POLITECNICO DI MILANO · 2013-03-05 · esempio d’applicazione, ... In seguito al celebre lavoro di Black e Scholes sulla valutazione e la copertura delle opzioni, ... di cambio,

POLITECNICO DI MILANO

Facolta di Ingegneria dei Sistemi

Corso di Studi in

INGEGNERIA MATEMATICA

Tesi di Laurea Specialistica

Calcolo di Malliavin e Copertura diOpzioni Asiatiche

Relatore: Prof. Carlo Sgarra

Candidato:

Marco Papagno 734682

Anno Accademico 2009-2010

I

Sommario

Lo scopo di questo lavoro e quello di proporre un metodo percoprire e prezzare opzioni Asiatiche, sfruttando il calcolo di Malliavin.

Prima di fare cio, mostreremo vari metodi sviluppati nel corsodegli anni per coprire opzioni Asiatiche. In questo excursus, capitolouno, preferiremo porre l’attenzione sui pregi e difetti, limiti ed even-tuali sviluppi, dei metodi elencati, piuttosto di un rigoroso formalismonel dimostrare i risultati ottenuti. La prima classe dei metodi che an-dremo ad analizzare sara di tipo Monte-Carlo, dei quali vedremo meto-di di derivazione differenziale, metodi basati sulla traiettoria, e cheusano stimatori di massima verosimiglianza. Un’altra classe di meto-di che vedremo, e quella analitica, che divideremo in approssimazionecomonotonica, rappresentazione integrale ed approssimazione di Tay-lor. L’ultima classe di metodi che troviamo in questo capitolo, sonoquelli basati sulle differenze finite. Per l’esattezza approfondiremo ilmetodo semi-analitico di Zhang.

Nel capitolo due entreremo invece in una trattazione dettagliata delcalcolo di Malliavin, in particolare mostreremo il concetto di derivatadi Malliavin, e dimostreremo alcune sue proprieta che ci servirannonel prosieguo del nostro lavoro. Il risultato piu importante che incon-triamo nel capitolo sara la formula di Clark-Ocone. Svolgeremo, comeesempio d’applicazione, il calcolo delle greche di un’opzione Asiaticadi tipo aritmetico.

Nel terzo capitolo entreremo nel vivo del lavoro. Applicheremoi risultati precedentementi ottenuti per riuscire ad arrivare ad unaformulazione quasi-esplicita del prezzo e della strategia di coperturadi un’opzione Asiatica a media aritmetica. Troveremo per l’esattezzadue strade percorribili: una formula risolvibile tramite l’utilizzo di unintegrale triplo, ed un’altra tramite la risoluzione di una equazionealle derivate parziali.

Nel quarto capitolo implementeremo dei programmi con i qualidiscuteremo quale metodo ci sembra il migliore. Per risolvere l’EDPuseremo un metodo alle differenze finite, per l’esattezza applichere-mo alla nostra equazione le tecniche di calcolo UPWIND e THETA-METODO.

Nel quinto capitolo ripercorreremo gli stessi passi svolti nel capi-tolo tre, cercando questa volta di arrivare ad un metodo per prezzaree coprire opzioni Asiatiche di tipo geometrico. In questo caso incontr-eremo pero piu ostacoli, che ci costringeranno ad abbandonare la viaanalitica e sfruttare i metodi Monte-Carlo. Questo perche non sare-mo in grado di esprimere una probabilita in forma esplicita o quasi-esplicita. Useremo il metodo della variabile antitetica per ridurre lavarianza del problema.

II

In definitiva saremo in grado di stabilire, e confrontare fra loro,strategie di hedging dinamico per opzioni Asiatiche di tipo averagerate.

AbstractThe aim of this paper is to propose a method to cover and pricing

Asian options, using the Malliavin calculus.Before doing so, we will show various methods developed over the

years to cover Asian Options. In this overview, chapter one, we wouldprefer to focus on its strengths and weaknesses, limitations and possi-ble developments of the methods listed, rather than a rigorous formal-ism to demonstrate results. The first class of methods that we analyzewill be Monte-Carlo methods for derivation of which see differentialmethods, methods based on the path, and using maximum likelihoodestimators. Another class of methods that we shall see, the analytic,which divide into comonotonic approximation, integral representationand approximation of Taylor. The last class of methods that we findin this chapter are those based on finite differences. More precisely,we will discuss semi-analytical method of Zhang.

In chapter two we will enter instead into a detailed discussion ofthe Malliavin calculus, in particular, show the concept of Malliavinderivative, and demonstrate some of its properties that will serve uslater in our work. The most important result, that we will meet in thechapter, will be the Clark-Ocone formula. We will play as an exampleof application, the calculation of the Greeks of an Asian options witharithmetic average.

In the third chapter we will enter into the heart of the work. Applythe results previously obtained to be able to reach a quasi-explicitformulation of price and hedging strategy in arithmetic average Asianoptions. We will find two possible ways: a formula solved by using atriple integral, and another by solving a partial differential equation.

In the fourth chapter we will implement some programs with whichwe will discuss which method seems best. To solve the EDP we willuse a finite difference method: the techniques we will apply to ourequation for calculating are UPWIND and THETA-METHOD.

In the fifth chapter retrace the same steps carried out in chapterthree, this time trying to arrive at a method for pricing and hedgingAsian option with geometric average. In this case, however, we willencounter more obstacles that force us to abandon the way of analyt-ical methods and exploit the Monte-Carlo. This is because we are notable to express a probability explicitly or quasi-explicitly. We will usethe antithetic variable method to reduce the variance of the problem.

In the end we will be able to assess and compare between them,dynamic hedging strategies for Asian options with average rate.

IntroduzioneIn seguito al celebre lavoro di Black e Scholes sulla valutazione e la coperturadelle opzioni, negli ultimi anni, c’e stato un sempre crescente interesse nellostudio di modelli finanziari attraverso concetti matematici, quali martingaleed integrazione stocastica.

Le opzioni sono contratti derivati che danno al compratore (holder), di-etro il pagamento di un premio, il diritto, e non l’obbligo, di comprare ovendere una certa quantita di beni finanziari, ad una certa data e ad unprezzo di esercizio prestabilito. Il venditore (writer) deve attenersi alla deci-sione dell’holder. Il problema e quello di valutare un’opzione ad ogni istante,e di conseguenza trovare il premio, che renda equa l’operazione.

A partire dagli anni ’60, a causa dell’aumentata incertezza sull’andamentodei tassi d’interesse, dell’inflazione, dei prezzi dei titoli azionari e dei tassidi cambio, della maggiore specializzazione professionale tra gli operatori delmercato e della maggiore competizione tra le diverse attivita finanziarie, sie assistito alla nascita di nuovi e piu efficienti prodotti che garantiscono laripartizione del rischio: parliamo dei cosiddetti prodotti finanziari derivati.

In realta e difficile dare un’esatta datazione sulla nascita del fenomenoderivati, poiche le testimonianze e le teorie in merito sono numerosissime,ma quello che c’interessa e l’analisi degli elementi che hanno condotto allosviluppo di questi strumenti. La crescita della volatilita dei prezzi dei tassirappresenta la prima grande fonte di sviluppo dei derivati: negli anni ’50e gran parte degli anni ’60 infatti, i sistemi economici dei paesi industrial-izzati, presentavano condizioni di relativa stabilita, sia per quanto riguardail prezzo delle merci, sia per i tassi d’interesse. Tale stabilita si esprimevapositivamente sui flussi finanziari delle imprese e sulle condizioni di raccoltadel capitale di debito. Verso la fine degli anni ’60 pero, tali equilibri eco-nomici e finanziari tra i paesi industrializzati iniziarono a venire meno: itassi d’inflazione di Stati Uniti e Gran Bretagna iniziarono a salire, mentrefra le varie nazioni iniziarono a registrarsi divergenze sempre maggiori, sia intermini di politica fiscale e monetaria, sia per le dinamiche inflazionistiche.Questi elementi hanno inevitabilmente condotto all’abbandono, nel 1973, delsistema dei cambi fissi sancito dagli accordi di Bretton Woods. Dai primianni ’70, quindi, cio che ha inciso sullo scenario economico internazionale,sono stati i livelli eccezionalmente alti di volatilita raggiunti dai prezzi e daitassi d’interesse e di cambio, introducendo un clima d’incertezza destinatoa permanere. Cio ha fatto nascere il bisogno di strumenti e strategie per la

IV

gestione dei rischi finanziari a cui i principali soggetti economici si trovavanoesposti: la nascita dei mercati organizzati di futures, opzioni e swap su tassid’interesse, su tassi di cambio e sui prezzi delle materie prime, rappresentaquindi la risposta del sistema finanziario al risk management.

Tra tutti i prodotti finanziari derivati, le opzioni sono sicuramente gli stru-menti piu utilizzati dagli investitori e quelli maggiormente studiati ed anal-izzati dagli esperti. Esse hanno una funzione finanziaria molto importanteper le operazioni svolte da banche ed imprese: rappresentano lo strumentoper eccellenza su cui basare le strategie di gestione del rischio. La primaimportante suddivisione a cui possiamo sottoporre le opzioni, e senza ombradi dubbio quella tra opzioni call e put ed opzioni europee ed americane. Nelcaso siano di tipo europeo il diritto di opzione puo essere esercitato solo allascadenza, se sono di tipo americano il compratore puo esercitare il suo dirit-to in qualsiasi momento e non soltanto alla scadenza. L’altra importanteclassificazione e quella opzioni ordinaria (normalmente chiamate vanilla) daquelle esotiche: le prime si caratterizzano per avere sempre dei payoff stan-dard e sono quelle normalmente trattate nei mercati regolamentati, mentre leseconde si caratterizzano per payoff piu particolari, non standard, e vengonosolitamente trattate nei mercati OTC come risposta alle particolari esigenzefinanziarie di alcune fasce di investitori. In riferimento a tale differenza, esovente associato ad esse, la suddivisione tra opzioni di prima e di secondagenerazione. Un’ulteriore suddivisione, ortogonale alla precedente, e quellatra opzioni che non dipendono dalla storia del titolo sottostante e opzioniche dipendono dalla storia del titolo sottostante, chiamate piu frequente-mente path-dependent. Per queste ultime, il valore dell’opzione (o equivalen-temente, il payoff a scadenza) dipende non solo dal prezzo del sottostantealla scadenza, ma anche dalla sua storia passata. Sara esattamente su questeopzioni che si concentrera il nostro lavoro.

Infatti le opzioni Asiatiche sono un tipo d’opzione che appartengono allafamiglia path-dependent, in quanto il loro profitto dipende da un valore mediocalcolato sulla base di prezzi che si riferiscono ad un predeterminato insiemedi osservazioni. Tali tipi d’opzione sono state proposte e studiate per la primavolta da Boyle ed Emanuel, negoziate per la prima volta a Tokyo alla finedegli anni ’80 (da qui l’appellativo Asiatiche), e da allora si sono imposte neimercati finanziari sia come attivita finanziaria a se stante, sia come clausolainglobata nel regolamento di alcuni titoli obbligazionari. Risultano molto piuconvenienti rispetto alle classiche opzioni ordinarie, ma proprio per le lorocaratteristiche strutturali, il pricing di questi prodotti, presenta ancora oggidei quesiti irrisolti.

La prima problematica che vogliamo sottolineare, e che per questo tipo diopzioni, non e possibile applicare direttamente la formula di Black e Scholes

V

per la loro valutazione: in tale equazione il prezzo dell’opzione non dipende innessun modo dalla variabile essenziale che caratterizza le opzioni Asiatiche,cioe, la media dei prezzi del titolo sottostante. Introducendo nell’equazioneun elemento che sia strettamente legato a questa media, abbiamo ricavato l’e-quazione differenziale per le opzioni Asiatiche. La seconda problematica chevogliamo evidenziare e la valutazione delle opzioni Asiatiche in forma chiusa.Nel caso in cui il parametro di riferimento sia la media aritmetica, non e statoancora trovata una formula di valutazione. Qualora la media di riferimentosia di tipo geometrico, si puo dimostrare che, sia nel caso discreto che con-tinuo, la media geometrica segue una distribuzione log-normale con media evarianza che possono essere calcolate esplicitamente. Pur essendoci notevolidifficolta nel ricavare una formula chiusa per opzioni Asiatiche che prevedonomedie aritmetiche, nella prassi operativa la maggior parte delle opzioni Asi-atiche negoziate, presentano come parametro di riferimento proprio medie ditale tipologia.

Le opzioni Asiatiche sono quindi difficili da prezzare sia analiticamente chenumericamente. Anche se sono state al centro di molte attenzioni negli annirecenti, non c’e una tecnica che sia completamente accettata per prezzarele opzioni Asiatiche per tutte le scelte dei parametri di mercato. Dunque,stimare la sensitivities del prezzo e spesso importante tanto quanto la stimadel prezzo stesso, questo perche le sensitivities sono una misura del rischio.Pero queste sensitivities devono essere stimate poiche non e possibile vederlequotate sul mercato.

Le applicazioni del calcolo di Malliavin in finanza sono relativamente re-centi: inizialmente i risultati di Paul Malliavin (10 Settembre 1925 - 3 Giugno2010) riscossero notevole interesse in relazione alla prova ed estensione delteorema di ipoellitticita di Hormander.

Dal punto di vista teorico, unanotevole applicazione finanziaria delcalcolo di Malliavin e data dalla for-mula di Clark-Ocone che proveremonel seguito del lavoro: essa raffinail teorema di rappresentazione dellemartingale e permette di esprimerela strategia di copertura di un’opzionein termini di derivata stocastica delprezzo.

Il calcolo di Malliavin si e svilup-pato principalmente alla fine degli anni ’70 con l’obiettivo iniziale di dare unadimostrazione probabilistica del teorema di Hormander, ma in seguito e di-ventato di centrale importanza anche in campo applicativo, segnatamente

VI

finanziario, grazie all’articolo di Fournie et al. [4], che ne ha proposto un’ap-plicazione al calcolo delle cosiddette greche. Nel gergo finanziario le greche,calcolate come derivate del prezzo di un prodotto finanziario rispetto ad unqualche parametro, sono quantita importanti poiche rappresentano la sensi-bilita dei prezzi alle variazioni del parametro stesso. Ricordiamo anche chela teoria di Malliavin e stata recentemente utilizzata per il calcolo numericodel prezzo di opzioni Americane con metodi Monte Carlo.

In questa tesi, si vuole trattare l’applicazione del calcolo di Malliavin allacopertura di opzioni Asiatiche di tipo average rate, ovvero dove lo strike efissato. Prima di fare cio, discuteremo come la ricerca in campo finanziariosi sia concentrata, negli ultimi anni, su tecniche per prezzare ed elaborarestrategie di coperture proprio su questo tipo d’opzioni. Infatti, opzioni pathdependent sono estremamente diffuse in mercati che trattano, ad esempio,tassi di cambio. Questo accade perche spesso non e il prezzo spot quello piuimportante (anche perche soggetto a fluttuazioni non sempre naturali), mabensı un prezzo medio sul periodo valutato. Inoltre si sono diffusi tipi dicontratto complessi, il cui payoff dipende da tutta la storia del sottostante, eche quindi non e semplice valutarne prezzo e sensitivities. Vedremo strategiedi copertura statiche, pricing basato sul metodo Monte-Carlo, calcolo dellegreche in modo analitico o tramite l’aiuto di metodi alle differenze finite.

Il calcolo di Malliavin ci permette di gestire al meglio proprio questotipo di problemi, ovvero quando una funzione dipende da una traiettoriastocastica. Quindi, dopo aver introdotto proprieta fondamentali ed esserearrivati fino alla formula di Clark-Ocone, che e un’estensione del teoremadi rappresentazione delle martingale, saremo pronti ad applicare queste tec-niche di calcolo al nostro problema iniziale. Vedremo come la diversa natu-ra del payoff ci portera a dover utilizzare due approcci molto diversi. In-fatti, utilizzando media aritmetica o media geometrica, arriviamo a poterdisporre di una soluzione quasi-esplicita o all’avere bisogno di utilizzare ilmetodo Monte-Carlo per stimare la probabilita condizionata di essere in-the-money. Discuteremo l’implementazione dei metodi visti e proporremo unloro confronto.

Indice

Sommario I

Abstract II

Introduzione III

1 Opzioni Asiatiche 11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Simulazione Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Metodo della Traiettoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Stimatori di Massima Verosimiglianza . . . . . . . . . . 13

1.3 Metodo Analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1 Approssimazione Comonotonica . . . . . . . . . . . . . 171.3.2 Rappresentazione Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.3 Approssimazione di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Metodi alle Differenze Finite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1 Il metodo semi-analitico di Zhang . . . . . . . . . . . . 31

2 Introduzione al calcolo di Malliavin 352.1 Derivata stocastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1 Chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Dualita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1 Formula di Clark-Ocone . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.2 Integrazione per parti e calcolo delle greche . . . . . . . 49

3 Pricing and Hedging di Opzioni Asiatiche Tramite il Calcolodi Malliavin 553.1 Model setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2 Un breve riassunto del calcolo di Malliavin . . . . . . . . . . . 583.3 Densita dell’Asiatica con media aritmetica . . . . . . . . . . . 643.4 Strategia di replica e pricing quasi-esplicito dell’opzione Asiatica 68

4 Analisi Numerica 734.1 Risoluzione numerica dell’EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 Formulazione algebrica e θ-metodo . . . . . . . . . . . . . . . 784.3 Calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.4 Codice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5 Caso Media Geometrica 885.1 Implementazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2 Codice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3 Simulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Conclusioni 100

A Definizioni 102

B Equazione di Kolmogorov all’indietro 104

C Calcolo di Ito funzionale 106C.1 Notazioni e definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106C.2 Calcolo di Ito funzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Riferimenti Bibliografici 120

Elenco delle figure1 Oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 f(t, x, y, v, a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743 U(T − t, x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 U(T − t, x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825

∫∞G(t)

U(T − t, x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 Frazione del portafoglio (fino a 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 847 Frazione del portafoglio (fino a 0) . . . . . . . . . . . . . . . . 858 Strategia per opzioni a media geometriche. . . . . . . . . . . . 959 Strategia per opzioni a media aritmetica. . . . . . . . . . . . . 9610 Medie a confronto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9711 Confronto fra le strategie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1Opzioni Asiatiche

Un’opzione Asiatica e uno strumento derivato, il cui Payoff e basato sulla me-

dia del prezzo del sottostante durante l’arco di un dato periodo precedente

alla Maturity. Questo tipo di derivato e molto usato nei mercati finanziari

in cui questa media produce un effetto di smoothing. Per esempio, le opzioni

Asiatiche vengono spesso utilizzate per coprirsi dal rischio sul tasso di cam-

bio, dove il tasso di cambio medio su un periodo e spesso piu importante ai

fini della copertura, rispetto al tasso ad una data fissata. Inoltre, la struttura

del Payoff delle opzioni Asiatiche le rende meno vulnerabili a manipolazioni,

e questo puo essere una caratteristica importante in alcuni mercati. Abbon-

dano anche in alcune assicurazioni legate agli equity dove il payoff e basato

sulla media del periodo di alcuni indici di borsa.

In pratica, il piu comune tipo di contratto e basato sulla media aritmeti-

ca del prezzo del sottostante. In questo caso il prezzo dell’opzione risultante

non ha una soluzione in forma chiusa semplice sotto le normali assunzioni

di Black-Scholes. Questo e in netta contrapposizione con le opzioni Europee

basate sul prezzo finale del sottostante, dove la formula di Black-Scholes

da una soluzione in forma chiusa per il prezzo dell’opzione. La stima delle

opzioni Asiatiche a media aritmetica e diventata un campo a se della finan-

za computazionale. Innanzitutto, perche il problema e computazionalmente

complesso. Inoltre perche i trader sono interessati ad ottenere metodi di cal-

colo numerici efficienti per calcolare il prezzo dell’opzione e stimare le sue

sensitivities. Queste sensitivities possono essere calcolate come la derivata

Introduzione 2

matematica del prezzo dell’opzione rispetto ad un determinato parametro, e

sono note anche come Greche. Infine, nella formulazione a tempo continuo, il

problema porta direttamente ad interessanti e affascinanti sviluppi matem-

atici, relativi ai funzionali esponenziali del moto Browniano.

In questa prima parte del lavoro, il nostro scopo sara quello di presentare

una rassegna dei principali metodo per calcolare le sensitivities e prezzare le

opzioni Asiatiche.

1.1 Introduzione

Le opzioni Asiatiche sono difficili da prezzare sia analiticamente che numeri-

camente. Anche se sono state al centro di molte attenzioni negli anni recenti,

non c’e una tecnica che sia completamente accettata per prezzare le opzioni

Asiatiche per tutte le scelte dei parametri di mercato. Dunque, stimare la

sensitivities del prezzo e spesso importante tanto quanto la stima del prezzo

stesso, questo perche le sensitivities sono una misura del rischio. Pero queste

sensitivities devono essere stimate poiche non e possibile vederle quotate sul

mercato.

Consideriamo il modello di Black-Scholes classico, con un singolo fattore

di rischio, che segue un moto Browniano standard

dSt = rStdt+ σStDWt, t ≥ 0, (1)

dove (Wt, t ≥ 0) e un moto Browniano standard, σ > 0 e la volatilita costante,

r ≥ 0 e il tasso d’interesse free-risk (anch’esso lo prendiamo costante), ed S0

e il prezzo iniziale. L’equazione (1) puo essere riscritta nella forma

St = S0eµt+σWt , t ≥ 0, (2)

dove µ = r − σ2

2. Per ogni T > 0

AT =1

T

∫ T

0

Stdt (3)

Introduzione 3

e il prezzo medio del sottostante lungo il periodo [0, T ]. Allora il valore

dell’opzione Asiatica di tipo call con strike price K > 0 e maturity pari a T

e data da

(PA)c = e−rTE[max(AT −K, 0)]. (4)

La versione discreta di questo tipo d’opzione, campiona i prezzi da mediare

in date prefissate t1, . . . , tN

AN =1

N

N∑i=1

Sti . (5)

Per semplicita ipotizzeremo che ti = ih, dove h = T/N , cosı da avere gli

intervalli equispaziati. Il valore di questa opzione sara

(PA)d = e−rTE[max(AN −K, 0)]. (6)

Un altro tipo d’opzione con la media sul prezzo, e l’opzione Asiatica di

tipo geometrico. Ovvero, nel caso discreto, il payoff dipende dalla media

geometrica del prezzo del sottostante

GN =

(N∏i=1

Si

) 1N

. (7)

La (7) puo essere riscritta nel caso di campionatura continua come

GT = exp

(1

T

∫ T

0

ln(St)dt

). (8)

Cosı il valore della opzione Asiatica a media geometrica con strike price K e

maturity pari a T e data da

(PG)d = e−rTE[max(GN −K, 0)] (9)

nel caso di campionatura discreta. Mentre nel caso continuo avremo

(PG)c = e−rTE[max(AT −K, 0)]. (10)

Introduzione 4

Prezzare l’opzione Asiatica di tipo aritmetico e difficile perche non c’e

un’espressione in forma chiusa della distribuzione della somma di variabili

casuali log-normali dipendenti tra loro. A differenza delle aritmetiche, le

opzioni Asiatiche a media geometrica possono essere prezzate in forma chiusa.

Consideriamo, ad esempio, il caso discreto. Non e difficile dimostrare che

log(GN) e normalmente distribuito con media log(S0) + µaNT e deviazione

standard σbN√T , dove

aN =(N + 1)

2Ne bN =

√(N + 1)(2N + 1)

6N2. (11)

Quindi la densita di GN e

g(x) =1

xσbN√Tφ

(ln(x/S0)− µaNT

σbN√T

), (12)

dove φ(z) = e−z2/2/√

2π e la densita di una gaussiana standard. Quindi

un calcolo abbastanza semplice mostra che il prezzo dell’opzione Asiatica a

media geometrica con campionamento discreto e dato da

(PG)d = e−rT(S0 exp(cN)Φ

(dN + σbN

√T)−KΦ(dN)

), (13)

dove

cN = µaNT +(σbN

√T )2

2, dN =

− log(K/S0) + µaNT

σbN√T

,

e Φ e la funzione di densita cumulata di una normale.

In modo simile, otteniamo la seguente espressione in forma chiusa per il

prezzo dell’opzione Asiatica di tipo geometrico con campionamento continuo

(PG)c = e−rT(S0 exp(c∗)Φ

(d∗ +

1√3σ√T

)−KΦ(d∗)

), (14)

dove

c∗ =1

2µT +

1

6(σ√T )2, d∗ =

√3− log(K/S0) + µT/2

σ√T

,

Simulazione Monte-Carlo 5

Anche se in pratica le opzioni Asiatiche geometriche non sono comunemente

usate, posso essere sfruttate per migliorare le performance dei vari metodi di

calcolo per prezzare le opzioni Asiatiche aritmetiche.

