Précis de Recherche Opérationnelle et …j.e.a.n.free.fr/IMG/pdf/ro.pdf · Précis de Recherche Opérationnelle et AideàlaDécision Cours IPST CNAM de Toulouse Richard Loustau

Précis de Recherche Opérationnelleet

Aide à la Décision

Cours IPST CNAM de Toulouse

Richard Loustau

Le 13 mars 2004

TABLE DES MATIÈRES iii

Table des matières

Introduction ix

A Eléments de la théorie des graphes et applications 1

I Eléments de la théorie des graphes 3I.1 Le concept de graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.1 .a Graphes orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.1 .b Graphes non orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.2 Principales définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.3 Matrices associées à un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.3 .a Matrices d’adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.3 .b Matrices d’incidence sommets-arcs . . . . . . . . . . . . . 6

I.4 Fermeture transitive d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.4 .a Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.4 .b Matrice de fermeture transitive . . . . . . . . . . . . . . . 7I.4 .c Algorithme de Roy-Warshall . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.5 Graphes et connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.5 .a Composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.5 .b Composantes fortement connexes . . . . . . . . . . . . . . 9

I.6 Mise en ordre d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II Chemins optimaux 15II.1 L’algorithme de Ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II.2 Algorithme de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II.3 Graphes sans circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II.4 Algorithmes matriciels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II.4 .a Algorithme de Floyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

IIIOrdonnancement 23III.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23III.2 Principaux types de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

III.2 .aContraintes de type potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 24III.2 .bContraintes de type disjonctif . . . . . . . . . . . . . . . . 25

III.3 Exemple de problème : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25III.4 La méthode MPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III.4 .aConstruction du graphe MPM . . . . . . . . . . . . . . . 26III.4 .bDétermination du calendrier au plus tôt . . . . . . . . . . 26

iv TABLE DES MATIÈRES

III.4 .c Détermination du calendrier au plus tard . . . . . . . . . 27III.4 .dMarge totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.4 .e Marge libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.4 .f Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

III.5 La méthode PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30III.5 .a Construction du graphe PERT . . . . . . . . . . . . . . . 30III.5 .bCalendrier au plus tôt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30III.5 .c Calendrier au plus tard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30III.5 .dMarges totales : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30III.5 .e Marges libres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

B Programmation Linéaire 33

I Présentation 35I.1 Présentation d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35I.2 Forme standard des problèmes de PL . . . . . . . . . . . . . . . . 36

I.2 .a Présentation générale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36I.2 .b Forme matricielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

I.3 Résolution d’un système d’équations par la méthode du pivot deGauss : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

I.4 Définitions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38I.5 Résolution graphique d’un PL : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

I.5 .a Exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39I.6 Cas général : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

II La méthode du simplexe 47II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II.1 .a Etude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47II.1 .b Disposition pratique des calculs : . . . . . . . . . . . . . . 48

II.2 L’algorithme du simplexe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49II.2 .a Passage d’un extrême à l’autre . . . . . . . . . . . . . . . 49II.2 .b Choix de la variable entrante . . . . . . . . . . . . . . . . 50

II.3 L’algorithme du simplexe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50II.3 .a L’algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51II.3 .b Disposition pratique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51II.3 .c Traitement d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

II.4 Obtention d’une base réalisable de départ : . . . . . . . . . . . . . 53II.4 .a Méthode en deux phases : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53II.4 .b Exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

IIIDual 57III.1 Introduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.2 Définitions et exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

III.2 .a Primal et Dual : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.2 .bExemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

III.3 Propriétés de la dualité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.4 Passage du dernier tableau simplexe du primal au dernier tableau

simplexe du dual : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

TABLE DES MATIÈRES v

IV Analyse de sensibilité, PL paramétrique 63IV.1 Paramétrisation de la fonction économique . . . . . . . . . . . . . 63IV.2 Paramétrisation du second membre des contraintes . . . . . . . . 64IV.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

C Processus Stochastiques et applications 69

I Présentation des processus stochastiques 71I.1 Définition des processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . 71I.2 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

I.2 .a Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73I.2 .b Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

I.3 Temps d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73I.4 Détermination expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

I.4 .a Théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74I.4 .b Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

I.5 Graphes associés à une loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 75I.6 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

II Processus de naissance et de mort 77II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77II.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77II.3 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

II.3 .a Processus de naissance pur . . . . . . . . . . . . . . . . . 79II.3 .b Processus de mort pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

II.4 Probabilités à long terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

IIIChaînes de Markov 83III.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83III.2 Probabilités de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

III.2 .aTransition d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83III.2 .bTransitions d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84III.2 .c Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

III.3 Classification des états d’une chaîne . . . . . . . . . . . . . . . . 85III.4 Propriétés des chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

III.4 .a relation d’équivalence sur l’ensemble des états . . . . . . . 85III.4 .bExemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86III.4 .c Théorème 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86III.4 .dThéorème 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87III.4 .e Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

IV Files d’attente 89IV.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89IV.2 Evaluation du système, mesures à long terme . . . . . . . . . . . 90

IV.2 .a Lois de Little . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90IV.3 Files d’attente M/M/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

IV.3 .a Probabilités associées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91IV.3 .bExemple n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

IV.4 Files M/M/1 (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

vi TABLE DES MATIÈRES

D Eléments de Fiabilité 95

I Présentation 97I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97I.2 Généralités, terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

I.2 .a Fonctions de défaillance et de fiabilité . . . . . . . . . . . 97I.3 Détermination expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

I.3 .a Estimation des fonctions R et T . . . . . . . . . . . . . . 98I.4 Principales lois utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

I.4 .a La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100I.4 .b Loi de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

II Fiabilité d’un système et de ses composants 101II.1 Système à structure en série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

II.1 .a Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101II.2 Système à structure parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

II.2 .a Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102II.3 Systèmes à structure mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

II.3 .a Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

E Annexes 105

A Eléments de probabilités 107A.1 Vocabulaire des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107A.2 Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.2 .a Définition des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.2 .b Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

A.3 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109A.3 .a Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109A.3 .b Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . 109A.3 .c Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A.4 Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110A.4 .a Loi binômiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110A.4 .b Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110A.4 .c Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110A.4 .d Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110A.4 .e Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A.4 .f Loi de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A.4 .g Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

B TABLES 113B.1 Table de la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113B.2 TABLE DE LA LOI DE WEIBULL . . . . . . . . . . . . . . . . 114

C conclusion 115

TABLE DES FIGURES vii

Table des figures

I.1 Arc u =(xi, xj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2 Exemple de graphe orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.3 Incidence sommets-arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.4 algorithme de Roy-Warshall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I.5 Composantes fortement connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9I.6 Mise en ordre d’un graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II.1 Algorithme de Ford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16II.2 Algorithme de Dijkstra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17II.3 Graphe sans circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18II.4 Algorithme de Floyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

III.1 Graphe MPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29III.2 Graphe PERT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

I.1 Représentation graphique en 2D, solution unique . . . . . . . . . 44I.2 Représentation graphique en 2D, infinité de solutions . . . . . . . 44I.3 Problème non borné, pas de solution . . . . . . . . . . . . . . . . 45I.4 Problème non borné, solution unique . . . . . . . . . . . . . . . . 45

IV.1 Intervalles de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

I.1 Exemple de processus en temps discret . . . . . . . . . . . . . . . 72I.2 Exemple de trajectoire : le CAC40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 72I.3 Graphe du processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

II.1 Graphe du processus de Naissance et de mort . . . . . . . . . . . 80

I.1 Allure de la courbe du taux d’avarie . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A.1 Quelques densités de la loi de Weibull (η = 1, γ = 0, β =0.3, 0.6, 1, 1.5, 2, 3.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

viii TABLE DES FIGURES

ix

Introduction

Ce précis est le contenu du cours dispensé au CNAM de Toulouse dans lademi-valeur intitulée TL 18967. Les domaines abordés sont très variés et pré-sentés de manière élémentaire pour que les étudiants sachent avant tout de quoil’on parle et par la suite utiliser de manière adéquate les outils informatiquesdont ils peuvent disposer.

Quelques pré-requis en mathématiques sont nécessaires à la compréhensiondu cours et quelques rappels sont présentés en annexe :

– Connaissance des fonctions usuelles.– Notions de calcul intégral et sur les séries.– Notions d’algèbre linéaire et de calcul matriciel.– Bases du calcul de probabilités et de statistiques.

x

1

Première partie

Eléments de la théorie desgraphes et applications

3

Chapitre I

Eléments de la théorie desgraphes

On considère un ensemble fini E = x1, · · · ,xn où n est un entier naturelet une relation binaire sur E, assimilée à une partie U de E ×E c’est à dire unensemble de couples (xi, xj) où i, j ∈ 1, · · · ,n. On se bornera à l’étude de ceque la théorie générale appelle des 1-graphes.

I.1 Le concept de graphe

I.1 .a Graphes orientésLa donnée du couple (E, U) définit un graphe orienté, les éléments de E

sont appelés des sommets , et ceux de U des arcs et sont représentés pardes flêches. Dans un arc (xi, xj), xi est appelé extrémité initiale , et xj ,extrémité finale. Un arc (xi, xi) est appelé une boucle.

xi

u xj

Fig. I.1 – Arc u =(xi, xj)

Exemple :

E = A, B, C, D, E, F,G = (A, B), (A, D), (B, C), (C, B), (C, E), (D, C), (D, D), (D, E)

A

u1

u2

B

u3 Cu4

u5Du7 u8

u6

E F

Fig. I.2 – Exemple de graphe orienté

4 CHAPITRE I. ELÉMENTS DE LA THÉORIE DES GRAPHES

Au lieu de formuler explicitement G, on utilise souvent l’application Γ : E →P(E), qui associe à chaque sommet l’ensemble des extrémités finales des arcspartant de ce sommet. C’est ainsi que dans l’exemple précédent, Γ est définiepar :Γ(A) = B, D, Γ(B) = C, Γ(C) = B, E, Γ(D) = C, D, E,Γ(E) = Γ(F ) = ∅.Un graphe est donc entièrement déterminé par la donnée de E et Γ, on noteradésormais un graphe G = (E, Γ) ou G = (E, U) suivant qu’il est défini par ladonnée de ses arcs ou de l’application Γ.Dans la suite on utilisera aussi l’application, notée Γ−1 (attention, il ne s’agitpas de l’application réciproque de Γ!) qui à chaque sommet du graphe associel’ensemble des extrémités initiales des arcs aboutissant à ce sommet.Toujours dans l’exemple précédent, on a :Γ−1(A) = ∅, Γ−1(B) = A, C, Γ−1(C) = B, D,Γ−1(D) = A, D, Γ−1(E) = C, D, Γ−1(F ) = ∅.

I.1 .b Graphes non orientés

Dans certaines applications, seule la liaison entre de sommets importe, etnon le sens de la liaison. On parlera alors d’arêtes,notés [xi, xj ] et non plusd’arcs. Un tel graphe est dit non orienté.

I.2 Principales définitions

Soit G = (E, U) ou (E, Γ) un graphe, on a les définitions suivantes :

Graphe réflexif : ∀xi ∈ E, (xi, xi) ∈ U .Graphe symétrique : ∀xi, xj ∈ E, (xi, xj) ∈ U => (xj , xi) ∈ U .Graphe transitif : ∀xi, xj , xk ∈ E, (xi, xj) ∈ U, (xj , xk) ∈ U => (xi, xk) ∈

U .Graphe partiel : Soit U ′ ⊂ U , G′ = (E, U ′) est un sous-graphe. L’application

Γ′ associée est une restriction de Γ, i.e. ∀x ∈ E, Γ′(x) ⊂ Γ(x).Sous-graphe : Soit E′ ⊂ E et U ′ ⊂ U l’ensemble des arcs obtenu en ne

conservant dans U que les arcs dont les extrémités sont dans E′, G′ =(E′, U ′) est un sous-graphe de G.Exemple :G est le réseau routier français, E est constitué des différentes localitéset U est l’ensemble des routes et autoroutes (entre deux villes v1 et v2,s’il existe au moins une route directe entre les deux, on aura les arcs(v1, v2) et (v2, v1) (le graphe est symétrique). Si on restreint le réseauaux autoroutes, on obtient un graphe partiel, si on restreint le réseau à larégion Midi-Pyrénées, on obtient un sous-graphe, tandis que les autoroutesde Midi-Pyrénées constituent un sous-graphe partiel.

Adjacence : Deux sommets sont dits adjacents s’ils sont reliés par un arc ouune arête. Deux arcs sont adjacents s’ils ont une extrémité commune.

Chemins et chaînes : Un chemin est constitué d’une séquence d’arcs adja-cents dont l’extrémité finale de l’un est l’extrémité initiale du suivant, sauf

I.3. MATRICES ASSOCIÉES À UN GRAPHE 5

pour le dernier. Dans le cas d’un graphe non orienté, on parlera de chaîne.Un chemin est :

– simple s’il ne passe pas deux fois par le même arc.– élémentaire s’il ne passe pas deux fois par le même sommet.– un circuit si l’extrémité finale coïncide avec l’extrémité initiale. Dans

le cas d’une chaîne on parlera de cycle.– hamiltonien s’il passe une fois et une seule par chacun de ses som-

mets. Si c’est de plus un circuit c’est un circuit hamiltonien.Degrés :

– Le demi-degré extérieur du sommet xi est le nombre d’arcs dugraphe issus de xi, on le note d+(xi), on a d+(xi) = |Γ(xi)|. Dans lecas où d+(xi) = 0, on dit que xi est une sortie du graphe.

– Le demi-degré intérieur du sommet xi est le nombre d’arcs dugraphe aboutissant à xi, on le note d−(xi), on a d−(xi) =

∣∣Γ−1(xi)∣∣.

Dans le cas où d−(xi) = 0, on dit que xi est une entrée du graphe.– Le degré du sommet xi est d(xi) = d+(xi) + d−(xi). Dans le cas

d’une boucle, on augmente de 2 le degré.

Exemple : [cf fig. I.2]d−(D) = 2, d+(D) = 3, d(D) = 5.

I.3 Matrices associées à un graphe

Soit G = (E, U) un graphe.

I.3 .a Matrices d’adjacence

Au graphe G, on fait correspondre une matrice d’adjacence (considéréecomme booléenne ou entière, suivant l’utilisation), de la manière suivante :Les lignes et les colonnes sont indexées par les sommets du graphe (en généralnumérotés de 1 à n), l’élément de la ligne i et de la colonne j vaut 1 si l’arc(i, j) ∈ U , 0 sinon.

Exemple : [cf fig. I.2]

M =

0 1 0 1 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 1 00 0 1 1 1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Concaténation de chemins

Soient (A1, · · · , Am) et (B1, · · · , Bn) deux chemins du graphe G donnéspar la liste de leurs sommets successifs. Si Am = B1 (et seulement à cettecondition) on peut définir la concaténation des deux chemins de la manière


suivante : (A1, · · · , Am).(B1, · · · , Bn) = (A1, · · · , Am, B2, · · · Bn). On peutégalement définir la somme de deux chemins qui correspond à la réunion (ausens ensembliste) des deux chemins. Ces deux opérations permettent de donnerune interprétation pour les produits et sommes de matrices d’adjacence. Mk

donnera le nombre de chemins de longueur k partant d’un sommet i à un som-met j (M[k] indiquera l’existence d’un tel chemin en mode booléen).

Exemple : [cf fig. I.2]

M5 =

0 3 2 1 4 00 0 1 0 0 00 1 0 0 1 00 2 3 1 3 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Il y a, par exemple, 4 chemins de longueur 5 de A vers E, 3 de D vers C. Si l’onconsidère les matrices booléennes, on trouve :

M[2] =

0 0 1 1 1 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 00 1 1 1 1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

et

M[4] =

0 1 1 1 1 00 0 1 0 1 00 0 1 0 1 00 1 1 1 1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

Il existe au moins un chemin de longueur 2 de D vers E, et au moins un delongueur 4 de D vers B.

I.3 .b Matrices d’incidence sommets-arcsLes lignes sont indexées par les sommets du graphe tandis que les colonnes

sont indexées par la liste ordonnée (u1, · · · , um) des arcs. Si xi est l’origine del’arc uk, on a aik = 1, si xj est l’extrémité du même arc, ajk = −1, pour lesautres cas on obtient 0, où aik est l’élément générique de la matrice d’incidence.On remarque que la somme de chaque colonne est égale à 0, par ailleurs cettereprésentation n’est valable que pour les graphes sans boucle.

Exemple : Pour le graphe de la figure [I.3], on obtient :

M =

1 1 0 0 0 0−1 0 1 −1 0 −1

0 −1 0 1 1 00 0 −1 0 −1 1

I.4. FERMETURE TRANSITIVE D’UN GRAPHE 7

A

u1

u2

B

u3

Cu5

u4

D

u6

Fig. I.3 – Incidence sommets-arcs

I.4 Fermeture transitive d’un graphe

I.4 .a DéfinitionSoit G = (E, Γ) un graphe et x un des ses sommets. On appelle fermeture

transitive de x, l’ensemble :

Γ(x) = x ∪ Γ(x) ∪ · · · ∪ Γk(x) ∪ · · · ,où, pour k ≥ 1, Γk(x) = Γ(Γ(k−1))(x) est l’ensemble des sommets extrémitésd’un chemin de longueur k issu de x, avec Γ0(x) = x, par convention. Plusgénéralement, la fermeture transitive du graphe G est le plus petit graphe tran-sitif et réflexif contenant G. On le notera τ(G). Il est caractérisé par le fait que(x, y) ∈ U si et seulement s’il existe un chemin allant de x vers y dans G ou six = y.

I.4 .b Matrice de fermeture transitiveOn l’obtient en faisant la somme de toutes les matrices booléennes M[k] et

de la matrice identique. On la notera Γ(E).

Γ(E) = I + M + · · ·M [k] + · · ·Cette somme est finie car dans un graphe de n sommets il ne peut y avoir dechemins de plus de n − 1 arcs sans répétition d’arc, on a donc, Γ(E) = (I +M)[n−1]. Dans la pratique, on arrête le calcul dès que (I+M)[k] = (I+M)[k+1].

Exemple : Dans le graphe de la figure [I.2], on obtient,

Γ(E) =

1 1 1 1 1 00 1 1 0 1 00 1 1 0 1 00 1 1 1 1 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

= (I + M)[2]

I.4 .c Algorithme de Roy-WarshallSoit G = (E, U) un graphe de n sommets numérotés de 1 à n, M = (mij)

la matrice booléenne associée à G, avec mii = 1 pour la réflexivité. Pour r ∈1, · · · ,n, on considère l’opérateur θr qui à G associe le graphe θr(G) défini dela manière suivante :

– G est un graphe partiel de θr(G)


– (i, j) est un arc de θr(G) soit s’il est dans G, soit si les arcs (i, r) et (r, j)sont dans G.

L’algorithme de Roy-Warshall consiste à appliquer successivement à G l’opéra-teur θ1, à θ1(G) l’opérateur θ2, et ainsi de suite. On obtient

τ(G) = θn(θn−1(· · · (θ1(G)) · · · )).

1

23

45 6

Fig. I.4 – algorithme de Roy-Warshall

Exemple : Pour le graphe de la figure [I.4], on obtient successivement,

M + I =

1 1 0 1 1 00 1 1 0 0 00 1 1 1 0 00 0 0 1 1 00 0 0 1 1 10 0 0 1 0 1

θ1→

1 1 0 1 1 00 1 1 0 0 00 1 1 1 0 00 0 0 1 1 00 0 0 1 1 10 0 0 1 0 1

θ2→

1 1 1 1 1 00 1 1 0 0 00 1 1 1 0 00 0 0 1 1 00 0 0 1 1 10 0 0 1 0 1

θ3→

1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 00 1 1 1 0 00 0 0 1 1 00 0 0 1 1 10 0 0 1 0 1

θ4→

1 1 1 1 1 00 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 0 0 1 1 00 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

θ5→

1 1 1 1 1 10 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 0 0 1 1 00 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

θ6→

1 1 1 1 1 10 1 1 1 0 00 1 1 1 1 00 0 0 1 1 00 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

= Γ(E)

I.5 Graphes et connexité

Soit G = (E, Γ) un graphe orienté, on introduit sur E une relation binairenotée , on a x y si et seulement si y ∈ Γ(x) i.e. si x = y ou s’il existe unchemin de x vers y. On dira dans ce cas que x précède y. La relation estréflexive et transitive. On définit également une relation d’équivalence sur E àpartir de la relation , notée : x y ⇔ (x y et y x). Sur les graphes nonorientés, on définit la relation d’équivalence ≡ définie par x ≡ y si et seulementsi x et y sont reliés par une chaîne.

