1

Trabajo Fin de Grado

PRÁCTICAS DE

MATEMÁTICAS II CON EL

SOFTWARE OCTAVE

Facultad d

e C

iencia

s S

ocia

les y

Jurí

dic

as

Alumno: Antonio Marín Gutiérrez

2

3

ÍNDICE

1. OBJETIVOS

2. PRÁCTICAS

2.1 LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES ESCALARES

2.2 DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES ESCALARES

2.3 FUNCIONES VECTORIALES

2.4 EXTREMOS RELATIVOS DE FUNCIONES ESCALARES

2.5 INTEGRALES DOBLES

3. CONCLUSIONES

4. BIBLOGRAFÍA

4

RESUMEN

En el desarrollo de mi TFG, he aprendido a utilizar este software matemático con ayuda de mi

tutor académico y de buscadores en internet y manuales cogidos de la biblioteca.

En mi proyecto trataré de analizar cuáles son las funciones del programa matemático Octave y

los cálculos que este nos permite desarrollar, y ver si este nuevo software podría sustituir en un

futuro al programa Mathematica, ya que el que yo analizo, es un software gratuito, y

Mathematica no lo es, y quizás pueda ser interesante implantarlo en nuestra universidad.

En mi estudio, abordaré problemas matemáticos tales como: límites y continuidad de funciones,

derivadas parciales y sucesivas de funciones, funciones vectoriales y su análisis, e integrales.

Uno de los mayores propósitos como he mencionado anteriormente, es la de analizar este

programa y realizar una comparativa con el programa Mathematica.

ABSTRACT

In the development of my TFG, I have learned to use this mathematical software with the help

of my academic tutor, internet searchers and library manuals.

In my project I will try to analyze what the functions of the Octave mathematical program are

and the calculations that this allows us to develop, and see if this new software could replace

the Mathematica program in the future, since the one that I analyze, is a free software, and

Mathematica is not, and maybe it could be interesting to implant it in our university.

In my study, I will work with mathematical problems such as: limits and continuity of functions,

partial and successive derivatives of functions, vector functions and their analysis, and integrals.

One of my principal objetives is, like I said previously, is to analyse this software and compare

it with Mathematica.

5

1. OBJETIVOS

Con la realización de este trabajo de fin de grado, pretendo analizar si pueden existir ventajas

en la utilización de software Octave en lugar del actual Mathematica que trabajan en las aulas

de informática de nuestra universidad. A la hora de seleccionar una aplicación que pueda

facilitarnos el cálculo matemático y económico debemos de buscar una serie de características

que pueden ser: una fácil utilización y nomenclatura (para un aprendizaje más ameno para

alumno y profesor), la elaboración de gráficos fácilmente interpretables, y que pueda abarcar

tantos cálculos y en tantas áreas diferentes como sea posible.

Este programa matemático nos ofrece la posibilidad de descargarlo gratuitamente desde su

página web, además de ofrecer constantes actualizaciones para ir limando errores y muchas

extensiones posibles para poder abarcar diferentes áreas del ámbito matemático y problemas.

Concretamente en mi estudio y aplicación a la asignatura Matematicas II utilicé la extensión

simbólica de este software que es la que me permitía trabajar con incógnitas, ecuaciones y

funciones.

6

2. APLICACIÓN

2.1 Limites y continuidad de funciones escalares

2.1.1 Limites y continuidad de funciones escalares

Uno de los conceptos más importantes de las matemáticas es el de límite de una función en un

punto.

Dicho concepto resulta fundamental para el estudio de la continuidad y derivabilidad de

funciones.

Empezamos viendo el siguiente ejemplo en el que consideramos una función f: R^2→R

definida por

Los límites direccionales de f en el punto (0,0) vienen dados por:

Así, la función f no tiene límite en el punto (0,0) ya que los límites direccionales de f en (0,0)

dependen del parámetro

7

Consideramos ahora una función g :R^2→R definida por

Calculamos los límites direccionales, parabólicos y en coordenadas polares.

Se plantea ahora la siguiente pregunta: ¿Es posible afirmar que existe el límite doble de g en el

punto

(0,0)? La respuesta es negativa, y para verlo calculamos el valor de g[r*Cos[a],r*Sin[a]].

