Poly Suites Series Fonct

Universite Sultan Moulay SlimaneFaculte des sciences et techniques

de Beni Mellal

Annee universitaire :

2010/2011

Suites et series de fonctions

Abdesselam BOUARICH

Deuxieme version :

15/06/2011

A. Bouarich

2

A. Bouarich Suites et series de fonctions

Table des matieres

1 Les series numeriques 5

1.1 Proprietes des series numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Series geometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Series a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Criteres de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Comparaison d’une serie avec une integrale simple generalisee . . . . . 12

1.3.3 Regles de Cauchy et de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.4 Series absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4 Series alternees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.1 Le theoreme de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2 Le theoreme d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Suites de fonctions 29

2.1 Convergence simple d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Convergence uniforme d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Theoremes fondamentaux sur la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.1 Theoreme de la continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2 Theoreme de l’integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3.3 Theoreme de la derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Les series de fonctions 45

3.1 Definitions et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Theoremes fondamentaux de la convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . 49

4 Les series entieres 58

4.1 Proprietes du domaine de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.1 Definitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.2 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.3 Formule de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.4 Operations sur les series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2 Fonctions d’une variable reelle developpables en serie entiere . . . . . . . . . . 71

4.2.1 Definition et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.2 Exemples de fonctions developpables en serie entiere . . . . . . . . . . 74

4.3 Equations differentielles lineaires et les series entieres . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.1 Cas d’une equation differentielle reguliere . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3.2 Cas d’une equation differntielle singuliere . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5 Les series de Fourier 86

5.1 Series trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1.1 Definition et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1.2 Coefficients de Fourier d’une serie trigonometrique . . . . . . . . . . . 87

5.2 Serie de Fourier associee a une fonction periodique . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.2.1 Coefficients de Fourier d’une fonction periodique . . . . . . . . . . . . 88

5.2.2 Exemples classiques de series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3 Probleme de convergence des series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3.1 Convergence des coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.3.2 Theoreme de convergence de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.3.3 Theoreme de la convergence quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Chapitre Premier

Les series numeriques

1.1 Proprietes des series numeriques

Definition 1. Soit {un/n ∈ N} une suite de nombres reels ou complexes. Pour tout entier

n > 0 on definit la somme partielle des (n+1)-premiers termes de la suite un par l’expression :

Sn := u0 + u1 + · · ·+ un

1. Le couple (un,Sn) s’appelle serie numerique de terme general un.

2. Si la suite des sommes partielles {Sn/n ∈ N} converge (resp. diverge) dans R (resp. C)

on dira que la serie numerique (un,Sn) converge (resp. diverge) et on note :

∑

n>0

un := limn→+∞

Sn

3. Si la serie numerique (un,Sn) converge vers S ∈ R (resp. S ∈ C) on lui associe la suite

numerique dont le terme general

Rn := S− Sn =∑

p>n+1

up, ∀n ∈ N,

qui s’appelle reste d’ordre n ∈ N de la serie numerique (un,Sn).

Dans la suite, s’il n’y a aucune confusion a craindre la serie numerique (un,Sn) sera designee

que par son terme general un. De meme, on va designer une serie numerique de terme general

un par la somme∑

n>0

un = u0 + u1 + · · ·+ un + · · ·.

Ci-dessous, on donnera quelques conditions necessaires a la convergence d’une serie numerique

qui seront tirees a partir des resultats classiques des suites numeriques convergentes.

Proposition 1. Pour que la serie numerique de terme general un converge il faut et il suffit

que la suite des restes qui lui est associee, Rn =∑

p>n+1

up, tend vers zero.

Demonstration. Utiliser le fait que le reste d’ordre n > 0, Rn = S− Sn.


6 Les series numeriques

Proposition 2. Pour que la serie numerique de terme general un converge il faut et il

suffit que pour tout reel ε > 0 il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout couple d’entiers

n > m > n0, | um + um+1 + · · ·+ un |< ε.

Demonstration. Utiliser le fait que la serie numerique∑

n>0

un converge si et seulement, si la

suite des sommes partielles Sn est une suite de Cauchy. Ensuite, remarquer que pour tout

couple d’entiers n > m la difference Sn − Sm−1 = um + um+1 + · · · + un.

Corollaire 1. Si une serie de terme general un converge alors limn→+∞

un = 0.

Demonstration. Remarquer que si la suite des sommes partielles Sn =

p=n∑

p=0

up est de Cauchy,

donc pour tout reel ε > 0 il existe un entier n0 > 1 tel que pour tout entier n ∈ N on aura

l’inegalite | Sn − Sn−1 |=| un |< ε qui implique limn→+∞

un = 0.

Proposition 3. Une serie numerique dont le terme general est positif un > 0 converge si et

seulement, si la suite des sommes partielles Sn =

p=n∑

p=0

up est majoree.

Demonstration. Remarquer que la condition un > 0 implique que la suite des sommes par-

tielles Sn =

p=n∑

p=0

up est croissante parce que Sn+1 − Sn = un+1 > 0. Ensuite, appliquer le fait

qu’une suite croissante converge si et seulement si elle est majoree.

Proposition 4. Si les series numeriques∑

n>0

un et∑

n>0

vn convergent alors pour tous les reels

λ et µ la serie de terme general, λun + µvn, converge.

Exemple 1. 1) Cherchons la nature de convergence de la serie de terme general

un =1

n(n+ 1), ∀n > 1

Observons que puisque pour tout entier n > 1 le terme general

un =1

n(n+ 1)=

1

n− 1

n+ 1

on en deduit que la somme partielle des n-premiers termes,

Sn = u1 + · · · + un = (1

1− 1

2) + (

1

2− 1

3) + · · ·+ (

1

n− 1

n+ 1) = 1− 1

n+ 1,

converge vers 1. Par consequent, la serie de terme general un =1

n(n+ 1)converge et sa

somme est egale a :

∑

n>1

un =1

2+

1

2.3+

1

3.4· · ·+ 1

n(n+ 1)+ · · · = 1


Proprietes des series numeriques 7

Notons aussi que le reste d’ordre n > 1 de la serie∑

n>1

1

n(n+ 1)est egal a

Rn = 1− Sn =1

n+ 1

2) La serie de terme general un =1

ns’appelle : serie harmonique. La serie harmonique

∑ 1

n

diverge parce que si on pose Sn =

p=n∑

p=1

up on voit que pour tout entier n > 1 on a l’inegalite

S2n − Sn =1

n+ 1+ · · ·+ 1

2n>

1

2n+ · · ·+ 1

2n=

1

2

qui implique que la suite des sommes partielles Sn n’est pas de Cauchy.

Notons que la serie harmonique∑

n>1

1

ndiverge malgre que son terme general

1

ntend vers zero.

Donc, la condition limn→+∞

un = 0 est necessaire pour la converge d’une serie numerique mais

n’est pas suffisante.

Exercice 1. Montrer que les series suivantes convergent et calculer leurs sommes respectives :

1.∑

n>1

1

n(n+ 1)(n + 2)et

∑

n>2

1

n3 − n.

2.∑

n>0

1

n2 + 2n cos(θ)− sin2(θ)et

∑

n>0

1

n2 + 2nCh(a) + (Sh(a))2.

3. Arctg( 1

1 + n+ n2

)

, Arctg( 1

2n2

)

et Arctg( 2n+ 1

1 + n2(1 + n)2

)

.

Indication : Regarder le terme general un comme etant une fraction rationnelle de n et

decomposer le en elements simples ; puis calculer la somme partielle des premiers termes.

Exercice 2. Soit p > 2 un entier naturel fixe. Pour tout entier n ∈ N∗ on pose

un(p) =1

n(n+ 1) · · · (n+ p)

1) En verifiant la relation, un(p) =1

p

(

un(p − 1) − un+1(p − 1))

, montrer que la somme

partiellek=n∑

k=1

uk(p) =1

p

( 1

p!− un+1(p− 1)

)

.

3) En deduire que la serie de terme general un(p) converge et calculer sa somme.

Exercice 3. Soient a et b deux nombres complexes fixes tels que a+ b− 1 6= 0. On considere

la suite numerique Un dont l’expression est definie par la relation recurrente :

∀n > 2, Un+2 = aUn+1 + bUn

et ou U0 et U1 sont des nombres complexes donnes.

1) Verifier que la somme partielle des (n+1)-premiers termes de la suite Un est donnee par

l’expression :

Sn =(1− a)U0 +U1 − bUn −Un+1

1− a− b



2) En deduire que la serie∑

n>0

Un converge si et seulement si la suite recurente Un converge

vers zero.

3) Application : Calculer la somme de la serie∑

n>0

Un quand le terme general Un est defini

par la relation recurente Un+2 = Un+1 +Un avec U0 et U1 ∈ C.

Exercice 4. Soient a, b et c des nombres reels tels que a + b + c = 0. Etant donnee une

fonction f : R+ → R on definit une suite numerique par l’expression,

∀n > 0, un = af(n) + bf(n+ 2) + cf(n+ 4)

1) Montrer que si la limite limx→+∞

f(x) = 0 alors la serie de terme general un converge.

2) Application : Calculer la somme des series numeriques suivantes :

8

n(n2 − 4),

6n− 1

(3n − 8)(3n − 2)(3n + 4),

2n− 1

n(n2 − 4)

Exercice 5. Soit un > 0 une suite decroissante dont la serie associee∑

n>0

un converge.

1) En utilisant la difference des sommes partielles S2n et Sn ; montrer que la suite vn = nun

tend vers zero.

2) En deduire que la serie de terme general wn = n(un − un+1) converge.

3) On rappelle que le reste d’ordre n > 1 de la serie∑

un est definie par Rn =∑

p>n+1

up.

i) Verifier que la somme partielle

p=n∑

p=1

pup =

p=n−1∑

p=1

Rp − nRn.

ii) En deduire que les deux series∑

nun et∑

Rn possedent la meme nature de convergence.

1.2 Series geometriques

Definition 2. Soient a et q deux nombres complexes non nuls. La serie de terme general

∀n > 0, un = aqn

s’appelle serie geometrique de raison q.

Par recurrence on verifie que la somme partielle des (n + 1)-premiers termes d’une serie

geometrique de terme general un = aqn est egale a :

Sn = a(

1 + q + q2 + · · ·+ qn)

=

a(n+ 1), si q = 1

aqn+1 − 1

q − 1si q 6= 1.

Ainsi, en passant a la limite dans l’expression de la suite Sn on deduit que

limn→+∞

Sn =

diverge , si | q |> 1a

1− q, si | q |< 1.

(1.1)

D’ou la proposition :


Series a termes positifs 9

Proposition 5. Une serie geometrique de terme general, un = aqn, converge si et seulement

si le module | q |< 1.

Corollaire 2. Si le module | q |< 1 alors la somme et le reste de la serie geometrique

un = aqn sont donnees respectivement par,

∑

n>0

aqn =a

1− qresp. Rn =

aqn+1

1− q, ∀n > 0

Exemple 2. 1) La serie geometrique de terme general un =1

3nconverge vers

3

2=

∑

n>0

1

3n

avec un reste d’ordre n egal a Rn =3

2

1

3n+1.

2) La serie geometrique de terme general vn = (−1

5)n converge vers

5

6=

∑

n>0

(−1

5)n avec un

reste d’ordre n egal a Rn =5

6

(−1)n+1

5n+1.

Exercice 6. Montrer que pour tout reel 0 < q < 1 les trois series suivantes convergent et

calculer leurs sommes respectives

∑

n>1

nqn,∑

n>1

n2qn et∑

n>1

n(n+ 1)

2qn.

1.3 Series a termes positifs

Dans cette section, on se ropose de decrire quelques methodes et regles pratiques qui per-

mettent de decider sur la nature de convergence des series numeriques dont le terme general

est positif.

1.3.1 Criteres de comparaison

Theoreme 1 (Premier critere de comparaison). Soient un > 0 et vn > 0 les termes generaux

de deux series. S’il existe un reel A > 0 et un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0,

un 6 Avn, alors les propositions suivantes sont vraies :

1. Si la serie∑

n>0

vn converge alors la serie∑

n>0

un converge.

2. Si la serie∑

n>0

un diverge alors la serie∑

n>0

vn diverge.

Demonstration. 1) Observer que pour tout entier n > n0 on a l’inegalite suivante

0 6

p=n∑

p=n0

up 6 A

p=n∑

p=n0

vp

qui est equivalente a l’inegalite 0 6

p=n∑

p=0

up −p=n0−1∑

p=0

up 6 A(

p=n∑

p=0

vp −p=n0−1∑

p=0

vp

)

.



Ainsi, si on suppose que la suite des sommes partielles

p=n∑

p=0

vp converge il s’ensuit que la suite

des sommes partielles

p=n∑

p=0

up est majoree, et donc d’apres la proposition 3 la serie∑

n>0

un

converge.

2) De meme, si on suppose que la suite des sommes partielles

p=n∑

p=0

up diverge (i.e. tend vers

+∞) il en resulte que la suite des sommes partielles

p=n∑

p=0

vp diverge aussi.

Exemple 3. Cherchons la nature de convergence des series suivantes

xn =n

n3 + n2 + n+ 1et yn =

n

n2 + 1

1) Notons que puisque pour tout entier n > 1 on peut ecrire

0 < xn 6n

n3 + n2=

1

n(n+ 1)

on en deduit que la serie∑

n>0

xn converge parce que dans l’exemple 1 nous avons demontre

que la serie∑

n>1

1

n(n+ 1)converge.

2) De meme, puisque pour tout entier n > 0 on a,

1

n+ 16 yn

il s’ensuit que la serie∑

n>0

yn diverge parce que la serie harmonique∑

n>0

1

n+ 1diverge.

Theoreme 2 (Second critere de comparaison). Soit un > 0 et vn > 0 les termes genraux de

deux series. S’il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0,

un+1

un6

vn+1

vn

alors les propositions suivantes sont vraies :

1. Si la serie∑

vn converge alors la serie∑

un converge.

2. Si la serie∑

un diverge alors la serie∑

vn diverge.

Demonstration. Observer que si pour tous les entiers n0 6 m 6 n on fait le produit des

inegalitesum+1

um6

vm+1

vmmembre a membre on obtient l’inegalite suivante

un+1

un0

6vn+1

vn0

=⇒ un+1 6un0

vn0

vn+1

qui permet d’etablir les deux assertions du theoreme en appliquant le resultat du theoreme

precedent.



Exemple 4. Cherchons la nature de convergence de la serie de terme general

∀n > 1, un =2.5.8 · · · (3n − 1)

1.3.5. · · · (2n − 1)

Observons que le rapportun+1

un=

3n + 2

2n + 1>

3n

2n+ 2>

n

n+ 1, donc si pour tout entier n > 1

on pose vn =1

non obtient l’inegalite

un+1

un>

vn+1

vn. Ainsi, puisque la serie harmonique

∑

n>1

1

n

diverge le theoreme precedent implique que la serie∑

n>1

2.5.8 · · · (3n− 1)

1.3.5. · · · (2n − 1)diverge.

Theoreme 3 (Critere d’equivalence). Soit un > 0 et vn > 0 les termes genraux de deux

series. Si la limite limn→+∞

unvn

= L ∈ R∗+ (ie. existe) alors les deux series numeriques

∑

un et∑

vn possedent la meme nature de convergence.

Demonstration. Si pour ε = L/2 on applique la definition de la limite limn→+∞

unvn

= L on

pourra trouver un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0 on aura

| unvn

− L |< L/2 =⇒ L/2 6unvn

< 3L/2 =⇒ (L/2)vn < un < (3L/2)vn

Ainsi, si on applique le premier theoreme de comparaison aux deux membres de la double

inegalite (L/2)vn < un < (3L/2)vn on deduit que les series un et vn sont de meme nature.

Exemple 5. Cherchons la nature de convergence de la serie de terme general

vn = Arctg( n

n2 + 1

)

Puisque la limite limx→0x 6=0

Arctg(x)

x= 1 (ie. Arctg(x)∼0x) on voit que si on designe par wn =

1

n

le terme general de la s{erie harmonique on obtient la limite suivante

limn→+∞

vnwn

= limn→+∞

n

n2 + 11

n

= limn→+∞

n2

n2 + 1= 1

Donc, la serie∑

Arctg( n

n2 + 1

)

diverge.

Exercice 7. Dans cet exercice, on se propose de montrer que la serie numerique de terme

general,1

n!, converge et que sa somme est un nombre irrationnel.

1) Montrer par recurrence que pour tout entier n > 1, 2n−1 6 n!.

2) En deduire que la serie numerique∑

n>0

1

n!converge.

3) Montrer que pour tous les entiers n > 0 et p > 1,1

(n+ p)!6

1

(n+ 1)!

1

(n+ 1)p−1.

4) Montrer que le reste Rn d’ordre n > 1 de la serie∑

n>0

1

n!peut etre encadre par

0 < Rn <1

n!n



5) En deduire que la somme,∑

n>0

1

n!, n’est pas un nombre rationnel.

6) Calculer la somme des series numeriques suivantes

∑

n>0

n2

n!,

∑

n>0

n3

n!,

∑

n>0

np

n!ou p ∈ N

∗

en fonction de la somme S =∑

n>0

1

n!.

Notes : Au chapitre quatre on demontrer que la serie numerique,∑

n>0

1

n!, converge vers la

base du logarithme neperien e (ie. Log(e) = 1).

1.3.2 Comparaison d’une serie avec une integrale simple generalisee

Dans ce paragraphe, etant donnee une fonction decroissante continue f : [1,+∞[→ R+ on se

propose d’etudier la nature de convergence de la serie numerique dont le terme general est

defini par l’expression un = f(n).

A) Etude generale

Notons que puisque la fonction f est supposee decroissante ceci permet d’ecrire pour tout

entier n > 1 et pour tout reel x ∈ [n, n+ 1],

f(n+ 1) 6 f(x) 6 f(n) =⇒ f(n+ 1) 6

∫ n+1

nf(t)dt 6 f(n).

Ainsi, en faisant varier l’entier p entre 1 et n on obtient les inegalites suivantes :

f(2) 6

∫ 2

1f(t)dt 6 f(1)

f(3) 6

∫ 3

2f(t)dt 6 f(2)

... 6... 6

...

f(n+ 1) 6

∫ n+1

nf(t)dt 6 f(n)

dont la sommation membre a membre nous donne les deux encadrements suivants :

Sn+1 − f(1) 6

∫ n+1

1f(t)dt 6 Sn

ce qui est equivalent a ecrire la double inegalite suivante∫ n+1

1f(t)dt 6 Sn 6

∫ n

1f(t)dt+ f(1)

D’ou le theoreme :

Theoreme 4. Si f : [1,+∞[→ R+ est une fonction decroissante continue alors la serie

de terme general un = f(n) converge (resp. diverge) si et seulement, si l’integrale simple

generalisee

∫ +∞

1f(t)dt converge (resp. diverge).



Corollaire 3. Si f : [1,+∞[→ R est une fonction decroissante continue dont l’inegrale

simple generalisee

∫ +∞

1f(t)dt converge alors le reste d’ordre n > 1 de la serie

∑

f(n)

possede l’encadrement suivant,

∫ +∞

n+1f(t)dt 6 Rn 6

∫ +∞

nf(t)dt.

Demonstration. L’encadrement du reste Rn s’obtient par somme membre a memebre des

inegalites f(p+ 1) 6

∫ p+1

pf(t)dt 6 f(p) sur tous les entiers p > n+ 1.

Exemple 6. Cherchons la nature de convergence de la serie numerique∑

n>1

1

Sh(n).

Notons que si pour tout reel x > 1 on pose f(x) =1

Sh(x)on obtient une fonction decroissante

et continue sur l’intervalle [1,+∞[. Donc, la serie∑

n>1

1

Sh(n)et l’integrale simple generalisee

∫ +∞

1

dx

Sh(x)possedent la meme nature de convergence.

En effet, puisque pour x > 0 assez grand la fonction1

Sh(x)est equivalente a la fonction 2e−x

et comme l’integrale simple generalisee

∫ +∞

1e−tdt = e converge on en deduit que l’integrale

simple generalisee

∫ +∞

1

dx

Sh(x)converge aussi. Par consequent, la serie numerique

∑

n>1

1

Sh(n)converge.

Exercice 8. Soit f : R+ → R une fonction croissante continue. Pour tout entier n > 1 on

pose :

un =1

f(1) + f(2) + · · ·+ f(n)

a) Montrer que pour tout entier n > 2 on a la double inegalite suivante,

∫ n

1f(x)dx 6

1

un6

∫ n+1

1f(x)dx.

b) En deduire la nature de convergence des suitent numeriques suivantes :

1p=n∑

p=1

pLog(p)

,1

p=n∑

p=1

pα,

1p=n∑

p=1

(Log(p))αou α ∈ R

B) Series de Riemann

Definition 3. La serie numerique de terme general un =1

nαs’appelle serie de Riemann de

parametre α ∈ R.

Proposition 6. La serie de Riemann de terme general un =1

nαconverge si et seulement si

le reel α > 1.



Demonstration. a) Notons que si α 6 0 le terme general un =1

nαne tend pas vers zero, donc

la serie de Riemann∑

n>1

1

nαdiverge.

b) Pour un parametre α > 0 remarquons que si pour tout x ∈ [1,+∞[ on pose f(x) =1

xαon obtient une fonction decroissante continue sur l’intervalle [1,+∞[ et telle que pour tout

entier n > 0, f(n) =1

nα= un. Ainsi, selon le theoreme precedent la serie de terme general

un = f(n) possede la meme nature de convergence que l’integrale simple generalisee,

∫ +∞

1

dt

tα= lim

N→+∞

∫ N

1

dt

tα=

limN→+∞

Log(N), si α = 1

limN→+∞

1

1− α(1− 1

Nα−1), si α 6= 1

Par consequent, la serie de Riemann de terme general un =1

nαconverge si et seulement, si

le reel α > 1.

En appliquant l’encadrement du reste Rn donne dans corollaire 3 ci-dessus a la serie de

Riemann∑

n>1

1

nαon obtient le :

Corollaire 4. Si le reel α > 1 alors le reste d’ordre n de la serie de Riemann∑

n>1

1

nαest

encadre par,1

α− 1

1

(1 + n)α−16 Rn 6

1

α− 1

1

nα−1.

Exemple 7. D’apres le resultat de la proposition precedente on voit que les series de Riemann

suivantes convergent :∑

n>1

1

n2,

∑

n>1

1

n3/2,

∑

n>1

1

n5/4

Par contre, les series de Riemann suivantes divergent :

∑

n>1

1

n,

∑

n>1

1√n,

∑

n>1

110√n.

En pratique on utilise les series de Riemann comme modeles de comparaison comme on va

l’expliquer par la proposition suivante.

Proposition 7. Soient un > 0 une suite et α un nombre reel tel que la limite

limn→+∞

nαun = A ∈ [0,+∞]

Alors les propositions suivantes sont vraies.

1. Si la limite limn→+∞

nαun = A ∈ R∗+ alors la serie

∑

un converge (resp. diverge) si et

seulement si α > 1 (resp. α 6 1).


nαun = 0 avec α > 1 alors la serie∑

un converge.


nαun = +∞ avec α 6 1 alors la serie∑

un diverge.



Demonstration. 1) Observer que le produit nαun =un

1/nα; et puis appliquer le premier theo-

reme de comparaison.

2) Noter que si la limite limn→+∞

nαun = 0 on pourra trouver un entier n0 tel que pour tout

entier n > n0 on aura nαun < 1, c’est-a-dire un <1

nα,∀n > n0. Par consequent, puisque pour

tout reel α > 1 la serie de Riemann∑ 1

nαconverge on deduit que la serie

∑

un converger

aussi.

3) De meme, noter que si la limite limn→+∞

nαun = +∞ on pourra trouver un entier n0 tel que

pour tout entier n > n0 on aura un >1

nα. Ainsi, puisque pour tout reel α < 1 la serie de

Riemann∑ 1

nαdiverge on deduit que la serie

∑

un diverger aussi.

Exemple 8. La serie de terme general, un = n sin(1

n3), converge parce que la limite lim

n→+∞n2un =

1 et on sait que la serie de Riemann∑

n>1

1

n2converge.

Exercice 9. Soient P(x) et Q(x) deux fonctions polynomiales. Montrer que la serie de terme

general,P(n)

Q(n), converge si et seulement si deg(Q)− deg(P) > 2.

C) Series de Bertrand

Definition 4. La serie de terme general, un =1

nα(Log(n))β, s’appelle serie de Bertrand a

parametres reels α et β.

Les series numeriques de Bertrand generalisent celles de Riemman parce que si on porte β = 0

dans l’expression du terme general d’une serie de Bertrand on obtient une serie de Riemann.

La nature de convergence des series de Bertrand est donnee par la proposition suivante.

Proposition 8. La nature de convergence de la serie de Bertrand∑

n>2

1

nα(Log(n))βest resu-

mee dans le tableau suivant a double entree :

β

αα < 1 α = 1 α > 1

β 6 1 divergence divergence convergence

β > 1 divergence convergence convergence

Demonstration. 1) Le cas ou α < 1 : Observons que puisque α < 1 on peut trouver un reel

λ > 0 tel que α < α+λ < 1. Ainsi, puisque pour tout reel β la limite limx→+∞

xλ

(Log(x))β= +∞

on en deduit que pour tout reel x > 0 assez grand on a

1 <xλ

(Log(x))β=⇒ 1

xα+λ<

1

xα(Log(x))β.



Ainsi, comme pour le reel α+ λ < 1 la serie de Riemann∑ 1

nα+λdiverge on deduit que la

serie de Bertrand∑

n>2

1

nα(Log(n))βdiverge quand α < 1 et β ∈ R.

2) Le cas ou α > 1 : Observons que puisque α > 1 on peut trouver un reel µ > 0 tel que

1 < α−µ < α. D’autre part, puisque la limite limx→+∞

1

xµ(Log(x))β= 0 on en deduit que pour

tout reel x > 0 assez grand on a

1

xµ(Log(x))β< 1 =⇒ 1

xα(Log(x))β<

1

xα−µ

Ainsi, comme pour α − µ > 1 la serie de Riemann∑ 1

nα−µconverge on deduit que la serie

de Bertrand∑

n>2

1

nα(Log(n))βconverge quand α > 1 et β ∈ R.

3) Le cas ou α = 1 : Notons que puisque la fonction f(x) =1

x(Log(x))βest derivable sur

l’intervalle ]1,+∞[ et sa fonction derivee est donnee par l’expression

f ′(x) =−Log(x)− β

x2(Log(x))β+1,∀x ∈]1,+∞[

on en deduit que la fonction f(x) =1

x(Log(x))βdecroıt sur l’intervalle [e−β ,+∞[. Donc,

d’apres le theoreme 2, la serie numerique de Bertrand de terme general un =1

n(Log(n))β

possede la meme nature de convergence que l’integrale simple generalisee

∫ +∞

A

1

x(Log(x))βdx

ou A > 1.

Pour trouver la nature de convergence de l’integrale generalisee

∫ +∞

A

1

x(Log(x))βdx il suffit

qu’on remarque que si pour tout reel X > A on pose F(X) =

∫ X

A

1

x(Log(x))βdx on obtient

l’expression apres avoir effectuer le changement de variables Log(x) = t :

F(X) =

∫ Log(X)

Log(A)

dt

tβ=

Log(Log(X)) − Log(Log(A)), si β = 11

1− β(

1

(Log(X))β−1− 1

(Log(A))β−1), si β 6= 1

Ainsi, on voit bien que la fonction F(X) tend vers une limite finie (resp. infinie) lorsque la

variable X tend vers +∞ si le parametre β > 1 (resp. β 6 1), et donc la serie de Bertrand de

terme general un =1

n(Log(n))βconverge si et seulement si β > 1.

Exemple 9. D’apres la proposition precedente les series de Bertrand suivantes

∑

n>2

1

n3/2Log(n),

∑

n>2

Log(n)

n4/3et

∑

n>2

(Log(n))9

n2

convergent tandis que les series de Bertrand suivantes divergent :

∑

n>2

1

nLog(n),

∑

n>2

1

n√

Log(n)et

∑

n>2

1

n1/5(Log(n))5



Exercice 10. Etudier la nature de convergence des series suivantes :

Arctg(n)

n2 + 1, ne−n2

,Log(1 + na)

(Log(n))b,

1

nasin(

1

n),

1

n5/4Sh(

1

(Log(n))5),

1

nx(1 + ny).

Exercice 11. Trouver la nature de convergence des series numeriques suivantes :

Arctg( 1√

n2 + n

)

, Log( n+ 1

n3 + n+ 1

)

,1.3.5 · · · (2n − 1)

1.5.9 · · · (4n − 3)

Exercice 12. 1) Montrer qu’il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0,1

nLog(n)6

1

n2.

2) En deduire que la serie numerique∑

n>1

1

nLog(n)converge.

3) Que peut-on dire de la nature de convergence de la serie∑

n>2

1

(Log(n))Log(n).