I.5. GRAPHES ET CONNEXITÉ 9

I.5 .a Composantes connexes

Les classes d’équivalence du graphe G pour la relation ≡ sont appelées com-posantes connexes . Un graphe est dit connexe s’il existe une seule composanteconnexe i.e. ∀i, j ∈ E il existe une chaîne entre x et y.

I.5 .b Composantes fortement connexes

Les classes d’équivalence pour la relation sont appelées composantesfortement connexes(cfc) . Un graphe est dit fortement connexe s’il existeune seule composante fortement connexe i.e. : ∀i, j ∈ E il existe un cheminentre x et y (donc un circuit contenant x et y). Une condition nécessaire etsuffisante (CNS) est que Γ(E) ne comporte que des 1. De la même manière quel’on a défini Γ(x) pour x ∈ E, on définit Γ−1(x) :

Γ−1(x) = x ∪ Γ−1(x) ∪ · · · ∪ Γ−k(x) ∪ · · ·

La composante fortement connexe (cfc) d’un sommet x est égale à Γ(x)∩Γ−1(x).Cette remarque permet d’obtenir un algorithme pour déterminer les cfc dansun graphe :

Tant que il reste des sommets marqués FaireDébut

Prendre un sommet non marqué x ;Calculer Γ(x) ∩ Γ−1(x) ;Marquer les sommets obtenus ;Passer au sommet non marqué suivant ;

Fin.

Exemple :

B

F

E

D A

H C G

Fig. I.5 – Composantes fortement connexes

Dans le graphe de la figure [I.5], on obtient :


A B C D E F G H Γ−1(A) Γ−1(C)A 0 1 0 0 0 0 0 1 0 2B 0 0 0 1 0 0 0 0 2 4C 0 0 0 0 0 0 1 0 0D 1 0 0 0 0 0 0 0 1 3E 0 0 0 0 0 1 0 0 2F 0 0 1 0 0 0 0 0 1G 0 0 0 0 1 0 0 0 3H 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Γ(A) 0 1 2 2 4 5 3 1

Γ(C) 0 2 3 1

D’où,cfc(A) = A, B, D = cfc(B) = cfc(D),cfc(C) = C, E, F, G = cfc(E) = cfc(F) = cfc(G),cfc(H) = H.

I.6 Mise en ordre d’un graphe

On considère un graphe G ne possédant que des chemins de longueur finie,cela implique en particulier que le graphe ne possède pas de circuit. La mise enordre s’effectuera sur chacune des composantes connexes, on peut donc suppo-ser le graphe connexe. La classe C0 est constituée des entrées de G = G0, onconsidère alors G1 sous-graphe de G obtenu en enlevant les éléments de C0, lesentrées de G1 constituent la classe C1, on itère le processus jusqu’à épuisementdes sommets.

DébutPour i = 1 à n Faire d−

i ←∣∣Γ−1(i)

∣∣ ;k← 0 ; C[0]← ∅ ;Pour i = 1 à n Faire

Si d−i = 0 Alors C[0]← C[0] ∪ i ;

C[k] est l’ensemble des sommets i tels que d−i = 0 à la keme itération.

Tant que C[k] = ∅ FaireDébut

C[k + 1] = ∅ ;Pour tout i ∈ C[k] Faire

Début ;r[i]← k ; calcul du rang du sommet iPour tout j ∈ Γ(i) Faire

Débutd−

j ← d−j − 1 ;

Si d−j = 0 Alors C[k + 1]← C[k + 1] ∪ j ;

Fin ;Fin ;

k ← k + 1 ;Fin ;

Fin.

I.6. MISE EN ORDRE D’UN GRAPHE 11

Exemple :

2

4 7

1

3

6

5

Fig. I.6 – Mise en ordre d’un graphe

Dans l’exemple de la figure [I.6], on obtient,C[0] = 1, C[1] = 3, C[2] = 2, C[3] = 6, C[4] = 4, 5,C[5] = 7 etr(1) = 0, r(2) = 2, r(3) = 1, r(4) = r(5) = 4, r(6) = 3, r(7) = 5.

12

Exercices du chapitre I

Exercice I.1On considère un graphe G = (E, U) avec E = (A, B, C, D, E) et M sa matriceassociée :

M =

0 1 0 1 00 0 1 0 00 0 0 0 10 0 1 0 10 0 0 0 0

1. Tracer le graphe représentatif de cette matrice.2. Déterminer la matrice d’incidence de ce graphe.3. Calculer M i, i ∈ 1, 2, 3. Rappeler la signification des coefficients non

nuls de ces matrices.4. Calculer M [i], i ∈ 1, 2, 3.5. Calculer A = I + M + M [2] + M [3] + M [4]. Donner une interprétation de

A.6. Appliquer l’agorithme de Roy-Warshall à la matrice M . Que remarque-t-

on?

Exercice I.2On considère le graphe G suivant :

A

F

B

E

C

D

1. Déterminer Γ(A), . . . , Γ(F ) ainsi

que Γ−1(A), . . . , Γ−1(F ).

2. Calculer les demi-degrés inté-rieurs et extérieurs de chaquesommet.

3. Donner un exemple de cheminsimple mais non élémentaire.

4. Existe-t-il un circuit hamiltoniendans G?

5. Tracer le graphe non orienté dé-duit de G.

6. G est-il connexe ? fortementconnexe?

Exercice I.3Décomposer le graphe G suivant en composantes fortement connexes. On rem-place chaque cfc par un seul point et on garde un seul arc joignant une cfc à

13

une autre, ordonner puis tracer le graphe G′ ainsi obtenu.

B

E J

A

C

!! F

K L

""

D

G

I

Exercice I.4Définitions :

– un graphe G = (E, U) est dit τ -minimal si, ∀u ∈ U, si G′ = (E,U\u)alors τ(G′) = τ(G) où τ(X) représente la fermeture transitive de X .

– Deux graphes G et G′ sont dits τ -équivalents si τ(G) = τ(G′).Soit G le graphe ci-dessous :

B C

D

A

## E

1. Déterminer la fermeture τ(G) de G.2. Déterminer le graphe G′ τ -minimal τ -équivalent à G.

Exercice I.5Deux joueurs disposent de deux tas de trois allumettes, à tour de rôle chaquejoueur peut enlever une ou deux allumettes dans un des tas. Le joueur qui retirela dernière allumette perd la partie.

1. Modéliser le jeu à l’aide d’un graphe.2. Que doit jouer le premier joueur pour gagner à coup sûr?3. Reprendre l’exercice avec trois tas de trois allumettes.

14

15

Chapitre II

Chemins optimaux

Dans les graphes utilisés dans la pratique, les arcs sont affectés de valeurnumériques qui traduisent un coût de parcours. Il peut s’agir d’une distance(réseau routier), d’un coût financier, d’une durée, d’un débit, etc...Les graphes considérés désormais possèdent une entrée et une sortie uniques,qui correspondent respectivement au début et à la fin du processus décrit par legraphe. Le problème se pose alors de déterminer le chemin optimum pour allerde l’entrée du graphe vers sa sortie, les coûts de parcours reflétant les différentescontraintes du problème à traiter. L’optimisation peut se faire dans le sens d’uncoût maximum (par exemple recherche des délais maximum dans un ensemblede tâches) ou d’un coût minimum (par exemple le plus court trajet entre deuxlocalités). Il peut y avoir d’autre contraintes du type «passer par tous les som-mets du graphe» (chemin hamiltonien), etc...

II.1 L’algorithme de Ford

On considère un graphe G = (E, U) à n sommets, numérotés de 1 à n. Poursimplifier, on supposera que le sommet 1 est l’entrée du graphe et le sommet nsa sortie. On va chercher un chemin de longueur minimum de 1 à n, on supposepour ce faire que le graphe G ne comporte pas de circuit de longueur négative.L’algorithme de Ford permet de calculer le plus court chemin du sommet 1 àtous les sommets du graphe. Chaque sommet i du graphe est affecté d’une valeurλi qui initialement vaut 0 pour le sommet 1 et +∞ pour les autres sommets.A la sortie, λi contiendra la valeur du plus court chemin de 1 à i. On utiliseraun tableau v : vij est égal à la longueur de l’arc (i, j) si (i, j) ∈ U , +∞ sinon.La stratégie utilisée est la suivant : pour tout couple (i, j) de sommets traité,si vij < λj − λi, on remplace λj par λi + vij . Les remplacements sont effectuésjusqu’à ce qu’on ne puisse en faire de nouveaux.

16 CHAPITRE II. CHEMINS OPTIMAUX

DébutPour i = 1 à n Faire

Pour j = 1 à n Faire Lire(vij) ; vij = +∞ si (i, j) /∈ Uλ1 ← 0 ;Pour i = 2 à n Faire λi ← +∞ ;i← 1 ;Tant que i ≤ n Faire

Débutj ← 2 ;Tant que j ≤ n Faire

DébutSi vij < +∞

AlorsSi λj − λi > vij

AlorsDébut

λj ← λi + vij ;Si i > j Alors i← j Sinon j ← j + 1 ;

FinSinon j ← j + 1

Sinon j ← j + 1Fin ;

i← i + 1 ;Fin ;

Fin.

Pour trouver un chemin optimal, appelé chemin critique on choisit unprédécesseur de n, soit p1, tel que vp1n = λn − λp1 , puis un prédécesseur p2 dep1 tel que vp2p1 = λp1−λp2 , et ainsi de suite jusqu’à parvenir au sommet initial.Le chemin (1,pk, · · · , p1, · · · ,n) est bien minimal (longueur = λn).

Exemple :

2

8

2 5

8

2

$$

1

4

9

12

6

32

4

5

Fig. II.1 – Algorithme de Ford

Dans le graphe de la figure [II.1], on trouve,

λ1 = 0, λ2 = 4, λ3 = 8, λ4 = 10, λ5 = 6, λ6 = 14.

Le chemin le plus court de l’entrée à la sortie du graphe a pour longueur 14, lechemin critique est (1, 2, 5, 6).

II.2. ALGORITHME DE DIJKSTRA 17

L’algorithme de Ford est un algorithme général, il y a cependant des casparticuliers où l’on peut simplifier la recherche de chemin optimum.

II.2 Algorithme de DijkstraCet algorithme s’applique pour des arcs qui ont tous des longueurs positives

ou nulles.

DébutS′ ← 2, · · · , n ;λ1 ← 0 ;Pour i = 1 à n Faire

Pour j = 1 à n Faire Lire(vij) ; vij = +∞ si (i, j) /∈ UPour i = 2 à n Faire λi ← v1i ;Tant que S′ = ∅ Faire

DébutSoit j ∈ S′ tel que λj = min

i∈S′(λi) ;

S′ ← S′\j ;Pour tout i ∈ Γ(j) ∩ S′ Faire λi ← min(λi, λj + vji) ;Si λj = λi + vji Alors Pred(i)← j ;

Fin ;Fin.

Exemple :

2

1

4 4

1

7

1

5

5

%%2

&&

3

5

7

2

6

3

Fig. II.2 – Algorithme de Dijkstra

Dans le graphe de la figure [II.2], on trouve,

λ1 = 0, λ2 = 5, λ3 = 1, λ4 = 8, λ5 = 3, λ6 = 6.

P red(2) = 5, P red(3) = 1, P red(4) = 5, P red(5) = 3, P red(6) = 2.

II.3 Graphes sans circuitSi un graphe ne possède pas de circuit, on peut l’ordonner en utilisant par

exemple l’algorithme [I.6], l’algorithme de recherche de chemin optimum estalors très simplifié :

18 CHAPITRE II. CHEMINS OPTIMAUX

DébutS ← 1 ; Tant que |S| < n Faire

DébutPrendre un sommet j ∈ S′ (complémentaire de S) tel que Γ−1(j) ⊂ S ;λj ← min

i∈Γ−1(j)(λi + vij) ;

S ← S ∪ j ;Fin ;

Fin.

Exemple :

2

−3

4

2

44 7

1

7

1

3

5

7

2

6

5

3 5

10

Fig. II.3 – Graphe sans circuit

Dans le graphe de la figure [II.3], on obtient, après l’avoir ordonné (cf [I.6]) :

– λ1 = 0

– λ3 = λ1 + v13 = 1

– λ2 = min(λ1 + v12, λ3 + v32) = 6

– λ6 = min(λ2 + v26, λ3 + v36) = 3

– λ4 = min(λ2 + v24, λ6 + v64) = 8

– λ5 = min(λ2 + v25, λ3 + v35, λ6 + v65) = 3

– λ7 = min(λ4 + v47, λ5 + v57) = 12

II.4 Algorithmes matriciels

On considère un graphe G = (E, U) sans circuit de longueur négative. Onconsidère les matrices L(k) = (l(k)

ij ) pour k ≥ 1 en posant L(0) = (vij) et oùl(k)ij = min(l(k−1)

ij , l(k−1)ik + l

(k−1)kj ) est la longueur du plus court chemin entre i et

j dont les sommets intermédiaires sont dans 1, · · · , k. L(n) = L est la matricedes plus courts chemins entre deux sommets.

II.4. ALGORITHMES MATRICIELS 19

II.4 .a Algorithme de Floyd

DébutPour i = 1 à n Faire

Pour j = 1 à n Faire Lire(lij) ; lij = vij , (+∞ si (i, j) /∈ U)Pour k = 1 à n Faire

Pour i = 1 à n FaireSi (lik + lki) ≥ 0

Alors Pour j = 1 à n Faire lij ← min(lij , lik + lkj)Sinon Fin ; circuit de longueur négative.

Fin.

13

3

'' 22

2

2

((

3

−2

14

4

4

Fig. II.4 – Algorithme de Floyd

Exemple : Dans le graphe de la figure [II.4], on obtient successivement,

L(0) =

0 3 +∞ 32 0 2 2−2 +∞ 0 1+∞ 4 4 0

, L(1) =

0 3 +∞ 32 0 2 2−2 1 0 1+∞ 4 4 0

,

L(2) =

0 3 5 32 0 2 2−2 1 0 16 4 4 0

, L(3) =

0 3 5 30 0 2 2−2 1 0 12 4 4 0

,

L = L(4) =

0 3 5 30 0 2 2−2 1 0 12 4 4 0

.

20

Exercices du chapitre II

Exercice II.1A la date 1, une personne achète une voiture de 15 000 ¤. Le coût de mainte-nance annuelle du véhicule dépend de son âge pris au début de l’année :

âge de la voiture coût de maintenance0 1 000 ¤1 1 500 ¤2 2 300 ¤3 3 500 ¤4 5 300 ¤

Pour minimiser les coûts de maintenance, cette personne envisage d’échanger savoiture contre une neuve. Elle doit alors payer la différence entre le prix d’unevoiture neuve (supposé de 15 000 ¤) et le coût de reprise de l’ancienne, donnédans le tableau suivant :

âge de la voiture prix de reprise1 12 000 ¤2 7 500 ¤3 6 000 ¤4 3 500 ¤5 2 000 ¤

Que doit faire la personne pour minimiser ses dépenses sachant qu’elle doitvendre sa voiture à la fin de la 5ème année?

Exercice II.2Exécuter l’algorithme de Dijkstra sur le graphe ci-dessous en choisissant C puisF comme sommets sources.

B

1

))

A

7

** F8

6

))G

5

C

13

4

E

10

1

D2

21

Exercice II.3Exécuter l’algorithme de Floyd pour déterminer les chemins de valeur maximaleentre tout couple de sommets dans le graphe suivant :

C

3

4

++

A

4

8

B

2,,

2

D

−6

--

1 E

Peut-on appliquer l’algorithme pour la recherche de chemin de valeur minimale?

22

23

Chapitre III

Ordonnancement

III.1 Position du problème

On appelle problème d’ordonnancement un problème dans lequel les troisconditions suivantes sont réalisées :

Il s’agit d’étudier comment on doit réaliser quelque chose.

Il peut s’agir d’un grand ensemble (maison, usine, navire, · · · ), d’une productiond’atelier (construction mécanique, imprimerie, . . .), d’un ensemble d’opérationsd’entretien à effectuer périodiquement pour maintenir un matériel en état defonctionnement, ou encore d’un emploi du temps . . .

Ce quelque chose est décomposable en tâches.Ces tâches correspondent soit à des opérations élémentaires, soit à des groupe-ments d’opérations selon que l’on veut aller plus ou moins loin dans le détail.La décomposition n’est en général pas unique et demande une analyse minu-tieuse. La définition de chaque tâche peut nécessiter de grandes connaissancestechnologiques ainsi qu’une expérience des modèles d’ordonnancement dont elleconstitue l’élément de base.Si l’on considère n tâches numérotées de 1 à n, (n pouvant varier de quelques di-zaines à quelques milliers), il est indispensable que pour chaque tâche les notionssuivantes soient clairement définies :

1. époque de début, notée ti pour la tâche i.2. durée d’exécution, notée di pour la tâche i.

Si l’on suppose que cette durée est convenablement évaluée (en fait on sera sou-vent amené à considérer une valeur moyenne avec son écart type), et qu’aucuneinterruption prévisible ne doive intervenir durant l’exécution de la tâche i, onpeut considérer que celle-ci sera achevée à l’époque fi = ti + di. Souvent pourdéterminer cette époque on s’intéressera aux moyens qu’il faut affecter pour sonexécution (moyens humains et matériels). Mais même quand ces moyens jouentun rôle important c’est toujours par l’intermédiaire de ces deux nombres qu’ilsse manifesteront dans les calculs.

Cette réalisation est soumise à un ensemble de contraintes.

24 CHAPITRE III. ORDONNANCEMENT

Ces contraintes sont imposées par :– Le matériel.– La main d’oeuvre.– La technologie : une tâche ne peut souvent débuter que lorsque certaines

autres sont achevées.– Le commerce : certaines tâches doivent être terminées avant un délai fixé.– Les fournisseurs : la livraison de matières premières risque de limiter infé-

rieurement l’époque de début de certaines tâches, · · ·– Le climat : il est des tâches irréalisables à certaines époques de l’année.Le choix de l’ordonnancement est généralement guidé par des critères tels

que :– coût ou durée totale minimaux.– immobilisation, attentes, pénalités minimales.– Production maximale.– Sécurité ou souplesse maximales, . . .

Après avoir donné une formulation analytique convenable du problème, onest conduit à la recherche d’un optimum. L’analyse des contraintes permettra dedéterminer les tâches clefs, c’est à dire celles qui ne supporteront que peu d’écartpar rapport aux prévisions si l’on ne veut pas introduire des perturbations gravesdans l’exécution.

III.2 Principaux types de contraintes

III.2 .a Contraintes de type potentielElles sont de deux types :

Localisation temporelle : elles imposent à une tâche i quelconque d’être si-tuée à certains moments : ne pas débuter avant une certaine époque (cli-mat, matières premières non livrées, . . .) ou, au contraire, d’être terminéesau plus tard avant une époque donnée (exigences commerciales, . . .).On peut les mettre sous la forme suivante :

ti > e′iti < e′′i

En effet, si l’on veut exprimer qu’une tâche i doit être terminée avantl’époque limite Li, il vient :

ti + di < Li

succession : elles viennent limiter l’intervalle de temps qui s’écoule entre lesdébuts de deux tâches i et j. On peut les mettre sous la forme :

tj − ti > a′ij

tj − ti < a′′ij

Par exemple si la tâche j ne peut commencer avant que la tâche i ne soitterminée on aura :

tj > ti + di

III.3. EXEMPLE DE PROBLÈME : 25

Plus généralement si la tâche j ne peut commencer avant que la tâche in’ait atteint un certain degré d’avancement a on aura :

tj > ti + a.di

III.2 .b Contraintes de type disjonctifCe sont les contraintes traduisant que les intervalles de temps durant lesquels

doivent être exécutées deux tâches i et j ne peuvent avoir de partie commune,ce qui se traduit par :

[ti, ti + di] ∩ [tj , tj + dj ] = ∅Cela arrive,entre autres, quand les deux tâches réclament l’utilisation d’un ma-tériel unique susceptible de n’en accomplir qu’une seule à la fois. Si l’on connaîtl’ordre de succession, par exemple i avant j, on traduira par :

tj > ti + di

III.3 Exemple de problème :On s’intéresse à la construction d’un complexe hydro-électrique. Après une

première approche, on a répertorié les opérations suivantes :1. Construction des voies d’accès.2. Travaux de terrassement.3. Construction des bâtiments d’administration.4. Commande du matériel électrique.5. Construction de la centrale.6. Construction du barrage.7. Construction des galeries et conduites.8. Installation des machines.9. Tests de fonctionnement.

