SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET ORGANIZACIJE I INFORMATIKE

V A R A Ž D I N

Ivan Škurdija

Teorija igara - primjena aplikacije Gambit

SEMINARSKI RAD

Varaždin, 2014.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET ORGANIZACIJE I INFORMATIKE

V A R A Ž D I N

Ivan Škurdija

Matični broj:43541/14–R

Studij: Informacijsko i programsko inženjerstvo

Teorija igara - primjena aplikacije Gambit

SEMINARSKI RAD

Mentor:

izv.prof.dr.sc. Robert Fabac

Varaždin, prosinac 2014.

Sadržaj

1. Teorija igara...........................................................................................................................1

2. Kooperativne i nekooperativne igre.......................................................................................2

2.1. Nashova ravnoteža..........................................................................................................3

3. Ekstenzivni i normalni oblik igre...........................................................................................3

3.1. Primjer ekstenzivnog oblika igre....................................................................................3

3.2. Primjer normalnog oblika igre........................................................................................5

4. Aplikacija Gambit..................................................................................................................6

4.1. Što je to Gambit?.............................................................................................................6

4.2. Kratka povijest................................................................................................................6

4.3. Glavne značajke..............................................................................................................6

4.4. Nedostaci kod Gambit-a..................................................................................................7

4.5. Grafičko sučelje..............................................................................................................7

4.5.1. Opći izgled glavnog programa.................................................................................8

4.5.2. Ekstenzivne igre.......................................................................................................8

4.5.2.1. Kreiranje nove ekstenzivne igre........................................................................8

4.5.2.2. Dodavanje poteza..............................................................................................8

4.5.2.3. Upravljanje skupinom podataka.......................................................................9

4.5.2.4. Ishodi i isplate...................................................................................................9

4.5.2.5. Ostale funkcije kod izrade stabla......................................................................9

4.5.3. Strateške igre..........................................................................................................10

4.5.3.1. Značajke strateške igre....................................................................................10

4.5.4. Dominantne strategije i akcije................................................................................10

5. Zaključak..............................................................................................................................11

6. Literatura..............................................................................................................................12

1. Teorija igara

Teorija igara se najviše razvijala dvadesetih godina. Iz prijašnjih vremena spomena su

vrijedna istraživanja E. Borela1 i J. von Neumanna2. Općenito, malo je bilo učinjeno na

području teorije igara dok nije god. 1944. izašlo opsežno djelo J. von Neumanna i O.

Morgensterna3, u kojem su autori postavili temelje teorije igara i upozorili na mogućnosti

njezine upotrebe u privredi (Vadnal, 1980, citirano prema Škurdija, 2014).

Petrić (1979, citirano prema Škurdija, 2014) objašnjava teoriju igara kao matematičku

teoriju igara procesa donošenja odluka protivnika koji su u sukobu ili su uključeni u

konkurentske uslove. Konkurentske okolnosti ne moraju odražavati potpuno suprotne

interese. Karakteristični zadaci na koje se teorija igara može primijeniti odnose se na dva i

više protivnika koji mogu na neki način utjecati na ishod događaja.

U teoriji igara svaki protivnik ima određene prednosti odnosno nedostatke u ishodu

događaja u odnosu na ostale protivnike. Svaki protivnik djelomično utječe na ishod događaja,

osim u slučaju gdje samo jedan protivnik može utjecati na ishod događaja, dok su drugi bez

utjecaja, igra se svodi na takozvanu igru jednog lica (Petrić, 1979, citirano prema Škurdija,

2014).

Teorija igara je dala bitan uvid i savjet vezano uz strategiju čistog sukoba – igre s

nultim rezultatom4. Ali vezano uz strategiju poduzimanja akcije, kad se sukob miješa s

obostranom ovisnošću- igre bez nultog rezultata5 u ratovima, prijetnje ratom, štrajkovi,

pregovori, sprječavanje kriminala, klasni rat, rasni rat, rat cijena i ucjene; manevriranje u

birokraciji ili u prometnom kolapsu; prisila nad vlastitom djecom – tradicionalna teorija igre

ne omogućuje isti usporedivi uvid ili savjet (Schelling, 2007, citirano prema Škurdija, 2014).