Para finalizar el estudio del límite doble de g en el punto (0,0) basta seguir la trayectoria

x=k*y^3, y ver que en este caso el límite depende del parámetro k.

A continuación estudiamos una función h :R^2→R cuyo límite en el punto (0,0) sí existe.

8

Observamos, por último, como en este caso la utilización de coordenadas polares no presenta

problemas, ya que la expresión h[r*Cos[a],r*Sin[a]] tiende a cero para cualquier valor del

ángulo a cuando r tiende a cero.

Consideremos la función j :R^2→R definida por

y calculemos en primer lugar los límites direccionales y parabólicos.

Como los límites direccionales y parabólicos son iguales a 0, habrá que continuar con el estudio

del límite en coordenadas polares.

Observamos de nuevo si la función en coordenadas polares puede presentar algún problema.

9

2.1.2 Representación grafica de funciones reales

Para elaborar gráficas con funciones de varias variables, primero debemos de definir el rango

de la gráfica y establecer la función.

Utilizamos el comando meshgrid, además de establecer la z como la función a representar.

10

11

2.3 Ejercicios

Ejercicio 1. Calcula los limites direccionales en el punto (0,0) de la función f:R^2->R definida

por:

¿Existe el limite cuando (x,y)->(0,0) en f(x,y)?

Calculamos los limites direccionales

Observamos que ambos limites dependen de la variable k para su límite.

Su limite en coordenadas polares también varía.

12

Los límites direccionales varían en función del parámetro k, por lo que el límite general de f

en (0,0) no existe.

Al hallar los limites según coordenadas polares, podemos ver que dependen del parámetro t,

por lo que el límite en ese punto no existe.

Ejercicio 2. Estudia la existencia de los siguientes límites:

Analizamos sus límites direccionales

Vemos que no coinciden y ambos dependen de K, por lo que no existe el límite en (0,0)

Estudiamos sus límites direccionales. Al ser ambos cero, analizamos sus límites polares.

Utilizando coordenadas polares, encontramos que esta función tiene limite en (0,0) y el valor

de este es 0.

13

Como podemos ver en la función en límites polares, la función quizá presente problemas debido

a que depende del parámetro t, por lo que pasamos a analizar los límites parabólicos.

Como podemos ver la función al aplicarle los limites parabólicos, encontramos que depende

del parámetro k, por lo que la función no tiene límite en el punto (0,0)

14

Como podemos ver, el límite si existe en el punto (2,5) y su valor es 0.

Ejercicio 3. Estudia la continuidad en el punto (0,0) de la función f:R^2→R definida por:

Para estudiar la continuidad, deberíamos de encontrar que el límite en los puntos diferentes a

(0,0), tiene a ser también 0. Estudiamos limites direccionales, parabólicos y coordenadas

polares.

Como el límite de f en (0,0) es 0, el cual coincide con f(0,0), podemos concluir afirmando la

continuidad de f en el punto (0,0)

15

a)

b)

16

Ejercicio 5. Supongamos que la utilidad obtenida por un consumidor de X unidades de un

artículo y de Y unidades de un segundo artículo está dada por la función de utilidad

U(X,Y)=X^2/3 Y.

a) Representa gráficamente la función de utilidad en el intervalo [0,5]x[0,5].

17

b) Si el consumidor posee 4 unidades del primer artículo y 2 unidades del segundo, calcula

el nivel actual de utilidad del consumidor y dibuja su correspondiente curva de

indiferencia.

18

19

2.2 Diferenciabilidad de funciones escalares

2.2.1 Derivadas direccionales y derivadas parciales

Sea f una función real de varias variables reales. Se desea estudiar cómo varía dicha función a

lo largo de un segmento rectilíneo de extremos X0 +H*V, siendo X0 un punto y V un vector

unitario. Si se calcula el límite:

estaremos calculando la derivada direccional de f en el punto X0 y en la dirección de V, o

geométricamente, si pensamos en una función f de R2 en R, la pendiente de la recta tangente a

la superficie z=f(x,y) en la dirección del segmento de extremos X0 +H*V.

Consideremos la función f : R^2→R definida por

y calculemos su derivada direccional en el punto X0=(4,4) y en la dirección del vector unitario

V=(3/5,4/5).

