Upload
nguyenthien
View
236
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA
PRIMEIRA PARTE – QUESTÕES OBJETIVAS (100 pontos)
1ª QUESTÃO
Em uma comunidade de pescadores, há duas cooperativas. Os membros da cooperativa
Tilápia só dizem a verdade e os da cooperativa Traíra, só mentira. Um dia, 200 pessoas da
comunidade se reuniram num círculo e um turista se dirigiu a cada uma delas, com a pergunta: “A
pessoa à sua direita fala a verdade?”. Terminada a consulta, verificou-se que 102 pessoas
responderam “não”.
A quantidade máxima de pessoas da comunidade Tilápia que poderia estar no círculo é
a) 102.
b) 119.
c) 132.
d) 149.
2ª QUESTÃO
Considere a função real 𝑓 que satisfaz a igualdade 𝑓(𝑥) = {3𝑥 − 2𝑓(𝑥), se 𝑥 ≥ 1
𝑥𝑓(𝑥) − 𝑥 + 1, se 𝑥 < 1.
O conjunto imagem de 𝑓 é
a) [−1;+∞[.
b) [+1;+∞[ .
c) [−1;−∞[.
d) [+1;−∞[.
3ª QUESTÃO
A equação (𝑥2 − 2𝑥 + 1)2 − 10(𝑥2 − 2𝑥) = 106 possui raízes reais. O módulo da soma
dessas raízes vale
a) 15.
b) 8.
c) 7.
d) 2.
2
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
4ª QUESTÃO
A transformação linear 𝑇: 𝐼𝑅2 → 𝐼𝑅2 é definida por
𝑇(𝑥; 𝑦) = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑
) . (𝑥𝑦) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ; 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦), para dados a, b, c e d ∈ 𝐼𝑅.
Além disso, para toda região 𝐷 ⊂ 𝐼𝑅2, cuja área é 𝑆𝐷, tem-se que a área do conjunto imagem 𝑇(𝐷)
é igual ao dobro de 𝑆𝐷.
Então, o determinante da matriz (𝑎 𝑏𝑐 𝑑
) deve ser igual a
a) 2 ou −2.
b) √2 ou −√2 .
c) 2.
d) √2 .
5ª QUESTÃO
Considere o número 𝑛 = 333. O algarismo das unidades de 𝑛 é
a) 1.
b) 3.
c) 7.
d) 9.
6ª QUESTÃO
Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷 um retângulo de dimensões 12 𝑐𝑚 e 16 𝑐𝑚 e os pontos 𝑀 e 𝑁, médios dos
lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , respectivamente. No interior do pentágono 𝐵𝐶𝐷𝑁𝑀, é assinalado um ponto 𝑃, de
forma aleatória. A probabilidade de que o ângulo 𝑀𝑃�̂� seja obtuso vale
a) 5𝜋
168 .
b) 25𝜋
168 .
c) 5𝜋
336 .
d) 25𝜋
336 .
3
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
7ª QUESTÃO
Considere a função real 𝑓 cujo gráfico é apresentado a seguir:
Sabe-se que as retas 𝑟 e 𝑠 são tangentes ao gráfico da função 𝑓 nos pontos de abscissas
𝑥 = −3 e 𝑥 = 1, respectivamente, e que 𝑓′(−3) = −2.
As equações das retas 𝑟 e 𝑠 são, respectivamente
a) 𝑦 = −2𝑥 − 4 e 𝑦 = 6𝑥 − 4.
b) 𝑦 = −4
3𝑥 − 4 e 𝑦 = 𝑥 − 4.
c) 𝑦 = −𝑥 − 4 e 𝑦 = 𝑥 − 4.
d) 𝑦 = −3𝑥 − 4 e 𝑦 = 6𝑥 − 4.
8ª QUESTÃO
A figura a seguir representa o semicírculo de diâmetro 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ inscrito no trapézio retângulo
𝐴𝐵𝐶𝐷, com lados paralelos 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , sendo 𝑇 ponto de tangência. Considere o tronco de cone
obtido pela rotação completa desse trapézio em torno do eixo 𝑒, suporte do diâmetro 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .
Sendo 𝐶𝐷 = 𝑘, a área lateral do tronco é igual a
a) 0,5𝜋𝑘2.
b) 1,0𝜋𝑘2.
c) 1,5𝜋𝑘2.
d) 2,0𝜋𝑘2.
4
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
9ª QUESTÃO
Na figura a seguir, o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é suporte para os diâmetros dos semicírculos de
centros 𝐶1 e 𝐶2, de áreas 𝑆1 e 𝑆2, respectivamente, e com ponto 𝐷 em comum. A semirreta 𝐵𝑇̅̅ ̅̅
tangencia o semicírculo de área 𝑆1 no ponto 𝑇 e é suporte para o diâmetro do semicírculo de
centro 𝐶3, de área 𝑆3.
A área 𝑆3 é igual a
a) 𝑆1+𝑆2
2 .
b) 2𝑆1+2𝑆2
3 .
c) √𝑆1 ∙ 𝑆2 + 𝑆2.
d) √𝑆1∙𝑆2
2 .
10ª QUESTÃO
Seja t um número real positivo.
Representando as raízes do polinômio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 − 𝑡𝑥 + 20 = 0 por 𝑎, 𝑏 e 𝑐, o valor de
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 é
a) – 120.
b) – 60.
c) 120.
d) 300.
11ª QUESTÃO
Dado um conjunto finito 𝑪, define-se 𝑷𝑪, 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒂𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑪 (notação: 𝑷𝑪) por:
𝑷𝑪 = {𝑿 ∕ 𝑿 ⊂ 𝑪}.
Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que
𝑛(𝑃𝐴 ∪ 𝑃𝐵) + 1 = 𝑛(𝑃(𝐴∪𝐵)).
O valor da diferença 𝑛(𝐴) − 𝑛(𝐵) é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
5
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
12ª QUESTÃO
Observe a figura a seguir:
O sistema de desigualdades que representa a região sombreada na figura acima é
a) {(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 ≤ 4
𝑦 ≥ 𝑥 − 1𝑦 ≤ 𝑥 + 3
.
b) {(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 ≤ 4
𝑦 ≤ − 𝑥 − 1𝑦 ≤ 𝑥 + 3
.
c) {(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 ≤ 4
|𝑦 − 1| ≥ |𝑥 + 2| .
d) {(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 1)2 ≤ 4
|𝑦 − 1| ≤ |𝑥 + 2|.
13ª QUESTÃO
Considere 𝑎 = 3,1023522… e 𝑏 = 3,10235228… .
Dentre as alternativas a seguir, está correta
a) 𝑎 < 𝑏 .
b) 𝑎 − 𝑏 ≥ 10−8 .
c) |𝑎 − 𝑏| < 10−5 .
d) 𝑎 + 𝑏 = 6,20470448… .
6
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
14ª QUESTÃO
A nota mediana obtida na prova de Matemática em cada uma das três turmas do Ensino
Médio – 3101, 3102, 3103 – foi igual a 6,0. As médias foram, respectivamente, 5,2; 6,0 e 7,0.
Os histogramas das turmas são dados a seguir.
A correspondência correta entre os histogramas e as turmas é
HISTOGRAMA I HISTOGRAMA II HISTOGRAMA III
a) 3101 3102 3103
b) 3101 3103 3102
c) 3102 3103 3101
d) 3102 3101 3103
HISTOGRAMA III
HISTOGRAMA I HISTOGRAMA II
7
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
15ª QUESTÃO
Dada uma matriz 𝐴, escreve-se 𝑎𝑑𝑗(𝐴) para representar a matriz adjunta de 𝑨.
Considere a matriz 𝐴 =
(
1 1 1 1 12 3 4 5 64 9 16 25 368 27 64 125 21616 81 256 625 1296)
.
O produto 𝐴 ∙ 𝑎𝑑𝑗(𝐴) é uma matriz cuja soma dos elementos é
a) 289.
b) 288.
c) 1 441.
d) 1 440.
