Upload
kato
View
31
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
PRIMENA TEORIJE SLOŽENOSTI U KRIPTOLOGIJI. profesor : dr Zoran Ognjanović student: Branko Kalanović 213/07. Sadržaj predavanja. Kriptologija Kriptološki sistemi Primer sistema sa tajnim ključevima S igurnost kodiranja J ednosmerne funkcije Primer sistema sa javnim ključevima (RSA). - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
PRIMENA TEORIJE SLOŽENOSTIPRIMENA TEORIJE SLOŽENOSTIU KRIPTOLOGIJIU KRIPTOLOGIJI
profesor:dr Zoran Ognjanovićstudent:Branko Kalanović 213/07
Sadržaj predavanjaSadržaj predavanja
• Kriptologija • Kriptološki sistemi
• Primer sistema sa tajnim ključevima• Sigurnost kodiranja• Jednosmerne funkcije• Primer sistema sa javnim ključevima (RSA)
KriptologijaKriptologija
Traka obmotana oko štapaTraka obmotana oko štapa
• stara Grčka• jedan od najstarijih tipova kriptološkezaštite
KriptologijaKriptologija
EnigmaEnigma
• Nemačka• elektro-mehanika• od 1920. do kraja
Drugog Svetskog Rata
KriptologijaKriptologija
Smart karticeSmart kartice
• digitalno doba• savremeni sistemi• čip zaizračunavanje kriptoloških algoritama
Kriptološki sistemiKriptološki sistemi•A i B – učesnici komunikacije•P – prisluškivač•x – poruka•e – ključ kodiranja•d – ključ dekodiranja•E – funkcija kodiranja•D – algoritam dekodiranja•D(d,E(e,x))=x
D i E su inverzne u odnosu na ključeve e i d, radi bolje efikasnosti enkripcije bi trebalo da supolinomijalne složenosti.
• Uzmimo za E i D sabiranje po modulu 2• Neka je e=d=a i |a|=|x|- binarna reč iste
dužine kao i poruka koja se prenosi
D(a,E(a,x))=(x*a)*a=xE(a,x)*x=(x*a)*x=a
• Obezbeđena je inverznost funkcija D i E, kao i da se x može izračunati ako i samo ako se zna a
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiPrimer sistema sa tajnim ključevima
NAPOMENA – simbol * se koristi kao ekskluzivna disjunkcija (ekskluzivno ili)
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiPrimer sistema sa tajnim ključevima
Problemi:• razmena ključa koji treba da ostane tajan, pre
početka komunikacije, i koji je iste dužine kao i poruka
• napadi (razbijanje tajnog ključa)• kratak ključ – pretraga kroz sve moguće ključeve• isti ključ se koristi više puta – analize mogućeg
ključa
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiSigurnost kodiranja
• Teorijski, upotrebom ključa umerene dužine, kodiranje nije apsolutno sigurno
• praktična sigurnost se dobija upotrebom ključa dužine 100 bita – ključ se ne može brzo otkriti
• teorija složenosti izračunavanja se koristi za utvrđivanje sigurnosti koda
• za probleme iz klase NP-kompletnih nema efikasnog načina izračunavanja
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiSigurnost kodiranja
• svođenjem NP-kompletnog problema na problem razbijanja ključa utvrđujemo složenost tog problema
• nedovoljan dokaz, jer se NP-kompletnost odnosi na analizu najgoreg slučaja
• neki NP-kompletni problemi se mogu lako rešiti• primenjiviji su algoritmi koji su složeni u
odnosu na prosečan slučaj (faktorizacija prirodnih brojeva)
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiJednosmerne funkcije
Funkcija je jednosmerna ako važi:
• je 1 – 1 funkcija• je polinomijalne složenosti• za svako x je najviše polinomijalno
duže ili kraće od • nije polinomijalne složenosti
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiJednosmerne funkcije
• pripada klasi NP – za svaki i izabrani u polinomijalnom vremenu proverava
• pretpostavka P=NP – jednosmerne funkcije ne postoje
• pretpostavka P NP – dozvoljava ali ne garantuje postojanje jednosmernih funkcija
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiJednosmerne funkcije
• kandidat za jednosmernu funkciju je množenje prostih brojeva – zadovoljava prva tri uslova, dok za četvrti nije dokazano ni da zadovoljava ni da ne zadovoljava
• upotreba – šifre za pristup računarskim sistemima koje se u u sistemu čuvaju u kodiranom obliku
• u sistemima sa javnim ključem jednosmerna funkcija mora biti i tp-funkcija
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiJednosmerne funkcije
tp – trapdoor (sporedna vrata, ulazak na sporedna vrata, zaobilaženje standardnog postupka)
Jednosmerna funkcija je tp-funkcija ako važi:• efikasno se može odrediti domen funkcije• postoji funkcija polinomijalne složenosti
koja primenjena na ulazni podatak pojednostavljuje dekodiranje
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiPrimer sistema sa javnim ključevima (RSA)
• zasnovan na rezultatima teorije brojeva – mala Fermaova teorema
• biramo proste brojeve p i q• razmatramo njihov proizvod n=pq i (p-1)(q-1)• iz skupa {1,...,(p-1)(q-1)} se bira broj e koji
je uzajamno prost sa (p-1)(q-1)• nalazi se broj d tako da važi ed=1(mod (p-1)(q-1))
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiPrimer sistema sa javnim ključevima (RSA)
• ovako izabran brojevi e i d čine ključeve za kodiranje i dekodiranje
• par (pq,e) je javni ključ za kodiranje• par (pq,d) je tajni ključ za dekodiranje• brojevi p i q treba da ostanu tajna
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiPrimer sistema sa javnim ključevima (RSA)
Funkcija kodiranja:
Funkcija dekodiranja:
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiPrimer sistema sa javnim ključevima (RSA)
• p i q su poznati pa se broj d efikasno izračunava, a nalaženje inverzne funkcije od
svodi na problem faktorisanja brojeva• jeste tp-funkcija• Poruka je binarni niz koji se deli na blokove od
kojih je svaki predstavlja ceo broj veći ili jednak 0 , a manji od n=pq
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiPrimer sistema sa javnim ključevima (RSA)
Primena RSA algoritma kod digitalnih potpisa:• neka su , , , redom javni i tajni
ključevi osoba A i B• potpisana poruka sadrži originalnu poruku i
nadovezan potpis
• ako je potrebno zbog sigurnosti, cela potpisana poruka se može kodirati javnim ključem
Kriptološki sistemiKriptološki sistemiPrimer sistema sa javnim ključevima (RSA)
• funkcije kodiranja i dekodiranja RSA komutativne
• osoba B proverava digitalni potpis računajući
Hvala na pažnji!