Polycopié 2

Elments de Gomatique Polycopi 2 : Godsie

Pierre-Yves Gilliron Audrey Ueberschlag

Geoffrey Vincent

Lausanne, dition Fvrier 2014

Facult de lEnvironnement Naturel, Architectural et Construit Institut dIngnierie de lEnvironnement

Gomatique - Topomtrie

Elments de gomatique

SOMMAIRE

1. GODSIE 3

1.1. BASES ET DFINITIONS 3 1.1.1. FORME DE LA TERRE 3 1.1.2. GODSIE GOMTRIQUE 4 1.1.3. GODSIE SPATIALE 7 1.1.4. GODSIE PHYSIQUE GODE 9 1.1.5. ALTITUDES 12 1.2. RFRENCES GODSIQUES 14 1.2.1. SURFACE DE NIVEAU, GODE ET ELLIPSODE 14 1.2.2. SURFACES DE RFRENCE 15 1.2.3. COORDONNES TERRESTRES 17 1.2.4. ELLIPSODE ET CHANGEMENT DE SYSTME 20 1.2.5. AZIMUT, AZIMUT MAGNTIQUE 23 1.2.6. SYSTMES D'ALTITUDES 25

2. SYSTMES DE PROJECTION 27

2.1. DFINITIONS 27 2.2. TYPES DE PROJECTION 29 2.2.1. PROJECTIONS CONIQUES 29 2.2.2. PROJECTIONS AZIMUTALES 32 2.2.3. PROJECTIONS CYLINDRIQUES 32 2.3. PROJECTION SUISSE 36 2.3.1. DFINITION 36 2.3.2. COORDONNES RECTANGULAIRES PLANES 38 2.3.3. CONVERGENCE DU MRIDIEN 39 2.3.4. CONVERSION DE COORDONNES PLANES ET GOGRAPHIQUES 40 2.3.5. CONVERSION DE Y, X EN L, B 41 2.3.6. CONVERSION DE L, B EN Y, X 41 2.3.7. CALCUL DE LA CONVERGENCE DU MRIDIEN 41 2.3.8. DFORMATION LINAIRE 42 2.3.9. EXEMPLE 43

3. RFRENCES 46

4. TABLE DES FIGURES 47

Avertissement

La plupart des figures de ce polycopi ont t cres lEPFL. Toutefois, les auteurs ont utilis un certain nombre de ressources dont les rfrences sont cites. Si lune ou lautre de ces ressources ne sont pas rfrences correctement ou font lobjet dun droit dusage particulier, nous vous prions de bien vouloir le signaler lauteur. Toute utilisation de ce support de cours doit se faire avec le consentement de lauteur.

2 Godsie


1. Godsie

1.1. Bases et dfinitions

1.1.1. Forme de la Terre

Les mensurations et la cartographie sont des lments de base indispensables tout amnagement et dveloppement dun territoire. Sans les relevs du terrain, sans les cartes et les plans tablis par les spcialistes, il est impossible de projeter puis de construire les voies de communication et les grands ouvrages de gnie civil ; impossible galement de planifier puis de raliser la mise en valeur et lquipement des zones agricoles, forestires, touristiques ou urbaines. Le pilote davion, lautomobiliste, le promeneur ou lalpiniste utilisent des cartes pour la prparation de leurs voyages ou de leurs excursions. Les armes ont galement besoin dun matriel cartographique important. Les cartes sont aussi les documents de base pour diverses tudes en gographie, gologie, climatologie, agriculture, foresterie et histoire. Cest enfin grce aux cartes topographiques que nous pouvons acqurir une image synthtique globale des caractristiques varies d'un pays. Toutefois, avant de procder aux relevs des dtails dune rgion pour tablir des plans et des cartes, il y a lieu deffectuer certains travaux prliminaires pour dterminer un systme de coordonnes li la Terre ainsi que la position et laltitude de repres qui serviront de points de rfrence pour les travaux topographiques et cartographiques : cest la tche de la godsie. Driv du grec, le terme godsie dsigne la science qui a pour objet ltude gomtrique de la Terre. Cette dfinition trs simple cache en ralit toute une srie de problmes dont la complexit sest accrue au cours des sicles, avec le dveloppement de nos connaissances. Evidemment, les progrs des sciences et des techniques ont aussi fourni aux godsiens des outils de plus en plus performants pour les aider dans leurs travaux. Par tude gomtrique de la Terre, il faut comprendre la recherche de la forme gnrale et des dimensions de notre plante. En fait, chacun sait que la Terre est ronde. Mais combien ignorent ou ont tout simplement oubli que la circonfrence terrestre mesure environ 40000 km et que son rayon vaut approximativement 6400 km ? Pourtant, ds nos premires leons de gographie, nous avons tous appris que la Terre a la forme dun ellipsode de rvolution aplati, que laplatissement terrestre (sans en connatre la dfinition) est de lordre de 1/300 et que la diffrence entre les rayons polaires et quatoriaux vaut environ 22 km. Actuellement, on dfinit laplatissement terrestre comme tant le rapport entre la diffrence des deux axes de lellipse.

Godsie 3

Elments de gomatique Il est indispensable de prciser que toutes ces notions concernant notre plante permettent de relativiser lamplitude des irrgularits du relief terrestre : malgr ses hautes chanes de montagnes, ses valles profondes et mme ses fosses ocaniques, le relief de la surface de la Terre est presque insignifiant. Selon une comparaison souvent utilise, il est beaucoup moins important que les rugosits de la peau dune orange. En effet, les points les plus levs ou les plus bas par rapport au niveau des mers ne sont qu 10 km (Mont-Everest : + 8882 m, Fosse des Mariannes : - 10860 m). En rduisant le rayon terrestre 6 cm (la dimension dune belle orange), il ne resterait plus que, par rapport une surface parfaitement lisse, de minuscules asprits ou de petites dpressions dont la hauteur ou la profondeur mesureraient au plus 0,1 mm. Et sur ce modle rduit de la Terre, la diffrence entre le plus grand diamtre et le plus petit ne serait que de 0,4 mm. Toutes ces valeurs seraient imperceptibles au simple coup dil et seulement mesurables avec un outil de haute prcision.

1.1.2. Godsie gomtrique

La godsie gomtrique combine les observations par rapport des objets extrieurs la Terre (toiles, Soleil, Lune, puis, rcemment, satellites artificiels) et les mesures entre des repres terrestres (dterminations de longueurs darcs de mridiens ou de parallles), qui constituent depuis plus de 2000 ans les informations essentielles pour la recherche de la forme et des dimensions de notre plante. Lhypothse de la sphricit de la Terre date de Pythagore, au IVme sicle avant notre re, et lon attribue l'astronome gyptien Eratosthne la premire valuation de ses dimensions, vers 250 avant J.-C. Eratosthne savait que, le jour du solstice dt, midi, le soleil tait la verticale de Syne (aujourdhui Assouan), puisquil se refltait sur l'eau au fond des puits. Il mesura Alexandrie, le mme jour, la mme heure, la longueur de lombre porte par un oblisque et en dduisit langle entre les verticales des deux villes : 7.2 ou 1/50 de circonfrence (Figure 3-1). Il obtint la distance de 5000 stades entre Syne et Alexandrie, partir des premiers travaux darpentage de la valle du Nil. Un calcul simple lui permit alors destimer la longueur de la circonfrence terrestre 250000 stades, soit approximativement 40'000 km.

4 Godsie


Figure 1-1 : Premire dtermination du rayon terrestre par Eratosthne 250 ans avant J.C.

Bien sr, les deux villes ne sont, dune part, pas sur le mme mridien (la diffrence de leur longitude est de prs de 3) ; dautre part, la valeur admise pour le stade, en mesures actuelles, est douteuse, de sorte que lexactitude du rsultat peut bon droit passer pour non prouve. Quoi quil en soit, la mthode tait trouve et elle fut reprise et perfectionne au cours des sicles en diffrentes rgions.

Lide dune Terre sphrique est admise jusqu la fin du XVIIme sicle, date laquelle Huyghens, puis Newton, affirment que la Terre a la forme dun ellipsode de rvolution aplati selon la ligne des ples. Au dbut du XVIIIme sicle, lhypothse de Newton est mise en doute la suite de mesures effectues en France. Pour trancher le dbat, lAcadmie des Sciences de Paris dcide denvoyer deux expditions simultanes pour mesurer deux arcs de mridien, lun en Laponie, aussi prs que possible dun ple, o la courbure de la Terre est minimale, lautre au Prou, au voisinage de lquateur, o la courbure du mridien est la plus marque. Aprs plusieurs annes de travail et de multiples pripties, les rsultats acquis par les deux expditions confirment la thorie de Newton et servent de base au premier calcul d'un ellipsode de rfrence, dont les paramtres seront publis par Delambre en 1799. Au cours du XIXme sicle, des arcs nombreux et souvent trs tendus sont mesurs sur les cinq continents ; il en rsulte toute une srie dellipsodes terrestres proposs par des mathmaticiens ou des godsiens trs clbres. Toutes les dmarches dcrites ci-dessus utilisent la mthode des arcs, mthode qui consiste mesurer la longueur dun arc de mridien ou de parallle, ainsi que son amplitude, partir d'observations astronomiques. Si le principe est simple, la mise en uvre pratique est dlicate. Il faut en effet mesurer des arcs longs de plusieurs centaines de kilomtres pour que leurs amplitudes soient suffisamment grandes. La circonfrence terrestre mesurant environ 40000 km, lamplitude dun arc de grand cercle de 100 km est gale 1 grade, cest--dire 1/400 de la circonfrence : c'est videmment trop peu pour en dduire des caractristiques de surface.