1.2 Simulazione Monte-Carlo

L’approccio Monte-Carlo e molto diffuso grazie alla sua flessibilita ed alla

sua facile implementazione. Generalmente, si articola nei seguenti tre passi:

1. simula delle traiettorie casuali sotto la misura di probabilita neutrale

rispetto al rischio,

2. stima il payoff scontato su ogni traiettoria,

3. fa la media sui payoff scontati.

Il metodo Monte-Carlo puo essere usato per prezzare una vasta gam-

ma di opzioni e puo essere facilmente modificato per incorporare le varie

caratteristiche dei contratti reali.

Per i nostri scopi di simulazione possiamo usare la seguente versione a

tempo discreto dell’equazione (2)

Si = Si−1eµh+σ

√hU , i = 1, . . . , N, (15)

dove Si indica il prezzo del sottostante alla data ti e la variabile casuale U e

presa dalla distribuzione di una normale standard.

Chiaramente questo metodo puo essere utilizzato per prezzare opzioni

Asiatiche con campionamento discreto. Il prezzo della versione a campiona-

mento continuo puo essere stimato prendendo N sufficientemente grande.

Il metodo standard per stimare le derivate matematiche dei contratti,

quali le opzioni, usano la re-simulazione. Se scriviamo come P (α) l’opzione

con α il parametro d’interesse, allora la derivata di P rispetto ad α puo essere


stimata attraverso un’approssimazione alle differenze finite come

P (α + ε)− P (α)

ε

dove ε sia sufficientemente piccolo. Se la stima dei due stimatori e fatta

con pescate di variabili casuali indipendenti, allora si puo provare che la

miglior convergenza possibile e dell’ordine di n−1/4. Stimando la precedente

approssimazione alle differenze finite con lo schema centrato

P (α + ε)− P (α− ε)2ε

incrementa l’ordine di convergenza a n−1/3.

Si scopre inoltre che piu i prezzi P (α) e P (α+ ε) sono correlati positiva-

mente, maggiore e l’efficienza della stima della derivata. Si puo dimostrare

che in alcuni casi l’ordine di convergenza di questi metodi raggiunge n−1/2,

che e il massimo che ci si puo attendere dai metodi Monte-Carlo.

Comunque, nonostante l’aumento di efficienza che si puo ottenere at-

traverso l’utilizzo di precisi numeri casuali (metodi Quasi Monte-Carlo), la

stima basata sull’approssimazione alle differenze finite nell’ambito Monte-

Carlo, pecca principalmente per due difetti: sono distorti e richiedono piu

re-simulazioni. Durante l’ultimo decennio si sono scoperti una serie di meto-

di diretti per la stime delle Greche attraverso la simulazione. Questi metodi

diretti calcolano una stima della Greca richiesta da una singola simulazione,

e quindi non richiedono la re-simulazione con un parametro perturbato. In-

oltre, un altro vantaggio e che questi metodi restituiscono uno stimatore non

distorto.

Uno dei piu efficienti metodi diretti e quello della traiettoria che e basato

su una tecnica generalmente chiamata analisi delle perturbazioni infinites-

imali . L’idea principale di questo metodo e che, per payoff semplici, una

rappresentazione attesa della Greca d’interesse puo essere ottenuta semplice-

mente derivando dentro l’operatore di previsione (dentro la media); il valore

atteso e quindi stimato attraverso classici metodi Monte-Carlo.


Mentre il metodo della traiettoria e basato sulla relazione tra il payoff del

contratto ed il parametro d’interesse, il metodo della verosimiglianza e basato

sulla relazione fra la funzione densita di probabilita del prezzo del sottostante

ed il parametro d’interesse. Questo metodo puo essere utilizzato quando la

densita congiunta delle variabili casuali coinvolte nel problema e esplicita-

mente nota o puo essere approssimata. E dimostrato che, se applicabile, il

metodo e molto efficiente.

Una struttura molto flessibile per la stima delle Greche su proposta da

Fournie et al. Loro mostrarono che sotto alcune condizioni abbastanza gen-

erali, una Greca puo essere rappresentata come una valore atteso del payoff

moltiplicato per una certa funzione peso. Cosı la Greca desiderata puo essere

stimata numericamente tramite simulazione Monte-Carlo e lo stimatore real-

izza l’usuale ordine di convergenza pari a n−1/2. Gli strumenti per calcolare

la funzione peso sono dati dalla teoria del calcolo di Malliavin (che vedremo

nei dettagli nei prossimi capitoli).

E importante notare come gli stimatori ottenuti attraverso gli ultimi due

metodi sono indipendenti dalla funzione del payoff, infatti si applicano a tutte

le funzioni di payoff che dipendono solamente dalla media del prezzo del sot-

tostante. Si noti inoltre come gli stimatori ottenuti attraverso il metodo dei

pesi di Malliavin non siano unici. Si puo ottenere qualunque numero di sti-

matori differenti per la stessa sensitivity che puo avere differenze significative

nella varianza.

Ci sono comunque delle pecche dovute al metodo Monte-Carlo, ma negli

ultimi anni si sono fatti dei passi avanti per colmare queste lacune. Una

delle principali debolezze e l’ordine di convergenza. E disponibile un’ampia

gamma di tecniche per incrementare l’efficienza del metodo Monte-Carlo, la

maggior parte delle quali e indirizzata verso la riduzione della varianza degli

stimatori.

Una delle piu efficaci tecniche di riduzione della varianza e il metodo

della variabile di controllo, dove l’opzione Asiatica con media geometrica a

campionamento discreto e usata come variabile di controllo. Sia PG (rispet-

tivamente PA) il payoff scontato dell’opzione Asiatica a media geometrica


(rispettivamente aritmetica). Allora

PG = E[PG] e PA = E[PA].

Quindi per ogni β ∈ R abbiamo che

PA = E[PA + β(PG − PG)].

Uno stimatore non distorto di PA e cosı fornito da

P cvA = PA + β(PG − PG). (16)

In pratica, β ∈ R e scelto per minimizzare la varianza dello stimatore P cvA .

Un semplice strumento computazionale per risolvere questo problema e la

regressione lineare. Nel caso di opzioni Asiatiche, β e solitamente vicino ad

1.

Fu et al. studiarono l’uso di altre variabili di controllo per opzioni Asi-

atiche, basate su valori della trasformata di Laplace, ma queste sembrano

essere correlate piu debolmente col prezzo dell’opzione. Studiarono inoltre

gli effetti della distorsione dovuta alla discretizzazione nella simulazione e

dimostrarono come questa distorsione puo essere corretta attraverso l’uso di

variabili di controllo appositamente costruite.

In qualche articolo vi e il tentativo di fondere piu tecniche di riduzione

della varianza (citiamo ancora il metodo delle variabili antitetiche, del impor-

tance sampling e del moment matching) ma l’aumento dell’efficienza costa

un notevole incremento nella complessita implementazionale.

Tecniche di riduzione della varianza che si applicano allo stimatore del

prezzo dell’opzione, possono essere spesso applicata agli stimatori della sua

derivata. Sia DA (rispettivamente DG) uno stimatore non distorto di una

Greca dell’opzione Asiatica con media aritmetica (rispettivamente geometri-

ca). Allora

DA = E[DA] e DG = E[DG]


dove DA (rispettivamente DG) e il valore reale della Greca da stimare. Quindi

DA = E[DA + β(DG − DG)]

per ogni β ∈ R. Si noti che DG puo essere calcolato esplicitamente usando la

(13). Uno stimatore non distorto di DA e quindi dato da

DcvA = DA + β(DG − DG).

Il parametro β e scelto per minimizzare la varianza dello stimatore DcvA . Il β

che minimizza la varianza e

β∗ =Cov[DA, DG]

Var[DG]

In linea di principio, il prezzo dell’opzione geometrica stessa potrebbe essere

usata coma variabile di controllo. Tuttavia, scopriamo che in molti casi

l’uso del prezzo dell’opzione come variabile di controllo non produce una

diminuzione della varianza dello stimatore della Greca.

In questa sezione considereremo in dettaglio due metodi per calcolare le

greche dell’opzione Asiatica con media aritmetica usando simulazioni Monte-

Carlo.

1.2.1 Metodo della Traiettoria

Per illustrare l’applicazione di questo metodo, considereremo il problema di

stimare la Delta di un’opzione Asiatica con media geometrica. La stima,

con il metodo della traiettoria, della vera Delta e la derivata del prezzo

campionato PG rispetto ad S0

∆ =dPGdS0

=d

dS0

E[PG]. (17)


Come dimostrato da Broadie e Glasserman, possiamo intercambiare il dif-

ferenziale e l’operatore di media nella (17) ottenendo

∆ =d

dS0

E[PG] = E[dPGdS0

].

Si puo facilmente verificare usando la (7) che

dPGdS0

=dPGdGN

· dGN

dS0

= e−rT1GN>KGN

S0

, (18)

dove 1. indica la funzione indicatrice dell’evento nella parentesi. Cosı

otteniamo

∆ = e−rTE[1GN>K

GN

S0

]. (19)

In modo analogo otteniamo le seguenti rappresentazioni per la Vega e per il

Rho

V = e−rTE[1GN>K

1

σ

(ln

(GN

S0

)− aNT

(r +

σ2

2

))],

e

P = e−rTE[1GN>KT (K − (1− aN)GN)

].

Il caso della Gamma e leggermente piu complicato. Usando la (18) e notando

che GN/S0 non dipende da S0 otteniamo che

d2P

dS20

= e−rTGN

S0

d

dS0

(1GN>K) = e−rT(GN

S0

)2

δ(K), (20)

dove δ indica la delta di Dirac. Ancora, possiamo scambiare la derivata e la

media.

Γ = E

[d2P

dS20

]= e−rTE

[(GN

S0

)2

δ(K)

]

= e−rT(K

S0

)2

g(K), (21)


dove g e data dalla (12). Cosı otteniamo la seguente rappresentazione della

Gamma

Γ = e−rT(K

S0

)21

KσbN√Tφ

(ln(K/S0)− aNT (r − σ2/2)

σbN√T

), (22)

dove a e b sono dati in (11). Si noti che la (22) non prevede l’utilizzo di

variabili casuali. Otteniamo cosı il seguente teorema.

Teorema 1.1. I seguenti sono stimatori non distorti, ottenuti con il meto-

do della traiettoria, della derivata indicata del prezzo di un’opzione Asiatica

geometrica con campionamento discreto

∆ : e−rT1GN>KGN

S0

,

Γ : e−rT(K

S0

)21

KσbN√Tφ

(ln(K/S0)− aNT (r − σ2/2)

σbN√T

),

V : e−rT1GN>K1

σ

(ln

(GN

S0

)− aNT

(r +

σ2

2

)),

P : e−rT1GN>KT (K − (1− aN)GN).

Il caso dell’opzione Asiatica aritmetica e molto simile. L’unica significati-

va differenza e che per ottenere la (22) dalla (21) abbiamo bisogno di sapere

la densita di GN in K. Non c’e una forma chiusa per la densita di AN , ma

puo essere stimata attraverso simulazione. Per ogni x ∈ R abbiamo che

P (AN ≤ x) = P (SN ≤ CN(x)),

dove

CN(x) = Nx−N−1∑i=1

Si. (23)

Condizionando rispetto a S1, . . . , SN−1 otteniamo

P (AN ≤ x) = E[P (SN ≤ CN−1)|S1, . . . , SN−1]. (24)


E facile verificare che

P (SN ≤ CN(x)|S1, . . . , SN−1) = 1CN (x)>0Φ(RN(x)), (25)

dove

RN(x) =1

σ√h

(ln

[CN(x)

SN−1

]− µh

)(26)

e Φ e la funzione di ripartizione di una normale. Differenziando la (24)

rispetto ad x ed usando la (25) e la (26) otteniamo la seguente espressione

per la densita di AN

a(x) = E[

1

σ√h

N

CN(x)φ(RN(x)|S1, . . . , SN−1)

], (27)

dove φ e la funzione densita di probabilita della distribuzione di una normale

standard.

Teorema 1.2. I seguenti sono stimatori non distorti, ottenuti con il meto-

do della traiettoria, della derivata indicata del prezzo di un’opzione Asiatica

aritmetica con campionamento discreto

∆ : e−rT1GN>KANS0

,

Γ : e−rT1AN>K1CN>K

(ANS0

)21

σ√h

N

CN(K)φ(RN(K)),

V : e−rT1AN>K1

σΦN ,

P : e−rT1AN>K(A1N − T (AN −K)

).

dove

A1N =

1

N

N∑i=1

tiAi, ΦN =1

N

N∑i=1

Si

(ln

(SiS0

)− µti

),

e CN e RN sono dati, rispettivamente, dalla (23) e dalla (26).


1.2.2 Stimatori di Massima Verosimiglianza

Come gia accennato, il metodo di massima verosimiglianza e basato sulla

relazione fra la funzione densita di probabilita del prezzo del sottostante del-

l’opzione ed il parametro d’interesse. Procediamo con l’esempio dell’opzione

Asiatica di tipo geometrico. Possiamo riscrivere la (9) nella forma

PG =

∫ ∞0

e−rT max(x−K, 0)g(x)dx, (28)

dove g(x) e la densita di GN data in (12). Assumendo di poter scambiare

derivata ed integrale nella (28), otteniamo

dPGdS0

=

∫ ∞0

e−rT max(x−K, 0)∂g(x)

∂S0

dx. (29)

Moltiplicando e dividendo l’integrando in (29) per g(x), possiamo distinguere

nell’integrale il valore atteso ed i rendimenti.

dPGdS0

=

∫ ∞0

e−rT max(x−K, 0)∂ ln(g(x))

∂S0

g(x)dx.

E facile verificare che

∂ ln(g(x))

∂S0

=1

S0σbNTDN ,

dove

DN =ln(GN/S0)− aNT (r − σ2/2)

σbN√T

(30)

Otteniamo cosı la seguente rappresentazione per la Delta

∆ =dPGdS0

= E[e−rT max(GN −K, 0)

1

S0σbN√TDN

].

Rappresentazioni per la Vega e la Rho sono ottenuti nello stesso modo. Per

ottenere una rappresentazione della Gamma, dobbiamo differenziare la (28)


due volte.d2PGdS2

0

=

∫ ∞0

e−rT max(x−K, 0)∂2g(x)

∂S20

dx.

Moltiplicando e dividendo l’integrando per g(x) come in precedenza otteni-

amod2PGdS2

0

=

∫ ∞0

e−rT max(x−K, 0)1

g(x)

∂2g(x)

∂S20

g(x)dx.

Quindi possiamo scrivere la seguente rappresentazione per la Gamma

Γ =d2PGdS2

0

= E[e−rT max(x−K, 0)

1

g(x)

∂2g(x)

∂S20

].

E abbastanza facile verificare che

1

g(x)

∂2g(x)

∂S20

=D2N − σbN

√TDN − 1

S20σ

2b2NT

Teorema 1.3. I seguenti sono stimatori non distorti, ottenuti con il metodo

della massima verosimiglianza, della relativa derivata del prezzo di un’opzione

Asiatica geometrica

∆ : e−rT max(GN −K, 0)1

S0σbN√TDN ,

Γ : e−rT max(GN −K, 0)D2N − σbN

√TDN − 1

S20σ

2b2NT

,

V : e−rT max(GN −K, 0)

(bN√TD2

N − σaNTDN − bN√T

σbN√T

),

P : e−rT max(GN −K, 0)

(−T +

aN√T

σbNDN

),

dove DN e dato in (30)

Per ottenere degli stimatori di massima verosimiglianza per le opzioni

Asiatiche a media aritmetica, dobbiamo considerare ancora una volta che la

funzione densita per AN non e disponibile in forma chiusa, quindi bisogna

utilizzare la rappresentazione (27).

Metodo Analitico 15

Teorema 1.4. I seguenti sono stimatori non distorti, ottenuti con il metodo

della massima verosimiglianza, della relativa derivata del prezzo di un’opzione

Asiatica aritmetica

∆ : e−rT max(AT −K, 0)1

S0σ√hD1,

Γ : e−rT max(AT −K, 0)D2

1 −D1σ√h− 1

S20σ

2h,

V : e−rT max(AT −K, 0)1

σ

N∑i=1

(D2i − σ

√hDi − 1

),

P : e−rT max(AT −K, 0)

(−T +

√h

σ

N∑i=1

Di

),

dove per ogni i = 1 . . . N

Di =1

σ√h

(ln

(SiSi−1

)−(r − 1

2σ2

)h

).

1.3 Metodo Analitico

Prezzare opzioni Asiatiche di tipo aritmetico e difficile poiche non vi e una

espressione in forma chiusa per la distribuzione della media aritmetica del

processo log-normale. Tuttavia, si puo approssimare questa distribuzione

tramite un fitting di diverse distribuzioni, usando cosı delle approssimazioni.

Turnbull, Wakeman e Levy usano un’espansione della serie di Edgeworth per

approssimare la funzione densita della media aritmetica della densita di una

log-normale. Turnbull e Wakeman forniscono inoltre un algoritmo per cal-

colare i momenti della media aritmetica. Il metodo della serie di Edgeworth

lavora bene per scadenze brevi, mentre la qualita dell’approssimazione de-

teriora per scadenze piu lunghe. Effettivamente il fattore che determina la

bonta del metodo e il valore di σ2T . Milevsky e Posner usano il metodo del

moment-matching per approssimare la funzione densita della media aritmet-

ica con il reciproco della densita di una Gamma e una densita della famiglia

Johnson. Una mancanza grave di tutti questti metodi e che non forniscono

Metodo Analitico 16

un reale metodo per stimare o controllare l’errore d’approssimazione che si

commette.

Recentemente Ju ha fornito una formula accurata per l’approssimazione

della funzione caratteristica della media. Ha usato lo sviluppo di Taylor

rispetto alla volatilita attorno allo zero per approssimare il rapporto del-

la funzione caratteristica della media e dell’approssimazione della variabile.

Questa e una modifica al metodo della perturbazione, dove un problema

senza soluzione e risolto approssimando la soluzione attorno a determinati

parametri. Questo metodo e stato sviluppato in un contesto piu generale,

quello dei basket option, ed applicato sia ai casi di campionamento continuo

che ai casi di campionamento discreto di opzioni Asiatiche con media ar-

itmetica. La sua formula approssimata e abbastanza semplice ed accurata.

Inoltre la precisione puo essere aumentata semplicemente includendo ulteriori

termini dello sviluppo di Taylor.

Numerosi autori hanno tentato di stimare dei limiti superiori ed inferiori

per il prezzo di un’opzione Asiatica attraverso il condizionamento di alcune

variabili. Curran ottenne un limite inferiore condizionando sul prezzo medio

geometrico. Roger e Shi hanno ottenuto un limite inferiore ed uno superiore

condizionando rispetto al logaritmo della media geometrica. Thompson ha

ricavato un limite superiore piu preciso ed uno inferiore piu semplice da sti-

mare ma di pari accuratezza rispetto a quelli di Roger e Shi. La differenza

fra limite superiore ed inferiore puo essere utilizzato per stimare un errore

del metodo, ma un modo sistematico per aumentare la precisione del meto-

do e difficile da trovare. Questo rende abbastanza difficile utilizzare questo

metodo per stimare le sensitivities del prezzo. Nielsen e Sandmann hanno

considerevolmente raffinato i limiti di Roger e Shi e fornito un certo numero di

limiti analitici superiori ed inferiori, che dipendono dallo strike. Questi limiti

possono anche essere utilizzati per ricavare approssimazioni delle Greche.

Kaas, Dhaene e Goovaerts hanno sviluppato un modello generale per cal-

colare il comonotonic bounds di una somma di variabili casuali data la loro

distribuzione marginale. Loro si sono concentrati su le opzioni Asiatiche

aritmetiche con campionamento discreto, ma il loro metodo puo essere uti-

lizzato per ottenere vincoli ragionevolmente precisi anche per le opzioni a

Metodo Analitico 17

campionamento continuo.

Infine un gran numero di risultati sono basati sul ricavare una espressione

esplicita per il prezzo dell’opzione Asiatica aritmetica o alcuni suoi funzionali.

A meta degli anni novanta, la ricerca in quest’area ha avuto una notevole

spinta grazie al risultato fondamentale di Yor che uso la teoria di Hartman-

Watson per esprimere il prezzo di un’opzione Asiatica con media aritmetica

come un integrale triplo.

Nonostante cio il prezzo di un’opzione Asiatica di tipo aritmetico non e

disponibile in forma chiusa, Geman e Yor furono capaci pero di calcolare

la sua trasformata di Laplace. Questa trasformata puo essere invertita nu-

mericamente usando dei metodi standard. Geman e Eydeland usarono una

approssimazione della tecnica Fast Fouries inversion, Shaw uso l’integrale

sul contorno di Bromwich. Fu et al. confrontarono diversi metodi di inver-

sione. Osservarono che tutti i metodi basati sull’inversione della trasformata

di Laplace andavano incontro a numerose instabilita numeriche per basse

volatilita e brevi scadenze. Piu tardi Shaw affronto alcuni di questi problemi

proponendo dei metodi asintotici per i casi a bassa volatilita.

Dufresne uso lo sviluppo di Laguerre per determinare la distribuzione

dell’integrale di un moto Browniano geometrico ed usare questi risultati per

ottenere ancora un’altra rappresentazione per il prezzo dell’opzione Asiatica

aritmetica. Linetsky uso un approccio in qualche modo simile per ricavare

due differenti rappresentazioni del prezzo dell’opzione. La prima rappresen-

tazione e una serie infinita di termini che coinvolgono funzioni Whittaker. La

seconda rappresentazione e un singolo integrale reale di un’espressione che

coinvolge funzioni Whittaker piu un numero finito di termini che compren-

dono funzioni Gamma incomplete e polinomi di Laguerre1. Vediamo adesso

alcuni di questi metodi nel dettaglio

1.3.1 Approssimazione Comonotonica

Assumiamo che X1, . . . , Xn siano variabili casuali (non necessariamente in-

dipendenti) con distribuzioni marginali note e siano S = X1 +· · ·+Xn. Sia U

1Per le definizioni di questi strumenti, guardare in Appendice A

Metodo Analitico 18

una variabile casuale uniformemente distribuita su [0, 1] e sia Λ una variabile

casuale arbitraria, indipendente da U e tale che le distribuzioni condizionate

FXi|Λ siano note. Sia

Sl = E[Xi|Λ] + · · ·+ E[Xn|Λ],

Sc = F−1X1

(U) + · · ·+ F−1Xn

(U),

Su = F−1X1|Λ(U) + · · ·+ F−1

Xn|Λ(U).

Si puo dimostrare che

E[S] = E[Sl] = E[Su] = E[Sc]

e per ogni K ∈ R

E[(Sl −K)+] ≤ E[(S −K)+] ≤ E[(Su −K)+] ≤ E[(Sc −K)+].

Le disequazioni riportate sopra possono essere utilizzate per ottenere vari

limiti superiori ed inferiori per il prezzo di un’opzione Asiatica a campi-

onamento discreto. Per esempio non e difficile mostrare che il prezzo di

un’opzione Asiatica discreta puo essere limitata da sopra da qualche media

pesata del prezzo di opzioni Europee. Questo avviene per ogni K e per ogni

Ki, i = 1, . . . , n tali che K = K1 + . . .+Kn, ed otteniamo

E[(S −K)+] ≤n∑i=1

[(Xi −Ki)+].

Si puo utilizzare la relazione fra S ed Sc data sopra per trovare i valori

K∗1 , . . . , K∗n che ottimizzano questo vincolo, ovvero

n∑i=1

[(Xi −K∗i )+] ≤ minn∑i=1

[(Xi −Ki)+],

dove il minimo e preso fra tutte le possibili n-uple (K1, . . . , Kn) tali che K =

K1+. . .+Kn. Questo rendimento e chiamato vincolo superiore comonotonico

per il prezzo di un’opzione Asiatica discreta.

Metodo Analitico 19

Si puo usare la piu fine relazione che coinvolge Su per ottenere un piu

preciso limite superiore. Vanmaele et al. hanno usato la comonotonicita

assieme alle idee di Roger e Shi, Curran, Nielsen e Sandmann per sviluppare

un’unica struttura per calcolare limiti superiori ed inferiori per un’opzione

Asiatica aritmetica di tipo discreto. Hanno fornito una serie di limiti superiori

ed inferiori per il prezzo e hanno sfruttato questi limiti per calcolare la Delta,

Gamma e Vega di queste opzioni. Questo modello e abbastanza generale da

adattarsi alle opzioni Asiatiche sia con fixed strike che con floating strike, sia

ad un’ampia gamma di modelli per il processo dei prezzi del sottostante.