Exercice 13. Soit f : [1,+∞[→ R une fonction decroissante continue. Pour tout entier

n > 1 on pose, un =

p=n∑

p=1

f(p)−∫ n

1f(x)dx.

1) Montrer que la suite un est decroissante positive.

2) En deduite que la suite un converge.

3) Application : a) On suppose que la serie∑

n>1

f(n) diverge. Demontrer que n ∈ N assez

grand la somme partielle

p=n∑

p=1

f(p) est equivalente a l’integrale simple definie

∫ n

1f(x)dx.

b) En deduire que pour tout α ∈]0, 1[ la somme parielle

p=n∑

p=1

1

pαest equivalente a

n1−α

1− αtandis

que la somme partielle

p=n∑

p=1

1

pest equivalente a Log(n).

1.3.3 Regles de Cauchy et de D’Alembert

Theoreme 5 (Regle de Cauchy). Soit un > 0 le terme general d’une serie telle que λ =

limn→+∞

n√un. Alors les propositions suivantes sont vraies :

1. Si 0 6 λ < 1 alors la serie∑

n>0

un converge.

2. Si λ > 1 alors la serie∑

n>0

un diverge.

Demonstration. 1) Supposons que 0 6 λ < 1 et choisissons un nombre reel ε > 0 tel que

0 6 λ < λ+ ε < 1. Puis appliquons la definition de la limite limn→+∞

n√un = λ au nombre reel

ε > 0 :

(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N), n > n0 =⇒ −ε+ λ < n√un < λ+ ε < 1

=⇒ 0 6 un < (λ+ ε)n < 1



Ainsi, puisque le reel q = λ + ε < 1 on en deduit que la serie geometrique de terme general

vn = (λ+ ε)n converge, et donc la serie de terme general un converge d’apres le theoreme de

comparaison.

2) Comme dans la preuve de l’assertion 1) si on suppose que le reel λ > 1 on peut trouver un

nombre reel ε > 0 tel que 1 6 λ− ε < λ. Et, si on applique la definition de la limite on peut

trouver un entier n0 > 0 tel que des que l’entier n > n0 cela implique qu’on a l’inegalite,

1 < λ− ε < n√un < λ+ ε =⇒ 1 < (λ− ε)n < un,

qui montre que la serie de terme general un diverge parce que la serie geometrique de terme

general wn = (λ− ε)n diverge.

Exemple 10. Cherchons la nature de convergence des series de terme general

an =nn

(2n+ 1)net bn =

(3n− 1

2n+ 1

)n

2

1) Puisque la limite

limn→+∞

n√an = lim

n→+∞n

2n+ 1=

1

2< 1

la regle de convergence de Cauchy implique donc que la serie∑

n>0

nn

(2n + 1)nconverge.

2) De meme, puisque la limite

limn→+∞

n

√

bn = limn→+∞

√

3n− 1

2n+ 1=

√

3

2> 1

le critere de Cauchy implique que la serie∑

n>1

(3n− 1

2n+ 1

)n

2

diverge.

Theoreme 6 (Regle de D’Alembert). Soit un > 0 le terme general d’une serie telle que

limn→+∞

un+1

un= λ. Alors les propositions suivantes sont vraies :

1. Si 0 6 λ < 1 alors la serie∑

n>0

un converge.

2. Si λ > 1 alors la serie∑

n>0

un diverge.

Demonstration. 1) Supposons que le nombre reel 0 6 λ < 1 et choisissons un reel ε > 0 tel

que 0 6 λ < λ+ ε < 1.

Notons que si on applique la definition de la limite a limn→+∞

un+1

un= λ et au reel ε > 0 on

peut trouver un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0 on aura :

0 6un+1

un< λ+ ε < 1 =⇒ 0 6 un+1 < (λ+ ε)un.

Donc, en multipliant les inegalites suivantes membre a membre :

0 6 un0+1

< (λ+ ε)un0

0 6 un0+2

< (λ+ ε)un0+1

......

......

0 6 un < (λ+ ε)un−1



nous obtenons l’inegalite 0 6 un < (λ+ε)n−n0+1un0. Ainsi, puisque 0 6 λ+ε < 1 il en resulte

que la serie geometrique∑

n>0

(λ+ ε)n converge, et donc la serie numerique∑

n>0

un converge.

2) En partant de l’hypothese, limn→+∞

un+1

un= λ avec λ > 1 on peut trouver un reel ε > 0

tel que 1 < λ − ε < λ, donc comme ci-dessus, a partir d’un certain rang n0 > 0 on obtient

l’inegalite

1 < (λ− ε)n−n0+1un0

< un, ∀n > n0

qui implique limn→+∞

un > 1. Par consequent, la serie numerique∑

n>0

un diverge.

Exemple 11. Cherchons la nature de convergence des series de terme general

vn =an

n!et un =

nn

n!

1) Puisque la limite limn→+∞

vn+1

vn= lim

n→+∞a

n+ 1= 0 la regle de convergence de D’Alembert

implique que la serie numerique∑

n>1

an

n!est convergente.

2) Puisque pour tout entier n > 1 le rapport

un+1

un=

(n+ 1)n+1n!

nn(n+ 1)!= (1 +

1

n)n

tend vers la base du logarithme neperien, e > 1, la regle de D’Alembert implique que la serie

numerique∑ nn

n!diverge.

Il est important de souligner que les criteres de convergence de Cauchy et de D’Alembert

ne permettent pas de deduire la nature de convergence d’une serie de terme general un qui

verifie l’une des deux proporietes

limn→+∞

n√un = 1 ou lim

n→+∞un+1

un= 1

En effet, si on considere la serie divergente de terme general un =1

net la serie convergente

de terme general vn =1

n2on obtient en meme temps :

limn→+∞

n√un = lim

n→+∞1n√n= lim

n→+∞1

exp[Log(n)

n]

= 1

limn→+∞

n√vn = lim

n→+∞1

n√n2

= limn→+∞

1

exp[2Log(n)

n]

= 1

et

limn→+∞

un+1

un= lim

n→+∞n

n+ 1= 1

limn→+∞

vn+1

vn= lim

n→+∞n2

(n+ 1)2= 1.

Ainsi, en consequence de ce qui precede on conclut que les deux criteres de Cauchy et de

D’Alembert ne reconnaıssent pas la nature de convergence des deux series numeriques∑

n>1

1

n2

et∑

n>1

1

n.




1. (n

n+ 1)n

2

,n!

nn,

nLog(n)

(Log(n))n,

n3

3n;

2.2ne−an2

(n2 + n), (1− a

n)n

3

, a > 0 ;

3. (an+ b

n+ c)nLog(n), a, b, c ∈ R ;

4.α(α+ p)(α+ 2p) · · · (α+ np)

β(β + q)(β + 2q) · · · (β + nq)ou α, β, p, q ∈ R

∗+ sont des parametres.

5.

√n!

(1 +√1)(1 +

√2) · · · (1 +

√n+ 1)

,an

2

(1 + a)(1 + a2) · · · (1 + an)ou a ∈ R

∗+.

Pour finir cette section on invite le lecteur de traiter les deux prochains exercices qui visent a

comparer la puissance de decision de la regle de Cauchy devant celle de D’Alembert. Quant

au dernier exercice de cette section il propose un resultat qui ameliore la regle de D’Alembert

lorsque la limite du rapportun+1

unest egale a un.

Exercice 15. Si une suite un > 0 verifie la limite limn→+∞

un+1

un= λ montrer qu’on a aussi

limn→+∞

n√un = λ. En deduire que la regle de D’Alembert implique celle de Cauchy.

Exercice 16. Pour tout entier n > 1 on pose u2n−1 =2n−1

3n−1et u2n =

2n−1

3n.

Verifier que la regle de D’Alembert ne permet pas de deduire la nature de convergence de

la serie∑

un tandis que la regle de Cauchy permet d’en etudier la nature de convergence.

Autrement dit, la regle de Cauchy est puissante devant la regle de D’Alembert.

Exercice 17. 1) Soit un > 0 le terme general d’une serie et n0 > 0 un entier tel que pour

tout entier n > n0,un+1

un= 1− β

n+ o(

1

n)

Montrer que si β > 1 (resp. β < 1) alors la serie∑

un converge (resp. diverge).

Indication : Comparer la serie un avec la serie de Riemann vn =1

nα.

2) Soit un > 0. Montrer que s’il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0,

un+1

un= 1− 1

n+

λ

n2+ o(

1

n2)

alors la serie∑

un diverge.

Indication : Comparer la serie un avec la serie de terme general vn =1

n+ k.

Applications : Etudier la nature de convergence des deux series numeriques suivantes :

1. un =1.3.5 · · · (2n − 1)

2.4.6 · · · 2n et vn =1.3.5 · · · (2n − 1)

2.4.6 · · · (2n + 2).

2. xn =√n! sin(a) sin(

a√2) · · · sin( a√

n) et yn =

1

n

k=n∏

k=2

Log(k)

Log(k + a)ou a ∈ R

∗+.



Exercice 18. Pour tout entier n > 1 on pose In =

∫ ∞

0

dt

(1 + t2)n.

1) Montrer que pour tout entier n > 1 l’integrale simple geralisee In converge.

2) Etablir une relation entre les termes In+1 et In. En deduire la valeur exacte de In.

3) Trourver la nature de convergence de la serie de terme general In.

1.3.4 Series absolument convergentes

Definition 5. Soit un le terme general d’une suite de nombres reels ou complexes.

1. On dira que la serie numerique∑

n>0

un converge absolument si la serie des modules

∑

n>0

| un | converge.

2. Si la serie∑

n>0

un converge tandis que la serie des modules∑

n>0

| un | diverge on dira que

la serie∑

n>0

un est semi-convergente.

Pour trouver la nature de convergence de la serie des modules∑

n>0

| un | on pourra donc ap-

pliquer a la serie de terme general vn =| un |> 0 toutes les regles et les criteres de convergence

que nous avons etudie dans le paragraphe precedent. Ci-dessous, nous donnerons deux resul-

tats importants qui vont enrichir la liste des methodes d’etude des series non necessairement

reelles et positives.

Proposition 9. Si la serie des modules∑

n>0

| un | converge alors la serie∑

n>0

un converge.

C’est-a-dire, une serie qui converge absolument elle converge au sens ordinaire.

Demonstration. Remarquer que pour tout couple d’entiers naturels n > m on a l’inegalite,

| Sn − Sm |=| um+1 + · · · un |6| um+1 | + · · ·+ | un |,

qui permet de deduire que la suite des sommes partielles Sn =i=n∑

i=0

ui est de Cauchy quand la

serie des modules∑

n>0

| un | converge.

Theoreme 7. Soit un le terme general d’une serie numerique. S’il existe une serie a termes

positifs convergente∑

n>0

an telle que a partir d’un certain rang on a, | un |6 an, alors la serie

∑

n>0

un converge absolument.

Demonstration. Evidente.

Exemple 12. 1) Pour tout reel α > 0 la serie de terme general an =(−1)n

n2+iαconverge

absolument parce que la serie des modules∑

n>1

| un |=∑

n>1

1

n2converge.



2) La serie de terme general bn =sin(n2)

n3converge absolument parce que pour tout entier

n > 1 on a l’inegalite | bn |6 1

n3et on sait que la serie de Riemann

∑

n>1

1

n3converge.

3) Montrons que la serie de terme general cn =(−1)n−1

nest semi-convergente.

Notons d’abord que puisque la serie des valeurs absolues∑

n>1

| cn | n’est autre que la serie

Harminique∑

n>1

1

nelle diverge, donc la serie

∑

n>1

cn ne converge pas absolument.

Pour prouver que la serie∑

n>1

cn converge nous allons montrer que les deux sous-suites ex-

traites de la suite des sommes partielles Sn =

p=n∑

p=1

(−1)p−1

p,

un = S2n =

p=2n∑

p=1

(−1)p−1

pet vn = S2n+1 =

p=2n+1∑

p=1

(−1)p−1

p

sont adjacentes.

En effet, puisque un+1 − un =−1

2n+ 2+

1

2n+ 1> 0 la suite un est croissante ; de meme

puisque vn+1 − vn =1

2n + 3+

−1

2n+ 1< 0 la suite vn est decroissante. D’autre part, comme

pour tout entier n > 1 on a

vn = S2n+1 =(1

1− 1

2

)

+(1

3− 1

4

)

+ · · · +( 1

2n− 1− 1

2n

)

+1

2n+ 1> 0

on conclut que la suite vn converge. De plus, puisque la difference un− vn =−1

2n+ 1< 0 tend

vers zero cela implique que les deux suites un = S2n et vn = S2n+1 sont adjacentes.

Par consequent, puisque les deux sous-suites S2n et S2n+1 extraites de la suite des sommes

partielles Sn =

p=n∑

p=1

(−1)p−1

pconvergent on en deduit que la serie

∑

n>1

(−1)n−1

nconverge.

Exercice 19. Montrer que si bn est une suite bornee alors pour toute serie∑

an qui converge

absolument la serie des produits∑

anbn converge absolument.

Exercice 20. Montrer que si la serie numerique∑

n>0

an converge absolument alors pour tout

reel, x ∈ [−1, 1], la serie numerique∑

n>0

anxn converge absolument.

Exercice 21. Si un est le terme general d’une serie absolument convergente trouver alors la

nature de convergence des series suivantes :

unun + 1

, Log(1 + un), eun − 1, sin(un), | un |a avec a ∈ R∗+


Series alternees 23

1.4 Series alternees

1.4.1 Le theoreme de Leibniz

Definition 6. Soit an > 0 une suite decroissante qui tend vers zero. La serie de terme general

un = (−1)nan s’appelle serie alternee.

Theoreme 8 (Leibniz). Toute serie alternee converge.

Demonstration. Il s’agit donc de demontrer que si la suite an decroıt vers zero alors la suite

des sommes partielles Sn =

p=n∑

p=0

up converge ou un = (−1)nan.

Observons que puisque S2n+2 − S2n = a2n+2 − a2n+1 6 0 on en deduit que la suite S2n est

decroissante. D’autre part, puisque pour tout entier > 0 on a an − an+1 > 0 et an > 0 on en

deduit que la suite S2n = (a0−a1)+ (a2−a3) · · · (a2n−2−a2n−1)+a2n > 0 est minoree, donc

elle converge.

Enfin, notons que puisque la suite an tend vers zero et S2n+1 = S2n − a2n+1 il s’ensuit que

les deux sous-suites extraites des sommes partielles S2n et S2n+1 convergent vers la meme

limite. Par consequent, comme la suite des sommes partielles Sn converge on deduit que la

serie alternee∑

n>0

(−1)nan converge.

Proposition 10. Pour tout entier n > 0 le reste Rn de la serie alternee∑

n>0

(−1)nan verifie

l’inegalite | Rn |6 an+1.

Demonstration. Exercice.

Exemple 13. Pour tout reel α > 0 la serie alternee∑

n>0

(−1)n

nαconverge. En particulier, les

series alternees suivantes sont convergentes :

∑

n>1

(−1)n

5√n

,∑

n>1

(−1)n√n

,∑

n>1

(−1)n

n10.

Notons que si un est le terme general d’une serie de nombres reels qui change de signes (i.e.

unun+1 < 0) mais sans que la suite des valeurs absolues | un | ne decroıt vers zero a partir

d’un certain rang, dans ce cas, on ne peut pas conclure que la serie∑

un converge.

Pour comprendre ce phenomene considerons la serie de terme general

vn =(−1)n√n+ (−1)n

,∀n > 2

et remarquer que le terme v2n > 0 tandis que le terme v2n+1 < 0.

Noter aussi que puisque la suite des valeurs absolues | vn |= 1√n+ (−1)n

tend vers zero et

n’est pas monotone, donc la serie de terme general vn n’est pas une serie alternee. Donc, pour

pour chercher sa nature de convergence on a pas le droit d’appliquer le theoreme de Leibniz.



Pour trouver la nature de convergence de la serie de terme general vn il suffit qu’on observe

que pour tout entier n > 2 on peut ecrire

vn =(−1)n√

n− 1√

n(√n+ (−1)n)

et ainsi puique la serie de terme general(−1)n√

nconverge tandis que la serie de terme general

positif wn =1√

n(√n+ (−1)n)

diverge car elle est equivalent au terme general de la serie

harmonique divergente1

n, on en deduit donc que la serie

∑

n>2

(−1)n√n+ (−1)n

diverge.

Exercice 22. Soit λ un reel different de zero et −1 ; et soit un le terme general d’une suite

numerique definie par la relation de recurrence suivante :

un+1 =un + un−1

λ(λ+ 1)ou u0 = a < b = u1.

1) Trouver l’expression general de la suite un.

2) Trouver tous les reels a et b pour que la serie de terme general un soit geometrique.

3) Trouver tous les reels a et b pour que la serie de terme general un soit alternee.

Exercice 23. Le but de cet exercice est de montrer que pour tout reel p > 0 la serie alternee,∑

n>0

(−1)n

pn+ 1, converge vers la valeur de l’integrale simple definie I(p) =

∫ 1

0

dt

1 + tp.

1) En utilisant la somme partielle d’une suite geometrique

k=n∑

k=0

ak ; montrer que

∀n ∈ N, I(p)−k=n∑

k=0

(−1)k

kp+ 1= (−1)n+1

∫ 1

0

x(n+1)p

1 + xpdx.

2) Montrer que pour tout entier n > 0 on a l’inegalite, 0 6

∫ 1

0

xnp

1 + xpdx 6

1

np+ 1.

3) En deduire que la somme de la serie alternee∑

n>0

(−1)n

np+ 1=

∫ 1

0

dx

1 + xp.

Applications : Montrer qu’on a les deux sommes suivantes :

Log(2) =∑

n>1

(−1)n−1

net

π

4=

∑

n>0

(−1)n

2n+ 1.

1.4.2 Le theoreme d’Abel

Theoreme 9 (Critere de convergence d’Abel). Soient an et bn deux suites numeriques. Pour

que la serie de terme general un = anbn converge il suffit qu’on a les conditions suivantes :

1. La suite des sommes partielles Bn =

p=n∑

p=0

bp est bornee.

2. La suite an tend vers zero.


Series alternees 25

3. La serie numerique∑

n>0

| an − an+1 | converge.

Demonstration. Pour demontrer le theoreme nous allons verifier que la suite des sommes

partielles associee a la serie numerique∑

n>0

anbn est une suite de Cauchy.

Pour cela posons Sn =

i=n∑

i=0

aibi et pour tout couple d’entiers naturels m < n developpons

l’expression de Sn − Sm comme suit :

Sn − Sm =i=n∑

i=m+1

aibi =i=n∑

i=m+1

ai(Bi − Bi−1)

=

i=n∑

i=m+1

aiBi −i=n∑

i=m+1

aiBi−1

=

i=n∑

i=m+1

aiBi −i=n−1∑

i=m

ai+1Bi

= anBn +

i=n−1∑

i=m+1

(ai − ai+1)Bi − am+1Bm

Notons que puisque d’apres la condition 1 la suite des sommes partielles Bn est bornee il

existe un reel M > 0 tel que pour tout entier n > 0, | Bn |6 M. D’autre part, puisque

d’apres la condition 2) la suite an tend vers zero et d’apres la condtion 3) la serie numerique∑

n>0

| an − an+1 | converge, donc pour tout reel ε > 0 on peut trouver un entier n0 > 0 tel

que pour les enties n > m > n0 on obtient les majorartions suivantes,

| an |< ε

3Met | am+1 |<

ε

3M,

i=n−1∑

i=m+1

| ai − ai+1 |<ε

3M,

qui impliquent que | Sn−Sm |=|i=n∑

i=m+1

aibi |< ε. Par consequent, comme la suite des sommes

partielles Sn =i=n∑

i=0

aibi est une suite de Cauchy la serie numerique∑

n>0

anbn converge.

Corollaire 5. Soit an > 0 une suite decroissante qui tend vers zero. Pour toute suite nu-

merique bn dont la suite des sommes partielles Bn =i=n∑

i=0

bi est bornee, la serie numerique

∑

n>0

anbn converge.

Demonstration. Observer que puisque pour tout entier n > 0, an > an+1 > 0 et la suite an

tend vers zero on voit que la suite des sommes partielles suivante converge :

i=n∑

i=0

| ai − ai+1 |=i=n∑

i=0

(ai − ai+1) = a0 − an+1



Ainsi, puisque la suite des sommes partielles Bn =

i=n∑

i=0

bi est bornee le theoreme d’Abel

implique que la serie∑

n>0

anbn converge.

Noter que le resultat du corollaire generalise le theoreme de Liebniz parce que la suite des

sommes partielles associee a la suite bn = (−1)n est bornee.

Exemple 14. Dans cet exemple, pour tout reel α > 0 nous allons appliquer le theoreme

d’Abel pour trouver la nature de convergence des series numeriques suivantes

un =sin(an)

nαet vn =

cos(an)

nαou a 6∈ 2πN∗

Puisque la suite1

nαtend vers zero en decroissant, donc d’apres le corollaire precedent, il suffit

qu’on verifie que la suite des sommes partielles associees aux suites de nombres reels cos(an)

et sin(an) sont bornees. Donc, il suffit qu’on demontre que la suite des sommes partielles

associees a la suite des nombres complexes de terme general cn = cos(an) + i sin(an) = eian

est bornee.

En effet, puisque cn = eian est terme general d’une suite geometrique de raison eia on pourra

ecrire pour tout entier n > 0 :

| c0 + c1 + · · ·+ cn |2 =∣

∣

∣

eia(n+1) − 1

eia − 1

∣

∣

∣

2=

1− cos(an+ a)

1− cos(a)=

(sin(an+ a

2)

sin(1

2)

)2

=⇒

|p=n∑

p=0

sin(p) | 6 | c0 + c1 + · · ·+ cn |6 1

sin(a

2),

|p=n∑

p=0

cos(p) | 6 | c0 + c1 + · · ·+ cn |6 1

sin(a

2).

Par consequent, pour tout reel a 6∈ 2πN les serie numeriques∑

n>1

sin(an)

nαet

∑

n>1

cos(an)

nα

convergent.


(−1)n√n

,(−1)n

nLog(n), (−1)n

n

6n− 5, (−1)n

n

n2 + 1,

(−1)n

n+ (−1)n,sin(n)

Log(n),cos(n)

Log(n).

Exercice 25. Soit an une suite numerique dont la serie associee∑

n>0

| an+1 − an | converge.

1) Demontrer que la suite an convege.

2) Pour tout reel α ∈ R, trouver la nature de convergence des series suivantes :

∑

n>1

∣

∣

∣

1

(n+ 1)α− 1

nα

∣

∣

∣et

∑

n>2

∣

∣

∣

1(

Log(n+ 1))α − 1

(

Log(n))α

∣

∣

∣

3) En deduire qu’il existe une suite convergente bn dont la serie associee∑

n>0

| bn+1 − bn |

diverge.


Series alternees 27

Exercice 26. Soient f : R+ → R une fonction et an une suite reelle. Pour tout entier n ∈ N

on pose, un = an(f(n+ 1)− f(n)).

1) Montrer que la somme partielle Un =

p=n∑

p=0

up peut s’ecrire sous la forme :

Un = −a0f(0) + anf(n+ 1) +

p=n−1∑

p=1

f(p)(ap−1 − ap)

2) En deduire que la serie∑

n>0

un converge si et seulement si la limite limx→+∞

f(x) = l ∈ R.

3) Applications : Trouver la nature de convergence des deux series numeriques suivantes :

vn =(−1)n−1

√n

Arctg(1

1 + n(1 + n)) et wn =

1

nα((n + 1)1+

1

n+1 − n1+ 1

n ).

Exercice 27. Dans cet exercice, on se propose de trouver la nature de convergence de la serie

de Riemann de terme general,1

nz, avec z = x+ iy ∈ C.

1) Montrer que la serie de Riemann de terme general,1

nx+iy, converge absolument si et

seulement si x > 1.

2) Pour tout reel y ∈ R et pour tout entier n > 1 on pose,

vn(y) =1

niy− 1

(n+ 1)iy

Montrer qu’il existe une suite numerique εn(y) telle que pour tout entier n assez grand,

vn(y) =iy

(n+ 1)iy+

εn(y)

n2avec lim

n→+∞εn(y) = 0

3) En deduire que la suite des sommes partielles,

i=n∑

k=1

1

p1+iy, est bonree et que la serie de

Riemann∑

n>1

1

n1+iydiverge.

4) Applications : Trouver la nature de convergence des series numeriques suivantes :

1.∑

n>1

cos(Log(n))

n,

∑

n>1

sin(Log(n))

n.

2.∑

n>1

cos(Log(n))

nLog(n),

∑

n>1

sin(Log(n))

nLog(n).

Exercice 28 (Formule de Stirling). Le but de cet exercice est de chercher un equivalent du

factorielle n! lorsque l’entier n tend vers l’infini. Pour tout entier n > 1 on definit deux suites

de nombres reelles en posant

an =n!en

nn√n

et un = Log(an+1

an)

1) Montrer que la serie numerique∑

n>1

un converge et en deduire que la suite an tend vers

une limite finie quand l’entier n tend vers l’infini.



2) Pour tout entier n ∈ N on pose, In =

∫

π

2

0(sin(x))ndx.

a) Etablir la relation recurrente, nIn = (n− 1)In−2.

b) En deduire que I2n =π

2

(2n)!

22n(n!)2et I2n+1 =

22n(n!)2

(2n+ 1)!.

3) Montrer que la suite In est decroissnte et que la limite limn→+∞

I2nI2n+1

= 1.

Indication : Observer que pour tout entier n > 1, 1 6I2nI2n+1

6I2n−1

I2n+1.

4) Montrer que la limite limn→+∞

n(2n!)2

24n(n!)4=

1

πet en deduire que pour n assez grand on a

l’equivalence

n! ∼ nne−n√2πn (Formule de Stirling)

Exercice 29. Pour tout couple de nombres reels (a, b) ∈ R∗+ × R

∗+ on definit une integrale

simple generalisee et une serie numerique par les expressions suivantes :

I(a, b) =

∫ +∞

0

sin(bx)

eax − 1dx et f(a, b) =

∑

n>1

b

a2n2 + b2

1) Etudier la nature de convergence de l’integrale generalisee, I(a, b).

2) Demontrer que la fonction f(a, b) est bien definie sur le produit R∗+ × R

∗+.

3) Calculer l’integral simple generalisee, In(a, b) =

∫ +∞

0e−nax sin(bx)dx, ∀n > 1.

4) Montrer que la fonction,sin(bx)

eax − 1, est bornee sur l’intervalle [0,+∞[.

5) En utilisant la somme partielle,

p=n∑

p=1

xp, montrer qu’il existe un reel M > 0 tel que pour

tout entier n > 1 on a

| I(a, b) −p=n∑

p=1

b

a2n2 + b2|6 M

n.

6) En deduire que pour tout couple de reels (a, b) ∈ R∗+ ×R

∗+, I(a, b) = f(a, b).


Chapitre Deux

Suites de fonctions

2.1 Convergence simple d’une suite de fonctions

Definition 7. On appelle suite de fonctions sur un intervalle non vide I ⊆ R la donnee d’une

famille de fonctions fn : I → R avec n ∈ N.

1. Soient K ⊆ I un sous-ensemble non vide et f : K → R une fonction. On dira que

la fonction f est une limite simple de la suite de fonctions, fn : I → R, si pour tout

reel x ∈ K la limite, limn→+∞

fn(x) = f(x), existe dans R. On dira aussi que la suite de

fonctions fn converge simplement vers fonction f(x) sur le sous-ensemble K ⊂ I.

2. Le plus grand sous-ensemble non vide J ⊂ I des points x ∈ J tel que la limite limn→+∞

fn(x)

existe dans R s’appelle domaine de convergence simple de la suite de fonctions fn.

Proposition 11. La limite simple d’une suite de fonctions fn : I → R, quand il existe, elle

est unique.

Demonstration. Ceci est une consequence immediate de l’unicite de la limite d’une suite de

nombres reels.

Exemple 15. 1) Cherchons la limite simple de la suite de fonctions fn : R → R definie par

l’expression : fn(x) =x2n

x2n + 1.

0.5

1.0

1.5

1 2−1−2

f10(x)

f1(x)

Figure 2.1 – Graphes des fonctions f1 et f10


30 Suites de fonctions

Observons que puisque pour tout reel x ∈ R on sait que

limn→+∞

x2n =

+∞ si | x |> 1

1 si x = ±1

0 si | x |< 1

on en deduit que pour tout reel x ∈ R,

limn→+∞

fn(x) =

1

2si x = ±1

0 si | x |< 1

1 si | x |> 1.

Donc, la suite de fonctions fn(x) =x2n

x2n + 1converge simplement sur R vers la fonctions

f(x) =

1

2si x = ±1

0 si | x |< 1

1 si | x |> 1.

