Universidad Catlica Argentina Facultad de Cs. Fsicomatemticas e Ingeniera

Trabajos Prcticos de ClculoAvanzadoSegundo Cuatrimestre de 2011Ms informacin en http://www.lirweb.com.arUniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraCalculoAvanzadoSegundoCuatrimestrede2011Pr actica01. Seanu, vvectoresdeR2talesque 3u 4v = (2, 1) y u + 3v = (1, 1) .Hallar uy v .2. Seanu, vvectoresdeR3talesque 2u 3v = (1, 2, 1) y 2u +v = (1, 1, 1) .Hallar uy v .3. Demuestre que el triangulo convertices P(2, 4, 0) , Q(1, 2, 1) y R(1, 1, 2) es untrianguloequilatero.4. Cualdelassiguientesexpresionestienesentido?Cualessonlasquenotienensentido?Explique.a) (a b) cb) (a b)cc) |a|(b c)d) a (b +c)e) a b +cf) |a| (b +c)5. Calcular a benlossiguientescasos.a) a = (3, 1, 2) , b = (1, 1, 1) .b) a = i 2j + 3k, b = 5i + 9k .c) a = 4j 3k, b = 2i + 4j + 6k .6. Encuentreelanguloentrelosvectores.(Primeroencuentreunaexpresionexactayluegoaproximealgradomascercano).a) a = (3, 1) , b = (2, 4)b) a = 2i j +k, b = 3i + 2j k7. Paraquevaloresde b sonortogonaleslosvectores (6, b, 2) y (b, b2, b) ?8. Encuentrelaproyeccionescalaryelvectordeproyeccionde bsobre aa) a = (2, 3) , b = (4, 1)b) a = i +k, b = i j9. Encuentreelproductovectorial a ba) a = (1, 1, 0) , b = (3, 2, 1)b) a = 2i +j k, b = j + 2kc) a = 3i + 2j + 4k, b = i 2j 3k10. Encuentreunvectorortogonalalplanoquepasaporlospuntos P(2, 0, 3) , Q(3, 1, 0) y R(5, 2, 2)yencuentreelareadeltriangulo PQR.UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera11. Encuentreelvolumendelparaleleppedoconaristasadyacentes PQ, PRy PS ,siendoP(1, 1, 1) , Q(2, 0, 3) , R(4, 1, 7) , S(3, 1, 2)12. Supongaque a = 0 .a) Si a b = 0 ,resultaque ao b = 0 ?b) Si a b = a c ,resultaque b = c ?c) Si a b = 0 ,resultaque ao b = 0 ?d) Si a b = a c ,resultaque b = c ?e) Si a b = a c y a b = a c ,resulta b = c ?13. HallarunaecuacioncartesianadelarectaL : X= t(1, 2) + (1, 1) .14. HallarunaecuacioncartesianadelarectaL : X= t(1, 1, 2) + (1, 0, 1) .Cuantasecuacionesenx , y senecesitanparadenirunarectaenR2?C uantasecuacionesenx ,y , z senecesitanparadenirunarectaenR3?15. Encuentre una ecuacion vectorial y ecuaciones cartesianas para la recta que pasa por el punto(1, 0, 3)yesparalelaalvector 2i 4j + 5k .16. Encuentreecuaciones parametricas yecuaciones cartesianas paralarectaquepasapor los puntos(1, 0, 5) y (4, 3, 3) .17. Demuestrequelarectaquepasaporlospuntos (2, 1, 5) y(8, 8, 7) esparalelaalarectaquepasaporlospuntos (4, 2, 6) y (8, 8, 2) .18. a) Encuentre ecuaciones parametricas para la recta que pasa por (5, 1, 0) y es perpendicular al plano2x y +z= 1 .b) Enquepuntoscortalarectaalosplanosdelascoordenadas?19. Encuentrelaecuaciondelplanoquea) pasaporelpunto (2, 8, 10) yesperpendicularalarecta x = 1 +t , y= 2t y z= 4 3t .b) quecontienealarecta x = 3 + 2t , y= t , z= 8 t yesparaleloalplano 2x + 4y + 8z= 17 .c) pasaporelpunto (1, 1, 1) ycontienealarectaconecuaciones x = 2y= 3z .SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica0 p agina3UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraCalculoAvanzadoSegundoCuatrimestrede2011Pr actica11. Escribadesigualdadesparadescribirlacajarectangularsolidaqueseencuentraenelprimeroctanteacotadoporlosplanos x = 1 , y= 2 y z= 3 .2. DescribaytracelasupercieenR3representadaporlaecuacion x + y= 2 .3. a) Querepresentalaecuacionx = 4 enR2?QuerepresentaenR3?Ilustrecondibujos.b) Querepresentalaecuacion y=3 enR3?Querepresenta z=5 ?Querepresentael pardeecuaciones y= 3 y z= 5 ?Enotraspalabras,describaelconjuntodepuntos (x, y, z) talesque y= 3 y z= 5 .Ilustrecondibujos.4. Localiceelverticeyelfoco,deduzcalaecuaciondeladirectrizdelaparabolaytracesugraca.a) 4x2= yb) (x + 2)2= 8(y 3)5. Deduzcalaecuaciondelaconicaquesatisfagalascondicionesdadas.a) Parabola,verticeen(0, 0) ,foco (0, 2)b) Elipse,focos (3, 1) ,verticesen(3, 3)c) Hiperbola,focos (0, 3) ,vertices (0, 1)d) Hiperbola,focos (1, 3) y (7, 3) ,vertices (2, 3) y (6, 3)6. Encuentrelaecuaciondelaesferaquepasaporelorigenycuyocentroestaen(1, 2, 3) .7. Demuestrequelaecuacionx2+ y2+ z2+ 2x + 8y 4z= 28representaunaesferayencuentresucentroyradio.8. Demuestrequelaecuacionx2+ y2+ z2= 4x 2yrepresentaunaesferayencuentresucentroyradio.9. Encuentre la ecuacion de una esfera si uno de sus diametros tiene puntos extremos (2, 1, 4) y(4, 3, 10) .10. Encuentrelastrazasdelasuperciedadaenlosplanos x = k , y= k , z= k .Luego,identiquelasupercieytracela.a) x2y2+ z2= 1b) 4y= x2+ z2c) 4x2+ 9y2+ 36z2= 36d) z= x2y2e) 4z2x2y2= 1UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraf) 25y2+ z2= 100 + 4x2g) y2= x2+ z2h) 9x2y2z2= 9i) x2+ 4z2y= 0j) x2+ 4y2+ z2= 4k) y= z2x2l) 16x2= y2+ 4z211. DescribaverbalmentelaregiondeR3representadaporlaecuacionodesigualdada) |z| 2b) 1 x2+ y2+ z2 25c) x2+ z2 912. GracarenR3lossubconjuntosdenidosporlasecuacionesa) y= x2.b) z= x3.c) x + y= 4 .d) z= sen x .e) x + 2y + z= 4 .13. Tracelaregionlimitadaporlasupercie z=x2+ y2y x2+ y2= 1 para 1 z 2 .14. Tracelaregionlimitadaporlosparaboloides z= x2+ y2y z= 2 x2y2.15. Describamediantedesigualdadesygraquelossiguientesconjuntosa) B1(1, 2) (labolaabiertaenR2decentro (1, 2) yradio 1 ).b) B2(1, 0) (labolaabiertareducidaopunteadaenR2decentro (1, 0) yradio 2 ).c) Labolaabiertadecentro (1, 1, 0) yradio 1 .d) B ((0, 0, 0)) .SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica1 p agina5UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraCalculoAvanzadoSegundoCuatrimestrede2011Pr actica21. Halleellmite.a) lmt0+(cos t, sen t, t ln t)b) lmt0(et1t,1 + t 1t,31 + t)c) lmt1t + 3i +t 1t21j +tg ttkd) lmteti +t 1t + 1j + arc tg t k2. Tracelacurvaconlaecuacionvectorialdada.Indiqueconunaechaladireccionenlaqueaumentat .a) r(t) = (t4+ 1, t)b) r(t) = (t3, t2)c) r(t) = (t, t, 2t)d) r(t) = (sen t, t, cos t)e) r(t) = (sen t, 3, cos t)f) r(t) = t i + t j + cos t k3. Demuestrequelacurvaconecuacionesparametricas x = t cos t , y= t sen t , z= t seencuentraenelcono z2= x2+ y2yutiliceestedatoparaayudaratrazarlacurva.4. Demuestrequelacurvaconecuacionesparametricas x=sen t , y=cos t , z=sen2t eslacurvaintersecciondelassupercies z=x2y x2+ y2=1 .Utiliceestedatoparafacilitareltrazadodelacurva.5. Demuestrequelacurvaconecuacionesparametricas x=t2, y=1 3t , z=1 + t3pasaporlospuntos (1, 4, 0) y (9, 8, 28) peronoporelpunto (4, 7, 6) .6. Trate de trazar a mano la curva de interseccion del cilindro parabolicoy= x2y la mitad superior delelipsoide x2+ 4y2+ 4z2= 16 .Encuentreecuacionesparametricasparaestacurva.7. a) Hagaunagracadelacurvadescriptaporlafuncionvectorial r(t) = (t2, t) , 0 t 2 ytracelosvectores r(1) , r(1.1) y r(1.1) r(1) .b) Traceelvector r