On supposera que toutes les contraintes sont des contraintes de succession, ré-sumées dans le tableau ci-dessous :

Opérations Durée (mois) pré-requis1 4 -2 6 13 4 -4 12 -5 10 2, 3, 46 24 2, 37 7 18 10 5, 79 3 6, 8

Les deux principales méthodes pour résoudre les problèmes d’ordonnance-ment sont les méthodes MPM et PERT . Elles sont exposées dans les deuxsections suivantes.


III.4 La méthode MPM

MPM signifie "méthode des potentiels Métra". Dans le graphe de représenta-tion, un sommet correspond à une tâche, un arc définit une relation d’antériorité.La longueur de l’arc donne le temps minimum qui doit s’écouler entre la tâcheorigine et le début de la tâche extrémité. Lorsque les contraintes sont unique-ment des contraintes de succession, la longueur de l’arc sera donc égale à ladurée de la tâche origine.

III.4 .a Construction du graphe MPM

On établit d’abord un tableau donnant les tâches et, pour chacune d’entreelles, les opérations pré-requises. On ordonne les tâches (qui seront les sommetsdu graphe) en partant de la tâche origine (début). Pour cela on se sert du tableauinitial :La classe 0 est obtenue en prenant les tâches sans pré-requis (sommets sansprédécesseur). On raye ensuite les sommets ainsi obtenus, et la classe 1 estobtenue en prenant les nouveaux sommets sans prédécesseur, on continue jusqu’àépuisement des tâches.Dans l’exemple [III.3], on obtient ainsi les classes :

1, 3, 4, 2, 7, 5, 6, 8, 9.

Les sommets sont disposés de gauche à droite de façon à limiter le nombre d’in-tersections entre les arcs. Un arc relie un sommet i à un sommet j si i est unpré-requis de j.Chaque sommet est figuré par un rectangle où figurent les informations sui-vantes :x : nom de la tâche. (en bas)Tx : date de début au plus tôt de la tâche. (en haut à gauche)T ∗

x : date de début au plus tard de la tâche. (en bas à droite)On introduit une tâche supplémentaire ou tâche fin, Z et une tâche initiale

W qui précède toutes les autres. Elles sont évidemment de durée nulle.

III.4 .b Détermination du calendrier au plus tôt

Pour chaque sommet x, on considère Tx, chemin le plus long de 0 à x ; celagarantit que toutes les contraintes d’antériorité seront respectées. L’ensembledes arcs qui contribuent à la détermination de la date de fin des travaux TZ

constitue le chemin critique. Pour déterminer ce chemin, on peut utiliserl’algorithme de Ford, modifié pour la détermination de chemin maximal.Pour la tâche W , on pose TW = 0. Pour une tâche x quelconque, Tx est lalongueur du plus long chemin conduisant de W à x. La figure [III.1] correspondau graphe de l’exemple [III.3].

Disposition pratique

On utilise la disposition suivante pour effectuer les calculs :

III.4. LA MÉTHODE MPM 27

0 : 1 4 : 2 0 : 3 0 : 4 12 : 5 10 : 6 4 : 70 |W : 0 0 |1 : 4 0 |W : 0 0 |W : 0 4 |2 : 6 4 |2 : 6 0 |1 : 4

0 |3 : 4 0 |3 : 40 |4 : 12

22 : 8 34 : 9 37 : Z12 |5 : 10 10 |6 : 24 34 |9 : 34 |7 : 7 22 |8 : 10

Le chemin critique est ici, W, 1, 2, 6, 9, Z.

III.4 .c Détermination du calendrier au plus tard

Il s’agit de déterminer pour chaque tâche x la date au plus tard T ∗x telle

que la date de fin des travaux TZ ne soit pas retardée. On utilise la procéduresuivante :

1. On pose T ∗Z = TZ .

2. Soit x un sommet dont tous les suivants sont marqués (ce qui impliqueque T ∗

y est connu), alors,

T ∗x = min

y∈Γ(x)(T ∗

y − dx).

En effet, les contraintes imposent que T ∗x + dx ≤ T ∗

y .

III.4 .d Marge totale

C’est le retard maximum que l’on peut prendre dans la mise en route d’unetâche sans remettre en cause les dates au plus tard des tâches suivantes et doncretarder la fin des travaux. Pour une tâche x, elle est égale à

T ∗x − Tx.

III.4 .e Marge libre

C’est le retard maximum que l’on peut prendre dans la mise en route d’unetâche sans remettre en cause la date au plus tôt d’aucune autre tâche. Elle estégale à

miny∈Γ(x)

(Ty − Tx − dx).

III.4 .f Synthèse

On réunit les résultats obtenus précédemment dans un tableau récapitulatif :


Tâche Date au plus tôt Date au plus tard Marge totale Marge libre1 0 0 0 02 4 4 0 03 0 6 6 64 0 2 2 05 12 14 2 06 10 10 0 07 4 17 13 118 22 24 2 29 34 34 0 0Z 37

III.4. LA MÉTHODE MPM 29

0 0

W

0 0

1

0 6

3

0 2

4

4 17

7

4 4

2

10 10

6

12 14

5

34 34

9

22 24

8

37 37

Z

0 0 0

4

4

4

4

12

6 6

7

10

10

24

3

Fig. III.1 – Graphe MPM


III.5 La méthode PERTLes principes diffèrent de ceux de la méthode MPM : à chaque tâche corres-

pond un arc du graphe dont la longueur est égale à la durée de la tâche. Chaquesommet du graphe correspond à une étape signifiant :Toutes les tâches qui arrivent sont terminéesToutes les tâches qui partent peuvent commencer

III.5 .a Construction du graphe PERTChaque sommet est représenté par un cercle où figurent :

X : étape (en bas)tx : date attendue de l’étape X (en haut à gauche).t∗x : date au plus tard de l’étape X (en haut à droite).On ajoute un sommet initial d’où partent toutes les tâches dont la mise enroute n’est soumise à aucune contrainte d’antériorité et un sommet final auquelaboutissent toutes les tâches n’ayant pas de suivante. On est parfois obligé d’in-troduire des tâches fictives, ainsi dans l’exemple [III.3], pour tenir compte dufait que les tâches 2, 3, 4 sont antérieures à la tâche 5 alors que seules les tâches2, 3 sont antérieure à la tâche 6, on introduit une tâche fictive de longueur nulleentre l’étape 3 à laquelle aboutissent les tâches 3 et 2 et l’étape 4 à laquelleaboutit également la tâche 4.La figure [III.2] correspond au graphe de l’exemple [III.3].

III.5 .b Calendrier au plus tôtA chaque sommet x on affecte une date tx égale à la longueur du chemin le

plus long allant du sommet 1 au sommet x. tx est la date attendue de l’événementx, elle est égale à la date au plus tôt de toutes les tâches partant du sommet x.

III.5 .c Calendrier au plus tardPour chaque étape x, on détermine t∗x date de réalisation de x telle que la

date au plus tôt de la fin des travaux ne soit pas retardée. On utilise la procéduresuivante :

1. On pose t∗Z = tZ .2. Pour un sommet x ayant tous ses suivants marqués, on pose

t∗x = miny∈Γ(x)

(t∗y − dk)

où k est une tâche joignant x à y.

III.5 .d Marges totales :Idem que par la méthode MPM.

III.5 .e Marges libres :Pour une tâche k joignant un sommet x à un sommet y, elle est égale à

ty − tx − dk.

III.5. LA MÉTHODE PERT 31

0 0

1

0 0

1

4 4

2

10 10

3

22 24

5

34 34

6

37 37

7

12 14

4

12

4

1

4 3

4

2 6

7

7

5 10

6

24

8

10

9

3

Fig. III.2 – Graphe PERT

32

Exercices du chapitre III

Exercice III.1Un producteur de cinéma a planifié les tâches suivantes pour son prochain film :

Code de la tâche Définition Durée (en jours) Antériorités

A Choix du scéna-rio 30 -

BChoix et recrute-ment des comé-diens

45

Ne peut com-mencer que 20jours après ledébut de A

C Choix des lieuxde tournage 30

Ne peut com-mencer que 25jours après ledébut de A

D Découpage desscènes 15 A et C doivent

être terminées

E Préparation desdécors 21 C et D doivent

être terminées

F Tournage des ex-térieurs 35

A, B, C et Ddoivent être ter-minées

G Tournage des in-térieurs 21 D, E et F doivent

être terminées

H Synchronisation 7 F et G doiventêtre terminées

I Montage 21 H doit être termi-née

J Bande sonore 14

H, ne peut com-mencer que 7jours après ledébut de I

K Mixage 7 I et J doivent êtreterminées

L Tirage de la pre-mière copie 1 K doit être ter-

minée

1. Supprimer les contraintes obtenues par transitivité et ordonner les tâches.2. Déterminer par la méthode MPM l’ordonnancement au plus tôt des diffé-

rentes tâches et indiquer le chemin critique.3. Tracer le graphe MPM.4. Tracer le graphe PERT.

33

Deuxième partie

Programmation Linéaire

35

Chapitre I

Présentation

La programmation linéaire est un des domaines les plus utilisés de la RO.Elle permet de traiter un vaste ensemble de problèmes d’optimisation dans descontextes divers comme la gestion de stocks, flux de transport, distribution detâches à des personnels, recherche de plans de fabrication etc. . . La modélisationde ces problèmes débouche sur des équations ou inéquations linéaires (exprimantles différentes contraintes) dont on cherche les solutions permettant d’optimi-ser une fonction économique elle-même linéaire. De plus on supposera que lesvariables considérées sont astreintes à être positives (contraintes de positivité).On appelle une telle formulation un programme linéaire (PL).

I.1 Présentation d’un exemple :

Un industriel fabrique un engrais dans lequel interviennent trois composantsde base P1, P2, P3 dont les cours sont fluctuants et dont on suppose que lesquantités disponibles sont illimitées. Suivant le prix de ces composants, l’indus-triel détermine les pourcentages de chacun d’entre eux x1, x2, x3 devant entrerdans la composition du produit final, sachant que certaines normes de fabrica-tion doivent être respectées. On notera c1, c2, c3 les coûts respectifs d’une unitédes produits P1, P2, P3. Le coût de fabrication d’une unité d’engrais est :

z = c1x1 + c2x2 + c3x3

qui définit la fonction économique du problème et que l’on doit minimiser. Deplus l’engrais doit présenter un taux de potasse minimum b1. Notons a11, a12, a13

les taux de potasse minimum respectifs de P1, P2, P3, la proportion de potassedans le produit final est : a11x1 + a12x2 + a13x3 et l’on doit avoir,

a11x1 + a12x2 + a13x3 ≥ b1

De la même manière on suppose que la teneur en nitrate ne doit pas descendre endessous d’une certaine valeur b2, en notant a21, a22, a23 les teneurs respectivesen nitrate de P1, P2, P3, on doit donc avoir,

a21x1 + a22x2 + a23x3 ≥ b2

36 CHAPITRE I. PRÉSENTATION

De plus, comme les xi sont des pourcentages (exprimé en centièmes 100% estramené à 1), on a l’équation,

x1 + x2 + x3 = 1.

Par ailleurs les contraintes de positivité impliquent que xi ≥ 0, pour i = 1, 2, 3.On obtient ainsi la formulation du problème à résoudre :

min(z) = c1x1 + c2x2 + c3x3 (I.1)

a11x1 + a12x2 + a13x3 ≥ b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 ≥ b2

x1 + x2 + x3 = 1xi ≥ 0, pour i ∈ 1, 2, 3

(I.2)

l’ensemble ainsi formé est un PL, la fonction économique est donnée par l’équa-tion (I.1), tandis que le système (I.2) détermine les contraintes du problème.Les variables xi sont appelées variables structurelles ou variables de dé-cision. La résolution du problème consiste à déterminer les valeurs des xi quioptimisent la fonction z (qui est une fonction des variables xi).

ti =n∑

j=1

aijxj − bi est appelée variable d’écart, ti ≥ 0. Son introduction dans

chacune des contraintes, hors celles de positivité, permet d’obtenir des équationset conduit à une formulation dite standard du PL. Ici on obtient :

min(z) = c1x1 + c2x2 + c3x3 (I.3)

a11x1 + a12x2 + a13x3 + t1 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + t2 = b2

x1 + x2 + x3 = 1xi ≥ 0, pour i ∈ 1, 2, 3

(I.4)

I.2 Forme standard des problèmes de PL

I.2 .a Présentation générale :Pour les problèmes à maximum de la fonction économique, les contraintes

par rapport aux seconds membres bi seront de du type ≤ tandis que pour les pro-blèmes à minimum elles seront du type ≥. On obtient ainsi les deux formulationsuivantes appelées formes canoniques :

max(z) =n∑

j=1

cjxj

n∑j=1

aijxj ≤ bi, i ∈ 1, . . . ,m

xj ≥ 0, pour j ∈ 1, . . . , n

min(z) =n∑

j=1

cjxj

n∑j=1

aijxj ≥ bi, i ∈ 1, . . . ,m

xj ≥ 0, pour j ∈ 1, . . . , n

Remarques :1. Minimiser la fonction économique z revient à maximiser −z : on change ci

en c′i = −ci.

I.2. FORME STANDARD DES PROBLÈMES DE PL 37

2. Les contraintes peuvent toujours se ramener à des égalités en introdui-

sant les variables d’écarts ti égales à ti = bi −n∑

j=1

aijxj dans le cas d’un

maximum (resp. ti =n∑

j=1

aijxj − bi dans le cas d’un minimum).

On obtient la formule standard suivante :

max(z) =n∑

j=1

cjxj (I.5)

n∑j=1

aijxj = bi, i ∈ 1, . . . ,m

xj ≥ 0, pour j ∈ 1, . . . , n(I.6)

I.2 .b Forme matricielle :

Soit, A =

a11 · · · a1m

......

am1 · · · amn

la matrice représentant les coefficients des

contraintes (avec l’adjonction des variables d’écart, on a toujours n ≥ m).

X =

x1

...xn

, C =

c1

...cn

respectivement le vecteur des solutions et des

coefficients de la fonction économique, et pour j ∈ 1, . . . , n, Pj =

a1j

...amj

les vecteurs colonnes de la matrice A, B =

b1

...bm

. La formulation du PL se

résume à :

minz = tC.X | A.X = B, X ∈ Rn+ ou encore

n∑j=1

Pjxj = B (I.7)


I.3 Résolution d’un système d’équations par laméthode du pivot de Gauss :

Partant d’un système d’équations du type :n∑

j=1

aijxj = bi, i ∈ 1, . . . ,m,

on suppose que les différentes équations du système sont linéairement indépen-dantes, ce qui revient à dire que la matrice A, définie à la section précédente, estde rang m (ce qui est toujours acquis avec l’introduction des variables d’écart).Après réduction par l’utilisation de la méthode du pivot, on arrive à une formu-lation du type,

x1 + a′1,m+1xm+1 + . . . + a′

1nxn = b′1x2 + a′

2,m+1xm+1 + . . . + a′2nxn = b′2

. . . . . .xm + a′

m,m+1xm+1 + . . . + a′mnxn = b′m

︷︸︸︷variables en base

︷︸︸︷variables hors base

Les variables x1, . . . , xm (on a éventuellement changé la numérotation au coursdes calculs pour qu’elles apparaissent dans cet ordre) sont appelées variables enbase. Les variables restantes i.e. xm+1, . . . , xn sont appelées variables horsbase. Dans cette configuration, une solution évidente du système de départsera :

xi = b′i, pour i ∈ 1, . . . , m et xi = 0, pour i ∈ m + 1, . . . , n.

Cette solution est de base réalisable. Ce type de solution sera utilisé ultérieu-rement dans la méthode du simplexe.

I.4 Définitions :

Solution réalisable :On appelle ainsi toute solution du système (I.6) (y compris donc lescontraintes de positivité).

Variables de base :tout sous-ensemble xi1 , . . . , xim de m variables prises parmi x1, . . . , xn ettelles que les vecteurs associés Pi1 , . . . , Pim forment une base de R

m doncque la matrice qu’ils forment, qui est carrée d’ordre m, soit inversible.

Solution de base :Toute solution comportant n−m variables nulles et telles que les m res-tantes soient des variables de base.

Solution de base réalisable :Toute solution de base qui satisfait aux contraintes (I.6).

Solution optimale :Toute solution réalisable qui optimise z. Si une telle solution existe, il y aau moins une qui est de base et réalisable.

I.5. RÉSOLUTION GRAPHIQUE D’UN PL : 39

I.5 Résolution graphique d’un PL :

I.5 .a Exemples :

1. Problème borné à solution unique (voir fig.(I.1) :

max(z) = x1 + 3x2

x1 + x2 ≤ 14−2x1 + 3x2 ≤ 12

2x1 − x2 ≤ 12x1, x2 ≥ 0

2. Problème borné avec infinité de solutions (voir fig.(I.2) :

max(z) = x1 + x2

x1 + x2 ≤ 14−2x1 + 3x2 ≤ 12

2x1 − x2 ≤ 12x1, x2 ≥ 0

3. Problème non borné sans solution (voir fig.(I.3) :

max(z) = x1 + x2−x1 + x2 ≤ 1−x1 + 2x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

4. Problème non borné avec une solution unique (voir fig.(I.4) :

max(z) = −3x1 + 4x2−x1 + x2 ≤ 1−x1 + 2x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

Dans le cas où il n’y a que deux variables structurelles, on peut effectuer unerésolution graphique. L’espace des décisions est ici le plan (x1, x2). L’ensembledes solutions réalisables, dans le cas d’un problème borné, constitue un polygoneconvexe : (O, A, B, C, D) dans l’exemple 1 ci-dessus. Dans le cas général, si lePL a des solutions, il en existe toujours au moins une qui est de base, c’est unsommet (ou point extrême) du polygone. Dans le PL de l’exemple 1, le pointB(6, 8) pour lequel la fonction économique z vaut 30 donne l’optimum. Toutesles droites d’équation z = x1 +3x2 sont parallèles, en les déplaçant vers le haut,tout en restant au contact du polygone convexe (O, A, B, C, D), on obtientcomme limite le point B. Dans l’exemple 2, la fonction économique z = x1 +x2,conduit à une infinité de solutions constituées par le segment [B, C], z vaut 14sur ce segment. Dans les exemples 3 et 4, l’ensemble des solutions réalisables estnon borné, dans ce cas la solution peut-être infinie (ex. 3) ou exister (ex. 4) cfles figures à la fin du chapitre. Enfin dans le cas de contraintes contradictoires,l’ensemble est vide, il n’y alors pas de solution.


I.6 Cas général :L’ensemble des solutions réalisables d’un PL détermine dans l’espace des

décisions (Rn) un ensemble convexe appelé domaine réalisable, qui est,– soit l’ensemble vide,– soit un ensemble polyédrique convexe non borné,– soit un polyèdre convexe.

Dans le cas où le PL admet des solutions, il existe toujours une solution situéesur un des sommets, appelés points extrêmes, du polyèdre.

41


Exercice I.1Une entreprise fabrique deux produits P1 et P2 qui nécéssitent du temps detravail(main d’œuvre), du temps-machine et des matières premières. Les donnéestechniques de production ainsi que les prix de vente par unité sont donnés dansle tableau ci-dessous :

P1 P2

Quantité de travail (enh) nécessaire à la fabri-cation d’une unité

0.07 0.04

Quantité de temps-machine (en h) néces-saire à la fabricationd’une unité

0.12 0.06

Quantité de matièrepremière (en nombred’unité u) nécessaireà la fabrication d’uneunité de produit

2 1

Prix de vente par unité(en ¤) 15 8

Chaque semaine, au plus, 4000 unités de matière première sont disponibles auprix de 1.5¤ par unité. L’entreprise emploie 4 ouvriers qui travaillent 35 heurespar semaine pour la main d’œuvre. Ces personnes peuvent faire des heures sup-plémentaires payée 10¤ l’unité. La disponibilité hebdomadaire des machinesest de 320h. Sans publicité, la demande hebdomadaire du produit P1 est de500 unités, celle de P2 de 600. Chaque ¤ dépensé en publicité pour P1 (resp.P2) augmente la demande hebdomadaire de 10 (resp. 15) unités. Les frais depublicité ne doivent pas dépasse 1000 ¤ et les quantités fabriquées doivent res-ter inférieures ou égales à la demande réelle (compte-tenu de la publicité). Ondéfinit les 6 variables suivantes :X1: nombre d’unités de P1 fabriquées par semaine.X2: nombre d’unités de P2 fabriquées par semaine.HS : nombre total d’heures supplémentaires effectuées par semaine.MP : nombre d’unités de matière première achetées par semaine.PUB1: nombre d’¤ dépensés en publicité pour P1.PUB2: nombre d’¤ dépensés en publicité pour P2.L’entreprise désire maximiser son profit sachant que,

Bénéfice = Chiffre des ventes - Somme des coûts variables.

