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VARIABLE COMPLEJA
Ph. D. Omar Pineda
Números complejosDefinición 1
El conjunto de los números complejos esta dado por:
Definición 2
Llamaremos número complejo, a una expresión de la forma , donde es la parte real y es la parte imaginaria.
Ejemplo 1
Determine cuales de los siguientes números son complejos.
a) 2 + 3i b) 7 c) 4i d)
Número conjugado complejoDefinición 1
Sea un número complejo. El conjugado complejo de z es:
= .Ejemplo 1
Hallar el conjugado complejo de los siguientes números complejos.
a) b) -12
c) 7
d)
Operaciones básicas con números complejosDefinición 1
Sean y dos números complejos.
Las operaciones básicas están dadas por:
Adición: + = +
Sustracción: = +
Multiplicación: = +
División: = +
Operaciones básicas con números complejos
Ejemplo 1
Sea y . Hallar
a) +
b)
c)
d)
Módulo de un número complejoDefinición 1
Sea z un número complejo. El módulo de z esta dado por = .
Ejemplo 1
Hallar el módulo de los siguientes números complejos.
a)
b)
c)
d)
Representación gráfica de números complejosDefinición 1
Un número complejo se puede considerar como una pareja ordenada de números reales
Nota odemos representar estos números complejos por puntos en un plano , llamado el plano complejo o diagrma de Argand.
Representación gráfica de números complejosEjemplo 1
Efectuar las operaciones indicadas analítica y gráficamente.
a)
b) 3
c) 3 + 2
Representación gráfica de conjuntos complejosEjemplo 1
Describir y construir la gráfica del lugar representado por cada una de las ecuaciones.
a)
b) 6
c) + 4
Representación gráfica de conjuntos con conjugado complejoEjemplo 1
Describir y construir la gráfica del lugar representado por cada una de las ecuaciones.
a)
b)
Forma polar de números complejosDefinición 1
Sea z un número complejo. La forma polar de z es
r y se llaman coordenadas polares.
r = , ,
Forma polar de números complejosEjemplo 1
Exprese cada uno de los siguientes números complejos en forma polar.
a)
b)
c) 4
d)
Potencia de un número complejoTeorema 1 ( El teorema de Moivre )
Sea z un número complejo y un entero positivo.
La potencia de z esta dada por.
r = , ,
Nota
La potencia de un número complejo se puede representar como:
Potencia de un número complejoEjemplo 1
Hallar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones:
a)
b)
c)
Potencia de un número complejoEjemplo 2
Un hombre viaja 12 kilómetros en dirección noreste, 20 kilómetros en dirección noroeste y luego, 18 kilómetros en dirección al suroeste. Determinar analíticamente y gráficamente a que distancia y en que dirección está él de su punto de partida.
Ejemplo 3
Probar las identidades
b)
Raíces de números complejosDefinición 1
Sea z un número complejo y un entero positivo. La raíz -ésima de z esta dada por
,
r = , ,
Raíces de números complejosEjemplo 1
Hallar cada una de las raíces indicadas y localizarlas gráficamente.
a) b) c)
d) e)
Ecuaciones polinómicas en una variable compleja
Definición 1
Llamaremos ecuación polinómica en una variable compleja z, a una expresión de la forma
donde
son números complejas.
Ejemplo 1
Resolver la ecuación
a) b)
c)
Coordenadas conjugadas complejasDefinición 1
Sea un número complejo. Las coordenadas conjugadas
complejas están dadas por , Ejemplo 1
Escribir cada uno de los siguientes ecuaciones en términos de las coordenadas conjugadas.
a)
b)
Funciones en una variable complejaDefinición 1
Si a cada valor que puede tomar la variable compleja z le corresponde uno o más valores de una variable compleja w, decimos que w es una función de z escribimos . La variable z es la variable independiente y la variable w es la variable dependiente.
Ejemplo 1
a)
b)
Funciones unívocas y multívocasDefinición 1
Si a cada valor de z corresponde sólo un valor de w, decimos que w es una función unívoca de z.
Ejemplo 1
Definición 2
Si más de un valor de w corresponde a cada valor de z, decimos que w es una función multívoca de z.
Ejemplo 1
Funciones inversasDefinición 1
Sea una función compleja. La función inversa de f esta dada por .
Ejemplo 1
a)
b)
TransformacionesDefinición 1
Sea una función unívoca de tal que son reales. La transformación de w están dadas por las ecuaciones
Ejemplo 1
Hallar las partes real e imaginaria de las funciones siguientes:
a) b) c)
Funciones elementalesFunciones polinomiales: La función polinómica en una variable z esta dada por
donde son constantes complejas y es un entero positivo y .
Ejemplo 1
Sea Hallar .
Función racional: La función racional en una variable z esta dada por , donde
Ejemplo 1
Sea . Hallar .
Funciones elementalesFunción exponencial: La función exponencial en una variable z esta dada por .
Ejemplo 1
Sea . Hallar .
Funciones elementalesFunciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas de , y están dadas por
Ejemplo 1 a) Hallar el valor de b) Demuestre la identidad
Funciones elementalesFunciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas de están dadas por
Ejemplo 1 Hallar el valor de cot
Funciones elementalesFunciones hiperbólicas: Las funciones hiperbólicas de están dadas por
Ejemplo 1 Hallar el valor de
Funciones elementalesFunciones hiperbólicas: Las funciones hiperbólicas de están dadas por
Ejemplo 1 Hallar el valor de
Funciones elementalesFunciones logarítmicas: La función logaritmo natural en una variable z esta dada por
r = , ,
Ejemplo 1
a)
b)
Funciones elementalesFunciones trigonométricas inversas: las funciones trigonométricas inversas de están dadas por
Ejemplo 1 Hallar el valor de
Funciones elementalesFunciones trigonométricas inversas: las funciones trigonométricas inversas de están dadas por
Ejemplo 1 Hallar el valor de
LimitesTeorema 1
Suponga que entonces 0 0
lim ( ) lim ( )z z z z
f z A y f z B
0 0
0
2) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )z z z zz z
f z g z f z g z A B
0 0
0
1) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )z z z zz z
f z g z f z g z A B
0 0
0
3) lim ( )* ( ) lim ( )* lim ( ) *z z z zz z
f z g z f z g z A B
0
0
0
lim ( )( )4) lim ; 0
( ) lim ( )z z
z zz z
f zf z AB
g z g z B
LimitesEjemplo 1
Evalúe las expresiones de los incisos siguientes con los teoremas sobre límites:
a)
b)
c)
2
1lim 5 10z i
z z
22
2 3 1lim
2 4z i
z z
z z
3
3
4 2
2
8lim
4 16i
z e
z
z z
DerivadasTeorema 1
Suponga que y son funciones analíticas de z. Entonces son válidas las siguientes reglas de diferenciación.
1)
2)
3)
4)
DerivadasEjemplo 1
Con las reglas de diferenciación, encuentre las derivadas de las
expresiones en los incisos siguientes:
Funciones analíticasDefinición 1
Sea una función compleja. Decimos que es una función analítica en si y satisfacen las ecuaciones y tal que son continuas en .
Ejemplo 1
Determine si las siguientes funciones son analíticas en una región .
a)b)c)
Regla de L’ HopitalTeorema 1
Ejemplo 1
Utilice la regla de L’ Hopital para evaluar los siguientes limites