Sobre fazer números e contas...

Edison L. M. Rodrigues Introdução Lidamos hoje diariamente com calculadoras sofisticadas e computadores, muitíssimo bem-vindos, que tornam nossas tarefas mais rápidas e bem feitas. Jamais poderemos viver novamente sem eles e já há uma geração que nunca o fez. Muitos jovens nunca ficaram frente à frente a uma máquina de escrever e nunca viram uma régua de cálculo. Quando ainda crianças nos ensinam a fazer contas decorando os algarismos, a tabuada e as técnicas para efetuar as operações de tal maneira que tudo fica tão automatizado que não nos damos conta do que está implícito no que fazemos e, não raro, muitas pessoas , segundo elas mesmas, “não são boas de conta” e a matemática costuma ser uma matéria temida nas escolas. Penso que seria útil se em algum momento posterior voltássemos a rever esses conceitos preliminares sob uma ótica mais abrangente e apreciar com mais vagar e maturidade esses velhos caminhos. O que se segue não pretende ensinar ninguém a fazer contas, quem desejar fazê-lo deve procurar um dos bons livros didáticos existentes para esse fim, mas apenas proporcionar uma nova viagem por paisagens que já vimos e às quais dirigiremos um novo olhar.

A. Ponderações sobre os números

Em princípio números são símbolos criados para representar e designar quantidades finitas e concretas. Isso decorre da objetividade do ato de percepção de que as coisas no mundo real ocorrem fisicamente distintas umas das outras e podem ser agrupadas em conjuntos cuja única dessemelhança seja a quantidade de elementos presentes. Isto representa a origem do conceito de que “um” é diferente de “vários”. A percepção do conjunto vazio não é tão imediata: quando um homem olha para um campo e não vê carneiros ele não pensa em contar carneiros. Saber quantos elementos há em um conjunto foi provavelmente a primeira necessidade humana da matemática. Quantas ovelhas eu possuo? Estarão todas aí? São perguntas que um pastor poder-se-ia ter feito ao final de um dia há cinco mil anos... Diferenciar duas árvores de apenas uma é muito simples para as faculdades humanas mas distinguir cinqüenta ovelhas de quarenta e cinco com apenas o olhar já não é tarefa tão trivial. Contar parece ser uma necessidade que remonta aos princípios da organização humana. É provável que o engenho humano tenha recorrido a muitos artifícios e técnicas para contar e conferir quantidades antes de criar números. O pastor poderia guardar num saco de pele um pequeno seixo para cada ovelha que possuísse e conferir quando desejasse se para cada seixo correspondia uma ovelha. Um método assim está, sem dúvida, baseado em entidades concretas e manuseáveis, seixos e ovelhas, um seixo para uma ovelha um saco de seixos para um rebanho. Mas apesar dessa objetividade concreta já começa a ser expressa uma relação abstrata que relaciona quantidades iguais. O conceito de “quantidade” começa a ser abstraído do ente físico que o origina e passa a existir idealmente como algo que pode designar indistintamente ovelhas, árvores, pessoas, ferramentas, etc. A Matemática parece surgir como resultado da interação entre o Universo e a Mente Humana, como um instrumento humano de interpretação do Universo. Dizer, como Pitágoras e vários outros desde então, que o Universo é matemático parece ser excessivamente antropocêntrico... é justo supor que deve haver outras maneiras não-matemáticas e igualmente eficientes para interpreta-lo. O que não descura da enorme utilidade da matemática entre nós. Um atributo fascinante da mente humana, que foi objeto dos estudos de Jung, é sua capacidade de criar e lidar com símbolos que parece ser algo intrínseco à nossa natureza e remonta às nossas origens. Daí parece natural que se criassem símbolos para representar quantidades, símbolos diferentes para quantidades diferentes com os quais se inicia a criação de uma linguagem: a linguagem matemática. Criar símbolos não é difícil e assim é que muitos povos os criaram para representar aquelas quantidades definidas que viemos a chamar de números. Dois exemplos estão abaixo:

O sistema chinês:

O sistema Romano

Muitos outros povos, Fenícios, Mesopotâmios, Egípcios, Gregos, Maias,Indianos e Árabes criaram suas próprias representações de números o que mostra a importância da arte de contar e calcular na história humana. Entretanto os símbolos usados pelos diferentes povos para essa representação já nos dizem muito sobre sua maneira de pensar os números e relacionar quantidades. Vamos representar duas quantidades usando comparativamente os sistemas romano e chinês: Sejam as quantidades 824 e 5097

Note que os romanos repetiam até três vezes cada símbolo e que um traço horizontal sobre o símbolo o multiplicava por mil. Além disso um símbolo de valor menor ao lado esquerdo de outro indicava uma subtração (XC = 100 -10) ao lado direito representava uma soma (VII = 5 + 2). O número todo era composto por somas. O sistema romano

privilegia o valor 5 e seus múltiplos e não exibe símbolo para o vazio, ou seja, o valor zero.

O sistema chinês, ainda usado atualmente, tem notação para designar individualmente os dígitos de um a nove e possui caracteres para os múltiplos de dez (10, 100, 1000, etc). Os números são grafados registrando uma seqüência de produtos e somas. O sistema chinês privilegia o valor 10 e seus múltiplos. Como o romano, não exibe símbolo para o zero. Os romanos foram um povo muito prático que desenvolveu uma grande capacidade para administrar seu vasto território, administração essa que exigia meticulosa contabilidade dos bens e recursos, das tropas e das populações. Como exemplo desse empenho administrador lembremo-nos que o relato bíblico nos conta que Jesus nasceu em Belém porque para lá se dirigiram seus pais que deveriam cadastrar-se por ocasião de um censo populacional que Roma fazia realizar na Judéia ocupada. Esse espírito eminentemente prático não viu necessidade de criar novos símbolos para designar os números, adotando para eles letras do seu alfabeto. Seu sistema de codificação de números presta-se muito bem para registros contábeis de valores porém deixa bastante a desejar quando se trata de fazer cálculos. Ainda comparando os dois sistemas, devemos nos deter novamente na observação de que o sistema romano parece assentar-se sobre o número cinco, enquanto o chinês tem uma base decimal. Isto se deve, muito provavelmente, à opção que muitos povos fizeram de utilizar os dedos como um primeiro ábaco. Os romanos parecem ter utilizado os dedos de uma única mão como grupo básico de valor enquanto os chineses o constituíram com os dedos de ambas as mãos. Outros povos contaram também os dedos dos pés e criaram sistemas vigesimais. O fato de possuirmos dez dedos nas mãos e utilizarmos essa quantidade como base de sistema numérico constituiu uma felicidade para o desenvolvimento da técnica de fazer cálculos. O sistema romano, sendo grafado em seqüências de somas e subtrações, não confere plenamente valores posicionais aos caracteres, isto é, os números XXIII e MCDVI (23 e 1406) possuem ambos cinco caracteres cada, mas a cada casa não corresponde o mesmo valor de posição, ou seja, não é possível identificar por sua posição as casas correspondentes às dezenas, centenas, etc.O sistema chinês torna bem evidentes esses valores de posição:

Os símbolos que representam os produtos de dez por si mesmo (10, 100, 1000, etc) apenas registram esses valores de posição, o que torna bem mais simples as operações como mostra a soma ao lado: Fica contudo a ausência do conceito e do símbolo para o valor zero. Na verdade é atribuído aos Hindus terem sido os criadores do sistema numérico posicional, em base dez, bem como a criação dos caracteres hoje difundidos em todo o mundo. Os hindus utilizavam um ábaco rudimentar desenhado sobre a areia para registrar seus cálculos. O ábaco era constituído por traços verticais cujos intervalos representavam as casas decimais e nos quais eram colocadas pedras para indicar os dígitos de um a nove.