Godsie 5

Elments de gomatique Il est dautre part impossible de mesurer directement une longueur de plusieurs centaines de kilomtres entre des repres terrestres, ne serait-ce qu' cause de la visibilit. On y parvient indirectement en implantant entre les deux extrmits de larc un ensemble de repres auxiliaires formant une chane de grands triangles juxtaposs (Figure 3-2). Par une simple mesure de longueurs et dangles, on peut obtenir les coordonnes de tous les sommets des triangles et finalement la longueur totale de larc. Au dbut du XXme sicle, le godsien amricain Hayford prconise la mthode des aires. Selon lui, plutt que de mesurer la longueur des arcs et de leurs amplitudes, il est prfrable de comparer les coordonnes gographiques, obtenues par observations astronomiques directes, avec les coordonnes des mmes points, calcules partir de mesures terrestres sur une surface de rfrence choisie a priori. Les paramtres de la surface de rfrence sont ensuite modifis jusqu ce que les diffrences respectives entre les coordonnes astronomiques et les coordonnes godsiques, diffrences appeles dviations de la verticale, deviennent minimales. La dmarche de Hayford, applique d'abord quelque 270 points de triangulation rpartis sur le continent nord-amricain, donna les paramtres du premier ellipsode international admis comme surface de rfrence en 1924. La mthode des aires sapparente une discipline particulire de lastronomie, appele astronomie de position, dans laquelle les coordonnes dun lieu de la Terre sont dtermines partir d'observations des toiles. Lapplication de ce principe la navigation en mer est bien connue. Chacun sait en effet que les navigateurs sont capables de calculer la position de leur bateau, de faire le point selon lexpression consacre, partir dangles verticaux, mesurs avec un sextant par rapport au Soleil ou aux autres toiles, et de lheure des observations.

Figure 1-2 : Chane de triangles

6 Godsie

Elments de gomatique Les godsiens utilisent galement des variantes perfectionnes de ces mthodes et, partir dobservations astronomiques seulement, ils peuvent dterminer des coordonnes dont les valeurs sont indpendantes de toute hypothse sur la forme et les dimensions de la Terre. Il ny aurait donc pas de diffrence entre les dterminations astronomiques et godsiques si la surface de rfrence choisie pour le calcul des mesures terrestres correspondait exactement celle de la Terre. Ce thme sera dvelopp dans le chapitre 3.2.

1.1.3. Godsie spatiale

Depuis Spoutnik en 1957, les satellites artificiels gravitant autour de la Terre ont offert aux godsiens des possibilits de mesure totalement nouvelles. Avec le dveloppement de la technologie et des ordinateurs, ils ont donn naissance la godsie spatiale. Si la Terre tait une sphre parfaite avec une densit rpartie symtriquement par rapport son centre, lorbite dun satellite artificiel serait dcrite exactement par les lois de Kpler, bien connues en mcanique cleste. L'orbite relle du satellite est donc perturbe par plusieurs facteurs, dont les principaux sont le renflement quatorial et les anomalies du champ de la pesanteur terrestre, auxquels il faut ajouter lattraction de la Lune et du Soleil, la rsistance atmosphrique et la pression de radiation solaire. A cause de toutes ces perturbations, lorbite nest pas fixe dans lespace ; ses paramtres varient et la description du mouvement exige des modles mathmatiques trs labors. Lvolution des paramtres de lorbite livre en revanche des renseignements sur les principales sources de perturbations du mouvement et permet ainsi ltude de la forme du gode. Plusieurs types de mesures sont effectus en godsie spatiale ; tous reviennent valuer une grandeur qui dpend de la position relative du satellite et du lieu dobservation. La mesure de directions, selon le principe de la triangulation spatiale, est la mthode la plus ancienne ; elle a t utilise au cours des annes 1960 et consistait photographier, au moyen de camras spciales, le satellite sur un fond dtoiles. Les positions respectives de ces toiles dterminaient des directions de lespace connues grce aux catalogues astronomiques. Ces directions servaient de rfrence et permettaient de calculer les directions correspondant aux positions successives du satellite, puis les segments entre les stations de prise des photos et enfin les coordonnes de ces stations (Figure 3-3).

Godsie 7


Figure 1-3 : Premier rseau godsique mondial obtenu par triangulation spatiale

Le principe de la trilatration spatiale consiste mesurer les distances stations-satellites en utilisant un canon laser. Un appareil point sur le satellite met une brve impulsion laser et dclenche simultanment un compteur lectronique. Le satellite, garni de prismes-rflecteurs, renvoie limpulsion vers lmetteur et la distance est calcule partir de la mesure du temps de parcours aller-retour. Les premiers quipements permettaient dobtenir la distance station-satellite avec une prcision de quelques mtres. Les appareils les plus rcents ont une dispersion rduite quelques centimtres. Les satellites utiliss dans la triangulation et la trilatration spatiale gravitent autour de la Terre des altitudes comprises entre 1000 et 5000 km. Pour obtenir une bonne configuration du rseau des repres, il faut que les distances entre les stations d'observation soient du mme ordre de grandeur. Lune des premires techniques de positionnement par satellite utilise leffet Doppler. Un satellite dont la position est connue chaque instant met une onde radiolectrique de frquence constante. Capte en une station au sol, la frquence de londe reue est modifie cause du mouvement du satellite. En exploitant leffet Doppler mesur diffrents instants, on peut calculer la position du rcepteur dans un systme de coordonnes gocentriques. Cette mthode a t mise en uvre pour la

Figure 1-4 : Orbites polaires des cinq satellites du systme de TRANSIT

premire fois en 1964 avec la cration du rseau TRANSIT pour la marine amricaine. Ce systme de positionnement, qui devint accessible aux tches non militaires ds 1967, tait constitu dun ensemble de cinq satellites, placs en orbites polaires (passant par la verticale des ples) quasi circulaires, une altitude denviron 1075 km (Figure 3-4). Le systme est hors service depuis 1996.

Les orbites sont rparties en longitude et la dure approximative de rvolution dun satellite est de 107 min. Cette disposition permet un

8 Godsie

Elments de gomatique observateur situ en un lieu quelconque de la Terre denregistrer au moins dix passages de satellite par jour. Lenregistrement des signaux mis durant un seul passage dun satellite permettait dobtenir la position du rcepteur avec une prcision de quelques dizaines de mtres. En poursuivant avec plusieurs rcepteurs de haute qualit et durant plusieurs jours lenregistrement des signaux mis lors des passages des satellites, on a russi dterminer la position relative des rcepteurs quelques dcimtres prs. Dune part, pour les besoins godsiques, cette technique est aujourdhui largement dpasse. Dautre part, ce systme a t remplac par dautres systmes de localisation par satellites (cf. chapitre 9).

1.1.4. Godsie physique gode

Les mthodes godsiques dcrites jusqu prsent sont purement gomtriques. Si lon considre maintenant les satellites non plus uniquement comme des points gomtriques auxiliaires, mais comme des corps pesants se mouvant dans le champ dattraction terrestre, lanalyse des perturbations de leurs trajectoires et le traitement des mesures permettent dobtenir non seulement les coordonnes des stations dobservation, mais aussi le champ de la pesanteur, donc la forme gomtrique des surfaces de niveau (ou quipotentielles) de ce champ et par l-mme la forme de la Terre. En 1743, le mathmaticien franais Clairaut publie sa Thorie de la figure de la Terre o il tablit la relation entre les axes dun ellipsode, la latitude dun lieu et lintensit de la pesanteur en ce lieu. Cette tude est la base de la godsie dynamique. Au XIXme sicle, les mesures gravimtriques (du champ de la pesanteur) se multiplient et leur prcision samliore notablement. Au dbut du XXme sicle, la concordance entre les valeurs des paramtres terrestres dduites des calculs gomtriques et celles qui rsultent des mesures gravimtriques tait dj excellente. Cependant, il subsistait certaines divergences difficiles expliquer par la seule imprcision des mesures. Lorigine de ces dispersions rside dans les anomalies de la pesanteur et les dviations de la verticale. Toutes ces imperfections proviennent de la rpartition irrgulire des masses et de leur densit sur la surface et lintrieur de lcorce terrestre. Ces difficults ont rendu ncessaire lintroduction dun modle plus labor pour la forme de la Terre : le gode. Ce nouveau terme dsigne, en simplifiant, la forme gnrale de la Terre, reprsente par la surface moyenne des ocans et son prolongement estim sous les continents. Physiquement, le gode est une surface de niveau du champ de la pesanteur (Figure 3-5) ; il est donc partout perpendiculaire la verticale. Mais cette dfinition fait natre un certain nombre de complications : le gode ne peut

Godsie 9

Elments de gomatique pas tre dcrit par une expression mathmatique simple, car sa forme gomtrique est irrgulire. En outre, et paradoxalement, la plupart des observations destines dterminer le gode sont effectues sur la terre ferme, cest--dire l o le gode est inaccessible. Il faut donc faire une distinction entre la dtermination de la position, partir dun ellipsode de rfrence, et la dtermination de laltitude (diffrence de hauteur par rapport au gode), partir des mesures gravimtriques et des nivellements. Le principe de la mthode dynamique est assez complexe et peut tre rsum comme suit : avec un trs grand nombre dobservations diverses, effectues en des stations bien rparties sur lensemble de la Terre et concernant plusieurs satellites, on peut tablir un systme dquations dans lesquelles interviennent notamment les mesures, les lois de la mcanique cleste et les modles mathmatiques dcrivant les perturbations des orbites. Il est aussi ncessaire dintroduire une formulation mathmatique pour le champ de la pesanteur terrestre. Pour exprimer les carts de ce dernier par rapport un champ sphrique, on a recours un dveloppement en srie de fonctions sphriques. Les coefficients du dveloppement ainsi que les coordonnes des stations sont les inconnues du problme, inconnues que lon obtient par la rsolution, selon les moindres carrs, d'un systme dquations. La Figure 3-5 reprsente la forme du gode dtermine par le calcul dorbites de satellites au Goddard Space Flight Center (NASA). Ce modle sappuie sur une description du champ de la pesanteur terrestre par le dveloppement en srie de fonctions sphriques jusqu lordre 30. Les ondulations, qui atteignent en ralit une centaine de mtres au maximum par rapport un ellipsode de rfrence, sont ici exagres 15000 fois.

