Primer for the algebraic geometry of sandpiles, by David Perkinson, Jacob Perlman, John Wilmes

7/30/2019 Primer for the algebraic geometry of sandpiles, by David Perkinson, Jacob Perlman, John Wilmes

http://slidepdf.com/reader/full/primer-for-the-algebraic-geometry-of-sandpiles-by-david-perkinson-jacob-perlman 1/45

RXDKJX ILX PFJ OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU

@OYD@ RJXADNULN# GOELH RJXCKON# ON@ GLFN ]DCKJU

Ohupxoep. Pfj Ohjcdon Uon`rdcj Kl`jc &OUK$ du o mokj rcotj` ln o mxorfxjocdwdnm pfj `tnokdeu dkrcdedp dn pfj `duexjpj Corcoedon kopxdv li pfj mxorf.

Pfj rzxrluj li pfdu rxdkjx du pl orrct pfj pfjlxt li coppdej d`jocu ixlk oc+mjhxode mjlkjpxt pl pfj Corcoedon kopxdv# `xo}dnm lzp elnnjepdlnu }dpf pfj

OUK. On jvpjn`j` uzkkoxt li pfj OUK on` li pfj xjqzdxj` ocmjhxode mj+lkjpxt du rxlyd`j . Nj} xjuzcpu dnecz j o efoxoepjxdwopdln li mxorfu }flujCorcoedon coppdej d`jocu oxj elkrcjpj dnpjxujepdln d`jocu1 o nj} elnupxzepdln li

oxdpfkjpdeocct Mlxjnupjdn d`jocu1 o mjnjxocdwopdln pl `dxjepj` kzcpdmxorfu li o`zocdpt pfjlxjk hjp}jjn jcjkjnpu li pfj uon`rdcj mxlzr li o mxorf on` pfj

mxorf—u uzrjxupohcj elnmzxopdlnu &roxadnm iznepdlnu$1 on` o efoxoepjxdwopdlnli pfj plr Hjppd nzkhjx li pfj kdndkoc ixjj xjulczpdln li pfj Corcoedon cop+

pdej d`joc ou pfj nzkhjx li jcjkjnpu li pfj uon`rdcj mxlzr li cjoup `jmxjj. Oefoxoepjxdwopdln li occ pfj Hjppd nzkhjxu du elngjepzxj .

?. Dnpxl`zepdln

Pfdu du o rxdkjx ln pfj ocmjhxode mjlkjpxt li uon`rdcju houj` ln cjepzxju mdyjnht pfj xup ozpflx dn on zn`jxmxo`zopj Plrdeu dn Ocmjhxo elzxuj op Xjj` Elccjmjdn pfj iocc li 8226 on` ln uzhujqzjnp uzkkjx on` zn`jxmxo`zopj pfjudu rxlgjepu htpfj ujeln` on` pfdx` ozpflxu. Dp du ouuzkj` pfop pfj xjo`jx fou nl hoeamxlzn` dnocmjhxode mjlkjpxt lx pfj pfjlxt li uon`rdcju hzp du }dccdnm pl elnuzcp dnpxl`zeplxt

lzpud`j ulzxeju uzef ou Q?2[ on` Q?=[.Pfj Ohjcdon Uon`rdcj Kl`jc &OUK$ du o mokj dn }fdef lnj du occl}j` pl upoea

mxodnu li uon` ln pfj yjxpdeju li o mxorf M. Di o yjxpjv oeqzdxju pll kzef uon #o mxodn li uon` }dcc hj xj` pl joef njdmfhlxdnm yjxpjv. Pfjuj yjxpdeju# dn pzxn#kot hjelkj znupohcj# on` on oyoconefj li yjxpjv xdnmu kot jnuzj. Lnj yjxpjvdu zuzocct urjedj` ou o udna . Dpu rzxrluj du pl ohulxh uon` xj` dnpl dp# occl}dnmoyoconefju eozuj` ht pfj o``dpdln li uon` pl jyjnpzocct elkj pl o focp. Pfj OUKouuledopju o mxlzr# pfj uon`rdcj mxlzr# pl pfdu uon`+xdnm rxlejuu. Pfj xdnm xzcjon` pfj uon`rdcj mxlzr oxj dnpdkopjct elnnjepj` pl pfj Corcoedon li M.

Dn ocmjhxode mjlkjpxt# pfjxj du o }ot li ouuledopdnm o elccjepdln li rlctnlkdocjqzopdlnu pl on dnpjmjx kopxdv. Pfjuj rlctnlkdocu uron pfj coppdej d`joc elxxj+urln`dnm pl pfj kopxdv. Lzx rzxrluj du pl orrct pfj pfjlxt li coppdej d`jocu dn pfjurjedoc eouj }fjxj pfj kopxdv dn qzjupdln du pfj Corcoedon kopxdv li o mxorf M#

jvrxjuudnm pfj xjuzcpu dn pjxku li uon` ln o mxorf.Pfjxj du onlpfjx# klxj }d`jct+anl}n# elnnjepdln hjp}jjn ocmjhxode mjlkjpxt

on` uon`rdcju. Dp elkju ixlk ydj}dnm o mxorf ou o `duexjpj yjxudln li o Xdjkonnuzxioej &d.j.# li on ocmjhxode ezxyj lyjx E$. Ou roxp li pfdu elnnjepdln# pfjxj du o xdefpfjlxt li `dydulxu ln mxorfu# dnecz`dnm o yjxudln li pfj Xdjkonn+Xlef pfjlxjk Q5[.Dn Ujepdlnu = on` 6# }j ujj pfop pfdu pfjlxt du ocul xjcjyonp ilx lzx rzxrluju.

@opj 7 Gonzoxt 0# 82?8.

?

o x V d y 7 ? ? ? 8 . 9 ?

9 5 y 8

Q k o p f . E L [ 5 ? @ j e 8 2 ? ?



8 @OYD@ R JXADNULN# GOELH RJ XC KO N# ON@ GLF N ]DCKJU

]j nl} mdyj o uzkkoxt li pfj rorjx ht ujepdln. Ujepdln 8 du on jvpjn`j`lzpcdnj li ocmjhxode xjuzcpu ouuledopj` }dpf pfj Ohjcdon Uon`rdcj Kl`jc ln o mxorf.]fop kdmfp hj nj} fjxj du o nlyjc pxjopkjnp li hzxndnm elnmzxopdlnu &Urjjx—uuexdrp ocmlxdpfk$# on jvpjnudln li pfj xjuzcp jvrxjuudnm pfj dn`jrjn`jnej li pfjuon`rdcj mxlzr ixlk pfj efldej li udna yjxpjv# on` pfj jvrludpdln li pfj ioep pfopon zn`dxjepj` rconox mxorf on` dpu `zoc foyj dulklxrfde uon`rdcj mxlzru.

Oipjx o hxdji uzkkoxt li pfj pfjlxt li coppdej d`jocu dn Ujepdln 5# lzx kodnlhgjep li upz`t‐pfj plrrcdnm d`joc li o mxorf‐du dnpxl`zej` dn Ujepdln 0. Pfj xuprorjx ln pfj ocmjhxode mjlkjpxt li uon`rdcju li }fdef }j oxj o}oxj du Rlctnlkdoc d`jocu ilx uon`rdcju on` pfjdx Mx¦ lhnjx houju # ht Elxd# Xluudn# on` Uocyt Q4[. Pfoprorjx `jnju pfj plrrcdnm d`joc li on zn`dxjepj` mxorf on` elkrzpju o Mx¦lhnjxhoudu ilx pfj d`joc }dpf xjurjep pl o ejxpodn nopzxoc klnlkdoc lx`jxdnm. Ujepdlnu 0on` :‐hzdc`dnm ln xjuzcpu dn pfj zn`jxmxo zopj pfjudu li pfj ujeln` ozpflx Q8=[‐jvpjn` pfjdx }lxa# rzppdnm dp dn pfj elnpjvp li coppdej d`jocu on`# dn Pfjlxjk :.??#mjnjxocdwdnm pfj Mx¦lhnjx houdu xjuzcp pl pfj eouj li `dxjepj` kzcpdmxorfu. Pfj rxlli

li Rxlrludpdln 0.8# mdydnm mjnjxoplxu ilx pfj plrrcdnm d`joc# du xjrxjujnpopdyj li pfjdnpjxrcot hjp}jjn ocmjhxode mjlkjpxt on` uon`rdcj pfjlxt.Ht Pfjlxjk 0.??# ont coppdej d`joc }fluj wjxl ujp du ndpj du pfj coppdej d`joc

elxxjurln`dnm pl ulkj `dxjepj` kzcpdmxorf. Dn pfop ujnuj# pfj rlpjnpdoc orrcdeopdlnli uon`rdcj kjpflù pl coppdej d`jocu du qzdpj hxlo`. Ou on orrcdeopdln li ocmjhxodemjlkjpxt pl pfj OUK# Elxlccoxt :.?: zuju Mx¦lhnjx houju pl jupohcduf o `zocdpthjp}jjn jcjkjnpu li pfj uon`rdcj mxlzr on` uzrjxupohcj elnmzxopdlnu &M+roxadnmiznepdlnu$. Pfj xjuzcp du }jcc+anl}n ilx zn`dxjepj` mxorfu. Pfj rxlli mdyjn fjxj dupfj lnct lnj li }fdef }j anl} pfop }lxau dn pfj klxj mjnjxoc ujppdnm li o `dxjepj`kzcpdmxorf.

Ujepdln 9 mdyju on jvrcdedp `juexdrpdln li pfj wjxl ujp li pfj plrrcdnm d`joc. Dp duo mjnjxde lxhdp li o iodpfizc xjrxjujnpopdln li pfj uon`rdcj mxlzr li pfj mxorf. Pfjostnj Fdchjxp iznepdln li pfj plrrcdnm d`joc du `jnj` dn pjxku li pfj uon`rdcj mxlzr.

Dp du xjcopj` pl pfj Pzppj rlctnlkdoc li pfj mxorf ht o pfjlxjk li Kjxdnl Q8?[.Rxlrludpdln 9.?6 ufl}u pfop pfj ujp li wjxlu li pfj plrrcdnm d`joc uopduju pfj Eotcjt+Hoefoxoef rxlrjxpt.

Ujepdln = uzkkoxdwju pfj Xdjkonn+Xlef pfjlxt ilx mxorfu on` dnecz`ju xjuzcpulhpodnj` dn pfj zn`jxmxo`zopj pfjudu li pfj pfdx` ozpflx elnejxndnm pfj kdndkoc ixjjxjulczpdln li pfj flklmjnjlzu plrrcdnm d`joc li on zn`dxjepj` mxorf. Pfj xjulczpdlndu mxo`j` ht pfj ecouu mxlzr li pfj mxorf# eclujct xjcopj` pl pfj uon`rdcj mxlzr.Ht o pfjlxjk li Flefupjx# pfj Hjppd nzkhjxu oxj `jpjxkdnj` ht pfj udkrcdedocflklclmt li elkrcjvju ilxkdnm pfj uzrrlxpu li elkrcjpj cdnjox utupjku ln pfjmxorf. Ht Pfjlxjk =.=# pfj plr Hjppd nzkhjx elznpu pfj ilccl}dnm upxzepzxjuln o mxorf7 pfj jcjkjnpu li pfj uon`rdcj mxlzr li kdndkoc `jmxjj# pfj kovdkoc`jmxjj uzrjxupohcj elnmzxopdlnu# pfj kovdkoc M+roxadnm iznepdlnu# pfj oetecdelxdjnpopdlnu }dpf o zndqzj vj` ulzxej# on` pfj nln+urjedoc `dydulxu. Elngjepzxj =.4

uzmmjupu o efoxoepjxdwopdln occ li pfj Hjppd nzkhjxu dn pjxku li uon`rdcj mxlzru li mxorfu ouuledopj` }dpf elnnjepj` roxpdpdlnu &hlnù$ li pfj lxdmdnoc mxorf. Ilxklxj ln xjulczpdlnu li plrrcdnm d`jocu on` o mjnjxocdwopdln li pfj Xdjkonn+Xlefpfjlxt ilx mxorfu pl ejxpodn klnlkdoc d`jocu# ujj pfj rorjx ht Kongznopf onÙpzxkijcu Q82[.

Idnocct# dn Ujepdln 6# }j efoxoepjxdwj `dxjepj` kzcpdmxorfu }fluj flklmjnjlzuplrrcdnm d`jocu oxj elkrcjpj dnpjxujepdln d`jocu. Izxpfjx# }j mdyj o nj} kjpfl`



OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU 5

li elnupxzepdnm `dxjepj` kzcpdmxorfu }fluj flklmjnjlzu plrrcdnm d`jocu oxj oxdpf+kjpdeocct Mlxjnupjdn.

Oeanl}cj`mkjnpu. ]j }lzc` cdaj pl jvrxjuu lzx pfonau pl upz`jnpu }fl roxpde+dropj` dn pfj Plrdeu dn Ocmjhxo elzxuj op Xjj` Elccjmj dn iocc 8226. ]j }lzc` oculcdaj pl oeanl}cj`mj pfj elnpxdhzpdln li Czdu @oyd` Moxedo. Fj uzmmjupj` pfop }jclla op Q85[ dn pfj elnpjvp li uon`rdcj d`jocu# cjo`dnm zu pl Pfjlxjku 6.?? on` 6.?5.]j pfona Hjxn` Upzxkijcu on` Ko`fzuzòn Kongznopf ilx pfjdx jnelzxomjkjnpon` elkkjnpu# on` }j pfona Elccdn Rjxadnuln ilx elkkjnpu ln pfj jvrludpdln.Pfj xup ozpflx }lzc` cdaj pl pfona Plnt Mjxokdpo on` Clxjnwl Xlhhdonl ilxdnpxl`zednm fdk pl pfj mjlkjpxt li ndpj ujpu li rldnpu.

Pfdu }lxa elzc` nlp foyj hjjn `lnj }dpflzp pfj fjcr li pfj kopfjkopdeoc ulip+}oxj utupjk Uomj Q52[. Dnpjxjupj` xjo`jxu kot }onp pl elnuzcp pfj Pfjkopde Pzpl+xdoc dn pfj Fjcr,@lezkjnpopdln ujepdln li pfj Uomj flkjromj# uomjkopf.lxm. Dpelnpodnu on dnpxl`zepdln pl pfj OUK }dpf elkrzpopdlnoc jvokrcju. Ilx yduzocdwo+pdln li pfj OUK# pfj xjo`jx du xjijxxj` pl Hxton Fjo`—u Mllmcj Uzkkjx li El`j

rxlgjep# oyodcohcj op }}}.xjj`.j`z,~òyd`r,uon`,rxlmxok.

8. Uon`rdcju

Dn pfdu ujepdln }j uzkkoxdwj pfj houde pfjlxt li uon`rdcj mxlzru. Kont xjuzcpuoxj upopj` }dpflzp rxlli. Pfj xjo`jx du xjijxxj` pl Q?=[ on` Q89[ ilx o pflxlzmfdnpxl`zepdln pl pfj uzhgjep.

8.?. Mxorf pfjlxt. Cjp M ; &Y# J $ hj o `dxjepj` kzcpdmxorf }dpf o ndpj ujp li yjxpdeju Y on` li `dxjepj` j`mju J . Ilx j ; &z# y$ ∆ J ⊉ Y Ý Y # }j }xdpj j∘ 7; zon` j! 7; y ilx pfj podc on` fjo` li j# xjurjepdyjct. Di j∘ ; j!# pfj j`mj du o cllr.Pfjuj oxj occl}j` hzp `l nlp o`` kzef pl pfj pfjlxt. Ht –kzcpdmxorf‛ }j }dcckjon pfop pfjxj du o }jdmfp iznepdln #

}p 7 Y Ý Y ↘ N#uzef pfop }p&z# y$ > 2 di on` lnct di &z# y$ ∆ J . Lnj kot pfdna li on j`mj j ; &z# y$li }p&j$ ou }p&j$ j`mju elnnjepdnm z pl y. Ilx y ∆ Y #

lzp`jm&y$ 7;

j∆J 7j∘;y

}p&j$

dn`jm&y$ 7;

j∆J 7j!;y

}p&j$.

Pfj mxorf M du zn`dxjepj` di }p&z# y$ ; }p&y# z$ ilx occ z# y ∆ Y # on` dp du zn}jdmfpj` di pfj }jdmfpu li occ li dpu j`mju oxj ?. Di M du zn`dxjepj`# }j zuj pfj nlpopdln`jm&y$ 7; lzp`jm&y$ ; dn`jm&y$.

O yjxpjv z du oeejuudhcj ixlk o yjxpjv y di pfjxj du o `dxjepj` ropf hjmdnndnm op zon` jn`dnm op y. O yjxpjv u du mclhocct oeejuudhcj di dp du oeejuudhcj ixlk occ yjxpdejuli M. Pfxlzmflzp pfdu rxdkjx# }j }dcc lnct elnud`jx mxorfu foydnm op cjoup

lnj mclhocct oeejuudhcj yjxpjv. Dn roxpdezcox# zn`dxjepj` mxorfu oxj ouuzkj` plhj elnnjepj`.

@jndpdln 8.?. O uon`rdcj mxorf du o pxdrcj &Y # J # u$ elnudupdnm li o ndpj# `dxjepj`kzcpdmxorf &Y# J $ }dpf o mclhocct oeejuudhcj yjxpjv u. Pfj yjxpjv u du eoccj` pfjudna li pfj uon`rdcj mxorf. Di# dn o``dpdln# u fou lzp`jmxjj 2# dp du eoccj` on ohulczpj

udna . Pfj nlnudna yjxpdeju oxj `jnlpj` Y 7; Y S qu{.

http://localhost/var/www/apps/conversion/releases/20121114182529/tmp/scratch_2/sagemath.org


http://www.reed.edu/~davidp/sand/program









Di M ; &Y # J # u$ du o uon`rdcj mxorf# }j }dcc ocul xjijx pl pfj mxorf &Y# J $ ou M.Nlpj pfop pfj udna li o uon`rdcj mxorf njj` nlp hj ohulczpj1 fl}jyjx# ilx kzef li }fop }j uot# lnj elzc` uoijct xjklyj lzpmldnm j`mju ixlk pfj udna }dpflzp efonmdnmpfj pfjlxt.

Jvokrcj 8.8. Idmzxj ? `jrdepu o uon`rdcj mxorf M. J`mju &y?# y8$# &y8# y?$# &y8# u$#&y5# u$# on` &u# y5$ oxj `dxjepj` j`mju }dpf }jdmfpu ?# 8# ?# ?# :# xjurjepdyjct1 qy?# y5{du on zn`dxjepj` j`mj li }jdmfp 51 on` qy8# y5{ du on zn`dxjepj`# zn}jdmfpj` j`mj.Ocpflzmf u du pfj udna li pfj uon`rdcj mxorf# lzp`jm&u$ ; :.

y?

y8 y5

u

58

:

Idmzxj ?. Uon`rdcj mxorf M }dpf udna u.

Ilx ont ndpj ujp V # cjp

WV ; q

v∆V ov v 7 ov ∆ W ilx occ v ∆ V {

hj pfj ixjj Ohjcdon mxlzr ln V . Xjupxdepdnm pl nlnnjmopdyj eljstedjnpu mdyju NV .

Nlpopdln 8.5. Ilx o# h ∆ WV # }j `jnj `jm&o$ ;

v∆V ov on` o ≪ h di ov ≪ hvilx occ v ∆ V . ]j uot o du nlnnjmopdyj di o ≪ 2. Pfj uzrrlxp li o du

uzrr&o$ ; qv ∆ V 7 ov ; 2{.

Udkdcox nlpopdln du zuj` ilx dnpjmjx yjeplxu.

Cjp M ; &Y # J # u$ hj o uon`rdcj mxorf.

@jndpdln 8.0. Pfj &izcc$ Corcoedon li M du pfj korrdnm li mxlzru ∉7 WY ↘ WY mdyjn ln yjxpdeju y ht

∉&y$ 7; lzp`jm&y$ y ∘z∆Y

}p&y# z$ z.

Pfj xj zej` Corcoedon li M du pfj korrdnm li mxlzru ∉ 7 WY ↘ WY mdyjn lnnlnudna yjxpdeju y ht

∉&y$ 7; lzp`jm&y$ y ∘ z∆Y

}p&y# z$ z#

uzkkdnm pfdu pdkj lnct lyjx Y .

Pfj Corcoedon gzup `jnj` du `zoc pl pfj Corcoedon lnj lipjn ujju dn pfj cdpjxo+pzxj. @jnj C 7 WY ↘ WY ht

Cω&y$ 7;z∆Y

}p&y# z$&ω&y$ ∘ ω&z$$



OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU :

ilx o iznepdln ω ∆ WY on` yjxpjv y. Uot Y ; qy?# . . . # yn!?{# on` `jnj pfj`domlnoc kopxdv @ ; `dom&lzp`jm&y?$# . . . # lzp`jm&yn!?$$. Cjp O hj pfj o`goejnet kopxdv # O# mdyjn ht O

dg; }p&y

d# y

g$. Idvdnm on lx`jxdnm y

?# . . . # y

n!?li pfj yjxpdeju

d`jnpdju WY }dpf Wn!? on` d`jnpdju C }dpf pfj &n ! ?$ Ý &n ! ?$ kopxdv

C ; @ ∘ O.

Pfj kopxdv ilx lzx Corcoedon ∉ li M du pfj pxonurluj li C.O uronndnm pxjj `dxjepj` dnpl u du o uzhmxorf P li M }dpf pfj rxlrjxpdju7 &?$ P

elnpodnu occ li pfj yjxpdeju li M# &8$ pfj }jdmfp li joef j`mj dn P du pfj uokj ou dpu}jdmfp ou on j`mj li M# &5$ ilx joef yjxpjv# pfjxj du o `dxjepj` ropf dn P pl u# &0$ilx joef yjxpjv y ; u# pfjxj du jvoepct lnj j`mj li P }fluj podc du y# on` &:$ pfjlzp`jmxjj li u du 2. Di P du o uronndnm pxjj `dxjepj` dnpl u# pfjn dpu }jdmfp# `jnlpj`}p&P $# du pfj rxl`zep li pfj }jdmfpu li dpu j`mju. Pfj ilccl}dnm du o houde pfjlxjkdn mxorf pfjlxt.

Pfjlxjk 8.: &Kopxdv+Pxjj$. Pfj `jpjxkdnonp li pfj xj`zej` Corcoedon li M du

pfj uzk li pfj }jdmfpu li occ dpu `dxjepj` uronndnm pxjju dnpl pfj udna.

Dp }dcc leeoudlnocct hj zujizc pl elnud`jx o klxj xjupxdepj` ecouu li mxorfu.

@jndpdln 8.9. O `dxjepj` kzcpdmxorf M ; &Y# J $ du Jzcjxdon di joef li dpu yjxpdejudu mclhocct oeejuudhcj on` dn`jm&y$ ; lzp`jm&y$ ilx occ y ∆ Y .

Jyjxt zn`dxjepj mxorf du Jzcjxdon. Pfj eln`dpdln pfop dn`jm&y$ ; lzp`jm&y$

ilx occ yjxpdeju y du jqzdyocjnp pl foydnm ? ∆ ajx ∉.

8.8. Pfj Uon`rdcj Mxlzr. Cjp M ; &Y # J # u$ hj o uon`rdcj mxorf }dpf nlnudna

yjxpdeju Y .

@jndpdln 8.=. O &uon`rdcj$ elnmzxopdln ln M du on jcjkjnp li W

Y . O elnmz+

xopdln e ; y∆Y eyy du upohcj op o yjxpjv y ∆ Y di ey 3 lzp`jm&y$. Lpfjx}duj# dp duznupohcj . O elnmzxopdln du upohcj di dp du upohcj op joef y ∆ Y .

Ou pfj nokj uzmmjupu# }j pfdna li o elnmzxopdln e ou o rdcj li uon` ln pfjnlnudna yjxpdeju li M foydnm ey mxodnu li uon` op yjxpjv y. Uon` eon hj xj`dupxdhzpj`

ln pfj mxorf ht yjxpjv xdnmu &lx plrrcdnmu$. Idxdnm y ∆ Y dn elnmzxopdln e mdyjupfj nj} elnmzxopdln#

e˓ ; e ∘ lzp`jm&y$ y !z∆Y

}p&y# z$ z

; e ∘ ∉ y.

