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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELAFACULTAD DE CIENCIASESCUELA DE COMPUTACIÓNMATEMÁTICAS DISCRETAS I (6106)

Práctica: Lógica Proposicional (Segunda parte)

Nota Preliminar:   Para la realización de esta práctica se requieren los siguientes con-ceptos: Equivalencia lógica, leyes de la lógica, simplificación de proposiciones, argumentosválidos, reglas de inferencia, demostraciones directas y por reducci ón al absurdo. Méto-do para conclusiones condicionales, argumentos inválidos, consistencia e incosistencia depremisas.

1. Sean   P   y   Q   dos proposiciones tales que   P ≡ Q. Indique cuáles de las siguientesproposiciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

( )   P ⇒ Q.( )   P → Q  es una tautologı́a.

( )  La tabla de verdad de  P  es la misma tabla de la proposición  Q.

( )   P ↔ Q  es una tautologı́a.

( )  Las tablas de verdad de  P → Q  y  Q → P  son iguales.

( )   Q ⇒ P .

( )   Q → P   es una tautologı́a.

( )   (P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q) es una contradicción.

2. La siguiente tabla de verdad define dos conectores lógicos

 p q p q p q 

V V V VV F F FF V F VF F V F

Teniendo es cuenta a estos nuevos conectores, verifique en cuáles de los siguientescasos  P ≡ Q

a )   P   : p q ,   Q : ¬( p ↔ q ).

b)   P   : ( p p) ( p q ),   Q : p ∧ q c )   P   : ( p q ) p,   Q :  p → q 

d )   P   : p q ,   Q : q  p

e )   P   : p (q  r),   Q : ( p q ) ( p r)

 f  )   P   : p (q  r),   Q : ( p q ) ( p r)

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3. Verifique, SIN USAR TABLAS DE VERDAD, en cuáles de los siguientes casos P ≡ Q.

a )   P   : p → ( p ∧ r),   Q : ( p → q ) ∧ ( p → r)

b)   P   : ¬ p ∨ ¬q ,   Q : ¬( p ∧ q )

c )   P   : ¬ p ∨ q ,   Q :  p → q 

d )   P   : ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r),   Q :  p ∨ (q ∧ r)

e )   P   : p → q ,   Q : (¬q  → ¬ p)

 f  )   P   : p → q ,   Q :  p

g )   P   : p ∧ (¬q ∨ r),   Q : p ∨ (q ∧ ¬r)

h )   P   : p ∧ (q ∨ r),   Q : ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ r)

i )   P   : p → q ,   Q :  p ↔ q 

 j )   P   : q  →  p,   Q :  p ↔ q 

k )   P   : ( p → q ) ∧ (q  → r),   Q : p → r

4. Para cada uno de los circuitos de la Figura 1, encuentre la proposición lógica asociaday simplifique. Adicionalmente dibuje el circuito simplificado.

Figura 1: Circuitos lógicos

5. Dibuje el circuito asociado a cada una de las siguientes proposiciones, luego encuentreun circuito equivalente más simple, en caso que sea posible.

a ) ( p ∧ ¬q ) ∧ (q ∧ p)

b) ( p ∨ q ) ∧ (¬q ∨ r)

c ) (¬ p ∨ ¬q ) ∨ ( p ∧ (¬q ∨ ¬r))

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d ) [( p ∨ q ) ∨ ¬r] ∧ (¬q ∨ ¬ p)

e )   p ∧ [(( p ∧ q ) ∨ ¬r) ∨ ((¬ p ∨ ¬q ) ∧ r)]

6. Verifique, SIN USAR TABLAS DE VERDAD, en cuáles de los siguientes casos P ⇒ Q

a )   ¬q ∧ (¬r → q ) a   r

b) ( p ∨ q ) ∧ p   a   q 

c ) (r ∧ ¬s) ∧ (r → ¬ p) ∧ (s ∨ ¬q ) a   ¬( p ∨ q )