U teoriji igara upotrebljavamo riječ igra u dva značenja. U širem značenju riječi igra je

skupina igraćih rekvizita i mnoštvo svih uputa ili pravila što reguliraju njezin tok. U užem

smislu riječi igra je jednokratna praktična izvedba igre u širem smislu riječi; u ovom značenju

riječi upotrebljavamo umjesto riječi igra i riječi partija, utakmica, match, itd. (Vadnal, 1980,

citirano prema Škurdija, 2014).

1 E. Borel: Sur les systems de formeslineaires a déterminantsymetriquegauche et lathéoriegénéraldujeu, C. R. de l'AcademiedesSciences, No. 184, 1927.2 J. von Neumann: ZurTheorie der Gessellschaftsspiele, Math. Annalen, No. 100, 1928.3 J. von Neumann, O. Morgenstern: TheoryofGamesandEconomicBehavior, Princeton N. Y., 1944.4 Igra s nultim rezultatom je igra kod koje je dobitak jednog igrača jednak gubitku drugog igrača, i obrnuto.5 Prema Schelling (2007) igra bez nultog rezultata bi morala biti igra „čiste suradnje“, u kojoj igrači zajedno pobjeđuju ili gube, s identičnim preferencijama prema rezultatu.

1

2. Kooperativne i

nekooperativne igre

U teoriji igara razlikujemo kooperativne od nekooperativnih igara. U kooperativnim

igrama imamo obvezujuće dogovore koje provodi neka viša sila i svaka kooperacija može biti

provedena zahvaljujući nadređenoj sankcijskoj sili. Polazi se od pretpostavke da je ekvilibrij

kooperativne igre Pareto-optimum. Ako rezultat nije Pareto-optimalan, onda prema definiciji,

postoji neki drugi rezultat koji preferiraju svi igrači ( ili neki preferiraju, a ostali su

indiferentni). Dakako igra može imati više Pareto-optimum točaka i u literaturi o teoriji igara

susrećemo mnoge alternativne koncepte rješenja kooperativnih igara, odnosno ad hoc načine

izbora specifičnih Pareto-optimalnih točaka. Posebno ističemo dvije od njih: koncept jezgre i

indeks moći svakog igrača u formaliziranom postupku odlučivanja. Jezgra je skup strategija

ravnoteže od koje se niti jednom igraču ne isplati odstupiti, odnosno ni jedan igrač nema

strategiju koja je superiorna svim strategijama ostalih. (McLean, 1997.: 200, citirano prema

Brkić, 2003).

Pri nekooperativnim igrama polazi se od toga, da čak i kad igrači međusobno

komuniciraju, nisu mogući obvezujući dogovori. U ovoj se vrsti igara polazi od pretpostavke

o nepostojanju sile koja bi vršila sankcije odnosno koja bi bila u stanju provesti dogovor.

Najpoznatija nekooperativna igra varijabilnoga zbroja jest zatvorenikova dilema gdje

individualno racionalno ponašanje vodi kolektivno nezadovoljavajućem rezultatu. Na ovome

mjestu bitno je napraviti i razlikovanje tzv. igara nultog zbroja čije je glavno obilježje

održavanje totalnog konflikta pri kojem dobitak jedne strane automatski znači gubitak druge

strane. Dakle, potpuno je svejedno što dva aktera čine, kolektivna dobit ostaje konstantnom.

Nasuprot tome, za nas su zanimljivije igre varijabilnog zbroja, koje se odlikuju time da zbroj

brojeva koji označavaju vrijednost dobiti daju različite veličine pokazujući da je kolektivna

korist varijabilna. Mogućnost kolektivno nezadovoljavajućeg rezultata počiva upravo na tome

što je ukupna dobit različitih rezultata različita. Postoji čitav niz nekooperativnih igara

varijabilnog zbroja, u kojima bi primjena maksmin strategije vodila besmislenim rezultatima.

Stoga se u nekooperativnim igrama varijabilnog zbroja rješenje određuje s pomoću tzv.

Nashova ekvilibrija odnosno Nashove ravnoteže (Zuern, 1992.: 329, citirano prema Brkić,

2003).

