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PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
Apresentam-se as principais sugestões para efectuar a primitivação por partes com sucesso e uma proposta de resolução dos exercícios apresentados
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
48
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
Quando se pretende primitivar um produto de duas funções e não se está perante uma
primitiva imediata, usa-se, de um modo geral, o método de primitivação por partes, que é um
método baseado na expressão da derivada do produto de duas funções:
1 2 1 2 1 2( ) ( )f x f x f x f x f x f x
Onde 1f é uma função derivável e 2f é uma função primitivável.
A fórmula acima apresentada, resulta da seguinte identidade:
Seja 2( )F x f x e 1( )G x f x
Derivando o produto de 1( )F x f x , obtemos :
1 1 1( ) ( ) ( )F x f x F x f x F x f x
1 1 1( ) ( ). ( ).F x f x F x f x F x f x
Mas da definição de primitiva de uma função podemos escrever que 2( )F x f x , e então a
igualdade anterior ficará:
2 1 1 1( ). ( ).f x f x F x f x F x f x
Primitivando esta igualdade obtemos:
2 1 1 1( ). ( ).f x f x F x f x F x f x
2 1 1 1( ). ( ) ( ). ( )f x f x F x f x F x f x
1 2 1 2 1 2( ) ( )f x f x f x f x f x f x
que é a fórmula apresentada inicialmente
O sucesso da aplicação deste método está na escolha da função pela qual se começa a
primitivar, assim sendo, apresentam-se abaixo algumas sugestões, todas baseadas no princípio
de que se deve escolher para primitivar a função que mais se complica quando se deriva:
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
49
1) Sabendo-se primitivar apenas um dos factores, é por ele que se começa.
1
2
x ln x dx
f ln x
f x
2) Se a função a primitivar é o produto de um polinómio por uma função
transcendente:
2.1) Se a função transcendente é tal que a sua derivação conduz a outra
função transcendente que lhe é semelhante ( por exemplo as funções circulares
e exponencial), deve-se começar a primitivar por ela.
1
2
x 1 sen x dx
f x 1
f sen x
2.2) Quando a derivação da função transcendente conduz a uma função não
transcendente ( por exemplo a função logarítmica e as funções circulares
inversas), começa-se a primitivar pelo polinómio.
1
2
x ln x dx
f ln x
f x
3) Quando existe apenas uma função cuja primitiva não se conhece, multiplica-se a
função pelo factor 1 e começa-se a primitivar por este.
1
2
ln x dx
1ln x dx
f ln x
f 1
4) Quando se aplica a regra da primitivação por partes várias vezes seguidas, pode
obter-se no segundo membro uma primitiva igual à que se pretende calcular. Neste
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
50
caso, isola-se essa primitiva num dos membros e a igualdade passa a tratar-se
como uma equação, onde a incógnita é a primitiva em causa.
1
2
sen ln x dx
f sen ln x
f 1
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
51
EXERCÍCIO 1
Calcule as seguintes primitivas
a) dxxx ln
b) dxxsenx 1
c) dxxe x
d) dxx x 5
e) dxxx 5ln32 2
f) dxx ln
g) dxxsen ln
EXERCÍCIO 2
Calcule as seguintes primitivas
a) dxex x 323
b) dxxx ln32
c) dxx
arctg
1
d) dxxx2sec
e)
2,lnln
xdxx
x
f) dxxarcsen
g) dxxx ln3
h) dxxsenxsen 1ln
i)
dx
x
x
2
3
1
j) dxxarcsenxsen cos
k)
dx
e
xx
2
l) dxxsenx 2lncos2
m) dxxxxsen cos
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
52
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
EXERCÍCIO 1
a) dxxx ln
