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8/17/2019 Presentación IOP 2 Teoria de Colas - Copia
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TEORIA DE COLAS
Investigación deoperaciones II
Ricardo Manuel Alarcón Salinas
Rafael Aníbal arcía Rivas
David Alcides Me!ía Le"us
uiller"o Antonio #ue$ada %a$be&'(MD
Agosto)*+)
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I,DICE
• Modelo de colas de Poisson generalizado
• Colas especializadas de Poisson
• Notación general de la situación general
de colas• Medidas de rendimiento de estado estable
• Modelos de un solo servidor
• Modelos de servidores múltiples• Modelo de servicio de máquinas
• Formula Pollaczeek-Kintcine !P-K"
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Modelo de colas de -oissongenerali$ado
#on aquellos modelos utilizados para l$neasde espera que combinan procesos dellegadas % salidas& ' se basa en las ipótesisde Poisson( el tiempo entre llegadas % deservicio tienen una distribución e)ponencial&
Cualquier sistema de colas para por dos*ases básicas( +ransitoria % estable&
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,l desarrollo del modelogeneralizado se basa en elcomportamiento de estado estable&
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• Ecuaciones de balance de .u!o
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E!ercicios
& ,n una peluquer$a se atiende a un cliente cadavez. % tiene / sillas para los clientes que esperan&#i el lugar está lleno. los clientes van a otra parte&
0as llegadas siguen una distribución de Poissoncon una media de 1 clientes por ora& ,l tiempode un corte de pelo es e)ponencial con 2 min depromedio& 3etermine(
a"0as probabilidades de estado estable&b"0a cantidad esperada de clientes en la peluquer$a&
c"0a probabilidad de que los clientes va%an a otraparte por estar lleno el local&
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λ 4 1 clientes por ora
λn 4 1 n 4 6. .7./.1
λn 4 6 n 8 2 !si está lleno losclientes se van"
µn 4 96:2 4 1 clientes por ora
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!a"
P 4 !1 : 1" P6 4 P6P7 4 !1 : 1"7 P6 4 P6 ∴ P6 ; P ; P7 ;P/ ; P1
4
P/ 4 !1 : 1"/ P6 4 P6 P6 ; P6 ; P6 ; P6 ;
P6 4
P1 4 !1 : 1"1 P6 4 P6
-* / +01
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!b" 04 n!Pn"
,2"ero esperado 4 6P6 ; P ; 7P7; /P/ ;1P1
de clientes
4 :2 !;7;/;1" 4 )
!c" P14
-3 / *4)
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7& 3ado que la tasa de llegada a unatienda es de /6 personas por ora % la
tasa promedia de servicio es de 16personas por ora. ?Cuál es laprobabilidad de que un cliente que
llega no tenga que esperar servicio@
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#ea Po 4 la probabilidad de que uncliente que llega no tenga que esperar
servicio& ,sto es. Po es la probabilidadde que el sistema este vac$o&
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3eterminamos Po de la ecuación
Po ; 6&A2Po ; 6&A27Po ; B 4
Po ! ; 6&A2 ; 6&A27 ; B" 4
Con la *órmula para la suma de unaserie geomtrica obtenemos
-o/*4)1
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/& NeDell % Ee son peluqueros que operande manera independiente& +ienen dossillas para clientes que esperan su corte.
entonces el número de clientes en elsistema var$a entre 6 % 1& Para n4. 7. /.1. la probabilidad Pn de que a%a
e)actamente n clientes en el sistema esP64 :9 . P 4 1:9. P74 9:9 P/4 1:9.