Figure 1-5 : Le gode

Les modlisations actuelles permettent de dcrire gomtriquement la Terre comme un corps dformable, grce de nouveaux modles dynamiques incluant le paramtre temps. De tels modles tiennent compte de

10 Godsie

Elments de gomatique phnomnes connus, comme loscillation de laxe des ples, les mares terrestres et lirrgularit de la rotation de notre plante. Parmi les usages de tels modles, on peut citer deux exemples : le maintien sur leurs orbites des satellites utilitaires qui conditionne notamment la qualit de nos tlcommunications, et ltude de la vitesse de la drive des continents, ncessaire la prdiction des tremblements de terre. Comme cela a t prcis au dbut de cet article, la godsie ne sintresse pas seulement la forme et aux dimensions de la Terre ; elle sert galement acqurir des informations indispensables la connaissance dtaille et la cartographie dun pays ou dune rgion. La godsie constitue mme un pralable cette acquisition. La godsie nationale ou utilitaire a pour but de matrialiser et de dterminer un ensemble de repres solidement ancrs dans le sol et dont les positions relatives peuvent tre connues avec une grande prcision. A lpoque des mesures par triangulation, ces repres taient distants de 30 50 km. Ils taient placs sur des endroits levs do la vue est tendue. Leur position relative tait calcule quelques centimtres prs. Ils formaient les sommets dun rseau de grands triangles appel rseau de triangulation fondamentale ou triangulation godsique, ou encore triangulation de premier ordre dun pays. A partir dun repre origine appel point fondamental, o l'on a dtermin la latitude et la longitude ainsi que lazimut dun ct dorientation par des observations astronomiques trs soignes, on calcule les coordonnes gographiques des autres repres sur un ellipsode de rfrence. Des mesures astronomiques sont encore effectues en quelques autres sommets du rseau afin den bien contrler la position et lorientation. Avec lavnement de GPS, ces rseaux godsiques de base ont t moderniss et re-dtermins. Pour cela, les gomtres ont choisi et implant de nouveaux points stables, plus accessibles et sans obstructions vers le ciel afin dtre adapt la technique GPS (Figure 3-6).

Figure 1-6 : Nouveau rseau de points fixes du cadre de coordonnes Suisse MN95

2013 swisstopo (JD100064)

Godsie 11

Elments de gomatique Le rseau de points fixes de base dcrit ci-dessus nest pas suffisamment dense pour servir dinfrastructure aux divers travaux topographiques et autres oprations de gomatique. Il devra donc tre complt par un maillage plus fin (rseaux de points fixes du deuxime ordre, puis du troisime et du quatrime ordre), jusqu ce que lon obtienne une densit de 1 2 repres par km2. Pour cette opration, on a principalement recours la mthode GPS qui peut tre complte par des mthodes topomtriques classiques. De plus, le rseau permanent GPS, appel AGNES1, offre un service de positionnement qui est directement rattach au rseau des points fixes du cadre de coordonnes Suisse.

1.1.5. Altitudes

Un repre est caractris non seulement par ses coordonnes gographiques (longitude et latitude), mais aussi par son altitude, cest--dire la distance, mesure selon la verticale, entre ce repre et le gode (dfinition simplifie parce que purement mtrique). L aussi, la mesure de laltitude, ou altimtrie, doit donc tre prcde dune tche pralable qui est celle de reprer le gode ou de dfinir le niveau moyen de la mer en un endroit choisi davance. On y parvient en observant et en enregistrant, durant une longue priode, les variations de ce niveau laide dun appareil appel margraphe (Figure 3-7). Le traitement des enregistrements permet de fixer laltitude zro, que lon matrialise par un repre.

Figure 1-7 : Schma d'un margraphe

Pour dterminer, partir de laltitude dun point fondamental, celle des autres repres, on procde par nivellement gomtrique et lon constitue ainsi le rseau altimtrique, form de lignes de nivellement.

1 AGNES : Automatisches GPS-Netz Schweiz, gr par loffice fdral de topographie

12 Godsie

Elments de gomatique Il y a lieu de formuler ici deux remarques importantes concernant laltimtrie. On pourrait trs bien fixer arbitrairement laltitude dun repre fondamental et en dduire ensuite toutes les autres cotes. En fait, la rfrence au gode, cest--dire au niveau moyen des mers, prsente lintrt de mettre en vidence les variations de ce niveau. Cest un phnomne important aussi bien pour la gologie que pour la gographie humaine. Il soulve aussi des problmes scientifiques difficiles, en particulier celui du niveau eustatique (variation du niveau de la mer). Est-ce le niveau marin qui monte ou la plate-forme continentale qui senfonce ? Le volume total des ocans est-il constant ? A-t-il tendance augmenter ou diminuer ? Si un grand nombre de margraphes sont en service aujourdhui, cest avant tout pour essayer de mettre en vidence les fluctuations du niveau moyen des mers. Ces observations sont compltes par les mesure de satellites daltimtrie, comme TOPEX/Poseidon et plus rcemment JASON. Lanalyse des enregistrements des margraphes franais et italiens installs sur les ctes de la Mditerrane montre que, depuis plusieurs annes, le niveau moyen de cette mer monte rgulirement de quelques millimtres par an. La deuxime remarque, qui peut aussi sappliquer la triangulation, est la suivante : linfrastructure dun rseau altimtrique se dtriore en fonction du temps ; les difices sur lesquels sont scells les repres vieillissent, sont modifis ou dmolis ; des repres sont donc dtruits ou doivent tre dclasss ; des mouvements locaux du terrain modifient les altitudes. On arrive donc la conception quun rseau de nivellement nest jamais dfinitif, mais quil vieillit vite ; il perd la fois une partie de son infrastructure et de sa prcision. Lexprience a dmontr que, les zones instables mises part, il est ncessaire de refaire les cheminements de nivellement tous les 50 ans environ.

Figure 1-8 : Rseau principal de nivellement en Suisse.

2013 swisstopo (JD100064)

La reprise des mesures aprs plusieurs dizaines dannes montre en effet des diffrences systmatiques, nettement plus importantes que les imprcisions dues aux observations. Ces diffrences permettent de dceler les mouvements rcents de lcorce terrestre qui sont galement dtects par les rseaux de stations GPS permanents.

Godsie 13

Elments de gomatique Depuis 1950, lAutriche, la France, lItalie et la Suisse ont mesur une seconde fois une srie de lignes de nivellement traversant la chane des Alpes et qui avaient t observes au dbut du sicle. Lanalyse des observations a permis de mettre en vidence le mouvement toujours ascendant des rgions alpines ; la vitesse des dplacements verticaux vaut actuellement 1 mm/anne.

1.2. Rfrences godsiques

1.2.1. Surface de niveau, gode et ellipsode

Lobjet de la topographie tant la reprsentation de la configuration du sol et des lments qui sy trouvent, il faut dfinir les diffrentes surfaces se rapportant au sol et la Terre en gnral. La surface du sol (le terrain) telle quon la voit, avec ses vallonnements, ses montagnes, ses dpressions, etc. est la surface topographique de la Terre. Gnralement, cest elle quil sagit de reprsenter. En chacun de ses points, une surface de niveau est normale la direction de la pesanteur, cest--dire la verticale. Il existe une infinit de surfaces de niveau, mais l'quipotentielle qui passe par le niveau moyen des mers prsente un intrt particulier. On lui attribue la cote zro et on lui donne le nom de gode. Le gode est la forme relle de la Terre. Le gode prsente des ondulations. Ce nest pas une forme gomtrique ; il est dfini partir de donnes physiques (le champ de la pesanteur) et son expression mathmatique est trs complique. Pour cette raison, on prfre recourir d'autres surfaces de rfrence pour dcrire la surface de la Terre.

Lellipsode, dont le principe est dvelopp dans le paragraphe suivant, est la surface mathmatique dont la forme se rapproche le plus de celle du gode.

Figure 1-9 : Carte du gode mondial, modle EGM96 (source NASA)

Variations exprimes en m ( 2014 source : http://www.swisstopo.ch )

14 Godsie


1.2.2. Surfaces de rfrence

Pour dcrire le gode, donc la forme exacte de la Terre, on le dfinit par rapport la surface mathmatique dont la forme se rapproche le plus de celle du gode ; cest un ellipsode de rvolution aplati aux ples. Il sagit dune surface de rfrence par rapport laquelle sont exprims les carts du gode. Pour cela, il faut rsoudre les problmes suivants :

dterminer les dimensions de cet ellipsode ; placer cet ellipsode pour quil corresponde au mieux avec le

gode pour la zone reprsenter. Ce nest quau XVIIme sicle que lide de laplatissement de la Terre est apparue et que lon abandonna la forme sphrique. Depuis cette poque, de nombreuses mesures ont t faites pour dterminer les dimensions de lellipsode, cest--dire les paramtres qui le dfinissent :

les deux demi-axes de lellipse gnratrice.

