Fur das eingangs skizzierte Problem entartet das Gebiet I1 zu einer sehr diinnen Oberfliichenschicht. Es darf dann die Annahme u1 - uo << u gemacht werden. uo muB als merklich von Null verschieden sngenommen werden, damit es sich urn einen makro- skopischen Korper handelt. Das Gebiet I1 ist dann durch Oberfliichen von kleinem GauBschen Kriim- mungsmaD berandet. Es ist erlaubt, die Approxi- mationen so weit zu treiben, daB alle mit ul - uo behafteten Glieder verschwinden, und man erhiilt das Resultat, daB einzig uil und ug von Null verschieden sind, wiihrend alle anderen Spannungskomponenten verschwinden. Es wird

2 E GI1 (4 - alI) 3 a11

u;’ w ug % - ______-. (60)

Das ist ein iiberall in der Oberflachenschiclit kon- stanter Spannungszustand, der unabhiingig von der Ausdehnung des Korpers ist, solange auf seinen Ober- flachen keine grolen Kriimmungen auftreten. Daa Vorzeichen der physikalischen GroBe E entscheidet dariiber, ob es sich um Zug- oder Druckspannungen handelt .

Wenn der Korper Kugelgestalt hat, verschwinden alle Schubspannungen und alle tangentiellen Kom- ponenten des Verschiebungsvektors. Ferner eriibrigt es sich, ein zu [SJ, S. 96-(123), analoges Glied in Ansatz zu bringen, welches der Gestaltsanisotropie des Rotationsellipsoids Rechnung triigt. Die auf Kugelkoordinaten r, 8, 9 bezogenen nichtverschwin- denden Normalspannungen lauten dann:

A. Im Gebiet I (0 < r < ro)

B. Im Gebiet I1 (r,, < r < pi)

Dabei bedeutet

-1 + - GI (4 - aT)

Die skizzierte Theorie kann zur Deutung einer Reihe von Erscheinungen herangezogen werden.

Bei der RiBfortpflanzung durch einen polierten sproden Korper entsteht a n der RiBfront eine sehr starke Kriimmung, und die Spannungen und Ver- zerrungen erreichen sehr hohe Werte. Die in der Randschicht ausgelosten Entlastungswellen zeichnen die Bruchfliiche durch WALLmm-Linien [4]. Bei der RiBentstehung entwickelt sich der AnriB aus Ober- fliicheninhomogenitiiten. Dieser Vorgang wird durch die Spannungen in der Schicht begiinstigt.

Beim Schleifen beobachtet man wenig molekiil- dispersen Abrieb, dafiir aber scharfkantige Spiine rnit charakteristischen Bruchflachen. Der gewohnliche Schleifvorgang verursacht also Verformungen iiber Kerbstellen hinweg, also um Stellen groBen Kriim- mungsmales. Die an den Inhomogenitiiten erzeugten plastischen Verformungsspannungen iibersteigen die Festigkeit des Materials und fuhren zur Ablosung von Teilchen, die mit bloBem Auge sichtbar sind [l].

SYEKAL hat bei seinen Ritzversuchen auf Glas bis zu gewissen Belastungen Ritzspuren in Gestalt plastischer FlLchen erzeugt. Unter dieser Ober- flachenschicht entstehen Spannungen, die zur R i b bildung fiihren. Diese Erscheinung wird beim Glas- schneiden bewuat herbeigefiihrt [l].

Eine Oberfliiche kann aber auch durch Aufnahme von Sauerstoff veriindert werden. So kann das

Wachstum stabifer Kristalle in Forin von BIiittchen verstanden werden.

L i t e r a t 11 r 1 K. L. W O L F , Physik uiid Chemie der Greneflachcrr, Bd. 1, S, 120

2 H. NEUBER, Kerbspannungslehrc, Berlin 1057, Springcr-Ycrlag. 3 M. HIERE ZAMU 86, S. 285 (1955). 4 H. \VALL$ER, 2. f. Physik 114, S. 368 (1939).