Per approssimare opzioni Asiatiche di tipo continuo si puo, molto sem-

plicemente, incrementare sufficientemente i tempi di campionamento. Tut-

tavia, esperimenti numerici suggeriscono che il vero prezzo di un’opzione

Asiatica a campionamento continuo cade fuori dai vincoli imposti dal limite

superiore ed inferiore della corrispondente opzione a campionamento discre-

to. Il limite inferiore dell’opzione a campionamento discreto converge mono-

tonicamente al prezzo reale dell’opzione di tipo continuo all’aumentare degli

istanti di campionamento.

1.3.2 Rappresentazione Integrale

Usando la scaling rule del moto Browniano si puo ridurre il problema di

calcolare il prezzo di PA a quello di calcolare il prezzo normalizzato di

CA(ν, τ, κ) = E[max(A(ν)

τ − κ, 0)], (31)

Dove A(ν) e il processo di Yor

A(ν)t =

∫ t

0

e2(Ws+νs)ds. (32)

Piu precisamente, siano

ν =2r

σ2− 1, τ =

σ2T

4, κ =

K

S0

τ (33)

Metodo Analitico 20

il tasso d’interesse normalizzato ed aggiustato, il time to maturity normaliz-

zato e lo strike price normalizzato rispettivamente. Allora

PA = e−rTS0

τCA(ν, τ, κ), (34)

dove CA(ν, τ, κ) e definito dalla (31).

Yor ha scritto la densita condizionale di A(ν)τ , e di conseguenza il prezzo

normalizzato di CA(ν, τ, κ), in funzione della densita di Hartman-Watson

fr(t), r > 0, che e definita tramite la trasformata di Laplace∫ ∞0

exp

(−λ

2

2

)fr(s)ds =

I|λ|I0(r)

. (35)

Yor ha mostrato che

P(A(ν)τ ∈ du|Wτ + ντ = x

)=

√2πτ

uexp

(x2

2τ− 1

2u(1 + e2x)

)·

·I0

(ex

u

)fex/u(τ)du (36)

La densita di A(ν)τ puo essere ottenuta integrando (36) rispetto alla densita

normale con media ντ e varianza τ . Questo a sua volta porta alla seguente

rappresentazione integrale per il prezzo dell’opzione normalizzato CA(ν, τ, κ)

CA(ν, τ, κ) = exp

(−τν

2

2

)∫ ∞0

∫ ∞0

(u− κ)+exν exp

(−1− e2x

2u

)·

·I0

(ex

u

)fex/u(τ)dudx (37)

Yor ha inoltre fornito la seguente rappresentazione esplicita per fr(t)

fr(τ) = cr

∫ ∞0

ψr(τ, y)dy, (38)

Metodo Analitico 21

dove

cr(τ) =1

I0(r)

r√2π2τ

exp

(π2

2τ

),

ψr(τ, y) = exp

(−y2

2τ

)exp(−r cosh(y)) sinh(y) sin

(πyτ

)Si noti che, nonostante la densita fu(τ) sia data da (38), l’integrale (37) e

difficile da calcolare numericamente per piccoli valori di τ . Questo fenomeno

e discusso da numerosi autori. In particolare, Barrieu et al. hanno osservato

quello che hanno poi chiamato come puzzling phenomenon, ovvero che la

frequenza d’oscillazione e la dimensione della densita simulata fr(τ) cresce

al tendere di τ a 0.

Per spiegare questo comportamento, notiamo che cr(t) cresce esponen-

zialmente all’avvicinarsi di t a 0. Dall’altra parte invece∫∞

0ψr(t, y)dy de-

cresce in valore assoluto ancora piu rapidamente. Quindi, per ottenere un

accurato valore per fr(t) per piccoli valori di t, ci sarebbe bisogno di calco-

lare∫∞

0ψr(t, y)dy con una sufficientemente alta precisione. Sfortunatamente,

questo integrale e difficile da stimare numericamente per piccoli valori di t

dovuti alla natura oscillante dell’integrando (vedere Figura 1).

Figura 1: L’integrando ψ0.5(t, y) per t = 1.0 e t = 0.1.

Come alternativa, possiamo calcolare la trasformata di Laplace di CA(ν, τ, κ).

Metodo Analitico 22

Questo puo essere fatto sia direttamente che integrando la (37) e poi usare

la definizione (35)

U(s) =

∫ ∞0

CA(ν, t, κ)(t)e−stdt

=1

s(s− 2ν − 2)Γ(µ−ν2− 1)

∫ 1/2κ

0

xµ−ν

2−2(1− 2κx)

µ−ν2

+1e−xdx

Se definiamo

a =µ− ν

2+ 2, b = µ+ 1

c = ν + 1, z =1

2κ

allora possiamo scrivere in forma piu compatta che

U(s) =1

(s− 2c)Γ(b− a)

∫ z

0

xb−a−1(1− x

z)a−1e−xdx (39)

Facendo il cambio di variabile x = zt e sfruttando il fatto che∫ 1

0

tb−a−1(1− t)a−1ez(1−t)dt =Γ(b− a)Γ(a)

Γ(b)M(a, b, z), (40)

otteniamo che

U(s) =zb−ae−zΓ(a)

s(s− 2c)Γ(b)M(a, b, z). (41)

Qui M(a, b, z) indica la funzione confluente ipergeometrica di Kummer Sara

in qualche modo piu conveniente usare la seguente espressione per PA

PA = 2e−rTKF (τ), (42)

dove F e l’inverso della trasformata di Laplace di

F (s) = zU(s) = C(a, b, c, z) ·M(a, b, z) (43)

e

C(a, b, c, z) =zb−a+1e−zΓ(a)

s(s− 2c)Γ(b). (44)

Metodo Analitico 23

Questa rappresentazione puo anche essere utilizzata per calcolare le sensitiv-

ities del prezzo dell’opzione. Questo puo essere fatto in piu modi. Ovvia-

mente, possiamo sempre calcolare il prezzo dell’opzione con sufficiente pre-

cisione e poi usare un’approssimazione alle differenze finite per stimare le

sensitivities. Tuttavia, possiamo anche differenziare la funzione trasformata

F (s) e calcolare quindi la trasformazione di Laplace inversa della derivata

(ammesso che si possa invertire l’ordine di integrazione e derivazione). Per

esempio otteniamo la seguente formula per la Delta

∆ =∂

∂S0

PA =∂

∂S0

2e−rTKF (τ) = 2e−rTKF1(τ), (45)

dove

F1(s) =∂

∂S0

F (s).

Notando che

∂a

∂S0

=∂b

∂S0

=∂c

∂S0

= 0 e∂z

∂S0

=z

S0

possiamo ricavare la seguente espressione per F1

F1(s) =z

S0

(∂

∂zC(a, b, c, z)M(a, b, z) + C(a, b, c, z)

∂

∂zM(a, b, z)

)=

z

S0

C(a, b, c, z)

z· [M(a, b, z) + (b− a)M(a− 1, b, z)]. (46)

Sottolineamo il fatto che questa rappresentazione fornisce un significativo in-

cremento dell’efficienza rispetto allo schema tradizionale alle differenze finite.

In generale il solo modo per calcolare la funzione confluente ipergeometrica

e quello di utilizzare lo sviluppo di Taylor. In alcuni casi possiamo utiliz-

zare risultati asintotici, ma questi non sono in grado di fornire una adeguata

accuratezza per tutti i valori dei parametri. D’altra parte, la serie iperge-

ometrica potrebbe convergere molto lentamente alla precisione desiderata,

quindi ridurre il numero di stime per la funzione confluente ipergeometrica

puo avere un significativo impatto sulla performance dell’algoritmo. Notiamo

che F1(s) puo essere rappresentata come una singola serie con approssimati-

Metodo Analitico 24

vamente le stesse proprieta di convergenza dell’originale. Quindi, calcolare la

Delta direttamente permette almeno di raddoppiare la velocita dell’ordinario

schema alle differenze finite. In modo simile

Γ =∂

∂S0

∆ =∂

∂S0

2e−rTKF1(τ) = 2e−rTKF2(τ), (47)

dove

F2(τ) =∂

∂S0

F1(τ)

=

(z

S0

)2∂

∂z

(C(a, b, c, z)

z· [M(a, b, z) + (b− a)M(a− 1, b, z)]

)=

(z

S0

)2

C(a, b, c, z)b− az2

[(a− 1)M(a, b, z) + (b+ 2− z − 2a)M(a− 1, b, z)].

In generale, per differenziare F (s) rispetto ad un parametro α, usiamo la

seguente formula

d

dα(C(a, b, c, z)M(a, b, z)) =

d

dαC(a, b, c, z)·M(a, b, z)+C(a, b, c, z)

d

dαM(a, b, z)

Non e difficile da vedere che

∂

∂aC(a, b, c, z) = C(a, b, c, z)(ψ(a)− ln(z)),

∂

∂bC(a, b, c, z) = C(a, b, c, z)(ln(z)− ψ(b)),

∂

∂cC(a, b, c, z) =

2

s− 2cC(a, b, c, z),

∂

∂zC(a, b, c, z) =

b− a+ 1− zz

C(a, b, c, z).

Quindi, per ogni parametro α abbiamo che

∂

∂αC(a, b, c, z) = C(a, b, c, z)

((ψ(a)− ln(z)) · da

dα+ (ln(z)− ψ(b)) · db

dα+

+2

s− 2c· dcdα

+b− a+ 1− z

z· dzdα

), (48)

Metodo Analitico 25

dove a, b, c, z sono considerate funzioni di α. Allo stesso modo

∂

∂αM(a, b, z) =

∂

∂aM(a, b, z)

da

dα+

∂

∂bM(a, b, z)

db

dα+

∂

∂zM(a, b, z)

dz

dα. (49)

Per esempio, per ottenere un’espressione per la Vega, possiamo usare la (48)e

la (49) con α pari a σ. In questo caso

da

dσ= −2

νr

µσ3− ν + 1

σ,

db

dσ= −4

νr

µσ3

dc

dσ= −2

ν + 1

σ,

dz

dσ= −2

z

µσ.

Per ottenere un’espressione per la Rho, usiamo la (48)e la (49) con α pari a

r, ed otteniamo che

da

dr=

ν

µσ2+

1

σ2,

db

dr= 2

ν

µσ2

dc

dr=

2

σ2,

dz

dr= 0.

Ci sono oltre cento algoritmi disponibili per l’inversione numerica di una

trasformata di Laplace. Si possono dividere principalmente in quattro cate-

gorie: sviluppo in serie di Fourier, sviluppo in serie di Laguerre, funzionali di

Gaver, e deformazione del bordo di Bromwich. L’inversione della trasformata

di Laplace e noto che sia instabile a fissate precisioni della macchina, percio

il grosso dello sforzo nei metodi tradizionali e diretto a controllare gli errori

di arrotondamento. In un recente articolo Abate e Valko hanno suggerito

di usare il multi-precision computing per controllare l’accuratezza dei calcoli

intermedi. Hanno presentato un metodo di Talbot modificato ed un metodo

basato sui funzionali di Gaver. Questi due metodi sembrano essere i piu ef-

ficienti per l’inversione della trasformata (42).

Il punto di partenza per il metodo di Talbot e la formula di inversione

standard

f(t) =1

2πi

∫B

etsf(s)ds, (50)

Metodo Analitico 26

dove B e una linea verticale definita da s = γ+it e γ e un fissato valore scelto

affinche B e a destra di tutte le singolarita di f(s). Se f(s) ha singolarita

nel semipiano positivo e il valore massimo della loro parte reale e p, allora

f(t) = eptf(s+ p), (51)

dove f(s + p) non ha piu singolarita nel semipiano positivo. Nel nostro

caso p = 2c = 2(ν + 1). Una integrazione numerica diretta lungo B e

improponibile per le oscillazioni di est visto che la parte immaginaria di s

tende ad infinito. Non e difficile vedere che la convergenza dell’integrale

(50) sarebbe notevolmente migliorata se s potesse assumere valori con una

parte reale fortemente negativa. Questo puo essere ottenuto deformando il

contorno B in un percorso aperto L che parta e finisca nel semipiano negativo,

cosı che s tenda a −∞ ad ogni estremita. Questa sostituzione e possibile se

nessuna singolarita di f(s) viene incrociata con la deformazione di B. Il

contorno di Talbot e quindi della forma

s(θ) = α + λsβ(θ), −π < θ < π, (52)

dove

sβ(θ) = θ cot(θ) + iβθ.

Se sostituiamo il contorno B con (52), l’integrale (50) avra la forma

f(t) =λ

2πi

∫ π

−πeλtsβ(θ)f(α + λsβ(θ))s′β(θ)dθ, (53)

con

s′β(θ) = i

(β +

θ − cos(θ) sin(θ)

sin2(θ)

)Possiamo approssimare il valore dell’integrale in (53) usando la regola del

trapezio con ampiezza del passo pari a π/N . Non e difficile verificare che i

parametri ottimali per la trasformata (43) sono

α = 0, β = 1, e λ =2M

5t,

Metodo Analitico 27

dove M e il numero delle cifre decimali di precisione fornite dalle normali

operazioni con i floating . Abbiamo cosı la seguente approssimazione per

l’integrale (53)

f(t) =λ

N

(1

2f(eλt) +

N−1∑k=1

[ets(θk)f(s(θk))(1 + iu(θk))]

), (54)

dove

θk =kπ

Ne u(θ) = θ + (θ cot(θ)− 1) cot(θ).

Come descritto da Abate e Valko, f(t) puo essere calcolato come limite

di una successione di funzionali di Galvor:

Gn0 =

nα

tf(nαt

), 1 ≤ n ≤ 2N,

Gnk =

(1 +

n

k

)Gnk−1 −

n

kGn+1k−1 , k ≥ 1, n ≥ k,

fk(t) = Gkk.

Si puo dimostrare che

limk→∞

fk(t) = f(t).

Tuttavia, la convergenza e molto lenta poiche f(t)− fk(t) ' c/k per k →∞.Per raggiungere una buona approssimazione, bisogna utilizzare un algoritmo

di accelerazione della convergenza per la successione fk(t).

Valko ed Abate hanno studiato diversi algoritmi per l’accelerazione per

i funzionali di Gaver. Hanno trovate che il miglior schema d’accelerazione e

l’algoritmo rho di Wynn, che e dato dalla formula ricorsiva

ρn−1 = 0, ρn0 = fn(t), n ≥ 0,

ρnk = ρn+1k−1 +

k

ρn+1k−1 − ρnk−1

, k ≥ 1.

L’approssimazione di f e ottenuta come ρ0N . Osserviamo che i calcoli so-

pra riportati sono instabili, quindi ad una precisione-macchina fissata, al

Metodo Analitico 28

crescere di N la precisione aumentera solo fino ad un certo punto, dopodiche

la precisione crollera rapidamente. Come soluzione a questo problema, si

puo pensare ad aumentare la precisione-macchina al crescere di N . Valko ed

Abate suggeriscono 2.1 ∗N come numero ottimale delle cifre decimali.

1.3.3 Approssimazione di Taylor

L’idea principale dietro questo metodo e quella di usare la distribuzione log-

normale per approssimare la media di variabili casuali log-normali corre-

late. Per essere piu precisi, immaginiamo un mercato fittizio in cui tutte

le volatilita sono scalate dello stesso parametro z. Scegliamo una variabile

casuale normale Y (z) con media m(z) e varianza ν(z) tale che i primi due

momenti di eY (z) e AT (z) coincidano. Entrambi i momenti possono essere

facilmente ricavati in forma chiusa. Sia X(z) = ln(AT (z)). Per ottenere la

funzione densita di X(z) possiamo considerare la sua funzione caratteristica

E[eiφX(z)

]= E

[eiφY (z)

]f(z),

dove

f(z) =E[eiφX(z)

]E [eiφY (z)]

e il rapporto della funzione caratteristica di X(z) e Y (z). Ju ha fornito

lo sviluppo di Taylor di f(z) attorno a z = 0 fino al sesto ordine. Si puo

usare questo sviluppo per approssimare la funzione densita di X(z) che a sua

volta puo essere usata per ottenere una formula approssimata per il prezzo

dell’opzione.

Teorema 1.5. Il prezzo di un’opzione call Asiatica puo essere approssimato

da

V = e−rT [U1Φ(y1)−KΦ(y2)] + e−rTK ·[z1p(y) + z2

d

dyp(y) + z3

d2

dy2p(y)

],

(55)

dove

y = log(K), y1 =m1 − y√

ν1

+√ν1, y2 = y1 −

√ν1,

Metodo Analitico 29

m1 = 2 lnU1 −1

2lnU2, ν1 = lnU2 − 2 lnU1,

U1 = S0erT − 1

r,

U2 =2S2

0

T 2(r + σ2)

(e(2r+σ2)T − 1

2r + σ2− erT − 1

r

),

Φ e la funzione di distribuzione di una normale standard, p e la densita

normale con media m1 e deviazione standard ν1, e le costanti z1, z2, z3 sono

le seguenti

z1 =

(− 1

113 400σ4T 6 − 59

5 987 520σ6T 7

)r4

+

(− 23

453 600σ6T 6 +

1

2 520σ4T 5

)r3

+

(17

226 800σ6T 5 +

11

15 120σ4T 4

)r2

+

(13

30 240σ6T 4 − 1

180σ4T 3

)r − 1

45σ4T 2 − 1

11 340σ6T 3,

z2 =

(− 1

226 800σ4T 6 +

953

59 875 200σ6T 7

)r4

+

(− 19

302 400σ6T 6 +

1

5 040σ4T 5

)r3

+

(− 37

151 200σ6T 5 +

11

30 240σ4T 4

)r2

+

(11

60 480σ6T 4 − 1

360σ4T 3

)r − 1

90σ4T 2 +

31

22 680σ6T 3,

z3 =13

1 247 400σ6T 7r4 − 17

907 200σ6T 6r3

− 2

14 175σ6T 5r2 − 1

60 480σ6T 4r − 2

2 835σ6T 3.

Il caso dell’opzione Asiatica a media aritmetica e campionamento discreto

e molto simile.

Metodi alle Differenze Finite 30

1.4 Metodi alle Differenze Finite

I metodi alle differenze finite costituiscono un mezzo molto flessibile ed ef-

ficiente per prezzare opzioni Asiatiche. In particolare, questi sono gli unici

metodi che sono percorribile in caso si consenta l’esercizio anticipato delle

opzioni.

In generale, il prezzo di un’opzione Asiatica puo essere calcolato risol-

vendo una equazione alle derivate parziali in due dimensioni. Un modello

del tipo Black-Scholes e stato introdotto da Kemma e Vorst assieme a con-

dizioni al bordo ben definite. Roger e Shi hanno formulato una equazione alle

derivate parziali in una sola dimensione che puo modellare opzioni Asiatiche,

sia con floating strike che con fixed strike. Tuttavia quest’equazione e di diffi-

cile risoluzione numerica. Hoogland e Neumann hanno invece sviluppato una

struttura alternativa per prezzare vari tipi di opzioni usando metodi di scale

invariance e ricavato soluzioni semi-analitiche per prezzi di opzioni Asiatiche

a campionamento continuo.

Recentemente D’Halluin et al. hanno proposto un metodo semi-Lagrangiano

per prezzare opzioni Asiatiche con fixed strike. Ad ogni istante di tempo, un

serie di equazioni integro-differenziali parziali ad una dimensione e risolta, e

la soluzione e aggiornata usando passi temporali semi-Lagrangiani. Gli au-

tori ne hanno tratto risultati monotonici e stabili. Hanno inoltre indagato

sulla natura dei problemi che sorgono quando la volatilita e bassa. Questo

lavoro e importante poiche permette di maneggiare sia modelli con salti che

l’esercizio anticipato.

La seconda classe di metodi alle differenze finite sono i metodi ad albero

modificati. Il difficile, quando si valuta opzioni Asiatiche di tipo aritmetico in

un approccio ad albero, e che il numero di possibili valori della media, cresce

esponenzialmente col numero di passi temporali dell’albero; non e possibile

nessuna ricombinazione a differenza di quanto avviene per le geometriche.

Hull e White hanno suggerito di tenere conto solo di una piccola parte dei

possibili valori per la media ad ogni nodo, usando l’interpolazione quando

si vuole usare valori intermedi. Klassen ha trattato varie questioni tecniche

legate all’efficienza ed all’implementazione dil metodo di Hull e White.


Un preciso metodo semi-analitico per prezzare e fare copertura di opzioni

Asiatiche a campionamento continuo e stato proposto da Zhang. Usando tec-

niche di rimozione delle singolarita, ha ottenuto una formula approssimata

per il prezzo delle opzioni Asiatiche ed ha mostrato che questa risolve un’altra

equazione alle derivate parziali, che e facilmente risolvibile numericamente e

con alta precisione. Zhang oltre ad aver sviluppato questo metodo, ha di-

mostrato che l’equazione a derivate parziali che governa il termine d’errore

puo essere risolta a sua volta, fornendo cosı un secondo ordine di approssi-

mazione. Il termine d’errore del secondo ordine e governata anch’essa da

un’altra equazione differenziale parziale, e di nuovo e possibile risolvere an-

ch’essa. Zhang ha presentato risultati analitici fino al quarto ordine ed ha

dimostrato che il processo converge rapidamente e da un risultato accurato.

1.4.1 Il metodo semi-analitico di Zhang

Il punto di partenza per il metodo di Zhang e l’equazione differenziale di

Black-Scholes

∂P

∂t+ S

∂P

∂I+

1

2σ2S2∂

2P

∂S2+ rS

∂P

∂S− rP = 0, (56)

dove P = P (S, I, t), soggetto alle condizioni iniziali

P (S, I, T ) = max

(I

T−K, 0

).

Il prezzo dell’opzione Asiatica e data da

P (S0, 0, 0);

Ripercorrendo Roger e Shi, si puo applicare la trasformazione

ξ =TK − 1

Se−rτ − 1

r(1− e−rτ ),

τ = T − t,

P (S, I, t) =S

Tf(ξ, τ).


Quindi, sostituendo nella (56) otteniamo la seguente equazione di diffusione

lineare∂f

∂τ− 1

2σ2

[ξ +

1

r(1− e−rτ )

]2∂2f

∂ξ2= 0, (57)

con

f(ξ, 0) = max(−ξ, 0).

Osserviamo che l’effetto di diffusione, inizialmente, esiste solo per ξ = 0 e

sara significativo per valori di ξ bassi. Quindi possiamo togliere ξ dai coeffi-

cienti dell’equazione (57). La soluzione dell’equazione modificata puo essere

utilizzata come approssimazione analitica di f(ξ, τ). La nuova equazione sara

∂f0

∂τ− σ2

2r2(1− e−rτ )2∂

2f0

∂ξ2= 0,

con

f0(ξ, 0) = max(−ξ, 0)

che puo essere risolta in forma chiusa. Cosı il valore esatto di f(ξ, τ) puo

essere rappresentato nella forma

f(ξ, τ) = f0(ξ, τ) + f1(ξ, τ), (58)

dove f0(ξ, τ) e la soluzione dell’equazione modificata e f1(ξ, τ) e il termine

di correzione. Possiamo ottenere un equazione per f1(ξ, τ) sostituendo (58)

nell’equazione (57). I risultati di Zhang sono dati nel seguente teorema.

Teorema 1.6. Il prezzo e le Greche di un’opzione Asiatica di tipo call con

media aritmetica e con payoff pari al max(I/T −K) sono date dalle seguenti


formule:

C0 =S

T

[−ξN

(− ξ√

2η

)+

√η

πe−ξ

2/4η

],

∆0 =1

2ST√πηN

(− ξ√

2η

)+

1

T

√η

πe−ξ

2/4η,

Γ0 =1

2ST√πη

[ξ +

1

r(1− e−rτ )

]2

e−ξ2/4η,

V0 =S

4Tσ

√η

πe−ξ

2/4η,

ρ0 =S

r2T(r2τξ + rτ − 1 + e−rτ )N

(− ξ√

2η

)+

+Sσ2

8r4T√πη

[9− 4rτ − (12 + 4rτ)e−rτ + (3 + 2rτ)e−2rτ ]e−ξ2/4η,

dove N(·) e la funzione di distribuzione cumulata di una normale standard,

ξ =TK − 1

Se−rτ − 1

r(1− e−rτ ),

η =σ2

4r3(−3 + 2rτ + 4e−rτ − e−2rτ ),

τ = T − t,

I termini di correzione delle formule d’approssimazione analitica sono i seguen-

ti:

C1 =S

Tf1,

∆1 =1

Tf1 −

1

T

[ξ +

1

r(1− e−rτ )

]∂f1

∂ξ,

Γ1 =1

ST

[ξ +

1

r(1− e−rτ )

]2∂2f1

∂ξ2,

V1 =S

T

∂f1

∂σ,

ρ1 = − S

r2T(r2τξ + rτ − 1− e−rτ )∂f1

∂ξ+S

T

∂f1

∂r,

dove la funzione f1 = f1(ξ, τ ; r, σ) e le sue derivate possono essere valutate


risolvendo numericamente la seguente equazione differenziale parziale con un

metodo alle differenze finite

∂f1

∂τ− 1

2σ2

[ξ +

1

r(1− e−rτ )

]2∂2f1

∂ξ2=

σ2ξ

4√πηe−ξ

2/4η

[ξ +

2

r(1− e−rτ )

], (59)

con

f1(ξ, τ ; r, σ) = 0.