La mthode gomtrique, seule connue alors, consiste mesurer des longueurs darcs de mridien sous des latitudes diffrentes, une au voisinage du ple, lautre prs de lquateur. Il faut citer ici les deux expditions clbres organises au XVIIIe sicle par lAcadmie des sciences de Paris :

la mesure dun arc de mridien en Laponie (par Clairaut et de Maupertuis) 1736-1737

la mesure dun arc de mridien au Prou (par Bouguer et La Condamine) 1735-1744

et dont les rsultats prouvrent pour la premire fois laplatissement de la Terre aux ples (thorie mise auparavant par Newton).

Figure 1-10 : L'ellipsode de rvolution

Citons encore la mesure de larc de mridien Dunkerque-Barcelone (par Delambre et Mchain) 1792-1798, et dont les rsultats servirent la premire dfinition du mtre en 1799 :

un mtre est la dix-millionime partie du quart du mridien terrestre.

Godsie 15

Elments de gomatique Des procds astronomiques ont aussi t appliqus pour dterminer laplatissement terrestre (dAlembert et Laplace au XVIIIme sicle). Enfin, les procds gravimtriques, permettant de mesurer lintensit de la pesanteur en diffrents points du globe, conduisent galement la connaissance de la forme du gode. Aujourdhui, les satellites artificiels permettent de rsoudre plus aisment ces problmes et surtout apportent une plus grande exactitude dans les connaissances relatives la Terre. On peut, partir des variations constates dans la valeur des paramtres qui fixent une orbite de satellite, obtenir les informations sur le champ de gravitation et par consquent connatre toujours mieux le gode. On peut citer, par exemple, la mission du satellite CHAMP (http://op.gfz-potsdam.de/champ/). Depuis le XVIIIme sicle, de nombreuses dterminations ont t faites pour connatre les dimensions de lellipsode de rvolution pouvant reprsenter au mieux la forme de la Terre, et cela a conduit autant de rsultats diffrents. Aussi les pays, au fur et mesure qu'ils entreprenaient de cartographier leur territoire, choisissaient-ils comme surface de rfrence un de ces ellipsodes particuliers et dont les paramtres semblaient alors les meilleurs possible. Le Tableau 3-1 donne les dimensions de quelques ellipsodes et leurs utilisations. Mentionnons encore que, daprs les connaissances actuelles, le gode accuse une diffrence positive de 17,84 m au ple nord et une diffrence ngative de 27,23 m au ple sud, ceci par rapport lellipsode dont les dimensions ont t adoptes en 1980 par la XVIIme Assemble gnrale de lUnion Gophysique et Godsique Internationale (IUGG) (Figure 3-11).

Figure 1-11 : Forme en poire du gode

16 Godsie

Elments de gomatique Lellipsode de rvolution est donc la surface de rfrence mathmatique grce laquelle on peut exprimer le gode. Mais il est retenir aussi que, cause des relativement petits carts existant entre le gode et lellipsode, cette dernire surface pourra tre considre comme surface mathmatique de rfrence pour les calculs : les mesures faites sur la surface de la Terre sont assimiles des mesures faites sur un ellipsode de rvolution et exploites comme telles.

Nom Anne a en mtre

b en mtre

Utilisation

Schmidt 1928 6'3 76804 6'355691 Ancienne cartographie Suisse : Carte Dufour,

Atlas Siegfried Bessel 1841 6'377'397.155 6'356078.963 Nouvelle cartographie

suisse Allemagne et Europe de

lEst Delambre 1860 6'376989 6'356323 Carte franaise au 1 :

80'000, Anciennes cartes de lInstitut militaire

belge Clarke 1866

6'378'206.4 6'356'583.8 Angleterre, USA,

Canada, Mexique

Hayford (internatio

nal)

1910 6'378388 6'356'911.946 Adopt en 1924 comme ellipsode international et

propos pour les nouvelles cartographies

Geodetic Reference System- GRS80

1980 6'378137 6'356'752.314 Adopt par la XVIIme Assemble gnrale de lInternational Union of

Geodesy and Geophysics (IUGG)

Tableau 1-1 : Ellipsodes de rfrence Pour des tendues terrestres trs restreintes, on peut substituer une surface sphrique la portion dellipsode correspondante : la surface de rfrence reprsentative de la Terre est alors une sphre qui pouse au mieux la courbure de lellipsode (sphre de courbure moyenne) ; les surfaces de niveau peuvent tre considres comme tant des sphres concentriques. Cest ainsi que pour les oprations o cette approximation suffit, on a choisi

en Suisse le rayon de la sphre de courbure moyenne : R = 6378,8 km

Enfin, si ltendue du domaine o se font des mensurations est restreinte au point que la courbure de le Terre ne se fait pas sentir, on assimile la portion correspondante de la sphre (ou de lellipsode) un plan ; les surfaces de niveau peuvent tre assimiles des plans horizontaux parallles.

1.2.3. Coordonnes terrestres

Afin de pouvoir situer la position dun point sur la surface de la Terre, il faut introduire un systme de coordonnes sur cette surface (Figure 3-12) : on dfinit dabord des lignes de coordonnes, les mridiens et parallles,

Godsie 17

Elments de gomatique puis les coordonnes elles-mmes, latitude et longitude, qui sont ce quon appelle communment les coordonnes gographiques.

Figure 1-12 : Lignes de coordonnes

Laxe de rotation de la Terre coupe la surface terrestre en deux points qui sont les ples terrestres : ple Nord et ple Sud. Tout plan passant par laxe des ples coupe la surface terrestre suivant une ligne appele mridien terrestre. Le demi-mridien passant par un point est le mridien de ce lieu. Le plan perpendiculaire laxe des ples et passant par le centre de gravit de la Terre coupe la surface terrestre suivant une ligne appele quateur terrestre. Tout autre plan perpendiculaire laxe des ples coupe la surface terrestre suivant une ligne appele parallle terrestre. Les mridiens et parallles forment la surface de la Terre un systme de lignes de coordonnes orthogonales. Les dfinitions qui viennent dtre donnes sont valables quelle que soit la forme de la Terre : gode, ellipsode ou sphre. Il en va de mme pour la dfinition des coordonnes (Figure 3-13 et Figure 3-14). La latitude dun point de la surface de la Terre est langle que fait la normale la surface en ce point avec le plan de lquateur. Les latitudes se comptent partir de lquateur, de 0 +90 sur lhmisphre nord, de 0 -90 sur lhmisphre sud. Souvent, on parle simplement de latitude Nord et de latitude Sud. La longitude dun point de la surface de la Terre est langle didre que fait le plan mridien passant par ce point avec un plan mridien origine ; par convention internationale, ce dernier est celui passant par Greenwich (observatoire de Londres).

18 Godsie

Elments de gomatique Les longitudes sont comptes partir de Greenwich de 0 360 vers lEst, ou de 0 +180 vers lEst et -180 vers lOuest. Souvent, on parle simplement de longitude Est et de longitude Ouest. Souvent aussi, les longitudes sexpriment en heures (dcoupage de la sphre en 24 fuseaux horaires)

Figure 1-13 : Les coordonnes sur la sphre

Ces formules ne peuvent tre utilises pour calculer la latitude et la longitude uniquement dans le cas o X Y Z R+ + = . Exemple : EPFL-Ecublens = 4631 N (Nord) = 634 E (Est de Greenwich) On considre maintenant l'ellipsode de la Figure 3-14.

Figure 1-14 : Les coordonnes sur l'ellipsode

Godsie 19

Elments de gomatique Selon que (, ) expriment la position dun point sur le gode ou sur un ellipsode ou sur une sphre, ces coordonnes ont des valeurs diffrentes. Sil sagit de la position sur le gode, on parle de coordonnes astronomiques ; si cest sur une surface de rfrence, ce sont des coordonnes godsiques ou ellipsodiques. Les premires se rfrent la verticale du lieu, tandis que les secondes le font la normale la surface de rfrence en ce lieu. Les deux directions sont diffrentes lune de lautre et lcart angulaire entre les deux est appel dviation de la verticale. Celle-ci dpend du choix de lellipsode et de sa position par rapport au gode (Figure 3-15).

Figure 1-15 : La dviation de la verticale

1.2.4. Ellipsode et changement de systme

Gnralits

La latitude et laltitude h que lon obtient partir des coordonnes gocentriques dpendent des dimensions de lellipsode choisi comme surface de rfrence et de sa position par rapport la Terre, cest--dire au gode. Lellipsode choisi et sa position forment ce que lon appelle le datum godsique. On parle de systme de rfrence terrestre ou godsique pour un systme de coordonnes cartsiennes gocentriques associes un datum godsique.

Ellipsode global

Avec le dveloppement de GPS, qui est un systme mondial de localisation, on se rfre aujourdhui au systme godsique WGS 84 (World Geodetic System) qui dfinit un systme global de coordonnes cartsiennes gocentriques tridimensionnelles (X, Y, Z) dont :

lorigine est le centre de gravit de la Terre laxe Oz passe par le ple nord CIO (Conventional

International Origin)

20 Godsie


laxe Ox est lintersection du plan normal Oz et contenant lorigine avec le plan mridien de Greenwich

laxe Oy dfinit un tridre direct. Lellipsode de rfrence de ce systme WGS 84 a les caractristiques suivantes :

a = 6 378 137.0000 m b = 6 356 752.3142 m voir Tableau 3-1, f = 1/298.257 223 563

ainsi que divers coefficients pour modliser la rotation et le champ de gravit de la Terre. Dans le contexte de la localisation, on confond souvent les deux notions et on rduit WGS 84 son ellipsode.

