Nessun esperimento permette di distinguere due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme:

Riserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto covertadi alcun gran naviglio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animalettivolanti [...] e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quellianimaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza[...] e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente ladovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananzesieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazipasserete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tuttequeste cose [...] fate muover la nave con quanta si voglia velocità: che (purche il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi nonriconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né daalcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma

(Galileo, Dialogo, giornata seconda)

La relatività della Meccanica Classica – Galileo

zzyy

txx

''

v'

Trasformazioni di Galileo

S: sistema fisso S': sistema in moto

x

y

z

y'

x'

z'

x'

v

Il sistema di riferimento S' si muove con velocità v lungo la direzione x, rispetto al sistema fisso S

S ed S' coincidono al tempo t=0

(x, y, z) e (x', y', z') sono le coordinate dello stesso punto misurate, rispettivamente, in S e S'

Le trasformazioni di Galileo esprimono la relazione tra le coordinate di un punto misurate in S ed S‘. Corrispondono alla nostra usuale percezione della realtà

S ed S’ sono sistemi di riferimento inerziali

La prima relatività: le trasformazioni di Galileo

x

y

z

y'

x'

z'v

u', a'

u', a' = velocità, accelerazione misurate in S'

u, a = velocità, accelerazione misurate in S

Secondo le trasformazioni di Galileo: u' = u – v a' = a

Tutte le equazioni della Meccanica Classica sono invarianti per trasformazioni di Galileo. Le leggi della Fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali

Le equazioni di Maxwell non sono invarianti per trasformazioni di Galileo: la velocità della luce c è una costante universale

La velocità della luce è indipendente dalla velocità della sorgente o del rivelatore

Le misure sperimentali della velocità della luce si sono sempre più raffinate, a partire dal diciassettesimo secolo. Gli esperimenti più recenti indicano una velocità di

Le incertezze in questo valore sono principalmente legate a quelle della definizione operativa dell’unità di lunghezza, il metro. Di conseguenza, si è adottato questo

valore come valore standard, ridefinendo la lunghezza del metro in modo da essere consistente con il valore di c

La velocità della luce in un mezzo è legata alle proprietà elettriche e magnetiche del mezzo. La velocità della luce nel vuoto può essere espressa come

Velocità della luce

m/s 458.792.299c

00

1

c magnetica tàpermeabilielettrica tàpermittivi

0

0

Km/s 300.000m/s 1,2 458.792.299 c

Equazioni di Maxwell

Sorgenti dei

campi

tE

cJB

tBE

B

E

20

0

1

0

00

2 1

c

c = velocità della luce, costante universale

J

= densità di carica

= densità di corrente

Le equazioni di Maxwell rappresentano uno dei modi più eleganti e concisi per formulare le leggi fondamentali dell’elettricità e del magnetismo. A partire da esse

si possono sviluppare tutte le relazioni effettive tra campi e sorgenti

trasformazione inversa

Le trasformazioni di Lorentz

Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di Lorentz

S: sistema fisso S': sistema in moto

x

y

z

y'

x'

z'

x'

v

2

2

2

2

2

v1

v

'

''

v1

v'

c

cxt

t

zzyy

c

txx

2

'v'

''

)'v'(

cxtt

zzyy

txx

21

1

v

c

notazioni usuali

2

v'

''

)v('

cxtt

zzyy

txx

P(x’, y’, z’) in S'P(x, y, z) in S

Le trasformazioni di Lorentz sono tali che:

è la stessa (velocità della luce)2 nei 2 sistemi

Due “eventi” (x1, t1) e (x2, t2) che avvengono allo stesso tempo t1 = t2 in S non avvengono allo

stesso tempo in S', t'1 ≠ t'2

S: sistema fisso S': sistema in moto

x

y

z

y'

x'

z'

x'

v

2

v'

''

)v('

cxtt

zzyy

txx

)'''(')( 2222222222 zyxtczyxtc (invariante di Lorentz)

2

222

2

2222

''''

tzyx

tzyxc

' tt

La contrazione delle lunghezze

S: sistema fisso S': sistema in moto

x

y

z

y'

x'

z'

x'1

v

x'2

La lunghezza di un qualunque oggetto in un sistema in moto

apparirà contratta lungo la direzione del moto. L’effetto della contrazione può essere calcolato a partire dalle

trasformazioni di Lorentz. La lunghezza di un oggetto è massima nel sistema in cui esso è a riposo. || 0 L

