ESCUELA POLITECNICA

NACIONALGrupo # 3

• Auqui Luis• Almeida Edison• Mejía Carlos• Gutama William

Cálculo en una variable

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

METODO DE LAS CAPAS CILINDRICAS

ContenidoDefinición de solido de revoluciónDefinición de eje de revoluciónVolúmenes de solidos de revolución,

Método de las capas cilíndricas (Introducción, definición, teoremas)

Ejercicios

Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.

Solido de Revolución

Eje de Revolución

Línea recta alrededor de la cual se va hacer girar un área determinada por una o varias funciones. Este eje de revolución puede ser horizontal o vertical.

El método de cálculo integral que se explica en esta investigación, el de los casquetes cilíndricos, proporciona una forma alternativa de calcular el volumen de sólidos de revolución. En ciertos casos es el único método viable porque el método de los discos puede resultar a veces difícil de aplicar o no puede aplicarse en absoluto.

INTRODUCCIÓN

Para el volumen generado por la curva nosotros vamos a aplicar el método de las capas cilíndricas que básicamente consiste en dividir el sólido de revolución en una serie de capas cilíndricas que se incrustan unas dentro de otras y en integrar luego los volúmenes de las capas para obtener el volumen total. Lo cual el sólido de revolución se puede ver cómo se van agregando y se van retirando sucesivamente estos elementos y cómo se produce el sólido de revolución.

Ejemplos de la vida cotidiana

También podemos observar el método de las capas cilíndricas en la vida cotidiana como por ejemplo el de una cebolla como hemos observado que en su interior los tejidos de un trozo de este vegetal están dispuestos en una serie de capas más o menos cilíndricas que cuando se cortan transversalmente y se sirven en las ensaladas, forman los característicos "anillos" de la cebolla.

Planteamiento General Para comenzar a entender en detalle el método de los casquetes cilíndricos debemos establecer cómo calcular el volumen V de un casquete cilíndrico de altura h cuyo radio interior es r1 y cuyo radio exterior es r2 . Naturalmente procedemos restando el volumen V1 del cilindro interior al volumen V2 del cilindro exterior, así:

Supongamos que la región plana de la figura que se muestra a continuación, se gira alrededor de una recta para formar un sólido. Si se considera un rectángulo horizontal de ancho , entonces, a medida que la región plana se gira alrededor de una recta paralela al eje , el rectángulo genera un cascarón representativo cuyo volumen es:

Es posible obtener una aproximación del volumen del sólido mediante cascarones de espesor , altura y radio promedio

Esta aproximación parece acercarse más exacta a medida que Por tanto, el volumen del sólido se define como:

Volumendel s ó lido≈∑𝑖=1

𝑛

2𝜋 [𝑝 (𝑦 𝑖 )h (𝑦 𝑖 ) ]∆ 𝑦=2𝜋∑𝑖=1

𝑛

[𝑝 (𝑦 𝑖 )h ( 𝑦 𝑖 ) ]∆ 𝑦

Teoremas

Para hallar el volumen de un sólido de revolución con el método de las capas cilíndricas, se debe usar una de las ecuaciones siguientes:

1. Eje de revolución horizontal

2. Eje de revolución vertical

ObservaciónSe debe considerar que el rectángulo de referencia va a ser paralelo al eje de rotación.

Demostración

Empleando el método de los casquetes cilíndricos, que el volumen de un cono de altura h y con radio r en su abertura está dado por:

V = h

GRACIASPOR SU ATENCIÓN