1

POLİNOMLAR

na,1na,...

2a,

1a,oa

birer reel sayı, n bir doğal sayı ve x

belirsiz bir eleman olmak üzere,

nx.na1n

x.1n

a...2

x.2

ax.1

aoaxP

biçimindeki ifadelere x e göre düzenlenmiş reel katsayılı ve bir belirsizli polinom denir.

x in bir polinomu xK,xT,xR,xQ,xP gibi sembollerle gösterilir.

nx.na1n

x.1n

a...2

x.2

ax.1

aoaxP

polinomunda:

nx.na,

1nx.

1na,...,

2x.

2a,x.

1a,oa

ifadelerine polinomun

terimleri, na,1na,...2a,1a,0a reel sayılarına polinomun

katsayıları denir.

nx.na terimindeki na sayısına terimin katsayısı, x in

kuvveti olan n doğal sayısına terimin derecesi denir. Derecesi en büyük olan terimin derecesine polinomun

derecesi denir ve xPder ile gösterilir. Derecesi en büyük olan terimin katsayısına ise polinomun baş katsayısı denir. Polinomlar katsayılarına göre adlandırılırlar. Katsayıları reel sayılardan oluşuyorsa reel katsayılı polinom, katsayıları rasyonel sayılardan oluşuyorsa rasyonel katsayılı polinom, katsayıları tam sayılardan oluşuyorsa tam sayı katsayılı polinom diye adlandırılır. Bir polinomda yanında değişken olmayan terime sabit terim denir. Örnek:

1x.3 22x.4xQ polinomu ikinci dereceden reel katsayılı bir polinomdur.

Polinomun derecesi 2 olduğundan 2xQder dir. Polinomda derecesi en büyük olan terimin katsayısı 4 olduğundan polinomun baş katsayısı 4 tür.

Değişken içermeyen terim -1 olduğundan polinomun sabit terimi -1 dir. Örnek:

2x73x52x.2

1xP polinomunda

2 7x , ,3

5x ,2

.x2

1 polinomun terimleridirler.

2 7, 5, ,2

1 polinomun katsayılarıdırlar

35x , derecesi en büyük olan terim olduğundan

3xPder tür. Polinomun baş katsayısı -5 tir.

2 terimi değişken içermediği için polinomun sabit terimi

2 dir.

2 7, 5, ,2

1 sayıları reel sayılar olduğundan polinom

reel katsayılı polinomdur. Örnek:

7x22x43x.5xP polinomunda

7 2x , ,2

4x ,3

x.5 polinomun terimleridirler.

7 2, 4, ,5 polinomun katsayılarıdırlar

35x , derecesi en büyük olan terim olduğundan

3xPder tür. Polinomun baş katsayısı 5 tir.

7 terimi değişken içermediği için polinomun sabit terimi

7 dir.

2

Örnek:

32

x

14xxR ifadesi bir polinom değildir.

Çünkü ifadeyi oluşturan 2

x2

x

1 teriminin kuvveti -2

doğal sayı değildir. Bir polinomda kuvvetler doğal sayı olmak zorundadır. Örnek:

x33x8xQ ifadesi bir polinom değildir. Çünkü

ifadeyi oluşturan 2

1

x3x.3 teriminin kuvveti 2

1 doğal

sayı değildir. Örnek:

23 2x2xxR ifadesi bir polinom değildir.

Çünkü ifadeyi oluşturan 3

2

x3 2

x teriminin kuvveti 3

2

doğal sayı değildir. Bir polinomda kuvvetler doğal sayı olmak zorundadır. Örnek:

74x3xxP ifadesi bir polinom değildir.

Çünkü ifadeyi oluşturan 4

x

teriminin kuvveti -4 doğal sayı değildir. Sonuç Değişkenlerinin kuvvetleri doğal sayılar olan fonksiyonlara polinom denir

Örnek:

Nm olmak üzere 2

14mx

3xm

67

x3

İfadesinin polinom olması için m kaç olmalıdır? Çözüm:

2

14mx

3xm

67

x3

ifadesinin polinom olması için

m

67 ve 4m ifadeleri doğal sayı olmalıdır.

m

67 ifadesinin doğal sayı olması için, m doğal sayısı 6

nın böleni olmalıdır. Buna göre m = 1, m = 2, m = 3 ve m = 6 olabilir.

4m ifadesinin doğal sayı olması için,

4m04m olmalıdır.

İki koşulu da sağlayan değer m = 6 dır. O halde m = 6 için

verilen ifade 2

12x

3x

6x3 polinomuna dönüşür.

Sabit Polinom

Rc sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere

cnx.01nx.0...2x.0x.0cxP şeklindeki polinomlara sabit polinom denir. Sabit polinomların dereceleri sıfırdır. Örnek:

32xR

2

3xQ

4xP

polinomlarının her biri sabit polinomdur.

3

Sıfır Polinomu

0nx.01nx.0...2x.0x.00xP şeklindeki polinoma sabit polinom denir. Sıfır polinomu, 0 ile de gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir. Örnek:

1x.0xR

6x.0xQ

0xP

polinomlarının her biri sıfır polinomudur.

Örnek:

5x2bx2x.3a2xP ifadesi sabit polinom olduğuna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır? Çözüm:

5x2bx2x.3a2xP

5x2b2x.3a2 ifadesi sabit bir polinom olduğuna göre sabit terim dışındaki terimlerin kat sayıları sıfır olmalıdır.

2

3a03a2 ve 2b02b bulunur.

O halde 32.2

3b.a bulunur.

Örnek:

5x.1n2x.3mxP ifadesi sabit polinom olduğuna göre, m+n toplamının değeri kaçtır? Çözüm:

5x.1n2x.3mxP ifadesi sabit bir polinom olduğuna göre değişken içeren sabit terim dışındaki terimlerin kat sayıları sıfır olmalıdır.

Buna göre,

3m03m ve 1n01n bulunur.

O halde 213nm bulunur. Örnek:

33xP polinomunun derecesi kaçtır? Çözüm:

33xP polinomu değişken içermediğinden sabit polinomdur. Sabit polinomların dereceleri sıfır olduğundan

0xPder dır. Örnek: m ve n birer reel sayı olmak üzere

32nx27x3mxQ ifadesi sıfır polinomu olduğuna

göre, m2

n nin değerini bulunuz. Çözüm:

32nx.273m32nx27x3mxQ ifadesi sıfır polinomu olduğuna göre,

0273

m ve 032

n olmalıdır.

3m273

m0273

m bulunur

.

32

n032

n bulunur. Bu durumda

633m2n bulunur. İşlemlerde kolaylık sağladığı için bir polinom x in azalan ya da artan kuvvetlerine göre yazılır. x in artan kuvvetlerine göre yazılmış olan

nx.na1n

x.1n

a...2

x.2

ax.1

aoaxP

polinomu, oax.1a2

x.2

a...1n

x.1n

an

x.naxP

şeklinde x azalan kuvvetlerine göre yazılabilir.

4

Örnek:

75x52x2

13x2xP polinomu, x in azalan

kuvvetlerine göre, 72x2

13x2

5x5xP şeklinde, x

in artan kuvvetlerine göre, 5x53x22x2

17xP

şeklinde yazılır. POLİNOM FONKSİYONLAR

nx.na1n

x.1n

a...2

x.2

ax.1

aoaxP

polinomunda x reel sayı da olabilen bir belirsizdir.