L’equazione (59) e un’equazione diffusiva lineare non omogenea a coef-

ficienti variabili. Zhang propone la risoluzione di questa equazione medi-

ante lo schema di Crank-Nicholson. Inoltre, per entrare nel dettaglio tecnico

dell’implementazione, suggerisce dove troncare il dominio spaziale. Infat-

ti propone di lavorare in [−ξm, ξm], dove ξm = 5σT 3/2. Un secondo as-

petto tecnico affrontato da Zhang, e quello delle condizioni al bordo. Ha

osservato che lo schema numerico e abbastanza insensibile alla scelta delle

condizioni al bordo, dato che la soluzione f1 svanisce rapidamente all’au-

mentare di |ξ| ed i limiti spaziali sono abbastanza grandi da assicurarci che

f1, f1ξ , f1ξξ spariscano. Poi ha scoperto che scegliendo come ampiezza delle

griglia ∆ξ = 2ξm/4000 e ∆τ = 1/800 fornisce un buon compromesso fra

efficienza e precisione numerica.

2Introduzione al calcolo di

MalliavinDopo aver visto vari metodi utilizzati per lavorare con opzioni Asiatiche,

possiamo concentrarci sull’implementare la nostra idea iniziale. Per fare cio

abbiamo bisogno di una base teorica molto solida e rigorosa. Ed e esatta-

mente questo che ci prefiggiamo di fare in questa sezione, seguendo il capitolo

relativo al calcolo di Malliavin che si puo trovare in [6].

2.1 Derivata stocastica

In questo paragrafo introduciamo il concetto di derivata stocastica o di Malli-

avin: l’idea e di definire una nozione di derivabilita nella famiglia di variabili

aleatorie che siano uguali a (o approssimabili con) funzioni di incrementi

indipendenti del moto Browniano. Sotto opportune ipotesi, vedremo che

tale famiglia e sufficientemente ampia da contenere le soluzioni di equazioni

differenziali stocastiche.

Purtroppo l’insieme delle notazioni necessarie ad introdurre il calcolo di

Malliavin e un po’ pesante: all’inizio non bisogna scoraggiarsi e munirsi di

un po’ di pazienza per acquisire le nozioni che utilizzeremo sistematicamente

nel seguito. Ad una prima lettura e consigliabile non fermarsi troppo sui

dettagli.

Consideriamo un moto Browniano realeW sullo spazio di probilita (Ω,F ,P)

munito della filtrazione Browniana FW = (FWt )t∈[0,T ]. Per semplicita, non

Derivata stocastica 36

essendo restrittivo, supponiamo T = 1 e, per n ∈ N, indichiamo con

tkn :=k

2n, k = 0, . . . , 2n

l’elemento k + 1−esimo della partizione diadica di ordine n dell’intervallo

[0,T]. Indichiamo con

Ikn :=]tk−1n , tkn], ∆k

n := Wtkn−Wtk−1

n,

rispettivamente l’intervallo k−esimo della partizione e l’incremento k−esimo

del moto Browniano, per k = 1, . . . , 2n. Inoltre

∆n := (∆1n, . . . ,∆

2n

n )

e il vettore in R2n degli increment Browniani (di ordine n) e C∞pol indica la

famiglia delle funzioni di classe C∞ che, insieme con le loro derivate di ogni

ordine, hanno crescita al piu polinomiale.

Definizione 2.1. La famiglia dei funzionali semplici di ordine n ∈ N e

definita da

Sn := ϕ(∆n)|ϕ ∈ C∞pol(R2n ; R).

Indichiamo con

xn = (x1n, . . . , x

2n

n ) (60)

il punto di R2n . E chiaro che WT = ϕ(∆n) ∈ Sn per ogni n ∈ N con

ϕ(x1n, . . . , x

2n

n ) = x1n + . . .+ x2n

n . Osserviamo che vale

Sn ⊆ Sn+1, n ∈ N,

e definiamo

S :=⋃n∈N

Sn,

La famiglia dei funzionali semplici. Per ipotesi di crescita su ϕ, S e un

sottospazio di Lp(Ω,FWT ) per ogni p ≥ 1. Inoltre, poiche stiamo considerando


la filtrazione Browniana, S e denso in Lp(Ω,FWT ). Introduciamo ora una

notazione molto comoda, che useremo spesso:

Notazione 2.2. Per ogni t ∈]0, T ], indichiamo con kn(t) l’unico elemento

k ∈ 1, . . . , 2n tale che t ∈ Ikn.

Definizione 2.3. Per ogni X = ϕ(∆n) ∈ S, la derivata stocastica di X in s

e definita da

DsX :=∂ϕ

∂xkn(s)n

(∆n).

Osservazione 2.4. La Definizione 2.3 e ben posta, ossia e indipendente da

n: e facile riconoscere che se, per n,m ∈ N, vale

X = ϕn(∆n) = ϕm(∆m) ∈ S,

con ϕn, ϕm ∈ C∞pol, allora per ogni s ≤ T , si ha

∂ϕn

∂xkn(s)n

(∆n) =∂ϕm

∂xkm(s)m

(∆m).

Muniamo ora S della norma

‖X‖1,2 := E[X2]12 + E

[∫ T

0

(DsX)2ds

] 12

= ‖X‖L2(Ω) + ‖DX‖L2([0,T ]×Ω).

Definizione 2.5. Lo spazio D1,2 delle variabili aleatorie derivabili secondo

Malliavin e la chiusura di S rispetto alla norma ‖ · ‖1,2

In altri termini, X ∈ D1,2 se e solo se esiste una successione (Xn) in Stale che

i) X = limn→∞Xn in L2(Ω);

ii) esiste limn→∞DXn in L2([0, T ]× Ω).

In tal caso sembra naturale definire la derivata di Malliavin di X come

DX := limn→∞

DXn, L2([0, T ]× Ω)


In effetti tale definizione e ben posta in base al seguente

Lemma 2.6. Sia (Xn) una successione in S tale che

i) limn→∞Xn = 0 in L2(Ω);

ii) esiste U := limn→∞DXn in L2([0, T ]× Ω).

Allora U = 0 quasi ovunque.

Osservazione 2.7. La prova del Lemma 2.6 non e ovvia poiche l’operatore

di derivazione D e lineare ma non e limitato, ossia

supX∈S

‖DX‖L2

‖X‖L2

= +∞.

Infatti e abbastanza facile esibire un esempio di successione (Xn) limitata in

L2(Ω) e tale che (DXn) non e limitata in L2([0, T ] × Ω) : fissato n ∈ N, e

sufficiente considerare Xn = ϕn(∆n) con (ϕn) che converge in L2(R2n) ad

un’opportuna funzione non regolare.

Rimandiamo la prova a dopo, poiche prima di poterlo dimostrare avremo

bisogno di ulteriori strumenti teorici.

Osservazione 2.8. Se X ∈ D1,2 e FWt −misurabile allora

DsX = 0, s > t.

Infatti a meno di approssimazioni, e sufficiente considerare il caso in cui X =

ϕ(∆n) ∈ Sn per un certo n: se X e FWt −misurabile allora e indipendente da

∆kn per k < kn(t). Pertanto, fissato s > t, vale

∂ϕ

∂xkn(s)n

(∆n) = 0,

almeno se n e abbastanza grande, in modo che t e s appartengano ad intervalli

disgiunti della partizione diadica di ordine n.


2.1.1 Chain rule

Se X, Y ∈ D1,2 allora il prodotto XY in generale non e di quadrato sommabile

e quindi non appartiene a D1,2. Per questo motivo, a volte conviene utilizzare

al posto di D1,2 il seguente spazio un po’ piu piccolo ma chiuso rispetto

all’operazione di prodotto:

D1,∞ =⋂p≥2

D1,p

dove D1,p indica la chiusura di S rispetto alla norma

‖X‖1,p = ‖X‖Lp(Ω) + ‖DX‖Lp([0,T ]×Ω).

Osserviamo che X ∈ D1,p se e solo se esiste una successione (Xn) in S tale

che

i) X = limn→∞Xn in Lp(Ω);

ii) esiste limn→∞DXn in Lp([0, T ]× Ω).

Se p ≤ q, per la disuguaglianza di Holder si ha

‖ · ‖1,p ≤ Tq−ppq ‖ · ‖Lp([0,T ]×Ω),

e quindi

D1,p ⊇ D1,q

In particolare per ogni X ∈ D1,p, con p ≥ 2, e (Xn) successione approssimante

in Lp, si ha

limn→∞

DXn = DX, in L2([0, T ]× Ω)

Proposizione 2.9 (Chain rule). Sia ϕ ∈ C∞pol(R). Allora si ha:

i) se X ∈ D1,∞ allora ϕ ∈ D1,∞ e vale

Dϕ(X) = ϕ′(X)DX; (61)


ii) se X ∈ D1,2 e ϕ, ϕ′ sono limitate allora ϕ(X) ∈ D1,2 e vale la (61).

Inoltre, se ϕ ∈ C∞pol(RN) e X1, . . . , XN ∈ D1,∞ allora ϕ(X1, . . . , XN) ∈ D1,∞

e vale

Dϕ(X1, . . . , XN) =N∑i=1

∂xiϕ(X1, . . . , XN)DXi.

Dimostrazione. Proviamo solo la ii) poiche gli altri punti si dimostrano in

modo sostanzialmente analogo. Se X ∈ S e ϕ ∈ C1 e limitata, assieme alla

proprio derivata prima, allora ϕ(X) ∈ S e la tesi e ovvia.

Se X ∈ D1,2 allora esiste una successione (Xn) in S convergente a X

in L2(Ω) e tale che (DXn) converge a DX in L2([0, T ] × Ω). Allora, per il

Teorema della convergenza dominata, ϕ(Xn) tende a ϕ(X) in L2(Ω). Inoltre

vale Dϕ(Xn) = ϕ′(Xn)DXn e

‖ϕ′(Xn)DXn − ϕ′(X)DX‖L2 ≤ I1 + I2,

dove

I1 = ‖ϕ′(Xn)− ϕ′(X)‖L2 −−−−−−−→n→∞

0

per il teorema della convergenza dominata, e

I2 = ‖ϕ′(Xn)(DX −DXn)‖L2 −−−−−−−→n→∞

0

poiche (DXn) converge a DX e ϕ′ e limitata.

Esempio 2.10. Sia u ∈ L2, tale che ut ∈ D1,2 per ogni t. Allora

X :=

∫ t

0

urdWr ∈ D1,2

e per s ≤ t vale

Ds

∫ t

0

urdWr = us +

∫ t

s

DsurdWr.

Infatti, fissato t, consideriamo la successione definita da

Xn :=

kn(t)∑k=1

utk−1n

∆kn, n ∈ N,


che approssima X in L2(Ω). Allora Xn ∈ D1,2 e per la regola della catena si

ha

DsXn = utk−1n

+

kn(t)∑k=1

Dsutk−1n

∆kn =

(poiche u e adattato e quindi, per l’osservazione 2.8, Dsutkn = 0 se s > tkn)

utkn(s)−1n

+

kn(t)∑k=kn(s)+1

Dsutk−1n

∆kn

u−−−→n→∞ s

+

∫ t

s

DsurdWr

in L2([0, T ]× Ω).

Esempio 2.11. Se u ∈ D1,2 per ogni t, allora e facile provare che

Ds

∫ t

0

urdr =

∫ t

s

Dsurdr.

Esempio 2.12. Consideriamo la soluzione (Xt) dell’EDS

Xt = x+

∫ t

0

b(r,Xr)dr +

∫ t

0

σ(r,Xr)dWr, (62)

con x ∈ R e i coefficienti b, σ ∈ C1b . Allora Xt ∈ D1,2 per ogni t e vale

DsXt = σ(s,Xs) +

∫ t

s

∂xb(r,Xr)DsXrdr +

∫ t

s

∂xσ(r,Xr)DsXrdWr. (63)

Non riportiamo nei dettagli la prova della prima affermazione. L’idea e di

utilizzare un argomento di approssimazione basato sullo schema di Eulero:

piu precisamente, la tesi segue dal fatto che (Xt) e limite della successione

di processi costanti a tratti definiti da

Xnt = Xn

tk−1n

1Ikn(t), t ∈ [0, T ],

con Xntkn

definito ricorsivamente da

Xntkn

= Xntk−1n

+ b(tk−1n , Xn

tk−1n

)1

2n+ σ(tk−1

n , Xntk−1n

)∆kn,


per k = 1, . . . 2n. Una volta provato che Xt ∈ D1,2, la (63) e immediata

conseguenza degli esempi 2.10,2.11 e della regola della catena.

Ora utiliziamo il classico metodo della variazione delle costanti per ri-

cavare un’espressione esplicita per DsXt. Consideriamo il processo

Yt = ∂xXt, (64)

soluzione dell’EDS

Yt = 1 +

∫ t

0

∂xb(r,Xr)Yrdr +

∫ t

0

∂xσ(r,Xr)YrdWr. (65)

Lemma 2.13. Sia Z soluzione dell’EDS

Zt = 1 +

∫ t

0

((∂xσ)2 − ∂xb)(r,Xr)Zrdr −∫ t

0

∂xσ(r,Xr)ZrdWr. (66)

Allora vale YtZt = 1 per ogni t.

Dimostrazione. Si ha Y0Z0 = 1 e, tralasciando gli argomenti, per la formula

di Ito vale

d(YtZt) = YtdZt + ZtdYt + d〈Y, Z〉t= YtZt(((∂xσ)2 − (∂xb))dt− ∂xσdWt + ∂xbdt+ ∂xσdWt − (∂xσ)dt)

= 0,

e la tesi segue dall’unicita della rappresentazione di un processo di Ito.

Proposizione 2.14. Siano X, Y, Z rispettivamente le soluzioni delle EDS

(62),(65) e (66). Allora vale

DsXt = YtZsσ(s,Xs). (67)

Dimostrazione. Ricordiamo che, fissato s, il processo DsXt verifica l’EDS

(63) su [s, T ] e proviamo che At := YtZsσ(s,Xs) verifica la stessa equazione:

Dualita 43

la tesi seguira dai risultati di unicita per EDS. Per la (65) vale

Yt = Ys +

∫ t

s

∂xb(r,Xr)Yrdr +

∫ t

s

∂xσ(r,Xr)YrdWr;

moltiplicando per Zsσ(s,Xs) ed utilizzando il Lemma 2.13 si ha

YtZsσ(s,Xs)︸︷︷︸=At

= YsZs︸︷︷︸=1

σ(s,Xs) +

∫ t

s

∂xb(r,Xr)YrZsσ(s,Xs)︸︷︷︸=Ar

dr

+

∫ t

s

∂xσ(r,Xr)YrZsσ(s,Xs)︸︷︷︸Ar

dWr,

da cui la tesi.

Osservazione 2.15. Il concetto di derivata stocastica e i risultati fin qui

provati si estendono in ambito multi-dimensionale senza particolari difficolta,

se non la maggior pesantezza delle notazioni. Se W = (W 1, . . . ,W d) e un

moto Browniano d−dimensionale e indichiamo con Di la derivata rispetto

alle i−esima componente di W , allora si prova che, per s ≤ t, vale

DisW

jt = δij

dove δij e il simbolo di Kronecker. Piu in generale, se X e una variabile

aleatoria che dipende solo dagli incrementi di W j allora DiX = 0 per i 6= j.

Inoltre, per u ∈ L2, vale

Dis

∫ t

0

urdWr = uis +

∫ t

s

DisurdWr.

2.2 Dualita

In questo paragrafo introduciamo l’operatore aggiunto della derivata di Malli-

avin e proviamo un risultato di dualita che e alla base della formula di

integrazione per parti stocastica.

Dualita 44

Definizione 2.16. Fissando n ∈ N, la famiglia Pn dei processi semplici di

ordine n e composta dai processi U del tipo

Ut =2n∑k=1

ϕk(∆n)1Ikn(t), (68)

con ϕk ∈ C∞pol per k = 1, . . . , 2n.

Usando la notazione (2.2), la (68) si riscrive piu semplicemente

Ut = ϕkn(t)(∆n).

Osserviamo che

Pn ⊆ Pn+1 n ∈ N,

e definiamo

P :=⋃n∈N

Pn,

la famiglia dei funzionali semplici. E chiaro che

D : S −→ P

ossia DX ∈ P per X ∈ S. Per l’ipotesi di crescita delle funzioni ϕk in (68),

P e un sotto-spazio di Lp([0, T ]× Ω) per ogni p ≥ 1 ed inoltre P e denso in

Lp([0, T ]× Ω,B ⊗ FWT ).

Ora ricordiamo la notazione (2.2) e definiamo l’operatore aggiunto di D.

Definizione 2.17. Dato un processo semplice U ∈ P della forma (68),

poniamo

D∗U =2n∑k=1

(ϕk(∆n)∆k

n − ∂xknϕk(∆n)1

2n

). (69)

D∗U e chiamato integrale di Skorohod di U: nel seguito usiamo anche scrivere

D∗U =

∫ T

0

Ut dWt. (70)

Dualita 45

Osserviamo che la definizione (2.17) e ben posta perche non dipende da

n. Notiamo inoltre che, a differenza dell’integrazione stocastica secondo Ito,

per l’integrale di Skorhod non richiediamo che il processo U sia adattato. Per

questo D∗ e anche chiamato integrale stocastico anticipativo.

Osservazione 2.18. Se U e adattato allora ϕk in (68) e FWtk−1n−misurabile

e quindi, per l’osservazione 2.8, ∂xknϕk = 0. Di conseguenza si ha

∫ T

0

Ut dWt =2n∑k=1

ϕk(∆n)∆kn =

∫ T

0

UtdWt.

In altri termini, per un processo adattato, l’integrale di Skorohod coincide

con l’integrale di Ito.

Un risultato centrale nel calcolo di Malliavin e il seguente

Teorema 2.19 (Relazione di dualita). Per ogni X ∈ S e U ∈ P vale

E

[∫ T

0

(DtX)Utdt

]= E

[X

∫ T

0

Ut dWt

](71)

Osservazione 2.20. La (71) si scrive equivalentemente nella forma

〈DX,U〉L2([0,T ]×Ω) = 〈X,D∗U〉L2(Ω)

che giustifica l’appellativo di operatore aggiunto di D per l’integrale di Sko-

rohod.

Dimostrazione. Siano U della forma (68) eX = ϕ0(∆m) con ϕ ∈ C∞pol(R2m;R) :

chiaramente non e restrittivo assumere m = n. Poniamo δ = 12n

e per ogni

j ∈ 1, . . . , 2n e k ∈ 0, . . . , 2n,

ϕ(j)k (x) = ϕk(∆

1n, . . . ,∆

j−1n , x,∆j+1

n , . . . ,∆2n

n ), x ∈ R

Allora si ha

E

[∫ T

0

(DtX)Utdt

]= δE

[2n∑k=1

∂xknϕ0(∆n)ϕk(∆n)

]=

Dualita 46

(poiche gli incrementi Browniani sono indipendenti ed indenticamente dis-

tribuiti ∆kn ∼ N0,δ)

= δ2n∑k=1

E

[∫R

(d

dxϕ

(k)0 (x)

)ϕ

(k)k (x)

e−x2

2δ

√2πδ

dx

]=

(integrando per parti)

= δ

2n∑k=1

E

[∫Rϕ

(k)0 (x)

(x

δϕ

(k)k (x)− d

dxϕ

(k)k (x)

)e−

x2

2δ

√2πδ

dx

]=

= E

[ϕ0(∆n)

2n∑k=1

(ϕk(∆n)∆kn − ∂xknϕk(∆n)δ)

],

e questo, in base alla definizione di integrale di Skorohod, conclude la prova.

Come conseguenza della relazione di dualita, proviamo il Lemma 2.6.

Proof del Lemma 64. Sia (Xn) una successione in S tale che

i) limn→∞Xn = 0 in L2(Ω);

ii) esiste U := limn→∞DXn in L2([0, T ]× Ω).

Per provare che U = 0, consideriamo V ∈ P : abbiamo, per ii),

E

[∫ T

0

UtVtdt

]= lim

n→∞E

[∫ T

0

(DtXn)Vtdt

]=

(per la relazione di dualita e poi per i))

limn→∞

E

[Xn

∫ T

0

Vt dWt

]= 0.

La tesi segue dalla densita di P in L2([0, T ]× Ω,B ⊗ FWT ).

Osservazione 2.21. In modo analogo proviamo che se (Un) e una succes-

sione in P tale che

Dualita 47

i) limn→∞ Un = 0 in L2([0, T ]× Ω),

ii) esiste X := limn→∞D∗Un in L2(Ω),

allora X = 0 q.o. Inoltre se p ≥ 2 e U e tale che esiste una successione (Un)

in P per cui

i) U = limn→∞ Un in Lp([0, T ]× Ω),

ii) esiste limn→∞D∗Un in Lp(Ω),

e diciamo che U e Skorohod-integrabile di ordine p e la seguente definizione

di integrale di Skorhod e ben posta:

D∗U =

∫ T

0

Ut dWt := limn→∞

D∗Un, in L2(Ω).

Inoltre vale la seguente relazione di dualita

E

[∫ T

0

(DtX)Utdt

]= E

[X

∫ T

0

Ut dWt

],

per ogni X ∈ D1,2 e U integrabile di ordine 2.

2.2.1 Formula di Clark-Ocone

Il teorema di rappresentazione delle martingale afferma che per ogni X ∈L2(Ω,FWT ) esiste u ∈ L2 tale che

X = E[X] +

∫ T

0

usdWs. (72)

Se X e derivabile secondo Malliavin, utilizzando l’esempio 2.10 possiamo

ricavare l’espressione di u: infatti, assumendo ut ∈ D1,2, si ha

DtX = ut +

∫ T

t

DtusdWs

e quindi, considerando l’attesa condizionata, concludiamo che vale

E[DtX|FWt ] = ut. (73)

Dualita 48

La (73) e nota come formula di Clark-Ocone. Di seguito ne diamo una prova

rigorosa.

Teorema 2.22 (Formula di Clark-Ocone). Se X ∈ D1,2 allora vale

X = E[X] +

∫ T

0

E[DtX|FWt ]dWt.

Dimostrazione. Non e restrittivo supporre E[X] = 0. Per ogni processo

semplice ed adattato U ∈ P vale, per la relazione di dualita del Teorema

2.19,

E[XD∗U ] = E

[∫ T

0

(DtX)Utdt

]=

(essendo U adattato)

= E

[∫ T

0

E[DtX|FWt ]Utdt

].

D’altra parte l’integrale di Skorohod del processo adattato U coincide con

l’integrale di Ito e per la (72) si ha

E[XD∗U ] = E

[∫ T

0

UtdWt

∫ T

0

UtdWt

]=

(per l’isometria di Ito)

= E

[∫ T

0

utUtdt

].

La tesi segue per densita, essendo U arbitrario.

Osservazione 2.23. Come interessante e immediata conseguenza della for-

mula di Clark-Ocone si ha che se X ∈ D1,2 e DX = 0, allora X e costante

q.o.

Illustriamo ora l’interpretazione finanziaria della formula di Clark-Ocone:

supponiamo che X ∈ L2(Ω,FWT ) sia il payoff di un’opzione Europea su un

titolo S. Assumiamo che la dinamica del prezzo scontato nella misura di

martingala sia

dSt = σtStdWt.

Dualita 49

Allora se (α, β) e una strategia replicante per l’opzione, si ha

X = E[X]

+

∫ T

0

αtdSt = E[X]

+

∫ T

0

αtσtStdWt;

d’altra parte, per la formula d Clark-Ocone, vale

X = E[X]

+

∫ T

0

E[DtX|FWt

]dWt,

e dunque otteniamo l’espressione della strategia replicante:

αt =E[DtX|FWt

]σtSt

, t ∈ [0, T ].

