Embed Size (px)
Citation preview
1
POLİNOM VE RASYONEL FONKSİYONLAR
Polinom ifadeleri ile tanımlanan fonksiyonlara polinom fonksiyonlar olarak adlandırılır.
Polinom fonksiyonların grafikleri birçok tepe ve çukur içerebilir, bu özellik onları birçok
gerçek-dünya durumu için uygun bir model haline getirir. Örneğin, bir fabrika sahibi eğer işçi
sayısını arttırırsa üretkenliğin artacağını ancak çok fazla sayıda işçi olması durumunda ise
üretkenliğin azalmaya başlayacağını fark etmiştir. Bu durum, 2.dereceden bir polinom
fonksiyon (bir kuadratik fonksiyon) ile modellenmiştir. Diğer bir örnek, bir voleybol topu
zemine çarptığında havaya doğru hareket etmekte ve ardından aşağı inmektedir. Topun
izleyeceği yol yine bir kuadratik fonksiyon ile modellenir. Polinom fonksiyonların grafikleri,
birçok durumun tasarımında kullanılan düzgün eğrilerdir. Örneğin yelkenli tekne
tasarımcıları, bir yelkenlinin gövde eğrilerini oluşturmak için farklı kübik fonksiyonların
(kübik spline olarak adlandırılan) grafik parçalarını bir araya getirirler.
3.1 KUADRATİK FONKSİYONLAR VE MODELLERİ
Bir polinom fonksiyon, polinom ifade ile tanımlanan bir fonksiyondur. Bu yüzden n.
dereceden bir polinom fonksiyon, aşağıdaki forma sahip bir fonksiyondur.
0 ve 1 dereceye sahip polinom fonksiyonlar ile zaten çalıştık. Bunlar, sırasıyla 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎0 ve
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 formuna sahip ve grafikleri doğru olan fonksiyonlardır. Bu bölümde,
2.dereceden polinom fonksiyonlar ile çalışacağız. Bu fonksiyonlar kuadratik fonksiyonlar
olarak isimlendirilir.
Bu bölümde kuadratik fonksiyonların gerçek-dünya olaylarını nasıl modellediğini göreceğiz.
Kuadratik fonksiyonların grafiklerini analiz ederek buna başlayacağız.
2
Standart Formu Kullanarak Kuadratik Fonksiyonların Çizimi
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 kuadratik fonksiyonunda a = 1 ve b = c = 0 olarak alınırsa, grafiği
Bölüm 2.2 ‘deki Örnek 1 ‘de resmedilen parabol olan 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 kuadratik fonksiyonu elde
edilir. Aslında, herhangi bir kuadratik fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Bölüm 2.5 ‘de
verilen dönüşümler ile 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 grafiğinden elde edilebilirler.
ÖRNEK 1. Bir Kuadratik Fonksiyonun Standart Formu
ise
a) f standart formda ifade ediniz. b) f ‘in grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM
a) 𝑥𝑥2 ‘nin katsayısı 1 olmadığından dolayı, kareye tamamlamadan önce bu katsayıyı x ‘i
içeren terimlerin çarpanlarına ayırmalıyız.
Standart form olarak bulunur.
b) Standart form 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 parabolünün 3 birim sağa kaydırılması, 2 çarpanıyla gerilmesi ve 5
birim yukarı taşınmasıyla grafiği elde edeceğimizi söyler. Parabolün tepe noktası (3,5) ‘tedir
x terimlerinde 2 parantezine al Kareye tamamla: parantez içine 9 ekle, dışında ise 2.9 ‘u çıkar Çarpanına ayır ve basitleştir
3
ve parabol yukarı doğru açıktır. y-kesim noktasının 𝑓𝑓(0) = 23 olduğuna dikkat ederek, Şekil
1 ‘de grafiği çizilmiştir.
Şekil 1
Kuadratik Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri
Bir kuadratik fonksiyon (h,k) tepe noktasına sahipse ve grafiğinin kolları yukarı doğru açıksa,
fonksiyon tepe noktasında minimum değere sahiptir. Ancak grafiğinin kolları aşağı doğru
açıksa tepe noktasında maksimum değeri verir. Örneğin, Şekil 1 ‘deki fonksiyon için (3,5)
tepe noktası grafikte en küçük nokta olması sebebiyle x = 3 ‘de 5 minimum değere sahiptir.
Bir Kuadratik Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değeri
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − ℎ)2 + 𝑘𝑘 standart formuna sahip bir kuadratik fonksiyon f olsun. f ‘in
maksimum ve minimum değerleri x = h ‘de gerçekleşir.
𝑎𝑎 > 0 ise, f ‘in minimum değeri 𝑓𝑓(ℎ) = 𝑘𝑘 ‘dır.
𝑎𝑎 < 0 ise, f ‘in maksimum değeri 𝑓𝑓(ℎ) = 𝑘𝑘 ‘dır.
ÖRNEK 2. Bir Kuadratik Fonksiyonun Minimum Değeri
kuadratik fonksiyonunu ele alalım.
a) f fonksiyonunu standart formda ifade ediniz.
4
b) f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
c) f fonksiyonunun minimum değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
a) Bu kuadratik fonksiyonu standart formda ifade etmek için tam kareye tamamlarız.
b) Şekil 2 ‘de resmedildiği gibi, grafiği tepe noktası (3,4) ‘de ve kolları yukarı doğru açık olan
bir paraboldür.
c) 𝑥𝑥2 ‘nin katsayısı pozitif olduğundan, f minimum değere sahiptir. Minimum değer 𝑓𝑓(3) = 4
‘dür.
Şekil 2
ÖRNEK 3. Bir Kuadratik Fonksiyonun Maksimum Değeri
kuadratik fonksiyonunu ele alalım.
a) f fonksiyonunu standart formda ifade ediniz.
b) f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
c) f fonksiyonunun maksimum değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
a) Bu kuadratik fonksiyonu standart formda ifade etmek için tam kareye tamamlarız.
x terimlerini 5 parantezine al Kareye tamamla: parantez içine 9 ekle, dışında ise 5.9 ‘u çıkar Çarpanına ayır ve basitleştir
5
b) Standart formdan anlaşılacağı üzere, grafiğin tepe noktasının (12
, 94) ve kollarının aşağı
doğru olduğu bir parabol olduğunu anlarız. y-kesim değeri, 𝑓𝑓(0) = 2 ‘dir. x-kesim değerini
bulmak için, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 yapılır ve ortaya çıkan denklem çarpanlarına ayrılır.
Böylece x-kesimleri x = 2 ve x = -1 ‘dir. f fonksiyonun grafiği Şekil 3 ‘dedir.
c) 𝑥𝑥2 ‘nin katsayısı negatif olduğundan, f fonksiyonu 𝑓𝑓 �12� = 9
4 ‘de maksimum değere
sahiptir.
Standart formda bir kuadratik fonksiyonu ifade etmek grafiğini çizmenin yanı sıra, maksimum
ve minimum değerlerini bulmada bize yardımcı olur. Eğer sadece maksimum veya minimum
değeri bulmakla ilgileniyorsak, bunu yapan bir formül mevcuttur. Bu formül, aşağıdaki gibi
genel kuadratik fonksiyonun tam kareye tamamlanmasıyla elde edilir:
x terimlerini -1 parantezine al
Kareye tamamla: parantez içine 14
ekle, dışında ise (−1) 14 ‘u çıkar
Çarpanına ayır ve basitleştir
y = 0 ‘a eşitle
-1 ile çarp
Çarpanlarına ayır
6
Bu denklem ℎ = −𝑏𝑏/2𝑎𝑎 ve 𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏2/(4𝑎𝑎) ile standart formdadır. Maksimum ve minimum
değer 𝑥𝑥 = ℎ ‘da ortaya çıktığı için, aşağıdaki sonuca ulaşırız.
Bir Kuadratik Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değeri
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 kuadratik fonksiyonun maksimum ve minimum değeri aşağıdaki
noktada gerçekleşir:
𝑥𝑥 = −𝑏𝑏
2𝑎𝑎
Eğer 𝑎𝑎 > 0, minimum değer 𝑓𝑓(− 𝑏𝑏2𝑎𝑎
) ‘dır.
Eğer 𝑎𝑎 < 0, maksimum değer 𝑓𝑓(− 𝑏𝑏2𝑎𝑎
) ‘dır.
ÖRNEK 4. Kuadratik Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerlerinin Bulunması
Aşağıdaki kuadratik fonksiyonların maksimum veya minimum değerlerini bulunuz.
a) b)
ÇÖZÜM
a) Bu 𝑎𝑎 = 1 ve 𝑏𝑏 = 4 ‘e sahip bir kuadratik fonksiyondur. Böylece maksimum veya
minimum değeri aşağıdaki noktada gerçekleşir.
𝑎𝑎 > 0 olduğundan fonksiyon minimum değere sahiptir.
b) Bu 𝑎𝑎 = −2 ve 𝑏𝑏 = 4 ‘e sahip bir kuadratik fonksiyondur. Böylece maksimum veya
minimum değeri aşağıdaki noktada gerçekleşir.
x terimlerini a parantezine al Kareye tamamla: parantez içine 𝑏𝑏2
4𝑎𝑎2
ekle, dışında ise (𝑎𝑎) 𝑏𝑏2
4𝑎𝑎2 ‘u çıkar Çarpanına ayır ve basitleştir
7
𝑎𝑎 < 0 olduğundan fonksiyon maksimum değere sahiptir.
Kuadratik Fonksiyonlarla Modelleme
Kuadratik fonksiyonlar aracılığıyla modellenen gerçek-dünya olaylarının bazı örnekleri
üzerinde çalışacağız. Bölüm içerisindeki bu örnekler ve uygulama alıştırmaları, kuadratik
fonksiyonlarla ile doğal bir şekilde modellenen bazı çeşitli durumları örneklendirecektir.
ÖRNEK 5. Bir Araba İçin Maksimum Yakıt Mesafesi
Çoğu araba maksimum yakıt mesafesine ortalama hızda seyahat ederken ulaşır. Belli bir tip
yeni araba için yakıt mesafesi M aşağıdaki fonksiyon ile modellenmektedir.
burada s, saat başına mildeki hızı ve M galon başına mili göstermektedir. Arabanın en iyi
yakıt mesafesi nedir ve hangi hızda bu mesafeye ulaşılır?
ÇÖZÜM
Bu M fonksiyonu 𝑎𝑎 = − 128
ve 𝑏𝑏 = 3 ‘e sahip bir kuadratik fonksiyondur. Böylece maksimum
değeri aşağıdaki noktada gerçekleşir.
Böylece maksimum değer ‘dir. Arabanın en iyi
yakıt tüketimi, saate 42 mil hızla seyahat ederken galon başına 32 mildir.
ÖRNEK 6. Bilet Satışlarından Elde Edilen Gelirin Maksimize Edilmesi
Bir hokey takımı 15.000 izleyici kapasitesine sahip bir salonda maçlarını oynamaktadır. Bilet
fiyatı 14$ iken, son maçlara ortalama katılım 9500 olmuştur. Pazar araştırmaları bilet fiyatı bir
dolar indirildiğinde, ortalama katılımın 1000 kişi artacağını göstermektedir.
a) Bilet fiyatlarından elde edilen geliri modelleyen fonksiyonu bulunuz.
8
b) Bilet fiyatlarından elde edilebilecek geliri maksimum yapan fiyatı bulunuz.
c) Hiçbir izleyicinin gelmeyeceği ve böylece gelirin elde edilemeyeceği yüksek fiyat
miktarının ne olduğunu bulunuz.
ÇÖZÜM
a) Kelimelerdeki Modeli İfade Et. İstediğimiz model, herhangi bir bilet fiyatı için geliri veren
bir fonksiyondur.
Gelir = Bilet Fiyatı × Katılım
Değişkeni Seç. İki tane değişen miktar bulunmaktadır: bilet fiyatı ve katılım. İstediğimiz
fonksiyon fiyata bağlı olduğundan,
x = Bilet Fiyatı
x ‘e göre katlımı ifade ediniz.
Kelimelerle Cebirle
Bilet fiyatı x
İndirilen bilet fiyatı miktarı 14 − x
Katılımdaki artış 1000(14 – x)
Katılım 9500 + 1000(14 – x)
Modeli Kur. İstediğimiz model, belirli bir bilet fiyatı x için geliri veren R fonksiyonudur.
Gelir = Bilet Fiyatı × Katılım
b) Modeli Kullan. R fonksiyonu a = −1000 ve b = 23.500 ile bir kuadratik fonksiyon
olduğundan, maksimum noktası aşağıdaki gibidir.
Böylece maksimum gelir veren bilet fiyatı 11.75$ ‘dır.
c) Modeli Kullan. R(x) = 0 için bilet fiyatını bulmak istemekteyiz.
R(x) = 0 ‘a eşitle
1000 ‘e böl
Çarpanlarına ayır
x için çöz
9
Bu modele göre, 23.50$ ‘lık bilet fiyatı çok yüksektir. Bu bilet fiyatında, maçı izlemek için
seyirci gelmeyecektir (Tabi ki, bilet fiyatı sıfır olduğunda gelir elde edilmeyecektir).
3.2 POLİNOM FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ
Bu bölümde, herhangi bir dereceden polinom fonksiyon ile çalışacağız. Ancak polinom
fonksiyonlar ile çalışmadan önce, terminolojide hem fikir olmamız gerekmektedir.
Polinom Fonksiyonlar
n inci dereceden bir polinom fonksiyon aşağıdaki fonksiyon formundadır:
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0
burada n negatif olmayan bir tamsayı ve 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≠ 0.
𝑎𝑎0, 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 sayıları polinomun katsayıları olarak adlandırılır.
𝑎𝑎0 sayısı sabit katsayı veya sabit terimdir.
En yüksek kuvvetin katsayısı olan 𝑎𝑎𝑛𝑛 sayısı baş katsayıdır ve 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 terimi baş terimdir.
Polinom fonksiyonlara sıklıkla basit bir şekilde polinomlar olarak ifade ederiz. Aşağıdaki
polinom 5 inci derecendedir, baş katsayısı 3 ve sabit terimi −6 ‘dır.
3𝑥𝑥5 + 6𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 − 6
Aşağıda polinomların daha fazla örneği bulunmaktadır.
0. derece
1. derece
2. derece
3. derece
10
Eğer bir polinom sadece bir terimden oluşuyorsa, tek terimli olarak adlandırılır. Örneğin,
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 ve 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = −6𝑥𝑥5 tek terimlidir.