16ª QUESTÃO
Segundo os documentos oficiais do MEC sobre o ensino e a aprendizagem de Matemática,
essa disciplina pode ser vista como uma fonte de modelos para os fenômenos que nos cercam.
Esses modelos compreendem relações entre
a) conceitos, procedimentos e representações de diversas ordens.
b) conhecimentos, atitudes e representações de diversas ordens.
c) conceitos, atitudes e representações de ordem digital.
d) conhecimentos, procedimentos e representações de ordem digital.
17ª QUESTÃO
Em um concurso público, 7501 candidatos fizeram uma prova de 25 questões de múltipla
escolha, com 4 alternativas por questão. Admita que todos os candidatos responderam a todas as
questões. Considere a afirmação: “Pelo menos 6 candidatos responderam de modo idêntico às 𝑘
primeiras questões da prova”.
O maior valor de 𝑘 para o qual a afirmação é verdadeira é igual a
a) 7.
b) 6.
c) 5.
d) 4.
8
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
18ª QUESTÃO
Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷 um losango com diagonais de medidas 𝐴𝐶 = 300 𝑐𝑚 e 𝐵𝐷 = 160 𝑐𝑚. Dos
pontos 𝐴 e 𝐶, traçamos os segmentos 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐹̅̅̅̅ , de medidas 𝐴𝐸 = 200 𝑐𝑚 e 𝐶𝐹 = 150 𝑐𝑚,
perpendiculares ao plano que contém o losango e contidos em um mesmo semiespaço
determinado por este plano.
O volume do sólido 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹, em metros cúbicos, é
a) 2,8.
b) 28.
c) 2 800.
d) 2 800 000.
19ª QUESTÃO
Considere os números 𝑚 ∈ 𝐼𝑁 e 𝑛 ∈ 𝐼𝑅+∗ , com 𝑚 ≥ 10 e 𝑥 ∈ 𝐼𝑅. O 6º termo do
desenvolvimento de (𝑥𝑛 + 𝑥𝑛2)𝑚
, segundo potências decrescentes de 𝑥𝑛2 é independente de 𝑥.
Além disso, no desenvolvimento de (𝑥 + 𝑥1
𝑛)𝑚
, o 8º termo é também independente de 𝑥.
O valor de 𝑚 é
a) 10.
b) 12.
c) 14.
d) 16.
20ª QUESTÃO
Seja 𝑎 um número racional. Denotamos por ⌈𝑎⌉ o maior inteiro que não supera 𝑎, ou seja:
⌈𝑎⌉ = 𝑚á𝑥{𝑛 ∈ ℤ ∕ 𝑛 ≤ 𝑎} . Particularmente, se 𝑎 = ⌈𝑚
𝑛⌉ com 𝑚 e 𝑛 inteiros, 𝑛 > 0 e 𝑞 for o
quociente da divisão de 𝑚 por 𝑛, então 𝑞 = ⌈𝑎⌉.
Se 𝑎 e 𝑏 forem naturais, com 1 < 𝑎 < 𝑏, então o valor da expressão
⌈𝑎
𝑏⌉ + ⌈
𝑎
𝑏+1
𝑏⌉ + ⌈
𝑎
𝑏+2
𝑏⌉ + ⋯+ ⌈
𝑎
𝑏+𝑏−1
𝑏⌉ é
a) 1 .
b) 𝑏.
c) 𝑎.
d) ⌈𝑎⌉ + ⌈𝑏⌉.
9
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
21ª QUESTÃO
Sejam uma circunferência de centro O e raio R e A, B e C três pontos pertencentes a .
Considere a circunferência centrada no ponto C, que passa pelos pontos A e B e tem raio
.
A área da região interna à e externa à é
a) .
b) .
c) .
d) .
22ª QUESTÃO
Observe a figura a seguir:
A área da região sombreada ilustrada na figura anterior é mais bem aproximada por
a) 0,89.
b) 0,10.
c) 0,35.
d) 0,60.
