Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PORTFOLIO 16
DEEL XI HOOFDSTUK 2 TOEPASSINGEN OP BEPAALDE INTEGRALEN
Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Klas: . . . . . . . . . . . . . . . Nr.: . . . . .
2 Toepassingen op bepaalde integralen Basis Verdieping Uitbreiding? ?? ? ?? ? ??
2.1 Oppervlakte tussen grafieken 12
12
23
124
5
2.2 Gemiddelde waarde van een functie 67
8 9 10 11
2.3 Inhoud van een omwentelingslichaam 12 13 14 15 16 17 18 19
2.4 Toepassingen uit fysica 20 21 22 2324
25 26
Oefeningen bij §2.1Oefening 1. Bereken telkens algebraısch de oppervlakte van het aangeduide gebied. Eventuele snijpunten moet jealgebraısch berekenen.
y
x
f(x) = x2 + 1, g(x) = −x
f
g
−1 2
B (a)
y
x
f
f(x) = x3 − x2 − 6x
B⋆ (c)
y
x
f(x) =√x, g(x) = −x+ 6
f
g
B⋆ (b)
y
x
f
gV (d)
k(y) = 3− y2, g(x) = x− 1Po-59
Oefe
nin
g2.
Ber
eken
telk
ens
alge
bra
ısch
de
opp
ervla
kte
van
het
gebie
db
egre
nsd
door
alle
gra
fiek
enva
nde
opgeg
even
funct
ies
enre
chte
n.
B(a
)f
(x)
=−x2
+6,
g(x
)=x
1 x
B(b
)f
(x)
=x3,
g(x
)=x
metx≥
01 x
B(c
)f
(x)
=x2−
2,g(x
)=x
1 x
B(d
)f
(x)
=2x,
g(x
)=
3x,
x=
21 x
B?
(e)f
(x)
=ex,
g(x
)=e−
x,
x=
21 x
B??
(f)f
(x)
=√
2x,
g(x
)=x2 2
B??
(g)f
(x)
=x2,
g(x
)=
16 x2,
y=
0,x
=4
1 x
V(h
)y
=1
1+
3x2,
y=
−1
1+
3x2,
x=−
1,
x=
1
B??
Oefe
nin
g3.
Ber
eken
alg
ebra
ısch
de
opp
ervla
kte
van
het
geb
ied
beg
rensd
tuss
ende
grafiek
vanf
(x)
=x3−
6x2
+8x
endex
-as.
Even
tuel
esn
ijpunte
nm
oet
jeal
gebra
ısch
ber
eken
en.
VO
efe
nin
g4.
Ber
eken
alg
ebra
ısch
de
opp
ervla
kte
van
het
gebie
db
egre
nsd
tuss
ende
par
abooly2
=4x
ende
rech
tey
=2x−
4.
Even
tuel
esn
ijpunte
nm
oet
jeal
gebra
ısch
ber
eken
en.
V?
Oefe
nin
g5.
Ber
eken
alge
bra
ısch
de
opp
ervla
kte
van
het
gebie
dtu
ssen
de
funct
iesf
(x)
=ex
eng(x
)=
lnx
,en
de
x-a
s,dey-a
s,de
rech
tex
=4
ende
rech
tey
=4.
Oefeningen
bij
§2.2
BO
efe
nin
g6.
Han
slo
opt
naa
rhet
bos
,dat
10km
van
zijn
huis
verw
ijder
dis
.H
ijlo
opt
aan
een
snel
hei
dva
n10
km/u.
Een
saan
gek
om
enin
het
bos
ishij
uit
geput,
enst
rom
pel
thuis
waa
rts
aan
een
const
ant
tem
po
van
2,5
km/u.
(a)
Tek
enhet
snel
hei
d-t
ijd
dia
gram
.
(b)
Bep
aal
de
gem
iddel
de
snel
hei
dva
nH
ans
over
het
ganse
tijd
sinte
rval
[0,5
].
BO
efe
nin
g7.