Ellipsode local

Avant que les techniques spatiales ne permettent de dfinir un ellipsode global, on a construit les cartes sur des surfaces de rfrence locales. De manire gnrale, chaque pays a dfini la sienne. Il faut dfinir les dimensions de lellipsode de rfrence, mais il faut encore le dplacer et lorienter dans lespace afin quil adhre au mieux la portion de la Terre reprsenter. Gnralement, on a choisi un point fondamental dont les coordonnes gographiques (latitude et longitude) sont assimiles ses coordonnes astronomiques. Ceci revient fixer la dviation de la verticale zro pour ce point : la normale lellipsode (mathmatique) et la verticale (physique) sont confondues (voir Figure 3-15). Sur une tendue limite, un ellipsode local pouse mieux le gode quun ellipsode global, ce que la Figure 3-16 prsente avec une exagration manifeste.

Figure 1-16 : Ellipsode global - ellipsode local (B : latitude du lieu)

Godsie 21

Elments de gomatique Le systme de rfrence Suisse CH 1903 est dfini par les paramtres suivants :

Ellipsode de Bessel Point fondamental a = 6 377 397.155 m Bo : 46 57 08.66 b = 6 356 078.962 m Lo : 7 26 22.50 f = 1/299.152 812 8

On a repris les dimensions de lellipsode allemand (Bessel 1841) mais on la cal l(ancien) observatoire de Berne, ce que les Allemands avaient fait Berlin. En France, les dimensions de lellipsode sont lgrement diffrentes et il est cal, videmment, Paris. Il faut noter une consquence concrte : pour deux pays voisins, les coordonnes gographiques dun point sur la frontire sont gnralement diffrentes car elles ne reposent pas sur la mme rfrence godsique. Un nombre croissant de pays adopte le systme WGS 84 avec des classes de systmes compatibles et reposant sur des dfinitions quasi semblables : ITRS : International Terrestrial Reference System, ETRS89 : European Terrestrial Reference System, CHTRS95 : Systme de rfrence global pour la Suisse dfini en 1995. Toutefois, la varit et la quantit de donnes spatiales en usage empchent leur transformation systmatique. Par exemple, il est plus facile - et plus utile - de gnraliser lusage de WGS 84 dans laviation civile que dans les cadastres des canalisations du monde entier. Dans le premier cas, il sagit dharmoniser les donnes utilises par les quipements des aroports et par les instruments de bord. Dans le second cas, il faut considrer les plans et les bases de donnes les plus diverses. Toutefois, ces changements de systmes de rfrence sont bien documents par les Instituts nationaux de gographie et de topographie.

Changement de systme godsique

Pour calculer les coordonnes dun repre exprimes par rapport un systme de rfrence godsique dans un autre systme, il faut appliquer aux coordonnes gocentriques une transformation spatiale conforme ou transformation de Helmert dans lespace dfinie par 7 paramtres :

3 translations (tx, ty, tz) selon les axes Ox, Oy, Oz 3 rotations (x, y, z) autour des mmes axes 1 changement dchelle (1+ m)

Depuis la fin des annes 1980, on a effectu dans notre pays, avec les techniques GPS, la dtermination dans le systme WGS84 de nombreux repres du rseau de points fixes, connus en coordonnes et altitude dans notre systme godsique CH 1903. On a ainsi dtermin des paramtres officiels permettant de transformer les coordonnes gocentriques. Paramtres pour la transformation de CH 1903 dans WGS 84 : tx = 660.077 m ty = 13.551 m tz = 369.344 m x = 2.484cc

22 Godsie

Elments de gomatique y = 1.783cc z = 2.939cc m = 5.66 ppm Cette transformation donne une prcision de l'ordre du mtre sur l'ensemble du territoire national. On peut calculer la transformation inverse en changeant les signes. On ne lutilise plus pour les travaux de mensuration. Il faut remarquer le dcalage important entre le centre de l'ellipsode suisse et celui de l'ellipsode global, qui correspond au centre de gravit de la Terre (gocentre), dtermin selon les techniques les plus rcentes. En revanche, on notera la modestie des rotations. Les coordonnes gographiques (latitude et longitude) d'un point dpendent de l'ellipsode choisi pour rfrence. En Suisse, confondre des coordonnes WGS84 et des coordonnes CH03 provoque une faute de env. 300 m. Ceci se produit si l'on omet de slectionner la transformation adquate pour un rcepteur GPS. Nouveau systme pour la mensuration Suisse : CH1903+ Le GPS a permis de mesurer avec grande prcision des points fixes du systme de rfrence godsique Suisse. Ainsi on a pu mettre en vidence des carts importants dans la ralisation de CH1903 lchelle du pays. Face ce constat, lOffice fdral de topographie a dfini un nouveau systme (CH1903+) et un nouveau cadre de coordonnes (MN95) compatibles avec les mthodes modernes de mesures et avec le systme godsique global pour la Suisse CHTRS95. Paramtres pour la transformation de CH 1903+ dans CHTRS95 : tx = 674.374 m ty = 15.056 m tz = 405.346 m

1.2.5. Azimut, azimut magntique

Les mridiens et les parallles forment sur la surface de la Terre un systme de lignes de rfrence (lignes de coordonnes), dans lequel il faut galement pouvoir dfinir lorientation dune direction quelconque. A cet effet, on a :

Lazimut a dune direction est langle quelle fait avec le mridien. En godsie, lorigine des azimuts est la direction nord du mridien, appel aussi Nord gographique, et on les compte positivement vers l'Est de 0 360 (ou de 0gon 400gon), donc dans le sens Nord-Est-Sud-Ouest (NESO).

Godsie 23

Elments de gomatique Lazimut aPQ dun ct PQ situ sur la surface de rfrence terrestre est langle que font entre elles, au point P, les tangentes larc PQ et au mridien (Figure 3-17). Cet angle est situ dans le plan tangent la surface en P (plan horizontal) ; par consquent lazimut est un angle horizontal. Sauf cas particuliers, on a : aPQ aQP 180

Figure 1-17 : Les mridiens et azimuts

Lazimut magntique am dune direction est langle quelle fait avec la direction du Nord magntique (Figure 3-18). Il est aussi compt de 0 360 (ou de 0gon 400gon) partir du nord dans le sens NESO. La direction du Nord magntique (Nm) est indique par laiguille aimante dune boussole. La dclinaison magntique m est langle compris entre la direction du Nord gographique (direction nord du mridien) et celle du Nord magntique.

m = a - am

Figure 1-18 : La dclinaison magntique

Le ple magntique nest pas fixe et il en rsulte que la direction du Nord magntique en un lieu varie dans le temps : il y a une variation sculaire, lente et continue, et une variation journalire, plus sensible, oscillant par rapport une valeur moyenne (Figure 3-19). Du fait des variations de la direction du Nord magntique, ainsi qu cause des influences locales auxquelles laiguille aimante dune boussole peut tre soumise, la rfrence magntique est peu utilise en topographie.

24 Godsie


Figure 1-19 : Variation journalire de la direction du Nord magntique par rapport sa moyenne

A Lausanne en 2011, la valeur de la dclinaison magntique est denviron 104. Elle augmente chaque anne denviron 9.

1.2.6. Systmes d'altitudes

L'altitude ellipsodique h est la distance, selon la normale, entre un repre A et l'ellipsode de rfrence. Il s'agit d'une grandeur purement gomtrique qui ne correspond pas l'altitude que l'on obtient par nivellement et qui se rapporte au gode. Pour passer de l'altitude ellipsodique h l'altitude usuelle H selon le nivellement, il est ncessaire de connatre l'ondulation ou la cote du gode N indique sur la Figure 3-20.

Figure 1-20 : La cote du gode (N)

En premire approximation : h = H + N La connaissance prcise du gode dans une rgion est donc ncessaire si l'on veut pouvoir passer d'un systme d'altitude l'autre. Elle implique de dterminer, pour un ensemble de repres :

les altitudes ellipsodiques obtenues par observations des satellites ;

les altitudes usuelles, issues des travaux de nivellement.

Godsie 25


Figure 1-21 : Carte du gode en Suisse, variations exprimes en m

2013 swisstopo (JD100064) Les recherches concernant les ondulations du gode ont dbut vers 1930. La multiplication des mesures gravimtriques prcises, sur les continents dabord, puis en mer, ainsi que lunification de vastes rseaux de triangulation constituant des ensembles cohrents trs tendus (Europe, URSS, Etats-Unis), a permis de raliser les premires cartes donnant, sous forme de courbes de niveau, les diffrences d'altitude entre le gode et un ellipsode de rfrence. Plusieurs quipes de chercheurs ont collect de trs nombreuses mesures et ont prsent des rsultats largement concordants sous la forme de modles standard de la Terre (Figure 3-9). La Suisse a galement dvelopp son propre modle local du gode qui est dcrit par rapport au systme de rfrence godsique CH1903. Ce modle est disponible auprs de lOffice fdral de topographie sous forme numrique et permet une interpolation des valeurs de cote N sur lensemble du territoire. Les valeurs de cotes du gode stendent de -2m (Genve) + 4m (Grisons). Certains rcepteurs GPS intgrent directement ce modle numrique de manire fournir lutilisateur des altitudes usuelles compatibles avec les donnes des rseaux de nivellement (Figure 3-21). Exemple altitude de lEPFL : h (hauteur sur lellipsode) : 407,847 m N (cote du gode) : -1,548 m H (usuelle) = h N = 407,847 (-1,548) = 409,395 m (ref : station AGNES de lEPFL)

26 Godsie


2. Systmes de projection

2.1. Dfinitions Les cartes gographiques et topographiques sont des reprsentations planes de la surface terrestre. Pour les obtenir, il faut faire appel aux systmes de projection : ils tablissent une relation ponctuelle univoque entre deux surfaces quelconques et il existe une infinit de solutions. Il sagit ici dobtenir une image plane dune surface de rfrence terrestre, ellipsode ou sphre. On ne traite que de projections dune de ces surfaces dans le plan. Sur la surface de rfrence, on a le systme de coordonnes gographiques (, ), tandis que dans le plan on dfinit un systme de coordonnes rectangulaires (x, y). Une projection est dfinie par les relations :

x = 1(, ) et y = 2(, )

Les deux fonctions 1 et 2 pouvant tre tout fait quelconques. Cependant, on ne retient que les solutions qui prsentent un intrt du point de vue cartographique. En rgle gnrale, lorsque lon projette une surface S sur une deuxime surface S, une figure gomtrique trace sur la surface originale change de grandeur et de forme sur la surface de projection. On dit que la projection donne lieu des dformations. On distingue trois types de dformations :

- la dformation linaire ; - la dformation angulaire ; - la dformation de surface.

