The random variable concept

Definition of a random variable

We define a real random variable as a real function of the elements of a sample space S, we shall represent a random variable by a capital letter (such as W,X, or Y) and any particular value of the random variable by a lowercase letter (such as w,x,or y), Thus given an experiment defined by a sample space S with elements s, we assign to every s a real number.

X(s) (2.1-1)

According to some rule and call X9s) a random variable.

A random variable X can be considered to be a function that maps all elements of the sample space into points on the real line or some parts thereof. We illustrate, by two examples, the mapping of a random variable.

Examples.2.1-1 An experiment consist of rolling a die and flipping a coin. The applicable sample space is illustrated in figure 2.1-1. Let the random variable be a function X choosen such that (1) a coin head (H) outcome corresponds to positive values of X that are equal to the numbers that show up on the die. And (2) a coin tail (T) outcome corresponds to negative values of X that are equal in magnitude to twice the number that shows on the die. Here X maps the sample space of 12 elements into 12 values of X from -12 to 6 as shown in figure 2.1-1

Examples 2.1-2 figure 2.1-2 illustrates an experiment where the pointer on a wheel of chance is spun. The possible outcomes are the numbers from 0 to 12 marked on the wheel. The sample space consist of the numbers in the set {0<s<- 12}. We define a random variable by the function

X=X9s)=S^2

Points in S now map onto the real line as the set {0<x<- 144}

Figure 2.1-1 A random variable mapping of a sample space

Figure 2.1-2 Mapping applicable to examples 2.1-2

As seen in these two examples, a random variable is a function that maps each point in S into some point on the real line. It is not necessary that the sample-space points map uniquely, however. More than one point in SD may map into a single value of X. for example, in the extreme case, we might map all six points in the sample space for the experiment “throw a die and observe the number that shows up” into the one point X=2.

Condition for a function to be a random variable

Thus, a random variable may be almost any function we wish. We shall, however, require that it not be multivalued. That is, every points in S must correspond to only one value of the random variable.

Moreover, we shall require that two additional conditions be satisfied in order that a function X be a random variable (Papoulis), firs, the set {X<-x} shall be an event for any real number x. the satisfaction of this condition will be no trouble in practical problems. This ste corresponds to those points s in the sample space for which the random variable X(s) does not exceed the number x. the probability of this event, denoted by P{X<-x}, is equal to the sum of the probabilities of all the elementary events corresponding to {X<_ x}.

The second condition we require is that the probabilities of the events {X=limit} and {X=limit} be 0:

P {X=-limit}=0 P{X=limit}=0 (2.1-2)

This condition does not prevent X from being either –limit or limit for some values of s; it only requires that probability of the set of those s be zero.

Discrete and Continous Random Variables

A discrite random variable is one having only discrete values. Examples 2.1-1 illustrated a discrete random variable. The sample space for discerete random variable can be discrete, continous or even a mixture of discrete and continous points. For examples, the “Wheel of Chance” of examples 2.1-2 has a continous sample space, but we could define a discrete random variable as having the value 1 for the set of outcomes {0<s<_6} and -1 for {6<s<_ 12}. The result is a disceret random variable define on a continous sample space.

A continous random variable is one having a continous range of values. It cannot be produced from a discrete sample space because of our requirement that all random variables be single-valued function of all sample-space points. Similarly,a purely continous random variable cannot result from a mixed sample space because of the presence of the discrete portion of the sample space. The random variable of example 2.1-2 is continous.

Mixed random Variable

A mixed random variable is one for which some of its values are disrete and some are continous. The mixed case is usually the least important type of random variable, but it occurs in some problems of practical significance.

2.2 Distribution function

The probability P{X<_ x} is the probability of the event {X <_ x}, it is a number that depends on x; that is, it is a function of x, we call this function, denoted Fx(x), the cumulative probability distribution function of the random variable X, thus,

Fx(X)= P{X<_ x} (2.2-1)

We shall often call Fx(x) just the distributin function of X, the argument x is any real number ranging from –limit to limit.

The distribution function has some specific propertyies derived from the fact that Fx(x) is a probability. These are :

The firs three of these properties are easy to justify, and the reader should justify them as an execise. The fourth states that Fx(x) is a nondecreasing function of x.

The fifth property states that the probability that X will have values larger than some number x1 but not exceeding another number x2 is equal to the difference in Fx(x) evaluated at the two points. It is justified from the fact that the events {X<_x1} and {x1<X<_x2} are mutually exclusive, so the probability of the evnt {X<_x2} ={X<_x1} U {x1<X<_x2} is the sum of the probabilies P{X<_x1} and P {x1<X<_x2}. The sixth property states that Fx(x) is a function continous from the right.

Translate

Kita mendefinisikan variabel acak nyata sebagai fungsi nyata dari unsur-unsur dari ruang sampel S, kita akan mewakili variabel acak oleh huruf besar (seperti W, X, atau Y) dan setiap nilai tertentu dari

variabel acak dengan huruf kecil a surat (seperti w, x, y atau), demikian diberikan percobaan didefinisikan oleh ruang sampel s dengan elemen, kami tetapkan untuk setiap bilangan real sa.

Menurut beberapa aturan dan panggilan X (s) variabel acak.Sebuah variabel acak X dapat dianggap sebagai fungsi yang memetakan semua elemen dari ruang sampel ke titik pada garis nyata atau beberapa bagiannya. Kami menggambarkan, oleh dua contoh, pemetaan variabel acak.

