Cinematica[studio del moto indipendentemente dalla causa]

Moto in una dimensionemoto esclusivamente rettilineosi trascurano le forzeoggetto in moto assimilabile ad una particella[tutte le parti si muovono solidali nella stessa direzione]

ir

0

grafico posizione –tempo: )(txx =

∆x

∆txi

xf

ti tfO

P

Q

spostamento

intervallo di tempo

ixxx if

rr )( −=∆

if ttt −=∆

velocità media:pendenza della retta PQnon dipende dal percorso[v] = [L]/[T] ⇒ m/s

( )if

if

defx ttxx

txv

−

−=

∆∆

=

esempio: moto di un’auto

x(m)

x(m)

t(s) x(m)

A 0 30B 10 52C 20 38D 30 0E 40 -37F 50 -53

smsm

txv

/7.1)050()3053(

−=−−−

=

∆∆

=

x(m)

t(s)

grafico posizione -tempo

smsm

txvAB /2.2

)010()3052(

=−

−=

∆∆

=

N.B. velocità media fra A e B:pendenza della rettatra i punti A e B

v(m/s)

t(s)

∆tn

grafico velocità -tempo

∑∑

∑∑∆=∆=∆

∆=∆=∆

→∆→∆ nnntn

nt

nnn

nn

tvxx

tvxx

nn 00limlim

N.B. spostamento totale ∆x:area sotto la curva[interpretazione geometrica]

esercizi velocità media

Quanto velocemente mi muovo in un dato istante di tempo ?

esempi:auto che si muove in città:

pedone che cammina per strada:

la velocità istantanea è diversa[ad esempio: semafori, strisce pedonali, ingorghi …]

sms

mh

kmv /3.86060

1030303

=×

==

smv /2=

xi

tO

P

∆t2

∆t3

∆t1

Q” Q’Q

dtdx

txv

tdefx =∆∆

=→∆ 0

lim

velocità istantanea:pendenza della retta tangente in Pdipende dal punto nel percorso

N.B. vx può essere positiva, negativa o nulla

quando la velocità varia nel tempo si dice che il corpo è accelerato

esempi:velocità auto aumenta quando riparto da un semaforo

diminuisce durante una frenata

accelerazione media:variazione della velocità in ∆t

[a] = [v]/[t] = [L/T]/[T]= [L/T2] ⇒ m/s2

tv

tt

vva x

if

xx

defxif

∆∆

=−

−=

)(

2

2

0lim

dtxd

dtdx

dtd

dtdv

tva xx

tdefx

=

=

=∆

∆=

→∆accelerazione istantanea:derivata prima della velocità

derivata seconda dello spostamento

⇒ accelerazione istantanea = pendenza grafico velocità tempo

N.B. spostamento infinitesimo è segmentino di traiettoriavelocità istantanea è sempre tangente alla traiettoriaaccelerazione può avere un orientamento qualsiasi rispetto alla

traiettoria

vx

ax

t

t

accelerazione istantanea:pendenza della tangente alla curva velocità-tempo[ad ogni istante]

ax>0ax=0

ax<0

derivazione a istantanea a partire da v(t) esempi

N.B. il corpo umano reagisce alle accelerazioni (accelerometro)non alle velocità (non è un tachimetro)

esempio: macchina 90 km/haereo 900 km/h non sento la velocità costante

ma le accelerazioni e decelerazioni

sulle montagne russe del Luna Park sento i veloci cambiamenti di velocità

Caso particolare: accelerazione costante

tvv

tt

vvaa xx

if

xxxx

if 0)( −

=−

−==

ti = 0, tf = tvxf = vx, vxi = vx0

accelerazione media coincide con accelerazione istantanea

tavv xxx += 0

20 xx

xvvv +

= (per ax costante)

tvvtvx xxx )

2( 0 +

=∆=∆

tvvxx xx )(21

00 +=− (per ax costante)

ttavvxx xxx )(21

000 ++=−

200 2

1 tatvxx xx +=− (per ax costante)

tvvtvvtvx xxxxx ∆+=∆−+∆=∆ )(21)(

21

000

t∆

xv

espressione che non contiene il tempo:

x

xx

x

xxxx a

vvxa

vvvvxx2

)()()(21 2

02

00

00−

+=−

++= )(2 020

2 xxavv xxx −+=

le equazioni precedenti valgono solo per ax costante !!!moto UNIFORMEMENTE accelerato

Equazioni moto con accelerazione costante

ax, vx0, x0 valori noti iniziali

tavv xxx += 0

tvvxx xx )(21

00 +=−

200 2

1 tatvxx xx +=−

)(2 020

2 xxavv xxx −+=

1.