2

2.1.Nashova ravnoteža

Nashova ravnoteža se odlikuje time da se ni jednom od dvojice igrača ne isplati napuštati

stanje Nashove ravnoteže jer svako individualno odstupanje od jake Nashove ravnoteže vodi

tome da onaj koji odstupa ne može doći u bolji položaj. Dakle, Nashova ravnoteža je

interakcijski rezultat, pri čemu ni jedan akter koji sudjeluje neće požaliti svoj izbor nakon što

je upoznat s izborom svoga oponenta. Svaka igra s konačnim brojem rundi igara i kardinalnih

brojeva koji označuju vrijednost dobiti, ima najmanje jednu takvu točku ravnoteže, kad su

dopuštene mješovite strategije (Zuern, 1992.: 329, citirano prema Brkić, 2003).

3. Ekstenzivni i normalni oblik

igre

Ekstenzivni oblik igre se još naziva i igra u obliku stabla, dok se normalni oblik naziva

matrična igra te se prikazuje u tablicama. Ovi oblici igre su najčešće korišteni kod analize

igara dviju osoba. Uključuje sve bitne značajke primitivnih pojmova kao što su; igrači,

njihove strategije, mogući dobitci te prednosti igrača kod različitih ishoda (Zagare, 1989).

3.1.Primjer ekstenzivnog oblika igreDa bi vidjeli kako su te značajke prikazane simbolički, možemo pogledati sliku

Slika1., ekstenzivni oblik jednostavne igre sa dvije karte (A-as i K-kralj), gdje igrači igraju na

način kao u kartaškoj igri poker.

3

Slika 1. Primjer jednostavne kartaške igre

Ovaj primjer igre se čita s lijeva na desno, gdje skroz lijevi čvor označava slučajan

odabir karte te nakon toga slijedi čvor koji označava prvog igrača, crvene boje (u daljnjem

tekstu igrač A), te drugi igrač, plave boje (u daljnjem tekstu igrač B). Dakle, početni čvor

označava slučajan odabir karte, u ovom slučaju tu postoje dvije grane gdje svaka označuje

jednu kartu. Nakon slučajnog odabira karata na potezu je igrač A koji ima na izbor dvije

opcije, a to su povisiti ulog ili odustati. Ovisno o tome koju je kartu dobio igrač A odlučuje o

svojoj strategiji. Igrač B ima također dvije strategije, a to su da prati ulog od igrača A ili da

odustane. Nakon poteza igrača A, igrač A zna svoju poziciju u stablu, ali igrač B ne zna, zato

mu je otežan izbor kod odabira strategije gdje će imati pozitivan dobitak.

Ako u aplikaciji Gambit pokrenemo izračun ove igre, moći ćemo vidjeti optimalne

strategije igrača, odnosno vjerojatnosti odabira određene strategije. Izračun možemo vidjeti na

slici Slika 2. Izračun je izrađen prema Nash-ovim pristupom.

Slika 2. Primjer izračuna strategije kod jednostavne kartaške igre

Sada na slici Slika 2. možemo vidjeti koje su vjerojatnosti da neki igrač odigra

određenu strategiju. Krenimo od slučaja gdje igrač A dobije kartu A (as). Igrač A ima na izbor

dvije strategije. Ako izabere strategiju Odustani dobit će najviše jednu kunu. Ali ako povisi

ulog ima šansu da osvoji ulog od dvije kune ili ulog od jedne kune, što je bolje od strategije

Odustani. Zato će igrač A kada dobije kartu A (as) igrati uvijek strategiju Povisi. Sada je na

redu igrač B. Igrač B ne zna koju je kartu dobio igrač A, zato moramo gledati sve dobitke

4

odnosno gubitke kod igrača B, a to su -2, -1 i 2. Igrač B će u dvije trećine slučajeva birati

strategiju Prati jer mu ona može donijeti dvije kune, što je bolje od strategije Odustani kod

kuje gubi svaki put jednu kunu, ali mu strategija Prati također može donijeti i gubitak od dvije

kune. Zato će u jednoj trećini slučajeva birati strategiju Odustani kod koje može izgubiti samo

jednu kunu, što je opet manje nego kod strategije Prati gdje može izgubiti dvije kune.