Temel Polinom Fonksiyonların Çizimi
0 veya 1 inci dereceden polinomların grafiği doğrudur (Bölüm 1.10) ve 2 inci dereceden
polinomların grafiği paraboldür (Bölüm 3.1). Polinomun derecesi büyüdükçe, daha karmaşık
grafik olabilir. Ancak, polinom fonksiyonun grafiği süreklidir. Bu kırılma veya boşluk
olmadığı anlamına gelir (Şekil 1 bakın). Ayrıca, bir polinom fonksiyonun grafiği düzgün bir
eğridir. Başka bir deyişle, Şekil 1 ‘de gösterildiği gibi bir köşe veya keskin (sivri) noktalar
yoktur.
Şekil 1
En basit polinom fonksiyonlar, grafikleri Şekil 2 ‘de verilen 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑛𝑛 tek terimlileridir.
Şekilden görüleceği üzere 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑛𝑛 ‘in grafiği, n çift iken 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 grafiği ile n tek iken 𝑦𝑦 =
𝑥𝑥3 grafiği ile benzer şekle sahiptir. Ancak n büyüdükçe, grafik orijin etrafında daha yassı
diğer yerlerde ise daha dik olmaktadır.
Şekil 2 Tek terimlilerin grafikleri
ÖRNEK 1. Tek Terimlilerde Dönüşümler
Aşağıdaki fonksiyonların grafiğini çiziniz.
11
ÇÖZÜM
Şekil 2 ‘deki grafikleri kullanalım ve Bölüm 2.5 ‘deki teknikleri kullanarak onları
dönüştürelim.
a) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = −𝑥𝑥3 ‘ün grafiği, aşağıdaki Şekil 3(a) ‘de gösterildiği gibi x-ekseni üzerinde 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3
‘ün yansımasıdır.
b) 𝑄𝑄(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 2)4 ‘ün grafiği Şekil 3(a) ‘de gösterildiği gibi, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥4 ‘ün 2 birim sağa
kaydırılmasıdır.
c) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥5 grafiği ile başlarız. 𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥5 grafiği dikey olarak gerilmesi ve x-ekseninde
yansıtılmasıyla elde edilir (Şekil 3(c) ‘deki mavi kesikli grafiğe bakın). Son olarak, 𝑅𝑅 =
−2𝑥𝑥5 + 4 grafiği 4 birim yukarı kaydırılarak elde edilir (Şekil 3(c) ‘de kırmızı grafiğe bakın).
Şekil 3
Son Davranış ve Baş Terim
Bir polinomun son davranışı, x pozitif veya negatif yönde çok büyük iken ne olduğunun
tanımıdır. Son davranışı tanımlamak için, aşağıdaki notasyon kullanılır:
𝑥𝑥 → ∞ “pozitif yönde x çok büyük olduğunda” demektir.
𝑥𝑥 → −∞ “negatif yönde x çok büyük olduğunda” demektir.
Örneğin, Şekil 2(b) ‘deki tek terimli 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 aşağıdaki son davranışa sahiptir:
𝑥𝑥 → ∞ iken 𝑦𝑦 → ∞ ve 𝑥𝑥 → −∞ iken 𝑦𝑦 → ∞
Şekil 2(c) ‘deki 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3 tek terimlisi aşağıdaki son davranışa sahiptir:
𝑥𝑥 → ∞ iken 𝑦𝑦 → ∞ ve 𝑥𝑥 → −∞ iken 𝑦𝑦 → −∞
12
Herhangi bir polinom için, son davranış x ‘in en yüksek kuvvetini içeren terim tarafından
belirlenir. Çünkü x büyük olduğunda, diğer terimler büyüklük olarak nispeten önemsizdir.
Aşağıdaki kutu en yüksek kuvvet ve onun katsayısını işaretine dayanarak, dört farklı mümkün
son davranışı tipini göstermektedir.
Polinomların Son Davranışı
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 polinomunun son davranışı, aşağıdaki grafiklerde
gösterildiği gibi n derecesi ve 𝑎𝑎𝑛𝑛 baş katsayısının işareti tarafından belirlenir.
ÖRNEK 2. Bir Polinomun Son Davranışı
Aşağıdaki polinomun son davranışını belirleyiniz.
ÇÖZÜM P polinomu 4 üncü derece ve −2 baş katsayısına sahiptir. Böylece P çift derece
ve negatif katsayıdır, aşağıdaki son davranışı gösterir.
𝑥𝑥 → ∞ iken 𝑦𝑦 → −∞ ve 𝑥𝑥 → −∞ iken 𝑦𝑦 → −∞
Şekil 4 ‘deki grafik P ‘nin son davranışını göstermektedir.
13
Şekil 4
ÖRNEK 3. Bir Polinomun Son Davranışı
a) polinomunun son davranışını belirleyiniz.
b) P ve 𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥5 baş terimi grafikleri beraber çizilirken aynı son davranışa sahip
olduklarını gösteriniz.
ÇÖZÜM
a) P tek derece ve pozitif baş katsayıya sahip olduğundan, aşağıdaki son davranış özelliğine
sahiptir:
𝑥𝑥 → ∞ iken 𝑦𝑦 → ∞ ve 𝑥𝑥 → −∞ iken 𝑦𝑦 → −∞
b) Şekil 5 sürekli olarak büyüyen görüntü dikdörtgenleriyle P ve Q ‘nun grafiklerini
göstermektedir. Görüntü dikdörtgeni daha büyürken, grafikler daha çok birbirine
benzemektedir. Bu durum, aynı son davranışa sahip olduklarına işarettir.
Şekil 5 ve
Örnek 3 ‘deki P ve Q ‘nun neden aynı davranışa sahip olduğunu cebirsel olarak anlamak için,
P ‘yi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırıp Q ile karşılaştıralım.
x büyükken, 5 3𝑥𝑥2⁄ ve 2 3𝑥𝑥4⁄ terimleri sıfıra yakındır. Böylece büyük x ‘ler için:
14
Büyük x değerleri için P ve Q yaklaşık olarak aynı değerlerdedir. Bunu ayrıca aşağıdaki gibi
bir tablo oluşturarak sayısal olarak gösterebiliriz.
Aynı akıl yürütme yoluyla, herhangi bir polinomun son davranışının baş terimi tarafından
belirlendiğini gösterebiliriz.
Polinomların Çizmek İçin Sıfırların Kullanımı
Eğer P polinom fonksiyon ise, 𝑃𝑃(𝑐𝑐) = 0 iken c ‘ye P ‘nin sıfırı denir. Başka bir deyişle, P
‘nin sıfırları 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 0 polinom denkleminin çözümleridir. Dikkat edilirse, 𝑃𝑃(𝑐𝑐) = 0 ise P
‘nin grafiği 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 ‘de x-kesim noktasına sahiptir. Bu yüzden, grafiğin x-kesim noktaları
fonksiyonun sıfır değerleridir.
Polinomların Reel Sıfırlayanları
P bir polinom ve c bir reel sayı ise, aşağıdakiler eş değerdir:
1. c, P ‘nin sıfırıdır.
2. 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐, 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 0 denkleminin bir çözümüdür.
3. 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐, 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘in bir çarpanıdır.
4. c, P ‘nin grafiğinin x-kesim noktasıdır.
Bir P polinomunun sıfırlarını bulmak için, çarpanlarına ayırırız ve Sıfır-Çarpım Özelliğini
kullanırız. Örneğin, 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 6 ‘nın sıfırlarını bulmak için P ‘yi çarpanlarına ayırırız.
Bu çarpanlarına ayrılmış formdan kolayca şunu görürüz:
1. 2, P ‘nin sıfırıdır.
2. 𝑥𝑥 = 2, 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 6 denkleminin bir çözümüdür.
3. 𝑥𝑥 − 2, 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 6 ‘in bir çarpanıdır.
4. 2, P ‘nin grafiğinin x-kesim noktasıdır.
Aynı gerçekler, diğer sıfır −3 için de geçerlidir.
15
Aşağıdaki teorem birçok önemli sonuca sahiptir. Burada polinom fonksiyonların grafiğini
çizmede bize yardımcı olması için kullanacağız.
Polinomlar İçin Ortalama Değer Teoremi
Eğer P bir polinom fonksiyon ve 𝑃𝑃(𝑎𝑎) ve 𝑃𝑃(𝑏𝑏) zıt işaretli ise, bu takdirde a ile b arasında
𝑃𝑃(𝑐𝑐) = 0 olan en azından bir c değeri vardır.
Bu teoremi ispatlamayacağız, ancak Şekil 6 sezgisel olarak neden akla yatkın olduğunu
göstermektedir.
Şekil 6
Bu teoremin önemli bir sonucu, iki tane ardışık sıfır arasında bir polinomun değerlerinin ya
hepsi pozitif ya da hepsi negatiftir. Yani, iki ardışık sıfır arasında polinomun grafiği ya
tamamen x-ekseni üzerinde ya da tamamen x-ekseni altında bulunur. Nedenini anlamak için
𝑐𝑐1 ve 𝑐𝑐2, P ‘nin ardışık sıfırları olsun. Eğer P, 𝑐𝑐1 ve 𝑐𝑐2 arasında hem pozitif hem de negatif
değerlere sahipse, bu durumda Ortalama Değer Teoremince P, 𝑐𝑐1 ve 𝑐𝑐2 arasında diğer bir
sıfıra sahip olmalıdır. Ancak 𝑐𝑐1 ve 𝑐𝑐2 ardışık sıfırlar olması nedeniyle bu mümkün değildir.
Bu gözlem, polinom fonksiyonların grafiğini çizmek için bize aşağıdaki kılavuzu kullanma
imkanını verir.
Polinom Fonksiyonların Grafiğini Çizmek İçin Kılavuz
1. Sıfırlar. Polinomu tüm reel sıfırlarını bulmak için çarpanlarına ayır: Bunlar grafiğin
x-kesim noktalarıdır.
2. Test Noktaları. Polinom değerleri için bir tablo oluştur. Sıfırlar tarafından
belirlenen aralıklarda, polinom grafiğinin x-ekseni üzerinde veya altında olup
olmadığını belirlemek için test noktaları ekleyin. y-kesim noktasını tabloya ekleyin.
3. Son Davranış. Polinomun son davranışını belirleyin.
16
4. Çizim. Kesim ve tablodaki diğer noktaları işaretleyin. Bu noktalardan geçen ve
istenilen son davranışı sergileyen düzgün bir eğri çizin.
ÖRNEK 4. Polinom Fonksiyonun Grafiğini Çizmek İçin Sıfırların Kullanımı
polinom fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM Sıfırlar 𝑥𝑥 = −2,1 ve 3 ‘dür. Bunlar, aralıkları (−∞, −2), (−2, 1), (1, 3) ve (3, ∞)
olarak oluşturur. Bu aralıklardaki test noktalarını kullanarak, aşağıdaki işaret diyagramındaki
bilgiyi elde ederiz (Bölüm 1.7 ‘e bakın).
Birkaç ek noktanın işaretlenmesi ve bunların düzgün bir eğri ile birleştirilmesi Şekil 7 ‘deki
grafiğin tamamlanmasında bize yardımcı olur.
ÖRNEK 5. Polinom Fonksiyonun Çizimi ve Sıfırlarının Bulunması
olsun.
a) P ‘nin sıfırlarını bulun.
b) P ‘nin grafiğini çizin.
ÇÖZÜM a) Sıfırları bulmak için tamamen çarpanlarına ayıralım.
x çarpanına ayır
kuadratik çarpanı ayır
17
Böylece, 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 3 ve 𝑥𝑥 = −1 sıfırlardır.
b) x-kesim noktaları 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 3 ve 𝑥𝑥 = −1. y-kesim noktası 𝑃𝑃(0) = 0 ‘dır. Ardışık sıfırlar
arasında test noktaları seçtiğimizden emin olmak için, 𝑃𝑃(𝑥𝑥) değerleri için bir tablo
oluştururuz.
P ‘nin derecesi tek ve baş katsayısı pozitif olduğundan, aşağıdaki son davranışa sahiptir:
𝑥𝑥 → ∞ iken 𝑦𝑦 → ∞ ve 𝑥𝑥 → −∞ iken 𝑦𝑦 → −∞
Şekil 8 ‘de gösterildiği gibi grafiği çizmek için, tablodaki noktalar işaretlenir ve düzgün bir
eğri ile birleştirilir.
ÖRNEK 6. Polinom Fonksiyonun Çizimi ve Sıfırlarının Bulunması
olsun.
a) P ‘nin sıfırlarını bulun.
b) P ‘nin grafiğini çizin.
ÇÖZÜM
a) Sıfırları bulmak için tamamen çarpanlarına ayıralım.
Böylece, 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = − 32 ve 𝑥𝑥 = 1 sıfırlardır.
b) x-kesim noktaları 𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = − 32 ve 𝑥𝑥 = 1. y-kesim noktası 𝑃𝑃(0) = 0 ‘dır. Ardışık sıfırlar
arasında test noktaları seçtiğimizden emin olmak için, 𝑃𝑃(𝑥𝑥) değerleri için bir tablo
oluştururuz.
P ‘nin derecesi çift ve baş katsayısı negatif olduğundan, aşağıdaki son davranışa sahiptir:
−𝑥𝑥2 çarpanına ayır
kuadratik çarpanı ayır
18
𝑥𝑥 → ∞ iken 𝑦𝑦 → −∞ ve 𝑥𝑥 → −∞ iken 𝑦𝑦 → −∞
Şekil 9 ‘da gösterildiği gibi grafiği çizmek için, tablodaki noktalar işaretlenir ve düzgün bir
eğri ile birleştirilir.
Şekil 9
ÖRNEK 7. Polinom Fonksiyonun Çizimi ve Sıfırlarının Bulunması
olsun.
a) P ‘nin sıfırlarını bulun.
b) P ‘nin grafiğini çizin.
ÇÖZÜM
a) Sıfırları bulmak için tamamen çarpanlarına ayıralım.
Böylece, 𝑥𝑥 = −2 ve 𝑥𝑥 = 2 sıfırlardır.
b) x-kesim noktaları 𝑥𝑥 = −2 ve 𝑥𝑥 = 2 ‘dir. y-kesim noktası 𝑃𝑃(0) = 8 ‘dir. Tablo ek 𝑃𝑃(𝑥𝑥)
değerlerini içermektedir.