2) Cherchons la limite simple de la suite de fonctions gn : [0, 1] → R definie par

∀n ∈ N, gn(x) = xn + (1− x)n

0.5

1.0

1.5

−0.5

0.5 1.0 1.5−0.5−1.0

g2(x)

g10(x)

Figure 2.2 – Graphes des fonctions g2 et g10

Comme dans l’exemple precedent, remarquer que puisque pour tout reel x ∈]0, 1[ les suites

numeriques xn et (1− x)n tendent simultanement vers zero on en deduit que la limite simple

de la suite de fonctions gn(x) sur le segment [0, 1] est donnee par,

g(x) := limn→+∞

gn(x) =

1, si x = 0

0, si 0 < x < 1

1, si x = 1.


Convergence uniforme d’une suite de fonctions 31

Notons que les deux suites de fonctions fn(x) =x2n

x2n + 1et gn(x) = xn + (1 − x)n, etudiees

ci-dessus, sont continues mais leurs limites simples ne sont pas continues. Dans le prochain

paragraphe, allons introduire un deuxieme mode de convergence qui preserve la continuite de

la limite d’une suite de fonctions continues.

Exercice 30. Trouver la limite simple des suites de fonctions suivantes definies sur R :

1.1

1 + x2 + x4 + · · · + x2n,

( x2 + n

2x2 + n

)n,

(

1 +x

n

)n;

2.sin(nx)√

n,

nxn

x2n + xn + 1, e−nαx ou α ∈ R.

2.2 Convergence uniforme d’une suite de fonctions

Definition 8. Soient I ⊂ R un intervalle non vide et fn : I → R une suite de fonctions

bornees.

1. On dira que la suite de fonctions bornees fn converge uniformement vers une fonction

f : I → R si

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N), n > n0 =⇒ sup{| fn(x)− f(x) | ;∀x ∈ I} < ε

2. On dira que la suite de fonctions fn est uniformement de Cauchy si

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀m,n ∈ N), n > m > n0 =⇒ sup{| fn(x)− fm(x) | ;∀x ∈ I} < ε

La fonction f : I → R qui verifie le premier enonce de la definition precedente s’appelle limite

uniforme de la suite de fonctions fn sur l’intervalle I.

Exercice 31. Montrer que la limite uniforme d’une suite de fonctions bornees est une fonc-

tion bornee.

Proposition 12. Si la suite de fonctions bornees fn : I → R converge uniformement vers

la fonction f : I → R, alors la suite fn converge simplement vers la fonction f : I → R.

Autrement dit,

la convergence uniforme sur I =⇒ la convergence simple sur I.

Demonstration. Supposons que la suite de fonctions bornees fn : I → R converge uniforme-

ment vers une fonction f : I → R. Donc, pour un reel donne ε > 0 il existe un entier n0 > 0

tel que pour tout entier n > n0,

sup{| fn(x)− f(x) | ;∀x ∈ I} < ε.

Ainsi, puisque pour tout reel fixe, x0 ∈ I, on a la double inegalite

| fn(x0)− f(x0) |6 sup{| fn(x)− f(x) | ;∀x ∈ I} < ε

on en deduit que la suite numerique fn(x0) converge vers le nombre reel f(x0). Autrement

dit, la suite de fonctions bornees fn converge simplement vers la fonction f : I → R.



Corollaire 6. La limite uniforme d’une suite de fonctions bornees est unique. C’est-a-dire,

si une suite de fonctions bornees fn : I → R converge uniformement vers deux fonctions

f, g : I → R alors f = g.

Demonstration. Noter que la limite uniforme implique la limite simple, et que la limite simple

est unique quand il existe.

Theoreme 10. Pour toute suite de fonctions bornees fn : I → R les propositions suivantes

sont equivalentes :

1. La suite de fonctions fn converge uniformement vers une fonction f : I → R.

2. La suite de fonctions fn est niformement de Cauchy sur l’intervalle I.

Demonstration. 1) =⇒ 2) Remarquons que grace a l’inegalite triangulaire pour tout couple

d’entiers naturels n et m on peut ecrire que

∀x ∈ I, | fn(x)− fm(x) |6| fn(x)− f(x) | + | f(x)− fm(x) |

qui implique

sup{| fn(x)− fm(x) | ;∀x ∈ I} 6 sup{| fn(x)− f(x) | ;∀x ∈ I}+ sup{| fm(x)− f(x) | ;∀x ∈ I}

Ainsi, si pour un reel ε > 0 on applique la definition de la convergence uniforme on peut

trouver un entier n0 > 0 tel que pour n > n0 et m > n0 on obtient les inegalites,

{

sup{| fn(x)− f(x) | ;∀x ∈ I} < ε/2

sup{| fm(x)− f(x) | ;∀x ∈ I} < ε/2=⇒ sup{| fn(x)− fm(x) | ;∀x ∈ I} < ε

qui montrent que la suite de fonctions fn est uniformement de Cauchy sur l’intervalle I.

2) =⇒ 1) Supposons que la suite de fonctions fn est uniformement de Cauchy et considerons

un reel ε > 0.

a) Sous cette hypothese, on peut trouver un entier n0 > 0 tel que pour tout couple d’entiers

n > n0 et m > n0, sup{| fm(x)− fn(x) | ;∀x ∈ I} < ε.

Noter que si on fixe un nonmbre reel x ∈ I on obtient pour tous les entiers m et n ∈ N tels

que n > n0 et m > n0,

| fn(x)− fm(x) |6 sup{| fm(x)− fn(x) | ;∀x ∈ I} < ε

Donc, puisque pour tout reel x ∈ I la suite numerique fn(x) est de Cauchy, elle converge vers

un nombre reel f(x) = limn→+∞

fn(x).

b) Montrons que sur l’intervalle I la suite de fonctions fn converge uniformement vers la

fonction f(x) = limn→+∞

fn(x),∀x ∈ I.

En effet, puisque pour tout x ∈ I et pour tout couple d’entiers n > n0 et m > n0,

| fn(x)− fm(x) |6 sup{| fm(x)− fn(x) | ;∀x ∈ I} < ε



donc si on fait tendre l’entier m vers +∞ dans la valeurs absolue | fn(x) − fm(x) | tout en

gardant l’entier n > n0 fixe on obtient l’inegalite suivante,

| fn(x)− f(x) |6 ε,∀x ∈ I

Ainsi, si on passe a la borne superieure sur tous les reels x ∈ I on obtient l’implication

∀n ∈ N, n > n0 =⇒ sup{| fn(x)− f(x) | ;∀x ∈ I} 6 ε.

qui montre que sur l’intervalle I la suite de fonctions bornees, fn : I → R, converge uniforme-

ment vers la fonction f(x) = limn→+∞

fn(x),∀x ∈ I.

En consequence de ce qui precede on deduit qu’un plan d’etude de la convergence uniforme

d’une suite de fonctions bornees, fn : I → R, peut etre divise en etapes :

Etape 1 On cherche la limite simple de la suite de fonctions bornees fn : I → R en calculant

la limite limn→+∞

fn(x) = f(x) pour x fixe dans I.

Etape 2 Si la limite simpe de la suite fn n’existe pas on arrete l’etude et on declare que

la suite de fonctions fn ne converge pas simplement.

Etape 3 S’il existe un sous-ensemble non vide J ⊆ I sur lequel la suite de fonctions fn

converge simplement vers une fonction f : J → R on calcule alors la limite de la suite

numerique

un = sup{| fn(x)− f(x) | /x ∈ J}

quand l’entier naturel n tend vers l’infini.

Ainsi, si la limite limn→+∞

un = 0 on declare que la suite de fonctions fn converge unifor-

mement vers la fonction f : J → R, par contre, si la limte limn→+∞

un 6= 0 on declare que

la convergence de la suite de fonctions fn est simple sur l’intervalle J ⊆ I et qu’elle est

non uniforme sur l’intervalle J.

Ci-dessous, nous allons appliquer le plan d’etude qu’on vient de decrire pour etudier la limite

uniforme de certaines suites de fonctions bornees.

Exemple 16. 1) Cherchons la nature de convergence de la suite de fonctions

∀x ∈ [0, 1], fn(x) = xn

Il est clair que la suite de fonctions fn(x) = xn converge simplement vers la fonction,

f(x) =

{

0 si 0 6 x < 1

1 si x = 1

Mais, puisque pour tout entier n ∈ N la borne superieure

un = sup{| fn(x)− f(x) | /x ∈ [0, 1]} = 1

ne tend pas vers zero on conclut donc que la suite de fonctions fn(x) ne converge pas unifor-

mement sur [0, 1] vers sa limite simple f .



Notons que si pour un reel a ∈]0, 1[ on restreint la suite de fonctions fn(x) = xn sur le

segment [0, a] on trouve que la borne superieure

sup{| fn(x) | ;∀x ∈ [0, a]} = an

et ainsi comme la suite numerique an tend vers zero on conclut que la suite de fonctions fn

converge uniformement sur le segment [0, a].

2) Soit x ∈ R. On designe par [x] la partie entiere de x qui est definie comme l’unique entier

naturel qui verifie la double inegalite : [x] 6 x < [x] + 1.

Cherchons la nature de convergence de la suite de fonctions

∀x ∈ R, gn(x) =[nx]

n

Notons que puisque pour tout reel x ∈ R et pour tout entier n ∈ N on a l’inegalite

0 6 nx− [nx] < 1 =⇒ 0 6 x− gn(x) <1

n

Par consequent, puique la borne superieure sup{| gn(x) − x | ;∀x ∈ R} 61

non conclut que

la la suite de fonctions gn(x) converge uniformement sur R vers la fonction g(x) = x.

3) Cherchons la nature de convergence de la suite de fonctions bornees,

∀x ∈ R, hn(x) = nxe−nx2

D’abord, notons que limn→+∞

hn(0) = 0 car hn(0) = 0. De meme, puisque la fonction exponen-

tielle ex augmente plus rapidement que les fonctions polynomiales on en deduit que pour tout

reel non nul x ∈ R∗, lim

n→+∞hn(x) = 0.

Par consequent, la suite de fonctions hn(x) = nxe−nx2

converge simplement vers la fonction

nulle, h(x) = 0,∀x ∈ R.

Pour voir est-ce que la suite de fonctions hn converge uniformement vers la fonction nulle

nous allons calculer la borne superieure de la fonction hn(x) sur R. Pour le faire on va dresser

le tableau des variations du signe de la fonction derivee h′n(x) = (n− 2n2x2)e−nx2

,

x −∞ − 1√2n

1√2n

+∞h′n(x) − 0 + 0 −

hn(x)

0

@@@R−√

n2 e

−1/2

��

�

√

n2 e

−1/2

@@@R

0

et a partir duquel on deduit que le maximum absolu de la fonction | hn(x) | defini une suite

numerique,

un = sup{| hn(x) | ;x ∈ R} =| hn(±1√2n

) |=√

n

2e−1/2,

qui tend vers l’infini lorsque l’entier n ∈ N tend vers +∞.

Par consequent, sur R la suite de fonctions hn(x) = nxe−nx2

ne converge pas uniformement

vers la fonction nulle h(x) = 0.



1

2

−1

−2

1−1−2

h30(x)

h5(x)

Figure 2.3 – Graphes des fonctions h5 et h30

Observons que pour tout reel a > 0 la restriction de la suite de fonctions hn(x) sur les

intervalles de type ]−∞,−a] ou sur [a,+∞[ nous donne des fonctions decroissantes dont la

borne superieure

sup{| hn(x) | /∀x ∈ R, | x |> a} =| hn(±a) |= nae−na2

tend vers zero quand l’entier n tend +∞. Donc, la suite de fonctions hn(x) converge unifor-

mement vers la fonction nulle sur tous les intervalles de la forme ]−∞,−a] et [a,+∞[.

Exercice 32. Soit f : R → R une fonction deux fois derivables et dont la derivee seconde

est bornee. Montrer que la suite de fonctions gn : R → R definie par

∀x ∈ R, gn(x) = n(f(x+1

n)− f(x))

converge uniformement vers la fonction derivee f ′.

Exercice 33. Sur le segment [0, 1] on definit deux suites de fonctions par les expressions,

fn(x) = (x(1− x))n + x et gn(x) = (1− x)n + x

a) Determiner la limite simple de la suite de fonctions fn (resp. gn) sur le segment [0, 1].

b) Montrer que la suite de fonctions fn converge uniformement sur le segment [0, 1].

c) Montrer que pour tout reel a ∈]0, 1[ la suite de fonctions gn converge uniformement sur le

segment [a, 1].

d) La suite de fonctions gn converge-t-elle uniformement sur [0, 1] ?



Exercice 34. Chercher la nature de convergence des suites de fonctions suivantes,

x2n

n+ x2n, Arctg(nx),

cos(nx)

x2 + n2, kn(x) = (cos(x))n sin(x)

Exercice 35. Soit f : [a, b] → R une fonction de classe C1. Pour tout entier n ∈ N et pour

tout reel x ∈ [a, b] on pose, fn(x) =

∫ x

af(t) cos(nt)dt.

A l’aide d’une integration par partie, montrer que la suite de fonctions fn converge unifore-

ment vers la fonction nulle.

Exercice 36. Soit φn(x) une suite de fonctions continues sur [0, 1] qui converge simplement

vers une fonction φ(x) sur [0, 1], et soit fn(x) une suite de fonctions definies sur [0, 1] par

les expressions,

fn(x) =

{

φn(x)(sin(πx ))

2, si x ∈ [ 1n , 1],

0 si x ∈ [0, 1n ].

1) Montrer que la suite de fonctions fn(x) converge simplement vers une fonction f(x) que

l’on explicitera en fonction de φ(x).

2) Pour tout entier n > 1 on pose : φn(x) =2nx2

2nx+ 1,∀x ∈ [0, 1].

a) Determiner les fonctions φ(x) et f(x). Sont-elles continues ?

b) La suite de fonctions φn converge-t-elle uniformement vers φ(x) ?

c) Montrer que la suite de fonctions fn converge unifomrement vers f(x).

3) Pour tout entier n > 1 on pose : φn(x) =nx+ n

nx+ n+ 1,∀x ∈ [0, 1].

a) Determiner la fonction φ(x) et dire est-ce que la suite de fonctions φn(x) converge unifor-

mement vers φ(x) ?

b) La limite simple de la suite de fonctions fn(x) est-elle continue sur [0, 1] ?

c) La suite de fonctions fn(x) converge-elle uniformement vers f sur [0, 1] ?

4) Rafaire les questions a, b et c de la question 3 pour la suite de fonctions φn(x) definie sur

[0, 1] par φn(x) =n

nx+ n+ 1.

5) Si la suite de fonctions φn(x) est quelconque et converge uniformement sur [0, 1] vers une

fonction φ(x) telle que φ(0) = 0 est-ce que la suite de fonctions fn(x) converge uniformement

vers f(x) sur [0, 1] ?

2.3 Theoremes fondamentaux sur la convergence uniforme

2.3.1 Theoreme de la continuite

Theoreme 11. Si fn : [a, b] → R est une suite de fonctions continues qui converge unifor-

mement vers une fonction f : [a, b] → R, alors f est continue sur le segment [a, b].

Demonstration. Supposons que la suite de fonctions continues fn : [a, b] → R converge uni-

formement vers une fonction f : [a, b] → R et montrons que f est continue en tout point

x0 ∈ [a, b].


Theoremes fondamentaux sur la convergence uniforme 37

Puisque la suite de fonctions fn converge uniformement vers la fonction f donc pour un reel

donne ε > 0 on peut trouver un entier n0 ∈ N tel que pour tout entier n > n0 et pour tout

reel x ∈ [a, b] on obtient l’inegalite,

| fn(x)− f(x) |6 sup{| fn(x)− f(x) | ;∀x ∈ [a, b]} < ε/3.

Notons que pour le meme reel ε > 0 si on applique la continuite de la fonction fn0

au point

x0 ∈ [a, b] on pourra trouver un reel η > 0 tel que,

∀x ∈ [a, b], | x− x0 |< η =⇒ | fn0(x)− f

n0(x0) |< ε/3.

Ainsi, si on coinsidere les reels x ∈ [a, b] qui verifient la condition | x − x0 |< η on obtient

grace a l’inegalite triangulaire

| f(x)− f(x0) | 6 | f(x)− fn0(x) | + | fn0

(x)− fn0(x0) | + | fn0

(x0)− f(x0) |< ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε

Donc, la fonction f(x) est continue au point x0.

Corollaire 7. Si une suite de fonctions continues fn : [a, b] → R converge uniformement

alors pour tout reel x0 ∈ [a, b] on a la formule de la limite double :

limx→x0

( limn→+∞

fn(x)) = limn→+∞

( limx→x0

fn(x)))

Exemple 17. Rappelons que dans l’exemple 15 (cf. 2) nous avons demontre que la suite de

fonctions continues gn(x) = xn + (1 − x)n converge simplement sur le segment [0, 1] vers la

fonction g : [0, 1] → R qui est definie par les expressions suinvantes :

g(x) =

1 si x = 0

0 si 0 < x < 1

1 si x = 1

Ainsi, puisque la limite simple g(x) n’est pas continue aux points 0 et 1 ∈ [0, 1] le theoreme

de continuite implique que la suite de fonctions gn(x) ne converge pas uniformement sur le

segment [0, 1].

Exercice 37. Pour tout entier n > 0 on pose :

fn(x) =n(x3 + x)e−x

nx+ 1, ∀x ∈ [0, 1]

1) Montrer que la suite de fonctions fn(x) converge simplement sur [0, 1] vers une fonction

f que l’on determinera.

2) Montrer que pour tout entier n > 0 on a l’inegalite

| fn(x)− f(x) |6 2

nx+ 1, ∀x ∈ [0, 1]

3) En deduire que pour tout reel, a ∈]0, 1[, la suite de fonctions fn converge uniformement

sur le segment [a, 1].

4) La convergence de fn vers f est-elle uniforme sur [0, 1] ?



2.3.2 Theoreme de l’integration

Theoreme 12. Soit fn : [a, b] → R une suite de fonctions continues qui converge uniforme-

ment vers une fonction f : [a, b] → R. Alors, la suite de fonctions primitives

Fn(x) =

∫ x

afn(t)dt, ∀x ∈ [a, b]

converge uniformement sur le segment [a, b] vers la fonction primitive F(x) =

∫ x

af(t)dt ; et

pour tout reel x ∈ [a, b] on a la formule

limn→+∞

(

∫ x

afn(t)dt

)

=

∫ x

a

(

limn→+∞

fn(t))

dt

Demonstration. Puisque la suite de fonctions fn converge uniformement sur le segment [a, b]

vers la fonction f , donc si on fixe un reel ε > 0 on peut trouver un entier n0 > 0 tel que pour

tout entier n > n0,

∀t ∈ [a, b], | fn(t)− f(t) |6 sup{| fn(t)− f(t) | /∀t ∈ [a, b]} 6ε

b− a.

Ainsi, si pour tout entier n > n0 on integre la derniere inegalite sur le segment [a, x] ⊆ [a, b]

on obtient l’inegalite suivante

∀x ∈ [a, b],∣

∣

∣

∫ x

afn(t)dt−

∫ x

af(t)dt

∣

∣

∣6

∫ x

a| fn(t)− f(t) | dt 6 x− a

b− aε 6 ε

qui montre que la suite de fonctions Fn(x) =

∫ x

afn(t)dt converge uniformement sur le seg-

ment [a, b] vers la fonction F(x) =

∫ x

af(t)dt.

Exemple 18. Rappelons que dans l’exemple 16 (cf 3) nous avons demontre que la suite de

fonctions hn : R → R qui est definie par l’expression

∀x ∈ R, hn(x) = nxe−nx2

converge simplement vers la fonction nulle h(x) = 0,∀x ∈ R. Montrons alors que pour tout

reel a > 0 la suite de fonctions hn(x) ne converge pas uniformement sur le segment [0, a].

En effet, si dans l’integrale simple definie

∫ a

0hn(x)dx =

∫ a

0nxe−nx2

dx =[−1

2e−nx2

]a

0=

1

2(1− e−na2)

on fait tendre l’entier n vers l’infini on voit que

limn→+∞

∫ a

0hn(x)dx =

1

26=

∫ a

0lim

n→+∞hn(x)dx = 0

Donc, d’apres le theoreme de l’integrabilite la suite de fonctions hn ne peut pas converger

uniformement sur le segment [0, a].



Mise en garde : Le theoreme de l’integrabilite n’est pas valable pour les suites de fonctions

definies et integrables sur un intervalle non borne. Pour prouver ce fait considerons la suite

de fonctions fn : R → R definies par les expressions suivantes :

fn(x) =

0, si x 6 n2 − n

n−2(x− n2) + n−1, si n2 − n 6 x 6 n2

−n−2(x− n2) + n−1, si n2 6 x 6 n2 + n

0, si x > n2 + n

et ou le graphe du terme general fn est represente dans la figure suivante :

6

-n2 + nn2n2 − n

1

n

Figure 2.4 – Graphe de la fonction fn : R → R

Notons que selon le graphe de la fonction fn(x) on voit que la borne superieure de fn sur son

domaine de definition R est egale a

sup{| fn(x) | /∀x ∈ R} =1

n

Donc, la suite de fonctions fn converge uniformement sur R vers la fonction nulle f(x) =

0,∀x ∈ R.

D’autre part, observons que pour tout entier n ∈ N et pour tout reel a ∈ R tel que n2−n > a

l’integrale simple generalisee

∫ +∞

afn(x)dx =

∫ n2−n

afn(x) dx+

∫ n2+n

n2−nfn(x)dx+

∫ +∞

n2+nfn(x) dx

=

∫ n2

n2−n(n−2(x− n2) + n−1)dx+

∫ n2+n

n2

(−n−2(x− n2) + n−1)dx = 1.

Donc, dans l’expression precedente, si on fait tendre l’entier naturel n vers l’infini on voit que

limn→+∞

∫ +∞

afn(x)dx = 1 6=

∫ +∞

alim

n→+∞fn(x)dx = 0.

Ainsi, en consequence de ce calcul, on conclut que le theoreme de l’integrabilite ne s’applique

pas aux suites de fonctions qui convergent uniformement sur un intervalle I ⊆ R non borne.

Exercice 38. Sur le segment [0, π/2] on definit une suite de fonctions fn par l’expression

fn(x) = n(cosn(x)) sin(x)



1) Pour tout entier n ∈ N, calculer l’integrale simple definie,

∫ π/2

0fn(x)dx.

2) La suite de fonctions fn converge-t-elle uniformement sur le segment [0, π/2] ?

Exercice 39. Soit f : R → R une fonction continue. Pour tout entier n 6= 0 on definit une

fonction continue sur R par l’expression

fn(x) = f(x+1

n)

a) Calculer la limite simple de la suite de fonctions fn(x).

b) Pour tout couple de nombres reels a < b on pose un =

∫ b

af(x+

1

n)dx. Calculer la limite

de la suite numerique un.

c) Que peut-on dire a propos de la convergence uniforme de la suite de fonctions fn sur un

segment [a, b] ⊆ R ?

d) Etudier la nature de convergence de la suite de fonctions fn lorsque la fonction derivee f ′

est bornee sur R.

e) Meme question si on suppose que la fonction f est de classe C1 non necessairement bornee.

Exercice 40. Pour tout entier n > 0 on definit une fonction par l’expression

∀x ∈ [0, 1], fn(x) = 3n(x2n − x2

n+1

)

1) Etudier la convergence simple de la suite de fonctions fn(x).

2) Pour tout reel x ∈ [0, 1] comparer les deux limites suivantes,

limn→+∞

∫ x

0fn(t)dt et

∫ x

0lim

n→+∞fn(t)dt

3) Conclure.

Exercice 41. Etant donnee une fonction continue, f : R+ → R+, dont l’integrale simple

generalisee

∫ +∞

0f(t)dt converge et telle que f(0) = 0 on lui associe pour tout entier n > 1

deux fonctions definies par les expressions suivantes :

∀x > 0, fn(x) = f(nx) et gn(x) = f(x

n)

1) Montrer que la limite limx→+∞

f(x) = 0.

2) Montrer que les deux suites de fonctions fn et gn convergent simplement sur R+ vers la

fonction nulle.

3) Montrer que pour tout reel a > 0 la suite de fonctions fn converge unifomrement sur

l’intervalle [a,+∞[ et que la suite de fonctions gn converge unifomrement sur [0, a].

4) En deduire que la suite de fonctions fngn (produit) converge unifomrement sur R+.



2.3.3 Theoreme de la derivation

Theoreme 13. Soit fn : [a, b] → R une suite de fonctions continues et derivables sur l’in-

tervalle ]a, b[ telles que la suite des fonctions derivees f ′n :]a, b[→ R converge uniformement

vers une fonction g :]a, b[→ R. S’il existe un point x0 ∈]a, b[ tel que la suite numerique fn(x0)

converge, alors la suite de fonctions fn : [a, b] → R converge uniformement vers une fonction

continue f : [a, b] → R qui est derivable sur l’intervalle ]a, b[ et dont la fonction derivee est

donnee par l’expression,

∀x ∈]a, b[, f ′(x) =d

dx( limn→+∞

fn(x)) = limn−→+∞

dfndx

(x) = g(x)

Demonstration. On va develpper la preuve du theorme en etapes elementaires :

Etape 1 : Sous les hypotheses du theoreme demontrons que la suite de fonctions fn est

uniformement de Cauchy.

En effet, puisque la fonction fn − fm : [a, b[→ R est continue sur le segment [a, b], donc si

on fixe un couple de nombres reels x0 et x ∈ [a, b] le theoreme des accroissements finis nous

permet de trouver un reel c compris entre x et x0 tel que

(

fn(x)− fm(x))

−(

fn(x0)− fm(x0))

= (x− x0)(

f ′n(c)− f ′

m(c))

Ainsi, puisque le reel | f ′n(c) − fm(c) |6 sup{| f ′

n(x) − f ′m(x) | ;x ∈]a, b[} on en deduit que

pour tout reel x ∈ [a, b],

| fn(x)− fm(x) | 6 | fn(x0)− fm(x0) | + | x− x0 | sup{| f ′n(x)− f ′

m(x) | ;x ∈]a, b[}6 | fn(x0)− fm(x0) | + | b− a | sup{| f ′

n(x)− f ′m(x) | ;x ∈]a, b[}.

D’autre part, puisque la suite des fonctions derivees f ′n est uniformement de Cauchy et la

suite numerique fn(x0) converge, donc pour tout reel ε > 0 on peut trouver un entier n0 ∈ N

tel que pour tout couple d’entiers m > n > n0 on a les inegalites suivantes :

sup{| f ′n(x)− f ′

m(x) | ;x ∈]a, b[} 6ε

2(b− a)et | fn(x0)− fm(x0) |6

ε

2

qui, grace a ce qui precede, nous permettent de deduire que

∀x ∈ [a, b], ∀n > m > n0 =⇒ | fn(x)− fm(x) |6 ε

Autrement dit, on a l’implication suivante

∀n > m > n0 =⇒ sup{| fn(x)− fm(x) | ;∀x ∈ [a, b]} 6 ε

qui montre que la suite de fonctions fn : [a, b] → R est uniformement de Cauchy.

Etape 2 : Pour tout y ∈]a, b[ fixe montrons que la suite de fonctions continues, ϕn :]a, b[→ R,

definies par les expressions suivantes

ϕn(x) =

fn(x)− fn(y)

x− y, si x 6= y

f ′n(y), si x = y



est uniformement de Cauchy sur son domaine de definition.

Notons d’abord que la suite de fonctions ϕn :]a, b[→ R converge uniformement sur l’intervalle

]a, b[ parce que, comme dans l’etape precedente, si on applique le theoreme des accroissements

finis a la fonction fn − fm on peut trouver un reel c compris entre les nombres reels x 6= y et

qui permet d’ecrire l’expression suivante

(fn(x)− fm(x))− (fn(y)− fm(y)) = (x− y)(f ′n(c)− f ′

m(c)),

=⇒ ϕn(x)− ϕm(x) = f ′n(c)− f ′

m(c),

Ainsi, puisque pour x = y on a par definition ϕn(y) = f ′n(y) on voit que si on majore le reel

f ′n(c) − f ′

m(c) par la borne superieure de la fonction fn − fm sur ]a, b[ on obtient l’inegalite

suivante

∀x ∈]a, b[, | ϕn(x)− ϕm(x) |6 sup{| f ′n(x)− f ′

m(x) | ;x ∈]a, b[}

et qui implique la suivante,

sup{| ϕn(x)− ϕm(x) | ;∀x ∈]a, b[} 6 sup{| f ′n(x)− f ′

m(x) | ;x ∈]a, b[}

Par consequent, puisque la suite des fonctions derivees f ′n est uniformement de Cauchy sur

l’intervalle ]a, b[ on en deduit que la suite de fonctions ϕn est uniformement de Cauchy sur

l’intervalle ]a, b[.