120 '' xxL è la lunghezza della sbarretta misurata in S', dove è a riposo

12 xxL è la lunghezza della sbarretta misurata da un osservatore in S

LxxtxtxxxL )()v()v('' 121122120

2

2

00 v1

cLLL

21 tt (la misura di x1 e x2 va fatta contemporaneamente, t1=t2)

contrazione delle lunghezze

Un orologio in un sistema in moto sarà in ritardo, ed il suo tempo

apparirà "dilatato“, come si ottiene dalle trasformazioni di Lorentz. Gli intervalli di tempo sono minimi se

misurati nei sistemi di riposo. Il tempo misurato nel sistema in cui l’orologio è

a riposo si chiama “tempo proprio".

Dilatazione dei tempi S: sistema fisso S': sistema in moto

x

y

z

y'

x'

z'v

120 '' ttT è l’intervallo di tempo misurato in S', dove l’orologio è a riposo

12 ttT è l’intervallo di tempo misurato in S

01212122212 )''()'v'()'v'( Tttxc

txc

tttT

21 '' xx (la misura di t'1 e t'2 va fatta nello stesso punto, x'1=x'2)

2

20

0v1

c

TTT

dilatazione dei tempi

2

2

2v1c

Muon Experiment – Non relativistic

Muon Experiment – Muon observer

Muon Experiment – Earth observer

Gli osservatori solidali con il muone e con la Terra sono d’accordo sul numero di muoni che giungono a terra

La storia è che uno di due gemelli lascia la Terra per un viaggio su una navicella spaziale che viaggia a velocità prossima a quella della luce, mentre l’altro rimane a

casa. A causa della dilatazione dei tempi, il tempo scorre più lentamente sulla navicella, vista dalla Terra. Quindi il gemello di ritorno sulla Terra dovrebbe essere più giovane (il suo orologio dovrebbe essere più indietro) rispetto a quello rimasto a casa. La domanda sorge spontanea: è vero? Davvero un gemello sarebbe più giovane? Non vale la stessa

cosa per il gemello sulla Terra, osservato da quello in viaggio?La questione fondamentale circa la dilatazione dei tempi è confermata in modo

inequivocabile dall’esperimento dei muoni. La chiara implicazione è che il gemello in viaggio dovrebbe davvero essere più giovane. Tuttavia lo scenario è complicato dal

fatto che il gemello sulla navicella deve subire una accelerazione, una inversione della direzione del moto, ed una decelerazione per tornare a Terra. Ciò permette di

distinguere tra I due gemelli (ed abolire il paradosso), ma per sistemi accelerati non basta applicare le regole della relatività speciale, e bisogna ricorrere a quelle della

relatività generale .

Il paradosso dei gemelli

Nonostante le difficoltà tecniche, un esperimento a bordo di un areo commerciale conferma l’esistenza di una differenza di tempo tra gli orologi di osservatori a Terra e

quelli in moto rispetto ad essi.

La regola della trasformazione delle velocità della relatività ristretta fornisce la relazione tra la velocità di un oggetto osservata in un sistema di riferimento inerziale (S, u) e la velocità dello stesso oggetto osservata in un sistema in moto con velocità v rispetto ad esso (S',u').

Se A vede B muoversi alla velocità v, allora la velocità misurata da B (u') viene vista da A come:

se v = u' = 0.9 c, si ottiene u = 1.8 c/1.81 < c

se v o u' = c, allora anche u =c

Trasformazione delle velocità

2'v1

v'

cu

uu

2v1

v'

cu

uu

con la

trasformazione inversa

nel limite v/c→0 si ottengono le usuali

relazioni

Prendendo i differenziali delle trasformazioni di Lorentz per x' e t' si ottiene:

trasformazione inversa

2

2 v1

v

v) v(

''

cdtdx

dtdx

cdxdt

dtdxdtdx

2v1

v'

cu

uu

2'v1

v'

cu

uu

S: sistema fisso S': sistema in moto con velocità v rispetto ad S

x

y

z

y'

x'

z'

u

2

v'

)v('

cxtt

txx

dtdxu sia la velocità della particella misurata in S

cerchiamo la velocità '''

dtdxu misurata in S'

La relatività speciale conduce ad un aumento della massa effettiva di una particella con la velocità v, data dall’espressione (massa relativistica)