Como consecuencia inmediata del concepto de derivada direccional, surge la idea de derivada

parcial respecto de la componente i-ésima, o respecto de la variable xi, que se obtiene como la

derivada direccional siguiendo la dirección del vector unitario que tiene todas sus componentes

cero salvo la i-ésima que vale 1. Así, siguiendo el ejemplo anterior, las dos derivadas parciales

de la función f se obtendrían considerando, respectivamente, los vectores unitarios (1,0) y (0,1).

Llamando D1f[4,4] y D2f[4,4] a estas derivadas parciales, se tiene:

Ahora calcularemos la derivada parcial de la función f.

20

La derivada parcial de x respecto de y es igual a :

La derivada parcial de y respecto de x es igual a:

Evaluamos ambas funciones en el punto (4,4)

2.2.2 Derivadas parciales sucesivas

Octave también permite el cálculo de derivadas parciales sucesivas mediante la orden:

Diff(f,x,n,y,m…)

Veamos el siguiente ejemplo:

Se trata de una derivada parcial tercera respecto de x, segunda respecto de y.

Para obtener el valor de la derivada sucesiva en el punto (0,0) basta con sustituir los valores:

21

2.2.3 Funciones de clase C1

En esta sección vamos a probar si la función g: R^2→R es de clase C1 en el punto (0,0)

Primero debemos comprobar que g es continua en (0,0), utilizando las coordenadas polares.

Además, la expresión de las coordenadas polares viene dada por:

Así comprobamos que cuando r tiende a 0 no depende del ángulo t.

El siguiente paso es comprobar que las derivadas parciales son continuas en dicho punto:

y los límites en coordenadas polares de cada uno de ellos

22

Y comprobamos por último que las derivadas parciales en (0,0) también son nulas.

Así, la función g y sus derivadas parciales son continuas en (0,0), y por tanto, es función del

tipo C1 en dicho punto.

Sea la función h[x,y]=-y^2+3 para todo punto (x,y) en R2. Para representar la superficie

z=h[x,y] y su plano tangente por el punto (1,2,h[1,2]), empezamos definiendo la función y

calculando sus derivadas parciales.

23

Representamos ahora la gráfica de h y su plano tangente en el punto (1,2,h[1,2]).

Para hallar la gráfica de su plano tangente debemos de aplicar:

Z=h(1,2)+∂h/∂x(1,2)*(x-2)+ ∂h/∂y(1,2)*(y-2)

Sustituyendo hallamos:

Z=-1+0*(x-2)-4*(y-2) =-4*y+7

Y graficamos

24

Por lo que al hallar la gráfica de h conjunta con su plano tangente obtenemos:

25

2.2.5 Ejercicios

Ejercicio 1. Sea f:R^2->R la función definida por f(x,y)=2x^2-xy+y^2. Calcula las siguientes

derivadas parciales:

Ejercicio 2. Sea f:R^2->R la función definida por f(x,y)=e^(x+y). Se pide:

a) Calcula, a partir de la definición la derivada de f en el punto (0,0), según la dirección de

la bisectriz del primer cuadrante

b) Dibuja la gráfica de la función y su plano tangente en el punto (0,0).

26

Para hallar el plano tangente aplicamos la formula y despejamos las incógnitas posibles

Z=f(0,0)+∂f/∂x(0,0)*(x-0)+ ∂f/∂y(0,0)*(y-0)

Z=1+x+y

27

Ejercicio 3. Dada la función f:R^2->R definida por f(x,y)=ln(x^2+y^2),comprueba que se

cumple:

Ejercicio 4. Demuestra que la función f:R^2->R definida por:

Es de clase C^1 en el punto (0,0).

Primero establecemos la función

Después hallamos el límite en polares, y vemos que no es dependiente del ángulo t.

A continuación, vemos sus derivadas parciales y las expresiones de cada una de ellas a

coordenadas polares.

