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Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique
Universit Hassiba Ben Bouali de Chlef
Facult de Gnie Civil et dArchitecture Dpartement de Gnie Civil
Polycopi de
Fait par
Pr. Zamila HARICHANE
Septembre 2011
Rsistance des Matriaux
RDM-I
RDM-I
- i -
Prface
La rsistance des matriaux, dsigne souvent par RDM, est la science du
dimensionnement. Cest une discipline particulire de la mcanique des milieux
continus qui permet de concevoir une pice mcanique, un ouvrage dart ou tout
objet utilitaire. Ce dimensionnement fait appel des calculs qui prvoient le
comportement de lobjet dont la conception doit runir les meilleures conditions
de scurit, dconomie et desthtique.
L'objet de la rsistance des matriaux est l'tude de la stabilit interne c'est
dire la dtermination des contraintes et dformations l'intrieur de la matire
et les dplacements des lignes moyennes des structures gnrs (machines en
gnie mcanique, btiment en gnie civil, ). Elle est base sur des hypothses
simplificatrices vrifies exprimentalement. La RDM fait appel la statique du
solide qui est une branche de la statique tudiant l'quilibre des pices dans un
mcanisme. C'est un maillon essentiel dans le dimensionnement des systmes
mcaniques rels.
Lobjet de la statique est l'tude de l'quilibre dun corps ou dun ensemble de
corps solides dans leur gomtrie initiale; cest--dire dans la structure non
dforme par rapport un repre Galilen. Le solide sera considr comme
infiniment rigide. Etudier donc la statique d'une structure revient tudier sa
stabilit externe, d'une part en vrifiant qu'elle ne se comporte pas comme un
mcanisme, et d'autre part en dterminant les actions de liaisons (assemblages
entre les diffrents solides et entre la structure et la fondation ou le sol).
La statique et la rsistance des matriaux constituent l'outil indispensable de
l'ingnieur constructeur pour concevoir et raliser des ouvrages conomiques qui
ne risquent ni de se rompre ni de se dformer excessivement sous les actions qui
leur sont appliques.
- ii -
Ce polycopi sadresse aux tudiants de deuxime anne LMD en Gnie Civil et
les lves ingnieurs des coles prparatoires. Il est rdig de manire que
lattention du lecteur se concentre sur les applications pratiques du sujet trait.
Des problmes sont accompagns de leurs solutions. En fin de chaque chapitre
des exercices sans solutions sont laisss la rflexion des tudiants et pourront
faire lobjet de travaux dirigs.
Le polycopi est divis en sept chapitres. Le contenu des quatre premiers
chapitres ressort de la statique du solide. Il est structur de manire fournir
ltudiant les bases de la statique afin que ce dernier puisse maitriser lquilibre
de systmes simples, calculer les ractions aux appuis dune structure isostatique
et rechercher lquilibre des nuds dun systme articul et calculer les efforts
intrieurs dans ses barres. Les trois derniers chapitres constituent une
introduction la rsistance des matriaux. Le contenu est consacr, en premier
lieu, la mise en place des hypothses fondamentales de la RDM ainsi quaux
notions de contraintes et dformations. Ensuite, afin de dimensionner de petites
structures lmentaires isostatiques; c'est--dire l'tude de la rsistance et de la
dformation des lments d'une structure, de dterminer ou de vrifier leurs
dimensions afin qu'ils supportent les charges dans des conditions de scurit
satisfaisantes et au meilleur cot (optimisation des formes, dimensions, nature
des matriaux ...) des cas de sollicitations simples (traction/compression,
cisaillement pur) sont tudies.
- iii -
Table des Matires
Page
Chapitre 1
Gnralits
1.1. Introduction 2
1.2. Action mcanique, Force 2
1.2.1. Action mcanique 2
1.2.2. Force 2
1.2.3. Rsultante de forces 3
1.2.4. Composantes dune force 4
1.3. Moment 7
1.3.1. Moment dune force par rapport un axe 7
1.3.2. Moment scalaire dune force par rapport un point 8
1.3.3. Moment vectoriel dune force par rapport un point 8
1.3.4. Couple 9
1.4. Torseur 12
1.4.1. Dfinition 12
1.4.2. Transport de torseurs 14
1.4.3. Quelques proprits 15
1.4.4. Torseur associ un systme de vecteurs 16
1.5. Torseurs et forces 16
1.6. Conclusions 18
Exercices 19
- iv -
Chapitre 2
Actions Mcaniques
2.1. Solides et systmes matriels 23
2.1.1. Systme matriel 23
2.1.2. Systme isol 23
2.1.3. Solide 23
2.2. Classification des actions mcaniques 24
2.2.1. Actions mcaniques distance (ou volumiques) 24
2.2.2. Actions mcaniques de contact (ou surfaciques) 25
2.2.3. Actions mcaniques exerces sur des liaisons usuelles 25
2.3. Modlisation des actions mcaniques 25
2.4. Types de charges et liaisons en gnie civil 29
2.4.1. Les efforts connus 29
2.4.2. Les efforts inconnus 29
2.4.3. Liaisons et efforts de liaisons 30
2.3.3.1. Appui simple 31
2.3.3.2. Appui lastique 32
2.3.3.3. Articulation 34
2.3.3.4. Encastrement 35
Exercices 38
- v -
Chapitre 3
Statique plane du solide
3.1. Introduction 41
3.2. Principe fondamental de la statique (PFS) 41
3.2.1. Enonc du principe 41
3.2.2. Utilisations pratiques 42
3.3. Actions extrieures et intrieures 43
3.4. Principe des actions rciproques 44
3.5. Quelques rsultats 46
3.6. Mthode de rsolution dun problme statique 46
3.6.1. Organigramme de la mthode 47
3.6.2. Cas Particuliers 48
3.6.2.1. Solides soumis deux forces extrieures 48
3.6.2.2. Solides soumis trois forces extrieures non parallles 48
3.7. Statique graphique 51
3.7.1. Cas dun solide soumis deux forces 51
3.7.2. Cas dun solide soumis trois forces 52
3.8. Conclusion 54
- vi -
Exercices 55
Chapitre 4
Treillis Articuls
4.1. Dfinition dun treillis 59
4.2. Equilibre dun treillis 61
4.2.1. Equilibre global du treillis 61
4.2.2. Equilibre dune barre 62
4.2.3. Equilibre des nuds 63
4.3. Analyse des treillis par la mthode des sections 67
4.4. Isostaticit 68
Exercices 72
Chapitre 5
Introduction la Rsistance des Matriaux
5.1. Introduction 76
5.2. Notion de Contrainte 76
- vii -
5.3. Notion de dformation 80
5.3.1. Dformation lastique 80
5.3.2. Dformation plastique 80
5.4. Hypothses de la rsistance des matriaux 81
5.4.1. Hypothses sur le matriau 81
5.4.2. Hypothses sur la gomtrie - Hypothse de la poutre 82
5.4.3. Hypothses sur les dformations 83
5.4.4. Hypothses de Navier-Bernoulli 84
5.4.5. Hypothse de Barr de Saint-Venant 85
5.5. Notions deffort intrieur 85
5.5.1. Dfinition 85
5.5.2. Diagramme de leffort intrieur 86
5.6. Sollicitations simples 86
Exercices 88
- viii -
Chapitre 6
Traction et Compression Simples
6.1. Introduction 92
6.2. Dfinitions 92
6.3. Contrainte normale 92
6.4. Diagramme de leffort normal (DEN) 95
6.5. Courbe contrainte - dformation 96
6.6. Condition de rsistance 98
6.7. Loi de dformation lastique 100
Exercices 104
Chapitre 7
Cisaillement Pur
7.1. Introduction 109
7.2. Dfinition 110
7.3. Contrainte de cisaillement 110
7.4. Dformation de cisaillement 112
7.5. Loi de HOOKE 113
- ix -
7.6. Condition de rsistance au cisaillement 114
7.7. Applications 115
7.7.1. Assemblage par rivets 115
7.7.2. Assemblage par boulons 121
Exercices
Rfrences Bibliographiques 128
Chapitre 1
Gnralits
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 2 -
1.1. Introduction
Rsistance des matriaux
La rsistance des matriaux (RDM) est une branche de la mcanique des
milieux continus adapte aux dformations des structures (machines gnie
mcanique, ou btiment gnie civil). Cest une science exprimentale
concernant les solides rels. Elle permet dtudier dans les pices mcaniques
leur rsistance, les actions mcaniques qui sy exercent et leur dformation.
