27-Ιαν-2009

1

ΗΜΥ 4292. (ι) Βασική

στατιστική

(ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σε- ψηφιακό

και

ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009

2

(ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σε- ψηφιακό

και

ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009

3

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Βασικά μέρη συστήματος ΨΕΣΦίλτρο

αντι-αναδί-πλωσης

ΔκΣ ΜΑΨ Ψηφιακός επεξεργαστήςΜΨΑ Φίλτρο

ανακα- τασκευής

27-Ιαν-2009

4

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Βασικά μέρη συστήματος ΨΕΣΦίλτρο

αντι-αναδί-πλωσης

ΔκΣ ΜΑΨ Ψηφιακός επεξεργαστήςΜΨΑ Φίλτρο

ανακα- τασκευής

(1) Φίλτρο

αντιαναδίπλωσης: το

φίλτρο

που

χρησιμοποιείται

για αποφυγή

του

φαινομένου

της

αντιαναδίπλωσης. Εφαρμόζεται

στον

αναλογικό

κόσμο.

(2) ΔκΣ: δειγματοληψία

και

συγκράτηση

(sample-and-hold). Κρατά

την τιμή

του

αναλογικού

σήματος

σταθερή

για

να

μπορέσουμε

να

κάνουμε

δειγματοληψία

αφού

αυτό

δεν

είναι

δυνατόν

να

πραγματοποιηθεί

στιγμιαία. Η

έξοδος

του

μπορεί

να

αλλάζει

μόνο

σε

περιοδικά

διαστήματα΄, κατά

τα

οποία

η

τιμή

της

είναι

ίδια

με

τη

στιγμιαία

τιμή

της

εισόδου.

Η

δειγματοληψία

μετατρέπει

την

ανεξάρτητη

μεταβλητή

από

συνεχές

σε διακριτό

χρόνο. Νέοι

ΜΑΨ

περιέχουν

κυκλώματα

για

ΔκΣ.

27-Ιαν-2009

5

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

(3) ΜΑΨ

(ADC): Μετατροπέας

Αναλογικού-σε-Ψηφιακό

(Analog-to- Digital Converter). Δειγματοληπτεί

το

σήμα

σε

διακριτές

χρονικές

στιγμές

και

μετατρέπει

το

πλάτος

του

στην

πλησιέστερη

τιμή

την

οποία επιτρέπει

η

πεπερασμένη

ακρίβεια

του

ψηφιακού

συστήματος

επεξεργασίας. Αυτή

η

προσέγγιση

εισάγει

ένα

σφάλμα, το

οποίο μικραίνει

με

την

αύξηση

των

διαθέσιμων

bits.

Φίλτρο αντι-αναδί-

πλωσηςΔκΣ ΜΑΨ Ψηφιακός

επεξεργαστήςΜΨΑ Φίλτρο

ανακα- τασκευής

(4) Ψηφιακός

Επεξεργαστής

(Digital processor): η

«καρδία» του σηστήματος. Μπορεί

να

είναι

μικροϋπολογιστής

γενικής

χρήσης, π.χ.

Motorola MC68000, ένα

ψηφιακό

μικροκύκλωμα

(chip) επεξεργασίας σημάτων, π.χ. Texas Instruments TMS320C50, ή

άλλα

hardware.

27-Ιαν-2009

6

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Φίλτρο αντι-αναδί-

πλωσηςΔκΣ ΜΑΨ Ψηφιακός

επεξεργαστήςΜΨΑ Φίλτρο

ανακα- τασκευής

(5) ΜΨΑ

(DAC): Μετατροπέας

Ψηφιακού-σε-Αναλογικό (Digital-to-Analog Converter). Διαδεδομένη

ανακατασκευή

είναι

κλιμακωτή.

(6) Φίλτρο

ανακατασκευής: η έξοδος του ΜΨΑ είναι συνήθως κλιμακωτό

σήμα, άρα

χρειάζεται

εξομάλυνση. Επίσης

το

φίλτρο

απομακρύνει

συχνότητες

> fs/2. Εφαρμόζεται

στον

αναλογικό κόσμο.