28

Por ahora, todos sus valores son 0, únicamente falta cumplir el último paso, que sus derivadas

parciales sean también nulas:

Ejercicio 5. Considera la función definida por:

a)Estudia la continuidad de f en el punto(0,0)

29

Como el límite de f en (0,0) es 0 y este valor coincide con (0,0), tenemos entonces que f es

continua en (0,0)

b)Calcula en los puntos(x,y)=(0,0) y (x,y)=(1,2)

30

c) Calcula en los puntos(x,y)=(0,0) y (x,y)=(1,2)

d) Comprueba si f es función del tipo C^1

31

No es tipo C1 ya que la aproximación a las coordenadas polares nos da un resultado que depende

de t.

e) Calcula

f) Calcula la derivada direccional de f en el punto (1,2), en la dirección del vector unitario

32

2.3 Funciones vectoriales

2.3.1 Limites y continuidad

El procedimiento a seguir para el cálculo de límites de funciones vectoriales es el mismo que

el ya visto en la Práctica 1 para funciones escalares. Consideremos, por ejemplo, una función

vectorial f : R2->R3 definida por

y calculemos los límites direccionales

Así, concluimos que no existe el límite doble de f en el punto (0,0) puesto que el límite

direccional de su función primera componente depende del parámetro k.

Una función vectorial g es continua en el punto (x0,y0) cuando el límite doble de (x,y) tendiendo

a (x0,y0) coincide con el valor de la función en ese punto, es decir con g(x0,y0). Estudiamos la

continuidad en el punto (0,0) de la función g definida como sigue.

g(0,0)=(0,0)

Se empiezan estudiando los límites direccionales y parabólicos.

33

Una vez vistos que los limites direccionales y parabólicos tienden a ser 0, pasamos a estudiar

el límite por coordenadas polares

El límite de la función g cuando (x,y) tienden a (0,0) es 0, valor que coincide con el valor de

g(0,0), por lo que g es continua en (0,0)

2.3.2 Derivadas direccionales y derivadas parciales. Matriz Jacobiana.

Consideremos la función

f(0,0)=(0,0,0)

Sus derivadas parciales en el punto (0,0) son:

34

La matriz jacobiana para cualquier punto diferente a (0,0) se computa y define así:

A continuación, calculamos el valor de la matriz jacobiana de f en el punto (-1,3).

Octave también nos permite el cálculo de derivadas sucesivas mediante la orden:

Diff(f,x,n,y,m)

Siendo la derivada parcial de la función j respecto de x, n veces, y de y, m veces.

Veamos el ejemplo:

35

Para obtener el valor en el punto (1,1) se sustituye con el comando subs de la siguiente forma:

2.3.2 Regla de la cadena

El cálculo de la diferencial de una composición de matrices se puede hacer a partir del producto

de sus matrices jacobianas, siguiendo la notación anterior, definiremos las funciones f y g:

Hacemos la jacobiana de la función f y g:

Para obtener la matriz jacobiana de la composición de funciones basta con multiplicar sus

matrices jacobianas ya obtenidas. Notar también que u=x^2, v=y(x+2) y w=y+x.

36

Una vez aquí, si se quiere se puede obtener el valor de la matriz jacobiana en un punto concreto,

como por ejemplo (5,7)

37

2.3.3 Ejercicios

Ejercicio 1. Sea la función vectorial f:R^2->R definida por:

Estudia la continuidad de f en el punto (0,0) y calcula sus derivadas parciales de primer orden

en dicho punto

Para ver si la función es continua en el punto (0,0) primero vemos cual son sus límites dobles

cuando la función se acerca a este punto:

Como podemos ver, los limites direccionales depende de k, es decir, de la dirección tomada,

por lo que no existe el límite general de f en (0,0) y, en consecuencia, f no es continua en (0,0)

Ejercicio 2. Dada la función vectorial F:R^2→R definida por F(x,y)=(x+2y,e^(x+y), calcula su

matriz jacobiana y evalúala en el punto (1,1)

38

Ejercicio 3. Sean las funciones f:R^2->R^3 y g: R^2->R^2 definidas por:

Calcula la matriz jacobiana de la función compuesta fog y evalúala en el punto (0,0)

39

Ejercicio 4. Siendo z=u^2-2* u*v, con u=x/y y v=xy, obtén las derivadas parciales primeras y

segundas de z

Ejercicio 5. Comprueba que la siguiente función es homogénea.