Eğer xP polinomunda x reel sayı olarak seçilirse;

RR:P ,

nx.na1n

x.1n

a...2

x.2

ax.1

aoaxP

bir

fonksiyon olur. Bu tür fonksiyonlara polinom fonksiyon denir. Örnek:

RR:P , 3x52x.23x.3xP fonksiyonu, reel sayılar kümesinde tanımlı üçüncü dereceden polinom fonksiyondur. Bu fonksiyonda 3 ün görüntüsünü bulalım.

xP polinomunda x gördüğümüz yere 3 yazarsak,

7533.523.233.33P bulunur. Örnek:

2x42x.33xxP polinomu veriliyor. 2P değerini bulalım. Çözüm:

xP polinomunda x gördüğümüz yere 2 yazarsak,

3022.422.3322P bulunur.

Örnek:

5x2x.2xP polinomu veriliyor. 1xP polinomunu bulalım. Çözüm:

xP polinomunda x gördüğümüz yere x +1 yazarsak,

51x21x.21xP

4x1x22x.21xP

2x52x.24x2x42x.21xP bulunur. Örnek:

10x.72x.21xP polinomu veriliyor. xP polinomunu bulalım. Çözüm:

1xx1Q1xxQ dir.

10x.72x.21xP polinomunda x gördüğümüz yere x + 1 yazarsak,

101x.721x.211xP

107x71x22x.2xP

5x32x.23x72x42x.2xP bulunur. Örnek:

4x.22x.81x2P polinomu veriliyor. 5P değerini bulalım.

5

1.Çözüm:

Önce xP , sonra 5P bulunur.

4x.22x.81x2P polinomunda x yerine 2

1x

yazarsak,

42

1x.2

2

2

1x.81

2

1x.2P

41x4

1x22

x.811xP

5x32x23x2x42x2xP bulunur.

4055.325.25P bulunur. 2.Çözüm:

xP i bulmadan da 5P i bulabiliriz. 1x2xQ polinomunu 5 sayısına eşitlersek,

2x51x2 bulunur.

O halde 4x.22x.81x2P polinomunda x yerine 2 yazılırsa,

42.222.812.2P

405P bulunur. Örnek:

nx.na1n

x.1n

a...2

x.2

ax.1

aoaxP

polinomu veriliyor. a. Polinomun katsayıları toplamını bulunuz. b. Polinomun çift kuvvetli terimlerinin katsayıları toplamını

bulunuz c. Polinomun tek kuvvetli katsayıları toplamını bulunuz

Çözüm: a. Polinomda x yerine 1 yazılırsa, her katsayı 1 in

kuvvetleri ile çarpılmış olacağından katsayılar toplamı bulunmuş olur.

b. Polinomda x yerine -1 yazarak 1P , x yerine 1 yazarak 1P değerini bulalım.

n1.na...3a2a1aoa1P

na...3a2a1aoa1P bulunur.

Bulunan bu değerler taraf tarafa toplanırsa,

...4

a2

ao

a.21P1P dir. Polinomun

çift kuvvetli terimlerinin katsayıları toplamı;

2

1P1P...

4a

2aoa

bulunur.

c. Polinomda x yerine 1 yazarak 1P , x yerine -1 yazarak 1P değerini bulalım.

na...3a2a1aoa1P

n1.na...3a2a1aoa1P

bulunur. Bulunan bu değerler taraf tarafa çıkarılırsa,

...5

a3

a1

a.21P1P dir. Polinomun

çift tek kuvvetli terimlerinin katsayıları toplamı;

2

1P1P...5a3

a1

a

bulunur.

Örnek:

2x33x5.5x32x.2xP polinomu veriliyor. a. Polinomun katsayıları toplamını bulunuz. b. Polinomun çift kuvvetli terimlerinin katsayıları toplamını

bulunuz c. Polinomun tek kuvvetli katsayıları toplamını bulunuz

6

Çözüm: a. Polinomda x yerine 1 yazılırsa,

021.331.5.51.321.21P bulunur. b. Çift kuvvetli terimlerinin katsayıları toplamı toplamı;

202

040

2

1P1P

bulunur.

c. Tek kuvvetli terimlerinin katsayıları toplamı;

202

400

2

1P1P

bulunur.

Çok Belirsizli Polinomlar x ve y iki değişken olmak üzere

82y5y2x43x22y.4x5y,xP biçimindeki ifadelere iki belirsizli polinom denir.

y,xP polinomunda bir terimin derecesi, bu terimdeki belirsizlerin üslerinin toplamıdır. Polinomun derecesi ise terimlerin derecelerinin en büyük olanıdır. Terimdeki sayısal çarpanlara katsayı denir.

y,xP polinomunda 2y.4x5 teriminin; x e göre derecesi 4; y ye göre derecesi 2; x ve y ye göre derecesi, 4 +2 = 6 ve terimin katsayısı 5 tir. Diğer terimlerin x ve y ye göre dereceleri de yukarıdaki gibi

bulunabileceğinden y,xP polinomunun derecesi

7y,xPder dir. İKİ POLİNOMUN EŞİTLİĞİ Aynı dereceli terimlerinin katsayıları eşit olan polinomlara eşit polinomlar denir.

Örnek:

5x.3b2x.axP ve

7cx52x3xQ polinomları veriliyor.

xQxP olduğuna göre a, b ve c nin değerlerini bulalım. Çözüm:

xQxP ise,

7cx52x35x.3b2x.a

3a , 8b53b , 2c57c olur.

Örnek:

3x.2a3xxP ve

1dx52cx3x.1bxQ polinomları veriliyor.

xQxP olduğuna göre a, b,c ve d nin değerlerini bulalım. Çözüm:

xQxP ise,

1dx52cx3x.1b3x.2a3x

0b11b , 0c ,

3a52a52a

4d31d bulunur.

Örnek:

3abx.bacx32x.1ba olduğuna göre a, b ve c nin değerlerini bulalım.

7

Çözüm:

3abx.bacx32x.1ba ise,

01ba , 3ba , 3abc olur.

3ba

01ba sistemini taraf tarafa toplarsak,

2a4a231a2

1b3b23ba bulunur.

13231.23abc bulunur. Örnek:

1x

B

1x

A

12

x

2x

olduğuna göre A ve B nin değerlerini

bulalım. Çözüm:

1x.1x

1x.B1x.A

1x

B

1x

A

12

x

2x

12

x

BABA.x

12

x

Bx.BAx.A

12

x

2x

BABA.x2x

2BA

1BA sistemini taraf tarafa toplarsak,

2

3A3A2 ,

2

1

2

31B1B

2

31BA bulunur.

POLİNOMLARDA İŞLEMLER 1. Toplama İşlemi İki polinom toplanırken; dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları kendi aralarında toplanır, sonuç o terimin katsayısı olarak yazılır.

Uyarı

nx.banx.bnx.a dir.

nx.b1nx.bnx dir. Örnek:

3x2xP ve 5x4xQ olmak üzere,

2x65x43x2xQxP dir. Örnek:

12x2xP ve 3x22xxQ olmak üzere xQxP toplamını bulalım.

Çözüm:

1x.02x.212x2xP dir.

3x.22x.13x22xxQ tür.

31x.202x.12xQxP

2x.22x.1xQxP

2x22xxQxP bulunur. Örnek:

1x22x4

33x2xP ve 2x22x3xQ

olmak üzere xQxP toplamını bulalım. Çözüm:

21x.222x.34

33x.2xQxP

1x.222x4

153x2xQxP dir.

8

Örnek:

1x32x43x.2xP2x32x eşitliğini

sağlayan xP polinomunu bulalım. Çözüm:

xP polinomu ile xQ polinomunun toplamının derecesi, bunlardan derecesi büyük olanın derecesine eşittir.