2.

3.

4.

velocità in funzione del tempo

posizione in funzione di tempo e velocità

posizione in funzione di tempo

velocità in funzione di posizione

esercizi accelerazione costante

Corpi in caduta libera

Galileo: in assenza di attrito (aria) tutti i corpicadono con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla forma e dalla massa

jgarr

−=y

O

accelerazione di gravitàg = 9.8 m/s2

1971- filmato fatto dagli astronauti sulla Luna:http://www.history.nasa.gov/alsj/a15/a15v.1672206.mov

- Alt – Invio -

valgono le equazioni cinematiche precedenti con x → y e ay → -g

a v

Corpi in caduta libera nel vuoto:r accelerazione costante r velocità aumenta linearmente nel tempo

esempio: caduta libera

Calcolare posizione, velocità ed accelerazione di un corpodi massa M in caduta libera dopo 1,2,3,4,5 secondi

g9.8 m/s2

9.8 m/s2

9.8 m/s2

9.8 m/s2

9.8 m/s2

y

0

2/8.9 smga −=−=22

00 21

21 tgtgtvyy −=−+=

accelerazione

spostamento

velocità gtgtvv −=−= 0

ygyygvv 2)(2 020

2 −=−−=

vale per ogni corpo, indipendentemente dalla massa !!!

esercizi cinematica in una dimensione

Moto in due dimensionimoto in un piano (esempio: proiettile, satellite …)si trascurano le forzeoggetto in moto assimilabile ad una particella [tutte le parti si muovono solidali nella stessa direzione]

traiettoria della particella

12 rrrjyixr

rrr

rrr

−≡∆+= vettore posizione

vettore spostamentonell’intervallo ∆t

dalla composizione di vettori:

jyix

jyyixx

jyixjyixr

rr

rr

rrrrr

∆+∆=

−+−=

+−+=∆

)()(

)()(

1212

1122

N.B. il formalismo può essere facilmente esteso a 3 dimensioni:

kzjyixr

kzjyixrrrrr

rrrr

∆+∆+∆=∆

++=

Velocità media e istantanea

velocità media(indipendente dal percorso)

per componenti:trv

def ∆∆

=r

jtyi

tx

tjyixv

rr

rr

∆∆

+∆∆

=

∆∆+∆

=

PQ

Q’∆r dtrd

trv

tdef

rrr

=∆∆

=→∆ 0

lim

velocità istantaneadirezione tangentealla traiettoriaverso del moto

per componenti:

jdtdyi

dtdx

jyixdtdv

rr

rrr

+=

=+= )(

dtdyv

dtdxv yx == ,

Accelerazione media e istantanea

tv

tvv

a if

def ∆∆

=∆

−=

rrr

ha stessadirezione di ∆v

a

accelerazione media

dtvd

tva

tdef

rr

=∆∆

=→∆ 0

lim

accelerazione istantanea

a≠0 se v cambia intensitào direzione

per componenti:

jdt

dvi

dtdv

jvivdtda

yx

yx

rr

rrr

+=

=+= )(

dtdv

adt

dva yy

xx == ,

Moto in Due dimensioni con accelerazione costante

si generalizzano le leggi del moto in una dimensione con accelerazione costante

costantejaiaajyixr

yx =+=

+=rrr

rrr

==

costanteacostantea

y

x⇒

applico le equazioni della cinematica separatamente per le componenti x ed ydel vettore velocità

4

tavjvivvtavvv

tavvviyfxff

yyiyfy

xxixfx rrrrr+=+=

+==

+==⇒

analogamente per il vettore posizione

2

2

2

21

2121

tatvrjyixrtatvyy

tatvxxiifff

yyiif

xxiif rrrrrr++=+=

++=

++=

⇒

4

moto in due dimensioni con accelerazione costante:equivale a due moti indipendenti nelle direzioni x ed y

con accelerazioni costanti ax ed ay

moto in x non influenza moto in y e viceversa

Applicazione: moto del proiettile[qualunque oggetto lanciato in aria]

Ipotesi: accelerazione di gravità g costanteresistenza dell’aria trascurabile

⇓r moto orizzontale e verticale sono indipendentir la traiettoria è sempre una parabola [da dimostrare !!!]