Etape 3 : Designons par f : [a, b] → R la limite uniforme de la suite de fonctions fn et

observons que si on applique la formule de la limite double a suite de fonctions continues ϕn

on obtient pour tout y ∈]a, b[,

limx→yx 6=y

f(x)− f(y)

x− y= lim

x→yx 6=y

(

limn→+∞

fn(x)− fn(y)

x− y

)

= limx→yx 6=y

(

limn→+∞

ϕn(x))

= limn→+∞

(

limx→yx 6=y

ϕn(x))

= limn→+∞

f ′n(y)

Par consequent, la limite uniforme f de la suite de fonctions fn est derivable sur l’intervalle

]a, b[ et sa derivee est donnee par l’expression :

∀y ∈]a, b[, f ′(y) = limn→+∞

f ′n(y) ⇐⇒ d

dx( limn→+∞

fn) = limn→+∞

d

dx(fn).

Mise en garde : Dans ce paragraphe, nous allons discuter deux questions qui se posent a

propos des suites de fonctions derivables uniformement convergentes.

1) La convergence uniforme d’une suite de fonctions derivables fn : [a, b] → R n’implique pas

que la suite des fonctions derivees f ′n : [a, b] → R converge simplement.



Pour voir ceci considerons la suite de fonctions derivables fn(x) =cos(nx)

nqui converge

uniformement vers la fonction nulle ; par contre la suite des fonctions derivees f ′n(x) = sin(nx)

n’a pas de limite.

2) La limite uniforme d’une suite de fonctions derivables peut etre non derivable.

Pour comprendre ce phenomene considerons la suite de fonctions derivables

∀x ∈ [−1, 1], fn(x) =

√

x2 +1

n2

et montrons que la suite de fonctions fn(x) converge uniformement sur le segment [−1, 1] vers

la fonction, f(x) =| x | .En effet, puisque pour tout reel x ∈ [−1, 1] on a l’inegalite

| x |6√

x2 +1

n26| x | +1

n⇐⇒ 0 6

√

x2 +1

n2− | x |6 1

n

on en deduit que la borne superieure

sup{| fn(x)− f(x) | ;∀x ∈ [−1, 1]} 61

n

Donc, la suite de fonctions fn converge uniformement sur le segment [−1, 1] vers la fonction

f(x) =| x | qui est non derivable au point x = 0.

Il faut noter que l’exemple de la suite de fonctions derivables fn(x) =

√

x2 +1

n2ne contredit

pas le resultat du theoreme de la derivabilite parce que la suite des fonctions derivees

f ′n(x) =

x√

x2 +1

n2

,∀x ∈ [−1, 1]

converge simplement vers la fonction

g(x) = limn→+∞

f ′n(x) =

−1, si − 1 6 x < 0

0, si x = 0

1, si 0 < x 6 1

qui est discontinue ; et donc la suite de fonctions f ′n(x) ne converge pas uniformement sur

]− 1, 1[. Autrement dit, la suite de fonctions d’erivables fn ne remplit pas toutes conditions

du theoreme de la derivabilite.

Exercice 42. On considere la suite de fonctions fn(x) = xe−nx2

ou x ∈ R.

1) Montrer que la suite de fonctions fn converge uniformement sur R.

2) Etudier la convergence uniforme de la suite de fonctions derivees f ′n(x).

3) Pour tout x ∈ R, comparer les quantitesd

dx( limn→+∞

fn(x)) et limn−→+∞

dfndx

(x). Que peut-on

conclure ?

Exercice 43. Soit fn : R+ → R le terme general d’une suite de fonctions definies par les

expressions suivantes :

fn(x) =

{

sin(x

n), si 0 6 x 6 nπ,

0, si x > nπ.



a) Calculer la limite simple de suite de fonctions fn sur R+.

b) Determiner l’expression de la suite de fonctions derivees f ′n et etudier sa convergence

uniforme sur R+.

c) La suite de fonctions fn converge-t-elle uniformement ?

Exercice 44. Dans cet exercice on se propose de montrer que la fonction f(x) =√x est une

limite uniforme d’une suite de fonctions polynomiales definies sur le segment [0, 1].

Sur le segment [0, 1] on definit une suite de fonctions polynomiales Pn(x) par la relation de

recurrence,

∀x ∈ [0, 1],

{

P0(x) = 0

Pn+1(x) = Pn(x) +12(x− P2

n(x)), ∀n ∈ N∗

1) Par recurrence, montrer que pour tout reel x ∈ [0, 1],

0 6 Pn(x)−√x 6

√x(1− 1

2

√x)n.

2) Verifier que la suite de fonctions, fn(x) = x(1−x

2)n, converge uniformement sur le segment

[0, 1] vers la fonction nulle.

3) En deduire que la suite de fonctions polynomiales Pn(x) converge uniformement sur le

segment [0, 1] vers la fonction f(x) =√x.

4) Determiner la limite uniforme sur le segment [0, 1] de la suite de polynomes Pn(x2).


Chapitre Trois

Les series de fonctions

3.1 Definitions et proprietes

Soient I ⊂ R un intervalle et fn : I → R une suite de fonctions.

1. Pour tout entier naturel n > 0 on definit la somme partielle des (n+1)-premiers termes

de la suite fn par l’expression,

∀x ∈ I, Sn(x) = f0(x) + f1(x) + · · ·+ fn(x)

2. Le couple des suites de fonctions (fn,Sn) s’appelle serie de fonctions de termes general

fn et le sous-ensemble

J = {x ∈ I ; Sn(x) converge }

s’appelle domaine de convergence simple de la serie de fonctions (fn,Sn).

3. Si le domaine de convergence simple J ⊂ I de la suite de fonctions de terme general Sn

est non vide on definit une fonction S : J → R par l’expression,

S(x) = limn→+∞

Sn(x) =∑

n>0

fn(x), ∀x ∈ J

qu’on appellera limite simple de la serie de fonctions de terme general fn.

4. En plus, si la suite de fonctions Sn converge uniformement vers la fonction S(x) sur le

domaine J ⊂ I on dira que la serie de fonctions de terme general fn converge uniforme-

ment vers la fonction S : J → R.

Exercice 45. Si une serie de fonctions,∑

fn(x), converge simplement (resp. uniformement)

sur un sous-ensemble non vide J ⊆ R, son terme general fn(x) converge simplement (resp.

uniformement) sur J vers la fonction nulle.

Exercice 46. Pour qu’une serie de fonctions,∑

fn(x), converge simplement (resp. unifor-

mement) sur un sous-ensemble non vide J ⊆ R il faut et il suffit que la suite des restes

Rn(x) =∑

k>n+1

fn(x), ∀x ∈ J

converge simplement (resp. uniformement) sur J vers la fonction nulle.


46 Les series de fonctions

Dans la suite de ce chapitre, afin d’alleger les notations pour toute fonction bornee f : I → R

nous poserons

‖f‖∞ := sup{| f(x) | ;∀x ∈ I}

Exercice 47. Soit I ⊆ R est un intervalle non vide. On designe par B(I,R) l’espace vectoriel

reel des fonctions bornees sur l’intervalle I.

1) Montrer que l’application ‖ · ‖∞ : B(I,R) → R+ est une norme.

2) Montrer que l’espace vectoriel norme (B(I,R), ‖·‖∞) est complet. C’est-a-dire, montrer que

toute suite de Cauchy d’elements de l’espace norme (B(I,R), ‖ · ‖∞) converge dans B(I,R).

3) Montrer que le sous-espace vectoriel reel, C(I,R), des fonctions continues sur l’intervalle

I est ferme dans l’espace norme (B(I,R), ‖ · ‖∞).

Definition 9. On dira que la serie de fonctions bornees, fn : I → R, converge normalement

(ie. en normes) si la serie numerique∑

n>0

‖fn‖∞ est convergente.

Theoreme 14. Une serie de fonctions bornees qui converge normalement sur un intervalle

non vide I ⊆ R converge uniformement sur I.

Demonstration. Supposons que la serie de fonctions de terme general fn : I → R converge

normalement sur I. Donc, pour tout reel ε > 0 on peut trouver un entier n0 tel que

∀n,m ∈ N, n > m > n0 =⇒ ‖fm‖∞ + · · ·+ ‖fn‖∞ < ε

Ainsi, en appliquant l’inegalite triangulaire pour la norme ‖ · ‖∞ on voit que

n > m > n0 =⇒ ‖fm + · · · + fn‖∞ 6 ‖fm‖∞ + · · ·+ ‖fn‖∞ < ε

Donc, la serie de fonctions∑

n>0

fn converge uniformement sur l’intervalle I.

Le theoreme suivant qui est tres efficace pour prouver qu’une serie de fonctions bornees

converge normalement (resp. uniformement).

Theoreme 15 (Weierstrass). Soient an > 0 une suite et fn : I → R une suite de fonctions

bornees telles que pour tout x ∈ I, | fn(x) |6 an. Si la serie numerique∑

n>0

an converge alors

la serie de fonctions∑

n>0

fn(x) converge normalement sur I.

Demonstration. En effet, puisque pour tout reel x ∈ I on a l’inegalite | fn(x) |6 an cela

implique que la norme de convergence uniforme ‖fn‖∞ 6 an. Ainsi, comme la serie numerique∑

n>0

an converge il s’ensuit que la serie numerique∑

n>0

‖fn‖ converge. Donc, la serie de fonctions

bornees∑

n>0

fn(x) convergence normalement sur I.

En general, pour etudier la nature de convergence d’une serie de fonctions bornees de terme

general fn : I → R on suit les etapes suivantes :


Definitions et proprietes 47

Etape 1 : On cherche le domaine de convergence simple.

Pour un reel fixe x0 ∈ I on etudie la nature de convergence de la serie numerique∑

n>0

fn(x0)

en lui appliquant les criteres et les regles de convergences etudies dans le chapitre 1 consacre

aux series numeriques.

Cette etape nous permet donc d’identifier le domaine de convergence simple de la serie de

fonctions fn : I → R i.e.

J = {x ∈ I/∑

n>0

fn(x0) ; converge}

Il y aura deux cas possibles :

– Si le domaine de converge simple de la serie de fonctions fn est vide (i.e. J = ∅) on arrete

l’etude et on declare que la serie de fonctions fn ne converge pas.

– Si le domaine de convergence simple de la serie de fonctions fn est non vide (i.e. J 6= ∅)

on passe alors a l’etape suivante.

Etape 2 : On cherche le domaine de convergence uniforme.

Pour etudier la convergence uniforme de la serie de fonctions fn sur le sous domaine de

convergence simple J ⊆ I il n’y a pas de methodes generales. Toutefois, a chaque cas particulier

de series de fonctions il y a sa methode specifique qui permet d’avoir des renseignements sur

la convergence uniforme.

Les methodes et techniques qu’on applique le plus souvent pour trouver la nature de conver-

gence uniforme peuvent etre resumes dans les points suivants :

1. On etudie la nature de convergence uniforme de la suite des sommes partielles

∀x ∈ J, Sn = f0 + f1 + · · · + fn

Cette etude nous invite donc a appliquer a la suite de fonctions Sn toutes les methodes

etudiees dans le chapitre 2 consacre a l’etude des suites de fonctions.

2. Pour chaque entier n > 0 on calcule (ou on majore) la norme de la convergence uniforme

du terme general de la serie de fonctions i.e. :

‖fn‖∞ = sup{| fn(x) | ;x ∈ J}

et ainsi si la serie numerique∑

n>0

‖fn‖∞ converge le theoreme deWeierstrass nous permet

de conclure que la serie de fonctions∑

n>0

fn converge normalement sur J, et par suite la

serie converge uniformement sur J.

Exemple 19. 1) Cherchons la nature de convergence de la serie de fonctions dont le terme

general est defini sur le segment [0, 1] par,

un(x) = xn, ∀x ∈ [0, 1]

Notons que puisque un(x) est le terme general d’une suite geometrique de raison x on deduit

que la somme partielle

Sn(x) =k=n∑

k=0

uk(x) =

n+ 1 si x = 1

1− xn+1

1− xsi x 6= 1



Donc, la serie de fonctions un(x) converge simplement sur l’intervalle [0, 1[ vers la fonction

S(x) =1

1− x, ∀x ∈ [0, 1[

Notons que puisque le reste d’ordre n > 1

Sn(x)− S(x) = − xn+1

1− x

n’est pas borne sur l’intervalle [0, 1[ on en deduit que la serie de fonctions∑

n>0

xn ne converge

pas uniformement sur l’intervalle [0, 1[. Cependant, si pour tout reel a ∈]0, 1[ on restreint les

fonctions un(x) sur le segment [0, a] ⊂ [0, 1[ on voit que la borne superieure

‖un‖∞ = sup{un(x)/0 6 x 6 a < 1} = an

et ainsi on en deduit que la serie de fonctions,∑

n>0

xn, converge normalement sur le segment

[0, a] vers la fonction S(x) =1

1− x.

2) Cherchons la nature de convergence de la serie de fonctions fn definies sur R par,

∀x ∈ R, fn(x) =1

n2 + x2

Observons que puisque pour tout x ∈ R on a l’inegalite

∀n ∈ N∗, 0 < fn(x) 6

1

n2=⇒ ∀n ∈ N

∗, ‖fn‖∞ 61

n2

Donc, puisque la serie de Riemann∑

n>1

1

n2converge le theoreme de Weierstrass implique que

la serie de fonctions∑

n>1

1

n2 + x2converge normalement sur R.

3) Cherchons la nature de convergence de la serie de fonctions gn definies sur R par,

∀x ∈ R, gn(x) =1

1 + n2x2

a) Notons que puisque pour x0 6= 0 le terme general1

1 + n2(x0)26

1

n2(x0)2et la serie

de Riemann∑

n>1

1

n2converge on en deduit que la serie de fonctions

∑

n>0

1

1 + n2x2converge

simplement sur R∗.

b) Notons aussi que puisque la borne superieure,

sup{| gn(x) | ;∀x ∈ R∗} = 1

on en deduit que la serie de fonctions∑

n>0

1

1 + n2x2ne converge pas normalement sur R

∗.

Toutefois, si pour tout reel a > 0 on restreint la suite de fonctions gn(x) sur le sous-ensemble

{x ∈ R ; | x |> a} on voit que la borne superieure

‖gn‖∞ = sup{| gn(x) | / | x |> a} =1

1 + n2a2


Theoremes fondamentaux de la convergence uniforme 49

ce qui implique que la serie de fonctions∑

n>0

1

1 + n2x2converge normalement sur tous les

sous-ensembles {x ∈ R ; | x |> a} avec a > 0.

Exercice 48. Trouver le domaine et la nature de convergence des series de fonctions sui-

vantes :

1.∑

n>1

(Log(x))n,∑

n>1

1

n2 − x2,∑

n>0

x4n

1 + x2n.

2.∑

n>1

sin(nx)

n2,∑

n>1

sin(x

3n),

∑

n>1

sin(nx)√n

.

Exercice 49. Sur le segment [0, 1] on definit une suite de fonctions par les expressions :

un(x) =

{

−xn+1Log(x) si 0 < x 6 1

0 si x = 0

1) Determiner le maximum absolu de la fonction un(x) sur le segment [0, 1].

2) Montrer que les series de fonctions∑

n>0

(−1)nun(x) et∑

n>0

un(x) convergent simplement sur

le segment [0, 1] et calculer leurs sommes respectives.

3) Determiner pour chacune des series de fonctions∑

n>0

(−1)nun(x) et∑

n>0

un(x) son domaine

de convergence uniforme ?

Exercice 50. Soient a > 0 et b ∈ R des reels fixes. On definit sur R deux suites de fonctions

par les expressions suivantes :

un(x) =

{

1 si n = 0

e−na cos(nbx) si n 6= 0et vn(x) =

{

0 si n = 0

e−na sin(nbx) si n 6= 0

Montrer que les series de fonctons de termes generaux un(x) et vn(x) convergent normalement

sur R et calculer leurs sommes U(x) =∑

n>0

un(x) et V(x) =∑

n>0

vn(x).

Indication : Considerer la serie de fonctions∑

n>0

(

un(x) + ivn(x))

ou (i)2 = −1.

3.2 Theoremes fondamentaux de la convergence uniforme

On rappelle que la nature de convergence d’une serie de fonctions∑

n>0

fn(x) s’obtient en

etudiant la nature de convergence de la suite de fonctions des sommes partielles associee

Sn(x) =

p=n∑

p=0

fn(x). Par exemple, si on veut etudier la continuite, la derivabilite ou chercher

une primitive de la fonction S(x) =∑

n>0

fn(x) sur le domaine de convergence simple de la

suite de fonction Sn(x) il suffit qu’on lui applique respectivement les theoremes de continuite,

de derivabilite ou d’integrabilite et qui s’enoncent comme suit.



Theoreme 16 (Continuite). Soit fn : [a, b] → R une suite de fonctions continues. Si la suite

de fonctions des sommes partielles, Sn(x) = f0(x)+f1(x)+· · ·+fn(x), converge uniformement

sur le segment [a, b] alors la fonction

S(x) =∑

n>0

fn(x)

est continue sur le segment [a, b].

Theoreme 17 (Integrabilite). Soit fn : [a, b] → R une suite de fonctions continues. Si

la suite de fonctions des sommes partielles, Sn(x) = f0(x) + f1(x) + · · · + fn(x), converge

uniformemen sur le segment [a, b] alors pour tout x ∈ [a, b] on a la formule

∫ x

alim

n→+∞Sn(t)dt = lim

n→+∞

∫ x

aSn(t)dt ⇐⇒

∫ x

a

(

∑

n>0

fn(t))

dt =∑

n>0

∫ x

afn(t)dt

Theoreme 18 ( Derivabilite ). Soit fn : [a, b] → R une suite de fonctions continues, deri-

vables sur l’intervalle ]a, b[ et telles que la suite des sommes partielles des fonctions derivees,

S′n(x) = f ′0(x) + f ′

1(x) + · · · + f ′n(x), converge uniformement sur ]a, b[.

S’il existe un x0 ∈]a, b[ tel que la serie numerique∑

n>0

fn(x0) converge alors la fonction,

S(x) =∑

n>0

fn(x)

est continue sur le segment [a, b] et est derivable sur l’intervalle ouvert ]a, b[. De plus, pour

tout x ∈]a, b[ on a la formule de derivation,

S′(x) =d

dx

(

∑

n>0

fn(x))

=∑

n>0

f ′n(x)

Dans l’exemple suivant on va expliquer comme on e applique les theoremes precedents pour

examiner la continuite et la derivabilite des fonctions definies au moyen d’une serie de fonc-

tions.

Exemple 20. Montrons que la serie de fonctions, F(x) =∑

n>1

1

x2 + n2, definit une fonction

derivable sur R.

a) Continuite de la fonction x 7−→ F(x) sur R

Pour tout entier n > 1 posons fn(x) =1

x2 + n2et notons que la norme de convergence

uniforme, ‖fn‖∞ = sup{| fn(x) | ;∀x ∈ R} =1

n2. Ainsi, puisque la serie de Riemann

∑

n>1

1

n2

converge le theoreme de Weierstrass implqiue que la serie de fonctions∑

n>1

fn(x) convergence

normalement (donc uniformement) sur R. Par consequent, comme le terme general fn(x) est

continu sur R il s’ensuit que la fonction F(x) est continue sur R.

b) Derivabilite de la fonction x 7−→ F(x) sur R



D’apres le theoreme de derivabilite pour montrer que la fonction F(x) =∑

n>1

fn(x) est de-

rivable su R il suffit qu’on demontre que la serie des fonctions derivees∑

n>1

f ′n(x) converge

uniformement sur R.

En effet, puisque la fonction derivee, f ′n(x) =

−2x

(x2 + n2)2, on en deduit que la derivee seconde

f (2)n (x) =

2(3x2 − n2)

(x2 + n2)3

et donc le tableau des variations de f ′n(x) =

−2x

(x2 + n2)2est donne par :

x −∞ − n√3

n√3

+∞f(2)n (x) + 0 − 0 +

f ′n(x)

0

��

�

3√3

8n3

@@@R−3

√3

8n3

��

�

0

Par consequent, puisque la norme de convergence uniforme,

‖f ′n‖∞ = sup{| f ′

n(x) | ;x ∈ R} =3√3

8n3

et la serie de Riemann∑ 1

n3converge le theoreme de Weiestrass implique que la serie

des fonctions derivees∑

n>1

f ′n converge normalement (donc uniformement) sur R, donc le

theoreme de la derivation implique que la fonction F(x) est derivable sur R et que sa fonction

derivee est donnee en tout point x ∈ R par,

F′(x) =∑

n>1

−2x

(x2 + n2)2

Pour finir ce chapitre nous allons demontrer le theoreme d’Abel pour les series de fonctions

et nous l’appliquerons a certains exemples de series de fonctions.

Theoreme 19 (Abel). Soient an et fn : [a, b] → R deux suites de fonctions. Pour que la

serie de fonctions∑

n>0

an(x)fn(x) converge uniformement sur le segment [a, b] il suffit qu’on

a les conditions suivantes :

1. Il existe un reel M > tel que pour tout entier n ∈ N,

‖k=n∑

k=0

an‖ = sup{∣

∣

∣

i=n∑

i=0

ai(x)∣

∣

∣;x ∈ [a, b]} < M

2. La serie de fonctions∑

n>0

∣

∣

∣fn+1(x)− fn(x)

∣

∣

∣converge uniformement sur [a, b].



3. La suite de fonctions fn converge sur le segment [a, b] uniformement vers la fonction

nulle.

Demonstration. Dans cette preuve, sous les hypotheses du theoreme, nous allons verifier que

la somme partielle de la serie de fonctions∑

n>0

an(x)fn(x) est une suite uniformement de de

Cauchy. Pour cela pour tout entier n > 0 posons

Sn(x) =

i=n∑

i=0

ai(x)fi(x) et An(x) =

i=n∑

i=1

ai(x)

et pour tout couple d’entiers 0 6 m < n developpons la difference Sn(x) − Sm(x) comme

suit :

Sn(x)− Sm(x) =i=n∑

i=m+1

ai(x)fi(x)

=i=n∑

i=m+1

(Ai(x)−Ai−1(x))fi(x)

=i=n∑

i=m+1

Ai(x)fi(x)−i=n∑

i=m+1

Ai−1(x)fi(x)

=i=n∑

i=m+1

Ai(x)fi(x)−i=n−1∑

i=m

Ai(x)fi+1(x)

= An(x)fn(x) +

i=n−1∑

i=m+1

Ai(x)(fi(x)− fi+1(x)) −Am(x)fm+1(x).

Maintenant, si on remarque que la suite de fonctions An(x) est uniformement bornee (i.e

conditions 1) et que la suite de fonctions fn(x) converge uniformement (i.e condition 3) vers

la fonction nulle on deduit donc que les deux suites de fonctions An(x)fn(x) et Am(x)fm+1(x)

convergent uniformement sur le segement [a, b] vers la fonction nulle.

D’autre part, si on applique la condition 1) on obtient la majoration suivante :

∀x ∈ [a, b], |i=n−1∑

i=m+1

Ai(x)(fi(x)− fi+1(x)) |6 M

i=n−1∑

i=m+1

| fi(x)− fi+1(x) | .

Enfin, puisque 2) implique que la suite des sommes partielles

i=n∑

i=0

| fi(x) − fi+1(x) | est

uniformement de Cauchy sur le segement [a, b], l’inegalite precedente permet de conclure

que la suite des sommes partielles Sn(x) =

i=n∑

i=0

ai(x)fi(x) est uniformement de Cauchy sur

le segment [a, b]. Donc, la serie de fonctions∑

n>0

an(x)fn(x) converge uniformement sur le

segment [a, b].

Le theoreme d’Abel qu’on vient de demontrer admet deux enonces particuliers qu’on rencontre

le plus souvent en pratique. Nous les enoncerons sous forme de deux corollaires.



Corollaire 8. Soient an et fn : [a, b] → R deux suite de fonctions. Pour que la serie de

fonctions∑

n>0

an(x)fn(x) converge uniformement sur le segment [a, b] il suffit qu’on ait les

conditions suivantes :

1. Il existe un reel M > 0 tel que pour tout n ∈ N,

‖k=n∑

k=0

an‖ = sup{∣

∣

∣

i=n∑

i=0

ai(x)∣

∣

∣;x ∈ [a, b]} < M

2. La suite de fonctions fn est decroissante (i.e. fn+1(x) 6 fn(x)) et converge uniforme-

ment sur [a, b] vers la fonction nulle.

Demonstration. Remarquer que la condition fn+1(x) 6 fn(x) permet de deduire que la suite

des sommes partielles,

i=n∑

i=0

| fi(x)− fi+1(x) |= f0(x)− fn+1(x)

converge uniformement et puis appliquer le theoreme de Abel.

Corollaire 9 ( Leibniz ). Soit fn : [a, b] → R une suite de fonctions. Si la suite de fonctions

fn est decroissante (i.e fn+1(x) 6 fn(x)) et converge uniformement sur le segment [a, b] vers

la fonction nulle, alors la serie de fonctions∑

n>0

(−1)nfn(x) converge uniformement sur le

segment [a, b].

Demonstration. Remarquer que si pour tout entier n > 0 et tout reel x ∈ [a, b] on pose

an(x) = (−1)n on verifie que la somme partille, |i=n∑

i=0

ai(x) |= 1 ou 0, donc uniformement

bornee.

Exemple 21. Cherchons la nature de convergence des series de fonctions,

∑

n>1

sin(nx)

net

∑

n>1

cos(nx)

n

Rappelons que la somme partielle de la suite geometrique de raison, eix ∈ C, est donnee par

l’expression :

En(x) =

p=n∑

i=0

eipx =1− ei(n+1)x

1− eix

=e−i(n+1)x/2 − ei(n+1)x/2

e−ix/2 − eix/2einx/2

et que pour tout reel x 6∈ 2πZ le module de la somme partielle En(x) est egale a

| En(x) |=∣

∣

∣

sin((n + 1)x/2)

sin(x/2)

∣

∣

∣



Ainsi, comme la partie reelle (resp. imaginaire) du nombre complexe En(x) est egale a l’ex-

pression

ℜ(En(x)) =

p=n∑

p=0

cos(px) resp. Im(En(x)) =

p=n∑

p=0

sin(px)

on deduit qu’on a les deux inegalites suivantes

∣

∣

∣

p=n∑

p=0

sin(px)∣

∣

∣6

1

| sin(x/2) | et∣

∣

∣

p=n∑

p=0

cos(px)∣

∣

∣6

1

| sin(x/2) |

Enfin, observons que si on fixe un reel α ∈]0, π[ on voit que pour tout x ∈ [α, 2π − α] on a

∣

∣

∣

p=n∑

p=0

sin(px)∣

∣

∣6

1

| sin(α/2) | et∣

∣

∣

p=n∑

p=0

cos(px)∣

∣

∣6

1

| sin(α/2) |

Par consequent, si on se donne une suite decroissante de fonctions continues fn : [α, 2π−α] →R (i.e. fn+1 6 fn) et qui converge uniformement vers la fonction nulle, le theoreme d’Abel

implique que les deux series de fonctions suivantes :

f(x) =∑

n>0

fn(x) sin(nx) et g(x) =∑

n>0

fn(x) cos(nx)

convergent uniformement, donc elle definissent deux fonctions continues sur [α, 2π − α].

Par exemple, pour tout reel α ∈]0, π[ les deux series de fonctions

f(x) =∑

n>1

sin(nx)

net g(x) =

∑

n>1

cos(nx)

n

sont continues sur le segment [α, 2π − α].

Exercice 51. Calculer la somme des series de fonctions suivantes :

∑

n>1

e−nx

n,

∑

n>0

nxe−nx2

et∑

n>1

1

n(cos(x))n sin(nx).

Exercice 52. Montrer que pour tout reel α > 2 la serie de fonctions,∑

n>1

cos(nx)

nα, definit

une fonction de classe C1 sur R.

Exercice 53. Soit a ∈ R un parametre. Sur R on definit une suite de fonctions par,

∀n ∈ N, fn(x) = nax2e−nx2

1) Montrer que la suite de fonctions fn converge uniformement sur R si et seulement, si le

parametre a < 1.

2) Montrer que la serie de fonctions fn converge normalement si et seulement, si le parametre

a < 0.

3) On suppose a = 1. Calculer la derivee de la fonction,

k=n∑

k=1

e−kx2

, et en deduire



– l’expression de la somme partielle Sn(x) =

k=n∑

k=1

fn(x) ;

– la somme S(x) = limn→+∞

Sn(x) ;

– la serie de fonctions fn ne converge pas uniformement.

Exercice 54. Sur le segment [−1, 1] on definit une suite de fonctions par l’expresssion

∀n ∈ N∗, fn(x) =

xn sin(nx)

n

1) Montrer que la serie de fonctions∑

n>1

fn converge simplement sur le segment [−1, 1] vers

une fonction qu’on notera f .

2) Montrer que la limite simple de la serie de fonctions∑

n>1

fn est de classe C1 sur l’intervalle

]− 1, 1[.

