Embed Size (px)
Citation preview
PREGLED MINIMALNIH ZNANJA IZ
MATEMATIKE
ZA ZANIMANJA:
elektrotehničar
tehničar za računalstvo
tehničar za elektroniku
tehničar za električne strojeve s primijenjenim računalstvom
1. razred
BROJEVI
- računske operacije s prirodnim, cijelim i racionalnim brojevima
- prioritet upotrebe zagrada
- odrediti najveći zajednički djeljitelj (NZD) i najmanji zajednički višekratnik
(NZV)
- odrediti aritmetičku sredinu i izračunati postotak
1. 1046
2. 22222
3.
6
5
5
46
5
5
4
4
3
3
2
2
14
3
3
2
2
1
4.
4
11
3
11
2.14
33:
3
112.3
875.0
5. Odredi NZD i NZV brojeva 12, 16, 20 i 24.
- 1 -
6. Na testu iz matematike u trećem razredu postignuti su rezultati:
nedovoljan 3
dovoljan 2
dobar 5
vrlo dobar 10
odličan 13
Kolika je prosječna ocjena razreda ?
Odredi postotak pozitivno ocijenjenih učenika.
POTENCIJE
- računske operacije s potencijama – znati iskazati pravila i primijeniti ih
- definicija potencije s negativnim eksponentom i primjena na brojevima
1.
4335
10
35 yxyx
2. 1212 1111 nn
3. 3443 33
4. 33131 nnn aaa
5. 612 5:5
6. baba 346 18:16
9
7. 23 32
8.
11
4
3
3
2
9. 321
321
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
10. Zapiši u obliku potencije s bazom 3: 11
52
9
327
ALGEBARSKI IZRAZI
- primjena distributivnosti (množenje zagrada)
- znati kvadratne i kubne formule u oba smjera
- izlučivanje zajedničkog faktora
- grupiranje pribrojnika
Izračunaj:
1. baababbaa 6322532
- 2 -
2. 11 22 aaa
3.
2432
8
5
5
2
cba
4.
cbacba 2323
3
2
3
2
5. 332 ba
Rastavi na faktore:
6. 63242 16249 ccabba
7. 22
4
9yx
8. 827 3 x
9. 33322223 61218 yzxzyxzyx
10. ytyzxtxz
11. 1235 aaa
12. nmbanmba 2322343
ALGEBARSKI RAZLOMCI
- skraćivanje (na osnovu minimalnog rastavljanja na faktore)
- zajednički nazivnik (najviše do razlike kvadrata)
- množenje i dijeljenje (na osnovu minimalnog rastavljanja na faktore)
Skrati razlomke:
1. xy
xyx
2. 9
962
2
aaa
3. 22
2
128
96
abbaaba
4. 2
33
aabba
Izračunaj:
5. 5
2
2
5
aa
6. ab
bab
baa
ab
22
7. 4
4
2
1
2
12
xxx
8. 14
8
2121
22
2
aa
aa
aa
9. a
aaaaa
9
9
96
9 2
2
2
10. 23
32:
49
942
2
xx
xx
- 3 -
LINEARNE JEDNADŽBE
- najosnovnije s razlomcima, te s kvadratnim formulama
- s algebarskim razlomcima
1. 6
31
3
2
2
1
xxx
2. 34341315 22 xxxx
3. 23
2
26
13
xxxx
LINEARNE NEJEDNADŽBE
- najosnovnije kao i kod jednadžbi,
- dijeljenje s negativnim brojem
- prikaz rješenja na brojevnom pravcu i u obliku intervala
- sustavi nejednadžbi
1. 4332 xx
2. 12
14
13
3
12 xxx
3. 111923 2 xxx
4. 14
2
xx
5.
xx
xx
2343
2
51
3
2
APSOLUTNA VRIJEDNOST
- znati računati izraze s apsolutnom vrijednošću
- rješavati najjednostavnije jednadžbe i nejednadžbe s apsolutnom vrijednošću
1. 3,2,
ba
ba
abba
2. 3123
3. 11
2
xx
4. 532 x
- 4 -
KOORDINATNI SUSTAV U RAVNINI
- na osnovu formula znati izračunati udaljenost točaka, odrediti koordinate polovišta
dužine i težišta trokuta, izračunati površinu trokuta
- nacrtati graf linearne funkcije
- nacrtati graf funkcije s apsolutnim vrijednostima (translacija)
1. U trokutu ABC, A(2,3), B(- 1,4), C(1,- 2), odredi koordinate polovišta stranica i
težišta tog trokuta, izračunaj duljine stranica i površinu tog trokuta. Nacrtaj u
koordinatnom sustavu.
