Porovnání dvou vzorků

F-test a dvouvýběrový t-test

(oba testy předpokládají normalitu dat)

Mám dva vzorky, a chci vědět, jestli se liší

• Deset krys krmených standardní a deset krmených obohacenou stravou, na jednom roce zjišťuji váhu (nebo počet červených krvinek)

• Mám x individuí jednoho a y individuí druhého druhu, a chci vědět, jestli se liší druhy délkami zobáků (a věřím, že jsou to náhodné výběry individuí daných druhů)

Mám dva vzorky• Ty (jejich mateřská rozdělení) se mohou

lišit buď variancí nebo střední hodnotou

nebo obojím...I dva vzorky z téhož základního souboru se mi vždy budou lišit jak variancí, tak průměrem. Proto mě zajímá, jestli se dva vzorky liší tak moc, že je nepravděpodobné, že by byly vzaty z téhož základního souboru

F-test - test shody variancí

H0: 12 = 2

2, alternativa HA: 12 2

2

Předpokládáme

(tj. určíme, který je vzorek 1, aby:

Kritická hodnota pro test na 5% je tedy 97.5% kvantil

numerator

denominator

d.f.

d.f.

POZOR – při prezentaci jakéhokoliv F-testu uvádím vždy df čitatele i df jmenovatele

Hodnotu této plochy musím násobit dvěma, abych dostal dosaženou hladinu významnosti

Příklad:

Kritická hodnota, závisí na dvojích stupních volnosti

Dvoustranný test na poměr variancí pro hypotézy H0: 1

2=22 a HA: 1

222

Data jsou počty můr chycených během noci jedenácti lapači jednoho nebo osmi lapači druhého typu.H0: 1

2=22

HA: 122

2

=0.05Lapač typu 1: 41, 34, 33, 36, 40, 25, 31, 37, 34, 30, 38Lapač typu 2: 52, 57, 62, 55, 64, 57, 56, 55n1 = 11, df1 = 10n2 = 8, df2 = 7s1

2 = 21.87 můr2 s22 = 15.36 můr2

F = 1.42F0.05(2),10,7 = 4.76Nezamítáme proto H0.P(F 1.42) > 0.50

Pokud dojdu k názoru, že se variance neliší, můžu odhadnout

společnou varianci

21

21

21

222

2112

dfdfSSSS

dfdfsdfsdf

sp

Pro můry

sp2=(218.73 + 107.50) / (10 + 7) = 19.19 můr2.

Pozor, neprůkazný výsledek mohl ale být i slabým testem (když je málo pozorování)!

Častěji než variance ale porovnáváme střední hodnoty

Testujeme nulovou hypotézu H0: 1 = 2 proti

alternativní HA: 1 2.

2

21

1 XXsXX

t

Klasický t-test

Rozdíl průměrů

Střední chyba rozdílu průměrů

Střední chybu rozdílu průměrů spočítám pomocí odhadu společné variance s2

p

2

2

1

2

21 ns

ns

spp

XX

Předpokládám tedy homogenitu variancí

Výsledný vzorec potom je

2

2

1

2

21

ns

ns

XXt

pp

Předpoklady t-testu tedy jsou

• Normalita dat (tj.data mají normální rozdělení v rámci každé skupiny)

• Homogenita variancí

• Pozor, nezávislost pozorovnání je předpokladem prakticky pro všechno (nebo ji musím v testu zohlednit), takže i tady

Všimněte si, že velikost střední chyby klesá (a síla testu tak stoupá) s počty pozorování ve skupinách; máme-li konstantní celkový počet pozorování, pak je chyba nejmenší při stejné velikosti skupin. Na druhou stranu, stejná velikost skupin je výhodná, ale vůbec není nutná!!!

2

2

1

2

21 ns

ns

spp

XX

Počet stupňů volnosti je součtem počtu stupňů volnosti pro oba výběry, tedy (n1-1) + (n2-1) = n1 + n2 - 2.

Dvouvýběrový t-test pro oboustranné hypotézy H0: 1 = 2 a HA: 1 2 (které lze také vyjádřit jako H0: 1 - 2 = 0 a HA: 1 - 2 0). Data jsou sedimentační časy (v minutách) lidské krve po podání dvou různých léků (B, G).

Podán lék B: 8.8, 8.4, 7.9, 8.7, 9.1, 9.6Podán lék G: 9.9, 9.0, 11.1, 9.6, 8.7, 10.4, 9.5

n1 = 6 n2 = 7df1 = 5 df2 = 6X1= 8.75 min X2 = 9.74 minSS1= 1.6950 min SS2 = 4.0171 minsp

2 = 0.5193 min2

t0.05(2),=t0.05(2),11 = 2.201 Zamítáme proto H0.0.02 < P(t 2.475) < 0.05

Dnes spíše najdeme plochu “ocásku” a (protože se jedná o dvoustranný test),

výsledek znásobíme dvěma.

tato plocha má velikost 0,0154 - platí tedy že

P=0.0308

Pokud je narušena homogenita variancí, lze užít aproximaci

Welchovo přibližné t

tX X

s

n

s

n

1 2

21

1

22

2

s přibližným počtem stupňů volnosti

1

)(

1

)(

2

2

22

22

1

21

21

2

22

1

21 )(

nn

ns

ns

ns

ns

df

Existují i jiné aproximace t-testu pro různé variance

Stejný počet pozorování v obou skupinách není předpokladem t-

testu• Ale robustnost testu vůči narušení

homogenity variancí klesá při výrazně nevyváženém počtu pozorování (a test na homogenitu bude zoufale slabý)

21

21

21

222

2112

dfdfSSSS

dfdfsdfsdf

sp

Stejný počet pozorování v obou skupinách není předpokladem t-

testu• Také síla testu klesá s nevyvážeností skupin

2

2

1

2

21 ns

ns

spp

XX

Narušení normality dat

• Do vzorce pro t-test vstupují průměry - tedy ony musí mít normální rozdělení

• Centrální limitní věta – průměry budou mít normální rozdělení, pokud budou založeny na velkém počtu pozorování

• S vzrůstajícím počtem pozorování roste nejen síla testu, ale i robustnost

Podobně jako pro jednovýběrový (párový) t-test, i tady můžeme

provést jednostranný test

• Oboustranný test - testuji nulovou hypotézu H0: 1 = 2 proti alternativní HA: 1 2.

• Jednostranný test - testuji nulovou hypotézu H0: 1 > 2 proti alternativní HA: 1 < 2 (nebo opačným směrem)

ROZLIŠUJ

• test jednostranný - oboustranný - jak formuluji nulovou hypotézu

• t-test jednovýběrový (párový) a dvouvýběrový - jaké je uspořádání pokusu nebo pozorování

Párový vs. dvouvýběrový test