42

Les salaires (pour les heures normales) sont un coût fixe pour l’entreprise.

Question :Modéliser le problème sous forme d’un PL que l’on ne demande pas derésoudre.

Exercice I.2On cherche comment approvisionner, au moindre coût, des clients en implantantun nombre p, donné a priori, de dépôts dans des sites préalablement recensés.Chaque client sera rattaché à un seul dépôt, un client quelconque pouvant êtrerattaché à n’importe quel dépôt. Les données sont :

– m le nombre de sites (m ≥ p).– n le nombre de clients.– γi le coût de construction d’un dépôt sur le site i (1 ≤ i ≤ m).– cij le coût de rattachement du client j à un dépôt construit sur le site i

(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n).On prend comme inconnues :

xij =

1 si le client j est rattaché au dépôt i0 sinon

yi =

1 si le dépôt est construit sur le site i0 sinon

Formuler :1. La fonction économique du problème (coût de construction des entrepôts

+ coût de rattachement).2. Les contraintes exprimant que chaque client est rattaché à un seul dépôt.3. La contrainte exprimant que l’on doit construire exactement p dépôts.4. Que signifient les contraintes supplémentaires :

xij ≤ yi, (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)

(interpréter le cas yi = 1, puis yi = 0).5. A la question précédente, on a introduit m.n contraintes. Montrer que l’on

peut remplacer celles-ci par seulement m contraintes du type :n∑

j=1

xij ≤ n.yi

.

Exercice I.3Résoudre graphiquement le PL suivant :

max(z) = x1 + 2x2

x1 + x2 ≤ 3−x1 + x2 ≤ 1

x1 ≤ 2x1, x2 ≥ 0

43

Même question pour le PL suivant :

max(z) = x1 + 2x2

x1 ≤ 1x1 + x2 ≥ 6−x1 + x2 = 12

x1, x2 ≥ 0

Exercice I.4Un fabricant d’aliment pour porcs, cherche à optimiser la composition de celui-ci sachant qu’il n’entre dans sa composition que trois ingrédients : Blé, maïset soja. L’aliment devra comporter au moins 22% d’un composant C1 et 4%d’un composant C2 pour se conformer aux normes en vigueur. Les données sontrésumées dans le tableau ci-dessous :

Blé Soja ColzaPourcentagede C1

12 52 42

Pourcentagede C2

2 2 10

Coût en ¤par tonne

25 41 39

1. Donner la formulation algébrique du PL en prenant comme variables struc-turelles les différents pourcentages requis pour obtenir une tonne d’ali-ment.

2. Montrer que l’on peut réduire à deux variables le PL et le résoudre gra-phiquement.

44

30=z=x1 + 3x2

0=z=x1 + 3x2

2x1

- x2

= 12

x1 + x2 = 14

O

A

B

C

D

x2

x1

-2x1 + 3x2 = 12

8

6

Opt

z croissant

Fig. I.1 – Représentation graphique en 2D, solution unique

0=z=x1 + x2

2x1

- x2

= 12

x1 + x2 = 14

O

A

B

C

D

x2

x1

-2x1 + 3x2 = 12

z croissant

Fig. I.2 – Représentation graphique en 2D, infinité de solutions

45

x2

x1

-x1 + 2x2 = 4

-x1 +

x2 =

1

O

A

B

z = x1 + x2

zcroissant

Fig. I.3 – Problème non borné, pas de solution

x2

x1

-x1 + 2x2 = 4

-x1 +

x2 = 1

6 = z = -3x1 + 4x2

O

A

B

Opt

3

2

z

croissant

Fig. I.4 – Problème non borné, solution unique

46

47

Chapitre II

La méthode du simplexe

II.1 Introduction

II.1 .a Etude d’un exemple :Reprenons l’exemple 1 de la section (III.2 .b) du chapitre précédent :

max(z) = x1 + 3x2

x1 + x2 ≤ 14−2x1 + 3x2 ≤ 12

2x1 − x2 ≤ 12x1, x2 ≥ 0

Pour obtenir des égalités, on introduit 3 variables d’écart t1, t2, t3, qui seront lesvariables de base initiales, avec x1, x2 hors base et de valeur nulle. On obtientle système :

z − x1 − 3x2 = 0

x1 + x2 + t1 = 14−2x1 + 3x2 + t2 = 12

2x1 − x2 + t3 = 12

La solution de base associée est (x1, x2, t1, t2, t3) = (0, 0, 14, 12, 12) avecz = 0. Le but est de maximiser z, on cherche si l’on peut augmenter les valeursde x1 ou x2 en les faisant entrer en base et en faisant sortir l’une des variablesti (le nombre de variables en base est constant et égal à m (3 ici)). x2 a le plusfort coefficient dans la fonction économique, il est donc naturel de la faire entreren base. Les différentes contraintes imposent, x2 ≤ 14, x2 ≤ 12

3 = 4, x2 ≥ 0,obtenues par les trois dernières équations du système. On retient la valeur x2 =4, de la deuxième équation, ce qui va entraîner la sortie de t2, x1 restant égaleà 0. On utilise la méthode du pivot de Gauss, pour obtenir le nouveau système(ici, on divise le coefficient de x2 par 3 dans la deuxième équation et on remplacex2 par 2

3x1 − 13 t2 + 4 dans les trois autres, on obtient le nouveau système :

z − 3x1 + t2 = 1253x1 + t1 − 1

3 t2 = 10− 2

3x1 + x2 + 13 t2 = 4

43x1 + 1

3 t2 + t3 = 16

48 CHAPITRE II. LA MÉTHODE DU SIMPLEXE

La nouvelle solution de base est (x1, x2, t1, t2, t3) = (0, 4, 10, 0, 16) avec z = 12.On cherche si on peut améliorer la solution, la seule possibilité ici est de faireentrer x1 en base, les contraintes conduisent à faire sortir t1 de la base et onobtient ainsi le nouveau système :

z + 9

5 t1 + 25 t2 = 30

53x1 + t1 − 1

3 t2 = 10− 2

3x1 + x2 + 13 t2 = 4

43x1 + 1

3 t2 + t3 = 16

La nouvelle solution de base est (x1, x2, t1, t2, t3) = (6, 8, 0, 0, 8) avec z = 30.Comme l’on doit avoir z = 30− 9

5 t1− 25 t2, avec t1, t2 = 0, la solution obtenue est

bien optimale. La solution du problème initial est (x1, x2) = (6, 8), on retrouvebien sûr ce que l’on avait obtenu par la résolution graphique.

II.1 .b Disposition pratique des calculs :On va représenter les données par un tableau (que l’on enrichira par la suite)

comportant les colonnes :

(Variables en base, Seconds membres, Liste des variables)

Dans notre exemple, nous obtenons successivement,

Tableau initial :

Base B x1 x2 t1 t2 t3

t1 14 1 1 1 0 0

t2 12 −2 3 0 1 0

t3 12 2 −1 0 0 1

Tableau n 2 :Le nombre 3 en gras, est appelé pivot, il est forcément strictement po-sitif, on divise la ligne du pivot (dans l’exemple, la ligne de la variablet2) par le pivot pour que la valeur de celui-ci devienne égale à 1, puispar combinaison linéaire, en ajoutant la ligne du pivot multipliée par uncoefficient tel que les valeurs de la colonne du pivot deviennent égales à 0à chacune des autres lignes, on obtient le tableau suivant, en remplaçantdans la première colonne la variable sortante par la variable entrante. Ici,on multiplie la ligne du pivot par −1 et on l’ajoute à la première ligne,puis on multiplie la ligne du pivot par 1 (inchangée) et on l’ajoute à ladernière ligne, pour obtenir les nouvelles lignes, cela donne :


t1 10 53 0 1 − 1

3 0

x2 4 −23 1 0 1

3 0

t3 16 43 0 0 1

3 1

II.2. L’ALGORITHME DU SIMPLEXE : 49

Ici le pivot est 53 , on opère comme précédemment.

Tableau final :


x1 6 1 0 35 − 1

5 0

x2 8 0 1 25

15 0

t3 8 0 0 − 45

35 1

Dans la colonne du vecteur B du dernier tableau figurent les valeurs desvariables en base : x1 = 6, x2 = 8, t3 = 8.

II.2 L’algorithme du simplexe :

On part d’un PL mis sous forme standard dans lequel on suppose que l’ondispose d’une solution de base réalisable de départ. En général celle-ci est ob-tenue par les m variables d’écart ti qui prennent respectivement les m valeursbi. Dans un problème à maximum, on va successivement, à chaque étape, faireentrer une variable en base, de telle sorte que la valeur de la fonction écono-mique z augmente. On cherche les solutions aux points extrêmes de l’ensembleconvexe des solutions réalisables.

II.2 .a Passage d’un extrême à l’autre

Considérons un point extrême (correspondant à une solution de base du PL),

X = (x1, . . . , xm, 0, . . . , 0) oùm∑

i=1

xiPi = B, xi ≥ 0 et P1, . . . , Pm linéairement

indépendants (base de Rm). Les n−m vecteurs Pm+1, . . . , Pn peuvent s’exprimer

comme des combinaisons linéaires des précédents, on peut écrire

Pj =m∑

i=1

xijPi, j ∈ m + 1, . . . , n (II.1)

Pour simplifier, supposons que l’on veuille faire entrer en base le vecteur Pm+1.Notons θ la valeur que l’on va donner à la variable xm+1 qui devient de base.

On a θPm+1 =m∑

i=1

θxi, m+1Pi, on peut donc écrire,

m∑i=1

(xi − θxi, m+1)Pi + θPm+1 = B (II.2)

On va chercher un point extrême voisin du point précédent. Pour cela, l’un desvecteurs Pi initiaux doit sortir de base et un vecteur hors base doit y rentrer. Ilfaut déterminer quel vecteur sortant on va choisir. On doit avoir obligatoirement


θ > 0, et xi−θxi, m+1 ≥ 0, ∀i ∈ 1, . . . , m. Cette dernière condition est acquisesi xi, m+1 ≤ 0 pour les autres on doit avoir

xi

xi, m+1≥ θ. On va donc choisir :

θ = θs = mini|xi,m+1>0

( xi

xi, m+1

)(II.3)

Soit s l’indice qui donne ce minimum, on a donc θs =xs

xs, m+1. Le coefficient

de Ps est donc nul et c’est le vecteur qui sort de base. La nouvelle base estdonc (Pi), i ∈ 1, . . . , m + 1\s. Si l’on suppose que s = 1, le nouveau pointextrême serait,

X ′ = (0, x2 − θsx2, m+1, . . . , xm − θsxm, m+1, θs, 0, . . . , 0)

II.2 .b Choix de la variable entrante

On va s’intéresser à la fonction économique. Avec les notations précédentes,

sa valeur pour le premier point extrême était z0 =m∑

i=1

cixi, pour le nouveau

point extrême X ′ on obtient, en posant zj =m∑

i=1

cixij quantité appelée coût

fictif,

z′0 =m∑

i=1i=s

ci(xi − θsxij) + θscm+1 = z0 + θs(cm+1 − zm+1)

On va choisir comme vecteur entrant celui dont l’indice e vérifie

ce − ze = maxi|ci−zi>0

(ci − zi),

c’est celui qui est susceptible de donner le plus grand accroissement à la fonctionéconomique. Dans le cas où tous les coûts fictifs sont négatifs ou nuls, on dé-montre que l’optimum est atteint. De plus, si pour un coût fictif positif, toutesles coordonnées xij de la colonne correspondante sont négatives ou nulles, onmontre que le problème n’admet pas de solution (problème non borné).

II.3 L’algorithme du simplexe :

Cet algorithme a été mis au point par George Dantzig en 1947. Il est basésur les considérations précédentes.

II.3. L’ALGORITHME DU SIMPLEXE : 51

II.3 .a L’algorithme :

PL à maximum

DébutMettre les contraintes sous forme d’égalités ;Rechercher une première solution réalisable ;Construire le premier tableau du simplexe ;Tant que ∃j ∈ 1, . . . , n : (cj − zj) > 0 Faire

Si ∃k ∈ 1, . . . , n : (ck − zk) > 0 et xij < 0 ∀i ∈ 1, . . . , mAlors max(z) = +∞ pas de solutionSinon

DébutRecherche des variables entrante et sortante xe entre en base si ce − ze = max(ck − zk) ;

xs sort sibs

xse= min

xie>0(

bi

xie) ;

Construction du nouveau tableau, le pivot est xseLigne du pivot

b′e ← bs

xsedans la colonne de B;

x′ej ← xsj

xsedonc 1 pour x′

es ;

Autres lignesb′i ← bi − xie

xsexs ;

x′ij ← xij − xie

xse;

z′0 ← z0 +

xs

xse(ce − ze) ;

cj − z′j ← cj − zj − xsj

xse(ce − ze) ;

Fin ;Fin.

II.3 .b Disposition pratique :On suppose que les variables x1, . . . , xm sont en base.

c1 c2 . . . cm cm+1 . . . cn

Base C B x1 x2 . . . xm xm+1 . . . xn

x1 c1 b1 1 0 . . . 0 x1,m+1 . . . x1,n

x2 c2 b2 0 1 . . . 0 x2,m+1 . . . x2,n

......

......

.... . .

......

......

xm cm bm 0 0 . . . 1 xm,m+1 . . . xm,n

z0 0 0 . . . 0 cm+1 − zm+1 . . . cn − zn


II.3 .c Traitement d’un exemple :

Soit le PL suivant :min(z) = x2 − 3x3 + 2x5

x1 + 3x2 − x3 + 2x5 = 7

−2x2 + 4x3 + x4 = 12−4x2 + 3x3 + 8x5 + x6 = 10

xj ≥ 0, j ∈ 1, . . . , 6Les vecteurs Pi et B correspondant aux variables xi sont les suivants :

P1

1

00

P2

3−2−4

P3

−1

43

P4

0

10

P5

2

08

P6

0

01

B

7

1210

Une base initiale est formée par P1 P4, P6, avec 7P1 + 12P4 + 10P6 = B,X = (7, 0, 0, 12, 0, 10) est une solution de base réalisable. Relativement à cettebase, on a,P2 = 3P1 − 2P4 − 4P6, P3 = −P1 + 4P4 + 3P6, P5 = 2P1 + 8P6. Le problèmeétant un problème à minimum, on va maximiser −z et donc remplacer dansl’algorithme du simplexe ci par c′i = −ci. Pour obtenir les valeurs de zi, onmultiplie les valeurs de la colonne C par les valeurs correspondantes de la co-lonne relative à la variable xi, puis on calcule les valeurs c′i−zi, on obtient ainsi,

Tableau initial :

0 −1 3 0 −2 0Base C B x1 x2 x3 x4 x5 x6

x1 0 7 1 3 −1 0 2 0

x4 0 12 0 −2 4 1 0 0

x6 0 10 0 −4 3 0 8 10 0 −1 3 0 −2 0

Seul c3 − z3 > 0, x3 entre en base. Les valeurs pour lesquelles xi3 > 0

sont x43, x63, on calcule les quotients :x4

x43=

124

= 3 etx6

x63=

103

, la

plus petite valeur est θ = 3, donc x4 sort de base, on calcule le deuxièmetableau.

Tableau n2 :

0 −1 3 0 −2 0Base C B x1 x2 x3 x4 x5 x6

x1 0 10 1 52 0 1

4 2 0

x3 3 3 0 − 12 1 1

4 0 0x6 0 1 0 − 5

2 0 − 34 8 1

9 0 12 0 − 3

4 −2 0On a ici c2 − z2 > 0 et x2 entre en base tandis que x1 sort, avec θ = 4.

II.4. OBTENTION D’UNE BASE RÉALISABLE DE DÉPART : 53

Tableau n3 :

0 −1 3 0 −2 0Base C B x1 x2 x3 x4 x5 x6

x2 −1 4 25 1 0 1

1045 0

x3 3 5 15 0 1 3

1025 0

x6 0 11 1 0 0 − 12 10 1

11 − 15 0 0 − 4

5 − 125 0

La solution optimale est X = (0, 4, 5, 0, 0, 11) et z0 = 11.

II.4 Obtention d’une base réalisable de départ :

Si le problème initial n’est pas sous la forme canonique, même en introdui-sant des variables d’écart, on n’obtiendra pas aisément une solution de base dedépart : en effet certaines des variables introduites figureront avec le coefficient−1 du fait du changement du sens de l’inégalité dans la contrainte correspon-dante. On sera donc amené à introduire de nouvelles variables, dites variablesartificielles qui figureront provisoirement dans la formulation du PL jusqu’àl’obtention, si elle est possible, d’une base de départ avec les variables initiales.G. Dantzig et d’autres chercheurs de RAND Corporation ont mis au point la :

II.4 .a Méthode en deux phases :

DébutMettre les contraintes sous forme d’égalités ;Rendre positif le second membre des contraintes ;Introduire les variables artificielles vi dans les contraintes :

n∑j=1

aijxj + vi = bi, xi, vj ≥ 0

Sous ces contraintes, résoudre le PL :

max(z) = −m∑

i=1

vi

Si ∀i ∈ 1, . . . , m, vi = 0Alors

Résoudre le PL initial en prenant comme solution de base de départla solution obtenue à l’issue de la première phase

Sinon Il n’y a pas de solution réalisableFin.

Remarques :1. On n’introduira que le nombre nécessaire de variables artificielles (≤ m),

c’est à dire dans les contraintes qui le nécessitent.2. Lorsqu’une variable artificielle sort de base, cette sortie est définitive et

on la raye de la liste.3. Le premier tableau du simplexe de la deuxième phase est identique au

dernier tableau de la première phase, à l’exception de la dernière ligne oùl’on reprend les coefficients initiaux de la fonction économique.


II.4 .b Exemple :

On veut résoudre le PL suivant :

max(z) = 5x1 + 7x2

x1 + x2 ≥ 6x1 ≥ 4

x2 ≤ 3x1, x2 ≥ 0

On introduit les variables d’écart t1, t2, t3 ≥ 0 ce qui conduit à :

max(z) = 5x1 + 7x2

x1 + x2 − t1 = 6x1 − t2 = 4

x2 + t3 = 3x1, x2, t1, t2, t3 ≥ 0

Les deux premières équations nécessitent l’introduction de deux variables arti-ficielles v1, v2, on obtient :

max(z) = −v1 − v2

x1 + x2 − t1 + v1 = 6x1 − t2 + v2 = 4

x2 + t3 = 3x1, x2, t1, t2, t3, v1, v2 ≥ 0

Première phase :

0 0 0 0 0 −1 −1Base C B x1 x2 t1 t2 t3 v1 v2

v1 −1 6 1 1 −1 0 0 1 0

v2 −1 4 1 0 0 −1 0 0 1

t3 0 3 0 1 0 0 1 0 0−10 2 1 −1 −1 0 0 0

v2 sort et x1 rentre en base, on élimine v2 du problème :

0 0 0 0 0 −1Base C B x1 x2 t1 t2 t3 v1

v1 −1 2 0 1 −1 1 0 1

x1 0 4 1 0 0 −1 0 0t3 0 3 0 1 0 0 1 0

−2 0 1 −1 1 0 0

II.4. OBTENTION D’UNE BASE RÉALISABLE DE DÉPART : 55

v1 sort et x2 entre en base, on élimine v1, ce qui achève la première phase :

0 0 0 0 0Base C B x1 x2 t1 t2 t3x2 0 2 0 1 −1 1 0x1 0 4 1 0 0 −1 0t3 0 1 0 0 1 −1 1

0 0 0 0 0Une solution de base réalisable est donc :X = (x1, x2, t1, t2, t3) = (4, 2, 0, 0, 1).