Para que una función sea homogénea, debe cumplirse que al substituir sus incógnitas por las

mismas multiplicadas por t, acabamos hallando la función inicial multiplicada por t^m, donde

m sería el grado de homogeneidad de la función

40

La función si es homogénea, ya que como podemos ver, multiplicando cada una de sus variables

por t, y simplificando, volvemos a obtener la misma función inicial, el grado de homogeneidad

seria m=0.

2.4 Extremos relativos de funciones escalares

2.4.1 Extremos relativos libres.

En el estudio de los extremos relativos, es necesario aplicar teoremas de condición necesaria y

condición suficiente y para ello las funciones deben de ser al menos de clase C2, lo cual

satisface los ejemplos y ejercicios que aparecerán a continuación.

Para estudiar cuales son los extremos relativos de una función, vemos cuales son los puntos que

anulan a las derivadas parciales.

Veamos por ejemplo la siguiente función:

Estudiamos sus derivadas, y vemos qué puntos son las que las anulan:

Como podemos ver en el punto (-2,3) existe un posible máximo o mínimo de la función.

Calculamos ahora la matriz hessiana de la función para comprobar si este punto es máximo o

mínimo.

41

Al sustituir los puntos previamente establecidos, nos encontramos con:

De esta forma concluimos que hay un mínimo relativo en el punto (-2,3), ya que la matriz

hessiana en dicho punto es definida positiva

2.4.2 Extremos relativos condicionados. Método de los multiplicadores de Lagrange

Ejemplo 1. Estudiar los extremos relativos de la función f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 sujeta a la

restricción x+y+z=9.

La matriz jacobiana tiene rango 1 para cualquier punto (x,y,z), igualmente encontramos con

que el número de restricciones que tenemos es también 1, por lo que la condición de regularidad

es satisfecha y los únicos posibles extremos relativos los encontraremos estudiando los puntos

críticos de la función Lagrangiana.

Estudiamos primero la condición de regularidad, esta condición viene dada por la función de

restricción, y cuya matriz jacobiana es:

Definimos ahora la correspondiente función Lagrangiana:

A continuación, calculamos los puntos críticos de la función Lagrangiana.

42

Luego la función Lagrangiana tiene un punto crítico en (3,3,3,-6).

Estudiamos ahora el signo de la forma cuadrática cuya matriz asociada es la matriz hessiana de

la función Lagrangiana el punto crítico obtenido.

Y substituyendo en nuestro punto crítico (3,3,3,-6) obtenemos el mismo resultado.

Por tanto, la forma cuadrática de la matriz asociada Hxyz[L][3,3,3,-6] es definida positiva. Así

la forma cuadrática:

Restringida por dx+dy+dz=0 sigue siendo definida positiva. De esta forma concluimos que f

restringida por x+y+z=9 tiene un mínimo relativo en el punto (3,3,3).

43

2.4.3 Ejercicios

Ejercicio 1. Halla los puntos óptimos de la función definida por:

Siendo a un número real cualquiera

Los posibles puntos críticos de f son (0,-1), (2,-3), (1,-3/2), por lo que a continuación debemos

de clasificarlos a través de la matriz hessiana

44

Así podemos concluir que en el punto (0,-1) la forma cuadrática es indefinida (tiene un valor

positivo y otro negativo) , por lo que es un punto de silla.

En el segundo punto (2,-3), sale un valor propio negativo y el otro positivo, por lo que de nuevo

nos encontramos ante una forma cuadrática indefinida, y por lo tanto un punto de silla

En el punto (1,-3/2) los dos valores propios son positivos, por lo que la hessiana es definida

positiva y nos encontramos ante un mínimo relativo de f.

Ejercicio 2. Dada la función f definida por f(x,y)=4x^2-3xy-9y^2+5x+15y+16, estudia la

existencia de extremos relativos.

Como podemos ver, la matriz hessiana en este punto es indefinida, por lo que en este punto

crítico existe un punto de silla.

45

Ejercicio 3 Calcula los extremos de la función u=x-2y+2z si entre las variables x y y z se cumple

la relación x^2+y^2+z^2=9

Primero estudiaremos la condición de regularidad para los puntos del conjunto de restricciones.

La cual tiene rango uno para cualquier punto diferente a (0,0,0), además en dicho punto la

restricción no se cumpliría, por lo que se satisface nuestra condición de regularidad, y el rango

concuerda con el número de restricciones.