(1) comenzandoen(1, 1) ycompareconelvectorr(1.1) r(1)0.1Expliqueporqueestosvectorestienenvaloresdelongitudydirecciontancercanosentres.8. Encadaunodelassituacionessiguientes, Tracelacurvaplanaconlaecuacionvectorialdada. Halle r

(t) . Traceelvectorposicionr(t) yelvectortangente r

(t) paraelvalorde t dado.UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraa) r(t) = (cos t, sen t) , t =4b) r(t) = (t3, t2) , t = 1c) r(t) = (1 + t)i + t2j , t = 1d) r(t) = 2 sen t i + 3 cos t j , t =3e) r(t) = eti + e2tj , t = 0f) r(t) = sec t i + tan t j , t =49. Encuentreladerivadadelafuncionvectorial.a) r(t) = (cos 3t, t, sen 3t)b) r(t) = sen1t i +1 t2j +kc) r(t) = etcos t i + etsen t j + ln |t| kd) r(t) = a + tb + t2ce) r(t) = ta (b + tc)10. Halleelvectortangenteunitario T(t) enelpuntocorrespondientealvalordadodelparametro t .a) r(t) = (t, t t2, tan1t) , t = 1b) r(t) = e2tcos t i + e2tsen t j + e2tk , t =2c) r(t) = (e2t, e2t, te2t) , encuentre T(0) , r

(0) y r

(t) r

(t) .11. Enquepuntoseintersecanlascurvas r1(t) = (t, 1 t, 3 +t2) yr2(s) = (3 s, s 2, s2) ?Halleseelangulodeinterseccion,aproximandoalgradomascercano.12. Demuestrequesi r esunafuncionvectorialtalque r

existe,entoncesddt[r(t) r

(t)] = r(t) r

(t)13. Si r(t) = 0 ,demuestrequeddt|r(t)| =1|r(t)|r(t) r

(t)[Sugerencia:|r(t)|2= r(t) r(t) ]14. Si unacurvatienelapropiedaddequeel vectordeposicion r(t) essiempreperpendicularal vectortangente r

(t) ,demuestrequelacurvaseencuentrasobreunaesferaconcentroenelorigen.15. Si u(t) = r(t) [r

(t) r

(t)] ,demuestrequeu

(t) = r(t) [r

(t) r

(t)]16. Encuentrelavelocidad, laaceleracionyrapidezdeunapartculaconlafunciondeposiciondada.Tracelatrayectoriadelapartculaytracelosvectoresvelocidadyaceleracionparaelvalordadodet .a) r(t) = (t, 1 t) , t = 1b) r(t) = sen t i + t j + cos t k, t = 0SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica2 p agina7UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera17. Encuentrelavelocidad,aceleracionyrapidezdeunapartculaconlafunciondeposiciondada.a) r(t) = (t, t2, t3)b) r(t) = (2 cos t, 3t, 2 sen t)c) r(t) = t2i + ln t j + t kd) r(t) = t sen t i + t cos t j + t2k18. Encuentre los vectores de velocidad y posicion de una partcula que tiene la aceleracion y la velocidadyposicioninicialesdadaspora(t) = 10k , v(0) = i +j k , r(0) = 2i + 3j19. Quefuerzaes necesariaparaqueunapartculademasa mtengalafunciondeposicion r(t) =t3i + t2j + t3k ?SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica2 p agina8UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraCalculoAvanzadoSegundoCuatrimestrede2011Pr actica31. Encuentreytraceeldominiodelafuncion.a) f(x, y) =x +y b) f(x, y) =x 3yx + 3yc) f(x, y) =y xln(y +x) d) f(x, y) = xy_x2+ye) f(x, y) =x_x2+y21f) f(x, y) =_xx2+21g) f(x, y) =_x2+y21 + ln(4 x2y2) h) f(x, y, z) = ln(16 4x24y2z2)i) f(x, y) =_ln(x2y2), sen(x2+y2)_j) f(x, y) =_1x2+y2,1x2y2_2. a) Determinarsilossiguientesconjuntossonabiertos(i) A =_(x, y) R2: x +y< 3_.(ii) B=_(x, y) R2: |x| > 2_.(iii) C=_(x, y) R2: x +y> 2 , x 0 , y 0_.(iv) D =_(x, y) R2: x2+y2< 4_.(v) E=_(x, y, z) R3: x2+y2 4_.(vi) F=_(x, y, z) R3: x2+y2< 4, z= 0_.b) Determinelafronteradecadaunodelosconjuntosdelincisoanterior.c) Elpunto (0, 0) ,esunpuntodeacumulaciondelconjunto A?Ydelconjunto B ?Elpunto (1,3) ,esunpuntodeacumulaciondelconjunto D?Ydelconjunto E ?3. Traceunmapadecontornodelafuncion,mostrandocurvasdenivela) f(x, y) = xyb) f(x, y) = x2y2c) f(x, y) =x +yd) f(x, y) = y cos xe) f(x, y) = e1/(x2+y2)4. Describalassuperciesdeniveldelafuncion.a) f(x, y, z) = x + 3y + 5zb) f(x, y, z) = x2y25. Sea f :A R2R,denidapor f(x, y) =_ln(x2+y21) si(x, y) A{(0, 0)},0 si(x, y) = (0, 0).a) Determine A(eldominiode f ).b) Elconjunto A,esabierto?Cu alessufrontera?c) Elpunto (0, 0) ,esunpuntodeacumulacionde A?d) Cualeslacurvadenivel 0 de f ?Ycualladenivel 1 ?UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera6. Justiquelassiguientesarmacionesa) lm(x,y)(0,0)x = 0 b) lm(x,y)(0,1)y= 17. Expliqueporquenoesposiblecalcularellmite lm(x,y)(0,0)f(x, y) conf delafunciondelejercicio5.8. Determinaryprobarsiexisteonoellmite.a) lm(x,y)(5,2)(x5+ 4x3y 5xy2) b) lm(x,y)(6,3)xy cos(x 2y)c) lm(x,y)(0,1)x2x2+ (y 1)2d) lm(x,y)(0,0)(x +y)2x2+y2e) lm(x,y)(0,0)8x2y2x4+y4f) lm(x,y)(0,0)x3+xy2x2+y2g) lm(x,y)(2,0)(x + 2)y_(x + 2)2+y2h) lm(x,y)(0,0)xy + 1x2+y2+ 1i) lm(x,y)(0,0)x2+y2_x2+y2+ 1 1j) lm(x,y)(2,0)xy 2yx2+y24x + 4k) lm(x,y,z)(0,0,0)xy +yz2+xz2x2+y2+z4l) lm(x,y)(0,0,0)xy +yz +zxx2+y2+z2m) lm(x,y)(0,0)_(x y)2(x +y)2,x2_x2+y2_n) lm(x,y)(0,0)x2yx4+y2 n) lm(x,y,z)(1,0,2)_(x 1)2_(x 1)2+ (z 2)2,(z 2)y_(x 1)2+y2_o) lm(x,y)(1,2)(x 1)7x +y 39. Determineelmayorconjuntoenelquelafuncionescontinua.a) F(x, y) =1x2yb) F(x, y) = arc tg(x +y)c) G(x, y) =x +y x y d) G(x, y) = sen1(x2+y2)e) f(x, y, z) =xyzx2+y2zf) f(x, y) =___x2y32x2+y2si(x, y) = (0, 0)1 si(x, y) = (0, 0)10. Sea f : R2Rdenidaporf(x, y) =___(x 1)y_(x 1)2+y2+x si(x, y) = (1, 0) ,2si(x, y) = (1, 0) .Determinartodoslosvaloresde Rparaloscuales f escontinuaen(1, 0) .SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica3 p agina10UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraCalculoAvanzadoSegundoCuatrimestrede2011Pr actica41. Utiliceladeniciondederivadasparcialescomolmitesparahallar fx(x0, y0) y fy(x0, y0)a) f(x, y) = x2xy + 2y2, con(x0, y0) = (0, 1) .b) f(x, y) =3x y , con(x0, y0) = (1, 2) .2. Dadaslassiguientesfunciones,determinarsiesposiblecalcularlasderivadasparcialesenlospuntosindicados usando la regla practica o si deben calcularse por denicion. Calcular las derivadas parciales.a) f(x, y) = xy , en(1, 2) .b) f(x, y) = x32xy , en(2, 1) .c) f(x, y) =x3x2+ y2si(x, y) = (0, 0),0 si(x, y) = (0, 0);, en(1, 0) yen(0, 0) .d) f(x, y) = |(x 1)y| en(0, 0) ,y (1, 1) .3. Encuentretodaslasprimerasderivadasparcialesysusrespectivosdominios.a) f(x, y) = 3x 2y4b) z= xe3yc) f(x, y) =x yx + yd) f(s, t) =st2s2+ t2e) f(x, y) =