Deuxième phase :Le PL se formule sous la forme équivalente suivante :

max(z) = 5x1 + 7x2

x2 − t1 + t2 = 2x1 − t2 = 4

t1 − t2 + t3 = 1x1, x2, t1, t2, t3 ≥ 0

5 7 0 0 0Base C B x1 x2 t1 t2 t3

x2 7 2 0 1 −1 1 0x1 5 4 1 0 0 −1 0

t3 0 1 0 0 1 −1 1

34 0 0 7 −2 0t3 sort de base et t1 entre, La colonne de t2 ne comporte que des nombres≤ 0, le problème est donc non borné :

5 7 0 0 0Base C B x1 x2 t1 t2 t3x2 7 3 0 1 0 0 1x1 5 4 1 0 0 −1 0t1 0 1 0 0 1 −1 1

41 0 0 0 5 −7

56


Exercice II.1Un chalutier est équipé pour la pêche de trois sortes de crustacés, C1, C2, C3. Lacapacité totale de pêche est de 1000 tonnes. Au débarquement, on effectue untri sur la cargaison et seuls 80% de C1, 95% de C2 et 90% de C3 sont utilisablesà la vente. Par ailleurs la capacité de traitement est de 900 tonnes au maximum.Pour préserver les espèces, la différence entre la quantité pêchée de C1 et de latotalité des deux autres espèces, ne doit pas dépasser 100 tonnes. Le capitaineveut maximiser le bénéfice sachant qu’une tonne de C1 pêché et conditionnédégage un bénéfice de 125 ¤ de C2, 84 ¤ et de C3, 78 ¤.

1. Formuler algébriquement le PL ainsi posé (on pourra arrondir aux entiersles plus proches les coefficients de la fonction économique).

2. résoudre le PL par la méthode du simplexe.

Exercice II.2Résoudre le PL suivant en utilisant la méthode des pénalités pour trouver unepremière solution de base réalisable.

max(z) = 3x1 + 4x2 + x3

x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 83

x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 73

x1, x2, x3 ≥ 0

57

Chapitre III

Dual

III.1 Introduction :Etant donné un PL du type,

max(z) =n∑

j=1

cjxj

n∑j=1

aijxj ≤ bi, i ∈ 1, . . . ,m

xj ≥ 0, pour j ∈ 1, . . . , n(III.1)

on peut considérer qu’il concerne une entreprise E1 fabricant n biens j, j ∈1, . . . , n et faisant intervenir m ressources i, i ∈ 1, . . . , m. Le problème quepeut se poser l’entreprise est le suivant :Etant donnée la disponibilité bi pour chaque ressource i et le profit unitaire cj

pour chacun des biens j, quel doit être le niveau de production de chaque bienj pour que la quantité de bien i consommée reste inférieure à la disponibilité bi

et que le profit total soit maximal?Supposons qu’une autre entreprise E2, en rupture de stock, désire racheter lesressources de la première, le problème qu’elle va se poser et le suivant :Etant donné un prix unitaire cj pour chacun n biens j et une disponibilité bi

pour chacune des m ressources i, quel doit être le prix unitaire minimum d’achatyi de chaque ressource i pour que la valeur totale des ressources consomméespar chaque bien j soit supérieure ou égale à cj (pour que cela rester intéressantpour l’entreprise E1 et que le prix total d’achat des ressources disponible soitminimum?Ce deuxième problème constitue le problème dual du premier, il peut se mettresous la forme :

min(z) =m∑

i=1

biyi

m∑i=1

aijyi ≥ cj, j ∈ 1, . . . ,nyi ≥ 0, pour i ∈ 1, . . . , m

(III.2)

58 CHAPITRE III. DUAL

On voit aisément que les contraintes,

m∑i=1

aijyi ≥ cj , j ∈ 1, . . . ,n (III.3)

impliquent que le prix d’achat des ressources par l’entreprise E2 reste supérieurau profit que peut en tirer l’entreprise E1, c’est à dire,

m∑i=1

biyi ≥n∑

j=1

cjxj

ce qui est conforme aux lois de l’économie, on voit donc intuitivement que le mi-nimum atteint par le deuxième problème doit être égal au maximum du premierproblème. La théorie montre que c’est le cas quand le problème a des solutions.

III.2 Définitions et exemples :

III.2 .a Primal et Dual :Les PL standards (III.1) et (III.2) sont appelés respectivement problèmes

primal et dual :

Primal

max(z) =n∑

j=1

cjxj

n∑j=1

aijxj ≤ bi, i ∈ 1, . . . ,m

xj ≥ 0, pour j ∈ 1, . . . , n

Dual

min(z) =m∑

i=1

biyi

m∑i=1

aijyi ≥ cj , j ∈ 1, . . . ,nyi ≥ 0, pour i ∈ 1, . . . , m

III.2 .b Exemples :

Primal

max(z1) = x1 + 3x2

x1 + x2 ≤ 14−2x1 + 3x2 ≤ 12

2x1 − x2 ≤ 12x1, x2 ≥ 0

Dual

min(z2) = 14y1 + 12y2 + 12y3

y1 − 2y2 + 2y3 ≥ 1y1 + 3y2 − y3 ≥ 3y1, y2, y3 ≥ 0

Remarque : Le PL initial doit impérativement être mis sous forme canoniqueavant de déterminer son dual, ainsi dans l’exemple qui suit,

III.3. PROPRIÉTÉS DE LA DUALITÉ : 59

min(z1) = −2x1 + 4x2

3x1 + x2 ≥ 104x1 − 3x2 ≤ 8x1 − x2 ≤ 6

x1, x2 ≥ 0

on écrira :

Primal

min(z1) = −2x1 + 9x2

3x1 + x2 ≥ 10−4x1 + 3x2 ≥ −8−x1 + x2 ≥ −6

x1, x2 ≥ 0

Dual

max(z2) = 10y1 − 8y2 − 6y3

3y1 − 4y2 − y3 ≤ −2y1 + 3y2 + y3 ≤ 9

y1, y2, y3 ≥ 0

III.3 Propriétés de la dualité :On démontre les théorèmes suivants :

Théorèmes :– Le dual du PL dual est le PL primal.– Si le primal est non borné, le dual est contradictoire. Si le primal est

contradictoire, le dual est non borné ou contradictoire. Si le primal admetune solution finie x alors le dual admet une solution optimale finie y quivérifie : z1(x) = z2(y).

– A toute variable d’écart primale (resp. duale) positive correspond une va-riable structurelle duale (resp. primale) nulle. A toute variable structurelleprimale (resp. duale) positive correspond une variable d’écart duale (resp.primale) nulle. On note, xj (resp. yi)les variables structurelles du primal(resp. dual) et ti (resp. uj) les variables d’écart du primal (resp. dual).

xj = 0 → uj > 0xj > 0 ← uj = 0ti = 0 → yi > 0ti > 0 ← yi = 0

III.4 Passage du dernier tableau simplexe du pri-mal au dernier tableau simplexe du dual :

Au signe près, on a les correspondances suivantes :

ligne xj (resp. ti) en base ←→ colonne uj (resp.yi) hors base.colonne xj (resp. ti) hors base ←→ ligne uj (resp.yi) en base.ligne cj − zj (primal) ←→ ligne zi − bi.

60 CHAPITRE III. DUAL

Exemple :Base B x1 x2 t1 t2 t3x1 6 1 0 3

5 − 15 0

x2 8 0 1 25

15 0

t3 8 0 0 − 45

35 1

30 0 0 − 95 − 2

5 0En utilisant les propriétés vues ci-dessus, on obtient le tableau final simplexe

du dual :

Base B y1 y2 y3 u1 u2

y195 1 0 4

5 − 35 − 2

5

y225 0 1 − 3

515 − 1

5

30 0 0 −8 −6 −8

61


Exercice III.1Une entreprise fabrique 3 produits A, B et C qui nécessitent matières premièreset main d’œuvre qui sont disponibles en quantité limitées suivant le tableauci-dessous :

Produits A B C DisponibilitéMatières premières(en kg) 4 2 1 6000Main d’œuvre (en h) 2 0.5 3 4000Bénéfice par unité (en ¤) 60 20 40

De plus les capacités de stockage ne peuvent excéder 2500 unités.

1. Formuler algébriquement le PL ainsi posé.On note xi, i ∈ 1, 2, 3 les variables structurelles du problème et ti, i ∈1, 2, 3 les variables d’écarts. On considère le tableau du simplexe cor-respondant à notre PL :

60 20 40 0 0 0

Base C B x1 x2 x3 t1 t2 t3

x1 60 1400 11120 0

310 − 1

10 0

x3 40 400 0 − 15 1 − 1

525 0

t3 0 700 01320 0 − 1

10 − 310 1

0 0 −5 0 −10 −10 0

2. Déterminer un plan optimal de fabrication hebdomadaire.3. Déterminer le PL dual, son dernier tableau par la méthode du simplexe

et sa solution optimale.4. On envisage la fabrication d’un nouveau produit, D, qui nécessite 1.5kg de

matières premières et 2.5h de main d’œuvre par unité. La fabrication d’uneunité de ce produit revient à 70 ¤. Quel est le prix de vente minimum àdonner au produit pour qu’il soit intéressant de le fabriquer? (on supposeraque le bénéfice net est égal à la différence du prix de vente et du coût defabrication, on notera p ce bénéfice.)

62

63

Chapitre IV

Analyse de sensibilité, PLparamétrique

Dans la pratique, on a à faire face aux situations suivantes :

– Le profit unitaire de chaque activité peut varier soit à cause de la conjonc-ture, soit qu’il ait mal été estimé.

– Les disponibilités peuvent varier et ainsi modifier les valeurs des secondsmembres des contraintes.

Grâce à la dualité on pourra se contenter de traiter le premier type de pro-blème. On suppose que l’on a affaire à un PL sous forme standard admettantdes solutions optimales réalisables. Dans cette configuration, si l’on remplace lecoefficient ci d’une variable hors base xi par c′i = ci+α, il se peut que la quantitéc′i − z′i correspondante ne soit plus négative et que la solution obtenue ne soitplus optimale. La variable xi sera candidate pour entrer en base. La plus petitevaleur |α| telle que, lorsque ci est remplacé par c′i, la variable xi est candidateà rentrer en base, est appelée coût réduit de la variable xi. La significationéconomique est que pour les variables hors base, la valeur est nulle, ce qui veutdire que les activités correspondantes ne sont pas profitables, le problème estdonc de savoir pour quelles valeurs des coefficients de la fonction économiqueelles le deviennent.

IV.1 Paramétrisation de la fonction économique

Considérons le PL suivant :

max(z) =n∑

j=1

cjxj

n∑j=1

aijxj = bi, i ∈ 1, . . . ,m

xj ≥ 0, pour j ∈ 1, . . . , n

64 CHAPITRE IV. ANALYSE DE SENSIBILITÉ, PL PARAMÉTRIQUE

On va poser, cj = c′j + λc′′j , ∀i ∈ 1, . . . , n. La fonction économique devientune fonction de λ :

z(λ) =n∑

i=1

(c′i + λc′′i )xi

Le domaine de variation de λ peut être découpé en un nombre fini d’intervallespour chacun desquels correspond une solution optimale différente. Ces intervallessont appelés intervalles de stabilité .Supposons qu’il existe une solution optimale x(λ0) du PL pour la valeur λ = λ0.A cette solution correspond un tableau final du simplexe pour lequel toutes lesquantités cj − zj sont négatives. Comme ici,

zj =m∑

i=1

cixij =m∑

i=1

(c′i + λ0c′′i )xij , j ∈ 1, . . . , n

On en déduit,

λ0

(c′′j −

m∑i=1

c′′i xij

)+

(c′j −

m∑i=1

c′ixij

)≤ 0, j ∈ 1, . . . , n

Posons C′j = c′j −

m∑i=1

c′ixij et C′′j = c′′j −

m∑i=1

c′′i xij .

La solution x(λ) restera optimale si toutes les quantités correspondantes zj − cj

restent négatives, i.e. pour toutes les valeurs de λ qui vérifient : λ ≤ αj = − C′

j

C′′j∀j ∈ 1, . . . , n,\C′′

j > 0λ ≥ βj = − C′

j

C′′j∀j ∈ 1, . . . , n,\C′′

j < 0

En posant a0 = minj αj et b0 = maxj βj , l’intervalle de stabilité de la solutionx(λ0) est [a0, b0]. Pour toute valeur de λ prise dans cet intervalle, x(λ) resteune solution optimale.Dans la pratique, on construit les intervalles de stabilité de proche en procheà partir d’une valeur λ0 déterminée (souvent 0), qui correspond à un PL sansparamètre. On poursuit le processus jusqu’à ce que les intervalles de stabilitérecouvrent le domaine de variation de λ tout entier.Remarque :Le changement des coûts ci ne modifie pas la région admissible, seule la fonc-tion économique varie. Dans le cas d’un problème à deux variables, si un pointextrême P est solution optimale, on cherche la pente des droites définies par lafonction économique pour lesquels P reste une solution optimale.

IV.2 Paramétrisation du second membre des contraintes

Considérons le PL suivant :

max(z) =n∑

j=1

cjxj

IV.3. EXEMPLE 65

n∑j=1

aijxj ≤ b′i + λb′′i , i ∈ 1, . . . ,m, λ ∈ R

xj ≥ 0, pour j ∈ 1, . . . , n

Par dualité on peut se ramener au cas de la paramétrisation de la fonction éco-nomique. Le dual s’écrit en effet :

min(z) =m∑

i=1

(b′i + λb′′i )yi

n∑i=1

aijyi ≥ cj, j ∈ 1, . . . ,nyi ≥ 0, pour i ∈ 1, . . . , m

que l’on résout comme à la section précédente.

IV.3 Exemple

max(z) = x1 + (3− 3λ)x2

x1 + x2 ≤ 14−2x1 + 3x2 ≤ 12

2x1 − x2 ≤ 12x1, x2 ≥ 0

Pour λ = 0 la solution optimale a déjà été calculée. Sur chaque intervalle destabilité, les valeurs de x1 et x2 sont fixées, la valeur optimale de la fonctionéconomique devient donc une fonction affine par morceaux de la variable λ.

1 3− 3λ 0 0 0Base C B x1 x2 t1 t2 t3

x1 1 6 1 0 35 − 1

5 0x2 3− 3λ 8 0 1 2

515 0

t3 0 8 0 0 − 45

35 1

30− 24λ 0 0 −9+6λ5

−2+3λ5 0

−9 + 6λ

5≤ 0

−2 + 3λ

5≤ 0

=> 0 ≤ λ ≤ 23, (x1, x2) = (6, 8), z = 30− 24λ.

Le premier intervalle de stabilité est donc :[0;

23

].

66 CHAPITRE IV. ANALYSE DE SENSIBILITÉ, PL PARAMÉTRIQUE

1 3− 3λ 0 0 0Base C B x1 x2 t1 t2 t3

x1 1 263 1 0 − 1

3 0 13

x2 3− 3λ 163 0 1 2

3 0 − 13

t2 0 403 0 0 − 4

3 0 53

743 − 16λ 0 0 − 7

3 + 2λ 0 23 − λ

−7

3+ 2λ ≤ 0

23− λ ≤ 0

=>23≤ λ ≤ 7

6, (x1, x2) =

(263

,163

), z =

743− 16λ.

Le deuxième intervalle de stabilité est donc :[23;

76

].

1 3− 3λ 0 0 0Base C B x1 x2 t1 t2 t3

x1 1 6 1 − 12 0 0 1

2

t1 0 8 0 32 1 0 − 1

2

t2 0 24 0 2 0 1 16 0 7

2 − 3λ 0 0 − 12

λ ≥ 76, (x1, x2) = (6, 0), z = 6.

Le dernier intervalle de stabilité est donc :[76; +∞[.

6

14

30

2/3 7/6

z

O

Fig. IV.1 – Intervalles de stabilité

67

Exercices du chapitre IV

Exercice IV.1Une petite compagnie de taxis-bus possède 4 véhicules et emploie 6 chauffeurs.Les véhicules peuvent rouler de jour comme de nuit. Le rendement d’un véhiculecirculant le jour est fixé à 1 tandis que la nuit il vaut 1+λ. Déterminer le nombrede véhicules devant circuler la nuit en fonction de λ.

Exercice IV.2Quatre machines M1, M2, M3, M4 servent à fabriquer trois produits P1, P2, P3.Le produit P1 est composé de deux éléments fabriqués respectivement par M1

et M3, P2 de trois éléments fabriqués respectivement par M2, M3 et M4, P3

de trois éléments fabriqués respectivement par M1, M2 et M4. Les machinesM1, M2, M3, M4 doivent produire quotidiennement respectivement au moins10, 12, 8, 10 unités pour être rentables.

Déterminer les quantités minimales des trois produits à fabriquer pour mi-nimiser le coût total de production, si les coût unitaires de production valentrespectivement :

1. 2, 3 et 4 ¤.2. (2+3λ), (3+2λ) et (4+λ) ¤, où λ est choisi de telle manière que les quan-

tités considérées soient positives ou nulles. Représenter graphiquement lafonction économique pour les valeurs optimales, en fonction de λ.

68

69

Troisième partie

Processus Stochastiques etapplications

71

Chapitre I

Présentation des processusstochastiques

I.1 Définition des processus stochastiques

On se souvient qu’une variable aléatoire réelle définit une mise en corres-pondance biunivoque entre les résultats d’une expérience et des valeurs prisesdans R ou un sous-ensemble de R. Un processus stochastique consiste en lamise en correspondance biunivoque entre les résultats d’une expérience et unefonction d’un paramètre t (en général représentant le temps) ou d’une ou plu-sieurs autres variables indépendantes, prenant ses valeurs dans un ensemble Tet à valeurs dans un ensemble noté E, appelé espaces des états. Cette fonc-tion du paramètre t est appelée fonction aléatoire . Pour chaque valeur det on définit ainsi une variable aléatoire réelle . Si on appelle Ω l’ensemble défi-nissant les résultats de l’expérience considérée, on définit donc une applicationT → V A(Ω, E), t → (ω → Xt(ω)). que l’on notera pour simplifier X . Si T estun intervalle de R on parlera de processus stochastique, si T est discret (parexemple N) on parlera de suite stochastique, à état d’état continu si E estun intervalle de R, discret si E est discret. Pour ω fixé, l’application t→ Xt(ω)est appelée trajectoire du processus X.

Exemple n1 On mesure tous les jours du mois de janvier la pluviométrieen mm de différentes communes. L’ensemble Ω représente ici la mesurede la pluviométrie au mois de janvier dans l’ensemble des communes.T = 1, . . . , 31 est discret, tandis que l’espace d’états E, qui est unintervalle de R, est continu. Si on choisit une commune particulière c1, onobtient la réalisation d’une courbe de pluviométrie Xc1(t) d’autre part,pour un jour donné t1, Xt1 représente une variable aléatoire réelle conti-nue. Si l’on choisit une autre commune c2, on obtient une autre réalisationXc2(t).

Exemple n2 Sur la carte mémoire d’un appareil photo numérique on consi-dère l’ensemble Ω des photos qui sont stockées. Le choix d’une photo don-née constitue une réalisation particulière de l’expérience choisir une photo.Si la photo est codée en RVB, Chaque pixel de la photo est représenté par

72 CHAPITRE I. PRÉSENTATION DES PROCESSUS STOCHASTIQUES

un triplet (R, V, B) appartenant à 0, . . . , 2553. L’espace T est ici l’en-semble (fini) des pixels pour le format choisi, et l’espace E l’ensembledes triplets possibles de couleurs. On a donc ici une suite stochastique àvaleurs discrètes.

t

Xc1

(t)

en

mm

1 2 3 31 t2 3 311

Commune n˚1 Commune n˚2

Xc2

(t)

en

mm

Fig. I.1 – Exemple de processus en temps discret

Exemple n3 La courbe d’évolution du CAC40 constitue une trajectoire duprocessus stochastique continu à espace d’état continu, dont l’espace Ω estformé de portefeuilles d’actions, le CAC40 étant constitué de l’ensembledes 40 actions les plus représentatives de l’économie française. La courbeest continue bien que très perturbée, ce n’est pas le cas pour toutes lestrajectoires.

Fig. I.2 – Exemple de trajectoire : le CAC40

I.2. PROCESSUS DE POISSON 73

I.2 Processus de Poisson

I.2 .a Présentation

Un processus de Poisson est un processus continu à espace d’états discret.Il sert à décrire de nombreuses situations, citons, le nombre d’appels télépho-niques à un standard, le nombre d’accidents à un carrefour, le nombre de pannessur des appareils, le nombre de clients dans un système de service, etc . . .