2.2.2 Integrazione per parti e calcolo delle greche

In questa sezione proviamo una formula di integrazione per parti stocastica

e, attraverso alcuni esempi notevoli, illustriamo l’applicazione al calcolo delle

greche di opzioni mediante il metodo Monte Carlo. Come gia anticipato

nell’introduzione, le tecniche basate sul calcolo di Malliavin risultano efficaci

anche nel caso in cui la funzione di payoff F sia poco regolare, ossia proprio

dove l’applicazione diretta del metodo Monte Carlo fornisce scarsi risultati

anche se il sottostante e un semplice moto Browniano geometrico.

L’integrazione per parti stocastica permette di rimuovere la derivata sul-

la funzione di payoff migliorando l’approssimazione numerica: piu precisa-

mente, supponiamo di voler determinare ∂αE[F (ST )Y ] dove ST indica il prez-

zo finale del sottostante che dipende dal parametro α (per esempio, α e S0

nel caso della delta, α e la volatilita nel caso della vega) e Y e una certa

variabile aleatoria (per esempio, fattore di sconto). L’idea e di cercare di

esprimere ∂αF (ST )Y nella forma∫ T

0

DsF (ST )Y Usds,

per un certo percorso U adattato ed integrabile. Utilizzando la relazione di

Dualita 50

dualita, formalmente otteniamo

∂αE[F (ST )Y ] = E[F (ST )D∗(Y U)],

che, come vedremo con gli esempi seguenti, puo essere utilizzata per ottenere

una buona approssimazione numerica.

In questa sezione intendiamo mostrare l’applicabilita di una tecnica piut-

tosto che approfondire gli aspetti matematici, pertanto la presentazione sara

piuttosto informale, a partire dal seguente enunciato.

Teorema 2.24 (Integrazione per parti stocastica). Siano F ∈ C1B e X ∈

D1,2. Allora vale la seguente formula di integrazione per parti

E[F ′(X)Y ] = E

[F (X)

∫ T

0

utY∫ T0usDsXds

dWt

], (74)

per ogni variabile aleatoria Y e per ogni processo stocastico u per cui la (74)

sia ben definita

Dimostrazione. Per la regola della catena vale

DtF (X) = F ′(X)DtX;

moltiplicando per utY e integrando fra 0 e T otteniamo∫ T

0

utY DtF (X)dt = F ′(X)Y

∫ T

0

utDtXdt,

da cui, a patto che1∫ T

0utDtXdt

abbia buone proprieta di integrabilita, si ha

F ′(X)Y =

∫ T

0

DtF (X)utY∫ T

0usDsXds

dt

Dualita 51

e, in valore atteso,

E[F ′(X)Y ] = E

[∫ T

0

DtF (X)utY∫ T

0usDsXds

dt

]=

(per la relazione di dualita)

= E

[F (X)

∫ T

0

utY∫ T0usDsXds

dt dWt

].

Osservazione 2.25. Le ipotesi di regolarita sulla funzione F possono essere

molto indebolite: utilizzando un procedimento standard di regolarizzazione, e

possibile provare la validita della formula di integrazione per parti per funzioni

derivabili debolmente o in senso distribuzionale.

Il processo u nella (74) spesso puo essere scelto in modo opportuno per

semplificare l’espressione dell’integrale nel membro di destra.

Nel caso in cui u = 1 e Y = ∂αX, la (74) diventa

E[∂αF (X)] = E

[F (X)

∫ T

0

∂αX∫ T0DsXds

dt dWt

]. (75)

Nei seguenti esempi, consideriamo la dinamica di Black-Scholes nella

misura di martingala per il sottostante di un’opzione e applichiamo la formula

di integrazione per parti con X = ST dove

ST = x exp

(σWT +

(r − σ2

2

)T

). (76)

Esempio 2.26 (Delta). Osserviamo che DsST = σST e ∂xST = STx

. Allora

Dualita 52

per la (75) abbiamo la seguente espressione per la delta di Black-Scholes

∆ = e−rT∂xE[F (ST )]

= e−rTE

[F (ST )

∫ T

0

∂xST∫ T0DsSTds

dWt

]

= e−rTE

[F (ST )

∫ T

0

1

σTx dWt

]=

e−rT

σTxE[F (ST )WT ].

Risulta abbastanza evidente che, per esempio nel caso F (S) = 1[1,+∞], e

molto piu efficiente la simulazione Monte carlo dell’ultima equazione rispetto

alla prima.

Sappiamo che in generale non e lecito portare fuori una variabile aleatoria

da un integrale di Ito: vediamo ora in quali termini cio sia possibile nel caso

dell’integrale stocastico anticipativo.

Proposizione 2.27. Siano X ∈ D1,2 e U un processo Skorhod-integrabile di

ordine 2. Allora vale∫ T

0

XUt dWt = X

∫ T

0

Ut dWt −∫ T

0

(DtX)Utdt. (77)

Dimostrazione. Per ogni Y ∈ S, per la relazione di dualita, vale

E[Y D∗(XU)] = E

[∫ T

0

(DtY )XUtdt

]=

(per la regola della catena)

= E

[∫ T

0

(Dt(Y X)− Y DtX)Utdt

]=

(per dualita)

= E

[Y

(XD∗U −

∫ T

0

DtXUtdt

)],

e la tesi segue per densita.

Dualita 53

La formula (77) risulta cruciale nel calcolo dell’integrale di Skorohod come

somma di un usuale integrale di Ito con un integrale di Lebesgue.

Esempio 2.28. Come diretta applicazione della (77) si ha∫ T

0

WT dWt = W 2T − T.

Esempio 2.29 (Vega). Calcoliamo la vega di un’opzione nel modello di

Black-Scholes: osserviamo che vale

∂σST = (WT − 2σT )ST , DsSTσST .

Allora

ν = e−rT∂σE[F (ST )] =

(per la formula di integrazione per parti (75))

= e−rTE

[F (ST )

∫ T

0

WT − σTσT

dWt

]=

(per la (77))

= e−rTE

[F (ST )

(WT − σT

σTWT −

1

σ

)].

Esempio 2.30 (Gamma). Calcoliamo la gamma di un’opzione nel modello

Black-Scholes:

Γ = e−rT∂xxE[F (ST )] =

(per l’esempio 2.26)

=e−rT

σTxE

[∂

(F (ST )

x

)WT

]=

e−rT

σTx2E[F (ST )WT ] +

e−rT

σTxJ,

dove

J = E[∂xF (ST )WT ] = E[F ′(ST )∂xSTWT ] =

Dualita 54

(applicando la (74) con u = 1 e Y = (∂xST )WT = STWT

x)

= E

[F (ST )

∫ T

0

WT

σTx dWT

]=

(per la (77))

=1

σTxE[F (ST )(W 2

T − T )].

In definitiva si ha

Γ =e−rT

σTx2E

[F (ST )

(W 2T − TσT

−WT

)].

3Pricing and Hedging di Opzioni

Asiatiche Tramite il Calcolo di

MalliavinAdesso che abbiamo a disposizione una solida struttura teorica, possiamo

applicare il calcolo di Malliavin al pricing ed alla strategia di copertura di-

namica di opzioni Asiatiche. L’articolo che ci ha guidato attraverso i passaggi

teorici che vedremo nella sezione, e [1]. Questo articolo e un lavoro recente,

che quindi ci pone ad un punto dello sviluppo della tematica molto attuale,

tant’e che la ricerca si sta sviluppando proprio verso questo modo di operare,

come vedremo in un lavoro di Dupire che riportiamo in Appendice C.

3.1 Model setup

Consideriamo l’ambientazione classica di Black-Scholes, ovvero la presenza

di risk-free bond B(·) ed un titolo rischioso S(·) con dinamica

dB(t) = B(t) r dt (78)

dS(t) = S(t)[r dt+ σ dW (t)] (79)

doveW (·) e un moto browniano standard sullo spazio di probabilita (Ω,F , P ),

con Ft la filtrazione canonica. Assumeremo, senza perdere di generalita, che

la misura P sia di fatto la misura neutrale rispetto al rischio. Si ricava

Model setup 56

facilmente che la dinamica (79) da come soluzione:

S(t) = s · exp

(rt− σ2

2t+ σW (t)

), 0 ≤ t ≤ T (80)

dove S(0) = s. Definiamo la ricchezza dell’investitore e l’ammontare di

denaro investito nell’azione al tempo t da V (t) e π(t) rispettivamente. Ovvi-

amente l’ammontare investito in bond sara dato da V (t) − π(t). Chiamere-

mo π(·) una strategia d’investimento. Inoltre, siccome la ricchezza posseduta

dipende ovviamente dalla strategia d’investimento, la scriveremo come V π(·).Assumiamo inoltre che l’investitore segua una strategia d’investimento aut-

ofinanziante, con valore iniziale V (0) = v0. Quindi il processo di ricchezza

soddisfera:

dV π(t) = rV π(t) dt + π(t)σ dW (t), V (0) = v0, 0 ≤ t ≤ T. (81)

Per ragioni tecniche dovute da una parte alla definizione di integrale stocas-

tico e dall’altra per escludere opportunita d’arbitraggio, dobbiamo imporre

le seguenti due condizioni sulla strategia d’investimento:∫ T

0

π2(t)dt <∞ P− q.o.

P(V π(t) > 0 ∀t ≥ 0) = 1

In particolare la prima condizione assicura che l’EDS in (81) abbia un’unica

soluzione in senso forte, data da:

V π(t) · exp(−rt) = v0 +

∫ t

0

exp(−ru)π(u)σ dW (u), per 0 ≤ t ≤ T. (82)

Ora consideriamo il payoff a scadenza di un’opzione Asiatica con media

aritmetica

fT =

[1

T

∫ T

0

S(t)dt−K]+

Model setup 57

dove K > 0 e lo strike. Una strategia di hedging di quest’opzione e una

strategia autofinanziante π(·) tale che:

V π(T ) = fT

valga quasi ovunque. E noto che esiste un’unica strategia di hedging, ed

inoltre l’investimento iniziale necessario per finanziare questa strategia e pari

a:

v0 = E[fT · exp(−rT )]. (83)

Il valore v0 e quindi l’unico prezzo dell’opzione al tempo t = 0, che non

permette arbitraggio, ed e chiamato fair price dell’opzione fT al tempo 0.

Un breve riassunto del calcolo di Malliavin 58

3.2 Un breve riassunto del calcolo di Malliavin

In un mercato senza costi di transazione, il prezzo che rispetta il principio

di non arbitraggio della maggior parte dei derivati (Europee, Asiatiche, ecc.

...) puo essere espresso come valore atteso del payoff associato che e di solito

definito come un funzionale del processo del sottostante.

Cercheremo ora di porre delle basi per poter utilizzare il calcolo di Malli-

avin per i nostri scopi. Di seguito, riportiamo delle proprieta gia dimostrate

nella Sezione 2, ma che, per comodita e per compattezza delle nozioni, e

meglio avere sott’occhio.

Il processo del sottostante e dato da X(t); 0 ≤ t ≤ T che e un proces-

so di Markov con valori in Rn e la cui dinamica e descritta dall’equazione

differenziale stocastica

dX(t) = b(X(t))dt+ σ(X(t))dW (t), (84)

dove W (t), 0 ≤ t ≤ T e un moto Browniano con valori in Rn. I coefficienti

b e σ sono scelti tali da soddisfare le usuali condizioni per poter garantire

l’esistenza e l’unicita di una soluzione continua ed adattata dell’equazione

(84).

Dato 0 < t1 ≤ . . . ≤ tm = T, consideriamo la funzione

u(x) = E[φ(X(t1), . . . , x(tm))|X(0) = x], (85)

dove φ soddisfa alcune condizioni tecniche che verranno descritte dopo. Nelle

applicazioni finanziarie, u(x) descrive il prezzo di un’opzione definita dalla

funzione di payoff φ che tiene conto dei tempi (t1, . . . , tm). Esempi di queste

opzioni includono sia quelle usuali sia quelle path dependent o persino oggetti

piu complicati.

Concentriamoci adesso su alcune proprieta che ci torneranno utili del

calcolo di Malliavin. Infatti grazie a questo tipo di calcolo, possiamo calcolare

la derivata di un gran numero di variabili casuali e processi (adattati o meno


alla filtrazione) definiti sullo spazio di Wiener. Presentiamo alcune notazioni

che verranno utilizzate per il resto della trattazione.

Sia W (t), 0 ≤ t ≤ T un n-dimensionale moto Browniano definito su

uno spazio di probabilita completo (Ω,F , P ) e scriveremo Ft la filtrazione

naturale di W rispetto a P . Sia C l’insieme delle variabili casuali F della

forma

F = f

(∫ ∞0

h1(t)dW (t) . . .

∫ ∞0

hn(t)dW (t)

), f ∈ C(Rn)

dove C(Rn) indica l’insieme delle funzioni infinitamente differenziabili e che

decrescono rapidamente su Rn e h1, . . . , hn ∈ L2(Ω × R+). Per F ∈ C,la derivata di Malliavin DF di F e definita come il processo DtF, t ≥ 0 di

L2(Ω× R+) con valori in L2(R+):

DtF =n∑i=1

∂f

∂xi

(∫ ∞0

h1(t)dW (t), . . . ,

∫ ∞0

hn(t)dW (t)

)hi(t), t ≥ 0 quasi ovunque.

Definiamo inoltre la norma su C

‖F‖1,2 = (E(F 2))12 +

(E(

∫ ∞0

(DtF )2dt)

) 12

,

Quindi D1,2 indica lo spazio di Banach che e la chiusura di C rispetto alla

norma ‖‖1,2. L’operatore di derivazione D (chiamato anche l’operatore gra-

diente) e un operatore lineare chiuso definito in D1,2 ed i suoi valori sono in

L2(Ω× R+).

Proprieta 3.1. Sia X(t), t ≥ 0 un processo di Ito n-dimensionale la cui

dinamica sia data dall’equazione differenziale stocastica:

dX(t) = b(X(t))dt+ σ(X(t))dW (t),

dove b e σ si suppone siano funzioni continue e differenziabili con derivate

limitate. Sia Y (t), t ≥ 0 il processo di prima variazione associato, definito


dall’equazione differenziale stocastica:

dY (t) = b′(X(t))Y (t)dt+n∑i=1

σ′(X(t))Y (t)dW i(t), Y (0) = In,

dove In e la matrice identita di Rn, l’apice indica la derivata e σi e l’i-esimo

vettore colonna di σ. Quindi il processo X(t), t ≥ 0 appartiene a D1,2 e la

sua derivata di Malliavin e data da:

DsX(t) = Y (t)Y (s)−1σ(X(s)) · 1s≤t, s ≥ 0 quasi ovunque.

Inoltre, se ψ ∈ Cb1(Rn) allora abbiamo che

Dsψ(XT ) = ∇ψ(XT )Y (T )y(s)−1σ(X(s)) · 1s≤T , s ≥ 0 quasi ovunque

ed anche

Ds

∫ T

0

ψ(Xt)dt =

∫ T

s

∇ψ(Xt)Y (t)Y (s)−1σ(X(s))dt quasi ovunque.

Adesso che abbiamo ricordato alcune proprieta fondamentali del calcolo

di Malliavin, possiamo concentrarci sulla formulazione delle equazioni neces-

sarie alla risoluzione del nostro problema di hedging.

Consideriamo il set S di funzionali cilindrici F : Ω → R, dati da F =

f(WT1 , . . . ,WTl) dove f ∈ C∞b (Rl) e un funzionale con derivate limitate di

ogni ordine e (W (t)) e un moto browniano su Ω. Definiamo l’operatore di

derivata Malliaviana su S come:

DsF :=l∑

i=1

∂f

∂xi(WT1(ω), . . . ,WTl(ω)) · 1[0,ti](s)

Questo operatore e le sue iterate Dn sono chiusi ed illimitati da Lp(Ω) a

Lp(Ω × [0, T ]n), per ogni n ≥ 1. I loro rispettivi domini li chiamere-

mo Dn,p ed ottenuti come la chiusura di S rispetto alla norma definita da

‖F‖pn,p = ‖F‖pLp(Ω) +∑n

k=1 ‖DkF‖pLp(Ω×[0,T ]k)

. In particolare noi ci concen-


treremo sullo spazio di Hilbert D1,2. Per proseguire abbiamo bisogno della

chain rule associata alla derivata del calcolo di Malliavin, ma prima dobbiamo

riportare un risultato tecnico che useremo nella dimostrazione:

Lemma 3.2. Sia Fn, n ≥ 1 una successione di variabili casuali in D1,2 che

converge ad F in L2(Ω) e tale che

supnE(‖DFn‖2

H) <∞.

Quindi F appartiene a D1,2, e la successione della derivata DFn, n ≥ 1converge a DF nella topologia debole di L2(Ω;H).

Dimostrazione. Esiste una sottosuccessione Fn(k), k ≥ 1 tale che la suc-

cessione di derivate DFn(k) converge nella topologia debole di L2(Ω;H) ad

alcuni elementi α ∈ L2(Ω;H). Si puo dimostrare che le proiezioni di DFn(k)

su ogni spazio di Wiener convergono in una topologia debole di L2(Ω), per

k che tende ad infinito, a quelli di α. Dunque F ∈ D1,2 e α = DF . Inoltre,

per ogni sottosequenza debolmente convergente, il limite deve essere pari ad

α per l’argomentazione precedente, e questo implica la convergenza debole

dell’intera sequenza.

Proposizione 3.3. Sia ϕ ∈ C1(R) una funzione continua e differenziabile

e sia F ∈ D1,2. Quindi ϕ(F ) ∈ D1,2 sse ϕ(F ) ∈ L2(Ω) e ϕ′(F )DF ∈L2(Ω× [O, T ]). Inoltre, sotto queste ipotesi:

D[ϕ(F )] = ϕ′(F )DF. (86)

Se ϕ non e C1 ma globalmente Lipschitz con costante K, allora ϕ(F ) e ancora

in D1,2 ed esiste una variabile casuale G, che e limitata da K, tale che:

D[ϕ(F )] = GDF.

Dimostrazione. L’equazione (86) e semplicemente una versione della chain

rule gia enunciata e dimostrata nella Proposizione 2.9. Sia αn(x) una suc-

cessione di nuclei di regolarizzazione della forma αn(x) = nmα(nx), dove α e


una funzione non negativa appartenente a C∞0 (Rm) il cui supporto e la palla

unitaria e tale che∫

Rm α(x)dx = 1. Definiamo ϕn = ϕ ·αn. E facile verificare

che limn ϕn(x) = ϕ(x) uniformemente rispetto a x, e che le funzioni ϕn sono

C∞ con |∇ϕn| ≤ K. Per ogni n abbiamo

D(ϕn(F )) =∑i=1m

∂iϕn(F )DF i. (87)

La successione ϕn(F ) converge a ϕ(F ) in L2(Ω) per n che tende all’infini-

to. D’altra parte, la successione D(ϕn(F )), n ≥ 1 e limitata in L2(Ω;H).

Quindi, per il Lemma 3.2 ϕ(F ) ∈ D1,2 e D(ϕn(F )), n ≥ 1 converge

nella topologia debole di L2(Ω;H) a D(ϕ(F )). Inoltre, la successione

∇ϕn(F ), n ≥ 1 e limitata da K. Quindi esiste una sottosuccessione

∇ϕn(k)(F ), k ≥ 1 che converge a qualche vettore di variabili aleatorie

G = (G1, ..., Gm) nella topologia debole σ(L2(Ω; Rm)). Per di piu, G e

limitato da K. Quindi, facendo il limite in (87), otteniamo che

D(ϕ(F )) =m∑i=1

GiDFi.

La proposizione che segue contiene la formula di Clark-Ocone, che e il

collegamento principale fra hedging e calcolo di Malliavin

Proposizione 3.4. Sia F ∈ D1,2, allora

F = E[F ] +

∫ T

0

E[DtF |Ft]

Dimostrazione. Questa e la formula di Clak-Ocone che possiamo vedere nel

Teorema 2.22.

Per i nostri scopi abbiamo bisogno di calcolare la derivata di Malliavin

del payoff di un’opzione Asiatica con media aritmetica.


Proposizione 3.5. Definiamo gT = 1T

∫ T0S(u)du−K con S(·) dato da (80)

e K ∈ R. Quindi gT ∈ D1,2 e

Dt(gT ) = σgT + σK − σ

T

∫ t

0

S(u)du.

Dimostrazione. Segue direttamente dalla Proprieta 3.1. Infatti abbiamo che

b(S(t)) = r · S(t) σ(S(t)) = σ · S(t)

quindi di conseguenza, il processo di prima variazione associato e

dY (t) = rY (t)dt+ σY (t)dW (t) Y (0) = 1,

che, a meno di una costante dovuto al punto iniziale, e uguale a S(t).

Attraverso semplici operazioni di algebra lineare otteniamo

Ds

(∫ t

0

S(u)du

)=

(∫ t

s

1 · Y (u)Y (s)−1σS(s)du

)· 1[s≤t] =

=︸︷︷︸Y (·)=S(·)

(∫ t

s

σS(u)du

)· 1[s≤t]

Siccome la derivata di Malliavin e additiva e nulla per le costanti, otteniamo

che

DtgT = Dt

(1

T

∫ T

0

S(u)du−K)

=

=1

T

∫ T

t

σS(u)du =

= σgT + σK − σ

T

∫ t

0

S(u)du.

Densita dell’Asiatica con media aritmetica 64

3.3 Densita dell’Asiatica con media aritmetica

In questa sezione studieremo la funzione di densita della media aritmetica del

moto browniano geometrico. Proveremo due strade diverse: una piuttosto

diretta che ci portera ad una formula quasi esplicita, ed una in cui ricaveremo

una EDS per la funzione distribuzione. Questo perche, come vedremo al

momento delle simulazioni, non sempre avere una formula analitica sotto

forma di integrale porta a de buoni risultati numerici. Mentre usando dei

metodi di risoluzione numerica per EDP puo portare ad ottimi risultati.

Proposizione 3.6. Per t > 0, scriviamo come p(t, x, a, b) la densita di

probabilita di∫ t

0exp(au + bW (u)) du. Quindi p(t, x, a, b) = 0 per x ≤ 0

e

p(t, x, a, b) = Γt

∫ ∞0

Ψt(v)

[∫ ∞0

y2ab2 exp

(− 2

b2x[y2 + 2y cosh(v) + 1]

)dy

]dv

per x > 0, dove

Γt(x) = 8(πb3x2

√2πt)−1

exp

(4π2 − (at)2

2b2t

),

Ψt(v) = sin(aπvb2t

)· sinh(v) · exp

(−2v2

b2t

).

Dimostrazione. Definiamo Ut(x; a, b) la funzione distribuzione di probabilita

Ut(x; a, b) = P(∫ t

0

exp(ay + bW (y))dy ≥ x

).

Procedendo col cambio di variabile u = b2

4y otteniamo:

Ut(x; a, b) = P

(∫ b2t4

0

exp

(2

(2au

b2+W (u)

))du ≥ b2x

4

).

Ovviamente

Ut(x; a, b) =

∫Ω

1AdP


dove

A =

w

∣∣∣∣∣∫ b2t

4

0

exp

(2

(2au

b2+W (u)

))du ≥ b2x

4

.

Definiamo una misura P equivalente tale che

dPdP

∣∣∣∣Fs = exp

(−2a2

b4s− 2a

b2W (s)

). (88)

Il teorema di Girsanov ci mostra che (W (t)) definito da W (t) = W (t) + 2atb2

e un moto Browniano sotto P. Dato che

A =

w

∣∣∣∣∣∫ b2t

4

0

exp(

2Wu

)du ≥ b2x

4

,

impostando s = b2t4

nell’equazione (88) da

Ut(x; a, b) =

∫Ω

1AdPdPdP =

∫Ω

1A exp

(2a

b2W b2t

4

− 2a2

b4

(b2t

4

))dP.

Sia ft(x, y) la funzione densita congiunta di (∫ t

0exp(2Wu)du, Wt). Allora

Ut(x; a, b) = exp

(−a

2t

2b2

)∫ ∞b2x4

∫ ∞−∞

exp

(2ay

b2

)f b2t

4

(v, y)dydv.

La funzione densita congiunta ft(x, y) ha una soluzione in forma chiusa:

ft(x, y) = ρt(x, y)

∫ ∞0

exp

(−z

2

2t− exp(y)

xcosh(z)

)sinh(z) sin

(πzt

)dz

(89)

per x > 0, dove

ρt(x, y) =(x2√

2π3t)−1

exp

(2xyt+ π3x− t− t exp(2y)

2xt

).

Dato che

p(t, x, a, b) = −∂Ut(x; a, b)

∂x,


ed otteniamo

p(t, x, a, b) = exp

(−a

2t

2b2

)(b2

4

)∫ ∞−∞

exp

(2ay

b2

)f b2t

4

(b2x

4, y

)dy.

l’espressione di p(t, x, a, b) riportata nella tesi e ottenuta inserendo la rapp-

resentazione per f b2t4

( b2x4, y) data in (89), sostituendo y con ln(y) ed, infine,

riarrangiando i termini.