000

000

0

sincos

θθ

vvvv

jvivv

y

x

oyox

==

+=rrr

velocità iniziale:

g

accelerazione:

gaa

jgjaiaa

y

x

yx

−==

−=+=

0

rrrr

applico le equazioni della cinematica monodimensionale:moto orizzontale [rettilineo ed uniforme]:

tvtvxxvvv

x

xx

)cos(cos

0000

000

θθ

=+===

200

200

000

21)sin(

21

sin

gttvgttvyy

gtvgtvv

y

yy

−=−+=

−=−=

θ

θ

NON ho accelerazione in x ⇒ v costante

moto verticale [caduta di un grave]:

verifica indipendenza dei moti

due palle da golfpalla rossa: in caduta liberapalla gialla: lanciata orizzontalmente

raggiungono terra nello stesso tempo⇒ moto verticale indipendente

da moto orizzontale

palla lanciata verso l’altoda carrello in motocon velocità costante v:

palla mantienevelocità orizzontale iniziale⇒ è sempre sopra carrello ⇒ atterra dentro il carrello

Esempi di indipendenza dei moti

1. pallina di gomma lasciata cadere rimbalza e torna SEMPRE in mano, anche se la persona è in moto con velocità costante !!! persona e palla

hanno stessavelocità orizzontalevr

2. ragazzo punta con fionda amico appeso a distanza d:se l’amico si lascia andare appena la fionda parte viene SEMPRE colpito!!!

ragazzo e fionda percorrono stessadistanza verticale

in tempo tempo timpiegato dalla fionda a percorrere distanza d

2

21 gty −=

Esperienza in Laboratorio

3. la pallina colpisce SEMPRE la lattina !!!

8 cerbottana spara pallina mirando lattina

8 lattina è rilasciata quando sparo pallina

pallina e lattina sono soggette a stessa accelerazione g⇒ tutte e due coprono

uguale traiettoria verticale[indipendente dalla massa]

traiettoria del proiettile:tvtvx x )cos( 000 θ==

200

20 2

1)sin(21 gttvgttvy y −=−= θ

risolvo rispetto a t:

200

2

0000

00

)cos(21

cossin

cos

θθθ

θ

vxg

vxvy

vxt

−=

=

22

022

00 cos2

xbxaxv

gxtgy −=−=θ

θ parabola[completamente nota per v0 e θ0 noti]

y

xO

v0t

r

½ gt2

R

h

2

0

0

200

21

21

tg

tvr

tgtvrr

r

r

r

rrrr

++=

++= posizione del proiettile

++= 2

00 21 tatvrr rrrr

posizione iniziale

spostamento in assenza di accelerazione

jggrr

−=spostamento dovuto ad accelerazione

Esempi di moto del proiettile

la traiettoria dei corpi in volo

è di tipo parabolico

2

000000

sin21sinsin

−==

gvg

gvvhy θθθ

gvh

2sin 0

220 θ

=

altezza h massima raggiunta dal proiettile:

h = altezza massima raggiuntaR = gittata

[distanza orizzontale coperta]

200

20

000

21)sin(

21

0sin

gttvgttvhy

gtvgtvv

y

yy

−=−==

=−=−=

θ

θg

vt 001

sinθ=⇒

00

20

max 902

== θperg

vh

gittata R del proiettile [distanza orizzontale coperta]:

gv

gvv

tvtvxttperRx

x

002

00000

1000

1

cossin2sin2)cos(

2)cos(2

θθθθ

θ

==

====

gvR 0

20 2sin θ

=

00

20

max 45== θperg

vR

y(m)

x(m)

vi=50m/s

applicazione: gittata e quota massimaUn proiettile di massa m, viene sparato con velocità v = 25 m/sad un angolo di 40° rispetto al suolo. a) quale è la massima quota h raggiunta dal proiettile ?b) quale è la gittata R del cannone ?c) quale sarebbe l’angolo che massimizza la gittata ?

[trascurare l’attrito]

h

R

a) quota h

gvh

2sin 0

220=

θ msm

sm 2.13/8.92

)40(sin)/25(2

022

=×

=

b) gittata R

gvR 2sin 0

20=

θ msm

sm 8.62/8.9

)80sin()/25(2

02

==

c) gittata massima per θ0=450

msm

smg

vR 8.63/8.9

)/25()2sin( 2

45

02

0max

00

====θ

θ

applicazione: lancio di gravi da aereo[bomber, lancio di materiale di soccorso, …]

yf = -1050m

vx0 = 115m/s

il proiettile è sempre sotto l’aereo!!!