Il est possible de trouver des projections qui conservent les angles ou les surfaces, ou des projections qui conservent certaines distances (il nexiste aucune projection qui conserve toutes les longueurs). Lorsque la surface originale est une sphre ou un ellipsode de rvolution (les surfaces de rfrence employes pour les calculs godsiques), il est impossible de trouver une projection de ces surfaces sur un plan ou sur une surface dveloppable (les surfaces de projection) qui ne provoque aucune dformation. On choisira alors, suivant le but recherch, la projection qui donne lieu aux dformations les plus petites ou les moins gnantes. Il y a plusieurs faons dtablir une classification des divers systmes de projection mis en uvre pour les travaux de topomtrie et de cartographie. Cela dpend du critre de classification retenu :

- les proprits de la projection (conformit, quivalence, quidistance)

- le type de surface de projection qui peut tre non seulement un plan, mais aussi une surface dveloppable comme un cne ou un cylindre de rvolution.

Systmes de projection 27

Elments de gomatique Les proprits des projections tablissent le classement suivant :

- les projections conformes ou autogonales, qui conservent les angles. Elles sont la base des cartographies topographiques car elles permettent le report direct des angles mesurs sur le terrain. Elles sont choisies pour un pays ou un groupe de pays, en tenant compte de ltendue et de la forme gomtrique du territoire et pour que les dformations linaires soient aussi petites que possible.

- les projections quivalentes, qui conservent les aires. Elles sont intressantes pour tablir des cartes datlas.

- les projections qui ne conservent ni les angles ni les aires, mais qui peuvent avoir dautres caractristiques intressantes suivant les cas.

Le second procd de classement, dpendant du type de la surface de projection, est le suivant :

- projections coniques ; - projections azimutales ; - projections cylindriques.

Le cne, le plan ou le cylindre peuvent occuper une position quelconque par rapport la surface de rfrence. Des exemples de projections (Figure 4-1) sont dtaills dans la suite de lnonc.

Figure 2-1 : Classification des projections

En outre, on parle de projection normale dans le cas o le plan est tangent lun des ples ou lorsque laxe du cne ou du cylindre est confondu avec laxe des ples de la surface de rfrence.

28 Systmes de projection

Elments de gomatique La projection est transversale quand laxe du cne ou du cylindre est perpendiculaire laxe de la surface de rfrence ou lorsque le plan de projection est tangent la surface en un point de lquateur. Dans tous les autres cas, la projection est oblique.

2.2. Types de projection

2.2.1. Projections coniques

Gnralits

Considrons un cne de rvolution dont laxe est confondu avec laxe NORD-SUD dune sphre reprsentant la Terre et qui est tangent cette surface selon un parallle de contact de latitude 0 (Figure 4-2). Par dfinition, une projection conique de la sphre a les caractristiques suivantes :

- un mridien de la sphre se projette selon la gnratrice du cne qui lui est tangente ;

- sur la gnratrice du cne, la position dun point est fonction de sa latitude seulement.

Figure 2-2 : La projection conique

Lorsque lon dveloppe le cne (Figure 4-3), limage de la sphre est un secteur circulaire sur lequel :

- les mridiens projets forment un faisceau de droites issues de limage du sommet du cne ;



- les parallles projets sont des cercles concentriques dont le centre est limage du sommet du cne.

Figure 2-3 : Dveloppement du cne de projection Les mridiens et les parallles sont orthogonaux sur la sphre et en projection ; ce sont les directions principales des projections coniques.

Figure 2-4 : Projection de Ptolme (2me sicle aprs J.C.)


Elments de gomatique Exemple : projection conique conforme de Lambert

(Jean-Henri Lambert, 1728-1777, mathmaticien franais) Cest le systme de projection qui a t adopt pour la cartographie de la France : un cne est tangent lellipsode de rvolution le long dun parallle. Afin de maintenir les dformations linaires dans des limites acceptables, ce sont en fait 3 cnes successifs qui ont t placs pour la mtropole, plus un 4e pour la Corse. Le mridien origine, devenant laxe des y, est celui de lobservatoire de Paris. Laxe des x est, pour chaque zone, la tangente la projection dun parallle central, au point situ sur le mridien origine :

- Zone Nord : Lambert I, = 55 gon N, parallle central - Zone Centre : Lambert II, = 52 gon N, parallle central - Zone Sud : Lambert III, = 49 gon N, parallle central - Zone Corse : Lambert IV, = 46,85 gon N, parallle central

Ainsi, les dformations linaires sont normalement comprises entre -12 cm/km et +16 cm/km, avec maximums +26 cm/km lextrme Nord et +36 cm/km lextrme Sud du pays. Avec la rforme de son systme godsique, la France a galement dfini un nouveau systme de projection unique et qui couvre lensemble du territoire, le systme Lambert-93 (Figure 4-5). Bien que les dformations soient importantes au Nord et au Sud de la France, ce systme unique facilite les oprations de transformations de coordonnes et permet de travailler avec un seul systme pour des donnes numriques stockes dans une infrastructure nationale de godonnes.

Figure 2-5 : Altration linaire des systmes de projection en France



2.2.2. Projections azimutales

Gnralits

Les projections azimutales peuvent tre considres comme des cas particuliers des projections coniques dans lesquelles le cne de projection est ouvert jusqu' ce que son sommet soit en contact avec la sphre (le cne est devenu un plan) et que le parallle de contact se rduise un point. Ces projections ont la particularit de conserver les azimuts au point de contact. On projette la sphre sur un plan tangent ; dans le cas dune projection azimutale normale, ce plan est tangent la sphre lun des ples. Les mridiens se projettent selon des droites concourantes et les parallles selon des cercles concentriques ferms.

Exemples

On peut citer trois cas particuliers de projections azimutales : la projection gnomonique, la projection strographique et la projection orthographique. Il sagit de projections perspectives, dont le centre de projection est situ sur laxe de rotation de la Terre.

Figure 2-6 : Les projections gnomonique et strographique

2.2.3. Projections cylindriques

Gnralits

On peut aussi considrer les projections cylindriques comme cas particuliers des projections coniques. On projette la sphre sur un cylindre tangent que lon dveloppe pour obtenir le plan :

- projection cylindrique normale : laxe du cylindre concide avec laxe de rotation de la Terre et le cylindre est tangent la sphre terrestre le long de lquateur (exemple : projection de Mercator).



- projection cylindrique transversale : laxe du cylindre est dans le plan de lquateur et le cylindre tangent la sphre terrestre le long dun mridien (exemple : projection UTM).

- projection cylindrique oblique : laxe du cylindre est oblique par rapport laxe de rotation de la Terre et le cylindre tangent la sphre le long dun grand cercle quelconque (exemple : la projection suisse).

Dans la suite, trois exemples de projections sont dvelopps. On peut ajouter ces projections, la projection cylindrique quivalente et la projection transverse Mercator.

Exemple 1 : Carte plate rectangulaire

(Marin de Tyr, env. 100 ap. J.-C.) Le cylindre est tangent la sphre le long de lquateur ; les mridiens se projettent selon les gnratrices du cylindre, les parallles selon des cercles directeurs. En dveloppant le cylindre, limage des mridiens est faite de droites parallles entre elles et celle des parallles terrestres de droites perpendiculaires aux mridiens. Dans le plan, lquateur est une droite qui dfinit laxe des abscisses x, et le mridien origine devient laxe des ordonnes y (Figure 4-7). Les formules de la projection sont les plus simples possible :

x = et y =

Figure 2-7 : La carte plate rectangulaire

La Terre est projete dans un rectangle de largeur 2r et de hauteur r. Cette projection nest ni conforme, ni quivalente ; les dformations augmentent en allant depuis lquateur (non dform) vers les ples (dformation infinie).

Exemple 2 : Projection de Mercator

(Projection cylindrique conforme) En choisissant convenablement la fonction 2, on peut obtenir une projection conforme :



x r = et ln4 2

y r tg = +

La Terre est projete dans une bande de largeur 2r et de hauteur infinie. Les dformations linaires augmentent en allant depuis lquateur vers les ples qui sont rejets linfini ; les parallles quidistants sont de plus en plus espacs (Figure 4-8).