Buna göre, xP polinomunun derecesi 3 tür.

3x.d2x.cx.baxP olsun.

1x32

x43

x.23

x.d2

x.cx.ba2x32

x

1x32x43x.22ax.3b2x.1c3x.d olup, buradan,

2d , 5c41c

0b33b , 1a12a bulunur.

12x.53x.23x.22x.5x.01xP olur. Örnek:

x y43y3x7y,xP ve 3y6x5x y2y,xQ polinomlarının toplamını bulalım. Çözüm:

x y.24x.573y.63y,xQy,xP

x y6x123y3y,xQy,xP bulunur. 2. Çıkarma İşlemi

xQxPxQxP olduğundan xP polinomundan xQ polinomunu çıkarmak, xP ile

xQ i toplamaktır. Bunun için çıkarma işleminin, çıkarılacak polinomun işaretini değiştirip toplama yapmak biçiminde ele alabiliriz.

Örnek:

3x2xP ve 5x4xQ olduğuna göre,

5x43x25x43x2xQxP

8x253x.42xQxP dir. Örnek:

3xP ve 5x4xQ olduğuna göre,

2x45x435x43xQxP dir. Örnek:

82xxP ve 22x53xxQ olmak üzere

xQxP farkını bulalım. Çözüm:

8x.02x.13x.082xxP dir.

2x.02x.53x.122x53xxQ tür.

28x.002x.513x.10xQxP

10x.02x.43x.1xQxP

102x43xxQxP bulunur. 4. Çarpma İşlemi İki polinomun çarpımı; birisinin her teriminin diğerinin her terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir. Uyarı

mnx.b.ambx.nax dir.

mn

x.bm

bx.n

x

dir.

9

Örnek:

x3xP ve 5x4xQ olmak üzere,

x152x125.x3x4.x35x4.x3xQ.xP dir. Örnek:

1x3xP ve 12xxQ olmak üzere

xQ.xP çarpımını bulalım. Çözüm:

12x.1x3xQ.xP

1.12x.11.x32x.x3xQ.xP

12xx33x3xQ.xP bulunur. Örnek:

12x3xP olduğuna göre xP.2x çarpımını bulalım. Çözüm:

12x3.2xxP.2x

1.22x3.21.x2x3.xxP.2x

2x2x63x3xP.2x dir. Örnek:

1x3xP olduğuna göre xP.12x çarpımını bulalım. Çözüm:

1x3.12xxP.12x

1.1x3.11.2xx3.2xxP.12x

1x32x3x3xP.12x dir. Örnek:

22x3xP ve 3x33x5xQ olmak üzere

xQ.xP çarpımını bulalım. Çözüm:

3x33x5.22x3xQ.xP

6x63x102x93x95x15xQ.xP

6x62x93x5x15xQ.xP bulunur. Örnek:

1x22x3xP polinomu veriliyor.

1nx2mx3x9xQ.xP olduğuna göre xQ polinomunu ve m,n sayılarını bulalım. Çözüm:

3xQ.xPder ve 2xPder ise 1xQder bulunur.

1xQder ise bx.axQ şeklinde bir polinomdur.

baxbx22ax22bx33ax3xQ.xP

bxb2a2xb3a23ax3xQ.xP dir.

1nx2mx3x9xQ.xP olduğundan

3a9a3 ,

1b ,

10

336mmb3a2 ,

213nnba bulunur.

1x3bx.axQ dir. 3. Bölme İşlemi

xP ve xQ iki polinom, 1xQderxPder olsun. xB.xQxP eşitliğini sağlayan xB polinomuna, xP polinomunun xQ polinomuna bölümü denir.

xP Bölünen xQ Bölen xB Bölüm xK Kalan olmak üzere, yandaki

işleme bölme işlemi denir. Yandaki bölme işleminde,

1. xQderxPder

2. xQderxKder

3. xBderxKder ise xQ ile xB in yer değiştirmesi kalanı değiştirmez.

4. 0xK ise xP polinomu xQ polinomuna tam olarak bölünür. Bu durumda, xP in çarpanlarından biri xQ polinomudur.

Bölme İşleminin Yapılışı Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer şekilde yapılır. Bunun için sırasıyla aşağıdaki işlemler yapılır. 1. Bölünen ve bölen polinomlar x değişkeninin azalan

kuvvetlerine göre sıralanırlar. 2. Bölünen polinomun soldan ilk terimi, bölen polinomun

soldan ilk terimine bölünür. Çıkan sonuç, bölümün ilk terimi olarak yazılır.

3. Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün terimleri ile

çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek şekilde bölünen polinomun altına yazılır.

4. Bölünenin altına yazılan çarpım polinomu, bölünenden

çıkarılır. 5. Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi, bölen

polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.

Örnek:

x23x2xP polinomunu xxQ polinomuna bölelim. 1.Çözüm: 1.Adım:

2

x2x

3x2

olduğundan.

x23

x2x23

x2

olduğuna

dikkat ediniz. 2.Adım:

2x

x2 olduğundan.

0x2x2 olduğuna

dikkat ediniz.

Buna göre x23x2xP polinomunun xxQ polinomuna bölünmesiyle elde edilen bölüm

22

x2 ve kalan sıfırdır. 2.Çözüm:

2

2x2

x

22

x2.x

x

x23

x2

olduğuna göre,

x23x2xP polinomunun xxQ polinomuna

bölünmesiyle elde edilen bölüm 22

x2 ve kalan sıfırdır.

11

Örnek:

x23xxP polinomunu 2xxQ polinomuna bölelim. Çözüm: 1.Adım:

2x

x

3x

ve 2x23x2x.2x

olduğu için,

x22x22x23xx23x

olduğuna dikkat ediniz.

2.Adım:

x2x

2x2

ve

x42x22x.x2 olduğu için,

x6x42x2x22x2

olduğuna dikkat ediniz. 3.Adım:

6x

x6 ve 12x62x.6

olduğu için,

1212x6x6 olduğuna dikkat ediniz.

2x nin derecesi 1 dir. 12 nin derecesi sıfırdır. 0 < 1 olduğu için bölme işlemi bitmiştir.

Buna göre x23xxP polinomunun 2xxQ

polinomuna bölünmesiyle elde edilen bölüm 6x22

x ve

kalan 12 dir.

Örnek:

x54xxP polinomunu 22xxQ polinomuna bölelim. Çözüm:

x54xxP polinomunun

22xxQ polinomuna

bölümünde bölüm 22

x , kalan 4x5 tür.

Örnek:

Bir xP polinomunun 32x2 polinomu ile bölümünden elde edilen bölüm 1x ve kalan x olduğuna göre xP polinomunu bulalım. Çözüm:

Bölme işleminin sağlamasına göre,

x1x.32x2xP

x3x32x23x2xP

3x22x23x2xP bulunur. Örnek:

44

a

82

a44

a26

a

bölme işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

12

22

a4

4a

82

a44

a26

a

bulunur.

Kural

nm olmak üzere,

mxPder ve nxQder

xP poinomunun xQ ile bölümünden elde edilen

bölüm xB olsun. Buna göre,

mxQderxPder dir. Yani iki polinomun toplamının derecesi, polinomlardan derecesi büyük olanın derecesine eşittir.

mxQderxPder dir. Yani iki polinomun farkının derecesi, polinomlardan derecesi büyük olanın derecesine eşittir.

nmxQder.xPder dir. Yani iki polinomun çarpımının derecesi, polinomların dereceleri toplamına eşittir.

nmxBder dir. Yani iki polinomun bölümünün derecesi, polinomların dereceleri farkına eşittir.

m.kkxPder

dir.