27-Ιαν-2009

7

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Βήματα ΜΑΨ1. Δειγματοληψία

(Sampling):

Μετατροπή

της

ανεξάρτητης

μεταβλητής

από

συνεχές σε

διακριτό

χρόνο.

Ομοιόμορφη

ή

περιοδική

δειγματοληψία:

όπου

x(n): σήμα

διακριτού

χρόνου

παίρνοντας

δείγματα

από

το

αναλογικό

σήμα, xα

(nT), κάθε

Τ

δευτερόλεπτα

(T: περίοδος

δειγματοληψίας). Fs=1/T: συχνότητα

δειγματοληψίας

(δείγματα/δευτερόλεπτο

ή

Hz)

Παλμική

σειρά: θεωρητικό

συνεχές

σήμα

που

αποτελείται

από μία

σειρά

παλμών

στα

σημεία

δειγματοληψίας. Δειγματοληψία

επιτυγχάνεται

πολλαπλασιάζοντας

το

σήμα

με

την

παλμική σειρά.

∞<<∞−== ntxnTxnx aa ),()()(

27-Ιαν-2009

8

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

2. Κβαντοποίηση

(Quantisation):μετατροπή

του

σήματος

διακριτού-χρόνου

(ΔΧ) συνεχόμενης-τιμής

σε

σήμα

ΔΧ

διακριτής-τιμής, όπου

κάθε

διακριτή

τιμή

αντιπροσωπεύεται

με

μία

τιμή

από

πεπερασμένο

σύνολο.

(Μη-κβαντοποιημένο

σήμα) – (Κβαντοποιημένο

σήμα) = Λάθος

Κβαντοποίησης

Δηλ. η

κβαντοποίηση

δεν

είναι

τίποτε

άλλο

από

προσθήκη

συγκεκριμένου

ποσού

τυχαίου

θορύβου

στο

σήμα! Ο

θόρυβος

αυτός

κυμαίνεται

μεταξύ

όπου

Δ: ευκρίνεια

κβαντοποίησης

(least significant bit), η απόσταση μεταξύ δύο

συνεχόμενων

επιπέδων

κβαντοποίησης.

Αν

xmin και

xmax είναι

η

μέγιστη

και

ελάχιστη

τιμή

του

δειγματοληπτημένου

σήματος, x(n), αντίστοιχα

και

Λ

ο

αριθμός

επιπέδων

δειγματοληψίας

(π.χ. 8 bits 256 επίπεδα):

2)(

2Δ

≤≤Δ

− neq

1minmax

−−

=ΔL

xx

27-Ιαν-2009

9

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Αναδίπλωση: το φαινόμενο αλλαγής της συχνότητας κατά τηδειγματοληψία. Συμβαίνει στις συχνότητες του σήματος που είναιμεγαλύτερες από τη συχνότητα Nyquist. Η αναδίπλωση αλλάζει τησυχνότητα σε μια που μπορεί να αντιπροσωπευτεί στα δείγματα. Μεγαλύτερη διαφορά μεταξύ σημάτων συνεχούς χρόνου καιδιακριτού: οι συχνότητες των αναλογικών σημάτων παίρνουν τιμέςαπό [0,∞), ενώ των ψηφιακών περιορίζονται στο [0 0.5].

Γιατί? Στα

ψηφιακά

σήματα

η

περίοδος

παίρνει

ακέραιες

τιμές

(διακριτά δείγματα

και

όχι

χρόνος), άρα

η

μικρότερη

τιμή

περιόδου

η

οποία

μπορεί

να

επιτρέψει

εναλλαγή

από

θετική

σε

αρνητική

συχνότητα

είναι

Ν=2 ηπερίοδος των ψηφιακών σημάτων κυμαίνεται μεταξύ 2≤Ν≤∞. Επειδή

η

συχνότητα

είναι

λ=1/Ν: 0≤λ≤0.5 (λ

είναι

κανονικοποιημένη

συχνότητα, δεν

έχει

μονάδες). Αντίστοιχες

κυκλικές

συχνότητες:

0≤Ω<∞

- συνεχή

χρόνο0≤ω≤π

- ψηφιακό

(ω=2πλ).

27-Ιαν-2009

10

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Εάν επιτρέψουμε αρνητικές συχνότητες:-0.5≤λ≤0.5 και

-π≤ω≤π. Άρα

συχνοτικό

διάστημα

των

σημάτων

διακριτού

χρόνου:

[-0.5 0.5] (αντίστοιχα

για

κυκλικές

συχνότητες

[-π π]).Αναλογικά

σήματα

- συχνοτικό

διάστημα

είναι

ολόκληρη

η

πραγματική

γραμμή.Όταν το ψηφιακό σήμα προέρχεται από δειγματοληψία αναλογικούσήματος είναι δυνατόν να μετρούμε τις ψηφιακές συχνότητες σε Hz, κάνοντας αναφορά στη χρονική κλίμακα του αναλογικού σήματος. Σεέτσι περίπτωση:

όπου

f: συχνότητα

ψηφιακού

σήματος

σε

Hz σε

σχέση

με

το

αναλογικό, καιfs : συχνότητα

δειγματοληψίας. Άρα, όλες

οι

συχνότητες

του

δειγματοληπτημένου

σήματος

βρίσκονται

στο

διάστημα

, δηλ. οι

συχνότητες

ενός

δειγματοληπτημένου

σήματος

δεν

μπορούν

να

υπερβούν

το

μισό

της

συχνότητας

δειγματοληψίας.

ss T

ff 1λλ ==

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−

22ss ff

27-Ιαν-2009

11

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Figure από

“Scientist’s and engineer’s guide to DSP”.

27-Ιαν-2009

12

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

2 ημιτονοειδείς

συναρτήσεις:

Χ=ημ(2π/8)

(δηλ. fx =1/8 Ηz)

Υ=ημ(-2π7/8)

(δηλ. fy =-7/8 Ηz)

Δειγματοληψία

με

fs =1Hz

27-Ιαν-2009

13

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Άλλο παράδειγμα αναδίπλωσης:

Θεωρώ

2 συναρτήσεις:x1 (t)=cos(2π10t) x2 (t)=cos(2π50t)

Δειγματοληψία

με

fs =50Hz:x1 (n)=cos(2π10/40n)=cos(nπ/2)x2 (n)=cos(2π50/40t)=cos(n5π/2)

Αλλά

5π/2=π/2, άρα

x1 (n)=x2 (n). Συνεπώς, x1 (n) και

x2 (n) είναι όμοια

και

δεν

ξεχωρίζουν. Άρα, η

συχνότητα

50Hz αναδιπλώνεται

στη

συχνότητα

10Hz όταν

δειγματοληπτούμε

με

συχνότητα

40Hz.Όλες

οι

συχνότητες

(10+40k) Hz, k=1,2,… αναδιπλώνονται

στα

10Ηz,

με

αποτέλεσμα

άπειρος

αριθμός

ημιτονοειδών

συναρτήσεων

συνεχούς- χρόνου

να

αντιπροσωπεύονται

με

δειγματοληψία

του

ίδιου

σήματος

διακριτού-χρόνου.

27-Ιαν-2009

14

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Η τιμή fs =2fm : όριο

Nyquist, η

μικρότερη

δυνατή

συχνότητα

δειγματοληψίας

που

επιτρέπει

την

ακριβή

ανακατασκευή

ενός

αναλογικού

σήματος

πεπερασμένου

εύρους

ζώνης

από

τα

δείγματα

του. Η

χρησιμοποίηση

μεγαλύτερης

fs δεν

προσφέρει

κανένα

όφελος.

Θεώρημα

δειγματοληψίας

αναφέρεται

σε

2 βασικά

αποτελέσματα: (1) είναι

δυνατόν

να

αποφύγουμε

αναδίπλωση

συχνότητας

με

κατάλληλη

δειγματοληψία(2) είναι

δυνατόν

να

ανακατασκευάσουμε

ακριβώς

το

αρχικό

αναλογικό

σήμα

από

τα

δείγματα

του.

Θεώρημα

Shannon: ένα

σήμα

xα

(t) συνεχούς χρόνου, το

οποίο

δεν

περιέχει

συχνότητες

μεγαλύτερες

της

fm , μπορεί

να

ανακατασκευαστεί ακριβώς

από

τα

δείγματα

xn =xα

(nTs ), εάν

η συχνότητα

δειγματοληψίας

ικανοποιεί

fs ≥2fm .

27-Ιαν-2009

15

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Αποφυγή

του

φαινομένου

της

αναδίπλωσης

(aliasing): για

δειγματοληψία

με

συχνότητα

fs , μπορούμε

να

φιλτράρουμε

από

το

αναλογικό

σήμα

όλες

τις

συχνότητες

που

είναι μεγαλύτερες

από

fs /2 ώστε

μετά

τη

δειγματοληψία

να

μην

υποστεί

αλλοίωση

το

συχνοτικό

διάστημα

[0 fs /2].

Ειδικές

περιπτώσεις

όπου

είναι

χρήσιμο

η

fs μικρότερη

του

ορίου Nyquist

π.χ. σήμα

με

εύρος

[0 f’m ]. Αν

ξέρουμε

ότι

η

πληροφορία

είναι

στο διάστημα

[0 fm ], fm < f’m και

θόρυβος

στο

διάστημα

[fm f’m ] τότε

fm + f’m ≤

fs <2f’m . Θα

υπάρξει

αναδίπλωση

αλλά

αλλοίωση

θα υποστούν

μόνο

οι

συχνότητες

του

θορύβου.

27-Ιαν-2009

16

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Figure από

“Scientist’s and engineer’s guide to DSP”.

27-Ιαν-2009

17

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Εξομάλυνση (dithering):όταν το αναλογικό σήμαμένει στην ίδια τιμή γιααρκετά συνεχόμεναδείγματα, η έξοδος μένει«κολλημένη» στον ίδιοψηφιακό αριθμό. Ηεξομάλυνση είναι ηπρόσθεση μικρού τυχαίουθορύβου στο αναλογικόσήμα. Αυτό αναγκάζει τοσήμα να αυξομειώνεταιτυχαία μεταξύ συνεχόμενωνεπιπέδων. Ο μέσος όροςψηφιακών τιμών έτσι είναιπιο κοντινός στηνπραγματική τιμή τουαναλογικού σήματος.

Figure από

“Scientist’s and engineer’s guide to DSP”.

27-Ιαν-2009

18

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

3. Κωδικοποίηση

(Coding): οι

διακριτές

τιμές

πλάτους

κωδικοποιούνται σε

ξεχωριστές

ψηφιακές

«λέξεις», η

κάθε

μια

με

μήκος

b bits.

Δηλ. σε

κάθε

επίπεδο

κβαντοποίησης

ανατίθεται

ένας

ξεχωριστός ψηφιακός

αριθμός.

Κωδικοποίηση

για

Λ

επίπεδα

κβαντοποίησης: b≥log2L

Γενικά, όσο

μεγαλύτερη

είναι

η

συχνότητα

δειγματοληψίας

και

ο

αριθμός επιπέδων

στην

κβαντοποίηση, τόσο

πιο

ακριβό

είναι

το

σύστημα.

Η ποιότητα της εξόδου του ΜΑΨ μετριέται από το λόγο σήματος-προς-θόρυβο κβαντοποίησης (signal-to-quantisation noise ratio, SQRN) Σε

dB, SQRN(dB)=1.76+6.02b, όπου

b:bits

π.χ. 16-bit ευκρίνεια

δίνει

SQRN > 96dB.

Σχήμα

3-1 από

“Scientist’s and engineer’s guide to DSP”.

27-Ιαν-2009

19

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

Ψηφιακά σήματα διαφέρουν από τα αναλογικά γιατί:1. Είναι

δειγματοληπτημένα2. Είναι

κβαντοποιημέναΑυτά

τα

δύο

περιορίζουν

πόσες

πληροφορίες

μπορεί

να

περιέχει

ένα

ψηφιακό

σήμα.Πρώτο, ο

αριθμός

των

bits/sample περιορίζει

την

ευκρίνεια

της

εξαρτώμενης

μεταβλητής, δηλ. μικρές

αλλαγές

στο

πλάτος

του σήματος

μπορεί

να

χαθούν

στη

κβαντοποίηση.

Δεύτερο, η

συχνότητα

δειγματοληψίας

περιορίζει

την

ευκρίνεια

της εξαρτώμενης

μεταβλητής, δηλ. δεδομένα

που

είναι

πολύ

κοντά

μπορεί

να

χαθούν

μεταξύ

των

δειγμάτων

(ακόμα

ένας

τρόπος

να πούμε

ότι

συχνότητες

> fs /2 χάνονται).

Τα αναλογικά σήματα έχουν αντίστοιχα προβλήματα: ο θόρυβοςπεριορίζει τις μετρήσεις του πλάτους, και το εύρος ζώνηςσυχνοτήτων περιορίζει τη δυνατότητα διαχωρισμού πολύ κοντινώνδεδομένων.

27-Ιαν-2009

20

2. Στατιστική / ΜΑΨ / ΜΨΑ

ΜΨΑΟ απλούστερος τρόπος ΜΨΑ είναι: μετατροπή των δειγμάτων σε παλμική σειρά και εφαρμογήχαμηλοπερατού φίλτρου με κοπή fs/2. Σε ψηλότερες συχνότητες η παλμική σειρά περιέχειδιπλότυπες πληροφορίες, ενώ το αρχικό αναλογικό σήμα δεν περιείχε πληροφορίες(υποθέτοντας ότι η δειγματοληψία έγινε σωστά χωρίς αναδίπλωση)Το σήμα που ανακατασκευάζεται από τον ΜΨΑ είναι κλιμακωτό. Συνήθως ΜΨΑ εκτελείανακατασκευή με zeroth-order hold, δηλ. κρατά το παρόν δείγμα μέχρι το επόμενο δείγμα(ψηφιακό ισότιμο της ΔκΣ). Στο πεδίο συχνοτήτων: ισοδύναμο με πολλαπλασιασμό του φάσματος με τη συνάρτησηsinc(x) (ο μετασχηματισμός Fourier του ορθογώνιου παλμού). Άρα γίνεται συνέλιξη τηςπαλμικής σειράς με ορθογώνιο παλμό πλάτους ίσου με την περίοδο δειγματοληψίας.

Φίλτρο ανακατασκεύης - κάνει τα εξής:1. Αφαιρεί

όλες

τις

συχνότητες

μεγαλύτερες

του

fs /22. Ενισχύει

τις

συχνότητες

με

1/sinc(x) για

αντιστάθμιση

της

επίδρασης

του

zeroth-order hold.Η

επίδραση

του

1/sinc(x) μπορεί

να

αντιμετωπιστεί:(1) αγνοώντας

την

δέχοντας

τις

συνέπειες(2) σχεδιάζοντας

ένα

αναλογικό

φίλτρο

που

περιλαμβάνει

τη

συνάρτηση

1/sinc(x)(3) χρησιμοποιώντας

πολυρυθμική

επεξεργασία(4) διορθώνοντας

αλγοριθμικά

πριν

τον

ΜΨΑ

27-Ιαν-2009

21

Επόμενη διάλεξη:4. Σήματα

και

συστήματα