Ponte de Macarrao

Uma Ponte para o Futuro:Matemática e Física aplicadas à Engenharia Civil

Oficina para os Professores2010

II Competição de Pontes de Espaguete do Ensino Médio


O projeto de extensão, designado como “Uma Ponte para o Futuro”,

pretende relacionar os conhecimentos de física e de matemática,

transmitidos no Ensino Médio, com as teorias básicas que envolvem o

projeto de uma estrutura estável, permitindo aos professores o

desenvolvimento de uma atividade prática e lúdica, a qual pode despertar

um maior interesse dos alunos pelas disciplinas e ajudar na fixação dos

conteúdos.

Os alunos construirão pontes feitas de espaguete e cola, com regulamento

próprio, que terão que resistir a maior carga possível aplicada no centro de

um vão.

Além disso, pretende-se buscar uma integração entre as escolas, a

comunidade em geral, e o ambiente acadêmico de cursos das áreas de

ciências exatas e tecnológicas da Universidade de Passo Fundo.

Objetivo da Competição do Ensino Médio


Síntese dos Resultados da Competição 2009

Regulamento da Competição do Ensino Médio

Cálculo

Montagem

Informações Gerais

Tópicos da Oficina


A primeira edição da Competição de Pontes de Espaguete no Ensino

Médio foi realizada no ano de 2009, com a participação das seguintes

escolas:

- E.E.Ed. Básica Nicolau de Araújo Vergueiro (EENAV),

- EEEM Adelino Pereira Simões,

- Colégio Marista Conceição e

- Colégio Notre Dame.

A competição apresenta 2 categorias de premiação:

◦ Resistência (maior carga)

◦ Campeã Social.


52%

36%

12%

As atividades relacionadas com a Competição de Pontes de Espaguete:

contribuíram muito para ampliar

meus conhecimentos

contribuíram um pouco para

ampliar meus conhecimentos

não contribuíram em nada para

ampliar meus conhecimentos


47%

46%

7%

As atividades relacionadas com a Competição de Pontes de Espaguete:

aumentaram meu interesse por

matemática e física

não influenciaram em meu interesse

por matemática e física

diminuíram meu interesse por

matemática e física


69%

26%

5%

Participar de atividades como a Competição de Pontes de Espaguete:

torna mais fácil o aprendizado

não facilita o aprendizado

atrapalha o aprendizado


78%

15%

7%

Em minha opinião, a Competição de pontes de espaguete:

deve acontecer todos os anos

deve acontecer de vez em quando

não deve mais acontecer


Disposições Gerais

Participarão da competição escolas públicas e particulares de Ensino

Médio do município de Passo Fundo, previamente selecionadas pela UPF.

Será permitida apenas a participação de alunos regularmente matriculados

no segundo ano do Ensino Médio.

A competição se dará em duas etapas distintas:

◦ Fase Classificatória: dentro de cada uma das escolas participantes.

◦ Grande Final: nas dependências da UPF, com as equipes vencedoras

de cada escola.


Disposições Gerais:

As normas para a construção, teste de carga e entrega das pontes serão

padronizadas para ambas as etapas. A fiscalização do regulamento ficará

por conta dos membros da comissão organizadora.

Será permitida a participação de grupos de até seis alunos em ambas as

fases da competição. Cada equipe poderá participar com apenas uma

ponte em cada uma das etapas.

As três equipes melhores colocadas em cada escola participarão da

grande final. As equipes não poderão apresentar substituição de

componentes de uma etapa para outra.



Na etapa interna de cada colégio, o desenvolvimento das tarefas terá

acompanhamento dos professores de matemática e de física das

instituições participantes, além da própria comissão organizadora da UPF.

A construção das pontes deverá ser realizada dentro de cada escola e os

cálculos dos esforços deverão ser entregues juntamente com as pontes,

como requisito para participação da competição.

Será declarada vencedora da competição interna de cada uma das escolas

a ponte que obedecer às condições descritas no regulamento e suportar a

maior carga possível no ensaio de ruptura.