Vamos começar a primitivar por x, pois não conhecemos dxx ln . Temos então
xfxf 21 ,ln . Aplicando a fómula da primitivação por partes, temos:
dxxx ln =
dxdxxxdxxx
ffff 2121
lnln
=
dx
x
x
xx
2
1
2ln
22
=
xdx
xx
2
1
2ln
2
= 22
1
2ln
22 xxx
CC,
= 4
ln2
22 xx
x
CC,
=
2
1ln
2
2
xx
CC,
b) dxxsenx 1
Vamos começar a primitivar por xsen , pois a sua derivada é ainda uma função
transcendente . Temos então xsenfxf 21 ,1 . Aplicando a fómula da
primitivação por partes, temos:
dxxsenx 1 = dxdxxsenxdxxsenx
11
= dxxxx coscos1
= xsenxx cos1 CC,
= - xsenxx cos1 CC,
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
53
c) dxxe x
Vamos começar a primitivar por xe , pois a sua derivada é ainda uma função
transcendente . Temos então xefxf 21 , . Aplicando a fómula da primitivação
por partes, temos:
dxxe x = dxdxexdxex xx
= dxexe xx
= xx exe CC,
= 1xex CC,
d) dxx x 5
Vamos começar a primitivar por x5 , pois a sua derivada é ainda uma função
transcendente . Temos então xfxf 5, 21 . Aplicando a fómula da primitivação
por partes, temos:
dxx x 5 = dxdxxdxx xx
55
= dxxxx
5ln
5
5ln
5
=5ln
5
5ln
1
5ln
5 xx
x CC,
=
5ln
1
5ln
5x
x
CC,
e) dxxx 5ln32 2
Vamos começar a primitivar por 32 2 x , pois a derivada de x5ln já não é uma
função transcendente (também não conhecemos dxx 5ln ). Temos então
32,5ln 221 xfxf . Aplicando a fórmula da primitivação por partes, temos:
dxxx 5ln32 2 = dxdxxxdxxx
325ln325ln 22
= dxxxx
xxx
3
3
2
5
53
3
25ln 33
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
54
= dxxxx
xxx
3
3
2
5
55ln3
3
2 33
= dxxxxx
3
3
25ln3
3
2 23
= xxxxx 39
25ln3
3
2 33
CC,
f) dxx ln
Quando existe apenas uma função cuja primitiva não se conhece, multiplica-se a
função pelo factor 1 e começa-se a primitivar por este.Teremos então
1,ln 21 fxf
dxx ln = dxx ln.1
= dxdxxdxx
1ln1ln
= dxxx
xx
1ln
= xxx ln CC,
= 1ln xx CC,
g) dxxsen ln
Quando existe apenas uma função cuja primitiva não se conhece, multiplica-se a
função pelo factor 1 e começa-se a primitivar por este.Teremos então
1,ln 21 fxsenf
dxxsen ln = dxxsen ln.1
= dxdxxsendxxsen
1ln1ln
= dxx
xxxxsen
1lncosln
= dxxxxsen lncosln temos aqui novamente uma
primitiva por partes semelhante à anterior.
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
55
dxxsen ln = dxxxxsen 1.lncosln
dxxsen ln = xxsen ln dxdxxdxx
1lncos1lncos
dxxsen ln = xxsen ln dxx
xsenxxx
1lnlncos
dxxsen ln = xxsen ln xxlncos dxxsen ln
Surge no segundo membro uma primitiva igual à do primeiro membro. Nestes casos, isola-se
essa primitiva num dos membros e a igualdade passa a tratar-se como uma equação, onde a
incógnita é a primitiva em causa.
dxxsen ln2 = xxsen ln xx lncos
dxxsen ln =
2
lncosln xxxxsen CC,
dxxsen ln =
2
lncosln xxsenx CC,
EXERCÍCIO 2
a) dxex x 323
Vamos começar a primitivar por xe3 , pois a sua derivada é ainda uma função transcendente .
Temos então xefxf 321 ,23 . Aplicando a fórmula da primitivação por partes,
temos:
dxex x 323 = dxdxexdxex xx
33 2323
= dxxxx ee
33
33
223
=
93
33
223xx eex CC,
= 3
2
323
3
xxe CC,
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
56
b) dxxx ln32
Vamos começar a primitivar por 32 x , pois não conhecemos dxx ln
dxxx ln32 = dxdxxxdxxx
32ln32ln
= dxxxx
xxx 31
3ln 22
= dxxxxx 33ln 2
= xx
xxx 32
3ln2
2 CC,
= xx
xxx 32
3ln2
2 CC,
c) dxx
arctg
1
Quando existe apenas uma função cuja primitiva não se conhece, multiplica-se a
função pelo factor 1 e começa-se a primitivar por este.Teremos então
1,1
21
f
xarctgf
dxx
arctg
1= dx
xarctg
11
