ix

[cm 4]Iy

[cm2]As

[cm2]hb

[mm]bb

[mm]Ixb

[cm 4]Iyb

[cm 4]Ab

[cm2]

1* 1500 1600 36 40 8 540 799 8 983 992 2302,40 1420 1528 36 459 200 42 216 008 21 697,6

2** 1500 1100 36 36 5 991 754 3 709 650 1573,44 1452 1028 24 950 000 12 930 000 14 926,6

3** 1300 1000 36 36 3 987 713 2 655 071 1381,44 1252 928 14 320 000 8 178 263 11 618,6

4* 1000 1000 24 24 1 488 442 1 488 442 936,96 952 952 6 844 891 6 844 891 9 063,0

5** 600 600 14 14 187 922 187 922 328,16 572 572 892 078 892 078 3 271,8

* - źródło [Li04]** - domysły

Tablica 3.4. Profile stężeń stalowych w osiach B i G

Nr kondygnacji Oznaczenie profiluh

[mm]b

[mm]tw

[mm]tf

[mm]

3 – 21 H 900 x 300 x 22 x 55 900 300 22 55

23 – 38 H 900 x 300 x 16 x 32 900 300 16 32

39 – 40 H 900 x 300 x 22 x 65 900 300 22 65

42 – 66 RH 800 x 300 x 14 x 26 800 300 14 26

14

Rys. 3.6 Rozmieszczenie stężeń pionowych w budynku [Li04].

3.2.3. Stropy

W części nadziemnej stropy składają się ze stalowych belek zamocowanych przegubowo z

jednej strony do żelbetowego trzonu, z drugiej do stalowej ramy. W prostokątnej części

budynku rozpiętość belek wynosi ok. 12 m, natomiast w bocznych półkolach od 6 do 12,5 m.

W pracy dyplomowej przyjęto przekroje dwuteowe wg japońskiej normy JIS G 3192 (1994): H

500 x 300 x 11 x 15 (wys. przekroju x szer. półki x gr. środnika x gr. półki [mm] ) ze stali

18G2A (p. 6.1.1). Na belkach ułożona jest płyta żelbetowa grubości 10 cm wykonana na

pomostach z blach profilowanych [Li04].

W części podziemnej przyjęto stropy żelbetowe płytowo żebrowe. Grubość płyty 20 cm oraz

belki o żelbetowe o wymiarach 70 x 40 cm. Przyjęto beton klasy C45/55, stal zbrojeniową AIIIN

– patrz punkt 6.1.4 .

15

3.2.4. Outriggery

Na 6, 26, 45 oraz 70 kondygnacji znajdują się outriggery - wysięgniki. Są to stalowe

wiązary łączące słupy ramy zewnętrznej z żelbetowym trzonem. Połączenia te są

połączeniami sztywnymi. Na każdej kondygnacji znajduje się 12 outriggerów rozmieszczonych

wzdłuż osi od B do G (Rys. 3.). W pracy dyplomowej przyjęto że outriggery wykonane są ze

stali 18G2A.

Wysokości wiązarów na poszczególnych kondygnacjach wynoszą:

• na 2 kondygnacji – 7,50 m

• na 22 kondygnacji – 7,42 m

• na 41 kondygnacji – 6,75 m

• na 66 kondygnacji – 7,42 m

Rozwiązanie konstrukcyjnie outriggera na kondygnacji 45 przedstawiona Rys. 3.7 [Li04,

s.1316], (Uwaga: w publikacji [Li04, s.1315] podano błędnie, że rysunek przedstawia

outrigger na kondygnacji 26 Błąd sprostowano na podstawie porównania wymiarów

kształtowników stalowych stężeń pionowych pokazanych na rysunkach 4 i 5 tej publikacji) .

Wpływ outriggerów na prace budynku opisano w załączniku F.

Rys. 3.7 Widok outriggera na kondygnacji 45 [Li04]

16

Rys. 3.8 Rozmieszczenie outriggerów: (a) na wysokości, (b) na rzucie

Tablica 3.5. Przyjęte przekroje elementów outriggera

Elementy outriggera Oznaczenie profiluh

[mm]b

[mm]tw

[mm]tf

[mm]

Pasy 500x300x80x16 500 300 80 16

Skratowanie 1500x300x80x16 1500 300 80 16

Oznaczenia jak w Tablicy 3.2

17

3.2.5. Stężenie portaloweSymbolem Di-Wang Tower jest portalowe wejście do budynku. Składa się ono z dwóch bardzo

grubych ścian żelbetowych oraz stalowego stężenia w kształcie litery A (Rys. 3.9). Na

podstawie [Kim95] i Rys H.2 przyjęto że ściana portalu ma 300 cm grubości i wykonana jest z

betonu klasy C45/55. Przekroje stężenia przyjęto na podstawie rysunku na stronie 248 [Kim95]

ze stali 18G2A. Wymiary przekrojów zestawiono w Tablicy 3.6.

Rys. 3.9 Portalowe wejście do budynku (oznaczenia jak w Tablicy 3.6)

Tablica 3.6. Przyjęte przekroje elementów stężenia portalowego

Elementy stężenia portalowego Oznaczenie profilu

h[mm]

b[mm]

tw

[mm]tf

[mm]

1 1700x1200x60x20 1700 1200 60 20

2 500x500x25x25 500 500 25 25

3 1200x1200x25x25 1200 1200 25 25

Oznaczenia elementów Rys. 3.9Oznaczenia wymiarów jak w Tablicy 3.2

3.2.6. FundamentyBudynek posadowiony jest na kesonach [Kim95].

18

4. ObciążeniaDo projektowania rzeczywistej konstrukcji przyjmowano obciążenia zgodnie z przepisami

chińskich norm GBJ 9-87. Chińskie przepisy nie wymagają analizy sejsmicznej dla budynków

w mieście Shenzhen, ale władze miasta nakazują wykonanie takich badań dla budynków

wysokich. Analizę sejsmiczną dla budynku Di-Wang Tower przeprowadzono zgodnie z

przepisami GBJ 11-89 dla VII strefy aktywności sejsmicznej w skali MM i kategorii gruntu SC II

przy 3% tłumieniu [Li04].

Do obliczeń w pracy zebranie obciążeń wykonano zgodnie z przepisami zawartymi w

Eurocodach dotyczących oddziaływań na konstrukcje [N1]. Obciążenie wiatrem przyjęto na

podstawie [Kim95] (szczegółowy opis w p. 4.6 i Załącznik G). Szczegóły rozwiązań warstw

stropów zaczerpnięto z istniejącego budynku biurowego BTA Office Center zlokalizowanego w

Warszawie przy ulicy Rzymowskiego 34 [I4].

19

4.1. Zebranie obciążeń dla powierzchni biurowych

Rodzaj obciążeniaWartość

Charakterystyczna[kN/m2]

Współczynnik

częściowy γ

WartośćObliczeniowa

[kN/m2]Obciążenia stałe

Wykładzina podłogowa0,07 kN/m2 0,07 1,35 0,09Warstwa wyrównawcza z zap. cem. 3 cm23,00 kN/m3 * 0,03 m 0,69 1,35 0,93Folia izolacyjna0,05 kN/m2 0,05 1,35 0,07Wełna mineralna – Stroprock 5 cm [I5]1,61 kN/m3 * 0,05 m 0,08 1,35 0,11Płyta żelbetowa 10 cm24,00 kN/m3 * 0,10 m 2,40 1,35 3,24Blacha fałdowa 0,18 kN/m2 0,18 1,35 0,24Stalowe belki stropowe (H 600x30x12x20)1,47 kN/m / 2,18 m 0,67 1,35 0,90Sufit podwieszany0,01 kN/m2 0,01 1,35 0,14

Suma 4,24 1,35 5,72Obciążenia użytkowe

Powierzchnia użytkowa kategorii B (1)

3,00 kN/m2 3,00 1,50 4,50Obciążenie ściankami działowymi (2)

1,20 kN/m2 1,20 1,50 1,80Suma 4,20 1,50 6,30

Razem 8,44 12,02(1) Powierzchnia użytkowa kategorii B – Powierzchnia biurowa [N2, Tab. 6.1]

(2) Ścianki działowe o ciężarze własnym ≤ 3,0 kN/m [N2, pkt. 6.3.1.2]

20

4.2. Zebranie obciążeń dla powierzchni komunikacyjnych

Rodzaj obciążeniaWartość

Charakterystyczna[kN/m2]

Współczynnik

częściowy γ

WartośćObliczeniowa

[kN/m2]Obciążenia stałe

Płytki granitowe 4 cm30,00 kN/m3 * 0,04 m 1,20 1,35 1,62Warstwa wyrównawcza z zap. cem. 3 cm23,00 kN/m3 * 0,03 m 0,69 1,35 0,93Folia izolacyjna0,05 kN/m2 0,05 1,35 0,07Wełna mineralna – Stroprock 5 cm 1,61 kN/m3 * 0,05 m 0,08 1,35 0,11Płyta żelbetowa 10 cm24,00 kN/m3 * 0,10 m 2,40 1,35 3,24Blacha fałdowa 0,18 kN/m2 0,18 1,35 0,24Stalowe belki stropowe (H 600x30x12x20)1,47 kN/m / 2,18 m 0,67 1,35 0,90Sufit podwieszany0,01 kN/m2 0,01 1,35 0,14

Suma 5,35 1,35 7,23Obciążenia użytkowe

Powierzchnia użytkowa kategorii C3 (1)

5,00 kN/m2 5,00 1,50 7,50Suma 5,00 1,50 7,50

Razem 10,35 14,73(1) Powierzchnia użytkowa kategorii C3– Powierzchnie, na których mogą gromadzić się ludzie [N2, Tab. 6.1]

21

4.3. Zebranie obciążeń dla powierzchni pomieszczeń technicznych

Rodzaj obciążeniaWartość

Charakterystyczna[kN/m2]

Współczynnik

częściowy γ

WartośćObliczeniowa

[kN/m2]Obciążenia stałe

Warstwa wyrównawcza z zap. cem. 5 cm23,00 kN/m3 * 0,05 m 1,15 1,35 1,55Folia izolacyjna0,05 kN/m2 0,05 1,35 0,07Wełna mineralna – Stroprock 5 cm1,61 kN/m3 * 0,05 m 0,08 1,35 0,11Płyta żelbetowa 10 cm24,00 kN/m3 * 0,10 m 2,40 1,35 3,24Blacha fałdowa 0,18 kN/m2 0,18 1,35 0,24Stalowe belki stropowe (H 600x30x12x20)1,47 kN/m / 2,18 m 0,67 1,35 0,90Sufit podwieszany0,01 kN/m2 0,01 1,35 0,14

Suma 4,61 1,35 6,23Obciążenia użytkowe

Obciążenie użytkowe (1)

5,00 kN/m2 5,00 1,50 7,50Suma 5,00 1,50 7,50

Razem 9,61 13,73(1) Wartość tą przyjęto na podstawie ciężarów przykładowych urządzeń technicznych :Centrala klimatyzacyjna firmy Menerga: Q = 23,0 kN, q = 3,0 kN/m2 [I6]Rozdzielnica prądowa firmy Transforma: Q = 6,0 kN, q = 5,0 kN/m2 [I7]

22

4.4. Zebranie obciążeń dla powierzchni kondygnacji podziemnych

Rodzaj obciążeniaWartość

Charakterystyczna[kN/m2]

Współczynnik

częściowy γ

WartośćObliczeniowa

[kN/m2]Obciążenia stałe

Posadzka cementowa zbrojona 10 cm24,00 kN/m3 * 0,10 m 2,40 1,35 3,24Folia izolacyjna0,05 kN/m2 0,05 1,35 0,07Wełna mineralna – Stroprock 5 cm 1,61 kN/m3 * 0,05 m 0,08 1,35 0,11Płyta żelbetowa 20 cm24,00 kN/m3 * 0,20 m 4,80 1,35 6,48Belka żelbetowa (70x40 cm)24,00 kN/m3 * 0,70m *0,40 m / 2,18 m 3,08 1,35 4,16

Suma 10,41 1,35 14,05Obciążenia użytkowe

Kategoria powierzchni ruchu F (1)

2,50 kN/m2 2,50 1,50 3,75Suma 2,50 1,50 3,75

Razem 12,91 17,80(1) Kategoria powierzchni ruchu F – ciężar całkowity pojazdu < 30 kN[N2, Tab. 6.8]

23

4.5. Zebranie obciążeń dla dachu

Rodzaj obciążeniaWartość

Charakterystyczna[kN/m2]

Współczynnik

częściowy γ

WartośćObliczeniowa

[kN/m2]Obciążenia stałe

Żwir gruby 10 cm18,00 kN/m3 * 0,10 m 1,80 1,35 2,43Papa wierzchnia (termozgrzewalna)0,10 kN/m2 0,10 1,35 0,14Papa podkładowa (mocowana mech)0,10 kN/m2 0,10 1,35 0,14Wełna mineralna – Monrock Max 18 cm 1,30 kN/m3 * 0,18 m 0,23 1,35 0,32Płyta żelbetowa 10 cm24,00 kN/m3 * 0,10 m 2,40 1,35 3,24Blacha fałdowa 0,18 kN/m2 0,18 1,35 0,24Stalowe belki stropowe (H 600x30x12x20)1,47 kN/m / 2,18 m 0,67 1,35 0,90

Suma 5,48 1,35 7,40Obciążenia użytkowe

Kategoria obciążenia pow. dachu H (1)

1,00 kN/m2 1,00 1,50 1,50Suma 1,00 1,50 1,50

Razem 6,48 8,90 (1) Kategoria obciążenia powierzchni dachu H – Dach bez dostępu z wyjątkiem zwykłego utrzymania i napraw [N2, Tab. 6.9]

24

4.6. Wartości obciążenia wiatrem przyjęte do obliczeń

Podczas projektowania budynku obciążenie wiatrem wyznaczano na podstawie: obliczeń

według normy chińskiej [N7] i badań w tunelu aerodynamicznym Boundry Layer Wind Tunnel

Laboratory na uniwersytecie Western Ontario [Cro93, BLWTL]. Wartości sił poprzecznych

obliczone dla obciążenia wiatrem wg [N7], BLWTL oraz przyjętych do projektowania

przedstawiono na rysunku 4.1. [Kim95, Li04]

Rys. 4.1 Siły poprzeczne wywołane wiatrem po kierunku Y [Kim95]

Rys. 4.2 Oznaczenie kierunków

25

Tablica 4.1 Wartości obciążenia wiatrem q po kierunku y ( q y z ) i x ( q x z ) w kN/m

z [m]od poziomu

terenuq y z q x z

0,0 67,45 34,93

10,0 76,73 39,73

20,0 86,15 44,62

30,0 95,69 49,56

40,0 105,32 54,54

50,0 115,01 59,56

60,0 124,71 64,58

70,0 134,40 69,60

80,0 144,04 74,59

90,0 153,61 79,55

100,0 163,06 84,44

110,0 172,37 89,27

120,0 181,50 94,00

130,0 190,43 98,62

140,0 199,11 103,11

150,0 207,51 107,47

160,0 215,61 111,66

170,0 223,37 115,68

180,0 230,75 119,50

190,0 237,72 123,11

200,0 244,26 126,49

210,0 250,32 129,63

220,0 255,88 132,51

230,0 260,90 135,11

240,0 265,35 137,41

250,0 269,19 139,40

260,0 272,40 141,07

270,0 274,93 142,38

280,0 276,77 143,33

290,0 277,86 143,90

298,0 278,19 144,07

W pracy dyplomowej na podstawie wykresu sił poprzecznych przyjętych do projektowania

(Rys. 4.1) wyznaczono wartości i rozkład obciążenia wiatrem, który przyjęto do obliczeń.

Wyprowadzenie wzorów opisujących rozkład obciążenia wiatrem przedstawiono w

załączniku G. Wyznaczone w załączniku G obciążenie wiatrem po kierunku podłużnym (Y)

26

określa wzór 4.1, a po kierunku poprzecznym (X) wzór 4.2. Stablicowane wartości tych funkcji

zestawiono w Tablicy 4.1.

q y z =67,4549030,918568 z0,000921 z2−0,000004 z3 (4.1)

q x z=Lx

Lyq y z (4.2)

4.7. Obciążenie śniegiemZgodnie z informacjami zawartymi [I8] w mieście Shenzhen panuje klimat subtropikalny

morski. Charakteryzuje się on długim latem, krótką ciepłą zimą. Z tego względu w obliczeniach

budynku pominięto obciążenia śniegiem.

27

5. Opis wykorzystywanych programów komputerowych

5.1. BW dla WindowsBW jest systemem do modelowania i analizowania budynków wysokich. System

umożliwia analizę budynków usztywnionych przestrzennymi układami ścianowymi

z nadprożami o dowolnym rzucie, bez nakładania istotnych ograniczeń na wielkość

obliczanych konstrukcji. Obliczane budynki mogą być poddane oddziaływaniu obciążeń

statycznych: wielu dowolnie rozłożonych obciążeń poziomych, pionowych i osiadań oraz

dowolnej liczbie zestawów wymuszeń kinematycznych. System oparty jest na modelu ciągłym.

(Dokładniejszy opis metody obliczeń systemu BW dla Windows zamieszczono w

załączniku A).

System BW składa się z trzech programów:

• Preprocesora POL-3,

• Jądra obliczeniowego BW dla Windows,

• Postprocesora BW-View.

5.1.1. Preprocesor POL – 3 Służy on do budowy modelu konstrukcji, a także definiowania obciążeń. Modelowanie odbywa

się w środowisku AutoCAD dzięki czemu do budowy modelu można używać rysunków

architektonicznych. Wprowadzanie danych jest intuicyjne dzięki interfejsowi programu POL –

3. Kolejność wprowadzania danych sugerują nam opcje w menu. Po wybraniu w menu

głównym [Dane] rozwija się lista kategorii danych: Wstępne, Konstrukcja, Obciążenia,

Wydruki, Dynamika, Popraw pionowe.

• [Wstępne] – wprowadza się informacje ogólne o budynku, autorze danych, jednostki

w których podaje się dane.

• [Konstrukcja] – po wybraniu tej funkcji otwiera się nowe okno służące do budowy

modelu konstrukcji. Wprowadza się ściany, nadproża, złącza ścian, skrajnie budynku

oraz rzędne wysokości. Wszystkie dane można wprowadzać z rysunków bądź

ręcznie.

• [Obciążenia] - opcja ta służy do wprowadzania obciążeń. Możliwe jest definiowanie

różnego rodzaju obciążeń: jednostkowych, poziomych ogólnych, normowych (od

wiatru według [N3]), skupionych, pionowych oraz osiadania. Do programu

wprowadza się charakterystyczne wartości obciążeń. Zestawy i kombinacje obciążeń

definiuje się po wybraniu funkcji Ekstrema.

28

• [Wydruki] – funkcja służąca do określenia danych jakie mają znaleźć się w

dokumentacji po zakończeniu obliczeń.

• [Dynamika] – funkcja służąca do wprowadzenia danych potrzebnych do

przeprowadzenia analizy dynamicznej między innymi: ciężar stropu, spektrum

odpowiedzi, metody sumowania postaci drgań.

Rys. 5.1 Interfejs programu POL3 a) widok ogólny, b) zakładka dane

Rys. 5.1 Elementy menu: a) Konstrukcja b) Obciążenia c) Dynamika

5.1.2. Jądro obliczeniowe BWProgram ten jest odpowiedzialny za wykonanie wszystkich obliczeń. Zbudowany jest na

podstawie modelu ciągłego według algorytmu w wersji metody sił. Zastosowanie modelu

ciągłego znacznie zmniejsza wymiar zadania w porównaniu z modelami dyskretnymi. Jeszcze

istotniejszy jest fakt, że zastosowanie modelu ciągłego pozwala uniknąć problemu złego

uwarunkowania zadań.

BW dla Windows składa się z 24 modułów pierwszego rzędu. Moduły komunikują się między

29

sobą za pomocą jednego pliku dyskowego. Każdy moduł wykonuje ściśle określone zadania

takie jak:

• wczytywanie danych o konstrukcji, obciążeniach i wariantach ekstremów oraz

sprawdzenie poprawności danych,

• obliczanie charakterystyk geometrycznych elementów usztywniających,

• budowanie macierzy charakteryzujących konstrukcje oraz wektora obciążeń,

• rozwiązanie układu równań różniczkowych oraz wykonanie obliczeń wartości sił

wewnętrznych , naprężeń i przemieszczeń,

• generowanie wyników.

Generowane są tylko wyniki obliczeń zdefiniowane przez użytkownika. Program oblicza

wartości przemieszczeń, sił wewnętrznych i naprężeń dla elementów usztywniających. Zawsze

generowana są tablice zawierające charakterystyki geometryczne elementów usztywniających,

nadproży i złączy podatnych. Komplet wyprowadzonych wyników programu BW dla Windows

umożliwia bezpośrednie sprawdzenie warunku sztywności konstrukcji usztywniającej, a także

wymiarowanie przekrojów żelbetowych nadproży i ścian usztywniających.

5.1.3. Postprocesor BW-ViewJest to program służący do wizualizacji wyników obliczonych w BW dla Windows. Składa się

on z dwóch wizualizatorów: naprężeń i przemieszczeń i funkcji wzdłuż wysokości budynku.

● Wizualizator naprężeń – rysuje mapy naprężeń w ścianach konstrukcji usztywniającej

(po wykonaniu obliczeń). Program pełni również funkcje preprocesora – pozwala na

obejrzenie konstrukcji wykonanej w POL-3 przed przystąpieniem do obliczeń.

● Wizualizator przemieszczeń – wizualizuje przemieszczenia ścian konstrukcji

usztywniającej lub przemieszczenia ekstremalne wybranych punktów, co w znaczny

sposób ułatwia sprawdzenie ich poprawności i analizę.

● Wizualizator funkcji – wizualizuje m .in. funkcje obciążeń, przemieszczeń i sił w

nadprożach wzdłuż wysokości budynku.

Oprócz dwóch w/w wizualizatorów postprocesor BW-View pozwala na wizualizację zmienności

funkcji przemieszczeń i sił w nadprożach.

30

5.2. Robot MillenniumSystem Robot Millennium jest zintegrowanym programem graficznym służącym do

modelowania, analizowania i wymiarowania różnych rodzajów konstrukcji. Oparty jest na

metodzie elementów skończonych. Program pozwala na tworzenie konstrukcji,

przeprowadzenie obliczeń statycznych konstrukcji, weryfikację otrzymanych wyników,

obliczenia normowe elementów konstrukcji oraz tworzenie dokumentacji dla policzonej i

zwymiarowanej konstrukcji.

5.2.1. Podstawowe cechy systemu Robot Millennium:● w pełni graficzne definiowanie konstrukcji w edytorze graficznym (dopuszczalne jest

również wczytanie do programu pliku np. w formacie DXF zawierającego geometrię

konstrukcji przygotowaną w innym programie graficznym),

● możliwość graficznej prezentacji projektowanej konstrukcji oraz przedstawienie na ekranie

różnorakich wyników obliczeń (siły, naprężenia, przemieszczenia, praca jednocześnie w

kilku oknach na ekranie itp.),

● możliwość obliczania (wymiarowania) konstrukcji w trakcie projektowania kolejnej

konstrukcji (wielowątkowość),

● możliwość prowadzenia analizy statycznej i dynamicznej konstrukcji,

● możliwość nadawania typu pręta w trakcie tworzenia modelu konstrukcji, a nie dopiero w

modułach normowych,

● możliwość dowolnego komponowania wydruku (notki obliczeniowe, zrzuty ekranu,

kompozycja wydruku, przenoszenie obiektów do innych programów).

System Robot Millennium składa się z kilku modułów, które są odpowiedzialne za pewien etap

projektowania konstrukcji (tworzenie modelu konstrukcji, obliczenia konstrukcji,

wymiarowanie). Moduły pracują w tym samym środowisku.

Po uruchomieniu systemu Robot Millennium na ekranie pojawia się okno (Rys. 5.3)

pozwalające wybrać typ konstrukcji, która ma być projektowana:

● ramy płaskiej,

● kratownicy płaskiej,

● rusztu,

● kratownicy przestrzennej,

● ramy przestrzennej,

● płyty,

31

● powłoki,

● konstrukcji w płaskim stanie naprężenia,

● konstrukcji w płaskim stanie odkształcenia,

● konstrukcji osiowosymetrycznej,

● konstrukcji objętościowej (bryły),

Rys. 5.3 Okno wyboru konstrukcji w systemie Robot Millennium

Po wybraniu jednego z powyższych typów konstrukcji uruchamiany jest moduł dostosowany

do danego typu konstrukcji. Również menu i paski narzędziowe dostosowywane są do danego

typu konstrukcji.

Standardowy ekran (w większości modułów) systemu Robot Millennium (Rys. 5.4) zawiera

następujące elementy:

● górna belka, na której podawane są podstawowe informacje dotyczące zadania (nazwa

projektu, dane dotyczące obliczeń konstrukcji: wyniki aktualne, wyniki nieaktualne, w

trakcie obliczeń),

● menu i paski narzędziowe (również pasek narzędziowy po prawej stronie ekranu -

znajdują się tam najczęściej używane ikony) i lista wyboru ekranów systemu Robot

Millennium,

● listy wyboru następujących wielkości: węzłów, prętów, przypadków obciążenia, postaci

drgań własnych,

● pole graficzne (edytor graficzny), które służy do modelowania i wizualizacji konstrukcji,

● pasek narzędziowy znajdujący się poniżej pola graficznego, w którym znajdują się ikony

pozwalające na wyświetlenie na ekranie: numerów węzłów/prętów, numerów paneli,

symboli podpór, szkiców profili, symboli i wartości obciążeń oraz deformacji konstrukcji

dla danego przypadku obciążeniowego,

32

● pole na dole ekranu, w którym prezentowane są następujące informacje: nazwy

otwartych pól edycyjnych (viewers), współrzędne położenia kursora, używane jednostki

oraz kilka opcji których naciśnięcie powoduje otwarcie okien dialogowych (Wyświetlanie

atrybutów, Tryb kursora) lub podanie informacji na temat dostępnych zasobów.

Rys. 5.4 Standardowy ekran (większości modułów) systemu Robot Millennium

System Robot Millennium posiada układ tzw. Ekranów, który ułatwia wykonywanie kolejnych

kroków projektowania. W zależności od wykonywanej czynności (wprowadzanie modelu,

definiowanie przekrojów, obciążeń itd.) wybiera się odpowiedni ekran, po jego wybraniu

wyświetlają się specjalne okna dialogowe, pola edycji i tabele przeznaczone ściśle do

wykonywanej operacji. Ekrany na liście ustawione są tak, aby sugerować kolejne etapy

modelowania i wymiarowania konstrukcji.

5.2.2. Dostępne typy analizy w systemie Robot Millennium:● statyka liniowa,

● statyka nieliniowa (z uwzględnieniem efektu P-Delta) - nieliniowość jest tu

nieliniowością geometryczną,

● wyboczenie (nie są uwzględniane efekty II rzędu),

● analiza modalna (drgania własne konstrukcji),

● analiza modalna z uwzględnieniem sił statycznych - używana powszechnie analiza

modalna (wyznaczanie drgań własnych konstrukcji) nie uwzględnia sił statycznych; aby

zbliżyć się do realnych warunków pracy konstrukcji, w obliczeniach przeprowadzanych

w programie Robot może zostać wykorzystana analiza modalna z uwzględnieniem

przyłożonych sił statycznych,

● analiza sejsmiczna (dostępne są następujące normy: francuskie PS69, PS92 i AFPS,

33

europejska norma EC8, amerykańska UBC97, hiszpańska norma NCSR-02, rumuńska

P100-92, algierskie RPA88, RPA99 i RPA 99, marokańska RPS 2000, turecka norma

sejsmiczna, chilijska norma sejsmiczna NCh 433.Of96, chińskie normy sejsmiczne,

argentyńska norma sejsmiczna CIRSOC 103, greckie normy EAK 2000 i EAK

2000/2003, norma wydana w USA IBC 2000, norma Monako, norma kanadyjska NBC

1995, normy rosyjskie: SniP II-7-81 i SniP 2001),

● analiza spektralna,

● całkowanie równań ruchu (analiza czasowa) - dostępna jest również nieliniowa analiza

czasowa,

● analiza sprężysto-plastyczna prętów (w obecnej wersji programu analiza ta jest

dostępna tylko dla profili stalowych),

● analiza prętów pracujących tylko na ściskanie/rozciąganie oraz analiza konstrukcji

kablowych.

Statyka liniowa jest domyślnym typem analizy konstrukcji w programie tzn. jeżeli nie

zdefiniowano innego typu analizy, to program przeprowadzi obliczenia statyczne zdefiniowanej

konstrukcji.

5.2.3. Ogólne reguły budowania modelu w systemie Robot Millennium:● Nowe węzły powstają automatycznie w trakcie definiowania prętów. Jeżeli pręt

tworzony jest w oparciu o istniejące węzły - nie zostaną utworzone nowe węzły.

● Usunięcie pręta pozostawia jego węzły.

● Nadając atrybuty (podpory, profile, obciążenia, grubość panela itp.) można najpierw

ustalić ich właściwości, a następnie wskazać kolejne pręty/węzły/panele/bryły, którym

mają być przypisane. Czasami wygodniej jest odwrócić ten porządek i najpierw

utworzyć selekcję (wybrać listę prętów/węzłów/paneli/brył), a następnie określić atrybut.

Zostanie on przypisany aktualnie wybranym prętom/węzłom/panelom/bryłom.

● Typ pręta może zostać nadany już w trakcie definiowania konstrukcji.

● Elementy płytowe definiowane są jako panele modelujące stropy i ściany w budynkach.

Panele definiuje się w dwóch etapach: w pierwszym nadaje się jego kontury, w drugim

właściwości (materiał, grubość typ zbrojenia). Po zdefiniowaniu paneli i rozpoczęciu

obliczeń konstrukcji tworzona jest siatka powierzchniowych elementów skończonych

zgodnie z parametrami wybranymi w oknie dialogowym Preferencje zadania.

Procedura tworzenia siatki elementów dla danego konturu może być wielokrotnie

powtórzona. W programie dostępne są dwa rodzaje powierzchniowych elementów

34

skończonych:

• elementy trójkątne (3- lub 6-węzłowe),

• elementy czworokątne (4- lub 8-węzłowe).

W programie Robot zalecane jest używanie 3- i 4-węzłowych elementów powierzchniowych.

Funkcje wykorzystywane podczas tworzenia siatki elementów skończonych tworzą najpierw

węzły wewnątrz wybranego obszaru, a następnie przypisują utworzone węzły do odpowiednich

elementów skończonych. Węzły wewnątrz obszaru (konturu) mogą być tworzone przy pomocy

algorytmu triangularyzacji Delaunay’a lub metody Coons’a.

35

6. Przygotowanie modelu cyfrowego konstrukcji usztywniającej

6.1. Wstępne dobranie przekrojów

Rys. 6.1 Pozycje obliczeniowe

6.1.1. Wstępne dobranie przekroju belki stropowej Obciążenia belki stropowej wyliczono przemnażając wartość obciążeń z p. 4.2 przez rozstaw

belek z Rys. 6.1

Obciążenia stałe: 7,23 kN/m2 * 2,175 m = 15,73 kN/m

Obciążenia użytkowe: 7,50 kN/m2 * 2,175 m = 16,31 kN/m

Dla schematu statycznego belki przedstawionego na rysunku 6.2 wyznaczono wartości

maksymalnego momenty zginającego M oraz reakcje podporowe R .

Rys. 6.2 Schemat statyczny belki stropowej

36

M= gq l 2

8=15,7316,3111,752

8=576,72kNm (6.1)

R=gq l8

=15,7316,31128

=192,24 kN (6.2)

Przyjęto stal 18G2A (S355) o fd = 285 MPa = 28,5 kN/cm2, E = 205 GPa= 20500kN/cm2

Wyznaczenie potrzebnego wskaźnika wytrzymałości dla przekroju zginanego z warunku

nośności:

W=1,1 M / f d=1,1 57672 kNcm28,50 kN /cm2=2023,58cm3 (6.3)

Wyznaczenie potrzebnego momentu bezwładności z warunku ugięcia [N4]

f =l /350=1200 /350=3,4286 (6.4)

I=5 g kq k l

3

384 f E=

5 15,731,35

16,311,50

123

384⋅0,0343⋅2,05=7207,80 cm2

Z warunku nośności oraz z zaleceń [Zół04] dotyczących wysokości belek stropowych

h= 120÷ 1

25 l dobieram przekrój dwuteowy wg japońskiej normy JIS G 3192 (1994):

H 500 x 300 x 11 x 15 o w = 2418 cm3

6.1.2. Wstępne dobranie rygla ramy zewnętrznej Do wstępnego określenia wymiaru rygla przyjmuję wartości momentów obliczone jak dla belki

jednoprzęsłowej, utwierdzonej na obu końcach [Kap03 s.123]. Obciążeniem rygla są reakcje

pionowe z belek stropowych. Schemat statyczny rygla przedstawia Rys. 6.3

Rys. 6.3 Schemat statyczny rygla

37

Wartości momentów przedstawia Rys. 6.4 (obliczenia wykonano w programie RM-Win).

Przekrój dobieram dla wartości maksymalnej M=522,662 kNm

Rys. 6.4 Wartości momentów zginających M [kNm]

Przyjęto stal 18G2A (S355) o fd = 285 MPa = 28,5 kN/cm2, E = 205 GPa= 20500kN/cm2

Wyznaczenie potrzebnego wskaźnika wytrzymałości dla przekroju zginanego z warunku

nośności:

W=1,1 52266,2 kNcm28,50 kN /cm2

Dobieram przekrój dwuteowy wg japońskiej normy JIS G 3192 (1994):

H 500 x 300 x 11 x 15 o W = 2418 cm3

6.1.3. Wstępne dobranie przekroju nadprożaDo wstępnego określenia wymiarów nadproża wykorzystuje wartości sił z wyników obliczeń z

pracy przejściowej, gdzie wykonano wstępne obliczenia budynku o stałej grubości trzonu.

Tmax = 3407,94 kN, Mmax = 5451,351 kNm.

Potrzebne pole przekroju ścinanego obliczam z wzoru:

AV=V

0,58 f d= 3407,94

0,58⋅28,5=206,17cm2

(6.5)

W=1,1 Mf d=1,1 545135,1kNcm

28,50 kN /cm2 =21040,30 cm3

Z [Tab06] przyjęto przekrój dwuteowy HE 1000x584 o wymiarach: h = 1000 mm, bf = 314 mm,

tf = 64 mm, tw=35,5 mm, Av = 312,4 cm2, W = 23600 cm3, Ix = 1 246 000.00 cm4, A = 744 cm2.

38

6.1.4. Dobranie wymiarów belek stropowych w kondygnacjach podziemnych.

● Przyjęcie wysokości belki Zebranie obciążeń

Obciążenia stałe: 14,05 kN/m2 * 2,175 m = 30,56 kN/m

Obciążenia użytkowe: 3,75 kN/m2 * 2,175 m = 8,16 kN/m

Przyjęto schemat belki wolnopodpartej o rozpiętości 11,75 m. Moment zginający obliczono z

wzoru (6.1).

Przyjmuję dane : fcd = 16,7 MPa (C25/30), fyd = 420 MPa (stal – AIIIN), ρ = 0,01, a1 = 4 cm, b

= 40 cm

M=0,125 gql 2 (6,6)

M=30,568,1611,752

8=668,22kNm

eff=f yd

f cd(6.7)

=0,01 42016,7

=0,251497

eff=eff 1−0,5eff (6.8)

=0,251497 1−0,5⋅0,251497=0,219872

d= Mf cd beff

(6.9)

d= 668221,67⋅40⋅0,219872

=67,45 cm

d = 66 cm

Przyjmuję : h=da1=664=70cm

ξ – względna wysokość strefy ściskanejρ – stopień zbrojenia przekrojufyd – wytrzymałość obliczeniowa zbrojeniafcd – wytrzymałość obliczeniowa betonub – szerokość przekrojuh – wysokość przekroju belkid – odległość od krawędzi ściskanej przekroju do środka ciężkości zbrojeniaa1 – grubość otuliny prętów zbrojeniowych

39

6.2. Przygotowanie modelu cyfrowego konstrukcji usztywniającej dla programu BW dla Windows

6.2.1. Opis modeluProgram POL3 pozwala na budowanie modelu o stałym przekroju poprzecznym budynku. Aby

wykonać w programie BW obliczenia budynku o zmiennych przekrojach budynek dzieli się na

strefy o stałym przekroju i buduje dla nich osobne modele.

Rzeczywista konstrukcja składa się ze stalowej ramy zewnętrznej zbudowanej z przekrojów

skrzynkowych. W programie BW można wprowadzać tylko pełne elementy prostokątne,

dlatego przekroje rzeczywiste zostały przeliczone na żelbetowe prostokątne przekroje

zastępcze. Obliczenia przeprowadzono w pkt 6.2.3.

W przypadku budynku Di-Wang Tower konstrukcja została podzielona na sześć stref o stałym

przekroju. W programie POL3 sporządzono sześć plików z danymi. Podział budynku na strefy

pokazano na rysunku 6.6. opis stref zestawiono w Tablicy 6.1

Tablica 6.1 Zestawienie stref budynku

Nr strefy

Nr kondygnacji

od do

Liczbakondygnacji

Wysokość strefy [m]

Rzędne strefy (od poziomu terenu)

od do

1 -3 5 8 53,35 -14,00 31,95

2 6 26 21 78,75 31,95 118,20

3 27 45 19 75,00 118,20 193,20

4 46 61 16 60,00 193,20 253,20

5 62 70 9 37,50 253,20 290,70

6 71 72 2 7,34 290,70 298,04

Przyjęty podział budynku wynika z rozmieszczenia outriggerów w rzeczywistej konstrukcji oraz

zmienności przekroju trzonu lub słupów:

● Strefa 1 – od poziomu posadowienia do zakończenia portalu na kondygnacji nr 5.

Grubość trzonu 75 cm, przekroje stalowe słupów wypełnione betonem,

● Strefa 2 – od outriggera nr 1 do outriggera nr 2. Grubość trzonu 75 cm, przekroje

stalowe słupów wypełnione betonem,

● Strefa 3 – do outriggera nr 3 gdzie następuje zmiana grubości trzonu. Grubość trzonu

75 cm, przekroje stalowe słupów wypełnione betonem,

● Strefa 4 – do kondygnacji 61 gdzie następuje zmiana przekrojów słupa (brak

wypełnienia betonem). Grubość trzonu 60 cm, słupy wypełnione betonem,

40

● Strefa 5 – do outriggera nr 4, zakończenie słupów, trzon grubości 60 cm, przekroje

stalowe słupów nie wypełnione betonem,

● Strefa 6 – zakończenie konstrukcji trzonu.

Wszystkie elementy powyżej wprowadzono jako attykę.

Rzuty poszczególnych stref przedstawiono na rysunkach 6.7 do 6.11

Rys. 6.6 Podział budynku Di-Wang Tower na strefy, opis elementów rzutu

41

Rys. 6.7 Rzut strefy 1 Rys. 6.8 Rzut strefy 2, 3

Rys. 6.9 Rzut strefy 4 Rys. 6.10 Rzut strefy 5

Rys. 6.11 Rzut strefy 6

Rzędna modelu:

● poziom terenu = 0.000 m

● poziom utwierdzenia = -14.000 m

● szczyt zasadniczej części budynku = 298.040 m

● szczyt attyk = 325.230 m

● Rozstaw outriggerów przyjęto jako wartość średnią s=298,0414 / 4=78,1 m≈78,0 m

42

Tablica 6.2 Zestawienie kondygnacji budynku

Nr Rzędna Wysokość Nr Rzędna Wys. Nr Rzędna Wys. Nr Rzędna Wys. Nr Rzędna Wys

-3 -10,50 3,50 13 65,70 3,75 28 125,70 3,75 43 182,33 3,75 58 241,95 3,75-2 -7,00 3,50 14 69,45 3,75 29 129,45 3,75 44 186,45 4,13 59 245,70 3,75-1 0,00 7,00 15 73,20 3,75 30 133,20 3,75 45 193,20 6,75 60 249,45 3,751 6,00 6,00 16 76,95 3,75 31 136,95 3,75 46 196,95 3,75 61 253,20 3,752 12,00 6,00 17 80,70 3,75 32 140,70 3,75 47 200,70 3,75 62 256,95 3,753 17,00 5,00 18 84,45 3,75 33 144,45 3,75 48 204,45 3,75 63 260,70 3,754 24,48 7,48 19 88,20 3,75 34 148,20 3,75 49 208,20 3,75 64 264,45 3,755 31,95 7,48 20 91,95 3,75 35 151,95 3,75 50 211,95 3,75 65 268,20 3,756 39,45 7,50 21 95,70 3,75 36 155,70 3,75 51 215,70 3,75 66 271,95 3,757 43,20 3,75 22 99,45 3,75 37 159,45 3,75 52 219,45 3,75 67 275,70 3,758 46,95 3,75 23 103,20 3,75 38 163,20 3,75 53 223,20 3,75 68 279,45 3,759 50,70 3,75 24 106,95 3,75 39 166,95 3,75 54 226,95 3,75 69 283,28 3,83

10 54,45 3,75 25 110,78 3,83 40 170,70 3,75 55 230,70 3,75 70 290,70 7,4211 58,20 3,75 26 118,20 7,42 41 174,45 3,75 56 234,45 3,75 71 294,37 3,6712 61,95 3,75 27 121,95 3,75 42 178,20 3,75 57 238,20 3,75 72 298,04 3,67

6.2.2. Opis obciążeń statycznych● Wartości obciążeń jednostkowych przyjęto zgodnie z pkt. 4. Na kondygnacjach biurowych

wewnątrz trzonu przyjęto obciążenia komunikacyjne, poza nim obciążenia dla

pomieszczeń biurowych. Analogicznie postąpiono w przypadku pomieszczeń technicznych.

Rys. 6.12 Rozkład obciążeń typowych i komunikacyjnych na kondygnacji budynku

● Obciążenia użytkowe podzielono na 4 części odpowiadające 1/4 rzutu budynku

(Rys. 6.13).

Rys. 6.13 Podział obciążeń użytkowych

43

● Obciążenie wiatrem wprowadzono zgodnie z pkt 4.9

● W programie zdefiniowano 7 zestawów obciążeń

○ Zestaw 1 i 2 obciążenia wiatrem po kierunku x i y,

○ Zestaw 3 obciążenia pionowe ścian stałe,

○ Zestaw 4, 5, 6, 7 obciążenia pionowe ścian zmienne.

● Utworzono dwa warianty ekstremów (tzn. dwie kombinacje obciążeń):

○ Wariant 1 – wartości charakterystyczne obciążeń dla SGU

○ Wariant 2 – wartości obliczeniowe obciążeń dla SGN

6.2.3. Analiza dynamicznaDo obliczeń dynamicznych programem „BW dla Windows” przyjęto wymiary przekroju

poziomego budynku jak dla strefy 3 sztywności z obliczeń statycznych. Sztywność tej strefy

jest mniejsza od sztywności całego budynku z dwóch powodów:

1. Pominięte zostały ściany „portalu” ze strefy 1,

2. Pominięte zostały ściany kondygnacji podziemnych ze względu na brak informacji.

Z tego powodu przyjęto do obliczeń masy stropów „netto”, tzn. masy odpowiadające samym

obciążeniom stałym.

Wprowadzono dodatkowe dane potrzebne do wykonania obliczeń:

● gęstość materiału: 25 kN/m3

● liczbę uwzględnianych postaci drgań ograniczono do 10

● wybrano metodę CQC do sumowania postaci drgań własnych

● zdefiniowano trzy typy stropów

Tablica 6.3 Typy stropów wprowadzonych w programie POL-3

Typ Nr stropu Odległość środka masy stropu a wierzchem stropu

Masa [kg / m2]

3 3; 2; 1 0,10 m 1 041,0

2 8; 28; 47; 72 0,05 m 461,0

1 Pozostałe 0,05 m 424,0

44

● Do obliczeń dynamicznych przyjęto przyspieszeniowe, hiperboliczne spektrum

odpowiedzi, którego funkcję zdefiniowano za pomocą stałych:

Tablica 6.4 Stałe spektrum odpowiedzi

Współczynnik Wartość Objaśnienia

T1 0,1 Granica pierwszego przedziału spektrum odpowiedzi

T2 0,3 Granica drugiego przedziału spektrum odpowiedzi

T3 1,8 Granica trzeciego przedziału spektrum odpowiedzi

C1 0,550 Stała spektrum odpowiedzi

C2 0,980 Stała spektrum odpowiedzi

C3 0,900 Stała spektrum odpowiedzi

C4 0,200 Stała spektrum odpowiedzi

Rys. 6.14 Funkcja spektrum odpowiedzi przyjęta w programie BW

Wykres funkcji przedstawia Rys. 6.14. Wartości stałych C oraz przedziałów T zdefiniowano na

podstawie spektrum odpowiedzi (Rys.6.15) z chińskiej normy sejsmicznej [N8] zamieszczonym

w publikacji [Wen02] i w materiałach programu Robot Millennium. Do obliczeń, w celu

umożliwienia porównań wyników, przyjęto mniejsze wartości zgodnie z wartościami

przyjmowanymi w programie Robot Millennium. Pokazano je na rysunku 6.15.