1 1
2
3R
1 2
2
6R
22 R
2
2
3
6
7R
2
62
3R
10
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
23ª QUESTÃO
De modo geral, quando representamos poliedros no plano algumas faces estão ocultas,
sendo as arestas destas representadas por linhas tracejadas. Formalmente, sejam 𝜕 a face de um
poliedro que está contida num plano 𝛼; 𝑃 um ponto do interior do poliedro e 𝑂 o ponto onde está
situado o olho do observador. A condição necessária e suficiente para que 𝜕 seja visível é que 𝑃 e
𝑂 estejam cada um num dos semiespaços determinados pelo plano 𝛼.
Considere, então, uma pirâmide quadrangular em que o vértice é o ponto 𝑉 (0; 0; 1) e cuja base é
o quadrado de vértices 𝐴 (√3; 1; −1), 𝐵 (−1; √3; −1), 𝐶 (−√3;−1; −1) e 𝐷 (1; −√3; −1).
A face, de vértices 𝐴, 𝐵 e 𝑉 , será visível se o olho for colocado no ponto de coordenadas
a) (0; −6; 0).
b) (−1; 1; −1).
c) (2; −2; 𝜋).
d) (√3; −√3; 𝑒).
11
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
24ª QUESTÃO
Claudia adquiriu uma máquina de fazer café, cujo preço à vista era R$ 800,00. Ela optou
por um sistema de pagamento no qual deu uma entrada de R$ 200,00 e o restante pagaria em
quatro prestações mensais e iguais, com cobrança de juros à taxa de 5% ao mês sobre o saldo
devedor.
Porém, em virtude do pagamento do 13º salário, resolveu quitar a dívida na terceira
prestação. Sabendo que, nesses casos de antecipação de financiamento, a loja dá um desconto
de 10%, o valor, em reais, do último pagamento que ela efetuou era mais bem aproximado por
(se necessário, utilize 1,052 ≈ 1,1.)
a) 260.
b) 290.
c) 300.
d) 320.
25ª QUESTÃO
Considere uma hipérbole equilátera de focos 𝐹1 e 𝐹2, de centro 𝑂 e que passa pelo ponto
𝑃.
As medidas dos segmentos 𝑃𝐹1̅̅ ̅̅ ̅ , 𝑃𝑂̅̅ ̅̅ e 𝑃𝐹2̅̅ ̅̅ ̅ formam, nessa ordem uma
a) progressão aritmética.
b) progressão aritmética de 2ª ordem.
c) progressão geométrica.
d) progressão harmônica.
12
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA
SEGUNDA PARTE – QUESTÕES DISCURSIVAS (100 pontos)
1ª QUESTÃO
Valor da questão: 25 pontos
Jhosy viaja com sua esposa Paty, sua filha e filho para curtir o feriadão na Região dos
Lagos.
a) No trajeto decidem parar num restaurante e fazer uma refeição. Todos possuem o mesmo
modelo de aparelho celular e no restaurante deixam todos guardados na bolsa de Paty.
Terminada a refeição, cada um pega ao acaso um aparelho celular na bolsa de Paty. De quantas
maneiras isso pode ser feito, de modo que ninguém pegue o próprio aparelho?
b) Seguindo com a viagem, a probabilidade de congestionamento na estrada é de 60%. Havendo
congestionamento, a probabilidade de os filhos do casal brigarem no carro é de 80% e, sem
congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade de 40%.
Quando há briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade de Jhosy perder a paciência
com os filhos é de 70%. Naturalmente, havendo congestionamento, Jhosy pode perder a
paciência com os filhos mesmo sem brigas, o que aconteceria com probabilidade de 50%.
Quando não há nem congestionamento nem briga, Jhosy dirige tranquilo e não perde a paciência.
Qual é a probabilidade de ter havido briga no trecho considerado, dado que Jhosy perdeu a
paciência?