]fjn y xju# }j dkomdnj }p&j$ mxodnu li uon` pxoyjcdnm oclnm joef j`mj j jkonopdnmixlk y on` hjdnm `jrludpj` op j!. Di j! ; u# pfjn uon` ujnp oclnm j `duorrjoxu`l}n pfj udna. Di e du znupohcj op y# }j uot pfop xdnm y du cjmoc . Pfj ujqzjnejli nlnudna yjxpdeju z?# . . . # za du o cjmoc xdnm ujqzjnej ilx o elnmzxopdln e di dp ducjmoc pl xj z? on` pfjn dp du cjmoc pl xj joef uzhujqzjnp zd ixlk pfj elnmzxopdlnlhpodnj` ht xdnm z?# . . . # zd∘?. Pfj elnmzxopdln xjuzcpdnm ixlk orrctdnm o cjmoc

xdnm ujqzjnej pl e du pfj elnmzxopdln e˓ ; e ∘ ∉ υ }fjxj υ ∆ WY du uzef pfop υy

du pfj nzkhjx li pdkju yjxpjv y orrjoxu dn pfj ujqzjnej. ]j }xdpj

eυ

∘↘ e ∘ ∉ υ.




Dn mjnjxoc# }j }xdpj e ↘ e˓ di e˓ du pfj xjuzcp li orrctdnm o cjmoc xdnm ujqzjnej pl e.Dn pfdu eouj# udnej pfj xj`zej` Corcoedon du dnyjxpdhcj &ht pfj Kopxdv+Pxjj pfjlxjk#

ilx dnuponej$# pfjxj jvdupu o zndqzj υ ∆ WY uzef pfop e˓ ; e ∘ ∉ υ. Pfdu υ du eoccj`pfj xdnm uexdrp lx xdnm yjeplx ilx e ↘ e˓.]j foyj pfj ilccl}dnm jvdupjnej on` zndqzjnjuu pfjlxjk.

Pfjlxjk 8.6. Cjp e hj o uon`rdcj elnmzxopdln.

&?$ Pfjxj jvdupu o upohcj elnmzxopdln e˓ uzef pfop e ↘ e˓.&8$ Uzrrluj e ↘ e˓ }dpf uexdrp υ on` e ↘ e˓ }dpf uexdrp υ. Pfjn di e˓ du upohcj#

υ ≪ υ. Di e˓ on` e˓ oxj hlpf upohcj# pfjn e˓ ; e˓.

@jndpdln 8.4. Cjp e hj o elnmzxopdln ln M. Pfj upohdcdwopdln li o elnmzxo+pdln e# `jnlpj` e◩# du pfj zndqzj upohcj elnmzxopdln e˓ uzef pfop e ↘ e˓.

Cjp K `jnlpj pfj ujp li nlnnjmopdyj upohcj elnmzxopdlnu ln M. Pfjn K du oelkkzpopdyj klnld` zn`jx upohcj o``dpdln

o h 7; &o ! h$◩.

Pfzu# upohcj o``dpdln du yjeplx o``dpdln dn NY ilccl}j` ht upohdcdwopdln. Pfj d`jn+pdpt du pfj wjxl elnmzxopdln.

@jndpdln 8.?2. O elnmzxopdln e du oeejuudhcj di ilx joef elnmzxopdln o# pfjxjjvdupu o elnmzxopdln h uzef pfop o ! h ↘ e. O elnmzxopdln e du xjezxxjnp di dp dunlnnjmopdyj# oeejuudhcj# on` upohcj.

@jndpdln 8.??. Pfj kovdkoc upohcj elnmzxopdln ln M du pfj elnmzxopdln

ekov ;y∆Y

&lzp`jm&y$ ∘ ?$y.

Rxlrludpdln 8.?8. O elnmzxopdln e du xjezxxjnp di on` lnct di pfjxj jvdupu o

elnmzxopdln o ≪ 2 uzef pfop e ; o ekov.

Dp du nlp fox` pl ujj pfop pfj xjezxxjnp jcjkjnpu ilxk o ujkdmxlzr. Dn ioep# pfjtilxk o mxlzr.

Pfjlxjk 8.?5. Pfj elccjepdln li xjezxxjnp elnmzxopdlnu li M ilxku o mxlzrzn`jx upohcj o``dpdln.

@jndpdln 8.?0. Pfj mxlzr li xjezxxjnp elnmzxopdlnu li o uon`rdcj mxorf M dueoccj` pfj uon`rdcj mxlzr li M on` `jnlpj` ht U &M$.

Ht Rxlrludpdln 8.?8# pfj uon`rdcj mxlzr eon hj ilzn` ht o utupjkopdeocct o``dnmuon` pl ekov on` upohdcdwdnm. Elnud jxdnm o mxorf elnudupdnm li lpfjx}duj zneln+

njepj` yjxpdeju elnnjepj` dnpl o elkkln udna ht j`mju li yoxdlzu }jdmfpu# lnj ujjupfop jyjxt ndpj Ohjcdon mxlzr du pfj uon`rdcj mxlzr ilx ulkj mxorf.

Jvokrcj 8.?:. Pfj jcjkjnpu li pfj uon`rdcj mxlzr ilx pfj uon`rdcj mxorf dnIdmzxj ? oxj cdupj` hjcl} zudnm pfj nlpopdln &e?# e8# e5$ 7; e?y? ! e8y8 ! e5y57

&5# 5# 0$ &5# 5# 5$ &5# 8# 0$ &8# 5# 0$ &5# 5# 8$ &5# 8# 5$ &8# 5# 5$&5# ?# 0$ &8# 8# 0$ &?# 5# 0$ &5# 8# 8$ &8# 8# 5$ &?# 5# 5$ &5# 2# 0$&8# ?# 0$ &?# 8# 0$ &2# 5# 0$ &?# 8# 5$ &2# 5# 5$ &8# 2# 0$ &?# ?# 0$



OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU =

Ocpflzmf pfj wjxl elnmzxopdln du pfj d`jnpdpt ilx K# dp du ujc`lk pfj d`jnpdptilx U &M$. Pfj ilccl}dnm du on jout jvjxeduj.

Rxlrludpdln 8.?9. Pfj ilccl}dnm oxj jqzdyocjnp7&?$ pfj wjxl+elnmzxopdln 2 du xjezxxjnp1&8$ jyjxt upohcj elnmzxopdln du xjezxxjnp1&5$ jyjxt `dxjepj` etecj li M rouuju pfxlzmf pfj udna yjxpjv.

]j nl} mdyj onlpfjx `juexdrpdln li pfj uon`rdcj mxlzr.

@jndpdln 8.?=. Pfj Corcoedon coppdej # C ⊈ WY # du pfj dkomj li ∉. Pfj xj`zej`

Corcoedon coppdej# C ⊈ WY # du pfj dkomj li ∉. Pfj exdpdeoc mxlzr ilx M du

E &M$ ; WY , C.

Pfjlxjk 8.?6. Pfjxj du on dulklxrfduk li Ohjcdon mxlzru

U &M$ ↘ E &M$

e ↘ e ! C.

Pfzu# joef jcjkjnp li WY du jqzdyocjnp pl o zndqzj xjezxxjnp jcjkjnp kl`zclpfj xj`zej` Corcoedon coppdej. Pfj d`jnpdpt li pfj uon`rdcj mxlzr du pfj xjezxxjnp

elnmzxopdln dn C. Dp eon hj eocezcopj` ou

ν ; &&ekov ∘ &8ekov$◩$ ! ekov$◩.

Nlpj pfop ν ; 2 kl` C# on` udnej ekov ∘ &8ekov$◩ ≪ 2# Rxlrludpdln 8.?8 mzoxonpjjupfop ν du xjezxxjnp.

Jvokrcj 8.?4. Pfj xj`zej` Corcoedon li pfj uon`rdcj mxorf dn Idmzxj ? du

∉ ;

0 ∘8 ∘5∘? 0 ∘?

∘5 ∘? :

.

Pfj Ukdpf nlxkoc ilxk li ∉ du `dom&?# ?# 8?$. Fjnej# U &M$ ≆ W,8?W. Pfj d`jnpdptdu &5# ?# 0$# elkrzpj` ou ilccl}u7

&ekov ∘ &8ekov$◩$ ! ekov ; &&5# 5# 0$ ∘ &9# 9# 6$◩$ ! &5# 5# 0$

; &&5# 5# 0$ ∘ &8# 2# 0$$ ! &5# 5# 0$

; &0# 9# 0$ &5# ?# 0$.

Ou o elnujqzjnej li pfj Kopxdv+Pxjj pfjlxjk# }j foyj pfj ilccl}dnm.

Elxlccoxt 8.82. Pfj lx jx li U &M$ du pfj uzk li pfj }jdmfpu li M—u `dxjepj` uronndnm pxjju dnpl u.

Xjkoxa 8.8?. Hohod Q?[ fou nlpj` onlpfjx efoxoepjxdwopdln li pfj uon`rdcj mxlzr7

dp du pfj rxdnedroc ujkd+d`joc dn K mjnjxopj` ht ekov# }fdef pzxnu lzp pl hj pfjdnpjxujepdln li occ pfj ujkd+d`jocu li K.

Xjkoxa 8.88. Dn pfj cdpjxopzxj# o uon`rdcj elnmzxopdln du lipjn poajn pl hj on

jcjkjnp li WY . ]j rxjijx pl }lxa dn pfj `zoc mxlzr WY ; Flk&W

Y #W$ ul pfoppfj izneplx pfop poaju o uon`rdcj mxorf pl dpu uon`rdcj mxlzr du elyoxdonp. Uzrrlujpfop M ; &Y # J # u$ on` M ; &Y # J # u$ oxj uon`rdcj mxorfu }dpf xj`zej` Corcoedon

coppdeju C on` C# xjurjepdyjct. Cjp Φ 7 M ↘ M hj o korrdnm li mxorfu pfop




koru u pl u. Orrctdnm flkW& ½ #W$ pl pfj nopzxoc dn`zej` kor WY ↘ WY

tdjcù

Φ∝ 7 WY ↘ WY . Di Φ&

C$ ⊉ C# pfjxj du on dn`zej` korrdnm li uon`rdcj mxlzru.

Pfdu eln`dpdln }lzc` ujjk pl `jnj o xjoulnohcj ujp li klxrfduku# pfjn# ilx oeopjmlxt li uon`rdcj mxlzru. Ilx }lxa ln pfj eopjmlxt pfjlxt li uon`rdcj mxlzru#ujj Q9[ on` Q5?[. Ilx pfj nlpdln li o foxklnde klxrfduk li mxorfu# ujj Q0[.

8.5. Uzrjxupohcju. Cjp e ; z ! y hj o elnmzxopdln ln pfj &zn}jdmfpj`# zn`d+xjepj`$ uon`rdcj mxorf dn Idmzxj 8 }dpf udna u. Pfj yjxpdeju z on` y oxj hlpf

z y

u

Idmzxj 8. Mxorf M.

upohcj dn e# ul pfjxj oxj nl cjmoc yjxpjv xdnmu7 xdnm jdpfjx yjxpjv }lzc xjuzcp dn onjmopdyj oklznp li uon` ln o yjxpjv. Fl}jyjx# xdnm hlpf yjxpdeju udkzcponjlzuctxjuzcpu dn o nlnnjmopdyj elnmzxopdln# pfj wjxl elnmzxopdln. Joef nlnudna yjxpjvcluju p}l mxodnu li uon`# hzp joef ocul modnu o mxodn ixlk pfj lpfjx.

@jndpdln 8.85. Cjp e hj o elnmzxopdln ln pfj uon`rdcj mxorf M ; &Y # J # u$. O

uexdrp+xdnm # ocul eoccj` o eczupjx+ lx kzcpdujp+xdnm # }dpf &xdnm$ uexdrp υ ∆ NY du

pfj lrjxopdln pfop xjrcoeju e }dpf e ∘ ∉ υ. Pfj uexdrp+xdnm du cjmoc di υ 2 on`

&e ∘ ∉ υ$y ≪ 2 ilx joef y ∆ uzrr&υ$. Pfzu# di e ≪ 2# pfj uexdrp+xdnm }dpf uexdrp

υ 2 du cjmoc di on` lnct di e ∘ ∉ υ ≪ 2.O elnmzxopdln e du uzrjxupohcj di e du nlnnjmopdyj on` fou nl cjmoc uexdrp+xdnmu.

Pfj d`jo li o M+roxadnm iznepdln du juujnpdocct pfj uokj ou pfop li o uzrjxupohcjelnmzxopdln7

@jndpdln 8.80. Cjp M ; &Y # J # u$ hj o uon`rdcj mxorf. O M+roxadnm iznepdln Q86[&}dpf xjurjep pl u$ du o iznepdln i 7 Y ↘ W uzef pfop pfjxj jvdupu o uzrjxupohcj

elnmzxopdln e ln M }dpf pfj rxlrjxpt pfop i &y$ ; ey ilx y ∆ Y on` i &u$ ; ∘?.

On oetecde lxdjnpopdln li on zn`dxjepj` mxorf M du o efldej li lxdjnpopdln ilxjoef j`mj li M uzef pfop pfj xjuzcpdnm `dxjepj` mxorf fou nl `dxjepj` etecju. Oyjxpjv y du o ulzxej ilx on oetecde lxdjnpopdln di occ pfj j`mju dned`jnp ln y oxj`dxjepj` o}ot ixlk y. Di L du on oetecde lxdjnpopdln on` y ∆ Y # pfjn dn`jmL&y$`jnlpju pfj dn`jmxjj li y ilx pfj `dxjepj` mxorf elxxjurln`dnm pl L.

Pfjlxjk 8.8: &Q:[$. Cjp M ; &Y # J # u$ hj on zn`dxjepj` uon`rdcj mxorf. Pfjn pfjxj du o hdgjepdln hjp}jjn pfj ujp li oetecde lxdjnpopdlnu li M }dpf zndqzj ulzxej

u on` pfj ujp li uzrjxupohcj elnmzxopdlnu li M li fdmfjup `jmxjj. Di L du on oetecde lxdjnpopdln# pfj elxxjurln`dnm kovdkoc uzrjxupohcj elnmzxopdln du mdyjn ht

y∆Y

&dn`jmL&y$ ∘ ?$ y.

Ilx on jvpjnudln li pfj rxjydlzu pfjlxjk ixlk kovdkoc uzrjxupohcj elnmzxo+pdlnu pl occ uzrjxupohcj elnmzxopdlnu &on` o elnnjepdln }dpf ftrjxrconj oxxomj+kjnpu$# ujj Q?6[.




8.0. Hzxndnm elnmzxopdlnu. Urjjx—u uexdrp ocmlxdpfk Q84[ mjnjxocdwju pfj hzxn+dnm ocmlxdpfk li @fox# pjupdnm }fjpfjx o elnmzxopdln du xjezxxjnp. ]j rxjujnp oyoxdopdln ln Urjjx—u ocmlxdpfk zudnm hzxndnm elnmzxopdlnu.

@jndpdln 8.89. O elnmzxopdln h du o hzxndnm elnmzxopdln di dp fou pfj ilccl}dnmpfxjj rxlrjxpdju7

&?$ h ∆ C#&8$ h ≪ 2#

&5$ ilx occ y ∆ Y # pfjxj jvdupu o ropf pl y ixlk ulkj jcjkjnp li uzrr&h$.

Di h du o hzxndnm elnmzxopdln# }j eocc υh ; &∉$∘?h pfj uexdrp lx pfj xdnm yjeplx ilx h.

Pfjlxjk 8.8= &Q89[$. Cjp h hj pfj hzxndnm elnmzxopdln }dpf uexdrp υh.

&?$ &ah$◩ du pfj d`jnpdpt elnmzxopdln ilx a 2.&8$ O elnmzxopdln e du xjezxxjnp di on` lnct di pfj upohdcdwopdln li e ! h du e.&5$ O elnmzxopdln e du xjezxxjnp di on` lnct di pfj xdnm yjeplx ilx pfj upohd+

cdwopdln li h ! e du υh.&0$ υh ≪ ?.&:$ Di e du o elnmzxopdln on` π du pfj xdnm yjeplx ilx pfj upohdcdwopdln li e ! h#

pfjn π ≠ υh.

Pfzu# o elnmzxopdln e du dn pfj uon`rdcj mxlzr di on` lnct di o``dnm o hzxndnmelnmzxopdln pl e on` upohdcdwdnm xjpzxnu e# lx di# jqzdyocjnpct# pfj xdnm uexdrp ilxpfj upohdcdwopdln du jqzoc pl pfj hzxndnm uexdrp. Ilx pfj eouj li on zn`dxjepj` mxorf#ou }j ujj dn pfj ilccl}dnm pfjlxjk# lnj kot poaj ? ou pfj xdnm uexdrp. O``dnm pfjhzxndnm elnmzxopdln pl o elnmzxopdln e dn pfop eouj eon hj pflzmfp li ou rcoednm eln pfj mxorf# pfjn xdnm pfj udna yjxpjv. Efjeadnm }fjpfjx joef yjxpjv xju jvoepctlnej dn pfj uzhujqzjnp upohdcdwopdln du anl}n ou @fox—u ocmlxdpfk .

Pfjlxjk 8.86 &Q84[#Q89[$. Pfjxj jvdupu o zndqzj hzxndnm elnmzxopdln h }dpf uexdrp

υh ; ∉∘?h foydnm pfj ilccl}dnm rxlrjxpt7 di υh du pfj uexdrp ilx o hzxndnm elnmz+xopdln h# pfjn υh ≪ υh. Ilx pfdu h# }j foyj7

&?$ Ilx occ y ∆ Y # hy 3 lzp`jm&y$ zncjuu y du o ulzxej# d.j.# zncjuu dn`jm&y$ ; 2#dn }fdef eouj hy ; lzp`jm&y$. Pfzu# h du upohcj zncjuu M fou o ulzxej# on` dn ont eouj# hy ≠ lzp`jm&y$ ilx occ y.

&8$ υh ≪ ? }dpf jqzocdpt di on` lnct di M fou nl –ujcuf‛ yjxpdeju# d.j.# nl yjxpjv

y ∆ Y }dpf dn`jm&y$ > lzp`jm&y$.

]j eocc pfdu h pfj kdndkoc hzxndnm elnmzxopdln on` dpu uexdrp# υh# pfj kdndkochzxndnm uexdrp.

Xjkoxa 8.84. Pl elkrzpj pfj kdndkoc hzxndnm elnmzxopdln# upoxp }dpf h jqzoc pl

pfj uzk li pfj elczknu li

∉. Di h ≪ 2# uplr. Lpfjx}duj# di hy 3 2 ilx ulkj y ∆

Y #

xjrcoej h ht h ! ∉&y$. Xjrjop znpdc h ≪ 2.

Jvokrcj 8.52. ]j }lzc` cdaj pl elkrzpj pfj kdndkoc hzxndnm elnmzxopdln onèlxxjurln`dnm uexdrp ilx pfj uon`rdcj mxorf M dn Idmzxj ?. Elnpdnzdnm Jvokrcj 8.?4#

pfj uzk li pfj elczknu li ∉ du &∘?# 8# ?$p. Udnej pfj xup jnpxt li pfj uzk du

njmopdyj# o`` dn pfj xup elczkn li ∉ pl mjp &5# ?# ∘8$p. Udnej pfj pfdx` jnpxt du nl}

njmopdyj# o`` dn pfj pfdx` elczkn li ∉ pl mjp &2# 2# 5$. Pfzu# pfj kdndkoc hzxndnmelnmzxopdln du h ; &2# 2# 5$# on` pfj hzxndnm uexdrp du υh ; &8# ?# 8$# xjelx`dnm pfj

elczknu li ∉ zuj` pl lhpodn h.



?2 @OYD@ R JXADNULN# GOELH RJ XC KON# ON@ GLF N ]DCKJU

8.:. Ulkj dulklxrfduku.

8.:.?. Efldej li udna yjxpjv. Cjkko 0.?8 li Q?=[ upopju pfop ilx Jzcjxdon mxorfu#pfj uon`rdcj mxlzr du# zr pl dulklxrfduk# dn`jrjn`jnp li pfj efldej li udna. Fjxj#}j rxjujnp o mjnjxocdwopdln li pfop xjuzcp.

Cjp M ; &Y # J # u$ hj o uon`rdcj mxorf. Xjeocc pfop E &M$ 7; WY , C du pfj exdpdeocmxlzr li M# dulklxrfde pl pfj uon`rdcj mxlzr# U &M$# ht Pfjlxjk 8.?6. Cjp

WY 2 7; qe ∆ WY 7 `jm&e$ ; 2{.

Udnej pfj dkomj li pfj Corcoedon ∉ du elnpodnj` dn Wy2# }j kot `jnj pfj korrdnm∉2 7 WY ↘ WY 2 ht ∉2&e$ 7; ∉&e$ ilx occ e ∆ WY .

Rxlrludpdln 8.5? &Q89[$.

&?$ Pfjxj du o elkkzpopdyj `domxok }dpf jvoep xl}u

2 , , WY

∉ , ,

δ

WY , ,

κ

U &M$ , ,

2

2 , , WY , ajx∉∉2

, , WY 2 , , E &M$ , , 2.

}fjxj δ&y$ 7; y ! ajx ∉ on` κ ; y ∘ u ilx occ y ∆ Y .&8$ Ilx joef y ∆ Y # cjp π y hj pfj uzk li pfj }jdmfpu li occ uronndnm pxjju

`dxjepj` dnpl y# cjp ` ; me`qπ z 7 z ∆ Y {# on` cjp π˓ y 7; π y,`. @jnj π˓ 7;

y π˓ yy ∆ WY . Pfjn

ajx ∉ ; UronWqπ˓ {.

&5$ Pfjxj du o uflxp jvoep ujqzjnej

2 ∘↘ W,π˓ uW ∘↘ E &M$ ∘↘ WY 2,C ∘↘ 2.

Elxlccoxt 8.58. Di M du on Jzcjxdon mxorf &dn roxpdezcox# di M du zn`dxjepj`$# pfjn pfj uon`rdcj mxlzr ilx M du dn`jrjn`jnp li pfj efldej li udna yjxpjv.

Rxlli. Uzrrluj M du Jzcjxdon. Pfjn joef yjxpjv du mclhocct oeejuudhcj. Ul dp koajuujnuj pl poca ohlzp pfj uon`rdcj mxlzr li M }dpf xjurjep pl ont li dpu yjxpdeju.Udnej dn`jm&y$ ; lzp`jm&y$ ilx occ y ∆ Y # }j foyj pfop ? ∆ ajx ∉. Dp ilccl}u ixlkRxlrludpdln 8.5? &8$ pfop π˓ y ; ? ilx occ y. Idv o yjxpjv u on` elnud`jx pfj uon`rdcjmxlzr li M }dpf xjurjep pl u. Dp du dulklxrfde pl pfj exdpdeoc mxlzr &}dpf xjurjep plu$# on` fjnej dulklxrfde pl WY 2,C ht Rxlrludpdln 8.5? &5$. Fl}jyjx# WY 2,C `ljunlp `jrjn` ln pfj efldej li o udna.

8.:.8. Rconox `zocdpt. Cjp M ; &Y# J $ hj on zn`dxjepj` mxorf. Idv on lxdjnpopdln Lli pfj j`mju li M. Pfzu# ilx joef qz# y{ ∆ J }j foyj pfop jdpfjx &z# y$ lx &y# z$du dn L# hzp nlp hlpf. Cjp j ; qz# y{ ∆ J # on` uzrrluj pfop &z# y$ ∆ L. Dnpfj ixjj ohjcdon mxlzr WJ # }j d`jnpdit &z# y$ }dpf j on` &y# z$ }dpf ∘j. ]j ocul`jnj j∘ 7; z on` j! 7; y.

Pfj &dnpjmxoc$ etecj uroej # E ; E M ⊉ WJ # du pfj W+uron li pfj etecju li M.

Jvokrcj 8.55. Cjp M hj pfj &zn`dxjepj`$ pxdonmcj }dpf j`mju lxdjnpj` ou dn Idm+zxj 5. Pfj etecj uroej ilx M du pfj W+uron li pfj etecj &v# t$ ! &t# w$ ∘ &v# w$.



OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU ??

w

v t

Idmzxj 5. O pxdonmcj }dpf lxdjnpj j`mju.

Ilx joef Z ⊉ Y # `jnj pfj elxxjurln`dnm ezp+ujp # e∝Z # pl hj pfj elccjepdln li j`mju li M foydnm lnj jn`rldnp dn Z on` pfj lpfjx dn pfj elkrcjkjnp Z e. Ilxjoef j ∆ J # `jnj pfj udmn li j dn o ezp+ujp e∝Z ht

υ&j# e∝Z $ 7;

∘? di j∘ ∆ Z on` j! ∆ Z e#

? di j∘ ∆ Z e on` j! ∆ Z #

2 lpfjx}duj.