A grande vencedora da Competição de Pontes de Espaguete do Ensino

Médio (1° lugar em Resistência) será a equipe que construir a ponte capaz

de suportar a maior carga possível no ensaio de ruptura realizado na

segunda etapa da competição. As demais equipes mais bem colocadas na

grande final também serão premiadas.

Em caso de empate no valor da carga, o critério utilizado para o desempate

será o peso próprio da ponte. A estrutura mais leve será considerada

vencedora.

A escola participante que arrecadar a maior quantidade de alimentos para

a doação receberá o título de Campeã Social.


Materiais:

Deverá ser utilizada apenas massa do tipo espaguete número 7 da

marca Barilla.

Para unir os fios de massa somente será permitido o uso de cola quente

em pistola e/ou cola branca escolar.

A ponte não poderá receber nenhum tipo de revestimento ou pintura.

http://www.peixinhodourado.com/admin/produtos/cola branca.jpg


Peso e dimensões:

O peso da ponte não poderá superar 500g (espaguete e cola).

A ponte poderá ter comprimento entre 50 e 60cm.

A largura poderá variar entre 5 e 15cm.

Será permitida uma altura máxima de 25cm.

A ponte deve ser indivisível (partes móveis ou encaixáveis não serão

admitidas).



Apoios:

A ponte deverá ser apoiada nas duas extremidades por meio de tubos de

PVC para água fria de 1/2" de diâmetro e preferencialmente 20cm de

comprimento (únicos pontos de apoio da ponte).

O peso dos apoios será descontado

do peso total da ponte, conforme o

peso linear do tubo, igual a 1,375g/cm,

e respectivo comprimento.


Ponto de aplicação da carga:

Uma barra de aço de construção de 8mm deverá ser fixada no centro do

comprimento da ponte, tendo dimensão igual ou maior que a largura da

ponte.

O peso da barra também não será

contabilizado, sendo calculado de

acordo com seu peso linear (4g/cm)

e respectivo comprimento.


Apoio ApoioBarra de aço Barra de aço


Peso total: 548,4g

Peso dos apoios:

2 x 20cm x 1,375g/cm = 55g

Peso da barra de aço:

10cm x 4g/cm = 40g

Peso considerado:

548,4g – 55g – 40g = 453,4g

Exemplo de pesagem:


Ensaio:

A carga inicial a ser aplicada será a do suporte dos pesos. Se após 30

segundos a ponte não apresentar danos estruturais, será considerado que

a mesma passou no teste de carga mínima.

As cargas posteriores serão aplicadas em incrementos definidos pelo

membro do grupo que estará realizando o teste. Será exigido um mínimo

de 10 segundos entre cada aplicação de incremento de carga.

A carga de colapso oficial da ponte será a última carga que a ponte foi

capaz de suportar durante um período de 10 segundos, sem que

ocorressem severos danos estruturais.


1°) Conceitos gerais sobre o equilíbrio dos corpos:

Força é o produto da massa de um corpo por sua aceleração (2ª Lei de

Newton). A massa de um corpo, pela ação da gravidade, gera uma força

que denomina-se peso:

Momento é a ação da Força atuante multiplicado pelo braço de alavanca

que tende a rotacionar o corpo a partir de determinado ponto:


Momento:


Toda ação em um corpo resulta em reação, na mesma direção, porém de

sentido contrário, que tende a equilibrar e estrutura (3ª Lei de Newton).

Nomenclatura:

◦ Em Engenharia, as ações que os apoios exercem sobre a estrutura são

denominadas “reações de apoio”.

◦ Será denominada ação a força peso atuante sobre a estrutura.


Quando um corpo ou estrutura está em equilíbrio estático (em repouso), o

conjunto de forças (ações e reações) e momentos de forças atuantes sobre

ele tem resultante nula em todas as direções (1° Lei de Newton). Portanto,

para que se mantenha o equilíbrio de um corpo, 3 equações básicas

devem ser atendidas:



2°) Exemplo de cálculo das reações em uma treliça plana:






O sinal da forças e momentos nos cálculos obedecerá a Convenção de

Grinter:


1° Passo: Fazer o equilíbrio em x:

Como não há ações e reações o equilíbrio em x é mantido.