Ao vazio (sunya) foi posteriormente atribuído um símbolo muito parecido com o nosso zero atual. Os números que utilizamos hoje são conhecidos como “algarismos” ou “algarismos arábicos”. Isto porque entre os anos de 800 e 847 dC o sistema hindu chegou ao conhecimento do grande matemático e geômetra árabe al-Kwarizmi que neles reconheceu o grande valor que possuíam, passando a utilizá-los e difundir através de sua obra. Do nome do sábio vem a palavra algarismo. B. O Sistema Numérico Decimal Posicional

1. Um sistema numérico decimal posicional é portanto um sistema criado com base na quantidade de dedos que temos nas mãos, sendo o total de dedos representativo da primeira ordem de grandeza, a dezena. Dez dessas ordens constituem a segunda ordem, a centena e assim por diante. A quantidade de cada ordem de grandeza presente num valor é expressa por uma indicação posicional:

O número acima, em sua essência, representa o seguinte cálculo: Por essa razão não temos um símbolo específico para o dez como, por exemplo, possuíam os romanos e chineses. Quando queremos escreve-lo o que fazemos é registrar uma dezena e zero unidades. A grande vantagem operacional desse sistema (felicidade por termos dez dedos nas mãos) é a enorme facilidade de cálculo que dele resulta. Saltar de uma ordem de grandeza para a outra é efetuar multiplicação por dez, operação que é feita pela simples adição de um zero (símbolo importante!): 1 dezena 10 1 centena 100 1 milhar 1000 a partir daí retomamos a base do sistema dizendo: 1 dezena de milhar 10 000 1 centena de milhar 100 000 1 mil milhares (1 milhão) 1 000 000 e assim por diante. Freqüentemente quando desejamos contar uma grande quantidade de coisas, primeiro as separamos em grupos de dez e depois contamos quantos grupos formamos e quantas unidades restaram. Evidentemente tal sistema também favorece a expressão de quantidades fracionárias sempre tomadas na base dez. Para isso (já não foram os hindus) foram criadas as casas

decimais expressas ao lado direito de uma vírgula colocada ao fim da parte inteira do número. E assim o décimo 0,1 o centésimo 0,01 o milésimo 0,001 e etc Da mesma forma que para os valores inteiros as ordens de grandeza saltam de dez em dez pela inclusão de um zero adicional após a vírgula. Essas operações expressam as divisões por dez que ficam assim grandemente facilitadas. Ficam dessa forma estabelecidas como regras básicas as seguintes: - Multiplicar um número inteiro qualquer por dez equivale a acrescentar-lhe zeros à direita: 23 x 10 = 230 765 x 10 = 7650 7 x 100 = 700 - Multiplicar um número fracionário qualquer por dez equivale a levar-lhe a vírgula

sucessivamente para a direita:

23,7 multiplicados por 10 = 237 45,873 multiplicados por dez = 458,73 432,8 multiplicados por cem = 43280

- Dividir um número qualquer por dez é levar-lhe uma vírgula sucessivamente para a esquerda:

221,8 divididos por dez = 22,18 1245 divididos por dez = 124,5 789,1 divididos por cem = 7,891

C. As Quatro Operações Fundamentais São quatro operações intuitivas que chamamos Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão.

A adição representa o ato de acrescentar elementos ao conjunto, enquanto o seu oposto, a retirada de elementos, é representado pela subtração. A multiplicação é o acréscimo de quantidades iguais, a divisão, seu oposto, é a partição em grupos de quantidades iguais. É conveniente atentar para uma operação especial que decorre da multiplicação sucessiva de um número por si mesmo. Façamos alguns produtos dessa natureza utilizando, por exemplo, o número 3:

Para representar esse tipo particular de multiplicação foi criada uma notação chamada Potenciação. Nesse tipo de notação, registra-se à direita e pouco acima do número que se repete, a quantidade de vezes em que se repete. Ao número mais elevado chama-se potência ou expoente e ao número que se repete base. Assim, no exemplo anterior,

5

4

3

2

324333333

3813333

327333

3933

Ficou estabelecido por definição que:

todo número elevado à potencia 1 é igual a si mesmo ( 331 )

todo número elevado à potência zero é igual a 1 ( 130 )