xycos(t2)dt f) f(x, y) = ln(x y)g) f(x, y, z) = xy2z3+ 3yz4. Halletodaslassegundasderivadasparciales.a) f(x, y) = x43x2y3b) f(x, y) = ln(3x + 5y)c) z=xx + yd) z= y tg 2xe) u = essen t f) v=

x + y25. Verique que la funcion u = e2k2tsen kx es una solucion de la ecuacion de conduccion del calorut= 2uxx .6. Sea f : R2Rlafuncionf(x, y) =y4x y2six = y2,0 six = y2.a) Calcular,siexisten,lasderivadasparcialesde f en(0, 0) .b) Es f continuaenelorigen?7. Decidir,aplicandoladenicion,silassiguientesfuncionessondiferenciablesenlospuntosindicados.a) f(x, y) = 3x 2y en(1, 0) .b) f(x, y) = x2y en(1, 2) .UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenierac) f(x, y) =xy

x2+ y2si(x, y) = (0, 0)0 si(x, y) = (0, 0)en(0, 0)d) f(x, y) = |xy| en(0, 0) y (1, 0) .8. Expliqueporquelafuncionesdiferenciableenel puntodado. Entoncesencuentreladiferencial ylalinealizacionL(x, y) delafuncionenesepunto.a) f(x, y) = xy,(1, 4) b) f(x, y) = y ln x,(2, 1)c) f(x, y) = excos xy,(0, 0) d) f(x, y) =xy,(6, 3)e) f(x, y) = arc tg(x + 2y),(1, 0) f) f(x, y) =

1 + x2y2,(0, 2)9. Encuentrelaecuaciondelplanotangentealasuperciedadaenelpuntoespecicado.a) z= y2x2, (4, 5, 9)b) z=

4 x22y2, (1, 1, 1)c) z= ln(2x + y) , (1, 3, 0)10. Encuentrelaaproximacionlineal delafuncion f(x, y)=

20 x27y2en (2, 1) yutilcelaparaaproximar f(1,95, 1,08) .11. Encuentrelaaproximacionlinealdelafuncion f(x, y, z) =

x2+ y2+ z2en(3, 2, 6) yutilcelaparaaproximareln umero

(3,02)2+ (1,97)2+ (5,99)2.12. Lalongitudyanchodeunrectanguloson30 cmy 24 cm,respectivamente,conunmargendeerrorenlamedicionde 0,1 cmencadadimension.Utilicediferencialesparaestimarelmaximoerrorenelareacalculadadelrectangulo.13. Lasdimensionesdeunacajarectangularcerradason 80 cm, 60 cmy 50 cm,respectivamente,conunposibleerrorde 0,2 cmencadadimension. Utilicediferencialesparaestimarel maximoerroralcalcularelareadelasuperciedelacaja.14. Si Reslaresistenciatotaldetresresistores,conectadosenparalelo,conresistencias R1, R2 , R3 ,entonces1R=1R1+1R2+1R3Silasmedidasdelasresistencias,enohms,sonR1= 25 , R2= 40 y R3= 50 ,conunposibleerrordel 0,5 %encadacaso,estimeelmaximoerrorenelvalorcalculadode R.15. Paracadaunadelas siguientes funciones diferenciables, calcular lamatrizdeladiferencial enlospuntosindicados:a) f(x, y) = (2x 3y + 5, x + y) en(1, 2) .b) f(x, y) = (x23y4, ln(y + 2), xy) en(2, 1) .c) f(x, y, z) = 2xy z en(1, 2, 3) .d) f(t) = (t, sen(2t), e2) ent = 1 .16. Paracadaunadelassiguientesfuncionesdiferenciables,calcularlamatrizjacobiana:a) f(x, y) = (x, y) b) f(r, ) = (r cos , r sen )c) f(x, y, z) = (x + ez+ y, yx2) d) f(r, , z) = (r cos , r sen , z)e) f(x, y) = (x + y, x y, xy) f) f(r, , ) = (r cos sen , r sen sen , r cos ).SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica4 p agina12UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraCalculoAvanzadoSegundoCuatrimestrede2011Pr actica51. Seanlasfuncionesf(x, y) = (x2y, ex), g(x, y) = 2x23xy,h(x, y) = (3xy y2, xy), k(x, y) = (x2, y2).a) Determinarsiexistenlassiguientescomposiciones:g f, f g, f h, h f, k f, f k, f fb) En los casos en que sea posible, indicar cual es el dominio y cual el codominio de la composicion.2. Seanf(u, v) = (eu2, u2v2) y g(x, y) = (x + 2, x y2) .Calcular D(f g)(0, 1)(a)Directamente(apartirdelacomposicion) (b)Aplicandolaregladelacadena.3. Hallelamatrizdeladiferencialde f genelpuntoindicado.a) f(x, y) = x2y + xy2, g(t) = (2 + t4, 1 t3) , ent = 1 .b) f(x, y) = sen xcos y , g(t) = (t,t) , ent = 1 .c) f(x, y, z) = xey/z, g(t) = (t2, 1 t, 1 + 2t) , ent = 1 .d) f(x, y) = x2+ xy + y2, g(s, t) = (s + t, st) , en(s, t) = (1, 2) .e) f(x, y) = arc tg(2x + y) , g(s, t) = (s2t, s ln t) , en(2, 1) .f) f(r, ) = ercos , g(s, t) = (st,s2+ t2) , en(0, /4) .4. a) Seanf(x, y, z) = x2+ y2+ z2y g(s, t) = (st, s cos t, s sen t) . Calcularf gs(1, 0) .b) Seanz= y2tg x, x = t2uv , y= u + tv2yw(u, v, t) = z (x(u, v, t), y(u, v, t)) . Calcularwu,wtcuando t = 2 , u = 1 , v= 0 .c) Seanu =x + yy + z, x = p + r + t , y= p r + t , z= p + r t yw(p, r, t) = u(x(p, r, t), y(p, r, t), z(p, r, t)) . Calcularwr (1, 1, 2) .5. Si f y g sonfuncionesdeunasolavariabledosvecesderivables,demuestrequelafuncionu(x, t) = f(x + at) + g(x at)essoluciondelaecuaciondelaonda utt= a2uxx .6. Latemperaturaenunpunto (x, y) es T(x, y) , medidaengradosCelsius. Uninsectosearrastrademodoquesuposiciondespuesde t segundosestadadapor x =1 + t , y= 2 +13t ,donde xey semidenencentmetros. Lafunciondetemperaturasatisface Tx(2, 3)=4 y Ty(2, 3)=3 . Conquerapidezestasubiendolatemperaturaenlatrayectoriadelinsectodespuesde3segundos?UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera7. Lalongitud,elancho wylaaltura hdeunacajacambianconeltiempo.Enciertoinstante,lasdimensionesson =1 my w=h=2 myy w aumentanaunarazonde 2 m/s mientrashestadecreciendoarazonde 3 m/s .Hallelarazondecambiodelassiguientesmagnitudeseneseinstante:a)Elvolumen b)Elareasupercial c)Lalongituddeladiagonal.8. Encuentre la derivada direccional de f en el puntoP dado, en la direccion indicada por el angulo .a) f(x, y) = x2y3+ 2x4y , P(1, 2) , =3b) f(x, y) = sen(x + 2y) , P(4, 2) , =34c) f(x, y) =5x 4y , P(4, 1) , = 6d) f(x, y) =x2y 1si y = 1 , f(x, 1) = 0 , P(0, 1) , =4y = .e) f(x, y) = xe2y, P(5, 0) , =29. Encadacaso,(i) Encuentreelgradientede f .(ii) Eval ueelgradienteenelpunto P.(iii) Encuentrelarazondecambiode f enP,enladirecciondelvector u.a) f(x, y) = 5xy24x3y , P(1, 2) , u = (513,1213)b) f(x, y, z) = xy2z3, P(1, 2, 1) , u = (13, 13,13)10. Halleladerivadadelafuncionenelpuntodadoenladirecciondelvector v .a) f(x, y) = 1 + 2xy , (3, 4) , v = (4, 3)b) g(s, t) = s2et, (2, 0) , v = i +jc) f(x, y, z) =