P14 :9&
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a" Calcule 0& 04n!Pn"
04 6!:9" ; !1:9" ; 7!9:9" ; /!1:9" ; 1!:9" 4 )
que representa el numero promedio de clientes en latienda. inclu%endo los que están cortándose elpelo&
b" 3etermine el numero esperado de clientes queestán siendo servidos
,!clientes siendo servidos"4
P ; 7!P7 ; P/ ; P1" 4 1:9 ; 7!9:9 ; 1:9 ; :9" 4
+506
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Colas especiali$adas de-oisson
#on modelos para l$neas de esperaque representa la situación
especializada de Colas de Poissoncon c servidores paralelos idnticos&Gn cliente en espera se selecciona
de la cola para iniciar el servicio conel primer servidor libre&
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,otación general de lasituación general de colas
,sta notación *ue originada por
3&H& Kendall en I2/ en la *orma!a:b:c" % se le conoc$a comoNotación de Kendall& 0uego otrospersonaJes agregaron las letras!d:e:*"&
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Dónde7
• a7 3escribe la distribución de llegadas
• b7 3escribe la distribución de salidas
• c7 Número de servidores paralelos• d7 3isciplina de cola
• e7 Número má)imo !nito o innito"
permitido en el sistema !en cola % servicio"• f7 tamaLo de la *uente demandante !nito
o innito"
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0a notación estándar para representar lasdistribuciones de llegadas % salidas es(
• M( 3istribución de llegadas o salidas
Markovianas• D( +iempo constante !determin$stico"
• I( 3istribución general del tiempo entre
llegadas• ( 3istribución general del tiempo de
servicio
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epresentación de la 3isciplina de Colas(
• -E-S( primero que llega. primero que se
atiende• 'E-S( último que llega. primero que se
atiende
• SIRO( #ervicio de orden aleatorio• D( disciplina general !cualquier tipo de
disciplina"
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,Jemplos(
!M:3:6"( !3H:N:"
!M:M:" (!3H::"
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Medidas de rendi"iento deestado estable
,l obJetivo último de la teor$a decolas consiste en respondercuestiones administrativas
pertenecientes al diseLo % a laoperación de un sistema de colas&
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0as medidas de rendimiento o *uncionamientoque se utilizan para evaluar un sistema decolas(
897 es el tiempo promedio de espera
8 ó 8s7 es el tiempo promedio en el sistema
-o( Probabilidad de que no a%an clientes enel sistema
L97 es la longitud media de la cola
L ó Ls7 es el número medio en el sistema&
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-:7 es la probabilidad de bloqueo
'7 indica la probabilidad de que elservidor est ocupado % la *racción de
tiempo que un servidor está ocupado -n( Probabilidad de que e)istan n
clientes en el sistema
-d7 probabilidad de negación delservicio. si el espacio de espera es nito&
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• 0as relaciones entre las medidas derendimiento son(
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E!ercicios
& ,l estacionamiento de visitas de Ozark College se limitasólo a cinco caJones& 0os automóviles que lo usan llegansiguiendo una distribución de Poisson con *recuencia decinco por ora& ,l +iempo de estacionamiento tiene
distribución e)ponencial con /6 minutos de promedio&0as visitas que no pueden encontrar un lugar vac$oinmediatamente cuando llegan pueden esperarprovisionalmente 3entro del estacionamiento asta quesalga un automóvil estacionado& 0os caJones
Provisionales sólo pueden contener tres ve$culos& Otrosve$culos que no se puedan estacionar ni encontrar unespacio de espera temporal se deben ir a otra parte&3eterminar lo siguiente(
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a; 0a probabilidad pn de que a%a n automóvilesen el sistema&
b; 0a *recuencia e*ectiva de llegada para automóvilesque usen en realidad el estacionamiento&
c; 0a cantidad promedio de automóviles en elestacionamiento&
d; ,l tiempo promedio que espera un automóvil astaque a%a un caJón libre dentro del estacionamiento&
e; 0a cantidad promedio de caJones deestacionamiento ocupados&
f; 0a utilización promedio de ese estacionamiento&
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,l sistema tiene un total de c 4 2 servidoresen paralelola capacidad má)ima del sistema es 2 ;/4
automóviles&
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Gn automóvil no podrá entrar al estacionamiento si %a están automóviles en l& ,so quiere decir que la proporción de ve$culosque no pueden entrar al lote es p& ,ntonces.
λ-erdido / λ p6 / < = *4*)+*1 / *4+)ora
0a cantidad promedio de ve$culos en el estacionamiento !los queesperan o los que ocupan un caJón" es igual a 0s. la cantidadpromedio en el sistema& #e puede calcular 0s a partir de pn como
sigue(
Ls / *p* +p+ p 6p6 / 54+)6< auto"oviles4
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Gn automóvil que espera en los caJonesprovisionales en realidad es uno en unal$nea de espera& ,ntonces. su tiempo de
espera a que a%a un caJón vac$o es Qq&Para determinar Qq se usará la ecuación&
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0a cantidad promedio de caJonesocupados es la misma que la cantidadpromedio de servidores ocupados.