Definiamo adesso

U(t, x) ≡ P[∫ t

0

exp

(ru− σ2

2u+ σW (u)

)du > x

](90)

= Ut

(x, r − σ2

2, σ

). (91)

Quindi segue direttamente dalla (90) e dalla definizione di p(t, x, a, b) che:

U(t, x) =

∫ +∞

x

p(t, u, r − σ2

2, σ)du per t > 0, x > 0. (92)

Come detto in precedenza, questa espressione puo essere stimata tramite in-

tegrazione numerica.

L’altro metodo che ci eravamo prefissati di provare, e quello di ricavare

un’EDP che caratterizzi questa equazione.

Proposizione 3.7. La funzione U(·, ·) e l’unica soluzione per la seguente

equazione differenziale

1

2σ2x2Uxx + [(σ2 − r)x− 1]Ux − Ut = 0, per t > 0, x > 0, (93)

con condizioni al bordo

U(0+, x) = 0 per x > 0

U(0+, 0) = 1

U(t, x) = 1 per t ≥ 0, x ≤ 0.


Dimostrazione. Usando la notazione

X(t) = exp

(−rt+

σ2

2t− σW (t)

)·[x−

∫ t

0

exp

(ru− σ2

2u+ σW (u)

)du

],

(94)

troviamo che∫ t

0

exp

(ru− σ2

2u+ σW (u)

)du > x se e solo se X(t) < 0,

e quindi che

U(t, x) = P[X(t) < 0|X(0) = x]. (95)

Dall’altra parte abbiamo che (94) e l’unica soluzione forte all’equazione dif-

ferenziale stocastica

dX(t) = [(σ2 − r)X(t)− 1]dt− σX(t)dW (t), per X(0) = x > 0.

Quindi la nostra tesi segue dall’equazione di Kolmogorov all’indietro2. Le

condizioni al bordo ed iniziali sono ovvie.

2Per ulteriori dettagli consultare l’Appendice B

Strategia di replica e pricing quasi-esplicito dell’opzione Asiatica 68

3.4 Strategia di replica e pricing quasi-esplicito del-

l’opzione Asiatica

Teorema 3.8. La strategia di hedging per un’opzione Asiatica con media

aritmetica ft, consiste nell’investire un ammontare di

π(t) = V π(t) +S(t)

T· exp(−r(T − t)) · U(T − t, G(t)) (96)

al tempo t ∈ [0, T ] in sottostante, dove U(·, ·) e data da (92) o (93), e

G(t) =1

S(t)

[K · T −

∫ t

0

S(u)du

]= − T

S(t)

[1

T·∫ t

0

S(u)du−K].

La quantita investita nel bond e invece di

−S(t)

T·G(t) · exp(−r(T − t)) · U(T − t, G(t)). (97)

Dimostrazione. Segue dalle Proposizioni 3.3 e 3.5 che fT ∈ D1,2 e quindi che

fT exp(−rT ) ∈ D1,2

ed inoltre che

Dt[fT exp(−rT )] = exp(−rT )Dt(fT ) (98)

=

[fT + 1gT>0(ω)

K − 1

T

∫ t

0

S(u)du

]σ exp(−rT ).

Possiamo adesso concludere dalla Proposizione 3.4 che

fT exp(−rT ) = E[fT exp(−rT )] +

∫ T

0

E[Dt(fT exp(−rT ))|Ft]dW (t). (99)

Per definizione di strategia di replica e per l’equazione (82) la quantita

investita nel sottostante π(·) soddisfa


∫ T

0

exp(−rt)σπ(t)dW (t). (100)


Notiamo che la sola assenza di arbitraggio, ci dice che il valore iniziale del-

la strategia di replica deve soddisfare v0 = E[fT exp(−rT )]. Il teorema di

rappresentazione dei funzionali di Wiener, afferma che l’integrando nelle

rappresentazioni (99) e (100) sono unici ed inoltre che

π(t) =1

σexp(rt) · E[Dt(fT exp(−rT ))|Ft]. (101)

Segue automaticamente dalle discussioni precedenti che questa strategia e

possibile e rappresenta un hedging. Oltretutto V π(t) exp(−rt) e una martin-

gala e quindi implica che

V (t) exp(−rt) = E[fT exp(−rT )|Ft] quasi ovunque. (102)

Quindi per il significato dell’equazione (98)e l’equazione (102), otteniamo

π(t) = V (t) + exp(−r(T − t)) ·[K − 1

T

∫ t

0

S(u)du

]· P(gT > 0|Ft). (103)

Usando le proprieta del moto Browniano non e difficile ricavare che

P(gT > 0|Ft) = P(

1

T

∫ T

0

S(u)du−K > 0 |Ft)

= P(∫ t

0

S(u)du+

∫ T

t

S(u)du > KT |Ft)

= P(∫ T

t

S(u) · S(t) · S(t)−1du > KT −∫ t

0

S(u)du |Ft)

= P(∫ T

t

exp

([r − σ2

2

]· [u− t] + σWu−t

)du > G(t) |Ft

)= P

(∫ T−t

0

exp

([r − σ2

2

]· u+ σWu

)du > G(t) |Ft

)= U(T − t, G(t)). (104)

Infine, l’equazione (96) segue dall’equazione (103) e dalla (104). L’equazione

(97) segue dalla condizione di portafoglio auto-finanziante.

Per ragioni di assenza d’arbitraggio, V π(t) e il fair price dell’opzione Asi-


atica con media aritmetica al tempo t. Per calcolare tale valore possiamo

usare due formule diverse.

Teorema 3.9. Per ogni istante t con t ≤ 0 ≤ T , il fair price dell’opzione ft

puo essere calcolato equivalentemente come

V (t) = exp(−r(T − t))S(t)

T

∫ +∞

G(t)

U(T − t, x)dx (105)

oppure come

V (t) = exp(−r(T − t))S(t)

T

∫ +∞

G(t)

(x−G(t)) · p(T − t, x, r − σ2

2, σ

)dx,

(106)

dove la funzione U(·, ·) e calcolato impiegando la Proposizione 3.7 o la (92)

assieme alla proposizione 3.6. L’espressione di G(t) e quella definita nel

Teorema 3.8. In particolare, il fair price dell’opzione Asiatica fT al tempo

t = 0 e pari a

V (0) = exp(−r(T − t))S(0)

T

∫ +∞

K·TS(0)

(x− K · T

S(0)

)· p(T, x, r − σ2

2, σ

)dx.

(107)

Dimostrazione. Secondo l’equazione (102), otteniamo

V (t) = exp(−r(T − t))E[fT | Ft] q.o. (108)

Inoltre, e ovvio che

ft =S(t)

T

[∫ T

t

exp

([r − σ2

2

][u− t] + σ[W (u)−W (t)]

)du−G(t)

]+

.

(109)

Sfruttando le proprieta del moto Browniano, segue dall’equazione (109) e

dalla definizione di U(·, ·) che

E[fT |Ft] = −∫ +∞

G(t)

S(t)−G(t) + x

TdU(T − t, x). (110)


Quindi otteniamo l’equazione (106) dalle equazioni (108), (110) e (93). Per

t = 0 abbiamo l’equazione (107). Infine, non e difficile da verificare che

limx→+∞

U(T − t, x) = 0, e limx→+∞

x · U(T − t, x) = 0.

Cosı, grazie alla formula di integrazione per parti, otteniamo che

E[fT |Ft] =S(t)

T

∫ +∞

G(t)

U(T − t, x)dx

e di conseguenza, anche l’equazione (105) segua dalla (108).

I seguenti corollari sono dirette implicazioni del Teorema 3.8.

Corollario 3.10. La quantita investita nel sottostante e sempre positiva. In

particolare, quando∫ t

0S(u)du > K ·T , ovvero quando l’opzione Asiatica e in

the money, abbiamo che

π(t) = exp(−r(T − t))S(t)

T

∫ +∞

G(t)

x · p(Tt, x, r −

σ2

2, σ

)dx.

Osservazione 3.11. Dal significato delle equazioni presenti nei teoremi 3.8

e 3.9, e facile verificare che

π(t) = S(t)∂V (t)

∂S(t),

che significa che l’opzione Asiatica e delta-hedged. Questo risultato puo anche

essere ottenuto seguendo le argomentazioni standard di Black-Scholes, ovvero

creando un portafoglio neutrale rispetto al rischio, in cui compro un’azione

ed una quantita pari a ∆ di opzioni scritte su quell’azione.

Dalla put-call parity per le opzioni Asiatiche con media aritmetica, otte-

niamo il seguente corollario


Corollario 3.12. Il fair price al tempo t ∈ [0, T ] per un’opzione Asiatica con

media aritmetica di tipo put e

V (t) = exp(−r(T − t))S(t)

T

∫ G(t)

0

(G(t)− x) · p(T − t, x, r − σ2

2, σ

)dx.

Mentre la strategia di hedging consiste nell’investire in stock la seguente

quantita:

π(t) = V (t) +G(t) exp(−r(T − t))S(t)

T[1− U(T − t, G(t))],

e l’ammontare investito in bond e V (t)− π(t).

Inoltre otteniamo anche le seguenti espressioni per le greche delta e gam-

ma. Queste greche non solo sono importanti ai fini dell’hedging, ma anche

per un’analisi generale del rischio associato all’opzione Asiatica.

Proposizione 3.13. Per le greche associate all’Asiatica con media aritmet-

ica abbiamo:

∆ ≡ ∂V (t)

∂S(t)

=1

S(t)

[V (t) +

S(t)

T·G(t) · U(T − t, G(t)) · exp(−r(T − t))

],

Γ ≡ ∂2V (t)

∂S(t)2

=(G(t))2

TS(t)· p(T − t, G(t); r − σ2

2, σ

)· exp(−r(T − t)),

∂V (t)

∂K= −U(T − t, G(t)) · exp(−r(T − t)).

4Analisi Numerica

Teoricamente ci sono tre possibilita per calcolare U(t, x). La prima, consiste

nell’usare l’equazione (92) per calcolare U(t, x) come la soluzione di un inte-

grale triplo. La seconda, ottenere U(t, x) come soluzione dell’EDP (93) con

le corrispettive condizioni al bordo. La terza possibilita e quella di usare un

metodo Monte Carlo per calcolare U(t, x), o attraverso l’equazione (95) o

attraverso l’equazione (93).

Iniziamo considerando la prima possibilita. Nonostante esista una soluzione

in forma chiusa di U , l’equazione (92), questa comporta il calcolo di un inte-

grale triplo. In aggiunta, nonostante la funzione sottostante di p(t, x, r − σ2

2, σ)

sia smooth (vedere Proposizione 3.6), ha varie singolarita, numericamente

parlando.

Per essere piu precisi, definiamo

f(t, x, y, v, a, b) = Γt(x) · Φt(v) · y2ab2 · exp

(− 2

b2x[y2 + 2y cosh(v) + 1]

),

dove Γt e Φt sono definiti nella Proposizione 3.6. Con questa notazione,

abbiamo

p(t, x, a, b) =

∫ ∞0

∫ ∞0

f(t, x, y, v, a, b)dy dv (111)

e

U(t, x) =

∫ ∞x

p

(t, u, r − σ2

2, σ

)du per t > 0, x > 0

=

∫ ∞x

∫ ∞0

∫ ∞0

f

(t, x, y, v, r − σ2

2, σ

)dy dv du. (112)

74

Figura 2: La funzione f(0.5, 0.3, y, v, 0.00375, 0.25). Attenzione alla scala.

In questa sezione prenderemo r = 0.035 e σ = 0.25, in modo da avere

r − σ2

2= 0.00375. Scegliendo r = 0.03, avremmo r − σ2

2= −0.00125, che

causerebbe una convergenza a zero di f molto lenta per la variabile y →∞.

Maggiore e r − σ2

2, piu veloce e la convergenza.

Chiaramente, f e periodica nella variabile v con ampiezza variabile (come

si vede nella Figura 2). La lunghezza del periodo e pari a σ2·t2

, ovvero piu

e piccolo il ’time to maturity’, piu piccola sara la lunghezza del periodo. E

difficile integrare f lungo v, perche i valori per i quali vengono raggiunti i

massimi e minimi locali sono diversi in ogni periodo. Questo implica che l’in-

tegrale deve essere calcolato di nuovo ad ogni periodo. Inoltre, se l’ampiezza

e prima crescente, vuol dire che l’integrale del primo periodo e negativo. L’in-

tegrale di tutti i periodi sara non negativo, ma, in pratica, si puo integrare

solo per un numero finito di periodi, il che puo portare alla situazione the

l’integrale sia ancora negativo (che non e possibile visto che e una densita).

Risoluzione numerica dell’EDP 75

Usando avanzati metodi numerici, come la trasformata di Levin, non porta

rimedio a questa situazione.

Ad eccezione dei grossi valori, f non e troppo difficile da integrare rispetto

alla variabile y. Bisogna notare pero che, piu sono piccoli i valori di u e t, piu

saranno grandi i valori di f . I valori scelti nelle figure (u = 0.3 e t = 0.5) non

sono assolutamente i valori piu piccoli di cui avremmo bisogno. Tuttavia f

e gia molto grande, rendendo molto difficile, se non addirittura impossibile,

avere un’accurata stima per p usando l’equazione (111), per non parlare di

U usando l’equazione (112).

Usando un Metodo Monte Carlo per stimare U(t, x) tramite l’equazione

(95) sembrerebbe promettente, ma potrebbe non portare ad un risultato tan-

to accurato come quello raggiunto tramite la risoluzione dell’EDP. Quindi, da

adesso in poi ci concentreremo sulla risoluzione dell’EDP (93), per calcolare

U(t, x) (vedere Figura 4) e∫∞G(t)

U(T − t, x)dx (vedere Figura 5).

4.1 Risoluzione numerica dell’EDP

Innanzitutto, ricordiamo che vogliamo trovare l’equazione di U(t, x) risolven-

do l’equazione (93) che riportiamo di seguito:

1

2σ2x2Uxx + [(σ2 − r)x− 1]Ux − Ut = 0, per t > 0, x > 0,

con condizioni al bordo

U(0+, x) = 0 per x > 0

U(0+, 0) = 1

U(t, x) = 1 per t ≥ 0, x ≤ 0

limx→∞

U(t, x) = 0 per t ≥ 0.

Per prima cosa iniziamo a discretizzare t e x. Essendo una EDP definita

su una semistriscia si deve per forza di cose troncare il dominio. Consideriamo

quindi gli intervalli (0, T ) per il tempo e (xmin, xmax) in spazio. Dividiamo il


primo in Nt intervallini definiti da Nt + 1 nodi e il secondo in Nx intervallini

definiti da Nx + 1 nodi.

Per quanto riguarda l’equazione indefinita abbiamo una derivata prima in

tempo, una derivata prima in x ed una derivata seconda in x. Iniziamo

dalla discretizzazione della derivata seconda in x sulla quale non ci sono

dubbi. Indicati con n = 0, 1, ..., Nt l’indice che scandisce il tempo e con

j = 1, ..., Nx quello che scandisce la x, con Unj = U((j−1)dx, ndt), utilizzando

un’approssimazione del secondo ordine si ottiene

∂2U

∂x2≈Unj−1 − 2Un

j + Unj+1

∆x2

Come discretizzare la derivata prima in x e una scelta delicata. Infatti il

termine di trasporto si comporta in maniera significativamente diversa a

seconda di quali nodi vengono utilizzati nella sua discretizzazione. Quello

che noi vorremmo fare e utilizzare sempre uno schema centrato del tipo

∂U

∂x≈Unj+1 − Un

j−1

2∆x

perche questa e una approssimazione del secondo ordine della derivata prima

e cosı facendo otterremo in totale un errore dell’ordine di grandezza di ∆x2.

Tuttavia non e sempre possibile effettuare questa scelta. Infatti se si sta

utilizzando uno schema totalmente implicito in tempo tutto funziona e non

ci sono problemi, mentre se si utilizza uno schema parzialmente implicito si

possono avere delle soluzioni instabili. La stabilita classica nell’ambito delle

equazioni differenziali mi dice che se parto vicino allora rimango vicino. In

questo caso con soluzioni instabili non si intendono soluzioni che negano la

proposizione precedente, ma soluzioni che pur rimanendo vicino alla soluzione

esatta oscillano attorno ad essa.

Cio accade perche il termine con la derivata prima di fatto mi individua

una direzione privilegiata nella quale avviene il trasporto. Per eliminare

queste oscillazioni, che si verificano quando il trasporto appunto ha un peso

dominante rispetto alla diffusione, e dunque opportuno usare nello schema

numerico solo i nodi j− 1 e j se il trasporto avviene da sinistra verso destra,


e solo i nodi j e j + 1 se il trasporto va nella direzione opposta, in modo

da usare solo le informazioni di quei nodi che gia sono stati raggiunti dalla

perturbazione. Cosı facendo tuttavia, anche se e vero che si possono usare

metodi impliciti che abbiano errori dell’ordine di ∆t2 in tempo (come verra

spiegato meglio piu avanti) che risultino ancora stabili, si perde un ordine di

accuratezza nell’errore in x.

Per tenere conto di queste considerazioni si utilizzera quindi una discretiz-

zazione del tipo

∂U

∂x≈ α

Unj − Un

j−1

∆x+ (1− α)

Unj+1 − Un

j

∆xα ∈ [0, 1]

che corrisponde ad una combinazione convessa della derivata prima calcolata

su diversi nodi.

Infine per quanto riguarda la derivata prima temporale si procedera ad

una discretizzazione tramite i metodi Eulero Esplicito ed Eulero Implicito.

L’approssimazione della (93) nei nodi interni j = 2, 3, ..., Nx e data da:

−Un+1j − Un

j

∆t+σ2

2(j − 1)2∆x2 ·

Un?

j−1 − 2Un?

j + Un?

j+1

∆x2+

+[(σ2 − r)(j − 1)∆x− 1

](αUn?

j − Un?

j−1

∆x+ (1− α)

Un?

j+1 − Un?

j

∆x

)= 0

(113)

Dato che abbiamo a che fare con una condizione iniziale nel problema, nel

nostro schema numerico i termini al passo temporale n saranno noti mentre

quelli al passo temporale n + 1 saranno incogniti. Nella (113) dunque si ha

che n? = n + 1 rappresenta il caso implicito, mentre n? = n rappresenta il

caso esplicito.

Formulazione algebrica e θ-metodo 78

4.2 Formulazione algebrica e θ-metodo

Nella precedente sezione si e effettuata una discretizzazione dell’equazione

differenziale (93). Quello che si vuole fare ora e, partendo da n = 0, arrivare

a risolvere un sistema in forma matriciale del tipo

IUn+1 = EUn dove Un = (Un1 , ...., U

nNx+1) (114)

ad ogni iterazione temporale. Per arrivare a definire le matrici I ed E

riscriviamo le equazioni della precedente sezione in maniera opportuna.

Innanzitutto, avendo deciso di usare un θ-metodo, bisogna riscrivere la

(113). Infatti, per ricavare le matrici necessarie, dobbiamo fare una combi-

nazione convessa del metodo implicito e del metodo esplicito. Ovvero, una

volta isolata la derivata temporale, bisogna mettere nella stessa equazione

sia il contributo implicito, che quello esplicito.

Ut = θ · [PARTE ESPLICITA] + (1− θ)[PARTE IMPLICITA] (115)

dove con PARTE ESPLICITA e PARTE IMPLICITA si intende:

σ2

2x2j ·Un?

j−1 − 2Un?

j + Un?

j+1

∆x2+[(σ2 − r)xj − 1

](αUn?

j − Un?

j−1

∆x+ (1− α)

Un?

j+1 − Un?

j

∆x

)

con n? = n ed n? = n + 1 rispettivamente. Inoltre, per rendere la scrittura

piu snella, si e scelto di porre (j − 1)∆x = xj

Svolgendo i calcoli e raccogliendo i termini al passo n+ 1 si ottiene:

Un+1j−1 ·

[∆t

∆x(θ − 1) ·

(σ2

2

x2j

∆x− α · ((σ2 − r)xj − 1)

)]+

Un+1j ·

[1 +

∆t

∆x(θ − 1) ·

(−σ2

x2j

∆x− (2α− 1) · ((σ2 − r)xj − 1)

)]+

Un+1j+1 ·

[∆t

∆x(θ − 1) ·

(σ2

2

x2j

∆x+ (1− α) · ((σ2 − r)xj − 1)

)].

(116)


Mentre raccogliendo i termini al passo n otteniamo:

Unj−1 ·

[∆t

∆xθ ·(σ2

2

x2j

∆x− α · ((σ2 − r)xj − 1)

)]+

Unj ·

[1 +

∆t

∆xθ ·(−σ2

x2j

∆x− (2α− 1) · ((σ2 − r)xj − 1)

)]+

Unj+1 ·

[∆t

∆xθ ·(σ2

2

x2j

∆x+ (1− α) · ((σ2 − r)xj − 1)

)].

(117)

Siamo arrivati adesso ad avere un’equazione che contiene al suo interno

due parametri, con cui poter scegliere se usare un metodo implicito o esplicito,

o se utilizzare uno schema centrato o decentrato. Questa equazione, una

volta isolati termini in base all’istante temporale, la possiamo scrivere come

(116) = (117). Le condizioni iniziali ed al bordo si ricavano immediatamente.

U0j = 0 ∀j tale che xj > 0

U0j = 1 ∀j tale che xj < 0

Unj = 1 ∀j tale che xj < 0 ∀n

UnNx = 0 ∀n.

A questo punto definiamo le matrice del sistema I ∈ R(Nx+1)×(Nx+1) ed

E ∈ R(Nx+1)×(Nx+1). Dalle precedenti equazioni osserviamo che entrambe le

matrici sono tridiagonali e non dipendono dall’indice temporale n. Dunque

calcoleremo l’inversa di I una volta per tutte prima di effettuare il ciclo

temporale. Tuttavia si potrebbe scegliere di risolvere Nx volte il sistema

dato che e possibile applicare l’algoritmo di Thomas che riesce a risolvere

un sistema tridiagonale con un numero dell’O(Nx) di operazioni, in modo

da avere una migliore efficienza dell’algoritmo per Nx grande. Nel definire

le matrici, bisogna prestare attenzione nel definire le equazioni riguardanti i

nodi interni e quelle relative ai nodi di bordo.

A questo punto la formulazione algebrica del problema (93) diventa

Un+1 = I−1 · E ·Un.


Bisogna pero prestare attenzione alle condizioni al bordo. Se per quelle in-

iziali basta semplicemente inizializzare U0, per le condizioni al bordo c’e

bisogno di una piccola accortezza, ovvero si fa entrare nel ciclo temporale

solo i nodi interni, cosı da tenere fissi quelli esterni (che sono costanti, quindi

non hanno bisogno di essere aggiornati).

Questa generalizzazione al variare dei parametri θ e α permette di af-

frontare il problema con diverse tipologie di schemi numerici.

Infatti ponendo θ = 1 si ottiene il metodo di Eulero Implicito nei nodi

interni. Avendo uno schema cosı regolarizzante ma con ordine dell’errore di

solo ∆t in tempo, risulta opportuno imporre α = 0.5 in modo da utilizzare

uno schema centrato per la discretizzazione della derivata prima in spazio e

ottenere in totale un errore dell’ordine di ∆x2 in x. Si ha dunque in totale

un errore dell’ordine di O(∆t+ ∆x2).

Per utilizzare invece uno schema solo parzialmente implicito si devono

fare alcune premesse. La teoria mi dice che per θ ≥ 1/2 la stabilita del meto-

do (intesa in senso classico) e garantita, anche se possono verificarsi fenomeni

oscillatori nel momento in cui il termine di reazione diventa piccolo rispet-

to a quello di diffusione. Cio ci consiglia dunque di passare da uno schema

centrato della derivata prima in x a uno schema decentrato che tenga conto

solo di due nodi adiacenti. Cosı facendo si ha la certezza di eliminare queste

oscillazioni pagando un ordine di convergenza in x ma guadagnando nell’or-

dine di convergenza in t fino a quando per θ = 0.5 si ottiene il metodo di

Crank-Nicholson che, tenendo conto della stabilizzazione, raggiunge in totale

un errore dell’ordine di O(∆t2 + ∆x). Situazioni di questo genere possono

essere facilmente individuate in Matlab visualizzando l’evoluzione di U in

funzione di x nel tempo.

Se al contrario non accadono situazioni di questo tipo conviene impostare

α = 0.5 in modo tale da avere un metodo di Crank-Nicholson che abbia un

errore del tipo O(∆t2 + ∆x2). Come si puo pero ben vedere nella Figura


Figura 3: La funzione U(T − t, x) per r = 0.035 e σ = 0.25 calcolata conα = 0.5 e θ = 0.5 ovvero con Cranck-Nicholson con uno schema centrato.