P ‘nin derecesi tek ve baş katsayısı pozitif olduğundan, aşağıdaki son davranışa sahiptir:
𝑥𝑥 → ∞ iken 𝑦𝑦 → ∞ ve 𝑥𝑥 → −∞ iken 𝑦𝑦 → −∞
Şekil 10 ‘da gösterildiği gibi grafiği çizmek için, noktalar düzgün bir eğri ile birleştirilir.
gruplandır ve çarpanlarına ayır
𝑥𝑥 − 2 parantezine al
karelerin farkını al
basitleştir
19
Şekil 10
SIFIRA YAKINKEN GRAFİĞİN ŞEKLİ
Her ne kadar 𝑥𝑥 = 2 Örnek 7 ‘deki polinomun sıfırı olsa da, grafiği 2 x-kesim noktasında x
eksenini kesmemektedir. Bunun nedeni polinomun sıfırının bulunduğu (𝑥𝑥 − 2)2 çarpanı çift
kuvvetlidir ve böylece 2 ‘nin her iki yanındaki test noktalarının işareti değişmez. Benzer
şekilde, Örnek 6 ‘daki grafik 𝑥𝑥 = 0 ‘da x eksenini kesmez.
Genel olarak, eğer c, P ‘nin sıfırı ve buna karşılık gelen 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 çarpanı P ‘nin çarpanlarında m
kez ortaya çıktıysa, bu takdirde c ‘ye m katlı sıfır deriz. c x-kesim noktasının her iki
yanındaki test noktaları düşünüldüğünde, eğer m katlılık tek ise grafiğin x-eksenini keseceğini
ve eğer m çift ise grafiğin x-eksenini kesmeyeceği sonucuna varırız. Ayrıca, kalkülüs
faydalanarak 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 yakınında ilgilendiğimiz grafiğin 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)𝑚𝑚 grafiği ile aynı genel
şekli taşıdığı gösterilebilir.
m Katlı Sıfır Yakınında Grafiğin Şekli
Eğer c, P ‘nin m katlı sıfırı ise, bu durumda c yakınında P ‘nin grafiğinin şekli aşağıdaki gibi
olacaktır.
ÖRNEK 8. Sıfırlarını Kullanarak Polinom Fonksiyonun Çizimi
polinomunun grafiğini çizin.
ÇÖZÜM
20
P ‘nin sıfırları 2, 4 ve 3 katlılık ile sırasıyla −1, 0 ve 2 ‘dir.
2 sayısı tek katlıdır. Bu yüzden söz konusu grafik, 2 x-kesim noktasında x eksenini kesecektir.
Ancak 0 ve −1 sayıları çift katlıdır, bu yüzden grafik 0 ve −1 x-kesim noktalarında x eksenini
kesmeyecektir.
P polinomu 9 uncu derece ve pozitif baş katsayıya sahip olduğundan, aşağıdaki son davranışa
sahiptir:
𝑥𝑥 → ∞ iken 𝑦𝑦 → ∞ ve 𝑥𝑥 → −∞ iken 𝑦𝑦 → −∞
Bu bilgi ve tablo değerleri ile birlikte, Şekil 11 ‘deki grafiği çizeriz.
Polinomların Yerel Maksimum ve Minimumu
Bölüm 2.3 ‘den hatırlanacağı üzere, (𝑎𝑎, 𝑓𝑓(𝑎𝑎)) noktası görüntü dikdörtgeni içerisindeki f
grafiğinde en yüksek nokta ise, bu durumda 𝑓𝑓(𝑎𝑎), f ‘in yerel maksimum değeridir. Eğer
(𝑏𝑏, 𝑓𝑓(𝑏𝑏)) görüntü dikdörtgeni içerisindeki f grafiğinde en düşük nokta ise, bu durumda 𝑓𝑓(𝑏𝑏)
yerel minimumdur (Şekil 12 bakın). Grafikteki (𝑎𝑎, 𝑓𝑓(𝑎𝑎)) gibi bir noktaya yerel maksimum
noktası ve (𝑏𝑏, 𝑓𝑓(𝑏𝑏)) ise yerel minimum noktası deriz. Bir fonksiyonun grafiğindeki yerel
maksimum ve minimum noktaları yerel ekstremum (uç değerler) olarak adlandırılır.
21
Bir polinom fonksiyonun yerel ekstremum sayısı aşağıdaki ilkenin gösterdiği gibi
derecesinden küçük olmak zorundadır (Bu ilkenin ispatı kalkülüs gerektirmektedir).
Polinomların Yerel Ekstremumu
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎0, n inci dereceden bir polinom ise, P ‘nin
grafiğinin en fazla 𝑛𝑛 − 1 tane yerel ekstremumu vardır.
Aslında n inci dereceden bir polinom 𝑛𝑛 − 1 taneden daha az yerel ekstremuma sahip olabilir.
Örneğin, 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥5 (Şekil 2 ‘de çizilmiştir) 5 inci dereceden olmasına rağmen, yerel
ekstremumu yoktur. Yukarıdaki ilke, bize sadece n inci dereceden bir polinomun 𝑛𝑛 − 1
taneden daha fazla sayıda yerel ekstremumu olamayacağını söylemektedir.
ÖRNEK 9. Yerel Ekstremum Sayısı
Her bir polinomun kaç tane yerel ekstremumu olduğunu belirleyiniz.
ÇÖZÜM Şekil 13 ‘de grafikleri gösterilmiştir.
a) 𝑃𝑃1, toplamda üç yerel ekstremum noktasından iki yerel minimum noktaya bir de yerel
maksimum noktaya sahiptir.
b) 𝑃𝑃2, toplamda dört yerel ekstremum noktasından iki yerel minimum noktaya iki de yerel
maksimum noktaya sahiptir.
c) 𝑃𝑃3, sadece bir yerel ekstremum noktasından bir yerel minimum noktaya sahiptir.
22
Şekil 13
Bir grafik çizici ile aynı görüntü ekranında birçok fonksiyonun grafiğini bir kerede hızlıca
çizebiliriz. Bu bize fonksiyonun tanımındaki bir değerin değiştirilmesinin fonksiyonun
grafiğini nasıl etkileyeceğini görmemize olanak sağlar. Sıradaki örnekte, bu ilkeyi üçüncü
dereceden polinom ailesine uyguladık.
ÖRNEK 10. Bir Polinom Ailesi
𝑐𝑐 = 1,2 ve 3 için 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 𝑐𝑐𝑥𝑥2 polinom ailesinin grafiğini çiziniz. c değerinin
değiştirilmesi grafiği nasıl etkilemektedir?
ÇÖZÜM Aşağıdaki polinomlar Şekil 14 ‘de çizilmiştir.
c değerlerini arttırmak, y-ekseninin sağında gittikçe derinleşen bir vadinin ortaya çıkmasına
ve orijinde bir yerel maksimum ve Dördüncü bölgedeki bir noktada ise yerel minimum
oluşmasına neden olmaktadır. Bu yerel minimum, c arttıkça daha aşağı ve daha uzağa hareket
etmektedir. Bunun nedenini anlamak için, 𝑃𝑃 = 𝑥𝑥2(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐) ifadesini çarpanlarına ayır. P
polinomu 0 ve c ‘de sıfırlara sahiptir ve c büyüdükçe, minimum nokta 0 ile c arasında daha
uzağa gidecektir.
Şekil 14 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 𝑐𝑐𝑥𝑥2 polinom ailesi
23
3.3 POLİNOMLARDA BÖLME
Şuana kadar polinom fonksiyonlar ile grafiksel olarak çalıştık. Bu bölümde, polinom
fonksiyonlar ile cebirsel olarak çalışmaya başlayacağız. Çalışmamızın büyük bölümü
polinomları çarpanlarına ayırmakla ilgilidir ve çarpanlarına ayırmak için polinomların nasıl
bölüneceğini bilmemiz gerekir.
Polinomların Kalanlı Bölümü
Polinomların bölünmesi sayıların bölünme süreci ile oldukça benzerlik taşımaktadır. 38 ‘i 7
‘ye böldüğümüzde bölüm 5 kalan ise 3 ‘tür. Aşağıdaki yazılır.
Polinomları bölmek için aşağıdaki gibi kalanlı bölme kullanılır.
Bölme Algoritması
𝑃𝑃(𝑥𝑥) ve 𝐷𝐷(𝑥𝑥) polinomlar ise, 𝐷𝐷(𝑥𝑥) ≠ 0 iken, bu durumda aşağıdaki eşitliği sağlayan 𝑄𝑄(𝑥𝑥) ve
𝑅𝑅(𝑥𝑥) polinomları mevcuttur.
Burada, 𝑅𝑅(𝑥𝑥) ya 0 ya da 𝐷𝐷(𝑥𝑥) ‘in derecesinden daha küçük dereceye sahiptir. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ve 𝐷𝐷(𝑥𝑥)
polinomları sırasıyla bölünen ve bölen olarak isimlendirilir. 𝑄𝑄(𝑥𝑥) ve 𝑅𝑅(𝑥𝑥) ise bölüm ve
kalandır.
Bölme algoritmasını diğer bir şekilde yazmak için, 𝐷𝐷(𝑥𝑥) ile aşağıdaki gibi bölünür.
𝑃𝑃(𝑥𝑥)𝐷𝐷(𝑥𝑥)
= 𝑄𝑄(𝑥𝑥) +𝑅𝑅(𝑥𝑥)𝐷𝐷(𝑥𝑥)
ÖRNEK 1 Polinomların Kalanlı Bölümü
6𝑥𝑥2 − 26𝑥𝑥 + 12 polinomunu 𝑥𝑥 − 4 ile böl.
24
ÇÖZÜM Bölünen 6𝑥𝑥2 − 26𝑥𝑥 + 12 ve bölen 𝑥𝑥 − 4 ‘dür. Bu terimleri aşağıdaki gibi organize
ederiz.
Ardından bölünendeki baş terimi bölendeki baş terime bölerek, bölümün ilk terimi
6𝑥𝑥2 𝑥𝑥 = 6𝑥𝑥⁄ elde edilir. Sonra bölen 6𝑥𝑥 ile çarpılır ve bu çarpım bölünenden çıkarılır.
−2𝑥𝑥 + 12 son satırı bölünen olarak kullanılarak bu süreç tekrarlanır.
Bu bölme süreci, son satır bölenden daha küçük dereceye sahip olduğu zaman sonlanır. Bu
durumda, son satır kalandır ve baştaki satır ise bölümdür. Bölmenin sonucu, iki farklı şekilde
ifade edilebilir.
ÖRNEK 2 Polinomların Kalanlı Bölümü
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 8𝑥𝑥4 + 6𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 1 ve 𝐷𝐷(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 2 olsun. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝐷𝐷(𝑥𝑥) ∙ 𝑄𝑄(𝑥𝑥) + 𝑅𝑅(𝑥𝑥)
olacak şekilde 𝑄𝑄(𝑥𝑥) ve 𝑅𝑅(𝑥𝑥) polinomlarını bulunuz.
ÇÖZÜM Sütunları doğru bir şekilde hizalamak için ilk olarak 0𝑥𝑥3 terimi bölünen içerisine
eklenir.
baş terimler bölünür: 6𝑥𝑥2
𝑥𝑥= 6𝑥𝑥
6𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 4) = 6𝑥𝑥2 − 24𝑥𝑥 çarpımı elde edilir
çıkarma yapılır ve 12 aşağı indirilir
baş terimler bölünür: −2𝑥𝑥𝑥𝑥
= −2
−2(𝑥𝑥 − 4) = −2𝑥𝑥 + 8 çarpımı elde edilir
çıkarma yapılır
25
Süreç bu noktada tamamlanır. Çünkü −7𝑥𝑥 + 1 ‘in derecesi 2𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 2 böleninin
derecesinden daha küçüktür. Yukarıdaki bölme işleminden, 𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 ve 𝑅𝑅(𝑥𝑥) =
−7𝑥𝑥 + 1 olduğu anlaşılır. Böylece
8𝑥𝑥4 + 6𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 1 = (2𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 + 2)(4𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥) + (−7𝑥𝑥 + 1)
Sentetik Bölme
Sentetik bölme, polinomları bölmenin hızlı bir yoludur. Bölen 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 formunda iken
kullanılabilir. Sentetik bölmede, kalanlı bölmenin sadece temel parçalarını yazarız. 2𝑥𝑥3 −
7𝑥𝑥2 + 5 ‘i 𝑥𝑥 − 3 ‘e bölünmesi durumunda, aşağıdaki kalanlı ve sentetik bölmeleri
karşılaştırınız (Örnek 3 ‘de sentetik bölmenin nasıl uygulandığını açıklayacağız).
Dikkat edilirse, sentetik bölmede 2𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2 + 5 ifadesinin sadece katsayılarını 2 -7 0 5
yazarak ve 𝑥𝑥 − 3 yerine basitçe 3 yazarak kısaltırız (-3 yerine 3 yazma çıkarma yerine
toplama yapmamıza olanak verir, ancak bu durum sarı kutuda görülen tüm sayıların işaretini
değiştirir).
Sonraki örnek sentetik bölmenin nasıl yapıldığını göstermektedir.
ÖRNEK 3 Sentetik Bölme
2𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥2 + 5 ifadesini 𝑥𝑥 − 3 ‘e bölmek için sentetik bölmeyi kullanınız.
ÇÖZÜM Bölen ve bölüneni temsil etmek için uygun katsayıların yazılmasıyla başlanır.
böleni 4𝑥𝑥2 ile çarp çıkarma
böleni 2𝑥𝑥 ile çarp çıkarma
26
2 aşağıya indirilir, 3 ∙ 2 = 6 çarpımı ortadaki satıra yazılır. Ardından toplama yapılır.
Bu çarpma ve ardından toplama sürecine, tablo tamamlanana kadar devam edilir.
Sentetik bölmenin son satırından, bölümün (2𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 − 3) ve kalanın −4 olduğu görülür.
Böylece
Kalan ve Çarpan Teoremleri
Aşağıdaki teorem, sentetik bölmenin polinomları kolay bir şekilde değerlendirmek için nasıl
kullanılabileceğini göstermektedir.
Kalan Teoremi
Eğer 𝑃𝑃(𝑥𝑥) polinomu 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ile bölünürse, bu durumda kalan 𝑃𝑃(𝑐𝑐) ‘dir.
İspat Bölme algoritmasındaki bölen bir c reel sayısı için 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 formunda ise, kalan bir sabit
olmak zorundadır (kalanın derecesi bölenin derecesinden daha küçük olması nedeniyle). Bu
sabite r dersek:
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐). 𝑄𝑄(𝑥𝑥) + 𝑟𝑟
Bu denklemde x yerine c koyarsak, 𝑃𝑃(𝑐𝑐) = (𝑐𝑐 − 𝑐𝑐). 𝑄𝑄(𝑥𝑥) + 𝑟𝑟 = 0 + 𝑟𝑟 = 𝑟𝑟 olur. Böylece
𝑃𝑃(𝑐𝑐), r kalanıdır.
27
ÖRNEK 4 Bir Polinom Değerini Bulmada Kalan Teoreminin Kullanımı
olsun.
a) 𝑃𝑃(𝑥𝑥), 𝑥𝑥 + 2 ile bölündüğünde bölüm ve kalanı bulunuz.
b) Kalan Teoremini 𝑃𝑃(−2) ‘yi bulmak için kullanınız.
