1

Politropinis modelisLaikykime, kad slėgis priklauso tik nuo tankio, bet nepriklauso nuo temperatūros (pvz. degeneruotos dujos). Tada pirmosios dvi žvaigždžių vidinės sandaros lygtys nepriklausys nuo kitų dviejų ir galės būti išspręstos analitiškai.

2

2

4 rdr

dmr

mG

dr

dP(1)

(2)

2

dr

dmG

dr

dPr

dr

d

2

2r

mG

dr

dP

2r ir diferencijuojame

pagal r

24 rdr

dm

G

dr

dPr

dr

d

r4

1 2

2

3

Tegul

KP

Konstantos K ir vadinamos politropinėmis būsenoslygtimis.

n

11 , kur n – politropinis indeksas

5.1n )2/5( -nereliatyvistinės degeneruotos elektronų dujos

3n )2/4( -

-reliatyvistinės degeneruotos elektronų dujos

4

G

dr

dPr

dr

d

r4

1 2

2

nKP1

1

dr

dr

dr

d

rnG

Kn

n

n 1

2

2

1

4

)1(

5

dr

dr

dr

d

rnG

Kn

n

n 1

2

2

1

4

)1(

Lygties

sprendinys(r), kai 0 r R, vadinamas politropu.Ribinės sąlygos:

0 )( Rr

0/ drd )0( r

6

dr

dr

dr

d

rnG

Kn

n

n 1

2

2

1

4

)1(

Įvedame

n

c

n

n

n

c

dr

dr

dr

d

rG

Kn

2

21

1

4

)1(

2 Įvedame r

7

n

d

d

d

d

2

2

1Lane-Emden lygtis

1 , kai 0/ dd ties 0

Ribinės sąlygos:

Kai n<5, sprendinys () monotoniškai mažėja ir tampa lygiu 0 ties = 1.

8

Politropė (r) priklausys tik nuo n.

n=1.5 nereliatyvistinės degeneruotos elektronų dujos

n=3 reliatyvistinės degeneruotos elektronų dujos

9

Tokios politropinės žvaigždės masė bus:

1

0

23

0

2 44

ddrrM n

c

R

n

c

rn

d

d

d

d

2

2

1

dd

d

d

dM c

2

0

31

4

1

2

1

34

d

dM c

10

Raskite Lane-Emden lygties analitinį sprendinį, kai n=0. Kam šiuo atveju lygus 1 ir M(R).

Uždavinys

11

1

2

1

34

d

dM c

/1 R

11

2

1

2

3 44

dd

RR

M

ddR

Mc

nnc DR

MD

3

34

1

1 1

3

d

dDn

12

1

2

1

34

d

dM c

12212

1 )1(4)1(4

4

)1(

n

n

cn

n

c

n

n

c

KnGKnG

G

Kn

1 R

1)/(21 ddMn

1nR

Pažymime:

13

G

Kn

R

R

M

MGnn

n

n

n 4)1(

31

Kai n=3, masė M nepriklauso nuo žvaigždės spindulio. Kai n=3, masė M nepriklauso nuo žvaigždės spindulio

2/3

34

G

KMM

Tam tikram K yra tik masės M žvaigždė bus hidrostatinėje pusiausvyroje.

14

G

Kn

R

R

M

MGnn

n

n

n 4)1(

31

Kai n=1, žvaigždės spindulys R nepriklauso nuo žvaigždės masės:

2/1

1 2

G

KRR

15

G

Kn

R

R

M

MGnn

n

n

n 4)1(

31

Kai 1 < n < 3, 1

3 1

n

n

MR

Masei M didėjant, R mažėja.

16

G

Kn

R

R

M

MGnn

n

n

n 4)1(

31

cc KPKP K

n

n

c

n

n

n

n

n

n

n

c R

R

M

MG

n

GP

13

1/1

1

)4(

3/43/23/1)4( cnGMBPc

Bn mažai priklauso nuo n.

17

Kapela ( Aur) - dvinarė žvaigždė. Iš jos periodo nustatyta ryškesnės komponentės masė ir spindulys: M=8.31030 kg, R=9.55 109 m. Tarkime, kad žvaigždę galima aprašyti politrope su indeksu n=3.Raskite slėgį Pc ir tankį c žvaigždės centre. Patikrinkite, ar galioja nelygybė:

Uždavinys

4

2

8 R

MGPc

18

Chandrasekhar masė

Panagrinėkime žvaigždes su n=1.5. Tokios žvaigždėsyra baltosios nykštukės.

G

Kn

R

R

M

MGnn

n

n

n 4)1(

31

Iš lygties:

23

3/1

MRM

MR

2M

19

Jei masė M vis didėja, tankis vis didėja (R turės mažėti).Degeneruotos elektronų dujos taps reliatyvistinėmis (n=3).Tada hidrostatinė pusiausvyra galios tik esant tam tikrai masei M:

2M

2/3

34

G

KMM

3/4

3/4

3/113

8

eH

e m

hcP

nn PKKP1

11

1

/

20

2

2/3

3/43

4

5.1

e

H

Ch Gm

hcMM

SeCh MM 283.5

Kai e=2 (He, C, O….), Mch=1.46 M.

Kai e=2.15 (Fe), Mch=1.26 M.

21

Baltųjų nykštukių spindulio priklausomybė nuo masės (µe=2)