3, non possiamo usare quest’ultimo schema proposto, quindi le simulazioni

ed i grafici proposti in seguito, saranno calcolati o con Eulero implicito con

schema centrato, o con Crank-Nicholson con uno schema decentrato.

Calcolo 82

Figura 4: La funzione U(T − t, x) per r = 0.035 e σ = 0.25.

4.3 Calcolo

Osserviamo che la strategia di hedging π(t, G(t), S(t)), esattamente come il

fair price dell’opzione Asiatica V (t, G(t), S(t)), dipende da t, G(t) e da S(t).

Tuttavia, se la strategia di hedging la scriviamo come frazione investita nel

titolo rischioso, otteniamo

π(t, G(t), S(t))

V (t, G(t), S(t))= 1 +

G(t) · U(T − t, G(t))∫∞G(t)

U(T − t, x)dx,

che dipende solo da t e G(t). Quindi, da ora in poi ci concentreremo su

quest’equazione. La frazione investita nel titolo privo di rischio e quindi

1− π(t, G(t), S(t))

V (t, G(t), S(t))= −G(t) · U(T − t, G(t))∫∞

G(t)U(T − t, x)dx

.

Va notato che π(t,G(t),S(t))V (t,G(t),S(t))

non e solamente indipendente da S(t) (e quindi

da S(0)), ma anche da K e da T . Dipende solamente da r e σ che sono i

parametri del mercato (tasso risk-free e volatilita del sottostante rischioso),

ma non dai parametri dell’attuale contratto sull’opzione. Quindi π(t,G(t),S(t))V (t,G(t),S(t))

Calcolo 83

Figura 5: La funzione∫∞G(t)

U(T − t, x) per r = 0.035 e σ = 0.25.

vale per ogni opzione di tipo call Asiatica che sia basata su di un sottostante

rischioso con volatilita pari a σ e sia scritta in un mercato con tasso free-risk

pari a r.

Osserviamo che U(T − t, x) e non negativa (e una misura di proba-

bilita), quindi sara non negativo anche l’integrale∫∞G(t)

U(T − t, x)dx. Inoltre∫∞0U(T − t, x)dx > 0. Mettendo assieme il tutto, otteniamo che

π(t, G(t), S(t))

V (t, G(t), S(t))

> 1 se G(t) > 0

= 1 se G(t) = 0

< 1 se G(t) < 0

Questo comportamento puo essere osservato nelle Figure 6 e 7. In Figura

7 si vede chiaramente che

π(t, G(t), S(t))

V (t, G(t), S(t))−→ 0 se T − t −→ 0 e G(t) < 0

Notiamo anche la soluzione numerica e instabile per T − t prossima allo

0 e per G(t) grande, dato che U(T − t, G(t)) e∫∞G(t)

U(T − t, x)dx sono molto

piccoli (vedi Figura 6).

Codice 84

Figura 6: La frazione π(t,G(t),S(t))V (t,G(t),S(t))

per r = 0.035, σ = 0.25 e T = 1.

4.4 Codice

Di seguito verra riportato il codice utilizzato per risolvere le equazioni di cui

si e parlato sopra.Iniziamo con riportare il codice per trovare U(T − t, x). Ricordiamo

che il codice prevede l’utilizzo del θ-metodo e di uno schema decentrato perla discretizzazione della derivata prima in spazio. Per risolvere il sistemalineare, si e scelto di invertire una sola volta la matrice I che resta costantenel tempo. Si sarebbe potuto scegliere, come gia detto in precedenza, dirisolvere il sistema tramite l’algoritmo di Thomas. Questo ci porterebbesicuramente beneficio in caso di N(x) molto grande, ma per i calcoli svoltiin questo lavoro non e necessario, anzi, aumenterebbe i tempi di calcolo.

function [x,t,U]=trovaU(sigma,r)

% Inserendo il tasso free-risk e la volatilit\‘a del sottostante

% calcola il valore di U in funzione di G e di t

dt=0.02; % passo temporale

dx=0.01; % passo spaziale

teta=0.5; % teta=0 -----> eulero implicito

% teta=0.5----> cranck-nicholson

Codice 85

Figura 7: La frazione π(t,G(t),S(t))V (t,G(t),S(t))

per r = 0.035, σ = 0.25 e T = 1.

alpha=0.5; % alpha=0.5---> schema centrato

% alpha=1 ----> trasporto negativo

[x,t]=meshgrid([-1.5:dx:3],[0:dt:1]);

u=zeros(length(x),1);

zero=find(x(1,:)==0);

u(1:zero)=1;

U=u;

%%%% Teta metodo decentrato I*U(t+1)=E*U(t)

E= diag((dt/dx)*teta*(0.5*sigma^2.*x(1,2:end).^2/dx-...

alpha*((sigma^2-r).*x(1,2:end)-1)),-1)+...

diag(1+(dt/dx)*teta*(-sigma^2.*x(1,:).^2/dx+...

((sigma^2-r).*x(1,:)-1)*(2*alpha-1)),0)+...

diag((dt/dx)*teta*(0.5*sigma^2.*x(1,1:end-1).^2/dx+...

((sigma^2-r).*x(1,1:end-1)-1)*(1-alpha)),+1);

I= diag((dt/dx)*(teta-1)*(0.5*sigma^2.*x(1,2:end).^2/dx-...

Codice 86

alpha*((sigma^2-r).*x(1,2:end)-1)),-1)+...

diag(1+(dt/dx)*(teta-1)*(-sigma^2.*x(1,:).^2/dx+...

((sigma^2-r).*x(1,:)-1)*(2*alpha-1)),0)+...

diag((dt/dx)*(teta-1)*(0.5*sigma^2.*x(1,1:end-1).^2/dx+...

((sigma^2-r).*x(1,1:end-1)-1)*(1-alpha)),+1);

A=inv(I)*E;

for i=dt:dt:1

u(2:end-1)=A(2:end-1,:)*u;

u(1:zero)=1;

U=[U,u];

end

end

Il passo successivo e calcolare∫∞G(t)

U(T−t, x)dx. Per fare questo abbiamo

scelto, molto semplicemente, di utilizzare la formula dei trapezi. Prestare

attenzione ai parametri in ingresso che, anche se con nome diverso, sono gli

stessi identici parametri in uscita dalla funzione TrovaU.

function [IU]=IntegraleU(G,ttm,U)

% Calcolo dell’integrale di U

% con la formula dei trapezi

[T,N]=size(G); % #passi temporali, #passi spaziali

% perch\‘e G \‘e una meshgrid dei temporali e degli spaziali

dx=G(2,2)-G(1,1);

for j=1:T

for i=1:N

Int=0;

for h=i:N-1

Int=Int+0.5*(U(h,j)+U(h+1,j))*dx;

end

IU(i,j)=Int;

end

end

Codice 87

Infine ci rimane da calcolare 1 + G(t)·U(T−t,G(t))∫∞G(t) U(T−t,x)dx

. Avendo gia tutti gli

elementi non ci rimane che combinarli.

function [G,ttm,Fraction]=fraction_risky

% Calcola la frazione di capitale da investire nel titolo rischioso

% con volatilit\‘a pari a sigma in u mercato con tasso d’interesse

% free-risk pari a r.

sigma=0.25;

r=0.035;

[G,ttm,U]=trovaU(sigma,r); %%% ttm= time to maturity

[T,N]=size(G);

IU=IntegraleU(G,ttm,U);

for j=1:T

for i=1:N

Fraction(i,j)=1+(G(1,i)*U(i,j))/IU(i,j);

end

end

5Caso Media Geometrica

Proveremo adesso a svolgere gli stessi passi effettuati in precedenza, pero

applicandoli ad un’opzione Asiatica con media geometrica, ovvero con la

funzione payoff pari a

fT (S(T )) =

[exp

1

T

∫ T

0

ln(S(u))du

−K

]+

.

Per iniziare abbiamo bisogno di un teorema che ci permetta di derivare sec-

ondo Malliavin funzioni composte. Per fare cio, vedremo prima un lemma

tecnico che useremo nella dimostrazione.

Lemma 5.1. Sia (Fn)n≥1 una successione di elementi di D1,2 e supponiamo

che Fn → F in L2(Ω) e che la successione (DFn)n≥1 sia limitata in L2(Ω×[0, T ]): allora F ∈ D1,2.

Dimostrazione. Poiche D1,2 e uno spazio di Hilbert, una successione limitata

e debolmente relativamente compatta: esiste dunque una sottosuccessione

(Fnk)k≥1 convergente debolmente a G ∈ D1,2: quindi (Fnk)k≥1 converge a G

debolmente in L2(Ω) e di conseguenza G = F . Si noti che (DFnk) converge

a DF solo debolmente in L2(Ω× [0, T ]).

Teorema 5.2. Sia F ∈ D1,2, g lipschitziana con costante di Lipschitz C:

allora g F ∈ D1,2 ed esiste Z con |Z(w)| ≤ C quasi certamente, tale che si

abbia

Dt(g F )(w) = Z(w)DtF (w).

89

Dimostrazione. La tesi e vera se g ∈ C1b (R) con Z(w) = g′(F (w)) : consideri-

amo (mediante regolarizzazione) una successione (gn)n≥1 di funzioni di classe

C1 convergente uniformemente a g e tali che |g′(·)| ≤ C.

Innanzi tutto gn F converge a g F in L2(Ω); inoltre la successione

Dt(gn F ) = (g′n F )DtF e limitata in L2(Ω× [0, T ]) e quindi per il Lemma

5.1 (g F ) ∈ D1,2.

Inoltre, poiche la successione (g′n F ) e uniformemente limitata dalla

costante C, e relativamente compatta per la topologia σ(L∞, L1) e quindi

(modulo passaggio ad una sottosuccessione) esiste Z ∈ L∞ con |Z(w)| ≤ C

quasi certamente tale che g′n F converga a Z per la topologia σ(L∞, L1).

Di conseguenza g′n(F )DtF → ZDtF debolmente in L2(Ω × [0, T ]) ma

siccome (sempre passando a una sottosuccessione) g′n(F )DtF → Dt(g F )

debolmente, segue l’eguaglianza Dt(g F ) = ZDtF.

A questo punto possiamo proseguire seguendo l’esercizio fatto per le

opzioni Asiatiche a media aritmetica. Quindi, analogamente a quanto visto

nella Proposizione 3.5, otteniamo

Proposizione 5.3. Definita gT (S(T )) =[exp

1T

∫ T0

ln(S(u))du−K

]+

,

con S(·) dato da (80) e K ∈ R. Allora gT ∈ D1,2 e

Dt(gT ) = (gT + k) · 1

Tσ(T − t).

Dimostrazione. Possiamo riscrivere gT = (f ψ)(S(T ))−K dove

f(x) = ex

ψ(S(T )) =1

T

∫ T

0

ln(S(u))du.

ψ(S(T )) ∈ D1,2 per le proprieta del calcolo di Malliavin. Di conseguen-

za possiamo applicare il Teorema 5.2 ed ottenere che gT ∈ D1,2. Inoltre

90

otteniamo

Dt(gT ) = Dt(f ψ)(S(T ))

= f ′(ψ(S(T ))) ·Dtψ(S(T ))

=︸︷︷︸Proprieta 3.1

exp

(1

T

∫ T

0

ln(S(u))du

)· 1

T

∫ T

t

1

S(u)

Y (u)

Y (t)σS(t)

=︸︷︷︸Y (·)=S(·)

exp

(1

T

∫ T

0

ln(S(u))du

)· 1

T

∫ T

t

1

S(u)

S(u)

S(t)σS(t)

= exp

(1

T

∫ T

0

ln(S(u))du

)· 1

Tσ(T − t)

= (gT + k) · 1

Tσ(T − t).

Proseguendo sulla falsariga del Teorema 3.8 vorremmo arrivare ad una

formula quasi-esplicita per calcolare la quantita da investire nel risky asset.

Possiamo scrivere quindi che:

Dt[fT exp(−rT )] = exp(−rT )Dt[fT ]

= exp(−rT )σ

T(T − t)(fT +K · 1gT>0).

Dalla Proposizione 3.4 si deduce che


∫ T

0

E[Dt(fT exp(−rT ))|Ft]dW (t). (118)

Per l’equazione (82) e sapendo che il valore iniziale della strategia deve

soddisfare v0 = E[fT exp(−rT )], possiamo scrivere


∫ T

0

E exp(−rt)σπ(t)dW (t) (119)

Dunque, mettendo assieme la (118) e la (119), e per il teorema di rappresen-

Implementazione 91

tazione dei funzionali di Wiener ottengo che

π(t) =1

σexp(rt) · E[Dt(fT exp(−rT ))|Ft]

=1

σexp(rt) · E[exp(−rT )(fT +K · 1gT>0)

σ

T(T − t)|Ft].

Siccome V π(t) exp(−rt) e una martingala, possiamo scrivere che

V (t) exp(−rt) = E[fT exp(−rT )|Ft] quasi ovunque.

Dunque, procedendo nei nostri calcoli, troviamo che

π(t) = V (t) · (T − t)T

+(T − t)T

· exp(−r(T − t)) ·K · P(gT > 0|Ft) (120)

che e la quantita di denaro da investire nel titolo rischioso all’istante t.

Abbiamo ottenuto un risultato simile a quello per le opzioni Asiatiche a

media aritmetica. Solamente che nel caso precedente, siamo stati in grado

di esprimere la funzione di ripartizione come la soluzione di una equazione

differenziale parziale nota. In questo caso non siamo in grado di portare una

funzione che rappresenti questa funzione di ripartizione.

Non essendo in grado di ricavare un metodo quasi esplicito, per poter

usare i risultati ottenuti, si puo scegliere di abbandonare la strada analitica

e provare a calcolare P(gT > 0|Ft) tramite il metodo monte carlo. Questo e

esattamente cio che ci apprestiamo a fare.

5.1 Implementazione

Analizziamo brevemente il significato di P(gT > 0|Ft). Questa e la proba-

bilita che l’opzione venga esercitata, condizionatamente al fatto di essere in

t. Ovvero, conoscendo la storia del mio sottostante fino a t, voglio sapere

con che probabilita la media geometrica del sottostante in [0, T ] sia mag-

giore di K. Quindi in ogni istante di tempo t, abbiamo bisogno di effettuare

delle simulazioni da (t, T ], valutare il payoff a scadenza, e stimare con che

probabilita ci sara l’esercizio dell’opzione.

Implementazione 92

Per quanto riguarda la simulazione del risky asset, come gia detto, adop-

ereremo il metodo Monte-Carlo applicato ad un sottostante che evolve sec-

ondo il modello di Black-Scholes classico3, per poi adoperare il metodo della

variabile antitetica per ridurre la varianza.

Un altro problema da affrontare e il valore iniziale dell’opzione. Purtrop-

po, non avendo raggiunto una rappresentazione quasi-esplicita, non siamo in

grado di calcolare il valore esatto della strategia (e quindi il fair price del-

l’opzione). In nostro soccorso pero, viene il fatto che conosciamo in forma

esplicita il valore dell’opzione a t = 0. Questa rappresentazione l’abbiamo

gia incontrata nella Sezione 1.1, per l’esattezza, noi useremo la versione a

tempo discreto la cui rappresentazione e espressa dall’equazione (13).

Un altro problema da affrontare, e costituito dal fatto che abbiamo sı il

valore della strategia a t = 0, ma non abbiamo un modo per calcolare il valore

di questa strategia per ogni t. Questa volta possiamo ricorrere al vincolo di

portafoglio autofinanziato, ovvero

V π(t) = x(t) · S(t) + y(t)

m

V π(t+ 1) = x(t) · S(t+ 1) + e(r·dt)y(t) = x(t+ 1) · S(t+ 1) + y(t+ 1),

dove x(t) e la quantita di titoli rischiosi posseduti in t, e y(t) e il credito con

la banca al tempo t (se y(t) < 0 rappresenta un debito).

Finalmente siamo in grado di calcolare

π(t) = V (t) · (T − t)T

+(T − t)T

· exp(−r(T − t)) ·K · P(gT > 0|Ft),

ricordando che x(t) = π(t)/S(t).

3Per rivedere il metodo, guardare la Sezione 1.2

Codice 93

5.2 Codice

I codici necessari per poter calcolare i risultati sono principalmente quattro

e servono per:

• generare traiettorie antitetiche;

• stimare la probabilita;

• trovare il fair value iniziale dell’opzione;

• gestire il ciclo da 0 a T .

function Path=Asset_MC_AV(S0,mu,sigma,T,Nsteps,Nsim)

Path1=zeros(Nsim,Nsteps+1);

Path1(:,1)=S0;

Path2=zeros(Nsim,Nsteps+1);

Path2(:,1)=S0;

dt=T/Nsteps;

nu=mu-sigma^2/2;

epsilon=randn(Nsim,Nsteps);

for i=1:Nsteps

Path1(:,i+1)=Path1(:,i).*exp(nu*dt+sigma*sqrt(dt)*epsilon(:,i));

Path2(:,i+1)=Path2(:,i).*exp(nu*dt+sigma*sqrt(dt)*(-epsilon(:,i)));

end

Path=[Path1;Path2];

Per calcolare P(gT > 0|Ft) useremo:

function P=Probability(t,St,Gt,S0,K,T,r,sigma,N0)

T=T-t;

N=N0-round(t*200);

Nsim=10000;

if T ~= 0

Path=Asset_MC_AV(St,r,sigma,T,N,Nsim)./S0;

Avg=(prod(Path(:,2:end),2) .*Gt).^(1/N0)*S0;

P=sum(Avg>K)/(2*Nsim);

else

Simulazione 94

P=St*Gt^(1/N0)>K;

end

dove Gt rappresenta∏

u≤t

(SuS0

). Questo e solo un trucco per evitare che il

valore di GT diventi pari a infinito o a 0. Questo spiega le moltiplicazioni in

Path ed in Avg. N0 e il numero di passi temporali per arrivare da 0 a T .

Calcolare il prezzo iniziale della strategia, come riportato in (13), e sem-plice:

function P=PriceGeoDisc(S0,K,T,r,sigma,N)

mu=r-sigma^2/2;

A=(N+1)/(2*N);

B=sqrt((N+1)*(2*N+1)/(6*N^2));

C=mu*A*T+0.5*(sigma*B*sqrt(T))^2;

D=(-log(K/S0)+mu*A*T)/(sigma*B*sqrt(T));

P=exp(-r*T)*(S0*exp(C)*normcdf(D+sigma*B*sqrt(T),0,1)-K*normcdf(D,0,1));

Il codice per gestire il ciclo temporale ci riserviamo di riportarlo in seguito,assieme all’implementazione del metodo per le opzioni Asiatiche a media ar-itmetica, cosı da rendere piu agevole il confronto. In quel codice sfrutteremola seguente funzione per rendere piu snella la scrittura del ciclo:

function pi=piMalliavin(p,t,V,K,T,r)

pi=V*(T-t)/T+(T-t)/T*exp(r*(T-t))*K*p;

5.3 Simulazione

Come gia anticipato, vorremmo mettere a confronto i risultati ,per avere cop-

ertura dinamica attraverso il calcolo di Malliavin, proposti durante questo

lavoro. L’implementazione degli strumenti principali per trovare i valori

desiderati per il caso di opzioni Asiatiche con media aritmetica, e gia sta-

to trattato nella Sezione 4.4. In quella sezione non si sono pero guardati

Simulazione 95

Figura 8: S0 = K = 100, r = 0.05, σ = 0.2

degli aspetti tecnici come l’implementazione di

G(t) =1

S(t)

[K · T −

∫ t

0

S(u)du

].

Per stimarla ad ogni passo temporale useremo il seguente codice:

function G=Git(S,dt,K,T)

G=(1/S(end))*(K*T-sum(S(2:end))*dt);

Dove S e il vettore dei prezzi del risky asset fino all’istante t.

In questo caso abbiamo l’equazione (105) che e una rappresentazione

quasi-esplicita del valore del portafoglio ad ogni istante t ∈ [0, T ].

V (t) = exp(−r(T − t))S(t)

T

∫ +∞

G(t)

U(T − t, x)dx.

Il codice per stimarlo lo scriviamo come segue

function P=PriceAriMalli(t,Gt,St,dx,x,tt,U,T,r)

i=find(tt(:,1)>=T-t,1); % contatore del tempo

Simulazione 96

Figura 9: S0 = K = 100, r = 0.05, σ = 0.2

j=find(x(1,:)>=Gt,1); % contatore spazio

P=exp(-r*(T-t))*St/T* sum(U(j:end,i))*dx;

dove [x,tt,U]=trovaU(sigma,r). L’integrale l’abbiamo approssimato con

delle semplici somme, a tempo fissato ed per x ≥ G(t).

A questo punto, abbiamo tutti gli strumenti necessari per scrivere un

codice in grado di mostrarci esattamente le due strategie che stiamo anal-

izzando. Per le simulazioni, avremmo bisogno di una serie storica. Molto

semplicemente, la possiamo simulare prendendo uno dei path generati dal

programma per la simulazione antitetica con Nsim = 1.

function [MG,Vgeo,Pgeo,MA,Vari,Pari,S]=RollMain(S)

S0=100; % Valore iniziale sottostante

K=100; % Strike

T=1; % Maturity

r=0.05; % Drift

sigma=0.2; % Volatilit\‘a

N=200;

Simulazione 97

Figura 10: S0 = K = 100, r = 0.05, σ = 0.2

dt=T/N;

%%%%%%%%%%%%% Inizializzazione Geometrica %%%%%%%%%%%%%%%%

Gi=1; %

p0=Probability(0,S0,1,S0,K,T,r,sigma,N); %

V0=PriceGeoDisc(S0,K,T,r,sigma,N); % Prezzo iniziale %

P0=V0+exp(-r*T)*K*p0; % Quantit\‘a di denaro investito...

% nel titolo rischioso %

Pf=P0/S0; % # azioni %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%% Inizializzazione Aritmetica %%%%%%%%%%%%%%%%

dx=0.01; %

G0=K*T/S0; %

%

[x,t,U]=trovaU(sigma,r,dt,dx); %

Fraction=fraction_risky(sigma,r,x,t,U); %

%

P0aritmetica=PriceAriMalli(0,G0,S0,dx,x,t,U,T,r); %

h=find(t(:,1)>=T,1); %contatore del tempo %

Simulazione 98

j=find(x(1,:)>=G0,1); %

F0=Fraction(j,h); %

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

for i=1:N

%%%% Geometrica

St=S(i+1); % Tutti gli S sono S(t+1) perch\‘e il caso

Gi=Gi*St/100; % con S(0) l’ho gi inizializzato

p=Probability(dt*i,St,Gi,S0,K,T,r,sigma,N);

V0=Pf*St+(V0-P0)*exp(r*dt); % Valore del portfoglio attuale

P0=piMalliavin(p,dt*i,V0,K,T,r); % Quantit\‘a di denaro in azioni

Pf=P0/St; % # azioni

MG(i)=geomean(S(2:i+1));

VG(i)=V0;

PI(i)=P0;

%%%% Aritmetica

G(i)=Git(S(1:i+1),dt);

P(i)=PriceAriMalli(i*dt,G(i),S(i+1),dx,x,t,U,T,r);

MA(i)=mean(S(2:i+1));

h=find(t(:,1)>=T-i*dt,1); %contatore del tempo

j=find(x(1,:)>=G(i),1);

FR(i)=Fraction(j,h);

end

V0aritmetica=P0aritmetica;

V0geometrica=PriceGeoDisc(S0,K,T,r,sigma,N);

P0=V0geometrica+exp(-r*T)*K*p0;

MG=[S0,MG]; % Vettore della media geometrica nel tempo

MA=[S0,MA]; % Vettore della media aritmetica nel tempo

FR=[F0,FR]; % Vettore della frazione investita in azioni

Vari=[V0aritmetica,P]; % Vettore dei valori del portafoglio aritmetico

Pari=Vari.*FR; % Quantit\‘a investite in titolo rischioso

Simulazione 99

Figura 11: S0 = K = 100, r = 0.05, σ = 0.2

Vgeo=[V0geometrica,VG]; % Vettore dei valori del portafoglio geometrico

Pgeo=[P0,PI]; % Quantit\‘a investite in titolo rischioso

Dove, come gia detto, S e un vettore di lunghezza N + 1, frutto del valore

iniziale piu N steps temporali.