D. Reinterpretando Um Sistema Decimal Posicional à Luz da Notação de Potência

As potências de base 10 representarão convenientemente as ordens de grandeza: a ordem das unidades 100 = 1 a ordem das dezenas 101 = 10 a ordem das centenas 102 = 100 a ordem dos milhares 103 = 1000 e assim por diante notando que o expoente registra o número de zeros que seguem o algarismo 1. Podemos agora fazer uma nova e útil leitura de um número grafado: E. Sistemas Numéricos Posicionais Não-Decimais Já se viu que o sistema decimal torna-se muito prático devido ao fato de que as operações mentais de multiplicação e divisão por dez são muito simples. Da mesma forma ficam muito simples as quatro operações básicas. A quase totalidade dos países do mundo adota

hoje sistemas decimais, não apenas para grafar números mas também nos seus sistemas de pesos e medidas. Desde que um quilograma (1 Kg) tenha mil gramas (1 000 g) e um Real (R$ 1,00) tenha cem centavos fica muito fácil saber quanto nos irá custar 100 g de um produto que custa R$ 8,00 por Kg. Entretanto pode-se elaborar sistemas numéricos posicionais não-decimais e alguns deles revelaram-se úteis. Pensar tais sistemas, por outro lado, aumenta nossa capacidade de compreensão dos sistemas numéricos. O Sistema Binário Será binário um sistema cuja base seja o valor dois (2). Para construir tal sistema lembremo-nos de que no sistema decimal criamos um símbolo para o zero e um símbolo para cada dígito, exceto o décimo, que passava a ser representado pela dezena. Um sistema binário terá, pois, um símbolo para o zero e outro para a unidade. O valor dois será representado pela primeira ordem de grandeza do sistema. Para grafar números no sistema binário façamos uma analogia com o que sabemos do sistema decimal: Sendo um sistema posicional as ordens de grandeza correspondem a potências da base do sistema. Uma base binária corresponderá a potências de 2. Vejamos alguns exemplos:

Todo sistema assim constituído é consistente e pode operar. Apenas a título de ilustração, vejamos algumas operações simples: A “tabuada” do sistema binário é bastante reduzida... As regras da multiplicação são as mesmas. Quando duas ordens de grandeza diferentes são multiplicadas entre si, a ordem de grandeza resultante é encontrada pela soma dos expoentes: Dessa forma podemos ensaiar algumas multiplicações

Uma Curiosidade Binária... Muitas pessoas gostam de artes divinatórias, ou seja, de métodos que se propõem a desvendar o futuro ou fornecer aconselhamentos como oráculos. O I Ching tornou-se bastante conhecido e foi mesmo seriamente estudado por Carl G. Jung, o mesmo investigador da mente humana que já foi mencionado anteriormente. O simbolismo do oráculo é representado por seis linhas horizontais sobrepostas verticalmente denominadas hexagramas, formados por dois trigramas sobrepostos. Usam-se dois tipos de linhas: as contínuas e as descontínuas. O sistema do I Ching é portanto um binário, já que utiliza dois símbolos e suas combinações. A figura mostra alguns trigramas e seus nomes. Se ao símbolo atribuirmos o valor 1 e ao símbolo atribuirmos o valor 0 e efetuarmos a leitura, por exemplo de baixo para cima, encontraremos que K’un = 0, Chen = 1, K’an = 2, Tui = 3, Ken = 4 e Li = 5. É curioso notar que em uma das ordenações dos hexagramas, proposta por Fu Hsi, eles se encontram arranjados em exata ordem crescente de 0 até 63. Foi o grande matemático Leibnitz, idealizador do sistema binário, quem o reconheceu estampado no I Ching, livro que data de épocas anteriores a Kung Fu Tzu (Confúcio). Um Uso do Sistema Binário Um sistema binário só possui dois símbolos, que como vimos, podem ser quaisquer. Podemos também, se o desejarmos, interpretá-los como “sim” e “não”. Uma seqüência de lâmpadas acesas ou apagadas poderia representar um número binário:

O sistema binário é plenamente utilizado em informática pela significação de um bit ativado ou não que possibilitou a criação e desenvolvimento de hardware e software. Seqüências binárias podem, por exemplo, produzir a geração de caracteres. E. Retornando às Operações no Sistema Decimal Vamos falar um pouco de coisas chamadas Algoritmos. Algoritmos são técnicas de procedimentos passo-a-passo para resolver problemas, especialmente em Matemática e Computação. Vamos fazer algum uso do primitivo, mas eficiente, ábaco hindu mencionado no início. Com seu auxílio vamos registrar o número 132 e depois somar a ele o número 84, lembrando que a composição desses números é, respectivamente

132 84 1 centena 3 dezenas 8 dezenas 2 unidades 4 unidades

para efetuar a soma devemos acrescentar-lhe mais 8 dezenas e quatro unidades, o que faremos por adicionar pedrinhas nas casas correspondentes, lembrando que cada dez unidades completam uma dezena. Ficamos com 6 seixos na casa das unidades, 11 na casa das dezenas e 1 na casa das centenas. Cada casa pode conter no máximo nove unidades, o número de símbolos diferentes de zero que possuímos no sistema decimal. Uma vez que 10 dezenas perfazem uma centena, as retiramos dessa casa acrescentando mais 1 seixo na casa seguinte. O zero seria representado por uma casa vazia. Ao final podemos ler a soma que perfaz 216. O que realizamos nesse ábaco foi uma operação conceitual pois ficamos atentos à estrutura de um número decimal.

Costumamos traduzir esse procedimento num algoritmo muito simples quando realizamos nossas somas com lápis e papel:

Cada vez que a soma numa coluna ultrapassa o valor nove (11 por exemplo) deixamos nela o algarismo da direita e levamos o outro para somar na próxima coluna, sucessivamente. Aprendemos a dizer: “vai 1”. Esse procedimento é automático e igual para todas as somas e constitui um algoritmo. Muitas vezes, tão habituados ao algoritmo, esquecemos a

essência do que estamos fazendo. Todos os nossos cálculos são realizados através de algoritmos. Mas para somar 4 + 2 que algoritmo estamos usando? Nenhum. Simplesmente estamos contando seixos: um, dois, três, quatro, cinco, seis. Esses pequenos cálculos, somas, subtrações, divisões e multiplicações entre os algarismos, por tão simples e tão freqüentes, acabamos memorizando, o que se revela muito útil. Talvez seja por isso que ainda crianças nos obrigam a decorar as tabuadas. Retornemos ao ábaco hindu para tentar uma subtração. Vamos efetuar 347 – 93 As figuras 1a e 1b ilustram os registros dos números 347 e 93. De 347 devemos retirar 9 dezenas e 3 unidades. Não há problemas na casa das unidades, mas a casa das dezenas não contém seixos suficientes. Utilizamos portanto o mesmo recurso de transformar 1 centena em 10 dezenas, alterando provisoriamente o nosso ábaco como indica a figura 2. A figura 3 ilustra a operação já realizada restando 254 que é o resultado procurado para a subtração.

O algoritmo que aprendemos a utilizar realiza a mesma operação.

A multiplicação irá nos intrigar um pouco mais... Já dissemos a respeito dela que se trata de um tipo de soma. Vejamos: Quando dizemos “três vezes quatro” estamos significando que o grupo de quatro unidades se repete três vezes como mostra a figura. Para contar os seixos resultantes, fazemos uma nova distribuição do total agrupando em conjuntos de dez unidades e o que sobrar.

Encontramos uma dezena e duas unidades, ou seja: 12. Essa é a natureza de uma multiplicação. Vamos agora tentar algo mais complicado. Façamos o produto 12 x 15: Da mesma forma que no caso anterior, repetimos agora 12 grupos de 15 seixos cada. Após alguma observação percebemos que podemos reagrupá-los em 12 conjuntos de 10 seixos e outros 12 conjuntos de 5 seixos cada. Se lembrarmos que 15 são 1 dezena e 5 unidades ou 10 + 5 percebemos que a operação acima contém algo como:

Essa descoberta nos faz olhar novamente o total de seixos e perceber que:

Isso nos leva à interessante e prática conclusão de que: Ou seja, cada uma das ordens de grandeza de um número multiplica uma por uma todas as ordens de grandeza do outro e as parcelas assim obtidas são ao final somadas. Concluindo: O resultado a que chegamos já é um algoritmo que nos permitirá multiplicar entre si quaisquer números. Podemos ainda, aproveitando a técnica, verificar que 15 x 12 = 180, ou seja 12 x 15 = 15 x 12. Enfim isto parece intuitivo mas agora sabemos como provar. Dizer que 12 x 15 = 15 x 12 chama-se propriedade Comutativa da multiplicação. As coisas vão ganhando nomes... Ao lado o algoritmo que usamos comumente e que é baseado nos mesmos princípios ou propriedades que acabamos de descobrir. Resta agora efetuarmos uma divisão. Dividir é o mesmo que partir em grupos

de igual conteúdo e verificar quantos grupos assim obtivemos. Se quisermos dividir 12 por 3 podemos tomar 12 seixos, separá-los em grupos de 3 e verificar quantos obtivemos. É fácil perceber que a divisão é uma espécie de subtração na qual se retiram quantidades sempre iguais. Dos 12 seixos vamos retirando de 3 em 3 e verificamos quantas retiradas podemos fazer. Cumpre notar que 12 divididos por 3 “deu certo”, isto é, retiramos 4 grupos de 3 e nada sobrou. Dizemos que foi uma divisão exata. Nem sempre é assim: Se tentarmos dividir 13 por 3 veremos que conseguimos efetuar 4 retiradas mas sobra um seixo. Dizemos que foi uma divisão com “resto”. Vamos olhar as divisões acima como resultados de subtrações sucessivas Na coluna abaixo do 12 efetuamos as subtrações sucessivas e na coluna ao lado registramos o número de operações. Os dois números inferiores, ao final, representam respectivamente o resto e o resultado da divisão ou quociente. Esse é, em essência, o mesmo algoritmo que usamos comumente, com a única diferença que sempre procuramos a priori “adivinhar” qual é o máximo de subtrações que podemos fazer de cada vez em cada ordem de grandeza.

F. Classes de Números. 1. Múltiplos e Submúltiplos Quando fazemos 12 x 3 = 36 dizemos que 36 é um múltiplo de 12, pois contém o número 12 uma quantidade exata de vezes. Igualmente são múltiplos de doze: 24, 48, 60, 72, etc. Observemos que 36 é também múltiplo de 3 pois o contém exatas doze vezes. 36 é um múltiplo comum de 12 e 3, mas também 4 x 9 = 36, 6 x 6 = 36, 2 x 18 = 36, portanto 36 é na verdade múltiplo de: 2, 3 , 4, 6, 9, 12 e 18. Isso nos sugere que dois ou mais números quaisquer possuem vários múltiplos em comum. Como a divisão é a operação inversa da multiplicação é evidente que 36 terá divisão exata quando dividido por 2, 3 , 4, 6, 9, 12 e 18. Dizemos então que esses números são divisores de 36 e como 36 36 = 1 o conjunto de divisores de 36 também inclui o 1. Na verdade como todo número pode ser dividido por si mesmo, o número 1 é divisor de todos os números. Os divisores são também chamados submúltiplos. 2. Pares, Ímpares e Primos

O número 2 e todos os seus múltiplos são chamados pares, os demais chamam-se ímpares. Examinemos agora os números 7, 11 e 13. Se tentarmos dividir qualquer um deles por outro número menor não obteremos nenhuma divisão exata, exceto quando os dividirmos por 1 ou por si mesmos. Há uma classe de números que não são divisíveis por nenhum outro exceto pela unidade. Esses números são chamados primos. Vale notar que nenhum número par pode ser primo com exceção do 2 que só é divisível por 1 e por si mesmo. Algo notável a respeito dos números primos é o fato de que todo e qualquer número inteiro pode ser expresso como resultado do produto entre outros números primos. Os números primos por, sua vez, podem ser expressos como resultados dos produtos entre eles mesmos e o número 1. Os números foram os primeiros símbolos da linguagem matemática, hoje muitíssimo enriquecida por uma grande quantidade de símbolos destinados a representar a evolução dos conceitos. Fazer números e fazer contas foi um distante e primeiro passo rumo ao infinito.