7. Simbolice y demuestre la validez de los siguientes razonamientos, usando métododirecto o reducción al absurdo.

a ) Si  y  = 1 entonces  x  = 0 o  x > y. Si  z  = −1 entonces  x = 0 o  x < z. No es ciertoque  x > y  o  x < z. Además  y = 1 o  z = −1. En conclusión,  x  = 0.

b) Esta tarde no hace sol y hace más fŕıo que ayer. Iremos a nadar sólo si hace sol.Si no vamos a nadar, daremos un paseo en canoa. Si damos un paseo en canoa,estaremos en casa para la puesta del sol. En consecuencia, estaremos en casa

para la puesta del sol.c ) Si estudio Lógica, me aburro y acabo abandonando. Pero si me aburro, o me

falta inspiración, o es que no he abandonado. Pero no me falta inspiraci ón. Porlo tanto, es que no estudio Lógica.

d ) Si hay exigencia personal, entonces o no habrá desidia o si no hay huelgas nohabrá esṕıritu de trabajo. No hay huelgas y pánico nacional. O no hay respon-sabilidad, o hay exigencia personal. Con honestidad, habrá responsabilidad yaumentará la producción nacional y el esṕıritu de trabajo. Si aumenta la pro-ducción, no hay pánico nacional o hay desidia. Por tanto, no hay honestidad.

e ) Norma no va a su reunión del martes por la mañana a menos que se levante muy

temprano. Si va al concierto de rock el lunes por la noche, entonces llegará asu casa después de las 11 de la noche. Si Norma llega a su casa a esa hora yse levanta temprano al d́ıa siguiente, entonces tendrá que ir a trabajar despuésde dormir menos de siete horas. Por desgracia, Norma no puede trabajar conmenos de siete horas de descanso. Norma no debeŕıa ir al concierto de rock odeberá faltar a su reunión del martes por la mañana.

 f  ) Si de que la función es derivable en  x =  a  se sigue que es continua en   x =  a, ysi de que es creciente en  x  =  a  se sigue que  x  =  a  no es un máximo, entonces deque la función sea derivable y creciente en   x =  a   se sigue que es continua y notiene máximo en  x =  a.

g ) Si el ángulo alfa es igual al ángulo beta, entonces el ángulo beta es igual a 45◦.

Si el ángulo beta es igual a 45◦

, entonces el ángulo theta es igual a 90◦

.  O elángulo beta es recto o el ángulo beta no es igual a 45◦.  El ángulo theta no esrecto. por tanto, el ángulo alfa no es igual al ángulo beta.

h ) Sólo si llego pronto no se me enfŕıa el caf́e. No llego pronto a menos que eltráfico vaya bien, suene el despertador y no me quede dormido. Pero o no suenael despertador o estoy sordo. Oigo bien, luego se me enfŕıa el café.

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8. Simbolice y demuestre la validez de los siguientes razonamientos, usando prueba condi-cional.

a ) Si vengo pronto, es que estoy cansado o no tengo dinero. No estoy cansado amenos que haya pintado el techo y no haya dormido la siesta. Pero he dormidola siesta, luego si vengo pronto es que no tengo dinero.

b) Si no hay control de nacimientos, entonces la población crece ilimitadamente.Pero si la población crece ilimitadamente, aumentará el ı́ndice de pobreza. Porconsiguiente, si no hay control de nacimientos, aumentará el ı́ndice de pobreza.

c ) No sucede que Luis tome apuntes y no sea aplazado. O se duerme en clases, otoma apuntes. Si se duerme en clase, no atiende. O no madruga, o no atiende enclase. Por tanto, si madruga será aplazado.

