El memristor

• Propuesto en los 70’s por Leon O. Chua (bajo un argumento de simetría) como un elemento que relaciona carga q(t) y flujo magnético

• Encontrado en 2008 por el equipo de R. Stanley Williams en los laboratorios HP.

• Estructura Crossbar (contactos de Platino

• Película de TiO2 con vacancias de oxygeno

Las vacancias de oxygeno crean una región con muchos dopantes, la cual tiene una resistencia mucho menor que la región no dopada.

La interfaz entre las dos regiones (y por lo tanto la resistencia efectiva del dispositivo) depende de la posición de estos dopantes (determinada por su movilidad y el campo eléctrico aplicado a la región.

Al modelar el memristor como esos dos resistores en serie, la resistencia efectiva se da como:

Al aplicar una señal de excitación v(t) se encuentra la corriente i(t) por v(t)=M(t)i(t) (en nuestro caso se aplica i(t)).

El comportamiento memristivo se refleja en la dependencia temporal del tamaño de la región dopada w(t).

Para describir como cambia w:

En el modelo de Linear Drift (la interfaz entre ambas regiones cambia a velocidad constante ) como:

Para acotar la variable de estado a los límites del dispositivo se utiliza una función de ventana . Y .

** Esta es la ecuación diferencial que describe al memristor y que hay que resolver.

La solución de la ecuación diferencial

• Se basa en el método de perturbación homotópica.

En general, si se considera una ecuación no lineal en la forma:

Donde A(u) es un operador diferencial y f(t) es una función analítica conocida. Generalmente A(u) se puede separar en dos operadores L (lineal) y N (no lineal).

Se puede construir una formulación homotópica:

Donde p es el parámetro homotópico.

Si se asume una solución de la forma:

Donde v0, v1, v2…. Son funciones determinadas por el procedimiento HPM. Las cuales se encuentran al sustituir en la homotopía y resolver par potencias iguales de p. Posteriormente cuando se encuentra la solución en la forma:

Aplicado a la solución de la ecuación del memristor:

La formulación homotópica (combinando la formulación general, la función de ventana y la ecuación del memristor) es:

Al substituir la solución propuesta y reordenar términos de iguales potencias de p se obtiene:

Posteriormente, al resolver el sistema para las v’s:

Al substituir los términos obtenidos en la formulación homotópica (y calculando el límite cuando se obtiene la aproximación de la variable de estado (en este caso de segundo orden):

Mientras más términos de la solución sean hallados, la aproximación será de un orden mayor.

Xo vs Todos los órdenes (LF)Área I-V Área M-I Área M-V

A mayor orden, más valles .

Xo vs Todos los órdenes (HF)Área I-V Área M-I Área M-V

Xo Memristancia mínima

A mayor orden más cruces por cero

a1 vs Todos los órdenes (LF)Área I-V Área M-I Área M-V

Si la gráfica se extendiera, las curvas volverían a caer

*Cambia el crecimiento

a1 vs Todos los órdenes (HF)Área I-V Área M-I Área M-V

a1 Memristancia mínima

Para órden mayor a 3 el memristor es activo en todos los órdenes

Ap vs Todos los órdenes (LF)Área I-V Área M-I Área M-V

Ap vs Todos los órdenes (HF)Área I-V Área M-I Área M-V

Ap Memristancia mínima

Nuevamente, para un valor mayor a 40 uA el memristor es activo

alpha vs Todos los órdenes (LF)Área I-V Área M-I Área M-V

alpha vs Todos los órdenes (HF)Área I-V Área M-I Área M-V

alpha Memristancia mínima

El orden sólo cambia la pendiente

Ron vs Todos los órdenes (LF)Área I-V Área M-I Área M-V

Ron vs Todos los órdenes (HF)Área I-V Área M-I Área M-V

Ron Memristancia mínima

Observaciones:

Los valores nominales son elegidos de manera que el modelo funcione para describir un memristor pasivo para cualquier frecuencia.

A medida que a frecuencia aumenta, el modelo describe mejor el memristor ( aunque esto no sea de mucha ayuda).

Por ejemplo, al aumentar la frecuencia aumentan los valores para los cuales el memristor no se vuelve activo.

Cuanto mayor es el orden la dependencia del área vs Xo tiene más picos y valles, pero cuando la frecuencia es mayor el comportamiento es parabólico.