2. U koordinatnom sustavu nacrtaj pravce p…y = 2x – 4 i q…y = - x + 2. Odredi
koordinate točaka: A = presjek pravca p sa x – osi, B = presjek pravca q sa y – osi, C =
presjek pravaca p i q. Izračunaj duljinu dužine AB , odredi koordinate polovišta
dužine BC , izračunaj površinu trokuta ABC.
3. Nacrtaj graf funkcije: 32)( xxf
SUSTAVI LINEARNIH JEDNADŽBI
- znati riješiti sustave dvije jednadžbe s dvije nepoznanice bilo kojom metodom
1.
02.71.2
09.05.03.0
yx
yx
2.
xyxyyx
yyxx
5
13
6
5
2
112
17
9
4
2
1
KORIJENI I POTENCIJE S RACIONALNIM EKSPONENTOM
- osnovne računske operacije i djelomično korjenovanja
- racionalizacija nazivnika
- veza korijena i potencija s racionalnim eksponentom
Izračunaj:
1. 16251625
2. 4
122.156.2
4
3
3. 2:98
4. 31227
5. 184323502
6. 284 cba
7. 335 baab
8. 11 abab
9. 25335
- 5 -
10. 116116
11. 10 75 33 : xxx
Racionaliziraj nazivnik:
12. 65
24
13. 25
3
14. Zapiši u obliku potencije: 5 34 )3) xba
15. Zapiši u obliku korijena: 3
2
4
3
)5)
xba
2. razred
KOMPLEKSNI BROJEVI
- računske operacije s kompleksnim brojevima
- modul kompleksnog broja
- potencije imaginarne jedinice
- jednakost kompleksnih brojeva
- kompleksna ravnina
1. Zadani su brojevi z = 2 – 3i i w = - 1 + 4i. Izračunaj koliko je:
.,,,,,,, 22 wzwzwz
wzwzwz Zadane brojeve, te njihovu sumu i razliku prikaži
točkama kompleksne ravnine.
2. Izračunaj:
2
123
55
1
1
ii
3. Odredi realne brojeve x, y iz jednakosti: iiyxyx 4332
KVADRATNA JEDNADŽBA
- znati riješiti kvadratnu jednadžbu (čistu, nepotpunu i potpunu)
- znati riješiti jednadžbu s algebarskim razlomcima (najjednostavnijim)
- znati riješiti bikvadratnu jednadžbu
- odrediti diskriminantu kvadratne jednadžbe i interpretirati rješenja
- znati Vièteove formule, te ih primjenjivati u najjednostavnijim zadacima
- znati riješiti najjednostavnije sustave linearne i kvadratne jednadžbe
- 6 -
1. Riješi jednadžbe:
21
11)
043)
521)
013620)
094)
094)
24
22
2
2
2
xxf
xxe
xxd
xxc
xxb
xa
2. Odredi parametar p tako da jednadžba 016622 xppx ima realna rješenja.
3. Ne rješavajući jednadžbu 0432 2 xx odredi sumu recipročnih vrijednosti rješenja
te jednadžbe.