Na podstawie informacji o strefie intensywności sejsmicznej i rodzaju podłoża przyjętych do

projektowania [Li04], z publikacji [Wen02] określono wartości:

max=0,23 - dla MM VII (strefa intensywności sejsmicznej wg skali zmodyfikowanej Mercaliego)

T g=0,3 - dla gruntu kategorii SC II i bliskiego epicentrum

45

Rys. 6.15 Projektowe spektrum odpowiedzi według chińskiej normy sejsmicznej zamieszczone w programie Robot Millennium.

6.2.4. Wyznaczenie betonowych przekrojów zastępczych elementów konstrukcji

● Słupy

Rys. 6.16 Zasada pracy budynku trzonowego z outriggerami

Z rysunku 6.16 wynika że w budynkach trzonowych z outriggerami pod wpływem obciążeń

poziomych słupy ramy zewnętrznej pracują przede wszystkim jak słupy ściskane i rozciągane.

Z tego powodu przekroje słupów kompozytowych przeliczono na zastępcze przekroje

żelbetowe z wzoru (147) polskiej normy do konstrukcji zespolonych [N6] na nośność

przekrojów osiowo ściskanych.

N pl , Rd=Aa f ydAc f cdAs f sd (6.10)

Aa - pole przekroju elementu ze stali konstrukcyjnej

Ac - pole przekroju zbrojenia

As - pole przekroju zbrojenia

f yd=295 MPa - wytrzymałość obliczeniowa stali wg [N4]

f cd=30MPa - wytrzymałość betonu na ściskanie wg [N5]

46

f sd=420 MPa - nośność stali zbrojeniowej

Wzór 6.10 po przekształceniu na zastępcze pole przekroju Az otrzymuje postać:

Az=1f cdAa f ydAc f cdAs f sd (6.11)

Na podstawie analizy rzeczywistej konstrukcji przyjęto, że słupy 1 i 4 z występującymi między

nimi skratowaniami można uznać za słupy dwugałęziowe. Ze względu na chęć zmniejszenia

układu równań różniczkowych analizowanego w programie BW, postanowiono przyjąć

zastępczy przekrój prostokątny oznaczony dalej jako Słup 1-4.

Przyjęto że stopień zbrojenia elementów żelbetowych wynosi =0,04 i na tej podstawie z

wzoru 6.12 określono As

As= Ac (6.12)

Wymiary i parametry geometryczne zastępczych przekrojów zestawiono w Tablicach 6.5 i 6.6.

● Nadproża

Nadproża przeliczone zostały z warunku sztywności

Es I s=Eb I z (6.13)

Es I s - sztywność przekroju stalowego

Eb I z - sztywność przekroju zastępczego

I z=E s

EbI s

(6.13)

E s=205GPa Eb=3600GPa I s=1246000 cm4 p.6.1.3

I z=20536

1246000=7095278cm4

h=12 I s

b = 12⋅7 09527875 =104,29

Przyjmuję h=110 cm

● Outrigger

Outriggery w programie BW zostały zamodelowane jako złącza. Na podstawie wyników

przemieszczeń (otrzymanych z programu RM-Win) outriggera pod wpływem działania siły

47

P=1000 kN (Rys. 6.17) określono podatność outriggera co=0,00211

1000=0,00000211 m /kN .

Następnie przemnożoną ją przez średni rozstaw outriggerów i otrzymano podatność złącza:

c=2,11⋅10−6⋅78,01=164,6⋅10−6 .

Rys. 6.17 Model obliczeniowy outriggera: a)schemat statyczny b) schemat obliczeniowy c) wykres przemieszczeń

48

Tablica 6.5 Zastępcze przekroje słupów na kondygnacjach -3 do 61

SłupAa

[cm2]

Ac

[cm2]

As

[cm2]

A z

[cm2]

h[cm]

b[cm]

A[cm2]

I x

[cm4]

I y

[cm4]

1 2302,4 21697,60 867,90 56 488,52

4 937,0 9063,00 362,52 23 352,11600,0 165 98 400,0 2 952 000 000 224 606 250

2 1820,00 14679,80 587,19 40 797,15 350,00 130,00 45 500,00 46 4479 167 64 079 167

3 1604,20 11395,80 455,83 33 552,08 310,00 120,00 37 200,00 297 910 000 44 640 000

5 328,16 3271,80 130,87 5 330,91 70,00 70,00 4 900,00 2 000 833 2 000 833

Tablica 6.6 Zastępcze przekroje słupów na kondygnacjach 62 do 72

SłupAa

[cm2]

Ac

[cm2]

As

[cm2]

A z

[cm2]

h[cm]

b[cm]

A[cm2]

I x

[cm4]

I y

[cm4]

1 2302,4 0,00 0,00 22640,27

4 937,0 0,00 0,00 9213,83600,0 55,0 33000,00 990 000 000 8 318 750

2 1820,00 0,00 0,00 17896,67 175,00 105,00 18375,00 46 894 531 16 882 031

3 1604,20 0,00 0,00 15774,63 155,00 100,00 15500,00 31 032 291 12 916 667

5 280,00 0,00 0,00 2753,33 60,00 60,00 3600,00 1 080 000 1 080 000

49

6.3. Przygotowanie modelu cyfrowego konstrukcji usztywniającej dla programu Robot Millennium

6.3.1. Budowa modelu● Informacje ogólne

Do modelowania wybrano typ konstrukcji: Powłoka. Elementy ścienne modelowane są z

powierzchniowych elementów skończonych o węzłach z 6 stopniami swobody. Dzięki temu nie

ma problemu z łączeniem ich z przestrzennymi elementami prętowymi.

W budowanym modelu, podobnie jak w pracy [Li04], ujednolicono wysokość kondygnacji

powtarzalnych do 3,75 m, a technicznych na których występują outriggery do 7,50 m.

Konstrukcje budynku zamodelowano do 75 kondygnacji odpowiadającej rzędnej 310,0 m od

poziomu terenu. Ostatnie cztery kondygnacje stanowią dwie okrągłe wieże, które są

niewielkimi konstrukcjami stalowymi w porównaniu z resztą budynku, dlatego zostały

pominięte przy budowie modelu. Obciążenia działające na te elementy zostały sprowadzone

do sił skupionych i przyłożone na szczycie konstrukcji.

● Modelowanie trzonu i nadproży

Trzon konstrukcji zamodelowano z paneli, którym nadano następujące cechy:

• materiał B55 (E=36 GPa, fcd = 30 MPa)

• grubość do rzędnej 193,25 m – 75 cm, powyżej do 298,05 m - 60 cm

• typ zbrojenia: ściana

Trzon zdefiniowano z 6 elementów wysokości jednej kondygnacji. Każdy element składał się z

3 (el. ceowe) lub 5 paneli (el. dwuteowe) (Rys.6.19). Do generacji siatki elementów

skończonych użyto metody Coons`a. Polega ona na utworzeniu powierzchni Coons`a na

konturze panela, którego przeciwległe krawędzie dzielone są na jednakową liczbę odcinków.

Przeciwległe brzegi łączone są liniami prostymi. W ten sposób przecinające się linie tworzą

elementy skończone. Metoda ta jest zalecana dla konturów płaskich o kształcie czworokątnym.

Do generacji siatki narzucono wymiary elementów w zależności od modelu 1,0 i 1,5 m (modele

opisane są w p. 6.3.4).

W celu zwiększenia sztywności trzonu wzdłuż krawędzi pionowych paneli wprowadzono

dodatkowe pręty o parametrach (A = 218 cm2, Ix = 107200 cm4, Wx = 4290,0 cm3,

Iy = 12620 cm4, Wy = 842,0 cm3 odpowiadające profilowi HEB 500 ) [Li04].

Nadproża w trzonie zdefiniowano jako 2-węzłowe przestrzenne elementy prętowe. Profile

prętów zdefiniowano jako przekroje stalowe, dwuteowe ze stali 18G2A o parametrach jak w p.

6.1.3.

50

Rys. 6.18 Rzut i widok aksonometryczny kondygnacji powtarzalnej, widok aksonometryczny całego modelu

Rys. 6.19 Widok elementów trzonu

● Modelowanie ramy zewnętrznej i outriggerów

Rama zewnętrzna została zamodelowana z przestrzennych elementów prętowych. Przekroje

rygli przyjęto zgodnie z pkt. 6.1.3. Słupy przyjmowano o stałym przekroju na rzędnych od

-14,00 do 253,25 oraz od 253,25 do szczytu. Przekroje przyjętych słupów opisano w p. 6.3.4

Pomiędzy słupami w osiach B i G wprowadzono stężenia pionowe o przekrojach określonych

w pkt. 3.2.2

51

Outriggery wprowadzono na kondygnacjach technicznych o rzędnych 32.00, 110.75, 185.75,

283.25 m. Zamodelowano je w postaci prętów o przekrojach przyjętych w p. 6.2.4.

Rys. 6.20 Widok outriggerów

● Stropy

W celu zmniejszenia wielkości zadania stropy budynku ograniczono tylko do belek stropowych

zamocowanych przegubowo do ramy i trzonu. Aby zwiększyć sztywność modelu

pozbawionego płyt stropowych wprowadzono poziome zastrzały (Rys. 6.18). Profile belek

stropowych i zastrzałów przyjęto zgodnie z pkt 6.1.1

● Piętra

Najnowsza wersja Robot Millennium v20 umożliwia definiowanie pięter w celu ułatwienia

analizy budynków wielokondygnacyjnych. Piętra definiuje się wskazując płaszczyzny wzdłuż

osi Z. Elementy w całości zawarte miedzy tymi płaszczyznami są dodawane do danego piętra.

Opis pięter zestawiono w Tablicy 6.7

52

Tablica 6.7 Zestawienie pięter

6.3.2. Opis obciążeńW programie robot Millennium obciążenia grupuję się w Przypadki obciążeń. Dla każdego

przypadku określa się naturę obciążenia (np. stałe, eksploatacyjne, wiatr, śnieg). Taki podział

umożliwia korzystanie z funkcji kombinacji normowych, które automatycznie przypisują

współczynniki do wyznaczenia wartości obliczeniowych.

Obciążenia powierzchniowe stropów (stałe i użytkowe) wyznaczone w pkt.4 sprowadzono do

obciążeń liniowych równomiernie rozłożonych w kN/m przykładanych do belek stropowych.

Ponieważ liczba belek stropowych wprowadzonych do modelu jest mniejsza niż w rzeczywistej

konstrukcji, oraz ich rozstawy nie są stałe zastępcze obciążenia belek wyznaczono w

następujący sposób:

W części prostokątnej o długości 43.5 m, znajduje się 19 belek, obciążenie na jeden element

obliczono przemnażając wartości obciążenia w kN/m2 z pkt 4 przez iloraz 43,5/19 = 2,29. Dla

części kołowej (23,5 m i 11 belek) iloraz ten wynosił 2,14. Ponieważ różnica wartości ilorazów

wynosiła 7% przyjęto dla całego budynku wartość 2,29.

● Obciążenia stałe

Ciężar własny konstrukcji definiowany jest automatycznie jako jeden z przypadków obciążeń.

Obciążenia stałe obliczone w pkt. 4 pomniejszono o ciężar belek stropowych. Wartości

zestawiono w Tablicy 6.8

53

Piętro Rzędna Piętro Rzędna Piętro Rzędna Piętro RzędnaPiętro 1 -10,50 Piętro 21 84,50 Piętro 41 163,25 Piętro 61 242,00Piętro 2 -7,00 Piętro 22 88,25 Piętro 42 167,00 Piętro 62 245,75Piętro 3 ±0,00 Piętro 23 92,00 Piętro 43 170,75 Piętro 63 249,50Piętro 4 6,00 Piętro 24 95,75 Piętro 44 174,50 Piętro 64 253,25Piętro 5 12,00 Piętro 25 99,50 Piętro 45 178,25 Piętro 65 257,00Piętro 6 17,00 Piętro 26 103,25 Piętro 46 182,00 Piętro 66 260,75Piętro 7 24,50 Piętro 27 107,00 Piętro 47 185,75 Piętro 67 264,50Piętro 8 32,00 Piętro 28 110,75 Piętro 48 193,25 Piętro 68 268,25Piętro 9 39,50 Piętro 29 118,25 Piętro 49 197,00 Piętro 69 272,00Piętro 10 43,25 Piętro 30 122,00 Piętro 50 200,75 Piętro 70 275,75Piętro 11 47,00 Piętro 31 125,75 Piętro 51 204,50 Piętro 71 279,50Piętro 12 50,75 Piętro 32 129,50 Piętro 52 208,25 Piętro 72 283,25Piętro 13 54,50 Piętro 33 133,25 Piętro 53 212,00 Piętro 73 290,75Piętro 14 58,25 Piętro 34 137,00 Piętro 54 215,75 Piętro 74 294,40Piętro 15 62,00 Piętro 35 140,75 Piętro 55 219,50 Piętro 75 298,05Piętro 16 65,75 Piętro 36 144,50 Piętro 56 223,25 Piętro 76 302,05Piętro 17 69,50 Piętro 37 148,25 Piętro 57 227,00 Piętro 77 306,05Piętro 18 73,25 Piętro 38 152,00 Piętro 58 230,75 Piętro 78 310,05Piętro 19 77,00 Piętro 39 155,75 Piętro 59 234,50Piętro 20 80,75 Piętro 40 159,50 Piętro 60 238,25

Tablica 6.8 Obciążenia stałe przyjęte do obliczeń w programie Robot Millennium

1 2 3 4 5

Rodzaj pomieszczeniaWartość z pkt. 4

[kN/m2]Ciężar belek

[kN/m2]Różnica kolumn

2 – 3

Wartość obciążenia przyjęta do obliczeń

[kN/m]

Biurowe 4,24 0,67 3,57 8,17

Komunikacyjne 5,35 0,67 4,68 12,72

Techniczne 4,61 0,67 3,94 9,02

Podziemne 10,41 3,08 7,33 16,79

● Eksploatacyjne

Obciążenia eksploatacyjne opisano w 4 przypadkach obciążeń. Każdy przypadek obejmował

¼ rzutu budynku jak na Rys. 6.14. Wartości przyjęte do obliczeń zestawiono w Tablicy 6.9

Tablica 6.9 Obciążenia zmienne przyjęte do obliczeń w programie Robot Millennium

Rodzaj pomieszczeniaWartość z pkt. 4

[kN/m2]

Wartość obciążenia przyjęta do obliczeń

[kN/m]

Biurowe 4,20 9,62

Komunikacyjne 5,00 11,45

Techniczne 5,00 11,45

Podziemne 2,50 5,72

● Wiatr

• Kierunek Y

Obciążenie wiatrem obliczone w pkt. 4.6 rozłożono na 6 obciążeń liniowych przyłożonych do

słupów wzdłuż osi 1. Liniowo zmienny rozkład obciążenia wiatrem zastąpiono rozkładem

skokowym o wartościach stałych równych średnim na odcinkach odpowiadających wysokości

kondygnacji. (Tablica 6.10)

Od poziomu 302,05 obciążenie wiatrem rozłożono na 8 słupów (kołowych elementów

antresoli). Na szczycie modelu zostały przyłożone dwie siły skupione o wartości

2420kN /2=1210kN , (gdzie 2420 kN jest to wartość odczytana z Rys. 4.1) jako obciążenie

zastępcze od niewprowadzonych do modelu kondygnacji.

Oznaczenia do tablic 6.10 i 6.11:

h – rzędna od poziomu terenu, Qx – obciążenie wiatrem z p.4.6, Qx,s – obciążenie wiatrem podzielone przez ilość słupów, qy – średnia wartość obciążenia wiatrem na wysokości kondygnacji

54

Tablica 6.10 Obciążenia wiatrem po kierunku Y przyjęte do obliczeń w programie Robot Millennium

hQy

[kN/m]Qy,s

[kN/m]qy

[kN/m]h

Qy[kN]

Qy,s[kN/m]

qy

[kN/m]

0,00 67,45 11,24 - 163,25 218,17 36,36 36,12

6,00 73,00 12,17 11,71 167,00 221,08 36,85 36,60

12,00 78,60 13,10 12,64 170,75 223,94 37,32 37,08

17,00 83,31 13,89 13,50 174,50 226,74 37,79 37,56

24,50 90,43 15,07 14,48 178,25 229,49 38,25 38,02

32,00 97,61 16,26 15,67 182,00 232,18 38,70 38,47

39,50 104,84 17,47 16,87 185,75 234,81 39,14 38,92

43,25 108,47 18,08 17,78 193,25 239,90 39,98 39,56

47,00 112,10 18,68 18,38 197,00 242,35 40,39 40,19

50,75 115,73 19,29 18,99 200,75 244,73 40,79 40,59

54,50 119,37 19,90 19,59 204,50 247,05 41,17 40,98

58,25 123,01 20,50 20,20 208,25 249,30 41,55 41,36

62,00 126,65 21,11 20,80 212,00 251,48 41,91 41,73

65,75 130,28 21,71 21,41 215,75 253,58 42,26 42,09

69,50 133,91 22,32 22,02 219,50 255,61 42,60 42,43

73,25 137,54 22,92 22,62 223,25 257,57 42,93 42,77

77,00 141,15 23,53 23,22 227,00 259,45 43,24 43,09

80,75 144,76 24,13 23,83 230,75 261,25 43,54 43,39

84,50 148,36 24,73 24,43 234,50 262,97 43,83 43,69

88,25 151,94 25,32 25,02 238,25 264,61 44,10 43,97

92,00 155,51 25,92 25,62 242,00 266,16 44,36 44,23

95,75 159,06 26,51 26,21 245,75 267,63 44,61 44,48

99,50 162,59 27,10 26,80 249,50 269,01 44,84 44,72

103,25 166,10 27,68 27,39 253,25 270,30 45,05 44,94

107,00 169,60 28,27 27,97 257,00 271,50 45,25 45,15

110,75 173,06 28,84 28,55 260,75 272,61 45,43 45,34

118,25 179,92 29,99 29,42 264,50 273,62 45,60 45,52

122,00 183,31 30,55 30,27 268,25 274,54 45,76 45,68

125,75 186,66 31,11 30,83 272,00 275,36 45,89 45,82

129,50 189,99 31,66 31,39 275,75 276,07 46,01 45,95

133,25 193,28 32,21 31,94 279,50 276,69 46,12 46,06

137,00 196,53 32,76 32,48 283,25 277,20 46,20 46,16

140,75 199,75 33,29 33,02 290,75 277,92 46,32 46,26

144,50 202,93 33,82 33,56 294,40 278,11 46,35 46,34

148,25 206,07 34,34 34,08 298,05 278,19 46,37 46,36

152,00 209,16 34,86 34,60 302,05 278,16 34,77 34,73

155,75 212,21 35,37 35,11 306,05 278,01 34,76 34,76

159,50 215,22 35,87 35,62 310,05 277,72 34,76 34,76

55

Tablica 6.11 Obciążenia wiatrem po kierunku X przyjęte do obliczeń w programie Robot Millennium

hQx

[kN/m]Qx,s

[kN/m]qx

[kN/m]h

Qx[kN]

Qx,s[kN/m]

qx [kN/m]

0,00 34,93 4,99 163,25 112,98 16,14 16,03

6,00 37,80 5,40 5,20 167,00 114,49 16,36 16,25

12,00 40,71 5,82 5,61 170,75 115,97 16,57 16,46

17,00 43,14 6,16 5,99 174,50 117,42 16,77 16,67

24,50 46,83 6,69 6,43 178,25 118,84 16,98 16,88

32,00 50,55 7,22 6,96 182,00 120,24 17,18 17,08

39,50 54,29 7,76 7,49 185,75 121,60 17,37 17,27

43,25 56,17 8,02 7,89 193,25 124,24 17,75 17,56

47,00 58,05 8,29 8,16 197,00 125,50 17,93 17,84

50,75 59,93 8,56 8,43 200,75 126,74 18,11 18,02

54,50 61,82 8,83 8,70 204,50 127,94 18,28 18,19

58,25 63,70 9,10 8,97 208,25 129,10 18,44 18,36

62,00 65,59 9,37 9,23 212,00 130,23 18,60 18,52

65,75 67,47 9,64 9,50 215,75 131,32 18,76 18,68

69,50 69,35 9,91 9,77 219,50 132,37 18,91 18,84

73,25 71,23 10,18 10,04 223,25 133,39 19,06 18,98

77,00 73,10 10,44 10,31 227,00 134,36 19,19 19,13

80,75 74,97 10,71 10,58 230,75 135,29 19,33 19,26

84,50 76,83 10,98 10,84 234,50 136,19 19,46 19,39

88,25 78,68 11,24 11,11 238,25 137,03 19,58 19,52

92,00 80,53 11,50 11,37 242,00 137,84 19,69 19,63

95,75 82,37 11,77 11,64 245,75 138,60 19,80 19,75

99,50 84,20 12,03 11,90 249,50 139,31 19,90 19,85

103,25 86,02 12,29 12,16 253,25 139,98 20,00 19,95

107,00 87,83 12,55 12,42 257,00 140,60 20,09 20,04

110,75 89,62 12,80 12,68 260,75 141,18 20,17 20,13

118,25 93,18 13,31 13,06 264,50 141,70 20,24 20,21

122,00 94,93 13,56 13,44 268,25 142,17 20,31 20,28

125,75 96,67 13,81 13,69 272,00 142,60 20,37 20,34

129,50 98,39 14,06 13,93 275,75 142,97 20,42 20,40

133,25 100,09 14,30 14,18 279,50 143,29 20,47 20,45

137,00 101,78 14,54 14,42 283,25 143,56 20,51 20,49

140,75 103,44 14,78 14,66 290,75 143,92 20,56 20,53

144,50 105,09 15,01 14,90 294,40 144,02 20,57 20,57

148,25 106,72 15,25 15,13 298,05 144,07 20,58 20,58

152,00 108,32 15,47 15,36 302,05 144,05 20,58 20,58

155,75 109,90 15,70 15,59 306,05 143,97 20,57 20,57

159,50 111,45 15,92 15,81 310,05 143,82 20,55 20,56

56

• Kierunek X

Analogicznie ja dla kierunku Y, obciążenie z pkt 4.6 rozłożono na 7 słupów tworzących boczne

półkola (Tablica 6.11). Na szczycie modelu zostały przyłożona siła skupione o wartości 1253kN

(p.4.6), jako obciążenie zastępcze od niewprowadzonych do modelu kondygnacji .

● Sejsmiczne

Analizę sejsmiczną przeprowadzono wg chińskiej normy sejsmicznej GBJ 11-89 [N8], dla

bliskiej odległości trzęsienia ziemi, posadowienie II (SC II – średnio sztywne podłoże któremu

odpowiada okres T2 = 0,30s), intensywności 7 w skali MM.

● Kombinacja obciążeń

Do obliczeń wykorzystano automatyczne definiowanie kombinacji obciążeń: kombinacje

normowe zgodnie z normą EN 1990:2002 [N2]. Do kombinacji uwzględniono wszystkie

obciążenia statyczne oraz wyniki analizy sejsmicznej.

6.3.3. Analiza dynamicznaAnalizę modalną zdefiniowano dla następujących parametrów:

● Metoda – iteracja podprzestrzenna blokowa

● Liczba postaci drgań 15

● Liczba iteracji 40

● Tolerancja – 0,0001

● Weryfikacja Struma

● Macierz mas – skupiona bez rotacji

● Tłumienie – 0,03 (zalecane dla budynków wysokich)

6.3.4. Opis analizowanych modeli● Model 1

• oparty na modelu z publikacji [Li04]

• przekroje słupów zdefiniowano w module “Projektowania profili prętów”.

Wprowadzone przekroje kompozytowe program przeliczył z warunku sztywności

(wzór 6.13) na zastępcze przekroje stalowe. Parametry zastępczych przekrojów

zestawiono w Tablicy 6.12

ES I Z=E s I sE b I b (6.13)

57

I z - zastępczy moment bezwładności

I s - moment bezwładności przekroju stalowego

I b - moment bezwładności przekroju betonowego

Es - moduł Younga stali

Eb - moduł Younga betonu

● Model 2

• oparty na Modelu 1

• usunięto wszystkie outriggery

• analiza przemieszczeń

● Model 3

• oparty na Modelu 1

• zmieniono wielkość elementu skończonego na 1,0 x1,0 m.

● Model 4

• narzucono wymiar elementu skończonego 1,5 x 1,5 m

• przekroje słupów wypełnionych betonem zdefiniowano jako przekroje betonowe o

wymiarach przyjętych w p. 6.2 jak dla modelu do programu BW.

Tablica 6.12 Parametry przekrojów słupów przyjętych w Modelu 1

Nr słupa Kondygnacje Nazwa przekroju

A [cm2]

Ix [cm4]

Iy[cm4]

E [MPa]

G [MPa]

1wypełniony betonem 1500x1600x36x40 6 112,71 16 397

535,0614 943

391 205000 80800

stalowy 1500x1600x36x40 2 302,40 8 983 992,23 8 540 799 205000 80800

2wypełniony betonem 1500x1100x36x36 4 398,08 10 372

470,61 5 979 907 205000 80800

stalowy 1500x1100x36x36 1 820,16 5 991 754,29 3 709 650 205000 80800

3wypełniony betonem 1300x1000x36x36 3 605,38 6 502 553,65 4 091 253 205000 80800

stalowy 1300x1000x36x36 1 604,16 3 987 713,01 2655071 205000 80800

4wypełniony betonem 1000x1000x24x24 2 528,52 2 690 471,83 2690472 205000 80800

stalowy 1000x1000x24x24 936,96 1 488 442,16 1488442 205000 80800

5wypełniony betonem 600x600x14 902,73 344 579,53 344579,53 205000 80800

stalowy 600x600x14 328,16 187 921,9 187921,9 205000 80800

58

Tablica 6.13 Parametry przekrojów słupów przyjętych w Modelu 4

Słup h[cm]

b[cm]

A[cm2]

I x

[cm4]

I y

[cm4]

1

4

340

140

165

165

56 100

23 100

540 430 000

52 408 125

117 543 938

52 408 125

2 175,00 105,00 18375,00 46 894 531 16 882 031

3 155,00 100,00 15500,00 31 032 291 12 916 667

5 60,00 60,00 3600,00 1 080 000 1 080 000

Podczas przygotowywania modelu MES budynku uwzględniano zalecenia z prac [Sta03], [Li04], [Li03b].

59

7. Wyniki analizy statycznej konstrukcji usztywniającej budynku ozmiennym przekroju w programie BW dla Windows

Pliki danych (255-1-nh6-met2-2006) przygotowane dla przeprowadzenia analizy statycznej

konstrukcji usztywniającej budynku o zmiennym przekroju w programie BW dla Windows

zawiera Załącznik K. Pliki wyników z tych obliczeń umieszczono w Załączniku L. W

następnych podpunktach rozdziału zestawiono najważniejsze wyniki.

7.1. Wartości przemieszczeńMaksymalne wartości przemieszczeń odczytano dla szczytu trzonu budynku na rzędnej

298,04 m.

7.1.1. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku Y – Schemat 2Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 63,99 cm.

Rys. 7.1 Przemieszczenia budynku od obciążenia wiatrem po kierunku Y

60

7.1.2. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku X – Schemat 1Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 24,91 cm.

Rys. 7.2 Przemieszczenia budynku od obciążenia wiatrem po kierunku X

Rys. 7.3 Wykresy przemieszczeń budynku od obciążenia wiatrem a) po kierunku X b) po kierunku Y

61

7.1.3. Ekstremalne wartości przemieszczenia po kierunku Y – Wariant 1Ekstremalne wartości przemieszczeń wyznaczono z kombinacji obciążeń

charakterystycznych. Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 78,26 cm.

Rys. 7.4 Ekstremalne wartości przemieszczeń po kierunku Y

7.1.4. Ekstremalne wartości przemieszczenia po kierunku X – Wariant 1Ekstremalne wartości przemieszczeń wyznaczono z kombinacji obciążeń

charakterystycznych. Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 35,76 cm.

Rys. 7.5 Ekstremalne wartości przemieszczeń po kierunku X

62

7.2. Wartości naprężeń w trzonie Ekstremalne wartości naprężeń w trzonie otrzymano dla kombinacji obciążeń obliczeniowych

(Wariant 2). Wyniki przedstawiono dla dwóch grubości trzonu.

● 75 cm – strefa 1, kondygnacja: - 3, rzędna -14,0 m

● 60 cm - strefa 4, kondygnacja : 46, rzędna 193,20 m

7.2.1. Ekstremalne wartości naprężeń dla trzonu o gr. 75 cm (strefy 1-3)● Maksymalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi -4,02 MPa. Występuje w

Ścianie nr 2. Element jest ściskany.

Rys. 7.5 Maksymalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 75 cm

63

● Minimalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi -35,21 MPa. Występuje w

Ścianie nr 3. Element jest ściskany.

Rys. 7.6 Minimalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 75 cm

7.2.2. Ekstremalne wartości naprężeń dla trzonu o gr. 60 cm (strefy 4-6)● Maksymalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi -5,22 MPa. Występuje w

Ścianie nr 1 Element jest ściskany.

Rys. 7.8 Maksymalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 60 cm

64

● Minimalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi -10,21 MPa. Występuje w

Ścianie nr 3. Element jest ściskany.

Rys. 7.9 Minimalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 60 cm

7.3. Wartości sił w nadprożachEkstremalne wartości sił w nadprożach wyznaczono dla kombinacji obciążeń obliczeniowych.

Maksymalne wartości sił w nadprożach dla poszczególnych stref zestawiono w Tablicy 7.1.

Tablica 7.1 Maksymalne wartości sił w nadprożach

Strefa Nr nadproża Rzędna M [kNm] T [ kN]

1 3 31,95 2483,62 1628,61

2 3 118,20 3309,57 2170,21

3 3 118,20 3309,57 2170,21

4 3 193,20 2527,16 1657,15

5 3 253,20 1645,06 1078,73

6 3 290,70 1171,54 768,23

Maksymalne wartości sił wystąpiły w nadprożu nr 3, na rzędnej 118.20 m.

65

8. Wyniki analizy statycznej konstrukcji usztywniającej budynku w programie Robot Millennium

Pliki danych i wyników przygotowane dla przeprowadzenia analizy statycznej konstrukcji

usztywniającej budynku w programie Robot Millennium zamieszono na płytach DVD1 i DVD2

w katalogach: Obliczenia/Robot. Pliki z wybranymi danymi zawiera Załącznik nr O. Pliki z

wybranymi wynikam obliczeń umieszczono w Załączniku P. W następnych podpunktach

rozdziału zestawiono najważniejsze wyniki.

8.1. Wartości przemieszczeń dla Modelu 1 (Model 1 - przekroje słupów przeliczone z warunku EI)

Wartości przemieszczeń odczytano dla szczytu trzonu budynku na rzędnej 298,05 m.

8.1.1. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku Y Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 64,70 cm.

Rys. 8.1 Przemieszczenia budynku od obciążenia wiatrem po kierunku Y a) widok z góry b) widok aksonometryczny dla ostatniej kondygnacji c) widok z boku

66

8.1.2. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku X Wartość przemieszczenia wynosi 26,00 cm.

Rys. 8.2 Przemieszczenia budynku od obciążenia wiatrem po kierunku Xa) widok z góry b) widok aksonometryczny dla ostatniej kondygnacji c) widok z boku

Rys. 8.3 Wykresy przemieszczeń budynku od obciążenia wiatrem a) po kierunku Y b) po kierunku X

67

8.1.3. Ekstremalne wartości przemieszczenia po kierunku Y – SGU (Stan Graniczny Użytkowalności )

Ekstremalne wartości przemieszczeń wyznaczono z kombinacji obciążeń

charakterystycznych. Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 72,70 cm.

8.1.4. Ekstremalne wartości przemieszczenia po kierunku X – SGU (Stan Graniczny Użytkowalności )

Ekstremalne wartości przemieszczeń wyznaczono z kombinacji obciążeń

charakterystycznych. Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 31,40 cm.

Rys. 8.4 Ekstremalne wartości przemieszczeń a) po kierunku Y b) po kierunku X

68

8.1.5. Przemieszczenia wybranych punktów trzonu na rzędnej 298,05 dla SGU po kierunku Y

Tablica 8.1 Przemieszczenia wybranych punktów trzonu na rzędnej 298,05m

Nr pkt. 9066 9069 9072 9075 9078 9081

Przemieszczenie [ cm] 72,6 72,6 72,7 72,7 72,7 72,7

8.2. Wartości przemieszczeń dla Modelu 2 (Model 2 - bez outriggerów)

Wartości przemieszczeń odczytano dla szczytu trzonu budynku na rzędnej 298,05 m.

8.2.1. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku Y Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 104,50 cm.

Rys. 8.7 Przemieszczenia budynku od obciążenia wiatrem po kierunku Y a) widok z góry b) widok aksonometryczny dla ostatniej kondygnacji c) widok z boku

69

8.2.2. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku X Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 27,80 cm.

Rys. 8.8 Przemieszczenia budynku od obciążenia wiatrem po kierunku Xa) widok z góry b) widok aksonometryczny dla ostatniej kondygnacji c) widok z boku

Rys. 8.9 Wykresy przemieszczeń budynku od obciążenia wiatrem a) po kierunku Y b) po kierunku X

70

8.3. Wartości przemieszczeń dla Modelu 3 (Model 3 – element skończony 1,0 x1,0 m)

Wartości przemieszczeń odczytano dla szczytu trzonu budynku na rzędnej 298,05 m.

8.3.1. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku Y Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 64,80 cm.

Rys. 8.9 Przemieszczenia budynku od obciążenia wiatrem po kierunku Y

71

8.3.2. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku X Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 26,90 cm.

Rys. 8.10 Przemieszczenia budynku od obciążenia wiatrem po kierunku X

8.3.3. Ekstremalne wartości przemieszczenia po kierunku Y – SGU (Stan Graniczny Użytkowalności )

Ekstremalne wartości przemieszczeń wyznaczono z kombinacji obciążeń

charakterystycznych. Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 72,80 cm.

72

8.3.4. Ekstremalne wartości przemieszczenia po kierunku X – SGU (Stan Graniczny Użytkowalności )

Ekstremalne wartości przemieszczeń wyznaczono z kombinacji obciążeń

charakterystycznych. Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 32,20 cm.

Rys. 8.11 Ekstremalne wartości przemieszczeń a) po kierunku Y b) po kierunku X

8.4. Wartości przemieszczeń dla Modelu 4 (Model 4 – podobnie jak Model 1, przekroje słupów jak w programie BW )

Wartości przemieszczeń odczytano dla szczytu trzonu budynku na rzędnej 298,05 m.

73

8.4.1. Przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku Y Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 56,90 cm.

Rys. 8.12 Przemieszczenia budynku od obciążenia wiatrem po kierunku Y

8.4.2. Przemieszczenia dla obciążenia wiatrem po kierunku X Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 25,40 cm.

Rys. 8.13 Przemieszczenia budynku od obciążenia wiatrem po kierunku X

74

8.4.3. Ekstremalne wartości przemieszczenia po kierunku Y – SGU (Stan Graniczny Użytkowalności )

Ekstremalne wartości przemieszczeń wyznaczono z kombinacji obciążeń

charakterystycznych. Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 63,80 cm.

8.4.4. Ekstremalne wartości przemieszczenia po kierunku X – SGU (Stan Graniczny Użytkowalności )

Ekstremalne wartości przemieszczeń wyznaczono z kombinacji obciążeń

charakterystycznych. Maksymalna wartość przemieszczenia wynosi 30,60 cm.

Rys. 8.14 Ekstremalne wartości przemieszczeń a) po kierunku Y b) po kierunku X

8.5. Wartości naprężeń dla Modelu 1 Ekstremalne wartości naprężeń wyznaczono dla kombinacji obciążeń obliczeniowych (SGN –

Stan Graniczny Nośności). Wyniki przedstawiono dla dwóch grubości trzonu.

● 75 cm – kondygnacja: - 3, rzędna -14,0 m

● 60 cm – kondygnacja : 46, rzędna 193,25 m

Brak symetrii w rozkładzie naprężeń przedstawionych na poniższych mapach, wynika z faktu

wprowadzenia obciążenia wiatrem działającego tylko w jedną stronę (zgodnie z kierunkami osi

X i Y) dla każdego z kierunków X i Y.

75

8.5.1. Ekstremalne wartości naprężeń dla trzonu o gr. 75 cm ● Maksymalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi 10,10 MPa. Występuje w ścianie

na osi 3 w pobliżu osi B. Element jest rozciągany.

Rys. 8.15 Maksymalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 75 cm

● Minimalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi -35,32 MPa. Występuje w ścianie na

osi 5 w pobliżu osi G. Element jest ściskany.

Rys. 8.16 Minimalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 75 cm

76

8.5.2. Ekstremalne wartości naprężeń dla trzonu o gr. 60 cm ● Maksymalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi 10,80 MPa. Występuje w ścianie

na osi 3 w pobliżu osi B. Element jest rozciągany.

Rys. 8.17 Maksymalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 60 cm

● Minimalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi -26,34 MPa. Występuje w ścianie na

osi 5 w pobliżu osi G. Element jest ściskany.

Rys. 8.18 Minimalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 60 cm

77

8.6. Wartości naprężeń dla Modelu 3

8.6.1. Ekstremalne wartości naprężeń dla trzonu o gr. 75 cm ● Maksymalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi 10,82 MPa. Występuje w ścianie

na osi 3 w pobliżu osi B. Element jest rozciągany.

Rys. 8.19 Maksymalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 75 cm

● Minimalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi -37,39 MPa. Występuje w ścianie na

osi 5 w pobliżu osi G. Element jest ściskany.

Rys. 8.20 Minimalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 75 cm

78

8.7. Wartości naprężeń dla Modelu 4

8.7.1. Ekstremalne wartości naprężeń dla trzonu o gr. 75 cm ● Maksymalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi 7,98 MPa. Występuje w ścianie na

osi 3 w pobliżu osi B. Element jest rozciągany.

Rys. 8.21 Maksymalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 75 cm

● Minimalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi -35,69 MPa. Występuje w w ścianie

na osi 5 w pobliżu osi G. Element jest ściskany

Rys. 8.22 Minimalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 75 cm

79

8.7.2. Ekstremalne wartości naprężeń dla trzonu o gr. 60 cm ● Maksymalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi 12,10 MPa. Występuje w ścianie

na osi 3 w pobliżu osi B. Element jest rozciągany.

Rys. 8.23 Maksymalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 60 cm

● Minimalna wartość naprężeń z w trzonie wynosi -24,41 MPa. Występuje w ścianie na

osi 5 w pobliżu osi G. Element jest ściskany.

Rys. 8.24 Minimalne wartości naprężeń z w trzonie gr. 60 cm

80

8.8. Wartości siły poprzecznej w trzonie od obciążenia wiatrem dla Modelu 1

Wartości siły poprzecznej w trzonie odczytano jako wartość zredukowaną dla Piętra 1:

● dla wiatru po kierunku Y wartość siły równa się: 63 362 kN,

● dla wiatru po kierunku X wartość siły równa się: 42 728 kN.

8.9. Wartości siły poprzecznej w trzonie od obciążenia wiatrem dla Modelu 4

Wartości siły poprzecznej w trzonie odczytano jako wartość zredukowaną dla Piętra 1:

● dla wiatru po kierunku Y wartość siły równa się: 62 456 kN,

● dla wiatru po kierunku X wartość siły równa się: 43 054 kN.

8.10. Wartości sił w nadprożach dla Modelu 1Tablica 8.2 Maksymalne wartości sił w nadprożach dla Modelu 1

Strefa Nr nadproża/Nr pręta Rzędna M [kNm] T [ kN]

Trzon 75 cm 3 / 4232 110,75 4626,73 3102,29

Trzon 60 cm 3/7855 197,00 2884,1 1949,21

8.11. Wartości sił w nadprożach dla Modelu 4Tablica 8.3 Maksymalne wartości sił w nadprożach dla Modelu 2

Strefa Nr nadproża/Nr pręta Rzędna M [kNm] T [ kN]

Trzon 75 cm 3 / 4232 110,75 4607,8 3090,33

Trzon 60 cm 3 / 7855 197,00 2868,4 1939,21

81

9. Wyniki analizy dynamicznej budynku w programie BW dla Windows

Pliki danych (dane: 49-11) przygotowane dla przeprowadzenia analizy dynamicznej konstrukcji

usztywniającej budynku o zmiennym przekroju w programie BW dla Windows zawiera

Załącznik M . Pliki wyników z tych obliczeń umieszczono w Załączniku N . W następnych

podpunktach rozdziału zestawiono najważniejsze wyniki analizy dynamicznej uzyskanej z

programu BW dla Windows.

9.1. Wyniki analizy modalnejTablica 9.1 Częstotliwości, okresy i częstości drgań własnych

Forma KierunekCzęstość

[rad / s]Częstotliwość

f [Hz ]Okres

T [s ]

1 Y 0,911 0,145 6,912

2 X 1,043 0,166 6,038

3 FI 1,188 0,189 5,302

4 X 3,537 0,563 1,777

5 Y 3,745 0,596 1,677

6 FI 3,971 0,632 1,583

7 X 6,836 1,088 0,919

8 FI 7,841 1,248 0,802

9 Y 8,646 1,376 0,726

10 X 7,351 1,170 0,618

Rys. 9.1 Postacie drgań własnych po kierunku Ya) f = 0,145 Hz b) f = 0,596 Hz c) f =1,376 Hz

82

Rys. 9.2 Postacie drgań własnych po kierunku Xa) f = 0,166 Hz b) f = 0,563 Hz c) f =1,088 Hz

Rys. 9.3 Postacie drgań własnych skrętnych FIa) f = 0,189 Hz b) f = 0,632 Hz c) f =1,248 Hz

9.2. Wyniki analizy sejsmicznej

9.2.1. Wartości przemieszczeń wywołane falami sejsmicznymi Wartości przemieszczeń odczytano dla szczytu trzonu budynku na rzędnej 298,05 m.

● Po kierunku Y

Maksymalna wartość przemieszczeń wywołana obciążeniami sejsmicznymi po kierunku Y

(Schemat 9) wynosi 36,21 cm (od obciążenia wiatrem (Schemat 2 ) 72,62 cm)

83

● Po kierunku X

Maksymalna wartość przemieszczeń wywołana obciążeniami sejsmicznymi po kierunku X

(Schemat 1) wynosi 26,26 cm (od obciążenia wiatrem (Schemat 8) 27,77 cm)

9.2.2. Wartości naprężeń w trzonie wywołane obciążeniami sejsmicznymiWartości naprężeń odczytano dla rzędnej -14,00 m.

● Po kierunku Y

Maksymalna wartość naprężeń w trzonie wywołana obciążeniami sejsmicznymi po kierunku Y

(Schemat 9) wynosi z=5,17 MPa (od obciążenia wiatrem (Schemat 2) z=10,76 MPa ).

● Po kierunku X

Maksymalna wartość naprężeń w trzonie wywołana obciążeniami sejsmicznymi po kierunku X

(Schemat 8) wynosi z=7,55 MPa (od obciążenia wiatrem (Schemat 1) z=7,22MPa )

84

10. Wyniki analizy dynamicznej budynku w programie Robot Millennium

Pliki danych i wyników przygotowane dla przeprowadzenia analizy statycznej konstrukcji

usztywniającej budynku w programie Robot Millennium zamieszono na płytach DVD1 i DVD2

w katalogach: Obliczenia/Robot. Pliki z wybranymi danymi zawiera Załącznik O. Pliki z

wybranymi wynikam obliczeń umieszczono w Załączniku P. W następnych podpunktach

rozdziału zestawiono najważniejsze wyniki.