Pogledajmo sada slučaj gdje igrač A dobije kartu K (kralj). Za razliku od karte A (as)

ovdje igrač A može izgubiti ulog. U dvije trećine slučajeva birat će strategiju Odustani jer kod

nje može izgubiti samo jednu kunu, za razliku od strategije Povisi kod koje ako igrač B

odabere Prati može izgubiti dvije kune. U jednoj trećini slučajeva birat će strategiju Povisi jer

ako igrač B odustane može osvojiti jednu kunu.

3.2.Primjer normalnog oblika igre

Kako sam već napisao na početku, kod normalnog oblika koristimo matrice odnosno

tablice za prikaz dobitak odnosno gubitaka igrača. Kao primjer ću uzeti jedan od poznatijih

primjera u teoriji igara, zatvorenikova dilema. Ovdje se radi o nekooperativnoj igri jer lopovi

ne mogu surađivati. Lopovi su u posebnim sobama i sudac im je rekao koje su sankcije ako

priznaju, a koje ako ne priznaju zločin te im nudi nagodbu. U tablici Tablica 1. možemo

vidjeti koliko godina zatvora dobivaju ovisno o tome da li će priznati ili ne priznati zločin.

Kao nazive lopova, koristio sam Igrač A i Igrač B.

Igrač B

priznati ne priznati

Igrač Apriznati 3, 3 0, 5

ne priznati 5, 0 1, 1

Tablica 1. Primjer zatvorenikove dileme

Ako obojica zatvorenika priznaju zločin, tada će sudac dosuditi svakome po tri godine

zatvora. Ako ni jedan od zatvorenika ne priznaju zločin tada će dosuditi svakome po jednu

godinu zatvora. Te ako jedan zatvorenik prizna zločin, a drugi ne, sudac može u zamjenu za

njegovo priznanje pustiti tog zatvorenika a drugi će dobiti pet godina zatvora.

Primjer zatvorenikove dileme predstavlja primjer dominantne strategije. Jednom kada

pretpostavimo da je cilj svakoga zatvorenika izbjeći zatvor, priznanje je dominanta strategija

za svakoga zatvorenika. Prema tome, možemo očekivati da će zatvorenici postići ekvilibrijum

5

u kojem će svatko biti osuđen na tri godine zatvora. Svaki zatvorenik zna da je najbolje

priznati, ali ipak dolazi do paradoksalnog rezultata u kojem dolaze u goru poziciju nego da su

obojica odlučila ne priznati i time dobila jednu godinu zatvora (Bojanić, Ereš, 2013).

4. Aplikacija Gambit

4.1.Što je to Gambit?

Gambit je skup softverskih alata za obavljanje računanja konačnih, nekooperativnih igara.

Ono uključuje grafičko sučelje za interaktivnu izgradnju i analizu općih igara u ekstenzivnim

ili strateškim oblicima; velik broj komandno-linijskih alata za računanje Nashove ravnoteže i

ostalih koncepata u igrama; i skup datotečnih formata za pohranu i prijenos igara na ostale

alate (Gambit, 2013).

4.2.Kratka povijest

Gambit projekt je osnovan sredinom 1980-ih, a osnovao ga je Richard McKelvey at the

California Institute of Technology. Izvorna implementacija je napisana u BASIC-u sa

jednostavnim grafičkim sučeljem. Taj kod je prenesen u C oko 1990 godine uz pomoć Bruce

Bell, te je javno distribuiran kao verzija 0.13 1991. i 1992. godine. Veliki korak u evoluciji

Gambit-a se odrazio nakon dodjele bespovratnih sredstava NSF-a 1994. NSF je sponzorirao

kompletan prijepis Gambit-a u C++. Grafičko sučelje je bilo portabilno kroz više platformi

kroz korištenje wxWidgets biblioteke. Razvoj od sredine 2000-ih se fokusirao na dva cilja.

Prvi, da je grafičko sučelje bilo redizajnirano i modernizirano, sa ciljem da prati principe

dizajna, osobito u olakšavanju učenja novim korisnima Gambit-a i teorije igara. Drugi,

unutarnja arhitektura Gambit-a je promijenjena da poveća interoperabilnost između alata koje

pruža Gambit i onih koji su pisani samostalno (Gambit, 2013).

