EjercicioPropuestoJanethAlpalaUniversidaddeNari
noLicenciaturaenMatematicasElectivaII10deabril
de2015(UniversidaddeNari no) ElectivaII 10deabril de2015
1/12...Considereelsistemadeecuacionesx + ay= aax + y + bz= bby + z=
cDeterminarlosvaloresdeaybparaqueelsistematengasoluci on
unicaDeterminarlosvaloresdeaybparaasegurarlaconvergenciadelmetododeJacobiparalasoluciondelsistema,estudielaconvergenciadelmetodo.(UniversidaddeNari
no) ElectivaII 10deabril de2015 2/12Soluci
onConsideremoselsistemalinealAx = b,dondeA=1 a 0a 1 b0 b
1yb=abcEntonceselsistematienesoluci on
unica,cuandolamatrizA,esnosingular,esdecirqueeldeterminantedeAseadiferentedecero.(UniversidaddeNari
no) ElectivaII 10deabril de2015 3/12|A| =
1 a 0a 1 b0 b 1
=
1 bb 1
a
a bo 1
= 1 b2 a2= 0porlotantoparaqueelsistematengasolucion unicaa2+ b2=
1(UniversidaddeNari no) ElectivaII 10deabril de2015 4/12El metodode
Jacobi consiste enrealizar ladescomposicionA = M N= D (L +
U).ElsistemaquedadelaformaAx = bDx (L + U)x = bDx = (L + U)x + bx =
D1(L + U)x +
D1bElcualpuedeserexpresadoporlareglaiterativacomox(k+1)= D1(L +
U)x(k)+ D1bdonde la matriz M1N= D1(L+U) es la matriz de iteraci
ondeJacobi(UniversidaddeNari no) ElectivaII 10deabril de2015 5/12El
metodode Jacobi consiste enrealizar ladescomposicionA = M N= D (L +
U).ElsistemaquedadelaformaAx = bDx (L + U)x = bDx = (L + U)x + bx =
D1(L + U)x +
D1bElcualpuedeserexpresadoporlareglaiterativacomox(k+1)= D1(L +
U)x(k)+ D1bdonde la matriz M1N= D1(L+U) es la matriz de iteraci
ondeJacobi(UniversidaddeNari no) ElectivaII 10deabril de2015
5/12...Lapreguntaescu
andoconvergeelmetododeJacobi.Entonceslacondici on necesaria y
suciente para la convergencia de este metodoesque(M1N) <
1,esdecirque(M1N) = M ax
|i| , ivalorpropiode M1N
Adem as, la velocidad de convergencia del metodo depende
de(M1N), cuantomenor seaeste valor m as rapidaser
alacon-vergencia.(UniversidaddeNari no) ElectivaII 10deabril de2015
6/12...Condiciones sucientes, pero no necesarias para la
convergencia delmetodosonlassiguientes:Siparaalgunanormamatricial
M1N <
1entonceselmetodoiterativoconverge.SiAesunamatrizestrictamentediagonaldominante,entonceselmetododeJacobiconvergeparacualquiervectorinicial.(UniversidaddeNari
no) ElectivaII 10deabril de2015
7/12ElmetododeJacobiconvergerasisumatrizdeconvergenciaM1N= D1(L +U)
=1 0 00 1 00 0 10 0 0a 0 00 b 0+0 a 00 0 b0 0 0=0 a 0a 0 b0 b
0tieneradioespectralmenorquelaunidad.Susvalorespropiosson(UniversidaddeNari
no) ElectivaII 10deabril de2015 8/12|M1N I| =
a 0a b0 b
= (a2+ b2 2) = 0quetienecomovalorespropios = 0 = a2+ b2As(M1N)
=a2+ b2< 1Por tantolos valores de ayb se encuentrandentrodel
circulounitario.(UniversidaddeNari no) ElectivaII 10deabril de2015
9/12Lasnormasunoeinnitonosdanlacondicionsucienteparaqueelmetodoconvergas
M1N
< 1entoncesseaM1N=0 a 0a 0 b0 b 0donde M1N= M1N1=m ax {|a| ,
|b| , |a| + |b|}= |a| +|b| < 1esdecir(a,
b)estandentrodeunrombosimetrico.(UniversidaddeNari no) ElectivaII
10deabril de2015 10/12EjemploSi tomamosvaloresparaaybdentrodel
discounitario, digamosa =12yb =13,tenemos>> A=[1 1/2 0; 1/2 1
1/3 ;0 1/3 1]A =1.0000 0.5000 00.5000 1.0000 0.33330 0.3333
1.0000>> b=[1/2;1/3 ;1]>> x0=[0;0;0]>>
M=diag(diag(A))>> itermax=1000>>
Tol=0.000000001(UniversidaddeNari no) ElectivaII 10deabril de2015
11/12Seobtuvoqueelmetodoconverge,paralasoluci ondelsistemayaqueX
=0.6957-0.39131.1304iter =42error =8.7688e-10flag =
0(UniversidaddeNari no) ElectivaII 10deabril de2015 12/12