Örnek:

33x2xxP olduğuna göre xPder kaçtır? Çözüm: 1.Yol

3x2xxR olsun. Bu durumda 2xRder olup,

62.33xRderxPder

bulunur.

2.Yol Derece, bir polinomdaki en büyük dereceli terim ile ilgilidir.

Yani 3x2

x3,2

2x ,2

x polinomlarının üçünün de

derecesi 2 dir.

33x2xxP polinomunun derecesi ile

6x32x polinomunun derecesi aynıdır.

63

2xder

olduğuna göre 6xPder dır.

Örnek:

33x2xxP olduğuna göre x2P der kaçtır? Çözüm: 1.Yol

6xPder olduğunu önceki örnekte bulduk. Buna göre,

126.2xPder.2x2Pder bulunur. 2.Yol

33x2xxP polinomunun derecesi ile

6x32x polinomunun derecesi aynıdır.

1212xder26xder

olduğuna göre

12x2Pder bulunur. Örnek:

33x2xxP ve 7xQder olduğuna göre

13

xQxPder kaçtır? Çözüm:

6xPder olduğunu önceki örnekte bulduk.

7xQder ve 7 > 6 olduğundan

7xQxPder dir. Örnek:

33x2xxP ve 7xQder olduğuna göre x2P polinomunun xQ ile bölümünden elde edilen

bölüm polinomunun derecesi kaçtır? Çözüm:

xQderx2PderxQ

x2

Pder

xQderxPder.2

571276.2 bulunur.

Örnek:

2x53x33xP olduğuna göre 1P in değerini bulalım. Çözüm:

231x13x değeri polinomda yazılırsa,

22.532.332P

2108-3.

-12210--24 bulunur.

Örnek:

4x32x23xxP olduğuna göre 1P3P değerini bulalım. Çözüm:

4x32x23xxP polinomunda,

1443.323.2333P tür.

1041.321.2311P dur.

410141P3P bulunur. Örnek:

4x32x23xxP olduğuna göre, xP polinomunun katsayıları toplamını bulalım. Çözüm: 1.Yol

4x32x23xxP polinomunun katsayıları, 1, -2, 3, -4 tür. Buna göre xP polinomunun katsayıları toplamı

24321 dir. 2.Yol

4x32x23xxP polinomunun katsayıları toplamı 1P dir.

4x32x23xxP polinomunda x = 1 ise,

241.321.231xP bulunur. Örnek:

4x32xxP olduğuna göre, 1xP polinomunun katsayıları toplamını bulalım.

14

Çözüm: 1.Yol

4x32xxP olduğuna göre,

41x.321x1xP

43x31x22x1xP

6x2x1xP bulunur.

Buna göre 1xP polinomunun katsayıları toplamı,

6611 bulunur. 2.Yol

1xP polinomunun katsayıları toplamı,

2P11P dir.

4x32xxP polinomunda x = 2 yazılırsa,

642.3222P bulunur. Örnek:

8x3P polinomunun katsayıları toplamı 35 olduğuna göre, 5P in değerini bulalım. Çözüm:

8x3P polinomunun katsayıları toplamı 35 ise,

355P3581.3P bulunur. Örnek:

4x32x23xxP olduğuna göre, xP polinomunun sabit terimini bulalım.

Çözüm: 1.Yol Sabit terim x ten bağımsız olan terimdir.

Buna göre 4x32x23xxP polinomunun sabit terimi -4 tür. 2.Yol

4x32x23xxP polinomunun sabit terimi 0P dır.

4x32x23xxP polinomunda x = 0 ise,

440.320.2300P bulunur. Örnek:

4x2xxP olduğuna göre 2xP polinomunun sabit terimini bulalım. Çözüm: 1.Yol

4x2xxP olduğuna göre,

42x22x2xP

42x4x42x2xP

2x32x2xP bulunur.

Buna göre 2xP polinomunun sabit terimi, -2 dir. 2.Yol

2xP polinomunun sabit terimi, 2P20P dir.

4x2xxP polinomunda x = 2 yazılırsa,

242222P bulunur.

15

Örnek:

m ve n birer reel sayı olmak üzere 3n2mxxP polinomunun sabit terimi –8 ve katsayılar toplamı 27 olduğuna göre, m–n farkı kaçtır? Çözüm: Polinomun sabit terimi –8 olduğuna göre,

83n3n20.m0P

2n83

n bulunur.

Polinomun katsayılar toplamı 27 olduğuna göre,

2732m3n21.m1P

5m32m bulunur.

Buna göre,

725nm elde edilir. BÖLME İŞLEMİ YAPMADAN KALANI BULMA

A. Bir xP Polinomunun bax İle Bölümündeki Kalanı Bulma

xP polinomunun bax ile bölünmesinden elde edilen bölüm xB , kalan K olsun. Buna göre,

KxB.baxxP olur.

a

bx0bax dır. Bu değeri yazarsak,

Ka

bB.b

a

b.a

a

bP

KKa

bB.bb

a

bP

O halde xP polinomunun bax ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için 0bax denkleminin kökü olan

a

bx için xP polinomunun değeri olan

a

bP

hesaplanır. Sonuç

Bir xP polinomunun bax ile bölünmesinden elde edilen

kalan

a

bP dır.

Örnek:

5x22x33x2xP polinomunun 3xxQ polinomuna bölünmesinden elde edilen kalanı bulalım. Çözüm:

3x03x tür. xP polinomunda x yerine 3 yazılırsa,

53.223.333.23P

805627543P bulunur. Örnek:

7x32x23xxP polinomunun 1x polinomuna bölünmesinden elde edilen kalanı bulalım. Çözüm:

1x01x dir. xP polinomunda x yerine -1 yazılırsa,

71.321.2311P

1373211P bulunur.

16

Örnek:

12mx2x33x2xP polinomunun 2x polinomuna tam bölünebilmesi için m nin alacağı değeri bulalım. Çözüm:

xP polinomunun 2x polinomuna tam bölünebilmesi için kalan 0K olmalıdır.

Yani 2x02x için, 02PK olmalıdır. Buna göre,

0122.m22.332.22P

012m212162P

4m08m2 bulunur.

Örnek:

bax2x53xxP polinomunun 1x ile bölümündeki kalan 5 ve 2x ile bölümündeki kalan 20 olduğuna göre a ve b değerlerini bulalım. Çözüm:

1x01x için,

b1.a21.5311P5K

1ba56ba bulunur

2x02x için,

b2.a22.5322P20K

8ba22028ba2 bulunur.

6b -7,a

8ba2

1ba

8ba2

1ba

bulunur.

Örnek:

4x32xxP olduğuna göre 1xP polinomunun 3x polinomuna bölünmesinden elde edilen kalanı

bulalım. Çözüm: 1.Yol:

4x32xxP olduğuna göre,

41x.321x1xP

43x31x22x1xP

6x2x1xP dır.

3x03x için,

632313PK

06394PK bulunur.

Yani 1xP polinomu 3x polinomuna tam bölünüyor. 2.Yol:

1xP polinomu bulunmadan da kalan bulunabilir.

3x03x için,

4P13PK tür.

4x32xxP polinomunda x yerine 4 yazılırsa,

04121644.3244PK bulunur.

Yani 1xP polinomu 3x polinomuna tam bölünüyor.