3e R . se obtiene(
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7& 0os automóviles que llegan a una caseta de pagos enuna carretera. según una distribución de Poisson conmedia de I6 por ora& ,l tiempo promedio para pasarpor la caseta es de / segundos& 0os co*eres se queJan
de un largo tiempo de espera& 0os cobradores estándispuestos a disminuir a /6 segundos. el tiempo de pasopor la caseta. introduciendo nuevos mecanismosautomáticos& ,sto puede Justicarse únicamente si con
el sistema anterior el número de automóviles queesperan e)cede a 2& Sdemás. con el nuevo sistema elporcentaJe de tiempo ocioso de la caseta no deberá serma%or del 6T& ?Puede Justicarse la nuevadisposición@
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72T pasara de ocioso el sistema por lo tantopara esta condición no Justica el implementode este nuevo servicio&
#i Justica porque el número de autos queesperan se reducirán a 7&72 /
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/& #uponga que usted observa una peluquer$alos sábados en la maLana % encuentra quelos clientes aparecen como un proceso de
Poisson % que la rutina de llegada es de 2por ora& Sdemás que todos los clientes quellegan esperarán asta ser atendidos&#uponga aora que la atención en la
peluquer$a por tiempo es apro)imadamentee)ponencial % en promedio dura 6 minutoscada corte de pelo etc&
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Sl modelar la anterior in*ormación como M :M : se tiene que(
0o anterior nos da 4 2:9 % de acuerdo con lateor$a
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,s el número esperado de clientes en lapeluquer$a inclu%endo el que está en lasilla
,s el número de clientes esperando
sentados para ser peluqueados&
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Modelos de un solo
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Modelos de un soloservidor
Para el caso de un solo servidor!c4" se presentan dos modelos&
#e supone que los clientes llegancon una tasa constante de Uclientes por unidad de tiempo& 0a
tasa de servicio tambin esconstante e igual a V clientes porunidad de tiempo&
1 + Modelo BM0M0+; BD0 0 ;
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14+4 Modelo BM0M0+;7 BD0∞0∞;
,ste modelo de servidor único no tienel$mites en la capacidad del sistema ode la *uente de llamadas. con llegadas
% salidas de Poisson con tasa medias&
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3eniendo obtenemos lasiguiente *órmula general para estemodelo(
Pn = (1- ρ)∗ρn, n = 0, 1, 2,… ( ρ < 1)
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0as medidas de desempeLo son(
1 ) Modelo BM0M0+;7 BD0,0 ;
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14) Modelo BM0M0+;7 BD0,0∞;
0a di*erencia de ste modelo % elanterior. la es que tiene númeromá)imo de clientes permitidos en elsistema N !longitud má)ima de la l$neade espera es 4 N-"& Cuando a% N
clientes en sistema. no se aceptan masllegadas
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Para
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endimiento(
λef
= λ−λperdido
= λ( 1-pN
)
0q 4 0s-!le. * :m"4 0s - W! -pN "X:m pN
Wq = Lq / λe, f
= Ls / [λ( 1-pN)]
Ws = Wq +1/ µ = Ls / [λ( 1-pN)]
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E!ercicios
Modelo BM0M0+;7 BD00;
& Gn restaurante de comida rápida tiene una ventanilla deservicio para automóviles& 0os ve$culos llegan de acuerdo conuna distribución de Poisson. con una *recuencia 7 cada 2minutos& ,n el espacio *rente a la ventanilla pueden caber 6
ve$culos cuando muco. inclu%endo al que se está sirviendo& #ies necesario. otros automóviles pueden esperar *uera de esteespacio& ,l tiempo de servicio por cliente es e)ponencial. conuna media de &2 minutos& Calcule lo siguiente(
a" 0a probabilidad de que la instalación este vac$a&b" 0a cantidad estimada de clientes esperando que los atienda&
c" ,l tiempo estimado de espera para que un cliente llegue a laventanilla % aga su pedido&
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Modelo BM0M0+;7 BD00;
7& 0os clientes llegan en automóvil a una ventanilla bancaria deacuerdo con una distribución de Poisson. con una media de 6oras& ,l tiempo de servicio a cada cliente es e)ponencial. conuna media de 2 minutos& Ya% / espacios *rente a la ventanilla.