]j pfjn }xdpj e∝Z ; j∆J υ&j# e∝Z $ j ∆ WJ . Pfj W+uron li pfj ezp+ujpu li M du pfj

&dnpjmxoc$ ezp uroej ilx M# `jnlpj` E ∝. Di Z ; qy{ ilx ulkj y ∆ Y # pfjn e∝y 7; e∝Z dueoccj` o yjxpjv ezp . Dp du }jcc+anl}n pfop pfj yjxpjv ezpu ilxk o W+houdu ilx E ∝.

@jnj pfj hlznòxt korrdnm ht

∈ 7 WJ ↘ WY 2

j ↘ j! ∘ j∘.

ilx j ∆ J . ]j foyj pfj ilccl}dnm }jcc+anl}n jvoep ujqzjnej &xjeoccdnm pfop }j oxjouuzkdnm M du elnnjepj`$7

2 ↘ E , , WJ ∈

, , WY `jm

, , W ↘ 2.

O upxodmfpilx}ox` eocezcopdln ufl}u pfop ilx joef y ∆ Y #

∈ &e∝y$ ; ∉&y$.

]j foyj pfj ilccl}dnm pfjlxjk.

Pfjlxjk 8.50 &Q8[$. Cjp M hj on zn`dxjepj` uon`rdcj mxorf. Pfjn

U &M$ ≆ WJ,&E ! E ∝$.

Pfj ilccl}dnm xjuzcp orrjoxu dn Q6[.

Elxlccoxt 8.5:. Cjp M hj on zn`dxjepj` rconox mxorf# on` cjp M∝ hj dpu `zoc.Eflludnm ont yjxpdeju pl ujxyj ou udnau# pfjxj du on dulklxrfduk li uon`rdcj mxlzru

U &M$ ≆ U &M∝$.

Rxlli. On lxdjnpopdln li M dn`zeju o `zoc lxdjnpopdln ln M∝7 di I on` I oxj

o`goejnp ioeju dn M &yjxpdeju li M∝$ dnpjxujepdnm oclnm j`mj j# }j lxdjnp pfj j`mjj∝ 7; qI# I { li M∝ ou &I# I $ di I du pl pfj xdmfp li j ou lnj pxoyjcu ixlk j∘

pl j!. Ujn`dnm j pl j∝ pfjn `jnju on dulklxrfduk WJ ↘ WJ ∝ }fjxj J ∝ `jnlpjupfj j`mju li M∝. Dp du }jcc+anl}n pfop zn jx pfdu dulklxrfduk pfj etecj uroej&xjur.# ezp uroej$ li M du ujnp pl pfj ezp uroej &xjur.# etecj uroej$ li M∝. Pfjxjuzcp pfjn ilccl}u ixlk Pfjlxjk 8.50. Pfj efldej li udna yjxpdeju du dxxjcjyonp htRxlrludpdln 8.5?.




Xjkoxa 8.59.

&?$ Pfj dn`jrjn`jnej li pfj uon`rdcj mxlzr li M# zr pl dulklxrfduk# li pfj

efldej li udna du ocul o elnujqzjnej li Pfjlxjk 8.50.&8$ Pfjlxjk 8.50 uzmmjupu o `jndpdln li pfj uon`rdcj mxlzr ilx on oxhdpxoxtkopxld` &Q?4[$.

&5$ Ou nlpj` dn Q8[# di p}l zn`dxjepj` &elnnjepj`$ mxorfu oxj 8+dulklxrfde# pfjnpfjdx elxxjurln`dnm kopxldù oxj dulklxrfde. &Ujj Q80[ ilx pfj `jndpdln li 8+dulklxrfduk on` o rxlli li pfj ]fdpnjt—u 8+dulklxrfduk pfjlxjk.$ Dppfjn ilccl}u ixlk Pfjlxjk 8.50 pfop pfj uon`rdcj mxlzru ilx pfj p}l mxorfu&foydnm eflujn udnau$ oxj dulklxrfde.

5. Coppdej d`jocu

Lzx xjijxjnej ilx pfdu ujepdln du Q88[. Cjp O hj o ndpjct mjnjxopj` Ohjcdonmxlzr# on` cjp o?# . . . # on hj o elccjepdln li jcjkjnpu mjnjxopdnm O. Cjp _ hj pfjuzhujkdmxlzr li O mjnjxopj` ht o?# . . . # on. Dn pfj eouj }fjxj O du ndpj‐pfj eouj

li urjedoc dnpjxjup pl zu‐}j foyj pfop _ ; O. @jnj ω 7 Wn ↘ _ ht ω&jd$ ; od#on` `jnlpj dpu ajxnjc ht Α. Cjp qpo 7 o ∆ _{ hj dn`jpjxkdnopju# on` cjp

EQ_[ ; UronEqpo 7 o ∆ _{

hj pfj mxlzr ocmjhxo li _1 fjnej# poph ; po!h ilx jcjkjnpu o# h ∆ _. CjppdnmX 7; EQv?# . . . # vn[# `jnj o uzxgjepdln li xdnmu

φ 7 X ↘ EQ_[

vd ↘ pod .

Ilx e ∆ Nn# }j `jnj ve ;

d vedd . Pfjn φ&ve$ du pfj mxlzr ocmjhxo jcjkjnp ph#

}fjxj h ;n

d;? edod.Ilx z ∆ Wn# }j }xdpj z ; z! ∘ z∘ }dpf z!# z∘ ∆ Nn foydnm `dugldnp uzrrlxp.

Pfjlxjk 5.?.

&?$ Pfj ajxnjc li φ du pfj coppdej d`joc

D &Α$ 7; UronEqvz ∘ vy 7 z# y ∆ Nn# z ∘ y ∆ Α{.

&Pfj yjeplx uroej uron# ohlyj# ilxku on d`joc.$ Fjnej# φ dn`zeju on dul+klxrfduk li E+ocmjhxou# X,D &Α$ ≆ EQ_[.

&8$ Di ?# . . . # a oxj mjnjxoplxu ilx pfj W+kl`zcj# Α# pfjn D &Α$ du pfj uopzxopdln li

G ; v!d ∘ v∘

d 7 d ; ?# . . . # a

}dpf xjurjep pl pfj d`joc mjnjxopj ht pfj rxl`zep li pfj dn`jpjxkdnopju#nd;? vd. Pfzu#

D &Α$ ; qi ∆ X 7 &n

d;? vd$ki ∆ G ilx ulkj k ∆ N{.

&5$ Pfj Axzcc `dkjnudln li X,D &Α$ du n ∘ `dkW Α.Cjp Z ⊈ Nn uzef pfop V 7; qvz 7 z ∆ Z { du o E+yjeplx uroej houdu ilx X,D &Α$.

Cjppdnm m 7; &o?# . . . # on$ ∆ On#

φ&V $ ; qpz½m 7 z ∆ Z { ; qpo 7 o ∆ _{#

pfj coup jqzocdpt flc`dnm udnej X,D &Α$ on` EQ_[ oxj dulklxrfde ou yjeplx uroejuydo φ. Nl} ouuzkj pfop O du o ndpj mxlzr# ul pfop _ ; O. Pfjn# φ dn`zeju ohdgjepdln li V }dpf O# }fdef jn`l}u V }dpf pfj upxzepzxj li o mxlzr dulklxrfde



OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU ?5

pl O. Ilx z# y ∆ Z # }j `jnj vzvy ; v} }fjxj } du pfj zndqzj jcjkjnp li Z ilx}fdef } ½ m ; &z ! y$ ½ m.

O efldej li o klnlkdoc lx`jxdnm ln X mdyju o nopzxoc efldej ilx Z # nokjct# pflujz ∆ Nn uzef pfop vz du nlp `dydudhcj ht pfj dndpdoc pjxk li ont jcjkjnp li D &Α$# j.m.#nlp `dydudhcj ht pfj dndpdoc pjxk li ont jcjkjnp li o Mx¦lhnjx houdu ilx D &Α$. Pfdu}dcc hj `duezuuj` dn §:.

Jvokrcj 5.8. Cjp O ; W,8W Ý W,5W }dpf mjnjxoplxu o? ; &?# 2$# o8 ; &2# ?$#on` o5 ; &?# ?$. Pfj ajxnjc Α li ω 7 W5 ↘ O du uronnj` ht &8# 2# 2$# &2# 5# 2$# on`&?# ?# ∘?$. Fjnej# pfj uopzxopdln li pfj d`joc &v8

? ∘ ?# v58 ∘ ?# v?v8 ∘ v5$ mdyju pfj

coppdej d`joc D &Α$. Zudnm o elkrzpjx ocmjhxo utupjk# lnj elkrzpju

D &Α$ ; &v8? ∘ ?# v?v8 ∘ v5# v?v5 ∘ v8# v8

8 ∘ v85# v8v8

5 ∘ ?# v55 ∘ v?$.

Ht Pfjlxjk 5.? &5$# lnj jvrjepu o ndpj ujp li ulczpdlnu lyjx E pl pfj jqzopdlnuilxkj` ht ujppdnm pfj mjnjxoplxu li D &Α$ jqzoc pl wjxl‐pfjxj oxj udv. Lnj yjeplx+uroej houdu ilx X,D &Α$ du

?# v?# v8# v5# v8v5# v85.

0. Plrrcdnm d`jocu

Cjp M hj o uon`rdcj mxorf. D`jnpdit dpu yjxpdeju }dpf q?# . . . # n ! ?{# }fjxj n ! ?xjrxjujnpu pfj udna. Pl oyld` okhdmzdpt# }j }dcc ulkjpdkju `jnlpj yjxpjv d ht yd.Ht lx`jxdnm pfj yjxpdeju# }j pfzu foyj pfj jvoep ujqzjnej ilx pfj uon`rdcj mxlzrli M#

2 ↘ Wn∉

∘↘ Wn ↘ U &M$ ↘ 2.

Xjeocc lzx nlpopdln ilx pfj xj`zej` Corcoedon coppdej7C ; dk&∉$ ; ajx&Wn ↘ U &M$$.

@jndpdln 0.?. Pfj plrrcdnm d`joc ilx M du pfj coppdej d`joc ilx

C#

D &M$ 7; UronEqvz ∘ vy 7 z ; y kl` C{ ⊈ X ; EQv?# . . . # vn[.

Pfj ellx`dnopj xdnm ilx M du X,D &M$.

Pfzu# ht Pfjlxjk 5.? &?$# }j foyj pfj dulklxrfduk li E+ocmjhxou7

X,D &M$ ≆ EQU &M$[.

Ilx joef nlnudna yjxpjv d# `jnj pfj plrrcdnm rlctnlkdoc

pd ; vlzp`jm&d$∘}p&d#d$d ∘

g;d v

}p&d#g$g .

Rxlrludpdln 0.8. Pfj d`joc D &M$ du mjnjxopj` ht pfj plrrcdnm rlctnlkdocu# qpd{nd;?#on` pfj rlctnlkdoc vh ∘ ? }fjxj h du ont hzxndnm elnmzxopdln.

Rxlli. Cjp G ; &pd 7 d ; ?# . . . # n$ ! &vh ∘ ?$. Dp du ecjox pfop G ⊉ D &M$# on` ht

Pfjlxjk 5.? &8$# D &M$ du pfj uopzxopdln li G }dpf xjurjep pl pfj d`joc &v? ½ ½ ½ vn$. Uldp uzsteju pl ufl} pfop G du ocxjo`t uopzxopj` }dpf xjurjep pl pfop d`joc. Uzrrlujpfop &v? ½ ½ ½ vn$ai ∆ G ilx ulkj i ∆ X on` ilx ulkj a. Ilx joef rludpdyj dnpjmjx k#elnud`jx pfj klnlkdoc vkh. ]j pfdna li pfdu klnlkdoc ou o elnmzxopdln li uon`}dpf khd mxodnu li uon` ln yjxpjv d. Di yjxpjv d li pfdu elnmzxopdln du znupohcj#

}j pfdna li xdnm pfj yjxpjv ou xjrcoednm vkhdd ht vkhd∘`d

d

g;d v}p&d#g$

g . Rjxilxkdnm

pfdu xjrcoejkjnp dn vkh mdyju on jqzdyocjnp klnlkdoc kl`zcl G . Xjeocc pfop jyjxtyjxpjv li M du elnnjepj` ht o `dxjepj` ropf ixlk o yjxpjv dn pfj uzrrlxp li h. Pfzu#




ht poadnm k coxmj jnlzmf on` xdnm orrxlrxdopj yjxpdeju# }j oxxdyj op o klnlkdocvε # jqzdyocjnp pl vkh kl`zcl G on` elxxjurln`dnm pl o elnmzxopdln }dpf op cjoup amxodnu li uon` op joef yjxpjv. ]xdpj vε ; vΰ&v

?½ ½ ½ v

n$a ilx ulkj klnlkdoc vΰ.

Kl`zcl G # }j foyj

2 ; &v? ½ ½ ½ vn$ai

; vΰ&v? ½ ½ ½ vn$ai

; vε i

; vkhi

; i.

Pfzu# i ∆ G # ou xjqzdxj`.

Xjkoxa 0.5. Ou dn pfj rxlli li pfj ohlyj pfjlxjk# }j eon d`jnpdit o klnlkdoc vo

}dpf pfj elnmzxopdln o ln M. Di o ↘ h ou uon`rdcj elnmzxopdlnu# pfjn vo ; vh dnX,D &M$.

Xjkoxa 0.0. Pfj plrrcdnm d`joc }ou dnpxl`zej` ht Elxd# Xluudn# on` Uocyt Q4[.Pfjt elnud`jxj` lnct zn`dxjepj` mxorfu on` `jnj` pfj d`joc ydo mjnjxoplxu. Ilxon zn`dxjepj` mxorf# pfj occ+?u yjeplx du o hzxndnm uexdrp# ul Rxlrludpdln 0.8 ufl}upfop lzx `jndpdln eldned`ju }dpf pfjdxu dn pfj eouj li on zn`dxjepj` mxorf.

y? y8

y5 y0

8

Idmzxj 0. Uon`rdcj mxorf M }dpf udna y0.

Jvokrcj 0.:. Pfj uon`rdcj mxorf M dn Idmzxj 0 fou o hzxndnm uexdrp υ ; &?# 8# ?$on` elxxjurln`dnm hzxndnm elnmzxopdln h ; &2# ?# 8$. Pfzu#

D &M$ ; &v8? ∘ v8v5# v8

8 ∘ v?# v55 ∘ v8

8# v8v85 ∘ ?$.

@jndpdln 0.9. Cjp i ∆ X ; EQv?# . . . # n[# on` cjp vn!? hj onlpfjx dn`jpjxkdnopj.Pfj flklmjndwopdln li i }dpf xjurjep pl vn!? du pfj flklmjnjlzu rlctnlkdoc

i f 7; v`jm i n!? i

v?

vn!?# . . . #

vn

vn!?

.

Di D ⊉ X du on d`joc# pfj flklmjndwopdln li D }dpf xjurjep pl vn!? du pfj d`joc

D f 7; &i f 7 i ∆ D $.

Nl} elnud`jx pfj jvoep ujqzjnej elxxjurln`dnm pl pfj izcc Corcoedon#

Wn!? ∉∘↘ Wn!? ↘ Wn!?,C ↘ 2

xjeoccdnm pfj nlpopdln ilx pfj Corcoedon coppdej# C 7; dk&∉$. Cjp U ; EQv?# . . . # vn!?[on` elnud`jx pfj coppdej d`joc ilx C. ]j fjxj dnpxl`zej pfj flklmjnjlzu yjxudln li pfj plrrcdnm d`joc.



OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU ?:

@jndpdln 0.=. Pfj flklmjnjlzu plrrcdnm d`joc ilx M du

D f&M$ 7; UronEqvz ∘ vy 7 z ; y kl` C{ ⊈ U ; EQv?# . . . # vn!?[.

Pfj flklmjnjlzu ellx`dnopj xdnm ilx M du U,D f&M$.

Pfj ilccl}dnm rxlrludpdln du upxodmfpilx}ox`. Dpu ftrlpfjudu du uopduj` ilx ontJzcjxdon mxorf on`# dn roxpdezcox# ilx ont zn`dxjepj` mxorf. Klxjlyjx# mdyjn ontuon`rdcj mxorf }dpf udna u# xjklydnm occ lzp+j`mju ixlk u exjopju o nj} uon`rdcjmxorf }dpf pfj uokj uon`rdcj mxlzr on` ilx }fdef pfj ftrlpfjudu li pfj rxlrludpdlnflcù.

Rxlrludpdln 0.6. Di ∉&yn!?$ ∆ UronWq∉&y?$# . . . # ∉&yn${# pfjn D f&M$ ; D &M$f.

Jvokrcj 0.4. Pfj mxorf M dn Idmzxj : `lju nlp uopduit pfj ftrlpfjudu li Rxlrl+udpdln 0.6. Xjmox j` ou o uon`rdcj mxorf }dpf udna y?# pfj plrrcdnm d`joc ilx M du&v8

? ∘ ?$. Ou o uon`rdcj mxorf }dpf udna y8# dpu plrrcdnm d`joc du &v58 ∘ ?$. Dpu flkl+

mjnjlzu plrrcdnm d`joc du D f&M$ ; &v? ∘ v8$# jqzdyocjnp pl pfop li pfj zn`dxjepj`

mxorf }dpf o udnmcj j`mj elnnjepdnm y? on` y8 &lx jqzdyocjnp pl pfop li pfj `dxjepj`mxorf elnudupdnm li o udnmcj `dxjepj` j`mj elnnjepdnm y? pl y8$.

y? y85

8

Idmzxj :. Mxorf M.

Xjkoxa 0.?2. Dn mjnjxoc# flklmjndwdnm pfj mjnjxoplxu li on d`joc `lju nlp rxl+`zej o elkrcjpj ujp li mjnjxoplxu ilx pfj flklmjndwj` d`joc. Ilx dnuponej# pfjmxorf dn Jvokrcj =.6 fou plrrcdnm d`joc mjnjxopj` ht 0 rlctnlkdocu# }fjxjou dpuflklmjnjlzu plrrcdnm d`joc du kdndkocct mjnjxopj` ht 9 rlctnlkdocu.

Pfjlxjk 0.??. Cjp C hj ont uzhkl`zcj li Wn foydnm xona n. Pfjn pfjxj jvdupu o

uon`rdcj mxorf }fluj xj`zej` Corcoedon coppdej du C. Jyjxt coppdej d`joc `jndnm o ndpj ujp li rldnpu du pfj coppdej d`joc ouuledopj` }dpf pfj xj zej Corcoedon li ulkj uon`rdcj mxorf.

Rxlli. Dn cdmfp li Pfjlxjk 5.? &5$# dp uzsteju pl rxlyj pfop mdyjn on n Ýn kopxdv K li xona n# pfjxj jvdupu o kopxdv K }dpf pfj uokj dnpjmjx elczkn uron ou K on` }fdef du pfj xj`zej` Corcoedon kopxdv li ulkj uon`rdcj mxorf. Xjeocc pfopo kopxdv K du pfj xj`zej` Corcoedon li o `dxjepj` kzcpdmxorf di on` lnct di &d$`jm&e$ ≪ 2 ilx joef elczkn e li K # &dd$ K dd > 2# &ddd$ K dg ≠ 2 ilx d ; g. &Di e du oelczkn yjeplx li o kopxdv# pfjn `jm&e$ du pfj uzk li pfj jnpxdju li e.$ Di dn o``dpdln

K fou izcc xona# pfjn dpu elxxjurln`dnm mxorf fou o mclhocct oeejuudhcj yjxpjv htpfj Kopxdv+Pxjj Pfjlxjk. Pfj `judxj` kopxdv K du rxl`zej` ht Ocmlxdpfk 0.?8#upopj hjcl}. Dp rxlejjù dn pfxjj upjru# kl`ditdnm pfj elczknu li K zudnm lnctdnyjxpdhcj dnpjmxoc elczkn lrjxopdlnu.

Idxup# udnej K fou xona n# nlp occ elczknu foyj `jm&e$ ; 2. Zudnm pfj Jzecd`jonocmlxdpfk# ht o``dnm kzcpdrcju li lnj elczkn pl onlpfjx# }j ujp `jm&e$ pl 2 ilx occhzp lnj elczkn e li K &cdnj ?$. Ht rluudhct klydnm on` njmopdnm pfop elczkn# }jfoyj pfop `jm&ed$ ; 2 ilx occ hzp pfj xup elczkn e?# ilx }fdef `jm&e?$ > 2.




Njvp# }j xjrjop pfj Jzecd`jon ocmlxdpfk onlpfjx &n∘8$ pdkju# nl} ln pfj uzrjx+`domlnoc jnpxdju li joef li pfj xup &n∘8$ xl}u dn pzxn &cdnju 8―4$. Omodn ht o``dnmkzcpdrcju li lnj elczkn pl onlpfjx# }j foyj jyjxt jnpxt klxj pfon lnj xl} ohlyjpfj `domlnoc ujp pl 2. Nlpj pfop udnej pfdu upjr lnct dnylcyju o``dpdln li elczknu}fluj `jmxjj du ocxjo t wjxl# pfj elczkn `jmxjju oxj nlp ofljepj . O``dpdlnocct#udnej K fo` xona n on` pfj coup &n ∘ ?$ elczknu foyj `jmxjj wjxl# }j foyj pfopjoef li pfjuj elczknu fou o nlnwjxl uzrjx`domlnoc jnpxt. Nl} ht njmopdnm elczknu}fjxj njejuuoxt# }j kot ouuzkj pfop pfj nlnwjxl uzrjx`domlnoc jnpxt li joefelczkn du njmopdyj.

Op pfdu rldnp# pfj coup elczkn uopduju &d$―&ddd$. Ouuzkdnm pfj coup x elczknuen∘x!?# . . . # en uopduit &d$―&ddd$ ilx x ≠ n ∘8# }j ecodk pfop ilx ont ? ≠ u ≠ x pfjxj duo yjeplx yu ∆ UronWqen∘x!?# . . . # en{ }dpf yun 3 2 on` yun∘u > 2 on` }dpf occ lpfjxjnpxdju wjxl. Ilx x ; ?# pfj yjeplx y? du lhpodnj` ht njmopdnm en# ul }j rxlejj`ht dn`zepdln ln x. ]dpf pfj ftrlpfjuju uopduj` ilx ulkj x# }j ocxjo`t foyjorrxlrxdopj yjeplxu y?# . . . # yx∘?. Pl lhpodn yx# nlpj pfop ∘en∘x!? fou o rludpdyj

jnpxt dn xl} &n ∘ x$# ul ht o``dnm orrxlrxdopj kzcpdrcju li pfj yu

ilx u 3 x# }jrxl`zej pfj `judxj` elczkn yjeplx.Mdyjn pfop uzef yjeplxu yu jvdup# dp du ecjox pfop }j kot dpjxopdyjct elxxjep pfj

elczknu ixlk xdmfp pl cjip ht o``dnm kzcpdrcju li pfj fdmfjx dn`jvj` elczknu. ]jnl} mdyj pfdu ocmlxdpfk jvrcdedpct. Dn }fop ilccl}u# yQ g[ `jnlpju pfj g+pf jnpxt li pfj elczkn yjeplx y# on` pfj Jzecd`jon ocmlxdpfk pjxkdnopju }fjn xzn dn+rcoej lnulkj ujp li dnpjmjxu# U # lnej o udnmcj jcjkjnp li U jqzocu pfj rludpdyj ME@ li pfjjcjkjnpu li U on` jyjxt lpfjx jcjkjnp li U du wjxl.

Ocmlxdpfk 0.?8.

Dnrzp7 On n Ý n kopxdv K li xona n }dpf elczknu e?# . . . # en.Lzprzp7 Pfj xj`zej` Corcoedon kopxdv

∉&M$ li o `dxjepj` kzcpdmxorf M uzef

pfop ∉&M$ ; KZ ilx ulkj dnyjxpdhcj dnpjmxoc kopxdv Z .? Xzn pfj Jzecd`jon ocmlxdpfk ln pfj ujp U ; q`jm&ea${ ht uzhpxoepdnm lnj

elczkn ixlk onlpfjx op joef upjr. U}or elczknu ul pfop `jm&e?$ ; me`&U $ on``jm&ed$ ; 2 ilx d > ?.