−+=

+=

20

0

21 gttvyy

tvxx

yif

xif moto orizzontale: rettilineo ed uniforme

moto verticale: uniformemente accelerato

−=−⋅+=−

⋅+=

22

21

21001050

)/115(0

gtgttm

tsmx f

⇒ N.B. vx = vx0= 115m/svy= vy0-g t= -g t

vx è costantevy aumenta al passare del tempo

mssmxst

ssmmt

f 16796.14)/115(6.14

3.214/8.9

10502 22

2

=×==

=×

=

esercizi cinematica in due dimensioni

Moto circolare uniformeIpotesi: moto su una circonferenza convelocità costante in modulo

⇓r ho accelerazione centripeta

[v cambia di direzione]

r periodo di rivoluzione:

r velocità angolare:

in un periodo T:

rvar

2

=

vrT π2

=

sradttt

/12

12

∆∆

=−−

=θθθω

⇒⋅=⋅==v

rT πωωπθ 22

tsraddtd ωθθω =⇒= /

rv ω= rrva 2

2

ω==

00

3.572

3601 ≅===π

θ radrsse

0360222 ===== radrr

rsrsse ππθπ

radianters θ=

origine accelerazione centripeta[interpretazione geometrica]

rvar

2

=

tv

tvv

a if

∆∆

=∆−

=rrr

accelerazione media:

rr ∆θ∆r

O

P Qvi vfvi

vf

∆v∆θ

triangoli simili: vv

rr rr

∆=

∆

rv

tr

rv

tva

t

2

0→∆→

∆∆

=∆∆

=rr

r

[infatti r è sempre ⊥ a v]

punta verso il centro della circonferenza

[N.B. [a]=[v]2 /L=[L/T]2/L=L/T2 ]

origine accelerazione centripeta

rvar

2

=

xp

yp

jyixr pp

rrr+=

θ

θ

sin

cos

ry

rx

p

p

=

=

jrx

viry

v

jviv

jvivv

pp

yx

rr

rr

rrr

)()(

)cos()sin(

+−=

+−=

+=

θθ

jrvi

rv

jvrviv

rv

jdt

dxrvi

dtdy

rv

dtvda

xy

pp

rr

rr

rr

rr

)sin()cos(

)()(

)()(

22

θθ −+−=

+−=

+−=

=

θθθφ

θθ

tgaa

tg

rv

rvaaa

x

y

yx

===

=+=+=

cossin

sincos2

222

22

⇒ θ = φ ⇒ a è diretta come r !!

applicazione: g-LOC[g-induced loss of consciousness]

aereo che compie il cerchio della morte:

il corpo del pilota subisce una accelerazione centripetacon la testa rivolta versoil centro di curvatura

4cala la pressione sanguigna al cervello4 perdita funzioni cerebrali

gaga

gga

c

c

c

44

32

>=

−= → pesantezza→ perdita percezione colori /

si restringe il campo visivo→ cessa la visione / perdita di conoscenza

esempio: qual è l’accelerazione centripeta a cui è sottopostoun pilota di F-22 che vola a velocità di 694 m/spercorrendo un arco di cerchio di raggio di curvatura r = 5.8 km ?

sebbene la velocità scalare sia costante, esiste accelerazione centripeta causata da traiettoria circolare.

gsmmsm

rvac 5.8/0.83

)108.5()/649( 2

3

22

====

il pilota cade incosciente prima di avvertire il segnale di allarme !!!

Traiettoria curva arbitraria[velocità variabile in direzione e modulo]

traiettoria

at

ar

a

approssimo la curva con archi di circonferenza:at

ara

tr aaa rrr+=

dtvd

at

rr

=accelerazione tangenziale:dovuta a variazione del modulo della velocità

accelerazione radiale [o centripeta]:dovuta a variazione della direzione della velocitàr

var

2

=r

22tr aaa +=

r

N.B. moto circolare uniforme [v costante]:at = 0 sempre; ho solo ar

Ordini di grandezzavelocità

luce nel vuoto ………………. 300 000 km/s = 3 108 m/ssuono (in aria) ………………............... ………. 330 m/s

(in acqua) ………………………………1493 m/s

aereo (record NASA) ………............7 vsuono ≈ 2310 m/saereo di linea ……………….......... 800 km/h = 222 m/sauto in città ………………………… 30 km/h = 8.3 m/sa piedi ………………………………………………... 2 m/s

paracadutista ……………………….50 km/h = 65 m/s (caduta libera)cavallo al galoppo ………………..250 m/min = 4.2 m/spalla da baseball…………………………………… 40 m/s

accelerazionegravità gTerra…………………………………….......9.8 m/s2

gravità gLuna………………………………………....1.7 m/s2

ac centripeta Terra (attorno asse) ………...3.37 10-2 m/s2

ac centripeta Terra (attorno Sole) ………...4.4 10-3 m/s2

treno………………………………………………... 1.2 m/s2

auto…………………………………………………… 4 m/s2

(da 0 a 100 km/h in 7 sec)

palla da baseball 100 g…………………………..≈104 m/s2