ÇÖZÜM
a) 𝑥𝑥 + 2 = 𝑥𝑥 − (−2) olduğundan, bu problem için sentetik bölme aşağıdaki şekildedir.
Bölüm 3𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 − 1 ve kalan 5 ‘dir.
b) Kalan Teoremine göre 𝑃𝑃(−2), 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ifadesi 𝑥𝑥 − (−2) = 𝑥𝑥 + 2 bölündüğünde kalandır. a)
‘dan kalan 5 ‘tir. Böylece 𝑃𝑃(−2) = 5 ‘dir.
Aşağıdaki teorem, polinomun sıfırlarının çarpanlarına karşılık geldiğini söylemektedir. Bu
gerçeği, polinomların grafiğini çizerken Bölüm 3.2 ‘de kullandık.
Çarpan Teoremi
𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 sadece 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘in çarpanı ise, c sabiti P ‘nin sıfırıdır.
İspat 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ifadesi 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐). 𝑄𝑄(𝑥𝑥) şeklinde çarpanlarına ayrılırsa, bu durumda
Aksine, eğer 𝑃𝑃(𝑐𝑐) = 0 ise Kalan Teoremine göre
böylece 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ifadesi 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘in bir çarpanıdır.
ÖRNEK 5 Çarpan Teoremini Kullanarak Polinomun Çarpanlara Ayrılması
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 7𝑥𝑥 + 6 olsun. 𝑃𝑃(1) = 0 olduğunu gösterin ve bu gerçeği 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘i tamamen
çarpanlarına ayırmada kullanın.
ÇÖZÜM Yerine koyarak, 𝑃𝑃(1) = 13 − 7.1 + 6 = 0 olduğunu görürüz. Çarpan teoremine
göre, 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘in bir çarpanı 𝑥𝑥 − 1 ‘dir. Sentetik veya kalanlı bölmeyi kullanarak (aşağıda
gösterilmiştir), aşağıdaki ifade elde edilir.
28
ÖRNEK 6 Belirlenmiş Sıfırlar İle Bir Polinomu Bulma
−3, 0, 1 ve 5 değerleri 4 üncü dereceden bir polinomun sıfırları ise, bu polinomu bulun.
ÇÖZÜM Çarpan Teoremine göre, 𝑥𝑥 − (−3), 𝑥𝑥 − 0, 𝑥𝑥 − 1 ve 𝑥𝑥 − 5 ifadelerinin hepsi
istenilen polinomun çarpanları olmak zorundadır. Böylece
𝑃𝑃(𝑥𝑥) dördüncü dereceden olması nedeniyle, problemin bir çözümüdür. Problemin öteki
çözümleri, 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘in sadece bir sabitle çarpımı olmak zorundadır. Çünkü, sadece sabitle
çarpım polinomun derecesini değiştirmez.
Örnek 6 ‘daki polinom, Şekil 1 ‘de çizilmiştir. P ‘nin sıfırlarının grafiğin x-ekseni kesim
noktalarına karşılık geldiğine dikkat edin.
Şekil 1 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 + 3)𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1)(𝑥𝑥 − 5) ifadesini sıfırları −3, 0, 1 ve 5 ‘dir.
3.4 POLİNOMLARIN REEL SIFIRLARI
29
Çarpan Teoremi, bir polinomun sıfırlarını bulma aslında onu doğrusal çarpanlarına ayırma ile
aynı şey olduğunu söylemektedir. Bu bölümde polinomun reel sıfırlarını bulmada ve
dolayısıyla polinomu çarpanlarına ayırmada bize yardımcı olacak bazı cebir yöntemleri
üzerinde çalışacağız. Polinomun rasyonel sıfırları ile başlayacağız.
Polinomların Rasyonel Sıfırları
Gelecek teoremi anlamak amacıyla, aşağıdaki polinomu ele alalım.
Çarpanlarına ayrılmış şeklinden görülmektedir ki, P ‘nin sıfırları 2, 3 ve −4 ‘dür. Polinom
genişletildiğinde, 24 sabiti (−2) × (−3) × 4 çarpımıyla elde edilir. Bu, polinomun sıfırlarının
sabit terimin tüm çarpanları olduğu anlamına gelir. Aşağıda bu gözlem genelleştirilmiştir.
Rasyonel Sıfırlar Teoremi
Eğer 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 polinomu tamsayı katsayılarına sahipse, bu
durumda P ‘nin her rasyonel sıfırı aşağıdaki biçimdedir.
𝑝𝑝𝑞𝑞
burada p, 𝑎𝑎0 sabit katsayısının bir çarpanıdır ve q, 𝑎𝑎𝑛𝑛 baş katsayısının bir çarpanıdır.
İspat 𝑝𝑝 𝑞𝑞⁄ , en küçük terimlerle P polinomunun rasyonel sıfırı ise, bu takdirde
Şimdi p, sol tarafın bir çarpanıdır ve bu yüzden aynı zamanda sağ tarafın da bir çarpanı olmak
durumundadır. 𝑝𝑝 𝑞𝑞⁄ en küçük terimlerinde olduğundan, yani p ve q ortak bir çarpana sahip
Çarpanlarına ayrılmış şekli
Genişletilmiş şekli
𝑞𝑞𝑛𝑛 ile çarp
𝑎𝑎0𝑞𝑞𝑛𝑛 ifadesini çıkar ve sol tarafı çarpanına ayır
30
olmadığından, p, 𝑎𝑎0 ‘ın bir çarpanı olmak zorundadır. Benzer ispat, q ‘nun 𝑎𝑎𝑛𝑛 ‘in bir çarpanı
olduğunu gösterir.
Rasyonel Sıfırlar Teoreminden, eğer baş katsayı -1 ve 1 ise rasyonel sıfırların sabit terimin
çarpanları olması gerektiği anlaşılmaktadır.
ÖRNEK 1 Rasyonel Sıfırlar Teoreminin Kullanımı
polinomunun rasyonel sıfırlarını bulunuz.
ÇÖZÜM Baş katsayı 1 olduğundan, herhangi bir rasyonel sıfır 2 sabit teriminin böleni
olmalıdır. Bu yüzden, mümkün rasyonel sıfırlar ±1 ve ±2 ‘dir. Bu olasılıkların her biri test
edilir.
Böylece P ‘nin rasyonel sıfırları 1 ve -2 ‘dir.
Aşağıdaki kutu bir polinomu çarpanlarına ayırmak için sentetik bölme ile birlikte Rasyonel Sıfırlar Teoreminin nasıl kullanıldığını açıklamaktadır.
Bir Polinomun Rasyonel Sıfırlarını Bulma
1. Mümkün sıfırlar listelenir. Rasyonel Sıfırlar Teoremini kullanarak tüm mümkün rasyonel
sıfırlar listelenir.
2. Böl. Adım 1 ‘de bulunan rasyonel sıfırlar için her aday noktasında polinomu
değerlendirmek için sentetik bölme kullanılır. Kalan sıfır ise, elde edilen bölüm not edilir.
3. Tekrarla. Elde edilen bölüm için Adım 1 ve 2 tekrarlanır. Kuadratik veya kolayca
çarpanlarına ayrılan bir bölüm elde edildiğinde, durulur ve kalan sıfırları bulmak için
kuadratik formül ve çarpanlarına ayırma kullanılır.
ÖRNEK 2 Rasyonel Sıfırların Bulunması
polinomunu çarpanlarına ayırınız ve tüm sıfırlarını bulunuz.
ÇÖZÜM Rasyonel Sıfırlar Teoremince, P ‘nin rasyonel sıfırları aşağıdaki biçimdedir.
𝑃𝑃 ′nin muhtemel rasyonel sıfırı=sabit terim çarpanıbaş katsayı çarpanı
31
Sabit terim 6 ‘dır ve baş katsayı 2 ‘dir. Böylece
𝑃𝑃 ′nin muhtemel rasyonel sıfırı=6 'nın çarpanı2 'nin çarpanı
6 ‘nın çarpanları, ±1, ±2, ±3, ±6 ‘dır ve 2 ‘nin çarpanları ±1, ±2 ‘dir. Bu yüzden, P ‘nin
muhtemel rasyonel sıfırları şöyledir:
Kesirler basitleştirilerek ve birbirinin kopyası olanlar elenirse, muhtemel rasyonel sıfırların
aşağıdaki listesi elde edilir.
Bu muhtemel sıfırlardan hangilerinin gerçekte sıfır olduğunu anlamak için, bu sayıların her
birinde P ‘nin incelenmesi gereklidir. Bunu gerçekleştirmenin etkili yolu, sentetik bölmenin
kullanılmasıdır.
Son sentetik bölümden, 2 ‘nin P ‘nin sıfırı olduğunu görürüz ve böylece P aşağıdaki gibi
çarpanlarına ayrılır.
Çarpanlarına ayrılmış halinden, P ‘nin sıfırlarının 2, 12 ve −3 ‘dür.
ÖRNEK 3 Rasyonel Sıfırlar Teoremi ve Kuadratik Formülün Kullanımı
olsun.
a) P ‘nin sıfırlarını bulun. b) P ‘nin grafiğini çizin.
ÇÖZÜM
a) P ‘nin baş katsayısı 1 ‘dir, bu yüzden tüm rasyonel sıfırlar tamsayıdır. Bunlar, 10 sabit
sayısını bölenleri durumundadır. Bu yüzden, muhtemel adaylar aşağıdaki gibidir.
verilen polinom
sentetik bölmeyle
2𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥 − 3 çarpanlarına ayır
32
Sentetik bölmeyi kullanarak (aşağıda verilmiştir), 1 ve 2 ‘nin sıfır olmadığını ancak 5 ‘in sıfır
olduğunu buluruz. Böylece P çarpanlarına ayrılır.
Şimdi 𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥 − 2 bölümünü çarpanlarına ayırmaya
çalışacağız. Muhtemel sıfırlar, −2 ‘nin bölenleridir. Şöyle ki
1 ve 2 ‘nin zaten orijinal P polinomunun sıfırları olmadığını bildiğimizden, onları tekrar
denemeyeceğiz. Kalan adayların kontrol edilmesiyle, −1 ve −2, −2 ‘nın sıfır olduğunu
görürüz (aşağıda gösterilmiştir) ve P çarpanlarına ayrılır.
Artık P ‘nin kalan iki sıfırını elde etmek için kuadratik formülü kullanırız.
P ‘nin sıfırları, 5, −2, 1 + √2 ve 1 − √2 ‘dir.
b) P ‘nin sıfırlarını artık biliyoruz ve Bölüm 3.2 ‘deki yöntemleri kullanarak grafiğini
çizebiliriz. Bunun yerine çizim hesaplayıcısı kullanmak istersek, sıfırları bilmek uygun
görüntü dikdörtgenini (P ‘nin tüm x-kesim noktalarını içerecek kadar yeterli genişlikte olan)
seçmemize olanak verir. P ‘nin sıfırlarına sayısal yaklaşım aşağıdaki gibidir.
5, −2, 2.4 ve −0.4
Bu durumda, [−3, 6] ‘ya [−50, 50] ‘lik bir dikdörtgen seçeriz ve Şekil 1 ‘de gösterildiği gibi
grafik çizdirilir.
33
ŞEKİL 1
Decartes ‘in İşaret Kuralı ve Kökler İçin Üst ve Alt Sınırlar
Bazı durumlarda 1637 civarında Fransız filozof ve matematikçi Rene Descartes tarafından
keşfedilen aşağıdaki kural, olası rasyonel köklerin uzun listesinden bazı adayların
elenmesinde yararlıdır. Bu kuralı tanımlamak için, işaret değişimi kavramına ihtiyaç vardır.
Eğer 𝑃𝑃(𝑥𝑥), reel katsayılara sahip bir polinom ve x ‘in azalan kuvvetleri ile yazılmışken (0
katsayısına sahip kuvvetler atlanır), komşu katsayılar her ne zaman zıt işaretliyse bir işarette
değişim gerçekleşir. Örneğin,
işaretinde üç değişim olan bir polinomdur.
Descartes ‘in İşaret Kuralı
P reel katsayılı bir polinom olsun.
1. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘in pozitif reel sıfırlarının sayısı ya 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘deki işaret değişim sayısına ya da işaret
değişim sayısından çift doğal sayı kadar daha küçüğüne eşittir.
𝟐𝟐. . 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘in negatif reel sıfırlarının sayısı ya 𝑃𝑃(−𝑥𝑥) ‘deki işaret değişim sayısına ya da işaret
değişim sayısından çift doğal sayı kadar daha küçüğüne eşittir.
ÖRNEK 4 Descartes Kuralı Kullanımı
Decartes ‘in İşaret Kuralını aşağıdaki polinomun pozitif ve negatif reel sıfırlarının muhtemel
sayısını belirlemek için kullanın.
ÇÖZÜM Polinomun işaretindeki değişim tektir, böylece tek pozitif sıfırı vardır. Şimdi
34
𝑃𝑃(−𝑥𝑥) işaretinde üç değişim vardır. Bu yüzden, 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ya üç ya da bir negatif sıfırı
bulunmaktadır. Böylece toplamda iki veya dört reel sıfırı vardır.
Eğer polinomun her reel c sıfırı 𝑎𝑎 ≤ 𝑐𝑐 ≤ 𝑏𝑏 koşulunu sağlarsa, a ‘ya polinomun sıfırları için alt
sınırı ve b ‘ye üst sınırı deriz. Aşağıdaki teorem, bir polinomun sıfırları için böyle sınırlar
bulmada bize yardımcı olur.
Üst ve Alt Sınır Teoremi
P reel katsayılı bir polinom olsun.
1. Sentetik bölmeyi kullanarak 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘i 𝑥𝑥 − 𝑏𝑏 (𝑏𝑏 > 0) ile bölersek ve bölüm ve kalanı içeren
satırda negatif yoksa, bu durumda b, P ‘nin reel sıfırları için bir üst sınırdır.
2. Sentetik bölmeyi kullanarak 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘i 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 (𝑎𝑎 < 0) ile bölersek ve bölüm ve kalanı içeren
satır sırayla pozitif olmayan ve negatif olmayan şeklindeyse, bu durumda a, P ‘nin reel
sıfırları için bir alt sınırdır.
Bu teoremin ispatı, Alıştırma 97 ‘de belirtilmiştir. “sırayla pozitif olmayan ve negatif
olmayan” cümleciği, sayıların işaretinin değişmesi anlamına gelir. Gerek duyulduğunda, 0
sayısı negatif veya pozitif olarak görülür.