inclu%endo el del automóvil que es atendido& #i llegan másve$culos. deben esperar *uera de este espacio para / ve$culos&
a" ?Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega puedamaneJar directamente asta el espacio *rente a la ventanilla@
b" ?Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tendrá queaguardar *uera del espacio indicado@
c" ?Cuánto tendrá que esperar un cliente que llega antes de quecomience a dársele servicio@
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a;
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Modelo BM0M0+; 7 BD0∞0∞;/& ,n un servidor en un autoservicio de venta de
ca* la tasa de llegada al servidor es 6ve$culos por minuto. % el tiempo de eJecución
en todo el sistema es de 2 segundos. estostiempos se distribu%en e)ponencialmente&
a"?Zu proporción de tiempo está el servidorocioso@
b"?Cuál es el número promedio de ve$culosesperados en la cola del sistema@
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Modelos de servidores "2ltiples
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Modelos de servidores "2ltiples
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Medidas de desempeLo(
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Medidas de desempeLo
6 3 Modelo de autoservicio (M/M/ ):
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6.3 Modelo de autoservicio (M/M/
):(GD/
/
)
,n este modelo el número deservidores es ilimitado porque el clientemismo es tambin el servidor& ,ste es
normalmente el caso en losestablecimientos de autoservicio&
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Medidas de desempeLo
Nótese que Qq 4 6 porque cada cliente
se atiende a s$ mismo& ,sta es la razónpor la que Qs es igual al tiempo deservicio medio :u &
E!ercicios
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E!ercicios
Modelo BM0M0c;7 BD0 0 ;& Gna pequeLa ocina de correos tiene dos ventanillas abiertas&
0os clientes llegan siguiendo una distribución de Poisson con la*recuencia cada / minutos& #in embargo solo el 6T debenser atendidos en las ventanillas& ,l tiempo de servicio a los
clientes es e)ponencial. con 2 minutos de promedio& Ss$ ese6T de los clientes que llegan se *orman en una cola % llegana las ventanillas disponibles en disciplina P0P#&
a" ?Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue debaesperar en la la@
b" ?Cuál es la probabilidad de que las dos ventanillas estnvac$as@
c" ?Cuál es la longitud promedio de la cola@
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a" b"
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c"
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Modelo BM0M0c;7 BD0,0∞ c ≤ ,7& Gn pequeLo taller de aJuste de motores ocupa a tres mecánicos& S
principios de marzo cada aLo las personas llevan al taller lassegadoras % podadoras que reciben mantenimiento& ,l taller quiereaceptar todas las segadoras % podadoras que le lleven& #inembargo. cuando los clientes que llevan ven que el piso del tallerestá cubierto con trabaJos en espera. van a otra parte para recibirun servicio más inmediato& ,l piso del taller puede dar cabidacuando muco a 2 segadoras o podadoras. además de las quereciben el servicio& 0os clientes llegan al taller cada 2 minutos enpromedio % un mecánico tarda un promedio de /6 minutos en
terminar cada trabaJo& ,l tiempo entre llegas % el tiempo de serviciotienen distribución e)ponencial& 3etermine lo siguiente(
a" 0a Probabilidad de que el siguiente cliente que llegue recibaservicio
b" 0a probabilidad de que al menos un mecánico este sin trabaJo&
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Modelo (M/M/∞): (GD/∞/∞) autoservicio/& S los conductores nuevos se les pide pasar un e)amen por
escrito. antes de acer las pruebas de maneJo& 0os e)ámenesescritos suelen acerse en el departamento de polic$a de laciudad& 0os registros de la ciudad de springdale indican que la
cantidad promedio de e)ámenes escritos es de 66 por d$a de oras& ,l tiempo necesario para contestar el e)amen es de /6minutos. más o menos& #in embargo. la llegada real de losaspirantes % el tiempo que tarda cada uno en contestar sontotalmente aleatorios& 3etermine lo siguiente(
a" 0a cantidad promedio de asientos que debe tener losdepartamentos de polic$a en el salón de e)amen&
b" 0a probabilidad de que los aspirantes rebasen la cantidadpromedio de asientos que a% en el salón de e)amen&
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Modelo de servicio de "9uinas
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ode o de se c o de 9u as@4+ BM0M0R;7 BD0F0F;
Mediante el modelo de servidor demáquinas se propone la idea de
disponer de cantidad de tcnicoscon el propósito de o*recerlereparaciones a un número [k\ de
máquinas&
Gariables en las fór"ulas para el "odelo
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pde servicio de "9uinas7
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Medidas de desempeLo
E!ercicios
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E!ercicios