Figure 2-8 : Carte rsultant de la projection Mercator

Cette projection, dite de Mercator (1512-1594, mathmaticien flamand de son vrai nom Gerhard Kremer), est conforme et elle a joui dune grande notorit pour la navigation cause de la proprit suivante. Une loxodromie, qui est une ligne qui coupe tous les mridiens sous le mme angle (azimut constant ou mme cap le long dune route), est reprsente par une droite. Par contre, une orthodromie, route la plus courte dun point un autre, est projete suivant une courbe qui diffre dautant plus de la loxodromie que lon se trouve plus loign de lquateur (Figure 4-9). La projection de MERCATOR a t utilise pour l'tablissement de cartes petite chelle sur de trs grandes surfaces et pour des reprsentations gnrales de la Terre limites en principe aux latitudes jusqu' 75, car les dformations deviennent trop importantes partir de cette valeur puisque les ples sont rejets l'infini.



Figure 2-9 : Loxodromie et orthodromie projetes selon Mercator

Exemple 3 : Projection Universal Transverse Mercator

Une gnralisation du systme Transverse Mercator (il sagit dune projection cylindrique transversale, le cylindre tant tangent lellipsode le long dun mridien) pour toute la Terre, a conduit la projection UTM, construite sur l'ellipsode international (Hayford). Afin que les dformations linaires restent petites, la zone stendant de part et dautre du mridien de contact est limite 3 de longitude. La projection couvre donc un fuseau de 6 damplitude en longitude et lon a fait un dcoupage de la Terre en 60 fuseaux. Le mridien de Greenwich est la limite des fuseaux 30 ( louest) et 31 ( lest) ; la Suisse se trouve dans le fuseau 32. Les formules et tables tablies pour un fuseau sont valables pour tous les fuseaux, do la dsignation de systme universel. En projetant le mridien de contact en vraie grandeur, la dformation linaire atteint +40 cm/km (400 ppm) environ 200 km l'Est et l'Ouest du mridien central. Elle dpasse mme +1 m/km 300 km. Pour rduire cet allongement des distances projetes, on applique dans la projection UTM un coefficient m de 0.9996 sur les distances projetes, donc sur les coordonnes planes. Le mridien central est ainsi raccourci de 40 cm/km et le coefficient m prend les valeurs suivantes :

- sur le mridien central m = 0.9996 -40 cm/km - 180 km Est ou Ouest m = 1.0000 vraie grandeur - 240 km m = 1.0004 + 40 cm/km - 300 km m = 1.0007 + 70 cm/km - 340 km m = 1.0010 + 1 m/km

Grandes zones Carrs de 100 km x 100 km

Paris : 31U Rouen : 31 UCQ Berlin : 33U Bastia : 32 TNN Rabat : 29S Toulouse : 31 TCI



Figure 2-10 : Numrotation des fuseaux et des secteurs de la projection UTM

2.3. Projection Suisse Comme toutes les cartographies, celle de la Suisse est fonde sur un systme de projection. La premire carte du pays tablie dans un systme unique a t la Carte Dufour lchelle 1 : 100'000 (1832-1864), selon une projection conique quivalente dite projection de Bonne (mathmaticien franais du XVIIIme sicle). Actuellement, toutes les donnes topographiques ainsi que les nouvelles Cartes nationales dpendent dune projection conforme adopte en 1903, appele projection Suisse.

2.3.1. Dfinition

Le systme, qui est la base des nouvelles triangulations et cartographie de la Suisse (1903), est une double projection conforme, cylindrique axe oblique. La surface de rfrence choisie est lellipsode de Bessel (1880) : a = 6377397,155 b = 6356078,963


Elments de gomatique Le point central de la projection est situ lancien observatoire de Berne : Latitude : B =46 57 08,66 N Longitude : L = 7 26 22,50 E

= 0 h 29 m 45,5s E (systme horaire)

Lellipsode est plac tangent au gode au point central (la normale lellipsode y est confondue avec la verticale). Il y a dabord une projection conforme de lellipsode sur une sphre qui lui est osculatrice, puis une projection conforme de cette sphre sur un cylindre dont laxe est oblique par rapport laxe de la Terre. Le dveloppement de ce cylindre donne le plan (Figure 4-11).

Figure 2-11 : La projection suisse

Pour distinguer les coordonnes gographiques du cas gnral (, ), dans le cadre de la projection suisse, on les dsigne volontiers par B (pour Breite) et L (pour Lnge), respectivement b et .

(B, L) : coordonnes gographiques sur lellipsode (b, ) : coordonnes gographiques sur la sphre

La projection de lellipsode sur la sphre est dfinie par des fonctions : b = 1(B) et = 2(L) choisies pour que la projection soit conforme et pour que les dformations linaires soient aussi petites que possible ; elles sont au plus de 1 mm pour 10 km.


Elments de gomatique La sphre est celle de courbure moyenne, dont le rayon vaut :

r = 6378,816 km La projection conforme de la sphre dans le plan est une projection de Mercator oblique ; le cylindre est tangent la sphre le long du grand cercle passant par Berne et perpendiculaire au mridien de Berne.

2.3.2. Coordonnes rectangulaires planes

En dveloppant le cylindre, on obtient deux droites perpendiculaires entre elles qui dfinissent le systme de coordonnes dans le plan de projection : limage du cercle de contact donne laxe y ; limage du mridien de Berne donne laxe x orient au Nord (Figure 4-12).

Figure 2-12 : Le systme de coordonnes suisses avec leur origine Berne"

Les autres mridiens que celui de Berne se projettent suivant des courbes dont la courbure saccentue en sloignant vers lEst ou lOuest depuis Berne ; limage des parallles est faite de courbes perpendiculaires aux mridiens (projection conforme). L'origine est Berne, mais on a introduit une translation de lorigine de 600 km vers lOuest et de 200 km vers le Sud. Ainsi on a dfini :

Y = y + 600 km et X = x + 200 km. Par ces translations, on ralise les avantages suivants :

pour lensemble du pays les coordonnes sont toujours positives ;

la plus petite valeur Y est plus grande que la plus grande valeur X.

Ces coordonnes rectangulaires planes sont appeles aussi coordonnes nationales. Attention !

Par convention, on a en Suisse : Y en abscisse, croissant dOuest en Est X en ordonne, croissant du Sud au Nord



Figure 2-13 : Le systme de coordonnes suisses "nationales" ou "militaires"

Dans ce systme, la Suisse a pour coordonnes limites :

484 km < Y < 834 km 74 km < X < 296 km

Les coordonnes snoncent toujours dans lordre Y, X et elles sont normalement exprimes en mtres avec deux dcimales : Exemple :

EPFL - Ecublens Y = 533154,13 m X = 152548,06 m

Les calculs lis la projection suisse sont un peu plus simples si l'on exprime les coordonnes planes sans translation de l'origine, c'est--dire avec y = Y - 600 km et x = X - 200 km, donc avec y = x = 0 Berne. Parfois, les coordonnes y, x sont appeles civiles et Y, X militaires, mais cet usage tend disparatre. Avec la rnovation du systme godsique suisse (CH1903+), on a introduit un nouveau cadre de coordonnes MN95 qui diffre quelques peu (1 2 m) de la ralisation MN03. Afin de distinguer ces deux cadres de coordonnes, on introduit une translation supplmentaire pour MN95.

YMN95 = y + 2600 km et XMN95 = x + 1200 km.

2.3.3. Convergence du mridien

La convergence du mridien est langle compris entre le mridien et une parallle laxe des X. Cest lazimut de la direction du Nord de la carte. Comme cest un angle petit, il est exprim positivement ou ngativement selon le cas.


Elments de gomatique Dans la projection suisse, on a

- = 0 pour tous les points situs sur le mridien de Berne - > 0 si lon est lest de ce mridien - < 0 si lon est louest de ce mridien

Les valeurs extrmes pour la Suisse sont :

- lest = + 2,3 (+ 2,6 gon) Grisons - louest = - 1,1 (- 1,2 gon) Genve

La Figure 4-14 rcapitule les diffrentes directions de rfrence du Nord, les angles compris entre elles, et les angles dorientation. Il en dcoule les relations suivantes, les diffrents angles tant prendre avec leur signe :

Azimut magntique : am = a - m On trouve en marge de toutes les cartes nationales au 1 : 25000 et 1 : 50000 la valeur de la correction totale dclinaison et convergence du mridien, valable pour le milieu de la carte une date donne, ainsi que la variation annuelle.

Figure 2-14 : Les diffrentes directions de rfrence du Nord

2.3.4. Conversion de coordonnes planes et gographiques

On trouve les dveloppements thoriques et les formules relatives la projection suisse dans des ouvrages de rfrence. Pour un calcul rigoureux, il faut utiliser les formules qui y sont dcrites. On donne ici des formules simplifies qui permettent la conversion avec une prcision suffisante pour certains usages. Rappelons les dsignations avec les units quelles ont dans les formules qui suivront :

- L = longitude E de Greenwich, en secondes sexagsimales

- B = latitude, en secondes sexagsimales - y, x = coordonnes planes civiles, en mtres


Elments de gomatique En Suisse :

- 1 en latitude correspond 31 m le long dun mridien - 1 en longitude correspond 21 m le long dun parallle

Les donnes de base suivantes permettent deffectuer les calculs de transformation de coordonnes entre (B0, L0) et (y, x) (ou (Y, X)) : Latitude du point central de la projection : B0 = 46 57 08,66

B0 =169'028,66 Longitude du point central de la projection : L0 = 7 26 22,50 L0 = 26'782,50 Coordonnes planes nationales (militaires) : Y = y + 600'000 m X = x + 200'000 m

2.3.5. Conversion de y, x en L, B

Les formules donnent L, B 1 prs. Cela quivaut connatre y, x 30 m prs. Calcul de B latitude Nord B = 169029 + 3,239 10-2 x - 2,714 10-9 y2 Pour avoir B (degrs et parties dcimales du degr), diviser B par 3600. Calcul de L longitude Est de Greenwich L = 26783 + 4,730 10-2 y + 7,926 10-9 y x Pour avoir L (degrs et parties dcimales du degr), diviser L par 3600.