10.1. Wyniki analizy modalnej dla Modelu 1Tablica 10.1 Częstotliwości, okresy i częstości drgań własnych dla Modelu 4

Forma KierunekCzęstość

[rad / s]Częstotliwość

f [Hz ]Okres

T [s ]

1 Y 1,206 0,192 5,218

2 X 1,445 0,230 4,357

3 FI 1,973 0,314 3,180

4 Y 4,869 0,775 1,291

5 X 4,888 0,778 1,285

6 FI 6,145 0,978 1,022

7 X 8,558 1,362 0,734

8 - 8,583 1,366 0,732

9 - 8,583 1,366 0,732

10 - 8,583 1,366 0,732

10.2. Wyniki analizy modalnej dla Modelu 4Tablica 10.2 Częstotliwości, okresy i częstości drgań własnych dla Modelu 4

Forma KierunekCzęstość

[rad / s]Częstotliwość

f [Hz ]Okres

T [s ]

1 Y 1,198 0,1907 5,2436

2 X 1,359 0,2163 4,6226

3 FI 1,807 0,2876 3,4772

4 X 4,567 0,7268 1,3758

5 Y 4,682 0,7451 1,3421

6 FI 5,622 0,8948 1,1176

7 - 8,446 1,3443 0,7439

8 - 8,583 1,3661 0,7321

9 - 8,584 1,3662 0,7319

10 - 8,584 1,3662 0,7319

85

Rys. 10.1 Postacie drgań własnych po kierunku Y dla Modelu 11Y) f = 0,192 Hz 2Y ) f =0,775 Hz

Rys. 10.2 Postacie drgań własnych po kierunku X dla Modelu 11X) f = 0,230 Hz 2Y ) f =0,778 Hz

86

Rys. 10.3 Postacie drgań własnych skrętnych FI dla Modelu 11X) f = 0,314 Hz 2Y ) f =0,978 Hz

Rys. 10.4 Postacie drgań własnych po kierunku Y dla Modelu 41Y) f = 0,191 Hz 2Y ) f =0,745 Hz

87

Rys. 10.5 Postacie drgań własnych po kierunku X dla Modelu 41X) f = 0,216 Hz 2Y ) f =0,727 Hz

Rys. 10.6 Postacie drgań własnych skrętnych FI dla Modelu 41X) f = 0,216 Hz 2Y ) f =0,727 Hz

88

10.3. Wyniki analizy sejsmicznej dla Modelu 1● Wartości przemieszczeń szczytu trzonu (rzędna 298,0m) od obciążeń sejsmicznych po

kierunku Y wynoszą : 22,62 cm. (Przypadek 11 – Sejsmika po kierunku Y).

● Wartości przemieszczeń szczytu trzonu (rzędna 298,0m) od obciążeń sejsmicznych po kierunku X wynoszą : 14,48 cm (Przypadek 10 – Sejsmika po kierunku X).

● Wartości sił poprzecznych w trzonie dla rzędnej -14,0 m od obciążeń sejsmicznych po kierunku Y wynoszą : 18 216 kN (Przypadek 11 – Sejsmika po kierunku Y).

● Wartości sił poprzecznych w trzonie dla rzędnej -14,0 m od obciążeń sejsmicznych po kierunku X wynoszą : 19 362 kN (Przypadek 10 – Sejsmika po kierunku X).

10.4. Wyniki analizy sejsmicznej dla Modelu 4● Wartości przemieszczeń szczytu trzonu (rzędna 298,0m) od obciążeń sejsmicznych po

kierunku Y wynoszą : 23,20 cm (Przypadek 11 – Sejsmika po kierunku Y).

● Wartości przemieszczeń szczytu trzonu (rzędna 298,0m) od obciążeń sejsmicznych po kierunku X wynoszą : 16,50 cm (Przypadek 10 – Sejsmika po kierunku X).

● Wartości sił poprzecznych w trzonie dla rzędnej -14,0 m od obciążeń sejsmicznych po kierunku Y wynoszą : 18 308 kN(Przypadek 11 – Sejsmika po kierunku Y).

● Wartości sił poprzecznych w trzonie dla rzędnej -14,0 m od obciążeń sejsmicznych po kierunku X wynoszą : 20 501 kN (Przypadek 10 – Sejsmika po kierunku X).

89

11. Wymiarowanie wybranych elementów konstrukcji usztywniającej: ścian i nadproży

Obliczenie zbrojenia zasadniczych elementów wykonano na podstawie wyników z programu

BW dla Windows.

11.1. Ściany W wynikach z programu BW dla wszystkich kombinacji obliczeniowych występowały tylko

naprężenia ściskające. Także w kombinacjach wyników dla schematów z programu Robot,

przy współczynnikach obciążeniowych dla wiatru ≤ 1.55, występują tylko naprężenia

ściskające. Z tego powodu wszystkie elementy trzonu wymiarowane będą jak elementy

mimośrodowo ściskane wg polskiej normy żelbetowej [N5]. Zgodnie z jej przepisami

naprężenia i siły ściskające określone są ze znakiem „+”. Obliczenia wykonano wg.

algorytmów opracowanych przez dr inż. J. Ścigałło.

11.1.1. Wymiarowanie Elementu 2 trzonu o grubości 75 cm – Poz. 1.1

Rys. 11.1 Oznaczenie elementów trzonu

Maksymalne wartości sił wewnętrznych w płaszczyźnie ściany, w trzonie o grubości 75 cm

uzyskano w strefie pierwszej dla rzędnej -14,0 m. Przyjmują one wartość: N=47 401,2 ,

M=19 791,7 kNm dla ściany 3, oraz N=160844,2 kN , M=212124,2kNm dla ściany 22. Wysokość

kondygnacji przyjmuję równą 7,00 m.

11.1.1.1 Wymiarowanie zbrojenia ściany nr 3 i 4 – Poz. 1.1.1 Dane projektowe

M = 19 791,70 kNm N = 41 401,20 kN

Wymiary ściany :

g = 75 cm s = 320 cm l0 = 7,00 m

Asc = 24 000 cm2 Wsc = 1 280 000 cm3

g – grubość ściany s – szerokość ściany Asc – pole przekroju ściany Wsc – wskaźnik wytrzymałości ściany

90

Dla sił wewnętrznych wyznaczono rozkład naprężeń normalnych w ścianie:

= NAsc± M

W sc (11.1)

=41401,2024000

±19791701280000

=1,975±1,546

max=3,521 kN /cm2=35,21 MPa , min=0,429 kN /cm2=4,29 MPa

Rys. 11.2 Rozkład naprężeń w ścianie 3 o gr. 75 cm

Całą ścianę podzielono na segmenty (SG) o długości l s=1,0 i l s=1,20 m. Następnie dla

każdego elementu określono wartości średnie naprężeń śr (Rys.11.2), na podstawie których

wyznaczono zastępcze siły ściskające N i wg wzoru 11.2. Wartości sił zestawiono w Tablicy

11.1.

N i= śr g l s (11.2)

Tablica 11.1 Wartości sił zastępczych N i

Segmentmax

[MPa]

min

[MPa]

śr

[MPa]

l s

[cm]

N i

[kN]

SG I 32,21 25,55 30,38 100 22 785,6

SG II 25,55 13,95 19,75 120 17 775,5

SG III 13,95 4,29 9,12 100 6 840,94

Segment SG III będzie wymiarowany jak SG I.

Na podstawie pkt. 4.8 minimalny sumaryczny przekrój zbrojenia podłużnego w elementach

ściskanych określa się z wzoru 25a i 25b [N5] :

As ,min=0,15 Nf yd=0,15 41401,20

42=147,86cm2

(11.3a)

As ,min=0,003 Ac=0,003⋅75⋅100=72,0cm2 (11.3b)

91

11.1.1.1.1 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG I i SG IIIDane projektowe

M = 0 kNm N = 22 785,6 kN

Wymiary przekroju : Parametry przekroju Stal AIIIN Beton C45/55

h = 75 cm A = 7500,00 cm2 fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2 fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2

b = 100 cm I = bh3/12 = 3 515 625,0 cm4 fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2 fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2

lcol = 7,00 m ix = 21,65 cm Es = 200 GPa fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2

a1 = 5 cm fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2

d = h – a1 = 70 cm Ecm = 36 GPa

β = 1,0

l0 = β lcol = 7,00 m

● Określenie mimośrodu początkowego e0 wzór 31 [N5]

e0=eaee (11.4)

e a - mimośród niezamierzony (p. 5.3.2. [N5])

ea=l col

600= 700

600=1,167cm lub ea=

h30=75

30=2,5 cm lub ea=1,00cm (11.4a)

ea=2,5cm

e e - mimośród konstrukcyjny e e=M sd

N sd= 0

22785,6=0 (11.4b)

e0=2,50=2,5cm

● Sprawdzenie smukłości elementu [p. 5.3.1 [N5])

l 0

i= 700

21,65=32,3325 ,

l o

h=700

75=9,337 (11.5)

Należy uwzględnić smukłość.

● Określenie wartości siły krytycznej

=e0 /h=2,5 /75=0,03 lub =0,5−0,01l 0

h−0,01 f cd=0,5−0,01 700

75−0,01⋅3,0=0,11 (11.6)

=0,11

∞ ,t 0=1,65 - końcowy współczynnik pełzania betonu (Tablica A.1 [N5]), dla C45/55 RH = 80%, h0 = 2 (70 100)/ 2(70 +100) = 41,18 cm = 412 mm

N sd.lt=N sd=1,0⋅22785=22785 kN - siła podłużna wywołana długotrwałym działaniem części obciążenia

k l - wpływ oddziaływania długotrwałego wzór 40 [N5]

92

k l=10,5N sd.lt

N sd⋅∞ ,t 0=10,5 22785

22785⋅1,65=1,83 (11.7)

s=0,01

I c - moment bezwładności przekroju betonu względem jego środka ciężkości

I c=b h3/12=3515 625,0 cm4 (11.8)

I s - moment bezwładności przekroju zbrojenia względem środka ciężkości przekroju betonu

I s=s b d h−a1−a 2

2 2

=0,01⋅100⋅70 75−5−52

2

=73938cm4 (11.9)

N crit - wartość siły krytycznej wzór 38 [N5]

N crit=9l 0

2 [ Ecm I c

2 k l 0,11

0,10,1E s I s] (11.10)

N crit=9

7002 [3600⋅35156252⋅1,83 0,11

0,10,110,12000⋅73938]=67428,06 kN

N sd=22785 kN , 0,9 N crit=60685 kN

N sd0,9 N crit

● Zwiększony mimośród początkowy e tot

e tot=⋅e0 (11.11)

= 1

1−N sd

N crit

= 1

1− 2278567428,06

=1,51(11.12)

e tot=1,57⋅2,5=3,78cm

● Obliczenie zbrojenia symetrycznego As1=As2

x eff , lim=eff , lim d=0,50⋅70=35,0 cm (11.13)

xeff=N sd

f cd b= 227853,0⋅100

=75,95 cm

x effxeff , lim

Przypadek małego mimośrodu

e s1 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia As1

e s2 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia As2

e s1=etot0,5 h−a1=3,780,5⋅75−5=36,28cm (11.14a)

e s2=es1−da2=36,28−705=−28,72cm (11.14b)

p= 21−eff , limd

= 21−0,5070

=0,0571 (11.15)

A xeff3 −B x eff

2 2 C x eff−D=0 (11.16)

93

A=1 (11.16a)

B=xeff , lim2d=35,02⋅70=175 (11.16b)

C=d x eff , limd−a 2

p

N sd e s1

f cd b=70⋅35 70−5

0,0571 22785⋅36,28

3,0⋅100=6342,66 (11.16c)

D=2 N sd

f cd b d−a 2

pe s1 xeff , lim= 2⋅22785

3,0⋅100 70−50,0571

36,28⋅35,0=365647,36 (11.16d)

x eff3 −175 xeff

2 12685,32 x eff−365648,36=0

x eff=67,20cm

x effd

As1=As2=N sd− f cd b xeff

p xeff−xeff , lim f yd= 22785−3,0⋅100⋅67,20

0,057167,20−35,042,0=33,98cm2 (11.17)

Przyjmuję zbrojenie: As1 = As2 = 11 Φ 20 mm o As = 34,56 cm2

=As1As2

bh=34,5634,56

100⋅75=0,0092

∣s−s∣=∣0,01−0,0092

0,01∣=0,080,1

● Sprawdzenie nośności przekroju

x eff=−e s2−a2e s1−a 22

2 f yd As1 es1−As2e s2f cd b

(11.18)

x eff=−−28,72−5 −28,72−52 2⋅42,0 34,56⋅36,28−34,56⋅−28,723,0⋅100

=75,75cm

x effxeff , lim

p=1−eff , lim=1−0,5=0,5 (11.19)

x eff=−A A2B (11.20)

A=e s2−a22 f yd A s1e s1

d p f cd b=−28,72−5 2⋅42,0⋅34,56⋅36,28

70⋅0,5⋅3,0⋅100=54,03 (11.20a)

B= 2f cd b [ 2

p−1 f yd As1 e s1− f yd As2 es2 ] (11.20b)

B= 23,0⋅100 [ 2

0,5−142,0⋅34,56⋅36,28−42,0⋅34,56⋅−28,72]=12212,28

x eff=−54,0354,03212212,28=68,98cm

eff=x eff

d= 68,98

70=0,99 (11.21)

s=2 1−eff 1−eff , lim

−1=2 1−0,99

1−0,50−1=−0,94 (11.22)

Wzór 43 [N5]

94

N sd⋅e s1≤ f cd b x eff d−0,5 x eff f yd As2 d−a2 (11.23)

N sd e s1=22785⋅36,28=826 639,8 kN cm=8266,40 kNm

f cd b xeff d−0,5 xeff f yd As2d−a 2=3,0⋅100⋅68,98⋅70−0,5⋅68,9842,0⋅34,5670−5=829186,0 kNcm=8291,86kNm

8266,408291,86

Warunek nośności spełniony

Wzór 44 [N5]

N sd≤ f cd b xeff f yd As2− f yd As1s (11.24)

f cd b x eff f yd As2− f yd As1s=3,0⋅100⋅68,9842,0⋅34,56−42,0⋅34,56⋅−0,94 =23512,66kN

22 785,023512,66

Warunek nośności spełniony

11.1.1.1.2 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG II

Dane projektowe

M = 0 kNm N = 17 775,5 kN

Wymiary przekroju : Parametry przekroju Stal AIIIN Beton C45/55

h = 75 cm A = 9000,00 cm2 fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2 fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2

b = 125 cm I = bh3/12 = 4 218 750,0 cm4 fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2 fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2

lcol = 7,00 m ix = 21,65 cm Es = 200 GPa fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2

a1 = 5 cm fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2

d = h – a1 = 70 cm Ecm = 36 GPa

β = 1,0

l0 = β lcol = 7,00 m

● Określenie mimośrodu początkowego e0 wzór 31 [N5]

e0=eaee

e a - mimośród niezamierzony (p. 5.3.2. [N5])

ea=l col

600= 700

600=1,167cm lub ea=

h30=75

30=2,5 cm lub ea=1,00cm

ea=2,5cm

e e - mimośród konstrukcyjny e e=M sd

N sd= 0

22785,6=0

e0=2,50=2,5cm

95

● Sprawdzenie smukłości elementu [p. 5.3.1 [N5])

l 0

i= 700

21,65=32,3325 ,

l o

h=700

75=9,337

Należy uwzględnić smukłość.

● Określenie wartości siły krytycznej

=e0 /h=2,5 /75=0,03 lub =0,5−0,01l 0

h−0,01 f cd=0,5−0,01 700

75−0,01⋅3,0=0,11

=0,11

∞ ,t 0=1,65 - końcowy współczynnik pełzania betonu (Tablica A.1 [N5]), dla C45/55 RH = 80%, h0 = 2 (70 120)/ 2(70 +120) = 44,21 cm = 442 mm

N sd.lt=N sd=1,0⋅17775,6=17775,6kN - siła podłużna wywołana długotrwałym działaniem części obciążenia

k l - wpływ oddziaływania długotrwałego wzór 40 [N5]

k l=10,5N sd.lt

N sd⋅∞ ,t 0=10,5 17775,6

17775⋅1,65=1,83

s=0,01

I c - moment bezwładności przekroju betonu względem jego środka ciężkości

I c=b h3/12=4218 750cm4

I s - moment bezwładności przekroju zbrojenia względem środka ciężkości przekroju betonu

I s=s b d h−a1−a2

2 2

=0,01⋅120⋅70 75−5−52

2

=88725cm4

N crit - wartość siły krytycznej wzór 38 [N5]

N crit=9l 0

2 [ Ecm I c

2 k l 0,11

0,10,1E s I s]

N crit=9

7002 [3600⋅42187502⋅1,83 0,11

0,10,110,12000⋅88 725]=80 913,67 kN

N sd=17775,6 kN , 0,9 N crit=72822 kN

N sd0,9 N crit

● Zwiększony mimośród początkowy e tot

e tot=⋅e0

= 1

1−N sd

N crit

= 1

1−17 775,680

913,67=1,28

e tot=1,28⋅2,5=3,20cm

96

● Obliczenie zbrojenia symetrycznego As1=As2

x eff , lim=eff , lim d=0,50⋅70=35,0 cm

x eff=N sd

f cd b= 17775,63,0⋅120

=49,38 cm

x effxeff , lim

Przypadek małego mimośrodu

e s1 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia A s1

e s2 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia As2

e s1=e tot0,5 h−a1=3,200,5⋅75−5=35,70 cm

e s2=es1−da2=35,70−705=−29,30 cm

p= 21−eff , limd

= 21−0,5070

=0,0571

A xeff3 −B x eff

2 2 C x eff−D=0

A=1

B=xeff , lim2d=35,02⋅70=175

C=d x eff , limd−a2

p

N sd e s1

f cd b=70⋅35 70−5

0,057117775,6⋅35,70

3,0⋅100=5350,44

D=2 N sd

f cd b d−a 2

pe s1 xeff , lim= 2⋅17775,6

3,0⋅100 70−50,0571

35,70⋅35,0=235737,47

x eff3 −175 x eff

2 10700,87 xeff−235737,47=0

x eff=72,10 cm

x effd

x eff=da 2

2 da2

2 2

−2 N sde s22,5 d−a 2

f cd b(11.25)

x eff=705

2 705

2 2

− 2⋅17775,652,5 70−53,0⋅120

=70,51

As1=As2=N sd− f cd b xeff

2 f yd=17775,6−3,0⋅120⋅70,51

2⋅42,0=−80,41 (11.26)

Potrzebna wartość zbrojenia jest ujemna oznacza to, że element nie wymaga zbrojenia gdyż sam beton jest w stanie przenieść zadane mu obciążenie.

Element zbroi sie zbrojeniem minimalnym:

As1As2=0,003 Ac=0,003⋅9000=27,0 cm2

Przyjmuję zbrojenie minimalne : As1 + As2 = 10 Φ 20 mm o As = 31,42 cm2

=A s1 As2

b h=15,7115,71

120⋅75=0,0035

97

● Sprawdzenie nośności przekroju

x eff=−e s2−a2e s1−a 22

2 f ydA s1e s1−As2 e s2f cd b

x eff=−−29,30−5 −29,30−522⋅42,015,71⋅35,70−15,71⋅−29,303,0⋅120

=71,91 cm

x effxeff , lim

p=1−eff , lim=1−0,5=0,5

x eff=−A A2B

A=e s2−a22 f yd As1e s1

d p f cd b=−29,30−5 2⋅42,0⋅15,71⋅35,70

70⋅0,5⋅3,0⋅120=−1,58

B= 2f cd b [ 2

p−1 f yd As1 e s1− f yd As2 es2 ]B= 2

3,0⋅120 [ 20,5−142,0⋅15,71⋅35,70−42,0⋅15,71⋅−29,30]=4556,66

x eff=1,58−1,5828202,00=69,10 cm

eff=xeff

d=69,25

70=0,99

s=2 1−eff 1−eff , lim

−1=2 1−0,99

1−0,50−1=−0,95

Wzór 43 [N5]

N sd⋅e s1≤ f cd b x eff d−0,5 x eff f yd As2d−a 2

N sd e s1=17775,6⋅35,70=634657,0 kN cm=6346,57kNm

f cd b x eff d−0,5 x eff f yd A s2d−a 2=3,0⋅120⋅69,25⋅70−0,5⋅69,2542,0⋅15,7170−5 =924738,00 kNcm=9 247,38kNm

6346,579247,88

Warunek nośności spełniony

Wzór 44 [N5]

N sd≤ f cd b xeff f yd As2− f yd As1s

f cd b xeff f yd As2− f yd As1s=3,0⋅120⋅69,2542,0⋅15,71−42,0⋅15,71⋅−0,95=26 162,48 kN

17 775,627 255,32

Warunek nośności spełniony

98

11.1.1.1.3 Sprawdzenie warunku minimalnego zbrojenia dla ściany 3 Sumaryczne pole przekroju zbrojenia podłużnego zestawiono w Tablicy 11.2

Tablica 11.2 Pole przekroju zbrojenia ściany 3

Segment

[mm]Liczba prętów

A s1

[cm2]

A s2

[cm2]

As

[cm2]

SG I 20 9 34,56 34,56 69,12

SG II 20 5 15,71 15,71 31,42

SG III 20 9 34,56 34,56 69,12

Suma 169,66

Całkowite pole przekroju zbrojenia podłużnego A s=169,66 cm2 , A s , min=147,86cm2

AsAs min

Warunek spełniony

11.1.1.1.4 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia poprzecznego Zbrojenie poziome dobieram z warunku minimalnego pola przekroju zbrojenia wg p.6.2 [N5].

Zbrojenie liczę na 1 m wysokości ściany

A s , min=k c k f ct , effAct

s , lim(11.27)

s , lim=240 MPa - dla =16 i w lim=0,3 mm tab. 12 [N5]

k c=1,0 , k=0,5 , Act=0,5b h=0,5⋅75⋅100=3750 cm2 , f ct ,eff= f ctm=3,8MPa p. 6.2 [N5]

A s , min=1,0⋅0,5⋅3,8 3750240

=29,69 cm2

Przyjmuję zbrojenie obu powierzchni ściany : 2 x 8 Φ 16 mm o As = 32.17 cm2

11.1.1.1.5 Obliczenie potrzebnej długości zakotwienia prętów

Podstawową długość zakotwienia l b oblicza się z wzoru 187 [N5]

Pręt Φ 16 mm

l b=4⋅

f yd

f bd=16

4⋅420

4,0=420 mm=42cm

f bd=4,0 MPa - z tab 24 [N5] dla prętów żebrowanych i betonu C 45/55

(11.28)

Przyjmuję l b=45 cm

99

Pręt Φ 20 mm

l b=4⋅

f yd

f bd= 20

4⋅420

4,0=525 mm=52,5 cm

f bd=4,0 MPa - z tab 24 [N5] dla prętów żebrowanych i betonu C 45/55

Przyjmuję l b=55 cm

11.1.1.2 Wymiarowanie zbrojenia ściany nr 22 – Poz. 1.1.2 Dane projektowe

M = 232 164,60 kNm N = 164 768,80 kN

Wymiary ściany :

g = 75 cm s = 1125 cm l0 = 7,00 m

Asc = 84 375 cm2 Wsc = 15 820 313 cm3

g – grubość ściany s – szerokość ściany Asc – pole przekroju ściany wsc – wskaźnik wytrzymałości ściany

Dla sił wewnętrznych wyznaczono rozkład naprężeń normalnych w ścianie:

= NAsc± M

W sc

=164 768,8084

375±23216 46015820313

=1,952±1,468

max=3,420 kN /cm2=34,20 MPa , min=0,4853kN /cm2=4,85 MPa

Rys. 11.3 Rozkład naprężeń w ścianie 22 o gr. 75 cm

Całą ścianę podzielono na segmenty (SG) o długości l s=1,0 i l s=1,20 m. Następnie dla

każdego elementu określono wartości średnie naprężeń śr ( Rys.11.3), na podstawie których

wyznaczono zastępcze siły ściskające N i wg wzoru 11.2. Wartości sił N i zestawiono w

Tablicy 11.3.

100

Tablica 11.3 Wartości sił zastępczych N i

Segmentmax

[MPa]

min

[MPa]

śr

[MPa]

l s

[cm]

N i

[kN]

SG I 34,20 31,59 32,90 100 25 652,4

SG II 31,59 28,99 3029 100 23 695,8

SG III 28,99 26,38 27,68 100 21 739,1

SG IV 26,38 23,77 25,07 100 19 782,4

SG V 23,77 21,16 22,46 100 17 825,7

SG VI 21,16 17,90 19,53 125 19 836,3

SG VII 17,90 15,29 16,59 100 13 423,2

SG VIII 15,29 12,68 13,98 100 11 466,5

SG IX 12,68 10,07 11,37 100 9 509,83

SG X 10,07 7,45 8,77 100 7 553,15

SG XI 7,45 4,85 6,16 100 5 596,47

Wymiarowane będą segmenty SG I do SG VI.

Na podstawie pkt. 4.8 minimalny sumaryczny przekrój zbrojenia podłużnego w elementach

ściskanych określa się z wzoru 25a i 25b [N5] :

As , min=0,15 Nf yd=0,15 164768,80

42=588,45 cm2

As , min=0,003 Ac=0,003⋅75⋅1125=236,25cm2

101

11.1.1.2.1 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG I

Dane projektowe

M = 0 kNm N = 25 652,4kN

Wymiary przekroju : Parametry przekroju Stal AIIIN Beton C45/55

h = 75 cm A = 7500,00 cm2 fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2 fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2

b = 100 cm I = bh3/12 = 3 515 625,0 cm4 fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2 fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2

lcol = 7,00 m ix = 21,65 cm Es = 200 GPa fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2

a1 = 5 cm fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2

d = h – a1 = 70 cm Ecm = 36 GPa

β = 1,0

l0 = β lcol = 7,00 m

● Określenie mimośrodu początkowego e0 wzór 31 [N5]

e0=eaee

e a - mimośród niezamierzony (p. 5.3.2. [N5])

ea=l col

600= 700

600=1,167cm lub ea=

h30=75

30=2,5 cm lub ea=1,00cm

ea=2,5cm

e e - mimośród konstrukcyjny e e=M sd

N sd= 0

25652,4=0

e0=2,50=2,5cm

● Sprawdzenie smukłości elementu (p. 5.3.1 [N5])

l 0

i= 700

21,65=32,3325 ,

l o

h=700

75=9,337

Należy uwzględnić smukłość.

● Określenie wartości siły krytycznej

=e0 /h=2,5 /75=0,03 lub =0,5−0,01l 0

h−0,01 f cd=0,5−0,01 700

75−0,01⋅3,0=0,11

=0,11

∞ ,t 0=1,65 - końcowy współczynnik pełzania betonu (Tablica A.1 [N5]), dla C45/55 RH = 80%, h0 = 2 (70 100)/ 2(70 +100) = 41,18 cm = 412 mm

N sd.lt=N sd=1,0⋅25652,4=25652,4 kN - siła podłużna wywołana długotrwałym działaniem części obciążenia

102

k l - wpływ oddziaływania długotrwałego wzór 40 [N5]

k l=10,5N sd.lt

N sd⋅∞ ,t 0=10,5 25652,4

25652,4⋅1,65=1,83

s=0,02

I c - moment bezwładności przekroju betonu względem jego środka ciężkości

I c=b h3/12=3515 625,0 cm4

I s - moment bezwładności przekroju zbrojenia względem środka ciężkości przekroju betonu

I s=s b d h−a1−a2

2 2

=0,02⋅100⋅70 75−5−52

2

=147875 cm4

N crit - wartość siły krytycznej wzór 38 [N5]

N crit=9l 0

2 [ Ecm I c

2 k l 0,11

0,10,1E s I s]

N crit=9

7002 [3600⋅35156252⋅1,83 0,11

0,10,110,12000⋅147 875]=94588,77 kN

N sd=25652,4 kN , 0,9 N crit=85 130 kN

N sd0,9 N crit

● Zwiększony mimośród początkowy e tot

e tot=⋅e0

= 1

1−N sd

N crit

= 1

1− 2565294588,77

=1,37

e tot=1,37⋅2,5=3,43 cm

● Obliczenie zbrojenia symetrycznego As1=As2

x eff , lim=eff , lim d=0,50⋅70=35,0 cm

xeff=N sd

f cd b= 256523,0⋅100

=85,51cm

x effxeff , lim

Przypadek małego mimośrodu

e s1 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia A s1

e s2 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia As2

e s1=e tot0,5 h−a1=3,430,5⋅75−5=35,93cm

e s2=es1−da2=35,93−705=−29,07cm

103

p= 21−eff , limd

= 21−0,5070

=0,0571

A xeff3 −B x eff

2 2 C x eff−D=0

A=1

B=xeff , lim2d=35,02⋅70=175

C=d xeff , limd−a2

p

N sd e s1

f cd b=70⋅35 70−5

0,057125652⋅35,93

3,0⋅100=6659,83

D=2 N sd

f cd b d−a 2

pe s1 xeff , lim= 2⋅25652

3,0⋅100 70−50,0571

35,93⋅35,0=409593,62

x eff3 −175 xeff

2 13319,65 x eff−409593,62=0

x eff=67,59cm

x effd

As1=As2=N sd− f cd b xeff

p xeff−xeff , lim f yd= 25652−3,0⋅100⋅67,59

0,057167,59−35,042,0=68,73 cm2

Przyjmuję zbrojenie: As1 = As2 = 12 Φ 28 mm o As = 73,85 cm2

=As1As2

b h=73,8573,85

100⋅75=0,0197

∣s−s∣=∣0,02−0,0197

0,02∣=0,0140,1

● Sprawdzenie nośności przekroju

x eff=−e s2−a2e s1−a 22

2 f ydA s1e s1−As2 e s2f cd b

x eff=−−29,07−5−29,07−52 2⋅42,0 73,85⋅35,93−73,85⋅−29,073,0⋅100

=84,13 cm

x effxeff , lim

p=1−eff , lim=1−0,5=0,5

x eff=−A A2B

A=e s2−a22 f yd As1e s1

d p f cd b=−28,72−5 2⋅42,0⋅73,85⋅35,93

70⋅0,5⋅3,0⋅100=151,77

B= 2f cd b [ 2

p−1 f yd As1 e s1− f yd As2e s2]

B= 23,0⋅100 [ 2

0,5−142,0⋅73,85⋅35,93−42,0⋅73,85⋅−29,07]=25876,07

x eff=−54,03151,77225876,07=69,39 cm

eff=xeff

d=69,39

70=0,99

104

s=2 1−eff 1−eff , lim

−1=2 1−0,99

1−0,50−1=−0,96

Wzór 43 [N5]

N sd⋅e s1≤ f cd b x eff d−0,5 x eff f yd As2 d−a2

N sd e s1=25652⋅35,93=921 698,0 kN cm=9 216,98kNm

f cd b xeff d−0,5 xeff f yd As2d−a 2=3,0⋅100⋅69,39⋅70−0,5⋅69,3942,0⋅73,8570−5=936664,0 kNcm=9366,64 kNm

9216,989366,64

Warunek nośności spełniony

Wzór 44 [N5]

N sd≤ f cd b xeff f yd As2− f yd As1s

f cd b x eff f yd As2− f yd As1s=3,0⋅100⋅69,3942,0⋅73,85−42,0⋅73,85⋅−0,96=26913,46kN

22 785,023512,66

Warunek nośności spełniony

11.1.1.2.2 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG II

Dane projektowe

M = 0 kNm N = 23 695,8kN

Wymiary przekroju : Parametry przekroju Stal AIIIN Beton C45/55

h = 75 cm A = 7500,00 cm2 fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2 fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2

b = 100 cm I = bh3/12 = 3 515 625,0 cm4 fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2 fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2

lcol = 7,00 m ix = 21,65 cm Es = 200 GPa fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2

a1 = 5 cm fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2

d = h – a1 = 70 cm Ecm = 36 GPa

β = 1,0

l0 = β lcol = 7,00 m

● Określenie mimośrodu początkowego e0 wzór 31 [N5]

e0=eaee

e a - mimośród niezamierzony (p. 5.3.2. [N5])

ea=l col

600= 700

600=1,167cm lub ea=

h30=75

30=2,5 cm lub ea=1,00cm

ea=2,5cm

105

e e - mimośród konstrukcyjny e e=M sd

N sd= 0

25652,4=0

e0=2,50=2,5cm

● Sprawdzenie smukłości elementu (p. 5.3.1 [N5])

l 0

i= 700

21,65=32,3325 ,

l o

h=700

75=9,337

Należy uwzględnić smukłość.

● Określenie wartości siły krytycznej

=e0 /h=2,5 /75=0,03 lub =0,5−0,01l 0

h−0,01 f cd=0,5−0,01 700

75−0,01⋅3,0=0,11

=0,11

∞ ,t 0=1,65 - końcowy współczynnik pełzania betonu (Tablica A.1 [N5]), dla C45/55 RH = 80%, h0 = 2 (70 100)/ 2(70 +100) = 41,18 cm = 412 mm

N sd.lt=N sd=1,0⋅23695,8=23695,8 kN - siła podłużna wywołana długotrwałym działaniem części obciążenia

k l - wpływ oddziaływania długotrwałego wzór 40 [N5]

k l=10,5N sd.lt

N sd⋅∞ ,t 0=10,5 23695,8

23695,8⋅1,65=1,83

s=0,013

I c - moment bezwładności przekroju betonu względem jego środka ciężkości

I c=b h3/12=3515 625,0 cm4

I s - moment bezwładności przekroju zbrojenia względem środka ciężkości przekroju betonu

I s=s b d h−a1−a2

2 2

=0,013⋅100⋅70 75−5−52

2

=96119 cm4

N crit - wartość siły krytycznej wzór 38 [N5]

N crit=9l 0

2 [ Ecm I c

2 k l 0,11

0,10,1E s I s]

N crit=9

7002 [3600⋅35156252⋅1,83 0,11

0,10,110,12000⋅96119]=75576,27 kN

N sd=23696 kN , 0,9 N crit=68019 kN

N sd0,9 N crit

● Zwiększony mimośród początkowy e tot

e tot=⋅e0

106

= 1

1−N sd

N crit

= 1

1− 2369675576,27

=1,46

e tot=1,46⋅2,5=3,64cm

● Obliczenie zbrojenia symetrycznego As1=As2

x eff , lim=eff , lim d=0,50⋅70=35,0 cm

x eff=N sd

f cd b= 236963,0⋅100

=78,99 cm

x effxeff , lim

Przypadek małego mimośrodu

e s1 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia A s1

e s2 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia As2

e s1=e tot0,5 h−a1=3,640,5⋅75−5=36,14 cm

e s2=es1−da2=36,14−705=−28,86 cm

p= 21−eff , limd

= 21−0,5070

=0,0571

A xeff3 −B x eff

2 2 C x eff−D=0

A=1

B=xeff , lim2d=35,02⋅70=175

C=d x eff , limd−a2

p

N sd e s1

f cd b=70⋅35 70−5

0,057123696⋅36,14

3,0⋅100=6442,20

D=2 N sd

f cd b d−a 2

pe s1 xeff , lim= 2⋅23696

3,0⋅100 70−50,0571

36,14⋅35,0=379522,14

x eff3 −175 x eff

2 12884,40 xeff−379522,14=0

xeff=67,37cm

x effd

As1=As2=N sd− f cd b xeff

p xeff−xeff , lim f yd= 23696−3,0⋅100⋅67,59

0,057167,37−35,042,0=44,86 cm2

Przyjmuję zbrojenie: As1 = As2 = 12 Φ 22 mm o As = 45,62 cm2

=As1 As2

b h= 45,6245,62

100⋅75=0,012

∣s−s∣=∣0,013−0,012

0,013∣=0,0640,1

107

● Sprawdzenie nośności przekroju

x eff=−e s2−a2e s1−a 22

2 f yd As1 es1−As2e s2f cd b

x eff=−−28,86−5 −28,86−52 2⋅42,045,62⋅36,14−45,62⋅−28,863,0⋅100

=78,32 cm

x effxeff , lim

p=1−eff , lim=1−0,5=0,5

x eff=−A A2B

A=e s2−a22 f yd As1e s1

d p f cd b=−28,86−5 2⋅42,0⋅45,62⋅36,14

70⋅0,5⋅3,0⋅100=81,55

B= 2f cd b [ 2

p−1 f yd As1 e s1− f yd As2e s2]

B= 23,0⋅100 [ 2

0,5−142,0⋅45,62⋅36,14−42,0⋅45,62⋅−28,86]=16063,67

x eff=−81,5581,55216063,68=69,16cm

eff=xeff

d=69,39

70=0,99

s=2 1−eff 1−eff , lim

−1=2 1−0,99

1−0,50−1=−0,99

Wzór 43 [N5]

N sd⋅e s1≤ f cd b x eff d−0,5 x eff f yd As2 d−a2

N sd e s1=23695,8⋅36,14=856410,0 kN cm=8564,10kNm

f cd b xeff d−0,5 xeff f yd As2d−a 2=3,0⋅100⋅69,16⋅70−0,5⋅69,1642,0⋅45,62 70−5 =859426,0 kNcm=8594,26 kNm

8564,108594,26

Warunek nośności spełniony

Wzór 44 [N5]

N sd≤ f cd b xeff f yd As2− f yd As1s

f cd b xeff f yd As2− f yd As1s=3,0⋅100⋅69,1642,0⋅45,62−42,0⋅45,62⋅−0,99=24 489,14 kN

23 695,824489,14

Warunek nośności spełniony

108

11.1.1.2.3 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG III

Dane projektowe

M = 0 kNm N = 21 739,1kN

Wymiary przekroju : Parametry przekroju Stal AIIIN Beton C45/55

h = 75 cm A = 7500,00 cm2 fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2 fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2

b = 100 cm I = bh3/12 = 3 515 625,0 cm4 fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2 fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2

lcol = 7,00 m ix = 21,65 cm Es = 200 GPa fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2

a1 = 5 cm fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2

d = h – a1 = 70 cm Ecm = 36 GPa

β = 1,0

l0 = β lcol = 7,00 m

● Określenie mimośrodu początkowego e0 wzór 31 [N5]

e0=eaee

e a - mimośród niezamierzony (p. 5.3.2. [N5])

ea=l col

600= 700

600=1,167cm lub ea=

h30=75

30=2,5 cm lub ea=1,00cm

ea=2,5cm

e e - mimośród konstrukcyjny e e=M sd

N sd= 0

21739,1=0

e0=2,50=2,5cm

● Sprawdzenie smukłości elementu (p. 5.3.1 [N5])

l 0

i= 700

21,65=32,3325 ,

l o

h=700

75=9,337

Należy uwzględnić smukłość.

● Określenie wartości siły krytycznej

=e0 /h=2,5 /75=0,03 lub =0,5−0,01l 0

h−0,01 f cd=0,5−0,01 700

75−0,01⋅3,0=0,11

=0,11

∞ ,t 0=1,65 - końcowy współczynnik pełzania betonu (Tablica A.1 [N5]), dla C45/55 RH = 80%, h0 = 2 (70 100)/ 2(70 +100) = 41,18 cm = 412 mm

N sd.lt=N sd=1,0⋅21739,1=21739,1 kN - siła podłużna wywołana długotrwałym działaniem części obciążenia

k l - wpływ oddziaływania długotrwałego wzór 40 [N5]

109

k l=10,5N sd.lt

N sd⋅∞ ,t 0=10,5 21739,1

21739,1⋅1,65=1,83

s=0,007

I c - moment bezwładności przekroju betonu względem jego środka ciężkości

I c=b h3/12=3515 625,0 cm4

I s - moment bezwładności przekroju zbrojenia względem środka ciężkości przekroju betonu

I s=s b d h−a1−a2

2 2

=0,007⋅100⋅70 75−5−52

2

=51756 cm4

N crit - wartość siły krytycznej wzór 38 [N5]

N crit=9l 0

2 [ Ecm I c

2 k l 0,11

0,10,1E s I s]

N crit=9

7002 [3600⋅35156252⋅1,83 0,11

0,10,110,12000⋅51756 ]=59 279,84 kN

N sd=21739kN , 0,9 N crit=53352kN

N sd0,9 N crit

● Zwiększony mimośród początkowy e tot

e tot=⋅e0

= 1

1−N sd

N crit

= 1

1− 2173959279,84

=1,58

e tot=1,58⋅2,5=3,95 cm

● Obliczenie zbrojenia symetrycznego As1=As2

x eff , lim=eff , lim d=0,50⋅70=35,0 cm

x eff=N sd

f cd b= 217393,0⋅100

=72,46 cm

x effxeff , lim

Przypadek małego mimośrodu

e s1 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia A s1

e s2 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia As2

e s1=e tot0,5 h−a1=3,950,5⋅75−5=36,45cm

e s2=es1−da2=36,45−705=−28,55cm

p= 21−eff , limd

= 21−0,5070

=0,0571

A xeff3 −B x eff

2 2 C x eff−D=0

110

A=1

B=xeff , lim2d=35,02⋅70=175

C=d xeff , limd−a2

p

N sd e s1

f cd b=70⋅35 70−5

0,057121739⋅36,45

3,0⋅100=6228,63

D=2 N sd

f cd b d−a 2

pe s1 xeff , lim= 2⋅21739

3,0⋅100 70−50,0571

36,45⋅35,0=349734,22

x eff3 −175 x eff

2 12457,27 xeff−349734,22=0

x eff=66,96 cm

x effd

As1=As2=N sd− f cd b xeff

p xeff−xeff , lim f yd= 21739−3,0⋅100⋅66,96

0,057166,96−35,042,0=21,53 cm2

Przyjmuję zbrojenie: As1 = As2 = 12 Φ 16 mm o As = 24,12 cm2

=As1As2

b h= 24,1224,12

100⋅75=0,0067

∣s−s∣=∣0,007−0,0067

0,007∣=0,0430,1

● Sprawdzenie nośności przekroju

x eff=−e s2−a2e s1−a 22

2 f yd As1 es1−As2e s2f cd b

xeff=−−28,55−5−28,55−5 2 2⋅42,0 24,12⋅36,45−24,12⋅−28,553,0⋅100

=73,34 cm

x effxeff , lim

p=1−eff , lim=1−0,5=0,5

x eff=−A A2B

A=e s2−a22 f yd As1e s1

d p f cd b=−28,86−5 2⋅42,0⋅24,12⋅36,45

70⋅0,5⋅3,0⋅100=30,57

B= 2f cd b [ 2

p−1 f yd As1 e s1− f yd As2e s2]

B= 23,0⋅100 [ 2

0,5−142,0⋅24,12⋅36,45−42,0⋅24,12⋅−28,55]=8921,54

x eff=−30,5730,5728921,54=68,71 cm

eff=xeff

d=69,39

70=0,99

s=2 1−eff 1−eff , lim

−1=2 1−0,99

1−0,50−1=−0,98

111

Wzór 43 [N5]

N sd⋅e s1≤ f cd b x eff d−0,5 x eff f yd As2 d−a2

N sd e s1=21739⋅36,45=792340,0 kN cm=7923,40 kNm

f cd b x eff d−0,5 xeff f yd As2d−a2=3,0⋅100⋅68,71⋅70−0,5⋅68,7142,0⋅24,1270−5=803362,0 kNcm=8033,62kNm

7923,408033,62

Warunek nośności spełniony

Wzór 44 [N5]

N sd≤ f cd b xeff f yd As2− f yd As1s

f cd b xeff f yd As2− f yd As1s=3,0⋅100⋅68,7142,0⋅24,12−42,0⋅24,12⋅−0,98=22645,55 kN

21739,12264555

Warunek nośności spełniony

11.1.1.2.4 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG IV

Dane projektowe

M = 0 kNm N = 19 782,4 kN

Wymiary przekroju : Parametry przekroju Stal AIIIN Beton C45/55

h = 75 cm A = 7500,00 cm2 fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2 fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2

b = 100 cm I = bh3/12 = 3 515 625,0 cm4 fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2 fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2

lcol = 7,00 m ix = 21,65 cm Es = 200 GPa fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2

a1 = 5 cm fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2

d = h – a1 = 70 cm Ecm = 36 GPa

β = 1,0

l0 = β lcol = 7,00 m

● Określenie mimośrodu początkowego e0 wzór 31 [N5]

e0=eaee

e a - mimośród niezamierzony (p. 5.3.2. [N5])

ea=l col

600= 700

600=1,167cm lub ea=

h30=75

30=2,5 cm lub ea=1,00cm

ea=2,5cm

e e - mimośród konstrukcyjny e e=M sd

N sd= 0

21739,1=0

e0=2,50=2,5cm

112

● Sprawdzenie smukłości elementu (p. 5.3.1 [N5])

l 0

i= 700

21,65=32,3325 ,

l o

h=700

75=9,337

Należy uwzględnić smukłość.