17

Sonuç

xP polinomunun ax ile bölümünden elde edilen kalanı aP dır.

bxP polinomunun ax ile bölümünden elde edilen kalanı baP dir.

bx3P polinomunun ax ile bölümünden elde edilen kalanı ba3P dir.

Örnek:

14x72x2xP verildiğine göre, xP polinomunun 3x polinomuna bölünmesinden elde edilen

kalanı bulalım. Çözüm:

xP polinomunun 3x ile bölünmesinden elde edilen kalan 3P tür.

2xP polinomunda x yerine 5 yazarsak,

4143525145.72525P

43P bulunur. Örnek:

ax32xxP.1x verildiğine göre, xP polinomunun 3x polinomuna bölünmesinden elde edilen

kalanı bulalım. Çözüm:

3x03x tür.

xP polinomunun 3x ile bölünmesinden elde edilen kalan 3P tür. Ancak, eşitliğin sağ tarafında yer alan a değerini bulmalıyız. Bunun için eşitliğin sol tarafını sıfır yapan x değerinden yararlanırız.

1x01x dir. Verilen bağıntıda x yerine 1 yazarsak,

a1.321xP.11

4aa310 bulunur.

Buna göre, 4x32xxP.1x olur.

Şimdi xP polinomunun 3x ile bölümündeki kalanı bulmak için x yerine 3 yazalım.

43.3233P.13

72

143P4993P.2 bulunur.

Örnek:

2m2x23x.4xP polinomunun 1x2 ile bölünebilmesi için m yerine hangi sayının yazılabileceğini bulalım. Çözüm:

2

1x01x2 olur.

xP polinomunun 1x2 ile tam bölünebilmesi için kalan

sıfır olmalıdır. Yani 02

1PK

olmalıdır.

02m

2

2

1.2

3

2

1.4

2

1P

02m2

1

2

1

2

1P

2m02m bulunur.

D. Bir xP Polinomunun anx İle Bölümündeki Kalanı Bulma

an

x0an

x dır.

18

Buna göre derecesi n den büyük olan bir polinomun an

x

ile bölümünden kalanı bulmak için n

x yerine a yazılır. Örnek:

43x36x29xxP polinomunun 23x ile bölümünden kalanı bulalım. Çözüm:

23

x023

x dir.

43x36x29xxP

43x323x.233xxP olduğuna göre xP polinomunda

3x yerine -2 yazılırsa,

42.322.232K

10464.28K bulunur.

Örnek:

52x23x4xxP polinomunun 12x ile bölümünden kalanı bulalım. Çözüm:

12

x012

x dir.

52x23x4xxP

52x.2x.2x22xxP olduğuna göre xP

polinomunda 2

x yerine 1 yazılırsa,

51.2x.12

1K

2xK bulunur.

Örnek:

22x34xxP polinomunun 22x ile bölümünden kalanı bulalım. Çözüm:

22

x022

x dir.

22x322x22x34xxP olduğuna göre xP polinomunda 2x yerine -2 yazılırsa,

22.322K

12264K bulunur.

Örnek:

1x32x3x24xxP polinomunun 22x ile bölümünden kalanı bulalım. Çözüm:

22

x022

x dir.

1x32x3x24xxP

1x32x2x.x.222xxP olduğuna göre

xP polinomunda 2x yerine 2 yazılırsa,

1x322.x.222xK

1x32x.44xK

3x.7xK tür. Örnek:

315x18xxP polinomunun 13x ile bölümünden kalanı bulalım.

19

Çözüm:

13

x013

x dir.

353x63x315x18xxP

olduğuna göre xP polinomunda 3x yerine -1 yazılırsa,

35161K

1311K bulunur.

Örnek:

28x12x2xP polinomunun 24x ile bölümünden kalanı bulalım. Çözüm:

24

x024

x dir.

224x34x.228x12x2xP

olduğuna göre xP polinomunda 4x yerine 2 yazılırsa,

22232.2K

2232224K bulunur.

B. Bir xP Polinomunun bx.ax İle Bölümü

xP polinomu bx.ax çarpımı ile tam olarak bölünebiliyorsa ax ve bx çarpanları ile ayrı ayrı

tam olarak bölünür.

ax ve bx aralarında asal polinomlar olmak üzere;

xP polinomu bu polinomlara ayrı ayrı tam olarak bölünebiliyorsa bunların çarpımı olan bx.ax ile de tam olarak bölünebilir.

Örnek:

5nx2mx3x2xP polinomu 1x.1x ile tam

bölünebildiğine göre 2

n2

m farkını bulalım. Çözüm:

xP polinomu 1x.1x çarpımı ile tam bölünebildiğine göre 1x ve 1x çarpanları ile ayrı ayrı tam olarak bölünür.

xP polinomu 1x ile tam bölünebildiğine göre 1x01x olup 01P dır.

xP polinomu 1x ile tam bölünebildiğine göre 1x01x olup 01P dır

olmalıdır. Buna göre,

051.n21.m31.21P

3nm bulunur.

051.n21.m31.21P

7nm bulunur.

Bulunan bu eşitlikleri taraf tarafa çarparsak,

3.7nm.nm

212

n2

m elde edilir. Örnek:

xP polinomunun 2x ile bölümünden kalan 8 ve 1x ile bölümünden kalan -1 dir. Buna göre xP polinomunun 1x.2x ile bölümünden kalanı bulalım. Çözüm:

xP in 2x ile bölümünden kalan 8 ise 82P dir.

xP in 1x ile bölümünden kalan -1 ise 11P dir.

20

1x.2x çarpımı ikinci dereceden bir polinomdur. Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olacağına

göre, xP in 1x.2x ile bölümünden kalan birinci dereceden bir polinomdur.

Kalan nmxxK olsun. Buna göre,

nmxxB.1x.2xxP dir.

2x için 82P ise,

8n2.m2B.12.222P

8nm.22B.3.0

8nm.2 bulunur.

1x için 11P ise,

1nm.11B.11.211P

1nm1B.0.3

1nm bulunur.

Bulunan bu iki eşitlik birlikte çözülürse,

2 n , 3m

1nm

8nm.2

bulunur. O halde xP

polinomunun 1x.2x ile bölümünden kalan,

2x3nmxxK dir.

C. Bir xP Polinomunun 2bx.a İle Bölümü

xP polinomu 2bx.a ile bölünebiliyorsa, xP polinomu ile türevi olan xP polinomu bax ye tam

olarak bölünürler. Yani xP polinomu 2bx.a ile bölünebiliyorsa

0a

bP

ve 0

a

bP

dır.

Örnek:

n2x63mxxP polinomu 21x ile tam bölünebildiğine göre, m.n çarpımını bulalım. Çözüm: 1.Yol:

1x22x01x22x021x dir. 2

x nin eşiti xP polinomunda yazılırsa kalan bulunur. Kalanın sıfıra eşitlenmesi ile sonuca gidilir. Çünkü xP

polinomu 21x ile tam bölünmektedir.

n2x.62x.x.mn2x63mxxP olduğu için,

n1x2.61x2.x.m0xK

n6x12mx2

mx20

n6x12mx1x2.m20

n6x12mxm2mx40

6nm2x.12m30 dir. Buna göre polinomların eşitliği tanımına göre,

4m012m3

2n06n806nm2 bulunur.

O halde 82.4n.m elde edilir.

2.Yol:

n2x63mxxP polinomu 21x ile tam bölünebildiğine göre 01P ve 01P dır.

n2x63mxxP ise,

21

x122mx3xP tir.

n21.631.m1P0

6nm6nm0 elde edilir.