4. Napiši kvadratnu jednadžbu s cjelobrojnim koeficijentima
a) čije je jedno rješenje ii
x21
211
b) čija su rješenja 3
2,
4
321 xx
5. Riješi sustav jednadžbi:
13
122 yx
yx
KVADRATNA FUNKCIJA
- znati skicirati graf kvadratne funkcije translacijom, kao i pomoću nul-točki i
tjemena
- znati riješiti kvadratnu nejednadžbu
1. Skiciraj graf funkcije: 212
1)( 2
xxf
2. Skiciraj graf funkcije: 32)( 2 xxxf
3. Riješi nejednadžbe:
2
2
2
) 4 13 0
) 9 4 0
) 4 3 0
a x x
b x
c x x
EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA
- izračunati potenciju s racionalnim eksponentom
- veza između eksponencijalnog i logaritamskog zapisa
- računanje i svojstva logaritma
- nacrtati grafove eksponencijalne i logaritamske funkcije
- eksponencijalne i logaritamske jednadžbe
- 7 -
1. Izračunaj: 3
2
4
1
064.0)81) ba
2. Zapiši u logaritamskom obliku: 816 4
3
3. Zapiši u eksponencijalnom obliku: 881log3
4. U istom koordinatnom sustavu nacrtaj grafove funkcija xxf 2)( i xxg 2log)( .
5. Izračunaj:
8.2log1
7log2log2)3log)16log)
32
cba
5log3log)3)25
18112log2 9 ed
6. Riješi jednadžbe:
03log2log)
2log23log1log)
03349)
155555)
279)
17)
35
11
2314
53
xf
xxxe
d
c
b
a
xx
xxx
xx
x
TRIGONOMETRIJA PRAVOKUTNOG TROLUTA
- definicija trigonometrijskih funkcija šiljastog kuta – znati iskazati i primijeniti
- računanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija i određivanje veličine kuta
(kalkulator)
- osnovno rješavanje pravokutnog i jednakokračnog trokuta (zadane duljine stranica
i veličine kutova)
1. U pravokutnom trokutu PRS označi stranice u skladu s vrhovima, te odredi
trigonometrijske funkcije označenog kuta.
- 8 -
2. Odredi nepoznate duljine stranica i veličine kutova, te površinu pravokutnog trokuta u
kojem je:
˝2́332´23238
8)5)5)
c
ccabaa
3. Odredi nepoznate duljine stranica i veličine kutova, te površinu jednakokračnog trokuta u
kojem je:
cmb
cmvcbbaa
6.103256
4.7)10)5)
STEOREOMETRIJA
- kocka i kvadar, trostrana i četverostrana prizma
- valjak, stožac i kugla
1. Odredi oplošje i volumen kocke kojoj prostorna dijagonala ima duljinu 35 .
2. Strane kvadra imaju površine 6 cm2, 8 cm
2 i 12 cm
2. Koliki je volumen tog kvadra ?
3. Baza kvadra je kvadrat površine 25, volumen mu iznosi 100. Koliko je oplošje tog kvadra
?
4. Duljine osnovnih bridova uspravne trostrane prizme su u omjeru 9:10:17, njezina visina je
10 cm, a oplošje 2592 cm2. Koliki je volumen te prizme ?
5. Izračunaj volumen valjka kojemu je polumjer baze jednak visini, a oplošje 8π.
6. Duljina polumjera baze uspravnog stošca je 12 cm, a duljina izvodnice 40 cm. Koliki je
kut pri vrhu kružnog isječka u mreži stošca ?
7. Stotinu metalnih kuglica polumjera 1 pretopimo u jednu kuglu ? Koliki je polumjer tako
dobivene kugle ?
3. razred
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
- definicija trigonometrijskih funkcija realnog broja (iskazati i primijeniti)
- glavna mjera kuta i svođenje na I. kv.