Pour cela il est ncessaire au pralable de bien modliser les diffrentes
liaisons mcaniques possibles et les actions extrieures agissant sur le
systme.
Statique
La statique, quant elle, est une branche de la mcanique qui tudie les
conditions sous lesquelles un corps est en lquilibre, compte tenu des efforts
que son milieu extrieur exerce sur lui.
1.2. Action mcanique, Force
1.2.1. Action mcanique
On appelle action mcanique toute cause susceptible de maintenir un corps au
repos, de crer ou de modifier un mouvement ou encore de crer une
dformation.
1.2.2. Force
On appelle force, laction mcanique qui sexerce entre deux particules
lmentaires, pas forcment en contact. Une force est toujours applique en
un point, elle est modlisable par lensemble dun point et dun vecteur
(glisseur): (P, F
). Lintensit F
se mesure en Newtons (N).
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 3 -
Fig.1.1- Schmatisation dune force.
1.2.3. Rsultante de forces
Il est toujours possible de remplacer un systme de forces 1F
, 2F
, 3F
, par
une force unique qui a les mmes effets. Elle sappelle rsultante et sexprime
mathmatiquement par:
...FFFR 321
(1)
Exemple 1.1
La rsultante R
est obtenue en
grandeur et direction en formant le
polygone des deux forces (Fig.
1.2).
Fig .1.2- Rsultante de deux forces.
A
F1
F2
R
A
F
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 4 -
Exemple 1.2
La rsultante R
des forces F
, F
, 1F
et 2F
est reprsente sur la figure 1.3.
Fig.1.3- Rsultante de plusieurs forces.
1.2.4. Composantes dune force
Dans la plus part des problmes, il est avantageux de dcomposer une force
F
en deux composantes XF
et YF
suivant deux axes perpendiculaires entre
eux (Fig. 1.4). A partir de la figure 1.4, il est vident que:
FX = F.cos ; FY = F.sin
2Y
2X FFF ;
= Arctg (FY / FX)
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 5 -
Fig. 1.4- Composantes dune force.
Exemple 1.3
Dans chacune des figures (1.5-a) et (1.5-b), dcomposer la force F
par
rapport deux axes perpendiculaires ox et oy.
Fig.1.5- Exemples typiques de dcomposition dune force.
F
F
XF
YF
X
Y
O
O X
F Y
(b)
Y
X
F
(a)
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 6 -
Solution de lexemple 1.3
= -
FX = F cos() = - F cos()
FY = F sin() = F sin()
= -
FX = F cos() = - F cos(-)
FY = F sin() = F sin(-)
O X
F Y
(b) (b)
FX
Y
X
F
(a)
FX
FY
FY
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 7 -
1.3. Moment
En plus de la possibilit de provoquer un mouvement de translation, une force
peut aussi faire tourner un corps rigide autour dun axe non parallle sa
ligne daction et ne linterceptant pas. Cette possibilit de faire tourner un
corps rigide est identique laction dun moment de cette force par rapport
un axe donn.
1.3.1. Moment dune force par rapport un axe
Le moment de F
par rapport laxe OO (Figure 1.6) est proportionnel
lintensit de cette force ainsi qu la distance (d) qui spare laxe de la ligne
daction de cette force. Le moment est dfini comme suivant:
dxFM (2)
Le moment est un vecteur perpendiculaire au plan du corps, son sens dpend
de la position de la force par rapport laxe.
Fig.1.6- Schmatisation dun moment.
d
F
O
O
M
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 8 -
1.3.2. Moment scalaire dune force par rapport un point
On note FM O/
le moment de la force F
par rapport au point O (Figure
1.6); sa valeur se calcule partir de la formule suivante:
dxFFMO
(3)
Le moment en O de la force F
est gal (plus ou moins) lintensit de F
multiplie par le bras de levier d. il se mesure en (N.m)
le moment sera positif si, par rapport au point de calcul, la force tend
faire tourner le solide dans le sens trigonomtrique,
le moment sera ngatif si, par rapport au point de calcul, la force tend
faire tourner le solide dans le sens anti-trigonomtrique.
1.3.3. Moment vectoriel dune force par rapport un point
Un moment est reprsentable sous forme vectorielle (vecteur moment) et
dfini partir dun produit vectoriel. De la figure 1.7, on aura:
FOAFMO
(4)
Dans ce cas, le signe () est donn par le calcul lui mme.
En effet,
F,OAsin.F.OAFOAFMO
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 9 -
Fig.1.7.- Moment vectoriel dune force.
1.3.4. Couple
On appelle couple le moment de deux forces gales, opposes et de lignes
daction parallles. Un tel ensemble de forces F
et F
est donn par la figure
1.8.
Fig.1.8- Schmatisation dun couple.
Les deux forces F
et F
(Figure 1.8) ne peuvent tre combines en une
seule force puisque leur rsultante est nulle. Leur action consiste uniquement
A
F
O
- F
F
d
a
O
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 10 -
faire tourner le corps sur lequel elles sexercent. La somme des moments
des deux forces par rapport un axe qui passe par le point O scrit:
a.FdaxFM
Do:
dxFM (5)
On remarque que le moment M est indpendant de la distance a (Figure 1.8).
Do on conclut que le moment dun couple est constant. Le sens dun couple
peut tre reprsent comme le montre la figure suivante.
Fig.1.9- Reprsentation du sens dun couple.
Exemple 1.4
Soit une force F
d'intensit gale 50 N applique la cornire illustre ci-
dessous.
Calculer un systme force-couple quivalent, au niveau du point A.
M M
M M
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 11 -
Solution de l'exemple 1.4
Dcomposons la force F
de 50 N suivant
les directions X et Y comme le montre la
figure ci-contre, nous obtenons:
FX = 50.sin(30) = 25 N ;
FY = 50.cos(30) = 43,3 N
Ces composantes peuvent tre transportes au point A si nous leur associons
un couple de moment MA gal la somme des moments par rapport au point
A des composantes dans leur position initiale.
Avec la convention des signes adopte, on obtient:
MA = 25.5 43,3.10
Do :
MA = -308 N.cm
25N
50N 43,3N
B
F 30
Y
A
10 cm
5 cm
X
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 12 -
Systme force-couple quivalent.
1.4. Torseur
1.4.1. Dfinition
Comme nous l'avons vu ci-dessus, la dfinition complte dun effort (force) fait
intervenir deux vecteurs :
une force R
appele rsultante,
un moment O/RM
en un point O quelconque, appel moment.
Ces deux vecteurs, appels lments de rduction, peuvent tre regroups
en une seule criture dans un nouvel outil mathmatique appel Torseur .
On note
un torseur quelconque et O
ses lments de rduction au
point O.
Ainsi, le torseur est un systme de vecteurs glissants; ensemble dun vecteur
R
et dun couple de moment C (not M
) dirig suivant la ligne daction de
R
(le support de R
est laxe central du torseur, et le rapport M
/ R
son pas).