1.1221.m31P0

4m12m30 bulunur.

246n6nm bulunur. O halde,

82.4n.m dir.

Örnek:

bax2x23xxP polinomu 22x ile tam bölünebildiğine göre, b değerini bulalım. Çözüm: Bu soruyu yukarıdaki 2.yolun dışında başka bir yoldan

çözelim. Bunun için xP polinomunu

4x42x22x ile bölelim.

Buna göre 4a04a ve 8b08b

bulunur. Sonuç

xP polinomu nbx.a ile tam bölünebiliyorsa,

0a

b)1n(P,...,0

a

b''P,0

a

b'P,0

a

bP

olur.

Örnek:

cx2bx3x124axxP polinomu 31x2 ile tam bölünebildiğine göre, a ile b arasındaki bağıntıyı bulalım. Çözüm:

cx2bx3x124axxP ise,

cbx22x363ax4x'P

b2x722ax12x''P dir.

xP polinomu 31x2 ile tam bölünebiliyorsa,

02

1P

, 0

2

1'P

, 0

2

1''P

dır

b22

1.72

2

2

1.a.12

2

1''P0

36b2a3b236a30 elde edilir.

HORNER YÖNTEMİ İLE BÖLME

Horner yöntemi, bir xP polinomunun ax ya da bax biçimindeki birinci dereceden bir polinoma bölünmesindeki bölüm ve kalanı bulmada kolaylık sağlayan bir yöntemdir. Horner yöntemi ile bölmede yapılacak işlemleri aşağıdaki örneğimizde olduğu gibi sıralayabiliriz. Örnek:

1x32x23x54x3xP polinomunun 2x ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanı bulalım. Çözüm: Sorunun çözümünü Horner yöntemi ile yapalım. a) Bölünen polinomun katsayıları x in azalan kuvvetlerine

göre sıralanır.

22

b) 2x02x , düşey çizginin soluna yazılır.

c) Bölünen polinomun baş katsayısı olan 3 olduğu gibi

aşağı indirilir. d) 2 ile 3 çarpılıp -5 in altına yazılarak toplanır e) 2 ile 1 çarpılıp, 2 nin altına yazılarak toplanır. Bu sıralanış şema ile aşağıda verilmiştir. İnceleyiniz.

İşleme böyle devam edildiğinde en son elde edilen 9 sayısı, kalandır. Diğer sayılar da bölüm polinomunun kat sayılarıdır.

Buna göre 9K dur.

xQ bölümünün katsayıları 3,1,4,5 tir.

5x42x3x3xQ olur.. Örnek:

15x223x34x2xP polinomunun 3x.2x ile bölümünden elde edilen kalanı Horner yöntemi ile bulalım. Çözüm:

2x02x dir.

Bölümü 3x ile tekrar bölelim.

3x03x dir.

32x.2711x2x2.3x.2xxP

Tablodan bulunan bu değerleri 327.axxK ifadesinde yerine yazalım,

51x27327.2xxK bulunur.

ÇÖZÜMLÜ SORULAR

1. bcx2xbaxP ve 5x32x22xQ polinomları veriliyor. xQxP olduğuna göre a,b ve c nin değerlerini bulunuz.

Çözüm:

5x32x22xQ eşitliğinde x yerine 2x yazılırsa,

52x.322x.222xQ

56x34x42x.2xQ

56x38x82x2xQ

19x112x2xQ olur.

xQxP olduğundan,

2ba , 11c ve 19b dur.

Buradan

17a , 19b , 11c bulunur.

2. dcx2xba3axxP ve 32xxQ polinomları veriliyor. xQxP olduğuna göre a,b ve c nin değerlerini bulunuz.

Çözüm:

8x122x63x32xxQ olup xQxP eşitliğinden,

23

1a , 5b6ba , 12c , 8d bulunur.

3. bax22axxP , x3xQ ve

5x82x103cxxD polinomları veriliyor. xDxQxPxQ.xP olduğuna göre a,b ve

c nin değerlerini bulunuz. Çözüm:

bx32ax63ax3xQ.xP ve

5bx11a22x10a3cxxDxQxP

ise xDxQxPxQ.xP olduğuna göre,

ca3 , 10aa6 , 11a2b3 , 5b0 olup, bu

eşitliklerden

2a , 5b , 6c bulunur.

4. 3x

bax

3x

12

x.

1x2

x2

1x2

olduğuna göre a.b

çarpımının değeri kaçtır? Çözüm:

3x

bax

3x

12

x.

1x2

x2

1x2

3x

bax

3x

1x.1x.

1x.1x2

1x2

1xbax3x

bax

3x

1x

1a ve 1b bulunur.

a.b = 1.1 = 1 dir.

5. x

C

22

x

BAx

x23

x

1x2

olduğuna göre A,B ve C nin

değerlerini bulunuz.

Çözüm:

x

C

22

x

BAx

x23

x

1x2

22x.xC2

2CxBx

2Ax

22

x.x

1x2

C2Bx2xCA1x2

0CA , 2B , 1C2 olup, buradan

2

1A , 2B ,

2

1C bulunur.

6. 7x4b3x33axxP ifadesi sabit polinom olduğuna göre b – a farkı kaçtır?

Çözüm:

7x4b3x33axxP polinomu sabit olduğuna göre x içeren terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Buna göre,

3a03a , 4b04b bulunur.

734ab elde edilir.

7. 3b2x272x3axP ifadesi sıfır polinomu olduğuna göre a – b farkı kaçtır?

Çözüm: Sıfır polinomunda bütün terimlerin katsayıları sıfırdır. O

halde 3b2x273axP ifadesinin sıfır polinomunu belirtmesi için,

3a273

a0273

a

3b03b

633ba bulunur.

24

8. 22xxP , 2xxQ olduğuna göre

xQ.2xxP.1x polinomunu bulunuz. Çözüm:

2x.2x22x.1xxQ.2xxP.1x

2x23x22xx23xxQ.2xxP.1x

2x22xxQ.2xxP.1x bulunur.

9.

33

a

96

a29

a

işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Buna göre 33

a6

a

33

a

96

a29

a

tür.

10. 3xPder ve 4xQder olduğuna göre

7x4b3x33axxP polinomunun x2Q polinomuna bölümünden elde edilen bölüm polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:

7x4b3x33axxP polinomunun x2Q polinomuna bölümünden elde edilen bölüm polinomunun derecesi,

x2Qderx3Pder

x2

Q

x3

Pder

xQder.2xPder.3

x2

Q

x3

Pder

1894.23.3

x2

Q

x3

Pder

dir.

11. 1x

B

2x

A

2x2

x

7x

olduğuna göre A – B farkı

kaçtır? Çözüm:

1x

B

2x

A

2x2

x

7x

2x2

x

B2BxAAx

2x2

x

7x

B2AxBA7x

1BA , 7B2A olup bu iki eşitlikten,

-2B63B- 72B- A

-1B-A-

7B2A

1BA

, 3A tür.

523BA elde edilir.

12. 2x3x22x3xxP polinomunun 1x

3x ile bölümündeki kalan polinomu bulunuz.

Çözüm:

1x3

x01x3

x ve

1x3

x01x3

x dir.

25

Bu değerleri xP polinomunda yerine yazarsak,

2x3x22x3xxP ise

2x23x212x1x221xK bulunur.

13. ax32x23x2xP polinomu veriliyor. xP in katsayılar toplamı 9 olduğuna göre, sabit terimi kaçtır?