ÖRNEK 5 Bir Polinomun Sıfırları İçin Üst ve Alt Sınırlar
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥4 − 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥 − 5 polinomunun tüm reel sıfırlarının −3 ve 2 arasında bulunduğunu
gösteriniz.
ÇÖZÜM Sentetik bölmeyi kullanarak 𝑃𝑃(𝑥𝑥) polinomunu 𝑥𝑥 − 2 ve 𝑥𝑥 − 3 ile bölünüz.
Üst ve Alt Sınır Teoremince, −3 sıfırlar için alt sınır ve 2 ise üst sınırdır. Ne −3 ne de 2
polinomun sıfırı olmadığından (bölme tablosunda kalanlar 0 değildir), tüm reel sıfırlar bu iki
sayı arasında bulunur.
35
ÖRNEK 6 Beşinci Derece Polinomun Çarpanlara Ayrılması
Aşağıdaki polinomu tümüyle çarpanlarına ayırınız.
ÇÖZÜM P ‘nin olası rasyonel sıfırları, ± 12
, ±1, ± 32
, ±3, ± 92 ve ±9 ‘dur. Öncelikle en
küçüğünden başlayarak pozitif adayları kontrol ederiz.
Böylece 1 değeri sıfırdır ve 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = (𝑥𝑥 − 1)(2𝑥𝑥4 + 7𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥2 − 15𝑥𝑥 − 9). Bölümü
çarpanlarına ayırmaya devam ederiz. 12 ‘nin elenmesi hariç, muhtemel sıfırların aynı listesine
sahibizdir.
32 ‘nin hem sıfır hem de 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘in sıfırları için bir üst sınır olduğunu görürüz. Bu yüzden,
pozitif sıfırlar için daha fazla arama yapılmasına gerek yoktur, çünkü geriye kalan tüm
adaylar 32 ‘den daha büyüktür.
Descartes İşaret Kuralına göre, 𝑥𝑥3 + 5𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥 + 3 polinomunun pozitif sıfırı yoktur ve
sadece rasyonel sıfırları −1 ve −3 ‘tür.
Böylece,
sentetik bölmeden elde edilen
son terim 2 parantezine alınmış ikinci çarpan ile çarpılmıştır
sentetik bölmeden elde edilen
kuadratik ifadenin çarpanlara ayrılmasından
36
Bu, P ‘nin sıfırlarının 1, 32
, −1 ve −3 olduğu anlamına gelir. Polinomun grafiği, Şekil 2 ‘de
gösterilmiştir.
ŞEKİL 2
Polinom Denklemler Çözmek İçin Çizim Cihazları ve Cebir Kullanımı
Bölüm 1.9 ‘da denklemleri grafiksel olarak çözmek için çizim araçlarını kullandık. Şimdi bir
polinom denklemi grafiksel olarak çözerken, öğrendiğimiz cebir tekniklerini uygun bir
görüntü dikdörtgeni seçmede kullanabiliriz.
ÖRNEK 7 Dördüncü Derece Denklemi Grafiksel Olarak Çözme
En yakın onluk ondalık sayıya yuvarlayarak, aşağıdaki denklemin tüm reel çözümlerini
bulunuz.
ÇÖZÜM Denklemi grafiksel olarak çözmek için, aşağıdaki polinomun grafiğini çizeriz.
Öncelikle, tüm çözümlerin arasında bulunmak zorunda olduğu iki sayı bulmak amacıyla Üst
ve Alt Sınır Teoreminden faydalanırız. Bu, P ‘nin tüm x-kesim noktalarını kesinlikle içeren
bir görüntü dikdörtgeni seçmemize olanak sağlar. Sentetik bölmeyi kullanırız ve farklı
noktalar aracılığıyla deneme yanılma ile arama işlemi yapılır.
Üst sınırı bulmak için 1, 2, 3, … doğal sayıları potansiyel adaylar olarak denenir. Aşağıda 2
‘nin çözümler için bir üst sınır olduğunu anlarız.
37
Artık, −1, −2, −3 sayılarını potansiyel aday olarak deneyerek bir altı sınır aramaya başlarız.
−3 ‘ün çözümler için bir alt sınır olduğunu görürüz.
Böylece, tüm çözümler −3 ile 2 arasında bulunmaktadır. Bu sebeple, [−3,2] ‘e [20,20] ‘lik
bir görüntü dikdörtgeni P ‘nin tüm x-kesim noktalarını içerir. Şekil 3 ‘deki grafik, bir tanesi -3
ile -2 arasında diğeri ise 1 ile 2 arasında olmak üzere iki tane x-kesim noktasına sahiptir.
Odağı arttırdığımızda, denklemin çözümlerinin en yakın onluk ondalık değerlerinin −2.3 ve
1.3 olduğunu görürüz.
ŞEKİL 3
ÖRNEK 8 Bir Yakıt Deposunun Büyüklüğünü Belirleme
Bir yakıt deposu Şekil 4 ‘de gösterildiği gibi 4ft uzunluğunda bir silindirik merkez bölümü ve
iki yarı küresel bitiş bölümlerinden oluşmaktadır. Eğer depo 100 ft3 ‘lük hacime sahipse, en
yakın yüzdelik ondalık sayıya yuvarlanmış biçimde şekilde gösterilen r yarıçapı nedir?
ŞEKİL 4
ÇÖZÜM Kitabın ön kapağı arkasında listelen hacim formülünü kullanarak, deponun silindir
bölümünün hacmi aşağıdaki gibidir.
Silindirin hacmi: 𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝑟𝑟2ℎ ve 𝜋𝜋. 𝑟𝑟2. 4 olur.
İki yarım küre birlikte bir bütün küreyi oluşturur ve kürenin hacmi aşağıda verilmiştir.
38
Kürenin hacmi: 𝑉𝑉 =43
𝜋𝜋𝑟𝑟3
Deponun toplam hacmi 100 ft3 olduğundan, aşağıdaki denklem elde edilir.
r için negatif bir çözüm, bu fiziksel durum için anlamsız olacaktır ve yerine koymayla 𝑟𝑟 = 3
‘ün 100𝑓𝑓𝑓𝑓3 istenilen değerinden çok daha fazla olan 226𝑓𝑓𝑓𝑓3 ‘lük hacime neden olacağını
doğrulayabiliriz. Bu sebeple, doğru yarıçapın 0 ile 3ft arasında bir yerde olduğunu biliyoruz.
Şekil 5 ‘de gösterildiği gibi, 𝑦𝑦 = 43
𝜋𝜋𝑥𝑥3 + 4𝜋𝜋𝑥𝑥2 fonksiyonunun grafiğini çizmek için [0,3] ‘e
[50,150] ‘lik bir görüntü dikdörtgeni kullanırız. Bu fonksiyon değerinin 100 olduğu noktayı
istememiz nedeniyle, aynı görüntü dikdörtgeninde 𝑦𝑦 = 100 yatay doğrusunun da grafiğini
çizeriz. Aranan yarıçap, eğri ile doğrunun kesişim noktasının x-koordinatında olacaktır.
İmleci ve odak büyütmeyi kullanarak, kesişim noktasının iki ondalık basamakta yuvarlanmış
halinin 𝑥𝑥 ≈ 2,15 olduğunu görürüz. Böylece tankın yarıçapı yaklaşık 2,15ft ‘dir.
ŞEKİL 5
Dikkat edilirse, Örnek 8 ‘deki denklemi önce aşağıdaki gibi yazıp;
ardından 𝑦𝑦 = 43
𝜋𝜋𝑥𝑥3 + 4𝜋𝜋𝑥𝑥2 − 100 fonksiyonun x-kesim noktasını bularak da çözebilirdik.
3.5 KARMAŞIK SAYILAR
Bölüm 1.5 ‘de kuadratik bir denklemin diskriminatı eğer negatif ise, denklemin reel
çözümünün olmadığını gördük. Örneğin aşağıdaki denklem reel çözüme sahip değildir.
𝑥𝑥2 + 4 = 0
Eğer bu denklemi çözmeye çalışırsak, 𝑥𝑥2 = −4 elde ederiz. Bu sebeple;
39
𝑥𝑥 = ∓√−4
Ancak herhangi bir reel sayının karesi pozitif olacağından, bu imkansızdır. [Örneğin,
(−2)2 = 4 pozitif bir sayıdır.] Bu yüzden, negatif sayılar reel kareköklere sahip olmazlar.
Tüm kuadratik denklemleri çözmeyi olanaklı kılmak için, matematikçiler genişletilmiş bir
sayı sistemi olan karmaşık sayı sistemini önermişlerdir. Öncelikle, yeni bir sayı
tanımlamışlardır:
𝑖𝑖 = √−1
Bu, 𝑖𝑖2 = −1 olduğu anlamına gelir. Kompleks bir sayı 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖 formundadır. Burada, a ve b
reel sayılardır.
Karmaşık Sayıların Tanımı
Karmaşık sayı, aşağıdaki forma sahip bir ifadedir:
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖
burada a ve b reel sayılardır ve 𝑖𝑖2 = −1 ‘dir. Bu kompleks sayının reel kısmı a ve sanal
kısmı b ‘dir. İki karmaşık sayı ancak ve ancak reel kısımları ve sanal kısımları eşitse, birbirine
eşittir.
Dikkat edilirse, bir kompleks sayının reel ve sanal kısımlarının her ikisi de reel sayıdır.
ÖRNEK 1 Karmaşık Sayılar
Aşağıdakiler karmaşık sayılara örneklerdir.
Reel kısmı 0 olan 6𝑖𝑖 gibi bir sayı saf sanal sayı olarak adlandırılır. −7 gibi bir reel sayı, sanal
kısmı 0 olan bir karmaşık sayı gibi düşünülebilir.
Karmaşık sayı sisteminde, her kuadratik denklem çözümlere sahiptir. 2𝑖𝑖 ve −2𝑖𝑖 sayıları 𝑥𝑥2 =
−4 ‘ün çözümleridir. Çünkü
(2𝑖𝑖)2 = 22𝑖𝑖2 = 4(−1) = −4 ve (−2𝑖𝑖)2 = (−2)2𝑖𝑖2 = 4(−1) = −4
Her ne kadar burada sanal terimini kullansak da, sanal sayılar negatif veya irrasyonel
sayılardan daha az “gerçek” gibi (kelimenin matematiksel anlamı yerine olağan anlamı
kullanılmıştır) düşünülmemelidir. Tüm sayılar, (muhtemelen pozitif tam sayılar hariç) −1, √2
40
ve i sayısı da dahil olmak üzere insan beyninin eserleridir. Karmaşık sayılarla çalışırız, çünkü
bu sayılar denklem çözümleme çalışmamızı yararlı ve zekice tamamlarlar. Aslında, karmaşık
sayılar sadece cebir ve matematikte yararlı değildir, aynı zamanda diğer bilimlerde de
faydalıdır. Sadece bir örnek vermek gerekirse, elektrik teorisinde bir devrenin reaktansı,
ölçümü sanal bir sayı olan niceliktir.
Karmaşık Sayılarda Aritmetik İşlemler
Karmaşık sayılar 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏√𝑐𝑐 formundaki herhangi bir sayıda yaptığımız gibi toplanır, çıkartılır,
çarpılır ve bölünür. Aklımızda tutmamız gereken tek farklılık, 𝑖𝑖2 = −1 olduğudur. Böylece
aşağıdaki hesaplamalar geçerlidir.
Böylece aşağıdaki gibi, karmaşık sayıların çarpımı, çıkarımı ve toplamını tanımlarız.
ÖRNEK 2 Karmaşık Sayıların Toplanması, Çıkarılması ve Çarpımı
Aşağıdakileri 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖 formunda ifade ediniz.
ÇÖZÜM
a) Tanıma göre, reel kısımları ve sanal kısımları ayrı ayrı toplarız.
çarp ve benzer terimleri bir araya topla
𝑖𝑖2 = −1
reel ve sanal kısımları birleştir
çarp ve benzer terimleri bir araya topla
𝑖𝑖2 = −1
reel ve sanal kısımları birleştir
41
Karmaşık sayıda bölme, Bölüm 1.4 ‘de ele alınan köklü bir sayının paydasını
rasyonelleştirmeyle oldukça benzerdir. Örneğin 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑖𝑖𝑏𝑏 karmaşık sayısı için, karmaşık
eşleniğini 𝑧𝑧̅ = 𝑎𝑎 − 𝑖𝑖𝑏𝑏 olarak tanımlarız. Dikkat edilirse:
Böylece bir karmaşık sayı ve eşleniğinin çarpımı, her zaman negatif olmayan bir reel sayıdır.
Bu özelliği karmaşık sayıları bölmek için kullanırız.
Karmaşık Sayının Bölümü
𝑎𝑎+𝑏𝑏𝑏𝑏𝑐𝑐+𝑑𝑑𝑏𝑏
bölümünü basitleştirmek için, pay ve paydayı paydanın karmaşık eşleniği ile çarparız.
Tüm bu formülü ezberleme yerine, sadece ilk adımı hatırlamak ve olağan pay ve payda
çarpımını uygulamak daha kolaydır.
ÖRNEK 3 Karmaşık Sayıların Çarpımı
Aşağıdakileri 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖 formunda ifade ediniz.
ÇÖZÜM Yeni paydayı reel bir sayı yapmak için, paydanın karmaşık eşleniği ile pay ve
paydayı çarparız.
a) 1 − 2𝑖𝑖 ‘nin karmaşık eşleniği 1 − 2𝚤𝚤�������� = 1 + 2𝑖𝑖 ‘dir.
b) 4𝑖𝑖 ‘nin karmaşık eşleniği −4𝑖𝑖 ‘dir. Böylece,
42
Negatif Sayıların Karekökleri
Her pozitif r reel sayısının iki karekökünün (√𝑟𝑟 ve −√𝑟𝑟) olması gibi, her negatif sayının da
iki tane karekökü vardır. −𝑟𝑟 negatif bir sayı ise, bu sayının karekökleri ∓𝑖𝑖√𝑟𝑟 ‘dür. Çünkü
𝑖𝑖(√𝑟𝑟)2 = 𝑖𝑖2𝑟𝑟 = −𝑟𝑟 ve −𝑖𝑖(√𝑟𝑟)2 = (−1)2𝑖𝑖2𝑟𝑟 = −𝑟𝑟.
Negatif Sayıların Karekökleri
−𝑟𝑟 negatif bir sayı ise, bu durumda −𝑟𝑟 ‘nin temel karekökü şöyledir:
√−𝑟𝑟 = 𝑖𝑖√𝑟𝑟
−𝑟𝑟 ‘nin iki karekökü 𝑖𝑖√𝑟𝑟 ve −𝑖𝑖√𝑟𝑟 ‘dür.