B
FX=25N
Y
A
X
FY=43,3N
MA=308N.cm
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 13 -
Elments de rduction du torseur en un point A
On appelle lments de rduction du torseur en A:
AM
: moment en A du torseur
R
: rsultante du torseur (indpendante de A)
- Si un solide (S) subit un ensemble de n forces iF
appliques aux points Pi,
notes (Pi , iF
) de la part du milieu extrieur, cette action mcanique est
modlisable par le torseur suivant:
n
1iiiA
n
1ii
A
FAPSextM
FSextR
SextF
(6)
Notations
Dans une base directe (O, i
, j
, k
), on crit:
kZjYiXSextR
(7)
et
kNjMiLSextM AAAA
(8)
Alors
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 14 -
Az,j,i,OO
O
O
A
NZ
MY
LX
SextF
(9)
Fig. 1.10- Base directe.
1.4.2. Transport de torseurs
Soit
2/1
2/1
2/1I
2/1
I2/1
QIA
Q
QM
(10)
un torseur dune action mcanique Q exprim au point I ; son transport au
point K ncessite le calcul du moment de leffort au point K laide de la
relation suivante:
2/12/1I2/1I QKIQMQM
(11)
O X i
Y
Z
j
k
A x
R
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 15 -
1.4.3. Quelques proprits
La somme de deux torseurs est un torseur et ses lments de
rduction sont la somme des lments de rduction des torseurs
constituant la somme:
21
alors
O2O1O
On appellera et on notera torseur nul:
0
alors
0RM
0R
0
O/
O
Deux torseurs sont gaux si et seulement sils ont les mmes
lments de rduction.
21
alors
O/2O/1
21
RMRM
RR
On appelle couple, un torseur dont la rsultante est nulle et dont
le moment rsultant est indpendant du point de calcul.
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 16 -
1.4.4. Torseur associ un systme de vecteurs
Soit la donne dun vecteur V
et dun point A dapplication, on appelle
glisseur le couple (A, V
) et on peut lui associer un torseur, de mme pour
un systme de glisseurs.
1.5. Torseurs et forces
La dfinition prcdente permet donc dassocier un torseur une force et son
point dapplication, ou un ensemble de forces et leurs points dapplication.
Exemple 1.5
Exprimer les torseurs du poids P par rapport aux points G et A.
Solution de l'exemple 1.5
On a:
: Torseur du poids P
par rapport au point G.
: Torseur du poids P
par rapport au point A.
P,AGsin.P.AGPAG
Or
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 17 -
ACsin.AGP,AGsin.AG
Donc
P.ACPAG
Calcul du moment dun torseur associ une force
Cas plan
Soit la figure suivante, nous avons:
O/
O
FM
F
F
; FOAFM O/
Par dfinition :
sin.F.OAF,OAsin.F.OAFOA
d
A
O
F
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 18 -
Car
;F,OA
mais
dsin.OA , ce qui implique:
d.FFM O/
d est la distance du point O la droite daction de F
. On lappelle encore
bras de levier de F
. Le signe du sinus donne le signe du moment.
1.6. Conclusions
On peut dire que la rduction dun systme de forces en un point consiste
remplacer ce systme par un systme de forces quivalent au point de vue
statique. La rduction a souvent un rle simplificateur.
La notion de force permet dexprimer laction quexerce un corps sur un autre,
elle prend un sens uniquement sil y a un rcepteur. Elle se rapporte toujours
au corps sur lequel elle agit, elle est le rsultat dune action.
On entend par action toute cause sollicitant une construction, cest le cas du
vent ou des sismes par exemple.
Ainsi, les dfinitions donnes dans ce chapitre nous permettent de faciliter le
travail sur les systmes de forces et notamment sur les systmes de forces en
quilibre.
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 19 -
Exercices
Exercice 1
Dterminer les composantes de la force F
donne par la figure ci-dessous,
suivant les directions x et y ; x et y ; x et y.
Exercice 2
Tracer les rsultantes des forces appliques sur chacune des figures suivantes:
(a) (b)
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 20 -
(c)
Exercice 3
Dterminer la rsultante des quatre forces et du couple qui agissent sur la
plaque donne par la figure suivante.
Exercice 4
Calculer le moment M de la force F
par rapport au point O de diffrentes
manires.
5m 2m
2m
2m
1m
45
30
60N
50N
40N
80N
140N.m
Y
X
Chapitre 1 : Gnralits
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 21 -
Exercice 5
Si la charge Q
se trouve 7m du point C, la valeur de la tension T sera gale
15 kN.
1- Exprimer T en fonction de ses composantes XT
et YT
.
2- Donner les lments de rduction du torseur de la tension T au point A.
3- Transporter le torseur de la tension T au point C.
A
Y
C
B
Q
6m
7m 3m
X
T
Chapitre 2
Actions
Mcaniques
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 23 -
2.1. Solides et systmes matriels
2.1.1. Systme matriel
On appelle systme matriel un ensemble constitu de solides et de fluides que
lon souhaite tudier.
2.1.2. Systme isol
Un systme isol, est un systme matriel que lon rend distinct de son
environnement. Le systme isol peut tre une pice mcanique, un ensemble
de pices, une partie de pice ou un fluide.
Lisolement consiste couper lespace en deux parties disjointes afin de sparer,
le systme isole (E) de son environnement (E).
Fig. 2.1- Systme isol.
2.1.3. Solide
Un solide est un systme de points matriels immobiles les uns par rapport aux
autres. Il est donc suppos indformable sous laction des forces exerces.
E
E1
E2
E3 E4
E5
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 24 -
2.2. Classification des actions mcaniques
On distingue deux types dactions mcaniques:
les actions mcaniques de contact (liaisons de contact entre solides,
pression,...);
les actions mcaniques distance (champ de pesanteur, force
lectromagntique,... ).
Le premier type daction est une action qui sapplique sur la surface du
solide (action surfacique) tandisque le second sexerce au niveau de son
volume (action volumique).
On distingue aussi les actions extrieures et les actions intrieures un systme
de solides.
On appelle effort (ou action) extrieur appliqu un systme matriel isol,
toutes les actions mcaniques agissant sur ce systme, dont lorigine est
lextrieur du systme. Ces actions sont : soit des actions mcaniques de
contact ; soit des actions distances (gravit).
Les efforts intrieurs sont les efforts que sexercent mutuellement les
diffrentes parties du systme isol.
Remarque
La notion defforts extrieurs et intrieurs ne dpend que de la frontire du
systme isol.
2.2.1. Actions mcaniques distance (ou volumiques)
On appelle action distance toute action qui sapplique sur les solides ou les
fluides sans contact.
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 25 -
Comme exemples, nous citons:
- Action de la pesanteur (Poids ou pesanteur)
- Actions lectromagntiques (Aimantation)
2.2.2. Actions mcaniques de contact (ou surfaciques)
On appelle action surfacique ou action de contact, toute action mcanique
quexercent deux solides lun sur lautre ou un solide et un fluide au niveau de
leur surface de contact commune.
2.2.3. Actions mcaniques exerces sur des liaisons usuelles parfaites
Une liaison parfaite est une liaison sans frottement. L'ensemble des actions
mcaniques qui s'exercent l'intrieur d'une liaison peut tre reprsent par un
torseur rsultant exprim au centre de la liaison.
2.3. Modlisation des actions mcaniques
Lanalyse des actions mcaniques ne peut se faire quen utilisant des modles
pour reprsenter les actions et leurs effets sur le solide. On distingue
principalement deux modles pour reprsenter et tudier les actions mcaniques,
le modle local et le modle global.