La dinamica relativistica e la massa

L’aumento della massa effettiva relativistica rende la velocità della luce c la velocità limite dell’Universo. Quando v → c la massa effettiva diviene infinita, e non si può più accelerare la particella. Tale aumento della massa è evidente negli acceleratori di particelle, nei quali la velocità è prossima a c. Tuttavia la

formula mostra che, per aumentare la massa anche solo dell’1%, bisogna raggiungere una velocità pari al 14% di c, cioè 42 milioni di m/s.

riposo" di massa" v1

00

2

20

mm

c

mm

Le stesse trasformazioni di Lorentz perdono significato (presentano delle singolarità) quando v → c

La formulazione della dinamica in Relatività Speciale conduce alla famosa relazione energia-massa

E = mc2 include sia l’energia cinetica che l’energia di riposo (E = m0c2) di una particella. L’energia cinetica T di una particella può essere calcolata da

L’impulso relativistico di una particella è dato da

Massa, energia e impulso

22202

22

02 v

21

2v1 0 omcmcmc

cmmcE

Si noti che, per piccole velocità

20

2 cmmcT

20

2 cmmcE

v v 0mmp

Relazione relativistica tra energia ed impulso

La famosa relazione di Einstein per l’energia

può essere unita all’espressione relativistica dell’impulso

per ottenere un’espressione alternativa per l’energia

da cui

Si noti che m0 è la massa di riposo, e che m è la massa relativistica

2mcE

2

20

v1

v

c

mp

420

42

2

2

2220

420

420

2

2

222022

v1

vv1

v cmcm

c

cmcmcm

c

cmcp

420

222 cmcpmcE

La massa può essere convertita in energia secondo la relazione di Einstein:

dove c = velocità della luce. La quantità che si ottiene dalla conversione di un kilogrammo è

Il consumo medio di energia di un cittadino USA per 1 anno è circa

quindi la conversione di 1 kg di massa in energia coprirebbe il fabbisogno di circa 180.000 cittadini USA per 1 anno, oppure il fabbisogno di una città di 1

milione di abitanti per oltre 2 mesi

L’energia alla Einstein

20cmE

Joules 109)m/s10(3 kg) 1( 1628 E

Joules 105Year US1 11

Alcune unità di misura nucleari

Le masse nucleari sono misurate in unità di masse atomiche; la massa del nucleo di carbonio-12 è definita esattamente come 12 unità di massa atomica. Per massa si

intende, se non vi sono altre indicazioni, la massa di riposo. La conversione in unità atomiche è data da:

Una conveniente unità di energia, particolarmente utile per processi atomici e nucleari, è l’energia acquistata da un elettrone accelerato da una differenza di potenziale di 1 Volt. Il

lavoro compiuto dalla forza elettrica, si trasforma in energia cinetica dell’elettrone,

2-27 MeV/ 931,494kg 101.66054u 1 c

I nuclei sono fatti di protoni e neutroni, ma la massa del nucleo è sempre minore della somma delle singole masse dei protoni e neutroni che lo formano. La differenza è una misura dell’energia di legame, che tiene il nucleo unito. Questa energia di legame può essere calcolata a partire dalla relazione di Einstein:

Energia di legame nucleare = (Δm)c2

Per le particelle alpha Δm= 0.0304 u, che dà un’energia di legame di 28.3 MeV.

L’enormità dell’energia di legame nucleare può essere meglio

apprezzata se la si confronta con l’energia di legame di un elettrone in un atomo. Le energie di legame

nucleare sono dell’ordine di un milione di volte più grandi delle

eenergie di legame degli elettroni negli atomi.

L’energia di legame nucleare

Energia prodotta nella Fissione e nella Fusione

1 unit = consumo medio di energia di un cittadino USA per 1 anno

La fusione deuterio-trizio e la fissione uranio-235 sono confrontati in termini di energia liberata. Sia l’energia per singolo evento e per kg di combustibile sono raffrontate. Sono

quindi espresse in termini del consumo medio annuale pro-capite di energia negli USA: 5 x 1011 Joules. I valori sopra riportati rappresentano la produzione totale di energia, non

quella usufruibile dai consumatori.