3) En derivant la serie de fonctions,∑

n>1

fn, montrer que pour tout x ∈ [−1, 1],

f(x) = arctg( x sin(x)

1− x cos(x)

)

Applications : Calculer la somme des series suivantes :

∑

n>1

sin(n)

n,

∑

n>1

(−1)nsin(n)

net

∑

n>1

sin(2n)

n

Exercice 55. a) Trouver le domaine de convergence simple de la serie de fonctions de terme

general, un(x) =1√n

( x+ 1

2x− 1

)n.

b) Montrer que la serie de fonctions∑

n>1

un(x) converge normalement sur ]−∞,−1].

c) Montrer que la serie de fonctions derivees∑

n>1

u′n(x) converge uniformement sur ]−∞,−1].

En deduire que la serie∑

n>1

un(x) definit une fonction de classe C1 sur ]−∞,−1].

Exercice 56. Pour tout reel x on pose f(x) =∑

n>1

1

n!arcos(cos(nx)).

1) Montrer que f est bien definie sur R, periodique et paire.

2) Montrer que f est continue sur R.

3) Est-ce que f est derivable sur R ?

Exercice 57. Dans cette exercice on se propose de montrer que l’integrale simple generalisee

I(x) =

∫ +∞

0

cos(tx)

et + 1dt definit une fonction de classe C∞ sur R.

I) Pour tout reel x on pose : f(x) =∑

n>1

(−1)n−1n

n2 + x2.

a) Determiner le domaine de definition de la fonction f .

b) Montrer que la fonction f est de classe C∞ sur son domaine de definition.



II) Pour tout entier n ∈ N on pose : In(x) =

∫ +∞

0e−nt cos(tx)dt.

a) Montrer que pour tout reel x ∈ R les integrales generalisee I(x) et In(x) convergent.

b) Montrer que pour tout entier n > 1 et pour tout reel x 6= 0 on a,

I(x)−p=n−1∑

p=0

(−1)pIp(x) = (−1)n∫ +∞

0

e−nt cos(tx)

et + 1dt.

c) En montrant que limn→+∞

∫ +∞

0

e−nt cos(tx)

et + 1dt = 0 ; deduire que l’integrale generalisee I(x)

est une fonction de classe C∞ sur R.

Exercice 58. Dans cet exercice on se propose de calculer l’integrale generalisee,

I =

∫ 1

0

xLog(x)

x− 1dx

au moyen d’une serie numerique convergente.

1) Soit fn : [0, 1] → R le terme general d’une suite de fonctions continues definies pour tout

entier n > 1 par les expressions,

fn(x) =

0 si x = 0,xnLog(x)

x− 1si 0 < x < 1,

1 si x = 1.

a) Calculer la limite simple de la suite de fonctions fn.

b) Calculer la norme de convergence uniforme ‖fn‖∞.

c) Est-ce que la suite de fonctions fn converge uniformement sur le segment [0, 1] ?

d) Calculer la limite simple de la serie de fonctions∑

n>1

fn(x).

2) a) Montrer que pour tout entier n > 1 l’integrale simple generalisee

In =

∫ 1

0fn(x)dx

converge et la calculer.

b) Montrer que pour tout entier n > 1, I +

p=n∑

p=1

Ip =

∫ 1

0

xn+1Log(x)

x− 1dx.

c) Montrer que la fonction f : [0, 1] → R definie par les expressions,

f(x) =

0 si x = 0xLog(x)

x− 1si x ∈]0, 1[

0 si x = 1

est continue.

d) En deduire que l’integrale generalisee I converge vers une serie numerique de Riemann

convergente que l’on determinera.



Exercice 59. Montrer que les deux fonctions de Riemann∑

n>1

(−1)n−1

nxet

∑

n>1

1

nxsont de

classe C∞ sur l’intervalle ]1,+∞[.

Exercice 60. Pout tout reel x ∈] − 1, 1[ on pose f(x) =∑

n>1

(−1)n−1

n+ x. Demontrer que la

fonction f est de classe C∞ sur l’intervalle ]− 1, 1[.

Exercice 61. Montrer que la serie de fonctions∑

n>1

1

nArctg(

x

n) converge normalement sur

tout intervalle bonre et que sa somme est une fonction derivable sur R.


Chapitre Quatre

Les series entieres

4.1 Proprietes du domaine de convergence

4.1.1 Definitions et exemples

Definition 10. Soit an ∈ C une suite de nombres complexes.

1. On appelle serie entiere toute serie de fonctions de la forme

∑

n>0

an(z − z0)n ou z, z0 ∈ C

2. Le sous-ensemble D ⊆ C des nombres complexes z qui induisent une serie entiere

convergente∑

n>0

an(z − z0)n s’appelle domaine de convergence.

Les series entieres sont un cas particulier des series de fonctions dont le terme general est

un monome de type, un(z) = an(z − z0)n. Theoriquement pour chercher leurs domaines

de convergence simple ou uniforme on pourra leurs appliquer les resultats du chapitre 3.

Notamment, si les elements an, z et z0 ∈ C pour prouver que la somme∑

n>0

an(z − z0)n

definit une fonction continue, integrable ou derivable on peut lui appliquer les theroemes

fondamentaux sur la convergence uniforme des series de fonctions etudies au chapitres 2 et 3.

Notons que si on effectue le changement de variable u = z − z0 on deduit que l’etude de

la convergence des series entieres de la forme∑

n>0

an(z − z0)n se ramerne a l’etude des series

centrees a l’origine∑

n>0

anzn. En consequence, si on designe par D ⊆ C le domaine de conver-

gence simple de la serie entiere∑

n>0

anzn donc le sous-ensemble translate D + z0 est egal au

domaine de convergence simple de la serie entiere∑

n>0

an(z − z0)n.

Suite a cette remarque on conclut que l’etude des series entieres peut etre developpee que

pour les series entieres centree a l’origine sans perdre la generalites.

Exemple 22. 1) Soit a 6= 0 un nombre complexe. Cherchons le domaine de convergence de

la serie entiere∑

n>0

anzn et calculons sa somme.


Proprietes du domaine de convergence 59

Puisque tout tout nombre complexe z0 6= 0 la serie numerique∑

n>0

anzn0 est une serie geome-

trique, elle converge si et seulement si le module | a || z0 |< 1. Autrement dit, la serie entiere∑

n>0

anzn converge simplement sur le disque ouvert centre a l’origine et de rayon1

| a | et sa

somme est egale a la fonction

S(z) =∑

n>0

anzn =1

1− az, ∀z ∈ C, | z |< 1

| a |

2) La serie entiere∑

n>0

n!zn converge seulement au point z = 0 parce que si z 6= 0 la regle de

d’Alembert implique que

limn→+∞

| (n+ 1)!zn+1 || n!zn | = lim

n→+∞(n+ 1) | z |= +∞

Donc, la serie diverge en tout point element de l’ouvert C∗.

3) Pour tout nombre complexe z ∈ C la serie entiere,∑

n>1

zn

nn, converge parce que d’apres la

regle de Cauchy on a pour tout nobre complexe z ∈ C,

limn→+∞

n

√

∣

∣

∣

zn

nn

∣

∣

∣= lim

n→+∞| z |n

= 0 < 1

4.1.2 Rayon de convergence

Dans ce paragraphe, nous allons demontrer quelques resultats qui nous permettent de decrire

le domaine de convergence simple, uniforme ou normal des series entieres∑

n>0

an(z − z0)n.

On rappelle que dans le plan complexe C le disque ouvert (resp. ferme) centre a l’origine et

de rayon R est defini par,

D(0, | z0 |) = {z ∈ C ; | z |< R} resp. D(0, | z0 |) = {z ∈ C ; | z |6 R}

Theoreme 20 (Abel). Soit z0 ∈ C∗ tel que la serie numerique

∑

n>0

anzn0 converge. Alors, les

propositions suivantes sont vraies :

1. Le disque ouvert centre a l’origine et de rayon | z0 | ( i.e. D(0, | z0 |)) est contenu dans

le domaine de la convergence simple de la serie entiere∑

n>0

anzn.

2. Pour tout reel 0 < r <| z0 | la serie entiere∑

n>0

anzn converge normalement sur le

disque ferme centre a l’origine et de rayon r (i.e. D(0, | z0 |)).

Demonstration. 1) Supposons que la serie numerique∑

n>0

anzn0 converge dans C.

Observons que puisque la suite des sommes partielles An =

i=n∑

i=0

anzn0 converge, elle est donc

bornee. Ainsi, comme pour tout nombre complexe z ∈ C tel que | z

z0|< 1 la serie numerique

∑

n>0

∣

∣

∣(z

z0)n+1 − (

z

z0)n∣

∣

∣=| z

z0− 1 |

∑

n>0

(| z

z0|)n


60 Les series entieres

converge et limn→+∞

( z

z0

)

= 0 le theoreme d’Abel sur les series numeriques produits (cf. theo-

reme 9) implique que la suite des sommes partielles

Sn(z) =k=n∑

k=0

akzk =

k=n∑

k=0

(akzk0 )(

z

z0)k

converge, et donc tout nombre complexe z ∈ C de module | z |<| z0 | appartient au domaine

de convergence de la serie entiere∑

n>0

anzn.

2) Notons d’abord si on pose un(z) = anzn on voit que la norme de convergence uniforme sur

le disque ferme D(0, r) est donnee par l’expression

‖un‖∞ = sup{| un(z) | ;∀z ∈ D(0, r)} =| an | rn

Montrons donc que pour tout reel 0 < r <| z0 | la serie entiere∑

n>0

anzn converge normalement

sur le disque ferme D(0, r).

En effet, puisque l’assertion 1) du theoreme implique que pour tout reel ρ tel que r < ρ <| z0 |la serie numerique

∑

n>0

anρn converge on en deduit que lim

n→+∞| an | ρn = 0. Donc, il existe

un entier n0 ∈ N tel que pour tout n ∈ N qui verifie n > n0 implique que | an | ρn < 1. Par

consequent, comme pour tout entier n > n0 la somme partielle

k=n∑

k=n0

| ak | rk =

k=n∑

k=n0

(

| ak | ρk)(r

ρ

)k

6

k=n∑

k=n0

(r

ρ

)k

6

(r

ρ

)n0(

k=n−n0∑

k=0

(r

ρ

)k)

on deduit que la serie numerique∑

n>0

| an | rn converge car le reel 0 <r

ρ< 1. Donc, d’apres

le theoreme de Weierstrass (cf. theoreeme 15) la serie entiere∑

n>0


sur le disque ferme centre a l’origine et de rayon 0 < r <| z0 |.

Il est evident que le theoreme d’Abel nous ne donne pas une description complete du domaine

de convergence simple d’une serie entiere∑

n>0

anzn. Toutefois, il nous permet de deduire que

si le domaine de convergence simple d’une serie entiere∑

n>0

anzn contient un seul point non

nul, z0 6= 0, alors il contient aussi le disque ouvert centre a l’origine et de rayon r =| z0 |.

Corollaire 10. Pour toute serie entiere∑

n>0

anzn le sous-ensemble non vide

C = {r ∈ R+ ;

∑

n>0

anrn converge }



est un intervalle de R+. C’est-a-dire, soit que C = {0} ou soit qu’il existe un reel r0 ∈ R

∗+

tel que C = [0, r0[.

Definition 11. Soit∑

n>0

an(z − z0)n une serie entiere.

1. La borne superiere, R ∈ R∗+, de l’ensemble non vide {r ∈ R

+ ;∑

n>0

anrn converge }

s’appelle rayon de convergence de la serie entiere∑

n>0

an(z − z0)n.

2. Le disque (resp. le cercle) de centre z0 et de rayon R s’appelle disque (resp. cercle) de

convergence de la serie entiere∑

n>0

an(z − z0)n.

Lemme 1. Soit∑

n>0

anzn une serie entiere. Alors, les sous-ensembles non vides,

{r ∈ R+ ;

∑

n>0

| an | rn converge } ⊆ {r ∈ R+ ;

∑

n>0

anrn converge }

possedent la meme borne superieure dans R∗+.

Demonstration. Il est clair que l’inclusion de la proposition implique que,

R0 = sup{r ∈ R+ ;

∑

n>0

| an | rn converge } 6 R1 = sup{r ∈ R+ ;

∑

n>0

anrn converge }

Supposons qu’il existe un reel R0 < R < R1. Ainsi, puisque la serie∑

n>0

anRn converge le

theoreme d’Abel implique que pour tout reel 0 < r < R et que la la serie∑

n>0

| an | rn

connverge. Donc, r 6 R0 ce qui est absurde. Par consequent, R0 = R1.

Corollaire 11. S’il existe un reel R > 0 tel que la serie∑

n>0

anRn soit semi-convergente alors

le rayon de convergence Ra de la serie entiere,∑

n>0

anzn, est egal a R ie. : R = Ra.

Demonstration. Notons que puisque R ∈ {r ∈ R+ ;

∑

n>0

anrn converge } on en deduit que

R 6 Ra. En effet, si on suppose R < Ra on pourra trouver un reel R < r0 < Ra, et ainsi

comme r0 ∈ {r ∈ R+ ;

∑

n>0

anrn converge } le theoreme d’Abel implique que la serie

∑

n>0

anRn

converge absolument, ce qui est absurde. D’ou, R = Ra.

Corollaire 12. Soient an et bn ∈ C des suites telles pour n ∈ N assez grand, | an |6| bn |.Alors, le rayon de convergence Ra de la serie entiere

∑

n>0

anzn est superieur ou egal au rayon

de convergence Rb de la serie entiere∑

n>0

bnzn ie. : Rb 6 Ra.

Demonstration. Observer que l’inegalite | an |6| bn | implique l’inclusion des sous-ensembles,

{r ∈ R+ ;

∑

n>0

| bn | rn converge } ⊆ {r ∈ R+ ;

∑

n>0

| an | rn converge }.



Exemple 23. 1) D’apres le corollaire 11, puisque la serie entiere∑

n>1

(−1)n−1

nzn converge au

point z = 1 et la serie numerique∑

n>1

(−1)n−1

nest semi-convergente, le rayon de convergence

de la serie entiere∑

n>1

(−1)n−1

nzn est egal a un.

2) Notons que puisque pour tout entier n ∈ N, | cos(n) |6 1 le corollaire 12 implique que le

rayon de convergence de la serie entiere∑

n>1

cos(n)zn est superieur ou egal a un. En effet,

puisque le terme general de la serie∑

n>1

cos(n) ne tend pas vers zero on en deduit que le rayon

de convergence de la serie entiere∑

n>1

cos(n)zn est egale a un.

Dans le prochain paragraphe on demontrera la formule de Hadamard qui nous permet de

calculer la valeur exacte du rayon de convergence d’une serie entiere reelle ou complexe.

4.1.3 Formule de Hadamard

Pour enoncer la formule de Hadamard qui permet de calculer le rayon de converrgence d’une

serie entiere on aura besoin de la notion de la limite superieure d’une suite de nombres reels ;

c’est ce que nous rappelerons maintenant.

Soit an ∈ R une suite. Pour tout entier n > 0 on pose,

mn = inf{ap ;∀p ∈ N, p > n} et Mn = sup{ap ;∀p ∈ N, p > n}

Notons que puisque pour tout entier n > 0 on a l’inclusion

{ap ;∀p ∈ N, p > n+ 1} ⊆ {ap ;∀p ∈ N, p > n}

on en deduit les inegalites suivantes,

m0 6 m1 6 m2 6 · · · 6 mn 6 an 6 Mn 6 · · · 6 M2 6 M1 6 M0

Il est clair que si la suite an n’est pas majoree (resp. minoree) il s’ensuite que la suite Mn

(resp. mn) ne prend que des valeurs infinies.

Dans la suite on suppose que la suite an est bornee pour assurer que les suites mn et Mn

soient bornees.

Notons maintenant que puisque la suite mn est croissante majoree et la suite Mn est decrois-

sante minoree donc elles convergent dans R et leurs limites verifient l’inegalite,

limn→+∞

mn = sup{mn ;∀n ∈ N} 6 limn→+∞

Mn = inf{mn ;∀n ∈ N}

Le nombre reel limn→+∞

mn (resp. limn→+∞

Mn) s’appelle limite inferieure (resp. limite supe-

rieure) de la suite bornee an et se note

Lim-infn→+∞

an resp. Lim-supn→+∞

an



La proposition suivante se demontre en utilisant la caracterisation de la borne superieure et

de la borne inferieure d’une suite de nombres reels.

Lemme 2 (Caracterisation de Lim-infn→+∞

et Lim-supn→+∞

). Soit an ∈ R une suite bornee.

1. Le nombre reel λ = Lim-infn→+∞

an si et seulement si pour tout reel ε > 0 il existe un entier

n0 > 0 tel que

(a) an > λ− ε pour tout entier n > n0 ;

(b) l’esnemble des termes {an < λ+ ε ;n > n0} est infini.

2. Le nombre reel λ = Lim-supn→+∞

an si et seulement si pour tout reel ε > 0 il existe un entier

n0 > 0 tel que

(a) an < λ+ ε pour tout entier n > n0 ;

(b) l’esnemble des termes {an > λ− ε ; ;n > n0} est infini.

3. La suite an converge dans R si et seulement si Lim-infn→+∞

an = Lim-supn→+∞

an.

4. Si le terme an est non nul alors,

Lim-infn→+∞

∣

∣

∣

an+1

an

∣

∣

∣6 Lim-inf

n→+∞n

√

| an | 6 Lim-supn→+∞

n

√

| an | 6 Lim-supn→+∞

∣

∣

∣

an+1

an

∣

∣

∣

En consequence, si la suite∣

∣

∣

an+1

an

∣

∣

∣converge alors la suite n

√

| an | converge aussi et elles

possedent la meme limite.


Le theoreme suivant de Hadamard nous propose une formule qui nous permet de calculer le

rayon de convergence d’une serie entiere∑

n>0

anzn.

Theoreme 21 (Formule de Hadamard). Le rayon de convergence d’une serie entiere,∑

n>0

anzn,

est donne par la formule

sup{r ∈ R+ ;

∑

n>0

anrn converge } =

1

Lim-supn→+∞

n

√

| an |∈ R

+

En particulier, si la suite numerique n

√

| an | converge alors le rayon de convergence de la

serie entiere∑

n>0

anzn est egal a

1

limn→+∞

n

√

| an |.

Demonstration. Soit ρ ∈ {r ∈ R+ ;

∑

n>0

anrn converge }. Donc, puisque lim

n→+∞anρ

n = 0 il

existe un entier n0 > 0 tel que

∀n ∈ N, n > n0 =⇒ | an | ρn < 1 =⇒ ρ 61

Lim-supn→+∞

n

√

| an |



Par consequent, sup{r ∈ R+ ;

∑

n>0

anrn converge } 6

1

Lim-supn→+∞

n

√

| an |.

Inversement, supposons qu’il existe un reel r0 ∈ R∗+ tel que

sup{r ∈ R+ ;

∑

n>0

anrn converge } < r0 <

1

Lim-supn→+∞

n

√

| an |

Donc, puisque la serie∑

n>0

anrn0 diverge la regle de Cauchy implique que la limite

Lim-supn→+∞

n

√

| anrn0 | > 1 =⇒ 1

Lim-supn→+∞

n

√

| an |6 r0 <

1

Lim-supn→+∞

n

√

| an |

Ceci est absurde. Par consequent, le rayon de convergence de la serie entiere∑

n>0

anzn est egal

a1

Lim-supn→+∞

n

√

| an |.

La description complete du domaine de convergence simple (resp. uniforme) d’une serie entiere∑

n>0

anzn sera donnee par le theoreme suivant.

Notons d’abord que si la suite numerique| an+1 || an | converge vers R ∈ R

+ alors la suite nume-

rique n

√

| an | converge aussi vers R. Rappelons aussi que d’apres le critere de Cauchy (resp.

de D’Alembert) si pour un nombre complexe fixe z 6= 0 on a l’inegalite suivante :

limn→+∞

n

√

| anzn | =| z |(

limn→+∞

n

√

| an |)

< 1 ⇐⇒ | z |< limn→+∞

1n

√

| an |

resp.

limn→+∞

∣

∣

∣

an+1zn+1

anzn

∣

∣

∣=| z |

(

limn→+∞

∣

∣

∣

an+1

an

∣

∣

∣

)

< 1 ⇐⇒ | z |< limn→+∞

∣

∣

∣

anan+1

∣

∣

∣

alors la serie numerique∑

n>0

anzn converge absolument.

Theoreme 22 (Hadamard). Soit an ∈ C une suite telle que R = limn→+∞

∣

∣

∣

anan+1

∣

∣

∣∈ R

+. Alors,

l’une des trois propositions suivantes est vraie :

1. Si R ∈ R∗+ alors pour tout reel 0 < r < R la serie entiere

∑

n>0


sur le disque ferme centre a l’origine et de rayon r.

2. Si R = +∞ alors la serie entiere∑

n>0

anzn converge normalement sur tous les disques

fermes centres a l’origine.

3. Si R = 0 la serie entiere∑

n>0

anzn converge seulement au point z = 0.



Demonstration. 1) Supposons que le reel R ∈ R∗+. Donc, pour tout reel 0 < r < R la serie

numerique∑

n>0

anrn converge absolument parce que la limite du rapport de D’Alembert

limn→+∞

| an+1rn+1 |

| anrn | = r(

limn→+∞

| an+1 || an |

)

=r

R< 1

Ainsi, puisque la serie numerique∑

n>0

| an | rn converge le theoreme de Weierstrass (cf. ch.

3) implique que la serie entiere∑

n>0

anzn converge normalement sur le disque fermee centre a

l’origine et de rayon r.

2) Supposons que R = +∞. Dans ce cas pour tout reel r > 0 la limite

limn→+∞

| an+1rn+1 |

| anrn | =r

limn→+∞

| an || an+1 |

= 0

Donc, puisque la serie numerique∑

n>0

| an | rn converge le theoreme de Weierstrass implique

que la serie entiere∑

n>0

anzn converge normalement sur le disque ferme centre a l’origine et

de rayon r > 0.

3) Supposons que R = 0. Notons que si pour un nombre complexe z0 la serie numerique∑

n>0

anzn0 converge il s’ensuit que lim

n→+∞anz

n0 = 0. Donc, il existe un entier n0 > 0 tel que

pour tout entier n ∈ N qui verifie n > n0 implique que | anzn0 |< 1. Ainsi, comme le module

| z0 |<1

n

√

| an |le passage a la limite sur n implique que z0 = 0.

Le theoreme de Hadamard qu’on vient de demontrer nous montre que si la serie entiere,∑

n>0

an(z − z0)n, a un rayon de convergence non nul R 6= 0 alors le domaine de convergence

simple D de cette serie contient le disque ouvert D(z0,R) et il est contenu dans le disque

ferme D(z0,R). C’est-a-dire on a

D(z0,R) ⊆ D ⊆ D(z0,R)

Plus precisement, dans le cas d’une serie entiere complexe on aura

R = +∞ R = 0 R ∈ R∗+

D = C D = {z0} D(z0,R) ⊆ D ⊆ D(z0,R)

et dans le cas d’une serie entiere reelle on aura

R = +∞ R = 0 R ∈ R∗+

D = R D = {x0} ]− R+ x0,R + x0[⊆ D ⊆ [−R+ x0,R + x0]



Exemple 24. 1) Determinons le domaine de convergence de la serie entiere∑

n>1

n2zn.

a) Posons an = n2. Donc, d’apres la formule de Hadamard le rayon de convergence de la

serie entiere complexe∑

n>

n2zn est egal a

R = limn→+∞

anan+1

= limn→+∞

n2

(n+ 1)2= 1

Par consequent, on designe par D le domaine de convergence simple de la serie entiere∑

n>1

n2zn on deduit que

D(0, 1) ⊆ D ⊆ D(0, 1)

b) Observons que pour tout nombre complexe unitaire, eiθ ∈ ∂D(0, 1), le terme general de la

serie numerique∑

n>0

n2einθ ne tend pas vers zero, donc la serie entiere∑

n>0

n2zn diverge en

chaque point qui appartient au cercle centre a l’origine et de rayon un.

Ainsi, en consequence de ce qui precede on conclut que le domaine de convergence simple de

la serie entiere∑

n>0

n2zn est egal au disque ouvert

D = D(0, 1) = {z ∈ C ; | z |< 1}

et que pour tout reel 0 < r < 1 la serie entiere∑

n>0

n2zn converge normalement sur le disque

ferme D(0, r) ⊂ D.

2) Determinons le domaine de convergence de la serie entiere∑

n>1

zn

Log(n+ 1).

a) Posons bn = Log(n + 1). D’apres la formule de Hadamard le rayon de convergence de la

serie entiere∑

n>1

zn

Log(n + 1)est egal a

R = limn→+∞

bnbn+1

= limn→+∞

Log(n+ 2)

Log(n+ 1)= 1

Le domaine de convergence simple de la serie entiere complexe∑

n>1

zn

Log(n+ 1)continent donc

le disque centre a l’origine et de rayon un.

b) Cherchons les nombres complexes elements du cercle {eiθ ; θ ∈ [0, 2π]} qui appartiennent

au domaine de convergence simple de la serie entiere∑

n>1

zn

Log(n+ 1).

Rappelons que pour tout entier n > 1 la somme partielle de la suite geometrique de raison

eiθ est donnee par l’expression :

Sn =

p=n∑

p=0

eipθ =1− ei(n+1)θ

1− eiθ= einθ/2

ei(n+1)θ/2 − e−i(n+1)θ/2

eiθ/2 − e−iθ/2

Donc, si le reel θ 6∈ {0, 2π} on voit que le module de la somme partielle Sn peut etre majoree

comme suit,∣

∣

∣

p=n∑

p=0

eipθ∣

∣

∣=

∣

∣

∣

sin((n+ 1)θ/2)

sin(θ/2)

∣

∣

∣6

1

| sin(θ/2) | .



Ainsi, puisque la suite numerique1

Log(n+ 1)est decroissante et tend vers zero le theoreme

d’Abel sur les series numeriques produits implique que la serie numerique∑

n>1

einθ

Log(n+ 1)

converge si θ 6∈ {0, 2π}. Mais, si le reel θ ∈ {0, 2π} on obtient la serie de Bertrand divergente∑

n>1

zn

Log(n+ 1)=

∑

n>1

1

Log(n+ 1).

Donc, le domaine de convergence simple de la serie entiere∑

n>1

zn

Log(n + 1)est egal a

D = {z ∈ C/ | z |6 1} − {1}

et que pour tout reel 0 < r < 1 la serie entiere∑

n>1

zn

Log(n+ 1)converge normalemnet sur le

disque ferme D(0, r).

3) Soit α ∈ R un reel fixe. Detrminons le domaine de convergence simple de la serie entiere

∑

n>1

zn

nα

a) Si on pose cn =1

nαla formule de Hadamard implique que le rayon de convergence de la

serie entiere∑

n>1

zn

nαest egal a

limn→+∞

cncn+1

= limn→+∞

(n + 1)α

nα= lim

n→+∞(1 +

1

n)α = 1

et donc le domaine de convergence simple de la serie∑

n>1

zn

nαcontient le disque ouvert centre

a l’origine et de rayon un.

b) Cherchons les points du cercle {eiθ ∈ C ; θ ∈ [0, 2π]} qui appartiennent au domine de

convergence simple de la serie∑

n>1

zn

nα.

Observons que pour un nombre complexe eiθ la suite numeriqueeinθ

nαtend vers zero si et

seulement, si le reel α > 0. Ainsi, comme pour tout reel α > 0 la suite1

nαest decroissante

et tend vers zero et la suite des sommes partielles An =

p=n∑

p=1

eipθ est bornee lorsque le reel

θ 6∈ {0, π}, le theoreme d’Abel pour les series produits implique que la serie numerique∑

n>1

einθ

nα

converge. Enfin, notons que la serie numerique∑

n>1

einθ

nαconverge lorsque θ ∈ {0, π} si et

seulement si le reel α > 1.

Dans le tableau suivant on resume les discussions developpees ci-dessus a propos du domaine

de convergence simple de la serie entiere complexe∑

n>1

zn

nα.



Parametre α 6 0 0 < α 6 1 α > 1

Domaine {z ∈ C/ | z |< 1} {z ∈ C/ | z |6 1} − {1} {z ∈ C/ | z |6 1}

4.1.4 Operations sur les series entieres

A) La somme de deux series entieres

Soient∑

n>0

anzn et

∑

n>0

bnzn deux series entieres de rayon de convergence respectifs Ra et Rb.

La serie entiere∑

n>0

(an + bn)zn s’appelle somme des series entieres de coefficeints an et bn,

son rayon de convergence sera note Ra+b.

Proposition 13. inf(Ra,Rb) 6 Ra+b. En particulier, si Ra < Rb alors Ra+b = Ra.