x2+ y2+ z2, (1, 2, 2) , v = (6, 6, 3)d) g(x, y, z) = xarc tg(y/z) , (1, 2, 2) , v = i +j k11. Encuentrelamaximarazondecambiode f enelpuntodadoyladireccionenlaque estaseverica.a) f(x, y) = xey, (1, 0)b) f(x, y) = sen(xy) , (1, 0)c) f(x, y, z) = x +yz, (4, 3, 1)12. a) Demuestrequeunafunciondiferenciable f decrecemasrapidamenteen x , enladirecciondef(x) .b) Utilice el resultado de la parte a) par hallar la direccion en la que la funcionf(x, y) = x4y x2y3decrececonmayorrapidez,enelpunto (2, 3) .SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica5 p agina14UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera13. Encuentrelasdireccionesenlasqueladerivadadireccional de f(x, y)=x2+ sen xy enel punto(1, 0) tienevalor 1 .14. Supongaque,enciertaregiondelespacio,elpotencialelectrico V estadadoporV (x, y, z) = 5x23xy + xyza) Encuentre la razon de cambio del potencial en P(3, 4, 5) , en la direccion del vectorv = i +j k .b) Enquedireccioncambia V masrapidamenteenP?c) CualeslamayorrazondecambioenP?15. Sea f unafunciondedos variables quetienederivadas parciales continuas yconsiderelos puntosA(1, 3) , B(3, 3) , C(1, 7) yD(6, 15) .Laderivadadireccionalde f enAenladirecciondelvector

ABes3y la derivada direccional enAen la direccion de

ACes26 . Encuentre la derivada direccionalde f enAenladirecciondelvector

AD .16. Seanv = (2, 0) , w = (0, 3) y f : R2Rdiferenciabletalquef(1, 2) = 3,fv(1, 2) = 4,fw(1, 2) = 9.a) Halle f(1, 2) .b) Si f(1, 2) = 3 ,halleunaecuaciondelplanotangentealgracode f en(1, 2) .c) Halleladerivadadireccionalde f enelpunto (1, 2) enladireccionde u = (3, 4) .17. Seanv = (2/2 ,2/2) , w = (2/2 ,2/2) y f : R2Rdiferenciabletalquefv(1, 2) = 4,fw(1, 2) = 2.a) Halleladireccionenlacual f decrecemasrapidamente.b) Sabiendoque f(1, 2) = 3 ,calculeenformaaproximada f(1.01, 1.95) .18. Seaf : R2Runa funcion diferenciable tal que el plano tangente al graco def en(2, 1, f(2, 1))es 4x 10y + 2z=8 . Sea g(u, v, w)=(u2+ 3v + w2, 3uv w2) . Hallarladerivadadireccionalmaximade f g en(1, 1, 2) ,enquedireccionsealcanza?19. Unafuncionf : R2Rtalquefv(x0) = a3+ b paratodovectorunitario v = (a, b) nopuedeserdiferenciableenx0 .Expliqueporque.20. Hallelasecuacionesde(i) elplanotangente(ii)larectanormalalasuperciedadaenelpuntoespecicadoa) x2+ 2y2+ 3z2= 21 , (4, 1, 1)b) x2+ y2z22xy + 4xz= 4 , (1, 0, 1)c) z + 1 = xeycos z , (1, 0, 0)SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica5 p agina15UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera21. SeaF : R3Rde clase C1tal que F(4, 3, 1) = 0y F(4, 3, 1) = (2, 0, 3) . Halle una ecuaciondelplanotangentealasuperciedenidaporlaecuacionF(3x 2y2z, x y + 2z, exyz) = 0en el punto(0, 1, 2) . Halle tambien una ecuacion de la recta normal a la supercie en el mismo punto.22. Sea F : R3RunafuncionC1talque F(4, 3, 2) = 3 y F(4, 3, 2) = (2, 1, 1) .Sea f : R2Rdiferenciable. Calculemedianteunaaproximacionlineal conveniente f(1.03, 0.97) sabiendoqueelplanotangenteal gracode f en (1, 1, 1) esigual al planotangentealasuperciedenidaporF(x22xy + z2, x3+ 3y z2, z xy) = 3 enelmismopunto.SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica5 p agina16UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraC alculoAvanzadoPrimerCuatrimestrede2011Pr actica61. Eval uelaintegraldobleidentic andolaprimerocomoelvolumendeuns olido.a)

R3dA , R = {(x, y) | 2 x 2, 1 y 6}b)

R(4 2y)dxdy , R = [0, 1] [0, 1]2. Calculelaintegraliteradaa)

31

10(1 + 4xy)dx

dy b)

/20

/20sen xcos ydy

dxc)

30

10x + ydx

dy d)

41

21

xy+yx

dy

dx3. Calculelaintegraldoblea)

R(6x2y35y4)dA , R = {(x, y) |0 x 3, 0 y 1}b)

Rxy2x2+ 1dA , R = {(x, y) |0 x 1,3 y 3}c)

R1x + ydA , R = [1, 2] [0, 1]4. Halle el volumen del s olido que se euncuentra bajo gr aco de la funcionf(x, y) = 1x24 y29y arribadelcuadrado R = [1, 1] [2, 2] .5. Halleel volumendel s olidolimitadoporlasuperce z=x

x2+ y ylosplanos x=0 , x=1 ,y= 0 , y= 1 y z= 0 .6. Calculelamasa, el centrodemasaylosmomentosdeinerciarespectoalosejescoordenadosdelassiguientesgurassabiendoquelafunci ondensidadesconstante.11335577911113371111337911UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera7. Halleel volumendel s olidoqueseencuentraenel primeroctante, denidoporporlasinecuacionesz 9 y2, x 2 .8. Eval uelaintegraliteradaygraquelaregi ondeintegraci ona)

10

x20(x + 2y)dy

dx b)

10

eyyxdx

dy c)

/20

cos 0esen dr

d9. Eval uelaintegraldoblea)

Dx3y2dA , D = {(x, y) |0 x 2, x y x}b)

D2yx2+ 1dA , D = {(x, y) |0 x 1, 0 y x}c)

Dxcos ydA , Dest alimitadapor y= 0 , y= x2, x = 1d)

Dy3dA , Deslaregi ontriangularconvertices (0, 2) , (1, 1) y (3, 2)10. Tracelaregi ondeintegraci onycambieelordendeintegraci ona)

10

x0f(x, y)dy

dx b)

21

ln x0f(x, y)dy

dx c)

40

2y/2f(x, y)dx

dy11. Al evaluarunaintegral doblesobreunaregi on Dseobtuvounasumadeintegralesiteradascomossigue:

Df(x, y)dA =

10

2y0f(x, y)dx

dy +

31

3y0f(x, y)dx

dyTracelaregi on Dyexpreselaintegral doblecomounaintegral iteradaconel ordendeintegraci oninvertido.12. Eval uelaintegralinvirtiendoelordendeintegraci ona)

10

33yex2dx

dy b)

30

9y2y cos(x2)dx

dyc)

10

/2arc sen ycos x

1 + cos2xdx

dy13. Eval ue la integral

E(x2+ yz)dV, dondeE= {(x, y, z) | 0 x 2 , 3 y 0 , 1 z 1} .14. Eval uelaintegraltriplea)

E2xdV,donde E= {(x, y, z) | 0 y 2, 0 x

4 y2, 0 z y} .b)