2° Passo: Fazer o equilíbrio em y:


3° Passo: Fazer o equilíbrio de momentos a partir de um dos apoios

(escolhendo o da esquerda, apoio A):

4° Passo: Voltar à equação (1) obtida no equilíbrio em y e calcular a

outra reação (RA):


5° Passo: Fazer uma verificação a partir do equilíbrio de momentos

no apoio E (da direita):

Como a estrutura é simétrica e a carga é aplicada no centro, o valor das

reações nos apoios sempre vai ser metade do carregamento aplicado.

OK!



3°) Considerações sobre as treliças:

São estruturas formadas por barras retas, sempre formando triângulos.

As barras, também chamados de elementos, se interligam apenas nas

suas extremidades. Esses pontos de ligação são chamados de nós.

Elemento

Nó

Nó


Existem 2 tipos de forças internas (esforços) que podem atuar ao longo de

uma barra de treliça:

◦ Compressão

◦ Tração

Essas forças estão sempre na direção da barra e são elas que vão definir a

espessura do elemento (número de fios de espaguete).


Quando a força interna tende a encurtar a barra é dito que o elemento está

comprimido. Essa força, por convenção, é dita negativa (-).

Quando a força interna tende a esticar a barra é dito que o elemento está

tracionado. Essa força, por convenção, é dita positiva (+).


Assim como a estrutura inteira, cada nó deve estar em equilíbrio, tanto em

x com em y:

A partir dessas equações e utilizando a trigonometria calcula-se a força

atuante em cada barra.


4°) Cálculo dos esforços nas barras

1° passo: Verificar se a estrutura é uma treliça:

A estrutura pode ser decomposta em triângulos – OK!


2° passo: Calcular os ângulos internos e a altura da treliça:



3° passo: escolher um nó para começar o equilíbrio (nó A):


Decompor o esforço NAB em componentes X e Y utilizando a trigonometria:





Equilíbrio em Y:


Substituir o valor encontrado para NAB na equação 1:



4° passo: escolher outro nó para fazer o equilíbrio (nó B):






Equilíbrio em X:


Equilíbrio em Y:


Substituir o valor encontrado para NBC na equação 1:



Realizando o equilíbrio para os demais nós da estrutura, obtém-se:


5°) Dimensionar as barras de espaguete da treliça plana:

O número de fios de espaguete necessário em cada barra é obtido por meio

dos esforços já calculados:

Barras tracionadas (+): o número de fios é dado pela fórmula:

Barras comprimidas (-): o número de fios (seção circular) se dá pela fórmula:

* F em N

(Fonte: GONZÁLEZ; MORSCH; MASUERO, 2005)

* F em N, L em cm


Número de fios para cada elemento:


6°) Verificar o peso da treliça plana:

O peso da treliça será obtido a partir do comprimento total de espaguete

multiplicado pelo peso linear do fio do espaguete, considerando a cola, ou

seja:

Peso (g) = comprimento total (cm) * 0,07 (g/cm)

Peso (g) = 475 (cm) * 0,07 (g/cm)

Peso (g) = 33,25 g


Essa treliça plana terá que se unir à outra, idêntica, a fim de dar origem a

uma estrutura espacial, no caso das pontes de espaguete. Com isso, o

peso a ser verificado aqui constitui cerca da metade do limite de 500g

(sugerimos que se considere 45% do peso máximo, tendo em vista que

haverão ainda as barras de ligação entre uma treliça e outra). Portanto:

Peso limite: 45% de 500g = 225g

Peso encontrado: 33,25g


Conforme o peso alcançado pode-se diminuir a carga (peso acima do

limite) ou aumentá-la (peso abaixo do limite), redimensionando a estrutura.