A~aschrift: Prof. Dr. M. HIEKE, Institut fur theore- tische Physik der Universitiit Halle, Friedemann-Bach-Platz 6

u. f . , Berlin 1957, Springer-Verlng.

GHEORUHE S I L A ~ und HORST J. KLEPP Polygonale Naherung nichtlinearer Kennlinien

Zum Studium der freien Schwingungen eines kon- servativen Systems mit eineni Freiheitsgrad und nichtlinearer Kennlinie sind eine Reihe von NLhe- rungsmethoden bekannt. Einige davon ersetzen die nichtlineare Charakteristik durch eine lineare [GI, [B], andere durch eine bilineare [7] oder polygonale [a]. I n [9], [lo] und [ll] wird die nichtlineare Kennlinie mit Parabeln, lineare &sY&v-Polynome bzw. Kugel- funktionen angeniihert. Die Methode der harmo- nischen Balance [2] oder die allgemeine asymptotische Methode von KRYLOV und BOGOLJUBOV [3] konnen auch zum Studium solcher Systenie verwendet werden.

In diesem Beitrag wird eine Niherungsmethode vorgestellt, welche die nichtlineare Kennlinie durch eine polygonale ersetzt, deren Elemente auf Grund energetischer Uberlegungen bestimmt werden.

1. B e s t i m m u n g d e r p o l y g o n a l e n K e n n l i n i e

Es sei F + N ( P ) = 0

die Bewegungsgleichung eines konservativen Schwin- gers ( N ( 0 ) = 0). Der Schwingungsbereich [Q1, Qe] wird durch die Punkte pi (i = 1 , 2 , . . . n + 1 ) (ql .= Ql, qn+l = Q2) in 11. Teile geteilt. I n jedem Teilbereich [pi, qi+ I ] wird die nichtlineare Charak- teristik N(p) durch eine der zwei bilinearen Kenn- linien Li,(p), Li4q) oder Q 1 ( q ) , Diz(q) ersetzt, welche in folgender Weise definiert werden: Wenn das System mit jeder der polygonalen Kennlinien durch die Lage qr (i = 1, 2 , , . . , n + 1) geht, soll es die- selbe Riickfiihrkraft, dieselbe kinetische Energie Eh und die gleiche potentielle Energie Ep besitzen wie das System mit der nichtlinearen Charakteristik.

In den anderen Lagen wird dann nur die mechti- nische Energie E , des S y s t e m mit jeder Charak- teristik dieselbe sein.

(bzw. w) bezeichnen wir die Abszisse des Schnittpunktes der Geraden Lil, Lta (bzw. Dil, &z). Um diesen Punkt zu bestimmen, stellen wir die For- derung, daB die eine Gerade Li, (oder Diz) imPunkte qi (bzw. p i + i ) die nichtlineare Kennlinie tangieren soll.

(1)

in Betracht, so gilt

Mit

Die Gleichung der Geraden Li, ist

Lii = N’(ni) * q - N’(P~) ~i + N(qi) = a i i ~ - bii Zieht man die anfangs erwiihnten Bedingungen

1 r 1 8 ( q ) = “(Pi) + Lii(h)l (ci - Pi) + P i 1

2 und & folgt aus

(2)

+ - [LiAti) + N(qz+1)1 ( P r + l - E d I

1 (z TIN(P) dP + Pi “‘(Pi) (Pr+ l - Pi) + 2 “Pi)] -92-1 1 “(Pi) + Wh+1)1 ti= ~ ~ ~~~ __________

W P i ) - N(Pi+l) + W(Pi) k2+1 - Pi) *

5*

68 Kleine Mitteilungen

0,14189 0,43786 0,77976 1,26935

Die Gleichung der Geraden Li , ist

-___ - ~~~~~

0,2 0,19998 0,20008 0,20003 0,6 0,59962 0,60204 0,60083 1,0 0,99573 1,00743 1,00168 1,4 1,39299 1,40708 1,40004

Die analogen Gleichungen fur die Kennlinie B(q) sind

(1') Di, = N'(pi+l) * p - N'(gi+l) * qi+l + N(qi4-1)

(2') Ti =

= ci2 q - dig,

Als Punkte qi ( i = 2,3 , . . . ?L) nimmt man in erster Linie jene Punkte, fur welche N(q) = 0, N'(q) = 0 oder N"(q) = 0. Es konnen auch andere gewahlt werden. J e kleiner die Teilbereiche sind, um so besser wird die NLherung sein.