RESOLUÇÃO
13
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
14
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
2ª QUESTÃO
Valor da questão: 25 pontos
No sólido representado na figura a seguir, 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑎 , 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = �⃗� , 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑐 :
𝑀 é o ponto médio de 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ ,
a face 𝑂𝐵𝐷𝐶 é um paralelogramo,
o ângulo formado por 𝑎 e �⃗� mede 60º,
𝑐 é ortogonal a 𝑎 e também a �⃗� ,
|𝑎 | = 2, |�⃗� | = 1 e |𝑐 | = 4.
a) Escreva 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ em função de 𝑎 , �⃗� e 𝑐 .
b) Calcule o ângulo formado por 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
RESOLUÇÃO
15
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
16
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
3ª QUESTÃO
Valor da questão: 25 pontos
A sequência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... possui diversas propriedades
interessantes e, em consequência disso, a encontramos em muitas aplicações.
Podemos defini-la pela seguinte relação de recorrência linear de segunda ordem com
coeficientes constantes:
𝐹𝑛+2 = 𝐹𝑛+1 + 𝐹𝑛, para todo natural 𝑛 ≥ 0, com 𝐹0 = 𝐹1 = 1.
a) A cada recorrência linear de segunda ordem com coeficientes constantes, da forma
𝑥𝑛+2 + 𝑝 ∙ 𝑥𝑛+1 + 𝑞 ∙ 𝑥𝑛 = 0, 𝑞 ≠ 0, associamos uma equação polinomial do segundo grau
𝑟2 + 𝑝 ∙ 𝑟 + 𝑞 = 0, chamada de equação característica. Considere que, se 𝑟1 e 𝑟2 são as
raízes da equação característica, então, 𝑎𝑛 = 𝐶1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝐶2 ∙ 𝑟2
𝑛 é solução da recorrência
𝑥𝑛+2 + 𝑝 ∙ 𝑥𝑛+1 + 𝑞 ∙ 𝑥𝑛 = 0, quaisquer que sejam os valores das constantes 𝐶1 e 𝐶2.
Com base nessas informações, determine o número de Fibonacci 𝐹𝑛.
b) Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que, para a sequência definida por 𝑏1 = 1,
𝑏2 = 2 e 𝑏𝑛 = 𝑏𝑛−1 + 𝑏𝑛−2 , para 𝑛 ≥ 3, vale 𝑏𝑛 < (7
4)𝑛
para 𝑛 ≥ 1.
RESOLUÇÃO
17
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
18
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
4ª QUESTÃO
Valor da questão: 25 pontos
Sejam 𝑓 e 𝑔 as funções reais de variável real definidas por
𝑓(𝑡) =1−𝑡2
1+𝑡2 𝑒 𝑔(𝑡) =
2𝑡
1+𝑡2 .
Considere a aplicação 𝐹: 𝐼𝑅 𝜕 = {(𝑥; 𝑦) 𝐼𝑅2/ 𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑒 (𝑥; 𝑦) ≠ (−1; 0)},
definida por, 𝐹(𝑡) = (𝑓(𝑡); 𝑔(𝑡)), bijetora para todo 𝑡 real.
a) Considere o ponto 𝑄(−1; 0) e um ponto genérico 𝑃(𝑥; 𝑦) ∈ 𝜕. Chame de 𝜃 o ângulo que o vetor
𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ faz com o eixo das abscissas (𝜃 será considerado negativo quando P estiver no semiplano
inferior definido pela reta 𝑦 = 0). Sendo 𝑡 = 𝑡𝑔(𝜃), escreva 𝑥 e 𝑦 em função de 𝑡.
b) Sendo 𝛼 o ângulo trigonométrico que o vetor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ faz com o eixo das abscissas, mostre que
𝑐𝑜𝑠(𝛼) e 𝑠𝑒𝑛(𝛼) são racionais sempre que 𝑡 for racional e que
𝑐𝑜𝑠(2𝜃) =1−𝑡𝑔2(𝜃)
1+𝑡𝑔2(𝜃) 𝑒 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) =
2𝑡𝑔(𝜃)
𝑡𝑔2(𝜃)+1 .
RESOLUÇÃO
19
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
20
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
21
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
22
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
23
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA
24
COLÉGIO PEDRO II Concurso Público de Provas e Títulos para preenchimento de cargos vagos da Carreira de Magistério do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico – Edital nº 37/2016 PROVA ESCRITA - MATEMÁTICA