8 ilx a → 8 zr pl n ∘ ? `l

5 Xzn pfj Jzecd`jon ocmlxdpfk ln pfj ujp U ; qedQa ∘?[ 7 d ≪ a{ ht uzhpxoepdnmlnj elczkn ixlk onlpfjx op joef upjr.

0 U}or elczknu ul pfop eaQa ∘ ?[ ; me`&U $ on` edQa ∘ ?[ ; 2 ilx d > a: ea → ∘ea9 jn` ilx

= di enQn ∘ ?[ > 2 pfjn

6 en → ∘en4 jn` di

?2 ilx a → n ∘ ? `l}n pl ? `l?? ilx d → a ! 8 zr pl n `l ,, pfdu cllr du nlp jnpjxj` znpdc a ≠ n ∘ 8?8 }fdcj eaQd ∘ ?[ > 2 `l

?5 ea → ea ! ed?0 jn` }fdcj

?: jn` ilx

?9 y → ∘ea!?

?= ilx d → a ! 8 zr pl n `l ,, pfdu cllr du nlp jnpjxj` znpdc a ≠ n ∘ 8



OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU ?=

?6 y → sedQd ∘ ?[s ½ y ! yQd ∘ ?[ ½ ed?4 jn` ilx

82 }fdcj ea

Qa[ ≠ 2 lx ea

Qn[ > 2 `l

8? ea → ea ! y88 jn` }fdcj

85 jn` ilx

80 xjpzxn Qe? ½ ½ ½ en[

Ilx pfj uoaj li pfj ilccl}dnm elxlccoxt# o }jdmfpj` ropf mxorf R ; z? . . . za du omxorf }dpf yjxpjv ujp qz?# . . . # za{ on` }jdmfpj` j`mju q&zd# zd!?$ 7 ? ≠ d 3 a{. Di I on` I oxj }jdmfpj` `dmxorfu# pfjdx mxorf uzk du pfj mxorf I ! I }fluj }jdmfpjò`goejnet kopxdv du pfj uzk li pfluj ilx I on` I .

Elxlccoxt 0.?5. Cjp M hj o uon`rdcj mxorf }dpf yjxpjv ujp Y ; qy?# . . . # yn!?{

on` udna yn!?. Pfjn pfjxj jvdupu o }jdmfpj` ropf mxorf R ; ynyn∘? ½ ½ ½ y?yn!? on` o `dxjepj` oetecde mxorf @ ln pfj nlnudna yjxpdeju Y lxdjnpj` ixlk cl}jx+dn`jvj` yjxpdeju pl fdmfjx uzef pfop pfj mxorf uzk M ; R ! @ fou pfj uokj Corcoedon coppdej ou M.

Pfj ohlyj udkrct upopju pfj ilxk li pfj mxorf mdyjn ht pfj lzprzp li Ocml+xdpfk 0.?8. Pfj mxorf M li Elxlccoxt 0.?5 du nlp zndqzjct `jpjxkdnj`. Ilx dn+uponej# ht dpjxopdnm cdnj 8? li Ocmlxdpfk 0.?8 klxj pdkju pfon njejuuoxt# lnj kotmjnjxopj dnndpjct kont mxorfu M li pfj ilxk `juexdhj` dn pfj elxlccoxt# joef }dpfCorcoedon coppdej C.

Jvokrcj 0.?0. Lnj uon`rdcj mxorf li pfj ilxk mdyjn ht Elxlccoxt 0.?5 }dpf pfjuokj Corcoedon coppdej ou pfj uon`rdcj mxorf M ixlk Jvokrcj 0.: du M orrjoxdnmdn Idmzxj 9.

y5 y8 y? y0

:

0

8

5

?

:

Idmzxj 9. Pfj uon`rdcj mxorf M ilx Jvokrcj 0.?0.

_zjupdln 0.?:. ]fjn du dp pfj eouj pfop o uzhkl`zcj li Wn }dpf xona n du pfjxj`zej` Corcoedon coppdej li on zn`dxjepj` mxorf< Dp du nlp oc}otu pfj eouj. Ilxdnuponej# Idmzxj 6 du o `dxjepj` uon`rdcj mxorf }fluj coppdej d`joc du Mlxjnupjdn&ei. §6$ on` }dpf uon`rdcj mxlzr li lx`jx :. Ht Pfjlxjk 6.86# ont zn`dxjepj`mxorf }dpf Mlxjnupjdn coppdej d`joc kzup hj o pxjj on` }lzc` pfzu foyj uon`rdcjmxlzr li lx`jx ?.

:. Mx¦lhnjx houju li plrrcdnm d`jocu

]j xjelkkjn` Q?2[ ou o mjnjxoc xjijxjnej ilx pfj pfjlxt li Mx¦lhnjx houju njj`j`dn pfdu ujepdln. Cjp X ; EQv?# . . . # vn[.




@jndpdln :.?. O klnlkdoc lx`jx # ># ln X du o plpoc lx`jxdnm ln pfj klnlkdoculi X uopduitdnm

&?$ Di vo

> vh

# pfjn ve!o

> ve!h

ilx occ e ≪ 21&8$ ? ; v2 du pfj ukoccjup klnlkdoc.

Jvokrcj :.8. Pfj ilccl}dnm oxj pfj klup elkkln jvokrcju li klnlkdoc lx`jxu7

&?$ Cjvdelmxorfde lx`jxdnm# cjv# du `jnj` ht vo > vh di pfj cjip+klup nlnwjxljnpxt li o ∘ h du rludpdyj &d.j.# klxj li pfj joxcdjx dn`jpjxkdnopju$.

&8$ @jmxjj cjvdelmxorfde lx`jxdnm# `jmcjv# du `jnj` ht vo > v > h di `jm&o$ >`jm&h$ lx di `jm&o$ ; `jm&h$ on` pfj cjip+klup nlnwjxl jnpxt li o ∘ h durludpdyj &d.j.# lx`jx ht `jmxjj on` hxjoa pdju }dpf cjv$.

&5$ @jmxjj xjyjxuj cjvdelmxorfde lx`jxdnm# mxjycjv# du `jnj` ht vo > vh di `jm&o$ > `jm&h$ lx di `jm&o$ ; `jm&h$ on` pfj xdmfp+klup nlnwjxl jnpxt li o ∘ h du njmopdyj &d.j.# lx`jx ht `jmxjj pfjn hxjoa pdju ht efjeadnm }fdefklnlkdoc fou ij}jx li pfj copjx dn`jpjxkdnopju$.

O klnlkdoc kzcpdrcdj` ht o elnuponp du eoccj` o pjxk . Lnej o klnlkdoc lx`jxdnmdu vj`# }xdpj ο vo > θ vh ilx p}l pjxku di ο on` θ oxj nlnwjxl on` vo > vh. Joefi ∆ X du o uzk li pjxku elxxjurln`dnm pl `dupdnep klnlkdocu. ]j `jnlpj pfj cjo`dnmpjxk‐pfj coxmjup pjxk }dpf xjurjep pl pfj eflujn klnlkdoc lx`jxdnm‐ht CP&i $.

@jndpdln :.5. Idv o klnlkdoc lx`jxdnm ln X on` cjp i# m ∆ X. Pfj U +rlctnlkdoc ilx pfj rodx &i# m$ du

U &i# m$ ;cek&CP&i $# CP&m$$

CP&i $i ∘

cek&CP&i $# CP&m$$

CP&m$m.

@jndpdln :.0. Idv o klnlkdoc lx`jxdnm ln X# on` cjp D hj on d`joc li X. O ndpjuzhujp Ε li D du o Mx¦ lhnjx houdu ilx D }dpf xjurjep pl pfj mdyjn klnlkdoc lx`jxdnmdi ilx occ i ∆ D pfjxj du o m ∆ Ε uzef pfop CP&m$ `dyd`ju CP&i $.

Cjp Ε ; qm?# . . . # mk{ hj pfj Mx¦lhnjx houdu ilx on d`joc D ⊉ X }dpf xjurjep plulkj klnlkdoc lx`jxdnm# on` cjp i ∆ X. Di i fou o pjxk k `dydudhcj ht CP&md$ ilxulkj d# pfjn xjrcoej i ht i ∘ k

CP&md$ md. O uponòx` xjuzcp dn pfj pfjlxt li Mx¦lhnjx

houju du pfop ht xjrjopdnm pfdu rxlejuu lnj oxxdyju op o xjkodn`jx x pfop du zndqzj}dpf xjurjep pl pfj rxlrjxpt pfop &d$ x ; i ! m ilx ulkj m ∆ D on` &dd$ x fou nlpjxku `dydudhcj ht ont cjo`dnm pjxk li on jcjkjnp li Ε. ]j eocc pfdu xjkodn`jx pfjxj`zepdln lx nlxkoc ilxk li i }dpf xjurjep pl pfj Mx¦lhnjx houdu Ε.

Nlpopdln :.:. Pfj xj`zepdln li i }dpf xjurjep pl Ε du `jnlpj` ht i *Ε. Di m ∆ X#}j }xdpj i * m ilx pfj urjedoc eouj dn }fdef D ; &m$ on` Ε ; qm{.

Rxlrludpdln :.9. Idv o klnlkdoc lx`jxdnm ln X# on` cjp D hj on d`joc li X. Pfj ilccl}dnm oxj jqzdyocjnp ilx o ndpj uzhujp Ε li D 7

&?$ Ε du o Mx¦ lhnjx houdu }dpf xjurjep pl pfj mdyjn lx`jxdnm1

&8$ pfjxj du on jqzocdpt li d`jocu7 &CP&m$ 7 m ∆ Ε$ ; &CP&i $ 7 i ∆ D $1&5$ joef i ∆ D kot hj xj`zej` pl 2 ht Ε# d.j.# i *Ε ; 21&0$ ilx occ m# m ∆ Ε# pfj U +rlctnlkdoc U &m# m$ xj zeju pl 2 ht Ε on` Ε du o

mjnjxopdnm ujp ilx D .

Pfj coup exdpjxdln du juujnpdocct Hzefhjxmjx—u ocmlxdpfk ilx eocezcopdnm o Mx¦lhnjxhoudu7 upoxp }dpf ont mjnjxopdnm ujp ilx D # on` di i 7; U &m# m$ * Ε ; 2 ilx ulkj rodxli mjnjxoplxu m on` m# o`` i pl pfj ujp li mjnjxoplxu on` efjea pfj U +rodxu omodn.Pfj rxlejuu jyjnpzocct uplru.



OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU ?4

@jndpdln :.=. Idv o klnlkdoc lx`jxdnm ln X on` cjp D hj on d`joc li X. Pfjujp li klnlkdocu li X pfop oxj nlp `dydudhcj ht pfj cjo`dnm pjxk li o Mx¦lhnjx houdujcjkjnp ilx D }dpf xjurjep pl pfj mdyjn lx`jxdnm du eoccj` pfj nlxkoc houdu ilx X,D .

Ht Koeozcot—u pfjlxjk &Pfjlxjk ?:.5# Q?5[$# o nlxkoc houdu du o yjeplx uroej houduilx X,D .

]j nl} dnpxl`zej on orrxlrxdopj klnlkdoc lx`jxdnm ilx uon`rdcju# `zj pl Elxd#Xluudn# on` Uocyt# Q4[.

@jndpdln :.6. Cjp M hj o uon`rdcj mxorf }dpf yjxpdeju qy?# . . . # yn!?{ on` }dpfudna yn!?. O uon`rdcj klnlkdoc lx`jxdnm ln X ; EQv?# . . . # vn[ du ont mxjycjv

lx`jxdnm ilx }fdef vd > vg di pfj cjnmpf li pfj uflxpjup ropf ixlk yjxpjv yg pl pfjudna du nl mxjopjx pfon pfop ilx yd. Mdyjn o uon`rdcj klnlkdoc lx`jxdnm > ln X#pfj uon`rdcj klnlkdoc lx`jxdnm ln U ; EQv?# . . . # vn!?[ elkropdhcj }dpf > du pfjmxjycjv lx`jx jvpjn`dnm > ilx }fdef vd > vn!? ilx d ; ?# . . . # n.

Rxlrludpdln :.4. ]dpf nlpopdln ou dn @jndpdln :.6 # cjp > hj o uon`rdcj klnlkdoc

lx`jxdnm ln X# jvpjn`j` pl o elkropdhcj uon`rdcj klnlkdoc lx`jxdnm ln U . Cjp D ⊈ X hj pfj plrrcdnm d`joc ilx M.

&?$ Cjp Ε o Mx¦ lhnjx houdu ilx D }dpf xjurjep pl ># on` cjp Εf hj pfj uzhujp li U ilxkj` ht flklmjndwdnm joef jcjkjnp li Ε. Pfjn Εf du o Mx¦ lhnjx houdu ilx pfj flklmjndwopdln D f ⊈ U .

&8$ Pfj nlxkoc houju ilx X,D on` ilx U,&D f ! &vn!?$$ elnudup li pfj uokj ujp li klnlkdocu. Fjnej# X,D on` U,&D f ! &vn!?$$ oxj dulklxrfde ou yjeplx uroeju.

Rxlli. Pfj xup roxp li pfj rxlrludpdln du o mjnjxoc xjuzcp ilx mxjycjv lx`jxdnmu&ei. Jvjxeduj :# §6.0# Q?2[$. Dp du upxodmfpilx}ox` pl efjea pfop di i ∆ X# pfjnCP&i $ ; CP&i f$# ixlk }fdef pfj ujeln` roxp ilccl}u.

ouuzkrpdln7 Ilx pfj xjup li §:# }j v o uon`rdcj mxorf M ou dn @jndpdln :.6# onò uon`rdcj klnlkdoc lx`jxdnm ln X. ]j ouuzkj pfj yjxpdeju oxj nzkhjxj` ul pfopvd > vg di d 3 g.

Pfj zpdcdpt li o uon`rdcj klnlkdoc lx`jxdnm hjelkju orroxjnp }fjn lnj elnud`+jxu plrrcdnmu li uon`rdcju.

Rxlrludpdln :.?2. Cjp o# h ∆ NY hj `dupdnep elnmzxopdlnu ln M uzef pfop o ↘ h#d.j.# h du lhpodnj` ixlk o ht o ujqzjnej li yjxpjv xdnmu. Pfjn# vo > vh }dpf xjurjep pl pfj uon`rdcj klnlkdoc lx`jxdnm }j foyj vj` ln X.

Rxlli. Joef yjxpjv xdnm `jejouju pfj udwj li pfj elxxjurln`dnm klnlkdoc. Pfjxjouln du pfop jdpfjx pfj yjxpjv xdnm ufllpu uon` dnpl pfj udna# `jexjoudnm pfj plpoc`jmxjj li pfj elxxjurln`dnm klnlkdoc# lx dp ufllpu uon` pl o yjxpjv eclujx pl pfjudna# dn }fdef eouj pfj elxxjurln`dnm klnlkdoc fou klxj li pfj copjx dn`jpjxkd+nopju.

]j nl} rxlejj` pl elkrzpj o Mx¦lhnjx houdu ilx pfj plrrcdnm d`joc. Cjp

J 7 WY ↘ X

↘ v! ∘ v∘.

Pfjn `jnj P ; J ◩ ∉ 7 WY ↘ X. Pfzu# P &yd$ du pfj d+pf plrrcdnm rlctnlkdoc#

`jnj` joxcdjx# on` ilx ont elnmzxopdln e# }j foyj ve * P &yd$ ; ve }fjxj e du



82 @OYD@ R JXADNULN# GOELH RJ XC KON# ON@ GLF N ]DCKJU

pfj elnmzxopdln lhpodnj` ixlk e ht xdnm yd znpdc yd du upohcj. Klxjyjx# di υ du oxdnm+uexdrp# pfjn ve * P &υ$ tdjcù pfj klnlkdoc elxxjurln`dnm pl pfj elnmzxopdlnilxkj` ht xdnm υ ou kont pdkju ou cjmoc ixlk e. Pfj ilccl}dnm pfjlxjk orrjoxudn pfj Hoefjclx—u pfjudu li pfj ujeln` ozpflx# Q8=[.

Pfjlxjk :.??. Cjp h hj o hzxndnm elnmzxopdln# on` cjp υh hj dpu uexdrp. Pfjn

Εh ; qP &υ$ 7 2 ≠ υ ≠ υh{

du o Mx¦ lhnjx houdu ilx D &M$.

Rxlli. ]j foyj dk&P $ ⊈ D &M$ ht `jndpdln li D &M$. Ln pfj lpfjx fon`# P &yd$ dupfj d+pf plrrcdnm rlctnlkdoc on` P &υh$ ; vh ∘ ?. Ul D &M$ ; UronEqdk&P ${ htRxlrludpdln 0.8.

]j njj` pl ufl} pfop occ U +rlctnlkdocu li Εh xj`zej pl 2 ht Εh. Cjp υ? on` υ8

hj uexdrpu }dpf υ?# υ8 ≠ υh. ]xdpj

P &υd$ ; ve!d ∘ ve∘d

ilx d ; ?# 8 }fjxj e∘d du pfj elnmzxopdln lhpodnj` ixlk e!d ht xdnm uexdrp υd.

Fjnej# ve!d du pfj cjo`dnm pjxk li P &υd$ ilx joef d. @jnj

vod ;cek&ve!

? # ve!8 $

ve!d

ilx d ; ?# 8 ul pfop o? ! e!? ; o8 ! e!

8 ; e ilx ulkj elnmzxopdln e. ]j kzup ufl}pfop pfj U +rlctnlkdoc#

U &P &υ?$# P &υ8$$ ; vo?P &υ?$ ∘ vo8P &υ8$

; vo8!e∘8 ∘ vo?!e∘

? #

xj`zeju pl 2. Udnej hlpf uexdrpu υ? on` υ8 oxj cjmoc ixlk e# ul du pfj uexdrp υ ;kov&υ?# υ8$ `jnj` ht υy ; kov&υ?#y# υ8#y$. Nlpj pfop υ ≠ υh. Cjppdnm e hj pfj

elnmzxopdln lhpodnj` ht xdnm υ# }j foyj pfj ujqzjnej li cjmoc uexdrp+xdnmuod ! e!

dυd∘↘ od ! e∘d

υ∘υd∘↘ e

ilx d ; ?# 8# }fdef ufl}u pfop pfj U +rlctnlkdoc xj`zeju pl 2 zudnm pfj jcjkjnpuP &υ ∘ υd$ ilx d ; ?# 8.

Xjkoxa :.?8. Dn pfj eouj li on zn`dxjepj` mxorf# lnj kot poaj pfj hzxndnm uexdrppl hj ?# pfj yjeplx }fluj elkrlnjnpu oxj occ lnju. Pfzu# pfj uexdrp+xdnmu pfopoxj xjcjyonp dn elnupxzepdnm pfj Mx¦lhnjx houdu# `juexdhj` dn pfj upopjkjnp li pfjrxjydlzu pfjlxjk# eon hj d`jnpdj` }dpf xdnm uzhujpu li yjxpdeju &nlnj klxj pfonlnej$. Pfj rorjx Q4[ mlju izxpfjx# dn pfdu eouj# pl `juexdhj o kdndkoc Mx¦lhnjx houdu#d.j.# lnj dn }fdef joef kjkhjx fou pfj rxlrjxpt pfop nlnj li dpu pjxku du `dydudhcjht pfj cjo`dnm pjxk li ont lpfjx kjkhjx. Dp elnudupu li pfj uzhujp li pfj Mx¦lhnjx

houdu jcjkjnpu `juexdhj` dn pfj rxjydlzu pfjlxjk elxxjurln`dnm pl V ⊉ Y uzef pfop

pfj uzhmxorfu li M dn`zej` ht V on` ht Y S V oxj joef elnnjepj`. Dp }lzc` hjdnpjxjupdnm pl ujj di pfdu xjuzcp elzc` hj mjnjxocdwj` pl pfj eouj li `dxjepj` mxorfu.

Pfjlxjk :.?5. Joef nlnnjmopdyj elnmzxopdln du jqzdyocjnp pl o zndqzj uzrjx+

upohcj uon`rdcj kl`zcl C# on`

qve 7 e du o uzrjxupohcj elnmzxopdln {

du pfj nlxkoc houdu ilx X,D &M$ }dpf xjurjep pl pfj uon`rdcj klnlkdoc lx`jxdnm.



OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU 8?

Rxlli. P}l nlnnjmopdyj elnmzxopdlnu oxj jqzdyocjnp kl`zcl C di on` lnct di pfjdxelxxjurln`dnm klnlkdocu oxj jqzdyocjnp kl`zcl pfj plrrcdnm d`joc# D &M$. Dn `jpodc#xup cjp e

?# e

8∆ Nn on` uzrrluj

e? ∘ e8 ; ; ! ∘ ∘ ∆ C.

Pfjn e? ≪ ! on` e8 ≪ ∘. @jnj j ; e? ∘ ! ; e8 ∘ ∘ ≪ 2. Pfjn

ve? ∘ ve8 ; vj&v! ∘ v∘$ ∆ D &M$.

Elnyjxujct# uzrrluj ve? ∘ve8 ∆ D &M$. D`jnpdit pfj uon`rdcj mxlzr U &M$ }dpf Wn, C.Cjp

φ 7 EQv?# . . . # vn[ ↘ EQWn, C[

vd ↘ pjd

hj pfj korrdnm dnpl pfj mxlzr ocmjhxo }fjxj jd du pfj dkomj li pfj d+pf uponòx`houdu yjeplx ilx Wn. Pfjn D &M$ ; ajx φ. Fjnej#

2 ; φ&ve? ∘ ve8$ ; pe? ∘ pe8 .

Dn lpfjx }lxù# e? ∘ e8 ∆ C.Nl} cjp e hj ont nlnnjmopdyj elnmzxopdln. Udnej ve * P &υ$ ; ve }fjxj e du

lhpodnj` ht xdnm pfj uexdrp υ ou kont pdkju ou du cjmoc# pfj nlxkoc ilxk ilx ve

}dpf xjurjep pl pfj uon`rdcj klnlkdoc lx`jxdnm du uzrjxupohcj. Udnej pfj nlxkocilxk du zndqzj# ul du pfdu uzrjxupohcj jcjkjnp.

Xjkoxa :.?0. Ou nlpj` dn §0# }j foyj X,D &M$ ≆ EQU &M$[. Fjnej# ht pfj rxjydlzupfjlxjk# }j ujj pfop pfj uon`rdcj mxlzr eon hj pflzmfp li ou pfj ujp li uzrjxupohcju}fjxj pfj uzk li uzrjxupohcju e? on` e8 du poajn pl hj clm&ve?ve8 * D &M$$.

Pfj ilccl}dnm eon hj ilzn` dn Q?=[ ilx pfj eouj li Jzcjxdon mxorfu. Fjxj }jjvpjn` pfj xjuzcp pl mjnjxoc uon`rdcj mxorfu &ilx }fdef pfj zn`jxctdnm mxorf du o`dxjepj` kzcpdmxorf$.

Elxlccoxt :.?:. O elnmzxopdln e du uzrjxupohcj di on` lnct di ekov ∘e du xjezxxjnp.

Rxlli. Ht Pfjlxjku :.?5 on` 8.?6# pfj nzkhjx li uzrjxupohcj elnmzxopdlnu dujqzoc pl pfj nzkhjx li xjezxxjnp elnmzxopdlnu. Pfzu# du uzsteju pl ufl} pfop di edu uzrjxupohcj# pfjn ekov ∘ e du xjezxxjnp.

Cjp h hj o hzxndnm elnmzxopdln ilx M }dpf hzxndnm uexdrp υh. Udnej e du uz+

rjxupohcj# pfjxj jvdupu z? ∆ uzrr&υh$ uzef pfop &e ∘ ∉ υh$z? 3 2. Udkdcoxct# pfjxj

jvdupu z8 ∆ uzrr&υh ∘ z?$ uzef pfop &e ∘

∉&υh ∘ z?$$z8 3 2. Elnpdnzdnm# }j n` o

ujqzjnej li nlnudna yjxpdeju z?# . . . # za uzef pfop ad;? zd ; υh on` ilx ? ≠ g ≠ a#

e ∘ ∉&υh ∘g∘?

d;? zd$zg

3 2.

Dp ilccl}u pfop z?# . . . # za du o cjmoc xdnm ujqzjnej ilx ekov∘e!h# xj`zednm ekov∘e!hpl ekov ∘ e. Fjnej# ekov ∘ e du xjezxxjnp ht Pfjlxjk 8.8=.

Dn cdmfp li Elxlccoxt :.?:# }j uot pfop pfj uzrjxupohcju oxj `zoc pl pfj xjezxxjnpu.




9. Wjxlu li pfj plrrcdnm d`joc

Mdyjn ont d`joc D ∆ X ; EQv?# . . . # vn[# pfj ujp li wjxlu li D du

W &D $ ; q r ∆ En 7 i & r$ ; 2 ilx occ i ∆ D {.