- veze između trigonometrijskih funkcija
- trigonometrijski identiteti
- osnovne trigonometrijske jednadžbe i one koje se svode na kvadratne
1. Na trigonometrijskoj kružnici odredi točke E(x) za koje vrijedi:
0sin,2)
5.1)4
3cos)
0cos,3
2sin)
xxctgd
xtgc
xb
xxa
- 9 -
2. Izračunaj: 6
2345)
3
35cos)
4
57sin)
tgcba
3. Odredi vrijednost ostalih trigonometrijskih funkcija ako je:
..,2)
,2
,5
3sin)
kvIIIxxctgb
xxa
4. Pojednostavi:
yx
yxc
xx
xxb
xxtgxtga
sinsin
sinsin)
6cos
6cos
6sin
6sin
)
sin) 2
3coscos
3sinsin)
2cos2
3cos)
cos1
1
sin
cos)
2
f
d
xxx
b
5. Riješi jednadžbe:
0cos5cossin2sin3)
05cos9cos4)
14
33)
2
15cos)
3sin2)
22
2
xxxxe
xxd
xtgc
xb
xa
TRIGONOMETRIJA
- osnovno rješavanje trokuta (zadane duljine stranica i veličine kutova)
1. Odredi nepoznate duljine stranica i veličine kutova, te površinu trokuta u kojem je:
6556567
56666
5)5)5)5)
c
bbb
adacabaa
VEKTORI
- računske operacije s vektorima
- koordinatni zapis vektora
- jednakost vektora
- linearna kombinacija vektora
- duljina vektora
- kut između vektora
- skalarni produkt
1. U trokutu ABC odredi vektor ACBCAB 2
32 .
- 10 -
2. Odredi četvrti vrh paralelograma ABCD ako je A(2,3), B(- 4,1), D(1,- 2).
3. Koliki je kut između vektora jia 32 i jib 2 ?
4. Vektor jia 54 zapiši kao linearnu kombinaciju vektora jib 3 i
jic 32 .
5. U trokutu ABC zadanom koordinatama vrhova A(5,2), B(- 3,4), C(- 4,- 3) izračunaj
pomoću vektora kut β.
PRAVAC
- oblici jednadžbe pravca
- pravac kroz dvije točke
- presjek pravaca
- segmentni oblik jednadžbe pravca
- uvjeti paralelnost i okomitosti
- kut između pravaca
- udaljenost točke od pravca
1. U trokutu ABC zadanom koordinatama vrhova A(2,3), B(- 3,1), C(- 1,- 2) odredi:
a) jednadžbu stranice a
b) jednadžbu visine va
c) duljinu visine va
d) kut α
2. Odredi površinu trokuta što ga pravac 2x – 3y + 6 = 0 zatvara s koordinatnim osima.
3. Odredi jednadžbu pravca koji prolazi sjecištem pravaca x – 2y + 3 = 0 i 3x + 2y – 1 =
0, te je paralelan je s pravcem x + 2y + 3 = 0.
KRUŽNICA
- odrediti središte i polumjer kružnice iz jednadžbe
- napisati jednadžbu ako su poznate koordinate središta i polumjer
- kružnica kroz tri točke
- naći jednadžbu tangente u točki kružnice
- tangente paralelne (okomite) sa zadanim pravcem
1. Napiši jednadžbu kružnice sa središtem S(- 2,0) polumjera 3.
2. Odredi koordinate središta i polumjer kružnice:
05810)
1612)22
22
yxyxb
yxa
3. Odredi jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(- 4,1), (- 2,3), C(10,3).
4. Odredi jednadžbu tangente u točki D(2,y< 2) kružnice 1021 22 yx .
5. Odredi jednadžbe tangenti na kružnicu 4917 22 yx paralelnih sa pravcem
24x – 7y + 1 = 0.
- 11 -
KRIVULJE II. REDA
- prepoznati krivulju iz zadane jednadžbe
- skicirati krivulju, znati odrediti koordinate tjemena i fokusa, jednadžbe asimptota i
ravnalice (što već treba kod koje krivulje)
- odrediti jednadžbu krivulje koja prolazi zadanim točkama
- naći jednadžbu tangente u točki krivulje
1. Skiciraj krivulju i odredi koordinate tjemena i fokusa, jednadžbe asimptota ili ravnalice
(što treba kod koje krivulje)
a) 4002516 22 yx
b) 1916
22
yx
c) xy 82
2. Odredi jednadžbu elipse koja prolazi točkama A(6,- 1) i B(- 2,3).
3. Odredi jednadžbu hiperbole koja ima fokus u točki F(- 2,0), a pravac y = 2x joj je
asimptota.