ConclusioniSiamo riusciti a mostrare due possibili applicazioni del calcolo di Malliavin, e

di come questo ci abbia portato a determinare una strategia dinamica di cop-

ertura, sia per media aritmetica che per media geometrica. Va sottolineato

come, per quanto riguarda la media geometrica, abbiamo deciso di applicare

un metodo-monte carlo. In realta conosciamo la funzione densita della media

geometrica (vedere Capitolo 1.1 l’equazione (12)), quindi siamo in grado di

ricavare la funzione di ripartizione del payoff, ma abbiamo preferito provare

un altro metodo numerico seppur, probabilmente, meno preciso.

Questa e solo una minima applicazione di cio che il calcolo di Malliavin e

potenzialmente in grado di offrire. Infatti noi ci siamo limitati a lavorare su

opzioni Asiatiche di tipo average rate, ma ovviamente si potrebbe provare a

svolgere lo stesso esercizio con opzioni average strike. Inoltre potremmo non

limitarci alle opzioni Asiatiche, ma provare a valutare altri tipi di opzioni

path-dependent, come le opzioni barriera.

Volendo proseguire con lo sviluppo, potremmo andare oltre il semplice

moto Browniano. Per l’esattezza, si potrebbe estendere il calcolo di Malliavin

ai processi di Levy, che sono diventati molto diffusi nel pricing degli strumenti

finanziari, poiche simulano meglio l’andamento del mercato, specialmente in

fase di incertezza dei mercati come quella attraversata negli ultimi anni. Per

cui, per poter affrontare alcune dei piu importanti e recenti sviluppi della

finanza, non si puo non considerare l’utilizzo d processi di Levy al posto del

classico moto Browniano.

In Appendice C, troviamo invece un passo un ulteriore sviluppo. Dupire

ha sviluppato una nuova tecnica di calcolo funzionale con cui e in grado di

prezzare qualunque tipo di payoff, e ricavarne non solo le greche, ma anche

la superficie di voletilita, che in ambito finanziario e importantissimo, visto

anche il diffondersi di opzioni il cui sottostante non e altro che la volatilita di

un qualche strumento finanziario. Dupire ricava la formula di ito per funzion-

ali, cosı puo riscrivere l’equazione di Black-Scholes per na qualunque forma

Simulazione 101

di payoff. Ovviamente questo e un nuovo possibile sviluppo, che comunque

nasce seguendo lo spirito del calcolo di Malliavin.

ADefinizioni

Riportiamo di seguito alcune definizioni che possono risultare utili per capire

alcuni passaggi che abbiamo affrontato nel corso di questa tesi.

Equazione ipergeometrica confluente

In matematica per equazione ipergeometrica confluente o equazione di Kum-

mer si intende un’equazione differenziale ordinaria lineare della forma

zd2

dz2w(z) + (b− z)

d

dzw(z)− aw(z) = 0

dove a, b, z sono variabili complesse o variabili formali; in genere a e b sono

considerati parametri che caratterizzano una famiglia di equazioni e di fun-

zioni di z loro soluzioni. Ciascuna delle sue soluzioni e chiamata funzione

ipergeometrica confluente; si individuano in particolare due soluzioni indipen-

denti, M(a, b, z) e U(a, b, z), fornite da serie ipergeometriche; la prima la chi-

amiamo funzione ipergeometrica di Kummer, la seconda funzione di Whittak-

er. (Ricordiamo che per funzione di Kummer si intende una funzione speciale

non collegata alle precedenti.)

La funzione ipergeometrica di Kummer e data dalla serie

M(a, b, z) =∞∑n=0

(a)nzn

(b)nn!

103

dove (a)n = a(a+ 1)(a+ 2) . . . (a+ n− 1) e il fattoriale crescente

La funzione di Whittaker e data da

U(a, b, z) =π

sin(πb)

[M(a, b, z)

Γ[1 + a− b]Γ[b]− z1−bM(1 + a− b, 2− b, z)

Γ[a]Γ[2− b]

]

Funzione Gamma Incompleta

Le funzioni gamma incomplete sono funzioni speciali definite da integrali.

Con le notazione di Abramowitz e Stegun:

Γ(a, x) =

∫ ∞x

e−tta−1dt,

γ(a, x) =

∫ x

0

e−tta−1dt,

P (a, x) =1

Γ(a)

∫ x

0

e−tta−1dt,

dove Γ(a) e la funzione Gamma di Eulero.

Polinomi di Laguerre

In matematica, i polinomi di Laguerre, sono polinomi speciali costituenti

una successione di polinomi, che hanno numerose applicazioni; il loro nome

ricorda il matematico francese Edmond Nicolas Laguerre (1834−1886). Essi

si possono definire come:

Ln(x) :=ex

n!

dn

dxn(e−xxn

)per n = 0, 1, 2, . . .

La successione dei polinomi di Laguerre e una sequenza di Sheffer.

BEquazione di Kolmogorov

all’indietro

Sia X(t), t ≥ 0 un processo diffusivo omogeneo regolare sull’intervallo aper-

to I = (l, r). Definiamo come P (t, x, y) = PrX(t) ≤ y|X(0) = x la

funzione di ripartizione di X(t) soggetta alla distribuzione iniziale

P (0, x, y)

1 se x ≤ y,

0 se x > y,

per esempio andrebbe bene una delta di dirac in x. Ipotiziamo che

P (t, x, y) deriva da una densita continua su (l, r), formalmente

dP (t, x, y)

dy= p(t, x, y) per t > 0 (121)

Il nostro obiettivo e quello di ricavare un equazione alle derivate parziali

per la funzione

u(t, x) = E[g(X(t))|X(0) = x], (122)

dove g(x) e limitata e continua a tratti su I.

Sotto condizioni blande, possiamo garantire che u(t, x) soddisfi l’equazione

alle derivate parziali

∂u

∂t=

1

2σ2(x)

∂2u

∂x2+ µ(x)

∂u

∂x(123)

con condizioni iniziali u(0+, x) = g(x), dove u(0+, x) = limh→0 u(h, x).

105

La specificazione di g(η) = 1 per η ≤ y e 0 per η > y, produce la funzione

di ripartizione

u(t, x) = P (t, x, y).

L’equazione (123) in questo caso e conosciuta come l’equazione di Kolmogorov

all’indietro, che e

∂P (t, x, y)

∂t=

1

2σ2(x)

∂2P (t, x, y)

∂x2+ µ(x)

∂P (t, x, y)

∂x(124)

valida per t > 0 e l < x, y < r. La condizione iniziale associata a (124) e

P (0+, x, y)

1 se x ≤ y,

0 se x > y,

La densita di transizione p(t, x, y) soddisfa anch’essa l’equazione di Kol-

mogorov all’indietro:

∂p

∂t=

1

2σ2(x)

∂2p

∂x2+ µ(x)

∂p

∂x(125)

per t > 0 e x, y ∈ (l, r).

CCalcolo di Ito funzionale

Questo lavoro e molto recente ed e verso dove sembra stia andando la ricerca.

Infatti, grazie alla struttura teorica che stiamo per presentare, si dovrebbe

essere in grado non solo di prezzare ed ottenere una copertura dinamica di

opzioni, ma anche di costruire superfici di volatilita che stanno diventando

sempre piu importanti nel mondo della finanza, soprattutto nel risk manage-

ment. Come vedremo, il modo d’operare e molto simile a quello che abbiamo

usato per i nostri scopi durante questa tesi.

C.1 Notazioni e definizioni

Per iniziare abbiamo bisogno di definire lo spazio delle traiettorie, dei fun-

zionali, una distanza ed il concetto di continuita e derivabilita. Questo perche

lavoreremo con funzionali definiti su traiettorie di diversa lunghezza, quindi

necessiteremo di differenti definizioni.

Spazio

Le traiettorie che considereremo sono Cadlag (continue a destra, limitata a

sinistra) e non continue e ci applicheremo degli shock discontinui per calco-

lare alcune derivate. Questa e una restrizione sulla classe dei funzionali, non

un ampliamento della classe dei processi che consideriamo.

Definiamo con Λt l’insieme di funzioni Cadlag limitate [0, t] → R e Λ ≡∪t∈[0,T ]Λt per una data T . Possiamo notare che Λ non e uno spazio vettoriale

Notazioni e definizioni 107

visto che non e definita la nozione di addizione.

Le traiettorie le scriveremo con lettere maiuscole ed i processi da lettere

minuscole. Per esempio, se x e un processo, il suo valore al tempo t sara xt e

la sua traiettoria fino al tempo t sara Xt ∈ Λt ⊂ Λ e per u ∈ [0, t], Xt(u) = xu.

Funzionale

Definizione: un funzionale e una funzione f: Λ → R. Questo associa un

numero reale ad ogni funzione Cadlag su [0,t] per ogni t ∈ [0, T ].

2 esempi finanziariamente molto importanti sono:

• Prezzo di opzioni path dependent come funzione della traiettoria fino

a quel momento

• Limite superiore/inferiore di un’opzione path dependent come funzione

della traiettoria fino a quel momento


Topologia e continuita

Introduciamo ora una distanza su Λ insieme ad una nozione di continuita

indotta di un funzionale.

Lo spazio Λ contiene traiettorie di diversa lunghezza. Per poter definire una

distanza fra traiettorie di diversa lunghezza, estenderemo quella piu corta,

congelandone l’ultimo valore, fino alla lunghezza della traiettoria piu lunga

(La definizione formale la daremo fra poco). Quindi definiamo una distanza

su Λ come:

Per ogni Xt, Ys ∈ Λ, (ipotizziamo t ≤ s )

dΛ(Xt, Y, s) ≡ ‖Xt,s−t − Ys‖+ s− t

dove Xt,s−t e l’etensione di Xt come descritto sopra.

La presenza di s-t assicura che dΛ sia una distanza, e non solo una semi-

distanza.

Questa distanza induce alla seguente nozione di continuita:

Un funzionale f : Λ→ R e Λ-continuo per ogni Xt ∈ Λ se:

∀ε > 0,∃α > 0∃t.c.


∀Yt ∈ Λ, dΛ(Xt, Ys) < α⇒ |f(Ys)− f(Xt)| < ε

f : Λ→ R e Λ-continuo se e Λ-continuo per ogni Xt ∈ Λt

Questa nozione di continuita e piu debole della nozione di L∞-uniforme

continuita.


Derivate in spazio ed in tempo

Adesso introduciamo la derivata spaziale e temporale di un funzionale. Per

una traiettoria data Xt ∈ Λt, la derivata corrisponde a cambiamenti del val-

ore e dell’istante corrente. Per Xt ∈ Λ, definiamo gli incrementi:

• Xht come Xt con il valore finale shiftato di h ∈ R:

Xht (s) = Xt(s) per s < t Xh

t (t) = Xt(t) + h else

• Xt,δt, dove δt ≥ 0, e un’estensione di Xt ottenuta congelando il punto

finale su [t, t+ δt]:

Xt,δt(s) = Xt(s) per s ≤ t Xt,δt(s) = Xt(t) per s ∈ [t, t+ δt]

Per un funzionale f : Λ→ R,Xt ∈ Λt e definiamo quando esistono


∆xf(Xt) ≡ limh→0

f(Xht )− f(Xt)

h

∆xxf(Xt) ≡ limh→0

∆xf(Xht )−∆xf(Xt)

h

∆tf(Xt) ≡ limδt→0+

f(Xt,δt)− f(Xt)

δt

L’incremento spaziale nella definizione di derivata puo essere sia negativo

che positivo, mentre l’incremento in tempo e solo positivo. Quindi e una

derivata destra.

Queste derivate soddisfano le proprieta classiche: linearita, prodotto, chain

rule.

Introduciamo un’ultima definizione: f : Λ → R e un funzionale smooth

se e Λ-continuo, C2 in spazio e C1 in tempo, con le sue derivate a loro volta

Λ-continui.

Fin’ora non e stato introdotto nessun concetto di probabilita. La base stocas-

tica e uno spazio di probabilita (Ω, F, P ) fornito di una filtrazione (Ft)t∈[0,T ]

che soddisfi le condizioni usuali.

Integrale stocastico

Per g funzionale da Λ→ R∫g(Xt)dxt = lim

ti−ti−1→0

∑i

g(Xti−1)(xti − xti−1

)

se il limite della serie esiste.

Questo e effettivamente un integrale di Ito classico se l’integrando e adattato.

Calcolo di Ito funzionale 112

C.2 Calcolo di Ito funzionale

Con queste definizioni possiamo procedere al risultato principale

Formula di Ito per funzionali

Questa e l’estensione della formula di Ito ai funzionali:

Teorema C.1. Se x e una semi-martingala continua e Xt descrive la sua

traiettoria su [0, t] e F : Λ → R e un funzionale smooth, allora per ogni

T ∈ [0, T ]

f(XT ) = f(X0) +

∫ T

0

∆xf(Xt)dxt +

∫ T

0

∆tf(Xt)dt+1

2

∫ T

0

∆xxf(Xt)d〈x〉t

Osservazione C.2. Una notazione piu concisa e

df(XT ) = ∆xf(Xt)dxt + ∆tf(Xt)dt+1

2∆xxf(Xt)d〈x〉t

o equivalentemente

df = ∆xfdxt + ∆tfdt+1

2∆xxfd〈x〉t

La formula ha la stessa forma della formula di Ito convenzionale, tuttavia le

derivate hanno un significato differente

Osservazione C.3. Se il funzionale e della forma f(Xt) = h(xt, t), allora

∆xf = ∂h∂x,∆tf = ∂h

∂tallora siamo nelle ipotesi classiche e ritroviamo la

formula di Ito.


Generatore infinitesimale

Ipotizziamo

dxt = a(Xt)dt+ b(Xt)dwt

dove (wt)t e un moto Browniano standard e a, b sono funzionali tali che la

EDS e ben posta. Questo esprime la possibile dipendenza dell’evoluzione

del processo rispetto alla sua traiettoria attuale. Definiamo il generatore

infinitesimo A che viene applicato ad un funzionale smooth f : Λ → R per

cui

Af(Xt) ≡ limδ→0

E[f(Xt+δt|Xt)]− f(Xt)

δt.

Ricavando l’attesa dal Teorema C.1, otteniamo:

E[f(Xt+δt)]− f(Xt) = E

[∫ t+δt

t

a(Xu)∆xf(Xu)du+

∫ t+δt

t

∆tf(Xu)du+

+1

2

∫ t+δt

t

b2(Xu)∆xxf(Xu)du

].

Passando ora al limite:

Af(Xt) = ∆tf(Xt) + a(Xt)∆xf(Xt) +b2(Xt)

2∆xxf(Xt).

Questo generatore infinitesimale generalizza quello usuale in due modi: in-

nanzitutto la dinamica puo risultare path dependent; inoltre f e un funzion-

le che puo dipendere dalla storia del processo, a differenza di una funzione

che dipende solo dal valore corrente del processo. Siamo decisamente in un

contesto non Markoviano.

Formula di Feynmaan-Kac per funzionali

Come applicazione, possiamo ricavare quella che puo essere considerata come

la formula di Feynman-Kac per funzionali:


Teorema C.4. Sia x un processo che segua

dxt = a(Xt)dt+ b(Xt)dwt

con a, b tale che l’EDS sia ben definita. Per g : ΛT → R, 0 ≤ T ≤ T e

r : Λ→ R, definiamo f : Λ→ R come:

f(YT ) ≡ E[e−

∫ Tt r(Zu)dug(ZT )|Zt = Yt

]

dove

ZT (u) = Yt(u) u ∈ [0, t]

dzu = a(Zu)du+ b(Zu)dwu u ∈ [t, T ]

Quindi, se f e un funzionale smooth, soddisfa

∆tf(Xt) + a(Xt)∆xf(Xt)− r(Xt)f(Xt) +b2(Xt)

2∆xxf(Xt) = 0

Dimostrazione. Applichiamo la formula di Ito per funzionali del Teorema C.1

a

h(YT ) ≡ E[e−

∫ T0 r(Zu)dug(ZT )|Zt = Yt

]= e−

∫ t0 r(Xu)duf(Yt)

otteniamo quindi

dh = e−∫ t0 rdu

(∆xfdx+ (∆tf − rf)dt+

1

2∆xxfd < x >

)=

= e−∫ t0 rdu

((∆tf + a∆xf − rf +

b2

2∆xxf)dt+ d∆xfdw

).

Dicendo che la il suo drift e pari a zero, visto che h e una martingala,

otteniamo il risultato.


Osservazione C.5. La traiettoria attuale Yt non e necessario sia generata

dalla dinamica x. Per esempio, potrebbe anche avere dei salti. Cio che

importa e che il funzionale sia abbastanza regolare da essere definito su una

traiettoria che parte da Yt e prosegua con la dinamica di x.

Rappresentazione martingala

Combinando il Teorema C.1 ed il Teorema C.4, abbiamo la seguente rappre-

sentazione della variabile causale g(XT ):

Teorema C.6. Sotto le ipotesi del Teorema C.4, con r = 0 e f(Yt) ≡E[g(ZT )|Zt = Yt], allora

g(XT ) = E[g(XT |X0)] +

∫ T

0

b(Xt)∆xf(Xt)dwt

Dimostrazione. Applicando il Teorema C.4 ad f insieme al Teorema C.1,

otteniamo

f(XT ) = f(X0) +

∫ T

0

b(Xt)∆xf(Xt)dwt

che e la tesi del teorema.

Questo da una espressione esplicita dell’integrando nel teorema di rappre-

sentazione martingala e puo essere comparato con la formula di Clark-Ocone

dal calcolo Malliaviniano:

g(XT ) = E[g(XT )|X0] +

∫ T

0

b(Xt)E[Dtg(XT )|Xt]dwt

Quando sia E[Dtg(XT )|Xt] che ∆xf(Xt) sono definite, sono uguali. Il primo

e l’aspettativa di un derivato dipendente dal tempo mentre la seconda e la

derivata di un’attesa, che ha piu regolarita. Per esempio, se g(XT ) ≡ h(xT ),


con h ∈ C0 ma non C1, quest’ultimo non e definito nel senso classico, mentre

il primo e ben definito.

Una spiegazione di cio e che in un modello completo, il rapporto di hedging

di un’opzione path dependent e la derivata del suo prezzo rispetto allo spot

price, nel senso della definizione di ∆xf(Xt).

EDS funzionale per opzioni esotiche

Adesso presentiamo un risultato che e importante per il pricing e l’hedging

di opzioni path dependent con dinamiche che possono essere path dependent.

Teorema C.7. Sotto le ipotesi del Teorema C.4, con tasso d’interesse istan-

taneo r(Xt), ipotizziamo che il prezzo dell’opzione per la traiettoria corrente

Xt e un funzionale smooth f(Xt), allora

∆tf(Xt) +1

2b2∆xxf(Xt) + r(Xt)(∆xf(Xt)xt − f(Xt)) = 0

Dimostrazione. Applichiamo la formula di Ito per funzionale a f(Xt):

df = ∆xfdx+ ∆tfdt+1

2b2∆xxfdt.

Il portafoglio (PF ) di opzioni f con una posizione corta in ∆xf unita di

sottostante, da

dPF = ∆tfdt+1

2b2∆xxfdt

In assenza di arbitraggio, questo portafoglio privo di rischi deve guadagnare

un tasso d’interesse istantaneo:

dPF = r(f −∆xfx)dt


che implica

∆tf +1

2b2∆xxf − r(f −∆xfx) = 0

Possiamo dire quindi che l’EDS di Black-Scholes vale anche per opzioni

path dependent (e con dinamica path dependent).

L’EDS di Black-Scholes e una EDS di hedging che esprime il legame tra

il decadimento nel tempo e la convessita. In generale, i coefficienti sono path

dependent e l’EDS non puo essere usata per prezzare. Tuttavia, nel caso di

un ristretto numero di variabili di stato, possiamo ricondurci ad una EDS

per prezzare. Se la dipendenza dalle traiettoria puo essere riassunta con un

finito numero di variabili di stato z1, ..., zn allora

f(Xt) = g(z1,t, ..., zn,t)

e possiamo applicare la chain rule:

∆xf(Xt) =n∑i=1

∂g

∂zi

∂zi∂x

Svilupperemo il caso delle opzioni Asiatiche; ricaveremo la classica EDS per

prezzare e arriveremo a studiarne una migliore.

EDS classica per opzioni Asiatiche

Ipotizziamo dxt = b(xt, t)dWt. Definiamo It ≡∫ t

0xudu, f(Xt) ≡ g(xt, It, t)

∆tI = xt ⇒ ∆tf =∂g

∂t+∂g

∂Ix

∆xI = 0⇒

∆xf = ∂g

∂x

∆xxf = ∂2g∂x2

∆tf +1

2b2∆xxf = 0⇒ ∂g

∂t+ x

∂g

∂I+

1

2b2 ∂

2g

∂x2= 0


Tuttavia, la presenza della derivata rispetto ad I rende difficile la discretiz-

zazione con le differenze finite.

EDS Asiatica migliorata

Definiamo Jt ≡ Et[∫ T

0xudu] =

∫ t0xudu+ (T − t)xt, f(Xt) ≡ h(xt, Jt, t)

∆tJ = 0⇒ ∆tf =∂h

∂t

∆xJ = (T − t)xt ⇒

∆xf = ∂h

∂x+ (T − t) ∂h

∂J

∆xxf = ∂2h∂x2 + 2(T − t) ∂2h

∂x∂J+ (T − t)2 ∂2h

∂J2

∆tf+1

2b2∆xxf = 0⇒ ∂h

∂t+

1

2b2

(∂2h

∂x2+ 2(T − t) ∂2h

∂x∂J+ (T − t)2 ∂

2h

∂J2

)= 0

La scelta di J al posto di I assorbe il termine di trasporto.

Integrazione per parti

Analizziamo l’aggiunto dell’operatore differenziale per ottenere una formula

di integrazione per parti. Se δ denota integrale di Skorohod (o Ito all’indi-

etro),

δ(g) ≡∫g(Xt)δxt ≡ lim

ti−ti−1→0

∑i

g(Xti)(xti − xti−1)

allora abbiamo la seguente relazione per ogni funzionale smooth h:

δ(h) =

∫ T

0

h(Xt)δxt =

∫ T

0

h(Xt)dxt +

∫ T

0

∆xh(Xt)d < x >t .

In particolare, se x e una martingala,

E

[∫ T

0

h(Xt)δxt

]= E

[∫ T

0

∆xh(Xt)d < x >t

].


Applicandola ad h = fg:

E

[∫ T

0

f(Xt)g(Xt)δxt

]= E

[∫ T

0

∆xf(Xt)g(Xt)d < x >t

]+

+E

[∫ T

0

f(Xt)∆xg(Xt)d < x >t

],

oppure

E

[∫ T

0

∆xf(Xt)g(Xt)d < x >t

]= E

[∫ T

0

f(Xt)g(Xt)δxt

]+

−E[∫ T

0

f(Xt)∆xg(Xt)d < x >t

].

Possiamo riscriverla in una forma piu concisa, con la notazione:

< f |g >≡ E

[∫ T

0

f(Xt)g(Xt)d < x >t

],

< ∆xf |g >= E

[∫ T

0

f(Xt)g(Xt)δxt

]− < f |∆xg > .

In questa formula, sia f che g sono funzionali e f(Xt), g(Xt),∆xf(Xt) e

∆xg(Xt) sono processi. Possiamo confrontarlo con l’integrazione per parti

che si ottiene dal calcolo Malliaviano:

< Dtf |g >= (f, δ(g))

dove f e δ(g) sono variabili casuali, Dtf e g sono processi e (k, l) ≡ E[kl].

Riferimenti bibliografici

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Quasi-Explicit Solution via Malliavin Caclulus (2009).

[2] B.Dupire; Functional Ito Calculus, Bloomberg L.P. (2009).

[3] P.Boyle, A.Potapchik; Prices and sensitivities of Asian options: A

survey, Insurance Mathematics & Economics 42(2008) 189-211 (2007).

[4] E.Fournie, J.Lasry, J.Lebouchoux, P.Lions,N.Touzi; Application of

Malliavin calculus to monte-carlo methods in finance, Finance and

Stochastic 3(4): 391-412, Agosto 1999.

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York (1995).

[6] A.Pascucci; Calcolo Stocastico per la Finanza, Springer, Milano (2008).

[7] I.Karatzas; Lectures on the Mathematics of Finance, American

Mathematical Society, Providence (1997).

[8] I.Karatzas, D.Ocone, J.Li; An extension of Clark’s formula, Stochastics

and Stochastic Reports 37(3): 127-131, Novembre 1991.

[9] P.Wilmott, S.Howison, J.Dewynne; The Mathematics of Financial

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[10] M.Pratelli; Un corso introduttivo sul Calcolo di Malliavin, Universita di

Pisa Anno Accademico 2008-09.

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POLITECNICO DI MILANO · 2013-03-05 · esempio d’applicazione, ... In seguito al celebre lavoro di Black e Scholes sulla valutazione e la copertura delle opzioni, ... di cambio,