Corso di Fondamenti e Applicazioni di Geometria Descrittiva b

A.A. 2012-2013 Prof. M. Canciani, Arch. V. Gori

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Proiettare ….. 2/22

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Albrecht Dürer, Il disegnatore della donna

sdraiata, ed. 1538

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Nel linguaggio geometrico proiettare significa costruire piani o rette che escono da un punto o sono parallele ad una direzione.

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La geometria simula il fenomeno della proiezione attraverso 2 operazioni:

1. L’operazione di proiezione, ovvero la costruzione di rette e piani proiettanti passanti per un centro di proiezione e per i punti caratteristici dell’oggetto osservato.

2. L’operazione di sezione, che consiste nel tagliare le rette ed i piani generati dalla operazione di proiezione con un piano, detto piano di quadro.

10/22 Le convenzioni

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Nelle rappresentazioni spaziali adottiamo il Sistema di riferimento Cartesiano. «Regola della mano destra»

zzz z

y x

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• Indichiamo i punti con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino: A, B, P, Z.

• Indichiamo le rette con le lettere minuscole dell’alfabeto latino: a, b, r, s, z.

• Indichiamo i piani con le lettere minuscole dell’alfabeto greco: , , , .

• L’appartenenza si indica con il simbolo . Ad esempio: Pr significa che il punto P appartiene alla retta r.

• L’intersezione si indica con il simbolo . Ad esempio: P=rs s indica che P è l’intersezione tra r e s.

• Il parallelismo si indica con il simbolo //. • La perpendicolarità si indica con il

simbolo . • La proiezione di un punto si indica con

l’apice o un numero in pedice. Ad esempio: A’ è la proiezione di A (si legge A primo), A1 è la proiezione di A sul primo piano di proiezione, ovvero la prima proiezione (si legge A con uno o A uno).

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Alcuni simboli assumono significati particolari • Il simbolo O, corrisponde, solitamente,

all’Occhio dell’Osservatore. • Il simbolo (infinito), accompagnato da un

segmento con due frecce agli estremi, indica una direzione, parallela al segmento. Ad esempio: indica una direzione obliqua.

• Il simbolo solitamente corrisponde al piano di proiezione o piano di quadro

• I piani 1 2 3 indicano i piani di riferimento nello spazio, definiti dagli assi x, y e z. Le proiezioni su di essi assumono lo stesso indice del piano. Ad esempio: P 1 è la proiezione su 1 , ovvero la prima proiezione.

14/22 Gli enti geometrici fondamentali

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Gli enti geometrici utilizzati dalla geometria sono:

1. Il punto

2. La retta

3. Il piano

A questi si aggiungono:

4. La direzione (orientamento di una o più rette sul piano)

5. La giacitura (orientamento di uno o più piani nello spazio)

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Tra gli enti geometrici fondamentali intercedono le seguenti relazioni di appartenenza:

• Due punti distinti A e B individuano una retta r alla quale appartengono.

• Due piani e individuano una retta r, alla quale appartengono.

• Tre punti non allineati A, B, C individuano un piano , al quale appartengono.

• Due rette incidenti, r e s, individuano un punto P, al quale appartengono

• Due rette incidenti, r e s, individuano un piano , al quale appartengono.

• Tre piani, , e , distinti, individuano un punto P, al quale appartengono.

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Tra gli enti geometrici fondamentali intercedono le seguenti relazioni di posizione:

• Si dicono parallele le rette che hanno la medesima direzione.

• Si dicono paralleli i piani che hanno la medesima giacitura.

• Si dicono perpendicolari due rette, incidenti, quando dividono il piano in quattro parti uguali.

• Si dicono perpendicolari una retta e un piano, quando la retta è perpendicolare ad almeno due rette del piano.

• Si dicono perpendicolari due piani, quando uno è perpendicolare a tutte le rette dell’altro piano.

18/22 L’operazione di proiezione

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L’operazione di proiezione può svolgersi sia nel piano che nello spazio. Nel PIANO, dati: • Un punto O, detto Centro di

proiezione • Una retta r; • Un punto A

Effettuiamo la proiezione di A da O su r. Mandiamo un raggio proiettante passante per O e A L’intersezione del raggio con r è A’, proiezione di A.

O

O

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Nello SPAZIO, dati: • Un punto O, detto Centro di

proiezione • Un piano di quadro ; • Un punto A

Effettuiamo la proiezione di A da O su . Mandiamo un raggio proiettante passante per O e A L’intersezione del raggio con è A’, proiezione di A.

O

O

Riepilogo …. 21/22

• Proiettare significa costruire piani o rette che escono da un punto o sono parallele a una direzione

• Proiettare prevede due operazioni: la proiezione e la sezione

• Gli enti geometrici sono: il punto, la retta e il piano (enti fondamentali) a cui si aggiungono la direzione e la giacitura

• Tra gli enti geometrici esistono relazioni di appartenenza e posizione

• La proiezione può avvenire nel piano e nello spazio

• Gli elementi che vengono coinvolti nella proiezione sono: il centro di proiezione, il piano di quadro, i raggi proiettanti e gli enti geometrici fondamentali

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