Demonstration. 1) Pour fixer les idees supposons que Ra = inf(Ra,Rb) 6 Rb. Notons que

puisque pour tout nombre reel non nul r tel que 0 < r < Ra les deux series numeriques∑

n>0

| an | rn et∑

n>0

| bn | rn convergent il en resulte que la serie numerique∑

n>0

(| an | + | bn |)rn

converge. Ainsi, puisque pour tout entier n, | an + bn |6| an | + | bn |, on en deduit que la

serie numerique∑

n>0

(| an + bn |)rn converge, et donc puisque le sous-ensemble

{r ∈ R ;∑

n>0

anrn converge} ⊆ {r ∈ R ;

∑

n>0

(an + bn)rn converge} =⇒ Ra 6 Ra+b

De la meme facon si on suppose que Rb = inf(Ra,Rb) on en deduit qu’on a l’inclusion

{r ∈ R ;∑

n>0

bnrn converge} ⊆ {r ∈ R ;

∑

n>0

(an + bn)rn converge} =⇒ Rb 6 Ra+b

Par consequent, le rayon de convergence Ra+b de la sierie entiere∑

n>0

(an+ bn)zn est superieur

ou egal a inf(Ra,Rb).

2) Supposons par exemple que Ra < Rb. Donc, pour tout reel non nul tel que Ra < r < Rb on

voit que la serie numerique∑

n>0

anrn diverge tandis que la serie numerique

∑

n>0

bnrn converge.

Ainsi, comme la serie somme∑

n>0

(an + bn)rn diverge aussi on en deduit que le rayon de

converge Ra+b < Rb.

Enfin, observons que si on suppose qu’il existe un reel r > 0 tel que Ra < r 6 Ra+b on en

deduit que les deux series∑

n>0

(an + bn)rn et

∑

n>0

bnrn convergent, et donc la serie

∑

n>0

anrn

converge aussi. Ceci contredit le fait que Ra < r < Ra+b. Donc, Ra = Ra+b.



B) Le produit de Cauchy de deux series entieres

Soient∑

n>0

anzn et

∑

n>0

bnzn deux series entieres de rayon de convergence respectifs Ra et Rb.

Si pour tout entier n > 0 on pose,

cn =

k=n∑

k=0

akbn−k

on pourra definir la serie entiere∑

n>0

cnzn que l’on appelle serie entiere produit des deux series

entieres de coefficients an et bn, son rayon de convergence sera note Rab.

Proposition 14. inf(Ra,Rb) 6 Rab.

Demonstration. Soit r > 0 un reel tel que r < Ra et r < Rb. Pour tout entier n ∈ N posons

An(r) =

k=n∑

k=0

| an | rk

Bn(r) =k=n∑

k=0

| bn | rket

pn =

k=n∑

k=0

| akbn−k |

Pn(r) =k=n∑

k=0

pkrk

Avec ces notations on voit que pour tout entier n > 0 et pour tout reel r > 0 on a la double

inegalite,

Pn(r) 6 An(r)Bn(r) 6 P2n(r)

Notons que puisque les sommes partielles An(r) et Bn(r) convergent il s’ensuit que la suite

produit An(r)Bn(r) converge, donc elle est majoree dans R+. Ainsi, comme la suite Pn(r) est

croissante elle converge dans R+.

D’autre part, notons que si pour tout entier on pose cn =k=n∑

k=0

akbn−k on en deduit que

| cn |6 pn et que par consequent la serie numerique∑

n>0

| cn | rn converge dans R+. En effet,

ce qui precede demontre que le sous-ensemble

{r ∈ R+ ; r < inf(Ra,Rb)} ⊆ {r ∈ R

+ ;∑

n>0

| cn | rn converge}

Par consequent, si sur cette inclusion on passe a la borne superiere la proposition 1 implique

que : inf(Ra,Rb) 6 Rab.

C) Composition de deux series entieres

Soient A(z) =∑

n>0

anzn et B(z) =

∑

n>0

bnzn deux series entieres de rayon de convergence

respectifs Ra et Rb.

Supposons que B(0) = b0 = 0. Donc, pour tout reel r > 0 on pourra alors trouver un reel

ρ > 0 tel que pour tout z ∈ C de module | z |< min(ρ,Rb) on aura | B(z) |< r. Ainsi, si

en particulier on suppose que le reel 0 < r < Ra il s’ensuit que le nombre complexe B(z)



appartient au domaine de convergence de la serie entiere A(z) et que l’expression composee

A ◦ B(z) a un sens.

Notons que puisque l’expression A ◦ B(z) est egale a la somme de la serie composee

A ◦ B(z) =∑

n>0

an

(

B(z))n

on voit que si on developpe les puisances(

B(z))n

on obtient la serie entiere suivante centree

a l’origine

A ◦ B(z) = a0 + a1b1z + (a1b2 + a2b21)z

2 + (a1b3 + 2a2b1b2 + a3b31)z

3 + · · ·

Exercice 62. Soit∑

n>0

anzn une serie entiere de rayon de convergence R > 0. Calculer le

rayon de convergence des series entieres∑

n>0

(an)kzn et

∑

n>0

anzkn ou k ∈ N

∗.

Exercice 63. Soient an et bn deux suites numeriques equivalentes (i.e. limn→+∞

anbn

= 1).

Montrer que les series entieres∑

n>0

anzn et

∑

n>0

bnzn ont le meme rayon de convergence.

Exercice 64. Trouver le rayon et le domaine de convergence simple des series entieres sui-

vantes :

1.∑

n>1

zn

n2n,

∑

n>1

Log(n)zn

n,

∑

n>1

(Log(n))nzn2

.

2.∑

n>1

(in − 1)zn

n,

∑

n>1

(−1)nn

n2 + 1(z + 1)n,

∑

n>0

(−1)nC

n2nz

n

2n− 1.

3.∑

n>1

(n!)2zn

(2n)!,

∑

n>1

n!zn

nn,

∑

n>1

(a− nb)nzn

n!ou a et b ∈ R.

4.∑

n>1

zn√a2n + 1

,∑

n>1

nα

anzn,

∑

n>1

(aα + nα)zn ou a et α ∈ R.

Exercice 65. Trouver le domaine de convergence simple et la somme de la serie entiere,

f(x) =∑

n>1

x2n+2

n(n+ 1)(2n + 1)

Indication : Decomposer la fraction rationnnelle,1

n(n+ 1)(2n + 1), en elements simples.

Exercice 66. Soient a et b ∈ C et un le terme general d’une suite de nombres reels definit

par la relation de recurrence un+2 + aun+1 + bun = 0 avec u0 et u1 sont donnes.

Determiner le domaine de convergence simple de la serie entiere,∑

n>0

unzn, et montrer que

sa somme est egale a la fraction rationnelle(u1 + au0)z + u0bz2 + az + 1

.

Exercice 67. Calculer le rayon de convergence et la somme de chacune des series entieres,∑

n>0

(3 + (−1)n)zn et∑

n>0

(

cos(nπ

3

))

zn

Indication : On rappelle que pour tout z ∈ C tel que | z |< 1 la somme∑

n>0

zn =1

1− z.


Fonctions d’une variable reelle developpables en serie entiere 71

4.2 Fonctions d’une variable reelle developpables en serie en-

tiere

Dans ce paragraphe, on va s’interesser aux fonctions reelles d’une seule variable reelle qui

coıncident avec la somme d’une serie entiere a coefficients reelles ie.

f(x) =∑

n>0

an(x− x0)n ou an, x, x0 ∈ R

4.2.1 Definition et proprietes

Theoreme 23. Soit∑

n>0

an(x − x0)n une serie entiere a coefficients reels dont le rayon de

convergence R > 0. Alors, la fonction f :]− R + x0, x0 + R[→ R definit par la serie entiere,∑

an(x − x0)n, est de classe C∞ et ses fonctions derivees d’ordre m ∈ N sont donnees par

les series entieres suivantes :

f (m)(x) =∑

n>0

(n+m)(n+m− 1) · · · (n+ 1)an+m(x− x0)n

En consequence, pour tout entier n ∈ N le coefficient reel, an =f (n)(x0)

n!, et pour tout reel x

tel que | x− x0 |< R

f(x) =∑

n>0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n

Demonstration. Notons que puisque le rayon de convergence R > 0 donc pour tout reel

0 < r < R la serie entiere∑

n>0

an(x − x0)n converge uniformement sur le segment [−r, r], et

par suite la fonction f(x) =∑

n>0

an(x− x0)n est continue sur l’intervalle ]− R+ x0,R + x0[.

D’autre part, observons que si on derive m-fois les termes de la serie entiere qui definie f(x)

on obtient la serie entiere suivante,

∑

n>0

(n+m)(n+m− 1) · · · (n + 1)an+m(x− x0)n

dont le rayon de convergence egal a,

Lim-supn→+∞

| (n+m)(n +m− 1) · · · (n+ 1)an+m || (n+m+ 1)(n +m) · · · (n + 2)an+m+1 | = Lim-sup

n→+∞

n+ 1

n+m+ 1

| an+m || an+m+1 |

= R

Ainsi, puisque pour tout reel 0 < r < R la serie des derivees d’ordres m ∈ N∗ associee a f(x)

converge uniformement sur le segment [x0− r, x0 + r] le theoreme de la derivation d’une serie

de fonctions implique que la fonction f possede une fonction derivee d’ordre m ∈ N qui est

continue sur l’intervalle ]x−R0, x0 +R[ et elle est donnee par l’expression,

f (m)(x) =∑

n>0

(n+m)(n+m− 1) · · · (n+ 1)nan+m(x− x0)n

Donc, la fonction f(x) est de classe C∞ sur l’intervalle ]x0 − R, x0 + R[ et pour tout entier

m > 0 la derivee f (m)(x0) = m!am.



Le resultat du theoreme precedent nous permet de deduire que les coifficients d’une serie

entiere sont uniques. Plus precesement on a le,

Corollaire 13. Soient an et bn deux suites de nombres reels telles que les reries entieres∑

n>0

an(x − x0)n et

∑

n>0

bn(x − x0)n ont un rayon de convergence non nul. S’il existe un reel

r > 0 tel que pour tout reel x ∈]x0 − r, x0 + r[,

∑

n>0

an(x− x0)n =

∑

n>0

bn(x− x0)n

alors pour tout entier n ∈ N, an = bn.

Inversement, notons que si on se donne une fonction f :]R− x0,R+ x0[→ R est de classe C∞

on peut lui associer une serie entiere de Taylor reelle centree au point x0

∑

n>0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n

et ainsi deux questions naturelles se posent :

1. La serie de Taylor associee a f(x) au point x0 a-t-elle un rayon de convergence non nul ?

2. La serie de Taylor∑

n>0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n converge-t-elle vers f(x) ?

Ci-dessous nous allons caracteriser les fonctions de classe C∞ dont la serie de Taylor associee

possede un rayon de convergence non nul.

Definition 12. On dira qu’une fonction f de classe C∞ est developpable en serie entiere (ou

analytique) au voisinage d’un point x0 ∈ R s’il existe un reel R > 0 et une suite de nombres

reels an telle que pour tout reel x ∈]x0 − R, x0 +R[,

f(x) =∑

n>0

an(x− x0)n

A titre d’exercice on verifie facilement que les fonctions developpables en series entieres au

voisinage de x0 sont stables par les operations algebriques suivantes :

1. Si f et g sont developpables en series entieres au voisinage de x0 alors leurs somme f+g

est aussi developpable en serie entiere au voisinage de x0.

2. Si f et g sont developpables en series entieres au voisinage de x0 alors leurs produit

f × g est aussi developpable en serie entiere au voisinage de x0.

3. Si f est developpable en serie entiere au voisinage de x0 et f(x0) 6= 0 alors la fonction1

fest aussi developpable en serie entiere au voisinage de x0.

4. Si f est developpable en serie entiere au voisinage de x0 et g est developpable en serie

entiere au voisinage de f(x0) = y0 alors la fonction composee g ◦ f est developpable en

serie entiere au voisinage de x0.



Notons que d’apres le theoreme 3 on deduit que si une fonction f(x) est developpable en serie

entiere au voisinage d’un point x0 il existe un reel R > 0 tel que

∀x ∈]x0 +R, x0 +R[, f(x) =∑

n>0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n

Autrement dit, une fonction developpable en serie entiere au voisinage d’un point x0 coıncide

avec sa serie entiere de Taylor sur un voisinage de x0.

Le theoreme suivant nous donnera les conditions necessaires et suffiantes pour que la serie

entiere de Taylor associee a une fonction f(x) de classe C∞ ait un rayon de convergence non

nul.

Theoreme 24. Pour qu’une fonction reelle f(x) soit developpable en serie entiere au voisi-

nage d’un point x0 il faut et il suffit qu’elle verifie les conditions suivantes :

1. Il existe un reel R > 0 tel que la fonction f(x) soit de classe C∞ sur l’intervalle ouvert

]− R+ x0, x0 +R[.

2. La suite des restes d’ordre n > 1 du developpement limite de Taylor associee a la

fonction f au voisinage de x0,

Rn(x) = f(x)−p=n∑

p=0

f (p)(x0)

p!(x− x0)

p

converge simplement sur l’intervalle ]− R+ x0, x0 +R[ vers la fonction nulle.

Demonstration. 1) Supposons que sur un voisinage de x0, f(x) =∑

n>0

an(x− x0)n.

Donc, d’apres le theoreme 3 la fonction f(x) est de classe C∞ sur un voisinage de x0 et que

pour les reels x proches de x0 la serie entiere de Taylor,∑

n>1

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n = f(x). Ainsi,

comme la serie de Taylor associee a la fonction f(x) converge simplement sur un voisinage

de x0 on en deduit que la suite des restes Rn(x) = f(x) −p=n∑

p=0

f (p)(x0)

p!(x− x0)

p converge

simplement sur un voisinage de x0 vers la fonction nulle.

2) Inversement, supposons qu’il existe un reel R > 0 et que la fonction f(x) verifie les deux

conditions du theoreme sur l’intervalle ]x0 − R, x0 +R[. Montrons alors que la fonction f(x)

est developpable en serie entiere au voisinage de x0.

En effet, puisque la suite de fonctions Rn(x) = f(x)−p=n∑

p=0

f (p)(x0)

p!(x− x0)

p converge simple-

ment sur l’intervale ]− R+ x0, x0 +R[ vers la fonction nulle il s’ensuit que

f(x) =∑

n>0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n, ∀x ∈]− R+ x0, x0 +R[

Par consequent, comme le rayon de convergence de la serie entiere de Taylor de f(x) au point

x0 est non nul (au moins egal a R) il s’ensuit que la fonction f est developpable en serie

entiere au voisinage de x0.



Corollaire 14. Pour qu’une fonction reelle de classe C∞ soit developpable en serie entiere

au voisinage d’un point x0 il suffit que toutes ses fonctions derivees d’ordre superieure soient

bornees sur un voisinage de x0.

Demonstration. Supposons qu’il existe deux reels ε > 0 et M > 0 tels que pour tout entier

n ∈ N et pour tout reel x ∈]x0 − ε, x0 + ε[, | f (n)(x) |< M.

Rappelons que pour tout entier n > 0 et pour tout reel x ∈]− ε+ x0, x0 + ε[ il existe un reel

θ ∈]0, 1[ tel que le reste du developpement de Taylor de f a l’ordre n au point x0 est donne

par l’expression

Rn(x) = f(x)−p=n∑

p=0

fp(x0)

p!(x− x0)

p =f (n+1)(x0 + θ(x− x0))

(n+ 1)!(x− x0)

n+1

Donc, pour tout reel x element de l’intervalle ]x0 − ε, x0 + ε[ on obtient la majoration,

∣

∣

∣f(x)−

p=n∑

p=0

fp(x0)

p!(x− x0)

p∣

∣

∣< M

(2ε)n+1

(n+ 1)!

Ainsi, comme la suite(2ε)n

n!est le terme general d’une serie numerique convergente on en

deduit que la serie entiere de Taylor∑

n>0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n converge uniformement sur l’in-

tervalle ] − ε + x0, x0 + ε[ vers la fonction f(x). Donc, la fonction f(x) est developpable en

serie entiere sur un voisinage du point x0.

4.2.2 Exemples de fonctions developpables en serie entiere

1) La fonction exponentielle, x 7−→ ex

Notons que si pour un reel a > 0 on applique la formule de Mac-Laurain a la fonction

f(x) = ex sur le segment [−a, a] on deduit que pour tout reel x ∈ [a,−a] il existe un reel

θx ∈]0, 1[ tel que,

ex −p=n∑

p=0

xp

p!=

xn+1

(n+ 1)!eθxx =⇒ | ex −

p=n∑

p=0

xp

p!|6 an+1

(n+ 1)!ea.

Observons aussi que puisque la serie numerique∑

n>0

an

n!converge il en resulte que la suite

an

n!tend vers zero quand l’entier n tend vers l’infini, et donc la serie entiere

∑

n>0

xn

n!converge

uniformement sur le segment [−a, a] vers la fonction exponentielle ex i.e. :

∀x ∈ R, ex =∑

n>0

xn

n!

Le developpement en serie entiere de la fonction exponentielle nous permet de deduire le

developpement entiere des fonctions cosinus et sinus hyperboliques.



Observons que si on remplace x ∈ R par −x dans le developpement en serie entiere de

l’exponentielle, ex, on obtient le serie entiere

∀x ∈ R, e−x =∑

n>0

(−1)n

n!xn

Ainsi, comme les fonctions cosinus et sinus hyperboliques sont definies par

∀x ∈ R, Ch(x) =ex + e−x

2et Sh(x) =

ex − e−x

2

on voit donc que leurs developpement en series entieres sont donnees sur R par,

Ch(x) =∑

n>0

x2n

(2n)!

Sh(x) =∑

n>0

x2n+1

(2n + 1)!

Notons aussi que les series entieres reelles ci-dessus nous permettent de calculer la valeur

exacte des series numeriques convergentes suivantes :

∑

n>0

1

n!= e

∑

n>0

(−1)n

n!=

1

e

et

∑

n>0

1

(2n)!= Ch(1)

∑

n>0

1

(2n + 1)!= Sh(1)

2) La fonction, x 7−→ (1 + x)α

Fixons un reel α 6= 0 et pour tout reel x > −1 posons fα(x) = (1 + x)α. L’application

fα :] − 1,+∞[→ R+ est donc de classe C∞ et ses fonctions derivees d’ordre n > 1 sont

donnees par,

∀x > −1, f (n)α (x) = α(α − 1) · · · (α− n+ 1)(1 + x)α−n

Notons que la serie de Taylor associee a la fonction fα au point x = 0 a pour expression

1 +∑

n>1

α(α − 1) · · · (α− n+ 1)

n!xn

et que son rayon de convergence est egal a un. Par consequent, si pour tout reel x ∈]− 1, 1[

on pose,

gα(x) = 1 +∑

n>1

α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

n!xn

on obtient une fonction qui est de classe C∞ sur ]− 1, 1[.

Notons enfin que puisque les fonctions fα et gα sont des solutions particulieres de l’equation

diffrentielle ordinaire

(1 + x)y′(x) = αy(x) et y(0) = 1



la theorie des equations differentielles ordinaires implique qu’en effet pour tout x ∈]− 1, 1[ la

fonction fα = gα. D’ou le developpement en serie entieres,

∀x ∈]− 1, 1[, (1 + x)α = 1 +∑

n>1

α(α − 1) · · · (α− n+ 1)

n!xn

Le developpement en series entieres au voisinage de zero de la fonction (1+ x)α nous permet

de retrouver le developpement en serie entiere des fonctions suivantes sur ]− 1, 1[,

1

1 + x=

∑

n>0

(−1)nxn

1

1− x=

∑

n>0

xn

1

1 + x2=

∑

n>0

(−1)nx2n

Notons que si pour tout x ∈] − 1, 1[ on integre terme a terme les series precedentes entre

0 et x (i.e. on applique

∫ x

0dx) on obtient le developpement en serie entiere des fonctions

suivantes sur ]− 1, 1[,

Log(1 + x) =∑

n>1

(−1)n−1xn

n

Log(1− x) = −∑

n>1

xn

n

Arctg(x) =∑

n>0

(−1)nx2n+1

2n + 1

Notons que puisque le developpement en series entiere de Log(1 + x) et Arctg(x) convergent

au point x = −1 on en deduit la somme des series numeriques suivantes,

∑

n>1

(−1)n−1

n= Log(2) et

∑

n>0

(−1)n

2n + 1=

π

4

3) Les fonctions, x 7−→√1 + x et x 7−→ 1√

1 + x

Dans le developpement en serie entiere de la fonction (1+x)α si on prend α =1

2on en deduit

que

√1 + x = 1 +

x

2+∑

n>2

(−1)n−1 1.3.5 · · · (2n − 3)

2.4.6 · · · (2n) xn

et si on prend α = −1

2on obtient,

1√1 + x

= 1 +∑

n>1

(−1)n1.3.5 · · · (2n − 1)

2.4.6 · · · (2n) xn



4) La fonction, x 7−→ Arg sh(x)

Rappelons que la fonction Sh est inversible sur R et que sa fonction inverse est de classe C∞,

elle se note Arg sh : R → R. En derivant la relation Arg sh ◦ Sh(x) = x on en deduit que la

fonction derivee de Arg sh est egale a,

(

Arg sh)′(x) =

1√1 + x2

Donc, si dans le developpement en serie entiere de la fonction (1 + x)α on remplace x par x2

et on prend α = −1

2on obtient une serie entiere dont l’integration terme a terme nous donne

Arg sh(x) = x+∑

n>1

(−1)n1.3.5 · · · (2n− 1)

2.4.6 · · · (2n)x2n+1

2n+ 1

5) Les fonctions circulaires sin(x) et cos(x) et leurs fonctions inverses

Rappelons que les fonctions trigonometriques cos(x) et sin(x) sont de classe C∞ et que pour

tout entier n > 0 les fonctions derivees d’ordre n > 0

cos(n)(x) = cos(x+nπ

2) et sin(n)(x) = sin(x+

nπ

2)

sont bornees sur R. Donc, d’apres le corollaire 2 leurs series de Taylor calculees au point x = 0

convergent simplement sur R telles que pour tout x ∈ R,

cos(x) =∑

n>0

(−1)n

(2n)!x2n

sin(x) =∑

n>0

(−1)n

(2n+ 1)!x2n+1

Rappelons aussi que la fonction sin est inversible sur l’intervalle ]− π

2,π

2[ et sa fonction inverse

se note Arc sin :] − 1, 1[→ R. En effet, puisque la fonction sin est de classe C∞ son inverse

Arc sin est de classe C∞ et sa premiere fonction derivee est donnee par

(

Arc sin)′(x) =

1√1− x2

Ainsi, comme le developpement en serie entiere au voisinage de zero de la fonction1√

1− x2est donne par

1√1− x2

= 1 +∑

n>1

1.3.5 · · · (2n − 1)

2.4.6 · · · (2n) x2n

donc en l’integrant entre 0 et x on trouve le developpement en serie entiere de Arc sin au

voisinage de zero i.e. :

Arc sin(x) = x+∑

n>1

1.3.5 · · · (2n− 1)

2.4.6 · · · (2n)x2n+1

2n+ 1



Enfin, notons que puisque la fonction cos est inversible sur l’intervalle ]0, π[ et sa fonction

inverse Arc cos :]− 1, 1[→]0, π[ est liee avec la fonction Arc sin par l’equation

∀x ∈]− 1, 1[, Arc cos(x) =π

2−Arc sin(x)

on conclut donc le developpement en serie entiere de la fonction Arc cos est donnee au voisi-

nage de zero par,

Arc cos(x) =π

2− x−

∑

n>1

1.3.5 · · · (2n− 1)

2.4.6 · · · (2n)x2n+1

2n+ 1

Exercice 68. Developper en serie entiere les fonctions suivantes au voisinage de zero :

1.1

1− 2 cos(α)x+ x2,

1√1 + x+ x2

,x

1− ex.

2. Log(1 + x

1− x), Log(1− 2x cos(a) + x2),

Log(1− x)

1− x.

3. Arctg(1− x2

1 + x2

)

, Arctg( x sin(a)

1− x cos(a)

)

.

4. (x− tg(x)) cos(x), sin(Log(1 + x)).

Exercice 69. Pour tout reel a ∈ R touver le domaine de convergence simple et la somme

des series entieres reelles,

ga(x) =∑

n>0

cos(na)xn et hα(x) =∑

n>0

sin(na)xn

Exercice 70. Dans cet exercice on fixe deux reels positifs a, b > 0 avec a 6= b.

1) Calculer les coefficients cn du developpement en serie entiere de la fraction rationnelle,

f(x) =1

(1− ax)(1− bx), au voisinage de zero.

2) Calculer la somme de la serie entiere,∑

n>0

(cn)2xn.

Exercice 71. On definit sur R une fonction par l’expression, f(x) = ex2

∫ x

0e−t2dt.

1) Donner le developpement en serie entiere de la fonction g(x) = e−x2

.

2) En deduire le developpement en serie entiere de la fonction f(x).

3) Montrer qu’on a, f ′(x) = 2xf(x) + 1,∀x ∈ R.

4) Retrouver une ecriture simple du developpement en serie entiere de la fonction f(x).

Exercice 72. Pour tout reel x on pose f(x) =∑

n>0

xn+2

(n+ 1)(n + 2).

1) Calculer la somme de la derivee seconde, f”(x).

2) En deduire l’expression explicite de la fonction derivee f ′(x), et puis celle de f(x).

.

Exercice 73. Dans cet exercice on se propose de calculer l’integrale generalisee

∫ 1

0

Log(x)

x2 − 1dx.



1) En utilisant la serie entiere,∑

n>0

x2n, montrer que l’integrale generalisee

∫ 1

0

Log(x)

x2 − 1dx =

∑

n>0

1

(2n+ 1)2.

2) Pour tout entier n > 0 calculer les integrales simples definies In =

∫ π/2

0(sin(x))ndx.

3) En remarquant que l’integrale definie

∫ π/2

0arcsin(sin(x))dx =

π2

8; deduire que

∫ 1

0

Log(x)

x2 − 1dx =

π2

8et que

∑

n>0

1

n2=

π2

6

Exercice 74. Pour tout reel x 6= 0 on pose θ(x) = exp(− 1

x2) et θ(0) = 0.

1) Montrer que la fonction θ(x) est de classe C∞ au point x = 0.

2) Est-ce que la fonction θ(x) est developpable en serie entiere au voisinage de zero ?

Exercice 75. Soit α ∈ R. Pour tout reel x on pose

fα(x) =∑

n>0

e−n cos(nαx)

1) Montrer que les fonctions fα est de classe C∞ sur R et que pour tout entier k > 0 la

fonction derivee,

f (k)α (x) =

∑

n>0

e−nnkα cos(nαx+ kπ)

2) On suppose que le reel α 6 1. Montrer que pour tout reel x ∈ R et pour tout entier k > 0

on ak=n∑

k=0

∣

∣

∣

f(k)α (0)xk

k!

∣

∣

∣6

∑

n>0

enα|x|−n

En deduire que la fonction fα est developpable en serie entiere au voisinage de zero.

3) On suppose que le reel α > 1 et que la serie entiere de Taylor,k=n∑

k=0

f(k)α (0)xk

k!, a un rayon

de convergence R 6= 0. Montrer que pour tout reel x ∈ R tel que | x |< R on a

∑

k>0

∣

∣

∣

f(k)α (0)xk

k!

∣

∣

∣>

∑

n>0

enα|x|−n

En deduire que la fonction fα n’est pas developpable en serie entiere au voisinage de zero.

Exercice 76. 1) Calculer le rayon de convergence R de la serie entiere,∑

n>0

x3n

(3n)!.

2) Pour tout reel x ∈]−R,R[ on pose, S(x) =∑

n>0

x3n

(3n)!. Montrer que la fonction S(x) est solu-

tion d’une equation differentielle du second ordre qu’on determinera. En deduire l’expression

explicite de la fonction S(x).



4.3 Equations differentielles lineaires et les series entieres

Dans cette section, on se propose de trouver des solutions developpables en serie entiere pour

les equations differentielles ordinaires lineaires reelles de degre deux de type :

p(x)y”(x) + q(x)y′(x) + r(x)y(x) = 0

ou les coefficients p(x), q(x) et r(x) sont des fonctions donnees developpables en serie entiere

et y(x) est la fonction inconue.

4.3.1 Cas d’une equation differentielle reguliere

Dans ce paragraphe, on s’interesse au equations differentielles ordinaires lineaires reelles de

degre deux,

p(x)y”(x) + q(x)y′(x) + r(x)y(x) = 0

telles que au voisinage de x0 ∈ R on a p(x0) 6= 0 et r(x0) 6= 0. Ces d’equations differentielles

sont dites regulieres au point x0.

Theoreme 25. Une equation differentielle lineaire de degre deux reguliere au point x0,

p(x)y”(x) + q(x)y′(x) + r(x)y(x) = 0

possede une solution y(x) developpable en serie entiere au voisinage de x0 qui ne dependant

que des conditions initiales y(x0) et y′(x0).