Genellikle √𝑏𝑏𝑖𝑖 yazmak yerine 𝑖𝑖√𝑏𝑏 yazarız ki √𝑏𝑏𝑖𝑖 ile karışıklık olmasın.
ÖRNEK 4 Negatif Sayıların Karekökleri
Negatif sayıların kareköklerini içeren hesaplamaları yerine getirirken özel bir dikkat
gerekmektedir. Her ne kadar a ve b pozitif iken √𝑎𝑎. √𝑏𝑏 = √𝑎𝑎𝑏𝑏 olsa da a ve b ‘nin her ikisi de
negatifken bu doğru değildir. Örneğin:
Negatif sayıların köklerini çarparken, bu tip muhtemel hatalardan kaçınmak amacıyla
ilk olarak ifadeleri 𝑖𝑖√𝑟𝑟 (r >0) formunda yazınız.
ÖRNEK 5 Negatif Sayıların Kareköklerini Kullanma
(√12 − √−3)(3 + √−4) ifadesini 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖 formunda bulunuz.
ÇÖZÜM
Kuadratik Denklemlerin Karmaşık Çözümleri
43
Eğer 𝑎𝑎 ≠ 0 ise, 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 0 kuadratik denkleminin çözümlerini aşağıdaki gibi elde
etmeyi zaten gördük.
Eğer 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 < 0 ise, bu takdirde denklemin reel çözümü yoktur. Ancak karmaşık sayı
sisteminde, bu denklem her zaman çözümlere sahiptir. Çünkü, bu genişletilmiş ortamda
negatif sayıların karekökleri vardır.
ÖRNEK 6 Karmaşık Çözümlere Sahip Kuadratik Denklemler
Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
ÇÖZÜM
a) 𝑥𝑥2 + 9 = 0 denklemi 𝑥𝑥2 = −9 demektir. Böylece
Bu yüzden, çözümler 3𝑖𝑖 ve −3𝑖𝑖 olur.
b) Kuadratik formül aracılığıyla şunu elde ederiz:
Böylece, çözümler −2 + 𝑖𝑖 ve −2 − 𝑖𝑖 olur.
Örnek 6 ‘dan, reel katsayılara sahip bir kuadratik denklem karmaşık çözümlere sahipse, bu
takdirde çözümlerin birbirinin karmaşık eşleniği olduğunu görürüz. Böylece, 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖 bir
çözümse, 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑖𝑖 ‘de diğer çözümdür.
ÖRNEK 7 Bir Kuadratik Çözüm Olarak Karmaşık Eşlenikler
Aşağıdaki denklemin çözümlerinin birbirinin karmaşık eşleniği olduğunu gösteriniz.
ÇÖZÜM Kuadratik formülü kullanarak:
44
Böylece çözümler, 3 + 12
𝑖𝑖 ve 3 − 12
𝑖𝑖 olur. Bu çözümler, karmaşık eşleniktir.
3.6 KARMAŞIK SIFIRLAR VE CEBİRİN TEMEL TEOREMİ
n inci dereceden polinomun en fazla n reel kökünün olabileceğini zaten gördük. Karmaşık
sayı sisteminde n inci dereceden bir polinom tam olarak n tane sıfırlayana sahiptir ve böylece
tamamıyla n doğrusal çarpana ayrılabilir. Bu gerçek, 1799 ‘da Alman matematikçi C.F.Gauss
tarafından ispatlanan Cebirin Temel Teoremi ‘nin bir sonucudur (sayfa 272 bakın).
Cebirin Temel Teoremi ve Bütün Çarpanlarına Ayırma
Aşağıdaki teorem, polinomu çarpanlarına ayırma ve polinom denklemleri çözme
çalışmalarımızın çoğunluğuna temel oluşturur.
Cebirin Temel Teoremi
Karmaşık katsayılara sahip her polinom en azından bir karmaşık sıfırlayana sahiptir.
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0 (𝑛𝑛 ≥ 1, 𝑎𝑎𝑛𝑛 ≠ 0)
Herhangi bir reel sayı aynı zamanda karmaşık sayı olduğundan, teorem reel katsayılı
polinomlar için de geçerlidir.
Cebirin Temel Teoremi ve Çarpan Teoremi birlikte, bir polinomun şimdi ispatlayacağımız
gibi tamamıyla doğrusal çarpanlara ayrılabileceğini göstermektedir.
Bütün Çarpanlarına Ayırma Teoremi
𝑃𝑃(𝑥𝑥); 𝑛𝑛 ≥ 1 inci dereceden bir polinom ise, bu takdirde aşağıdaki gibi yazılabilen
𝑎𝑎, 𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2, … , 𝑐𝑐𝑛𝑛 (𝑎𝑎 ≠ 0 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖) karmaşık sayılar vardır.
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐1)(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐2) … (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐𝑛𝑛)
İSPAT Cebirin Temel Teoremi ‘nden P en az bir sıfırlayana sahiptir. Bunu 𝑐𝑐1 ile gösterelim.
Çarpan Teoremi ‘nden (sayfa 250 bakın) 𝑃𝑃(𝑥𝑥) aşağıdaki gibi çarpanlarına ayrılabilir:
45
Burada 𝑄𝑄1(𝑥𝑥), n-1 inci derecedendir. Temel Teoremi 𝑄𝑄1(𝑥𝑥) bölümüne uygulayarak, aşağıdaki
çarpanlara ayırma elde edilir:
Burada 𝑄𝑄2(𝑥𝑥), n-2 inci derecedendir ve 𝑐𝑐2, 𝑄𝑄1(𝑥𝑥) ‘in sıfırıdır. Bu süreci n adım devam
ettirdiğimizde, 0 ıncı dereceden nihai 𝑄𝑄𝑛𝑛(𝑥𝑥) bölümü elde edilir. Sıfıra eşit olmayan bu sabiti a
olarak isimlendireceğiz. Bu işlemler sonucunda, P aşağıdaki gibi çarpanlarına ayrılmıştır.
n inci dereceden polinomun karmaşık sıfırlarını gerçekte bulmak için, genellikle ilk olarak
olabildiğince çarpanlarına ayırırız. Ardından, daha fazla çarpanlarına ayıramayacağımız
kısımlarında kuadratik formülü kullanırız.
ÖRNEK 1 Bir Polinomun Tamamıyla Çarpanlara Ayrılması
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 3𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥 − 3 olsun.
a) P ‘nin tüm sıfırlarını bulunuz.
b) P ‘yi tamamıyla çarpanlarına ayırınız.
ÇÖZÜM a) Öncelikle P ‘yi aşağıdaki gibi çarpanlarına ayırırız.
P ‘nin sıfırlarını her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek buluruz.
𝑥𝑥 − 3 = 0 eşitlemesiyle, 𝑥𝑥 = 3 olduğunu görürüz. 𝑥𝑥2 + 1 = 0 eşitlemesiyle, 𝑥𝑥2 = −1 ‘dir ve
böylece 𝑥𝑥 = ∓𝑖𝑖 ‘dir. Bu yüzden P ‘nin sıfırları; 3, i, −𝑖𝑖 olur.
b) Sıfırlar 3, i, −𝑖𝑖 olduğundan, Bütün Çarpanlarına Ayırma Teoremi ‘nden aşağıdaki gibi
çarpanlarına ayrılır:
46
ÖRNEK 2 Bir Polinomun Tamamıyla Çarpanlara Ayrılması
𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 − 2𝑥𝑥 + 4 olsun.
a) P ‘nin tüm sıfırlarını bulunuz.
b) P ‘yi tamamıyla çarpanlarına ayırınız.
ÇÖZÜM
a) Muhtemel rasyonel sıfırlar, ∓1, ∓2, ∓4 olarak 4 ‘ün çarpanlarıdır. Sentetik bölmeyi
kullanarak (aşağıda verilmiştir), −2 ‘nin bir sıfırlayan olduğunu buluruz ve polinom aşağıdaki
gibi çarpanlarına ayrılır:
olduğundan,
Sıfırları bulmak için, her bir çarpanı 0 ‘a eşitleriz. Tabi ki 𝑥𝑥 + 2 = 0, 𝑥𝑥 = −2 anlamına
gelmektedir. Diğer çarpanın ne zaman 0 olduğunu bulmak için, kuadratik formülü kullanırız.
Böylece P ‘nin sıfırları −2, 1 + 𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑖𝑖 1 − 𝑖𝑖 ‘dir.
b) Sıfırlayanlar −2, 1 + 𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑖𝑖 1 − 𝑖𝑖 olduğundan, Bütün Çarpanlarına Ayırma Teoremi
aracılığıyla P aşağıdaki gibi çarpanlarına ayrılır.
Sıfırlar ve Katları
Bütün Çarpanlarına Ayırma Teoremi ‘nde, 𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2, . . . , 𝑐𝑐𝑛𝑛 sayıları P ‘nin sıfırlarıdır. Bu
sıfırlayanların hepsinin farklı olmasına gerek yoktur. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘in tamamıyla çarpanlarına
47
ayrılmasında, 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 çarpanı k kez ortaya çıkıyorsa, bu durumda c ‘ye k katlı sıfır deriz (sayfa
240 bakın). Örneğin:
yukarıdaki polinomun sıfırlayanları aşağıda verilmiştir.
P polinomu derecesi ile aynı sayıda sıfırlayan sayısına sahiptir: 10 uncu derece ise, katlılık
durumlarını saymamız koşuluyla 10 sıfırlayanı vardır. Aşağıdaki teorem ile ispatlayacağımız
üzere, bu durum tüm polinomlar için geçerlidir.
Sıfırlar Teoremi
𝑛𝑛 ≥ 1 dereceli her polinom, k katlı sıfırın k kez sayılması koşulu altında tam olarak n tane
sıfırlayana sahiptir.
İSPAT P, n inci dereceden bir polinom olsun. Bütün Çarpanlarına Ayırma Teoremi
aracılığıyla:
Şimdi, c ‘nin 𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2, . . . , 𝑐𝑐𝑛𝑛 dışındaki P ‘nin sıfırlayanlarından biri olduğunu varsayalım. Bu
durumda:
Böylece, Sıfır-Çarpım Özelliği aracılığıyla, 𝑐𝑐 − 𝑐𝑐𝑏𝑏 çarpanlarından birisi 0 olmak zorundadır.
Bu yüzden, bazı i ‘ler için 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐𝑏𝑏 ‘dir. Buradan P ‘nin tam olarak 𝑐𝑐1, 𝑐𝑐2, . . . , 𝑐𝑐𝑛𝑛 olmak üzere, n
tane sıfırlayanı olduğu anlaşılmaktadır.
ÖRNEK 3 Karmaşık Sıfırlara Sahip Bir Polinomun Çarpanlarına Ayrılması
Aşağıdaki polinomu tamamıyla çarpanlarına ayırınız ve tüm sıfırlayanlarını bulunuz.
ÇÖZÜM 3𝑥𝑥 ortak çarpan olduğundan,
48
𝑥𝑥2 + 4 ifadesini çarpanlarına ayırmak için, 2𝑖𝑖 ve −2𝑖𝑖 ‘nin bu polinomun sıfırları olduğuna
dikkat ediniz. Bu yüzden, 𝑥𝑥2 + 4 = (𝑥𝑥 − 2𝑖𝑖)(𝑥𝑥 + 2𝑖𝑖) ‘dir.
P ‘nin sıfırlayanları 0, 2𝑖𝑖 ve −2𝑖𝑖 ‘dir. 𝑥𝑥 − 2𝑖𝑖 ve 𝑥𝑥 + 2𝑖𝑖 çarpanlarının her biri, P ‘nin bütün
çarpanlarına ayrılmasında iki kez ortaya çıktığından, 2𝑖𝑖 ve −2𝑖𝑖 sıfırlayanları 2 katlıdır. Bu
yüzden, tüm beş tane sıfırlayanı bulduk.
Aşağıdaki tablo, bütün çarpanları ve sıfırlayanlarıyla polinomlara ait diğer örnekleri
göstermektedir.
ÖRNEK 4 Belirli Sıfırlara Sahip Polinomları Bulma
a) 𝑖𝑖, −𝑖𝑖, 2 ve −2 ‘nin sıfırlayanları olduğu ve 𝑃𝑃(3) = 25 koşulunu sağlayan 4 ‘üncü
dereceden 𝑃𝑃(𝑥𝑥) polinomunu bulunuz.
b) −2 ‘nin 3 katlı sıfırlayan ve 0 ‘ın ise diğer sıfırlayan olduğu 4 ‘üncü dereceden bir 𝑄𝑄(𝑥𝑥)
polinomunu bulunuz.
ÇÖZÜM
a) İstenen polinom aşağıdaki forma sahiptir.
𝑃𝑃(3) = 𝑎𝑎(34 − 3. 32 − 4) = 50𝑎𝑎 = 25 ve böylece 𝑎𝑎 = 12. Bu yüzden,
49
b) Bizden istenen
𝑄𝑄 hakkında sıfırlayanları ve katlı sıfırları dışında bir bilgi verilmediği için, 𝑎𝑎 için herhangi bir
sayıyı seçebiliriz. Eğer 𝑎𝑎 = 1 ‘i kullanırsak, aşağıdaki sonuç elde edilir.
ÖRNEK 5 Bir Polinomun Tüm Sıfırlarının Bulunması
ifadesinin tüm dört sıfırlayanını bulunuz.
ÇÖZÜM Kısım 3.4 ‘deki Rasyonel Sıfırlar Teoremi ‘ni kullanarak, muhtemel rasyonel
sıfırların bir listesini elde ederiz: ±1, ±2, ±4, ± 13
, ± 23
, ± 43. Sentetik bölmeyle bu rasyonel
sıfırların kontrol edilmesiyle, 2 ve − 13 ‘ün sıfırlayanlar olduğunu buluruz ve aşağıdaki
çarpanlarına ayırmaya ulaşılır:
Kuadratik çarpanın sıfırlayanları şöyledir:
Böylece 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘in sıfırlayanları bulunur.
ve
Eşlenik Çiftler Halinde Olan Karmaşık Sıfırlar
50
Şimdiye kadar ki örneklerden fark etmiş olabileceğiniz gibi, reel katsayılara sahip
polinomların karmaşık sıfırları çift halinde ortaya çıkarlar. Her ne zaman 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖 sıfırlayan ise,
karmaşık eşleniği olan 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑖𝑖 ‘de sıfırlayandır.
Eşlenik Sıfırlar Teoremi
P polinomu reel katsayılara sahip ve z karmaşık sıfırı P ‘nin bir sıfırlayanı ise, bu takdirde
karmaşık eşleniği olan 𝑧𝑧̅ ‘da P ‘nin bir sıfırlayanıdır.
İSPAT Aşağıdaki polinomun tüm katsayıları reel ve 𝑃𝑃(𝑧𝑧) = 0 olsun. 𝑃𝑃(𝑧𝑧̅) = 0 olduğunu
kanıtlayalım.