Le modle local (Fig. 2.2) permet dtudier laction et son effet en tout point de
la zone o elle sexerce: tude des pressions de contact, contraintes dans les
matriaux, dformation du solide, ...
Dans le modle global (Fig. 2.3) on associe laction mcanique un torseur (dit
Torseur dAction Mcanique). Ce modle fait disparatre leffet local de laction
mais rend son utilisation pratique pour ltude de lquilibre ou de la dynamique.
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 26 -
Ces deux modles ne sont pas interchangeables; si on peut dterminer le torseur
daction mcanique partir de la rpartition locale des efforts, on ne peut faire le
travail inverse sans faire des hypothses sur la rpartition.
Fig. 2.2- Modle local.
Fig. 2.3- Modle global.
La charge uniformment rpartie (Fig. 2.2) est remplace par leffort quivalent
F
(Fig.2.3).
Exemples de charges
Charge concentre
Considrons une bille sur un plan. L'action du plan sur la bille peut tre
reprsente par une force 1/0F
.
Fig. 2.4- Schmatisation dune charge concentre.
Charge uniformment rpartie Charge concentre
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 27 -
Charge linaire
Considrons le cas dun cylindre sur un plan. L'action du plan sur le cylindre peut
tre reprsente par une force linique (force rpartie le long d'une ligne) 1/0f
.
Elle se mesure en (N/m).
Si la charge est uniforme, alors l'ensemble de la charge linique est quivalent
une force 1/0F
situe au centre de la ligne de contact.
Fig. 2.5- Schmatisation dune charge linaire.
Charge surfacique
Considrons le cas dune boite sur un plan.
Fig. 2.6- Schmatisation dune charge surfacique.
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 28 -
L'action du plan sur la boite peut tre reprsente par une force surfacique
(force rpartie sur une surface quivalente une pression. 1/0f
se mesure en
(N/m2).
Si la charge est uniforme, alors l'ensemble de la charge surfacique est
quivalente une force 1/0F
situe au centre de la surface de contact. Elle se
mesure en (N).
Exemple 2.1
On voudrait modliser laction dun plan horizontal (0) sur un prisme triangulaire
(1) (figure ci-dessous).
- Schmatiser cette action par un modle local puis un modle global.
Solution de lexemple 2.1
Le prisme agit sur le plan horizontal par son poids. Dans un modle local le poids
est modlis par une force rpartie. A chaque poids Px correspond une force rx
qui reprsente la raction du plan horizontal ce poids une abscisse x et qui a
lexpression:
maxx rL
xr
comme montre sur la figure suivante:
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 29 -
Dans un modle global, la raction du plan horizontal est reprsente par la
force R dont la valeur est gale au poids du prisme P.
2.4. Types de charges et liaisons en gnie civil
Les actions extrieures (forces extrieures) sappliquant sur les solides sont, au
niveau mathmatique, de nature diffrente.
2.4.1. Les efforts connus
On retrouve les efforts modlisant, les actions du poids propre des lments, les
actions climatiques (vent, neige, houle) et les actions dexploitation. Ces actions
sont donnes par le cahier des charges dutilisation du btiment: poids des
machines, action des ponts roulants, utilisation des locaux, etc
2.4.2. Les efforts inconnus
Ils sont dvelopps par les liaisons du solide tudi avec les lments de
transfert des charges. Les liaisons servent bloquer certains degrs de libert
(ddl) des solides.
rx = px
x
L
R = P
rmax
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 30 -
2.4.3. Liaisons et efforts de liaisons
Nous effectuerons notre analyse dans le cadre du plan et du Gnie Civil. Les
liaisons, pour bloquer les dplacements, gnrent des efforts inconnus appels
efforts de liaison. On associera la liaison un torseur defforts li ses
caractristiques cinmatiques.
Les mouvements lmentaires possibles dans le plan sont: deux translations (x
et y) ; une rotation: =k.
Fig. 2.7- Liaisons en Gnie civil.
Les principales liaisons du gnie civil sont:
Lappui simple: (1 inconnue de liaison)
Lappui lastique: 1ddl contrl (1 inconnue de liaison et une loi de
comportement)
Larticulation: (2 inconnues de liaison)
Lencastrement: (3 inconnues de liaison)
Z
O
X i
Y
j
k
(P)
Y
X
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 31 -
2.4.3.1. Appui simple
Lappui simple bloque la translation dans la direction de lappui, il permet une
translation x dans la direction perpendiculaire et une rotation autour de laxe
perpendiculaire au plan de la liaison.
Modlisation
La modlisation dun appui simple est schmatise sur la figure 2.8.
Fig. 2.8- Schmatisation dun appui simple.
Elments de rduction du torseur au centre de la liaison
Le torseur au centre de la liaison scrit:
k0M
jYR
O
OO
O
Exemples de ralisation
Diffrents exemples de ralisation dun appui simple sont schmatiss sur la
figure 2.9.
O
X i
Y
j
OY
O
X i
Y
Z
j
k
(P)
X
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 32 -
Fig. 2.9- Ralisations dun appui simple.
Remarque
En gnie civil, lappui simple ne sera pas ponctuel mais plutt du type surfacique.
Lappui des lments sexercera souvent sur une "certaine surface".
2.4.3.2. Appui lastique
Lappui lastique contrle une translation par la connaissance de la raideur de
lappareil dappui. On a une relation de comportement de lappui du type:
ykF
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 33 -
Il permet une translation contrle y, peut permettre ou non une translation x
(appui glissant) et il permet une rotation
Modlisation
Lappui lastique est modlis comme le montre la figure 2.10.
Fig. 2.10- Schmatisation dun appui lastique.
Elments de rduction du torseur au centre de la liaison
Le torseur au centre de la liaison scrit:
k0M
j..kjYR
O
YOO
O
Exemples de ralisations
Des exemples de ralisation dun appui lastique sont schmatiss sur la figure
2.11.
O
X i
Y
j
OY
O
X i
Y
Z
j
k
(P)
Y
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 34 -
Appareil dappui en lastomre glissant Appareil dappui pot unidirectionnel
Fig. 2.11- Ralisations dun appui lastique.
2.4.3.3. Articulation
Larticulation permet de bloquer les deux translations possibles dans le plan. Elle
permet donc une rotation libre .
Modlisation
Larticulation est modlise comme le montre la figure 2.12.
Fig. 2.12- Schmatisation dune articulation.
O
X i
Y
j
OY
OX
O
X i
Y
Z
j
k
(P)
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 35 -
Elments de rduction du torseur au centre de la liaison
Le torseur au centre de la liaison scrit:
k0M
jYiXR
O
OOO
O
Remarque
Les rotations admises sont faibles, de lordre de 10-1 radian (voir plus pour
certains cas).
2.4.3.4. Encastrement
Cette liaison bloque les trois degrs de libert possibles: deux translations
lmentaires et une rotation.
Modlisation
Lencastrement est modlis comme le montre la figure 2.13.
Fig. 2.13- Schmatisation dun encastrement.
O
X i
Y
j
OY
OX
k
O
Z
O
X i
Y
Z
j
k
(P)
Chapitre 2: Actions Mcaniques
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Elments de rduction du torseur au centre de la liaison
Le torseur au centre de la liaison scrit:
kM
jYiXR
OO
OOO
O
Exemple 2.2
Une balanoire 3 est articule en O (liaison pivot) sur un socle fixe 0. P1 et P2
reprsentent les poids respectifs des deux enfants 1 et 2, appliqus
respectivement en H1 et H2.
Schmatiser toutes les actions sexerant sur la balanoire.