E6xydV, donde Eest abajoel plano z=1 + x + y yarribadelaregi ondel plano xylimitadaporlascurvas y=x, y= 0 y x = 1 .c)

ExydV, dondeEes el tetraedro s olido con vertices (0, 0, 0) , (1, 0, 0) , (0, 2, 0) y(0, 0, 3)d)

EzdV,donde Eesels olidodelprimeroctantedenidopor y + z 1 y x + z 1 .PrimerCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica6 p agina18UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenierae)

ExdV,donde Eest adenidoporelparaboloide 4y2+ 4z2 x 4 .15. Calculeelvolumendels olidodadoa) Eltetraedrolimitadoporlosplanosdecoordenadasyelplano 2x + 3y + 6z= 12 .b) Els olidodenidopor 4x2+ z2 4, 0 y z + 2 .c) Els olidodenidopor y2 x, x + z 1, z 0 .16. Unacargaelectrica est adistribuidasobre el rect angulo 0 x 2 , 1 y2 de modoqueladensidaddecargaen (x, y) es (x, y) =x2+ 3y2(medidaencoulombs por metrocuadrado).Encuentrelacargatotalsobreelrect angulo.17. Hallelamasaycentrodemasadels olidodado Econfunciondedensidad .a) Eesels olido 0 y x, 0 x 1, 0 z 3 y (x, y, z) = 2b) Eeselcubodadopor 0 x a , 0 y a , 0 z a y (x, y, z) = x2+ y2+ z2.18. Gracarlassiguientesregionesydescribirlasencoordenadaspolares:a) D = {(x, y) R2: x2+ y2 3}b) D = {(x, y)enelprimercuadrante : x2+ y2 3}c) D = {(x, y) R2: 1 x2+ y2 4}d) D = {(x, y) R2: x2+ y2 4, y x, x y}e) D = {(x, y) R2: 1 x2+ y2 4, x y,3x y}f) D = {(x, y) R2: (x 1)2+ (y 2)2 1} .g) D = {(x, y) R2: x2+ y2 1, x + y 1}19. Calculeelarea,cuandoseaposible,decadaunadelasregionesdelejercicioanterior.20. Calculelaintegraldadaa)

RxdA,donde Reseldiscoconcentroenelorigenyradio 5b)

RxydA, dondeRes la regi on del primer cuadrante que se encuentra entre las circunferenciasx2+ y2= 4 y x2+ y2= 25c)

Dex2y2dA,donde Deslaregi on x2+ y2 4 , x 0 .d)

D(x2+ y2) dA, donde Des laregi onlimitadas por los espirales r = y r =2 para0 2e)

Rx2dA,donde Reslaregi onlimitadaporlaelipse 9x2+ 4y2= 36 .21. Utiliceunaintegraldobleparahallarelareadelaregi ona) Unpetalodelarosa r = cos 3b) Laregi oninterioralalemniscata r2= 4 cos 2 , /4 /4 .PrimerCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica6 p agina19UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera22. Unapiscinatieneformadecrculode 40 piesdedi ametro.Laprofundidad esconstantealolargoderectaseste-oesteyaumentalinealmentedesde 2 piesenel extremosurhasta 7 piesenel extremonorte.Halleelvolumendeaguadeestapiscina.23. Unacargaelectricaest adistribuidadobreeldiscounitario x2+ y2 1 demodoqueladensidaddecargaen (x, y) es (x, y)=1 + x2+ y2(medidaencoulombspormetrocuadrado). Hallelacargatotalsobreeldisco.24. Unalaminaocupalapartedeldisco x2+ y2 1 enleprimercuadrante.Hallesucentrodemasasiladensidadencualquierpuntoesproporcionalasudistanciaaleje x .25. Describirygracarlossiguientesconjuntosencoordenadascilndricas:a) D = {(x, y, z) : x2+ y2 1,2 z 3, x 0}b) D = {(x, y, z) : x2+ y2 z, 0 z 9}c) D = {(x, y, z) : x2+ y2 z2, z 0}d) D = {(x, y, z) : x2+ y2+ z2 5, x, y, z 0}e) D = {(x, y, z) : x2+ y2+ z2 9 ,

x2+ y2 z}26. Calcularelvolumen,siesposible,decadaunadelasregionesdelejercicioanterior.27. Utilicecoordenadascilndricasparaevaluara)

E

x2+ y2dV,donde Eeslaregi onque est adentrodelcilindro x2+y2= 16 yentrelosplanos z= 5 y z= 4b)

EydV,donde Eesels olidoque est aentreloscilindros x2+y2= 1 yx2+y2= 4 , arribadelplano xy ydebajodelplano z= x + 2c)

Ex2dV, donde Eesel s olidoqueest adentrodel cilindro x2+ y2=1 , arribadel planoz= 0 ydebajodedelcono z2= 4x2+ 4y228. Describirygracarlossiguientesconjuntosencoordenadasesfericas.a) V= {(x, y, z) : x2+ y2+ z2 4} .b) V= {(x, y, z) : x2+ y2+ z2 4 , z 0} .c) V= {(x, y, z) : x2+ y2+ z2 4 , y 0} .d) V= {(x, y, z) : x2+ y2+ z2 4 , x y} .e) V= {(x, y, z) : x2+ y2+ z2 9 ,

x2+ y2 z} .29. Calcularelvolumendeloss olidosdelejercicioanterior.30. Utilicecoordenadasesfericasparaevaluara)

B(x2+ y2+ z2)dV,donde Beslaesferaunitaria x2+ y2+ z2 1PrimerCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica6 p agina20UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenierab)

EzdV,donde Eest aentrelasesferas x2+ y2+ z2= 1 y x2+ y2+ z2= 4 enelprimeroctantec)

E

x2+ y2+ z2dV, donde Eest alimitadopordebajoporel cono =6yporarribaporlaesfera = 2d) el volumen del s olido que est a dentro sobre el cono =3y debajo de la esfera = 4 cos 31. Traceels olidocuyovolumenest adadoporlaintegralyeval uelaintegrala)

20

20

4r20rdzdrdb)

/20

/20

102sen ddd32. Calculeelvolumendels olido V dadoa) Debajodelparaboloide z= x2+ y2yarribadeldisco x2+ y2 9 .b) Unaesferaderadio a .c) V denidopor

x2+ y2 z , x2+ y2+ z2 3 .d) V denidopor x2+ y2 4 , 4x2+ 4y2+ z2 64 .33. a) Encuentreelcentroidedeunasemiesferahomogeneas olidaderadio ab) Calculeelvolumenyelcentroidedels olido Equeest aarribadelcono z=

x2+ y2ydebajodelaesfera x2+ y2+ z2= 1 .34. Eval uelassiguientesintegraleshaciendouncambiodevariablesapropiadoa)

R(3x + 4y)dA,donde Reslaregi onlimitadaporlasrectas y= x , y= x 2 , y= 2xe y= 3 2x(Sug: x =13(u + v) , y=13(v 2u) )b)

RxydA,donde Reslaregi ondelprimercuadrantelimitadaporlasrectas y= xe y= 3xylashiperbolas xy= 1 y xy= 3(Sug: x =uv, y= v .)c)

RxydA, donde Res la regi on limitada por las rectas 2xy= 1, 2xy= 3, 3x+y= 1y3x + y= 235. a) Eval ue