● Określenie wartości siły krytycznej

=e0 /h=2,5 /75=0,03 lub =0,5−0,01l 0

h−0,01 f cd=0,5−0,01 700

75−0,01⋅3,0=0,11

=0,11

∞ ,t 0=1,65 - końcowy współczynnik pełzania betonu (Tablica A.1 [N5]), dla C45/55 RH = 80%, h0 = 2 (70 100)/ 2(70 +100) = 41,18 cm = 412 mm

N sd.lt=N sd=1,0⋅21739,1=21739,1 kN - siła podłużna wywołana długotrwałym działaniem części obciążenia

k l - wpływ oddziaływania długotrwałego wzór 40 [N5]

k l=10,5N sd.lt

N sd⋅∞ ,t 0=10,5 21739,1

21739,1⋅1,65=1,83

s=0,007

I c - moment bezwładności przekroju betonu względem jego środka ciężkości

I c=b h3/12=3515 625,0 cm4

I s - moment bezwładności przekroju zbrojenia względem środka ciężkości przekroju betonu

I s=s b d h−a1−a2

2 2

=0,007⋅100⋅70 75−5−52

2

=51756 cm4

N crit - wartość siły krytycznej wzór 38 [N5]

N crit=9l 0

2 [ Ecm I c

2 k l 0,11

0,10,1E s I s]

N crit=9

7002 [3600⋅35156252⋅1,83 0,11

0,10,110,12000⋅51756 ]=59 279,84 kN

N sd=19782kN , 0,9 N crit=53352kN

N sd0,9 N crit

● Zwiększony mimośród początkowy e tot

e tot=⋅e0

= 1

1−N sd

N crit

= 1

1− 1978259279,84

=1,50

e tot=1,58⋅2,5=3,75 cm

113

● Obliczenie zbrojenia symetrycznego As1=As2

x eff , lim=eff , lim d=0,50⋅70=35,0 cm

x eff=N sd

f cd b= 197823,0⋅100

=72,46 cm

x effxeff , lim

Przypadek małego mimośrodu

e s1 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia A s1

e s2 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia As2

e s1=e tot0,5 h−a1=3,750,5⋅75−5=36,25cm

e s2=es1−da2=36,25−705=−28,75cm

p= 21−eff , limd

= 21−0,5070

=0,0571

A xeff3 −B x eff

2 2 C x eff−D=0

A=1

B=xeff , lim2d=35,02⋅70=175

C=d x eff , limd−a2

p

N sd e s1

f cd b=70⋅35 70−5

0,057119782⋅36,25

3,0⋅100=5978,01

D=2 N sd

f cd b d−a 2

pe s1 xeff , lim= 2⋅19782

3,0⋅100 70−50,0571

36,25⋅35,0=317352,51

x eff3 −175 x eff

2 12457,27 xeff−349734,22=0

x eff=67,56 cm

x effd

As1=As2=N sd− f cd b xeff

p xeff−xeff , lim f yd= 19782−3,0⋅100⋅67,56

0,057167,56−35,042,0=−6,21 cm2

Potrzebna wartość zbrojenia jest ujemna oznacza to, że element nie wymaga zbrojenia gdyż sam beton jest w stanie przenieść zadane mu obciążenie.

Element zbroi sie zbrojeniem minimalnym:

As1A s2=0,003 Ac=0,003⋅7500=22,5 cm2

Ac=75⋅100=7500cm2 - pole przekroju betonu

Przyjmuję zbrojenie minimalne : As1 + As2 = 12 Φ 16 mm o As = 24,12 cm2

=As1As2

b h=12,0612,06

120⋅75=0,0032

● Sprawdzenie nośności przekroju

114

x eff=−e s2−a2e s1−a 22

2 f yd As1 es1−As2e s2f cd b

x eff=−−28,75−5−28,75−5 2 2⋅42,0 12,06⋅36,25−12,06⋅−28,753,0⋅100

=70,61 cm

x effxeff , lim

p=1−eff , lim=1−0,5=0,5

x eff=−A A2B

A=e s2−a22 f yd As1e s1

d p f cd b=−28,75−52⋅42,0⋅12,06⋅36,25

70⋅0,5⋅3,0⋅100=−3,13

B= 2f cd b [ 2

p−1 f yd As1 e s1− f yd As2e s2]

B= 23,0⋅100 [ 2

0,5−142,0⋅12,06⋅36,25−42,0⋅12,06⋅−28,75]=4260,54

x eff=3,13−3,1324260,54=68,48 cm

eff=xeff

d=68,48

70=0,98

s=2 1−eff 1−eff , lim

−1=2 1−0,98

1−0,50−1=−0,91

Wzór 43 [N5]

N sd⋅e s1≤ f cd b x eff d−0,5 x eff f yd As2 d−a2

N sd e s1=19782,4⋅36,25=717154,0 kN cm=7171,54kNm

f cd b xeff d−0,5 xeff f yd As2d−a2=3,0⋅100⋅68,48⋅70−0,5⋅68,4842,0⋅12,0670−5=767588,0 kNcm=7675,88kNm

7171,547675,88

Warunek nośności spełniony

Wzór 44 [N5]

N sd≤ f cd b xeff f yd As2− f yd As1s

f cd b x eff f yd A s2− f yd As1s=3,0⋅100⋅68,4842,0⋅12,06−42,0⋅12,06⋅−0,91=21514,14 kN

19782,421514,14

Warunek nośności spełniony

11.1.1.2.5 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG V i SG VI

W segmencie SG V wartość siły N 5=17 825,7kN , a SG VI N 6=19836,3 kN . Ponieważ są one

mniejsze lub zbliżone do wartości siły w segmencie SG IV przyjmuję zbrojenie minimalne : As1

+ As2 = 12 Φ 16 mm o As = 24,12 cm2.

115

11.1.1.2.6 Sprawdzenie warunku minimalnego zbrojenia dla ściany 22Sumaryczne pole przekroju zbrojenia podłużnego zestawiono w Tablicy 11.4

Tablica 11.4 Pole przekroju zbrojenia ściany 22

Segment

[mm]Liczba prętów

A s1

[cm2]

A s2

[cm2]

As

[cm2]

SG I 28 12 73,85 73,85 147,7

SG II 22 12 45,62 45,62 91,24

SG III 16 12 25,13 25,13 50,26

SG IV 16 6 12,06 12,06 24,12

SG V 16 6 12,06 12,06 24,12

SG VI 16 6 12,06 12,06 24,12

SG VII 16 6 12,06 12,06 24,12

SG VIII 16 6 12,06 12,06 24,12

SG IX 16 12 25,13 25,13 50,26

SG X 22 12 45,62 45,62 91,24

SG XI 28 12 73,85 73,85 147,7

Suma 699,0

Całkowite pole przekroju zbrojenia podłużnego A s=699,0 cm2 , A s , min=588,45cm2

AsAs min

Warunek spełniony

11.1.1.2.7 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia poprzecznego Wielkość zbrojenia przyjęto jak w p. 11.1.1.4

Przyjmuję zbrojenie obu powierzchni ściany : 8 Φ 16 mm o As = 32.17 cm2 .

11.1.1.2.8 Obliczenie potrzebnej długości zakotwienia prętów

Podstawową długość zakotwienia l b obliczono w pkt 11.1.1.5

Pręt Φ 16 mm, przyjmuję l b=45cm

Pręt Φ 22 mm, przyjmuję l b=60 cm

Pręt Φ 28 mm, przyjmuję l b=75 cm

116

11.1.2. Wymiarowanie Elementu 2 trzonu o grubości 60 cm – Poz. 1.2

Maksymalne wartości sił wewnętrznych w płaszczyźnie ściany, w trzonie o grubości 60 cm

uzyskano w strefie czwartej dla rzędnej 193,20 m. Przyjmują one wartość: N=14 177,0 ,

M=2300,6kNm dla ściany 3, oraz N=51 8999,1kN , M=31214,8 kNm dla ściany 22. Wysokość

kondygnacji przyjmuję równą 3,75 m.

11.1.2.1 Wymiarowanie zbrojenia ściany nr 3 i 4 – Poz. 1.2.1

Dane projektowe

M = 2 300,6 kNm N = 14 177,0 kN

Wymiary ściany :

g = 60 cm s = 320 cm l0 = 3,75 m

Asc = 19 200 cm2 Wsc = 1 024 000 cm3

g – grubość ściany s – szerokość ściany Asc – pole przekroju ściany Wsc – wskaźnik wytrzymałości ściany

Dla sił wewnętrznych wyznaczono rozkład naprężeń normalnych w ścianie:

= NAsc± M

W sc

=14177,019200

± 2300601024000

=0,738±0,2247

max=0,9631 kN /cm2=9,63 MPa , min=0,5137kN /cm2=5,14 MPa

Rys. 11.4 Rozkład naprężeń w ścianie 3 o gr. 60 cm

Całą ścianę podzielono na segmenty (SG) o długości l s=1,0 i l s=1,20 m. Następnie dla

każdego elementu określono wartości średnie naprężeń śr (Rys.11.4), na podstawie których

117

wyznaczono zastępcze siły ściskające N i wg wzoru 11.2. Wartości sił zestawiono w Tablicy

11.5.

N i= śr g l s

Tablica 11.5 Wartości sił zastępczych N i

Segmentmax

[MPa]

min

[MPa]

śr

[MPa]

l s

[cm]

N i

[kN]

SG I 9,63 8,23 8,93 100 5 357,07

SG II 8,23 6,54 7,38 120 5 316,38

SG III 6,54 5,13 5,84 100 3 503,56

Segment SG III będzie wymiarowany jak SG I.

Na podstawie pkt. 4.8 minimalny sumaryczny przekrój zbrojenia podłużnego w elementach

ściskanych określa się z wzoru 25a i 25b [N5] :

As , min=0,15 Nf yd=0,15 14177

42=50,63cm2

A s ,min=0,003 Ac=0,003⋅60⋅320=57,6 cm2

11.1.2.1.1 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG I i SG IIIDane projektowe

M = 0 kNm N = 5 357,07 kN

Wymiary przekroju : Parametry przekroju Stal AIIIN Beton C45/55

h = 60 cm A = 6000,00 cm2 fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2 fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2

b = 100 cm I = bh3/12 = 1 800 000,0 cm4 fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2 fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2

lcol = 3,75 m ix = 17,32 cm Es = 200 GPa fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2

a1 = 5 cm fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2

d = h – a1 = 55 cm Ecm = 36 GPa

β = 1,0

l0 = β lcol = 3,75 m

● Określenie mimośrodu początkowego e0 wzór 31 [N5]

e0=eaee

e a - mimośród niezamierzony (p. 5.3.2. [N5])

ea=l col

600= 375

600=0,63cm lub ea=

h30=60

30=2,0 cm lub ea=1,00 cm

ea=2,0cm

118

e e - mimośród konstrukcyjny e e=M sd

N sd= 0

5357,07=0

e0=2,00=2,0cm

● Sprawdzenie smukłości elementu [p. 5.3.1 [N5])

l 0

i= 375

17,32=21,6525 ,

l o

h=375

60=6,257

Nie trzeba uwzględniać smukłości w obliczeniach.

● Zwiększony mimośród początkowy e tot

e tot=⋅e0

=1

e tot=2,0⋅1,0=2,0cm

● Obliczenie zbrojenia symetrycznego As1=As2

x eff , lim=eff , lim d=0,50⋅55=27,5cm

xeff=N sd

f cd b= 5357,073,0⋅100

=17,86 cm

x effxeff , lim

Przypadek dużego mimośrodu

e s1 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia As1

e s2 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia As2

e s1=e tot0,5 h−a1=2,00,5⋅60−5=27,00 cm

e s2=es1−da2=27,00−555=−23,00 cm

x eff2 a2

AS1=As2=

N sde s1−dN sd

2 f cd bf yd d−a 2

(11.29)

As1=As2=5357,0727,0−55 5357,07

2⋅3,0⋅10042,0 55−5

=−48,65 cm2 (11.30)

Potrzebna wartość zbrojenia jest ujemna oznacza to, że element nie wymaga zbrojenia gdyż sam beton jest w stanie przenieść zadane mu obciążenie. Segment SG I jest najbardziej wytężonym w całej ścianie, dlatego w całej ścianie zastosowano zbrojenie minimalne.

As ,min=0,003 Ac=0,003⋅60⋅320=57,6 cm2

Przyjmuję zbrojenie minimalne : As1 = As2 = 26 Φ 12 mm o As1 = 29,39 cm2

119

A s=58,78 cm2A smin=57,60 cm2

11.1.2.1.2 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia poprzecznego Zbrojenie poziome dobieram z warunku minimalnego pola przekroju zbrojenia wg p.6.2 [N5].

Zbrojenie liczę na 1 m wysokości ściany

A s , min=k c k f ct , effAct

s , lim(11.31)

s , lim=240 MPa - dla =16 i w lim=0,3 mm tab. 12 [N5]

k c=1,0 , k=0,5 , Act=0,5b h=0,5⋅60⋅100=3000 cm2 , f ct ,eff= f ctm=3,8MPa p. 6.2 [N5]

As , min=1,0⋅0,5⋅3,8 3000240

=13,57cm2

Przyjmuję zbrojenie obu powierzchni ściany na 1 metr wysokości: 2 x 7 Φ 12 mm o As = 15.83 cm2

11.1.2.1.3 Obliczenie potrzebnej długości zakotwienia prętów

Podstawową długość zakotwienia l b oblicza się z wzoru 187 [N5]

Pręt Φ 12 mm

l b=4⋅

f yd

f bd=12

4⋅420

4,0=315 mm=31,5cm

f bd=4,0 MPa - z tab 24 [N5] dla prętów żebrowanych i betonu C 45/55

Przyjmuję l b=35 cm

11.1.2.2 Wymiarowanie zbrojenia ściany nr 22 – Poz. 1.2.2

Dane projektowe

M = 31 214,8 kNm N = 51 899,1 kN

Wymiary ściany :

g = 60 cm s = 1125 cm l0 = 3,75 m

Asc = 67 500 cm2 Wsc = 12 656 250 cm3

g – grubość ściany s – szerokość ściany Asc – pole przekroju ściany wsc – wskaźnik wytrzymałości ściany

Dla sił wewnętrznych wyznaczono rozkład naprężeń normalnych w ścianie:

= NAsc± M

W sc

120

=5189967500

± 312148012656250

=0,769±0,2466

max=1,016 kN /cm2=10,16 MPa , min=0,5222 kN /cm2=5,22 MPa

Rys. 11.5 Rozkład naprężeń w ścianie 22 o gr. 60 cm

Całą ścianę podzielono na segmenty (SG) o długości l s=1,0 i l s=1,25 m. Następnie dla

każdego elementu określono wartości średnie naprężeń śr (Rys.11.5), na podstawie których

wyznaczono zastępcze siły ściskające N i wg wzoru 11.2. Wartości sił zestawiono w Tablicy

11.6.

Tablica 11.6 Wartości sił zastępczych N i

Segmentmax

[MPa]

min

[MPa]

śr

[MPa]

l s

[cm]

N i

[kN]

SG I 10,55 9,72 9,94 100 6 093,07

SG II 9,72 9,28 9,45 100 5 829,99

SG III 9,28 8,84 9,06 100 5 566,91

SG IV 8,84 8,40 8,62 100 5 303,83

SG V 8,40 7,96 8,18 100 5 040,75

SG VI 7,96 7,41 7,69 125 5 972,1

SG VII 7,41 6,98 7,20 100 4 448,83

SG VIII 6,98 6,54 6,76 100 4 185,75

SG IX 6,54 6,10 6,32 100 3 922,67

SG X 6,10 5,66 5,88 100 3 659,6

SG XI 5,66 5,22 5,44 100 3 396,52

Na podstawie pkt. 4.8 minimalny sumaryczny przekrój zbrojenia podłużnego w elementach

121

ściskanych określa się z wzoru 25a i 25b [N5] :

As , min=0,15 Nf yd=0,15 51899,1

42=185,35cm2

As , min=0,003 Ac=0,003⋅60⋅1125=202,5 cm2

11.1.2.2.1 Wymiarowanie zbrojenia segmentu SG I Dane projektowe

M = 0 kNm N = 6 093,07 kN

Wymiary przekroju : Parametry przekroju Stal AIIIN Beton C45/55

h = 60 cm A = 6000,00 cm2 fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2 fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2

b = 100 cm I = bh3/12 = 1 800 000,0 cm4 fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2 fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2

lcol = 3,75 m ix = 17,32 cm Es = 200 GPa fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2

a1 = 5 cm fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2

d = h – a1 = 55 cm Ecm = 36 GPa

β = 1,0

l0 = β lcol = 3,75 m

● Określenie mimośrodu początkowego e0 wzór 31 [N5]

e0=eaee

e a - mimośród niezamierzony (p. 5.3.2. [N5])

ea=l col

600= 375

600=0,63cm lub ea=

h30=60

30=2,0 cm lub ea=1,00 cm

ea=2,0cm

e e - mimośród konstrukcyjny e e=M sd

N sd= 0

6093,07=0

e0=2,00=2,0cm

● Sprawdzenie smukłości elementu [p. 5.3.1 [N5])

l 0

i= 375

17,32=21,6525 ,

l o

h=375

60=6,257

Nie trzeba uwzględniać smukłości w obliczeniach.

● Zwiększony mimośród początkowy e tot

e tot=⋅e0

=1

e tot=2,0⋅1,0=2,0cm

122

● Obliczenie zbrojenia symetrycznego As1=As2

x eff , lim=eff , lim d=0,50⋅55=27,5cm

x eff=N sd

f cd b= 60933,0⋅100

=20,31 cm

x effxeff , lim

Przypadek dużego mimośrodu

e s1 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia As1

e s2 - mimośród siły N względem środka ciężkości zbrojenia As2

e s1=e tot0,5 h−a1=2,00,5⋅60−5=27,00 cm

e s2=es1−da2=27,00−555=−23,00 cm

x eff2 a2

AS1=As2=N sd es1−d N sd

2 f cd b f ydd−a 2

As1=As2=6093,027,0−55 6093,0

2⋅3,0⋅100 42,055−5

=−51,77 cm2

Potrzebna wartość zbrojenia jest ujemna oznacza to, że element nie wymaga zbrojenia gdyż sam beton jest w stanie przenieść zadane mu obciążenie. Segment SG I jest najbardziej wytężonym w całej ścianie, dlatego w całej ścianie zastosowano zbrojenie minimalne.

A s , min=0,003 Ac=0,003⋅60⋅1125=202,5 cm2

Przyjmuję zbrojenie minimalne : As1 = As2 = 90 Φ 12 mm o As1 = 101,74 cm2

As=203,48cm2Asmin=202,5cm2

11.1.2.2.2 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia poprzecznego Zbrojenie poziome dobrano jak w p. 11.1.2.1.2

Przyjęto zbrojenie obu powierzchni ściany na 1 metr wysokości: 2 x 7 Φ 12 mm o As = 15.83 cm2

11.1.2.2.3 Obliczenie potrzebnej długości zakotwienia prętów

Podstawową długość zakotwienia l b przyjęto jak w p. 11.1.2.1.3 dla pręta Φ 12 mm l b=35 cm

123

11.2. Nadproża Zbrojenie obliczono dla dwóch nadproży:

● Poz. 2.1 – najbardziej wytężone nadproże w części budynku z trzonem o grubości 75 cm

● Poz. 2.2 – najbardziej wytężone nadproże w części budynku z trzonem o grubości 60 cm

Każde z nadproży zostało zaprojektowane w trzech wariantach:

1. belka żelbetowa ze zbrojeniem na ścinanie w postaci pionowych strzemion

2. belka żelbetowa ze zbrojeniem diagonalnym

3. belka stalowa

Zgodnie z [Bud79] nadproże pełni dwie funkcje: stanowi belkę przenoszącą obciążenia

pionowe od stropu oraz jest łącznikiem zapewniającym współpracę pasm ściennych. W

analizowanym przypadku dominuje druga funkcja.

W obliczanym przypadku obciążenie od stropu sprowadza sie do siły skupionej równej reakcji

podporowej od belki stropowej: P = 12,02 kN/m2 · 2,175 m · 12 m / 0,5 = 156,86 kN.

Obciążenie to wywołuje dodatkowe siły wewnętrzne M = 59,80 kNm (w przęśle i na podporze)

oraz T = 78,43 kN. Zostały one dodane do sił wewnętrznych otrzymanych z programu BW.

Rys. 11.6 Schematy statyczne pracy nadproży w budynku wysokim a) element łączący b) belka przenosząca obciążenia stropowe

Zgodnie z zaleceniami ACI 318-99 zawartymi w pracy [Har00] dla nadproży o

L /d≤4 (11.32a)

0,83 f cd (11.32b)

L - rozpiętość nadproża

124

d - odległość od krawędzi ściskanej przekroju do środka ciężkości podłużnego zbrojenia głównego

f cd - obliczeniowa wytrzymałość betonu na ściskanie

można stosować tradycyjne zbrojenie nadproży w postaci prętów podłużnych, lub

zaproponowane przez T. Paulay zbrojenie diagonalne (Rys. 11.7). Przy obliczeniach nadprozy

korzystano z informacji zawartych w [Har00] [Eng03] [Pau90].

Rys. 11.7 Przykłady zbrojenia nadproży [Har00]

11.2.1. Wymiarowanie nadproża – Poz. 2.1

11.2.1.1 Poz. 2.1.1 – Przypadek 1: belka żelbetowa ze zbrojeniem na ścinanie w postaci strzemion pionowych

Dane projektowe

M = 3 369,37 kNm Vsd = 2 248,64 kN

Wymiary przekroju : Beton C45/55 Stal AIIIN

b = 75 cm fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2 fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2

h = 110 cm fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2 fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2

a1 = 9 cm fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2 Es = 200 GPa

d = h – a1 = 116 cm fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2

Ecm = 36 GPa

11.2.1.1.1 Określenie wielkości a1 - odległość od środka ciężkości zbrojenia do rozciąganej krawędzi przekroju belki

a1=cnomstrzemiona1,5zbrojenia (11.33)

cnom - nominalna grubość otuliny określona na podstawie wzoru 185 [N5]:

125

cnom=cmin c (11.34)

Gdzie cmin=20 mm - minimalna grubość otuliny odczytana dla XC3 z tab. 21 [N5], c=10 mm -

dopuszczalna odchyłka otuliny [N5, p.1.1.2 ]

cnom=2010=30

strzemion=10mm

zbrojenia=32mm

a1=30101,5⋅32=88 mm

Przyjmuję a1=90 mm

11.2.1.1.2 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia głównego As1

A0=M sd

f cd b d 2=336937

3,0⋅75⋅1012=0,146799 (11.35)

eff=1−1−2A0=1−1−2⋅0,146799=0,159523 (11.36)

eff=1−0,5eff=1−0,5⋅0,159523=0,920239 (11.37)

As1=M sd

f ydeff d= 336937

42⋅0,920239⋅101,0=86,31cm2 (11.38)

Minimalne pole przekroju zbrojenia wg wzoru 23a [N5]

As1 , min=0,26f ctm

f ykb d=0,26 3,8

49075⋅101=15,27cm2 (11.39)

Minimalne pole przekroju zbrojenia wg wzoru 23b [N5]

As1 ,min=0,0013bd=0,001375⋅101=9,85 cm2 (11.40)

Minimalne pole przekroju zbrojenia wg wzoru 111 [N5]

A s , min=k c k f ct , effAct

s , lim(11.41)

s , lim=160 MPa - dla i w lim=0,3 mm tab. 12 [N5]

k c=0,4 , k=0,5 , Act=0,5b h=0,5⋅75⋅110=4125 , f ct ,eff= f ctm=3,8MPa p. 6.2 [N5]

As , min=0,4⋅5⋅3,8 4125160

=19,59 cm2

Przyjmuję zbrojenie górą i dołem na całej długości belki :

14 Φ 28 mm As1 = 86,16 cm2 , stopień zbrojenia ρs = 1,14% rozmieszczone w dwóch rzędach

po 7 prętów w rozstawie po 10,5 cm.

126

11.2.1.1.3 Obliczenie długości zakotwienia zbrojenia głównego

Podstawową długość zakotwienia l b obliczamy z wzoru 187 [N5]

l b=4⋅

f yd

f bd= 28

4⋅420

4,0=73,5mm=75cm

f bd=4,0 MPa - z tab 24 [N5] dla prętów żebrowanych i betonu C 45/55

(11.42)

Obliczeniową długość zakotwienia prętów l bd wyznaczam zgodnie z zaleceniami [Har00] dla

rejonów z obciążeniami sejsmicznymi:

l bd=1,3 l b=1,3⋅75,0=95,55 (11.43)

Przyjmuję l bd=95,0 cm

11.2.1.1.4 Obliczenie potrzebnego zbrojenia powierzchniowego Zgodnie z punktem 8.1.7 [N5] dla przekrojów o wysokości przekraczającej h>100 cm zalecane

jest stosowanie zbrojenia powierzchniowego rozmieszczonego w kierunku równoległym i

prostopadłym do rozciąganego zbrojenia belki.

Rys. 11.8 Zbrojenie przypowierzchniowe [N5]

As , surf≥0,01 Act , ext (11.44)

As , surf - pole przekroju zbrojenia przypowierzchniowego

Act , ext - pole przekroju betonu rozciąganego poza strzemionami pokazane na rysunku 11.8

x=1,25 xeff=1,25eff d=1,25⋅0,1595⋅101,0=20,13cm

eff=0,1595 - p.11.2.1.1.2

d−x=109,0−20,13=88,87 cm60 cm

Act , ext=32⋅6075−2⋅3=567,0 cm2

As , surf=0,01⋅567,0=5,67 cm2

127

Przyjmuję zbrojenie :

● w przekroju poprzecznym: 21 Φ 6 mm o As = 5,94 cm2

8 prętów w rozstawie co 10 cm wzdłuż szerokości przekroju b, oraz po 6 prętów w rozstawie

co 12 cm wzdłuż wysokości przekroju h.

● wzdłuż osi belki Φ 8 mm w rozstawie co 10 cm.

● długość zakotwienia prętów obliczamy z wzoru 187 [N5]

l b=4⋅

f yd

f bd=6

4⋅420

4,0=157,5 mm=15,75cm

f bd=4,0 MPa - z tab 24 [N5] dla prętów żebrowanych i betonu C 45/55

(11.45)

Przyjmuję długość zakotwienia lbd = 16 cm

11.2.1.1.5 Sprawdzenie nośności obliczeniowej przekroju na ścinanie ze względu na rozciąganie betonu powstałe przy ścinaniu w elemencie nie zbrojonym na ścinanie VRd1

Nośność VRd1 oblicza się ze wzoru 67 [N5]

V Rd1=[0,35 k f ctd1,240l ]bw d (11.46)

k=1,6−d=1,6−1,16=0,44 , lecz k>1 - k=1 wzór 67 [N5]

l=0

V Rd1=[0,35⋅1⋅0,181,240⋅0 ]75⋅101=477,23kN

V Rd1V sd=2 248,64kN

odcinek drugiego rodzaju – wymaga zbrojenia na ścinanie (wzór 64 [N5])

11.2.1.1.6 Sprawdzenie nośności obliczeniowej przekroju na ścinanie ze względu na ściskanie betonu powstałe przy ścinaniu VRd2

Nośność VRd2 oblicza się ze wzoru 72 [N5]

V Rd2=v f cd bw z cot 1cot2

(11.47)

v=0,61− f ck

250 =0,61− 45250 =0,492 wzór 71 [N5]

z=0,9 d=0,9⋅101=90,9cm p. 5.5.1.1 [N5]

cot=1,75 p. 5.5.1.1 [N5]

V Rd2=0,492⋅3,0⋅75⋅90,9 1,7511,752=4334,67kN

V Rd2V sd=2 248,64 kN

Warunek nośności spełniony

128

11.2.1.1.7 Dobranie przekroju i rozstawu strzemionMinimalną średnicę strzemion określa p. 9.3.1.5 [N5]

min=max 4,5 mm ;0,2zbrojenia=0,2⋅32=6,4 mm=6,4mm

Zakładam strzemiona czterocięte ze stali AIIIN

średnicy Φ=12 mm pole przekroju Asw1 = 4,52 cm2 fywd1 = 420 MPa

Dopuszczalne rozstawy strzemion s1 określamy na podstawie wzoru 210 [N5]

80s1≤min 400 mm ;0,75d=0,75⋅1160=870mm =400 mm

Potrzebny rozstaw strzemion obliczam z przekształconego wzoru 11.34

s1≤Asw1 f ywd1

V sdz cot = 4,52⋅42,0

2248,64⋅104,4⋅1,75=13,43 cm (11.48)

Sprawdzenie minimalnego stopnia zbrojenia wg wzoru 209 [N5]

w ,min=0,08 f ck / f yk=0,0845 /490=0,00109 (11.49)

w=Asw1

s1 bw= 4,52

13⋅75=0,004636

w ,minw

Warunek spełniony

Przyjmuję rozstaw strzemion 13,0 cm na całej długości belki

11.2.1.1.8 Sprawdzenie nośności obliczeniowej na ścinanie zbrojenia ze względu na rozciąganie poprzecznego zbrojenia na ścinanie.

Nośność VRd3 oblicza się ze wzoru 75 [N5]

V Rd3≤Asw1 f ywd1

s1z cot=4,52⋅42,0

13⋅90,9⋅1,75=2322,98kN (11.50)

V Rd3V sd=2 248,64kN

Warunek nośności spełniony

11.2.1.1.9 Sprawdzenie stanu granicznego użytkowania – szerokość rys prostopadłych

Szerokość rys prostopadłych oblicza się na podstawie pkt. 6.3 [N5]. Do obliczeń przyjmowane

są wartości charakterystyczne sił wewnętrznych Msd = 3369,37 / 1,35 = 2495,83 kNm.

Wyznaczenie miarodajnego wymiaru przekroju h0 wzór A.6 [N5]

h0=2Ac

u(11.51)

Ac=bh=75⋅110=8250 cm2 - pole przekroju

129

u=2b2h=2⋅752⋅110=370 cm - obwód przekroju

h0=2⋅8250

37=44,59 cm

Dla h0=446 mm dla wieku betonu w chwili obciążenia t0=14 dni i wilgotności RH=80%

odczytano ∞ , t 0=1,50 . Efektywny moduł sprężystości Ec , eff obliczono z wzoru 110 [N5]:

Ec ,eff=Ecm

1∞ , t 0= 36

11,5=14,4 GPa (11.52)

Sprowadzone pole przekroju Acs obliczam wg wzoru:

Acs=Ace , t As1 (11.53)

e ,t=Es

Ec ,eff= 200

14,4=13,89 (11.54)

Acs=75⋅11013,89⋅86,16=9446,67cm2

Moment statyczny przekroju względem górnej ściskanej krawędzi wyznaczam wg wzoru [Kam06]:

S cs=S ce , t As1 d =75⋅110⋅110213,8986,16⋅101=574613,3 cm3 (11.55)

Położenie środka ciężkości przed zarysowaniem [Kam06]:

x I=S cs

Acs=574613,3

9446,67=60,83 cm (11.56)

Moment bezwładności przekroju sprowadzonego [Kam06]:

I cs=bh3

12bh h

2−x IAs1e , td−x I

2=75⋅1103

1275⋅110 110

2−60,83

86,16⋅13,89101,0−60,832

I cs=10530 134 cm4

(11.57)

Sprowadzony wskaźnik przekroju na zginanie [Kam06]:

w cs=I cs

d−x I= 10530134

101−60,83=26120,3cm3 (11.58)

Moment rysujący:

M cr=W cs f ctm=26120,3⋅0,38=99605,73kNcm=996,06 kNm (11.59)

M crM sd=2495,82kNm

Przekrój będzie pracował jako zarysowany

Położenie osi obojętnej po zarysowaniu [Kam06]:

b x II⋅0,5 x II−r , t A s1d−x II =0 (11.60)

0,5⋅75 x II2−13,89⋅86,16101,0−x II =0

37,5 x II21196,76 x II−120873,0=0

x II=43,02 cm

Moment bezwładności przekroju po zarysowaniu względem osi x II [Kam06]:

130

I csII=

bxII3

3As1d−x II

2e , t =75⋅43,023

386,16101,0−43,022⋅13,89=6013261cm4 (11.61)

Naprężenia w stali w miejscu zarysowania

s=e , l M sd d−x II

I csII =

13,89⋅2495,83 116,0−43,026013261

=33,42 kN /cm2(11.62)

Średnie odkształcenie zbrojenia rozciąganego oblicza się z wzoru 114 [N5]:

sm= s

E s [1−12M cr

M sd ]= 33,4220000 [1−1,0⋅0,5⋅ 996,05

2495,82]=0,001538 (11.63)

1=1,0 - dla prętów żebrowanych, 2=0,5 - przy obciążeniu długotrwałym lub wielokrotnie zmiennym p.6.3 [N5]Efektywne pole przekroju strefy rozciąganej określono na podstawie Rys. 33 [N5]:

Act , eff=min2,5b a1 ;b h−x II /3=min 2,5⋅75⋅9=1687,5 ;75110−43,02/3=1674,5 (11.64)

Act , eff=1674,5cm2

Efektywny stopień zbrojenia:

r=As

Acs , eff= 86,16

1674,5=0,05147 (11.65)

Średni rozstaw rys wg wzoru 113 [N5]

srm=500,25 k 1k 2r=500,25⋅0,8⋅0,5 28

0,0515=104,40 mm (11.66)

k1=0,8 - dla prętów żebrowanych, k 2=0,5 dla trójkątnego rozkładu odkształceń p.6.3 [N5]

Obliczeniowa szerokość rys wg wzoru 112 [N5]

w k= srmsm (11.67)

=1,4 zinterpolowany dla przekroju zarysowanego o najmniejszym wymiarze z przedziału od 300 do 800 mm

w k=1,4⋅104,40⋅0,001538=0,22 mm

w kw lim=0,30 mm

Warunek spełniony

11.2.1.1.10 Sprawdzenie stanu granicznego użytkowania – szerokość rys ukośnych

Szerokość rys ukośnych oblicza się na podstawie pkt. 6.4 [N5]. Do obliczeń przyjmujemy

wartości charakterystyczne sił wewnętrznych stąd Vsd = 2248,64/1,35 = 1665,67 kN

Szerokość rys można obliczyć z wzoru 118 [N5]:

w k=42w Es f ck

(11.68)

Z wzoru 119 [N5]

=V sd

bw d= 1665,67

75⋅101,0=0,2199 kN

cm2=2,20 MPa (11.69)

Z wzoru 120 [N5]

131

w=w1w2=0,0046360,0=0,004636

w1=0,004636 - stopień zbrojenia strzemionami prostopadłymi do osi elementu p. 11.2.1.1.7

w2=0 stopień zbrojenia strzemionami ukośnymi

Z wzoru 123 [N5]

= 1

3[ w1

11w2

22 ]= 1

3[0,0046360,7⋅10

00,7⋅10 ]

=503,32(11.70)

1=0,7 - dla prętów gładkich p. 6.4. [N5]

1 ,2 - odpowiednio średnica strzemion (mm) strzemion pionowych i prętów ukośnych,

1=10mm - p. 11.2.1.1.7

w k=4⋅0,3592⋅503,32

0,0046⋅200004,5=0,23 mm

w kw lim=0,30 mm

Warunek spełniony

11.2.1.2 Poz. 2.1.2 – Przypadek 2: belka żelbetowa ze zbrojeniem diagonalnym

Dane projektowe

M = 3 369,37 kNm Vsd = 2 248,64 kN L = 305,0 cm

Wymiary przekroju : Beton C45/55 Stal AIIIN

b = 75 cm fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2 fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2

h = 110 cm fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2 fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2

a1 = 5 cm fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2 Es = 200 GPa

d = h – a1 = 105 cm fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2

Ecm = 36 GPa

11.2.1.2.1 Sprawdzenie warunków 11.19a i 11.19 b

L /d=305/105=2,90≤4,0

=0,83 f cd=0,8330=4,55 MPa

=V sd

bh=2248,64

75⋅110=0,2726 kN /cm2=2,733 MPa

0,83 f cd

11.2.1.2.2 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia diagonalnegoPotrzebne pole przekroju zbrojenia diagonalnego obliczono wg wzoru A1 [Har00] na nośność

zbrojenia diagonalnego.

132

As=V sd

2s f yd sin(11.71)

- kat nachylenia zbrojenia diagonalnego do osi poziomej przekroju, wyznaczony wg [Har00]

s=0,9 - współczynnik redukcyjny dla stali

tan =h−2a1

L=110−2⋅5

305=0,3278 (11.72)

=20o

A s=2248,64

2⋅0,9⋅42⋅sin 20o=86,98 cm2

Przyjmuję 11 Φ 32 mm, As1 = 88,42 cm2

Podstawowa długość zakotwienia prętów:

l b=4⋅

f yd

f bd=32

4⋅420

4,0=840 mm=84 cm

Obliczeniowa długość zakotwienia prętów:

l bd=1,3 l b=1,3⋅84,0=109,2=110,0 cm

11.2.1.2.3 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia poprzecznego wokół zbrojenia głównego

Rozstaw zbrojenia poprzecznego określono na podstawie wzorów z [Pau90 s. 452]

s - rozstaw prętów poprzecznych

s≤min[100 mm ;6=6cdot 32=192mm ]

s=100 mm

Pole przekroju zbrojenia poprzecznego określono z wzoru 4.19 [Pau00c]

Asw=∑ Ab f yd

16 f yw

s100

(11.73)

Ab - pole przekroju pręta zbrojenia głównego

f yw=420 MPa - wytrzymałość na rozciąganie zbrojenia poprzecznego (przyjęto stal AIIIN)

Asw=11⋅8,04⋅42,0

16⋅42,010

100=0,55cm2

Przyjmuję pręt Φ 8 mm, As1 = 0,50 cm2

11.2.1.2.4 Przyjęcie pola przekroju zbrojenia podłużnego Pole przekroju podłużnego zbrojenia podłużnego przyjęto na podstawie zbrojenia minimalnego

obliczone w pkt. 11.2.1.1.2 A s , min=19,59cm2 .

Przyjmuję pręt 7Φ 20 mm, As1 = 21,98 cm2, wzdłuż górnej i dolnej krawędzi przekroju.

133

11.2.1.2.5 Przyjęcie przekroju i rozstawu strzemion

Przyjęto strzemiona z warunków konstrukcyjnych, czterocięte (liczba prętów n3 , szerokość

przekroju b35 cm ), średnica Φ 8 mm w rozstawie s = 33 cm ( s40 cm , s0,75d=87cm )

11.2.1.2.6 Zbrojenie powierzchnioweZbrojenie powierzchniowe przyjęto jak w pkt 11.2.1.1.4

● W przekroju poprzecznym

21 Φ 6 mm o As = 5,94 cm2 ułożonych :

8 prętów w rozstawie co 10,5 cm wzdłuż szerokości przekroju b, oraz po 6 prętów w rozstawie

co 10 cm wzdłuż wysokości przekroju h.

● Wzdłuż osi belki

Φ 8 mm w rozstawie co 10 cm.

134

11.2.1.3 Poz. 2.1.3 – Przypadek 3: Stalowa belkaDane projektowe

M = 3 369,37 kNm Vsd = 2 248,64 kN

Wymiary przekroju HE 1000x584

h = 1056 mm

bf = 314 mm

tw = 35,5 mm

tf = 64 mm

hw = 928 mm

A = 744 cm2

Ix = 1 246 000 cm4

Iy = 33 430cm4

Wx = 23 600 cm3

Wy = 2 130 cm3

Stal 18G2A

fd = 285 MPa = 28,5 kN/cm2

Re = 345 MPa = 34,5 kN/cm2

Rm = 490 MPa = 49,0 kN/cm2

E = 205 GPa

G = 80 GPa

ν = 0,3

ρ = 7850 kg/m3

11.2.1.3.1 Określenie klasy przekroju (p. 4.1.3 [N4] )● klasa przekroju środnika

=215f d= 215

285=0,87

Graniczna smukłość ścianki:

hw

tw= 928

35,5=26,1466=57,42

Środnik klasy 1Warunek smukłości przy ścinaniu

hw

tw70

Środnik klasy 1

● klasa przekroju półki

bt f= 139,25

64=2,189=7,8

b=0,5b f−tw=0,5314−35,5=139,25

Półka klasy 1

Przekrój klasy 1

11.2.1.3.2 Nośność obliczeniowa przekroju na zginanieNośność obliczeniową przekroju klasy 1 na zginanie obliczono z wzoru 42 [N4]

M R=p W f d=1,0⋅23600⋅28,5=672 600 kNcm=6726,0kNm (11.74)

=1 - obliczeniowy współczynnik rezerwy plastycznej

W - wskaźnik wytrzymałości przekroju

135

11.2.1.3.3 Nośność obliczeniowa przekroju na ścinanieNośność obliczeniową przekroju na ścinanie, dla którego spełniony jest warunek smukłości na

ścinanie obliczono z wzoru 47 [N4]

V R=0,58 Av f d=0,58329,44 28,5=5445,64 kN (11.75)

Av=92,8⋅3,55=329,44 cm2 pole przekroju środnika

11.2.1.3.4 Zredukowana nośność obliczeniowa przekroju na zginanie

Ponieważ siła tnąca V sdV 0=0,3V R=0,3⋅5445,64=1633,5 kN , do obliczeń należy przyjmować

nośność zredukowaną na zginanie określoną wzorem 46 [N4]

M R , V=M R[1− I v I V

V R 2] (11.76)

I v=t w hw

3

12= 3,55⋅92,83

12=236423 cm4 - moment bezwładności przekroju czynnego przy

ścinaniu (środnika)

M R, V=6726,0 [1− 2364231246000

2248,645445,6

2]=6508,39kN

11.2.1.3.5 Obliczenie momentu krytycznego Mcr

Wartość momentu krytycznego obliczono wg załącznika 1, rozdział 3 [N4]

● Dla przekroju dwuteowego :

y s=0 - współrzędna środka ścinania

r x=0 - ramię asymetrii

b y= y s−0,5 rx=0 - parametr zginania

I=I Y h2

4=33430⋅105,6−6,42

4=82 243148,8 cm6 - wycinkowy moment bezwładności (11.77)

I T=13 2b f t f

3hw tw3 = 1

32⋅31,4⋅6,4392,8⋅3,553 =9066,40 cm4 - moment bezwładności

przy skręcaniu(11.78)

i x= I x / A= 1 246000 /744=40,92cm - promień bezwładności względem osi x (11.79)

i y= I y /A=2130/744=6,70cm - promień bezwładności względem osi y (11.80)

i0=i x2i y

2=40,9226,702=41,47 cm - biegunowy promień bezwładności względem środka

ciężkości(11.81)

i0=i02y s

2=41,47202=41,47 cm - biegunowy promień bezwładności względem środka

ścinania(11.82)

136

Siły krytyczne przy ścinaniu osiowym:

● wyboczenie giętne względem osi Y (wzór Z1-4 [N4])

N Y=2 E I y

y l 2=

2⋅20500⋅334300,5⋅3052 =18788,3 kN (11.83)

● wyboczenie skrętne (wzór Z1-4 [N4])

N z=1i s

2 [2 E I l 2

G I T ] (11.84)

N z=1

41,472 [2⋅20500⋅82 243 1490,5⋅3052

8000⋅9 066,4]= 141,472 4622222472531197=69 056 kN

● Wyznaczenie współczynnika

Współczynnik określono na podstawie Tablicy 11 [N4]

M max=0,55M 10,45 M 2 (11.85)

M 1, M 2 - wartości momentów zginających na podporach

M max - największa bezwzględna wartość momentu w środkowym przedziale pręta o

długości 0,2 l 0

M 1=3309,57 kNm , M 2=−3309,57kNm , M max=3309,57⋅30,5

305=330,96 kNm

=0,55⋅3309,57−0,45⋅3309,57 /385,33=0,86

● Obliczenie wartości momentu krytycznego

M cr=A0 N yA0 N y 2B2i s

2 N y N z (11.86)

Wartości współczynników przyjęto wg Tablicy Z1-2 [N5]

A1=1/=1,16 , A2=0 , B=1/=1,16 , C1=2 , C 2=0 , A0=A1b yA2 ss=0

Wzór 11,71 redukuję się do postaci :

M cr=B i sN y N z=1,16⋅41,4718788,3⋅69056=1 610710,8 kNcm=16107,11kNm

11.2.1.3.6 Określenie smukłości względnej przy zwichrzeniu L i współczynnika zwichrzenia L

Smukłość względna przy zwichrzeniu oblicza się z wzoru 50 [N4]

l=1,15M R , V

M cr=1,15 6508,38

16107,11=0,78 (11.87)

Z Tablicy 11 [N4] dla krzywej a0 odczytano wartość L

137

L=0,893 (11.88)

11.2.1.3.7 Sprawdzenie nośności elementu zginanego Nośność elementów zginanych sprawdza sie wg wzoru 52 [N4]

M l M R , V

= 3369,370,893⋅6508,38

=0,581 (11.89)

11.2.1.3.8 Obliczenie długości zakotwienia nadproża w ścianie Le

Obliczenia przeprowadzono na podstawie informacji zawartych w publikacji [Har00]. Potrzebną

długość zakotwienia oblicza się z wzoru A3 na nośność zakotwienia

V u=0,85c f cd b Le−c

1 3,6eLe−c

(11.90)

V u - dopuszczalna wartość siły tnącej w utwierdzeniu

c=0,6 - współczynnik materiałowy dla betonu

b - efektywna szerokość bryły naprężeń w betonie

b=min2,5b f=2,5⋅31,4=78,5cm ;75cm =75 cm

c=4,0 cm - grubość otuliny na krawędzi ściany

a=L /2=305/2=152,5cm

e=a0,5 Le

f cd=30MPa - obliczeniowa wytrzymałość dla betonu klasy C45/55

Wzór 11.73 po przekształceniu otrzymuje postać:

0,85 Le2−c2,81,7Le0,85 c2−V u3,6a−c=0 (11.91)

=c f cd b

Podstawiając dane otrzymujemy:

V u=V=2248,54kN , =0,6⋅3,0⋅75=135

114,75 Le2−929,2 Le1836−1 225508,8=0

Le=107,39 cm

Przyjmuję Le=110,0cm

11.2.1.3.9 Obliczenie dodatkowego zbrojenia pionowego w miejscu zakotwieniaPole przekroju zbrojenia określono na podstawie wzoru A4 [Har00]

A sc=V s f y

(11.92)

138

c=0,9 Współczynniki redukcyjny dla stali

Przyjmuję stal AIIIN, fyd = 420 MPa

A sc=2248,540,9⋅42

=59,49cm2

Przyjmuję: 10 Φ 28 mm As = 61,54 cm2

11.2.1.3.10 Dobranie przekroju żeberka usztywniającegoW publikacji [Har00] zaleca się zastosowanie w okolicach przypodporowych żeberek

poprzecznych.