Como podemos ver, existen dos puntos críticos en esta función (1,-2,2,-1/2) y (-1,2,-2,1/2) y

habrá que evaluarlos conforme a la función hessiana restringida para ver de qué se trata.

46

En el punto (1,-2,2) existe un máximo relativo ya que la función es definida negativa y en el

punto (-1,2,-2) existe un mínimo relativo ya que la función es definida positiva.

Ejercicio 4. Calcula los extremos relativos de la función f=x-3y-xy restringida a x+y=6.

Estudiaremos la condición de regularidad para los puntos del conjunto de restricciones.

La cual tiene rango uno para cualquier punto (x,y,z) y satisface nuestra condición de

regularidad.

47

Encontramos en (1,5,4) un posible máximo o mínimo, y aplicamos la matriz hessiana a la

Lagrangiana para comprobar si es un máximo o un mínimo.

Metiendo esta última restricción en la forma cuadrática sin restringir, obtenemos 2*(dx)^2. La

cual nos arroja una matriz definida positiva, con lo cual es punto es un mínimo relativo.

48

Ejercicio 5. Una empresa fabrica tres tipos e artículos, A,B, y C, en las cantidades respectivas

x, y y z. La relación entre las cantidades fabricadas y el beneficio viene expresada por la función

f=xy+xz+yz-80000.

Si la empresa debe entregar un total de 600 unidades entre los tres artículos y no puede haber

excedentes, ¿Qué cantidad deberá producir para maximizar beneficios?

Primero estudiaremos la condición de regularidad para los puntos del conjunto de restricciones.

La cual tiene rango uno para cualquier punto (x,y,z) y satisface nuestra condición de

regularidad.

Encontramos en el punto (200,200,200, -400) un punto crítico por lo que debemos de clasificar

la función Lagrangiana según la matriz Hessiana y ver cómo se comporta en nuestro posible

máximo o mínimo.

49

Calculamos ahora valores propios de la matriz Hxyz[L](200,200,200,-400)

Al darse este resultado, según las normas cuadráticas, nos encontramos ante una forma

cuadrática indefinida y tendremos que estudiar cómo se comporta al restringirla a las

condiciones del problema

Con esto podemos deducir que dx=-dy-dz.

Ahora aplicamos las restricciones a la matriz hessiana

Con esto podemos completar nuestra matriz, ahora con dx ya despejado, por lo que con esa

expresión obtenemos la matriz [-2 -1;-1 -2], lo que se trata de una función definida negativa, y

por lo tanto en el punto (200,200,200) encontramos un máximo relativo, y por lo tanto se

optimizan los beneficios

50

2.5 Integrales dobles

2.5.1 Integral doble en coordenadas cartesianas

La integral doble respecto de una función se define así:

Y veremos cómo se computa en Octave mediante la siguiente orden:

Representemos ahora, por ejemplo la región S={(x,y); 0<x<4, x+5<y<2x-1}. Para ello

dibujamos las dos rectas, y=x+5 e y=2x-1 cuando x varía entre 0 y 4.

Si esta vez consideramos la función f=2x^2y, la integral doble se calcularía del siguiente modo:

Supongamos que ahora queremos representar la región:

T={(x,y):x<-(y-2)^2,(y-2)^2-2<x},

51

Que vamos a tratar como una región de tipo II. Para ello definimos sus curvas de ecuaciones

implícitas.

La representación de la región sería:

Después de elaborar su gráfica, resolvemos las inecuaciones para ver cuáles son los puntos de

corte:

Ahora definimos la función f=2x^2*y y queremos ver cuál sería el valor de su integral doble

respecto de las regiones marcadas g1 y g2:

Ahora calcularemos el área de un recinto mediante una integral doble:

52

A={(x,y); x>0, y>0, y<3, x+y<4, x-y<2},

Primero debemos ver cuáles son los puntos de corte de nuestras rectas:

Por lo que las correspondientes áreas de integración si definimos esta función como de tipo I

sería:

A1={(x,y)│R^2:0≤x≤1, 0≤y≤3

A2={(x,y)│R^2:1≤x≤2, 0≤y≤4-x

A3={(x,y)│R^2:2≤x≤3, x-2≤y≤4-x

E invertiremos el orden de integración para comprobar que el resultado es el mismo:

Al descomponer en Región tipo II sus áreas serían:

A1={(x,y)│R^2:0≤y≤1, 0≤x≤y+2

53

A2={(x,y)│R^2:1≤y≤3, 0≤x≤4-y

2.5.2 Ejercicios

Ejercicio 1. Calcula ∫∫ (x^2+xy)dxdy, siendo R=[1,4]x[0,3]

Ejercicio 2. Ejercicio 2. Calcula ∫∫ℝ xy dxdy, siendo R la región acotada limitada por las curvas

y=5x e y=x^2

Para ello, primeramente, debemos de plasmar la gráfica para determinar el área de la región.

A continuación, debemos de ver cuáles son los puntos de corte de la región:

54

Descompondremos esta área como una única región de tipo 1

A1={(x,y)│R^2:0≤x≤5, x^2≤y≤5x

Seguidamente, calculamos la integral doble con sus acotaciones:

Ejercicio 3. Calcula mediante integración doble el área de la región

55

Primeramente, hallamos los puntos de corte:

Si descomponemos esta función como una región de tipo I obtendriamos una única región:

A1={(x,y)│R^2:-3≤x≤3, 4x^2/9≤y≤sqrt(25-x^2)

Y al descomponer las regiones en integrales calculamos:

56

Ejercicio 4. Siendo :

a) Representa graficamente el recinto S.

b) Calcula el area del recinto mediante integración doble

Primero calculamos los puntos de corte:

Al escoger solo puntos con x>0, nuestro punto de corte es (2,1)

57

Si dividimos la funcion como una unión de regiones tipo I tendríamos:

A1={(x,y)│R^2:0≤x≤1, -3x+3≤y≤-x^2+5

A2={(x,y)│R^2:1≤x≤2, x-1≤y≤-x^2+5

c) Invierte el orden de integración. Regiones

Al invertir el orden de integración nos encontrariamos con una unión de regiones de tipo II:

A1=({x,y)│R^2:0≤y≤1, (y-3)/-3≤x≤y+1

A2={(x,y)│R^2:1≤y≤3, (y-3)/-3≤x≤sqrt(5-y)

A3={(x,y)│R^2:3≤y≤5, 0≤x≤sqrt(5-y)

58

3. CONCLUSIONES

Como se indicó al principio de este Trabajo Fin de Grado, el objetivo era comprobar cuál

sería el resultado de utilizar el software Octave para elaborar una guía de ejercicios

destinada a aprender la asignatura Matematicas II desde un programa informático.

Las ventajas de utilizar este programa son muchas, tales como su gran rango de cálculo

posible que nos puede ayudar tanto en problemas económicos, científicos o en materia de

ingeniería o laboratorio.

Otra de sus grandes ventajas, es que es de utilización y descarga gratuita, y puede ser

utilizado prácticamente por cualquier computador y sin problema para trabajar offline

A la hora de realizar gráficos y plasmar en ejes de coordenadas una función, este software

que yo he pretendido estudiar nos ofrece las mismas prestaciones que Mathematica,

pudiendo así realizar graficas en 2 o 3 dimensiones, colorearlas, conocer cuáles son sus

vértices, así como plasmar varias en el mismo eje para poder desarrollar y conocer las áreas

de regiones determinadas por varias funciones.

También cabe destacar que siguen continuamente introduciendo nuevas actualizaciones

para ir limando posibles asperezas de este software, así como, al utilizar matrices jacobianas

y mostrarlas en ventana, a veces al ser de muchas cifras dicha matriz, se colapsa el sistema

y se llena la pantalla de iconos con interrogación y diferentes iconos, pero como ya digo, lo

resolverán pronto, introducen nuevas actualizaciones cada 3-4 meses con las que llegar a

más dispositivos y de forma más acertada

59

4. BIBLIOGRAFÍA

[1] PrataP, Ruda, Getting Started with Matlab a Quick introduction for scientist and engineer,

Oxford University, 2009

[2] Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P. Cálculo Científico con Matlab y Octave, 2001

[3] Valiente Cifuentes, Jose María, Manual de Iniciación a GNU Octave, 2006

[4] www.octaveintro.readthedocs.io