I.2 .b Modélisation

Si on note X le processus, en partant de la valeur t = 0, Xt décrit le nombred’événements survenus dans l’intervalle ]0, t], par hypothèse X0 = 0. Le proces-sus X est dit de Poisson s’il vérifie les conditions suivantes :

1. Le processus est sans mémoire, ce qui revient à dire que pour un instantquelconque t, les occurences d’événements avant la date t n’influent pas surles occurences d’événements après t. De manière générale, si l’on considèredeux intervalles [t1, t2] et [t′1, t′2] disjoints, le nombre d’événements qui seproduisent dans l’un des intervalles est indépendant des événements quise produisent dans l’autre.

2. Si l’on considère t > 0 et h > 0 quelconques, Xt+h −Xt est une variablealéatoire dont les valeurs ne dépendent que de h. On dit que le processusest homogène dans le temps. Puisque X0 = 0, la loi de cette v.a. est lamême que celle de Xh.

3. La probabilité pour qu’au moins deux événements se réalisent en mêmetemps est négligeable devant la probabilité qu’il ne s’en produise qu’un.

Sous réserve de quelques hypothèses supplémentaires, on montre qu’il existe uneconstante λ telle que la v.a. Xt suive une loi de Poisson de paramètre λt. C’està dire que,

∀t ∈]0, +∞[, ∀n ∈ N, P (Xt = n) =(λt)n

n!exp(−λt).

On a, E(Xt) = V (Xt) = λt. On a donc λ =E(Xt)

t, c’est la taux d’arrivée i.e. le

nombre moyen d’arrivées par unité de temps. Cette remarque permettra de dé-terminer λ expérimentalement en faisant quelques hypothèses supplémentaires.Soient t, s > 0, le fait que le processus ne dépende pas de son passé impliqueque :

P (Xt+s −Xt = n|Xu,u ≤ t) = P (Xt+s −Xt = n) =(λs)n

n!exp(−λs)

I.3 Temps d’attente

Etant donné un processus de Poisson X , on s’intéresse à la suite stochastiqueT à espace d’états continu qui pour chaque valeur de n ∈ N définit le tempsécoulé jusqu’à la neme occurence de l’événement considéré. La v.a. T1 vérifie :

P (T 1 > t) = P (Xt = 0) = e−λt.

74 CHAPITRE I. PRÉSENTATION DES PROCESSUS STOCHASTIQUES

En effet l’événement (T1 > t) signifie qu’aucun événement ne s’est produit surl’intervalle [0, t]. T1 suit donc une loi exponentielle de paramètre λ. Pour n ∈ N

∗,intéressons-nous à la v.a. Tn+1 − Tn, qui définit la loi d’inter-arrivées entre laneme et la (n + 1)eme occurence de l’événement.

(∀s ∈ R+), P (Tn+1 − Tn > t) = P (Xs+t −Xs = 0) = P (Xt = 0) = e−λt

puisque d’une part, si n événements sont arrivés sur l’intervalle ]0, s], il n’y enaucun sur l’intervalle ]s, s + t], et que d’autre part le processus X est sansmémoire.Remarque : X et T décrivent le même processus et l’on a,

∀t ∈ R, ∀n ∈ N, (Tn ≤ t) ≡ (Xt ≥ n).

On déduit des résultats précédents que la v.a. Tn suit une loi d’Erlang de para-mètres n, λ définie par :

P (Tn ≤ t) = 1−n∑

k=0

(λt)k

k!e−λt.

I.4 Détermination expérimentale

On a le résultat suivant :

I.4 .a Théorème

Soit X un processus de Poisson. Si un événement intervient dans l’intervalle]0, t], t > 0, la probabilité pour qu’il se produise dans un sous-intervalle de lon-gueur x ≤ t est

x

tc’est à dire que la v.a. Y1 associée à cet événement suit une loi

uniforme sur ]0, t]. Plus généralement, s’il y a eu n événements sur l’intervalle]0, t], les v.a. Y1, . . . , Yn sont indépendantes et de loi uniforme sur ]0, t]. Celaimplique que lors de la détermination expérimentale de la loi on pourra choisirdes échantillons au hasard dans les intervalles concernés.

I.4 .b Application

Dans une banque ouvrant de 9h à 17h en journée continue, on a choisi unéchantillon de 100 intervalles de 30 minutes durant lesquels on a relevé le nombrede clients dans la banque. On a fait l’hypothèse que durant la journée chaquepériode vérifie les conditions du théoreme I.4 .a, ce qui signifie que les différentesplages horaires sont identiquement chargées. On a établi le tableau suivant :

Nombre d’arrivées 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Nombre de périodes 2 9 14 19 20 15 11 5 3 1 1 0

Calcul de la moyenne :(0 × 2 + 1× 9 + . . . + 10× 1 + 11× 0)

100≈ 4.

On constate que l’histogramme est très proche de celui d’une loi de Poisson de

I.5. GRAPHES ASSOCIÉS À UNE LOI DE POISSON 75

paramètre 4 :

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11100× pk 1.83 7.33 14.6 19.6 19.6 15.6 10.4 6.0 3.0 1.3 0.0 0.0

On valide cette hypothèse avec un test du χ2 par exemple.

I.5 Graphes associés à une loi de PoissonSoit X un processus de Poisson de paramètre λ. Sur un petit intervalle

de temps ∆t on peut considérer qu’il n’y a que deux possibilités : soit il y aune arrivée, avec une probabilité proche de λ∆t, soit il n’y en a aucune avec laprobabilité 1−λ∆t. On obtient le graphe de transitions entre les différents états :

Fig. I.3 – Graphe du processus de Poisson

I.6 ExempleDans une station de RER, les trains arrivent à une gare selon un processus

de Poisson de paramètre 4 trains par heure en moyenne. Un voyageur arriveà la gare où un employé lui déclare que le précédent train est passé il y a unedemi-heure. Quelle est la probabilité que le voyageur doive attendre plus de cinqminutes le train suivant?Réponse :

la durée d’attente T entre deux trains suit une loi exponentielle de paramètreλ = 4. On a

P

(T >

12

+112|T >

12

)= P

(T >

112

)= e−

412 = e−

13 .

En utilisant le processus de Poisson X de paramètre 4, on obtient :

P (X 112

= 0) =( 412 )0

0!e−

412 = e−

13 .

76


Exercice I.1Dans un standard téléphonique, on a constaté que le nombre moyen d’appelsarrivant par minute entre 14h et 18h est de 2.5. Sachant que les appels suiventun processus de Poisson, trouver les probabilités pour que dans une minutequelconque de l’intervalle [14, 18],

1. Il n’y ait pas d’appel.2. Il y ait deux appels exactement.3. Il y ait quatre appels au moins.

Exercice I.2Un laboratoire d’analyses médicales effectue régulièrement des contrôles de fac-teur rhésus sur des groupes de 30 personnes.

1. Sachant qu’en moyenne, 15 personnes sur 100 ont un rhésus négatif, expri-mer la loi de la variable X associant à chacun de ces contrôles le nombredes personnes contrôlées ayant un rhésus négatif. Calculer l’espérance etla variance de X .

2. On approche la loi de X par une loi de Poisson. Déterminer le paramètrede cette loi et donner à l’aide de cette loi les valeurs approchées des évé-nements : (X < 2) et (X > 3).

Exercice I.3Des bateaux arrivent dans un port de plaisance suivant un processus de Poissonde paramètre λ = 2. Le port ne peut accueillir que 3 bateaux par jour. S’il arriveplus de 3 bateaux, les navires en excès sont envoyés dans un autre port.

1. Quelle est la probabilité pour qu’un jour donné, au moins un bateau soitrefusé?

2. Combien de bateaux seront, en moyenne, accueillis dans une journée?

Exercice I.4Les véhicules circulant dans une rue suivent un processus de Poisson de pa-ramètre λ = 1

5 (en secondes). Pour traverser la rue un piéton a besoin de 10secondes. Quelle est la fraction des intervalles entre deux véhicules, assez grandepour permettre au piéton de traverser la rue?

77

Chapitre II

Processus de naissance et demort

II.1 IntroductionDans un processus de Poisson, la probabilité de l’occurence d’un événement

est indépendante des événements qui se sont déjà produits. Cela n’est pas unehypothèse réaliste quand on étudie, par exemple, l’évolution d’une population,le nombre de naissances ou de morts dépendant de la taille de la population.Dans le cas général, le taux de naissance dépendra de la taille n de la population,on le notera λn, de même que l’on notera µn le taux de mort.

II.2 DéfinitionConsidérons un processus stochastique X à espace d’états discret N. Ce

processus décrit un système qui est dans un état noté En, n ∈ N au temps t siet seulement si Xt = n. On dira que ce système est un processus de naissanceet de mort, s’il existe des taux positifs ou nuls de naissance λn, n ∈ N et destaux positifs ou nuls de mort µn, n ∈ N

∗ tels que les conditions suivantes soientsatisfaites :

1. Les changements d’états sont seulement autorisés de l’état En vers l’étatEn+1 ou de l’état En vers l’état En−1 si n ≥ 1 mais seulement de l’étatE0 à l’état E1.

2. Si à l’instant t le système est dans l’état En, la probabilité qu’entre l’ins-tant t et l’instant t + h la transition se produise vers l’étant En+1 est

λnh + o(h) (rappelons que o(h) signifie que limh→0

o(h)h

= 0) et que la tran-

sition se produise vers l’état En−1 (si n ≥ 1) est µnh + o(h)3. La probabilité que plus d’une transition se produise dans l’intervalle [t, t+

h] est o(h).

Exemple : dans la théorie des files d’attente, on verra que l’on peut considérerl’évolution de la file comme un processus de naissance et de mort où l’état En

correspond à la présence de n clients dans le système d’attente, attendant ourecevant un service.

78 CHAPITRE II. PROCESSUS DE NAISSANCE ET DE MORT

II.3 Modélisation

Nous poserons dans la suite Pn(t) = P (Xt = n). Pour n ≥ 0 la probabilitéqu’au temps t + h le système soit dans l’état En a quatre composantes :

1. Il était dans l’état En à l’instant t et aucune transition ne s’est produite.L’événement associé est :

(Xt = n) ∩ (aucune naissance ni mort sur l’intervalle) [t,t + h].

La probabilité associée est

Pn(t)(1 − λnh + o(h))(1 − µnh + o(h).

La probabilité qu’il n’y ait pas de transition étant égale à 1− la probabilitéqu’il y ait une transition. En utilisant les propriétés de o(h), on obtient :

Pn(t)(1 − λnh− µnh) + o(h).

2. Il était dans l’état En−1 au temps t et se trouve dans l’état En à l’instantt + h. On obtient la probabilité :

Pn−1(t)λn−1h + o(h).

3. Il était dans l’état En+1 au temps t et se trouve dans l’état En à l’instantt + h. On obtient la probabilité :

Pn+1(t)µn+1h + o(h).

4. Plus d’une transition s’est produite : probabilité o(h) (négligeable devanth).

Au total on obtient :

Pn(t + h) = [1− λnh− µnh]Pn(t) + λn−1hPn−1(t) + µn+1hPn+1(t) + o(h).

En soustrayant Pn(t), en divisant par h et en passant à la limite, on obtient leséquations différentielles :

∀n ∈ N∗, P ′

n(t) = −(λn + µn)Pn(t) + λn−1Pn−1(t) + µn+1Pn+1(t).

Pour n = 0, on obtient,

P ′0(t) = −λ0P0(t) + µ1P1(t).

Si le système est dans l’état Ei pour un certain i à l’instant t = 0, les conditionsinitiales sont :

Pi(0) = 1, Pj(0) = 0 pour j = i.

Inutile de préciser que la résolution de tels systèmes est extrêmement complexe.Il y a cependant des cas particuliers où cela reste relativement aisé. Voyons-enquelques uns.

II.4. PROBABILITÉS À LONG TERME 79

II.3 .a Processus de naissance purOn a ici ∀n ∈ N λn = λ, µn = 0. On est conduit au système :

P ′

n(t) = −λPn(t) + λPn−1(t), pour n ≥ 1P ′

0(t) = −λP0(t)P0(0) = 1, Pj(0) = 0, pourj = 0

Les solutions de ce système sont :

∀n ∈ N, t ≥ 0, Pn(t) =(λt)ne−λt

n!.

On retrouve le processus de Poisson, ce qui permet d’en donner une nouvelleinterprétation : c’est un processus de naissance pur à taux constant.

II.3 .b Processus de mort purOn part d’un système à N + 1 états possibles numérotés de 0 à N . Dans ce

processus nous avons,

∀n ∈ 0, . . . , N λn = 0, µn = µ si n ≥ 1, µ0 = 0.

Intuitivement, il s’agit ici d’une population à N individus dans laquelle il n’y aque des disparitions et pas de naissance. Ici Pn(t) est la probabilité que N − ndisparitions se soient produites dans l’intervalle [0, t], on trouve,

Pn(t) =(µt)N−n

(N − n)!e−µt, n ∈ 1, . . . , N, et P0(t) = 1−

N−1∑j=0

(µt)j

j!e−µt

II.4 Probabilités à long termeDans le cas général, le calcul des probabilités Pn(t) s’avère très difficile,

voire impossible. Cependant, dans la plupart des cas, le processus atteint unétat d’équilibre appelé régime stationnaire où les probabilités Pn(t) tendentvers une limite pn qui ne dépend plus de t. Les dérivées P ′

n(t) s’annulent alorson obtient les équations d’équilibre suivantes :

λ0p0 = µ1p1

λnpn = µn+1pn+1 pour n ∈ N∗

avec l’équation de normalisation :

+∞∑n=0

pn = 1

On obtient les solutions :

pn =λ0λ1 . . . λn−1

µ1µ2 . . . µnp0.

Avec l’équation de normalisation, on obtient p0 et donc toutes les autres valeurs.

80 CHAPITRE II. PROCESSUS DE NAISSANCE ET DE MORT

n-1 n n+1

n+1 n-1

n+1 n 1

Fig. II.1 – Graphe du processus de Naissance et de mort

En régime stationnaire, les équations obtenues signifient que pour tout étatEn on a :

Flux entrant = Flux sortant

81


Exercice II.1On considère un processus de naissance et de mort pouvant prendre les étatsE0, E1, E2, E3 caractérisé par les paramètres suivants :λ0 = 4, λ1 = 3, λ2 = 2, , µ1 = 2, µ2 = 4, et µ3 = 4.

1. Construisez le diagramme de transition de ce processus.2. Déterminer les probabilités en régime stationnaire du processus.

Exercice II.2On considère un processus de naissance et de mort dans lequel, λn =

α

n + 1, n ∈

N pour un réel α > 0 et µn = µ, n ∈ N.

Montrer que pn =(α

µ )n

n!e−

αµ .

82

83

Chapitre III

Chaînes de Markov

III.1 DéfinitionUn processus stochastique X = Xt, t ∈ T à espace d’états E est un pro-

cessus de Markov s’il est homogène dans le temps, i.e. si son comportementsur un intervalle de T ne dépend que de la longueur de cet intervalle et non deson origine, et si, ∀t1, . . . , tn+1, n ∈ N

∗, t1 < t2 < . . . < tn+1 et tout ensembled’états E1, . . . , En+1, prenant respectivemet les valeurs x1, . . . , xn+1,

P (Xtn+1 = xn+1|Xt1 = x1, . . . , Xtn = xn) = P (Xtn+1 = xn+1|Xtn = xn)

Intuitivement, cela signifie que le futur du processus ne dépend que de l’étatprésent En et non de l’histoire du processus.On s’intéressera ici aux processus à espace d’états discret, appelé chaîne deMarkov. Pour simplifier les notations on supposera que la valeur prise dansl’état En, n ∈ N est n. De la même manière, on supposera que T est discretet on noter m, m ∈ N au lieu de tm, on aura donc à considérer la suite Xn, n ∈ N.

III.2 Probabilités de transition

III.2 .a Transition d’ordre 1Si au temps 0 on est dans l’état Ei, on va définir les probabilités de passer

dans un autre état Ej à l’instant suivant :

pij = P (X1 = j|X0 = i)

De manière générale on va s’intéresser aux probabilités :

P (Xn+1 = j|Xn = i)

Ces probabilités appelées probabilités de transition dépendent en général del’état de départ En, mais comme on a supposé le processus homogène dans letemps il n’en est rien. On aura donc pour toute valeur de n,

P (Xn+1 = j|Xn = i) = pij

84 CHAPITRE III. CHAÎNES DE MARKOV

Ces quantités vérifient les propriétés suivantes :

0 ≤ pij ≤ 1, ∀(i, j) ∈ N2

+∞∑j=0

pij = 1, ∀i ∈ N

La matrice ((pij)) est appelée matrice stochastique .

III.2 .b Transitions d’ordre nOn va s’intéresser maintenant au passage d’un état Ei à un état Ej en n

transitions. Le processus étant homogène, cela ne dépend pas de l’instant initial.On va donc poser :

pnij = P (Xn = j|X0 = i) = P (Xm+n = j|Xm = i), ∀m ≥ 0, n > 0.

Pour passer de l’état Ei à l’état Ej en m+n transitions, on peut passer par n’im-porte quel état Ek après m transitions et repartir vers l’état Ej en n transitions.On a donc,

(Xm+n = j) ∩ (X0 = i) =⋃k

((Xm+n = j) ∩ (Xm = k)) ∩ (X0 = i)

Les événements (Xm = k, k ∈ N formant un système complet d’événements. Onobtient donc,

P (Xm+n = j|X0 = i) =+∞∑k=0

P (Xm+n = j|(Xm = k) ∩ (X0 = i))

=+∞∑k=0

P (Xm+n = j|(Xm = k))P (Xm = k|X0 = i),

et d’après les propriétés d’homogénéité, P (Xm+n = j|Xm = k) = P (Xn =j|X0 = k). On obtient ainsi les équations de Chapman-Kolmogorov :

pm+nij =

+∞∑k=0

pnikpm

kj , ∀n, m, i, j ≥ 0

En particulier, si E est fini, et si l’on nomme P la matrice de transition d’ordre 1,la matrice de n-transitions est égale à Pn. En effet, P (2) = P 2 et par récurrenceP (n) = P (n−1)P = Pn.

III.2 .c ExempleUn système de communication transmet les bits 0 et 1 à travers plusieurs

étapes. A chaque étape, la probabilité pour qu’un bit soit reçu de manière iden-tique à l’étape suivante est 0.75. Quelle est la probabilité qu’un 0 entré à lapremière étape soit reçu comme 0 à la cinquième?Réponse :La matrice de transition d’ordre 1 est ici :

P =(

0.75 0.250.25 0.75

)

III.3. CLASSIFICATION DES ÉTATS D’UNE CHAÎNE 85

La probabilité cherchée est obtenue en prenant l’élément P 400 de la matrice P 4.

On a,

P 4 =(

0.53125 0.468750.46875 0.53125

)4

La probabilité cherchée est donc égale à 0.53125.

III.3 Classification des états d’une chaîneEtats communicants : Deux états Ei et Ej des états communicants si et

seulement si il existe un entier m tel que pmij > 0 et un entier n tel que

pnji > 0.

Etat récurrent : Si le retour à un état Ei est certain, Ei est dit récurrent .L’état est dit récurrent positif si le temps moyen pour y revenir est fini,récurrent nul si le temps est infini.

Etat périodique : S’il existe un entier d tel que l’état Ei ne puisse être atteintqu’aux temps d, 2d, . . . , nd,. . . , Ei est dit périodique de période d.

Etat transitoire : Si le retour à un état Ei n’est pas certain, l’état est dittransitoire.

Etat absorbant : Un état Ei est dit absorbant si une fois atteint il est im-possible de le quitter, i.e. pii = 1.

Définition : Une chaîne est dite apériodique si elle ne possède aucun étatpériodique.

III.4 Propriétés des chaînes de Markov

III.4 .a relation d’équivalence sur l’ensemble des étatsOn définit une relation, que l’on notera↔ entre deux états Ei et Ej , Ei ↔ Ej

si et seulement si Ei et Ej sont communicants. Cette relation est une relationd’équivalence. Ainsi les états d’une chaîne de Markov peuvent être partitionnésen classes d’équivalence d’états. Une chaîne sera dite irréductible si et seule-ment si elle ne possède qu’une seule classe d’équivalence pour cette relation.