No exemplo, como o peso está abaixo do limite, aumenta-se a carga,

recalculando-se os esforços nas barras e os fios necessários.

O comportamento dos esforços é linearmente proporcional à carga.

Calculou-se a treliça para um carregamento igual a 10N (1kgf). Caso se

queira aumentar a carga aplicada para o dobro do valor (20N), basta

multiplicar o valor dos esforços obtidos por dois. Após algumas tentativas,

chegou-se a carga limite de 550N (55 vezes a carga inicial) para a treliça

do exemplo.


Número de fios de cada barra com os novos esforços (carga de 550N):


Recalculando-se o peso total da treliça plana:


Peso (g) = 3075 (cm) * 0,07 (g/cm)

Peso (g) = 215,5 g < 225 g


7°) Ligar treliças planas formando estrutura espacial:

Deve-se estudar as formas de fazer a ligação entre as duas treliças planas.

Com a união pode-se considerar como a carga de projeto o dobro do valor

calculado na 6ª etapa (2*550N =1100N = 110kgf).

É fundamental não esquecer de recalcular o peso da estrutura, devido às

barras de ligação acrescentadas.

É importante lembrar que a treliça deve sempre ser formada por triângulos.

Por isso não se deve esquecer de acrescentar os elementos necessários,

chamados de contraventamentos.


Treliça plana

Treliça espacial (união paralela) Treliça espacial

(união banzo superior)

contraventamentocontraventamento


Em nosso exemplo, optou-se por unir 2 treliças planas de forma paralela.

A ponte teria largura igual a 10 cm.

9 barras foram acrescentadas para se fazer a ligação das treliças.

As ligações principais (paralelas aos tubos e barra de aço) teriam 10 cm de

comprimento (largura da ponte) e seriam formadas por 17 fios (valor estimado

em 50% da maior seção comprimida, de 33 fios).

As ligações de contraventamento teriam 27 cm de comprimento e seriam

formadas por 3 fios (estimado em 75% da seção das barras inferiores, de 4 fios).


Treliça espacial com dimensões finais


Valores de comprimento e número de fios para barras extras:


O peso das barras de ligação é dado por:

O peso total da estrutura é igual a:


Peso (g) = 907 (cm) * 0,07 (g/cm)

Peso (g) = 63,5g

Peso Total (g) = 2 * peso treliça plana + peso ligações

Peso (g) = 2 * 215,25 + 63,5

Peso (g) = 494 g < 500 g


Outros exemplos de treliças planas:


Desenhos e tabelas com os dados das pontes:


Medição do comprimento Corte dos fios


Contagem dos fios Colagem dos fios

Cuidado para não queimar a pistola!!!

(desligá-la periodicamente da tomada)


Barras de espaguete concluídas


Confecção de gabarito


Colagem das barras conforme o gabarito


Detalhe da fixação da barra de aço


Montagem da estrutura


Montagem da estrutura


Fixação do tubo de PVC para servir de apoio


Pontes de espaguete concluídas



Site da Competição:

www.upf.br/espaguetes

VER LOGOS

http://www.upf.br/espaguetes


Patrocinadores da competição de 2009:

http://www.jrcimento.com.br/


Equipe Organizadora da UPF:

Prof. Moacir Kripka (Engenharia Civil)

Prof. Rosana Maria Luvezute Kripka (Matemática)

Prof. Carlos Samudio Perez (Física)

Caroline Luft (Matemática)

Guilherme Di Domenico Tisot (Engenharia Civil)

Guilherme Fleith de Medeiros (Engenharia Civil)

Juliana Triches (Engenharia Civil)

Leandro Paludo (Engenharia Civil)

Lidinara Castelli Scolari (Matemática)

Luana Centofante Costa (Engenharia Civil)

Maiga Marques Dias (Engenharia Civil)

Sthefani Thomé (Engenharia Civil)

Organização:

UNIVERSIDADE DE PASSO FUNDO

FEAR - Faculdade de Engenharia e Arquitetura

ICEG - Instituto de Ciências Exatas e Geociências

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