İki karmaşık sayı toplamının karmaşık eşleniği, eşleniklerin toplamı olduğu ve çarpımın
eşleniğinin ise eşleniklerin çarpımı olduğu gerçeklerini kullanırız.
Bu, teoremi ispatlayarak 𝑧𝑧̅ ‘nin de 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘nin bir sıfırlayanı olduğunu göstermektedir.
ÖRNEK 6 Belirli Bir Karmaşık Sıfıra Sahip Polinom
Sıfırlayanları 12 ve 3 − 𝑖𝑖 ve ayrıca katsayıları tamsayı olan 3 üncü dereceden bir 𝑃𝑃(𝑥𝑥)
polinomunu bulunuz.
ÇÖZÜM Eşlenik Sıfırlar Teoremi gereğince, 3 − 𝑖𝑖 bir sıfırlayan ise diğer sıfırlayan 3 + 𝑖𝑖
olur. Bu durum 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ‘in aşağıdaki forma sahip olması gerektiği anlamına gelir.
Tüm katsayıları tamsayı yapmak için, 𝑎𝑎 = 2 olarak alınır ve aşağıdaki polinom elde edilir.
51
İstenen gereksinimleri karşılayan herhangi bir diğer polinom, yukarıdaki denklemin tamsayı
katı olmak zorundadır.
Doğrusal ve Kuadratik Çarpanlar
Karmaşık sayıları kullandığımızda, bir polinomun tamamen doğrusal çarpanlara ayrılacağını
gördük. Karmaşık sayıları kullanmadığımızda, reel katsayılara sahip bir polinom her zaman
doğrusal ve kuadratik çarpanlara ayrılabilir. Bu özelliği, Bölüm 10.7 ‘de kısmi (basit) kesirleri
çalışırken kullanırız. Reel sıfırlayanları bir kuadratik polinom, reel sayılar üzerine
indirgenemez olarak adlandırılır. Böyle bir polinom, karmaşık sayılar kullanılmadan
çarpanlarına ayrılamaz.
Doğrusal ve Kuadratik Çarpanlar Teoremi
Reel katsayılara sahip her polinom, yine reel katsayılara sahip doğrusal ve kuadratik
çarpanların bir çarpımı olarak ayrıştırılabilir.
İSPAT Eğer 𝑐𝑐 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑖𝑖 bir karmaşık sayı ise, aşağıdaki durumun söz konusu olduğunu
gözlemleriz.
Son ifade, reel katsayılara sahip bir kuadratik formdur.
Şimdi, P reel katsayılara sahip bir polinom ise Bütün Çarpanlarına Ayırma Teoremi
gereğince:
Karmaşık kökler eşlenik çiftler olarak ortaya çıktığından, böyle her bir çifte karşılık gelen
çarpanları reel katsayılı bir kuadratik çarpan elde etmek için çarpabiliriz. Bu, doğrusal ve
indirgenemez kuadratik çarpanlara ayrılmış bir P polinomunun ortaya çıkmasına neden olur.
ÖRNEK 7 Bir Polinomu Doğrusal ve Kuadratik Çarpanlarına Ayırma
olsun.
a) P ‘yi reel katsayılı doğrusal ve indirgenemez kuadratik çarpanlarına ayırınız.
52
b) P ‘yi karmaşık katsayılara sahip doğrusal çarpanlarına tamamıyla ayırınız.
ÇÖZÜM
a)
𝑥𝑥2 + 4 çarpanı reel sıfırlayana sahip olmadığından, indirgenemezdir.
b) Tamamıyla çarpanlarına ayırmak için, kalan kuadratik çarpanı çarpanlarına ayırırız.
3.7 RASYONEL FONKSİYONLAR
Rasyonel bir fonksiyon aşağıdaki forma sahip bir fonksiyondur.
Burada P ve Q polinomlardır. 𝑃𝑃(𝑥𝑥) ve 𝑄𝑄(𝑥𝑥) ‘in ortak bir çarpana sahip olmadığını
varsayıyoruz. Rasyonel fonksiyonlar polinomlardan oluşturulmuş olsa da grafikleri polinom
fonksiyonların grafiklerinden oldukça farklıdır.
Rasyonel Fonksiyonlar ve Asimptotlar
Bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi, paydayı sıfır yapan x reel sayıları hariç tüm
sayılardan oluşur. Rasyonel fonksiyon grafiği çizerken, paydayı sıfır yapan x değerlerine
yakın noktalarda grafiğin davranışına özel olarak dikkat etmek gerekir. Oldukça basit
rasyonel fonksiyonların grafiğini çizerek başlayalım.
ÖRNEK 1 Basit Bir Rasyonel Fonksiyon
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥 rasyonel fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Tanım ve değer kümesini belirtiniz.
ÇÖZÜM 𝑥𝑥 = 0 için f fonksiyon tanımlı değildir. Aşağıdaki tablolar, x sıfıra yakınken |𝑓𝑓(𝑥𝑥)|
değerinin büyük olduğunu ve x sıfıra yaklaşırken |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ‘in arttığını göstermektedir.
53
Bu davranışı, kelimelerle ve sembollerle şöyle tanımlarız: İlk tablo, x sıfıra soldan yaklaşırken
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) değerlerinin sınırsız bir şekilde azaldığını gösterir. Sembollerle,
𝑥𝑥 → 0− iken 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → −∞ ‘a gider. “x sıfıra soldan yaklaşırken, y
negatif sonsuzluğa doğru gider”
İkinci tablo, x sıfıra sağdan yaklaşırken 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) değerlerinin sınırsız bir şekilde arttığını
gösterir. Sembollerle,
𝑥𝑥 → 0+ iken 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → ∞ ‘a gider. “x sıfıra sağdan yaklaşırken, y
artı sonsuzluğa doğru gider”
Aşağıdaki iki tablo, |𝑥𝑥| büyüdükçe 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ‘in nasıl değiştiğini göstermektedir.
Bu tablolar, |𝑥𝑥| arttıkça 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ‘in değerinin gittikçe sıfıra yaklaştığını göstermektedir. Bu
durumu sembollerle yazarak tanımlarız.
𝑥𝑥 → −∞ iken 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 0 ve 𝑥𝑥 → ∞ iken 𝑓𝑓(𝑥𝑥) → 0
Bu tablolardaki bilgiyi kullanarak ve ekstradan birkaç noktayı işaretleyerek, Şekil 1 ‘de
gösterilen grafiği elde ederiz.
54
ŞEKİL 1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥
f fonksiyonu 0 hariç x ‘in tüm değerleri için tanımlıdır. Bu sebeple, tanım kümesi {𝑥𝑥 I 𝑥𝑥 ≠ 0}
‘dır. Grafikten görüleceği üzere, değer kümesi {𝑦𝑦 I 𝑦𝑦 ≠ 0} ‘dır.
Örnek 1 ‘de aşağıdaki ok notasyonunu kullandık.
𝑥𝑥 = 0 doğrusu, Şekil 1 ‘deki grafiğin düşey asimptotu olarak adlandırılır ve yine bu
grafikte 𝑦𝑦 = 0 doğrusu yatay asimptottur. Başka bir deyişle, bir fonksiyonun asimptotu bir
doğru boyunca hareket ettikçe fonksiyonun grafiğine gittikçe yaklaşan doğruya verilen
isimdir.
Düşey ve Yatay Asimptotların Tanımı
1) x değeri a ‘ya sağdan veya soldan yaklaşırken 𝑦𝑦 değeri ±∞ ‘a yaklaşıyorsa, 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 doğrusu
𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) fonksiyonunun düşey asimptotudur.
55
2) x değeri ±∞ ‘a yaklaşırken 𝑦𝑦 değeri 𝑏𝑏 ‘ye yaklaşıyorsa, 𝑦𝑦 = 𝑏𝑏 doğrusu 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
fonksiyonunun yatay asimptotudur.
Rasyonel bir fonksiyon, fonksiyonun tanımsız olduğu, yani paydanın sıfır olduğu, noktalarda
düşey asimptota sahiptir.
𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝒙𝒙 Dönüşümleri
Aşağıdaki forma sahip bir rasyonel fonksiyon, Bölüm 2.5 ‘de çalışılan dönüşümlerin
kullanılmasıyla Şekil 1 ‘de gösterilen 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥 ‘in grafiği kaydırma, germe ve/veya yansıma
ile çizilebilir. (Böyle fonksiyonlar, doğrusal kesirli dönüşümler olarak adlandırılır.)
ÖRNEK 2 Rasyonel Fonksiyonların Grafiğini Çizmek İçin Dönüşümlerin Kullanılması
Aşağıdaki her bir rasyonel fonksiyonun grafiğini çizin ve tanım ve değer kümelerini belirtin.
ÇÖZÜM
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1𝑥𝑥 olsun. Bu durumda, r ‘yi f ‘e göre aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:
Bu formdan, r ‘nin grafiğinin f ‘in grafiğinin 3 birim sağa kaydırılması ve 2 çarpanı ile düşey
olarak gerilmesiyle elde edildiğini görürüz. Böylece, r fonksiyonu 𝑦𝑦 = 0 ‘da yatay asimptota
ve 𝑥𝑥 = 3 ‘de ise düşey asimptota sahiptir. r ‘nin grafiği Şekil 2 ‘de gösterilmiştir.
56
ŞEKİL 2
r fonksiyonu, 3 hariç tüm x ‘ler için tanımlanmıştır. Böylece, tanım kümesi {𝑥𝑥 I 𝑥𝑥 ≠ 0} ‘dır.
Grafikten görüleceği üzere, değer kümesi {𝑦𝑦 I 𝑦𝑦 ≠ 0} ‘dır.
b) Kalanlı bölmeden faydalanılarak, 𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 3 − 1𝑥𝑥+2
elde edilir. Böylece, s fonksiyonunu f ‘e
göre aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:
Bu formdan, s ‘in grafiğinin f fonksiyonu grafiğinin 2 birim sola kaydırılması, x ekseninde
yansıtılması ve 3 birim yukarı kaydırılmasıyla elde edildiğini görürüz. Bu sebeple, s ‘in düşey
asimptotu 𝑥𝑥 = −2 ve yatay asimptotu 𝑦𝑦 = 3 olur. s ‘in grafiği Şekil 3 ‘de verildiği gibidir.
s fonksiyonu, −2 hariç tüm x ‘ler için tanımlanmıştır. Böylece, tanım kümesi {𝑥𝑥 I 𝑥𝑥 ≠ −2}
olur. Grafikten görüleceği üzere, değer kümesi {𝑦𝑦 I 𝑦𝑦 ≠ 3} ‘dür.
57
ŞEKİL 3
Rasyonel Fonksiyonların Asimptotları
Örnek 2 ‘deki yöntemler, sadece basit rasyonel fonksiyonlar için çalışır. Daha karmaşık
olanların grafiğini çizmek için, rasyonel fonksiyonun düşey ve yatay asimptotlar civarındaki
davranışını daha yakından incelememiz gerekir.
ÖRNEK 3 Bir Rasyonel Fonksiyonun Asimptotları
grafiğini çiziniz ve tanım ve değer kümelerini belirtiniz.
ÇÖZÜM
Düşey Asimptot: Önce paydayı çarpanlarına ayırırız.
𝑥𝑥 = 1 doğrusu düşey asimptottur. Çünkü 𝑥𝑥 = 1 iken r ‘nin paydası sıfırdır.
r ‘nin grafiğinin düşey asimptot yakınında nasıl göründüğünü anlamak için, 1 ‘in sağında ve
solundaki x değerleri için tablo yaparız. Bu tablolardan anlaşılacağı üzere,
𝑥𝑥 → 1− iken 𝑦𝑦 → ∞ ve 𝑥𝑥 → 1+ iken 𝑦𝑦 → ∞
58
ŞEKİL 4
Böylece, 𝑥𝑥 = 1 düşey asimptot yakınında, r ‘nin grafiği Şekil 4 ‘de gösterildiği gibidir.
Yatay Asimptot: 𝑥𝑥 → ±∞ giderken y ‘nin yaklaştığı değerdir. Bu değeri bulmak için, pay ve
paydayı ifadede görülen en yüksek x kuvveti olan 𝑥𝑥2 ‘e böleriz.
𝑥𝑥 → ±∞ giderken 4𝑥𝑥
, 5𝑥𝑥2 , 2
𝑥𝑥 ve 1
𝑥𝑥 kesirli ifadelerinin tümü sıfıra yaklaşır. Bu sebeple, 𝑥𝑥 → ±∞
iken şu durum söz konusudur:
ŞEKİL 5
Böylece, yatay asimptot 𝑦𝑦 = 2 doğrusudur.
Grafik yatay asimptota yaklaşmak zorunda olduğundan, Şekil 5 ‘de görüldüğü gibi grafiği
tamamlarız.
Tanım ve Değer Kümesi: s fonksiyonu, 1 hariç tüm x ‘ler için tanımlanmıştır. Böylece, tanım
kümesi {𝑥𝑥 I 𝑥𝑥 ≠ 1} olur. Grafikten görüleceği üzere, değer kümesi {𝑦𝑦 I 𝑦𝑦 > 2} ‘dür.
Örnek 3 ‘den, 𝑥𝑥2 ile (x ‘in en büyük kuvveti) yapılan bölme sonucunda diğer tüm terimler
sıfıra yaklaştığından, yatay asimptotun pay ve paydanın baş katsayısı tarafından belirlendiğini
gördük. Genel olarak, eğer 𝑟𝑟(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥)/𝑄𝑄(𝑥𝑥) ve P ve Q ‘nun dereceleri aynı ise (mesela, her
ikisi de n), 𝑥𝑥𝑛𝑛 ile pay ve paydayı bölmenin yatay asimptotu aşağıdaki gibi verdiği görülür.
Aşağıdaki kutu, asimptotları bulma prosedürünü özetlemektedir.
Rasyonel Fonksiyonların Asimptotlarını Bulma
59
r rasyonel bir fonksiyon olsun.
1) r ‘nin düşey asimptotları, 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 doğrularıdır. Burada, a paydanın sıfırlayanıdır.
2) a) Eğer 𝑛𝑛 < 𝑚𝑚 ise, r ‘nin yatay asimptotu 𝑦𝑦 = 0 olur.
b) Eğer 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚 ise, r ‘nin yatay asimptotu 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑏𝑏𝑚𝑚
olur.
c) Eğer 𝑛𝑛 > 𝑚𝑚 ise, r ‘nin yatay asimptotu yoktur.
ÖRNEK 4 Bir Rasyonel Fonksiyonun Asimptotları
fonksiyonunun düşey ve yatay asimptotlarını bulunuz.