Solution de lexemple 2.2
Les actions sexerant sur la balanoire sont:
Le poids de la balanoire
Les poids des deux enfants
Laction de liaison au point O
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 37 -
Rcapitulation sur la modlisation des liaisons
Les diffrentes liaisons souvent ralises en domaine du gnie civil sont
rcapitules sur la figure 2.14.
Fig. 2.14- Reprsentations simplifies des diffrentes liaisons du gnie civil.
P1 P2
ROX
ROY a b
L
P
G
Modlisation Inconnues de liaison
Chapitre 2: Actions Mcaniques
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Exercices
Exercice 1
Soit une surface plane rectangulaire subissant une rpartition surfacique p
constante suivant lace OX comme montr sur la figure ci-dessous:
- Modliser cette action dans un modle local et dans un modle global. - Calculer le torseur au point O reprsentant cette action rpartie.
Exercice 2
Soit un plongeoir, schmatis par la figure ci-dessous.
- Reprer, identifier et schmatiser tous les efforts sexerant sur la planche (1).
Chapitre 2: Actions Mcaniques
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 39 -
Exercice 3
Considrons la manutention dun panneau prfabriqu comme le montre la figure
ci-dessous.
- Selon ltude que lon souhaite mene, quelles sont les possibilits d'isolement
de chaque lment indpendamment des autres ou bien lensemble des
lments?
- Dans chacun des cas considrs ci-dessus, modliser toutes les actions
mcaniques.
Chapitre 3
Statique plane
du solide
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 41 -
3.1. Introduction
La statique du solide est la branche de la statique tudiant l'quilibre des pices
dans un mcanisme. C'est un maillon essentiel dans le dimensionnement des
systmes mcaniques rels. Lobjet de la statique est l'tude de l'quilibre dun
corps ou dun ensemble de corps solides dans leur gomtrie initiale; cest--dire
dans la structure non dforme par rapport un repre Galilen. Le solide sera
considr comme infiniment rigide.
Etudier donc la statique d'une structure revient tudier sa stabilit externe,
d'une part en vrifiant qu'elle ne se comporte pas comme un mcanisme
(hypostatique), et d'autre part en dterminant les actions aux liaisons
(assemblages entre les diffrents solides et entre la structure et la fondation ou
le sol.
Dautre part, la statique graphique est une mthode entirement gomtrique de
rsolution de problmes de statique. Elle permet de saffranchir de nombreuses
lignes de calculs et de mieux visualiser et apprhender le dispositif tudi mais
elle est particulirement adapte aux problmes plans.
3.2. Principe fondamental de la statique (PFS)
3.2.1. Enonc du principe
Soit un solide (S) soumis un systme de forces extrieures modlis parle
torseur extF . Soit {} le rfrentiel associ (S); (S) est en quilibre si et seulement si:
0F ext
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 42 -
3.2.2. Utilisations pratiques
Lgalit de deux torseurs entranait lgalit de leurs lments de rduction. Soit
O le point choisi:
0M
0R
0F
O/)extF(
)extF(
OOext
(1)
(2)
Les quations (1) et (2) sont deux quations vectorielles qui donnent:
- 6 quations scalaires en lespace
- 3 quations scalaires en plan
En plan, lquation des forces (1) possde deux quations scalaires et lquation
des moments (2) une quation scalaire. Le moment est un produit de vecteurs
appartenant toujours (P) (plan de sollicitations); le moment est autour de laxe
z (z tant perpendiculaire au plan (P)).
Fig 3.1- Illustration en plan.
(P)
A
F
FOA X
Y
Z
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 43 -
Remarque
En gnie civil, nous nous ramenons le plus souvent possible ltude des
problmes plans, cest dire ltude de structures charges dans leur plan de
symtrie.
3.3. Actions extrieures et intrieures
Soit deux solides (S1) et (S2) et (S) le systme form par (S1) et (S2) comme le
montre la figure 3.2.
Fig 3.2- Illustration des actions extrieures et intrieures.
Soit le torseur des actions du monde extrieur sur (S):
21 FFF (3)
1F est le torseur des actions sappliquant sur la frontire extrieure de (S1)
2F est le torseur des actions sappliquant sur la frontire extrieure de (S2)
(S2)
(S1) (S)
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 44 -
Faisons le bilan des actions sexerant sur (S1). On a, en isolant (S1):
1/211 FFD (4) O
1F est le torseur des actions sappliquant sur la frontire libre de (S1)
1/2F est le torseur des actions exerces par (S2) sur (S1) sur la frontire commune.
Ainsi, on peut donner la dfinition ci-dessous.
Dfinition
Si on isole (S), lquation (3) ( 21 FFF ) modlise le torseur des actions extrieures appliques sur le solide (S) et 1/2F reprsente le torseur des actions intrieures par rapport (S).
Si on isole (S1), 1F et 1/2F modlisent les torseurs des actions extrieures par rapport (S1).
3.4. Principe des actions rciproques
Si on isole maintenant (S2) le bilan des actions extrieures donne:
2/122 FFD (5)
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 45 -
o
2F est le torseur des actions sappliquant sur la frontire libre de (S2)
2/1F est le torseur des actions exerces par (S1) sur (S2)
On a:
21 SSS (6)
et donc:
)3()5()4(
FFFFFF
DDF
212/121/21
21
Soit:
0FF 2/11/2 (7)
Lquation (7) reprsente le principe des actions rciproques. De faon simplifie,
le principe des actions rciproques ou mutuelles, pour deux solides en contact
scrit:
2/11/2 FF (8)
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 46 -
Fig 3.3- Illustration du principe des actions rciproques.
3.5. Quelques rsultats
Ltude de lquilibre des solides va revenir chercher lquilibre du
systme de forces qui sapplique sur lui. Cest dire que le systme de
forces doit produire un effet nul sur le solide suppos indformable.
Un solide S soumis laction de deux forces est en quilibre si et
seulement si ces deux forces sont gales et directement opposes.
Un solide S soumis laction de trois forces est en quilibre si et seulement
si ces trois forces sont concourantes en un point et coplanaires.
3.6. Mthode de rsolution dun problme statique
Rsoudre un problme de statique consiste trouver des efforts inconnus (en
direction et/ou en sens et/ou en intensit) en fonction dautres efforts qui eux
sont connus; le principe fondamental de la statique met en relation les efforts
inconnus avec les efforts connus.
Hypothses
Les solides tudis sont parfaits (indformables et de gomtrie idale).
Les liaisons dans les mcanismes sont sans jeu; les frottements pourront
ou non tre considrs.
1
2
2/1F
1
2
1/2FPlan tangent
1
2
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 47 -
3.6.1. Organigramme de la mthode
La mthode de rsolution dun problme statique peut tre schmatise par
lorganigramme montr par la figure 3.4. Cet organigramme permet de
dterminer les actions mcaniques qui agissent sur un solide.
Fig 3.4- Organigramme de la mthode de rsolution dun problme statique.
Isoler des solides voisins et
faire intervenir le principe
des actions mutuelles
Faire un bilan des actions extrieures
agissant sur le solide.
NON
Identifier les actions distance et les
schmatiser.
Rsoudre graphiquement ou
analytiquement afin de connatre les
actions agissant sur le solide.
Y-a-til autant dquations
que dinconnues?
Identifier pour chaque zone de contact la
liaison correspondante et schmatiser les
actions mcaniques correspondantes.
Reprer toutes les zones de contact entre
le solide et les autres solides du
mcanisme.
Extraire le solide du mcanisme et le
dessiner seul, dans la mme position.