Çözüm:

xP in katsayılar toplamı 9 ise 91P dur. 2xP polinomundan 1P elde etmek için x yerine -1 yazılırsa,

a1.321.23121P

9aa3211P bulunur. Buna göre,

9x32x23x2xP dur. xP in sabit terimi 0P dır. 2xP polinomundan 0P elde etmek için x

yerine -2 yazılırsa,

92.322.23222P

1151696880P bulunur.

14. mx32x24xxP polinomunun çarpanlarından biri 3x olduğuna göre m kaçtır?

Çözüm:

xP in çarpanlarından biri 3x ise xP polinomu 3x ile tam bölünür. Bu durumda 03P dır.

m3.323.2433P0

54mm99.2810 bulunur.

15. m3x32x43mxxP polinomunun 2x ile bölümünden kalan 5 tir. Buna göre xP in 2x ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

xP in 2x ile bölümünden kalan 5 ise 52P tir.

m32.322.432.m2P5

3m15m5m3616m85 tür. Buna göre,

9x32x43x3xP olur.

xP in 2x ile bölümünden kalan,

92.322.432.32P

559616242P bulunur.

16. xP ve xQ polinomlarının 3x ile bölümünden kalanlar sırasıyla 5 ve 2 dir. Buna göre xQ.xP polinomunun 3x ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

xP in 3x ile bölümünden kalan 5 ise 53P tir

xQ in 3x ile bölümünde kalan 2 ise 23Q dir

xQ.xP polinomunun 3x ile bölümünden kalan,

3x03x değeri yerine yazılırsa,

102.53Q.3P bulunur.

17. xP ve xQ polinomlarının 3x ile bölümünden kalanlar sırasıyla -5 ve 3 tür. xQ.1kxP.x polinomu 3x ile tam bölünebildiğine göre k kaçtır?

26

Çözüm:

xP in 3x ile bölümünden kalan -5 ise 53P

xQ in 3x ile bölümünde kalan 3 ise 33Q tür.

xQ.1kxP.x polinomu 3x ile tam bölünebildiğine göre,

3x03x değeri yerine yazılırsa,

03Q.1k3P.3 dır. Buna göre,

3.1k5.33Q.1k3P.30

151k.31k.3150

6k51k dır.

18. xP in sabit terimi 3, katsayılar toplamı -4 tür. Buna

göre

2

xPx2P polinomunun 2x ile

bölümünden kalan kaçtır? Çözüm:

xP in sabit terimi 3 ise 30P tür.

xP in katsayılar toplamı -4 ise 41P tür.

2x02x olduğu için,

2

xPx2P in 2x ile bölümünden kalan,

1431P0P2

2P22P

olur.

19. xP in 24x ile bölümünden kalan 7x5 olduğuna göre xP in 4x ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

xP in 24x ile bölümünde; bölüm xB ve kalan

7x5 olduğuna göre, 7x5xB.24xxP dir. xP in 4x ile bölümünden kalan 4P tür. Buna göre,

13720074.54B.2444P bulunur.

20. 7x42x3Q.22x1x2P eşitliği verilmiştir. xP in 5x ile bölümünden kalan 21 olduğuna göre xQ in 4x ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

xP in 5x ile bölümünde kalan 21 ise 215P dir

xQ in 4x ile bölümünde kalan 4Q tür.

7x42x3Q.22x1x2P eşitliğinde 5P elde etmek için x yerine 2 yazılırsa,

72.422.3Q.22212.2P

14Q.221784Q.25P

114Q224Q.2 bulunur.

21. xP in sabit terimi 2, katsayılar toplamı 5 tir. Buna

göre xP in x2x ile bölümündeki kalanı bulunuz. Çözüm:

xP in sabit terimi 2 ise 20P tür.

xP in katsayılar toplamı 5 ise 51P tir.

x2

x polinomu ikinci dereceden olduğu için xP in

x2

x ile bölümündeki kalan birinci derecedendir.

27

xP in x2x ile bölümündeki kalan nmx olsun.

Buna göre nmxxB.x2xxP dir. Bu eşitlikte x yerine önce 1, sonra 0 yazılırsa,

5nmn1.m1B.1211P5 bulunur.

2nn0.m0B.0200P2 bulunur.

3m5nm tür.

xP in x2x ile bölümündeki kalan

2x3nmx dir.

22. 512x324x2xP polinomunun 26x ile bölümündeki kalanı bulunuz.

Çözüm:

526x.346x.2512x324x2xP polinomunda, 2

6x02

6x yazılırsa

522.342.2xK

356852.34.2 elde edilir.

23. 4x22x22xPxP olduğuna göre xP polinomunu bulunuz.

Çözüm:

Verilenlere göre xP ikinci dereceden bir polinomdur.

cbx2axxP olsun.

c2x.b22x.a2xP

cb2bxa4ax42x.a2xP

cb2a4xba42x.a2xP

4x22x22xPxP olduğuna göre,

4x22x2c2b2a4x.b2a42ax2 olup,

2a2 , 2b2a4 , 4c2b2a4 eşitliklerinden

1a , 1b , 1c bulunur. O halde,

1x2xcbx2axxP dir.

24. ax2x3x2

14xxP polinomu 1

2x ile

kalansız bölünebildiğine göre a kaçtır? Çözüm:

xP polinomunun 12x ile kalansız bölünebilmesi için 2

x yerine -1 yazıldığında kalan 0 olmalıdır. Buna göre,

ax2xx.2x2

122xxP ise,

ax1x.12

121xK0

0x.2

1aax1x.

2

110

2

1a0

2

1a bulunur.

25. nx1m3x1n24mxxP polinomunun

23

x ile bölümünden kalan 7x olduğuna göre nm toplamı kaçtır?

Çözüm:

23

x023

x olduğu için, xP polinomunda 3x yerine -2 yazılırsa kalan bulunur.

28

nx1m3x1n2x.3mxxP olduğu için,

nx1m2.1n2x.2.mxK7x

nxmx2n4mx27x

x2n5mx7x

2n5x1m7x ise,

2m11m ve 1n72n5 dir.

112nm bulunur.

26. 32x2xxP ve 5x24xxQ olduğuna göre 2xP polinomunun xQ.2x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:

2x2xxR olsun. 2xRder dir. Buna göre,

62.3x3RderxPder3xRxP dır.

126.2xPder.22xPder dir.

642xQder2xderxQ.2xder dır.

Buna göre, 2xP polinomunun xQ.2x polinomuna bölümünden elde edilen bölüm polinomunun derecesi,

6612xQ.2xder2xPderxQ.2x

2xPder

dır.

27.

22

a

4a43

a24

a

işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

Buna göre 2a22

a

22

a

4a43

a24

a

dır.

28. xP in katsayılar toplamı 5, xQ in sabit terimi -2 dir. Buna göre 2xQ.21xP.3 polinomunun 2x ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

xP in katsayılar toplamı 5 ise 51P tir.

xQ in sabit terimi -2 ise 20Q dir.

2xQ.21xP.3 polinomunun 2x ile bölümünden kalanı bulmak için x yerine 2 yazılırsa,

0Q.21P.322Q.212P.3K

114152.25.3K bulunur.

29. 7x34x22xQ polinomu veriliyor. xQ in katsayılar toplamı A, 3x ile bölümünden kalan B

olduğuna göre, A – B kaçtır? Çözüm:

xQ in katsayılar toplamı A ise A1Q dır. 2xQ den 1Q elde etmek için x yerine -1 yazılır,

731.271.341.221Q

12A121QA bulunur.