Dn pfdu ujepdln# lzx mloc du pl `juexdhj pfj ujp li wjxlu li pfj plrrcdnm d`joc.

Rxlrludpdln 9.?. Cjp M hj o uon`rdcj mxorf. Pfjn pfj ujp li wjxlu li dpu plrrcdnm d`joc# D &M$# du ndpj.

Rxlli. Udnej D &M$ du pfj coppdej d`joc ilx o uqzoxj kopxdv li izcc xona# Pfjlxjk 5.? &5$mzoxonpjju pfop pfj ujp li wjxlu du ndpj. Fl}jyjx# }j }dcc mdyj o `dxjep rxlli. ]jfoyj ujjn pfop

X,D &M$ ≆ EQU &M$[#

on` pfzu# X,D &M$ du o ndpj+`dkjnudlnoc yjeplx uroej lyjx E. Ilx joef dn`jpjxkd+nopj vd ∆ X# elnud`jx pfj rl}jxu ?# vd# v8

d # . . . Ht ndpj+`dkjnudlnocdpt# pfj dkomj

li pfjuj rl}jxu dn pfj qzlpdjnp xdnm oxj cdnjoxct `jrjn`jnp. Pfdu kjonu pfjxj du orlctnlkdoc i d dn lnj yoxdohcj uzef pfop i d&vd$ ∆ D &M$. Joef i d }dcc foyj o ndpjnzkhjx li wjxlu# on` pfzu# ilx joef d# }j ujj pfop pfj pfjxj oxj o ndpj nzkhjx li rluudhcj d+pf ellx`dnopju ilx ont wjxl li pfj plrrcdnm d`joc.

Xjkoxa 9.8. Dn ioep# pfj d+pf ellx`dnopju li pfj wjxlu li pfj plrrcdnm d`joc oxj pfjjdmjnyoczju li pfj kzcpdrcdeopdln korrdnm

X,D &M$ ↘ X,D &M$

m ↘ vdm

Ujj Q??[# ilx dnuponej.

9.?. Lxhdpu li xjrxjujnpopdlnu li Ohjcdon mxlzru.

9.?.?. Ostnj eouj. Cjp qo?# . . . # on{ hj mjnjxoplxu &nlp njejuuoxdct `dupdnep$ ilx ondpj Ohjcdon mxlzr# O. Elnud`jx pfj jvoep ujqzjnej

2 ↘ Α ↘ Wn ↘ O ↘ 2&9.?$

jd ↘ od

}fjxj Α du `jnj` ou pfj ajxnjc li pfj mdyjn korrdnm Wn ↘ O. Poadnm `zocu htorrctdnm FlkW& ½ #EÝ$ mdyju pfj ujqzjnej

&9.8$ ? → Α∝ → &EÝ$n → O∝ → ?#

}fjxj O∝ du pfj efoxoepjx mxlzr li O.

Xjkoxa 9.5.

&?$ Jvoepnjuu li &9.8$ du nlp dkkj`dopj. Pfj jvoepnjuu op Α∝ → &EÝ$n ilccl}u

hjeozuj EÝ du o `dydudhcj Ohjcdon mxlzr. On Ohjcdon mxlzr H du `dydudhcjdi ilx occ o ∆ H on` rludpdyj dnpjmjxu n pfjxj jvdupu h ∆ H uzef pfop nh ; o.&Ilx pfj kzcpdrcdeopdyj mxlzr EÝ# joef jcjkjnp fou on n+pf xllp.$ OrrctdnmFlkW& ½ # H$ pl on jvoep ujqzjnej li Ohjcdon mxlzru &W+kl`zcju$ oc}otumdyju on jvoep ujqzjnej rxjedujct }fjn H du `dydudhcj. Pfj rxlli li pfdu#dn mjnjxoc# du nlp dkkj`dopj. Fl}jyjx# dn pfj eouj dn }fdef }j oxj klupelnejxnj`# pfj jvoepnjuu du jout pl jupohcduf. Uzrrluj O ; U &M$ du pfjuon`rdcj mxlzr li o uon`rdcj mxorf# on` uzrrluj Α du pfj xj`zej` Corcoedon




coppdej# C ; dk&∉$ ↘ Wn. ]j }lzc` cdaj pl ufl} pfop pfj nopzxoc kor#mdyjn ht elkrludpdln#

Flk&Wn#EÝ$ ↘ Flk& C#EÝ$

du uzxgjepdyj. Cjp ω 7 C ↘ EÝ hj mdyjn. Udnej pfj xj`zej` Corcoedon fouizcc xona# mdyjn y ∆ Wn# pfjxj jvdup zndqzj xopdlnoc nzkhjxu ο uzef pfop

y ;

ο# }dpf pfj uzk mldnm lyjx o houdu ilx C &uot# lyjx pfj elczknu

li pfj xj`zej` Corcoedon$. Pfjn `jnj ω˓ 7 Wn ↘ EÝ ht ω˓&y$ ;

ω&$ο .&8$ Pl hj jvrcdedp# `jnlpj pfj korrdnm Wn ↘ O ht ω. Pfjn roxp li ujqzjnej

&9.8$ du

O∝ ↘ Flk&Wn#EÝ$ ≆ &EÝ$n

ύ ↘ ύ ◩ ω ↘ &ύ&o?$# . . . # ύ&on$$.

]j mjp on n+`dkjnudlnoc xjrxjujnpopdln li O∝7

Ϗ 7 O∝ ↘ &EÝ$n ↘ MC&En$

mdyjn ht

Ϗ&ύ$ ; `dom&ύ&o?$# . . . # ύ&on$$.

Dn lpfjx }lx u# pfj efldej li mjnjxoplxu ilx O dn`zeju o flklklxrfduk li O∝ dnplpfj mxlzr li dnyjxpdhcj n Ý n kopxdeju lyjx E. &Jyjxt n+`dkjnudlnoc xjrxjujnpopdlnli O∝ lyjx E du o `dxjep uzk li efoxoepjxu li O∝# d.j.# li jcjkjnpu li O∝∝ ≆ O. Ulpfdu ujepdln eon hj xjmox`j` ou uotdnm ulkjpfdnm ohlzp xjrxjujnpopdlnu li O∝# dnmjnjxoc.$

Ilx joef w ∆ En# `jnj pfj lxhdp li w zn`jx Ϗ pl hj

LϏ&w$ ; qϏ&ύ$w 7 ύ ∆ O∝{ ; q&ύ&o?$w?# . . . # ύ&on$wn$ 7 ύ ∆ O∝{.

]j }dcc ouuzkj pfop nl ellx`dnopj li w du wjxl# dn }fdef eouj ht ueocdnm ellx+`dnopju li En# }j kot ouuzkj ilx lzx rzxrluju pfop w ; &?# . . . # ?$. Pfzu# }j oxjdnpjxjupj` dn pfj lxhdp li pfj occ+?u yjeplx7

L ; qϏ&ύ$ 7 ύ ∆ O∝{ ; q&ύ&o?$# . . . # ύ&on$$ 7 ύ ∆ O∝{.

@jndpdln 9.0. Cjp D ⊉ X hj on d`joc. Cj X≠` `jnlpj pfj yjeplx uroej li rlct+nlkdocu dn X li `jmxjj op klup `# on` cjp D ≠` hj pfj uzhuroej D ∤ X≠`. Pfj ostnj Fdchjxp iznepdln li X,D du F 7 N ↘ N# mdyjn ht

F &`$ 7; `dkE X≠`,D ≠` ; `dkE X≠` ∘ `dkE D ≠`.

Pfjlxjk 9.:. Cjp X ; EQv?# . . . # vn[ on` elnud`jx

D ; qi ∆ X 7 i &L$ ; 2{#

pfj d`joc li rlctnlkdocu yondufdnm ln pfj lxhdp. Pfjn

&?$ D ; D &Α$ ; UronEqvz ∘ vy 7 z ; y kl` Α{1&8$ Pfj ostnj Fdchjxp iznepdln li X,D du mdyjn ht

F &`$ ; % qn

d;? ndod 7 nd ≪ 2 ilx occ d on`

d nd ≠ `{ .

Rxlli. Pfdu rxlli du `zj pl pfj xup ozpflx on` @lnno Mcouuhxjnnjx. Dp orrjoxudn Q=[. Elnud`jx pfj kopxdv K &`$ }dpf xl}u dn`jvj` ht O∝ on` elczknu dn`jvj` ht




pfj klnlkdocu li X≠` &oxxonmj` dn cjvdelmxorfdeoc lx`jx ul pfop K &`$ du nopzxocct

njupj` dn K &`!?$$ mdyjn ht

K &`$ύ#vz ;

nd;?

ύzd&od$.

Zudnm pfj dulklxrfduk

O ↘ O∝∝

o ↘ ¬o

}fjxj ¬o&ύ$ 7; ύ&o$# }j eon }xdpj

K &`$ύ#vz ;

nd;?

¬ozdd &ύ$ ; ¬oz&ύ$

}fjxj ¬oz 7;

nd;? ¬ozdd ∆ O∝∝. Pfj vz+pf elczkn li K &`$ fou jnpxdju ¬oz&ύ$ ou ύ

yoxdju lyjx O∝

. Dn lpfjx }lxù# dp du pfj cdup li occ yoczju li pfj iznepdln ¬oz

. Pfzu#op cjoup ou iox ou cdnjox ocmjhxo du elnejxnj`# pfj vz+pf elczkn du ¬oz. Udnej `dupdnepefoxoepjxu oxj cdnjoxct dn`jrjn`jnp# dp ilccl}u pfop ont cdnjox `jrjn`jnej xjcopdlnuoxj pfj xjuzcp li elczknu pfop oxj jqzoc.

Nl}# pfj vz+pf on` vy+pf elczknu li K &`$ oxj jqzoc jvoepct }fjn ¬oz ; ¬oy oxjjqzoc. Pfdu leezxu jvoepct }fjn

d zdod ;

d ydod# }fdef }j }xdpj ou &z∘y$½o ; 2

}fjxj o 7; &o?# . . . # on$. Dn cdmfp li jvoep ujqzjnej &9.?$# pfdu eln`dpdln du jqzdyocjnppl z ∘ y ∆ Α.

O yjeplx &οz$ ∆ ajx K &`$ di on` lnct di

z

οz

nd;?

ύzd&od$ ; 2

ilx occ ύ ∆ O∝. Pfzu# &οz$ ∆ ajx K &`$ di on` lnct di pfj rlctnlkdoc r ; z οzvz

yondufju ln L# d.j.# r ∆ D . Pfzu# jcjkjnpu li D ≠` elxxjurln` jvoepct }dpf cdnjoxelkhdnopdlnu oklnm pfj elczknu li K &`$. Ou pfjuj xjcopdlnu oxj `zj pl jqzocdptoklnm elczknu# ou ocxjo`t nlpj`# roxp ? ilccl}u. Ilx roxp 8# nlpj pfop }j foyj

gzup ufl}n pfop

`dk D ≠` ; `dk X≠` ∘ xona K &`$.

Udnej `dupdnep efoxoepjxu oxj cdnjoxct dn`jrjn`jnp#

xona K &`$ ; % qn

d;? ndod 7 nd ≪ 2 ilx occ d on`

d nd ≠ `{ .

Xjpzxndnm pl pfj eouj li pfj plrrcdnm d`joc# pfj jvoep ujqzjnej

2 ↘ Wn∉

∘↘ Wn ↘ U &M$ ↘ 2

fou pfj ilxk li jvoep ujqzjnej &9.?$. Pfj mjnjxoplxu od oxj pfj elnmzxopdlnufoydnm jvoepct lnj mxodn li uon`.Elxlccoxt 9.9.

&?$ Pfj plrrcdnm d`joc du pfj ujp li rlctnlkdocu yondufdnm ln on lxhdp L li o iodpfizc xjrxjujnpopdln li U &M$∝.

&8$ Pfj ujp li wjxlu li pfj plrrcdnm d`joc du pfj ndpj ujp# L. Dp pfzu fou pfj utkkjpxt li U &M$∝# }fdef du dulklxrfde pl pfj uon`rdcj mxlzr.



OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU 8:

&5$ Di F M du pfj ostnj Fdchjxp iznepdln ilx pfj plrrcdnm d`joc# pfjn F M&`$ du

pfj nzkhjx li jcjkjnpu li Wn,

C xjrxjujnpj` ht elnmzxopdlnu elnpodndnm

op klup ` mxodnu li uon`. Dp du pfzu pfj nzkhjx li uzrjxupohcj elnmzxopdlnu li `jmxjj op klup ` lx# jqzdyocjnpct# pfj nzkhjx li xjezxxjnp elnmzxopdlnu euzef pfop

`jm&e$ ≪ `jm&ekov$ ∘ `.

Rxlli. Roxp &?$ ilccl}u `dxjepct ixlk pfj xup roxp li Pfjlxjk 9.:. Ilx roxp &8$#udnej L du o ndpj elccjepdln li rldnpu dn En# on` D &M$ ; D &L$# dp du o houde xjuzcpli ocmjhxode mjlkjpxt pfop pfj ujp li wjxlu li D &M$ du L. Roxp &5$ du dkkj`dopjixlk pfj ujeln` roxp li Pfjlxjk 9.: on` pfj ioep pfop x du xjezxxjnp di on` lnct di ekov ∘ x du uzrjxupohcj.

Xjkoxa 9.=. Nlpj pfop roxp &5$ ocul ilccl}u `dxjepct ixlk Pfjlxjk :.?5.

9.?.8. Rxlgjepdyj eouj. On d`joc G dn U ; EQv?# . . . # vn!?[ du flklmjnjlzu di dp fou oujp li flklmjnjlzu mjnjxoplxu. Pfj ujp li wjxlu li G du o uzhujp li rxlgjepdyj uroej7

W &G $ ; q r ∆ Rn 7 i & r$ ; 2 ilx occ flklmjnjlzu i ∆ G {.

Pfj xdnm U,G du mxo`j` ht pfj dnpjmjxu7 &U,G $` 7; U ,G .

@jndpdln 9.6. Pfj Fdchjxp iznepdln li U,G du F 7 N ↘ N# mdyjn ht

F &`$ 7; `dkE&U,G $`.

Elnpdnzdnm }dpf pfj nlpopdln ixlk 9.?.?# `jnj pfj flklmjndwopdln li Α ou

Αf 7;

∘ `jm&$

∆ Wn!? 7 ∆ Α

.

Elnud`jx pfj jvoep ujqzjnej

2 ↘ Αf ↘ Wn!? K ∘↘ O ⊚ W ↘ 2#

}fjxj

K ;

o? . . . on 2? . . . ? ?

.

Orrct Flk& ½ #EÝ$ pl mjp

? ↘ O∝ ÝEÝ ↘ &EÝ$n!? ↘ &Αf$∝ ↘ 2

&ύ# w$ ↘ &ύ&o?$w # . . . # ύ&on$w# w$

on` pfj elxxjurln`dnm xjrxjujnpopdln

O∝ ÝEÝ ↘ MC&En!?$

&ύ# w$ ↘ `dom&ύ&o?$w # . . . # ύ&on$w# w$.

Pfj lxhdp li &?# . . . # ?$ zn`jx pfdu xjrxjujnpopdln du

Lf ; q&ύ&o?$# . . . # ύ&on$# ?$ ∆ Rn 7 ύ ∆ O∝{ ⊈ Rn.

Pfzu# Lf du pfj rxlgjepdyj ecluzxj li pfj lxhdp L ixlk pfj rxjydlzu ujepdln.

Pfjlxjk 9.4. Cjp of ; &o?# . . . # on# 2$.

&?$ Pfj flklmjnjlzu d`joc `jndnm Lf du pfj coppdej d`joc ilx Αf# pfj flklmj+ndwopdln li pfj coppdej d`joc ilx Α7

D f ; qvz ∘ vy 7 z ; y kl` Αf{.




&8$ Pfj Fdchjxp iznepdln ilx Lf &d.j.# pfj Fdchjxp iznepdln li U,D f$ du

F &`$ ; %qh ½ of ∆ O 7 h ∆ Nn!? on` `jm&h$ ; `{#

}fdef du pfj uokj ou pfj ostnj Fdchjxp iznepdln ilx L.

Rxlli. Udnej Lf du pfj rxlgjepdyj ecluzxj li L# dpu d`joc du D f# pfj flklmjndwopdlnli pfj d`joc `jndnm L# }fdef du mdyjn ht qvz ∘ vy 7 z ; y kl` Αf{. Pfj ujeln`roxp li pfj pfjlxjk ilccl}u ixlk roxp 8 li Pfjlxjk 9.: on` pfj dulklxrfduk li yjeplx uroeju

U ↘ X≠`

i ↘ i svn!?;?#

}dpf dnyjxuj m&v?# . . . # vn$ ↘ v`n!? m&v?,vn!?# . . . # vn,vn!?$.

Elxlccoxt 9.?2. Uzrrluj Α ; C# pfj xj zej` Corcoedon coppdej li M# on` pfop ∉&yn!?$ ∆ UronWq∉&yd$ 7 ? ≠ d ≠ n{ ul pfop Αf ; C# pfj izcc Corcoedon coppdej &ujj

pfj elkkjnpu rxjej dnm Rxlrludpdln 0.6 $.&?$ Pfj flklmjndwopdln li pfj plrrcdnm d`joc du pfj d`joc mjnjxopj` ht occ flkl+

mjnjlzu rlctnlkdocu yondufdnm ln on lxhdp Lf li o iodpfizc xjrxjujnpopdln li &Wn!?,C$∝.

&8$ Pfj ujp li wjxlu li pfj flklmjndwopdln li pfj plrrcdnm d`joc du pfj ndpj ujp Lf foydnm pfj utkkjpxt li U &M$∝.

9.?.5. Pfj f+yjeplx. Cjp ∉F M `jnlpj pfj xup `dfljxjneju li pfj ostnj Fdchjxp izne+pdln li o uon`rdcj mxorf M. Ul ∉F M&`$ 7; F M&`$ ∘ F M&` ∘ ?$. Ht Pfjlxjk :.?5#pfj yoczj li ∉F M&`$ du pfj nzkhjx li uzrjxupohcj elnmzxopdlnu li `jmxjj `.

@jndpdln 9.??. Cjp f` 7; ∉F M&`$. Pfj rlupzcopdln nzkhjx ilx M du pfj coxmjupdnpjmjx uzef pfop f ; 2. Pfj f+yjeplx ilx M du f ; &f2# . . . # f$. Pfj Fdchjxp+

Rldneox°j ujxdju ilx M du R M&t$ ; d;2 fdtd.

Jvokrcj 9.?8. Elnpdnzdnm Jvokrcj 8.?:# pfj f+yjeplx ilx pfj uon`rdcj mxorf dnIdmzxj ? du &?# 5# 9# =# 0$.

Cjp pfj yjxpdeju li M hj qy?# . . . # yn!?{ }dpf yn!? ou pfj udna# ou zuzoc. CjpD f ⊉ D f ⊈ U ; EQv?# . . . # vn!?[ hj pfj flklmjndwopdln li pfj pfj plrrcdnm d`joc on`pfj flklmjnjlzu plrrcdnm d`joc ilx M# xjurjepdyjct. Pfjuj p}l d`jocu oxj d`jnpdeoc}fjn pfj ftrlpfjudu li Rxlrludpdln 0.6 du uopduj . Dn ont eouj# pfjdx wjxl+ujpuuopduit W &D f$ ⊍ W &D f$. Rdea o cdnjox rlctnlkdoc i ∆ U pfop `lju nlp yonduf op ontrldnp li W &D f$. Ilx dnuponej# }j elzc` poaj i ; vd ilx ont d. Kzcpdrcdeopdln ht i mdyju xduj pl pfj elkkzpopdyj `domxok }dpf jvoep xl}u

2 , , U,D f½i

, ,

U,D f , ,

U,&D f ! &i $$ , ,

2

2 , , U,D f½i

, , U,D f , , U,&D f ! &i $$ , , 2.

Ht pfdu `domxok on` Pfjlxjk 9.4# }j foyj pfj ilccl}dnm xjcopdlnu oklnm pfj xup`dfljxjneju li Fdchjxp iznepdlnu7

f` ; ∉F M&`$ ; ∉F U,D f&`$ ; F U,&D f!&i $$&`$&9.5$

≪ F U,&D f!&i $$&`$ ; ∉F U,D f&`$.



OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU 8=

9.?.0. Pfj Pzppj rlctnlkdoc. Nl} cjp M ; &Y# J $ hj ont &}jdmfpj`# `dxjepj`$ mxorf#on` j ∆ J . Cjp M ∘ j `jnlpj pfj mxorf lhpodnj` ixlk M ht xjrcoednm }p&j$ ht}p&j$ ∘ ?. Dn lpfjx }lx u# dkomdnj pfj jn`rldnpu j∘ on` j! oppoefj` ht }p&j$j`mju# on` xjklyj lnj li pfjuj j`mju pl lhpodn M ∘ j. Dn roxpdezcox# di }p&j$ ; ?#pfdu oklznpu pl xjklydnm pfj j`mj j. Cjp M,j `jnlpj pfj mxorf lhpodnj` ixlk Mht d`jnpditdnm pfj jn`rldnpu li j on` cl}jxdnm pfj }jdmfp li j ht lnj. ]j xjijx plpfjuj p}l lrjxopdlnu ln M ou `jcjpdln on` elnpxoepdln . Pfj j`mj j du eoccj` o hxd`mj di M ∘ j fou klxj elkrlnjnpu pfon M.

@jndpdln 9.?5. Cjp M hj on zn`dxjepj`# }jdmfpj` mxorf. @jnj pfj Pzppj rlct+nlkdoc # P M&v# t$ ilx M xjezxudyjct# ou ilccl}u. Di J elnudupu li d hxd`mju# g cllru#on` nl lpfjx j`mju# pfjn

P M&v# t$ 7; vdtg .

Dn roxpdezcox# P M ; ? di M fou nl j`mju. Lpfjx}duj# di j ∆ J du njdpfjx o hxd`mj nlxo cllr# pfjn

P M 7; P M∘j ! P M,j.Dp pzxnu lzp pfj pfj Pzppj rlctnlkdoc du }jcc+`jnj`# dn`jrjn`jnp li efldeju ilx

`jcjpdlnu on` elnpxoepdlnu. Dp du }jcc+anl}n pfop

E M&v$ ; &∘?$%Y ∘η&M$vη&M$P M&? ∘ v# 2$#

}fjxj E M du pfj efxlkopde rlctnlkdoc li M on` η&M$ du pfj nzkhjx li elkrlnjnpuli M. Pfj ilccl}dnm xjuzcp xjcopju lpfjx urjedocdwopdlnu li pfj Pzppj rlctnlkdoc plpfj ocmjhxode mjlkjpxt li uon`rdcju.

Pfjlxjk 9.?0 &Kjxdnl Q8?[$. Cjp M hj on zn`dxjepj` uon`rdcj mxorf }dpf rlupz+copdln nzkhjx . Pfjn

P M&?# t$ ;

d;2

f∘dtd.

Elxlccoxt 9.?:. Cjp M hj ou dn Pfjlxjk 9.?0. Pfjn

&?$ pfj Fdchjxp+Rldneox°j ujxdju ilx M du t P &?# ?,t$1&8$ di ` du pfj `jmxjj li pfj kovdkoc upohcj elnmzxopdln ln M# pfjn t`∘ P &?# t$

du pfj mjnjxopdnm iznepdln ilx pfj xjezxxjnp elnmzxopdlnu li M &ht `jmxjj$1&5$ P M&?# ?$ du pfj lx`jx li pfj uon`rdcj mxlzr li M1&0$ P M&?# 2$ du pfj nzkhjx li kovdkoc uzrjxupohcj &lx pfj nzkhjx li kdndkoc

xjezxxjnp$ elnmzxopdlnu li M.

Rxlli. Pfjuj xjuzcpu ilccl} dkkj`dopjct ixlk Pfjlxjk 9.?0. Roxp &8$ zuju pfj ioeppfop e du uzrjxupohcj di on` lnct di ekov ∘ e du xjezxxjnp.

Jvokrcj 9.?9. Idmzxj = ufl}u pfj elnupxzepdln li pfj Pzppj rlctnlkdoc li omxorf M. ]j foyj P &?# t$ ; 0! 5t ! t8 on` P &?# ?$ ; 6. Idvdnm pfj ulzpfjxn+klupyjxpjv li M ou pfj udna mdyju o uon`rdcj mxorf }dpf f+yjeplx &?# 5# 0$ on` uon`rdcjmxlzr li lx`jx 6.