Isoler un solide
OUI
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 48 -
3.6.2. Cas Particuliers
3.6.2.1. Solides soumis deux forces extrieures
Soit un solide (0) soumis deux forces extrieures 0/1F et 0/2F . Soit P le point
d'application de la force 0/1F . D'aprs le principe de la statique, l'quilibre du
solide (0) se traduit par:
0FMFM P/0/2P/0/1 (9)
Thorme
Si un solide est en quilibre sous l'action de deux forces extrieures, alors ces
deux forces sont gales et opposes. Leur direction passe par les deux points
d'application des forces.
3.6.2.2. Solides soumis trois forces extrieures non parallles
Soit un solide (0) soumis trois forces extrieures 0/1F , 0/2F et 0/3F . On
suppose parfaitement connues la force 0/1F ainsi que la direction de 0/2F . Soit
I le point d'intersection des directions des forces 0/1F et 0/2F . D'aprs le
principe de la statique, l'quilibre du solide (0) se traduit par:
0FFF 0/30/20/1 (10-a)
0FMFMFM I/0/3I/0/2I/0/1 (10-a)
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 49 -
Thorme
Un solide soumis l'action de trois forces extrieures non parallles est en
quilibre, si:
La somme des trois forces est nulle.
Les trois forces sont concourantes en un point.
Exemple 3.1
Appliquer lorganigramme de la mthode de rsolution dun problme statique au
systme schmatis par la figure ci-dessous
Solution de lexemple 3.1
Supposons que le systme est en plan. Notons les poids des trois lments
constituant la grue par P1, P2, P3 et le poids du panneau maintenu par Pn comme
montr sur la figure suivante:
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 50 -
Le systme schmatis ci-dessus est isol de son environnement; c--d que
laction du sol sur la grue est reprsente par les actions de liaison qui sont, en
plan, les deux composantes RX et RY et le moment autour de laxe Z. Aprs
avoir fait le bilan de toutes les actions sexerant sur le systme on applique le
principe fondamental de la statique (PFS) et par consquent on obtient les
quations suivantes:
0R0F XX
321YY PPPR0F
2
dLPndL
2
PdL
2
P0FM 32
31
2Z/iO
G1
G2 G3
x
x x
Pn
P2 P3
P1
H
L2/2 L1/2
O
RX RY
X
Z
Y
d
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 51 -
3.7. Statique graphique
Les constructions graphiques permettent de rsoudre simplement et rapidement
un problme de statique. Toutefois, leur mise en uvre devient complique et
fastidieuse pour certains problmes, cest pourquoi le recours la statique
graphique se limite aux problmes deux ou trois glisseurs.
3.7.1. Cas dun solide soumis deux forces
Un solide soumis deux forces est en quilibre si elles sont:
- colinaires (directions confondues),
- de sens contraire,
- de mme intensit.
Fig 3.5- Schmatisation dun solide soumis deux forces.
3.7.2. Cas dun solide soumis trois forces
Un solide soumis trois forces est en quilibre si:
- elles sont concourante (elles se coupent en un mme point),
- le dynamique est ferm.
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 52 -
Fig 3.3- Dynamique et schmatisation dun solide soumis trois forces.
Exemple 3.2
Trouver la direction et le module de la force 3F sur la figure suivante:
A
B
C x
x
1F (connue)
2F (module inconnu)
3F (direction et Module inconnus)
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 53 -
Solution de lexemple 3.2
Les trois forces 1F , 2F et 3F doivent tre concourantes au point I et la
somme des trois forces doit tre nulle.
0FFF 321
Nous dterminons dabord le point dintersection de 1F et 2F puis la direction de
3F qui est porte par la droite IC.
Nous traons le dynamique des forces. Les directions du triangle des forces
doivent tre parfaitement parallles celles de la figure initiale ayant servi
dterminer le point I . On choisit une chelle pour tracer 1F sur le triangle
des forces; les modules de 2F et 3F seront mesurs partir de cette mme
chelle. Lextrmit de chaque force concide avec lorigine de la force suivante.
Lordre de construction et le rsultat est montr sur la figure suivante.
Triangle des forces
A
B
C x
x
1F
2F
3F I
Parallle IA K
1F
3F I
Parallle IC
Parallle IB
2F 1F
3F
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 54 -
3.8. Conclusion
Selon la complexit du problme traiter, nous avons disposition diffrentes
expressions du principe fondamental de la statique (PFS). Pour les problmes
complexes, cest dire si on a plus de trois glisseurs ou si les efforts ne sont
pas des glisseurs, la statique graphique devient fastidieuse, les mthodes
analytiques prennent le relais. Si lexpression vectorielle possde elle aussi des
limites dutilisation (limites lies la difficult de mise en oeuvre), lutilisation des
torseurs permet de rsoudre efficacement tous les problmes (2D, 3D, avec ou
sans glisseur), notamment ceux o interviennent des liaisons mcanique telles
que glissire, hlicodale,
Chapitre 3: Statique plane du solide
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 55 -
Exercices
Exercice 1
Soit la poutre montre sur la figure ci-dessous.
1- Calculer les torseurs des forces F et q par rapport aux points A, B, C et D.
2- Etudier lquilibre de cette poutre.
Exercice 2
Un panneau indicateur, comme le montre la figure ci-dessous, est soumis son
propre poids et laction du vent sur sa partie rectangulaire. Le poids linique
des montants OA et AB est j.qq . Le poids du panneau CDEF est j.MgP .
Laction du vent sur CDEF est reprsente par une densit surfacique defforts
k.pp (p constant).
- Calculer le torseur de laction mcanique du sol sur cette structure au niveau du
point O.
On donne les valeurs numriques suivantes:
OA = 7,5 m, AB = 3 m, DC = 3 m, DE = 4 m, q = 750 Nm1, p = 500 Nm2,
Mg = 7000 N.
Chapitre 3: Statique plane du solide
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Exercice 3
Soit soulever une caisse de poids qui vaut 736 N par un dispositif avec poulie
et cbles (Figure suivante).
1- Isoler la caisse et faire le bilan de toutes les actions extrieures sexerant
sur celle-ci.
2- En appliquant le principe fondamental de la statique, dterminer les
tensions des cbles AB et AC et leffort T que doit exercer loprateur pour
maintenir lensemble en quilibre.
Chapitre 3: Statique plane du solide
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Exercice 4
Le systme montr par la figure suivante est
constitu de quartes barres rigides en acier: deux
barres suprieures AB et AC et deux barres
infrieurs BD et CD, ayant chacune un module de
Young E et une mme section transversale A. Le
systme est sollicit par une force concentre au
point D (P=17,3 kN= et une charge rpartie (q =
3,46 kN/m).
1- Dterminer les efforts dans les barres AB et
AC. On donne 22L m.
2- Dterminer les efforts dans les barres BD et
CD.
Exercice 5
Dterminer la rsultante de toutes les forces sexerant sur le solide (S) montr
sur la figure suivante.
(S)
Chapitre 4
Treillis Articuls
Chapitre 4: Treillis Articuls
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 59 -
4.1. Dfinition dun treillis
On appelle treillis un assemblage de barres articules entre elles de manire ce
que chacune des barres ne soit sollicite quen traction ou compression. Les figures
4.1 et 4.2 montrent des exemples de ralisation de treillis.
Fig. 4.1- Exemple de treillis (toutes les barres ne sont pas reprsentes).
Lorsque toute la gomtrie est dans un mme plan (au dcalage prs entre les
barres due la ralisation pratique des noeuds) et que les efforts appliqus sont
dans ce plan, le treillis est dit plan (Fig. 4.2).
Fig. 4.2- Exemples de treillis plans.
Chapitre 4: Treillis Articuls
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On appelle nud une articulation entre plusieurs barres. La figure 4.3
prsente le dtail de la ralisation pratique dun noeud de treillis.
Fig. 4.3- Dtails dun nud.