4. Odredi jednadžbu tangente u točki D(- 1, y > 0) elipse 01432 22 yx .
4. razred
BROJEVI
- veze između brojevnih sustava
- znati računati s faktorijelama i binomne koeficijente
- riješiti najjednostavnije jednadžbe s faktorijelama i binomnim koeficijentima
- raspisati po binomnoj formuli
- kompleksni broj pretvoriti u trigonometrijski oblik
- računske operacije u trigonometrijskom obliku
1. Broj 1357(8) pretvori u heksadekadski broj.
2. Broj 1357 pretvori u broj u sustavu s bazom 5.
3. Broj 1357(9) pretvori u dekadski broj.
4. Izračunaj: !
1
!1
1)
21
25)
!96
!97
!97
!98)
nncba
5. Riješi jednadžbe:
64)72
!
!2)
xxb
nn
a
- 12 -
6. Raspiši: 46
5 21)1
)2) icx
xbxa
7. Pretvori u trigonometrijski oblik: izbiza 32)1)
8. Izračunaj 83
62
121 : zzz , ako je
3
5sin
3
5cos2,
6
7sin
6
7cos2 21
iziz ,
4
3sin
4
3cos3
iz .
9. Odredi: 34 1)1) iba
NIZOVI
- odrediti prvih nekoliko članova niza zadanog rekurzivno ili formulom
- odrediti aritmetički niz (A.N.) ili geometrijski niz (G.N.) i napisati prvih nekoliko
članova, ako su poznata dva člana tog niza ili ako je poznata suma (razlika)
nekoliko članova
- izračunati sumu geometrijskog reda (G.R.) zadanog s prvih nekoliko članova
- znati izračunati osnovne limese (skraćivanje razlomka najvećom potencijom)
1. Napiši prvih 10 članova niza:
1,1
11)
2,
1)
1
1
1
nnn
ab
nana
aa
nn
nn
2. Odredi A.N. u kojem je:
1620
22)11)
488
635
aaa
aabaa. Napiši prvih 5 članova.
3. Odredi G.N. u kojem je
364
18)2
1)
356
243
aaa
aabaa Napiši prvih 5 članova.
4. Izračunaj sumu ...3
1
3
2
3
4
3
8
5. Izračunaj limese: nn
nn
nnb
nnnn
a43
32lim)
876
234lim)
2
2
- 13 -
FUNKCIJE
- odrediti domenu funkcije
- znati izračunati kompoziciju i inverz funkcije
- izračunati osnovne limese (uvrsti, razlika kvadrata, u beskonačnosti, sa sinusima)
- sa zadanog grafa znati očitati domenu i sliku funkcije, nul – točke, ekstreme,
intervala rasta i pada, predznak funkcije
1. Odredi f(x) ako je f(x+1) = 3x – 2 .
2. Odredi domenu funkcije:
x
xxfcxxxfb
xxfa
5
4log)()34)()
9
1)() 32
2
3. Odredi inverznu funkciju od
3log)()124)()43
32)() 5
xxfcxfb
xx
xfa x
4. Odredi kompozicije ggfffggf ,,, ako je x
xgx
xxf
1)(,
1)(
.
5. Riješi jednadžbu xfgxgf ako je 432)( 2 xxxf i
1)( xxg .
6. Izračunaj limese:
xx
dxx
xc
xx
bx
xa
xx
xx
6sin
4sinlim)
654
32lim)
4
42lim)
32
12lim)
02
2
221
7. Za funkciju zadanu grafom odredi:
o domenu: ___________
o sliku: ___________
o nultočke: ___________
o intervale gdje je ta funkcija pozitivna: ____________________
o intervale rasta: _______________
o lokalni minimum: _______________
o da li je vrijednost te funkcije u 1 pozitivna? DA NE
o minimalnu vrijednost na intervalu [-7,-1]: ____________
- 14 -
DERIVACIJA
- derivacija elementarnih funkcija
- deriviranje po pravilima
1. 432)( 24 xxxxf
2. 11 242 xxxxf
3. xxxf sin)(
4. 94
9124)
2
2
xxx
xfb
5. 2ex
xf
6. 312)( xxf
7. xxf 2sin)(
8. xxf 3cos)(
