FYS-MEK 1110 12.03.2013 1

Potensiell energi

Bevegelsesmengde

12.03.2013

FYS-MEK 1110 12.03.2013 2

arbeid avhenger bare av start- og sluttposisjon,

ikke av veien i mellom

)()( 1100 xUKxUK energi er bevart

)(xFdx

dUvi kan finne et potensial slik at

konservativ kraft kraft som bare avhenger av posisjon

arbeid er null hvis start- og sluttposisjon er identisk

i

i

i

i xUKxUK )()( 1100energibevaring:

flere konservative krefter: i

i xFF )(net

potensial til hver kraft )(xFdx

dUi

i

FYS-MEK 1110 12.03.2013 3

Energidiagrammer

)()( xymgxU

)(xyenergibevaring:

)()()()( 00 xUxKxUxKE

0)()()( 0 xUxUxK

0)( 0 xKhvis

)()( 0xUxU

FYS-MEK 1110 12.03.2013 4

atom er ”fanget” i

potensialet og svinger

frem og tilbake

kinetisk energi

kan bli null x

U

b

maxUUKE

x

U

b

maxUUKE

0)( xK

atomet kan bevege

seg overalt

FYS-MEK 1110 12.03.2013 5

x O

U

x 1

x 2

x 3 x 4

Grafen viser den potensielle energien til en

partikkel som beveger seg langs x-aksen.

Partikkelen starter ved x=x4 og beveger seg

i negativ x-retning.

Ved hvilke(t) av de merkede punktene er

kraften på partikkelen null?

1. Ved både x=x1 og x=x3

2. Kun ved x=x2

3. Kun ved x=x4

4. Ved både x=x2 og x=x4

0dx

dUF

stigning for funksjonen U(x) er null i x2 og x4

FYS-MEK 1110 12.03.2013 6

Likevekt

0dx

dU0

dx

dUF

partikkel i x2 med v=0

partikkel blir i x2

litt kinetisk energi

partikkel svinger med

små amplitude rund x2

0dx

dU0

dx

dUF

partikkel i x3 med v=0

partikkel blir i x3

litt kinetisk energi

partikkel beveger seg enten mot x1

eller mot x2 og fjerner seg langt fra x3

minimum i potensiell energi

stabilt likevektspunkt

maksimum i potensiell energi

ustabilt likevektspunkt 02

2

dx

Ud

02

2

dx

Ud

FYS-MEK 1110 12.03.2013 7

Potensial i tre dimensjoner

konservativ kraft: F

Ud1

0

)()( 10

1

0

1,0

1

0

rUrUrdFdtvFW

t

t

arbeid: integral uavhengig av veien,

bare avhengig av endepunktene

dz

z

Udy

y

Udx

x

UdzFdyFdxF zyx

dUrdF

z

UF

y

UF

x

UF zyx

,,

kFjFiFF zyxˆˆˆ

konservativ kraft UF

U

kz

Uj

y

Ui

x

U ˆˆˆ

Uk

zj

yi

x

ˆˆˆ

),,()( zyxUrU

potensial:

FYS-MEK 1110 12.03.2013 8

Eksempel: gravitasjon på jorden

kmgF ˆ

zmgU

zmgkz

jy

ix

U

ˆˆˆ

kz

zmgj

y

zmgi

x

zmg ˆ)(ˆ)(ˆ)(

kmgkmgji ˆˆˆ0ˆ0

UkmgF

ˆ

x y

z

FYS-MEK 1110 12.03.2013 9

Gravitasjon generell:

rr

mMGu

r

mMGF r

32

ˆ r

mMGU

rk

zj

yi

xGmMU

1ˆˆˆ

rxGmMiU

1ˆ

2

1222

zyx

xGmM

xzyxx

GmM 22

123

222

x

r

mMG

3

på samme måte yr

mMGjU

3ˆ

zr

mMGkU

3ˆ

UF

gravitasjon generelt i tre dimensjoner er konservativ:

FYS-MEK 1110 12.03.2013 10

Ikke-konservative krefter

vi dekomponerer nettokraften i

konservative kraft F

ikke-konservative kraft f fFF

net

fF

t

t

WWdtvfFW 1

0

net

for en konservativ kraft F kan

vi finner et potensial slik at: 10 UUWF

0110net KKWUUWWW ffF

fWUKUK 0011

fWEE 01

1

0

01 rdfWEEE f

forandring i den mekaniske energien

arbeid av ikke-konservative krefter

=

FYS-MEK 1110 12.03.2013 11

Eksempel:

skråplan

G

fWUKUKE )()( 0011energibevaring:

1

0

1

0

)( xdfrdf

friksjon: Nf d

N2L i y’-retning: 0cos yyy mamgNGNF

cosmgN cosmgNf dd

potensiell energi: sin0 mgLmghU 01 U

)sin0()02

1( 2

1 mgLmvE

)cos(sin21 dgLv Hvor er energien E ?

Lmgd )cos(xdmgd

1

0

)cos(

cossin2

11 mgLmgLmv d

FYS-MEK 1110 12.03.2013 12

Termisk energi

friksjon atomære vibrasjoner

kinetisk og potensiell energi på mikroskopisk nivå

mikroskopiske bevegelser varme

friksjon varmer klossen og planet

temperatur i systemet ”kloss + skråplan” øker

energien i hele systemet er bevart:

lukket system:

konservative krefter

kinetisk potensiell energi

ikke – konservative krefter

(dissipative krefter)

mekanisk termisk energi

arbeid fra ytre kraft:

jeg trekker klossen opp

jeg løfter klossen opp

FYS-MEK 1110 12.03.2013 13

Eksempel: bilkrasj A B

Av Bv

A B

BA vv Ffra A på B Ffra B på A

N2L for bil A: AAamF

A på B fra

N2L for bil B: BBamF

B påA fra

vanskelig å modellere kraften

N3L: A på B fraB påA fra FF

0 BBAA amam

for en tid t0 før og en

tid t1 etter kollisjonen 0)(1

0

dtamam

t

t

BBAA

01

0

1

0

t

t

BB

t

t

AA dtamdtam

0)()()()( 0101 tvtvmtvtvm BBBAAA

)()()()( 1100 tvmtvmtvmtvm BBAABBAA

)()( tvmtvm BBAA

bevart

vmm BA

)(

BA

BBAA

mm

tvmtvmv

)()( 00

FYS-MEK 1110 12.03.2013 14

i

idt

pdF

extNewtons andre lov: )( vm

dt

d

dt

vdmv

dt

dm

hvis m er konstant

am

vi vil se senere:

massen forandrer seg med hastighet

også partikler uten masse (f.eks. fotoner) har bevegelsesmengde

Bevegelsesmengde

kalles bevegelsesmengde vmp

størrelsen

i

idt

pdF

ext er derfor den mest generelle formuleringen av Newtons andre lov

nettokraften som virker på et legeme forandrer bevegelsesmengden

FYS-MEK 1110 12.03.2013 15

Kollisjoner

JdtFdtdt

pdpp

t

t

t

t

1

0

1

0

01

i tidsrommet t0 til t1 er:

netto kraft

impuls JF

ballen påvirkes av en (komplisert) kraft F(t)

0p

0t

1p

1t

0t 1t

FYS-MEK 1110 12.03.2013 16

Hva er endringen i

bevegelsesmengden

til vognen?

1. -30 kg m/s

2. -20 kg m/s

3. -10 kg m/s

4. 10 kg m/s

5. 30 kg m/s

x

y

iivmp ˆ m/s kg 20ˆm/s) 2( kg 1000

iivmp ˆ m/s kg 10ˆ m/s 1 kg 1011

iJppp ˆ m/s kg 3001

FYS-MEK 1110 12.03.2013 17

Ball spretter i gulvet del 1: ballen faller

vi kan finne v ved energibetraktninger

del 2: ballen deformeres i kontakt med gulvet

komplisert kraft fra gulvet på ballen

endring av bevegelsesmengde

kraften behøver ikke være konservative

energi er ikke bevart

ballen spretter ikke like høyt opp igjen

del 3: ballen går opp til sin nye maksimale høyde

ikke-konservativ kraft asymmetri

impuls: integralet under kurven

kontaktkraft >> gravitasjon

styrke og varighet av kraften

dtFpJ

t

t

1

0

FYS-MEK 1110 12.03.2013 18

00

0)( 23

y

yyvykN

Ball spretter i gulvet

uten dempning (=0):

J = p = 0.600 kg m/s

med dempning:

J = p = 0.566 kg m/s

dtFpJ

t

t

1

0

FYS-MEK 1110 12.03.2013 19

vanskelig å modellere kraften gjennom en kollisjon

ofte kjenner vi ikke F(t)

vi kan måle bevegelsesmengde før og etter kollisjonen

impuls gir informasjon om den gjennomsnittlige kraften

avg

01

1

0

11FdtF

ttJ

tt

pt

t