Pour assurer que chacune des barres (Fig. 4.4) ne soit sollicite quen traction ou
en compression il faut que:
le poids des barres soit ngligeable devant les autres sollicitations,
les sollicitations extrieures ne soient que des efforts appliqus sur les
noeuds,
les liaisons avec lextrieur soient des appuis fixes ou des appuis mobiles.
Chapitre 4: Treillis Articuls
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Fig. 4.4- Barre sollicite: (a) en traction, (b) en compression.
4.2. Equilibre dun treillis
4.2.1. Equilibre global du treillis
Lquilibre global du treillis (Fig. 4.5) permet de calculer les ractions aux appuis
(actions de liaison).
Fig. 4.5- Equilibre global du treillis.
Traction Compression
(a) (b)
(a) (b)
Chapitre 4: Treillis Articuls
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Par exemple, pour le treillis de la figure 4.5, lquilibre des efforts donne:
(1)
et lquilibre des moments (somme des moments par rapport au point A):
(2)
ce qui permet bien de calculer les ractions XA, YA et XD:
XA = F ; XD = - F ; YA = F
4.2.2. Equilibre dune barre
Lcriture de lquilibre dune barre napporte aucune information supplmentaire.
En effet, la barre ntant sollicit que par deux forces ses extrmits, on sait dj
que ces efforts peuvent tre exprims partir de la tension T dans la barre. Cette
tension est leffort normal N, comme le montre la figure 4.6.
Fig. 4.6- Equilibre dune barre.
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4.2.3. Equilibre des noeuds
La complexit dun treillis ne provient pas de la complexit de ses lments (les
barres) mais plutt de la complexit de larrangement des barres entre elles. Cest
pourquoi, pour tudier lquilibre dun treillis, on ralise lquilibre de chacun de ses
noeuds. Comme le montre la figure 4.7, cet quilibre fait intervenir les efforts
normaux de chacune des barres connectes au noeud isol.
Fig. 4.7- Equilibre dun nud.
Nous tudions ci-dessous lquilibre du nud A du treillis de la figure 4.7.
Equilibre du nud A
0NNNNN 54321
0F
0F
5
1iYi
5
1iXi
0N2
2NN
2
2
0NN2
2N
2
2N
432
5421
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Equilibre dun nud soumis un effort
Si le noeud est soumis un effort extrieur donn (Fig. 4.8), lquilibre fait
intervenir les composantes de cet effort.
Fig. 4.8- Equilibre dun noeud soumis un effort.
Lquilibre du nud A de la figure 4.8 donne:
0FNNN 321
0FNN2
2
0FN2
2N
Y32
X21
Equilibre dun noeud en appui fixe
Si le noeud est en appui fixe (Fig. 4.9), les deux inconnues de liaison interviennent
dans les quations dquilibre. Ces quations sont celles qui permettront de calculer
les ractions aux appuis si celles-ci nont pas t obtenues par lquilibre global du
treillis:
Chapitre 4: Treillis Articuls
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Fig. 4.9- Equilibre dun noeud en appui fixe.
Lquilibre du nud A de la figure 4.9 permet dcrire:
0RNNN A321
0YNN2
2
0XN2
2N
A32
A21
Equilibre dun noeud en appui mobile
Si le noeud est en appui mobile (Fig. 4.10), linconnue de liaison intervient dans
lquation dquilibre dont la direction correspond au blocage. Cette quation est
celle qui permettra de calculer cette raction si elle na pas t obtenue par
lquilibre global du treillis.
Chapitre 4: Treillis Articuls
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Fig. 4.10- Equilibre dun noeud en appui mobile.
Lquilibre du nud A de la figure 4.9 permet dcrire:
0RNNN A321
0NN2
2
0XN2
2N
32
A21
Exemple 4.1
Dterminer les efforts dans les trois
barres du systme articul montr par la
figure ci-contre.
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Solution de lexemple 4.1
Equilibre du nud B
0cosNcosN0F 12x
cos
cosNN 12
024,22sinNsinN0F 12y
Mais = 37,17 et = 53,43 , on
obtient alors:
kN72,17N1 (Compression); kN25,13N2 (Traction)
Equilibre du nud A
0NsinN0F 31y
sinNN 13
kN23,14N3 (Traction)
4.3. Analyse des treillis par la mthode des sections
La mthode des nuds ci-dessus est un outil trs pratique lorsquil sagit de
dterminer les efforts dans toutes les barres du treillis. Cependant, pour dterminer
ou vrifier leffort dans une barre quelconque, une autre mthode, appele la
mthode des sections est plus avantageuse.
Soit dterminer, par exemple, leffort dans la barre BE du treillis de la figure 4.11.
A
N1
N3
B
22,24 kN
B B
B
N2
N1
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Fig. 4.11- Treillis coup par un plan.
La mthode des sections consiste sparer le treillis en deux parties par un plan
de coupe et tudier lquilibre de chaque partie comme un corps isol.
Pour le calcul des forces on peut traiter une partie ou lautre, mais en gnral la
partie o il y a moins de forces nous permet de calculer les forces plus facilement. Il
nest pas toujours possible de dduire le sens des forces; dans ce cas nous
donnerons un sens arbitraire ses forces. Un rsultat positif confirme notre
hypothse de dpart; par contre un rsultat ngatif nous indique que notre
hypothse de dpart est incorrecte et ds lors le sens exact sera contraire celui
choisi.
4.4. Isostaticit
Considrons un treillis constitu de n noeuds et de m barres. Il y a m inconnues
defforts intrieurs (Ni, i = 1, . . , m). Par ailleurs, supposons quil y ai p inconnues
de liaison (XA, YA, . . . ). Lquilibre des n noeuds conduit 2n quations.
A B C D
E F
I
I
C D
E NEF
NBC
NBE
F R1 R2
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Trois situations peuvent alors se produire:
Si m + p = 2n: le treillis est isostatique, cest--dire que les efforts intrieurs
peuvent tre calculs et ne dpendent pas du comportement des barres.
Cest par exemple le cas du treillis de la figure 4.12-a pour lequel n=4, m=5,
p=3.
Si m+p < 2n: le treillis possde des mobilits internes: il ne peut tre en
quilibre. Cest par exemple le cas du treillis de la figure 4.12-b pour lequel n
= 4, m = 4 et p = 3.
Si m + p > 2n: le treillis est dit hyperstatique cest dire que les efforts
intrieurs ne pourront tre calculs quaprs prise en compte de la
dformation des barres (fig. 4.12-c).
(a) (b) (c)
Fig. 4.12- Exemple dun treillis: (a) isostatique,
(b) mcanisme, (c) hyperstatique.
I II
III IV
(1)
(2)
(3)
(5)
A B
C D
(4)
I II
III IV
(1)
(2)
(3)
A B
C D
(4)
I II
III IV
(1)
(2)
(3)
(5)
A B
C D
(4)
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Exemple 4.2
Soit le treillis articul plan schmatis par la figure ci-dessous.
1. Etudier l'isostaticit du treillis ci-dessus.
2. Dterminer leffort dans la barre DG.
Solution de lexemple 4.2
1- Isostaticit du systme
Nombre de nuds: (n = 7) do le nombre dquations est: (2n = 14)
Nombre de barres: (m = 11)
Nombre dactions de liaisons: (p = 3) do le nombre dinconnues est:
(m+p = 14)
Ainsi, le nombre dquations est gal au nombre dinconnues. Do le systme est
isostatique.
Chapitre 4: Treillis Articuls
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2- Effort dans la barre DG.
En utilisant la mthode des section, on coupe au maximum trois barres de sorte
que la barre dont on recherche leffort soit parmi elle.