Ponieważ przekrój jest klasy 1 żeberka dobieram z warunku smukłości

bz

t z14 t z

b z

14

bz=0,5 b f−t w - maksymalny wysięg żeberka

t Z - grubość żeberka

bz=0,5 314−35,5=139,25 mm Przyjmuję bz=130 mm

t z130

14⋅0,87=10,67mm

Przyjmuję żeberko grubości 15 mm. Łączone do środnika za pomocą spoiny pachwinowej

dwustronnej grubości a = 8 mm, spełniającej warunek w p. 6.3.2.2

a nom0,2 t 2 lecz ≤10mm , a nom≤0,7 t 1 ,16 mm

t 2=35,5mm - grubość grubszej części w połączeniu

t 1=15 mm - grubość cieńszej części w połączeniu

a nom=0,2⋅35,5=7,1 mm

a nom≤0,7⋅15=10,5mm

139

11.2.2. Wymiarowanie nadproża – Poz. 2.2

11.2.2.1 Poz. 2.2.1 – Przypadek 1: belka żelbetowa ze zbrojeniem na ścinanie w postaci strzemion pionowych

Dane projektowe

M = 2 586,96 kNm Vsd = 1735,58 kN

Wymiary przekroju : Beton C45/55 Stal AIIIN

b = 60 cm fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2 fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2

h = 110 cm fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2 fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2

a1 = 8 cm fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2 Es = 200 GPa

d = h – a1 = 102 cm fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2

Ecm = 36 GPa

11.2.2.1.1 Określenie wielkości a1 - odległość od środka ciężkości zbrojenia do rozciąganej krawędzi przekroju belki

Przyjmuję a1=30101,5⋅28=82 mm=8,0cm (p. 11.2.1.1.1)

11.2.2.1.2 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia głównego As1

A0=M sd

f cd b d 2=258696

3,0⋅60⋅1022=0,138139

eff=1−1−2A0=1−1−2⋅0,138139=0,149282

eff=1−0,5eff=1−0,5⋅0,149282=0,925359

As1=M sd

f ydeff d= 258696

42⋅0,9254⋅102=65,25cm2

Minimalne pole przekroju zbrojenia wg wzoru 23a [N5]

As1 ,min=0,26f ctm

f ykb d=0,26 3,8

49060⋅102=12,34 cm2

Minimalne pole przekroju zbrojenia wg wzoru 23b [N5]

A s1 ,min=0,0013bd=0,001360⋅102=7,96 cm2

Minimalne pole przekroju zbrojenia wg wzoru 111 [N5]

A s , min=k c k f ct , effAct

s , lim

s , lim=160 MPa - dla =32 i w lim=0,3 mm tab. 12 [N5]

k c=0,4 , k=0,5 , Act=0,5b h=0,5⋅60⋅110=3300 , f ct ,eff= f ctm=3,8MPa p. 6.2 [N5]

140

As , min=0,4⋅5⋅3,8 3300160

=15,68cm2

Przyjmuję zbrojenie górą i dołem na całej długości belki :

14 Φ 25mm As1,1 = 65,26 cm2 ,ρs = 1,12% , rozmieszczone w dwóch rzędach po 7 prętów w

rozstawie po 10,5 cm.

11.2.2.1.3 Obliczenie długości zakotwienia zbrojenia głównego

Podstawową długość zakotwienia l b obliczamy z wzoru 187 [N5]

l b=4⋅

f yd

f bd= 25

4⋅420

4,0=656 mm=65,6 cm

f bd=4,0 MPa - z tab 24 [N5] dla prętów żebrowanych i betonu C 45/55

Obliczeniową długość zakotwienia prętów l bd wyznaczam zgodnie z zaleceniami [Har00] dla

rejonów z obciążeniami sejsmicznymi:

l bd=1,3 l b=1,3⋅65,6=85,31cm

s=1,0 - współczynnik efektywnego zakotwienia

As , req - wymagane pole przekroju zbrojenia

As , req - przyjęte pole przekroju zbrojenia

Przyjmuję l bd=85,0 cm

11.2.2.1.4 Obliczenie potrzebnego zbrojenia powierzchniowego Zbrojenie powierzchniowe przyjęto jak w p. 11.2.2.1.4

As , surf≥0,01 Act , ext=0,01⋅3 2⋅6060−2⋅3=0,01⋅522=5,22 cm2 (11.44)

● w przekroju poprzecznym: 21 Φ 6 mm o As = 5,94 cm2

5 prętów w rozstawie co 10 cm wzdłuż szerokości przekroju b, oraz po 8 prętów w rozstawi co

8,7 cm wzdłuż wysokości przekroju h.

● wzdłuż osi belki Φ 8 mm w rozstawie co 10 cm.

● Długość zakotwienia prętów obliczono w pkt 11.2.1.1.4 ze wzoru 187 [N5]

Długość zakotwienia lbd = 16 cm

11.2.2.1.5 Sprawdzenie nośności obliczeniowej przekroju na ścinanie ze względu na rozciąganie betonu powstałe przy ścinaniu w elemencie nie zbrojonym na ścinanie VRd1

Nośność VRd1 oblicza się ze wzoru 67 [N5]

141

V Rd1=[0,35 k f ctd1,240l ]bw d

k=1,6−d=1,6−1,02=0,58 , lecz k>1 - k=1 wzór 67 [N5]

l=0

V Rd1=[0,35⋅1⋅0,181,240⋅0 ]60⋅102=462,67kN

V Rd1V sd=1735,58kN

odcinek drugiego rodzaju – wymaga zbrojenia na ścinanie (wzór 64 [N5])

11.2.2.1.6 Sprawdzenie nośności obliczeniowej przekroju na ścinanie ze względu na ściskanie betonu powstałe przy ścinaniu VRd2

Nośność VRd2 oblicza się ze wzoru 72 [N5]

V Rd2=v f cd bw z cot 1cot2

v=0,61− f ck

250 =0,61− 45250 =0,492 wzór 71 [N5]

z=0,9 d=0,9⋅102=91,8cm p. 5.5.1.1 [N5]

cot=1,75 p. 5.5.1.1 [N5]

V Rd2=0,492⋅3,0⋅60⋅91,8 1,7511,752=3502,07kN

V Rd2V sd=1735,58 kN

Warunek nośności spełniony

11.2.2.1.7 Dobranie przekroju i rozstawu strzemionMinimalna średnica strzemion określa p. 9.3.1.5 [N5]

min=max 4,5 mm ;0,2zbrojenia=0,2⋅32=6,4 mm=8,0mm

Zakładam strzemiona czterocięte ze stali AIIIN

średnicy Φ=10 mm pole przekroju Asw1 = 3,14 cm2 fywd1 = 420 MPa

Dopuszczalne rozstawy strzemion s1 określamy na podstawie wzoru 210 [N5]

80s1≤min 400 mm ;0,75d=0,75⋅1160=870mm =400 mm

Potrzebny rozstaw strzemion obliczam z przekształconego wzoru 73 [N5]

s1≤Asw1 f ywd1

V sdz cot =3,14⋅42,0

1657,15⋅104,4⋅1,5=12,21 cm

Sprawdzenie minimalnego stopnia zbrojenia wg wzoru 209 [N5]

w ,min=0,08 f ck / f yk=0,0845 /490=0,00109

142

w=Asw1

s1 bw= 3,14

12⋅40=0,006542

w ,minw

Warunek spełniony

Przyjmuję rozstaw strzemion 12,0 cm na całej długości belki

11.2.2.1.8 Sprawdzenie nośności obliczeniowej na ścinanie zbrojenia ze względu na rozciąganie poprzecznego zbrojenia na ścinanie.

Nośność VRd3 oblicza się ze wzoru 75 [N5]

V Rd3≤Asw1 f ywd1

s1z cot=3,14⋅42,0

12,0⋅105,3⋅1,75=1753,87 kN

V Rd3V sd=1735,58 kN

Warunek nośności spełniony

11.2.2.1.9 Sprawdzenie stanu granicznego użytkowania – szerokość rys prostopadłych

Szerokość rys prostopadłych oblicza się na podstawie pkt. 6.3 [N5]. Do obliczeń przyjmowane

są wartości charakterystyczne sił wewnętrznych Msd = 2586,96 / 1,35 = 1916,27 kNm

Wyznaczenie miarodajnego wymiaru przekroju h0 wzór A.6 [N5]

h0=2Ac

u

Ac=bh=60⋅110=6600cm2 - pole przekroju

u=2b2h=2⋅602⋅110=340 cm - obwód prekroju

h0=2⋅6600

340=38,82 cm

Dla h0=388mm dla wieku betonu w chwili obciążenia t0=14 dni i wilgotności RH=80%

odczytano ∞ , t 0=1,50 . Efektywny moduł sprężystości Ec , eff obliczono z wzoru 110 [N5]:

Ec ,eff=Ecm

1∞ , t 0= 36

11,5=14,4 GPa

Sprowadzone pole przekroju Acs obliczam wg wzoru:

Acs=Ace , t As1

e ,t=Es

Ec ,eff= 200

14,4=13,89

143

Acs=60⋅11013,89⋅68,69=7554,03cm2

Moment statyczny przekroju względem górnej ściskanej krawędzi wyznaczam wg wzoru [Kam06]:

S cs=S ce , t As1 d =60⋅110⋅110213,8968,69⋅102=460310,8cm3

Położenie środka ciężkości przed zarysowaniem [Kam06]:

x I=S cs

Acs= 460310,8

7554,03=60,94 cm

Moment bezwładności przekroju sprowadzonego [Kam06]:

I cs=bh3

12bh h

2−x IAs1e , td−x I

2=60⋅1103

1260⋅110 110

2−60,94

68,69⋅13,89102,0−60,942

I cs=8496290cm4

Sprowadzony wskaźnik przekroju na zginanie [Kam06]:

W cs=I cs

d−x I= 8496290

102−60,94=206902,7cm3

Moment rysujący:

M cr=W cs f ctm=206902,7⋅0,38=78623,01 kNcm=786,23 kNm

M crM sd=1871,97 kNm

Przekrój będzie pracował jako zarysowany

Położeni osi obojętnej po zarysowaniu [Kam06]:

b x II⋅0,5 x II−r , t A s1d−x II =0

0,5⋅60 x II2−13,89⋅60,94102,0−x II =0

30 x II2846,46 x II−86338,57=0

x II=42,96 cm

Moment bezwładności przekroju po zarysowaniu względem osi x II [Kam06]:

I csII=

bxII3

3As1d−x II

2e , t =60⋅42,963

368,69102,0−42,962⋅13,89=4911182 cm4

Naprężenia w stali w miejscu zarysowania

s=e , l M sd d−x II

I csII =

13,89⋅1916,27102,0−42,964911182

=32,0 kN /cm2

Średnie odkształcenie zbrojenia rozciąganego oblicza się z wzoru 114 [N5]:

sm= s

E s [1−12M cr

M sd ]= 32,020000 [1−1,0⋅0,5⋅ 786,23

1916,27 ]=0,001465

1=1,0 - dla prętów żebrowanych, 2=0,5 - przy obciążeniu długotrwałym lub wielokrotnie zmiennym p.6.3 [N5]Efektywne pole przekroju strefy rozciąganej określono na podstawie Rys. 33 [N5]:

Act , eff=min2,5b a1 ;b h−x II /3=min 2,5⋅60⋅8=1200 ;60110−42,96/3=1340,8

Act , eff=1200 cm2

Efektywny stopień zbrojenia:

144

r=As

Acs , eff= 68,69

1200,00=0,057242

Średni rozstaw rys wg wzoru 113 [N5]

srm=500,25k 1k 2r=500,25⋅0,8⋅0,5 35

0,057242=93,67mm

k1=0,8 - dla prętów żebrowanych, k 2=0,5 dla trójkątnego rozkładu odkształceń p.6.3 [N5]

Obliczeniowa szerokość rys wg wzoru 112 [N5]

w k= s rmsm

=1,4 zinterpolowany dla przekroju zarysowanego o najmniejszym wymiarze z przedziału od 300 do 800 mm

w k=1,4⋅93,67⋅0,001465=0,19mm

w kw lim=0,30 mm

Warunek spełniony

11.2.2.1.10 Sprawdzenie stanu granicznego użytkowania – szerokość rys ukośnych

Szerokość rys ukośnych oblicza się na podstawie pkt. 6.4 [N5]. Do obliczeń przyjmujemy

wartości charakterystyczne sił wewnętrznych stąd Vsd = 1735,58/1,35 = 1 285,62 kN

Szerokość rys można obliczyć z wzoru 118 [N5]:

w k=42w Es f ck

Z wzoru 119 [N5]

=V sd

bw d= 1285,62

60⋅102,0=0,2101 kN

cm2=2,10 MPa

Z wzoru 120 [N5]

w=w1w2=0,00440,0=0,0044

w1=0,0065 - stopień zbrojenia strzemionami prostopadłymi do osi elementu p. 11.2.1.1.7

w2=0 stopień zbrojenia strzemionami ukośnymi

Z wzoru 123 [N5]

= 1

3[ w1

11w2

22 ]= 1

3[0,00440,7⋅10

00,7⋅10 ]

=535,03

1=0,7 - dla prętów gładkich p. 6.4. [N5]

1 ,2 - odpowiednio średnica strzemion (mm) strzemion pionowych i prętów ukośnych,

1=10 mm - p. 11.2.1.1.7

w k=4⋅0,27472⋅535,030,0044⋅20000 4,5

=0,24 mm

145

w kw lim=0,30 mm

Warunek spełniony

11.2.2.2 Poz. 2.2.2 – Przypadek 2: belka żelbetowa ze zbrojeniem diagonalnym Dane projektowe

M = 2 586,96 kNm Vsd = 1735,58 kN L = 305,0 cm

Wymiary przekroju : Beton C45/55 Stal AIIIN

b = 60 cm fcd = 30 MPa = 3,0 kN/cm2 fyd = 420 MPa = 42 kN/cm2

h = 110 cm fck = 45 MPa = 4,5 kN/cm2 fyk = 490 MPa = 49 kN/cm2

a1 = 5 cm fctd = 1,8 MPa = 0,18 kN/cm2 Es = 200 GPa

d = h – a1 = 120 cm fctm = 3,8 MPa = 0,38 kN/cm2

Ecm = 36 GPa

11.2.2.2.1 Sprawdzenie warunków 11.19a i 11.19 b

L /d=305/105=2,90≤4,0

=0,83 f cd=0,8330=4,55 MPa

=V sd

bh=1735,58

60⋅110=0,263 kN /cm2=2,63 MPa

0,83 f cd

11.2.2.2.2 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia diagonalnegoPotrzebne pole przekroju zbrojenia diagonalnego obliczono wg wzoru A1 [Har00] na nośność

zbrojenia diagonalnego.

As=V sd

2s f yd sin

- kat nachylenia zbrojenia diagonalnego do osi poziomej przekroju, wyznaczony wg [Har00]

s=0,9 - współczynnik redukcyjny dla stali

tan =h−2a1

L=110−2⋅5

305=0,328

=20o

As=1735,58

2⋅0,9⋅42⋅sin 20o=67,12 cm2

Przyjmuję 11 Φ 28 mm, As1 = 67,70 cm2

Podstawowa długość zakotwienia prętów:

l b=4⋅

f yd

f bd= 28

4⋅420

4,0=735 mm=73,5cm

Obliczeniowa długość zakotwienia prętów:

146

l bd=1,3 l b=1,3⋅73,5=95,55=95,0 cm

11.2.2.2.3 Obliczenie potrzebnego pola przekroju zbrojenia poprzecznego wokół zbrojenia głównego

Rozstaw zbrojenia poprzecznego określono na podstawie wzorów z [Pau90 s. 452]

s - rozstaw prętów poprzecznych

s≤min[100 mm ;6=6cdot 28=168mm ]

s=100 mm

Pole przekroju zbrojenia poprzecznego określono z wzoru 4.19 [Pau00c]

Asw=∑ Ab f yd

16 f yw

s100

Ab - pole przekroju pręta zbrojenia głównego

f yw=420 MPa - wytrzymałość na rozciąganie zbrojenia poprzecznego (przyjęto stal AIIIN)

A sw=11⋅6,16⋅42,0

16⋅42,010

100=0,424 cm2

Przyjmuję pręt Φ 8 mm, As1 = 0,50 cm2

11.2.2.2.4 Przyjęcie pola przekroju zbrojenia podłużnego Pole przekroju podłużnego zbrojenia podłużnego przyjęto na podsatwie zbrojenia minimalnego

obliczone w pkt. 11.2.1.1.2 As , min=15,68cm2 .

Przyjmuję pręt 5Φ 20 mm, As1 = 15,70 cm2, wzdłuż górnej i dolnej krawędzi przekroju.

11.2.2.2.5 Przyjęcie przekroju i rozstawu strzemionPrzyjęto strzemiona z warunków konstrukcyjnych, czterocięte (liczba prętów n3 , szerokość

przekroju b35 cm ), średnica Φ 8 mm w rozstawie s = 33 cm ( s40 cm , s0,75d=87cm )

11.2.2.2.6 Zbrojenie powierzchnioweZbrojenie powierzchniowe przyjęto jak w pkt 11.2.1.1.4

● W przekroju poprzecznym

21 Φ 6 mm o As = 5,94 cm2 ułożonych :

5 prętów w rozstawi co 8,5 cm wzdłuż szerokości przekroju b, oraz po 8 prętów w rozstawie

co 8,7 cm wzdłuż wysokości przekroju h.

● Wzdłuż osi belki

Φ 8 mm w rozstawie co 10 cm.

147

11.2.2.3 Poz. 2.2.3 – Przypadek 3: Stalowa belkaPonieważ przyjęte z wstępnego projektowania nadproże spełnia warunek nośności dla

maksymalnych sił wewnętrznych z dużym zapasem, do obliczenia drugiego nadproża przyjęto

zmniejszony przekrój stalowy. Z wzoru 6.3 określono potrzebny wskaźnik wytrzymałości:

W=1,1 M / f d=1,1 258696 kNcm28,50 kN /cm2=9 984,75cm3

Na tej podstawie dobieram z [Tab06] przekrój: HEB 1000

Dane projektowe

M = 2 586,96 kNm Vsd = 1735,58 kN L = 305,0 cm

Wymiary przekroju HEB 1000

h = 1000 mm

bf = 300 mm

tw = 19 mm

tf = 36 mm

hw = 928 mm

A = 400 cm2

Ix = 644 700 cm4

Iy = 16 280 cm4

Wx = 12 890 cm3

Wy = 1 090 cm3

Stal 18G2A

fd = 285 MPa = 28,5 kN/cm2

Re = 345 MPa = 34,5 kN/cm2

Rm = 490 MPa = 49,0 kN/cm2

E = 205 GPa

G = 80 GPa

ν = 0,3

ρ = 7850 kg/m3

11.2.2.3.1 Określenie klasy przekroju (p. 4.1.3 [N4] )● klasa przekroju środnika

=215f d= 215

285=0,87

Graniczna smukłość ścianki:

hw

tw= 928

19=48,8466=57,42

Środnik klasy 1Warunek smukłości przy ścinaniu

hw

tw70

Środnik klasy 1

● klasa przekroju półki

bt f= 140,5

36=3,99=7,8

b=0,5 b f−t w=0,5 300−19=140,5 mm

Półka klasy 1

Przekrój klasy 1

148

11.2.2.3.2 Nośność obliczeniowa przekroju na zginanieNośność obliczeniową przekroju klasy 1 na zginanie obliczono z wzoru 42 [N4]

M R=p W f d=1,0⋅12890⋅28,5=367 365kNcm=3673,65 kNm

=1 - obliczeniowy współczynnik rezerwy plastycznej

W - wskaźnik wytrzymałości przekroju

11.2.2.3.3 Nośność obliczeniowa przekroju na ścinanieNośność obliczeniową przekroju na ścinanie, dla którego spełniony jest warunek smukłości na

ścinanie obliczono z wzoru 47 [N4]

V R=0,58 Av f d=0,58⋅176,32⋅28,5=2914,57 kN

Av=92,8⋅1,9=176,32 cm2 pole przekroju środnika

11.2.2.3.4 Zredukowana nośność obliczeniowa przekroju na zginanie

Ponieważ siła tnąca V sdV 0=0,6V R=0,6⋅2914,57=1748,74 kN , do obliczeń należy przyjmować

nośność zredukowaną na zginanie określoną wzorem 47 [N4]

M R, V=M R[1,1−0,3 VV R2]

M R, V=3129,30[1,1−0,3 1735,582914,57

2]=3650,21kNm

11.2.2.3.5 Obliczenie momentu krytycznego Mcr

Wartość momentu krytycznego obliczono wg załącznika 1, rozdział 3 [N4]

● Dla przekroju dwuteowego :

y s=0 - współrzędna środka ścinania

r x=0 - ramię asymetrii

b y= y s−0,5 rx=0 - parametr zginania

I=I Y h2

4=15820⋅100,0−3,62

4=37822 347,20cm6 - wycinkowy moment bezwładności

I T=13 2b f t f

3hw t w3 =1

32⋅30,0⋅3,6392,8⋅1,93 =1580,41 cm4 - moment bezwładności przy

skręcaniu

i x= I x /A=644 700/400=40,15 cm - promień bezwładności względem osi x

i y= I y /A=1090/400=6,38cm - promień bezwładności względem osi y

i0=i x2i y

2=40,1526,382=40,65cm - biegunowy promień bezwładności względem środka

ciężkości

149

i0=i02y s

2=40,6520 2=40,65 cm - biegunowy promień bezwładności względem środka

ścinania

Siły krytyczne przy ścinaniu osiowym:

● wyboczenie giętne względem osi Y (wzór Z1-4 [N4])

N Y=2 E I y

y l 2=

2⋅20500⋅162800,5⋅3052 =9149,67 kN

● wyboczenie skrętne (wzór Z1-4 [N4])

N z=1i s

2 [2 E I l 2

G I T ]N z=

140,652 [2⋅20500⋅37822347

0,5⋅30528000⋅1580]= 1

40,652 21256 88312643244=20515,1 kN

● Wyznaczenie współczynnika

Współczynnik określono na podstawie Tablicy 11 [N4]

M max=0,55M 10,45 M 2

M 1, M 2 - wartości momentów zginających na podporach

M max - największa bezwzględna wartość momentu w środkowym przedziale pręta o

długości 0,2 l 0

M 1=2586,96kNm , M 2=−2 586,96kNm , M max=2586,96⋅30,5

305=258,70 kNm

=0,55⋅2586,96−0,45⋅2586,96/258,70=0,999=1,00

● Obliczenie wartości momentu krytycznego

M cr=A0 N yA0 N y 2B2i s

2 N y N z

Wartości współczynników przyjęto wg Tablicy Z1-2 [N5]

A1=1 /=1,0 , A2=0 , B=1 /=1,00 , C1=2 , C 2=0 , A0=A1b yA2 ss=0

Wzór 11,71 redukuję się do postaci :

M cr=B i sN y N z=1,00⋅40,659149,67⋅20515,07=556 933,60kNcm=5569,33 kNm

11.2.2.3.6 Określenie smukłości względnej przy zwichrzeniu L i współczynnika zwichrzenia L

Smukłość względna przy zwichrzeniu oblicza się z wzoru 50 [N4]

l=1,15M R , V

M cr=1,15 3650,21

5569,37=0,931

Z Tablicy 11 [N4] dla krzywej a0 odczytano wartość L

150

L=0,795

11.2.2.3.7 Sprawdzenie nośności elementu zginanego Nośność elementów zginanych sprawdza sie wg wzoru 52 [N4]

Ml M R ,V

= 2586,960,795⋅3650,21

=0,891

Warunek nośności spełniony

11.2.2.3.8 Obliczenie długości zakotwienia nadproża w ścianie Le

Obliczenia przeprowadzono na podstawie informacji zawartych w publikacji [Har00]. Potrzebną

długość zakotwienia oblicza się z wzoru A3 na nośność zakotwienia

V u=0,85c f cd b Le−c

1 3,6eLe−c

V u - dopuszczalna wartość siły tnącej w utwierdzeniu

c=0,6 - współczynnik materiałowy dla betonu

b - efektywna szerokość bryły naprężeń w betonie

b =min2,5b f=2,5⋅30=75 cm;60 cm =60cm

c=4,0 cm - grubość otuliny na krawędzi ściany

a=L /2=305/2=152,5cm

e=a0,5 Le

f cd=30MPa - obliczeniowa wytrzymałość dla betonu klasy C45/55

Wzór 11.73 po przekształceniu otrzymuje postać:

0,85 Le2−c2,81,7Le0,85 c2−V u3,6a−c=0

=c f cd b

Podstawiając dane otrzymujemy:

V u=V=1735,58 kN , =0,6⋅3,0⋅60=108

91,80 Le2−745,6 Le−944 422,3=0

Le=105,57cm

Przyjmuję Le=110,0 cm

11.2.2.3.9 Obliczenie dodatkowego zbrojenia pionowego w miejscu zakotwieniaPole przekroju zbrojenia określono na podstawie wzoru A4 [Har00]

151

A sc=V s f y

c=0,9 Współczynniki redukcyjny dla stali

Przyjmuję stal AIIIN, fyd = 420 MPa

Asc=1735,580,9⋅42

=45,92 cm2

Przyjmuję: 10 Φ 25 mm As = 49,06 cm2

11.2.2.3.10 Dobranie przekroju żeberka usztywniającegoW publikacji [Har00] zaleca się zastosowanie w okolicach przypodporowych żeberek

poprzecznych.

Ponieważ przekrój jest klasy 1 żeberka dobieram z warunku smukłości

bz

t z14 t z

b z

14

bz=0,5b f−t w - maksymalny wysięg żeberka

t Z - grubość żeberka

b z=0,5 300−19,0 =140,5mm Przyjmuję bz=130 mm

t z130

14⋅0,87=10,67mm

Przyjmuję żeberko grubości 15 mm. Łączone do środnika za pomocą spoiny pachwinowej

dwustronnej grubości a = 8 mm, spełniającej warunek w p. 6.3.2.2

a nom0,2 t 2 lecz ≤10mm , a nom≤0,7 t 1 ,16 mm

t 2=35,5mm - grubość grubszej części w połączeniu

t 1=15 mm - grubość cieńszej części w połączeniu

a nom=0,2⋅19=3,9mm

a nom≤0,7⋅15=10,5 mm

152

12. PodsumowanieW podsumowaniu zostały zebrane i omówione wyniki dla najważniejszych modeli. Oznaczenia

tych wyników wraz z krótkimi charakterystykami programów obliczeniowych wykorzystanych

do ich uzyskania podane są w Tablicy 12.1.

Tablica 12.1 Oznaczenie wyników wykorzystanych w podsumowaniu

Robot 1Wyniki uzyskane w pracy dyplomowej z programu Robot Millennium dla Modelu 1 t.j. modelu z zastępczymi przekrojami słupów kompozytowych przeliczonym na przekroje stalowe z warunku EI (wzór 6.13 ). Budynek modeluję się z przestrzennych elementów powłokowych i prętowych.

Robot 4 Wyniki uzyskane w pracy dyplomowej z programu Robot Millennium dla Modelu 4 t.j. modelu z zastępczymi przekrojami slupów przyjętymi jak w programie BW.

BW 1

Wyniki analizy statycznej uzyskane w pracy dyplomowej dla modelu o zmiennym przekroju wykonanego w programie BW (zastępcze przekroje słupów kompozytowych przeliczono na słupy betonowe z warunku nośności na ściskanie (wzór 6.11)). Budynek modeluje się jako zespół elementów wspornikowych połączonych nadprożami i/lub złączami podatnymi i analizuje wg teorii prętów cienkościennych Własowa.

BW 2 Wyniki analizy dynamicznej uzyskane w pracy dyplomowej dla modelu o stałym przekroju wykonanego w programie BW.

SATWE

Wyniki z publikacji [Li04] dla modelu wykonanego w programie SATWE (Structural Analysis of Tall building, Wall Element). SATWE jest programem MES (odpowiednikiem amerykańskiego programu SAP 2000). Został opracowany przez China Academy of Building Research. W programie ściany budynku definiuje się jak elementy powłokowe z węzłami o 6 stopniami swobody (podobnie jak w programie Robot Millennium).

TBSA

Wyniki z publikacji [Li04] dla modelu wykonanego w programie TBSA (Tall Building StructuralAnalysis). Jest to program oparty na MES, opracowany przez China Academy of Building Research. Budynek modeluje się jako pojedynczy element wspornikowy i analizuje wg teorii Własowa.

TUS

Wyniki analizy modalnej z publikacji [Li04] dla modelu wykonanego w programie TUS (Tsingua University Structural). Opracowany przez Tsinghua University w Chinach program jest opartym na MES i jest odpowiednikiem programu ETABS. W programie elementy trzonu modeluje się z elementów skończonych w płaskim stanie naprężenia.

12.1. Poziome przemieszczenia szczytu budynkuTablica 12.2 Zestawienie przemieszczeń budynku (cm)

Wiatr Y Wiatr X SGU Y Sztywność SGU X

Robot 1 64,70 26,00 72,70 H / 430 31,40

Robot 4 56,90 25,40 63,80 H / 490 30,60

BW 1 63,99 24,91 78,26 H / 400 35,76

SATWE 69,03 21,45 - - -

TBSA 48,63 20,88 - - -

Najmniejsze wartości przemieszczeń wywołane wiatrem po kierunku Y uzyskano dla Robot 4

(56,90 cm), natomiast po kierunku X dla BW 1 (24,91 cm). Na podstawie wyników z

Tablicy 12.2 można stwierdzić, że sztywność budynku dla wszystkich analizowanych modeli po

153

kierunku X jest zbliżona, gdyż wartości przemieszczeń nie różnią się o więcej niż 4% (Robot 1

do BW). Dla kierunku Y różnice te sięgają już 12% w przypadku Robot 4 i BW. Dla Robot 1 i

Robot 4 różnica ta sięga 14%. Wynika ona z różnicy wielkości słupów, które w Robot 4 mają

większe wymiary.

W przypadku kombinacji obciążeń dla stanu granicznego użytkowania (SGU) największe

wartości przemieszczeń w obu kierunkach uzyskano dla modelu z BW, najmniejsze dla

Modelu 4 z programu Robot. W przypadku Robot 1 i Robot 4 wartości przemieszczeń po

kierunku Y dla SGU wzrosły o ok. 12% w stosunku do obciążenia wiatrem, natomiast dla BW o

22%. W przypadku kierunku X dla Robota 1 i 4 wzrost ten jest na poziomie 20 % natomiast

dla BW aż 42%.

Otrzymane w pracy dyplomowej przemieszczenia od obciążenia wiatrem po kierunku Y

wyliczone programami BW i Robot Millennium zbliżone są do wyników z programu SATWE.

Dla Modelu 1 są one o 7% mniejsze, Modelu 4 - 18 %, a dla BW o 8%. W przypadku wiatru po

kierunku X otrzymane wyniki są większe niż dla SATWE. Dla Robota 1 o 21%, Robota 4 o

18% i dla BW o 16%.

Ponieważ programy Robot i SATWE są programami tego samego typu można stwierdzić, ze

dla Modelu 1 udało się uzyskać sztywność po kierunku Y zbliżoną do modelu z programu

SATWE.

Porównując zamieszczone w Tablicy 12.3 wyniki przemieszczeń po kierunku Y dla modeli

Robot 1 i 2, możemy zaobserwować wpływ outriggerów na sztywność budynku.

Przemieszczenia w modelu bez outriggerów są o 61,5% większe niż w budynku z

outriggerami. Podobny wynik uzyskano w programie TBSA gdzie różnica ta wynosiła 57,7%.

Dla kierunku X różnica ta wynosi tylko 6,9%, podczas gdy dla TBSA 22,3%. Na podstawie

otrzymanych wyników można stwierdzić że outriggery w Robot 1 zostały zamodelowane

poprawnie.

Tablica 12.3 Zestawienie wartości przemieszczeń (cm) budynku dla modeli wykonanych w programie Robot Millennium

Wiatr YRóżnica z Modelem 1

Wiatr XRóżnica z Modelem 1

Robot 1 64,70 - 26,00 -

Robot 2 104,50 +61,5% 27,80 6,9%

Robot 3 64,80 0,2% 26,90 3,5 %

Robot 2 – jak Robot 1, bez outriggerów Robot 3 – jak Robot 1, element skończony 1,0 m

Wpływ wielkość elementów skończonych na wartości przemieszczeń można analizować

porównując wyniki dla Robot 1 i Robot 3. Dla modelu o elementach skończonych o wymiarach

154

1,0x1,0 m wartości te są niewiele większe. Dla kierunku Y o 0,2%, a dla kierunku X o 3,5%. W

przypadku modelu Robot 1 gdzie element skończonym ma wymiary 1,5x1,5 m w wyniku

dyskretyzacji otrzymano 22 164 elementy, dla Robot 3 - 46 188 (ponad dwa razy więcej).

Porównując liczbę elementów skończonych w modelach i różnice w wynikach można

stwierdzić, że elementy o wymiarach 1,5x1,5 m są wystarczające do analizy przemieszczeń.

Przedstawione w Tablicy 8.1 wartości przemieszczeń dla wybranych punktów trzonu o tej

samej rzędnej pokazują, że pomimo usunięcia w modelach z programu Robot Millennium płyt

stropowych trzon odkształca się równomiernie. Różnica przemieszczeń jest rzędu 0,13 %.

Największą sztywność budynku uzyskano dla modelu Robot 4, która wynosi H / 490 .

Analizując wyniki z publikacji [Li04] jedynie przesztywniony zdaniem autora pracy model TBSA

dla SGU mógłby mieć przemieszczenia mniejsze od H/500. Wskazuje to na bardzo małą

ogólną sztywność budynku, co prawdopodobnie było przyczyną podjęcia badań

doświadczalnych opisanych w pracach [Li02], [Li03], [Li04], [Li04b], [Li05], [Xu03].

12.2. Naprężenia w ścianach trzonuPonieważ przy wyliczaniu kombinacji obciążeń w programie Robot nie uwzględniono

wykluczania się obciążeń wiatrem w kierunkach X i Y, przeprowadzono analizę wyników

naprężeń dla każdego schematu obciążenia, w punktach trzonu gdzie wystąpiły ekstremalne

naprężenia. Analizowano model BW i Robot 1. Wartości naprężeń zestawiono w Tablicach

12.4 i 12.5 (Mapy naprężeń z wartościami zamieszono w Załączniku P).

Tablica 12.4 Zestawienie wartości naprężeń od poszczególnych schematów obciążeń w punkcie wystąpienia wartości maksymalnych w trzonie (lewy dolny narożnik trzonu) dla trzonu o gr 75 cm

Obciążenia Stałe Wiatr Y Wiatr X Eksp. 1

(NW)Eksp. 2

(NE)Eksp. 3 (SW)

Eksp. 4 (SE)

BW -12,28 9,19 4,74 -1,46 0,41 -2,73 0,21

Robot (Model 1) -9,45 8,11 4,81 -1,45 0,18 -1,66 -0,11

Tablica 12.5 Zestawienie wartości naprężeń od poszczególnych schematów obciążeń w punkcie wystąpienia wartości minimalnych w trzonie (prawy górny narożnik trzonu) dla trzonu o gr. 75 cm

Obciążenia stałe Wiatr Y Wiatr X Eksp. 1

(NW)Eksp. 2

(NE)Eksp. 3 (SW)

Eksp. 4 (SE)

BW -12,31 -9,19 -4,74 -0,20 -2,76 0,41 -1,45

Robot (Model 1) -9,32 -8,11 -4,81 -0,10 -1,72 0,28 -1,43

Jak widać w tablicach 12,4 i 12,5 wartości naprężeń dla poszczególnych schematów w tych

samych punktach trzonu są do siebie zbliżone.

155

Przybliżone ekstremalne wartości naprężeń otrzymane z programu Robot przy uwzględnieniu

wykluczania się obciążeń wiatrem w kierunkach X i Y oraz współczynników obciążeniowych

określonych w danych do programu BW przyjmują wartości:

Naprężenia maksymalne:

z ,max=−9,45⋅1,358,11⋅1,300,18⋅1,5=−1,95MPa

Naprężenia minimalne: z ,min=−9,32⋅1,35−8,11⋅1,30−0,101,721,431,5=−27,84 MPa

Porównując otrzymane wyniki z wynikami z programu BW:

● naprężenia maksymalne dla Robot 1 są o 3,27 MPa mniejsze

● naprężenia minimalne dla Robot 1 są o 7,37 MPa mniejsze

W literaturze nie ma informacji o wielkościach naprężeń jakie otrzymano z obliczeń podczas

projektowaniu rzeczywistego obiektu i nie można stwierdzić, które wyniki są poprawniejsze. W

przypadku naprężeń rozciągających (nazywanych dodatnimi lub maksymalnymi) bardziej

bezpieczne są wyniki z programu Robot, w przypadku ściskających (nazywanych ujemnymi

lub minimalnymi) z programu BW.

W przypadku modeli analizowanych w programie Robot należałoby przeprowadzić

dokładniejszą analizę trzonu, ze względu na wielkość elementów skończonych. Zastosowana

do obliczeń siatka elementów skończonych (ES) o wymiarach 1,5x1,5m może nie być

wystarczająca do dokładnej analizy naprężeń. Warto byłoby przeprowadzić analizę dla ES o

wymiarach 0,5x0,5m lub mniejszych. Porównując jednak mapy naprężeń dla Robot 1 (Rys.

8.15) i Robot 3 (Rys. 8.19) można zaobserwować, że różnice w wartościach i rozkładach

naprężeń po zagęszczeniu siatki elementów skończonych nie były duże.

12.3. Wyniki analizy modalnejTablica 12.6 Zestawienie częstotliwości drgań własnych w [Hz]

1 Y 2 Y 1 X 2X 1 FI 2 FI Masa [kg]

Pomiary 0,173 0,540 0,208 0,688 0,293 0,886 -

Robot 10,192

(+11,0%)0,775

(+43,0%)0,230

(+10,6%)0,778

(+13,1%)0,314

(+7,2%)0,978

(+10,4%)163 597 157,5

Robot 40,191

(+10,0%)0,745

(+38,0%)0,216

(+3,9%)0,727

(+5,7%)0,288(-1,7%)

0,895(+1,0%)

193 328 209,3

BW0,145

(-16,0 %)0,596

(+10,0%)0,166

(-20,0%)0,563

(-18,0%)0,189

(-35,5%)0,632

(-28,6%) 200 737 600,0

SATWE 0,159(-8,0%)

0,592(+9,6%)

0,201(-3,4%)

0,676(-2,3%)

- - -

TBSA 0,159(-8,0%)

0,543(+0,6%)

0,174(-16,0%)

0,568(-17,5%)

0,367(+25,3%)

0,895(+1,0%)

185 037 600,0

TUS 0,159(-8,0%)

0,599(+10,3%)

0,201(-3,4%)

0,704(+2,3%)

- - -

156

Otrzymane częstotliwości pierwszych sześciu postaci drgań własnych dla modeli z programu

Robot Millennium są większe (z wyjątkiem pierwszej częstotliwości drgań skrętnych dla

Robot 2). Największe różnice uzyskano dla drugiej postaci po kierunku Y. W oparciu o wzór

12.1 można stwierdzić, że mniejsze wartości częstości drgań dla Robot 4 w stosunku do Robot

1 mogą wynikać ze zwiększonej masy modelu. Jest to rezultatem przyjęcia większych

przekrojów słupów żelbetowych, modelujących słupy stalowe wypełnione betonem.

=2 f = k /m 12.1

W przypadku BW 2 większość wyników (z wyjątkiem 2 Y) jest mniejsza od wyników z

pomiarów budynku. Na podstawie przemieszczeń od obciążenia wiatrem można stwierdzić, że

sztywności modeli BW 2 i Robot 1 są zbliżone. Natomiast masa modelu z programu BW 2 jest

większa o 27,8% niż Robot 1 i to właśnie ona mogła mieć wpływ na zmniejszone wartości

częstotliwości.

Rys. 12.1 Zestawienie pierwszych dwóch postaci drgań własnych po kierunku Y a) 1Y b) 2Y

157

Rys. 12.2 Zestawienie pierwszych dwóch postaci drgań własnych po kierunku X a) 1X b) 2X

Rys. 12.3 Zestawienie pierwszych dwóch postaci drgań własnych skrętnych a) 1 FI b) 2FI

158

Rys. 12.3 Zestawienie postaci drgań własnych z publikacji [Li04].

Wyniki dla Robot 1 i Robot 4 są większe w porównaniu z wynikami obliczeń dla SATWE i

TBSA. Natomiast w przypadku BW 2 są mniejsze. Dla BW 2 jako jedną z głównych przyczyn

zmniejszonych częstotliwości drgań własnych można przyjąć większą masę modelu. W

przypadku modeli z programu Robot nie jest to już tak oczywiste. Dla Robot 1 mamy mniejsza

masę modelu niż dla TBSA, ale sztywność modelu z programu TBSA jest większa.

Autor publikacji [Li04] podsumowując uzyskane wyniki dla SATWE i TBSA stwierdził, że

różnice pomiędzy obliczonymi a uzyskanymi z pomiarów częstotliwości drgań własnych mogą

wynikać z dwóch przyczyn: zbyt duża masa modelu przyjęta do obliczeń i / lub zbyt mała

sztywność modeli budynku w porównaniu do rzeczywistej konstrukcji. Wniosek ten można

przypisać do wyników z programu BW. W przypadku modeli z programu Robot stwierdzenie to

nie do końca jest prawdziwe.

W trakcie obliczeń w programie Robot Millennium ważnym czynnikiem może okazać się

określenie optymalnych parametrów dla analizy modalnej. Jednym z takich czynników może

być liczba iteracji przyjęta w metodzie podprzestrzennych iteracji. Ostateczne wyniki przyjęte

do analizy w pracy dyplomowej obliczane były dla 40 iteracji. Początkowo jednak obliczenia

prowadzone były dla 20 iteracji (standardowo ustawione w programie). Dla takiej liczby iteracji

pierwsze 3 częstotliwości drgań własnych dla Robot 1 były odpowiednio o 14,5%, 17,4% i

24,2% większe niż dla obliczeń z 40 iteracjami (Tablica 12.7). W porównaniu z wynikami

pomiarów są one większe odpowiednio o 27,0%, 29,8%, 33,1%.