EdV, donde E es el s olidointerior al elipsoidex2a2+y2b2+z2c2=1 . Utilice latransformacionx = au, y= bv , z= cwb) La Tierra no es una esfera perfecta; la rotaci onha provocadoque se achateen los polos y por esolaformasepuedeaproximarconunelipsoidecon a=b=6378 kmy c=6356 km.Utilicelapartea)paraestimarelvolumendelaTierra.PrimerCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica6 p agina21UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraCalculoAvanzadoSegundoCuatrimestrede2011Pr actica71. Halleunaparametrizaciondesiguientescurvas.a) LarectadeR2deecuaciony= 5 entrelospuntos (1, 5) y (7, 5) .b) LarectadeR2deecuaciony= 2x + 1 entrelospuntos (1, 1) y (2, 5) .c) Celarcodeparaboladeecuaciony= x2entrelospuntos (1, 1) y (2, 4) .d) Clacircunferenciaderadio2concentroen(2, 1) .e) Claelipsedeecuacionx2a2+y2b2= 1 cona , b > 0 .f) CelsegmentodeR3queune (2, 3, 1) con(3, 2, 1) .g) C R3lainterseccionde y= x2conxy + z= 2 enelprimeroctante.h) Clainterseccionde x2+ y2+ z2= 8 conz=

x2+ y2.i) Claintersecciondelassuperciesdeecuacionz= x y2e y= x2,entrelospuntos (1, 1, 0)y (1, 1, 2) .j) Claintersecciondelassuperciesdeecuacionz= 2y x2, x = y y z 0 entrelospuntos(0, 0, 0) y (1, 1, 1) .2. Calcularlalongituddecadaunadelascurvasdelejercicioanterior.3. Calculelalongituddelacurvaintersecciondelassupercies z=x2 4y2e x + 2y=5 entrelospuntos (1, 2, 15) y (3, 1, 5) .4. Halleunaparametrizacionenelplano xy delacurvadescriptaporlaecuacionpolardada.a) r = 2b) r cos = 1c) r = 3 sen d) r =11 + 2 sen 5. Identiquelasupercieconlaecuacionvectorialdada.a) r(u, v) = ucos vi + usen vj + u2kb) r(x, ) = (x, cos , sen )6. Encuentreunarepresentacionparametricaparalasupercie.a) Elplanoquepasaporelpunto (1, 2, 3) ycontienelosvectores (1, 1, 1) y (1, 1, 1) .b) Lapartedelparaboloideelptico y= 6 3x22z2queseencuentraaladerechadelplano xzUniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenierac) Lapartedelaesfera x2+ y2+ z2= 4 queseencuentraarribadelcono z=

x2+ y2d) Lapartedelplano z= 5 queseencuentradentrodelcilindro x2+ y2= 167. Encuentreunaecuaciondelplanotangentealasupercieparametricadadaenelpuntoespecicado.Sitieneaccesoaalg unsoftwarequetracegracasdesuperciesparametricas,utilicelacomputadoraparatrazarlagracadelasupercie,lascurvascoordenadasyelplanotangente.a) x = u + v , y= 3u2, z= u v , (2, 3, 0)b) r(u, v) = uvi + uevj + veuk, (0, 0, 0)8. Parametrizarlassiguientessuperciesygracarlasa) z= 3, con0 x 1,0 y 1 b) x + z= 2, con 2 y 3, x 0,z 0c) x + y + z= 1, enel1octante d) x2+ y2= 4, cony 0 y 1 z 1e) x2+ y2+ z2= 1, enel1octante f) x2+ y2+ z2= 4, cony 0g) z=

x2+ y2, conz 5 h) z= y2, conx2+ y2 1i) x2+ z2= 3, con 1 y 1 j) x2+ y2+ z2= 4k) z= x2+ y2, conz 5 l) y2+ z2= 1, con 2 x 3m) (x 1)2+ y2+ (z + 1)2= 1 n) z= 5 x2, conz 0, 1 y 19. Calcularelarea,cuandoseaposible,delassuperciesdelejercicio8.10. Calculeelareadelassiguientessupercies:a) S eltrozodecilindro x2+ y2= 4 queverica x y x , 0 z 1 .b) Lapartedelasupercie y= 4x + z2queseencuentraentrelosplanos x = 0 , x = 1 , z= 0 yz= 1 .c) S superciefronteradelcuerpodenidopor x2+ y2 1 , 0 z

x2+ y2.d) Elplano x + 2y + z= 4 queseencuentradentrodelcilindro x2+ y2= 4e) Lapartedelasupercie z=x + y2queseencuentraarribadel trianguloconvertices (0, 0) ,(1, 1) y (0, 1)f) La parte del paraboloide hiperbolicoz= y2x2que se encuentra entre los cilindros x2+y2= 1y x2+ y2= 4g) Lapartedelasupercie y= 4x + z2queseencuentraentrelosplanos x = 0 , x = 1 , z= 0y z= 1h) Lapartedelaesfera x2+ y2+ z2= a2queseencuentradentrodelcilindro x2+ y2= axi) Lassupercieconecuacionesparametricas x = uv , y= u + v , z= u v , u2+ v2 1 .SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica7 p agina23UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraCalculoAvanzadoSegundoCuatrimestrede2011Pr actica81. Eval uelassiguientesintegralesa)

Cyds , C: x = t2, y= t , 0 t 2b)

Cxy4ds , Ceslamitaddelacircunferencia x2+ y2= 16c)

Cxeyzds , Ceselsegmentoderectade (0, 0, 0) a (1, 2, 3)2. Unalambredelgadosedoblaenformadesemicircunferencia x2+ y2=4 , x 0 . Si ladensidadlinealesunaconstante k ,encuentrelamasaycentrodemasadelalambre.3. a) Escribalasformulasequivalentesalasdelaecuacionesx =1m

Cx(x, y)ds y=1m

Cy(x, y)dsparael centrodemasa (x, y, z) deunalambredelgadoconfunciondedensidad (x, y, z) quetienelaformadelacurvaespacial C .b) Encuentreel centrodemasadeunalambreenformadelaheliceparametrizadapor r(t) =(2 sen t , 2 cos t , 3t) , 0 t 2 ,siladensidadencualquierpuntoesigualalcuadradodeladistanciadesdeelorigen.4. Eval uelaintegraldelnea,donde Ceslacurvadada.a)

Cxydx +(x y) dy , Cesta formada por los segmentos de recta de (0, 0) a(2, 0) y de (2, 0)a (3, 2)b)

Cz2dx zdy + 2ydz , C estaformadaporlossegmentosderecta (0, 0, 0) a (0, 1, 1) , de(0, 1, 1) a (1, 2, 3) yde (1, 2, 3) a (1, 2, 4)5. Eval uelaintegraldelnea

CF dr ,donde Cestadadaporlafuncionvectorial r(t) .a) F(x, y) = x2y3i yxj , r(t) = (t2, t3) , 0 t 1b) F(x, y, z) = (sen x , cos y, xz) , r(t) = t3i t2j + tk, 0 t 16. Halle el trabajo realizado por el campo de fuerzaF(x, y) = xi +(y +2)j al mover un objeto a lo largodeunarcodelacicloide r(t) = (t sen t)i + (1 cos t)j , 0 t 2 .7. Calculeel trabajorealizadoporel campodefuerza F(x, y, z)=(xz, yx, zy) sobreunapartculaquesemuevealolargodelacurva r(t) = (t2, t3, t4) , 0 t 1 .8. Determinesi Fesonouncampovectorial conservativo. Si loes, encuentreunafuncion f tal queF = f .UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraa) F(x, y) = (6x + 5y)i + (5x + 4y)jb) F(x, y) = xeyi + yexjc) F(x, y) = (2xcos y y cos x)i + (x2sen y sen x)jd) F(x, y) = (yex+ sen y)i + (ex+ xcos y)j9. Encuentre una funcionf tal que F = f y utilcela para evaluar

CF dr a lo largo de la curvaCa) F(x, y) = x3y4i + x4y3jC: r(t) =ti + (1 + t3)j , 0 t 1b) F(x, y, z) = yi + (x + z)j + ykCeselsegmentoderectade (2, 1, 4) a (8, 3, 1)c) F(x, y, z) = (2xz + sen y)i + xcos yj + x2kC: r(t) = cos ti + sen tj + tk, 0 t 210. Demuestrequelaintegraldelneaesindependientedelatrayectoriayeval uelaintegral

C2xsen ydx + (x2cos y 3y2)dysiendo Ccualquiertrayectoriade (1, 0) a (5, 1) .11. Calculeeltrabajorealizadoporelcampodefuerza Falmoverunobjetode P a Q,siendoF(x, y) = x2y3i + x3y2j P= (0, 0), Q = (2, 1)12. SeanF :A R2R2elcampo F(x, y) =

yx2+ y2,xx2+ y2

.a) Esciertoque Qx= Pyeneldominiode F?b) Calcular

CF ds conCunacircunferenciaderadio Rconcentroenelorigen.c) Elcampo F,esconservativo?Justicar.13. Sea A = R2{(0, 1)} .Darunejemplodeuncampovectorial F:A R2, F C1talque:a) Lamatrizdeladiferencialde Fseasimetricay FnoseaconservativoenA.b) FseaconservativoenA.14. Sea F(x, y) =

xx2+ y2,yx2+ y2

.Halle,siexiste, f talque f= F.Elcampo F,esconserva-tivo?Justicar.15. VericarelteoremadeGreenenlossiguientescasos.a) F(x, y) = (y, x)y la regionD R2denida porD =