Energia prodotta nella Fissione e nella Fusione

La fissione e la fusione possono produrre energia

La curva della energia di legame è ottenuta dividendo l’energia totale di legame nucleare per il numero di nucleoni. Il fatto che ci sia un massimo nell’andamento della

curva in funzione della massa atomica (in corrispondenza del ferro), significa che sia la frammentazione di nuclei pesanti (fissione) o la combinazione di nuclei leggeri (fusione)

produrrà nuclei più fortemente legati (meno massa per nucleone).

Questo è il processo di fusione che avviene nel Sole ed in altre stelle che hanno una temperatura interna minore di 15 milioni di gradi Kelvin. Un intero ciclo di reazioni

produce circa 25 MeV di energia

Fusione protone-protone

Nota che entrambe le reazioni che producono deuterio producono anche un neutrino. La misura dell’energia emesa dal Sole ed il confronto con questo modello ci permettono di

predire il numero di neutrini che dovrebbero colpire la Terra. Il fatto che i primi esperimenti rivelarono solo circa un terzo di quel numero originò il cosiddetto "solar neutrino problem"

Reazioni nucleari nella catena p-pQuesto è il processo di fusione che avviene nel Sole ed in altre stelle che hanno una

temperatura interna minore di 15 millioni di gradi Kelvin. Un intero ciclo di reazioni produce circa 25 MeV di energia. Questa descrizione della catena di reazioni fa

parte del cosiddetto “standard solar model”

Sebbene una grande energia sia richiesta per superare la barriera coulombiana ed iniziare la fusione dell’idrogeno, il rilascio di energia sarebbe così alto da

incoraggiare la continuazione delle ricerche in tale campo. La fusione dell’idrogeno sulla Terra potrebbe far uso delle seguenti reazioni:

Queste reazioni sono più promettenti della fusione protone-protone che avviene nelle stelle, come possibile fonte di energia. Tra queste la fusione deuterio-trizio sembra la più

favorevole ed è stata oggetto di molti esperimenti. In un reattore deuterio-deuterio, un’altra favorevole reazione potrebbe avvenire, creando un ciclo del deuterio:

Fusione dell’idrogeno

MeV 18.3H He He H 11

42

32

21

trizio-deuterio fusione MeV 7.591n He H H

deuterio-deuterio fusione MeV 4.03 H H H HMeV 3.27n He H H

10

42

31

21

11

31

21

21

10

32

21

21

Per ogni particella conosciuta esiste la sua antiparticella; se si incontrano, esse si annichilano, con la produzione di due raggi gamma. L’energia quantistica dei due raggi

gamma è uguale alla somma delle energie delle particelle (energia totale, cioè energia di riposo e cinetica). E’ anche possibile che un fotone perda la sua energia quantistica

nell’interazione con la materia, per formare una coppia particella-antiparticella. La massa di riposo di un elettrone è 0.511 MeV/c2, quindi la soglia in energia per la produzione di una coppia electtone-positrone è 1.02 MeV. Per i raggi X e gamma di

energie ben superiori a 1 MeV, questa produzione di coppie diventa uno dei principali canali di interazione con la materia. Ad energie ancora più alte, molti tipi di particella-

antiparticella possono essere prodotti.

La produzione di coppie

Un fotone si muove con la velocità della luce in ogni sistema di riferimento; non può mai essere a riposo e la sua massa di riposo è zero, m0 = 0. Per un fotone l’espressione

relativistica dell’impulso

si riduce a zero su zero, quindi non può essere usata direttamente per determinare l’impulso di una particella di massa nulla. Tuttavia, si può usare la relazione:

Ponendo a zero la massa di riposo ed applicando la relazione di Planck si ottiene l’espressione dell’impulso per un fotone:

f = frequenza

v = speed

Il fotone

v v-1

v0

2

20 m

c

mp

420

222 cmcpmcE

hch

cEp

, , hE

La misura di una velocità assoluta non è possibile(esperimento di Michelson-Morley)

La velocità della luce è indipendente dalla velocità della sorgente e dell’osservatore (aberrazione della luce stellare, etc.)

c è una costante universale

Le leggi della Fisica sono invarianti per Trasformazioni di Lorentz

)v(' txx

2

v'cxtt

cv

11

2

Le trasformazioni di Galileo ed il concetto di tempo universale debbono essere abbandonate

Schema concettuale della Relatività Speciale

La contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi(decadimento dei muoni nell’atmosfera)

La conservazione dell’impulso conduce alla massa relativistica (acceleratori di particelle)