Une chaîne irréductible peut traduire l’évolution d’un système réparable et/ousoumis à une politique de maintenance préventive : le système étant toujours réparé,il n’existe pas d’état absorbant.

Définition

Une chaîne de Markov irréductible et apériodique est dite ergodique.

Obention des classes d’équivalence

L’obtention des classes d’équivalence se fait en calculant la matrice de fer-meture transitive du graphe associé à la chaîne de Markov. On appelle classefinale une classe formée d’états récurrents et classe de transition une classeformée d’états transitoires. Chaque trajectoire entre à un moment donné dansune classe finale et ne la quitte plus, il y a absorption.

86 CHAPITRE III. CHAÎNES DE MARKOV

III.4 .b Exemple

Considérons un système à quatre états E1, E2, E3, E4. Les probabilités detransition d’ordre 1 sont données par la matrice suivante :

P =

0.6 0.3 0 0.10.1 0.4 0.5 00.75 0 0.2 0.050 0 0 1

Le graphe associé est :

1

0.6 0.3

..

0.1

2

0.4

0.1

//

0.5

4

1

3

0.05

0.75

00

0.2

11

La matrice associée à ce graphe est :

M =

1 1 0 11 1 1 01 0 1 10 0 0 1

La matrice de fermeture transitive est :

Γ =

1 1 1 11 1 1 11 1 1 10 0 0 1

Seul l’état E4 est absorbant, les états E1, E2, E3 sont transitoires, on n’y passejusqu’à ce que l’on arrive à l’état E4. Il y a deux classes d’équivalence pour larelation↔ : la classe E4 qui est finale, E4 étant un état récurrent, et la classeE1, E2, E3 qui est une classe de transition (formée d’états transitoires).

III.4 .c Théorème 1

Soit (X) une chaîne de Markov irréductible. Une et une seule des assertionssuivantes est vérifiée :

1. Tous les états sont récurrents positifs.2. Tous les états sont récurrents nuls.3. Tous les états sont transitoires.

Notons π(n)i la probabilité que la chaîne soit dans l’état Ei au temps n, π

(n)i =

P (Xn = i). On va supposer ici que E est fini de taille N . D’après les propriétés

III.4. PROPRIÉTÉS DES CHAÎNES DE MARKOV 87

des chaînes de Markov, où la présence dans un état donné ne dépend que duprécédent, on déduit que

π(n)i =

N∑k=0

π(n−1)k pki

d’après le fait que les événements (Xn−1 = k), k ∈ 0, . . . , N forment un sys-tème complet d’événement, en utilisant la formule des probabilités totales et lefait que P (Xn = i|Xn−1 = k) = pki.Appelons πn = (π(n)

0 , π(n)1 , . . . , π

(n)N ) le vecteur des probabilités d’états à l’ins-

tant n, on a :πn = πn−1P = π0P

n.

Dans certains cas, que nous allons voir, π(n) admet une limite quand n→ +∞.On la notera π, elle vérifie l’équation :

π = πP.

III.4 .d Théorème 2Si X est une chaîne de Markov ergodique, les probabilités limites π =

limn→+∞ π(n) existent toujours et sont indépendantes de la distribution initiale. Si

tous les états ne sont pas pas récurrents positifs alors π = (0, . . . , 0) et il n’existepas de distribution stationnaire. Dans le cas contraire π = (π0, π1, . . . , πN ) forme

une distribution stationnaire et le temps moyen de retour à l’état Ei est1πi

. On

a évidemment :N∑

i=0

πi = 1.

III.4 .e ExempleReprenons l’exemple III.2 .c, il est clair que la chaîne est ergodique et possède

une distribution stationnaire π = (π0, π1).On obtient les équations :

π0 + π1 = 1π0 = 0.75π0 + 0.25π1

π1 = 0.25π0 + 0.75π1

D’où π0 = π1 = 0.5.

88


Exercice III.1La sociologie s’intéresse à la question suivante : dans quelle mesure le statutsocial des parents influe sur celui des enfants. On considère pour simplifier troisclasses de population, "pauvre", "moyenne" et "riche" (états E1, E2, E3), Ona la matrice de transition suivante :

P =

0.45 0.48 0.07

0.05 0.7 0.250.01 0.5 0.49

1. Calculer la probabilité de passer de la classe riche à la classe pauvre endeux générations.

2. Calculer la probabilité de passer de la classe pauvre à la classe riche endeux générations.

3. Déterminer les probabilités stationnaires.

Exercice III.2Les vacanciers partent en général, soit à la mer état E1, soit à la montagne, étatE2, soit à l’étranger, état E3. La matrice de transition est :

P =

0.3 0.1 0.6

0.5 0.3 0.20.2 0.6 0.2

Déterminer le flôt des congés en régime stationnaire.

Exercice III.3Dans des temps reculés, un tout petit village se compose d’un paysan, d’untailleur et d’un charpentier. L’argent n’y a pas cours et il y règne une économiede troc. Le paysan utilise 7

16 de sa production, le charpentier 516 et le tailleur 1

4 .Le tailleur utilise la moitié de sa production, le paysan 3

16 et le charpentier 516 .

Le charpentier utilise 16 de sa production, le paysan la moitié et le tailleur 1

3 .Des banquiers de passage veulent introduire l’argent. Pour cela ils estiment enpourcentage les productions respectives de respectives p1, p2 et p3 de P, T, et C.

1. Tracer le graphe des échanges de troc.2. Déterminer p1, p2 et p3 de telle manière que l’économie de troc ne voit

pas son équilibre brisé.

89

Chapitre IV

Files d’attente

IV.1 Introduction

La théorie des files d’attente a pour but de modéliser les situations qui ré-pondent au schéma suivant : des clients arrivent à intervalles aléatoires dansun système comportant un ou plusieurs serveurs auxquels ils vont adresser unerequête. La durée de service est également aléatoire. De nombreux cas de lavie courante répondent à ce schéma : service dans une banque ou un organismepublic, ateliers d’usinage ou de production, ici les clients sont des ordres de pro-duction à exécuter et les serveurs des machines, péages autoroutiers etc . . .Les principales questions que l’on se pose sont :

– quel est le temps moyen avant qu’un client soit servi.– quel est le nombre moyen de clients dans le système.– quel est le taux d’utilisation moyen des serveurs.

Dans le cas général il y a de nombreux modèles de description : des systèmesà serveurs parallèles ou en série, de même les arrivées des clients peuvent êtregroupées ou individuelles et de la même façon il peut y avoir différents types deservice.Les clients forment une ou plusieurs files d’attente, et il y a des règles de sélec-tion pour le service, c’est ce que l’on appelle la discipline de service la pluscourante étant la discipline FIFO . La capacité du système , c’est à dire lenombre de clients pouvant être présents dans le système est limitée ou non.Dans le cadre de ce cours, nous nous bornerons à un seul serveur et arrivées etservices individuels.Notation de Kendall on note A/B/S (N)une file d’attente où A est le codede la loi des arrivées, B, celui de la loi des services et S le nombre des guichets(tous identiques) fonctionnant en parallèle, N désigne le nombre maximal declients admis dans le système (infini si l’indication est omise).Dans le cadre de ce cours, nous intéresserons aux files M/M/1 et M/M/1(N).Définitions :

– On appelle file d’attente l’ensemble des clients qui attendent d’être ser-vis.

90 CHAPITRE IV. FILES D’ATTENTE

– On appelle système d’attente l’ensemble des clients qui font la queue,y compris ceux ou celui qui est en train d’être servi.

IV.2 Evaluation du système, mesures à long terme

On appellera état du système à l’instant t, le nombre Nt de clients présentsdans le système d’attente. On notera pn(t) la probabilité que n clients soientprésents dans le système à l’instant t i.e. P (Nt = n) et pn = lim

t→+∞ pn(t), n ∈ N,

ce sont les probabilités en régime stationnaire, qui signifient que dans le longterme exactement n clients soient présents dans le système ou qui indiquent laproportion du temps, en régime stationnaire (avec quelques hypothèses supplé-mentaires), où le système contient n clients, ce qui ne signifie pas qu’il devientparfaitement déterministe.La connaissance de ces probabilités permet de calculer de nombreuses mesuresde performance du système d’attente que l’on étudie. On considèrera en parti-culier les mesures suivantes :

– Ls : nombre de clients attendu dans le système d’attente (en régime sta-tionnaire).

– Lq : nombre de clients dans la file d’attente (en régime stationnaire).– Ws : temps attendu passé par chaque client dans le système (en régime

stationnaire).– Wq : temps attendu passé par chaque client dans la file d’attente (en régime

stationnaire).

Par définition on a :

Ls =+∞∑n=0

npn.

Si le système comporte c serveurs,

Lq =+∞∑

n=c+1

(n− c)pn.

En effet, il ya (n− c) clients dans la file si et seulement s’il y a n clients dans lesystème.

IV.2 .a Lois de Little

Appelons λ le taux d’entrée moyen de clients dans le système d’attente, ona les formules de Little :

Ls = λWs et Lq = λWq .

La durée moyenne de service par client est : Ws −Wq.Le nombre moyen de serveurs occupés est : Ls − Lq.

IV.3. FILES D’ATTENTE M/M/1 91

IV.3 Files d’attente M/M/1

Un système M/M/1 est caractérisé par le fait que c’est processus de nais-sance et de mort, où les paramètres d’arrivée sont : λn = λ, n ∈ N et lesparamètres de sortie : µ0 = 0, µn = µ,n ∈ N

∗. On supposera dans notre cas queles clients arrivent suivant un processus de Poisson de paramètre λ et que letemps de service suit une loi exponentielle de paramètre µ.La signification de ces paramètres est la suivante : λ est le nombre moyen d’ar-rivées par unité de temps et µ, le nombre moyen de clients pouvant être servis

par unité de temps. La durée moyenne d’un service est donc1µ

IV.3 .a Probabilités associées

Pour que le service puisse s’effectuer sans allongement indéfini de la file, ilfaut que λ < µ, d’après les résultats vus sur les processus de naissance et demort, on a :

pn =(

λ

µ

)n

p0

De la condition,+∞∑k=0

pk = 1, on déduit que sous les conditions indiquées, p0 =

1− λ

µet finalement,

pn =(

λ

µ

)n(1− λ

µ

)

Posons ρ =λ

µ, on obtient, en régime stationnaire,

Wq =ρµ

1− ρ

Lq = λWq =ρ2

1− ρ

Ws =1

µ− λ

Ls = λWs =λ

µ− λ

Posons ρ =λ

µ.

La probabilité que le serveur soit occupé est :

1− P (N = 0) = 1− (1− ρ) = ρ

La probabilité qu’il y ait plus de n clients dans le système est :

P (N ≥ n) = (1− ρ)∑k≥n

ρk = ρn.

92 CHAPITRE IV. FILES D’ATTENTE

IV.3 .b Exemple n1Chez un médecin la durée moyenne d’une consultation est de 15 minutes,

celui-ci prend des rendez-vous toutes les 20 minutes, les clients étant supposésarriver de manière aléatoire. D’après le modèle que nous utilisons nous avons

ici, l’unité de temps étant l’heure, λ = 3 et µ = 4. On obtient Ls =3

4− 3= 3 et

Wq =3

4(4− 3)=

34. Cela signifie que le nombre moyen de clients dans la salle

d’attente et dans le cabinet du médecin est de 3 et leur temps moyen d’attente

dans la salle d’attente est de34

d’heure, tandis que le temps moyen passé chezle médecin est de 1 heure.La probabilité qu’il y ait plus de 4 clients dans le système d’attente est de

(34)4 ≈ 0.316, tandis que le médecin est occupé en moyenne

34

d’heure parheure.On montre que la probabilité que l’attente dans la file soit inférieure à une duréet est :

P (Tf ≤ t) = 1−(

λ

µ

)e−(µ−λ)t

De même la probabilité que le temps passé dans le système d’attente soit infé-rieur à une durée t est :

P (Ts ≤ t) = 1− e−(µ−λ)t

Dans l’exemple IV.3 .b, la probabilité d’attendre moins de 20 minutes chez le

médecin avant la consultation est : 1− 34e−

13 ≈ 0.463 et la probabilité de passer

moins de 20 minutes chez le médecin est 1− e−13 ≈ 0.283. La probabilité qu’un

patient attende plus d’une heure est P (Tf > 1) = 1 − P (Tf ≤ 1) =34e−1 ≈

0.276.

IV.4 Files M/M/1 (N)

Dans de nombreux cas le nombre de clients dans le système d’attente estlimité, soit N le nombre maximum de clients admissibles. Dans le système denaissance et de mort associé, on a maintenant : λn = λ, n ∈ 0, . . . , N −1, 0 sinon et de même µn = µ, n ∈ 1, . . . , N, 0 sinon.

En régime stationnaire, on a donc, en posant ρ =λ

µ:

pn = ρn 1− ρ

(1 − ρN+1), si λ = µ

pn =1

N + 1, si λ = µ.

On obtient

Ls =ρ

(1− ρ)− (N + 1)ρN+1

(1− ρN+1)si λ = µ.

IV.4. FILES M/M/1 (N) 93

etLs =

N

2si λ = µ

Lq = Ls − (1 − p0).

La probabilité pour que le serveur soit occupé est :

(1− pn)ρ = ρ(1− ρN )

(1− ρN+1).

Ws =Ls

(λ− pN )

etWq =

Lq

λ(1− pN ).

94

Exercices du chapitre IV

Exercice IV.1Chez un coiffeur, il entre λ = 5 clients à l’heure, et on sert µ = 6 clients àl’heure. Des clients attendent en permanence.

1. Quelle est la fraction des clients qui n’aura pas besoin d’attendre?2. Calculer le nombre moyen de clients dans le système et dans la file.3. Dans le salon il y a quatre chaises réservées aux clients qui attendent.

Quelle est la probabilté pour qu’un nouveau client demeure debout.4. Calculez la durée moyenne d’attente dans le salon et dans la file.

Exercice IV.2Une succursale de banque est ouverte chaque jour ouvrable, de 9h à 17h enjournée continue. Elle accueille en moyenne 64 clients par jour. Il y a un guichetunique, la durée moyenne de chaque traitement est de deux minutes et demie.Les clients font la queue dans leur ordre d’arrivée, aucun client n’étant refusé.On suppose que l’on fonctionne en régime stationnaire.

1. Calculer le temps moyen passé à attendre dans la queue, puis le tempsmoyen passé dans la banque.

2. Quelles sont les probabilités pour qu’il n’arrive aucun client entre 15h et16h? Que 6 clients arrivent entre 16h et 17h?

3. Quelle est, en moyenne et par heure, la durée pendant laquelle l’employédu guichet ne s’occupe pas des clients?

4. Quelle est la probabilité d’avoir quatre clients dans la file d’attente?5. Quelle est la probabilité qu’un client passe plus d’un quart d’heure dans

la banque?

On fait maintenant l’hypothèse que la banque ne peut accueillir plus decinq clients à la fois, ce qui arrivent en surnombre repartent.

6. Tracer le graphe des transitions associé à ce processus.7. Déterminer les probabilités de chaque état en régime stationnaire et cal-

culer le nombre moyen de clients refusés par jour ainsi que le temps d’in-activité de l’employé.

95

Quatrième partie

Eléments de Fiabilité

97

Chapitre I

Présentation

I.1 Introduction

La fiabilité est l’aptitude d’un système, d’un matériel,. . . ) à fonctionner sansincident pendant un temps donné. Pour l’AFNOR c’est la caractéristique d’undispositif, qui s’exprime par une probabilité, pour que celui-ci accomplisse lafonction requise, dans des conditions déterminées, pendant une période donnée.Prévoir la fiabilité est essentiel pour des raisons de sécurité (systèmes de freinage,système avioniques, systèmes nucléaires, systèmes informatiques, . . . ). La quasi-impossibilité de réparer certains matériels (satellites par exemple), les problèmeséconomiques (coûts de défaillances, gestion du personnel de maintenance, main-tenance des stocks de pièces de rechange, . . . ) rendent nécessaire la connaissancede la fiabilité des systèmes utilisés. Dans notre cas nous ne considèrerons quedes situations simples.

I.2 Généralités, terminologie

I.2 .a Fonctions de défaillance et de fiabilité

On considère ici un dispositif unique, ou un groupe de dispositifs identiquesde même provenance utilisés dans des conditions semblables, dont les propriétéssont susceptibles de se modifier au cours du temps. Au bout d’un certain tempsappelé durée de vie , le système cesse de satisfaire aux conditions d’utilisation.

Définitions

On appelle,1. fiabilité d’un système S la probabilité notée R(t) que le système n’ait

aucune défaillance sur l’intervalle [0, t].2. maintenabilité d’un système d’un système réparable S et on note M(t)

la probabilité pour que le système soit réparé avant l’instant t sachant qu’ilest défaillant à l’instant 0, on M(t) = 1− P (S non réparé sur [0, t]).

3. MTTF (mean time to failure), la durée moyenne de bon fonctionnementd’un système en état de marche à l’instant initial.


4. MTBF (mean time between failure) la moyenne des temps entre deuxdéfaillances d’un système réparable, en régime stationnaire.

Si l’on appelle T la v.a. mesurant la durée de bon fonctionnement du système,on a R(t) = P (T > t = 1 − P (T ≤ t). Si T a pour densité f , on a presquepartout, f(t) = −R′(t).La MTTF est alors l’espérance de T si elle existe et on a la relation,

MTTF = E(T ) =∫ +∞

0

R(t)dt

On introduit le taux instantané de défaillance λ(t), on obtient,

λ(t) = lim∆t→0

P (t < T ≤ t + ∆t|T > t)∆t

On voit que

λ(t) = −R′(t)R(t)

et donc que

R(t) = exp(−∫ t

0

λ(u)du

).

d’où

T (t) = 1− exp(−∫ t

0

λ(u)du

)On constate expérimentalement que dans la plupart des cas la courbe représen-tative de cette fonction est une courbe en baignoire comportant trois périodes :

1. Période (1) : le taux de défaillance décroît, il correspond à des fautes dejeunesse.

2. Période (2) : c’est la période de vie utile, le taux reste à peu près constant,les pannes semblent seulement dues au hasard.

3. Période (3) : le taux d’avarie croît rapidement, les pannes sont dues auxdéfauts causés par l’usure.

I.3 Détermination expérimentale

I.3 .a Estimation des fonctions R et T

Sur un intervalle [0, t], une estimation de la fonction R(t est fournie par lepourcentage des dispositifs n’ayant subi aucune défaillance.

Exemple

On étudie la fiabilité d’un ensemble de pièces mécaniques. On a étudié pourcela la durée de vie de 9 de ces pièces. Les temps de bon fonctionnement (enheures) jusqu’à défaillance constatés sont,

N pièce 1 2 3 4 5 6 7 8 9temps 90 350 950 1660 530 1260 2380 230 720

I.3. DÉTERMINATION EXPÉRIMENTALE 99

Fig. I.1 – Allure de la courbe du taux d’avarie

On estime la valeur de R(t) en prenant le quotient par 9 du nombre de piècesen état de marche à l’instant t, N(t) étant le nombre de pièces en état de marcheà l’instant t :. On obtient ainsi le tableau suivant :

t 90 230 530 720 950 1260 1660 2380N(t) 8 7 6 5 4 3 2 1 0R(t) 8

979

69

59

49

39

29

19 0

Cette méthode d’estimation est acceptable si le nombre des systèmes misen service à l’instant 0 est suffisemment grand. C’est ainsi que l’on adopte lesestimations suivantes pour R(t) :i

nsi n > 50 (méthode des rangs bruts)i

n + 1si 20 < n ≤ 50 (méthode des rangs moyens)

(i− 0.3n + 0.4

si n ≤ 20 (méthode des rangs médians)Dans l’exemple précédent, on utilise la méthode des rangs médians et on obtient :

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9t 90 230 530 720 950 1260 1660 2380

R(t) 0.93 0.82 0.71 0.61 0.5 0.39 0.28 0.18 0.07


I.4 Principales lois utilisées

I.4 .a La loi exponentielleSi on considère des systèmes ne présentant pas de phénomènes d’usure (semi-

conducteurs, . . . ) et pour lesquels les défauts de jeunesse sont négligeables, ilfaut envisager une loi dont le taux d’avarie est constant, on l’utilise aussi pourdécrire la période de vie utile du système. On a alors λ(t) = λ. On obtient ainsi,

R(t) = e−λt, MTTF = E(T ) =1λ

La probabilité pour que le système fonctionne après un temps d’utilisation égalà la MTTF est R( 1

λ = 1e ≈ 0.368 soit environ 36.8%.