Demonstration. D’abord notons que puisque la fonction p(x) est continue telle que p(x0) 6= 0

elle reste donc non nulle sur un voisinage de x0. Ainsi, dans cette preuve on pose pour x

proche de x0,

u(x) = −q(x)

p(x)et v(x) = −r(x)

p(x)

et on se propose de chercher les solutions developpables en serie entiere au voisinage de x0

pour l’equation differentielle “normalisee ” :

y”(x) = u(x)y′(x) + v(x)y(x)

Supposons que l’equation differentielle normalisee, y”(x) = u(x)y′(x)+v(x)y(x), possede une

solution developpable en serie entiere y(x) =∑

n>0

an(x−x0)n dont le rayon de convergence est

non nul. Donc, la solution y(x) est de classe C∞ et ses deux premieres derivees sont donnees

par,

y′(x) =∑

n>1

nan(x− x0)n−1 et y”(x) =

∑

n>2

n(n− 1)an(x− x0)n−2.

Notons aussi que puisque les fonctions p(x), q(x) et r(x) sont developpable en serie entieres

au voisinage du point x0, donc les fonctions u(x) et v(x) sont developpable en serie entieres

au voisinage du point x0. Posons pour tout reel x proche de x0,

u(x) =∑

n>0

un(x− x0)n et v(x) =

∑

n>0

vn(x− x0)n.


Equations differentielles lineaires et les series entieres 81

Puis, observons que si on porte les series entieres ci-dessus dans l’equation differentielle nor-

malisee y”(x) = u(x)y′(x) + v(x)y(x) on obtient le systeme suivant :

2a2 = a1u0 + a0v0

6a3 = 2a2u0 + a1u1 + a1v0 + a0v1

. . . = . . .

n(n− 1)an = (n− 1)an−1u0 + (n− 2)an−2u1 + · · ·+ a1un−2

+ an−2v0 + · · ·+ a1vn−2.

Maintenant, grace a ce systeme on voit que puisque les valeurs u0 = u(x0) et v0 = v(x0)

son connues il en resulte que la donnee des valeurs a0 = y(x0) et a1 = y′(x0) determinent

completement tous les coefficients an pour n > 2.

En pratique pour chercher une solution de l’equation differentielle regulere

p(x)y”(x) + q(x)y′(x) + r(x)y(x) = 0

qui soit developpable en serie entiere au voisinage de x0 on procede comme suit :

1. Pour determiner les coefficients an du developpement en serie entiere de la solution y(x)

de l’equation differentielle p(x)y”(x)+q(x)y′(x)+r(x)y(x) = 0 on procede comme dans

la preuve du theoreme precedente.

2. Ensuite, on doit calculer l’une des deux limites limn→+∞

∣

∣

∣

anan+1

∣

∣

∣ou lim

n→+∞n

√

| an | afin de

determiner le rayon de convergence de la serie entiere y(x) =∑

n>0

an(x− x0)n solution

de l’equation differentielle donnee.

Exemple 25. Cherchons une solution developable en series entiere au voisinage de zero pour

l’equation differentielle reguliere normalisee,

y”− xy′ − y = 0

Portons la serie entiere y(x) =∑

n>0

anxn et ses deux premieres derivees

y′(x) =∑

n>1

nanxn−1 =

∑

n>0

(n+ 1)an+1xn

y”(x) =∑

n>2

n(n− 1)anxn−2 =

∑

n>0

(n+ 2)(n + 1)an+2xn

dans l’equation differentielle y”− xy′ − y = 0.∑

n>0

(n + 2)(n + 1)an+2xn − x

∑

n>0

(n+ 1)an+1xn −

∑

n>0

anxn = 0

∑

n>0

(n+ 2)(n + 1)an+2xn −

∑

n>1

nanxn −

∑

n>0

anxn = 0

(2a2 − a0) +∑

n>1

((n+ 2)(n + 1)an+2 − nan − an)xn = 0

(2a2 − a0) +∑

n>1

(n+ 1)((n + 2)an+2 − an)xn = 0



Donc, si on compare les deux membres de la derniere ligne on obtient le systeme suivant :

a0 = y(0),

a1 = y′(0),

(n+ 2)an+2 = an, ∀n > 0

qui definit les an par une relation de recurrence grace a laquelle on obtient,

a2n−1 =a1

(2n− 1)(2n − 3) · · · 5.3a2n =

a0(2n)(2n − 2) · · · 4.2

Donc, la solution de l’equation differentielle y”−xy′−y = 0 possede une solution developpable

en serie entiere au voisinage de zero, y(x) = a0y1(x) + a1y2(x), ou

y1(x) =∑

n>0

x2n

(2n)(2n − 2) · · · 4.2

y2(x) =∑

n>1

x2n−1

(2n − 1)(2n − 3) · · · 5.3

sont des series entieres dont le rayon de convergence est infini.

Exercice 77. Montrer que chacune des equations differentielles suivantes admet une solution

developpable en serie entiere au voisinage de zero :

1. y”− xy = 0 ;

2. y”− 2xy′ + 2ny = 0 avec nN ;

3. y”− x2y′ − y = 0 ;

4. (x2 + 1)y”− xy′ − y = 0 ;

5. (1− x2)y”− xy′ + a2y = 0.

Exercice 78. Pour tout reel θ on se propose de calculer la somme de la serie entiere

∑

n>1

sin(nθ)

n!xn

1) Determiner le rayon de convergence de la serie entiere∑

n>1

sin(nθ)

n!xn.

2) Montrer que la fonction y(x) qui coıncide avec la serie entiere∑

n>1

sin(nθ)

n!xn sur son

domaine de convergence est solution de l’equation differentielle

y”− 2 cos(θ)y′ + y = 0 avec y(0) = 0 et y′(0) = sin(θ)

3) Determiner l’expression explicite de la fonction y(x).

Exercice 79. Soit α ∈ R. Dans R on considere l’equation differentielle ordinaire Eα,

(1 + x2)y”(x) + xy′(x)− α2y(x) = 0



1) Montrer que l’equation differentielle Eα possede une solution d’eveloppable en serie entiere

au voisinage de zero dont le rayon de convergence est non nul.

2) Verifier que la fonction, fα(x) =(

x+√1 + x2

)α, est solution de l’equation differentielle

Eα.

3) En deduire que la fonction fα est d’eveloppable en serie entiere au voisinage de zero.

4.3.2 Cas d’une equation differntielle singuliere

Definition 13. On dira que l’equation differentielle ordinaire de degre deux,

p(x)y” + q(x)y′(x) + r(x)y(x) = 0

presente une singularite d’ordre m ∈ N∗ au point x0 ∈ R si

q(x0) 6= 0, r(x0) 6= 0, p(x0) = p′(x0) = · · · = p(m)(x0) = 0 et p(m+1)(x0) 6= 0.

Le theoreme suivant nous donnera une methode pratique qui permet de trouver les solutions

de l’equation differentielle singulaire, p(x)y”+q(x)y′(x)+r(x)y(x) = 0, qui sont developpables

en series entieres au voisinage d’une singularite x0.

Theoreme 26. Soient p(x), q(x) et r(x) des fonctions developpables en serie entiere au

voisinage de x0 ∈ R. Si l’equation differentielle lineaire de degre deux,

p(x)y”(x) + q(x)y′(x) + r(x)y(x) = 0

presente une singularite d’ordre m > 0 au point x0 alors elle possede une solution developpable

en serie entiere au voisinage de x0 qui est de la forme,

y(x) = xσ∑

n>0

an(x− x0)n, ou σ ∈ R

Demonstration. On procede de la meme facon que dans le cas d’une equation differentielle

reguliere.

Le reste de ce paragraphe sera consacre a la cherche des solutions developpables en series

entieres de l’equation differentielle de Bessel d’indice a ∈ R,

x2y”(x) + xy′(x) + (x2 − a2)y(x) = 0.

Notons que l’equation differentielle de Bessel d’indce, a ∈ R, presente une singularite d’ordre

m = 2 au point x0 = 0. Donc, d’apres le theoreme 6, pour chercher une solution de l’equation

diffirentielle de Bessel qui soit developpable serie entiere il suffit qu’on porte la fonction

y(x) = xσ∑

n>0

anxn telle que y(0) = a0 6= 0

et ses deux premieres derivees,

y′(x) =∑

n>0

(n+ σ)anxn+σ−1 et y”(x) =

∑

n>0

(n+ σ)(n+ σ − 1)anxn+σ−2



dans l’equation differentielle de Bessel x2y”(x) + xy′(x) + (x2 − a2)y(x) = 0.

∑

n>0

(n+ σ)(n + σ − 1)anxn+σ +

∑

n>0

(n+ σ)anxn+σ +

∑

n>0

anxn+σ+2 − a2

∑

n>0

anxn+σ = 0

∑

n>0

(n+ σ)(n + σ − 1)anxn+σ +

∑

n>0

(n+ σ)anxn+σ +

∑

n>2

an−2xn+σ − a2

∑

n>0

anxn+σ = 0

(σ2 − a2)a0xσ + ((1 + σ)2 − a2)a1x

σ+1 +∑

n>2

(((n + σ)2 − a2)an + an−2)xn+σ = 0

Ainsi, en comparant les deux membre de la derniere ligne on obtient le systeme suivant :

(σ2 − a2)a0 = 0

((σ + 1)2 − a2)a1 = 0

((σ + n)2 − a2)an + an−2 = 0,∀n > 2

Notons que puisque le coefficient a0 6= 0 il s’ensuit que le nombre reel inconnu σ = ±a et que

a1 = 0. Ainsi, si le parametre inconnu σ = −a 6∈ N la relation recurrente

((σ+n)2−a2)an = −an−2 ⇐⇒ an =−an−2

(σ + a+ n)(σ − a+ n)⇐⇒ an =

−an−2

n(n− 2a)

nous permet de voir que pour tout entier n > 0,

a2n+1 = 0 et a2n = (−1)na0

22nn!(−a+ 1)(−a+ 2) · · · (−a+ n)

Par contre si le parametre inconnu σ = a 6∈ N on aura pour tout entier n,

an =−an−2

(σ + a+ n)(σ − a+ n)⇐⇒ an−2 =

−an−2

n(n+ 2a)

et donc

a2n+1 = 0 et a2n = (−1)na0

22nn!(a+ 1)(a + 2) · · · (a+ n).

Donc, consequence de ce qui precede, on conclut que si le reel a 6∈ N alors l’equation diffe-

rentielle de Bessel, x2y” + xy′ + (x2 − a2)y = 0, admet deux solutions developpables en serie

entiere au voisinage de x0 = 0 qui sont independantes et sont donnees par les expressions :

Ja(x) = xa∑

n>0

(−1)nx2n

22nn!(−a+ 1)(−a+ 2) · · · (−a+ n),

J−a(x) = x−a∑

n>0

(−1)nx2n

22nn!(a+ 1)(a+ 2) · · · (a+ n).

Si a 6∈ Z on demontre que le couple de fonctions Ja(x) et J−a(x) est un systeme fondamental de

solutions de l’equation differentielle de Bessel. C’est-a-dire, toute solution J(x) de l’equation

de Bessel s’ecrit sous la forme

J(x) = αJa(x) + βJ−a(x) avec α, β ∈ R



Si l’indice a = m ∈ N, en procedant comme ci-dessus, on voit que l’equation de Bessel admet

une seule solution developpable en serie entiere donnee par l’expression,

Jm(x) = xm∑

n>0

(−1)nx2n

22nn!(m+ 1)(m+ 2) · · · (m+ n)=

∑

n>0

m!

22nn!(n+m)!x2n+m.

Enfin, notons que les fonctions Ja(x) et J−a(x) solution de l’equation de Bessel avec a 6∈ N

s’appellent fonctions de Bessel d’indice non entier, tandis que la fonction Jm(x) s’appelle

fonction de Bessel d’indice entier m ∈ N. Lorsque l’indice a = −m avec m ∈ N∗ on demontre

que l’equation de Bessel possede une solution J−m(x) = (−1)mJm(x).

Exercice 80. On suppose que la fonction f(x) =∑

n>0

anxn est solution de l’equation diffe-

rentielle 4xy” + 2y′ + y = 0 avec la condition initiale y(0) = 1.

1) Trouver l’expression du terme general an.

2) Determiner le rayon de convergence de la serie f(x) =∑

n>0

anxn et calculer sa somme au

moyen des fonctions elementaires.

Exercice 81. Etudier l’existence d’une solution developpable en serie entiere au voisinage

de x0 = 1 (resp. x0 = −1) de l’equation differentielle (1 − x2)y” − xy′ + a2y = 0 avec a ∈ R

est un parametre.


de x0 = 0 de l’equation differentielle xy” + y′ + xy = 0.


de x0 = 0 de l’equation differentielle xy” + (1− x)y′ + ay = 0 ou a ∈ R∗.


Chapitre Cinq

Les series de Fourier

5.1 Series trigonometriques

5.1.1 Definition et proprietes

Definition 14. Soient an et bn deux suites de nombres reels et ω ∈ R∗+. La serie de fonctions

de terme general, un(x) = an cos(nωx) + bn sin(nωx), s’appelle serie trigonometrique reelle.

Les series trigonometriques reelles sont donc une forme particuliere des series de fonctions

dont l’etude complete est deja developpee dans le chapitre 3. Par exemple, grace au theoreme

de Weierstrass (cf. chp. 3) on deduit qu’on a la proposition suivante,


n>0

| an | et∑

n>0

| bn | convergent, alors la

serie trigonometrique∑

n>0

(an cos(nωx)+ bn sin(nωx)) converge uniformement sur R vers une

fonction qui est continue et2π

ω-periodique.

De meme, grace au theoreme d’Abel pour les series de fonctions (cf. chp. 3) on deduit qu’on

a la proposition suivante,


n>0

| an − an+1 | et∑

n>0

| bn − bn+1 | convergent,

alors la serie trigonometrique∑

n>0

(an cos(nωx)+bn sin(nωx)) converge uniformement sur tout

intervalle de type [α,2π

ω− α] avec α ∈]0, π

ω[.

Corollaire 15. Si les suites an et bn sont positives et tendent vers zero en decroissant,

alors la serie trigonometrique∑

n>0

(an cos(nωx) + bn sin(nωx)) converge uniformement sur les

intervalles de type [α,2π

ω− α] avec α ∈]0, π

ω[.

Exemple 26. 1) Soit α ∈]0, π[. Rappelons que pour tout reel x element du segment [α, 2π −

α] la suite des sommes partielles, |k=n∑

k=1

sin(kx) |6 1

sin(α/2), est bornee. Donc, comme la


Series trigonometriques 87

suite numerqiue1

ntend vers zero en decroissant le theoreme d’Abel implique que la serie

trigonometrique∑

n>1

sin(nx)

nconverge uniformement sur le segment [α, 2π − α].

2) Pour tout reel ω la serie trigonometrique∑

n>0

cos(nωx)

n2 + n+ 1converge normalement (donc

uniformement) sur R parce que pour tout entier n > 1, | cos(nωx)

n2 + n+ 1|6 1

n2, et on sait que la

serie numerique de Riemann∑

n>1

1

n2est convergente.

5.1.2 Coefficients de Fourier d’une serie trigonometrique

Dans ce paragraphe on suppose que la serie trigonometrique

∀x ∈ R, f(x) =a02

+∑

n>1

(an cos(nωx) + bn sin(nωx))

converge uniformement sur R, donc sa somme definit sur R une fonction continue et T-

periodique avec T =2π

ω.

Lemme 3. Si T =2π

ωalors pour tous les entiers n et m ∈ N on a les formules suivantes,

1.

∫ T

0cos(nωt) sin(nωt)dt = 0 ;

2.

∫ T

0cos(nωt) cos(nωt)dt =

∫ T

0sin(nωt) sin(nωt)dt =

T

2;

3.

∫ T

0cos(nωt) sin(mωt)dt =

∫ T

0sin(nωt) sin(mωt)dt =

∫ T

0cos(nωt) cos(mωt)dt = 0.

Notons que puisque la serie trigonometrique de somme f(x) converge uniformement sur la

periode [0,T], le theoreme d’integration nous permet decrire que pour tout entier naturel

m > 0 :∫ T

0f(t) cos(mωt)dt =

a02

∫ T

0cos(mωx)dx+

∑

n>1

an

∫ T

0cos(nωt) cos(mωt)dt

+∑

n>1

bn

∫ T

0sin(nωt) cos(mωt)dt

et que∫ T

0f(t) sin(mωt)dt =

a02

∫ T

0sin(mωx)dx+

∑

n>1

an

∫ T

0cos(nωt) sin(mωt)dt

+∑

n>1

bn

∫ T

0sin(nωt) sin(mωt)dt]

Ainsi, grace aux formules du lemme precedent on conclut que pour tout entier n > 0 les

coefficients de la serie trigonometrique de somme f(x) sont donnes par les expressions :

an =2

T

∫ T

0f(t) cos(nωt)dt

bn =2

T

∫ T

0f(t) sin(nωt)dt


88 Les series de Fourier

Exemple 27. Soit f(z) =∑

n>0

anzn la somme d’une serie entiere dont le rayon de convergence

R > 0. Notons que pour tout reel r < R la restriction de la fonction f(z) sur un cercle centre a

l’origine et de le rayon r < R induit des series trigonometriques qui convergent uniformement

sur [0, 2π].

En effet, si pour tout entier n > 0 on pose an = αn+ iβn on voit que pour tout reel 0 < r < R

et pour reel θ ∈ [0, 2π] la serie numerique∑

n>0

anrneinθ converge absolument. Donc, en tant

que fonctions de θ, les parties reelle et imaginaire

ℜ(f(reiθ)) =∑

n>0

(αn cos(nθ)− βn sin(nθ))rn

ℑ(f(reiθ)) =∑

n>0

(αn sin(nθ) + βn cos(nθ))rn

convergent normalement sur le segment [0, 2π] vers des fonctions continues et 2π-periodiques.

Ainsi, par exemple, si on considere la serie entiere dont la somme

1 + z

1− z= 1 + 2

∑

n>1

zn

on en deduit que pour tout reel, 0 < r < 1, les series trigonometriques

fr(θ) =1− r2

1− 2r cos(θ) + r2= 1 + 2

∑

n>1

rn cos(nθ)

gr(θ) =r sin(θ)

1− 2r cos(θ) + r2=

∑

n>1

rn sin(nθ)

convergent uniformement.

Les coifficients de Fourier de fr(θ) et gr(θ) sont donc donnes par les expressions suivantes,{

an(fr) = 2rn

bn(fr) = 0et

{

an(gr) = 0

bn(gr) = rn

5.2 Serie de Fourier associee a une fonction periodique

Dans cette section, etant donnee une fonction f : R → R qui est T-periodique et integrable

au sens de Riemann sur le segment [0,T] nous allons lui associer une serie trigonometrqiue

reelle que l’on appelle serie de Fourier et dont la convergence sera etudiee dans la prochaine

section.

5.2.1 Coefficients de Fourier d’une fonction periodique

Definition 15. Soit f : R → R une fonction T-periodique. Si f est integrable sur le segment

[0,T] on definit les coefficients de Fourier de f par les formules suivantes,

an =2

T

∫ T

0f(t) cos(nωt)dt, ∀n > 0 (5.1)

bn =2

T

∫ T

0f(t) sin(nωt)dt, ∀n > 1 (5.2)


Serie de Fourier associee a une fonction periodique 89

La serie trigonometrique definit par l’expression suivante

a02

+∑

n>1

(an cos(nωx) + bn sin(nωx)) (5.3)

s’appelle serie de Fourier associee a la fonction periodique f .

Proposition 17. Si f : R → R est une fonction T-periodique paire (resp. impaire) et inte-

grable sur [0,T] alors ses coefficients de Fourier bn = 0 (resp. an = 0).

Dans la section 3, nous allons etudier la question de convergence de la serie de Fourier

associee a une fonction periodique et nous demontrerons le theoreme Dirichlet qui donnera

les conditions suffisantes pour que la serie de Fourier converge.

Notons que les coifficients de Fourier de la fonction f peuvent etre exprimes par les nombres

complexes en posant,

c0 =a02, cn =

an − ibn2

et c−n =an + ibn

2∀n ∈ N

∗

En utilisant les expressions integrales des coefficients de Fourier reels on deduit que les coif-

ficinets de Fourie complexes peuvent etre calcules par l’integrale simple complexe suivante

cn =1

T

∫ T

0f(x)e−inωxdx,∀n ∈ Z. (5.4)

Notons que la somme partielle de la serie de Fourier peut etre exprimee en fonction des

coeffients de Fourier complexes comme suit,

Sn(x) =a02

+

k=n∑

k=1

(ak cos(kωx) + bk sin(kωx)) =

k=n∑

k=−n

ckeikωx.

on en deduit donc que la serie de Fourier associee a la fonction T-periodique f prend la forme

suivante,

a02

+∑

n>1

(an cos(nωx) + bn sin(nωx)) =n=+∞∑

n=−∞cne

inωx. (5.5)

Nous avons introduit les coefficients de Fourier complexes parce que ils se calculent plus

rapidement que les coefficients reels dans certaines situations particulieres comme nous allons

le voir ci-dessous sur certaines fonctions T-periodiques.

5.2.2 Exemples classiques de series de Fourier

a) Prolongement d’une fonction par periodecite

Soit T > 0 un reel fixe. Etant donnee une fonctions f : [0,T] → R on pourra la prolonger sur

R en une fonction T-periodique en posant,

F(x) = f(x− nT), ∀n ∈ Z, ∀x ∈ [nT, (n+ 1)T]



Figure 5.1 – Le graphe de la fonction 1-periodique qui prolonge x2 sur R

Donc, si la fonction f est integrable sur [0,T] son prologement F sur R est donc integrable

sur tous les segments de R de longueur T, et donc on peut lui associer une serie de Fourier.

De meme, si on se donne une fonction f : [0,T/2] → R sur R en une fonction T-periodique

et qui soit paire ; pour cela il suffit qu’on pose

Fp(−x) = Fp(x) = f(x− nT) ∀x ∈ [nT, (n+1

2)T], ∀n ∈ Z

Figure 5.2 – Le graphe de la fonction 2-periodique paire qui prolonge x2 sur R

Notons que puisque le prolognement Fp de f sur R est paire ses coifficients de Fourier bn

seront nuls et sa serie de Fourier ne contient que des termes en cosinus i.e. :

a02

+∑

n>1

an cos(2πnx

T) ou an =

4

T

∫ T/2

0f(x) cos(

2πnx

T)dx

Dans ce cas on dira que la fonction f : [0,T/2] → R est developpee en serie de Fourier de

cosinus.

Enfin, notons qu’une fonction f : [0,T/2] → R peut etre prolongee sur R en une fonction qui

soit T-periodique et impaire ; pour cela il suffit qu’on pose

−Fi(−x) = Fi(x) = f(x− nT) ∀x ∈ [nT, (n+1

2)T], ∀n ∈ Z

Puisque le prolognement Fip de f sur R est impaire ses coifficients de Fourier an seront nuls

et sa serie de Fourier ne contient que des termes en sinus i.e. :

∑

n>1

bn sin(2πnx

T) ou bn =

4

T

∫ T/2

0f(x) sin(

2πnx

T)dx



Figure 5.3 – Le graphe de la fonction 2-periodique impaire qui prolonge x2 sur R

Dans ce cas on dira que la fonction f : [0,T/2] → R est developpee en serie de Fourier de

sinus.

b) Coiffecients de Fourier de la fonction 2π-periodique x 7−→ eax

Soit a ∈ R∗ est un reel fixe. Calculons les coefficients de Fourier de la fonction 2π-periodique

f : R → R qui prend sur la periode [0, 2π] la valeur f(x) = eax.

Figure 5.4 – Le graphe de la fonction 2π-periodique e−x/2π

Pour calculer les coefficients de Fourier an et bn de la fonction f nous allons calculer ses

coefficients de Fourier complexes qui sont donnes par l’integrale simple complexe,

cn =1

2π

∫ 2π

0f(x)e−inxdx =

1

2π

∫ 2π

0eax−inxdx

=[ 1

2π

e(a−in)x

a− in

]2π

0

=1

2π(e2πa

a− in− 1

a− in) =

1

2π

(e2πa − 1)(a+ in)

a2 + n2=

an − ibn2

.

En consequence de ce calcul, on voit que les coefficients de Fourier reels de la fonction f sont

donnes par a0 =e2πa − 1

πaet si n > 1

an =a(e2πa − 1)

π(a2 + n2)et bn = −n(e2πa − 1)

π(a2 + n2).

La serie de Fourier associee a la fonction eax est donc donnee par la somme

(e2πa − 1)

2πa+

1

π

∑

n>1

(e2πa − 1)

a2 + n2(a cos(nx)− n sin(nx))



b) Coiffecients de Fourier de la fonction x 7−→ cos(λx)

Soit λ 6∈ Z est un reel fixe. Calculons les coefficients de Fourier de la fonction 2π-periodique

qui coıncide avec la fonction g(x) = cos(λx) sur [0, 2π].

Figure 5.5 – Le graphe de la fonction 2π-periodique cos(0.75x)

Pour calculer les coefficients de Fourier de la fonction g nous allons calculer ses coefficients

de Fourier complexes en procedant par integration par partie.

cn =1

2π

∫ 2π

0g(x)e−inxdx =

1

2π

∫ 2π

0cos(λx)e−inxdx

=[sin(λx)

2πλe−inx

]2π

0− 1

2π

∫ 2π

0

−in sin(λx)

λe−inxdx

=sin(2λπ)

2πλ+

in

2πλ

([− cos(λx)

λe−inx

]2π

0−

∫ 2π

0

in cos(λx

λe−inxdx

)

=sin(2λπ)

2πλ+

in

2πλ2(1− cos(2πλ) +

n2

λ2cn

De la derniere linge de ce calcul on deduit que a0 =sin(2λπ)

πλet que pour tout entier n > 1,

cn =λ2

λ2 − n2(sin(2λπ)

2πλ+

in

2πλ2(1− cos(2πλ)) =

an − ibn2

Donc, les coefficients de Fourier de la fonction 2π-periodique definit sur [0, 2π] par cos(λx)

sont donnes par,

an =λ sin(2πλ)

π(λ2 − n2)et bn = −n(1− cos(2πλ))

π(λ2 − n2)

La serie de Fourier associee a la fonction 2π-periodique cos(λx) a pour expression :

sin(2πλ)

2πλ+

∑

n>1

λ sin(2πλ) cos(nx)− n(1− cos(2πλ)) sin(nx)

π(λ2 − n2)

c) Coiffecients de Fourier d’une fonction constante par morceaux

Calculons les coefficients de Fourier de la fonction impaire T-periodique qui coıncide avec la

fonction h(x) = 1 sur l’intervalle ]0,T/2].



Figure 5.6 – Le graphe d’une fonction impaire 2π-periodique et constante

Puisque la fonction h(x) est impaire on deduit que pour tout entier n ∈ N, an = 0. Tandis

que les coefficients bn se calculent par integration par partie comme suit :

bn =2

T

∫ T

0h(x) sin(

2πnx

T)dx

=2

T

∫ T/2

−T/2h(x) sin(

2πnx

T)dx =

4

T

∫ T/2

0h(x) sin(

2πnx

T)dx

=4

T

∫ T/2

0sin(

2πnx

T)dx =

4

T

[−T

2nπcos(

2πnx

T)]T/2

0=

2

π(1

n− (−1)n

n).

Les coefficients de Fourier de la fonction h(x) sont finalement donnes par les expressions :

∀n ∈ N, an = 0, ∀n > 1, b2n = 0 et ∀n > 0, b2n+1 =4

(2n + 1)π.

Ainsi, en consequence du calcul precedent on conclut que la serie de Fourier associee a la

fonction 2π-periodique impaire egale a un sur [0, π] est donnee par l’expression

4

π

∑

n>0

sin((2n + 1)x)

2n + 1

Exercice 84. Donner le developpement en serie de Fourier en sinus (resp. cosinus) des

fonctions 2π-periodiques suivantes :

f(x) = x, g(x) = x2, h(x) = π − x, k(x) = x(π − x), ∀x ∈ [0, π].

Exercice 85. 1) Donner le developpement en serie de Fourier en cosinus de la fonction

2π-periodique

f(x) = sin(x), ∀x ∈ [0, π]

2) Donner le developpement en serie de Fourier en sinus de la fonction 2π-periodique

g(x) = cos(x), ∀x ∈ [0, π]

Exercice 86. Soit T > 0. Pour tout couple de nombres reels a et b on definit une fonction

F : R → R T-periodique par les expressions,

F(x) =

0 si −T/2 6 x < −T/4

1 si −T/4 < x < T/4

a si T/4 < x < T/2

b si x = −T/4 ou x = T/4.



1) Tracer le graphe de la fonction F.

2) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction T-periodique F.

Exercice 87. Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f : R → R 2π-periodique

definie par,

f(x) =

{

0 si −π < x < 0

x2 si 0 < x < π.