Equivalenza massa-energia(energia di legame dei nuclei, fusione, fissione, …)

0 mm

La velocità della luce diventa la velocità limite nell’Universo(legge di composizione relativistica delle velocità)

0 TT LL 0

20

2 cmmcE

Nella trattazione matematica della Relatività le coordinate spazio-tempo ed energia-impulso sono spesso espresse in forma di quadri-vettori. Essi sono definiti in modo tale

che la “lunghezza” di un quadri-vettore è invariante per trasformazioni di coordinate (trasformazioni di Lorentz). Questa invarianza è associata con (e riflette) le leggi della Fisica. L’invarianza del quadri-vettore spazio-tempo è associata con la costanza della

velocità della luce. L’invarianza del quadri-vettore enegia-impulso è associata con il fatto che la massa di riposo di una particella è invariante per trasformazione di coordinate.

Lo Spazio-Tempo ed i quadri-vettori in Relatività

quadri-vettore spazio-tempo

spazio-tempo della Relatività Speciale = spazio di Minkowski

rct

zyxct

R

pcE

pppcE

P

z

y

x //

22222 '' rctrtc 22

0222 / cmpcE

quadri-vettore energia impulso

è Lorentz invariante è Lorentz invariante

Il prodotto scalare di 2 quadri-vettori spazio-tempo è definito come:

2bababa

b

bb

a

aa rrttcRR

rct

Rrct

R

e il prodotto scalare di 2 quadri-vettori energia-impulso come

/ / /b

2 ppcEEPPpcEPp

cEP ababab

bb

a

aa

Si noti che questa definizione di prodotto scalare differisce dal prodotto scalare ordinario (di vettori euclidei) a causa del segno meno. Queso segno meno è necessario

per la proprietà di invarianza della lunghezza dei quadri-vettori.

(prodotto scalare euclideo)

zzyyxx BABABABA

kBjBiBB

kAjAiAA

zyx

zyx

con

i j

k

La lunghezza al quadrato del quadri-vettore spazio-tempo è data da:

La lunghezza di un quadri-vettore è invariante, cioè è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Questa invarianza è associata con la costanza della velocità della luce. Questa espressione può essere vista come l’equazione di un sfera, associata alla

luce che si propaga in tutte le direzioni a partire dall’origine, con velocità c. Il raggio della sfera ad un tempo t, vale ct.

222222 )()()( rctzyxctRR

220

222222 )/()()/( cmpcEpppcEPP zyx

La lunghezza di questo quadri-vettore è l’energia di riposo della particella, moltiplicata per la velocità della luce. L’invarianza è associata al fatto che la massa di riposo e la

velocità della luce sono le stesse in tutti I sistemi di riferimento inerziali.

cmPP 0

La lunghezza al quadrato del quadri-vettore energia-impulso è data da:

Il Cono Luce è il quadrato della distanza percorsa dalla luce nel tempo t

Se tralasciamo una delle variabili spaziali, ad esempio la z,

otteniamo l’equazione di un cono:

Il Cono Luce indica lo spazio nel quale sono confinati gli eventi

fisici (le Linee-Universo). Solo le particelle di massa nulla (come il fotone) possono viaggiare lungo il

cono. Quelle di velocità minore sono confinate all’interno del cono.

ct

x

y

past

future

Solo per gli eventi all’interno del Cono Luce la sequenza temporale è fissata (cioè è la stessa in tutti i sistemi di riferimento)

22222 zyxtc

222)( yxct

Principio di equivalenza

Gli esperimenti compiuti in un sistema di riferimento uniformemente accelerato con accelerazione a non sono distinguibili dagli stessi esperimenti compiuti in un sistema di riferimento non accelerato, il quale sia situato in un campo gravitazionale con accelerazione di gravità g = – a. Un altro modo di affermare questo principio fondamentale della Relatività Generale è quello di dire che la massa gravitazionale e quella inerziale coincidono.

Relatività generale – Il principio di equivalenzaLa relatività generale nasce da due esigenze teoriche:

1) Estendere il principio di relatività agli osservatori non inerziali.