Inee
nst
adw
ord
tde
tem
per
atuur
(in
grad
enC
elsi
us)
opti
jdst
ipt
(in
ure
n,
van
0to
t24
na
mid
der
nac
ht)
gem
odel
leer
ddoor
de
funct
ie
T(t
)=
10−
5si
n
(πt
12
).
Wat
isde
gem
iddel
de
tem
per
atuur
tuss
en12
u.
’sm
iddag
sen
24u.
mid
der
nac
ht?
Afr
onden
op1◦
Cnau
wke
uri
g.
B?
Oefe
nin
g8.
Geg
even
isde
funct
ief
(x)
=2x
3−
10x
+4.
(a)
Bep
aal
alg
ebra
ısch
de
gem
iddel
de
waa
rde
van
de
funct
ief
over
[−2,2
].
(b)
Inw
elkex
-waa
rde(
n)
ber
eiktf
dez
ege
mid
del
de
waa
rde?
Ber
eken
alge
bra
ısch
enduid
de
mee
tkundig
eb
etek
enis
aan
opee
nsc
het
s.
de
Beu
rsva
nB
russ
el
B??
Oefe
nin
g9.
Een
beu
rsgo
eroe
hee
ftee
nfo
rmule
gev
onden
voor
de
koer
sva
nee
naa
ndee
l:
k(t
)=
700
t+
5m
et0≤t≤
30
waa
rbijk
de
waa
rde
van
het
aandee
lis
(in
euro
)op
tijd
stipt
(in
dage
n).
(a)
Wat
was
de
oor
spro
nke
lijk
ew
aar
de
van
het
aandee
l?
(b)
Bep
aal
de
koer
sna
30
dag
en.
(c)
Bep
aal
alge
bra
ısch
de
gem
iddel
de
waa
rde
van
het
aandee
lge
dure
nde
de
eers
teti
endag
en.
(d)
Op
wel
kti
jdst
ipb
isde
gem
iddel
de
waa
rde
over
[0,b
]ge
lijk
aan
67eu
ro?
Po-
60
VO
efe
nin
g10.
Bes
chouw
de
funct
ief
met
als
(mee
rvou
dig
)voor
schri
ft
f(x
)=
−1
alsx<
0
2al
s0≤x<
2
1al
sx>
2.
(a)
Ber
eken
alge
bra
ısch
de
gem
iddel
de
funct
iew
aard
eva
nf
over
[−3,
3].
(b)
Waa
rom
ber
eikt
de
funct
ief
zijn
gem
iddel
de
waa
rde
over
[−3,
3]nie
t?
(c)
Bep
aala<
2w
aaro
ver
de
funct
ief
zijn
gem
iddel
de
waa
rde
over
[a,3
]w
elb
erei
kt.
U?
Oefe
nin
g11.
Zijf
een
funct
ieen
a,b∈
Rzo
dat
fco
nti
nu
isov
er[a,b
].T
oon
aan
dat
erc 1,c
2∈
]a,b
[b
esta
an
waa
rvoor
:
f(c
1)
+f
(c2)
=2
b−a
∫b
a
f(x
)dx.
Maa
kee
nsc
het
sw
aaro
pje
de
mee
tkundig
eb
etek
enis
van
dez
eei
gensc
hap
aanduid
t.
Oefeningen
bij
§2.3
BO
efe
nin
g12.
Ber
eken
telk
ens
de
inhou
dva
nhet
omw
ente
lings
lich
aam
vanf
over
[a,b
].M
aak
ook
telk
ens
een
aansc
hou
wel
ijke
voor
stel
ling
van
het
omw
ente
lingsl
ichaa
m.
(a)
f(x
)=e−
x2
[a,b
]=
[−10,1
0]
(b)
f(x
)=
lnx
[a,b
]=[ e−1,e]
B?
Oefe
nin
g13.
Ber
eken
telk
ens
alg
ebra
ısch
de
inhou
dva
nhet
omw
ente
lings
lich
aam
vanf
over
[a,b
].W
erk
met
exact
ew
aard
en.