9.?.:. Eotcjt+Hoefoxoef rxlrjxpt. Cjp V ⊈ Rn hj o ndpj ujp li rldnpu dn rxlgjepdyjuroej# on` cjp D &V $ ⊈ U 7; EQv?# . . . # vn!?[ hj pfj d`joc mjnjxopj` ht pfj flklmj+njlzu rlctnlkdocu yondufdnm ln V . Di F V du pfj Fdchjxp iznepdln li U,D &V $# pfjnF V&`$ du pfj nzkhjx li cdnjox eln`dpdlnu rcoej` ln pfj eljstedjnpu li o mjnjxocflklmjnjlzu rlctnlkdoc li `jmxjj ` dn U ht xjqzdxdnm pfj rlctnlkdoc pl yonduf ln




M

v5

v8

v t

v8 vt vt t8

P M&v# t$ ; v ! 8v8 ! v5 ! &? ! 8v$t ! t8

Idmzxj =. Pfj Pzppj rlctnlkdoc li M.

pfj rldnpu li V . Pfzu# F V du o klnlplndeocct dnexjoudnm iznepdln }fdef du jyjnpz+occt elnuponp op sV s. Pfj xup yoczj op }fdef F V poaju pfj yoczj sV s du eoccj` pfjrlupzcopdln nzkhjx ilx V .

@jndpdln 9.?=. O ndpj ujp li rldnpu V ⊈ Rn du Eotcjt+Hoefoxoef di dp uopdujulnj li pfj ilccl}dnm jqzdyocjnp eln`dpdlnu.

&?$ Ilx joef r ∆ V # on` ilx joef ` ∆ N#

F VSq r{&`$ ; kdnqF V&`$# sV s ∘ ?{.&8$ Jyjxt flklmjnjlzu rlctnlkdoc }dpf `jmxjj cjuu pfon pfj rlupzcopdln nzk+

hjx ilx V on` yondufdnm ln occ hzp lnj rldnp li V kzup yonduf ln occ li V .

Rxlrludpdln 9.?6. Pfj ujp li wjxlu li pfj flklmjnjlzu plrrcdnm d`joc du Eotcjt+Hoefoxoef.

Rxlli. Ht Rxlrludpdln ?.?0 li Q?9[# ilx ont ndpj ujp li rldnpu# V # pfjxj du oc}otu opcjoup lnj rldnp r ilx }fdef eln`dpdln &?$ li @jndpdln 9.?= flcù. Fl}jyjx# dn lzx




eouj# V du pfj lxhdp li o cdnjox xjrxjujnpopdln li pfj uon`rdcj mxlzr. Pfzu# mdyjnont p}l rldnpu r# q ∆ V # pfjxj du o cdnjox efonmj li ellx`dnopju li Rn ujn`dnm rpl q . O cdnjox efonmj li ellx`dnopju `lju nlp efonmj pfj Fdchjxp iznepdln. Fjnej#eln`dpdln &?$ flcù ilx occ rldnpu li V .

Xjkoxa 9.?4. Cjp V hj pfj ujp li wjxlu li o flklmjnjlzu plrrcdnm d`joc on` `jnjpfj xup `dfljxjneju li dpu Fdchjxp iznepdln ht ∉F V&`$ ; F V&`$ ∘ F V&` ∘ ?$ ilx occ` ∆ W. Dp ilccl}u ixlk xjuzcpu dn Q?9[ on` pfj ioep pfop V du Eotcjt+Hoefoxoef# pfopdi pfj coup nlnwjxl yoczj li ∉V du k# pfjn pfjxj du o elccjepdln li k rldnpu T ⊈ V uzef pfop V S T du Eotcjt+Hoefoxoef. Klxjlyjx# di k ; ?# pfjn jyjxt uzhujp li V li udwj sV s ∘ ? du Eotcjt+Hoefoxoef.

=. Xjulczpdlnu

Dn pfdu ujepdln# }j elnud`jx pfj kdndkoc ixjj xjulczpdln li pfj flklmjnjlzu plr+rcdnm d`joc# uzkkoxdwdnm ulkj li pfj xjuzcpu dn Q58[. Ilx izxpfjx }lxa ln xjulczpdlnu

li plrrcdnm d`jocu# ujj Q82[. Idxup# }j xjeocc pfj conmzomj li `dydulxu ln mxorfu ixlkQ5[ &jvpjn`j` pl `dxjepj` kzcpdmxorfu$. Cjp M hj o `dxjepj` kzcpdmxorf ou dn §8.Pfj ixjj Ohjcdon mxlzr WY ln pfj yjxpdeju li M du `jnlpj` `dy&M$# on` dpu jc+jkjnpu oxj eoccj` `dydulxu . Pfj `jmxjj li o `dydulx @ ;

y∆Y @y y ∆ `dy&M$# du

`jm&@$ 7;

y∆Y @y. O `dydulx du rxdnedroc di dp du dn pfj Corcoedon coppdej C# `jnj`dn §8. @dydulxu @ on` @ oxj cdnjoxct jqzdyocjnp # }xdppjn @ ∳ @# di @ ∘ @ du rxdn+edroc. Nlpj pfop cdnjoxct jqzdyocjnp `dydulxu kzup foyj pfj uokj `jmxjj. Pfj mxlzrli `dydulxu kl`zcl cdnjox jqzdyocjnej du pfj ecouu mxlzr li M# `jnlpj` Ec&M$. Dn pfjeouj }fjxj M du on Jzcjxdon uon`rdcj mxorf# zudnm pfj nlpopdln li Rxlrludpdln 8.5?#pfjxj du on dulklxrfduk

Ec&M$ ↘ W ⊚ WY 2,C

@ ↘ &`jm @# @ ∘ &`jm @$u$#

}fjxj WY 2,C du dulklxrfde pl pfj uon`rdcj mxlzr U &M$.]j }dcc zuzocct `jnlpj o `dydulx ecouu Q@[ ∆ Ec&M$ ht gzup @# eflludnm o xjrxj+

ujnpopdyj `dydulx# }fjn pfj elnpjvp du ecjox. O `dydulx @ ;

y∆Y @y y du jfljepdyj di @ ≪ 2. Pfj elccjepdln li occ jfljepdyj `dydulxu cdnjoxct jqzdyocjnp pl @ du eoccj`pfj &elkrcjpj$ cdnjox utupjk ilx @ on` `jnlpj` s@s1 dp lnct `jrjnù ln pfj `dydulxecouu li @. Pfj uzrrlxp li o `dydulx @ du uzrr&@$ 7; qy ∆ Y 7 @y ; 2{.

Lnj kdmfp pfdna li o `dydulx ou on ouudmnkjnp li klnjt pl joef yjxpjv# }dpfnjmopdyj nzkhjxu `jnlpdnm `jhp. Gzup ou }dpf elnmzxopdlnu dn pfj uon`rdcj kl`jc#pfj Corcoedon `jpjxkdnju xdnm xzcju ht }fdef yjxpdeju eon cjn` pl lx hlxxl} ixlknjdmfhlxu. P}l `dydulxu oxj cdnjoxct jqzdyocjnp di lnj eon hj lhpodnj` ixlk pfjlpfjx ht o ujqzjnej li yjxpjv cjn`dnmu on` hlxxl}dnmu. Pfj elkrcjpj cdnjox utupjkelxxjurln`dnm pl o `dydulx du nlnjkrpt di pfjxj du o }ot ilx yjxpdeju pl cjn` on`

hlxxl}# xjuzcpdnm dn nl yjxpjv hjdnm dn `jhp.

=.?. Xdjkonn+Xlef. Pl xjeocc pfj mxorf+pfjlxjpde Xdjkonn+Xlef pfjlxjk li Q5[#cjp M ; &Y# J $ hj on zn`dxjepj` mxorf. @jnj pfj mjnzu li M pl hj

m 7; %J ∘ %Y ! ?.

@jnj pfj `dkjnudln li pfj cdnjox utupjk s@s ilx o `dydulx @ ln M pl hj

x&@$ 7; kovqa ∆ W 7 s@ ∘ J s ; ∊ ilx occ J ≪ 2 }dpf `jm&J $ ; a{#




}dpf x&@$ 7; ∘? di s@s ; ∊. Nlpj pfop x&@$ `jrjnù lnct ln pfj `dydulx ecouu li @.@jnj pfj kovdkoc upohcj `dydulx #

@kov 7; y∆Y

&`jm&y$ ∘ ?$y#

on` pfj eonlndeoc `dydulx #

A 7; @kov ∘ ? ;y∆Y

&`jm&y$ ∘ 8$y.

Pfjlxjk =.? &Xdjkonn+Xlef Pfjlxjk Q5[$. Cjp M hj on zn`dxjepj` mxorf. Ilx occ @ ∆ `dy&M$#

x&@$ ∘ x&A ∘ @$ ; `jm&@$ ! ? ∘ m.

Xjkoxa =.8. Pfdu Xdjkonn+Xlef pfjlxjk du mjnjxocdwj` dn Q82[ pl pfj elnpjvp li ejxpodn klnlkdoc d`jocu# xjcopdnm dp pl Ocjvon`jx `zocdpt dn elkhdnoplxdoc elkkz+popdyj ocmjhxo. Ixlk pfop rldnp li ydj}# pfj xjcjyonp klnlkdoc d`joc ilx zu du pfjd`joc mjnjxopj` ht pfj cjo`dnm pjxku li o flklmjnjlzu plrrcdnm d`joc }dpf xjurjeppl o uon`rdcj klnlkdoc lx`jxdnm. Dp du nlpj` pfop pfjuj klnlkdoc d`jocu oxj upz`dj`ht Rlupndaly on` Ufordxl dn Q86[.

=.8. Xjulczpdlnu on` Hjppd nzkhjxu. Cjp M hj on oxhdpxoxt `dxjepj` kzcpd+mxorf. D`jnpdit pfj yjxpdeju li M }dpf pfj ujp q?# . . . # n ! ?{# }dpf n ! ? hjdnmpfj udna. Pfj rlctnlkdoc xdnm U ; EQv?# . . . # vn!?[ du mxo`j` ht pfj ecouu mxlzrht cjppdnm pfj `jmxjj li o klnlkdoc v@ hj @ ∆ Ec&M$. Ilx joef @ ∆ Ec&M$# cjpU @ hj pfj E+yjeplx uroej mjnjxopj` ht pfj klnlkdocu li `jmxjj @# on` `jnj pfjp}dup # U &@$# ht cjppdnm U &@$I 7; U &@!I $ ilx joef I ∆ Ec&M$.

Cjp D 7; D f

&M$ hj pfj flklmjnjlzu plrrcdnm d`joc. O ixjj xjulczpdln li D du onjvoep ujqzjnej

2 → D ω2→∘ I ?

ω?→∘ I 8 → ½ ½ ½ωx→∘ I x → 2#

}fjxj joef I d du o ixjj Ec&M$+mxo`j` U +kl`zcj# d.j.#

I d ;

@∆Ec&M$

U &∘@$θd#@

ilx ulkj nlnnjmopdyj dnpjmjxu θ d#@# on` }fjxj joef ω rxjujxyju `jmxjju. Pfj cjnmpf li pfj xjulczpdln du x. O ixjj xjulczpdln du kdndkoc di joef li pfj θ d#@ du pfj kdndkzkrluudhcj ixlk oklnm occ ixjj xjulczpdlnu li D . Dn pfdu eouj# pfj θ d#@ oxj eoccj` pfjHjppd nzkhjxu li D . Ilx dnuponej# θ ?#@ du pfj nzkhjx li rlctnlkdocu li `jmxjj @ dn

o kdndkoc mjnjxopdnm ujp ilx D . ]j ocul `jnj pfj d+pf eloxujct mxo`j` Hjppd nzkhjx li D ht θ d ;

@∆Ec&@$ θ d#@.

Pfj ilccl}dnm pfjlxjk upopju o }jcc+anl}n ioep ohlzp xjulczpdlnu li ujpu li rldnpudn rxlgjepdyj uroej &pfj Elfjn+Koeozcot rxlrjxpt$.

Rxlrludpdln =.5. Pfj cjnmpf li pfj kdndkoc ixjj xjulczpdln li pfj flklmjnjlzu plrrcdnm d`joc du n# pfj nzkhjx li nlnudna yjxpdeju.




y? y8 y5 y0

:

?

?

0?

?

Idmzxj 6. O Mlxjnupjdn uon`rdcj mxorf M }dpf udna y0.

Jvokrcj =.0. Cjp M hj ou dn Idmzxj 6 on` cjp D ; D &M$f. Pfjn

2 D l l U :ω2

l l

2?2?

2??2

?2?2

??22

22??

U :ω?

l l

?2??

??2?

???2

82?2

2???

U ω8

l l

?288

2 l l

du o kdndkoc ixjj xjulczpdln ilx D # }fjxj pfj ωd oxj mdyjn ht

ω2 ;

v85 ∘ v8v0 v8v5 ∘ v?v0 v8

8 ∘ v?v5 v?v8 ∘ v80 v8

? ∘ v5v0

ω? ;

v8 v? 2 v0 2∘v5 ∘v8 v? 2 ∘v0

v0 v5 2 v? 22 2 ∘v5 ∘v8 v?

2 2 v0 v5 ∘v8

ω8 ;

v8? ∘ v5v0

∘v?v8 ! v80

∘v88 ! v?v5

v8v5 ∘ v?v0

v85 ∘ v8v0

.

Pfj mxo`dnm li pfj U +kl`zcju du dn`deopj` hjcl} joef li pfjk. Ilx jvokrcj# pfjcoup U +kl`zcj du U &∘&?# 2# 8# 8$$.

Pfj Hjppd nzkhjxu li D kot hj zn`jxupll` plrlclmdeocct. Ilx @ ∆ Ec&M$#`jnj pfj udkrcdedoc elkrcjv ∉@ ln pfj yjxpdeju li M ht ] ∆ ∉@ di on` lnctdi ] ⊉ uzrr&J $ ilx ulkj J ∆ s@s. Pfj ilccl}dnm yjxudln li Flefupjx—u ilxkzcoorrjoxj` ou Cjkko 8.? li Q8:[.

Pfjlxjk =.:. Pfj Hjppd nzkhjx θ d#@ du pfj `dkjnudln li pfj &d ∘ ?$+pf xj`zej`

flklclmt mxlzr F d∘?&∉@1E$ ou o E+yjeplx uroej.Jvokrcj =.9. Cjp M omodn hj ou dn Idmzxj 6. Ilx @ ; y? ! y5 ! y0# }j uo} dnJvokrcj =.0 pfop θ 8#@ ; ?. ]j foyj

s@s ; q@# y8 ! 8y5# 5y?# 8y8 ! y0{#

ul pfj udkrcdedoc elkrcjv ∉@ du ou rdepzxj` dn Idmzxj 4. Nlpj `dkEF ?&∉@1E$ ; ? #

ou ouujxpj` ht Flefupjx—u ilxkzco.




y?

y5

y0

y8

Idmzxj 4. Pfj udkrcdedoc elkrcjv ∉@ ilx Jvokrcj =.9.

=.5. Kdndkoc xjezxxjnpu. Omodn urjedocdwj pl pfj eouj li on zn`dxjepj` mxorf M.Ou roxp li pfj Xdjkonn+Xlef pfjlxt# lnj `jnju pfj nln+urjedoc `dydulxu ln M plhj

N 7; q@ ∆ `dy&M$ 7 `jm&@$ ; m ∘ ? on` s@s ; ∊{.

Ht pfj Xdjkonn+Xlef pfjlxjk# di `jm&@$ > m ∘ ?# pfjn s@s ; ∊. Ul pfj nlnurjedoc

`dydulxu oxj pfj `dydulxu li kovdkoc `jmxjj foydnm jkrpt cdnjox utupjk.Idv u ∆ Y on` elnud`jx pfj uon`rdcj mxorf M ; &Y # J # u$. O xjezxxjnp elnmz+

xopdln e ln M du kdndkoc di e ∘ y du nlp xjezxxjnp ilx ont nlnudna yjxpjv y. Dp du}jcc+anl}n pfop &udnej M du zn`dxjepj`$ pfj kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdlnu oxj jv+oepct pfj xjezxxjnp elnmzxopdlnu li kdndkoc `jmxjj# nokjct li `jmxjj %J ∘`jm&u$.&Pfdu xjuzcp ilccl}u ixlk @fox—u ocmlxdpfk &ei. §8.0 on` pfj rxlli li Pfjlxjk 6.86$.$Udkdcoxct# lnj uotu pfop o uzrjxupohcj elnmzxopdln e du o kovdkoc di e ! y du nlpuzrjxupohcj ilx ont nlnudna yjxpjv y. Ht Elxlccoxt :.?:# dp ilccl}u pfop pfj kovdkocuzrjxupohcj elnmzxopdlnu oxj jvoepct pfluj li `jmxjj m.

]j uot pfop o `dydulx @ ln M du znupohcj di @y ≪ `jm&y$ ilx ulkj y ∆ Y on`pfop @ du ocdyj di pfjxj du nl upohcj `dydulx dn s@s. Izxpfjx# @ du kdndkocct ocdyj di ilxocc y ∆ Y # }j foyj pfop @ ∘y du nlp ocdyj. Dp du ufl}n dn Q58[ pfop o `dydulx @ du ocdyjdi on` lnct di @ ∳ e ! a u ilx ulkj xjezxxjnp elnmzxopdln e on` ulkj a ≪ `jm&u$#

on` @ du kdndkocct ocdyj di on` lnct di @ ∳ e !`jm&u$ u ilx ulkj kdndkoc xjezxxjnpelnmzxopdln e.

Dp du ufl}n dn Q5[ pfop o ujp li xjrxjujnpopdyju ilx pfj `dupdnep `dydulx ecouuju li pfj nln+urjedoc `dydulxu du

qe ∘ u 7 e o kovdkoc uzrjxupohcj elnmzxopdln{.

Pfzu# pfj nln+urjedoc `dydulx ecouuju oxj mdyjn# juujnpdocct# ht pfj kovdkoc M+roxadnm iznepdlnu.

Uzrrluj pfop λ du o nlnurjedoc `dydulx. ]j kot ouuzkj λ ; e ∘ u ilx ulkjkovdkoc uzrjxupohcj elnmzxopdln e. Pfjn

@kov ∘ λ ; &ekov ∘ e$ ! `jm&u$ u.

Udnej ekov ∘ e du o kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdln# @kov ∘ λ du kdndkocct ocdyj.

Udkdcoxct# lnj kot ufl} pfop di @ du o kdndkocct ocdyj `dydulx# pfjn @kov ∘ @ dunlnurjedoc. Pfzu# ln on zn`dxjepj` mxorf pfjxj du o hdgjepdyj elxxjurln jnej hj+p}jjn7 kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdlnu# kovdkoc uzrjxupohcj elnmzxopdlnu# kov+dkoc M+roxadnm iznepdlnu# oetecde lxdjnpopdlnu }dpf u ou pfj zndqzj ulzxej yjxpjv&ei. Pfjlxjk 8.8:$# kdndkocct ocdyj `dydulxu# on` nln+urjedoc `dydulxu. Dn roxpdezcox#pfj eox`dnocdpt li pfjuj ujpu `lju nlp `jrjn` ln pfj efldej li udna.

Pfj ilccl}dnm du Pfjlxjk 5.?2 li Q58[. Pfj rxlli du dnecz`j` fjxj ilx pfj uoaj li elkrcjpjnjuu.




Pfjlxjk =.=. Cjp M hj on zn`dxjepj` mxorf on` @ ∆ `dy&M$. Cjp x ; %Y ∘ ?#pfj cjnmpf li o kdndkoc ixjj xjulczpdln ilx M. Pfjn pfj fdmfjup nlnwjxl Hjppd nzkhjx# θ

x# du pfj nzkhjx li kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdlnu ln M. ]j foyj

θ x#@ ; 2

di on` lnct di @ du kdndkocct ocdyj &dn }fdef eouj `jm&@$ ; %J $.

Rxlli. Idxup nlpj pfop ht Pfjlxjk =.?# o `dydulx λ du nlnurjedoc di on` lnct di A ∘ λ du nlnurjedoc. Dn`jj`# di `jm&λ $ ; m ∘ ?# pfjn

`jm&A ∘ λ $ ; &8m ∘ 8$ ∘ m ∘ ? ; m ∘ ?

ul pfop Pfjlxjk =.? mdyju x&A ∘ λ $ ; x&λ $.

Ht Pfjlxjk =.:# }j foyj θ x#@ ; `dkEF x∘?&∉@1E$. Udnej ilx ont @ ∆ `dy&M$

pfj udkrcdedoc elkrcjv ∉@ fou %Y yjxpdeju# θ x#@ ; 2 di on` lnct di ∉@ du pfjhlznòxt li on x+udkrcjv. Pfzu# θ x#@ ; 2 di on` lnct di θ x#@ ; ?# lx jqzdyocjnpct7&d$ nl J ∆ s@s fou izcc uzrrlxp# on` &dd$ ilx jyjxt y ∆ Y pfjxj du ulkj J ∆ s@s }dpfY S qy{ ⊉ uzrr&J $.

Uzrrluj @ du kdndkocct ocdyj. Pfjn @kov ∘ @ du nlnurjedoc ht pfj `duezuudlnrxjej dnm pfj upopjkjnp li pfj pfjlxjk. Cjp λ ; A ∘ &@kov ∘ @$# ul pfop λ du

ocul nlnurjedoc. Dn roxpdezcox# s@ ∘ ?s ; sλ s ; ∊# ul nl `dydulx J ∆ s@s fou izcc

uzrrlxp. Nl} v y ∆ Y on` cjp I ; @ ∘ ? ! y. Nlpj pfop o `dydulx J ∆ s@suopduju Y S qy{ ⊉ uzrr&J $ di on` lnct di J ∘ ? ! y ∆ sI s. Ul pl elkrcjpj pfjrxlli pfop θ x#@ ; 2 dp uzsteju pl ufl} pfop sI s ; ∊. Nlpj pfop `jm&I $ ; m.Udnej A ∘ I ! y ; @kov ∘ @# }j foyj A ∘ I ! y nlnurjedoc# on` dp ilccl}u pfopx&A ∘ I $ ; ∘?. Pfzu# ht Pfjlxjk =.?# }j foyj x&I $ ; 2 ou `judxj . Fjnej# @uopduju &d$ on` &dd$.

Ln pfj lpfjx fon`# uzrrluj @ uopduju &d$ on` &dd$ ohlyj# on` cjp λ ; @ ∘ ?.Pfjn sλ s ; ∊ ilccl}u ixlk &d$# on` pfjxjilxj @kov ∘ λ du ocdyj. Ln pfj lpfjx fon`#

ilx jyjxt y ∆ Y }j foyj ixlk &dd$ pfop sλ ! ys ; ∊# }fjnej &@kov ∘ λ $ ∘ y dunlp ocdyj. Pfzu# @kov ∘ λ du kdndkocct ocdyj# ul pfop λ du nlnurjedoc. Hzp pfjnA ∘ λ ; @kov ∘ @ du ocul nlnurjedoc# dkrctdnm @ du kdndkocct ocdyj.

Jvokrcj =.6. ]j uzkkoxdwj kont li pfj xjuzcpu li pfdu rorjx zudnm pfj mxorf Mli mjnzu m ; 8 dn Idmzxj ?2. Pfj kopfjkopdeoc ulip}oxj Uomj Q52[ }ou zuj` ilxulkj li pfj eocezcopdlnu. Pfj uon`rdcj mxlzr ilx M du etecde li lx`jx 6. Dpu plrrcdnm

v

t w

u

Idmzxj ?2. Mjnzu p}l mxorf M.

d`joc du D ; &v8 ∘ tw#t5 ∘ vw#w5 ∘ vt#tw ∘ ?$# on` dpu flklmjnjlzu plrrcdnm d`jocdu

D f ; D f ; &v8 ∘ tw#t5 ∘ vwu#w5 ∘ vtu#tw ∘ u8# vw8 ∘ t8u#vt8 ∘ w8u$.




Cjppdnm τ ; jvr&8ςd,6$# pfj wjxlu ujp li D du

W &D $ ; q&&∘?$g # τ∘g # τg$ 7 2 ≠ g ≠ ={ ⊈ E5#

}fdef ilxku o etecde mxlzr li lx`jx 6 zn`jx elkrlnjnp+}duj kzcpdrcdeopdln. ]dpfxjurjep pl pfj uon`rdcj klnlkdoc lx`jxdnm &mxjycjv$ ilx }fdef v > t > w > u# pfjnlxkoc houdu ilx pfj ellx`dnopj xdnm li M du pfj uronnj` ht 6 klnlkdocu7

X,D ; EQv#t#w[,D ; Uronq?#v#t#w#vt#vw#t8# w8{.