d ) Si la impresora no imprime, entonces tiene un problema de software o de hard-ware. Si la impresora no imprime no podemos mandar un fax. Si no podemosmandar un fax, mandamos un mail. Si la impresora tiene cualquier problemallamamos a un técnico. La impresora no imprime, por tanto mandamos un mail

o llamamos a un técnico.e ) Es primavera y es suficiente comerse un helado para calmar la sed. Si no calmas

tu sed entonces no te sientes bien. Te sientes bien si es primavera. Luego si esprimavera calmas tu sed.

 f  ) O vienes en coche o, si tienes tiempo, vienes en tren. No vienes en coche śı ysólo śı no tienes coche o el coche está en el taller. Puedes venir hoy o mañana.Si vienes hoy, tienes tiempo pero el coche está en el taller. Si vienes mañana, elcoche no estará en el taller pero no tendrás tiempo.Por lo tanto, si vienes hoyentonces vienes en tren, y, si vienes mañana y tienes coche, vienes en coche.

9. Analice el siguiente argumento y responda a la pregunta formulada. Justifique muy

bien su respuesta.“En un juicio, el fiscal argumentó:Si el acusado es culpable, entonces teńıa un testigo.”A ello, el abogado defensor respondió inmediatamente:“Eso es totalmente falso.”El acusado decidió despedir a su abogado defensor.¿Tendŕıa sentido la decisión del acusado?

10. Verifique si los siguientes conjuntos de premisas son consistentes o no:

a ) Si tengo mucho que estudiar esta noche, tomaré abundante café. Si me duermopronto, no podré estudiar toda la noche. No sucede que o tomaŕe caf́e o no

podré estudiar toda la noche. Si no tengo mucho que estudiar toda la noche, medormiré pronto.

b) El loco no salió de la casa a menos que haya tomado el autobús. Sólo se fuehacia el ŕıo si vio a la polićıa en la plaza. O fue hacia el ŕıo o salió de la casa. Eldemente no fue a tomar el autobús y no vio a la polićıa.

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c ) Sólo estudias cuando tienes examen al d́ıa siguiente. No es verdad que estudiasy sales bien en el examen. Saldrás bien en el examen sólo si dominas la materia.Si mañana no tienes examen, dominas la materia.

d ) Si Maŕıa es la mayor, entonces José es más joven que Susana. Maŕıa es la mayory Carmen no es mayor que Susana. No ocurre que Susana es la mayor o Carmen

es mayor que Susana.e ) Si Pedro mide metro setenta, entonces no ocurre que Esteban es m ás alto que

Pedro y que Marcos es más alto que Pedro. Pedro mide metro setenta y Marcosno es más alto que Lucas. Si Marcos no es más alto que Pedro, entonces Marcoses tan alto como Lucas. Además, Esteban es más alto que Pedro.

11. Demuestre la validez o la invalidez de los siguientes razonamientos

¬l ∨ ¬e

m → ¬l

∴ e → ¬m

m

c ∧ m → ¬b

b∴ ¬c

c → ¬m

¬c → ¬ p

¬ p → e

b → m

∴ ¬b ∨ e

 p ∨ s → v

v  → c ∨ q 

q  → r

¬c ∧ ¬r

∴ ¬s

¬ p ∨ q  → r

¬s ∧ ¬u

¬t ∧ ¬s → ¬r

¬u → ¬t

∴ p

¬r → ¬q 

 p ↔ q 

¬s ∨ r

¬s → q 

∴ s

¬q ∨ ¬s

 p → q ∨ ¬r

 p → r∴ s

 p ∨ s

¬q  → ¬t

 p → (q  → r)

¬s∴ ¬r → ¬t

 p ∧ q 

r → s ∨ t

 p → q ∧ r

¬s∴ t

¬r

¬ p ∨ r

 p ∨ q 

∴ q 

¬t

r → t

¬ p ∨ ¬q  → r ∧ s

∴ p

a + b = 4 → a = 2(a = 2 ∧ c = 8) → a + c  = 10a = 2 ∨ c = 8

∴ a + b = 4 ∧ a + c = 10

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