(x, y) : x2+ y2 1, y 3x, y x

.b) F(x, y) = (xy, x2y3) , Deseltrianguloconvertices (0, 0) , (1, 0) y (1, 2) .SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica8 p agina25UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera16. Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de lnea a lo largo de la curva dada, positivamenteorientadaa)

Cexdx + 2xeydy , Ceselcuadradodelados x = 0 , x = 1 , y= 0 e y= 1 .b)

C(y + ex)dx + (2x + cos y2)dy , C eslafronteradelaregionlimitadaporlasparabolasy= x2y x = y2.c)

Cxydx + 2x2dy, Cestaformadaporelsegmentoderectade (2, 0) a (2, 0) ylamitadsuperiordelacircunferencia x2+ y2= 4 .d)

CF dr, donde F(x, y) =(y2x2y , xy2) y C es lafronteradel recintodenidoporx2+ y2 2 , 0 x y .17. Calculeel trabajorealizadoporlafuerza F(x, y)=x(x + y)i + xy2j al moverunapartculadesdeel origen, alolargodel eje x hasta (1, 0) , luegoalolargodel segmentoderectahasta (0, 1) ynalmentederegresoalorigen,alolargodeleje y .18. Aplique el teoremade Greenparacalcular el areade laregionacotadapor el eje x ylacurvar(t) = (t sen t , 1 cos t) , 0 t 2 .19. Calculeelareadelaregionlimitadaporlahipocicloideconecuacionvectorial r(t) = cos3ti +sen3tj ,0 t 2 .20. Esposibleutilizarel teoremadeGreenparacalcularlacirculaciondel campodel ejercicio12alolargodelacircunferenciadecentro 0 yradio 1 ?21. Sea F elcampo F(x, y) = (ex2+ cos x + y, y33y 2x)yCla cuerva que une (0, 0) con el (0, 2) como muestra lagura(orientadade (0, 0) a (0, 2) ).Calcular

CF ds .20y2+ 2y= x22. SeaF : R2{P} R2, F= (P, Q) un campoC1tal que QxPy= 6 . SeanC1una circunferenciadecentro P yradio 8 y C2uncuadradodecentro P ylado 6 .Calcular