Aus den Bedingungen, rnit welchen die polygonalen Charakteristiken bestimmt wurden, folgt eine Eigen- schaft der Bewegung des Systems mit den poly- gonalen Kennlinien.

Mit den Bezeichnungen

Lil

Dii

Pi I q 5 ti 9

Pi I q I w 9

f ( q ) =

9(9) =

{Liz Ei 5 p 5 qi+1,

c Di, 7li S q 5 qi+l 9

kann man fur einen Teilbereich [qi, qi+i], wenn q N"(q) < 0 ist, folgende Ungleichungen schreiben:

Mit 0, VI und VII bezeichnen wir die Geschwindig- keiten des Systems rnit den Kennlinien N(q) , L(q) bzw. D(q) in der Lage q. Weil das System mit jeder Charakteristik konservativ ist, gelten fur die Ge- schwindigkeiten folgende Gleichungen:

Y Y

?n ( . a;) - 1 N k ) dq = Ek(qi) - j- N(q) &z 9 - = E vz 2

0 P i ri

!!i 2 = &dPi) - [ M &l = Ek(qi) - j- f ( q ) 4 9

0 Y i s P i I "ir = Ena(4i) - 9(4) dq = &(q) - g(q) dp 9 2

Nimmt man (4) in Betracht, so folgt

Fur Teilbereiche rnit q N"(q) > 0 gilt

0

(5) IUII S 14 5 I V I I I ,

IUII B Ivl 2 IVIII

p i 5 q 5 qi+l

qi 5 q 5 qi+l

2. S t u d i u m d e s B e w e g u n g s v e r l a u f s Verwendet man eine der polygonalen Kennlinien,

so kann die Bewegung des Systems mit Hilfe von 2 n linearen Differentialgleichungen beschrieben werden. Nimmt man die Charakteristik L(q), so gelten irn Teilbereich [pi, qi-l-11 die Bewegungsgleichungen :

(7) Z 2 + ~ i 2 ~2 = biz 9 Ei 5 q2 5 qi t l 9

(i = 1 , 2 , . . . , n ) .

I n den Bereichen [qi, &] und [k, qi+i] wiihlen wir t = 0, wenn sich das System in den Lagen qs bzw. 66 befindet. Die Anfangsbedingungen fur jeden Bereich sind:

q o ) = qi = 2 1

pA0) = Ei = Ql(ti1) = 2, Q A O ) = i l( t i1) = & a -

ql(0) = k1 = Geschwindigkeit in der Lage qi, wenn sich das System im Bereich [qi-1, qil bewegt

Zur Bestimmung des zeitlichen Bewegungsverlaufs findet man folgende GI.:

,- + 3 x. sin V aij t , lG

(9)

(laijl = e i j > 0) ,

"1. i = 1 ) 2 , . . . , ( j d . 2

Kleine Mithilunnen 69

11 Q I ql I q2 I q3 11 1 0 P - 1,85407

- 0,58752 2

2 - 0 - @ 0,92269 6 2 6

2 1 - - - ~ n n I ; 0 - 4

-______- 5n n

T

- 1,85407 1,86841 - 1,86841 0,77%

1,26655 1,85407 0,58801 1,27011 1,85812 0,22%

1,84537 2,76806 0,92807 1,85893 2,78700 0,68% _ _ _ _

Der Niiherungswert der Periode ist n

2 - 1 t = 2 ,2 (ti1 + tie) *

Verwendet man die Kennlinien L(q) und D(q) so folgt aus (5) im Teilbereich [qi, qi+l], wenn sich das System in positiver Richtung bewegt und q N"(q)<O

oder ti1 > t i > ti11 .