En reprenant l’exemple ci-dessus, on peut approximer par une loi exponentiellede paramètre λ ≈ 1

1660 ≈ 0.00094. On en déduit que la probabilité que la piècefonctionne à peu près 2000 heures est exp(− 2000

1060 ) ≈ 0.15.

I.4 .b Loi de WeibullDans la loi de Weibull W(γ, η, β) la MTTF est égale à ηΓ

(1 + 1

β

). Le

calcul pratique se fait grâce à des tables qui donne une valeur A = ηΓ(1 + 1

β

)suivant les valeurs de β. De la même manière on a des tables avec une valeur Boù V (T ) = Bη2.

101

Chapitre II

Fiabilité d’un système et deses composants

II.1 Système à structure en série

Un système présente une structure en série si la défaillance d’un de sescomposants entraîne celle du système. Il est souvent représenté par le schéma :

C1 C2 C3

Si Ti, i ∈ 1, . . . , n détermine le temps de bon fonctionnement du composantni, les événements (Ti > t) étant supposés indépendants, on a si T représentele temps de bon fonctionnement du système,

(T > t) =n⋂

i=1

(Ti > t)

D’où,

R(t) =n∏

i=1

Ri(t)

II.1 .a Exemple

Un système à structure en série est constitué de n composants Ci indépen-dants dont la durée de vie Ti suit une loi exponentielle de paramètre λi. Pourchaque composant, nous avons Ri(t) = exp(λit) si t ≥ 0, 0 sinon.. La fonctionde fiabilité du système est donc :

R(t) = exp(λ1t + . . . + λnt) si t ≥ 0, 0 sinon .

On en déduit que le système suit une loi exponentielle de paramètre λ = λ1 +. . . + λn. On obtient,

MTTF =1

n∑i=1

λi

102CHAPITRE II. FIABILITÉ D’UN SYSTÈME ET DE SES COMPOSANTS

II.2 Système à structure parallèle

Un système présente une structure parallèle si l’état de marche d’un seulde ses composants entraîne celle du système. Le système est défaillant si chacunde ses composants est défaillant. On le représente par le type de schéma suivant :

C1

• C2 •

C3

Si le système comporte n éléments en parallèle, on a

(T ≤ t) =n⋂

i=1

(Ti ≤ t).

D’où,

R(t) = 1−n∏

i=1

(1−Ri(t)).

II.2 .a Exemple

Dans un système à structure parallèle de n composants, on suppose que ladurée de vie de chaque composant suit une loi exponentielle de paramètre λ.Soit T1 la durée d’attente avant que le premier composant ne tombe en panneet pour i > 1, Ti le temps écoulé entre la mise hors service de l’élément i − 1et l’élément i (on suppose que l’on ordonné les composants dans l’ordre de leurdéfaillance). On a alors,

T =n∑

i=1

Ti.

Entre la défaillance de l’élément i − 1 et celle du suivant, il reste n − i + 1appareils que l’on peut traiter comme s’ils étaient en série (puisque l’on at-tend la défaillance d’un élément quelconque). On en déduit que Ti suit une loi

exponentielle de paramètre λi = (n− i + 1)λ et E(Ti) =1λi

. Par suite,

E(T ) =n∑

i=1

1λi

=1

λ(1 + 12 + . . . + 1

n )

II.3 Systèmes à structure mixte

Si le système combine les deux structures précédentes est appelé système àstructure mixte, on peut en général le décomposer en sous-systèmes qui sontsoit en série soit en parallèle.

II.3. SYSTÈMES À STRUCTURE MIXTE 103

II.3 .a ExempleSoit le système suivant,

C1

• • C3

C2

Le système est une structure série du composant C3 et du sous-système notéC1,2 à structure parallèle. La durée de vie de ce sous-système est :

R1,2 = 1− (1−R1(t))(1 −R2(t)) = R1(t) + R2(t)−R1(t)R2(t).

Par suite,R(t) = R3(t).(R1(t) + R2(t)−R1(t)R2(t)).

104


Exercice II.1On considère un système S constitué de 5 composants, de fonctions de fiabilitérespectives Ri, suivant le schéma ci-dessous. Déterminer la fonction de fiabilitéR de ce système.

C1

C3

• • C4 •

C2

C5

Exercice II.2La fiabilité d’un type de machine a été ajustée par une loi de Weibull de para-mètres γ = 40, η = 60 et β = 1.1

1. Déterminer la MTTF et calculer le temps de bon fonctionnement pourune défaillance admise de 50%.

2. Calculer le taux d’avarie pour les valeurs t = 45, 75, 105, 135 et 165.

105

Cinquième partie

Annexes

107

Annexe A

Eléments de probabilités

A.1 Vocabulaire des probabilitésExpérience aléatoire : une expérience dépendant du hasard. On la décrit

par l’ensemble de ses résultats possibles. Un résultat possible est appelééventualité. L’ensemble des éventualités sera nommé Ω qui est l’universdes possibles.

Evénement aléatoire : tout événement lié à une expérience aléatoire, il estreprésenté par le sous-ensemble des éventualités permettent sa réalisationqui est une partie ou sous-ensemble de Ω donc un élément de P(Ω). Unévénement élémentaire est un singleton ω de P(Ω). Ω est appelé évé-nement certain . l’événement contraire d’un événement A est le com-plémentaire dans Ω de A, on le note A. Etant donnés deux événement A etB on note A ou B l’ensemble A∪B, événement A et B l’ensemble A∩B.On dit que deux événements A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅.On dit que l’événement A implique l’événement B si A ⊂ B.

Système complet d’événements : Soit (Ai)i∈I où I est une partie finie oudénombrable de N, une famille d’événements non vides de Ω. On dit qu’elleconstitue un système complet d’événements si :

– ∀(i, j) ∈ I2, (i = j) => (Ai ∩Aj = ∅).–⋃i∈I

Ai = Ω.

A.2 Espaces probabilisésSoit Omega un ensemble, et B une partie de P(Ω) vérifiant :– Ω ∈ B.– ∀A ∈ B, A ∈ B– Pour toute famille finie ou dénombrable (Ai)i∈I d’éléments de B,

⋃i∈I Ai ∈

B.On a les propriétés suivantes :

– ∅ ∈ B.

– B est stable par intersection dénombrable.– ∀A, B ∈ B,A ∩ B ∈ B

108 ANNEXE A. ELÉMENTS DE PROBABILITÉS

– ∀A, B ∈ B,A∆B ∈ B

A.2 .a Définition des probabilités

On appelle probabilité sur l’espace probabilisable (Ω,B) toute applicationP de B dans [0, 1] telle que :

1. P (Ω) = 12. Pour toute suite (An) d’événements deux à deux incompatibles de B, on

a,

P

(⋃n∈N

An

)=

+∞∑n=0

P (An)

Le triplet (Ω,B,P ) est alors appelé espace probabilisé.

Propriété :Si (Ai]i∈I est un système complet d’événements,

∑i∈I

P (Ai) = 1.

Définition :Deux événements A et B sont indépendants si P (A ∩B) = P (A).P (B).

A.2 .b Probabilités conditionnelles

définition :Soient deux événements A et B tels que P (A) = 0, on appelle proba-bilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé (ou B sachant A) :

P (B|A) =P (A ∩B)

P (A).

Soient (Ai), i ∈ 1, . . . , n, n ∈ N une famille de n événements tels que

P

(n⋂

i=1

Ai

)= ∅., on a,

P

(n⋂

i=1

Ai

)= P (A1)P (A2|A1) . . . P (An|A1 ∩ . . . ∩An−1).

Si (Ai)i∈I est un système complet d’événements de probabilités non nulles, ona la formule des probabilités totalesPour tout événement B,

P (B) =∑i∈I

P (B|Ai)P (Ai).

De la même façon, on obtient la formule de Bayes :

P

(n⋂

i=1

Ai

)P (Ak|B) =

P (B|Ak)P (Ak)∑i∈I P (B|Ai)P (Ai)

.

A.3. VARIABLES ALÉATOIRES 109

A.3 Variables aléatoires

A.3 .a Définitions

1. On appelle, de façon générale, variable aléatoire réelle (v.a.r. ou v.a.dans la suite) sur l’espace probabilisé (Ω, B, P ) toute application X de Ωdans R telle que pour tout intervalle I de R, X−1(I) ∈ B où X−1(I) =ω ∈ Ω|X(ω) ∈ I. On aura par définition, P (X(ω) ∈ I) = P (X−1(I)).que l’on notera désormais, P (X ∈ I)

2. On appelle fonction de répartition de la v.a. x l’application de Rdans[0, 1] définie par x→ P (X ≤ x).

A.3 .b Variables aléatoires discrètes

On dira que X est une v.a. discrète si X(Ω) est fini ou dénombrable. Soitx1, x2, . . . , xn, . . . les valeurs prises la v.a.On appellera loi de v.a. discrète X , l’ensemble des couples (xi, P (X = xi)).

Définitions

1. On appelle espérance de X la quantité :

E(X) =∑i∈I

xiP (X = xi)

Elle existe sous réserve de convergence de cette série.2. On appelle variance de X la quantité

V (X) =∑i∈I

(xi − E(X))2P (X = xi)

sous réserve de convergence. On a, V (X) = E(X2)− E(X)2.3. Si la variance existe, on définit l’écart-type de X ,

σ(X) =√

V (X).

4. Si X admet une espérance et une variance, on définit la variable centréeréduite

X∗ =X − E(X)

σ(X).

A.3 .c Variables aléatoires continues

Définitions

1. Si f est une fonction rélle d’une variable réelle, on dit que f est unedensité de probabilité si :

– f est une fonction à valeurs réelles positives.– f est continue sur R (sauf éventuellement en un nombre fini de va-

leurs).


–∫ +∞

−∞f(t)dt = 1.

2. Soit X une variable à densité f , on définit :

F (x) = P (X ≤ x) =∫ x

−∞f(t)dt.

F est continue sur R et et dérivable sauf éventuellement en un nombrefini de points. De plus F est croissante et à valeurs dans [0, 1]. De pluslim

x→−∞F (x) = 0 et limx→+∞F (x) = 1

Si a et b sont deux réels, on a P (a < X ≤ b) = F (b)− F (a).3. Si X est une variable à densité f et sous réserve de convergence, on a

– E(X) =∫ +∞

−∞tf(t)dt.

– V (X) =∫ +∞

−∞(t− E(X))2f(t)dt

A.4 Lois usuelles

A.4 .a Loi binômialeLa loi binômiale notée B(n, p) où n ∈ N, p ∈]0, 1[ est définie par :

P (X = k) = Cknpk(1− p)n−k, k0, . . . , n.

On a E(X) = np et V (X) = np(1− p).

A.4 .b Loi de PoissonSoit λ un réel strictement positif, la loi de Poisson est définie par

P (X = k) = e−λ λk

k!.

On a E(X) = λ et V (X) = λ.

A.4 .c Loi géométriqueSoit p ∈]0, 1[, et q = 1−p, une variable aléatoire X suit une loi géométrique

de paramètre p, siP (X = k) = qkp, k ∈ N.

On a E(X) =q

pet V (X) =

q

p2.

A.4 .d Loi uniformeX suit une loi uniforme sur un intervalle [a, b] de R, notée U [,]

¯si sa

densité f est définie par f(t) =1

b− asi t ∈ [a, b], 0 sinon. On a

F (x) =

x− a

b− asi x ∈ [a, b]

0 si x ≤ a1 si x > b

A.4. LOIS USUELLES 111

E(X) =a + b

2et V (X) =

(b− a)2

12.

A.4 .e Loi exponentielleX suit une loi exponentielle de paramètre λ, notée E(λ) si sa densité est

f(x) =

λe−λx si x ≥ 00 si x < 0

On a, On obtient, E(X) =1λ

et V (X) =1λ2

.

A.4 .f Loi de WeibullX suit une loi de Weibull de paramètres γ, η, β, notée W(γ, η, β). si,

f(x) =

β

η.

(x− γ

η

)β−1

exp

(−(

x− γ

η

)β)

si x ≥ γ

0 si x < γ

On obtient,

F (x) =

1− exp

(−(

x− γ

η

)β)

si x ≥ γ

0 si x < γ

E(X) = ηΓ(

1 +1β

)où Γ(x) =

∫ +∞

0

e−ttx−1dt.

A.4 .g ExempleSoit T une v.a. de distribution géométrique, m et k deux entiers, on a P (T =

m + k|T ≥ m) = P (T = k). (à démontrer) La distribution géométrique est sansmémoire, ce qui veut dire ici que le nombre d’essais entre deux succès ne dépendpas du nombre d’essais qui précèdent (propriété de Markov).De la même manière, si X suit une loi exponentielle de paramètre λ,

P (X > t + h|X > t) =e−λ(t+h)

e−λt= e−λh = P (X > h), t, h > 0.

Si X représente le temps d’attente avant qu’un événement particulier ne seproduise, et que t unités de temps n’ont produit aucun événement, alors ladistribution avant qu’un événement ne se produise à partir de la date t estla même que si aucun temps ne s’était écoulé. Là aussi le processus est sansmémoire.


Fig. A.1 – Quelques densités de la loi de Weibull (η = 1, γ = 0, β =0.3, 0.6, 1, 1.5, 2, 3.)

113

Annexe B

TABLES

B.1 Table de la loi de Poisson

P (X = k) =λk

k!e−λ E(X) = V (X) = λ

k ↓ λ→ 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1 1.5 2 3 4 50 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.368 0.223 0.135 0.0498 0.018 0.0071 0.1637 0.2222 0.2681 0.3032 0.3293 0.368 0.335 0.271 0.149 0.073 0.0342 0.0163 0.0333 0.0536 0.0758 0.0988 0.184 0.251 0.271 0.224 0.147 0.0843 0.0011 0.0033 0.0536 0.0758 0.09988 0.061 0.126 0.180 0.224 0.195 0.1404 0.000 0.0002 0.0007 0.0015 0.003 0.015 0.047 0.090 0.168 0.195 0.1765 0.000 0.000 0.0001 0.0001 0.0003 0.003 0.014 0.036 0.101 0.156 0.176

114 ANNEXE B. TABLES

B.2 TABLE DE LA LOI DE WEIBULLTableau des coefficients nécessaires aux calculs de E(X))Aη+γ et de σ(X) =

Bη.

β A B β A B β A B β A B0.20 120 1901 1.3 0.924 0.716 2.8 0.891 0.344 5 0.918 0.2100.25 24 199 1.35 0.917 0.687 2.9 0.892 0.334 5.1 0.919 0.2070.30 9.261 50.08 1.40 0.911 0.660 3 0.893 0.325 5.2 0.920 0.2030.35 5.0291 19.98 1.45 0.907 0.635 3.1 0.894 0.316 5.3 0.921 0.2000.40 3.323 10.44 1.5 0.903 0.613 3.2 0.896 0.307 5.4 0.922 0.1970.45 2.479 6.46 1.55 0.899 0.593 3.3 0.897 0.299 5.5 0.923 0.1940.50 2 4.47 1.6 0.897 0.574 3.4 0.898 0.292 5.6 0.924 0.1910.55 1.702 3.35 1.65 0.894 0.556 3.5 0.900 0.285 5.7 0.925 0.1880.60 1.505 2.65 1.7 0.892 0.540 3.6 0.901 0.278 5.8 0.926 0.1850.65 1.366 2.18 1.75 0.8906 0.525 3.7 0.9025 0.272 5.9 0.927 0.1830.70 1.264 1.85 1.8 0.889 0.511 3.8 0.904 0.266 6 0928 0.1800.75 1.191 1.61 1.85 0.888 0.498 3.9 0.905 0.260 6.1 0.929 0.1770.80 1.133 1.43 1.9 0.887 0.486 4 0.906 0.254 6.2 0.929 0.1750.85 1.088 1.29 1.95 0.887 0.474 4.1 0.908 0.249 6.3 0.930 0.1720.90 1.052 1.17 2 0.886 0.463 4.2 0.909 0.244 6.4 0.931 0.1700.95 1.023 1.08 2.1 0.886 0.443 4.3 0.910 0.239 6.5 0.9318 0.1681 1 1 2.2 0.8856 0.425 4.4 0.911 0.235 6.6 0.9325 0.166

1.05 0.960 0.934 2.3 0.886 0.409 4.5 0.913 0.230 6.7 0.933 0.1631.1 0.965 0.878 2.4 0.887 0.393 4.6 0.914 0.226 6.8 0.934 0.1611.15 0.952 0.830 2.5 0.887 0.380 4.7 0.915 0.222 6.9 0.935 1.1601.20 0.941 0.787 2.6 0.888 0.367 4.8 0.916 0.2181.25 0.931 0.750 2.7 0.889 0.716 4.9 0.971 0.214

115

Annexe C

conclusion

J’ai eu beaucoup de plaisir à écrire ce modeste manuel qui j’espère aiderales étudiants qui ont le courage de reprendre le chemin des études après biensouvent une dure journée de labeur. Je leur exprime toute mon admiration etleur souhaite bon courage.Richard Loustau

Index

adjacence, 4algorithme de Dijkstra, 17algorithme de Floyd, 19algorithme de Ford, 16algorithme du simplexe, 51arcs, 3arêtes, 4

boucle, 3

capacité du système, 89chaîne apériodique, 85chaîne de Markov, 83chaîne de Markov ergodique, 85chaîne irréductible, 85chaînes, 4chemin critique, 16chemin élémentaire, 5chemin hamiltonien, 5chemin simple, 5chemins, 4circuit, 5classe de transition, 85classe finale, 85composantes connexes, 9composantes fortement connexes, 9concaténation, 5contraintes de positivité, 36coût réduit, 63cycle, 5

degré, 5degrés, 5demi-degré extérieur, 5demi-degré intérieur, 5densité de probabilité, 109discipline de service, 89domaine réalisable, 40dual, 58durée de vie, 97

écart-type, 109

équations d’équilibre, 79équations de Chapman-Kolmogorov,

84équation de normalisation, 79espace des décisions, 40espace des états, 71espace probabilisé, 108espérance d’une v.a. discrète, 109état absorbant, 85états communicants, 85état du système, 90état périodique, 85état récurrent, 85état transitoire, 85éventualité, 107événement aléatoire, 107événement certain, 107événement contraire, 107événement élémentaire, 107événements incompatibles, 107expérience aléatoire, 107extrémité finale, 3extrémité initiale, 3

fermeture transitive, 7fiabilité d’un système, 97file d’attente, 89fonction aléatoire, 71fonction de répartition, 109fonction économique, 35formes canoniques, 36formule de Bayes, 108formule des probabilités totales, 108formules de Little, 90

graphe orienté, 3graphe partiel, 4graphe réflexif, 4graphe symétrique, 4graphe transitif, 41-graphes, 3

INDEX 117

intervalle de stabilité, 64

loi binômiale, 110loi de Poisson, 110loi de Weibull, 111loi exponentielle, 111loi géométrique, 110loi uniforme, 110

maintenabilité d’un système, 97matrice d’adjacence, 5matrice d’incidence, 6matrice stochastique, 84MPM, 25MTBF, 98MTTF, 97méthode des rangs bruts, 99méthode des rangs moyens, 99méthode des rangs médians, 99méthode en 2 phases, 53méthode en deux phases, 53

notation de Kendall, 89

PERT, 25pivot, 48points extrêmes, 40polyèdre convexe, 40primal, 58probabilité, 108probabilité conditionnelle, 108probabilités de transition, 83processus de Markov, 83processus de naissance et de mort,

77processus de Poisson, 73processus stochastique, 71

relation binaire, 3Roy-Warshall, 8régime stationnaire, 79

solution de base, 38solution de base réalisable, 38solution optimale, 38solution réalisable, 38sommets, 3sous-graphe, 4structure en série, 101structure mixte, 102structure parallèle, 102

suite stochastique, 71système complet d’événements, 107système d’attente, 90système M/M/1, 91

trajectoire, 71

variable aléatoire réelle, 109variable centrée réduite, 109variable d’écart, 36variables artificielles, 53variables de base, 38variables de décision, 36variables en base, 38variables hors base, 38variables structurelles, 36variance d’une v.a. discrète, 109

Documents

Précis de Recherche Opérationnelle et …j.e.a.n.free.fr/IMG/pdf/ro.pdf · Précis de Recherche Opérationnelle et AideàlaDécision Cours IPST CNAM de Toulouse Richard Loustau