159

Tablica 12.7 Zestawienie częstotliwości drgań własnych w [Hz] dla Robot 1 w zależności od liczby iteracji

Liczba iteracji 1 Y 2 Y 1 X 2X 1 FI 2 FI

40 0,192 0,775 0,230 0,778 0,314 0,978

200,220

(+14,5%)0,900

(+15,4%)0,270

(+17,4%)0,900

(+15,7%)0,390

(+24,2%)1,230

(+26,7%)

12.4. Wyniki analizy sejsmicznej

Tablica 12.8 Wartości przemieszczeń budynku dla schematów obciążeń sejsmicznych i wiatrem [cm]

Kierunek Y Kierunek X

Sejsmika Wiatr Sejsmika Wiatr

Robot 1 22,62 64,70 14,48 26,00

Robot 4 23,20 56,90 16,50 25,40

BW 2 36,21 72,62 26,26 27,77

TBSA 25,59 48,63 19,74 20,28

Tablica 12.9 Wartości sił poprzecznych w trzonie dla schematów obciążeń sejsmicznych i wiatrem [kN]

Kierunek Y Kierunek X

Sejsmika Wiatr Sejsmika Wiatr

Robot 1 18 216 63 362 19 362 42 728

Robot 4 18 308 62 456 20 501 43 054

TBSA 22 966,1 - 23 181,3 -

Otrzymane wyniki zarówno przemieszczeń (Tablica 12.8) jak i sił poprzecznych (Tablica 12.9)

wywołanych obciążeniami sejsmicznymi są mniejsze od wartości wywołanych obciążenia

wiatrem. Zatem nie trzeba uwzględniać przy wymiarowanych elementów konstrukcji.

Jak widać wielkości sił poprzecznych otrzymane z obliczeń w pracy dyplomowej są nieco

mniejsze od wyników z publikacji [Li04]. Różnice te mogą wynikać z

● różnic mas całego obiektu a także ich rozkładu wzdłuż wysokości budynku

● różnych wartości częstości drgań własnych

● metody sumowania maksimów odpowiedzi: w pracy dyplomowej – wykorzystano

dokładniejszą metodę CQC, a w publikacji [Li04] – starszą metoda SRSS

12.5. Wartości sił w nadprożachTablica 12.10 Wartości sił poprzecznych wywołanych obciążeniami sejsmicznymi i wiatrem [kN]

Model Nr nadproża Rzędna M [kNm] T [ kN]

Robot 1 3 110,75 4626,73 3102,29

Robot 4 3 110,75 4607,80 3090,33

BW 1 3 118,20 3309,57 2170,21

160

W obu programach maksymalne wartości sił wewnętrznych w nadprożach otrzymano dla

zbliżonych rzędnych w programie Robot +110,75 m a w programie BW +118,20 m. Różnice

wartości sił dla modeli z programu Robot są niewielkie. W przypadku wyników z programu BW

uzyskano o 30% mniejsze wartości sił wewnętrznych w nadprożach. Różnice te mogą wynikać

z uwzględnienia w programie BW podatności połączenia nadproża ze ścianą (współczynnik

k = 1). W przypadku modeli z programu Robot są one sztywno połączone z pionowymi

elementami prętowymi biegnącymi wzdłuż krawędzi trzonu. Podatność tą można uwzględnić (z

dość dużą dokładnością) w programach opartych na MES przez zwiększenie długości

nadproża o ¼ wysokości przekroju nadproża. Zastosowanie tego zabiegu w modelach Robot 1

i Robot 4 spowodowało by jednak znaczne zwiększenie liczby powierzchniowych elementów

skończonych i dlatego zostało pominięte.

12.6. Obliczone zbrojenieNa podstawie wyników z programu BW większość ścian w obliczanym skrajnym (ceowym)

elemencie trzonu nie wymagały dodatkowego zbrojenia i zastosowano w nich zbrojenie

minimalne. Jedynie w trzonie o grubości 75 cm w strefach krawędziowych ścian potrzebne

było dodatkowe zbrojenie. Potwierdza to ogólną prawidłowość, że wymiary konstrukcji

usztywniającej budynków wysokich wynikają z warunku sztywności (Stanu Granicznego

Użytkowania), a nie nośności.

Dla obu żelbetowych nadproży potrzebne pole przekroju zbrojenia głównego liczone:

● jako pręty podłużne wg polskiej normy [N5]

● jako zbrojenie diagonalne obliczone wg amerykańskich przepisów ACI

wyszło takie samo.

W przypadku nadproży stalowych, przyjęty ze wstępnego projektowania profil HE 1000x584

spełnił warunki nośności z dużą rezerwą (42%) dla maksymalnych wartości sił wewnętrznych.

Ponieważ maksymalne wartości sił wewnętrznych dla drugiego z obliczanych nadproży w

części budynku o trzonie gr. 60 cm były mniejsze od wartości z pierwszego przypadku, do

wymiarowania przyjęto mniejszy profil HEB 1000. Warunek nośności dla tego elementu został

spełniony z 11% rezerwą.

12.7. Porównanie programów obliczeniowychBudowanie modelu w programie BW przy pomocy preprocesora POL 3 jest łatwe i intuicyjne.

Jest to program służący do analizy budynków ścianowych, w którym wszystkie elementy

konstrukcji definiuje się o przekroju pełnym prostokątnym. W przypadku występowania w

konstrukcji elementów z profili stalowych lub np. kratownic stanowi to pewien problem, gdyż

trzeba je przeliczyć na zastępcze przekroje prostokątne (zwykle żelbetowe, choć jest

161

możliwość definiowania różnych materiałów). W przypadku analizowanego w pracy

dyplomowej budynku spowodowało to zwiększenie masy modelu, co mogło mieć wpływ na

wyniki analizy dynamicznej. Niewątpliwym atutem programu BW jest bardzo krótki czas

obliczeń tak dużych konstrukcji. Na przeciętnym komputerze PC przeprowadzenie całej

analizy budynku zajmuje ok 10 minut.

Modelowanie budynku w programie Robot Millennium odbywa się głównie w widoku 3D.

Budowanie modelu ułatwia i przyspiesza definiowanie osi, funkcje translacji i lustra. Przy

stosowaniu dwóch ostatnich funkcji bardzo ważna jest precyzja, gdyż bardzo łatwo można

spowodować przesunięcie powielanych elementów wyniku czego ich węzły nie będą sie ze

sobą stykać. W programie Robot można bez problemu łączyć różne typy konstrukcji: prętowe,

powłokowe. W przypadku modelowania budynku wysokiego, nawet przy bardzo zgrubnym

siatkowaniu trzonu otrzymujemy bardzo duże zadanie obliczeniowe (ponad 50 tyś elementów

skończonych i prawie 240 tyś. stopni swobody ). Czas wykonania pełnej analizy tak dużego

zadania na przygotowanym do tego celu stanowisku (wydajniejszy procesor, większa ilość

pamięci RAM) wynosi od 2 do 3 godzin. Jak na tej wielkości model nie jest to dużo, ale w

porównaniu z BW trwa to 12 razy dłużej. W przeciwieństwie do BW wyspecjalizowanego do

liczenia jednego typu konstrukcji Robot Millennium jest programem uniwersalnym

pozwalającym liczyć różne typy konstrukcji. Dużym ułatwieniem w analizie budynków

wielokondygnacyjnych jest dostępna w najnowszych wersjach programu funkcja Pięter.

162

13. ZakończenieW niniejszej pracy analizowano 5 modeli budynku Di-Wang Tower – 4 modele dyskretne w

programie Robot Millennium oraz jeden model ciągły w programie BW dla Windows. Dla trzech

modeli przeprowadzono pełne analizy statyczne i dynamiczne (modalną i sejsmiczną), dla

pozostałych dwóch (programu Robot) tylko statyczne, głównie od obciążenia wiatrem. Modele

zbudowano na podstawie: informacji zawartych w publikacjach [Li04], [Kim95] oraz własnych

obliczeń dla elementów, których wymiary nie były podane w cytowanych publikacjach.

Uzyskane w pracy dyplomowej wyniki z obliczeń są zbliżone do wyników z programu SATWE

zawartych w pracy [Li04]. Autor tej publikacji spośród wyników z 3 różnych programów uznał

je za najbliższe rzeczywistości. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń i analiz można

wyciągnąć następujące wnioski:

● Wartości przemieszczeń najbliższe wartościom przemieszczeń z programu SATWE

uzyskano z obliczeń programem BW dla Windows oraz Robot Millennium dla Modelu 1

(Tab. 12.1). Przemieszczenia po kierunku Y wyliczone programem BW dla Windows są

o 1% gorsze od wyników dla Modelu 1 z programu Robot, a w kierunku X o 4% lepsze.

● Z analizowanych modeli w programie Robot Millennium za najbliższy rzeczywistości

uznałbym Model 1. Wartości przemieszczeń oraz wyniki analizy modalnej dla tego

modelu są najbardziej zbliżone do wyników z programu SATWE.

● Przeliczenie przekrojów kompozytowych słupów na zastępcze przekroje betonowe z

warunku nośności na ściskanie w programie BW dało wyniki przemieszczeń zbliżone

do wyników z programu SATWE. Wprowadzenia tych samych przekrojów do modelu w

programie Robot spowodowało wzrost jego sztywności o 14% w porównaniu z

Modelem 1, w którym zastępcze przekroje przyjęto z warunku sztywności EI

(standardowa opcja programu Robot). Przeliczanie przekrojów kompozytowych z

warunku nośności daje większe przekroje zastępcze niż warunku sztywności EI.

Minusem przeliczania zastępczych przekrojów modeli z warunku nośności jest znaczny

wzrost masy modelu.

● Podobnie jak w pracy [Li04] udało się wykazać duży wpływ outriggerów na wzrost

sztywności poprzecznej konstrukcji. Ich stosowanie pozwala w znaczny sposób

ograniczyć przemieszczenia budynku.

● Uzyskane wyniki analizy modalnej różnią się od wyników uzyskanych z pomiarów dla

rzeczywistego budynku, a także wyników obliczeń z publikacji [Li04] nie więcej niż o

30% (w większości przypadków). Na rozbieżności wyników mogą mieć wpływ różnice

bezwładności i sztywności modeli obliczeniowych oraz rzeczywistego budynku, a także

163

dokładność obliczeń analizy modalnej. W pracy wykazano również, że obciążenia

sejsmiczne dla budynku zlokalizowanego w mieście Shenzen wywołują

przemieszczenia mniejsze od przemieszczeń od obciążeń wiatrem i nie zwiększają

potrzebnych wymiarów konstrukcji usztywniającej.

● Najmniejsze przemieszczenia ( H / 490 ) uzyskano z obliczeń Modelu 4 programu Robot

Millennium. Wszystkie z analizowanych modeli miały maksymalne wychylenia większe

od H /500 . Wskazuje to na małą sztywność budynku.

164

Literatura

➢ Publikacje książkowe i w czasopismach

Bal93 Balendra T.: Vibration of Buildings to Wind and Earthquake Loads.Springer – Verlag, London 1993.

BLWTL Boundary Layer Wind Tunnel Laboratory: Wind Effects on Tall Buildings.http://www.blwtl.uwo.ca z 2007-04-30.

Bud79 Budynki wznoszone metodami uprzemysłowionymi. Projektowanie konstrukcji i obliczenia. Praca zbiorowa, kier. zespołu autor. B. Lewicki. Arkady, Warszawa 1979.

Chm98 Chmielewski T., Zembaty Z.: Podstawy dynamiki budowli, Arkady Warszawa 1998.

Cro93 Crooks G, Isyumov N, Edey RT Davenport AG.: A study of overall wind-induced loads and responses for the Di Wang Tower, Shenzhen, PRC, Research Report BLWT-SS26-1993,Boundary Layer Wind Tunnel Laboratory, The University of Western Ontario, 1993.

Cou88 Coull A., Lau W.H.O.: Outrigger braced structures subjected to equivalent static seismic loading, Proceedings of the Fourth Int. Conf. on Tall Buildings Ed. By Y.K. Cheung P.K.K. Lee, Hong Kong & Shanghai Kwiecień/Maj 1988

Cou89 Coull A., Lau W.H.O.: Analysis of multioutrigger-braced structures, JSE, 115, 7 (1989) 1811-1815.

Eng03 Englekirk R. T.: Seismic Design of Reinforced and Precast Concrete Buildings, Wiley, 2003

Har00 Harries K. A., Gong B.: Behavior and Design of Reinforced Concrete, Steel and Steel-Concrete Coupling Beams. Earthquake Spectra, 16, 4 (2000) 775-800.

Hoe04 Hoenderkamp J. C. D. Bakker M. C. M.: Shear wall with outrigger trusses on wall and column

foundations, The Structural Design Of Tall And Special Buildings 13 (2004), Wiley 2004.

Kam06 Kamiński M. Pędziwiatr J. Styś D.: Projektowanie konstrukcji żelbetowych Dolnośląskie wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław 2006.

Kap03 Kapela M., Sieczkowski J.: Projektowanie konstrukcji budynków wielokondygnacyjnych,Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2003.

Kil04 Killer K. W. M. Polsko – Angielsko – Niemiecki Ilustrowany Słownik Budowlany, Wydawnictwo Arkady, Warszawa 2004

Kim95 Kimura I.: Management of high rise buildings in South East Asia Di Wang Development, Proceedings of the Fifth World Congress "Habitat and High- Rise: Tradition and Innovation", Council on Tall Buildings and Urban Habitat, Amsterdam, May 14-19, 1995.

Lew04 Lewicki B.: PN-EN 1990:2004 Eurokod – Podstawy projektowania konstrukcji, Inżynieria i Budownictwo, 9 (2004) 502-506.

Lew07 Lewicki B. ; Wdrażanie Eurocodów do praktyki polskiej – wymagany poziom bezpieczeństwa konstrukcji, XXII Ggólnopolska Konferencja Warsztat Pracy Projektanta Konstrukcji, Szczyrk, 7÷10 marzec 2007 r.

Li02 Li, Q.S., Yang K., Zhang N., Wong C.K., Jeary A.P.: Field measurements of amplitude-dependent damping in a 79-storey tall building and its effects on the structural dynamic responses, The Structural Design Of Tall And Special Buildings 11 (2002), Wiley 2002.

Li03 Li Q. S., Xiao Y. Q., Wrong C.K.: Field measurements of wind effects on the tallest building in Hong Kong; Structural Design Of Tall And Special Buildings 12 (2003), Wiley 2003.

Li03b Li J.: ETABS Version 8 - Technical Notes. Modelling Lintel/Spandrel Using Shell Element

165

(www.src-asia.com/tn/) 2003.

Li04 Li Q. S, Wu J. R.: Correlation of dynamic characteristics of a super-tall building from full-scale measurements and numerical analysis with various finite element models, Earthquake Engineering And Structural Dynamics 33 (2004), Wiley 2004.

Li04b Li Q. S., Xiao Y.Q., Wonga C. K.: Field measurements of typhoon effects on a super tall building, Engineering Structures 26, 2004.

Li05 Li Q.S., Xiao Y.Q., Wong C.K.: Serviceability of a 79-storey tall building under typhoon conditions, Proceedengs Instn. Civil Engineering Structures & Buildings, vol.158, SB4 (2005).

Łap06 Łapko A. Jensen B. Ch. Podstawy Projektowaia I Algorytmy Obliczeń Konstrukcji Żelbetowych, Wydawnictwo Arkady, Warszawa 2006.

McN75 McNabb JW, Muvdi BB. Drift reduction factors for belt high-rise structures. Engineering Journal 3nd Quarter, 1975.

Pod20 Robot Millennium wersja 20 – Podręcznik użytkownika, Firma informatyczna RoboBAT, www.robobat.com.pl

Pau90 Paulay T. Priestley M.J. N.: Design of Reinforced Concrete and Masonary Buildings, Wiley, New York 1990.

Paw04 Pawłowski A.Z.: Budynki wysokie – wzrastająca rola betonu.Budownictwo, Technologie, Architektura. Nr 1(25)/2004, Wydawca: Polski Cement Sp. z o. o. 2004.

Paw06 Pawłowski A.Z., Cała I.: Budynki wysokie, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2006.

Sta91 Stafford – Smith B., Coull A.:Tall Building Structures: Analysis and Design, Wiley, New York 1991.

Sta03 Starosolski W.: Wybrane zagadnienia komputerowego modelowania konstrukcji inżynierskich, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2003.

Sta05 Starosolski W.: Konstrukcji Zelbetowe Według PN – B – 03264:2002, Wydanie dziewiąte, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.

Tab06 Bogucki W., Żyburtowicz M.: Tablice do projektowania konstrukcji metalowych, Wydawnictwo Arkady, Warszawa 2006.

Tar75 Taranath BS.: Optimum belt truss location for high-rise structures, Structural Engineer 53(8) 1975.

Wdo93 Wdowicki J., Wdowicka E.: Analiza statyczna przestrzennych układów ścianowych z nadprożami, Metody Komputerowe w Inżynierii Lądowej, Wydawnicstwo Inżynierii Lądowe, Warszawa 1993

Wen02 Wen Z.P., Hu Y.X., Chau K.T. Site effect on vulnerability of high-rise shear wall buildings under near and far field earthquakes, Soil Dynamics and Earthquake Engineering 22 (2002), Elsevier. 2002.

Wu03 Wu J.R., Li Q.S.: Structural performance of multi-outrigger-braced tall buildings buildings, The Structural Design Of Tall And Special Buildings 12, 2 (2003), Wiley 2003.

Xu03 XU Y. L., Chen S. W.. Zhang R. C.: Modal identification of di wang building under typhoon York using the Hilbert–Huang transform method Structural Design Of Tall And Special Buildings 12 (2003), Wiley 2003.

Żół04 Żółtkowski W. Łubiński M. Konstrukcje metalowe Cześć II. Obiekty budowlane. Wydanie drugie zmienione. Wydawnictwo Arkady, Warszawa 2004.

166

➢ Normy

[N1] PN-EN 1990 Eurokod. Podstawy projektowania konstrukcji

[N2] PN-EN 1991-1-1 Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje Część 1-1: Oddziaływania ogólne. Ciężar objętościowy, ciężar własny, obciążenia użytkowe w budynkach.

[N3] PN-77/B-02011 Obciążenie wiatrem.

[N4] PN-90/B-03200 Konstrukcje stalowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.

[N5] PN-B-03264:2002 Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia statyczne i projektowanie.

[N6] PN-B-03300:2006 Konstrukcje zespolone stalowo-betonowe. Obliczenia statyczne i projektowanie.

[N7] GBJ 9-87 Load Code for The Design of Buildings Structures. Wind Load. National Standard of The People`s Republic of China.

[N8] GBJ 11-89 The Standard of Structural Earthquake Resistant Design. National Standard of The People`s Republic Of China.

➢ Źródła internetowe

[I1] http://www.tallestbuildingintheworld.com/

[I2] http://mim.man.poznan.pl

[I3] http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=181902

[I4] http://www.bt-invest.com.pl/index.php?go=oferta_opis&kod=BTA

[I5] http://www.rockwool.pl/sw49925.asp

[I6] http://www.menerga.com.pl/

[I7] http://www.tem-transforma.pl/modan.html

[I8] http://www.travelchinaguide.com/cityguides/guangdong/shenzhen/when-to-go.htm

[I9] http://www.fema.gov/pdf/plan/prevent/rms/424/fema424_ch4.pdf

[I10] http://www.ctbuh.org/Resources/Resources-WorldsTallest.aspx

[I11] http://skyscraperpage.com/diagrams/?

[I12] http://en.wikipedia.org

[I13] http://maps.google.com/

[I14] http://commons.wikimedia.org/wiki/2005_04_23_Di_Wang_Building.JPG

167

Zestawienie oprogramowania[P1] POL3

[P2] BW dla Windows

[P3] BW View

[P4] Robot Millennium 20.0

[P5] RM-Win

[P6] AutoCAD 2004

[P7] OpenOffice 2.1

Podziękowania Na zakończenie chciałbym złożyć serdeczne podziękowania:

● Rodzicom za umożliwienie studiowania, oraz pomoc i wsparcie przez cały okres

studiów.

● Panu dr inż. Jackowi Wdowickiemu za pomoc, porady, uwagi i poświęcony czas

(znacznie przekraczający przewidzianym planem studiów) przy pisaniu pracy.

● Instytutowi Konstrukcji Budowlanych Politechniki Poznańskiej za przygotowanie

stanowiska komputerowego do obliczeń w programie Robot Millennium.

● Panu Jakubowi Brożonowiczowi z firmy Robobat za pomoc i cenne porady do pracy w

programie Robot Millennium

● Pani dr inż. Iwonie Pujanek za pomoc przy wyszukiwaniu publikacji wykorzystanych w

pracy.

● Panu dr inż. Zdzisławowi Kurzawie za pomoc w zakresie konstrukcji stalowych i

kompozytowych

● Panu dr inż. Jackowi Ścigałło za pomoc w zakresie konstrukcji żelbetowych

● Wszystkim tym, których nie wymieniłem, a służyli mi pomocą i wsparciem nie tylko przy

pisaniu pracy ale także przez cały okres studiów.

168

Załączniki

169

A. Wprowadzenie do problematyki obciążeń sejsmicznych budowli.

A.1. Co to jest trzęsienie ziemi Obciążenia sejsmiczne wywołane trzęsieniami ziemi są jednym z rodzajów obciążeń

dynamicznych, które mogą działać na budowle. W wielu krajach są najpoważniejszymi

źródłami obciążeń budowli, które decydują o nośnościach przekrojów.

Rys. A.1 Schemat trzęsienia ziemi [Bal93]

Skorupa ziemska składa się z kilkunastu grubych skalnych płyt poruszających się po płynnej

powłoce. Płyty te nazywane są płytami tektonicznymi, natomiast warstwa po której się

poruszają astenosferą. W wyniku ruchów płyt ich krawędzie zazębiają się i uniemożliwiają ich

ruch. W rezultacie powstają naprężenia, które po przekroczeniu wytrzymałości skały na

ścinanie pękają wzdłuż tzw. linii uskoku. Wyzwolona energia przyjmuje postać fal

sejsmicznych wywołujących ruchy podłoża budynku. Schemat zjawiska trzęsienia ziemi

przedstawiono na Rys. A.1 i A.2.

Rys. A.2 Rodzaje fal sejsmicznych [ I9 ]

Źródło trzęsienia ziemi nazywa się hipocentrum. W pierwszym etapie powstają fale

170

materiałowe typu P (podstawowe – powodują ściskanie skał) i S (poprzeczne – wywołują

deformacje poprzeczne bez zmiany objętości ) (Rys. A.2). Kiedy fale materiałowe dotrą do

powierzchni wywołują fale powierzchniowe: Love`a i Rayleigh`a. Punkt na powierzchni nad

hipocentrum nazywany jest epicentrum. [Bal93]

Rys. A.3 Podział skorupy ziemskiej na płyty tektoniczne[ Kap03]

A.2. Zniszczenia wywołane trzęsieniami ziemiSkutki działań trzęsień ziemi możemy podzielić na bezpośrednie i pośrednie. Do

bezpośrednich zaliczamy:

● uszkodzenia podłoża,

● zaburzenia powierzchni,

● pękanie podłoża,

● upłynnianie gruntu,

● nierównomierne osiadania,

● drgania przekazywane z podłoża na konstrukcję.

Natomiast do pośrednich:

● tsunami

● osuwiska

● powodzie

● pożary

● sejsze (fale stojące powstające w jeziorach i zamkniętych morzach)

Źródłami zniszczeń wywołanych przez trzęsienia ziemi są :

● uszkodzenia podłoża (wywołujące zaburzenia powierzchni – powstawanie uskoków, upłynnienia

gruntów)

● wstrząsy podłoża (wywołujące drgania konstrukcji, zsuwanie konstrukcji z fundamentów)

171

A.3. Obciążenia wywoływane przez trzęsienia ziemiObciążeniem wywołanym przez trzęsienie ziemi działającym na budynek są głównie poziome

siły bezwładności (F = - m a). Siły pionowe zwykle są pomijane. Na ogół są one mniejsze od

poziomych, a poza tym budynki projektuje się głównie na statyczne obciążenia pionowe stąd

też są one bardziej wytrzymałe w tym kierunku. Fundament jest punktem łączącym budynek z

podłożem. Fala sejsmiczna docierająca do budynku „potrząsa” fundamentem w przód i w tył.

Ruchowi budynku przeciwdziała jego masa, która wywołuje poziome siły bezwładności.

Wartości poziomych sił bezwładności zależą od wartości przyspieszeń gruntu w czasie

trzęsienia ziemi, masy budynku, typu konstrukcji. Gdyby budynek i fundamenty były idealnie

sztywne wówczas maksymalna wartość sił poziomych byłaby równa iloczynowi masy i

przyspieszenia gruntu. W rzeczywistości wszystkie budynki są w pewnym stopniu elastyczne.

Dla konstrukcji, które deformują się w bardzo małym stopniu, poza tym absorbują pewną część

energii, siły te mogą być mniejsze niż iloczyn masy i przyspieszenia gruntu. W przypadku

budynków bardzo smukłych i elastycznych, których okresy drgań własnych są zbliżone do

drgań podłoża poziome siły bezwładności mogą być znacznie większe. W tych przypadkach

wpływ na wartości sił ma częstość drgań własnych budynków.

Znaczenie częstości drgań własnych budynków pokazało trzęsienie ziemi w Mexico City w

1985 roku. Dominujący okres drgań własnych ruchu podłoża w trakcie kataklizmu wynosił 2 s

co odpowiada okresom drgań własnych budynków o liczbie kondygnacji od 6 do 20. Wiele z

nich uległo zawaleniu lub poważnemu uszkodzeniu podczas gdy inne budynki pozostały

praktycznie nienaruszone. [Bal93]

Rys. A.4 Typowe okresy drgań własnych dla budynków o różnej liczbie kondygnacji [ I9 ]

W ostatnich trzydziestu latach na całym świecie przeprowadzono wiele badań teoretycznych i

eksperymentalnych zachowania się budynków wysokich podczas trzęsienia ziemi, poza tym

172

zebrano wiele danych o ich zachowaniu w czasie rzeczywistych trzęsień ziemi. Obserwacje te

wykazały błędne podejście do projektowanie obiektów w strefach sejsmicznych. Dotychczas

uważano, że konstrukcje ramowe są bardziej odporne na działanie trzęsień ziemi ze względu

na dłuższe okresy drgań własnych, a co za tym idzie mniejsze wartości przyspieszeń

konstrukcji, czyli mniejsze siły bezwładności działające na konstrukcje. Natomiast sztywne

konstrukcje były uważane za bardziej wrażliwe na uszkodzenia

Wyniki obserwacji wykazały, że dużo lepszym rozwiązaniem przy projektowaniu budynków

odpornych na wpływy sejsmiczne są budynki usztywnione konstrukcjami ścianowymi. Dobre

zachowanie się budynków ścianowych z nadprożami poddanych działaniu obciążeń

sejsmicznych wynika z dużej ich sztywności i odpowiednio rozłożonego mechanizmu

plastycznej dyssypacji energii. Nie trzeba więc stosować specjalnych zabiegów podczas

konstruowania budynku dla spowodowania wystąpienia przegubów plastycznych w

elementach poziomych (ryglach, podciągach), a zabezpieczenia konstrukcji przed ich

wystąpieniem w elementach pionowych (słupach).

Podstawową miarą „wielkości” trzęsienia ziemi wykorzystywaną w sejsmologi jest magnituda.

Jest to logarytm (przy podstawie z 10) maksymalnej wartości przemieszczeń gruntu

wyrażonych w mikrometrach (10-6 m), zmierzonych standardowym sejsmografem w odległości

100 km od epicentrum. O tak określonej wielkości mówimy, że jest to magnituda wstrząsów w

skali Richtera (M). Skal magnitudowych jest kilka. Zastosowanie skali Richtera do

projektowania konstrukcji jest niemożliwe, gdyż wstrząsy o tej samej magnitudzie są odbierane

przez budowle w różny sposób w zależności od ich odległości od epicentrum. Do

projektowania konstrukcji wykorzystuje się intensywność wstrząsów w miejscu posadowienia

budowli. Określa się ją podając maksymalne prędkości lub przyspieszenia w miejscu

posadowienia lub mierzy za pomocą skal opisowych Mercaliego (MM) lub europejskiego

odpowiednika MSK (Mercali-Cancani-Sieberg) [Chm98].

Wadą oceny intensywności wstrząsów przy zastosowaniu maksymalnych przyspieszeń lub

prędkości ruchu gruntu jest nieuwzględnienie wpływu czasu trwania fazy silnych wstrząsów.

Dwa trzęsienia ziemi o tych samych maksymalnych przyspieszeniach lub prędkościach, z

których jedno trwa kilka a drugie kilkadziesiąt sekund będą miały różny wpływ na budowlę.

Najlepiej można ocenić intensywność wstrząsów na podstawie pełnego zapisu przyspieszeń

ruchu gruntu w danym miejscu. Zapis taki można użyć do obliczenia odpowiedzi metodą

numerycznego całkowania równań ruchu. Na podstawie wyników przemieszczeń konstrukcji

można obliczyć maksymalne siły wewnętrzne dla konstrukcji obciążonej trzęsieniem ziemi.

Ponieważ konstrukcje projektujemy na przyszłe nieznane jeszcze trzęsienie ziemi dlatego do

obliczeń używa się wzorcowego akcelerogramu, zakładając że następne wstrząsy nie będą

173

bardziej destruktywne niż przyjęte we wzorcu. Jest to podejście deterministyczne. Przykład

wzorcowego akcelerogramu przedstawia Rys. A.5 przedstawiający zapis trzęsienia ziemi w

miejscowości El Centro w Kalifornii w 1940 roku.

Tablica A.3 Opis intensywności w zmodyfikowanej skali MM i szacunkowe wartości przyspieszeń [Chm98]

IMM OpisMaksymalne

przyspieszenie cm/s2

1 2 3

INiewyczuwalne. Drgania gruntu możliwe do rejestracji przez sejsmogramy, lecz nie odczuwalne przez ludzi. <1

II Bardzo słabe. Wyczuwalne tylko w dobrych warunkach 1 do 2

IIISłabe. Odczuwalne tylko przez niektórych ludzi jak pochodzące od ruchu drogowego 2 do 5

IVNiezbyt słabe. Drgania odczuwalne przez wielu ludzi jak pochodzące od ciężkiego ruchu drogowego, szyby w oknach brzęczą, drzwi stukają

5 do 10

VDość silne. Odczuwalne przez wszystkich ludzi, wiszące przedmioty zaczynają się kołysać, zegary wahadłowe zatrzymują się 10 do 20

VISilne. Objawy strachu wśród ludzi, sprzęty w domu przewracają się, mogą wystąpić niewielkie uszkodzenia słabszych budynków 20 do 50

VIIBardzo silne. Uszkodzenia wielu słabszych budynków, kominy pękają, pojawiają się fale na powierzchni zbiorników wodnych, dzwonią kościelne dzwony

50 do 100

VIIIUszkadzające. Panika wśród ludzi, uszkodzenia solidnie wykonanych budynków, słabsze budowle częściowo zniszczone, kilkucentymetrowe szczeliny w gruncie

100 do 200

IXNiszczące. Wiele solidnie wykonanych budynków jest uszkodzonych, pękają rurociągi, uszkodzenia sięgają fundamentów 200 do 500

XBardzo niszczące. Większość słabszych budowli ulega zniszczeniu, poważne uszkodzenia solidnych budowli, mostów i tam, obsunięcia gruntu, kilkudziesięcio-centymetrowe szczeliny w gruncie

500 do 1000

XIKatastrofalne. Większość solidnych budowli poważnie uszkodzonych, szlaki kolejowe i drogi nieprzejezdne, zniszczone rurociągi i kable podziemne

1000 do 1500

XIIWyjątkowo katastrofalne. Zniszczenie lub poważne uszkodzenie większości budowli, zmiany w topografii terenu, rzeki zmieniają bieg >1500

Niedogodności podejścia deterministycznego można uniknąć przez wprowadzenie opisu

trzęsienia ziemi jako zjawiska losowego, w którym zarejestrowany akcelerogram jest pewną

realizacją procesu stochastycznego, a drgania budowli rozważa się teorią drgań losowych.

Jest to podejście stosowane głównie w badaniach naukowych, rzadko w obliczeniach

inżynierskich. [Chm98]

Najczęściej stosowaną metodą w obliczeniach inżynierskich jest metoda spektrum odpowiedzi,

w której stosuje się pewne uśrednione charakterystyki widmowe opisujące zadaną klasę

wymuszeń sejsmicznych. Ogólny zarys metody przedstawiono w punkcie A.4.

174

Rys. A.5 Zapis trzęsienia ziemi San Fernando Valley z 18 maja 1940 roku (El Centro S00E) [Chm98]

A.4. Metoda spektrum odpowiedzi dla układów o jednym stopniu swobody. Metodę opisano w oparciu o publikację [Chm98].

Metodę spektrum odpowiedzi omówiono na podstawie układu o jednym stopniu swobody

poddanemu wymuszeniu kinematycznemu podłoża.

Rys. A.6 Układ o jednym stopniu swobody poddany wymuszeniu kinematycznemu

Schemat układu przedstawia rysunek A.6. a jego równanie ruchu przyjmuje postać:

m qtc qkq=0 (A.1)

Gdzie q jest przemieszczeniem względnym, a qt całkowitym określony wzorem qt=uq ( u

175

zadane wymuszenie podłoża), Podstawiając qt=uq do wzoru A.1 otrzymamy

m uqc qkq=0 (A.2)

stąd

m qc qkq=−mu t (A.3)

Zależność A.3 przedstawia równanie ruchu układu poddanego wymuszeniu kinematycznemu

ut , którym są drgania podłoża. Jak widać drgania układu są równoważne drganiom układu

obciążonego siłą równą iloczynowi masy i przyspieszenia podłoża. Dzieląc obie strony

równania (A.3) przez masę można je sprowadzić do postaci

m q20 q2 q=−u t (A.4)

gdzie

0=k /m - częstość kołowa drgań własnych

=c/2m0 - liczba tłumienia

Rozwiązanie tego równania można zapisać za pomocą całki Duhamela

q t=−∫0

t

h t u t−r dr (A.5)

ht= 10d

e− 0d t sin 0 d t (A.6)

0d=01−2(A.7)

ht jest funkcją przejścia układu o jednym stopniu swobody.

Z obliczonych odpowiedzi układów qt o jednym stopniu swobody o różnych częstościach

drgań własnych 0 , przy tym samym wymuszeniu w postaci pewnego akcelerogamu ruchu

podłoża sporządza się wykres. Na osi poziomej oznaczono częstości kołowe drgań własnych,

a na osi pionowej maksymalne wartości przemieszczeń względnych qmax , obliczone dla

kolejnych częstości kołowych drgań własnych, Tak otrzymany wykres nazywamy

przemieszczeniowym spektrum odpowiedzi

S d 0 ,=max t∣q t , ,∣ (A.8)

176

Rys. A.7 Schemat tworzenia przemieszczeniowego spektrum odpowiedzi

W analogiczny sposób otrzymuje się prędkościowe spektrum odpowiedzi S vr , oraz względne

S ar i bezwzględne S atr przyspieszeniowe spektra odpowiedzi.

S vr 0 ,=maxt∣q t , ,∣ (A.9)

S a r 0 ,=max t∣qt , ,∣ (A.10)

S a t r0 ,=maxt∣u tqt , ,∣ (A.11)

Otrzymane spektra odpowiedzi można użyć w celu określenia maksymalnej odpowiedzi układu

o jednym stopniu swobody dla różnych częstości drgań własnych 0 i różnych liczb tłumienia

dla zadanego jednego zapisu ruchu podłoża. Odpowiednią siłę sprężystą można

oszacować przy wykorzystaniu względnego przemieszczenia masy q

f =k q (A.12)

W praktyce wzorów (A.9 do A.11) nie używa się często gdyż istnieją proste sposoby ich

oszacowania na podstawie tylko przemieszczeniowego spektrum odpowiedzi. Jeżeli

przyrówna się do siebie energię kinetyczną drgającej masy E=mv2/2 i potencjalną

zmagazynowaną w wyniku odkształcenia układu, czyli energię sprężystą E=kq /2 to można

zapisać przybliżony wzór

k S d2 0,

2≈

k S v20,

2 (A.13)

177

Stąd

S v0,≈ km

S d 0,=0 S d 0, (A.14)

S v - pseudoprędkościowe spektrum odpowiedzi

Jeżeli we wzorze (A.13) pominie się udział sił tłumienia w całkowitej sile sprężystej f, to po

przyrównaniu jej do pewnej zastępczej pseudo siły bezwładności:

ma=kq (A.15)

a= km

q=02q (A.16)

gdzie a jest pseudoprzyspieszeniem. Można zapisać przybliżoną zależność

S a0 ,=max t∣uq∣ (A.17)

Tak określone pseudoprędkościowe i pseudoprzyspieszeniowe spektra odpowiedzi są z

przemieszczeniowym spektrum odpowiedzi powiązane prostą zależnością

S a0 ,=0 S v 0,=02 S d 0, (A.18)

Na rysunku A.8 przedstawiono spektra odpowiedzi obliczone dla akcelerogramu El Centro

(Rys. A.5) dla =0,05 . Do obliczeń zastosowane zostało numeryczne całkowanie metoda

Newmarka. Można zauważyć że różnica między spektrami odpowiedzi pseudopredkości i

prędkości względnej nie jest duża, lecz w przypadku przyspieszeń różnice te dla niskich

częstotliwości są znaczne a wzrost tłumienia je powiększa.

Rys. A.8 Spektra odpowiedzi trzęsienia ziemi El Centro dla ξ = 0,05 a) przyspieszenie, b)prędkość, c) przemieszczenie

178

F b=S T 0G (A.19)

T 0 - podstawowym okres drgań własnych

G - ciężar budynku

S T - projektowe przyspieszeniowe spektrum odpowiedzi odniesione do przyspieszenia ziemskiego g

Siłę Fb rozdziela się na poszczególne elementy konstrukcji w postaci sił F i , zgodnie ze

wzorem

F i=Fb−F t w i∑G i

∑w j G j(A.20)

w i ,w j - przemieszczenia mas w podstawowej postaci drgań

Gi ,G j - ciężary mas mi ,m j

F t - pozioma siła skupiona przyłożona przy wierzchołku budynku

F t=0,07T 0 F b≤0,25 F b dla T 0=0,7s

F t=0 dla T 0≤0,7s(A.21)

Przedstawiona procedura dotyczy tylko najprostszych regularnych budynków o parametrach

szczegółowo opisanych w Eurocodzie 8. Budowle bardziej złożone wymagają bardziej

skomplikowanego podejścia – od uwzględnienia większej liczby częstości drgań własnych po

dodatkowe obciążenia momentami wynikające z ruchu obrotowego budowli w płaszczyźnie

poziomej.

Dla poszczególnych rodzajów konstrukcji żelbetowych, stalowych drewnianych murowanych i

zespolonych Eurocod 8 podaje bardziej szczegółowe wytyczne.

179

B. Podstawy teoretyczne obliczeń statycznych w programie BW dla Windows

B.1. Metoda ciągłych połączeń dla płaskiego układu dwóch ścian usztywniających

Metodę ciągłych połączeń dla płaskiego układu dwóch ścian usztywniających opisano na

podstawie [Sta91]

B.1.1. Wyprowadzenie równań różniczkowychRozważmy płaską konstrukcję ścianową z nadprożami pokazaną na Rys. B.1, poddaną

działaniu obciążenia poziomego o natężeniu w na jednostkę wysokości. Aby zilustrować

wyprowadzenie równania różniczkowego użyto obciążenia ogólnego.

Przyjęto następujące założenia:

1. Właściwości ścian i nadproży nie zmieniają się wraz z wysokością, a wysokość kondygnacji

jest stała.

2. Elementy płaskie przed ugięciem pozostają płaskie po ugięciu dla wszystkich części

konstrukcji.

3. Nieciągły zbiór nadproży, z których każde ma sztywność na zginanie EIb, zastąpić można

przez równoważny ciągły ośrodek łączący o sztywności na zginanie EIb/h na jednostkę

wysokości, gdzie h jest wysokością kondygnacji (Rys. B.1b). Dokładnie, aby ta analogia była

poprawna, stopień bezwładności najwyższego nadproża powinien być o połowę mniejszy od

innych nadproży.

4. Ściany uginają się poziomo jednakowo, w wyniku wysokiej sztywności powierzchniowej

otaczających płyt stropowych i sztywności osiowej nadproży. Wynika z tego, że nachylenie

wszystkich ścian jest równe na wysokości i dzięki temu, przy użyciu bezpośrednich równań na

ugięcie, można wykazać, że nadproża i w związku z tym zastępczy ośrodek łączący, mają

punkt przegięcia w środku rozpiętości. Z tego założenia wynika też, że krzywizny ścian są

równe na całej wysokości, tak więc moment zginający w każdej ścianie będzie proporcjonalny

do jej sztywności na zginanie.

5. Nieciągły zbiór sił osiowych, sił ścinających i momentów zginających w nadprożach można

zastąpić przez równoważny rozkład ciągły o natężeniu n, q i m na jednostkę wysokości.

180

Rys. B.1 Płaska konstrukcja ramowa z nadprożami a) widok ściany b) model obliczeniowy

Jeśli przyjmie się, że ośrodek łączący jest rozcięty wzdłuż pionowej linii przegięcia, jedynymi

siłami tam działającymi są strumień ścinania o natężeniu q(z) na jednostkę wysokości i siła

osiowa o natężeniu n(z) na jednostkę wysokości, jak na Rys. B.2. Siła osiowa N w każdej

ścianie na każdej kondygnacji z będzie wtedy równa całce ze strumienia ścinania w ośrodku

łączącym ponad tym poziomem, to jest:

N=∫z

H

q dz (B.1)

lub po zróżniczkowaniu

q=−dNdz (B.2)

Rys. B.2 Siły wewnętrzne w ścianach z nadprożami

Rozważmy teraz warunek pionowej zgodności wzdłuż linii rozcięcia przegięcia z Rys. B.2.

Względne przemieszczenia pionowe będą miały miejsce na końcach rozcięcia połączonych

wsporników z powodu następujących czterech podstawowych działań [W pochodnej, względne

przemieszczenie dodatnie oznacza, że koniec lewostronnej połówki (1) przemieszcza się w dół

w stosunku do końca połówki prawostronnej (2)]:

1. Obroty części ścian spowodowane zginaniem (Rys. B.3a). Pod działaniem momentu

zginającego, ściana się odkształci i jej części będą się obracać jak to pokazano na Rys. B.3a.

Występują dwie formy odkształcenia: pierwsza, zginanie ścian spowodowane przez zadane

181

momenty zewnętrzne i druga, dodatkowe odkształcenia spowodowane przez siły ścinające i

siły osiowe w nadprożach.

Względne przemieszczenie pionowe 1 podane jest przez wzór (Rys. B.3a):

1= b2d 1⋅dy

dz b

2d 2⋅dy

dz=l dy

dz (B.3)

gdzie dy/dz jest nachyleniem osi środka ciężkości ścian na poziomie z z powodu

odkształcenia ścian.

2. Odkształcenia nadproży od zginania i ścinania spowodowane siłami ścinającymi w

nadprożach (Rys. B.3b). Rozważmy mały element ośrodka łączącego o grubości dz i

przyjmijmy, że jest zamocowany na wewnętrznej krawędzi ściany. Sztywność na zginanie tego

małego elementu wynosi EI b

hdz i wspornik poddany jest niewielkiej sile ścinającej q⋅dz .

Spowodowane jedynie zginaniem, względne przemieszczenie 2 wynosi:

2=−2 qdz

3EI b

h dz b

23

=− qb3 h12 E I b (B.4)

Gdzie b jest pełną rozpiętością nadproża.

Skutki odkształcenia spowodowanego ścinaniem w nadprożach można łatwo uwzględnić przez

zastąpienie prawdziwej sztywności na zginanie EIb przez równoważną sztywnością na

zginanie EIc, gdzie:

I c=I b

1r(B.5)

gdzie r=12 E I B

b2GA

GA jest sztywnością na ścianie, a λ jest współczynnikiem kształtu ścinanego przekroju,

równym 1.2 w przypadku przekroju prostokątnego. Zmiana jest konieczna tylko w przypadku

nadproży o stosunku rozpiętość-wysokość mniejszym niż około 5.

W oszacowaniu 2 przyjęto, że nadproże jest sztywno połączone ze ścianą i przez to

zaniedbano efekty miejscowych odkształceń sprężystych w połączeniu nadproże-ściana, które

zwiększałyby podatność całego połączenia. Zarówno badania eksperymentalne podatności,

jak i z użyciem metody elementów skończonych wykazały, że dodatkową podatność

połączenia nadproże-ściana można uwzględnić w prosty sposób przez zwiększenie długości

nadproża o jedną czwartą wysokości belki na każdym końcu. Długość b w równaniu (B.4)

182

powinno się zatem podstawić jako prawdziwą długość b + 0,5 wysokości belki.