Contoh 2.1 Sebuah eksperimen terdiri dari bergulir mati dan membalik koin. Ruang sampel berlaku diilustrasikan pada Gambar 2,1-1. Biarkan variabel acak menjadi fungsi X dipilih sedemikian rupa sehingga (1) kepala koin (H) hasil sesuai dengan nilai-nilai positif dari X yang sama dengan nomor yang muncul pada mati. Dan (2) koin ekor (T) hasil sesuai dengan nilai-nilai negatif dari X yang sama besarnya dengan dua kali jumlah yang menunjukkan pada mati. Berikut X memetakan ruang sampel dari 12 elemen dalam 12 nilai X dari -12 ke 6 seperti pada gambar 2,1-1

Contoh 2.2 menggambarkan sebuah eksperimen di mana pointer pada roda kesempatan berputar. Hasil yang mungkin adalah nomor 0-12 ditandai pada roda. Sampel ruang terdiri dari angka-angka dalam himpunan {0 <s <- 12}. Kami mendefinisikan sebuah variabel acak dengan fungsi .

Seperti yang terlihat dalam dua contoh ini, variabel acak adalah fungsi yang memetakan setiap titik di S ke beberapa titik pada garis nyata. Hal ini tidak perlu bahwa titik sampel-ruang map unik, namun. Lebih dari satu titik di SD dapat memetakan menjadi nilai tunggal X. misalnya, dalam kasus yang ekstrim, kita mungkin memetakan semua enam poin di ruang sampel untuk percobaan "melempar dadu dan mengamati jumlah yang muncul" ke dalam satu titik X = 2.

Kondisi untuk fungsi menjadi variabel acak

Dengan demikian, variabel acak mungkin hampir fungsi apapun yang kita inginkan. Kami akan, bagaimanapun, memerlukan bahwa hal itu tidak akan multivalued. Artinya, setiap poin dalam S harus sesuai dengan hanya satu nilai dari variabel acak.Selain itu, kami harus mensyaratkan bahwa dua kondisi tambahan harus puas agar fungsi X adalah variabel acak (Papoulis), pertama, set {X <x} akan menjadi acara untuk setiap bilangan real x. kepuasan kondisi ini akan ada kesulitan dalam masalah-masalah praktis. Ste ini sesuai dengan titik-titik dalam ruang sampel dimana X variabel acak (s) tidak melebihi jumlah x. probabilitas acara ini, dilambangkan dengan P {X <x}, adalah sama dengan jumlah dari probabilitas semua peristiwa SD sesuai dengan {X <_ x}.Kondisi kedua kita butuhkan adalah bahwa probabilitas dari peristiwa {X = batas} dan {X = batas} menjadi 0:

Kondisi ini tidak mencegah X dari yang baik -limit atau batas untuk beberapa nilai dari s; hanya membutuhkan bahwa probabilitas dari himpunan orang-orang s menjadi nol.

Variabel Acak Diskrit dan Kontinu

Sebuah variabel acak diskrit adalah salah satu yang memiliki nilai-nilai diskrit hanya. Contoh 2,1-1 digambarkan variabel acak diskrit. Sampel ruang untuk variabel acak diskrit dapat diskrit, kontinu atau bahkan campuran poin diskrit dan kontinyu. Untuk contoh, "Wheel of Chance" contoh 2,1-2 memiliki ruang sampel kontinu, tetapi kita bisa mendefinisikan sebuah variabel acak diskrit sebagai memiliki nilai 1 untuk set hasil {0 <s <_6} dan -1 untuk { 6 <s <_ 12}. Hasilnya adalah variabel acak diskrit menentukan pada ruang sampel kontinu.Sebuah variabel acak kontinu adalah salah satu yang memiliki berbagai berkesinambungan nilai. Hal ini tidak dapat diproduksi dari ruang sampel diskrit karena kebutuhan kita bahwa semua variabel acak menjadi fungsi bernilai tunggal dari semua titik sampel-ruang. Demikian pula, variabel acak kontinu murni tidak dapat hasil dari ruang sampel campuran karena kehadiran dari bagian diskrit dari ruang sampel. Variabel acak misalnya 2,1-2 kontinu.

Sebuah variabel acak campuran

adalah salah satu yang beberapa nilai-nilai diskrit dan beberapa terus menerus. Kasus campuran biasanya jenis yang paling tidak penting dari variabel acak, tetapi terjadi di beberapa masalah signifikansi praktis.Fungsi 2.2 DistribusiProbabilitas P {X <_ x} adalah probabilitas acara {X <_ x}, itu adalah nomor yang tergantung pada x; yaitu, itu adalah fungsi dari x, kita sebut fungsi ini, dilambangkan FXX), fungsi distribusi probabilitas kumulatif dari variabel acak X, dengan demikian,Fx (X) = P {X <_ x} (2,2-1)Kita akan sering menyebutnya Fx (x) hanya fungsi distribusi X, argumen x adalah nomor nyata mulai dari -limit untuk membatasi.Fungsi distribusi memiliki beberapa sifat tertentu yang berasal dari fakta bahwa Fx (x) adalah probabilitas. Ini adalah :

Tiga pertama dari sifat ini mudah untuk membenarkan, dan pembaca harus membenarkan mereka sebagai latihan. Negara keempat yang Fx (x) adalah fungsi nondecreasing dari x.Properti kelima menyatakan bahwa probabilitas bahwa X akan memiliki nilai lebih besar dari beberapa nomor x1 tetapi tidak melebihi nomor x2 lain adalah sama dengan perbedaan di Fx (x) dievaluasi pada dua titik. Hal ini dibenarkan dari fakta bahwa peristiwa {X <_x 1} dan {x1 <X _ <_ x 2} saling eksklusif, sehingga probabilitas evnt {X <_ x 2} = {X <_ x 1} Y {x 1 <x <_x2} adalah jumlah dari probabilitas P {x <_ x 1} dan P {x1 <x <_x2}. Properti keenam menyatakan bahwa Fx (x) adalah kontinu fungsi dari kanan.