& ,n una empresa la reparación de un cierto tipo demaquinaria e)istente en el mercado se realiza en 2operaciones básicas que se e*ectúan de una manerasecuencial] si el tiempo que se lleva en realizar cada unode los 2 pasos tiene una distribución e)ponencial con
media de 2 minutos& ,stas máquinas se descomponensegún una distribución Poisson con una razón media de 7máquinas : ora % en la *ábrica solo a% un mecánico quelas repara& Calcular las caracter$sticas de operación de laempresa&
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7&+oolco opera un taller que contiene 77 máquinas& #esabe que cada máquina se aver$a cada dos oras. enpromedio& #e requiere un promedio de 7 minutospara terminar una reparación& +anto el tiempo entreaver$as como el tiempo de reparación siguen unadistribución e)ponencial& +oolco está interesada endeterminar el número de mecánicos necesarios paramantener continuamente *uncionando el taller&
0a situación se analiza investigando la productividadde las maquinas como una *unción del número demecánicos& ,sta medida de productividad se denecomo(
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0a productividad asociada es baJa!412&11T"& #i se incrementa el numerode mecanicos a dos. laproductividadsalta de /1&AT a 6&2T& Cuandoempleamos a tres mecanicos. laproductividad aumenta solo &91T a
&AIT. mientras que cuatromecanicos aumentaran laproductividad &99T. solo a I6&12T&
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S Juzgar por estos resultados. se Justica el usode dos mecanicos& Contratar tres empleadosno sirve por que eleva la productividad en solo&91T& Zuiza una comparacion monetariaentre el costo de contratar una tercera persona% el ingreso atribuido a &91T de aumento enproductividad se aprovece para establecereste punto& ,n cuanto a contratar un cuartomecanico. el magro aumento de &99T en laproductividad no Justica tal acción&
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/&Gna CompaL$a debe tomar una decisión con respecto a supol$tica de contratar un mecánico para reparar unmecanismo que se descompone con una tasa promedio de1 por ora de acuerdo con una distribución Poisson] eltiempo improductivo de cualquiera de los mecanismosestá costando ^2666 por ora a la ,mpresa& 0a CompaL$apuede contratar dos tipos distintos de mecánicos( unolento. pero poco costoso a ^7266 por ora % el otro rápido.pero más costoso a ^1266 por ora] el mecánico lentopuede reparar e)ponencialmente los mecanismos a unatasa promedio de 9 por ora. mientras que el mecánicorápido repara e)ponencialmente a razón de por ora&_asándose en los datos anteriores cuál mecánico debecontratarse@
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3onde CO0. CO. C+0 % C+corresponden a costo ocioso para elmecánico lento. costo ocioso para el
mecánico rápido. costo total para elmecánico lento % costo total para elmecánico rápido& 0a decisión es
entonces nalmente contratar elmecánico rápido. porque la CompaL$aaorra costo&
Hor"ula -ollac$ee&?F>intc>ine B-?F;
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Hor"ula -ollac$ee& F>intc>ine B- F;
64+ Modelo BM00+;7 BD00;,l que el tiempo de servicio. t. estárepresentado por cualquier
distribución de probabilidad conmedia ,!t" % varianza var!t"& 0osresultados del modelo inclu%en lasmedidas básicas de rendimiento. 0s.0q. Qs % Qq& ,l modelo noproporciona una e)presión de *ormacerrada para Pn debido a la
dicultad anal$tica
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E!ercicios
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E!ercicios
& ,n una instalación de servicio de lavado de autos. lain*ormación recolectada indica que llegan autos para seratendidos según una distribución de Poisson con lamedia de 2 por ora& ,l tiempo para lavar % asear cadaautomóvil varia. pero se advierte que sigue una
distribución e)ponencial con media de 6 minutos porautomóvil& 0a instalación no puede dar aloJamiento amás de un auto a la vez& !#upóngase que en elestablecimiento de lavado de autos de este eJemplo. ellavado lo realizan maquinas automáticas. de manera queel tiempo de servicio se puede considerar el mismo %constante para todos los autos& ,l ciclo de la maquinalavadora tarda e)actamente 6 minutos"&
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7& ,n un ca* e)prs& 0os clientes siguenun proceso Poisson con tasa media de/6 por ora& ,l tiempo necesario para
que se sirva a un cliente tienedistribución e)ponencial con media deA2 segundos&
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/& 0a%son oong `nc& ̀ nstala teJados en residencias nuevas %vieJas& 0os posibles clientes piden el servicio aleatoriamente.con una *recuencia de nueve trabaJos mensuales !meses de /6d$as" % se pone en la listad de espera para atenderlos con baseP0P#& 0os tamaLos de las casas ar$an. pero es razonable
suponer que las supercies de los tecos tiene unadistribución uni*orme entre 26 % /66 cuadrados& 0a cuadrillade trabaJadores suele terminar A2 cuadrados por d$a calcule losiguiente(
a" 0a cantidad de trabaJos que tiene 0a%son oong pendienteal d$a&
b" ,l tiempo promedio de espera de los clientes asta que setermine su trabaJo&
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