Fur q N"(q) > 0 gilt ti1 < t i ti11

Wenn die Kennlinie des Systems in allen Teil- bereichen eine der Ungleichungen (I N"(q) 2 0 er- fiillt, so ist die Periode T von und TII begrenzt. t* = (q + t11)/2 gibt darum einen besseren Niihe- rungswert ah t~ oder t11.

Ah Beispiel bestimmen wir die Niiherungswerte der Periode eines mathematischen Pendels (f& = 1) fur die Amplituden 4 2 und 5 nl6. Weil q N"(q) < 0, folgt t~ > T > t 1 1 . Fiir die Amplitude Q = 4 2 wurde die nichtlineare

Kennlinie mit zwei und vier Geraden angeniihert, fiir die Amplitude Q = 5 n/6 rnit vier Geraden.

In Tabelle 2 sind die genauen Werte [l] T/4 = ts + tz und die Niiherungswerte einer Viertel- periode mit den entsprechenden prozentuellen Fehl- betriigen E eingetragen, welche rnit Hilfe der poly-

gonalen Naherungsmethode tI/4, t11/4 und t*/4, rnit der asymptotischen Methode von KRYLOV und Bo- OOWUBOV [3], erste Niiherung TJ4, und mit der Methode der direkten Linearisierung [5] T2/4 be- stimmt wurden.

L i t e r a t u r 1 HANS KAUDERER, Nichtlineare Mechanik, Berlin/O&tingen/Hei-

delberg 1958, Springer-Verlag, 238. 2 KURT MAaNns, Schwingungen, Stuttgart 1961, B. 0. Teubner Ver-

lagsgeselischaft, 59. 3 N. N. BOMIIJuBOV, Jn. A. MITROPOLBKI, AsimtotiEeskiemetody Y

teori nelineinyh kolebani, Moskva 1955, GITTL, 73. 4 Z. OABOS, D. MaNGEEON, I. STAN, Fundamentele mecanicii,Edit.

Acad. R. P. R. 1962, 323. 5 JA. U. PANOVKO, Sposob prjamoilinearizaci v nelineinyh zadacah

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6 N. K. KULIKOV, Priblitenoe opredelenie perioda svobodnyh kole- bani nelineinoi sistemy s odnoi stepenju svobody, Inlenerny sbor- nik 18, lzd. A. N. SSSR, 187-189 (1952).

7 E. J. ERGIN, Transient response of a nonlinear system by billnear aproximation method, Journal of Applied Mechanics 28,635-641 (1956).

8 Jn. A. OOPP, Linearizaciaposlcionoisily metodom kusolnolineinoi aproksimaci, Inaenerny sbornik 1 8 , izd. A. N. SSSR, 149-152 (1965).

9 A L m l i ~ BliAIER, A supra calculului aproximativ a1 pulaatiei osci- latiilor sistemelor nelineare conservative, Bul. Inst. Polit, Iagi 8.11. 5 (9), 1-2, 135-142 (1959).

10 H. H. DaNMAN, Amplitude-Dependence of Frequency in a Linear Approximation to the Pendulum Equatlon, Am. J. Phys. 27, 524 (1959).

11 H. H. DENWN, J. 1. HOWARD, Application of Ultraspherical Polynomials to Non-Linear Oscillations, I. Free Oscillation of the Pendulum, Quarterly of Applied Mathematics XXI, 325 -330 (1964).

12 B. I. SEQAL, K. A. SEMENDJAEV, PjatiznaEnye matematiEeskie tablicy, Moskva 1962, GIFML.

Anachrift: Prof. Ing. GH. SILA~, Institutul Politehnic, Timiyoara, Bul. 30 Decembrie nr. 2, SR Rumiinien