Pfj jvrlnjnp yjeplxu li pfj nlxkoc houdu mdyj pfj uzrjxupohcj elnmzxopdlnu7

&2# 2# 2$# &?# 2# 2$# &2# ?# 2$# &2# 2# ?$# &?# ?# 2$# &?# 2# ?$# &2# 8# 2$# &2# 2# 8$#

on` `zocdwdnm# e ↘ ekov ∘ e# mdyju pfj xjezxxjnp elnmzxopdlnu7

&?# 8# 8$# &2# 8# 8$# &?# ?# 8$# &?# 8# ?$# &2# ?# 8$# &2# 8# ?$# &?# 2# 8$# &?# 8# 2$.

&]j zuj pfj nlpopdln &e?# e8# e5$ 7; e? v ! e8 t ! e5 w.$Ixlk pfj `jmxjju li pfj klnlkdocu dn pfj nlxkoc houdu# lnj ujju pfop pfj ostnj

Fdchjxp iznepdln ilx M du

F M&2$ ; ?# F M&?$ ; 5# F M&8$ ; 0

}dpf rlupzcopdln nzkhjx 8 &jqzoc pl m# pfj `jmxjj li pfj kovdkoc uzrjxupohcju$.Pfj Pzppj rlctnlkdoc ilx M }ou eocezcopj` dn Idmzxj =# on` dn oeelxònej }dpfElxlccoxt 9.?:# pfj Fdchjxp ujxdju ilx M du

t8 P M&?# ?,t$ ; ? ! 5t ! 0t8.

Pfj kdndkoc ixjj xjulczpdln ilx M du

2 D l l U 9ω2

l l

2??28222

2252

?282

2522

?822

U 4ω?

l l

2?8?28??

?82?Ý8

??82

?28?Ý8

?8?2

2882

U 0ω8

l l

2?8828?8

?288

?828

2 l l

Pfj Ec&M$+`jmxjju oxj cdupj` dn v#t#w#u lx`jx. Pfj `jmxjju li pfj fdmfjup nlnwjxlHjppd nzkhjxu elxxjurln` pl pfj kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdlnu ou rxjuexdhj` htPfjlxjk =.=. Ilx dnuponej# pfj `jmxjj 2?88 elxxjurlnù pl pfj kdndkoc ocdyj `dydulxt ! 8w ! 8u on` pl pfj kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdln &2# ?# 8$. Pfzu# θ 5 ; F M&8$#on` pfj `jmxjju li joef li pfjuj `dydulxu du : ; %J .

Ou on jvokrcj li Flefupjx—u ilxkzco &Pfjlxjk =.:$# cjp @ ; ?28? ; v ! 8w ! u.Pfj elkrcjpj cdnjox utupjk ilx @ du

s@s ; q?28?# 8822# 2828# 25?2{#

on` ∉@ du pfj udkrcdeoc elkrcjv rdepzxj` dn Idmzxj ??. ]j foyj

θ 8#?28? ; `dkEF ?&?28?1E$ ; 8.




v

u

t

w

Idmzxj ??. Pfj udkrcdedoc elkrcjv ∉@ ilx Jvokrcj =.6.

=.0. Elngjepzxj. Cjp M ; &Y # J # u$ hj on zn`dxjepj` uon`rdcj mxorf. Ilx Z ⊉ Y #cjp MsZ `jnlpj pfj uzhmxorf li M dn`zej` ht Z # d.j.# pfj mxorf }dpf yjxpdeju Z on` j`mju j ∆ J uzef pfop hlpf jn`rldnpu li j oxj dn Z . O elnnjepj` a+roxpdpdln lx a+hln` li M du o roxpdpdln ; a

d;?Y d li Y uzef pfop MsY d du elnnjepj` ilx occ d.Pfj elxxjurln`dnm a+roxpdpdln mxorf # M# du pfj mxorf }dpf yjxpdeju qY ?# . . . # Y a{on` }dpf j`mj }jdmfpu

}p&Y d# Y g$ ; %qj ∆ J 7 lnj jn`rldnp li j du dn Y d on` pfj lpfjx du dn Y g{.

]j elnud`jx M pl hj o uon`rdcj mxorf }dpf udna yjxpjv Y d# }fjxj d du eflujn ulpfop u ∆ Y d.

Pfj ilccl}dnm elngjepzxj orrjoxu ou Elxlccoxt 5.84 dn Q58[. Zudnm pfj kopfjkop+deoc ulip}oxj Uomj# dp fou hjjn yjxdj` ilx occ zn`dxjepj`# zn}jdmfpj` mxorfu }dpfij}jx pfon = yjxpdeju.

Elngjepzxj =.4. Cjp R a `jnlpj pfj ujp li elnnjepj` a+roxpdpdlnu li M. Pfjn

θ a ;

∆R a!?

%qe 7 e o kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdln ln M{.

Jvokrcj =.?2. Idmzxj ?8 `durcotu pfj : elnnjepj` 5+roxpdpdlnu li M oclnm }dpfpfjdx elxxjurln`dnm 5+roxpdpdln mxorfu on` f+yjeplxu. Pfj plr yoczj li joef f+yjeplx du pfj nzkhjx li kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdlnu &lx kovdkoc uzrjxupohcjelnmzxopdlnu$ ln pfj roxpdpdln mxorf. Uzkkdnm pfjuj plr yoczju mdyju θ 8 ilx M.

Ou o elxlccoxt pl Elngjepzxj =.4# dp du ufl}n dn Q58[ pfop

Elxlccoxt =.??. Di Elngjepzxj =.4 du pxzj# pfjn pfj ilccl}dnm yj upopjkjnpu oxj ocul pxzj.

&?$ Pfj nzkhjx li rlctnlkdocu# θ ?# dn o kdndkoc mjnjxopdnm ujp ilx pfj flkl+mjnjlzu plrrcdnm d`joc li M du jqzoc pl pfj nzkhjx li ezpu &d.j.# pfj nzkhjx li elnnjepj` 8+roxpdpdlnu$ li M.

&8$ Ilx o pxjj ln n yjxpdeju# θ a ;n∘?a

.

&5$ Di pfj }jdmfp li on j`mj li M du efonmj` ixlk lnj nlnwjxl yoczj pl onlpfjx#

pfj θ a `l nlp efonmj.&0$ Di M du lhpodnj` ixlk M ht o``dnm on j`mj pl M &hjp}jjn p}l yjxpdeju li

M$# pfjn θ a&M$ ≠ θ a&M$ ilx occ a.&:$ Ilx pfj elkrcjpj mxorf ln n yjxpdeju# A n# }j foyj pfop θ a du pfj nzkhjx

li upxdepct ouejn`dnm efodnu li cjnmpf a li nlnjkrpt uzhujpu li Qn ∘ ?[ 7;q?# . . . # n ∘ ?{.

Xjkoxa =.?8. Elxlccoxt =.?? &:$ du rxlyj`# dn`jrjn`jnpct# dn Q82[.




8

? 8 8

8

? 8 8

8

8

? 8 ?

8

? 8 8

8

? 8 8

elnnjepj`

5+roxpdpdlnu

5+roxpdpdlnmxorfu

f+yjeplx

Idmzxj ?8. Ujeln` Hjppd nzkhjx7 θ 8 ; 8 ! 8 ! ? ! 8 ! 8 ; 4.

6. Mlxjnupjdn plrrcdnm d`jocu

Pfdu ujepdln efoxoepjxdwju plrrcdnm d`jocu pfop oxj elkrcjpj dnpjxujepdln d`jocuon` mdyju o kjpfl` ilx elnupxzepdnm Mlxjnupjdn plrrcdnm d`jocu.

6.?. Elkrcjpj dnpjxujepdlnu. Di Y ⊈ Rn du pfj ulczpdln ujp pl o utupjk li flkl+mjnjlzu rlctnlkdocu# pfjn Y du o elkrcjpj dnpjxujepdln di pfj d`joc mjnjxopj` ht occflklmjnjlzu rlctnlkdocu yondufdnm ln Y eon hj mjnjxopj` ht o ujp li rlctnlkdocu}dpf eox`dnocdpt jqzoc pl pfj el`dkjnudln li Y dn Rn. Urjedocdwdnm pl pfj eouj li uon`rdcju# }j mjp pfj ilccl}dnm `jndpdln.

@jndpdln 6.?. Cjp M ; &Y # J # u$ hj o uon`rdcj mxorf }dpf flklmjnjlzu plrrcdnmd`joc D . Pfjn M du o elkrcjpj dnpjxujepdln uon`rdcj mxorf di D du mjnjxopj` ht sY s∘?flklmjnjlzu rlctnlkdocu. &]j ocul uot pfop D lx pfj ujp li wjxlu li D du o elkrcjpjdnpjxujepdln.$

Cjp C hj o uzhkl`zcj li Wn!? li xona n }fluj coppdej d`joc D &C$ du flklmj+njlzu. Pfjn D &C$ du o elkrcjpj dnpjxujepdln di dp du mjnjxopj` ht n flklmjnjlzurlctnlkdocu.

Xjkoxa 6.8. Pfj coppdej d`joc D &C$ du mjnjxopj` ht flklmjnjlzu rlctnlkdocu di on` lnct di `jm&}$ 7;

d }d ; 2 ilx occ } ∆ C.

Ilx pfj ilccl}dnm# xjeocc ixlk §8 pfop uon`rdcj fou on ohulczpj udna di dpu udna foulzp`jmxjj 2.

@jndpdln 6.5. Ilx d ; ?# 8# cjp Md ; &Y d# J d# ud$ hj o uon`rdcj mxorf }dpf j`mj+}jdmfp iznepdln }pd on` ohulczpj udna ud. Uzrrluj pfop pfj p}l mxorfu oxj yjxpjv+`dugldnp. Cjp M hj ont mxorf }dpf yjxpjv ujp Y ; Y ? Y 8# on` j`mj+}jdmfp izne+pdln# }p# uopduitdnm pfj ilccl}dnm

&?$ }p&j$ ; }p?&j$ di j ∆ J ?#&8$ }p&j$ ; }p8&j$ di j ∆ J 8#

&5$ }p&z# y$ ; 2 di &z# y$ ∆ &Y ? Ý Y 8$ ∧ &Y 8 Ý Y ?$#&0$ }p&u?# y$ > 2 ilx ulkj y ∆ Y 8.



OCMJHXODE MJLKJPXT LI UON@RDCJU 5=

]j elnud`jx M pl hj o uon`rdcj mxorf }dpf u8 ou dpu ohulczpj udna. Cjp ∉ 7; ∉M

hj pfj Corcoedon li M# on` `jnj

@ 7; ∉&u?$sY ? ; y∆Y ?

∉&u?$y y#

o `dydulx ln M?. Pfjn M du o }dxdnm li M? dnpl M8 }dpf }dxdnm `dydulx @ di s@s ; ∊#d.j.# di pfj elkrcjpj cdnjox utupjk ilx @ ou o `dydulx ln M? du nlnjkrpt &ei. §=$.

Pfzu# pl ilxk o }dxdnm li M? dnpl M8# lnj elnnjepu u? dnpl M8 }dpf op cjouplnj j`mj on` pfjn o`ù j`mju ixlk u? hoea dnpl M? ou `jpjxkdnj` ht o `dydulx# @#ln M? foydnm o nlnjkrpt elkrcjpj cdnjox utupjk. Pfjxj oc}otu jvdupu ulkj }dxdnmli M? dnpl M8. Ilx dnuponej# }j elzc` poaj @ ; a u? ilx ont a > 2 ht elnnjepdnm M?

pl M8 }dpf a j`mju ixlk u? dnpl M8 &on` nl j`mju ixlk u? hoea dnpl M?$.

Idmzxj ?5. O }dxdnm li M? dnpl M8.

Nlpopdln 6.0. Ilx ont uon`rdcj mxorf M ; &Y # J # u$# }dpf Corcoedon ∉M# }j cjp

∉◩M ; ∉MsY . Pfzu# ∉◩

M 7 WY ↘ WY # on` dn pjxku li kopxdeju# ∉◩M du ilxkj`

ixlk ∉M ht xjklydnm pfj elczkn elxxjurln`dnm pl pfj udna‐o elczkn li wjxludi M fou on ohulczpj udna. ]j }dcc eocc ∉◩

M pfj xjupxdepj Corcoedon li M.

]dpf pfdu nlpopdln# di M du o }dxdnm li M? dnpl M8# pfjn

∉◩M ;

∉◩

M?2 ο

2 ∉◩M8

θ

}fjxj jvoepct lnj jnpxt li ο du rludpdyj &elxxjurln dnm pl u?$ on` θ ≠ 2. Pfj coupelczkn elxxjurlnù pl u?# on` pfj }dxdnm `dydulx du @ ; ο.

Di M? du o udnmcj rldnp }dpf nl j`mju# pfjn }j xjmox` ∉◩M?

ou pfj ? Ý 2 jkrptkopxdv# on` ο }dcc hj o udnmcj dnpjmjx# ou dn pfj ilccl}dnm jvokrcj.

Jvokrcj 6.:. Cjp M? hj pfj mxorf }dpf o udnmcj yjxpjv u? on` nl j`mju. Cjp M8

foyj yjxpjv ujp qy8# y5# u8{ on` j`mj ujp q&y8# u8$# &y5# u8${. Idmzxj ?0 dcczupxopju o}dxdnm# M# li M? dnpl M8. Pfj }dxdnm `dydulx du @ ; 8u?. Pfj xjupxdepj` Corcoedon




u?

y8 y5

u8

Idmzxj ?0. Pfj }dxdnm M ilx Jvokrcj 6.:.

li M du# }dpf xjurjep pl pfj dn`deopj` yjxpjv lx`jxdnm#

∉◩M ; y8 y5 u?

u? 2 2 8

y8 ? 2 ∘?y5 2 ? ∘?u8 ∘? ∘? 2

.

@jndpdln 6.9. O `dxjepj` kzcpdmxorf M du elkrcjpjct }dxj` di dp du o udnmcj yjxpjv}dpf nl j`mju lx di dp du pfj }dxdnm li lnj elkrcjpjct }dxj` mxorf dnpl onlpfjx.

Jvokrcj 6.=. Jyjxt `dxjepj` oetecde mxorf du elkrcjpjct }dxj`.

@jndpdln 6.6. On dnpjmxoc kopxdv du kdvj` di joef elczkn elnpodnu hlpf rludpdyjon` njmopdyj jnpxdju. On dnpjmxoc kopxdv du kdvj` `lkdnopdnm di dp `lju nlp elnpodno kdvj` uqzoxj uzhkopxdv.

Jkrpt ` Ý 2 kopxdeju oxj kdvj` `lkdnopdnm ht elnyjnpdln. Pfj ilccl}dnm p}lpfjlxjku oxj jupohcdufj` dn Q85[ on` Q?0[.

Pfjlxjk 6.4. Cjp C hj o uzhkl`zcj li Wn!? li xona n uzef pfop pfj ouuledopj` coppdej d`joc D &C$ du flklmjnjlzu. Pfjn D &C$ du o elkrcjpj dnpjxujepdln di on` lnct di pfjxj jvdupu o houdu z?# . . . # zn ilx C uzef pfop pfj kopxdv }fluj elczknu oxj pfj zd

du kdvj` `lkdnopdnm.

Pfjlxjk 6.?2. Di K du o kdvj` `lkdnopdnm kopxdv# pfjn ht xjlx`jxdnm dpu elczknu on` xl}u }j kot lhpodn

K ;

K ? 2 ο

2 K 8 θ

#

}fjxj pfj K d oxj kdvj` `lkdnopdnm# ο ≪ 2# on` θ ≠ 2.

Dp du occl}ohcj ilx pfj kopxdv K ? dn Pfjlxjk 6.?2 pl hj pfj jkrpt ` Ý 2 kopxdv#

dn }fdef eouj }j }lzc` foyj

K ;

2 ο

K 8 θ

#

}fjxj pfj zrrjx+cjip hclea du o wjxl kopxdv }dpf ` xl}u. O udkdcox upopjkjnp flcùdi K 8 du pfj ` Ý 2 kopxdv# dn }fdef eouj }j }lzc` foyj o cl}jx+cjip wjxl kopxdvhclea.

]j nl} efoxoepjxdwj elkrcjpj dnpjxujepdln uon`rdcj mxorfu.




Pfjlxjk 6.??. Cjp C hj o uzhkl`zcj li Wn!? li xona n uzef pfop pfj ouuledopj` coppdej d`joc D &C$ du o elkrcjpj dnpjxujepdln. Pfjn pfjxj jvdupu o elkrcjpjct }dxj mxorf M }fluj Corcoedon coppdej du C# on` fjnej# D &C$ ; D &M$f# }fjxj D &M$f du pfj flklmjnjlzu plrrcdnm d`joc li M.

Rxlli. ]j rxlejj` ht dn`zepdln# pfj eouj n ; 2 hjdnm pxdydoc. Cjp z?# . . . # zn hj ohoudu ilx C# on` cjp K hj pfj kopxdv }fluj elczknu oxj pfj zd. Ht Xjkoxa 6.8#}j foyj `jm&zd$ ; 2 ilx occ d. &Fjxj# `jm&zd$ `jnlpju pfj `jmxjj li zd ou o `dydulx#d.j.# pfj uzk li pfj elkrlnjnpu li zd.$ Ht Pfjlxjku 6.4 on` 6.?2# }j kot ouuzkjpfop

K ;

K ? 2 ο

2 K 8 θ

}fjxj pfj K d oxj kdvj` `lkdnopdnm# ο ≪ 2# on` θ ≠ 2. Joef elczkn li K ? on` K 8fou jnpxdju pfop uzk pl wjxl. Ht lzx xona ouuzkrpdln# dp ilccl}u pfop K ? on` K 8oxj kopxdeju li izcc xona# joef }dpf lnj klxj xl} pfon elczkn. Ht dn`zepdln#

pfjxj jvdup elkrcjpjct }dxj` mxorfu M? on` M8 uzef pfop dk&∉Md$ ; dk&K d$ ilxd ; ?# 8. Cjp u? hj pfj udna li M?. Cjp e hj ont nlnnjmopdyj elnmzxopdln ln M?

}dpf izcc uzrrlxp on` elnpodnj` dn dk&∉M?$# pfj xj`zej` Corcoedon coppdej ilx M?.

Ilx dnuponej# }j elzc` poaj e ; ΰ ∘ ΰ ◩ }fjxj ΰ ;

y∆Y ?&lzp`jm&y$ ! ?$ y. @jnj

pfj `dydulx @ ; e ∘ `jm&e$ u? ∆ dk&∉M?$ ; dk&∉◩

M?$. Poaj a ∆ N uzef pfop

a ½ e ! `jm&ο$ u? ≪ ο. Nl}

K ;

∉◩

M?2 ο ∘ a@

2 ∉◩M8

θ

fou pfj uokj elczkn uron ou K # on` K ; ∉◩M }fjxj M du pfj }dxdnm li M? dnpl M8

}dpf }dxdnm `dydulx ο ∘ a@. Pfjn M du elkrcjpjct }dxj` on`# zr pl on lx`jxdnm li dpu yjxpdeju# dpu izcc Corcoedon coppdej du C.

Jvokrcj 6.?8. Pfj mxorf li Jvokrcj 0.4 du o elkrcjpj dnpjxujepdln uon`rdcjmxorf. Dp du nlp elkrcjpjct }dxj`# hzp dpu Corcoedon coppdej du pfj uokj ou pfop ilxpfj elkrcjpjct }dxj` mxorf elnudupdnm li o udnmcj `dxjepj` j`mj elnnjepdnm y? pl y8.

Pfjlxjk 6.?5. Di pfj mxorf M du elkrcjpjct }dxj # pfjn D &M$f du o elkrcjpj dnpjxujepdln.

Rxlli. Di M fou lnct lnj yjxpjv# pfjn D &M$ ; q2{ du o elkrcjpj dnpjxujepdln# ul }j}dcc omodn rxlejj` ht dn`zepdln# nl} ln sY &M$s. Ouuzkj sY &M$s > ? on` pfop Mdu pfj }dxdnm li ulkj mxorf M? }dpf udna u dnpl onlpfjx mxorf M8 }dpf }dxdnm`dydulx @. Cjp θ ; ∉M&u$sY 8 . Pfjn

∉◩M ;

∉◩

M?2 @

2 ∉◩M8

θ

.

Ht Pfjlxjk 6.4 on` dn`zepdln# pfjxj jvdup K ? on` K 8 }dpf dk&K d$ ; dk&∉Md$ ilx

d ; ?# 8# on` J ∆ s@s# uzef pfop

K ;

K ? 2 J

2 K 8 θ

fou pfj uokj elczkn uron ou ∉◩M on` du kdvj` `lkdnopdnm. Ul D &M$f du o elkrcjpj

dnpjxujepdln ht Pfjlxjk 6.4.




6.8. Mlxjnupjdn uon`rdcj mxorfu. Foydnm efoxoepjxdwj` elkrcjpj dnpjxujepdlnuon`rdcj mxorfu# }j rxlejj` pl mdyj o kjpfl` ilx elnupxzepdnm uon`rdcj mxorfu }dpfMlxjnupjdn plrrcdnm d`jocu. Lzx houde xjijxjnej ilx Mlxjnupjdn d`jocu du Q?:[.

Nlpopdln 6.?0. Cjp U ; EQv?# . . . # vn!?[# on` cjp D hj o flklmjnjlzu d`joc dn U .Cjp U hj pfj E+yjeplx uroej mjnjxopj` ht occ flklmjnjlzu rlctnlkdocu li `jmxjj `#on` cjp D 7; D ∤ U . @jnj O ; U,D # on` cjp O` 7; &U,D $` 7; U ,D . Cjp

k ; &v?# . . . # vn!?$

`jnlpj pfj zndqzj kovdkoc flklmjnjlzu d`joc dn jdpfjx U lx dn O.

@jndpdln 6.?:. Pfj ulecj li O du

Ule&O$ 7; &2 7 k$ 7; qi ∆ O 7 i k ; 2{.

@jndpdln 6.?9. Pfj xdnm O du Oxpdndon di `dkE O 3 ∞. Dn pfop eouj# }j }xdpj

O ; E⊚ O? ⊚ ½ ½ ½ ⊚ O#

}dpf O ; 2. Pfj nzkhjx du pfj ulecj `jmxjj li O. Dp du pfj cjoup nzkhjx uzefpfop k!? ⊉ D .

@jndpdln 6.?=. Pfj xdnm O du Mlxjnupjdn di dp du Oxpdndon on` `dkE Ule&O$ ; ?&ul Ule&O$ ; O on` `dkE O ; ?$.

Rxlrludpdln 6.?6. Uzrrluj O du Oxpdndon }dpf ulecj `jmxjj . Pfjn O du Mlxjn+upjdn di on` lnct di `dkE O ; ? on` pfj rodxdnm mdyjn ht kzcpdrcdeopdln

O` Ý O∘` ↘ O ≆ E

du o rjxijep rodxdnm.

Rxlli. Ujj pfj rxlli li# on` xjkoxau ilccl}dnm# Rxlrludpdln 6.9# Q?:[.

Ou on jout elxlccoxt# }j foyj

Elxlccoxt 6.?4. Pfj Fdchjxp iznepdln li on Oxpdndon Mlxjnupjdn xdnm O du utk+kjpxde. Pfop du# di pfj ulecj `jmxjj li O du # pfjn

F O&`$ ; F O& ∘ `$

ilx occ `.

Nl} cjp U ; EQt?# . . . # tn!?[# on` cjp U oep ln U ht pxjopdnm joef vd ou pfj`dfljxjnpdoc lrjxoplx ∈,∈td.

Pfjlxjk 6.82. &Koeozcot# ei. Pfjlxjk 6.= Q?:[$ Pfj xdnm O ; U,D du Mlxjnupjdn }dpf ulecj `jmxjj di on` lnct di pfjxj jvdupu o nlnwjxl m ∆ U uzef pfop

D ; onn&m$ 7; qi ∆ U 7 i &∈,∈t?# . . . # ∈ , ∈ tn!?$ m ; 2{.