= dxdxx
arctgdxx
arctg
1
11
1
= xdx
x
xx
xarctg
2
11
1
1
= dx
x
x
xxx
arctg
2
2 1
1
1
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
57
= xdxx
x
xxarctg
1
1
2
= xdxx
x
xxarctg
1
2
2
11
2
= 1ln2
11 2
x
xxarctg CC,
d) dxxx2sec
Vamos começar a primitivar por x2sec , pois a sua derivada é ainda uma função
transcendente. Temos então xfxf 221 sec, . Aplicando a fórmula da
primitivação por partes, temos:
dxxx2sec = dxdxxxdxxx
22 secsec
= dxxtgxxtg
=
dxx
xsenxxtg
cos
= xxxtg cosln CC,
e)
2,lnln
xdxx
x
dx
xxdx
x
x
1lnln
lnln
Vamos começar a primitivar por x
1, pois não conhecemos dxx lnln . Temos então
x
ff x1
21 lnln . Aplicando a fómula da primitivação por partes, temos:
dxdxx
xdxx
xdxx
x
1lnln
1lnln
lnln ,
dxxx
xxx
lnln
1
lnlnln
dxx
xx 1
lnlnln
xxx lnlnlnln CC,
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
58
1lnlnln xx CC,
f) dxxarcsen
Quando existe apenas uma função cuja primitiva não se conhece, multiplica-se a
função pelo factor 1 e começa-se a primitivar por este.Teremos então
1, 21 fxarcsenf
dxxarcsen = dxxarcsen1
= dxdxxarcsendxxarcsen
11
= dxx
x
xxarcsen
21
1
dxxxxxarcsen
2
1212
2
1
21
21 xxxarcsen CC,
g) dxxx ln3
Vamos começar a primitivar por 3x , pois não conhecemos dxx ln . Temos então
321 ln xff x . Aplicando a fómula da primitivação por partes, temos:
dxdxxxdxxxdxxx
333 lnlnln
dxx
x
xx
4
1
4ln
44
54
20
1ln
4xx
x CC,
h) dxxsenxsen 1ln
Vamos começar a primitivar por xsen , pois não conhecemos dxxsen 1ln .
Temos então senxfxsenf 21 ,1ln . Aplicando a fómula da primitivação
por partes, temos:
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
59
dxxsenxsen 1ln
dxsenxdxxsensenxdxxsen 1ln1ln
=
dxx
xsen
xxxsen cos
1
coscos1ln
=
dx
xsen
xxxsen
1
coscos1ln
2
=
dx
xsen
xsenxxsen
1
1cos1ln
2
=
dx
xsen
xsenxsenxxsen
1
11cos1ln
= dxxsenxxsen 1cos1ln
= xxxxsen coscos1ln CC,
i)
dx
x
x
2
3
1
=
dxxx 2
123 1
=
dxxxx
f
f 2
1
2
122 1
=
dxdxxxxdxxxx 2
1222
122 11
=
dxxx
xx2
122
122
12
2
1
1
2
=
2
3
11
2
32
22 xxx
CC,
= 23
222 13
21 xxx CC,
= 2222 113
21 xxxx CC,
=
222 1
3
21 xxx CC,
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
60
j) dxxarcsenxsen cos
dxxarcsenxsen cos = dxxarcsenxsen
ff
12
cos =
dxdxxsenxarcsendxxsenxarcsen
coscos
=
dxx
x
xsenxxarcsen
cos
cos1coscos
2
Como xsenx 22cos1 , temos
=
dx
xsen
xxsenxxarcsen
coscoscos . Considerando 0senx ,
temos:
= dxxxxarcsen coscoscos
= CCxsenxarcsenx ,coscos
k)
dx
e
xx
2
dx
e
xx
2
= dxex x22 Vamos começar a primitivar por xe 2
, pois a sua derivada ainda é
uma função transcendente.Temos então:
dxdxexdxexdxex xx
f
x
f
222222
21
= dxxeex xx
222
22
1
2
=
dxexex
f
x
f
x
21
222
22
1
2
=
dxexee
x xxx 2222
2
1
2
=
CCexeex xxx ,
2
1
2
1
2
2222
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES
61
= CCexeex xxx ,4
1
2
1
2
1 2222
=
CCxxe x ,
4
1
2
1
2
1 22
l) dxxsenx 2lncos2 .
Vamos começar a primitivar xcos , pois não conhecemos a primitiva de xsen2ln .
dxxsenx 2lncos2 =
dxdxxxsenxdxxsendxxsenx
ff
coslncosln2lncos2 222
12
=
dxdx
xsen
xsenxsenxxsenxsen
2
2 cos2ln2
= dxxxsenxsen cos2ln2 2
= CCxsenxsenxsen ,2ln2 2
m) dxxxxsen cos
Vamos primitivar a função transcendente, pois a sua derivada conduz a outra função
transcendente.
dxxxxsen cos = dxxxsenx
ff
2
1
cos =
dxxsenxsen
x
2.1
2
22
=
dxxsenxsenxsen
x2
1
2
2
Vamos calcular dxxsen2.
xdxxsenxdxxsen 22 coscos
dxxsen2 = dxxsenxsenx 21cos
dxxsen2= dxxsenxxsenx 2cos
dxxsen22 xxsenx cos
dxxsen2
2
cos xxsenx
Então, voltando à primitiva inicial, temos: