2016.11.18.

1

Mechanika IV.:Hidrosztatika és hidrodinamika

Huber Tamás

PTE ÁOK Biofizikai Intézet2016. október 10.

Vizsgatétel

Hidrosztatika és hidrodinamika: hidrosztatikai nyomás, Pascal-

törvény. Newtoni- és nem-Newtoni folyadékok,

áramlástípusok, viszkozitás. Kontinuitási egyenlet, Bernoulli

törvény, Hagen-Poiseuille törvény.

Orvosi Biofizika tankönyv; 209-224.

Folyadékok alaptulajdonságai

A folyadék olyan deformálható „folyamatos” test (anyag), amelynek alakja könnyen megváltoztatható, és térfogata állandó.

Halmazállapot lehet:- folyadék- gáz-plazma

Kohéziós erő: az egynemű folyadékrészecskék kölcsönhatásából származik.

Adhéziós erő: eltérő részecskék kölcsönhatásából származik.

𝜌 =𝑚

𝑉 𝑝 =𝐹

𝐴

𝑘𝑔

𝑚3

𝑁

𝑚2 = 𝑃𝑎

Sűrűség: Nyomás:

Folyadékok fizikája

Áramló folyadékok

HIDRODINAMIKA

Nyugvó folyadékok

HIDROSZTATIKA

Ideális folyadékok áramlása

Viszkózus folyadékok áramlása

Lamináris (réteges) áramlás

Turbulens (örvényes) áramlás

2016.11.18.

2

Történeti háttér – nevezetes személyek

Archimedes(~ i.e. 287-212)

Newton(1642-1727)

Stokes(1819-1903)

Reynolds(1842-1912)

Bernoulli(1667-1748)

Pascal(1623-1662)

Hidrosztatika

p =𝑚×𝑔

𝐴=

𝜌×𝑉×𝑔

𝐴=

𝜌×𝐴×ℎ×𝑔

𝐴

Hidrosztatikai nyomásnak nevezzük a gázoszlopok illetve folyadékoszlopok súlyából származó nyomást.A hidrosztatikai nyomás egyenesen arányos a folyadék vagy gázoszlop sűrűségével és az oszlop magasságával, de nem függ a tároló edény alakjától.

Pascal törvénye: Zárt térben lévő folyadékra kifejtett nyomás minden irányban gyengítetlenül terjed tovább.

A folyadékok összenyomhatatlanok:

p = F1/A1 = F2/A2

F1 « F2

Azonos folyadékoszlop magasság esetén, hol a legnagyobb a hidrosztatikai nyomás értéke?

A folyadék mindegyik edényben azonos magasságú, tehát valamennyi tartály alján a túlnyomás p = 𝜌∙ℎ∙𝑔 .

Archimédesz törvénye

Minden folyadékba merülő testre felhajtóerő hat, amelynek nagysága egyenlő a test általkiszorított folyadék súlyával.

Egy daru segítségével egy huzalon függő fém konténert lógatnak egy tóba. Mekkora erőfeszíti a drótsodronyt, ha a konténer tömege fél tonna? (víz = 1000 kg/m3, konténer 7850kg/m3.

Valámerült = m/konténer

T= G-Ffelhajtó= mg - víz*g*Valámerült T= 4905 – 625 = 4280 N

folyadék súlya = felhajtó erő

𝐹1 = 𝑝1 ∙ 𝐴 = 𝑔 ∙ 𝜌𝑓𝑜𝑙𝑦 ∙ ℎ1 ∙ 𝐴

𝐹2 = 𝑝2 ∙ 𝐴 = 𝑔 ∙ 𝜌𝑓𝑜𝑙𝑦 ∙ ℎ2 ∙ 𝐴

𝐹𝑒𝑟𝑒𝑑ő = 𝐹2 − 𝐹1 = 𝑔 ∙ 𝜌𝑓𝑜𝑙𝑦 ∙ ℎ2 − ℎ1 ∙ 𝐴 = 𝑔 ∙ 𝜌𝑓𝑜𝑙𝑦 ∙ 𝑉 = 𝑔 ∙ 𝑚𝑓𝑜𝑙𝑦

2016.11.18.

3

Folyadékáramlás: folyadékok egyirányú mozgása.

Az áramlások hajtóereje a nyomáskülönbség (Δp).

Térfogati áramerősség:

[m3/s v. liter/perc]

Az áramlás erőssége az áramlási cső keresztmetszetén áthaladó folyadék térfogatának és az áramlás idejének a hányadosa.

Az aorta esetében: 6 liter/perc – perctérfogat.

t

VI

Hidrodinamika

Az áramlások típusai

folyamatos (pl. növényi nedvek) - pulzáló (pl. vérkeringés)

lamináris (réteges) - turbulens (örvényes)ha az áramlás sebessége (v) kicsi ha az áramlás sebessége (v) a viszkozitáshoz

képest arányosan nagy

nincs keveredés örvényes

sima felszín durva felszín

Az áramló közeg lehet:

• ideális folyadék (nulla viszkozitás) -absztrakció, kivéve a folyékony He egyik módosulata!

• newtoni folyadék (- csak a hőmérséklettől függő viszkozitás)

• nem-newtoni folyadékok (a viszkozitás függ az áramlás sebességétől - és a hőmérséklettől)

Forrás (beáramlás)

Nyelő (kiáramlás)

Stacionárius áramlásban a Dt idő alatt bármely teljes

keresztmetszeten (pl. A1 és A2) átáramló folyadéktérfogat ugyanaz V1 = V2;

a folyadékrészecskék elmozdulása Ds1 és Ds2 , ennek megfelelően

V1=A1. Ds1 és V2=A2. Ds2

Dt-vel való osztás után: A1. Ds1 / Dt = A1. Ds1 /Dt

azaz A1. v1 = A2. v2

Ezt az egyenletet nevezzük kontinuitási/folytonossági egyenletnek, ahol

v1 és v2 a folyadékrészecskék mozgási sebességét jelentik.

STACIONÁRIUS az áramlás lamináris áramlásokban, ha nincs forrás vagy nyelő, illetve konzervatív áramlási térben, ahol a be- és kiáramlás összege nulla (pl. az érrendszer kapillárisaiban).

2016.11.18.

4

Bernoulli egyenlet általános alakja (áramlás ferde csőben):

.22

2

2

221

2

11 állhg

vphg

vp

Bernoulli törvénye

Energetikailag

munka: W1 = p1 V ; W2 = p2 V

mozgási energia: E2 – E1 = (mv22/2) – (mv1

2/2)

Az energia megmarad:

W1 – W2 = E2 – E1

W1 + E1 = W2 + E2

p1 V + (mv12/2) = p2 V + (mv2

2/2)

p: sztatikai, (ρv12/2): dinamikai nyomás

Newton-féle súrlódási törvény:

sPa

m

Ns

2

Viszkozitás (dinamikai):

h

vAF

D

D

Viszkózus folyadékok áramlása

A viszkozitás függ:

• anyagminőség

• koncentráció

• hőmérséklet (↑hőm , η ↓)

• nyomás

Egy newtoni folyadék 2,4 m/s sebességgel folyik egy 25 mm átmérőjű csövön keresztül. Ha a folyadék viszkozitása 0,41 Pas és sűrűsége 820 kg/m3, lamináris vagy turbulens áramlás áll-e fenn?

R = (2,4*820*12,5*10-3) / 0,41 = 60 Lamináris

Reynolds szám

1160

1160

R

R lamináris

turbulens

Stokes- féle súrlódási törvény

Ff

Fs

Fs = 6 ∙ π ∙η ∙r∙ v

Lamináris áramlás esetén (kis Reynolds számot feltételezve) az egyenlet leírja, hogy egy r sugarú gömb alakú tárgyra amely η viszkozitással rendelkező folyadékban mozog vsebességgel mekkora súrlódási erő hat.

2016.11.18.

5

VÉRNYOMÁS: a vér áramlását fenntartó nyomáskülönbség.

, 8

4

l

p

RQ

D

A nyomáskülönbséget a szív, mint nyomópumpa hozza létre.

Lamináris áramlásra, kör keresztmetszetű csőben felírható aHAGEN-POISEUILLE törvény:

amelybenl

pDa nyomás grádiens

R

84

l az áramlási ellenállás és

Ha a cső sugara csökken, változatlan áramlási erősség fenntartásához nagyobb Dp kell.

ANEURIZMA, az ördögi kör

V1

p1

A1V1p1

A1V2p2

A2

A növekszik v csökken p növekszik

Kontinuitási egyenletBernoulli törvény

Pozitiv visszacsatolás

Tágulat a meggyengült érszakaszon

konstansvp 221 konstansA v *

Fizikai paraméterek alakulása az érrendszer különböző szakaszain

sebesség

össz- keresztmet szet

nyomás

Aorta Artériák Arteriolák Kapillárisok Vénák

Köszönöm a figyelmet!

2016.11.18.

6

http://smp.uq.edu.au/content/pitch-drop-experiment

A világ leghosszabb kísérlete 89 éve zajlik

(Thomas Parnell, University of Queensland, 1927)

A szurok viszkozitása nagyjából 230 milliárdszorosa (2,3*1011 ) a vízének.

Date Event Duration(months)Duration(years)

1927 Hot pitch poured - -

October 1930 Stem cut 0 0.0

December 1938 1st drop fell 98 8.1

February 1947 2nd drop fell 99 8.2

April 1954 3rd drop fell 86 7.2

May 1962 4th drop fell 97 8.1

August 1970 5th drop fell 99 8.3

April 1979 6th drop fell 104 8.7

July 1988 7th drop fell 111 9.2

November 2000 8th drop fell 148 12.3

17 April 20149th drop touched 8th drop

(156) (13.4)

24 April 20149th drop separated from funnel during beaker change

156 13.4