Rys. B.3 Względne przemieszczenia w linii przegięcia

Równania (B.2) i (B.5) pozwalają równanie (B.4) wyrazić z użyciem siły osiowej N jako:

2=b3 h

12 E I c

dNdz (B.6)

3. Odkształcenia osiowe ścian pod wpływem siły osiowych N (Rys. B.3c). Działanie sił

ścinających w nadprożach wywołuje siły rozciągające w ścianie nawietrznej 1 i siły ściskające

w ścianie zawietrznej 2. W konsekwencji, względne przemieszczenie 3 na poziomie z będzie

równe:

3=−1E 1

A1 1

A2 ∫0z

N dz (B.7)

gdzie A1 i A2 są polami przekroju ścian 1 i 2.

4. Dowolne pionowe lub obrotowe przemieszczenia względne w podstawie (Rys. B.3d).

Pionowe albo obrotowe odkształcenia podstawy nastąpić mogą w skutek przemieszczenia

fundamentów (na przykład proporcjonalnie do modułu odkształcalności podłoża) albo jako

skutek odkształceń konstrukcji fundamentu. Takie przemieszczenia fundamentów wywołują

183

ruchy sztywnej struktury nadbudowy powyżej i dają początek przemieszczeniom, które są stałe

na wysokości, jak to pokazano na Rys. B.3d.

Przyjmując, że względne przemieszczenia liniowe δν i obroty δθ działają w tym samym sensie

jak wewnętrzne siły osiowe i momenty, względne pionowe przemieszczenie δ4 wynosi:

4=−vl =b (B.7)

W rzeczywistej, odkształconej konstrukcji (Rys. B.3) nie może być żadnych pionowych

przemieszczeń względnych w linii przegięcia nadproży. Co za tym idzie, warunek pionowej

zgodności przemieszczeń na tej linii brzmi:

1234=0 (B.8)

lub, przy użyciu odpowiednich wyrażeń na każde z nich:

l dydz b3h

12 E I c

dNdz− 1

E 1A1 1

A2 ∫0z

N dzb=0 (B.9)

W najczęściej spotykanym przypadku sztywnej podstawy ostatnia pozycja będzie zerowa.

Przy rozważaniu zarówno przemieszczeń od swobodnego zginania wywołanego zewnętrznie

zadanym momentem M, jak i przemieszczeń dodatkowych spowodowanych siłami ścinającymi

i osiowymi w ośrodku łączącym (Rys. B.2), relacje moment-ugięcie dla obu ścian, na

dowolnym poziomie, wynoszą:

EI 1d 2 ydz 2 =M 1=M−b2d 1∫

z

H

q dz−M a (B.10)

EI 2d 2 ydz 2 =M 2=M− b

2d2∫

z

H

q dz−M a (B.11)

gdzie Ma to moment spowodowany przez siły osiowe w nadprożu.

Połączenie równań (B.10) i (B.11) daje całkowitą relację moment-przemieszczenie w ścianach

z nadprożami:

E I 1 I 2 d2 y

dz2 =M−l∫z

H

q dz=M−l N (B.12)

Różniczkując równanie (B.9) względem z i łącząc z równaniem (B.12), tak, aby wyeliminować

ugięcie d 2 ydz2 , otrzymujemy:

d 2 Ndz 2 −k

2 N=−2

lM (B.13)

Jest to główny wzór dla ścian z nadprożami wyrażony przy wykorzystaniu siły osiowej N.

184

Parametry w równaniu definiuje się jako:

2=12 I c l 2

b3 hl , k 2=1 A I

A1 A2l 2 , I= I 1 I 2 , A=A1A2

Jak zwykle, lewa strona równania (B.13) opisuje własności fizyczne struktury a prawa strona

zawiera zadane obciążenia. Alternatywnie, eliminując siłę osiową N z równań (B.9) i (B.12):

d 4 ydz 2 −k

2 d 2 ydz 2 =

1EI d 2 M

dz 2 − k2 k2−1

k 2 M (B.14)

Jest to główny wzór dla ścian z nadprożami wyrażony w funkcji przemieszczeń poziomych y.

B.1.2. Ogólne rozwiązanie głównych równańOgólne rozwiązanie równania (B.13) będzie zawsze miało formę:

N=C 1cosh k z C2sinh k z− 1 k2 [1 D2

k 2 D 4

k4...][2M

l ] (B.15)

gdzie D jest operatorem ddz a C1 i C 2 są stałymi całkowania, które muszą zostać określone

na podstawie odpowiednich warunków brzegowych na szczycie i w podstawie, wyrażonymi w

jednostkach zmiennej N.

Ogólne rozwiązanie równania (B.14) wygląda podobnie:

y=C3C4 zC5cosh k zC 6sinh k z

− 1EI k 2 [ 1

D21

k 2 D 2

k4 D4

k 6...][ d 2 M

dz2 −k 2 k2−1

k2 M ] (B.16)

Gdzie C3 do C6 to stałe określone na podstawie warunków brzegowych wyrażonych w

jednostkach zmiennej y.

B.1.3. Warunki brzegowe Odpowiednie warunki brzegowe można wyprowadzić dla wielu podstawowych przypadków

poprzez równania zgodności przemieszczeń i równowagi na szczycie i w podstawie

konstrukcji. Na przykład, dla konstrukcji, która jest swobodna na szczycie i sztywno

utwierdzona w podstawie, dwoma warunkami brzegowymi dla wzoru (B.15) będą:

dla z=H N=0 (B.17)

W podstawie, pierwsze wyrażenie w równaniu (B.9) jest nachyleniem podstawy dydz , które jest

zerowe. Trzecie wyrażenie też jest zerem, i stąd warunek brzegowy:

dla z=0 dNdz=0 (B.18)

185

We wzorze (B.16), czterema warunkami brzegowymi będą:

dla z=0 y=0 (B.19)

z=0 dydz=0 (B.20)

Na szczycie siła osiowa i moment są zerowe, i stąd z równania (B.12) d 2 ydz 2 =0 .

Drugi warunek brzegowy na szczycie można łatwo wyprowadzić przez zamianę N i jej

pierwszej pochodnej dNdz z równania (B.12) do zgodności z równaniem (B.9) i wykorzystując

wzór (B.20). Wymagane warunki brzegowe wyglądają wtedy następująco:

dla z=H d 2 ydz 2 =0 (B.21)

d 3 ydz3 −k x2 dy

dz= 1

EI dmdz−2k2−1∫

0

H

M dz (B.22)

Odpowiednie warunki można również wyprowadzić w innych przypadkach praktycznych, takich

jak ściany oparte na elastycznych fundamentach albo ściany oparte na różnych typach

konstrukcji. W drugim przypadku, konieczne może być uczynienie dalszych uproszczeń

założeń dotyczących sposobu zachowania się konstrukcji podpierającej, w celu

wyprowadzenia odpowiedniej liczby warunków brzegowych w jednostkach użytych zmiennych.

Wymaga to zwykle redukcji stopnia statycznej niewyznaczalności ram podpierających poprzez

umieszczenie przegubów w przyjętych punktach przegięcia, albo w połączeniach stosunkowo

smukłych słupów ze stosunkowo sztywnymi belkami.

B.1.4. Rozwiązanie dla standardowego przypadku obciążeniaOtrzymaliśmy teraz kompletne rozwiązanie dla jednolitego rozkładu obciążenia poziomego,

którego można użyć, aby przedstawić obciążenie wiatrem. Rozważmy przypadek pary ścian z

nadprożami opartych na sztywnej podstawie, poddanych jednolicie rozłożonemu obciążeniu

poziomemu o natężeniu w na jednostkę wysokości. Zewnętrzny moment wynosi:

M=w H−z2

2(B.23)

● Siły osiowe w ścianach.

Składową część rozwiązania można określić ze wzoru (B.15) i wyprowadzając stałe

całkowania C1 i C 2 z równań (B.17) i (B.18). Kompletne rozwiązanie wynosi:

N=w H 2

k2 l [ 121− z

H 2

1k H 2 [1−cosh k z k H sinh k H−z

cosh k H ]] (B.24)

186

Równanie (4.24) pokazuje, że rozkład siły osiowej na wysokości zależy tylko od dwóch

bezwymiarowych zmiennych, względnej wysokości zh i parametru sztywności k α H , przy

czym k z=k H zH .

Równanie (4.24) można wyrazić jako:

N=w H 2

k2 lF 1 z

H, k H (B.25

Gdzie F1 jest wyrażone w nawiasach w równaniu (4.24). Zmienność czynnika siły osiowej F1 z

dwoma parametrami zh i k α H pokazano na Rys. B.4. Krzywe demonstrują jak siły osiowe

zwiększają się ze wzrostem k α H .

● Ścinanie w elementach łączących.

Siły ścinające w ośrodku łączącym obliczyć można z równania (4.2) w następujący sposób:

q=w Hk2 l [1− z

H 1k H [ sinh k z −k H cosh k H−z

cosh k H ]] (B.26)

który można wyrazić w formie podobnej do (4.25) jako:

q=wHk2l

F 2 zH

, k H (B.27)

Zróżnicowanie czynnika przepływu ścinania F2 z dwoma parametrami zH i k H pokazano na

Rys. B.5.

Maksymalną wartość F2 (max) czynnika F2 można otrzymać poprzez zróżniczkowanie

równania (B.26), a wynikająca z tego krzywa F2 (max) oznaczona jest na Rys. B.5. przez linię

przerywaną. Maksymalne natężenie przepływu ścinania w ośrodku łączącym dane jest przez:

q=wHk2l

F 2max (B.28)

Rys. B.5 pokazuje, że ze wzrostem parametru k α H, wynikającym głównie ze wzrostu

sztywności nadproża, pozycja maksymalnej siły ścinającej w ośrodku łączącym, i co z tego

wynika pozycja najbardziej naprężonego nadproża, postępuje w dół wysokości konstrukcji.

187

Rys. B.4 Zmienność czynnika siły osiowej F1 Rys. B.5 Zmienność czynnika przepływu ścinania F2

● Momenty w ścianie.

Ponieważ momenty są proporcjonalne do sztywności na zginanie, moment zginający na

dowolnym poziomie w ścianie 1 będzie wynosił:

M 1=l1

I [ 12

w H 21− zH

2

−N l ] (B.29)

gdzie N jest dane przez równanie (B.25). Wynika z tego, że moment można też wyrazić w

jednostkach funkcji F1 jako:

M 1=l1

I12

w H 2[1− zH

2

− 2k2 F1] (B.30)

Podobnie, moment zginający w ścianie 2 wynosi:

M 2=l 2

I12

w H 2[1− zH

2

− 2k 2 F 1] (B.31)

Wyrażenia w nawiasach wskazują udział momentu spowodowanego wiatrem, któremu

przeciwdziała zginanie w ścianach. Im większa wartość N i F1 , tym mniejsza będzie część

przejmowana przez zginanie ścian.

● Ugięcia.

Ugięcie boczne y można otrzymać z równań (B.16) i (B.23) za pomocą równań (B.19) do

(B.22) jako:

y=wH 4

EI [ 124

ww1k 2 wn] (B.32)

Gdzie

188

ww=[1− zH

4

4 zH−1]

wn=[ 12 k H 22 z

H− z

H 2]− 1

24 [1− zH

4

4 zH−1]

− 1 k H 4 cosh k H

[1k H sinh k H −cosh k z −k H sinh k H−z ]

Wyrażenie (B.32) zawiera dwa elementy w nawiasach, pierwszy ww reprezentujący czyste

działanie wspornika, które miałoby miejsce, jeśli ściany byłyby połączone osiowymi, sztywnymi

łączami, a drugi wn przedstawia modyfikację spowodowaną działaniem (odwrotnego) zginania

ścian wywołanego przez nadproża. Ugięcie jest teraz zależne od trzech niezależnych

parametrów, wysokości z/H oraz dwóch parametrów konstrukcyjnych k i α H. Nie da się przez

to utworzyć pojedynczych, uogólnionych krzywych, takich jak dla N i q, które pokazywałyby

zmienność profilu ugięcia z użyciem różnych parametrów. Jest jednak pewna szczególna

wartość, która ma podstawowe znaczenie w projektowaniu, maksymalne wychylenie yH na

szczycie konstrukcji, które chcielibyśmy zawrzeć w stosunku yH / H o konkretnej wartości

takiej jak na przykład 1/500 .

Na szczycie, przy zH=1 , maksymalne wychylenie wynosi:

yH=w H 4

8EIF3 k ,H (B.33)

gdzie:

F 3=1− 1k 2 [1− 4

k H 2 8k H 4 cosh k H

1k H sinh k H−cosh k H ] (B.34)

Zmienność współczynnika wychylenia F3 można wyrazić najdogodniej w jednostkach

parametrów k i k α H, jak to pokazano na Rys. B.6. Krzywe pokazują, że maksymalne

wychylenie poziome zmniejsza się o ponad 60% dla wartości k α H większej niż 4.

Rys. B.6 Zmienność współczynnika szczytowego wychylenia F3

189

B.1.5. Siły w rzeczywistej konstrukcji. Rezultaty, które otrzymano dotyczą równoważnego systemu ciągłego i konieczne jest

przekształcenie ich do rzeczywistej konstrukcji ścianowej z nadprożami.

● Siłę ścinającą Qi

W dowolnym nadprożu i na poziomie z , można otrzymać z różnicy w wartościach siły osiowej

N na poziomach h/2 powyżej i poniżej poziomu, którego dotyczy, to jest:

Qi=N zi−h2−N z i

h2 (B.35)

W inny sposób Qi można otrzymać poprzez scałkowanie siły ścinającej q po wymaganej

wysokości:

Qi= ∫z− h

2

z h2

qdz (B.36)

co można przekształcić, po zamianie na q z równania (B.26).

Qi=w Hk 2l [1− z i

H h2 H sinh k h

2

k H 2 cosh k H [sinh k z i−k H cosh k H−z i ]] (B.37)

Jeśli krzywa siły ścinającej (Rys. B.5) została już narysowana, Qi można otrzymać poprzez

obliczenie obszaru pod krzywą ponad wysokością kondygnacji, której dotyczy, albo przez

pomnożenie oszacowanej wartości średniej q przez wysokość kondygnacji. Ścinanie w belce

stropodachowej można uzyskać z siły ścinającej powyżej połowy wysokości najwyższej

kondygnacji.

Maksymalny moment w dowolnym nadprożu można otrzymać z krzywej siły ścinającej F2 ,

gdzie odczyt z wykresu wskaże miejsce najbardziej obciążonych belek. Wartość Qi(max)

można oszacować szybko poprzez zbadanie pozycji dwóch belek po obu stronach

maksymalnej wartości F2 max.

Maksymalna wartość wynosi w przybliżeniu:

Qi max≡w Hk 2l

F2 maxh (B.38)

Maksymalny moment zginający w dowolnym nadprożu i w połączeniu ze ścianą równy jest .

Qi b2

Równania (B.30) i (B.31) dają ciągły rozkład momentów zginających w obu ścianach. W

190

rzeczywistej nieliniowej konstrukcji, rozkład jest przerywany, jako składnik Qi b

2 rozdzielony

jest na ściany na każdym nadprożu. Jeśli jest to wymagane, nieciągły rozkład można otrzymać

z wartości znanych sił ścinających w nadprożach. Chociaż rozkład momentów zginających i sił

osiowych w rzeczywistej konstrukcji mogą zostać określone dokładniej przez zsumowanie

skutków działania pojedynczych sił w belkach, to wymaga to dużego wysiłku. Ciągły rozkład

można uznać za wystarczająco dokładny do celów praktycznego określania naprężeń w

ścianach, chyba, że jedna ściana jest dużo mniejsza niż inne.

W kontekście powyższego, warto zapamiętać, że naprężenia normalne od zginania i

naprężenia ścinające na końcach nadproży muszą być rozproszone na krawędziach ścian

powyżej grubości belki. W większości przypadków, połowa szerokości ściany jest dużo

większa niż wysokość belki i rozproszenie się naprężeń do wnętrza ściany ma miejsce w

pewnej odległości od połączenia. Takie nieciągłości w momencie zginającym i sile osiowej

ściany, chociaż statycznie poprawne w stosunku do osi środków bezwładności elementów,

mogą mieć w rzeczywistości niewielkie znaczenie dla stosunkowo szerokich ścian, gdy używa

się prostych teorii zginania i obciążenia osiowego w celu określenia naprężeń w ścianie. W

konsekwencji, w wielu praktycznych sytuacjach ciągły rozkład momentu zginającego w

ścianach może być równie dokładny jak rozkłady nieciągłe.

● Ścinanie ścian.

Przez rozważenie warunków równowagi dla małego wycinka ściany i ośrodka łączącego w

ciągłej strukturze (Rys. B.7), można wykazać, że siły ścinające S1 i S2 w dwóch ścianach

wyrażają się we wzorach:

S 1= I 1

Il− b

2−d 1 sN

dz−

I 1

IdMdz

(B.39)

S 2= I 2

Il−b

2−d 2 sN

dz−

I 2

IdMdz

(B.40)

w których M jest całkowitym momentem zewnętrznym.

Z tego, przy użyciu równań (B.2) i (B.23) siły ścinające w ścianach wynoszą:

S 1=w HI 1

I 1− zH − I 1

Il− b

2−d 1q (B.41)

S 2=w HI 2

I 1− zH − I 2

Il− b

2−d 2q (B.42)

w których funkcja q podana jest przez wzór (B.26) i reprezentowana graficznie na Rys. B.5.

Pierwszy człon w każdym równaniu oznacza ścinanie, które zaistniałoby, jeśli ściany byłyby

połączone przez złącza liniowe. Można zauważyć, że jeśli q = 0 na poziomie zamocowania,

191

ścinanie w podstawie zawsze będzie się równać pierwszemu elementowi równań.

Rys. B.7 Siły występujące w małym elemencie w modelu ciągłym

W przypadku dwóch jednakowych ścian, równania (B.41) i (B.42) redukują się, jak jest to

wymagane przez symetrię, do:

S 1=S 2=12

w H 1− zH (B.43)

Ponieważ:

I 2

Il− b

2−d 2=

B2d 1−

I 1

Il

to wynika z tego, że drugie człony w równaniach (B.41) i (B.42) są równe wielkością, ale

przeciwnego znaku. Jest to podstawą zachowania równowagi poziomej, ponieważ suma

dwóch sił ścinających musi się równać zadanemu ścinaniu w H 1−zH .

Na podstawie tego, na szczycie konstrukcji, gdzie dMdz=0 :

S 1H =−S 2H =− I 1

I−b

2−d 1q H (B.44)

Jest to prawdą dla dowolnie rozłożonych obciążeń, dla których statyczna siła ścinania jest na

szczycie zerowa. Wynika z tego, że z konieczności wytworzenia siły ścinania w każdej ścianie

na szczycie struktury ciągłej, musi istnieć na szczycie ośrodka łączącego pozioma siła

skupiona Q oddziałująca między ścianami, o wielkości:

Q=− I 1

I−b

2−d 1q h (B.45)

Siła Q będzie rozciągająca albo ściskająca w zależności od tego czy szczytowa siła ścinania

S1(H) jest dodatnia czy ujemna, ale zanika w przypadku dwóch jednakowych ścian. Wielkość

192

szczytowej siły oddziaływającej zależy od parametrów konstrukcyjnych, i jest oznaką silnych

oddziaływań, jakie mogą zachodzić na szczytach takich struktur.

● Siły osiowe w belkach

Z warunków poziomej równowagi małego elementu ściany z Rys. B.7 wynika rozkład sił

osiowych n w ośrodku łączącym:

n=w[ I 2

I− 1

k2 l I 1

Il−b

2−d 1F 4] (B.46)

w którym funkcja F4 wygląda następująco:

F 4=1

cosh k H [cosh k zk H sinh k H−z ]−1 (B.47)

Powyższe równania umożliwiają bezpośrednie obliczenie rozkładu sił osiowych, momentów

zginających i sił ścinających w ścianach, sił ścinających i momentów zginających w

nadprożach oraz przemieszczeń poziomych.

B.2. Obliczenia statyczne wg metody ciągłych połączeń – sformułowanie ogólne wykorzystane w BW

Sformułowanie ogólne metody ciągłych połączeń wykorzystane w BW opisano na podstawie

[Wdo93]

Równania wyprowadzone w poprzednim punkcie rozszerzone zostaną obecnie na układ

usztywniający złożony z dowolnej liczby ścian usztywniających połączonych również dowolną

liczbą pionowych pasm łączących, podatnych i/lub niepodatnych. Pionowymi pasmami

łączącymi podatnymi mogą być pionowe pasma nadproży oraz pionowe złącza podatne

występujące w konstrukcjach prefabrykowanych.

B.2.1. Założenia obliczeniowe .Założenia obliczeniowe opisano w oparciu o publikację [Wdo93A].

Układ usztywniający stanowi zespół pionowych ścian usztywniających, utwierdzonych we

fundamencie i swobodnych na szczycie budynku. Ściany usztywniające mogą być dowolnie

rozmieszczone w planie i połączone między sobą pionowymi złączami niepodatnymi.

W układzie mogą występować pionowe pasma nadproży utwierdzonych w ścianach

usztywniających oraz pionowe pasma złączy podatnych.

Stropy budynku traktuje się jako nieskończenie sztywne w swej płaszczyźnie, a całkowicie

wiotkie z płaszczyzny. Gdy wymagane jest uwzględnienie w analizie sztywności stropów z ich

płaszczyzny, modeluje się je dodatkowymi pasmami nadproży.

Przyjmuje się, że stropy oraz nadproża są dostatecznie gęsto i równomiernie rozmieszczone

193

wzdłuż wysokości, co pozwala ich oddziaływanie na ściany usztywniające zastąpić

obciążeniem rozłożonym w sposób ciągły.

Zakłada się, że ściany usztywniające posadowione są na tym samym poziomie, mają

jednakową wysokość i stały przekrój oraz cechy materiałowe wzdłuż wysokości. Także

nadproża w poszczególnych pionowych pasmach powinny mieć jednakowy przekrój i być

rozmieszczone równomiernie wzdłuż wysokości.

Rozpatruje się pracę konstrukcji usztywniającej budynku w zakresie odkształceń liniowo-

sprężystych i małych przemieszczeń.

Grupy ścian usztywniających połączonych złączami niepodatnymi modeluje się prętami

cienkościennymi o przekroju otwartym, z pominięciem odkształceń postaciowych od sił

poprzecznych i sztywności na skręcanie swobodne. W tym celu wykorzystuje się teorię

Własowa. Według R. Rosmana. Pomijanie sztywności na skręcanie swobodne jest szczególnie

uzasadnione w konstrukcjach żelbetowych, dla których przy powstaniu rys stosunek

sztywności na skręcanie do sztywności na zginanie znacznie się obniża. Dla układów

usztywniających, złożonych z większej liczby elementów, wpływ pominięcia sztywności na

skręcanie swobodne jest praktycznie nieistotny.

Układ może być poddany działaniu: obciążeń poziomych skupionych, działających na szczycie

budynku, obciążeń poziomych, dowolnie rozłożonych wzdłuż wysokości budynku, obciążeń

pionowych, dowolnie rozłożonych w planie i wzdłuż wysokości budynku oraz pionowych

osiadań fundamentów.

B.2.2. Definicje nazw oraz wektorów i macierzy problemuPod określeniem pionowe pasma nadproży uogólnionych rozumie się pionowe pasma

nadproży i pionowe złącza podatne. Nazwą element usztywniający określono zespół

pionowych ścian usztywniających połączonych pionowymi złączami niepodatnymi. Pionowe

złącza niepodatne nazywane są również rozcięciami.

W niniejszym punkcie zebrane zostały definicje macierzy i funkcji wektorowych, występujących

w podstawowych równaniach modelu ciągłego ścianowych konstrukcji usztywniających z

nadprożami.

Wymiary tablic określone są przez następujące liczby:

nw - liczba pionowych pasm nadproży uogólnionych,

ne - liczba elementów usztywniających;

nv - liczba pionowych obciążeń (sił rozłożonych wzdłuż prostych równoległych do pionowej osi Z).

Przy opisie konstrukcji i działających na nią obciążeń wykorzystuje się następujące

194

prostokątne układy współrzędnych o początku na płaszczyźnie poziomej w poziomie

utwierdzenia elementów usztywniających i osiach Z (odpowiednio: z3, z ) pionowych:

1. globalny układ współrzędnych OXYZ , przy czym osie X i Y przyjmuje się dowolnie,

2. związane z każdym elementem usztywniającym dwa lokalne układy współrzędnych:

a) układ osxsyszs, którego osie xs i ys są głównymi, środkowymi osiami bezwładności przekroju

poziomego elementu usztywniającego,

b) układ oxyz , którego początek znajduje się w środku ścinania przekroju elementu

usztywniającego, a osie są równoległe do osi układu osxsyszs, .

W nawiasach kwadratowych, poza definicjami macierzy, podawane będą zakresy zmienności

wskaźników macierzy; pierwszy dla wskaźnika wierszy, drugi dla wskaźnika kolumn macierzy.

B.2.3. Macierze określone przez konstrukcję.● Macierze incydencji (przylegania).

SE - macierz incydencji elementów i nadproży uogólnionych [1..ne , 1..nw] ; jest to macierz

zerojedynkowa, której j-ta kolumna określa elementy połączone j-tym nadprożem. Dla każdego

nadproża należy określić jego początek przez podanie w wierszu odpowiadającym

elementowi, w którym rozpoczyna się nadproże liczby 1 i koniec przez wpisanie do wiersza o

numerze równym numerowi elementu, w którym kończy się nadproże liczby -1. Pozostałe

elementy macierzy są zerami.

Uwagi:

1. otrzymana jako rozwiązanie funkcja n j wyraża oddziaływanie nadproża na element

połączony z „początkiem" nadproża. Na element połączony z „końcem" nadproża działa

obciążenie −n j .

2. w przypadku nadproża, którego początek i koniec połączone są z tym samym elementem,

cała odpowiednia kolumna zawierać będzie zera.

SR - macierz incydencji obciążeń do poszczególnych elementów [1..ne , 1..nv] ; jest to macierz

zerojedynkowa, w której jedynka w k-tej kolumnie określa, na który element działa k -te

obciążenie n R

● Macierze współrzędnych.

CN - macierz [1..3n e ,1..nw ] współrzędnych punktów zerowych nadproży uogólnionych (to jest

punktów zmiany znaku momentów zginających w nadprożach i środków złączy) w układach

współrzędnych poszczególnych elementów,

195

CN=[CN X,CN Y

,CN OMEGA]T

gdzie:

CN X,CN Y

,CN OMEGA – trzy macierze [1..ne , 1..nw]

CN X utworzyć można przez wymnożenie elementów macierzy SE równych jedności przez

współrzędną x miejsca zerowego nadproża uogólnionego obliczoną w układzie osxsyszs,

elementu związanego z początkiem nadproża, a elementów równych -1 przez analogiczną

współrzędną x obliczoną w układzie elementu związanego z końcem nadproża.

CN Y,CN OMEGA buduje się identycznie, wykorzystując odpowiednio współrzędne y (w układzie

osxsyszs, ) i ω względem środka ścinania przekroju elementu usztywniającego.

Uwaga: dla nadproża j, którego początek i koniec związane są z tym samym elementem

usztywniającym i, w macierzy CN OMEGA będzie dodatkowo różny od zera element

CN OMEGA[i , j ]=1−2 gdzie:

12 - współrzędna wycinkowa miejsca zerowego nadproża uogólnionego obliczona z

uwzględnieniem punktu połączenia z elementem początku (końca) nadproża.

CR - macierz [1..3ne,1..n v ] określająca współrzędne punktów przyłożenia obciążeń pionowych

w układach współrzędnych poszczególnych elementów usztywniających. Elementy pierwszego

i drugiego wiersza określają odpowiednio współrzędne x i y w układzie osxsyszs,, a elementy

trzeciego wiersza współrzędne wycinkowe ω względem środka ścinania przekroju elementu

usztywniającego.

● Macierz transformacji.

L - macierz [1..3n e ,1..3] określająca transformację z układu globalnego konstrukcji do układów

lokalnych poszczególnych elementów, określona w następujący sposób:

L=[cos1 sin 1 r Y1

⋮ ⋮ ⋮cosne

sin nerY ne

−sin1 cos1 −r X 1

⋮ ⋮ ⋮−sin n e

cosne−r X n e

0 0 1⋮ ⋮ ⋮0 0 1

]gdzie:

196

- kąt nachylenia osi ox układu lokalnego elementu względem osi OX układu globalnego,

r X , rY - współrzędne początku układu globalnego OXY w układzie oxy elementu określone

wzorami:

r X=−DX cos−DY sin

rY=D X sin−DY cos

D X , DY - współrzędne środka ścinania przekroju elementu usztywniającego w układzie

globalnym.

● Macierze określone przez cechy mechaniczne konstrukcji (macierze sztywności i podatności).

K w - diagonalna macierz [1..nw ,1 ..nw ] określająca sztywności kolejnych nadproży

uogólnionych.

Wartości elementów tej macierzy są równe:

1. dla nadproży rzeczywistych 1/ h , gdzie h oznacza osiowy rozstaw w pionie nadproży

rozpatrywanego pasma, a jest przemieszczeniem względem siebie końców nadproża na

skutek działania jednostkowej siły poprzecznej, oraz

2. dla złączy podatnych 1/C , gdzie C oznacza podatność złącza.

K s - diagonalna macierz [1..n e ,1..n e] określająca podatność na ściskanie i rozciąganie

poszczególnych elementów usztywniających

K s=diag 1E i Ai

K z - diagonalna macierz [1..3n e ,1..3n e ] określająca sztywność na zginanie i skracanie

nieswobodne elementów usztywniających konstrukcji.

Pierwsze ne elementów macierzy zawiera współczynniki −EJ y dla kolejnych elementów

usztywniających, dalsze −EJ x , a ostatnie współczynniki −EJ .

B.2.4. Macierze określone przez obciążenia.tK z - wektorowa funkcja sił poprzecznych w konstrukcji usztywniającej, budowana na

podstawie obciążeń poziomych

tK z =[T X z ,T Y z , M Z z ]T

gdzie:

197

T X z ,T Y z ,M Z z - wypadkowe siły poprzeczne i moment skręcający występujący w

przekroju układu usztywniającego, które można wyliczyć z następujących zależności:

T X z =∫z

hb

qX t dt

T Y z=∫z

hb

qY t dt

M Z z=∫z

hb

mS tdt

przy czym

hb - wysokość układu usztywniającego,

qX , qY , m S - funkcje obciążeń poziomych określających układ sił parcia i ssania wiatru

zredukowany względem osi globalnej OZ ,

nR z - dana wektorowa funkcja pionowych obciążeń rozłożonych wzdłuż prostych pionowych,

nR z=[nR1 z ,... , nRnv

z]T

z0 - stały wektor zawierający zadane pionowe osiadanie fundamentów poszczególnych

elementów usztywniających

z0=[z0 1, ... , z0ne

]

B.2.5. Wektor sił tnących w nadprożach uogólnionych.

nN z =[n1 z⋮

ni z ⋮

nn w z]

gdzie:

in - funkcje rozłożonych sił tnących w pionowych pasmach nadproży i złączy podatnych

i=1, 2,... , nw .

B.2.6. Siły przekrojowe w elementach usztywniających.

● Wektor sił poprzecznych w elementach.

198

tE z - wektorowa funkcja sił poprzecznych w elementach usztywniających konstrukcji,

ścianowej

tE z=[tE x z , tE y z ,m z ]

T

gdzie:

t E x z - wektorowa funkcja składowych x sił poprzecznych w elementach usztywniających

tEx z=[T x1 z , ... , T xne

z ]T

tE y z - wektorowa funkcja składowych y sił poprzecznych w elementach usztywniających

tE y z=[T y1 z , ... , T yn e

z ]T

m z - wektorowa funkcja momentów giętno-skrętnych w elementach usztywniających

m z=[M 1, ... ,M n e

z ]T

● Wektor momentów zginających w elementach.

mE z - wektorowa funkcja momentów zginających w elementach usztywniających konstrukcji

ścianowej

mE z=[mE y z ,mE x z ,be z]T

gdzie:

mE y z - wektorowa funkcja składowych y momentów zginających w elementach

usztywniających

mE y z=[M y1

z ,... , M yn e

z ]T

mEx z - wektorowa funkcja składowych x momentów zginających w elementach

usztywniających

mEx z=[M x1 z , ... , M xne

z ]T

bE z - wektorowa funkcja bimomentów w elementach usztywniających

bE z =[B1 z ,... , Bnez ]T

199

● Wektor sił normalnych w elementach.

nE z - wektorowa funkcja sił normalnych w elementach usztywniających konstrukcji

ścianowej

nE z =[N E 1 z ,... , N En e

z]T

B.2.7. Wektory przemieszczeń.Wektor przemieszczeń globalnych konstrukcji.

vG z=[V X z V Y z z ]

gdzie:

V X ,V Y , - trzy funkcje przemieszczeń poziomych układu usztywniającego, zapisane w

globalnym układzie, współrzędnych OXYZ.

B.2.8. Wektory przemieszczeń elementów konstrukcji.d1 z - wektorowa funkcja względnych przemieszczeń końców nadproży spowodowanych

obrotem przekrojów elementów na skutek zginania

d1 z=[d 11 z , ... , d 1n w

z]T

d2 z - wektorowa funkcja względnych przemieszczeń końców nadproży spowodowanych

skróceniem i osiadaniem elementów

d2 z=[d 21 z , ... , d 2n w

z]T

d3 z - wektorowa funkcja względnych przemieszczeń końców nadproży spowodowanych

zginaniem nadproży

d3 z=[d 31 z , ... , d 3nw

z ]T

vL z - wektorowa funkcja poziomych przemieszczeń elementów usztywniających,

mierzonych w ich układach lokalnych oxy

vL z =[v x z ,v y z , z]T

gdzie:

v x z - wektorowa funkcja składowych x przemieszczeń elementów usztywniających

200

v x z=[vx1 z ,... , v xne

z]T

v y z - wektorowa funkcja składowych y przemieszczeń elementów usztywniających

v y z=[vy1z , ... , v yn e

z ]T

y z - wektorowa funkcja kątów obrotów elementów usztywniających

x z =[1z , ... ,nez ]T

v z z - wektorowa funkcja pionowych przemieszczeń elementów usztywniających

v z z =[v z1 z , ... , v z ne

z]T

uz z - wektorowa funkcja skróceń elementów usztywniających

uz z=[u1 z , ... , un e z]T

B.2.9. Równania problemu.● Równania równowagi.

Równanie równowagi wypadkowych sił poprzecznych i momentu skręcającego występujących

w przekroju układu usztywniającego z siłami poprzecznymi i momentami giętno-skrętnymi

działającymi w przekrojach elementów usztywniających (tzn. równania rzutów sił na osie X i Y

oraz momentów skręcających względem osi Z ) można zapisać w postaci macierzowej

tK=LT tE (B.48)

Równanie równowagi sił normalnych w elementach usztywniających z siłami w pionowych

pasmach łączących i obciążeniami pionowymi działającymi na te elementy (tj. równania rzutów

sił na oś Z dla poszczególnych elementów) określa macierzowy związek

nE=SE∫z

hb

nN drSR∫z

h b

nR dr (B.49)

Zależność różniczkowa przy zginaniu jest równaniem równowagi momentów zginających i

bimomentów dla odcinków dz elementów usztywniających. Przy uwzględnieniu sił w pasmach

łączących nN i działających na elementy obciążeń nR na mimośrodach tych sił określonych

współrzędnymi zebranymi w macierzach CN i CR równanie to w zapisie macierzowym

przyjmuje postać:

201

tE−CN nN−CRnR=mE, (B.50)

● Równania kinematyczne.

Równanie zgodności poziomych przemieszczeń elementów usztywniających (z

wykorzystaniem założenia tarcz stropowych sztywnych w swojej płaszczyźnie) wyraża związek

vL=LvG (B.51)

Równanie zgodności pionowych przemieszczeń nadproży (Rys. B.8) ma postać:

−d1d2d3=0 (B.52)

przy czym składowe tych przemieszczeń wynikające ze zginania i skręcania elementów

usztywniających określa związek

d1=CNT vL

, (B.53)

a składowe wynikające z pionowych przemieszczeń elementów usztywniających od skróceń i

osiadań podaje zależność

d2=SET vZ (B.54)

Związek między skróceniami elementów usztywniających, zadanymi osiadaniami

fundamentów i przemieszczeniami pionowymi elementów usztywniających wyraża równanie:

vZ=uz0 (B.55)

Rys. B.8 Składowe przemieszczeń pionowych nadprożyd1 - od zginania ścian d2 - od ścinania ścian

d3 – od zginania nadproży

202

● Związki fizyczne.

Równanie różniczkowe odkształceń przy zginaniu elementów usztywniających ma postać

mE=K Z v L, , (B.56)

a równanie wiążące siły normalne ze skróceniami elementów usztywniających można zapisać

w postaci

∫0

z

nE wdw=K s−1u (B.57)

Związek definiujący sztywność nadproży na zginanie (pozostałe sztywności nadproży np. na

ściskanie i skracanie nie są istotne ze względu na przyjęcie założenia stropów sztywnych w ich

płaszczyznach) jest następujący

nN=Kwd3 (B.58)

● Warunki brzegowe.

Z założenia utwierdzenia elementów usztywniających we fundamentach na jednym poziomie

wynikają bezpośrednio warunki brzegowe:

vL0=0 (B.59)

vL, 0=0 (B.60)

vZ 0=z0 (B.61)

Przyjęcie założenia o swobodnych końcach elementów usztywniających na szczycie budynku

pozwala napisać następujące zależności:

nE hb=0 (B.62)

mE hb=0 (B.63)

gdzie:

hb - wysokość układu usztywniającego.

B.2.10. Wyprowadzenie równań metody siłWyprowadzenie równań metody sił przeprowadzono w oparciu o [Wdo93B].

Wstawiając do równania zgodności pionowych przemieszczeń nadproży (B.52) zależności

(B.53), (B.54) i (B.58) otrzymuje się:

BnN=CNT vL

,−SET vZ (B.64)

203

przy oznaczeniu B=KW−1 .

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem z równania (B.64) i podstawieniu do niego

zależności (B.55) a następnie (B.57) będzie:

BnN, ,=CN

T vL, , ,−SE

T KS nE, (B.65)

Podstawiając następnie do związku (B.65) równania (B.51) i (B.49) otrzymuje się

(uwzględniając, że nE, =−SE nN−SRnR ):

BnN, ,=CN

T LvG, , ,SE

T KS SEnNSET K SSRn R (B.66)

Drugą podstawową zależność otrzymuje się z równania równowagi sił poprzecznych

elementów z obciążeniami poziomymi całego układu (B.48) przez podstawienie związku

(B.50), a następnie (B.56) i (B.51):

tK=LT KZ LvG

, , ,LT CN nNLTCRnR (B.67)

Z równania (B.67) można wyznaczyć vG, , , :

vG, , ,=VT tK−VNnN−VRnR (B.68)

gdzie:

V T=LTK Z L

−1 , VN=VT LTCN , VR=V TL

T CR

lub krócej:

vG, , ,=f p−VNnN (B.69)

gdzie:

f p=VT tK−VRnR

Podstawiając vG, , , w postaci zależności (B.68) do równania (B.66) otrzymuje się

BnN, ,=AnNFRnRFT tK (B.70)

gdzie:

A=SET K SSE−CN

T LVN , FR=SET KS SR−CN

T LVR , FT=CNT LVT

lub krócej:

BnN, ,=AnNf (B.71)

gdzie:

f=FRnRFT tK

204

Dla funkcji niewiadomych sił w nadprożach nN warunki brzegowe układa się wykorzystując

równanie (B.64). Po podstawieniu do tego równania zależności (B.60) i (B.61) otrzymuje się:

BnN 0 =−SET z0

lub po przekształceniu:

nN 0 =−B−1SE

T z0 (B.72)

Po jednokrotnym zróżniczkowaniu równania (B.64) względem zmiennej z otrzymuje się

związek:

CNT vL

, ,−SET vZ

, =BnN, (B.73)

Dla z=hb wartość wektora vL, , można określić na podstawie (B.63) przy wykorzystaniu

(B.56):

vL, ,hb=0 (B.74)

a wartość vZ, na podstawie (B.55) przy wykorzystaniu (B.57) i (B.62):

vZ, hb=0 (B.75)

Podstawiając (B.74) i (B.75) do (B.73) otrzymuje się ostatecznie:

nN, hb=0 (B.76)

Warunki brzegowe dla niewiadomych funkcji przemieszczeń vG otrzymuje się bezpośrednio z

warunków (B.59) i (B.60) na podstawie równania (B.51) (można pokazać, że podmacierz L i e

macierzy L zawierająca elementy odnoszące się do dowolnego elementu usztywniającego

ma wymiar 3 × 3 i jest macierzą nieosobliwą).

vG0=0 (B.77)

vG, 0=0 (B.78)

oraz z zależności (B.74) na podstawie równania (B.51):

vG, ,hb=0 (B.79)

Przeprowadzone przekształcenia można podsumować następująco: przy obliczaniu

niewiadomych funkcji podczas rozwiązywania ścianowych konstrukcji usztywniających z

nadprożami metodą sił wykorzystuje się następujące zależności:

- dla nieznanych funkcji sił w pionowych pasmach nadproży nN równanie (B.71) z warunkami brzegowymi (B.72) i (B.76),

- dla nieznanych funkcji przemieszczeń poziomych vG równanie (B.69) z warunkami

205

brzegowymi (B.77), (B.78) i (B.79).

B.2.11. Wyznaczenie przemieszczeń i sił przekrojowych.Po wyznaczeniu nieznanych funkcji sił w pionowych pasmach nadproży nN z równania (B.71)

wyznacza się poszukiwane funkcje przemieszczeń poziomych:

- globalnych vG z równania (B.68),

- elementów vL z równania (B.51),

a następnie siły przekrojowe:

- momenty zginające i bimomenty mE z równania (B.56),

- siły poprzeczne i momenty giętno-skrętne tE z równania (B.50),

- siły normalne nE z równania (B.49),

– momenty skręcania swobodnego

mCS={G J Sie},

gdzie:

, - pierwsza pochodna kata obrotu elementów usztywniających (równa pierwszej pochodnej kąta obrotu układu usztywniającego)

– Wydłużenie osiowe elementów u z równania (B.57) oraz przemieszczenia pionowe

elementów vZ z równania (B.55)

206

C. Podstawy teoretyczne obliczeń dynamicznych w programie BW dla Windows

Podstawy teoretyczne obliczeń dynamicznych opisano na podstawie wykładów dr inż. J. Wdowickiego

C.1. Model dynamiczny budynku Model dynamiczny budynku przyjmuje się jako model dyskretny z masami w postaci tarcz

stropowych. Stropy budynku traktuje się jako nieskończenie sztywne w swej płaszczyźnie, a

całkowicie wiotkie z płaszczyzny. Przyjęcie modelu dyskretnego uzasadnione jest faktem, że

ponad połowa masy budynku skupiona jest na poziomie stropów. Gdy wymagane jest

uwzględnienie w analizie sztywności stropów z ich płaszczyzny, modeluje się je dodatkowymi

pasmami nadproży.

Zakłada się, że elementy usztywniające posadowione są na tym samym poziomie, mają

jednakową wysokość. Rozpatruje się pracę konstrukcji usztywniającej budynku w stanie

sprężystym. Przyjmuje się, że przemieszczenia elementów usztywniających są małe.

Rys. C.1 Przyjmowanie masy stropu

W programie BW jako masę stropu należy podać masę 1 m2 stropu, z dodaniem ew.

sprowadzonej masy belek stalowych pod płytą żelbetową (jeśli występują), warstw

wykończeniowych, instalacji i pewnej części obciążeń użytkowych - zwykle, jeśli liczy się

drgania zasiedlonego budynku, dodaje się 40 - 60 % masy obciążeń użytkowych

przypadających na 1 m2 stropu. Masę ścian i nadproży dodaje sam program na podstawie

obliczonej przez program objętości tych części konstrukcji dla każdej z kondygnacji i podanej

masy 1 m3 konstrukcji (w danych początkowych).