Maa
kook
telk
ens
een
aansc
houw
elij
kevo
orst
elling
van
het
omw
ente
lingsl
ichaam
.
(a)
f(x
)=−√x
[a,b
]=
[0,4
](c
)f
(x)
=1
cosx
[a,b
]=[ −
π 4,π 4
]
(b)
f(x
)=
2x[a,b
]=
[1,4
](d
)f
(x)
=x√
2−x2
[a,b
]=[ −√
2,√
2]
B??
Oefe
nin
g14.
Ber
eken
telk
ens
alge
bra
ısch
de
inhou
dva
nhet
om
wen
telings
lich
aam
dat
verk
regen
wor
dt
door
het
vla
kdee
lb
egre
nsd
door
de
geg
even
kro
mm
ente
wen
tele
nom
dex
-as.
Eve
ntu
ele
snij
punte
nm
oet
jealg
ebra
ısch
ber
eken
en.
Maa
kook
telk
ens
een
aansc
hou
wel
ijke
voor
stel
ling
van
het
omw
ente
lings
lich
aam
.
(a)
y=x2,
y2
=x
(c)
4x2−y2
=4,
x=
2
(b)
y=x2
+2x,
y=
4x−x2
(d)
y=
1 2(6−x
),y
=√
6−x
VO
efe
nin
g15.
Ber
eken
alge
bra
ısch
de
inhou
dva
nhet
omw
ente
lingsl
ichaa
mva
nde
funct
ief
(x)
=si
nx
over
[0,2π
].W
erk
met
exac
tew
aar
den
.M
aak
ook
een
aan
schou
wel
ijke
voors
tellin
gva
nhet
omw
ente
lings
lich
aam
.
V?
Oefe
nin
g16.
Tot
opee
nhoog
teva
n2,8
cmvo
lgt
het
bin
nen
ste
van
een
wij
ngla
see
npar
ab
olis
che
vorm
met
verg
e-
lijk
ingy
=x2 8.
Ver
der
wor
dt
het
glas
naa
rb
oven
toe
smal
ler,
zow
orden
geu
ren
bet
erin
het
gla
sge
vange
n.
Een
goed
eso
mm
elie
rvult
de
gla
zen
tot
een
hoogt
eva
nnet
2,8
cm.
Hoev
eel
glaz
enhaa
ltee
nob
eruit
een
fles
van
75cl
?B
erek
enal
gebra
ısch
.
UO
efe
nin
g17
(para
bolo
ıde).
Een
para
bol
oıde
ishet
om
wen
telings
lich
aam
dat
ver
kre
gen
wor
dt
door
een
para
bool
P:y2
=2px
met
p∈R
+ 0
tew
ente
len
omdex
-as
(zie
onder
staa
nde
figu
ur)
.B
epaal
de
inhoud
van
een
par
abol
oıde
over
een
inte
rval[0,k
]w
aar
bij
k>
0.
U?
Oefe
nin
g18
(ell
ipso
ıde).
Een
ellipso
ıde
ishet
omw
ente
lings
lich
aam
dat
ver
kre
gen
wor
dt
door
een
ellips
E:x2
a2
+y2 b2
=1
meta,b∈R
+ 0
tew
ente
len
omdex
-as
(zie
onder
staa
nde
figuur)
.
(a)
Bep
aal
de
inhou
dva
nee
nel
lipso
ıde.
(b)
Lei
dhie
ruit
de
inhou
dva
nee
nb
olm
etst
raalr
af. P
o-61
U??
Oefe
nin
g19
(hyp
erb
olo
ıde).
Een
(een
bla
dig
e)hyp
erb
olo
ıde
ishet
om
wen
telingsl
ichaam
dat
ver
kre
gen
word
tdoor
een
hyp
erb
ool
H:x2
a2−y2 b2
=1
meta,b∈R
+ 0
tew
ente
len
om
dey-a
s(z
ieon
der
staa
nde
figu
ur)
.B
epaa
lde
inhoud
van
een
hyp
erb
oloı
de
over
een
inte
rval
[−k,k
]w
aarb
ijk>
0.
para
bolo
ıde
ellipso
ıde
eenbla
dig
ehyp
erb
olo
ıde
Oefeningen
bij
§2.4
BO
efe
nin
g20.
De
ver
keer
sdru
kte
over
een
via
duct
wor
dt
tuss
en0
uur
en12
uur
gem
odel
leer
ddoor
de
funct
ie
f(t
)=
15·
8+
(14−t)t2
2
waa
rbijf
(t)
staat
voor
het
aanta
lw
age
ns
per
uur
opti
jdst
ipt
inure
n.
Hoev
eel
wag
ens
zijn
erge
pas
seer
dtu
ssen
7uur
en10
uur?
B?
Oefe
nin
g21.
De
snel
hei
dsf
unct
ieva
nee
nb
eweg
end
voor
wer
pw
ordt
bes
chre
ven
door
v(x
)=−x3
+3x2
waa
rbij
0≤x≤
4
metv
de
snel
hei
d(i
nkilom
eter
per
uur)
opti
jdst
ipx
(in
ure
n).
(a)
Sch
ets
de
grafi
ekva
nde
snel
hei
dsf
unct
ie.
(b)
Wat
isde
ver
snel
ling
van
het
voor
wer
pop
tijd
stipx
=2?
Ber
eken
alg
ebra
ısch
enfo
rmule
erdaa
rna
de
mee
tkun-
dig
eb
etek
enis
van
dez
eve
rsnel
ling
op
de
grafiek
van
de
snel
hei
dsf
unct
ie.
(c)
Wel
keaf
stan
dhee
fthet
voor
wer
pna
twee
ure
naf
gel
egd?
Ber
eken
alge
bra
ısch
enfo
rmule
erdaa
rna
de
mee
tkun-
dig
eb
etek
enis
van
dez
eaf
stand
opde
grafiek
van
de
snel
hei
dsf
unct
ie.
waars
chuw
ingsb
ord
B??
Oefe
nin
g22.
Op
een
warm
ezo
mer
dag
laat
een
fam
ilie
het
opbla
asbaa
rzw
embad
vollop
envo
or
de
kin
der
en.
Ze
dra
aien
de
kra
an
op
enen
het
wate
rst
room
tin
het
zwem
bad
met
een
deb
iet
van
20lite
rp
erm
inuut.
Na
een
hal
fuur
ishet
zwem
bad
vol.
Vij
ftie
nm
inute
nla
ter
kom
tee
nkin
dje
huilen
dbin
nen
enze
gt
dat
het
zwem
bad
stuk
is.
Vad
ergaa
tev
enkij
ken
enm
erkt
inder
daa
ddat
eree
ngat
inis
.E
rzi
tnie
tsander
sop
dan
tew
achte
nto
thet
wat
erp
eil
tot
op
de
hoog
teva
nhet
lek
geza
kt
is.
Dit
duurt
zo’n
45
min
ute
n.
We
vero
nder
stel
len
dat
het
wate
rst
art
met
weg
stro
men
ophet
mom
ent
dat
het
kin
dje
bin
nen
kom
t,m
etee
nuit
stro
men
ddeb
iet
van
10lite
rp
erm
inuut.
Dat
nee
mt
linea
iraf
tot
het
wat
erp
eil
op
de
hoog
teva
nhet
lek
gekom
enis
.
(a)
Hoev
eel
wate
rka
ner
inhet
zwem
bad
?B
epaa
lm
etb
ehulp
van
een
bep
aald
ein
tegr
aalen
maa
kdaa
rna
een
schet
sw
aar
op
jede
mee
tkundig
eb
etek
enis
toel
icht
enuit
schri
jft.
(b)
Hoev
eelw
ater
zit
ernog
inhet
zwem
bad
nad
athet
lekke
nst
opt?
Ber
eken
met
beh
ulp
van
een
bep
aald
ein
tegr
aal.
(c)
Gee
fee
nuit
dru
kkin
gvoor
het
volu
me
wat
erin
het
zwem
bad
opel
kti
jdst
ipx≥
0.
Los
opm
etb
ehulp
van
bep
aald
ein
tegr
alen
.Sch
ets
daa
rna
de
grafi
ekva
ndez
evol
um
efunct
ie.
Po-
62
wet
van
Coulo
mb
UO
efe
nin
g23
(wet
van
Cou
lom
b).
De
aantr
ekkin
gs-
ofaf
stoti
ngs
kra
cht
tuss
entw
eeel
ektr
isch
ela
din
genq 1
enq 2
wor
dt
volg
ens
de
wet
van
Cou
lom
bge
gev
endoor:1
F(r
)=k·q
1q 2r2
met
.F
de
aantr
ekkin
gs-
of
afst
otin
gskra
cht
indie
nneg
atie
fre
sp.
pos
itie
f(u
itged
rukt
inN
ewto
n)
infu
nct
ieva
nde
afst
and
tuss
enb
eide
ladin
gen
(uit
ged
rukt
inm
eter
),
.q 1
,q 2
de
abso
lute
waa
rde
van
de
ladin
gen
(uit
ged
rukt
inC
oulo
mb),
.k
=8,
9876·1
09de
const
ante
van
Cou
lom
b(u
itged
rukt
inN
m2/C
2).
De
mee
ste
elek
tris
che
ladin
gen
blijk
enee
nve
elvo
ud
tezi
jnva
nde
zoge
naa
mde
elem
enta
ire
ladin
g:2
e=
1,60
219
2·1
0−19C.
De
kern
van
een
wat
erst
ofat
oom
bev
atee
npro
ton
(ladin
g+e)
enee
nel
ektr
on(l
adin
g−e)
op
een
afs
tand
van
5,3·
10−11
mva
nel
kaar
verw
ijder
d.
Ber
eken
de
arb
eid
die
nodig
isom
het
elek
tron
twee
keer
zove
rva
nhet
pro
ton
tebre
nge
n.
Afr
onden
tot
op4
bed
uid
ende
cijf
ers.
UO
efe
nin
g24
(wet
van
Hooke).
Wan
nee
ree
nve
eraa
nhet
ene
uit
einde
wor
dt
vast
gekle
md,
dan
isde
kra
cht
die
het
ander
euit
einde
onder
vin
dt
volg
ens
de
wet
van
Hook
ege
lijk
aan
:3
F(x
)=kx
met
.x
de
afst
and
van
het
uit
einde
van
de
veer
tot
de
even
wic
hts
stan
d(u
itge
dru
kt
inm
),
.k
de
veer
con
stan
tedie
uit
dru
kt
hoe
stij
fof
stug
de
veer
is(u
itge
dru
kt
inN/m
).
Ste
ldat
een
veer
inru
st10
cmla
ng
isen
eree
nkra
cht
van
100
Nnodig
isom
de
veer
1cm
uit
tere
kke
n.
Wel
kear
bei
dm
oet
dan
verr
icht
wor
den
,w
ilm
ende
veer
uit
rekke
nva
nee
nto
tale
lengt
eva
n11
cmto
tee
nto
tale
lengt
eva
n12
cm?
U?
Oefe
nin
g25
(aanta
lom
wente
lin
gen
uit
toere
nta
l).
Het
toer
enta
l(o
fde
omw
ente
lings
freq
uen
tie)ω
ishet
aanta
lom
wen
telinge
ndat
een
dra
aie
nd
voor
wer
p(b
ijvo
orb
eeld
een
gram
mof
oon
pla
at,
een
wie
lof
de
asva
nee
nm
oto
r)p
erti
jdse
enhei
dom
een
omw
ente
lings
asm
aak
t.
Een
was
mac
hin
edoet
een
laat
ste
zwie
rbeu
rtin
5m
inute
n.
Het
toer
enta
lw
ordt
bes
chre
ven
door
:
ω(t
)=−
224t2
+11
20t
waa
rbijω
wor
dt
uit
ged
rukt
inaa
nta
lom
wen
telingen
per
min
uut
ent
wor
dt
uit
gedru
kt
inm
inute
n.