2.3.6. Conversion de L, B en y, x

Les formules donnent y, x 50 m prs si lon connat B, L 1 prs. Il faut dabord calculer la longitude rduite et la latitude rduite en secondes () : = L - 26 783 = B - 169 029 Calcul de y en mtres y = + 21,143 - 1,094 10-4 - 4,423 10-11 3 Calcul de x en mtres x = + 30,877 + 3,745 10-5 2 - 1,937 10-10 2

2.3.7. Calcul de la convergence du mridien

La valeur de la convergence du mridien varie dun lieu un autre ; elle dpend donc des coordonnes de ce lieu. On donne ci-dessous une formule qui permet de la calculer partir des coordonnes rectangulaires planes civiles (y, x).

= convergence du mridien, en gons y, x = coordonnes planes civiles, en mtres


Elments de gomatique La formule permet dobtenir 1mgon prs si on connat y, x 10 m prs. Calcul de en gon

gon = + 1,06680 10-5 y + 1,788 10-12 y x - 1,4 10-19 y3 + 4,3 10-19 y x2

Pour avoir (degrs et parties dcimales du degr), multiplier gon par 0,9.

2.3.8. Dformation linaire

La dformation linaire dpend essentiellement de lloignement par rapport laxe X = 200 (axe neutre non dform). La projection de la sphre dans le plan a pour effet un allongement des longueurs. En introduisant les dsignations :

os : distance sphrique au niveau de la mer s : distance projete dans le plan de projection (Y, X)

dforme x : coordonne civile moyenne du ct de longueur s r : rayon de la sphre terrestre (= 6 378,8 km)

On a la relation :

0 xs s = La correction x exprime en mtres pour un ct de 1 km est :

[ ] [ ]( ) [ ]( )2

225

2 2

2001000 1000 1.23 10 200

2 2.6379xX kmxm m m X km

r

= = =

Ainsi, la correction de dformation linaire en mm par km est :

[ ] [ ]( )221.23 10 200x ppm X km = et les relations pour calculer la distance au niveau de la mer en fonction de la distance plane et rciproquement sont :

[ ]( )60 1 10xs s ppm = [ ]( )60 1 10xs s ppm = +

Le Tableau 4-1 donne la valeur de x pour quelques loignements par rapport laxe neutre.

(X -200) [km] x [mm/km] 0 0 25 8 50 31

100 123 125 (Sud Tessin) 192 Tableau 2-1 : Les dformations linaires


Elments de gomatique A l'EPFL - Ecublens :

X = 152.55 km x = 28 mm/km.

La dformation linaire nest pas ngligeable : on doit en tenir compte dans les applications topomtriques qui font intervenir des distances mesures dans le terrain et que lon doit utiliser dans le plan (Y, X) pour des calculs.

Figure 2-15 : Carte de la Suisse avec les valeurs de la convergence du mridien et de la dformation linaire

Source : swisstopo

2.3.9. Exemple

EPFL - Ecublens Coordonnes nationales : Y = 533 155 m et X = 152 553 m Longitude L : L = 23646

L = 6,5683= 634 06 E ou 0h 26m 16,4s E Latitude B : B = 167480

B = 46,5222 = 46 31 20 N Convergence du mridien : gon = - 0,708gon = - 0 38 12


Elments de gomatique Notes :



3. Rfrences

On donne ici quelques rfrences bibliographiques utiles et complmentaires au contenu de ce polycopi. Cette liste nest de loin pas exhaustive.

Rfrences godsiques

Dufour J-P., (2001), Introduction la godsie, Ed. Herms Science Publication Swisstopo, (2009), Dfinition de la nouvelle mensuration nationale de la Suisse MN95 , rapport 21, 2009 Projections et cartographie

Yang Q.H. et al, (2000), Projection transformation : principles and applications, Ed. Taylor & Francis

Le Fur A., (2007), Pratiques de la cartographie, 2me dition, Ed. Armand Colin Weger G., (1999), Smiologie graphique et conception et conception cartographique, cole nationale des sciences gographiques. Darteyre JP, (2008), Cours de cartographie, cole nationale des sciences gographiques.

46 Rfrences

Elments de gomatique 4. Table des figures Avertissement La plupart des figures de ce polycopi ont t cres lEPFL. Toutefois, les auteurs ont utilis un certain nombre de ressources dont les rfrences sont cites. Si lune ou lautre de ces ressources ne sont pas rfrences correctement ou font lobjet dun droit dusage particulier, nous vous prions de bien vouloir le signaler lauteur. Figure 1-1 : Premire dtermination du rayon terrestre par Eratosthne 250 ans avant J.C. ............................................................................. 5 Figure 1-2 : Chane de triangles ............................................................................ 6 Figure 1-3 : Premier rseau godsique mondial obtenu par triangulation spatiale .............................................................................................. 8 Figure 1-4 : Orbites polaires des cinq satellites du systme de TRANSIT ................................................................................................................ 8 Figure 1-5 : Le gode .......................................................................................... 10 Figure 1-6 : Nouveau rseau de points fixes du cadre de coordonnes Suisse MN95 ................................................................................. 11 Figure 1-7 : Schma d'un margraphe ............................................................... 12 Figure 1-8 : Rseau principal de nivellement en Suisse. ................................. 13 Figure 1-9 : Carte du gode mondial, modle EGM96 (source NASA) Variations exprimes en m ................................................................... 14 Figure 1-10 : L'ellipsode de rvolution ............................................................. 15 Figure 1-11 : Forme en poire du gode ............................................................ 16 Figure 1-12 : Lignes de coordonnes ................................................................ 18 Figure 1-13 : Les coordonnes sur la sphre .................................................... 19 Figure 1-14 : Les coordonnes sur l'ellipsode ................................................. 19 Figure 1-15 : La dviation de la verticale .......................................................... 20 Figure 1-16 : Ellipsode global - ellipsode local (B : latitude du lieu) ......................................................................................................................... 21 Figure 1-17 : Les mridiens et azimuts .............................................................. 24 Figure 1-18 : La dclinaison magntique .......................................................... 24 Figure 1-19 : Variation journalire de la direction du Nord magntique par rapport sa moyenne .............................................................. 25 Figure 1-20 : La cote du gode (N) ................................................................... 25 Figure 1-21 : Carte du gode en Suisse, variations exprimes en m ............ 26 Figure 2-1 : Classification des projections ........................................................ 28 Figure 2-2 : La projection conique ..................................................................... 29 Figure 2-3 : Dveloppement du cne de projection ....................................... 30 Figure 2-4 : Projection de Ptolme (2me sicle aprs J.C.) ............................ 30 Figure 2-5 : Altration linaire des systmes de projection en France ..................................................................................................................... 31 Figure 2-6 : Les projections gnomonique et strographique ....................... 32 Figure 2-7 : La carte plate rectangulaire ............................................................ 33 Figure 2-8 : Carte rsultant de la projection Mercator .................................... 34 Figure 2-9 : Loxodromie et orthodromie projetes selon Mercator ............. 35 Figure 2-10 : Numrotation des fuseaux et des secteurs de la projection UTM .................................................................................................... 36 Figure 2-11 : La projection suisse ...................................................................... 37

Table des figures 47

Elments de gomatique Figure 2-12 : Le systme de coordonnes suisses avec leur origine Berne" .................................................................................................................... 38 Figure 2-13 : Le systme de coordonnes suisses "nationales" ou "militaires" ............................................................................................................. 39 Figure 2-14 : Les diffrentes directions de rfrence du Nord ...................... 40 Figure 2-15 : Carte de la Suisse avec les valeurs de la convergence du mridien et de la dformation linaire ......................................................... 43

48 Table des figures
1. Godsie1.1. Bases et dfinitions1.1.1. Forme de la Terre1.1.2. Godsie gomtrique1.1.3. Godsie spatiale1.1.4. Godsie physique gode1.1.5. Altitudes1.2. Rfrences godsiques1.2.1. Surface de niveau, gode et ellipsode1.2.2. Surfaces de rfrence1.2.3. Coordonnes terrestres1.2.4. Ellipsode et changement de systme Gnralits Ellipsode global Ellipsode local Changement de systme godsique1.2.5. Azimut, azimut magntique1.2.6. Systmes d'altitudes2. Systmes de projection2.1. Dfinitions2.2. Types de projection2.2.1. Projections coniques Gnralits Exemple : projection conique conforme de Lambert2.2.2. Projections azimutales Gnralits Exemples2.2.3. Projections cylindriques Gnralits Exemple 1 : Carte plate rectangulaire Exemple 2 : Projection de Mercator Exemple 3 : Projection Universal Transverse Mercator2.3. Projection Suisse2.3.1. Dfinition2.3.2. Coordonnes rectangulaires planes2.3.3. Convergence du mridien2.3.4. Conversion de coordonnes planes et gographiques2.3.5. Conversion de y, x en L, B2.3.6. Conversion de L, B en y, x2.3.7. Calcul de la convergence du mridien2.3.8. Dformation linaire2.3.9. ExempleNotes :3. Rfrences4. Table des figures

Documents

Polycopié 2