5.3 Probleme de convergence des series de Fourier

Rappelons que dans la section precedente a la donnee d’une fonction T-periodique f : R → R

nous lui avons associe la serie de Fourier suivante

a02

+∑

n>1

(an cos(nωx) + bn sin(nωx)) =

n=+∞∑

n=−∞cne

inωx

sans s’interesser a sa convergence. En effet, c’est dans cette section qu’on se propose d’etudier

la convergence d’une serie de Fourier et calculera aussi sa limite s’imple.

Pour regler ces qusetions nous allons suivre la methode de Dirichlet qui permet d’ecrire la

somme partielle d’une serie de Fourier sous la fomre d’une integrale simple definie qui depend

de la fonction periodique donnee et d’une fonction remarquable appelee noyau de Dirichlet.

Ensuit, c’est grace au noyau de Dirichlet que nous degagerons les conditions suffantes qui

assureront la convergence de la serie de Fourier vers la fonction periodique donnee au depart.

5.3.1 Convergence des coefficients de Fourier

Lemme 4 (Lebesgue). Soit f : [a, b] → R une fonction bornee et integrable au sens de

Riemann. Alors les fonctions definient par les integrales suivantes,

C(λ) =

∫ b

af(t) cos(λt)dt et S(λ) =

∫ b

af(t) sin(λt)dt

tendent vers zero quand le reel λ tend vers l’infini.

Demonstration. Admise.

Corollaire 16. Si f : R → R est une fonction T-periodique integrable sur [0,T] alors ses

coefficients de Fourier an et bn tendent vers zero a l’infini i.e. :

limn→+∞

an = limn→+∞

2

T

∫ T

0f(t) cos(nωt)dt = 0

et

limn→+∞

bn = limn→+∞

2

T

∫ T

0f(t) sin(nωt)dt = 0

Exercice 88. Soit f : R → R une fonction 2π-periodique et de classe Ck sur ]0, 2π[ avec

k > 1.


Probleme de convergence des series de Fourier 95

1) Demontrer que pour tout entier n > 1 le module des coefficients de Fourier complexes de

f est donne par,

| cn(f) |=| cn(f (k)) |

nket que | cn(f) |6

1

2πnk

∫ 2π

0| f (k)(t) | dt

2) En deduire que les coefficients de Fourier de la fonction f tendent vers zero plus rapidement

que la suite numerique1

nk.

3) Demontrer que si f est de classe C2 alors la serie de Fourier de f converge normalement.

5.3.2 Theoreme de convergence de Dirichlet

Soit f une fonction T-periodique. Notons que si dans la somme partielle d’ordre n > 0 de la

serie de Fourier associee a f on remplace les coefficients de Fourier conplexes ck de la fonction

f par leurs expressions integrale on obtient,

Sn(x) =

k=n∑

k=−n

ckeikωx

=

k=n∑

k=−n

( 1

T

∫ T

0f(t)e−ikωtdt

)

eikωx

=1

T

∫ T

0f(t)

(

k=n∑

k=−n

eikω(x−t))

dt.

Dans la suite pour tout entier n ∈ N et pour tout reel t 6∈ 2π

ωZ posons

Dn(t) :=

k=n∑

k=−n

eikωt = e−inωt 1− ei(2n+1)ωt

1− eiωt

=e−i(n+

1

2)ωt

− ei(n+

1

2)ωt

e−iωt

2 − e

iωt

2

=sin((n+

1

2)ωt)

sin(ωt

2)

Ainsi, avec ces notations on deduit que la somme partielle Sn(x) de la serie de Fourier de

f(x) prend la forme integrale suivante,

Sn(x) =1

T

∫ T

0f(t)Dn(x− t)dt =

1

T

∫ T

0f(x+ t)Dn(t)dt. (5.6)

Definition 16. Pour tout entier n ∈ N la fonction periodique definit par l’expression suivante

Dn(t) =k=n∑

k=−n

eikωt =sin((n +

1

2)ωt)

sin(ωt

2)

s’appelle nieme noyau de Dirichlet.



La suite Dn(t) des noyaux de Dirichet possede des proprietes remarquables que nous resume-

rons dans la proposition suivante.

Proposition 18. Le noyau de dirichlet Dn(x) verifie les proprietes suivantes :

1. L’integrale simple,1

T

∫ T

0Dn(t)dt = 1.

2. Si f est une fonction T-periodique alors la somme partielle d’ordre n > 0 de sa serie

de Fourier est donnee par l’integrale simple

Sn(x) =1

T

∫ T/2

0(f(x+ t) + f(x− t))Dn(t)dt

Demonstration. 1) Observer que puisque pour tout entier k 6= 0 l’integrale definie

∫ T

0e−kiωtdt

est nulle il s’ensuit que1

T

∫ T

0Dn(t)dt = 1.

2) Observer aussi que si on ecrit la somme partielle Sn(x) en utilisant l’expression integrale

donnee par (5.6) la periodicite de la fonction f(x) et du noyau Dn(x) nous permet d’exprimer

Sn(x) par une integrale simple etendue que sur [0,T/2] :

Sn(x) =1

T

∫ T

0f(x+ t)Dn(t)dt =

1

T

∫ T/2

−T/2f(x+ t)Dn(t)dt

=1

T

∫ T/2

0f(x+ t)Dn(t)dt+

1

T

∫ 0

−T/2f(x+ t)Dn(t)dx

=1

T

∫ T/2

0f(x+ t)Dn(t)dt+

1

T

∫ T/2

0f(x− t)Dn(t)dx

=1

T

∫ T/2

0(f(x+ t) + f(x− t))Dn(t)dt.

Theoreme 27 (Theoreme de Dirichlet). Soit f : R → R une fonction T-periodique integrable

sur le segment [0,T] et qui verifie en plus les conditions suivantes dites de Dirichlet :

1. sur l’intervalle [0,T] la fonction f(x) est discontinue seulement sur un ensemble fini de

points 0 6 x1 < x2 < · · · < xn 6 T ;

2. la fonction f(x) est derivable sur les intervalles ouvert ]xi, xi+1[⊂ [0,T] ;

3. la fonction f(x) admet des derivees a gauche et a droite en chaque point xi.

Alors, la serie de Fourier de la fonction f(x) converge simplement vers la fonction

∀x ∈ R,f(x+) + f(x−)

2=

a02

+∑

n>1

(an cos(nωx) + bn sin(nωx)),

ou f(x+) (resp. f(x−)) designe la limite a droite (resp. la limite a gauche) de la fonction

f(x) au point x ∈ R.



Demonstration. Pour calculer la somme de la serie de Fourier associee a une fonction f qui

est T-periodique et verifiants les conditions de Dirichlet nous allons etudier la limite simple

de la suite de fonctions

Sn(x)−f(x+) + f(x−)

2

tout en utilisant l’expression integrale de la somme pertielle (cf (5))

Sn(x) =1

T

∫ T/2

0(f(x+ t) + f(x− t))Dn(t)dt

Notons que puisque le noyau de Dirichlet Dn(x) est T-periodique et paire son integrale sur

la moitie de la periode est egale a1

T

∫ T/2

0Dn(t)dt =

1

2. Ainsi, on voit que pour toute entier

n on peut ecrire :

Sn(x)−f(x+) + f(x−)

2=

1

T

∫ T/2

0(f(x+ t)− f(x+))Dn(t)dt

+1

T

∫ T/2

0(f(x− t)− f(x−))Dn(t)dt

Observons que si F+x et F−

x : [0,T/2] → R designent les fonctions definies respectivement par

les expressions suivantes :

F+x (t) =

f(x+ t)− f(x+)

t

t

sin(ωt

2)

et F−x (t) =

f(x− t)− f(x−)t

t

sin(ωt

2)

on voit que la difference

Sn(x)−f(x+) + f(x−)

2=

1

T

∫ T/2

0F+x (t) sin(

(2n + 1)ωt

2)dt

+1

T

∫ T/2

0F−x (t) sin(

(2n + 1)ωt

2)dt

Ainsi, puisque les fonctions F+x et F−

x sont bornees et integrables sur le segments [0,T/2] le

lemme de Lebesgue (ou son corollaire 4) implique que

limn→+∞

1

T

∫ T/2

0F+x (t) sin(

(2n + 1)ωt

2)dt = 0

et

limn→+∞

1

T

∫ T/2

0F−x (t) sin(

(2n + 1)ωt

2)dt = 0

Par consequent, pour tout x ∈ R la serie de Fourier associee a la fonction T-periodique f(x)

converge vers limn→+∞

Sn(x) =f(x+) + f(x−)

2=

a02

+∑

n>1

(an cos(nωx) + bn sin(nωx)).

Corollaire 17. Si f : R → R est une fonction T-periodique continue et derivable par mor-

ceaux sur [0,T] alors pour tout reel x ∈ R,

f(x) =a02

+∑

n>1

(an cos(nωx) + bn sin(nωx)).



Le theoreme de Dirichlet nous permet de calculer la somme de toutes les series de Fourier

que nous avons etudie dans le paragraphe 2.2.

Exemple 28. 1) Rappelons qu’au paragraphe 2.2.1, pour tout reel a 6= 0 nous avons deter-

mine la serie de Fourier associee a la fonction 2π-periodique qui coıncide avec eax sur ]0, 2π[,

si on lui applique le theoreme de Dirichlet on conclut que

eax =(e2πa − 1)

2πa+

1

π

∑

n>1

(e2πa − 1)

a2 + n2(a cos(nx)− n sin(nx)), ∀x ∈]0, 2π[ (5.7)

Notons que si on porte x = 0 dans cette serie de Fourier on deduit la somme suivante

e2πa − 1

2πa+

a

π

∑

n>1

e2πa − 1

a2 + n2=

1 + e2πa

2, ∀a ∈ R

∗

a partir de laquelle on deduit aussi que pour tout reel a 6= 0,

πacoth(πa) = 1 + 2a2∑

n>1

1

n2 + a2(5.8)

Observons aussi que si dans la serie de Fourier de eax on porte x = π on obtient la somme

suivanteeaπ

e2aπ − 1=

1

2πa+

a

π

∑

n>1

(−1)n

n2 + a2

qui est equivalente a l’expression suivante,

aπ

Sh(aπ)= 1 + 2a2

∑

n>1

(−1)n

n2 + a2(5.9)

2) Si on applique le theoreme de Dirichlet a la serie de Fouriee assocee a la fonction 2π-

periodique qui coıncide avec la fonction cos(λx) sur [0, 2π] (cf. 2.2.2) on obtient pour tout

reel x ∈]0, 2π[,

cos(λx) =sin(2πλ)

2πλ+

∑

n>1

λ sin(2πλ) cos(nx)− n(1− cos(πλ)) sin(nx)

π(λ2 − n2)

Pour x = 0 le theoreme de Dirichlet nous permet de deduire que la somme

1 + cos(2πλ)

2=

sin(2πλ)

2πλ+

λ sin(2πλ)

π

∑

n>1

1

λ2 − n2

qui nous permet de voir que pour tout reel λ 6∈ Z on a la somme

πλcotg(πλ) = 1 + 2λ2∑

n>1

1

λ2 − n2. (5.10)

De meme, si dans la serie de Fourier de cos(λx) on porte x = π on obtient la somme,

cos(λπ) =sin(2πλ)

2πλ+

∑

n>1

λ sin(2πλ)(−1)n

π(λ2 − n2)



qui est equivalente a la somme suivante

λπ

sin(λπ)= 1 + 2λ2

∑

n>1

(−1)n

λ2 − n2(5.11)

3) La serie de Fourier associee a la fonction 2π-periodique impaire qui coıncide avec la fonc-

tion h(x) = 1 sur [0, π] converge simplement vers la somme :

4

π

∑

n>1

sin((2n + 1)x)

2n+ 1= 1, ∀x ∈]0, π[ (5.12)

Observons que puisque l’expression qu’on vient d’etablir est equivalente a la suivante

∑

n>1

sin((2n + 1)x)

2n+ 1=

π

4, ∀x ∈]0, π[

on voit que si on prend x =π

2cette somme implique que la serie numerique alternee

∑

n>0

(−1)n

2n+ 1=

π

4

La figure 7 ci-dessous represente le graphe de la somme partielle

Sn(x) =4

π

k=n∑

k=0

sin((2k + 1)x)

2k + 1

de la serie de Fourier qu’on vient de determinier pour les valeurs n = 17 et n = 22. Sur

cette figure on voit que le graphe de la somme partielle Sn(x) oscille autour du graphe 6 de

la fonction h(x) tout en cherchant a converger vers lui. Il faut noter que lorsque la variable

x s’approche de la discontinuite dela fonction h(x) le graphe de la somme partielle Sn(x)

s’eloigne legerement du graphe de h(x). Ce phenomeme s’explique par le fait qu’au voisinage

d’une discontinuite de la fonction periodique h(x) sa somme partielle de Fourier ne converge

pas unifomement.

1

2

−1

−2

−3

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6−7

Figure 5.7 – Le graphe bleu est celui de S17(x) et le rouge est celui se S22(x)



Exercice 89. Soient a < b deux reels et f : R → R une fonction 2π-periodique definie par,

f(x) =

{

a si − π < x < 0

b si 0 < x < π.

1) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f .

2) En deduire que pour tout reel x ∈]0, π[ on a la sommeπ

4=

∑

n>1

sin((2n − 1)x)

2n− 1.

Exercice 90. Soit f la fonction 2π-periodiques sur R telle que f(x) =| x | si | x |6 π.

1) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f .

2) Montrer que | x |= π

2− 4

π

∑

n>1

cos((2n + 1)x)

(2n+ 1)2.

3) En deduire la somme des series numeriques convergentes∑

n>1

1

(2n+ 1)2et

∑

n>1

1

n2.

Exercice 91. Soit α 6∈ Z. En considerant la fonction 2π-periodique qui coıncide sur l’inter-

valle ]− π, π[ avec la fonction sin(αx) montrer que pour tout reel | x |< π,

∑

n>1

(−1)n2n sin(nx)

π(α2 − n2)=

sin(αx)

sin(πα)

Exercice 92. Etudier la convergence de la serie de Fourier associee a la fonction 1-periodique

definie sur R par g(x) = x− [x] ou [x] la partie entiere du reel x.

Exercice 93. Pour tout k ∈ N∗ calculer l’integrale simple

∫ π

0(π − x) sin(kx)dx. En deduire

la somme de la serie trigonometrique,∑

k>1

sin(kx)

k,∀x ∈ R.

Exercice 94. En calculant les coefficients de Fourier de la fonction 2π-periodique definie sur

[−π, π] par | sin(x) | montrer que pour tout reel x ∈ R,

| sin(x) | =2

π

[

1− 2∑

n>1

cos(2nx)

4n2 − 1

]

=8

π

∑

n>1

(sin(nx))2

4n2 − 1

Exercice 95. Refaire les questions de l’exercice precedent pour la fonction 2π-periodique

definie sur le segment [−π, π] par | cos(x) |.

Exercice 96. Developper en serie de Fourier la fonction 2π-periodique, | sin3(x) |.

Exercice 97. Demontrer que pour tout reel x ∈ [0, π] on a la somme

x(π − x) =π2

6−

∑

n>1

cos(2nx)

n2

et en deduire la somme des series numeriques convergentes∑

n>0

1

n2et

∑

n>0

(−1)n−1

n2.



Exercice 98. Demontrer que pour tout reel x ∈ [0, π] on a la somme

x(π − x) =8

π

∑

n>0

sin((2n + 1)x)

(2n + 1)3

et en deduire que la somme de la serie numerique convergente∑

n>0

(−1)n

(2n+ 1)3=

π3

32.

5.3.3 Theoreme de la convergence quadratique

Soit f : R → R une fonction T-periodique bornee et integrable sur le segment [0,T]. Rappelons

que sous ces hypotheses on pourra associer a la fonction f(x) une serie de Fourier dont la

somme partielle d’ordre n > 0 est donnee par

Sn(x) =a02

+k=n∑

k=1

(ak cos(kωx) + bk sin(kωx))

Notons aussi que puisque la fonction f(x) est bornee on pourra trouver un reel M > 0 tel que

pour tout reel x ∈ [0,T],

| f(x) |26 M | f(x) | =⇒∫ T

0| f(x) |2 dx 6 M

∫ T

0| f(x) | dx < +∞

Ainsi, le but de ca paragraphe est de calculer l’integrale simple definie

∫ T

0| f(x) |2 dx en

fonction des coefficients de Fourier de la fonction f(x).

Pour calcuer l’integrale simple definie

∫ T

0| f(x) |2 dx nous allons considerer la suite reelle

∆n(f) =2

T

∫ T

0| f(x)− Sn(x) |2 dx

dont le terme general s’appelle l’ecart quadratique d’ordre n > 0 de la fonction f . Le nombre

reel ∆n(f) est fini et il mesure l’erreur qu’on comit lorsque la valeur de la fonction f(x) est

approchee par la nieme somme partielle de la serie de Fourier associee a f(x).

Lemme 5. Pour tout entier 0 6 k 6 n on a les formules suivantes

1.

∫ T

0(f(x)− Sn(x)) cos(kωx)dx = 0 ;

2.

∫ T

0(f(x)− Sn(x)) sin(kωx)dx = 0.

En consequence, pour tout entier n > 0 on a

∫ T

0(f(x)− Sn(x))Sn(x)dx = 0.


Les formules du lemme impliquent la proposition suivante :



Proposition 19. Soit f : R → R une fonction T-periodique et integrable sur [0,T]. Alors,

pour tout entier n > 0 l’ecart quadratique d’ordre n > 0 de la fonction f(x) est egale a

∆n(f) =2

T

∫ T

0| f(x) |2 dx−

[(a0)2

2+

k=n∑

k=1

((ak)2 + (bk)

2)]

Demonstration. En effet, grace aux resultats du lemme on pouura developer l’ecart quadra-

tique ∆n(f) comme suit :

∆n(f) =2

T

∫ T

0| f(x)− Sn(x) |2 dx

=2

T

∫ T

0(f(x)− Sn(x))f(x)dx − 2

T

∫ T

0(f(x)− Sn(x))Sn(x)dx

=2

T

∫ T

0| f(x) |2 dx− 2

T

∫ T

0f(x)Sn(x)dx

=2

T

∫ T

0| f(x) |2 dx− [

(a0)2

2+

k=n∑

k=1

((ak)2 + (bk)

2)]

Corollaire 18 (Inegalite de Bessel). Soit f : R → R une fonction T-periodique et integrable

sur [0,T]. Alors, les coefficients de Fourier de la fonction f verifient l’inegalite de Bessel,

(a0)2

2+

∑

n>1

((an)2 + (bn)

2) 62

T

∫ T

0| f(x) |2 dx. (5.13)

Demonstration. Obserer que la propostion 19 implique que l’ecart quadratique d’ordre n > 0,

∆n(f) > 0. Donc,

∀n > 0,(a0)

2

2+

k=n∑

k=1

((ak)2 + (bk)

2) 62

T

∫ T

0| f(x) |2 dx

Par consequent, si on fait tendre l’entier n > 0 vers l’infini on obtient l’inegalite de Bessel :(a0)

2

2+

∑

k>1

((ak)2 + (bk)

2) 62

T

∫ T

0| f(x) |2 dx.

De l’inegalite de Bessel on deduit que pour toute fonction f(x) qui est T-periodique, bornee

et integrable sur le segment [0,T] alors si an et bn designent les coefficient de Fourier de f(x)

les series numeriques∑

n>0

| an |2 et∑

n>0

| bn |2 convergent. Ceci confirme donc le resultat du

lemme de Lebesgue qui affirme que les coefficients de Fourier de la fonction f tendent vers

zero i.e. :

limn→+∞

an = 0 et limn→+∞

bn = 0

Notons que grace a cette remarque on deduit que les series trigonometriques,

f(x) =∑

n>0

sin(nx)√n

et g(x) =∑

n>0

sin(nx)

Log(n+ 1)



converge simplement sur R vers des fonctions 2π-periodique mais ne sont pas integrables sur

le segment [0, 2π]. Ainsi, on conclut que ces deux series trigonometriques ne sont pas des

series de Fourier.

Le theoreme suivant prouve par Parseval montre qu’en effet l’inegalite de Bessel est une varie

egalite.

Theoreme 28 (Identite de Parseval). Soit f : R → R une fonction T-periodique et integrable

sur [0,T]. Alors, on a la formule suivante qui s’appelle identite de Parseval :

2

T

∫ T

0(f(x))2dx =

(a0)2

2+

∑

n>1

(a2n + b2n). (5.14)

Demonstration. On donnera qu’une preuve lorsque la serie de Fourier de f converge unifor-

mement, le cas general sera admis.

En effet, si la suite des sommes partielles Sn(x) de la serie de Fourier associee a f(x) conver-

gence uniformement sur [0,T] vers la fonction f(x) alors en faisant tendre l’entier n > 0 vers

l’infini dans la suite numerique,

∆n(f) =2

T

∫ T

0| f(x)− Sn(x) |2 dx

=2

T

∫ T

0| f(x) |2 dx− [

(a0)2

2+

k=n∑

k=1

((ak)2 + (bk)

2)],

on en deduit que2

T

∫ T

0| f(x) |2 dx =

(a0)2

2+

∑

n>1

(a2n + b2n).

Ci-dessous, nous appliquerons la formule de Parseval pour calculer la somme de certaines

series numeriques remarquables.

Exemple 29. 1) Dans cet exemple nous allons calculer la somme des deux series numeriques,

∑

n>1

1

n2et

∑

n>1

1

(2n+ 1)2

Pour cela considerons la fonction 2π-periodique qui coıncide sur la periode [−π, π] avec la

fonction impaire f(x) = x. Donc, les coefficient de Fourier an de f(x) sont nuls tandis que

ses coefficients de Fourier bn se calculent par l’integrale definie,

bn =1

π

∫ π

−πx sin(nx)dx =

2

π

∫ π

0x sin(nx)dx

=2

π[−x

cos(nx)

n

∣

∣

∣

π

0+

∫ π

0

cos(nx)

ndx] = 2

(−1)n−1

n

Notons que d’apres le theoreme de Dirichlet on obtient la somme suivante

∀x ∈]− π, π[, x =∑

n>1

(−1)n−1

nsin(nx)



Notons aussi que si on applique la formule de Parseval a la fonction f(x) sur l’intervalle

[−π, π] on trouve que

1

π

∫ π

−πx2dx =

∑

n>1

(bn)2 =⇒ 2π2

3= 4

∑

n>1

1

n2

Donc, la serie de Riemann∑

n>1

1

n2=

π2

6

D’autre part, observons que la serie de Riemann∑

n>1

1

n2peut s’ecrire sous la forme

π2

6=

∑

n>1

1

n2=

∑

n>0

1

(2n)2+

∑

n>1

1

(2n + 1)2=

1

4

π2

6+

∑

n>1

1

(2n + 1)2

Par consequent, la serie de Riemann

∑

n>1

1

(2n + 1)2=

π2

8

2) Dans cette exemple, nous allons calculer la somme des deux series de Riemann

∑

n>1

(−1)n−1

n2et

∑

n>1

1

n4

en utilisant la serie de Fourier de la fonction 2π-periodique qui coıncide sur la periode [−π, π]

avec la fonction g(x) = x2.

Notons que puisque la fonction g(x) est paire ses coefficients de Fourier bn sont nuls tandis

que les coefficients an se calculent par integration par parties comme suit :

a0 =2

π

∫ π

0x2dx =

2π2

3

et pour tout entier n > 1,

an =1

π

∫ π

−πx2 cos(nx)dx =

2

π

∫ π

0x2 cos(nx)dx

=2

π

([x2 sin(nx)

n

]π

0−

∫ π

0

2x sin(nx)

ndx

)

=2

π

([2x cos(nx)

n2

]π

0−

∫ π

0

2

n2cos(nx)dx

)

= 4(−1)n

n2

Ainsi, d’apres le theoreme de Dirichlet, puisque la fonction g : R → R est continue donc sa

serie de Fourier converge en tout point x ∈ [−π, π] vers

x2 =π2

3+ 4

∑

n>1

(−1)n

n2cos(nx).



Donc, si on porte x = 0 dans la serie de Fourier precedente on obtient la somme

∑

n>1

(−1)n−1

n2=

π2

12

Enfin, observons que si on applique la formule de Parseval a la fonction g(x) et a ses coeffi-

cients de Fourier on obtient :

1

π

∫ π

−πx4dx =

(a0)2

2+

∑

n>1

(an)2

2π4

5=

2π4

9+

∑

n>1

16

n4

Ainsi, apres simplification on conclut que la serie de Riemann

∑

n>1

1

n4=

π4

90

Exercice 99. Soit α ∈]0, π[ un reel fixe. On definit sur R une fonction 2π-periodique

f(x) =

{ π

2si x ∈ [−α,α]

0 si x ∈]α, 2π − α[

1) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f(x).

2) La serie de Fourier converge-t-elle sur R ?

3) Determiner en fonction de α la somme de chacune des series numeriques,

∑

n>1

sin(nα)

net

∑

n>1

sin2(nα)

n2

Exercice 100. Soit f : R → R la fonction 2π-periodique definie pour tout reel x ∈ [−π, π]

par f(x) = x3 − π2x.

1) Calculer les coefficients de Fourier de f(x).

2) Determiner la somme de la serie de Fourier de f(x).

3) En deduire la somme des deux series numeriques∑

n>0

(−1)n

(2n+ 1)3et

∑

n>1

1

n6.

Exercice 101. Soit f : R → R une fonction de classe C2, 2π-periodique et telle que

∫ 2π

0f(t)dt = 0

On designe respectivement par cn(f), cn(f′) et cn(f”) les coefficients de Fourier complexes

de f(x), de sa fonction derivee premiere f ′(x) et de sa derivee seconde f”(x).

1) Calculer les coefficients de Fourier cn(f′) et cn(f”) en fonction de cn(f).

2) A l’aide du theoreme de Parseval montrer que si pour tout reel

t ∈ [0, 2π], | f(t) |6| f”(t) |



alors les coefficients de Fourier cn(f) = 0,∀n > 2. En deduire qu’il existe θ ∈ [0, 2π] et

a ∈ R+ tels que f(x) = a cos(t+ θ),∀t ∈ [0, 2π].

3) A l’aide du theoreme de Parseval montrer que

∫ 2π

0| f(t) | dt 6

∫ 2π

0| f ′(t) |2 dt.

4) Dans quel cas l’egalite a-t-elle lieu ?


Index

Cercle de convergence, 60

Coefficients de Fourier, 86

Coefficients de Fourier complexes, 88

Comparaison d’une serie avec une integrale

simple generalisee, 11

Composition de deux series entieres, 68

Conditions de Diriochlet, 95

Convergence normale, 45

Convergence quadratique, 100

Convergence simple, 28

Convergence uniforme, 30

Critere d’equivalence des series, 10

Critere de convergence d’Abel, 23

Criteres de comparaison des series, 8

Disque de convergence, 60

Domaine de convergence, 28

Ecart quadratique, 100

Equation differentielle, 79

Equation differentielle de Bessel, 82

Equation differentielle ordianire, 79

Equation differentielle singuliere, 82

Fonction analytique, 71

Fonction de Bessel d’indice entier, 84

Fonction de Bessel d’indice non entier, 84

Fonction developpable en serie entiere, 71

Formule de Hadamard, 62

Formule de Stirling, 26

Formule du double limites, 36

Identite de Parseval, 102

Inegalite de Bessel, 101

Limiet inferieure, 62

Limite simple, 28, 44

Limite superieure, 62

Noyau de Dirichlet, 94

Premier critere de comparaison des series, 8

Produit de Cauchy de deux series entieres, 68

Rayon de convergence, 58, 60

Regle de Cauchy, 16

Regle de D’Alembert, 17

Regle de Duhamel, 19

Regle de Gauss, 19

Reste d’ordre n d’une serie, 4

Second critere de comparaison des series, 9

Serie absolument convergente, 20

Serie alternee, 22

Serie convergente, 4

Serie de Bertrand, 14

Serie de Fourier complexe, 88

Serie de Fourier d’une fonction periodique, 87

Serie de Riemann, 12

Serie entiere, 57

Serie entiere de Taylor, 71

Serie harmonique, 6

Serie numerique, 4

Serie semi-convergente, 20

Series geometriques, 7

Series trigonometriques, 85

Somme de deux series entieres, 67

Somme partielle, 4

Suite de fonctions, 28


108 INDEX

Theoreme d’Hadamard, 63

Theoreme d’integrabilite, 37

Theoreme de continuite de la convergence uni-

forme, 35

Theoreme de derivabilite, 40

Theoreme d’Abel, 50, 58

Theoreme d’integrabilite, 49

Theoreme de continuite, 49

Theoreme de derivabilite, 49

Theoreme de Dirichlet, 95

Theoreme de Liebniz, 22, 52

Theoreme de Weierstrass, 45

Uniformement de Cauchy, 30


Documents

Poly Suites Series Fonct