(a)
Hoe
kun
jem
etb
ehulp
van
dez
efu
nct
iehet
aanta
lom
wen
telinge
nN
tuss
entw
eeti
jdst
ipp
ent
=a
ent
=b
bep
alen
?Sch
rijf
jere
den
erin
gvo
lled
iguit
.
(b)
Bep
aal
het
aanta
lom
wen
telingen
tijd
ens
de
laat
ste
zwie
rbeu
rt.
(c)
Wat
was
het
gem
iddel
dto
eren
tal?
U??
Oefe
nin
g26
(kost
pri
jsu
itm
arg
inale
kost
en
fun
cti
e).
Bij
het
pro
duct
iepro
ces
van
een
bed
rijf
han
gtde
tota
leko
stpri
jsp
erpro
duct
afva
nhet
aanta
lpro
duct
enq
dat
men
pro
duce
ert.
De
mat
eva
nde
vera
nder
ing
van
de
tota
leko
stpri
jsK
per
pro
duct
wor
dt
de
marg
inale
kost
genoem
d,
enw
ordt
door
gaan
sge
not
eerd
metMK
,in
sym
bol
en:
K′ (q)
=dK dq
=MK
(q).
Inhet
bij
zonder
dru
kt
mar
ginal
eko
sten
het
bed
rag
aan
waa
rmee
de
tota
leko
sten
toen
emen
als
een
bed
rijf
een
extr
apro
duct
pro
duce
ert.
De
pro
duct
ieva
nde
eers
tetw
eekilo
wasp
oed
erko
st10
euro
.D
em
argin
ale
kost
,die
aan
geef
tm
etw
elk
tem
po
de
pro
duct
ieko
sten
Kev
olu
eren
als
de
pro
duct
ieq
toen
eem
t,w
ord
tb
esch
reve
ndoor
de
funct
ie
MK
(q)
=7 2−
3 40q
waa
rbij
q∈
[2,3
6].
(a)
Hoe
kun
met
beh
ulp
van
dez
efu
nct
iede
ver
ander
ing
van
kost
pri
jsK
tuss
ende
pro
duct
iesq
=a
enq
=b
bep
alen
?Sch
rijf
jere
den
erin
gvo
lled
iguit
.
(b)
Bep
aal
de
tota
leko
stom
36kilo
was
poed
erte
pro
duce
ren.
1C
harl
es-A
ugu
stin
de
Cou
lom
b1780.
2N
iet
all
eel
ektr
isch
ela
din
gen
zijn
een
vee
lvou
dvane.
Ind
eja
ren
’60
ontd
ekte
men
dat
qu
ark
sel
ectr
isch
ela
din
gen
heb
ben
inee
nh
eden
van
e 3en
2e 3
.S
trik
tgen
om
enis
de
term
elem
entairelading,
die
ver
wij
stn
aar
de
elec
tris
che
lad
ing
van
een
elec
tron
,n
iet
lan
ger
corr
ect.
3R
ob
ert
Hooke
1678
[?].
Po-6
3
ReflectieVul dit overzicht aan telkens je een oefening gemaakt of verbeterd hebt. Zo reflecteer je over je
• leerproces,
• efficientie van werken,
• sterke en zwakke elementen in de uitvoering van je oefeningen.
Bovendien maak je je reflectie concreet door aan te stippen of je nog verder moet oefenen op het leerstofonderdeel.
vb.
datum
oefeningafgew
erkt
oefeningnummer
oefeningverbeterd?(kruisje)
Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?
• voldoende tijd besteed?
• opgave goed gelezen?
• nauwkeurig gewerkt?
• modelvoorbeelden bekeken?
• opgave begrepen?
• leerstof voldoende begrepen?
Welke fouten heb ik gemaakt?
• notatiefout (NF)
• eenheden (EF)
• grafisch rekenmachine (GF)
• rekenfout (RF)
• interpretatie van de opgave (IF)
• denkfout (DF)
verder
oefenen
nodig?(kruisje)
31/12 99a X gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden EF, NF