2) Descrivere la gravità.

a

g = – a

Nella scatola la massa sente un’accelerazione g = – a

Un raggio di luce che si sposti dal punto A sulla parete destra,

raggiungerà la parete sinistra in un un punto B situato più in basso, poiché

la scatola accelera verso l’alto durante il tempo che la luce impiega

per andare da A a B. Questa deflessione è quasi inavvertibile sulla Terra, a causa della grande velocità

della luce.

m

A

B

Nessun esperimento può distinguere localmente tra un campo gravitazionale ed un sistema di riferimento accelerato

La luce deve essere deflessa dalla forza di gravità

Anche la luce pesa

Sistema di riferimento accelerato

Effetti gravitazionali sulla luce

I calcoli di Einstein basati sulla sua teoria della relatività generale indicarono che I raggi della luce

di una stella radente il Sole dovrebbero essere deflessi di un angolo di 1.75 secondi di arco.

Ciò fu misurato durante l’eclisse di sole totale del 1919 e durante quasi tutte quelle successive.

L’espressione relativistica dell’energia attribuisce una massa ad ogni particella dotata di energia

L’energia potenziale gravitazionale è quindi

Quando il fotone sfugge al campo gravitazionale avrà una frequenza diversa:

Poiché la frequenza risulta ridotta, questo effetto è chiamato “gravitational red shift”, oppure Einstein red shift.

La gravità ed il fotone

02 hmcE

02 rcMhG

rMmGU

20

02020 1 1

rcGM

rcMG

rcMGhh

Se l’energia potenziale gravitazionale del fotone è esattamente uguale all’energia quantistica del fotone, cioè

allora il fotone è “red-shifted” a frequenza nulla. Si noti che questa condizione è indipendente dalla frequenza, e per ogni massa gravitazionale M fornisce un raggio critico, il raggio di Schwarzchild (in realtà, il raggio di Schwarzchild differisce da questo risultato per un fattore 2).

L’energia di fuga per il fotone

RS = 9 Km per M = 3 masse solari

RS = 3 Km per il Sole

RS = 9 mm per la Terra

2020 cGMr

rcGMhh

2

2 cGMRS

Il tempo di un orologio in un campo gravitazionale scorre più lentamente, secondo la legge della dilatazione gravitazione dei tempi della relatività generale

(si noti che questo effetto è diverso dalla dilatazione dei tempi della Relatività Speciale, legata al moto relativo)

Dove T è il tempo misurato da un orologio molto lontano dal campo gravitazionale (R molto grande). Per un orologio sulla superficie della Terra, questa espressione diventa

Questa dilatazione è circa di 1 parte su 109:

La dilatazione dei tempi gravitazionale

210 cgRTT

R=h in questa espressione dà la differenza di tempo tra due orologi posti ad altezze che differiscono di h

2

0

21RcGMTT

2

0

21cgR

TT

dilatazione gravitazionale del tempo sulla superficie terrestre

2rGMg

a

box = sistema accelerato

A

BR

Gli orologi A e B emettono, ad esempio, 10 segnali al secondo. Ma il ricevitore R si muove verso l’alto, e raccoglie più segnali, ad esempio 11. Quindi conclude che l’orologio A ha emesso 11

segnali mentre l’orologio B ne ha emessi 10: l’orologio B è più

lento, in ritardo.

La differenza negli intervalli di tempo è dovuta al rapporto tra la velocità raggiunta da R durante la trasmissione del segnale (v = g t =

gh/c) e la velocità della luce.

h = altezza del box

BBA TcghTT 2

in accordo con il risultato precedentePrincipio di equivalenza: ciò che accade in un sistema

accelerato deve accadere in un campo gravitazionale

Principio di equivalenza della massa gravitazionale ed inerziale (deflessione della luce delle stelle da parte del Sole)

Dilatazione dei tempi per effetti gravitazionali (red shift gravitazionale)

Schema concettuale della Relatività Generale

La dilatazione dei tempi per effetti gravitazionali è stata osservata sperimentalmente. L’applicazione più nota di tale effetto riguarda

l’uso del navigatore satellitare per determinare la posizione di punti sulla Terra, mediante la misura della distanza tra il punto e satelliti.

Tale distanza è misurata attraverso misure precise di tempi e la sincronizzazione degli orologi sulla Terra e sui satelliti è cruciale.

Gli effetti di relativitàspeciale e generale sugli orologi

sono vericati dal GPS.La correzione è di circa40 microsecondi/giorno.

Senza questa correzione la posizione di un oggetto sulla

Terra sarebbe determinata conun errore di 10 km (la precisione

del GPS è di 10 metri).

Il navigatore satellitare