29

xQ in 3x ile bölümünde kalan B ise B3Q dir.

2xQ den 3Q elde etmek için x yerine 1 yazılır,

6731.271.341.221Q

6B63QB bulunur.

6612BA elde edilir.

30. xP in 1x ile bölümünden kalan -3 olduğuna göre

x2P in 1x ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm:

xP in 1x ile bölümünde kalan -3 ise 31P tür.

x2P in 1x ile bölümünde kalan 12P dir.

Buna göre, 31P ise,

92321P12P olur.

31. 8x122x63xxP polinomunun 22x ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

22x022x dir. Buna göre xP in

22x ile bölümünden kalan 22P dir.

32x8x122x63xxP olduğuna göre,

2232322222P dir.

32. 3x2xQ.4x22x33xxP bağıntısı veriliyor. xP in 2x ile bölümünde kalan 13 ise, xQ in 2x ile bölümünde kalan kaçtır?

Çözüm:

xP in 2x ile bölümünde kalan 13 ise 132P tür

xQ in 2x ile bölümünde kalan 2Q dir. Verilen bağıntıda x yerine 2 yazılarak,

32.22Q.42.222.3322P

342Q.4412813

32Q12Q.413 tür.

33.

5x2

x21xQ

3xP

bağıntısı veriliyor. xQ in

2x ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre 6P kaçtır?

Çözüm:

xQ in 2x ile bölümünden kalan 2 ise 22Q dir

1xQ den 2Q elde etmek için 1xQ

3xP

bağıntısında

x yerine 3 yazılırsa,

206P102

6P53

23.2

13Q

33P

bulunur.

34. xP ve xQ polinomlarının 2x ile bölümünden

kalanlar sırasıyla 3 ve -4 tür. xQ.t.xxP.12x polinomu 2x ile tam bölünebildiğine göre t kaçtır?

Çözüm:

xP in 2x ile bölümünde kalan 3 ise 32P tür.

xQ in 2x ile bölümünden kalan -4 ise 42Q

xQ.t.xxP.12x polinomu 2x ile tam bölünebildiğine göre,

30

02Q.t.22P.122

dır. Buradan,

8

15t0t81504.t.23.14 bulunur.

35. 77x414x228x3xP polinomunun 27x ile bölümünde kalan kaçtır?

Çözüm:

27

x027

x olduğu için

77x414x228x3xP

77x427x.247x.3

polinomunun 27

x ile bölümünde kalanı bulmak için 7

x yerine -2 yazılırsa,

72.422.242.3 K

2578848784.216.3 K bulunur.

36. 73nx6x9x2xP polinomunun

çarpanlarından biri 23

x olduğuna göre n kaçtır? Çözüm:

xP in çarpanlarından biri 23x ise, xP polinomu

23

x ile tam bölünür. Yani xP polinomu 23x ile bölündüğünde kalan sıfırdır. Buna göre,

23

x023

x değerini

73nx23x33x2xP polinomunda yazarsak,

07n241672.n2

23

2.2K0

2

5n05n2 bulunur.

37. Bir xP polinomunun 33x ile bölümünden kalan

2x22

x olduğuna göre, xP in 3x ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

xP polinomunun 33x ile bölünmesiyle elde edilen

bölüm xB ve kalan 2x22x olsun. Buna göre,

2x22xxB.33xxP olur. Bu eşitlikte x yerine -3 yazılırsa,

23.2233B.3333P

526903P bulunur.

38. xP polinomunun 15x22x ile bölümünden kalan 2x3 dir. Buna göre xP in 3x ile bölümünden

kalan kaçtır? Çözüm:

xP in 15x22x ile bölümünden kalan 2x3 olduğu için,

2x3xB.15x22xxP

2x3xB.3x.5xxP dir.

xP in 3x ile bölümünden kalan,

3x03x yazılırsa,

23.33B.33.533P

72903P bulunur.

39. 10x42x21xP2xP olduğuna göre xP polinomunu bulunuz.

31

Çözüm:

Verilenlere göre cbx2axxP tipinde ikinci dereceden bir polinomdur. Buna göre,

c2x.b22x.a2xP

cb2a4xba42x.a2xP dir.

c1x.b21x.a1xP

cbaxba22ax1xP dir.

10x42x21xP2xP olduğuna göre,

10x42x2c2ba5xb2a22ax2 olup,

2a2 , 4b2a2 , 10c2ba5

eşitliklerinden

1a , 1b ve 2c bulunur. Buna göre,

2x2xcbx2axxP dir.

40. xP in 3x ile bölümünden kalan 4, 1x ile bölümünden kalan -2 olduğuna göre xP in 1x.3x ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm:

xP in 3x ile bölümünden kalan 4 ise 43P tür.

xP in 1x ile bölümünden kalan -2 ise 21P di

1x.3x polinomu ikinci derecedendir. Bölen ikinci dereceden olduğu için kalanın derecesi en çok 1 dir. xP in 1x.3x ile bölümünden kalan nmx olsun. Buna göre,

nmxxB.1x.3xxP dir.

1x için n1.m1B.11.311P

2nmnm1B.0.22 dir.

3x için n3.m3B.13.333P

4nm3nm33B.2.04 dir. Bulunan bu iki eşitlik birlikte çözülürse,

5n , 3m 2nm

4nm3

bulunur. O halde xP in

1x.3x ile bölümünden kalan,

5x3nmx tir.

41. baxxP polinomu veriliyor.

3x

2x

92x

21x42x.

28x112x

bax2x

olduğuna

göre xP in 1x ile bölümünden kalan kaçtır? Çözüm:

1x01x olduğu için baxxP in 1x ile bölümünden kalan bab1.a1P dir. Verilen diğer eşitlikte x yerine 1 yazılırsa,

3x

2x

92x

21x42x.

28x112x

bax2x

ise,

31

21

921

211.421.

281.1121

b1.a21

4

3

20

1ba

4

3

8

16.

40

ba1

14ba151ba20

15

20

1ba

bulunur.

baxxP in 1x ile bölümünden kalan

14bab1.a1P tür.

32

42. 1xP polinomunun katsayılar toplamı 4 ve

1x2x33x1xP.2x1xP olduğuna göre xP polinomunun sabit terimi kaçtır?

Çözüm:

1xP polinomunun katsayılar toplamı 4 ise,

42P11P tür.

xP polinomunun sabit terimi 0P dır.

1x2x33x1xP.2x1xP bağıntısında x yerine 1 yazılırsa,

1121.33111P.2111P

20P640P11312P0P dir.

xP polinomunun sabit terimi 20P dir.

43. xP.3x27ax3x bağıntısı veriliyor. 3P değeri kaçtır?

Çözüm: Verilen eşitlikte x yerine 3 yazılırsa,

0a027a3273P.33273.a33 dır. Buna göre,

xP.3x273xxP.3x27ax3x

9x32x3x

273xxP

bulunur.

2793.3233P9x32xxP dir.

44. 3x22x1xP olduğuna göre xP polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır?

Çözüm:

2

1P1P işleminin sonucu xP polinomunun tek

dereceli terimlerinin katsayıları toplamını verir.

2

1P1P işleminin sonucu xP polinomunun çift

dereceli terimlerinin katsayıları toplamını verir.

Buna göre, 3x22x1xP polinomunda x yerine önce 0, sonra -2 yazılarak,

31P30.22010P ve

111P32.22212P bulunur.

Bu durumda xP polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı,

7

2

14

2

113

2

1P1P

dir.

KONU BİTMİŞTİR.