ÇÖZÜM
Düşey Asimptotlar: Önce paydayı çarpanlarına ayırırız.
Düşey asimptotlar, 𝑥𝑥 = 12 ve 𝑥𝑥 = −2 doğrularıdır.
Yatay Asimptotlar: Pay ve paydanın derecesi aynıdır, böylece
Bu sebeple, yatay asimptot 𝑦𝑦 = 32 doğrusudur.
Sonuçlarımızı doğrulatmak amacıyla, r ‘in grafiği çizim hesaplayıcısı kullanılarak çizilmiştir
(Şekil 6).
60
Şekil 6
Rasyonel Fonksiyonlar Çizimi
Rasyonel fonksiyonları çizerken asimptotların önemli olduğunu gördük. Genelde, rasyonel
fonksiyonların grafiğini çizmek için aşağıdaki kılavuzu kullanırız.
Rasyonel Fonksiyonların Grafiğinin Çizilmesi
1. Çarpanlarına ayır. Pay ve payda çarpanlarına ayrılır.
2. Kesim noktaları. Payı sıfırlayanları belirleyerek x-kesim noktalarını ve 𝑥𝑥 = 0 ‘da
fonksiyon değerinden y-kesim noktasını bulun.
3. Düşey asimptotlar. Paydayı sıfırlayanları belirleyerek düşey asimptotları ve test değerleri
kullanarak düşey asimptotların her bir yanında 𝑦𝑦 → ∞ veya 𝑦𝑦 → −∞ ‘a gidip gitmediğini
gözlemleyin.
4. Yatay asimptot. Bir önceki sayfada kutu içerisinde tanımlanan prosedürü kullanarak, (eğer
varsa) yatay asimptot bulunur.
5. Grafik çizilir. İlk dört adımda verilen bilgi grafik haline getirilir. Daha sonra fonksiyon
grafiğinin geri kalanını tamamlamak için ihtiyaç duyulan ek nokta grafiğe dahil edilir.
ÖRNEK 5 Rasyonel Fonksiyonun Grafiğinin Çizimi
grafiğini çiziniz ve tanım ve değer kümesini belirtiniz.
ÇÖZÜM Pay ve paydayı çarpanlarına ayırırız, kesim noktaları ve asimptotlar bulunur ve
grafik çizilir.
Çarpanlarına ayır:
x-kesim noktası: x-kesim noktaları, payı sıfır yapan 𝑥𝑥 = 12 ve 𝑥𝑥 = −4 ‘dür.
y-kesim noktası: y-kesim noktasını bulmak için, fonksiyonun orijinal formunda 𝑥𝑥 = 0
yazarız.
y-kesim noktası 2 ‘dir.
61
Düşey asimptotlar: Paydanın sıfır olduğu yani fonksiyonun tanımsız olduğu yerde, düşey
asimptotlar ortaya çıkar. Çarpanlarına ayrılmış formdan, düşey asimptotların 𝑥𝑥 = 1 ve 𝑥𝑥 =
−2 doğruları olduğu görülmektedir.
Düşey asimptotlar yakınında davranış: Düşey asimptotların her iki yanında 𝑦𝑦 → ∞ veya 𝑦𝑦 →
−∞ ‘a gidip gitmediğini bilmek isteriz. Düşey asimptot yakınındaki x değerleri için y ‘nin
işaretini belirlemek amacıyla, test noktaları kullanırız. Örneğin, 𝑥𝑥 → 1− yaklaşırken, 𝑥𝑥 = 1
‘in solunda y ‘nin pozitif veya negatif olup olmadığını tespit etmek için, 1 ‘e yakın ve solunda
olan bir test değeri kullanırız (Örneğin, 0.9).
‘nin işareti (negatif)
Böylece, 𝑥𝑥 → 1− yaklaşırken 𝑦𝑦 → −∞ olur. Öte yandan, 𝑥𝑥 → 1+ yaklaşırken 1 ‘e yakın ve
sağında olan bir test değeri kullanırız (Örneğin, 1.1).
‘nin işareti (pozitif)
𝑥𝑥 → 1+ yaklaşırken 𝑦𝑦 → ∞ olur. Tablodaki diğer değerler benzer şekilde hesaplanmıştır.
Yatay asimptot: Pay ve paydanın dereceleri aynıdır ve
Bu yüzden, yatay asimptot 𝑦𝑦 = 2 doğrusudur.
Grafik: Bazı ek değerlerle birlikte elde ettiğimiz bilgiyi Şekil 7 ‘de verilen grafiği çizmek için
kullanırız.
62
Şekil 7
Tanım ve Değer Kümesi: Tanım kümesi {𝑥𝑥 I 𝑥𝑥 ≠ 1, 𝑥𝑥 ≠ −2} olur. Grafikten görüleceği
üzere, değer kümesi tüm reel sayılardır.
ÖRNEK 6 Bir Rasyonel Fonksiyonun Grafiği
grafiğini çiziniz ve değer ve tanım kümelerini belirtiniz.
ÇÖZÜM
Çarpanlarına ayır:
x-kesim noktası: 5𝑥𝑥 + 21 = 0 ‘dan − 215
elde edilir.
y-kesim noktası: = 215
olduğundan, 2125
elde edilir.
Düşey asimptot: paydanın sıfırlayanlarından, 𝑥𝑥 = −5 elde edilir.
Düşey asimptot yakınında davranış:
Yatay asimptot: payın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için, 𝑦𝑦 = 0 yatayı
asimptottur.
Grafik: Bazı ek değerlerle birlikte elde ettiğimiz bilgiyi Şekil 8 ‘de verilen grafiği çizmek için
kullanırız.
63
Şekil 8
Tanım ve Değer Kümesi: Tanım kümesi {𝑥𝑥 I 𝑥𝑥 ≠ 5} olur. Grafikten görüleceği üzere, değer
kümesi yaklaşık olarak (−∞, 1.5] aralığındadır.
Şekil 8 ‘deki grafikten görüleceği üzere, genel kanıya zıt olarak bir grafik yatay
asimptotu kesebilir. Şekil ‘deki grafik, aşağıdan x-eksenini (yatay asimptot) keserek 𝑥𝑥 = −3
yakınında maksimum değere ulaşır ve ardından yukarıdan 𝑥𝑥 → ∞ ‘a giderken x-eksenine
yaklaşır.
ÖRNEK 7 Bir Rasyonel Fonksiyonun Grafiği
grafiğini çiziniz ve değer ve tanım kümelerini belirtiniz.
ÇÖZÜM
Çarpanlarına ayır:
x-kesim noktaları: 𝑥𝑥 + 1 = 0 ve 𝑥𝑥 − 4 = 0 denklemlerinden −1 ve 4 elde edilir.
y-kesim noktası: 𝑟𝑟(0) tanımlanmadığından, yoktur.
Düşey asimptotlar: paydanın sıfırlayanlarından, 𝑥𝑥 = 0 ve 𝑥𝑥 = −2 ‘dir.
Düşey asimptot yakınında davranış:
Yatay asimptot: pay ve paydanın derecesi aynı olduğundan, 𝑦𝑦 = 12 ‘dir.
𝑝𝑝𝑎𝑎𝑦𝑦𝚤𝚤𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑎𝑎ş 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑓𝑓𝑠𝑠𝑎𝑎𝑦𝑦𝚤𝚤𝑠𝑠𝚤𝚤𝑝𝑝𝑎𝑎𝑦𝑦𝑝𝑝𝑎𝑎𝑛𝑛𝚤𝚤𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑎𝑎ş 𝑘𝑘𝑎𝑎𝑓𝑓𝑠𝑠𝑎𝑎𝑦𝑦𝚤𝚤𝑠𝑠𝚤𝚤
=12
Grafik: Bazı ek değerlerle birlikte elde ettiğimiz bilgiyi Şekil 9 ‘da verilen grafiği çizmek için
kullanırız.
64
Şekil 9
Tanım ve Değer Kümesi: Tanım kümesi {𝑥𝑥 I 𝑥𝑥 ≠ 0, 𝑥𝑥 ≠ −2 } olur. Grafikten görüleceği
üzere, değer kümesi tüm reel sayılardır.
Eğik Asimptotlar ve Son Davranış
𝑟𝑟(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥) 𝑄𝑄(𝑥𝑥)⁄ ifadesi payın derecesinin paydanın derecesinden bir büyük olduğu
rasyonel bir fonksiyon ise, fonksiyonu aşağıdaki formda ifade etmek için Bölüm Algoritması
‘ndan faydalanırız.
Burada, R ‘nin derecesi Q ‘nun derecesinden küçük ve 𝑎𝑎 ≠ 0 ‘dır. Bu durumda, 𝑥𝑥 → ±∞ ‘a
giderken, 𝑅𝑅(𝑥𝑥) 𝑄𝑄(𝑥𝑥) → 0⁄ ‘a gider. Böylece, |𝑥𝑥| ‘in büyük değerleri için 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟(𝑥𝑥) ‘in grafiği
𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 doğrusunun grafiğine yaklaşır. Böyle bir durumda, 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 ‘ye eğik
asimptot veya eğimli asimptot denir.
ÖRNEK 8 Eğik Asimptota Sahip Bir Rasyonel Fonksiyon
rasyonel fonksiyonun grafiğini çiziniz.
ÇÖZÜM
Çarpanlara ayır:
x-kesim noktaları: 𝑥𝑥 + 1 = 0 ve 𝑥𝑥 − 5 = 0 denklemlerinden, −1 ve 5 olur.
y-kesim noktaları: olduğundan, 53 ‘dür.
Yatay asimptot: payın derecesi paydadan büyük olduğu için yatay asimptot yoktur.
Düşey asimptot: paydanın sıfırlayanından, 𝑥𝑥 = 3 ‘dür.
Düşey asimptot yakınında davranış: 𝑥𝑥 → 3− iken 𝑦𝑦 → ∞ ve 𝑥𝑥 → 3+ iken 𝑦𝑦 → −∞ olur.
Eğik asimptot: payın derecesi paydanın derecesinden bir büyük olduğu için, fonksiyon eğik
asimptota sahiptir. Bölme ile (aşağıda verilmiştir) şunu elde ederiz:
65
Böylece, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1 doğrusu eğik asimptottur.
Grafik: Bazı ek değerlerle birlikte elde ettiğimiz bilgiyi Şekil 10 ‘da verilen grafiği çizmek
için kullanırız.
ŞEKİL 10
Şimdiye kadar, rasyonel fonksiyonlar için son davranışın sadece yatay ve eğik asimptot
olması durumu ele alındı. Sonraki örnek, son davranışı bir parabol gibi olan fonksiyonun
grafiğinin çizilmesidir.
ÖRNEK 9 Rasyonel Fonksiyonun Son Davranışı
rasyonel fonksiyonun grafiğini çiziniz ve son davranışını tanımlayınız.
ÇÖZÜM
Çarpanlarına ayır:
x-kesim noktaları: 𝑥𝑥 + 1 = 0 ‘dan −1 olur (paydaki diğer çarpan reel sıfırlayana sahip
değildir).
y-kesim noktaları: olduğundan − 32 olur.
Düşey asimptot: paydayı sıfırlaması sebebiyle 𝑥𝑥 = 2 ‘dir.
Düşey asimptot yakınında davranış: 𝑥𝑥 → 2− iken 𝑦𝑦 → −∞ ve 𝑥𝑥 → 2+ iken 𝑦𝑦 → ∞ olur.
Yatay asimptot: payın derecesi paydadan büyük olduğu için yatay asimptot yoktur.
Son davranış: Bölme ile (aşağıda verilmiştir) şunu elde ederiz:
66
Bu, r ‘nin son davranışının |𝑥𝑥| büyükken 3/(𝑥𝑥 − 2) küçük olduğu için 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 parabolünün
son davranışına benzediğini göstermektedir. Yani, 𝑥𝑥 → ±∞ iken 3/(𝑥𝑥 − 2) olur. Böylece r
‘nin grafiği, büyük |𝑥𝑥| için 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 grafiğine yakın olacaktır.
Grafik: Şekil 11(a) ‘da küçük bir görüntü dikdörtgeni r ‘nin grafiği çizilmiştir; kesim
noktalarını, düşey asimptotu ve yerel minimumu görürüz. Şekil 11(b) ‘de daha büyük bir
görüntü dikdörtgeninde r ‘nin grafiği çizilmiştir; burada grafik, bir parabolün grafiği ile
neredeyse benzerdir. Şekil 11(c) ‘de hem 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟(𝑥𝑥) hem de 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 grafiği çizilmiştir; bu
grafikler, düşey asimptot yakını hariç birbirine oldukça benzemektedirler.
ŞEKİL 11
Uygulamalar
Rasyonel fonksiyonlar, cebirin bilimsel uygulamalarında sıklıkla ortaya çıkar. Sonraki
örnekte, elektrik teorisine dayanarak bir fonksiyonun grafiğini analiz edeceğiz.
ÖRNEK 10 Elektrik Direnci
𝑅𝑅1 ve 𝑅𝑅2 dirençlerine sahip iki rezistans paralel olarak bağlandığında, bunların birleşik direnci
olan R aşağıdaki formülle verilmektedir.
Sabit 8-ohm rezistans Şekil 12 ‘de gösterildiği gibi değişken rezistans ile paralel olarak
bağlandığını varsayalım. Değişken rezistansın direnci x ile gösterilirse, R birleşik direnç bu
durumda x ‘in bir fonksiyonudur. R ‘nin grafiğini çiziniz ve grafiğin fiziksel yorumlamasını
yapınız.
67
ŞEKİL 12
ÇÖZÜM 𝑅𝑅1 = 8 ve 𝑅𝑅2 = 𝑥𝑥 değerlerini formülde yerine koyarsak:
Rezistans negatif olamayacağından, bu fonksiyon sadece 𝑥𝑥 > 0 iken fiziksel anlama sahiptir.
Fonksiyon, Şekil 13(a) ‘da [0,20] ‘e [0,10] ‘luk bir görüntü dikdörtgeni kullanılarak
çizilmiştir. x pozitif değerler ile sınırlandırıldığında, fonksiyonun düşey asimptotu yoktur. R
birleşik direnci x değişken direnci arttıkça artacaktır. Eğer görüntü dikdörtgenini [0,100] ‘e
[0,10] ‘a genişletirsek, Şekil 13(b) ‘de gösterilen grafiği elde ederiz. x ‘in büyük değerleri için
R birleşik direnci düzgünleşmekte ve gittikçe 𝑅𝑅 = 8 yatay asimptotuna yaklaşmaktadır. x
değişken direncinin ne kadar büyüdüğünün önemi olmadan, birleşik direnç asla 8 ohm ‘dan
daha büyük olmayacaktır.
ŞEKİL 13