207

Rys. C.12 Model dynamiczny budynku wysokiego1) element usztywniający, 2) nadproże, 3) strop

Drgania układu o wielu stopniach swobody opisane są relacją:

M qCqK q=F (C.1)

Gdzie :

M - macierz mas (bezwładności)

C - macierz tłumienia

K - macierz sztywności

q - wektor uogólnionych przemieszczeń

F - wektor obciążeń zewnętrznych

Dla wielokondygnacyjnych budynków ze ścianami usztywniającymi wygodniej i łatwiej

wyznaczyć jest macierz podatności D , a później macierz sztywności K , wówczas równanie

(C.1) przybiera postać :

DMqDCqq=DF (C.2)

Gdzie :

D - macierz podatności D=K−1

C.1.1. Wyznaczenie macierzy podatności DMacierz podatności jest równa przemieszczeniom mas układu wywołanymi jednostkowymi

obciążeniami. W przypadku budynku wysokiego masami są stropy budynku z skupionymi do nich

208

masami ścian, nadproży i ewentualnych złączy podatnych.

Aby wyznaczyć pierwsze trzy kolumny macierzy podatności budynku wysokiego, należy więc obliczyć

przemieszczenia wszystkich tarcz stropowych od obciążenia tarczy stropowej pierwszego stropu siłami:

Px=1, Py=1 i Ms=1.

Obciążając tarczę drugiego stropu siłami Px=1, Py=1 i Ms=1, wyznaczamy kolumny 4..6 macierzy

podatności. Obciążając kolejne stropy siłami jednostkowymi wyznaczamy pozostałe kolumny macierzy

podatności D.

W celu szybkiego i dokładnego wyznaczenia elementów macierzy podatności D, posłużono się metodą

ciągłych połączeń. Zaprogramowano analityczne rozwiązania dla przemieszczeń wszystkich

stropów budynku od obciążeń kolejnych stropów silami jednostkowymi. Wykorzystano

następujące układy równań różniczkowych :

dla h≤z≤H :

BnG, , zAnG z=0 (C.3)

vG, , , z=−vN nG z (C.4)

dla 0≤z≤h :

BnD, , z AnD z =FT TK (C.3)

vG, , ,=vTTk−vNnD z (C.4)

Z odpowiadającymi warunkami brzegowymi:

nD 0 =0 nG, H =0 nD h=nG h nD

, h=nG, h

oraz

vD 0 =0 vD, H =0 vG

, ,H =0 vD h =vG h vD, h =vG

, h vD, ,h =vG

, ,h

Gdzie:

h - wysokość od podstawy do miejsca przyłożenia siły

A , B , vN , vT , FT - macierze zależne od konstrukcji

TK - macierz obciążenia Tk=diag 1,1 ,1

nG z ,nD z - macierze zawierające nieznane funkcje intensywności sił ścinających w ciągłych

połączeniach modelujących nadproża i złącza podatne

vG z ,vD z - macierze zawierające poziome przemieszczenia konstrukcji.

Duże liter G i D we wzorach oznaczają cześć górną zh i dolną z≤h konstrukcji.

209

C.1.2. Wyznaczenie macierzy mas M

Macierz mas M jest macierzą diagonalną składającą się z nk podmacierzy M k

M=diag Mk , k=1,... , nk , nk - liczba kondygnacji (C.5)

Pod macierz M k jest macierzą kwadratową, symetryczną o wymiarach 3x3, poszczególne

elementy tej macierzy wyznacza się z wzorów:

M k 11=M k22

=M tM uM w hu (C.6)

M k 11=M k22

=−S Mt XS Mu X

S Mw Xhu (C.7)

M k 11=M k22

=−S MtYS MuY

S MwYhu (C,8)

M k 33=J t J uJ whu (C,9)

M k 12=M k 21

=0 (C.10)

Gdzie :

M t - masa stropu

M u - masa ścian usztywniających (dla uśrednionej wysokości kondygnacji - masa połowy ściany powyżej i poniżej stropu)

M w - masa słupów i połączeń podatnych (dla uśrednionej wysokości kondygnacji)

S Mt - momenty statyczne stropu

S Mu - momenty statyczne ścian usztywniających

S Mw - momenty statyczne słupów i połączeń podatnych

J t - moment bezwładności stropu względem osi Z

J u - moment bezwładności ścian usztywniających względem osi Z

J t - moment bezwładności słupów i połączeń względem osi Z

C.2. Drgania własne Równanie ruchu drgań własnych otrzymuje się z równania ruchu C.2 po pominięciu wektora

obciążeń zewnętrznych i macierzy tłumienia

DMqq=0 (C.11)

Poszukiwane rozwiązanie równania zapisujemy w postaci funkcji harmonicznych

q t =a sin t (C.12)

gdzie:

a - wektor amplitud drgań własnych

Po podstawieniu C.12 do C.11 otrzymujemy układ liniowych równań algebraicznych

210

DM−−2 Ia=0 (C.13)

Który ma rozwiązanie niezerowe gdy spełniony jest warunek

det DM−−2 I=0 (C.14)

Gdzie

I - macierz jednostkowa

Równanie C.14 nazywa się równaniem charakterystycznym zagadnienia własnego.

Pierwiastkami tego równania są częstości kołowe drgań własnych 1,2,... ,n , , gdzie n –

liczba dynamicznych stopni swobody. Zbiór uporządkowanych częstości drgań własnych w

rosnącej kolejności 12...n , tworzy wektor częstości drgań własnych. Po podstawieniu

kolejnych i do równania C.13 otrzymamy wektory postaci drgań własnych ai , zbiór

wektorów własnych ai tworzy macierz własną A Wektory postaci drgań własnych spełniają

warunki ortogonalności [Chm98, s. 125].

aiTMa j=0 dla i≠ j (C.15)

C.3. Drgania budynku przy wymuszeniach sejsmicznych – metoda spektrum odpowiedzi dla układów dyskretnych

Metodę opisano w oparciu o publikację [Chm98].

Równanie ruchu układu o wielu stopniach swobody poddanemu wymuszeniu kinematycznemu

podłoża przyjmuje postać:

M qCqK q=pef t (C.16)

gdzie

pef t - wektor efektywnej siły sejsmicznej, pef t=−Mr u t ,

r - tzw wektor wpływu

Zakładając że zagadnienie własne układu jest już rozwiązane, to znaczy znany jest wektor

częstości własnych oraz macierz własna A wówczas do rozwiązania równania C.16

stosuję się metodę transformacji własnej. Wektor przemieszczeń q t przedstawia się w

postaci

q t =∑i=1

n

ai yi t =Ay (C.17)

ai - wektor postaci drgań własnych nietłumionych

211

yi - współrzędna normalna (główna)

Podstawiając do równania C.16 zależność C.17 oraz mnożąc obustronnie przez aiT otrzymuje

się równanie

aiTMA yai

TCA ya iT KAy=ai

T pef t (C.18)

Warunki ortogonalności

aiTMa j=0 , ai

T Ka j=0 (C.19)

Powodują, że tylko jeden składnik jest różny od zera w iloczynach macierzowych

zawierających macierze M i K gdy i = j. Podobna redukcja może być zastosowana dla

składnika z macierzą tłumienia C , przy założeniu że macierz tłumienia jest liniowa

kombinacją macierzy mas i sztywności

C=MK (C.20)

Gdzie , są współczynnikami proporcjonalności

Wówczas:

aiTCa j=0 dla i≠ j (C.21)

Przy tym założeniu równanie C.18 możemy zapisać

mi yic i y ik i yi= pi t dla i=1,2 , ... , n (C.22)

Gdzie

mi=aiTMai (C.23)

ci=a iT Cai (C.24)

k i=a iT K ai=i

2mi (C.25)

pi t =aiT pef t (C.26)

Po obustronnym podzieleniu równania C.22 przez mi otrzymujemy

yic i

miy i

k i

miyi=

1mi

pi t (C.27)

Przy wykorzystaniu założenia C.25 równanie C.27 zapiszemy

yi2i yi i2 yi=

1mi

pi t (C.28)

= 2ii

2 (C.29)

Wzór C.29 nazywamy liczbą tłumienia i-tej postaci drgań. Równania różniczkowe C.28 są

212

równaniami układów o jednym stopniu swobody odniesionymi do jednostki masy, których

rozwiązanie można zapisać przy użyciu całki Duhamela:

yi t=a iT Bra iT Bai

1id∫0

t

u e−i it−sin [id t−] d (C.30)

id=i1−i2 (C.31)

Całkowita reakcja q wyrazi się wzorem:

q t =∑i=1

n

ai yi t=∑i=1

n

aii1id∫0

t

u e−i it−sin [ id t−]d (C.32)

gdzie

i=a iT Bra iTBai

(C.33)

nazywany jest współczynnikiem udziału postaci drgań. Można zatem napisać, że udział i-tej

postaci drgań w reakcji j-tej współrzędnej uogólnionej q j wynosi

qij=A ji i1id∫0

t

u e− ii t−sin [id t−] d (C.32)

gdzie A ji jest j-tą składową i-tego wektora własnego. Maksymalna wartością całki Duhamela

w powyższym równaniach jest wartość spektrum odpowiedzi odpowiadające i-tej częstości

własnej S di ,i stąd :

max qij=∣A ji i Sd i , i∣=∣A ji1i

S v i , i∣ (C.34)

Aby oszacować całkowitą reakcje budowli nie wystarczy zastosowanie sumy jak w równaniu

(C.32), gdyż nie można przyjąć że maksima odpowiedzi poszczególnych postaci drgań

występują w tym samym czasie. Dlatego do jej określenia wykorzystuje się różne metody.

C.3.1. Metoda SRSS

max q j=∑i=1

n

max q ji 2 (C.35)

Wzór ten ma swoje uzasadnienie na podstawie teorii drgań losowych. Jego stosowanie

odpowiada sytuacji, w której nie uwzględnia się korelacji wzajemnej postaci drgań. Dlatego

może ona prowadzić do znacznych błędów dla konstrukcji o blisko położonych częstościach

drgań własnych. Sytuacja taka może pojawić się na przykład w tak zwanych nieregularnych

budynkach wysokich, w których środek masy nie pokrywa się ze środkiem sztywności układu,

powłokach i konstrukcjach mocno przesztywnionych Dla takich przypadków opracowano j

213

inne sposoby superpozycji, takie jak metoda CQC.

C.3.2. Metoda CQCMetoda ta, zaproponowana jako udoskonalenie SRSS w celu bardziej poprawnego

uwzględniania blisko położonych częstości, opiera się na następującej regule sumowania :

max q j=∑i=1

n

∑k=1

n

max q ji ikmax q jk (C.36)

gdzie

ik=8ik ir k r2 /3

1−r224ikr1r24i2k

2r 2(C.37)

C.3.3. Zakończenie Dla dynamicznego modelu budowli z diagonalna macierzą mas można oszacować

maksymalną siłę sejsmiczną działającą na j-ty element konstrukcji o masie mj przy drganiach i-

tą formą własną

max P ij=∣m j A jii S ai ,i∣ (C.38)

Następnie korzystając z metody SRSS lub CQC można wyznaczyć całkowita siłę sejsmiczną

obciążającą j-ty element.

214

D. Podstawy teoretyczne obliczeń statycznych w programie Robot Millennium

Podstawy teoretyczne obliczeń statycznych w programie Robot Millennium opisano na

podstawie [Pod20].

D.1. Równania rozwiązywane podczas obliczeń konstrukcjiCała konstrukcja jest podzielona na oddzielne części (elementy skończone). Elementy są ze

sobą połączone tylko w węzłach. Deformacja wewnątrz każdego elementu jest definiowana na

podstawie przemieszczeń węzłowych (wykorzystuje się założone w elemencie funkcje

kształtu). W ten sposób energia wewnętrzna konstrukcji zależy tylko i wyłącznie od

niezależnych parametrów węzłowych. Przemieszczenia węzłowe zapisane dla całej konstrukcji

tworzą globalny wektor nieznanych przemieszczeń konstrukcji q . Ogólny wzór układu równań

równowagi ma postać:

Mq ' 'Cq 'Kq=f t−f t ,Q (D.1)

Gdzie:

K - styczna macierz sztywności będąca sumą następujących macierzy składowych:

K=K0KK NL gdzie

K0 - początkowa macierz sztywności (niezależna od wektora q )

K - macierz naprężeń (liniowo zależna od naprężeń ściskających)

KNL - macierz innych składników zależnych od wektora q

C - macierz tłumienia

q - wektor przemieszczenia (przyrosty lub całkowite przemieszczenia)

q ' - wektor prędkości (pierwsza pochodna wektora przemieszczeń q po czasie)

q ' ' - wektor przyspieszenia (druga pochodna wektora przemieszczeń q po czasie)

f t - wektor sił zewnętrznych

f t ,Q - wektor sił niezrównoważonych.

Powyższe równania są zapisane dla całej konstrukcji przy użyciu “globalnych” przemieszczeń

q . Oznacza to, że przemieszczenia są definiowane w globalnym układzie współrzędnych.

Utworzone równania są wynikiem agregacji zapisanych we współrzędnych lokalnych

warunków równowagi w elemencie. Transformacja z lokalnego układu współrzędnych do

globalnego układu współrzędnych (i na odwrót) jest standardową operacją na macierzach.

D.2. Analiza statyczna Podstawowy układ równań równowagi (D.1) może być uproszczony, gdy przyjęte zostanie

dodatkowe założenie mówiące, że przykładane do konstrukcji obciążenie jest quasistatyczne.

215

Oznacza to, że obciążenia są przykładane do konstrukcji na tyle wolno, że prędkości i

przyspieszenia mas konstrukcji są równe zeru, a siły bezwładności i tłumienia oraz energia

kinetyczna i tłumienia mogą być pominięte. Uproszczony w ten sposób układ równań

przedstawia układ równań statycznych z wieloma stopniami swobody konstrukcji. Istnieją dwa

typy statycznej analizy konstrukcji: analiza liniowa i analiza nieliniowa.

D.2.1. Analiza liniowaStatyka liniowa jest podstawowym typem analizy konstrukcji w programie. W trakcie statycznej

analizy konstrukcji przyjmowane są następujące założenia: małe przemieszczenia i obroty

konstrukcji oraz materiał idealnie sprężysty. Powoduje to, że zasada superpozycji może być

stosowana.

Elementy macierzy sztywności dla takiego przypadku są stałymi. Równanie równowagi

przybiera postać:

K0q=f (D.2)

Do rozwiązywania problemów statyki liniowej używana jest metoda przemieszczeń. Wyniki

obliczeń statycznych obejmują:

- przemieszczenia węzłowe

- siły wewnętrzne w elementach

- reakcje w węzłach podporowych

- siły resztkowe w węzłach.

Statyka liniowa jest domyślnym typem analizy konstrukcji w programie tzn. jeżeli nie

zdefiniowano innego typu analizy, to program przeprowadzi obliczenia statyczne zdefiniowanej

konstrukcji.

216

E. Podstawy teoretyczne obliczeń dynamicznych w programie Robot Millennium

Podstawy teoretyczne obliczeń dynamicznych w programie Robot Millennium opisano na

podstawie [Pod20].

W programie można przeprowadzić różne rodzaje obliczeń dynamicznych konstrukcji. Dla

analiz dynamicznych przyjmowane są takie same założenia jak dla teorii statycznych, a

mianowicie:

● małe odkształcenia

● małe przemieszczenia

● liniowo sprężysty materiał

Masy używane w obliczeniach dynamicznych konstrukcji mogą być definiowane na podstawie:

● ciężaru własnego konstrukcji

● ciężaru własnego konstrukcji i skupionych mas dodanych

● ciężarów pochodzących od sił - można zmienić wszystkie siły zdefiniowane wcześniej na masy, które mogą być użyte w trakcie prowadzonej dynamicznej analizy konstrukcji. Na przykład, gdy konstrukcja została obciążona siłami zewnętrznymi (np. ciężarem własnym), ciężary wyznaczone na podstawie tych sił mogą być brane pod uwagę podczas obliczeń dynamicznych konstrukcji.

E.1. Analiza modalnaPodczas analizy modalnej konstrukcji wyznaczane są wszystkie podstawowe wielkości

opisujące postaci drgań własnych konstrukcji, tzn.: wartości własne i wektory własne

konstrukcji, współczynniki udziału oraz masy udziału. Liczba postaci wyznaczanych w trakcie

analizy modalnej konstrukcji może być definiowana bezpośrednio przez użytkownika lub

można ją określić poprzez podanie zakresu wartości niektórych wielkości opisujących drgania

własne konstrukcji.

Jeżeli nie zostały przyłożone żadne zewnętrzne obciążenia, to założenie analizy modalnej

mówiące, że q t=q sin t Q(t) = Q sin(ωt) prowadzi do liniowych równań drgań własnych

konstrukcji

K0−2M q=0 (E.1)

E.2. Analiza sejsmicznaW wyniku analizy sejsmicznej oprócz wyników analizy modalnej są dodatkowo następujące

parametry dla każdej dynamicznej postaci drgań:

217

● współczynniki udziału dla analizy sejsmicznej

● wartość widma wymuszenia sejsmicznego

● współczynniki modalne

● przemieszczenia, siły wewnętrzne, reakcje i kombinacje drgań.

218

F. Outriggery

F.1. Podstawowe informacje o ouriggerachOutriggery są to sztywne poziome elementy (wysięgniki) łączące zewnętrzną ramę z

wewnętrznym trzonem. Najczęściej przyjmują postać wiązarów kratowych ze sztywnymi

węzłami o wysokości jednej lub dwóch kondygnacji. Ze względu na swoje rozmiary

instalowane są na kondygnacjach technicznych. Głównym zadaniem outriggerów jest

ograniczenie wartości przemieszczeń szczytu budynku oraz momentu zginającego u

podstawy trzonu wywołanych obciążeniami poziomymi. Układy konstrukcyjne usztywnione

outriggerami są uważane za jedne z najbardziej efektywnych rozwiązań pozwalających

zwiększyć sztywność budynku, dlatego też są powszechnie stosowane w konstrukcjach

budynków wysokich. [Bal93] [Wu03]

Rys. F.1 Zasada pracy konstrukcji usztywnionej outriggerami.[Hoe04]

Ogólną zasadę pracy budynku usztywnionej outriggerami przedstawia rysunek (Rys. F1).

Dzięki outriggerom możliwa jest współpraca trzonu z zewnętrzną ramą w przenoszeniu

obciążeń poziomych. Przyjmuje się, że pod wpływem działania obciążeń poziomych w

kolumnach wywoływane są tylko siły osiowe ( jedna strona jest rozciągana druga ściskana), a

outrigger jest zginany. [Bal03] [Heo04] Optymalna liczbę i rozmieszczenie pasów outriggerów

najczęściej określa się na podstawie analiz numerycznych dla danego budynku. Zalezą one od

wielu czynników takich jak liczba kondygnacji rodzaj konstrukcji, podstawowych częstości

drgań własnych, materiału z jakiego wykonywany będzie budynek. Dla konstrukcji z jednym

poziomem outriggerów autor publikacji [Tar75] proponuje optymalną ich lokalizacje w połowie

wysokości budynku (0,455 H od szczytu budynku) Dla dwóch poziomów zaproponowano w

(McN75) 0,312H i 0,685H mierzone od szczytu budynku. Dla wielu poziomów określenie

optymalnego rozmieszczenia jest już trudniejsze, najczęściej jednak stosuje się po jednym

poziomie na szczycie budynku oraz jak najbliżej utwierdzenia (aby zmniejszyć wartości

momentu). [Wu03]

219

W pracy [Cou89] opisano metodę przybliżoną obliczania układów usztywniających obciążonych

statyczne. Obliczanie tych konstrukcji poddanych trzęsieniom ziemi jest przedmiotem pracy

[Cou88b].

F.2. Wpływ outriggerów na pracę budynku Di-WangTowerW pracy [Li04] przeanalizowano wpływ outriggerów i poziomych stężeń na wartości

przemieszczeń i własności dynamiczne budynku Di-Wang Tower. Obliczenia wykonano w

programie TBSA (Tall Building Structural Analysis) opartym na MES, gdzie trzon budynku

modeluje sie jako pojedyńczy słup i analizuje wg teori Własova. Zbudownao 7 modeli

obliczeniowych:

● Model 1 – odwzorowujący rzeczywistą konstrukcję, 4 poziomy outriggerów, pionowe

stężenia (Rys. F.2 a)

● Model 2 – jak Model 1 ale bez pionowych stężeń (Rys. F.2 b)

● Model 3 – z Modelu 1 usunięto dwa pasy outriggerów na 2 i 66 kondygnacji (Rys. F.2 c)

● Model 4 – w porównaniu z Modelem 1 outriggery umieszono na 7, 22, 41 i 66 kondygnacji

(jest optymalna lokalizacja wyznaczona na podstawie obliczeń w oparciu o publikacje

[Wu03]) (Rys. F.2 d)

● Model 5 – z Modelu 1 usunięto jeden pas outriggerów na 66 kondygnacji (Rys. F.2 e)

● Model 6 – z Modelu 1 usunięto outriggery na 2 kondygnacji (Rys. F.2 f)

● Model 7 – model bez outriggerów tylko z pionowymi stężeniami. (Rys. F.2 g)

Wyniki obliczeń przedstawiono w tabelach F1 , F2.

Wpływ outriggerów na zachowanie się konstrukcji można przeanalizować na podstawie

wyników dla Modelu 1 i Modelu 7. Na podstawie Tablicy F1 widzimy że zastosowanie

outriggerów spowodowało zwiększenie częstości drgań własnych w kierunku podłużnym (X) i

poprzecznym (Y). Szczególnie jest to widoczne w kierunku poprzecznym gdzie pierwsza

częstość drgań własnych w Modelu 7 jest o 22% mniejsza niż w Modelu 1. Wartości

przemieszczeń w kierunku Y wywołane wiatrem w modelu bez outriggerów są o 60,8%

większe w porównaniu z modelem gdzie zostały one zastosowane. Podobne zjawisko

obserwujemy w kierunku podłużnym (X) gdzie są one większe o 30,7%. Na tej podstawie

można wysunąć wniosek, że zastosowanie outriggerów tylko w kierunku poprzecznym (Y) w

znacznym stopniu zwiększa sztywność budynku w obu kierunkach. Rozmieszczenia pasów

outriggerów przy tej samej ich liczbie nie ma większego wpływu na wartości przemieszczeń co

możemy zaobserwować dla Modeli 1 i 4 oraz 5 i 6. Jeżeli chodzi o liczbę outriggerów na

podstawie wyników z Tablicy F2 i F3 można wywnioskować, że największy wpływ na

220

ograniczenie przemieszczeń miało wprowadzanie dwóch pasów w wyliczonych optymalnych

położeniach tak jak w Modelu 3. Wprowadzanie dodatków pasów nie daje już tak dużych

efektów.

Tablica F.1 Wartości pierwszych trzech częstości drgań własnych dla kierunku X i Y

Kierunek X Kierunek Y

Model 1 2 3 1 2 3

Model 1 1,093 3,569 6,019 0,999 3,412 4,920

Model 2 Różnice do Modelu 1

1,1374,0%

3,6512,30%

6,3275,1%

0,949-5,1%

3,380-0,9%

5,0011,6%

Model 3 Różnice do Modelu 1

1,087-0,6%

3,305-7,4%

5,781-3,9%

0,936-6,3%

3,236-5,2%

4,492-8,7%

Model 4 Różnice do Modelu 1

1,1565,7%

3,8086,7%

5,793-3,8%

0,993-0,6%

3,588-5,2%

4,574-7,0%

Model 5 Różnice do Modelu 1

1,0930,0%

3,380-5,3%

5,856-2,7%

0,974-2,5%

3,380-0,9%

4,593-6,6%

Model 6 Różnice do Modelu 1

1,081-1,2%

3,952-10,0%

5,956-1,1%

0,955-4,4%

3,380-0,9%

4,895-0,5%

Model 7 Różnice do Modelu 1

0,97411,0%

3,110-12,9%

5,579-7,3%

0,779-22,1%

3,047-10,7%

4,291-12,8%

Tablica F.2 Wartości przemieszczeń szczytu budynku od obciążeń wiatrem i sejsmicznych

Obciążenie wiatrem Obciążenie sejsmiczne

Model

Maksymalne przemieszczenia po

kierunku X[mm]

Maksymalne przemieszczenia po

kierunku Y[mm]

Maksymalne przemieszczenia po

kierunku X[mm]

Maksymalne przemieszczenia po

kierunku Y[mm]

Model 1 208,8 486,3 197,4 255,6

Model 2 Różnice do Modelu 1

228,8+6,7%

533,6+9,7%

200,3+1,5%

268,7+5,1%

Model 3 Różnice do Modelu 1

238,3+14,1%

560,9+15,3%

202,5+2,6%

296,6+16,1%

Model 4 Różnice do Modelu 1

206,9-0,9%

478,5-1,6%

197,40,0%

268,7+5,%

Model 5 Różnice do Modelu 1

226,2+8,3%

526,8+8,3%

192,1-2,7%

262,7+2,8%

Model 6 Różnice do Modelu 1

218,64,7%

526,8+8,3%

194,60-1,5%

266,6+4,3%

Model 7 Różnice do Modelu 1

272,9+30,7%

782,1+60,8%

244,9+24,1%

413,9+61,9%

221

Rys. F.2 Widoki modeli obliczeniowych

222

G. Wyznaczenie wartości obciążenia wiatrem

G.1. Aproksymacja wykresu sił poprzecznych Rozkład siły poprzecznej na wysokości budynku przyjęto jako krzywą 4 stopnia określoną

równaniem (G.1)

y=a0a1 xa 2 x2a 3 x3a 4 x4 (G.1)

Na podstawie rysunku (Rys. 4.2 zaczerpnięto z pracy [Kim95]) dla określonych wysokości

odczytano wartości siły poprzecznej, zestawione w Tablicy G.1.

Tablica G.1 Wartości siły poprzecznej Q [kN] wzdłuż wysokości budynku wg pracy [Kim95].

Wysokość od poziomu tereny h [m]

Wartość siły poprzecznej Q [kN]

0 63 955,70

50 59 814,64

100 52 446,76

150 42 942,75

200 31 823,75

250 18 929,74

300 5 170,27

Przyjmując że h=x oraz Q= y , do równania G.1 podstawiono wartości h i Q i otrzymano

układ równań :

dla h = 0: a 0a1⋅0a 2⋅02a3⋅0

3a4⋅04=63 955,70

dla h = 100: a 0a1⋅100a 2⋅1002a3⋅1003a 4⋅1004=52446,76

dla h = 200: a 0a1⋅200a2⋅2002a3⋅2003a4⋅2004=31823,75

dla h = 250: a 0a1⋅250a2⋅2502a3⋅2503a4⋅2504=18929,74

dla h = 300: a 0a1⋅300a 2⋅3002a 3⋅3003a4⋅3004=5170,27

Po przekształceniach otrzymujemy:

a 0=63 955,70

a 0100⋅a110 000⋅a21 000000⋅a3100000 000⋅a4=52446,76

a 0200⋅a140 000⋅a28000 000⋅a31 600000 000⋅a4=31823,75

a 0250⋅a160 500⋅a 215625000⋅a33 905250 000⋅a4=18929,74

a 0300⋅a190 000⋅a 227000 000⋅a 38100 000000⋅a 4=5170,27

Podstawiamy a0=63 955,70 do pozostałych równań, przenosimy je na prawą stronę i

223

otrzymujemy układ 4 równań liniowych z 4 niewiadomymi:

100⋅a110 000⋅a21000000⋅a 3100000 000⋅a4=−11508,94

200⋅a140 000⋅a28000 000⋅a31 600000 000⋅a4=−32131,95

250⋅a160500⋅a215 625000⋅a33 905250 000⋅a4=−45025,96

300⋅a190 000⋅a227 000 000⋅a38100 000000⋅a 4=−58785,44

Który po zapisaniu w postaci macierzowej A⋅X=B przybiera postać :

[100 10000 1000000 100000000200 40000 8000000 1600000000250 62500 15625000 3906250000300 90000 27000000 8100000000

]⋅[a1

a 2

a3

a 4]=[11509,94

32131,9545025,9658785,44

] (G.2)

Rozwiązanie układu równań (G.2) obliczmy ze wzoru:

X=A−1⋅B (G.3)

Obliczenia wykonano w programie OpenOfficeCalc z pakietu OpenOffice. Wyniki zestawiono w

w Tablicy (G.2)

Tablica G.2 Wartości współczynników a

a0 63 955,70

a1 -67,454903

a2 -0,459284

a3 -0,000307

a4 0,000001

Poszukiwany rozkład siły poprzecznej określony jest równaniem (G.4):

y=63955,70−67,454903 x−0,459284 x2−0,000307 x30,000001 x4 (G.4)

Sprawdzenie wartości:

Wysokość od poziomu tereny

h [m]

Wartość siły poprzecznej

Q [kN]

Wartość Q [kN] obliczona z wzoru

(G.3)

0 63 955,70 63 955,70

50 59 814,64 59 404,86

100 52 446,76 52 446,76

150 42 942,75 43 158,80

200 31 823,75 31 823,75

250 18 929,74 18 929,74

300 5 170,27 5 170,27

224

G.2. Wyznaczenie rozkładu obciążenia wiatremRównanie obciążenia wiatrem otrzymamy różniczkując równanie sił poprzecznych względem

wysokości zgodnie z wzorem :

q=−Q ` (G.5)

Po zróżniczkowaniu równania (G.4) otrzymujemy poszukiwany rozkład obciążenia wiatrem po

kierunku y:

q y z =y =67,4549030,918568 z0,000921 z2−0,000004 z3 (G.6)

Wartości obciążenia po kierunku x obliczamy ze wzoru:

q x h=Lx

L yq y z (G.7)

225

H. Porównanie mas wybranych elementów modeli z programu BW i Robot Millennium.

Analizowany model z programu BW (dane 49-11.bw8) jest modelem o stałym przekroju trzonu

i słupów w całej konstrukcji. Zastępcze przekroju słupów przeliczono z warunku nośności wg

wzoru (6.11)

Analizowany model z programu Robot odpowiada danym z Modelu 1, gdzie uwzględniono

zmienność przekrojów słupów i trzonu. Zastępcze przekroje słupów przeliczono z warunku

sztywności EI wg wzoru (6.13).

Tablica H.1 Porównanie mas pojedynczych elementów modelu [kg]

Słup 1-4 Słup 2 Słup 3 Słup 5 Trzon

BW 7 819 762 3 548 431 1 120 152 387 039 74 346 984

Robot 2 863 777 1 390 103 2 938 335 302 973 69 128 664

Tablica H.2 Porównanie zsumowanych mas nadproży i rygli ramy zewnętrznej [kg]

Dla kondygnacji Dla całego budynku

Nadproża Rygle Nadproża Rygle

BW 38 125,00 54 930,00 2 859 375 4 119 750

Robot 17 813,22 16 236,14 1 335 991 1 217 710

Tablica H.3 Porównanie mas całych modeli [kg]

BW 200 737 600,0

Robot 1 163 597 157,5

226

I. 100 najwyższych budynków świata w 2007 wg Council on Tall Buildings and Urban Habitat (CTBUH)

Listę 100 najwyższych budynków świata zaczerpnięto z [I10].

L.p. Budynek Miasto Rok Piętra Wys. [m] Konstrukcja 1 Taipei 101 Taipei 2004 101 508 Mieszana

2 Petronas Tower 1 Kuala Lumpur 1998 88 452 Mieszana

3 Petronas Tower 2 Kuala Lumpur 1998 88 452 Mieszana

4 Sears Tower Chicago 1974 110 442 Stalowa

5 Jin Mao Building Shanghai 1999 88 421 Mieszana

6 Two International Finance Centre Hong Kong 2003 88 415 Mieszana

7 CITIC Plaza Guangzhou 1996 80 391 Żelbetowa

8 Shun Hing Square Shenzhen 1996 69 384 Mieszana

9 Empire State Building New York 1931 102 381 Stalowa

10 Central Plaza Hong Kong 1992 78 374 Żelbetowa

11 Bank of China Hong Kong 1989 70 367 Mieszana

12 Emirates Tower One Dubai 1999 54 355 Mieszana

13 Tuntex Sky Tower Kaohsiung 1997 85 348 Mieszana

14 Aon Centre Chicago 1973 83 346 Stalowa

15 The Center Hong Kong 1998 73 346 Stalowa

16 John Hancock Center Chicago 1969 100 344 Stalowa

17 Rose Tower Dubai 2007 72 333 Mieszana

18 Shimao International Plaza Shanghai 2006 60 333 Żelbetowa

19 Minsheng Bank Building Wuhan 2007 68 331 Stalowa

20 Ryugyong Hotel Pyongyang 2007 105 330 Żelbetowa

21 Q1 Gold Coast 2005 78 323 Żelbetowa

22 Burj al Arab Hotel Dubai 1999 60 321 Mieszana

23 Nina Tower I Hong Kong 2006 80 319 Żelbetowa

24 Chrysler Building New York 1930 77 319 Stalowa

25 New York Times Tower New York 2007 52 319 Stalowa

26 Bank of America Plaza Atlanta 1993 55 317 Mieszana

27 U.S. Bank Tower Los Angeles 1990 73 310 Mieszana

28 Menara Telekom Headquarters Kuala Lumpur 1999 55 310 Żelbetowa

29 Emirates Tower Two Dubai 2000 56 309 Żelbetowa

30 AT&T Corporate Center Chicago 1989 60 307 Mieszana

31 JP Morgan Chase Tower Houston 1982 75 305 Mieszana

32 Baiyoke Tower II Bangkok 1997 85 304 Żelbetowa

33 Two Prudential Plaza Chicago 1990 64 303 Żelbetowa

34 Wells Fargo Plaza Houston 1983 71 302 Stalowa

35 Kingdom Centre Riyadh 2002 41 302 Mieszana

36 Aspire Tower Doha 2006 36 300 Mieszana

37 First Canadian Place Toronto 1975 72 298 Stalowa

227

38 Eureka Tower Melbourne 2006 91 297 Żelbetowa

39 Landmark Tower Yokohama 1993 70 296 Stalowa

40 311 South Wacker Drive Chicago 1990 65 293 Żelbetowa

41 SEG Plaza Shenzhen 2000 71 292 Mieszana

42 American International Building New York 1932 67 290 Stalowa

43 Key Tower Cleveland 1991 57 289 Mieszana

44 Plaza 66 Shanghai 2001 66 288 Żelbetowa

45 One Liberty Place Philadelphia 1987 61 288 Stalowa

46 Millennium Tower Dubai 2006 59 285 Żelbetowa

47 Sunjoy Tomorrow Square Shanghai 2003 55 285 Żelbetowa

48 Columbia Center Seattle 1984 76 284 Mieszana

49 Cheung Kong Centre Hong Kong 1999 63 283 Stalowa

50 Chongqing World Trade Center Chongqing 2005 60 283 Żelbetowa

51 The Trump Building New York 1930 71 283 Stalowa

52 Bank of America Plaza Dallas 1985 72 281 Mieszana

53 United Overseas Bank Plaza Singapore 1992 66 280 Stalowa

54 Republic Plaza Singapore 1995 66 280 Mieszana

55 Overseas Union Bank Centre Singapore 1986 63 280 Stalowa

56 Citigroup Center New York 1977 59 279 Stalowa

57 Hong Kong New World Tower Shanghai 2002 61 278 Mieszana

58 Diwang International Commerce Center Nanning 2006 54 276 Żelbetowa

59 Scotia Plaza Toronto 1989 68 275 Mieszana

60 Williams Tower Houston 1983 64 275 Stalowa

61 Wuhan World Trade Tower Wuhan 1998 60 273

62 Union Square Phase 6, North Tower Hong Kong 2007 68 270 Żelbetowa

63 Union Square Phase 6, South Tower Hong Kong 2007 68 270 Żelbetowa

64 Renaissance Tower Dallas 1975 56 270 Stalowa

65 China International Center Tower B Guangzhou 2007 62 269 Żelbetowa

66 Dapeng International Plaza Guangzhou 2006 56 269 Mieszana

67 21st Century Tower Dubai 2003 55 269 Żelbetowa

68 Al Faisaliah Center Riyadh 2000 30 267 Mieszana

69 900 North Michigan Avenue Chicago 1989 66 265 Mieszana

70 Bank of America Corporate Center Charlotte 1992 60 265 Żelbetowa

71 SunTrust Plaza Atlanta 1992 60 265 Żelbetowa

72 BOCOM Financial Towers Shanghai 1999 52 265

73 Triumph Palace Moscow 2005 61 264 Żelbetowa

74 Bluescope Stalowa Centre Melbourne 1991 52 264 Żelbetowa

75 Shenzhen Special Zone Daily Tower Shenzhen 1998 42 264 Żelbetowa

76 Tower Palace Three, Tower G Seoul 2004 73 264 Żelbetowa

77 Trump World Tower New York 2001 72 262 Żelbetowa

78 Water Tower Place Chicago 1976 74 262 Żelbetowa

79 Grand Gateway Plaza I Shanghai 2005 54 262 Żelbetowa

228

80 Grand Gateway Plaza II Shanghai 2005 54 262 Żelbetowa

81 Aon Center Los Angeles 1974 62 262 Stalowa

82 Hotel Panorama Hong Kong 2007 64 262 Żelbetowa

83 BCE Place-Canada Trust Tower Toronto 1990 53 261 Mieszana

84 Post & Telecommunication Hub Guangzhou 2002 66 260 Żelbetowa

85 Dual Towers 1 Manama 2007 57 260 Żelbetowa

86 Dual Towers 2 Manama 2007 57 260 Żelbetowa

87 101 Collins Street Melbourne 1991 50 260 Mieszana

88 Transamerica Pyramid San Francisco 1972 48 260 Mieszana

89 GE Building, Rockefeller Center New York 1933 70 259 Stalowa

90 Chase Tower Chicago 1969 60 259 Stalowa

91 Commerzbank Zentrale Frankfurt 1997 56 259 Mieszana

92 Two Liberty Place Philadelphia 1990 58 258 Stalowa

93 Philippine Bank of Communications Makati 2000 55 258 Żelbetowa

94 Park Tower Chicago 2000 67 257 Żelbetowa

95 Messeturm Frankfurt 1990 64 257 Żelbetowa

96 Sorrento 1 Hong Kong 2003 75 256 Żelbetowa

97 U.S. Tower Pittsburgh 1970 64 256 Stalowa

98 Mokdong Hyperion Tower A Seoul 2003 69 256 Żelbetowa

99 Rinku Gate Tower Izumisano 1996 56 256 Mieszana

100 Langham Place Office Tower Hong Kong 2004 59 255 Żelbetowa

229

Rys. I.1 10 najwyższych budynków świata w 2007 roku. [I11]

230

Rys. I.2 10 najwyższych budynków w Chinach [I11]

231

Rys. I.3 10 najwyższych budynków w Shenzhen [I11]

232

J. Zdjęcia budynku Di-Wang Tower

Rys. J.1 Widok od strony zachodniej [I3] Rys. J.2 Widok w trakcie budowy [I3]

Rys. J.3 Widok w trakcie budowy

233

Rys. J.4 Widok ostatnich kondygnacji w trakcie prac wykończeniowych [I3]

Rys. J.5 Widok od strony południowo – wschodniej [I3]

234

Rys. J.6 Widok od strony wschodniej [I14]

Rys. J.7 Widok nocą [I3]

235

Rys. J.8 Widok od strony zachodniej [I3]

Rys. J.9 Zdjęcie satelitarne [I13]

236

K. Dane do obliczeń statycznych przy użyciu programu BW dla Windows

Zestawienie plików danych do obliczeń statycznych przy użyciu programu BW dla Windows (Pliki zamieszczone są na płycie DVD_1 załączonej do pracy w katalogu:

Praca Dyplomowa/Zalaczniki/Zalacznik K . W wersji elektronicznej pracy zastosowano łącza do plików)

● 255-1-ih1

● 255-1-ih2

● 255-1-ih3

● 255-1-ih4

● 255-1-ih5

● 255-1-ih6

● 255-1-nh6-met2-2006.bw7

Ostatni z plików jest plikiem łączącym opisy budynku w poszczególnych strefach sztywności w

jeden budynek.

237

L. Wyniki obliczeń statycznych przy użyciu programu BW dla Windows

Zestawienie plików wynikowych z obliczeń statycznych przy użyciu programu BW dla Windows

(Pliki zamieszczone są na płycie DVD_1 załączonej do pracy w katalogu:

Praca Dyplomowa/Zalaczniki/Zalacznik L . W wersji elektronicznej pracy zastosowano łącza do plików)

● 255-1-ih1-bw7-of6

● 255-1-ih2-bw7-of6

● 255-1-ih3-bw7-of6

● 255-1-ih4-bw7-of6

● 255-1-ih5-bw7-of6

● 255-1-ih6-bw7-of6

238

M. Dane do obliczeń dynamicznych przy użyciu programu BW dla Windows

Zestawienie plików danych do obliczeń dynamicznych przy użyciu programu BW dla Windows (Pliki zamieszczone są na płycie DVD_1 załączonej do pracy w katalogu:

Praca Dyplomowa/Zalaczniki/Zalacznik M . W wersji elektronicznej pracy zastosowano łącza do plików)

● 49-11

239

N. Wyniki obliczeń dynamicznych przy użyciu programu BW dla Windows

Zestawienie plików wynikowych z obliczeń dynamicznych przy użyciu programu BW dla

Windows

(Pliki zamieszczone są na płycie DVD_1 załączonej do pracy w katalogu:

Praca Dyplomowa/Zalaczniki/Zalacznik N . W wersji elektronicznej pracy zastosowano łącza do plików)

● 49-11

240

O. Wybrane dane do obliczeń statycznych i dynamicznych przy użyciu programu Robot Millennium

Zestawienie plików z wybranymi danymi do obliczeń statycznych i dynamicznych przy użyciu

programu Robot Millennium

(Pliki zamieszczone są na płycie DVD_1 załączonej do pracy w katalogu:

Praca Dyplomowa/Zalaczniki/Zalacznik O . W wersji elektronicznej pracy zastosowano łącza do plików)

● Model_1_dane

(plik z pełnymi danymi z programu Robot Millennium zamieszczono na DVD_1 w katalogu

Obliczenia/Robot/Model 1)

● Model_2_dane

(plik z pełnymi danymi z programu Robot Millennium zamieszczono na DVD_1 w katalogu

Obliczenia/Robot/Model 2)

● Model_3_dane

(plik z pełnymi danymi z programu Robot Millennium zamieszczono na DVD_2 w katalogu

Obliczenia/Robot/Model 3)

● Model_4_dane

(plik z pełnymi danymi z programu Robot Millennium zamieszczono na DVD_2 w katalogu

Obliczenia/Robot/Model 4)

241

P. Wybrane wyniki z obliczeń statycznych i dynamicznych przy użyciu programu Robot Millennium

Zestawienie plików z wybranymi wynikami z obliczeń statycznych i dynamicznych przy użyciu

programu Robot Millennium

(Pliki zamieszczone są na płycie DVD_1 załączonej do pracy w katalogu:

Praca Dyplomowa/Zalaczniki/Zalacznik P . W wersji elektronicznej pracy zastosowano łącza do plików)

● Model_1_wyniki

(plik z pełnymi wynikami z programu Robot Millennium zamieszczono na DVD_1 w katalogu

Obliczenia/Robot/Model 1)

● Model_2_wyniki.rtf

(plik z pełnymi wynikami z programu Robot Millennium zamieszczono na DVD_1 w katalogu

Obliczenia/Robot/Model 2)

● Model_3_wyniki

(plik z pełnymi wynikami z programu Robot Millennium zamieszczono na DVD_2 w katalogu

Obliczenia/Robot/Model 3)

● Model_4_wyniki

(plik z pełnymi danymi z programu Robot Millennium zamieszczono na DVD_2 w katalogu

Obliczenia/Robot/Model 4)

242

Q. Spis rysunków zwymiarowanych elementów konstrukcji trzonu

➢ Rys_1 – Poz. 1.1 Element 2 trzonu gr. 75 cm skala 1:20

➢ Rys_2– Poz. 1.2 Element 2 trzonu gr. 60 cm skala 1:20

➢ Rys_3 – Poz. 2.1.1 Nadproże żelbetowe skala 1:20

➢ Rys_4 – Poz. 2.1.2 Nadproże żelbetowe ze zbrojeniem diagonalnym skala 1:20

➢ Rys_5– Poz. 2.1.3 Nadproże stalowe skala 1:20

➢ Rys_6 – Poz. 2.2.1 Nadproże żelbetowe skala 1:20

➢ Rys_7– Poz. 2.2.2 Nadproże żelbetowe ze zbrojeniem diagonalnym skala 1:20

➢ Rys_8 – Poz. 2.2.3 Nadproże stalowe skala 1:20

243