Modelo de Segundo Orden (Xo)

El área de los lóbulos no siempre aumenta, llega a un máximo cerca de X0=0.3 y luego disminuye.

Los últimos lóbulos se deforman.

El memristor pierde la pasividad para el intervalo (cruces de la curva por cero) (memristancia negativa).

Al volver a ser pasivo Mmin aumenta en lugar de disminuir. Las curvas para estas Xo se deforman.

Por esta razón se utiliza

Notas:

Hace falta obtener Xo tal que el área es máxima. Esto puede mejorar la dinámica (mayor número de valores que la memristancia puede tomar).

Falta ver cómo varía el área de un caso de Xo en cuando a frecuencia.

Modelo de Segundo Orden (a1)

El coeficiente de venta afecta gravemente el comportamiento. Para valores mayores a a1=3 el modelo no describe un memristor.

A medida que la frecuencia aumenta, la memristancia mínima adquiere un comportamiento decreciente.

W=1 W=2 W=5

A alta frecuencia las curvas (I-V, M-I, M-V ) se compone.

Modelo de segundo Orden (alpha)

Alpha no afecta la pasividad del memristor.

Mientras se elija un alpha menor, hay menor dinámica (puesto que Ron y Roff son muy parecidas) debido a que el lóbulo comienza por las rectas que definen Roff y termina por Ron.

El área incrementa de manera lineal en cada caso (I-V, M-I, M-V ).

Modelo de segundo orden (Ap)Un valor grande de Ap afecta la pasividad del memristor. Para valores mayores a 40 uA hay valores negativos de memristancia.

Se observa que cambia la pendiente de que corresponde a (Mmin) pero no la de (Mmax) .

El área del de las curvas cambia de manera diferente, en las primeras dos parece aumentar de manera exponencial, mientras que en la tercera disminuye por la contribución de la parte de área negativa.

A alta frecuencia las tres curvas se vuelven exponenciales.

Modelo de segundo orden (Ron)

Mientras más crece Ron, una de las pendientes (la recta tangente que pasa por uno de los extremos del lóbulo) va disminuyendo.

Para frecuencias grandes las curvas mejoran y el área crece exponencialmente. (pero los lóbulos indican pasividad y la memristancia es siempre positiva).

Ron=145.77

Ron=291.4

Ron=1457

El valor nominal Ron=100 permite que el memristor no se vuelva activo.

Modelo de Tercer Orden (Xo)

Baja frecuencia Alta Frecuencia

Xo=0.1466, 0.286,1.0059

Xo=1.006

Xo=1.0059

Modelo de Tercer Orden (a1)

a1=3.49

a1=6.98

a1=17.456

A medida que la frecuencia aumenta, la el coeficiente de ventana para la cual la memristancia cambia de signo también es mayor.

Modelo de Tercer Orden (alpha)

El área vuelve a crecer linealmente en todos los casos .

Modelo de Tercer orden (Ap)

Ap=46.56 uA

Ap=93 uA

Ap=232.5 uA

Por eso se usa el valor nominal de 40 uA, para que el memristor no se vuelva activo.

Si se quisiera usar una Ap mayor, debería trabajarse a mayor frecuencia, sin embargo esto no es conveninente porque limita la dinámica.

Modelo de Tercer orden (Ron)

Ron=116.33

Ron=232.66

Ron=581.67

Para baja frecuencia la Ron máxima que permite que el memristor continúe siendo pasivo debe ser menor a 116. Por eso se utiliza como valor nominal Ron=100.

Modelo de Sexto Orden (Xo)

Nuevamente, el área crece después se Xo=0.1 y después decrece

Cuando crece la corriente la resistencia mínima se vuelve decreciente contra Xo.

Modelo de Sexto Orden (a1)

La dependencia contra a1 cambia conforme la frecuencia aumenta.

Se puede ver como si se moviera un cierto valor de a1 para el cual la Mmin cambia de decreciente a creciente.

Modelo de sexto Orden (alpha)

Alpha no afecta la pasividad del memristor.

Mientras se elija un alpha menor, hay menor dinámica (puesto que Ron y Roff son muy parecidas) debido a que el lóbulo comienza por las rectas que definen Roff y termina por Ron.

El área incrementa de manera lineal en cada caso (I-V, M-I, M-V ).

Modelo de sexto orden (Ap)

Modelo de sexto orden (Ron)

El comportamiento de la Memristancia mínima cambia con respecto a los demás modelos.