Nous crivons une seule quation qui est celle des moments par rapport au point B:
0FM B/
sin
2N
03x23xsinN
GD
GD
Avec = 67,38 alors:
kN17,2NGD (Traction)
NCD
NGD
NGF
Y
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Exercices
Exercice 1
Calculer les efforts dans toutes les barres de la structure donne par la figure ci-
dessous:
Exercice 2
Calculer les efforts dans les barres de la structure donne par la figure ci-dessous:
Soit AB = BC = AC = BD = CD = DE = CE = 5m.
A
B
C
D
E 20kN 30kN
B
200kg
A
C
5m
3m
2m
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Exercice 3
Calculer leffort dans la barre CF du systme articul suivant.
Exercice 4
Pour le systme articul ci-dessous, dterminer leffort dans la barre CF. Tous les
angles intrieurs sont de 60.
A
C
F
D
E
20kN
B 5m 5m
D A
B C
E 4m 6kN
F 4m 4m
3m
Chapitre 4: Treillis Articuls
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Exercice 5
Soit la structure articule plane schmatise par la figure ci-dessous.
1- Montrer que la structure est isostatique.
2- Dterminer les ractions aux appuis.
3- Dterminer leffort dans la barre BD.
1,8m
1,8m
2,4m 2,4m 2,4m
30 kN
Chapitre 5
Introduction la
Rsistance des
Matriaux
Chapitre 5: Introduction la Rsistance des Matriaux
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5.1. Introduction
La rsistance des matriaux (RDM) est l'tude de la rsistance et de la
dformation des lments d'une structure (arbres de transmission, btiments,
ponts, ...) dans le but de dterminer ou de vrifier leurs dimensions afin qu'ils
supportent les charges dans des conditions de scurit satisfaisantes et au
meilleur cot (optimisation des formes, dimensions, nature des matriaux ...).
Lobjet de ce cours est ltude de la rsistance des solides vis--vis de
sollicitations en efforts et leur dformation lors de ces sollicitations.
5.2. Notion de Contrainte
Une contrainte est un effort par unit de surface qui s'exerce dans le matriau.
Soit un solide soumis des forces (concentres ou rparties) schmatis par
la figure 5.1-a.
Fig. 5.1- Schmatisation dun solide contraint.
(a) (b)
M
S1
t
n
Chapitre 5: Introduction la Rsistance des Matriaux
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On coupe le solide en deux parties S1 et S2. Considrons un point M entour
par une surface S. Le solide S2 exerce une action mcanique sur le solide S1
12 S/SF que lon peut modliser par un effort rparti et on a:
Sn,MCF 1S/2S (1)
Le vecteur n,MC est appel vecteur contrainte au point M et de normale n (o n est le vecteur unitaire normal S sortant).
Le vecteur contrainte au point M relativement l'lment de surface S
orient par sa normale extrieure x , est dfini par:
0S
dS
df
S
flimx,MC
(2)
On peut dcomposer le vecteur contrainte sur les vecteurs n et t ( t est un
vecteur unitaire contenu dans le plan tangent S) (Figs. 5.1-b, 5.2) sous la
forme:
tnn,MC (3)
est appele la contrainte normale
est appele la contrainte tangentielle.
La contrainte normale et la contrainte tangentielle sexpriment en Pa (ou MPa).
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Fig. 5.2- Dcomposition du vecteur contrainte sur
la normale n et le vecteur tangent t .
Lorsque la normale est x , on munit le plan tangent de deux vecteurs y et z
tels que la base ( x , y , z ) soit orthonormale directe (Fig. 5.3). On dcompose
la contrainte comme tant:
zyxn,MC xzxyxx
xx est la contrainte normale et la contrainte tangentielle est gale :
2xz
2xy
n,MC
t
n
Chapitre 5: Introduction la Rsistance des Matriaux
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Fig. 5.3- Dcomposition du vecteur contrainte sur la base ( x , y ,z ).
On peut dire en simplifiant, qu'une contrainte est une force intrieure
applique l'unit de surface au point donn de la section donne.
Exprimentalement, on dfinit pour chaque matriau une contrainte limite
admissible, note [], au-del de laquelle la pice subit des dtriorations
de ses caractristiques mcaniques, dimensionnelles, voire une rupture. Le
calcul de rsistance des matriaux consiste vrifier que les contraintes
engendres par les sollicitations extrieures ne dpassent pas la contrainte
limite admissible par le matriau [].
Une contrainte est un outil de calcul; on ne peut pas l'observer directement,
par contre on peut observer ses effets: tudes des dformations par
exemple.
Nous avons vu prcdemment que la contrainte est le rapport d'une force
par une surface. Les paramtres qui influencent directement une contrainte
sont: les sollicitations et la section de la pice.
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Exemple 5.1
Calculer la contrainte due un effort de 100 N appliqu perpendiculairement sur
une surface de 1mm2.
Solution de lexemple 5.1
Notons cette contrainte par . Si l'effort est not F et la surface S, alors:
2mm/N100S
F
La contrainte dpend de la valeur de la sollicitation et de la surface du solide.
Pour une mme sollicitation, la contrainte sera d'autant plus faible que la surface
est grande et inversement (Fig. 5.4).
Fig. 5.4- Comparaison de contraintes.
5.3. Notion de dformation
Tout solide soumis un effort se dforme. Les dformations rsultent et varient
avec les charges appliques sur les objets. Elles sont mises en vidence par la
variation des dimensions, et peuvent tre lastiques ou plastiques.
N N
S1 S2
1 2 car S1 > S2
Chapitre 5: Introduction la Rsistance des Matriaux
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5.3.1. Dformation lastique
La dformation est dite lastique si le solide reprend sa forme initiale aprs arrt
de l'action des forces (cas dun ressort charg normalement).
5.3.2. Dformation plastique
La dformation est dite plastique si le solide reste dform aprs arrt de l'action
des forces (cas dune pte modeler).
Aucun matriau n'est parfaitement lastique. Gnralement la dformation est
lastique pour les efforts suffisamment faibles, puis devient plastique partir
d'un certain seuil de contrainte e appel limite lastique (voir courbe
contraintes-dformations en chapitre 6).
La limite d'lasticit est une contrainte caractristique du matriau. Elle ne
dpend ni des dimensions de la pice ni des sollicitations qui lui sont appliques.
Dans le cours de la rsistance des matriaux, nous nous intresserons
exclusivement aux matriaux lastiques. Ceci veut dire que nous supposerons
toujours que les sollicitations auxquelles sont soumises les structures tudies
sont suffisamment faibles pour que les dformations soient lastiques.
5.4. Hypothses de la rsistance des matriaux
5.4.1. Hypothses sur le matriau
Continuit
La matire est continue (les distances entre les molcules sont toujours trs
petites; l'chelle de la RDM, la matire apparat continue). Autrement, ses
proprits sont des fonctions continues de lespace, les discontinuits
Chapitre 5: Introduction la Rsistance des Matriaux
Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 82 -
microscopiques dues la nature des matriaux de construction (grains,
mailles) sont ngliges.
Homognit
On admettra que tous les lments du matriau, aussi petits soient-ils, ont une
structure identique. Ses proprits sont identiques en chaque point.
Isotropie
On admettra, qu'en tous les points et dans toutes les directions autour de ces
points, les matriaux possdent les mmes proprits mcaniques.
5.4.2. Hypothses sur la gomtrie - Hypothse de la poutre
On utilise le modle de la poutre pour tudier la RDM (Fig. 5.5).
Dfinition de la poutre
Une poutre est un solide engendr par une surface plane () dont le centre G
dcrit une courbe appele ligne moyenne. Le rayon de courbure de la ligne
moyenne est grand par rapport aux dimensions de la section droite ().
La section droite () de centre de surface G est