C+2F ds sabiendoque

C+1F ds = 10 .SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica8 p agina26UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraCalculoAvanzadoSegundoCuatrimestrede2011Pr actica91. Eval uelaintegraldesupercie.a)SyzdS, S eslapartedelplano x + y + z= 1 queseencuentraenelprimeroctante.b)SyzdS, S estadadapor z= y + 3 , x2+ y2 1 .c)S(x2z + y2z)dS, S eslasemiesfera x2+ y2+ z2= 4 , z 0 .d)SyzdS, S eslasuperciedeecuacionesparametricas x=uv , y=u + v , z=u v ,u2+ v2 1 .2. Encuentreelcentrodemasadelasemiesfera x2+ y2+ z2= a2, z 0 ,sitienedensidadconstante.3. Encuentrelamasadeunembudodelgadoenformadecono z=x2+ y2, 1 z 4 ,sisufunciondedensidades (x, y, z) = 10 z .4. Eval uelaintegraldesupercieSF dSparaelcampovectorial FdadoylasupercieorientadaS . En otras palabras, halle el ujo de Fa traves de S . Para supercies cerradas utilice la orientacionpositiva(haciaafuera).a) F(x, y, z) = xyi + yzj + zxkSeslapartedelparaboloide z= 4 x2y2queseencuentraarribadelcuadrado 0 x 1 ,0 y 1 ytienelaorientacionhaciaarribab) F(x, y, z) = xzeyi xzeyj + zkS eslapartedelplano x + y + z= 1 delprimeroctanteytienelaorientacionhaciaabajoc) F(x, y, z) = xi + yj + zkS eslaesfera x2+ y2+ z2= 9 conorientacioninteriord) F(x, y, z) = yj zkS estaformadaporelparaboloide y= x2+ z2, 0 y 1 yeldisco x2+ z2 1 , y= 1e) F(x, y, z) = xi + 2yj + 3zkS eselcubodevertices (1, 1, 1) .5. Un uido uye con velocidadv = yi +j +zk . Encuentre el ujo que atraviesa el paraboloide dirigidohaciaarriba z= 9 x2+ y24, x2+ y2 36 .6. Veriquequesecumpleelteoremadeladivergenciaparaelcampovectorial F,enlaregionE .a) F(x, y, z) = 3xi +xyj + 2xzk, Eescubolimitadoporlosplanos x = 0 , x = 1 , y= 0 ,y= 1 , z= 0 , z= 1 .b) F(x, y, z) = (xy, yz, zx) , Eeselcilindrosolido x2+ y2 1 , 0 z 1 .UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera7. Calculeelujode Fatravesde S .a) F(x, y, z) = 3y2z3i+9x2yz2j4xy2k, Ses la supercie del cubo con vertices (1, 1, 1) .b) F(x, y, z) = (xz, yz, z2) , S eselelipsoidex2a2+y2b2+z2c2= 1 .c) F(x, y, z) = 3xy2i+xezj+z3k, Ses la supercie del solido limitado por el cilindroy2+z2= 1ylosplanos x = 1 y x = 2 .d) F(x, y, z) = x3yi x2y2j x2yzk, S eslasuperciefronteradelsolido x2+ y2z2 1 ylosplanos 2 z 2 .e) F(x, y, z)=(yez2, y2, exy) , S eslasuperciefronteradel solido x2+ y29 ylosplanos3 z 0 .8. Calcularelujode F(x, y, z) = (x + y8,1 + x2lnz, 4z) atravesdeltrozodeesferadeecuacionx2+ y2+ z2= 5 ,conz 1 ,medianteunaconvenienteaplicaciondelteoremadeGauss(Sug:Lasupercieescerrada?Entonces . . . )9. Usando el teorema de Gauss, calcule el ujo de F(x, y, z) = (ey2z2, yz, xy2z) a traves de la superciex2+ y2= 1 , 0 z 4 orientadaseg unelcampodevectoresnormalesqueapuntahaciaeleje z .10. Calculeelujode F(x, y, z) = (y3z, xy, 3 sin(y)) atravesdelasupercie x2+ z2= y , 0 y 9orientadaconelcamponormalqueverica N(0, 0, 0) = (0, 1, 0) .11. Sea F:A R3R3elcampodenidoporF(x, y, z) =(x(x2+ y2+ z2)3/2,y(x2+ y2+ z2)3/2,z(x2+ y2+ z2)3/2).a) Calculeladivergenciade F.b) Calculeelujode Fatravesdelaesfera x2+ y2+ (z 4)2= 1 .c) Calculeelujode Fatravesdelaesfera x2+ y2+ z2= 1 .12. VeriquesecumpleelTeoremadeStokesparaelcampovectorialdado Fylasupercie S .a) F(x, y, z) = 3yi + 4zj 6xkS eslapartedelparaboloide z= 9 x2y2queseencuentraarribadelplano xy ,orientadohaciaarribab) F(x, y, z) = yi + zj + xkS eslapartedel plano x + y + z=1 queseencuentraenel primeroctante, orientadohaciaarriba.13. UtiliceelteoremadeStokesparaevaluarSrotF dS.a) F(x, y, z) = yzi + xzj + xykS eslasupercie z= 9 x2y2, z 5 ,orientadohaciaarribab) F(x, y, z) = x2eyzi + y2exzj + z2exykS eslasemiesfera x2+ y2+ z2= 4 , z 0 orientadahaciaarribac) F(x, y, z) = xyzi + xyj + x2yzkS estaformadaporlapartesuperiorycuatrolados(peronoel fondo)del cuboconvertices(1, 1, 1) orientadohaciaafueraSegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica9 p agina28UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenierad) F(x, y, z) = xyi + ezj + xy2kS estaformadaporloscuatroladosdelapiramideconvertices (0, 0, 0) , (1, 0, 0) , (0, 0, 1) ,(1, 0, 1) y(0, 1, 0) queseencuentraaladerechadelplano xz ,orientadoensentidopositivodeleje x .14. UseelteoremadeStokesparaevaluarCF dr .Encadacaso C ,vistadesdearriba,estaorientadaensentidocontrarioalgirodelasmanecillasdelreloj.a) F(x, y, z) = (x + y2)i + (y + z2)j + (z + x2)kCeseltriangulodevertices (1, 0, 0) , (0, 1, 0) y (0, 0, 1)b) F(x, y, z) = 2zi + 4xj + 5ykCeslacurvadeintersecciondelplano z= x + 4 yelcilindro x2+ y2= 4c) F(x, y, z) = x2zi + xy2j + z2kCeslacurvadeintersecciondel plano x + y + z=1 yel cilindro x2+ y2=9 y, vistadesdearriba,estaorientadaensentidocontrarioaldelasmanecillasdelreloj.15. CalculeeltrabajorealizadoporelcampodefuerzaF(x, y, z) =((1 + x2)x+ z2, (1 + y2)y+ x2, (1 + z2)z+ y2)al moverunapartculaalrededordel bordedelapartedelaesfera x2+ y2+ z2=4 queestaenelprimeroctante,ensentidocontrarioalgirodelasmanecillasdelreloj(vistodesdearriba).16. Si S esunaesferay FsatisfacelashipotesisdelteoremadeStokes,demuestrequeSrotF dS = 017. Sea F: R3R3uncampovectorial C1talque DF(x) =x 2yz y2z21 2xzy22xy 1.a) Calcule el ujo de Fa traves de la supercie frontera del solidox2+y2+z2 12 , x2+y2 zorientadaconelcamponormalexterior.b) Calcule la circulacion de Fa lo largo de la curvaCdenida por la interseccion de las superciesx2+ y2+ z2= 12 y x2+ y2= z .Indiqueenungracolaorientacionelegidaparaelcalculo.18. Sean f(x, y) = 2x y3+ 5 y S laporciondel planotangenteal gracode f en (1, 1, f(1, 1))que se encuentra enel primer octante. Calcule la circulaciondel campo vectorial F(x, y, z) =(x8+ 3y, y9+ 2z, z10+ x) alolargode S .Inidiqueclaramentelasorientacioneselegidas.19. Sean S lasupercie z =9 x2y2, z0 , orientadaconvectores normales haciaarribayF(x, y, z) = (f(y) + x, 3y + g(z), z + 2) conf , g : R Rdosfunciones C1.Calcularelujode Fatravesde S .SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica9 p agina29UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera20. Pruebe cada identidad, suponiendo queSyEsatisfacen las condiciones del teorema de la divergenciay las funciones escalares y componentes de los campos vectoriales tienen derivadas parciales continuasdesegundoorden.a) V (E) =13SF dS,donde F(x, y, z) = (x, y, z)b)S(fg gf) ndS=E(f2g g2f)dV21. Suponga que SyCsatisfacen las hipotesis del teorema de Stokes yf , g tienen derivadas parcialescontinuasdesegundoorden.Demuestrelassiguientesigualdades.a)C(fg) dr =S(f g) dSb)C(ff) dr = 0c)C(fg + gf) dr = 0SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica9 p agina30UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngenieraCalculoAvanzadoSegundoCuatrimestrede2011Pr actica101. Supongaque (1, 1) esunpuntocrticodelafuncion f ,quetienesegundasderivadascontinuas.Encadacaso,quesepuededeciracercade f ?a) fxx(1, 1) = 4 , fxy(1, 1) = 1 , fyy(1, 1) = 2b) fxx(1, 1) = 4 , fxy(1, 1) = 3 , fyy(1, 1) = 22. Supongaque (0, 2) esunpuntocrticodelafuncion g quetienesegundasderivadascontinuas. Encadacaso,quesepuededeciracercade g ?a) gxx(0, 2) = 1 , gxy(0, 2) = 6 , gyy(0, 2) = 1b) gxx(0, 2) = 1 , gxy(0, 2) = 2 , gyy(0, 2) = 8c) gxx(0, 2) = 4 , gxy(0, 2) = 6 , gyy(0, 2) = 93. Encuentretodoslospuntoscrticosdelassiguientesfuncionesyclasifquelos.a) f(x, y) = 9 2x + 4y x2 4y2b) f(x, y) = x2+ y2+ x2y + 4c) f(x, y) = 1 + 2xy x2 y2d) f(x, y) = xy 2x ye) f(x, y) = xy 2x yf) f(x, y) =x2y2 8x + yxyg) f(x, y) = excos yh) f(x, y) = xsen y4. Sea f(x, y) = (y 3x2)(y x2) .Probarque:a) det(Hf(0, 0)) = 0b) f tiene un mnimo relativo en(0, 0)sobre cada recta que pase por(0, 0) , esto es: si g(t) = (at, bt)entonces f g: R Rtieneunmnimorelativoen0 paracadaeleccionde a y b .c) (0, 0, 0) esunpuntodeensilladura.5. Parafunciones de unavariable, es imposible que unafuncioncontinuaenunintervalotengadosmaximoslocalesyning unmnimolocal,peroparafuncionesdedosvariables,existenestasfunciones.Demuestrequelafuncionf(x, y) = (x2 1)2 (x2y x 1)2tienesolodospuntoscrticosyalcanzamaximoslocalesenambos.6. Si unafunciondeunavariableescontinuaenunintervaloytienesolounvalorcrtico, entoncesunmaximolocal tienequeserunmaximoabsoluto; estonoesciertoparafuncionesdedosvariables.Demuestrequelafuncionf(x, y) = 3xey x3 e3ytiene exactamente un punto crtico, y quef tiene ah un maximo local, que no es un maximo absoluto.UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera7. Encuentreladistanciamascortadelpunto (2, 2, 3) alplano 6x + 4y 3z= 2 .8. Encuentrelospuntosdelasupercie z2= xy + 1 queseanmascercanosalorigen.9. Encuentretresn umerospositivoscuyasumasea 100 ycuyoproductoseaunmnimo.10. Encuentreel volumendelamayorcajarectangularconbordesparalelosalosejes, quepuedaestarinscriptaenelelipsoide9x2+ 36y2+ 4z2= 3611. Encuentreelvolumendelamayorcajarectangularsituadaenelprimeroctante,contrescarasenlosplanosdecoordenadasyunverticeenelplano x + 2y + 3z= 6 .12. UtilicemultiplicadoresdeLagrangeparahallarlosvaloresmaximoymnimodelafuncion,sujetosalasrestriccionesdadas.a) f(x, y) = x2 y2; x2+ y2= 1b) f(x, y) = x2y ; x2+ 2y2= 6c) f(x, y, z) = 2x + 6y + 10z ; x2+ y2+ z2= 35d) f(x, y, z) = xyz ; x2+ 2y2+ 3z2= 6e) f(x, y, z) = x2+ y2+ z2; x4+ y4+ z4= 1f) f(x, y, z, t) = x + y + z + t ; x2+ y2+ z2+ t2= 1g) f(x, y, z) = x + 2y ; x + y + z= 1 , y2+ z2= 4h) f(x, y, z) = yz + xy ; xy= 1 , y2+ z2= 113. Encuentrelosvaloresmaximoymnimoabsolutosde f enelconjunto D .a) f(x, y) = 5 3x + 4yDeslaregiontriangularcerradaconvertices (0, 0) , (4, 0) y (4, 5) .b) f(x, y) = x2+ y2+ x2y + 4D = {(x, y) | |x| 1, |y| 1} .c) f(x, y) = 1 + xy x yDeslaregionacotadaporlaparabola y= x2ylarecta y= 4 .d) f(x, y) = 2x3+ y4D = {(x, y) | x2+ y2 1} .14. Encuentrelosvaloresextremosde f(x, y) = exyenlaregiondescriptaporladesigualdadx2+ 4y2 115. UtilicemultiplicadoresdeLagrangeparademostrarqueelrectanguloconmaximaarea,quetieneunpermetro p dadoesuncuadrado.16. Elplano x + y + 2z= 2 intersecaalparaboloide z= x2+ y2enunaelipse.Encuentrelospuntosenestaelipsequeestanmascercaymaslejosdelorigen.SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica10 p agina32UniversidadCat olicaArgentina FacultaddeCs. FsicomatematicaseIngeniera17. Calcular, si existe, la derivada direccional maxima de cada una de las siguientes funciones y determinarladireccionenquesealcanzan.a) f(x, y) =x2 y2x2+ y2si(x, y) = (0, 0) ,0 si(x, y) = (0, 0) .b) f(x, y) =x3x2+ y2si(x, y) = (0, 0) ,0 si(x, y) = (0, 0) .c) f(x, y, z) =x2y + z3x2+ y2+ z2si(x, y, z) = (0, 0, 0) ,0 si(x, y, z) = (0, 0, 0) .SegundoCuatrimestrede2011 C alculoAvanzadoPr actica10 p agina33