Nl} elnud`jx pfj eouj }fjxj D du pfj flklmjnjlzu plrrcdnm d`joc ilx o uon`rdcjmxorf M }dpf yjxpdeju qy?# . . . # yn!?{. Cjp V ; W &D $ hj pfj wjxl ujp li D ou `duezuuj`

dn ujepdln 9.?.8. Cjp o ∆ U hj o cdnjox rlctnlkdoc pfop `lju nlp yonduf op ont rldnpli V . Ilx dnuponej# o kot hj ont li pfj dn`jpjxkdnopju# vd. Xjupxdepdnm pfj jvoepujqzjnej mdyjn ht kzcpdrcdeopdln ht o#

2 ↘ O½o

∘↘ O ↘ O,&o$ ↘ 2#

pl joef `jmxjj `# }j n` pfop pfj Fdchjxp iznepdln ilx O,&o$ du pfj xup `dfljxjnejuli pfj Fdchjxp iznepdln ilx O# d.j.# F O,&o$&`$ ; ∉F O&`$. Dp pfjn ilccl}u ixlk &9.5$pfop O,&o$ du Oxpdndon.




@jndpdln 6.8?. Elnpdnzdnm pfj nlpopdln ixlk ohlyj# pfj xdnm O,&o$ du eoccjòn Oxpdndon xj zepdln li O. Cjp hj pfj ulecj `jmxjj li on Oxpdndon xj`zepdlnli O# on` cjp f

`7; ∉F

O&`$ ilx ` ; 2# . . . # . Pfjn &f

2# . . . # f

$ du pfj flklmjnjlzu

f+yjeplx li M &lx D lx V $.

Xjkoxa 6.88. Pfj flklmjnjlzu f+yjeplx on` pfj f+yjeplx orrjoxdnm dn @jnd+pdln 9.?? oxj d`jnpdeoc dn pfj eouj pfj ∉&yn!?$ du dn pfj uron li q∉&yd$ 7 ? ≠ d ≠ n{&ujj pfj `duezudln oipjx Jvokrcj 9.?8$.

@jndpdln 6.85. ]j uot M du o Mlxjnupjdn uon`rdcj mxorf di dpu flklmjnjlzuellx`dnopj xdnm fou o Mlxjnupjdn Oxpdndon xj`zepdln. ]j ocul uot pfop D on` V oxj&oxdpfkjpdeocct$ Mlxjnupjdn.

Xjkoxa 6.80.

&?$ Zudnm pfj nlpopdln rxjej`dnm @jndpdln 6.8?# dp pzxnu lzp pfop di O fouo Mlxjnupjdn Oxpdndon xj`zepdln# pfjn jyjxt Oxpdndon xj`zepdln li O du

Mlxjnupjdn.&8$ Pfj nlpdln li o Mlxjnupjdn d`joc du kzef klxj mjnjxoc# hzp xjqzdxju o `du+ezuudln li pfj Elfjn+Koeozcot rxlrjxpt# }fdef lzx plrrcdnm d`jocu &`jndnmo ndpj ujp li rxlgjepdyj rldnpu$ uopduit ozplkopdeocct &ei. Q?5[$.

Dp du }jcc+anl}n pfop elkrcjpj dnpjxujepdln d`jocu oxj Mlxjnupjdn &ei. §8?.6Q?5[$.Dn roxpdezcox# }j foyj pfj ilccl}dnm.

Pfjlxjk 6.8:. Cjp M hj o uon`rdcj mxorf. Di M du o elkrcjpj dnpjxujepdln# pfjn Mdu Mlxjnupjdn.

Pfjlxjk 6.89. Cjp D hj pfj flklmjnjlzu plrrcdnm d`joc li pfj uon`rdcj mxorf Mfoydnm n ! ? yjxpdeju. Pfj ilccl}dnm oxj jqzdyocjnp7

&?$ M du Mlxjnupjdn1

&8$ di pfj kdndkoc ixjj xjulczpdln ilx D du

2 → D ω2→∘ I 2

ω?→∘ I ? → ½ ½ ½ωn→∘ I n → 2#

pfjn I n ≆ U ou on U +kl`zcj1&5$ pfj flklmjnjlzu f+yjeplx ilx M du utkkjpxde.

Rxlli. Pfj jqzdyocjnej li dpjku &?$ on` &8$ du o uponòx` xjuzcp &ei. Q?5[$. Pfjjqzdyocjnej li dpjku &?$ on` &5$ ilccl}u ht Q?8[ udnej D du o Eotcjt+Hoefoxoef d`jocht Rxlrludpdln 9.?6.

Jvokrcj 6.8=. Cjp M hj ou dn jvokrcj =.0. ]j uo} pfop pfj coup nlnwjxl kl`zcjdn pfj ixjj xjulczpdln ilx D &M$f du U &∘&?# 2# 8# 8$$# }fdef du dulklxrfde pl U ou onU +kl`zcj. Pfzu# pfj eorpdln ilx Idmzxj 6# upopdnm pfop M du Mlxjnupjdn# du gzupdj`ht &8$ ohlyj.

@jnj o cllrt pxjj pl hj o &ndpj$ mxorf pfop du ilxkj` ixlk o }jdmfpj`# zn`d+xjepj` pxjj ht o``dnm }jdmfpj` cllru op ulkj &kothj nlnj$ li pfj yjxpdeju.

Pfjlxjk 6.86. Ilx on zn`dxjepj` uon`rdcj mxorf M# pfj ilccl}dnm oxj jqzdyocjnp7

&?$ M du o cllrt pxjj1&8$ M du o elkrcjpj dnpjxujepdln1&5$ M du Mlxjnupjdn.




Rxlli. Cjp M ; &Y # J # u$ hj o zn dxjepj uon`rdcj mxorf. Idxup uzrrluj pfop Mdu o cllrt pxjj. Xjklydnm ont lzpmldnm j`mju ixlk u cjoyju o elkrcjpjct }dxj`mxorf foydnm pfj uokj flklmjnjlzu plrrcdnm d`joc ou M. Fjnej# M du o elkrcjpjdnpjxujepdln ht Pfjlxjk 6.?5# on` fjnej M du Mlxjnupjdn ht Pfjlxjk 6.8:.

]j nl} ouuzkj pfop M du nlp o cllrt pxjj. Udnej pfj coppdej d`joc li M dunlp ofljepj` ht cllru# ilx jouj li jvrludpdln }j ouuzkj pfop M fou nl cllru. HtPfjlxjk =.= on` Pfjlxjk 6.89 &8$# }j foyj pfop M du Mlxjnupjdn di on` lnct di dpfou o zndqzj kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdln.

Pl efoxoepjxdwj pfj kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdlnu# cjp ≷ hj o plpoc lx`jxdnmli pfj yjxpdeju uzef pfop ilx occ nlnudna yjxpdeju y# &d$ u ≷ y# on` &dd$ pfjxj jvdupuz ≷ y uzef pfop qz# y{ ∆ J . @jnj pfj elnmzxopdln e≷ ht

e≷#y 7; `jm&y$ ∘ %qy ∆ Y 7 qz# y{ ∆ J on` z ≷ y{.

]j nl} dnylaj @fox—u hzxndnm ocmlxdpfk. Cjp h hj pfj kdndkoc hzxndnm elnmzxo+pdln ilx M. Ht Pfjlxjk 8.86 dp fou uexdrp ?# on` ht Pfjlxjk 8.8=# o elnmzxopdln e

du xjezxxjnp di on` lnct di joef nlnudna yjxpjv xju dn pfj upohdcdwopdln li h ! e. Nlpjpfop h!e du lhpodnj` ht upoxpdnm }dpf e on` xdnm pfj udna yjxpjv. Dp ilccl}u pfop e≷du o kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdln on` pfop occ kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdlnuoxduj ou e≷ ilx ulkj lx`jxdnm ≷ uopduitdnm &d$ on` &dd$# ohlyj.

Cjp E hj o &zn`dxjepj`$ etecj dn M. Eflluj o ropf R dn M upoxpdnm op u on` mldnmpl o yjxpjv li E # pfjn pxoyjcdnm oxlzn` E . Pl hj rxjeduj# cjp z?# . . . # zd hj `dupdnepyjxpdeju ilxkdnm o ropf dn M &ul qz# z!?{ ∆ Y ilx occ $ }dpf z? ; u on` zd oyjxpjv dn E . Ouuzkj pfop zd du pfj xup yjxpjv dn pfj ropf pl hj dn E . &Di u du dn E #pfjn d ; ?.$ Njvp# cjp zd# . . . # zd!g hj pfj yjxpdeju dn pfj etecj E # dn lx`jx. Pfjn R du pfj ropf z?# . . . # zd!g . Cjp ≷? hj ont plpoc lx`jxdnm uopduitdnm &d$ on` &dd$# ohlyj#}dpf

z? ≷? ½ ½ ½ ≷? zd!g #

on` uzef pfop za ≷? y ilx occ za on` occ yjxpdeju y nlp dn R . Cjp ≷8 hj ont plpoclx`jx uopduitdnm &d$ on` &dd$ }dpf

z? ≷8 ½ ½ ½ ≷8 zd ≷8 zd!g ≷8 zd!? ≷8 zd!8 ≷8 ½ ½ ½ ≷8 zd!g∘?#

on` uzef pfop za ≷8 y ilx occ za on` occ yjxpdeju y nlp dn R . Dp ilccl}u pfop e≷?

on` e≷8oxj `dupdnep kdndkoc xjezxxjnp elnmzxopdlnu ln M. Fjnej# M du nlp Mlxjn+

upjdn.

Ht Pfjlxjk :.?5# on Oxpdndon xj`zepdln li O ilx o uon`rdcj mxorf }dpf ohulczpjudna fou pfj ujp

qve 7 e du o uzrjxupohcj elnmzxopdln li M{

ou o nlxkoc houdu. Dp ilccl}u pfop pfj ulecj `jmxjj li O du pfj kovdkzk li

pfj `jmxjju li pfj uzrjxupohcj elnmzxopdlnu li M. Fjnej# ht Pfjlxjk 6.89 &5$# ouon`rdcj mxorf }dpf ohulczpj udna du Mlxjnupjdn di on` lnct di pfjxj jvdupu o hdgjepdlnhjp}jjn pfj uzrjxupohcj elnmzxopdlnu li `jmxjj a on` pfluj li `jmxjj ∘ a.

Cjkko 6.84. Cjp M? hj pfj mxorf ln o udnmcj yjxpjv y on` cjp M8 hj o Mlxjnupjdn uon`rdcj mxorf. Cjp M hj o }dxdnm li M? dnpl M8. Pfjn M du Mlxjnupjdn.

Rxlli. Cjp O hj pfj ujp li uzrjxupohcj elnmzxopdlnu ln M8 on` `jnj pfj dnpjmjx 7; kovq`jm&o$ 7 o ∆ O{. Cjp i 7 O ↘ O hj o hdgjepdln uzef pfop `jm&i &o$$ ;




∘ `jm&o$ ilx occ o ∆ O. Cjp ` 7; lzp`jm&y$. Udnej pfjxj oxj nl j`mju ixlk yjxpdejuli M8 pl y dn M# pfj ujp li uzrjxupohcj elnmzxopdlnu ln M du

H 7; qay ! o 7 o ∆ O on` 2 ≠ a 3 `{.

Cjp k 7; kovq`jm&h$ 7 h ∆ H{ ; ! ` ∘ ?. @jnj m 7 H ↘ H ht m&ay ! o$ ;&` ∘ ? ∘ a$y ! i &o$ }fjxj o ∆ O. Pfjn m du o hdgjepdln on`

`jm&m&ay ! o$$ ; `jm&&` ∘ ? ∘ a$y ! i &o$$ ; ! ` ∘ ? ∘ `jm&ay ! o$.

Dp ilccl}u pfop M du Mlxjnupjdn.

Cjkko 6.52. Cjp M? hj o Mlxjnupjdn uon`rdcj mxorf }dpf ohulczpj udna u on` cjp M hj o }dxdnm li M? dnpl pfj mxorf ln o udnmcj yjxpjv y }dpf nl j`mju. Pfjn Mdu Mlxjnupjdn.

Rxlli. Cjp ∉ ; ∉M hj pfj Corcoedon kopxdv ilx M# on` cjp @ hj pfj }dxdnm `dydulx

li M. Di ` du pfj }jdmfp li pfj j`mj ixlk u pl y# pfjn

∉◩M ;

∉◩

M?@

2 ∘`

.

Udnej s@s ; ∊ ht pfj `jndpdln li o }dxdnm# pfjxj jvdupu ulkj jfljepdyj `dydulxJ ∳M?

@. Pfzu# }j eon xjrcoej pfj coup elczkn li ∉◩M }dpf

J ∘`

}dpflzp efonmdnm pfj elczkn uron# on` fjnej }dpflzp efonmdnm pfj ouuledopj`coppdej d`joc. Njmopdnm pfdu elczkn on` u}orrdnm xl}u# pfj kopxdv ∉◩

M hjelkju

∉◩

7; 2 `

∉◩M?

∘J #

}fdef du pfj xjupxdepj` Corcoedon ilx o }dxdnm li yjxpjv y dnpl M?. Pfdu mxorf duMlxjnupjdn ht Cjkko 6.84.

Pfjlxjk 6.5?. Cjp M? on` M8 hj Mlxjnupjdn uon`rdcj mxorfu }dpf ohulczpj udnau.Di M du o }dxdnm li M? dnpl M8# pfjn M du Mlxjnupjdn.

Rxlli. Cjp @ hj pfj }dxdnm `dydulx li M. Cjp M hj pfj }dxdnm li M? dnpl pfjmxorf ln o udnmcj yjxpjv u# `dugldnp ixlk pfj yjxpdeju li M? lx li M8# }dpf }dxdnm`dydulx @. Cjp O hj pfj ujp li uzrjxupohcj elnmzxopdlnu ln M on` `jnj pfjdnpjmjx 7; kovq`jm&e$ 7 e ∆ O{. Udnej M du Mlxjnupjdn ht Cjkko 6.52# pfjxjjvdupu o hdgjepdln i 7 O ↘ O uzef pfop `jm&i &e$$ ; ∘ `jm&e$. Cjp O8 hj pfj

ujp li uzrjxupohcju ln M8# cjp 8 ; kovq`jm&e$ 7 e ∆ O8{# on` cjp i 8 7 O8 ↘ O8 hjo hdgjepdln uzef pfop `jm&i 8&e$$ ; 8 ∘ `jm&e$.Ecjoxct# di e du uzrjxupohcj ln M# pfjn esY 8 ∆ O8# on` esY ? ∆ O. Elnyjxujct#

di e ∆ O on` e8 ∆ O8# pfjn pfj elnmzxopdln e ! e8 du uzrjxupohcj ln M. CjpO ; qe ! e8 7 e ∆ O# e8 ∆ O8{# ul pfop O du pfj ujp li uzrjxupohcj elnmzxopdlnuln M# on` kovq`jm&e$ 7 e ∆ O{ ; ! 8 ;7 . @jnj pfj iznepdln i 7 O ↘ O hti &e ! e8$ ; i &e$ ! i 8&e8$# }fjxj e ∆ O on` e8 ∆ O8. Pfjn i du o hdgjepdln# on``jm&i &e ! e8$$ ; ∘ `jm&e ! e8$. Fjnej# M du Mlxjnupjdn.




Xjijxjneju

Q?[ C°ouwc°l Hohod# fppr7,,rjlrcj.eu.zefdeoml.j`z,~coed,XJZ2:,# Lncdnj cjepzxj nlpju ilx 822:

XJZ.Q8[ Xlcon` Hoefjx# Rdjxxj `j co Foxrj# on` Popdono Nomndhj o# Pfj coppdej li dnpjmxoc l}u

on` pfj coppdej li dnpjmxoc ezpu ln o ndpj mxorf # Hzcc. Ule. Kopf. Ixonej ?8: &?44=$# nl. 8#?9=―?46.

Q5[ Koppfj} Hoajx on` Ujxmzjd Nlxdnj# Xdjkonn+Xlef on` Ohjc+Goelhd pfjlxt ln o ndpj mxorf #O`y. Kopf. 8?: &822=$# nl. 8# =99―=66.

Q0[ # Foxklnde klxrfduku on` ftrjxjccdrpde mxorfu# Dnp. Kopf. Xju. Nlp. DKXN &8224$#

nl. ?:# 84?0―84::.Q:[ Hxdon Hjnuln# @jjroxnoh Efoaxohoxpt# on` Rxouo` Pjpocd# M+roxadnm iznepdlnu# oetecde lxd+

jnpopdlnu on` uronndnm pxjju# @duexjpj Kopf. 5?2 &82?2$# nl. 6# ?502―?5:5.Q9[ O. Hjxmjp# O. Kondln# K. Kov}jcc# O. Rlpjefdn# on` Y. Xjdnjx# Pfj exdpdeoc mxlzr li o cdnj

mxorf # jrxdnp# oxVdy72420.?809# 8224.Q=[ Gzupdn K. Eokrhjcc# Fdchjxp iznepdln li ohjcdon mxlzr lxhdpu# Hoefjclx—u pfjudu# Xjj` Elccjmj#

?444.

Q6[ Xlhjxp Elxd on` @lkdndqzj Xluudn# Ln pfj uon`rdcj mxlzr li `zoc mxorfu# Jzxlrjon G.Elkhdn. 8? &8222$# nl. 0# 00=―0:4.

Q4[ Xlhjxp Elxd# @lkdndqzj Xluudn# on` Hxznl Uocyt# Rlctnlkdoc d`jocu ilx uon`rdcju on` pfjdx Mx¦ lhnjx houju# Pfjlxjp. Elkrzp. Ued. 8=9 &8228$# nl. ?+8# ?―?:.

Q?2[ @oyd` Elv# Glfn Cdppcj# on` @lnoc L—Ufjo# D`jocu# yoxdjpdju# on` ocmlxdpfku# pfdx` j`.# Zn`jx+

mxo`zopj Pjvpu dn Kopfjkopdeu# Urxdnmjx# Nj} Tlxa# 822=# On dnpxl`zepdln pl elkrzpopdlnococmjhxode mjlkjpxt on` elkkzpopdyj ocmjhxo.

Q??[ @oyd` O. Elv# Ulcydnm jqzopdlnu ydo ocmjhxou# Ulcydnm Rlctnlkdoc Jqzopdlnu# ylc. ?0# UrxdnmjxHjxcdn Fjd`jchjxm# 822:# rr. 95―?85.

Q?8[ J. @. @oydu# O. Y. Mjxokdpo# on` I. Lxjeefdo# Mlxjnupjdn ocmjhxou on` pfj Eotcjt+Hoefoxoef

pfjlxjk # Rxle. Okjx. Kopf. Ule. 45 &?46:$# nl. 0# :45―:4=.Q?5[ @oyd` Jdujnhz`# Elkkzpopdyj ocmjhxo # Mxo`zopj Pjvpu dn Kopfjkopdeu# ylc. ?:2# Urxdnmjx+

Yjxcom# Nj} Tlxa# ?44:# ]dpf o ydj} pl}ox` ocmjhxode mjlkjpxt.Q?0[ Acozu M. Iduefjx# ]ocpjx Klxxdu# on` Got Ufordxl# Ostnj ujkdmxlzr xdnmu pfop oxj elkrcjpj

dnpjxujepdlnu# Rxle. Okjx. Kopf. Ule. ?8: &?44=$# nl. ??# 5?5=―5?0:.Q?:[ Onpflnt Y. Mjxokdpo &j`.$# Pfj Ezxyju Ujkdnox op _zjjn—u. Ylc. V # _zjjn—u Rorjxu dn Rzxj

on` Orrcdj` Kopfjkopdeu# ylc. ?28# Adnmupln# LN# _zjjn—u Zndyjxudpt# ?449.

Q?9[ Onpflnt Y. Mjxokdpo# Koxpdn Axjzwjx# on` Clxjnwl Xlhhdonl# Eotcjt+Hoefoxoef uefjkjuon` pfjdx eonlndeoc kl`zcju# Pxonu. Okjx. Kopf. Ule. 554 &?445$# nl. ?# ?95―?64.

Q?=[ Ocjvon`jx J. Flcxlt`# Cdlnjc Cjydnj# Aoxlco K°juw°oxlu# Tzyoc Rjxju# Gokju Rxlrr# on`@oyd` H. ]dculn# Efdr+xdnm on` xlplx+xlzpdnm ln `dxjepj` mxorfu# Dn on` lzp li jqzdcdh+

xdzk. 8# Rxlmx. Rxlhoh.# ylc. 92# Hdxaf¦ozujx# Houjc# 8226# rr. 55?―590.Q?6[ Uok Flradnu on` @oyd Rjxadnuln# Lxdjnpopdlnu# ujkdlx jxu# oxxonmjkjnpu# on` roxadnm

iznepdlnu# jrxdnp# oxVdy7???8.:08?# 82??.

Q?4[ @oyd` Axzjmjx# Jvpjnudlnu li pfj exdpdeoc mxlzr on` uon`rdcj mxlzr pl lxdjnpj kopxldù on` udkrcdedoc elkrcjvju# Hoefjclx—u pfjudu# Xjj` Elccjmj# 82??.

Q82[ Ko`fzuzòn Kongznopf on` Hjxn` Upzxkijcu# Klnlkdocu# hdnlkdocu# on` Xdjkonn+Xlef #Rxjrxdnp# 82??.

Q8?[ Exdjc Kjxdnl C°lrjw# Efdr xdnm on` pfj Pzppj rlctnlkdoc # Onn. Elkh. ? &?44=$# nl. 5#

8:5―8:4.Q88[ Jwxo Kdccjx on` Hjxn` Upzxkijcu# Elkhdnoplxdoc elkkzpopdyj ocmjhxo # Mxo`zopj Pjvpu dn

Kopfjkopdeu# ylc. 88=# Urxdnmjx+Yjxcom# Nj} Tlxa# 822:.

Q85[ Koxejc Klxocju on` Orluplclu Pflko# Elkrcjpj dnpjxujepdln coppdej d`jocu# G. Ocmjhxo860

&822:$# nl. 8# =::―==2.Q80[ Gokju M. Lvcjt# Kopxld` pfjlxt # Lvilx` Uedjnej Rzhcdeopdlnu# Pfj Ecoxjn`ln Rxjuu Lvilx`

Zndyjxudpt Rxjuu# Nj} Tlxa# ?448.

Q8:[ Dxjno Rjjyo on` Hjxn` Upzxkijcu# Utwtmdju li el dkjnudln 8 coppdej d`jocu# Kopf. W. 884&?446$# nl. ?# ?95―?40.

Q89[ @oyd` Rjxadnuln# Uon`rdcju# fppr7,,}}}.xjj`.j`z,~òyd`r,flkjromj,rzhcdeopdlnu.fpkc #]lxa dn rxlmxjuu.

http://people.cs.uchicago.edu/~laci/REU05/




http://www.reed.edu/~davidp/homepage/publications.html








Q8=[ Goelh Rjxckon# Uon`rdcju7 o hxd`mj hjp}jjn mxorfu on` plxde d`jocu# Hoefjclx—u pfjudu# XjjÈlccjmj# 8224.

Q86[ Ocjvon`jx Rlupndaly on` Hlxdu Ufordxl# Pxjju# roxadnm iznepdlnu# utwtmdju# on` `jilxkopdlnu

li klnlkdoc d`jocu# Pxonu. Okjx. Kopf. Ule. 5:9 &8220$# nl. 6# 5?24―5?08 &jcjepxlnde$.Q84[ Jzmjnj Urjjx# Outkkjpxde ohjcdon uon`rdcj kl`jcu# G. Upop. Rftu. &?445$# 9?―=0.Q52[ ]. O. Upjdn jp oc.# Uomj Kopfjkopdeu Ulip}oxj &Yjxudln 0.=.?$# Pfj Uomj @jyjclrkjnp Pjok#

82??# fppr7,,}}}.uomjkopf.lxm.Q5?[ @. Pxjzkonn# Izneplxdocdpt li exdpdeoc mxlzru# Hoefjclx—u pfjudu# Zndyjxudpt li Kdnnjulpo#

8228.

Q58[ Glfn ]dckju# Ocmjhxode dnyoxdonpu li uon`rdcj mxorfu# Hoefjclx—u pfjudu# Xjj` Elccjmj# 82?2.

Xjj` Elccjmj# Rlxpcon` LX 4=828

J+kodc o``xjuu7 òyd`rBxjj`.j`z

@jroxpkjnp li Kopfjkopdeu# Zndyjxudpt li Efdeoml# Efdeoml# Dccdnldu 9295=

J+kodc o``xjuu7 rjxckonBkopf.zefdeoml.j`z

@jroxpkjnp li Kopfjkopdeu# Zndyjxudpt li Efdeoml# Efdeoml# Dccdnldu 9295=

J+kodc o``xjuu7 }dckjugBkopf.zefdeoml.j`z

Documents

Primer for the algebraic geometry of sandpiles, by David Perkinson, Jacob Perlman, John Wilmes