4.3.Glavne značajke

Gambit ima velik broj značajki korisnih i za istraživača i za instruktora:

Interaktivno, grafičko sučelje za razne platforme

Sve značajke Gambit-a su dostupne kroz korištenje grafičkog sučelja, koje radi na više

operacijskih sustava: Windows, različiti oblici Un*x (uklučujući Linux) i Mac OS X. Sučelje

nudi fleksibilne načine za stvaranje ekstenzivne i strateške igre. Nudi sučelje za pokretanje

6

algoritma za izračun Nash-ove ravnoteže i za vizualizaciju dobivenih rezultata u obliku stabla

ili tablice, kao i alat za interaktivnu analizu dominacije radnji ili strategija u igri.

Konzolni alati za izračun ravnoteža

Naprednije aplikacije često zahtijevaju puno vremena i sposobnosti za izračun. Svi algoritmi u

Gambit-u su podijeljeni zasebno, konzolni alati, čije operacije i izlaze možemo konfigurirati.

Proširivanje i interoperabilnost

Gambit-ovi alati čitaju i pišu formate datoteka koji su tekstualni i dokumentirani, čineći ih

prenosivima kroz sustave i čitljivima vanjskim alatima. To je, dakle, zato da se prošire

mogućnosti Gambit-a, primjerice, uvođenjem nove metode izračuna ravnoteže, promjenom

postojećih na učinkovitije ili za stvaranje alata za programsko kreiranje, obradu i

transformaciju igara (Gambit, 2013).

4.4.Nedostaci kod Gambit-a

Gambit ima nekoliko ograničenja koja mogu biti važna u neki aplikacijama.

Gambit je samo za konačne igre

Zbog matematičke strukture konačnih igara, moguće je napisati mnogo načina za analiziranje

takvih igara. Tako se Gambit može koristiti u raznim primjenama teorije igara. Međutim, igre

koje nisu konačne, igre u kojima igrač može izabrati između mnogo akcija ne može koristiti

metode kao kod konačnih.

Gambit je samo za nekooperativne igre

Gambit se fokusira na granu teorije igara u kojoj su pravila igre napisana eksplicitno i u

kojima igrači biraju svoje strategije samostalno. Gambit-ov analitički alat se fokusira

prvenstveno na Nash-ov ekvilibrij i na srodne koncepte racionalnosti kao što je kvantalna

ravnoteža. Gambit u ovom trenutku ne podržava analizu igara napisanih u kooperativnoj

formi (Gambit, 2013).

4.5.Grafičko sučelje

Gambit-ovo grafičko sučelje pruža „integriranu razvojnu okolinu“ da olakša vizualnu

izradu igara te analizu njihovih glavnih strategija. Sučelje je izrađeno na način da možemo

interaktivno izrađivati i analizirati igre, od malih pa sve do većih. Sučelje je jako korisno

onima koji žele naučiti osnove teorije igara i za izradu prototipa igara.

7

4.5.1. Opći izgled glavnog programa

Glavni prozor programa sastoji se od dva bitna okvira. Glavni okvir, na desnoj strani

prikazuje igru grafički. Na lijevoj strani se nalazi igračev okvir, koji sadrži popis igrača u igri.

Informacije su obojene da bi se pridružile igračima pod određenim bojama. Isplate su također

po bojama da se mogu pridružiti igračima. Moguće je i promijeniti imena igračima tako da

kliknemo dvaput na ime igrača. Dva dodatna okvira su još dostupna iz izbornika Tools-

>Dominance i View->Profiles. Dominance se otvara u gornjem dijelu prozora. Pomoću njega

možemo kontrolirati i eliminirati strategije koje su dominantne. Profiles prikazuje listu

izračunatih strategija u igri (Gambit, 2013).

4.5.2. Ekstenzivne igre

4.5.2.1. Kreiranje nove ekstenzivne igre

Da bi kreirali novu ekstenzivnu igru, izaberemo File->New->Extensive game, ili kliknemo na

alatnoj traci na ikonu za stvaranje nove ekstenzivne igre. Kreirana ekstenzivna igra je

trivijalna igra sa dva igrača, nazvani na početku Player 1 i Player 2, sa jednim čvorom koji je

univerzalan i korijen igre. Ekstenzivne igre imaju također posebnog igrača koji se zove

Chance, koji predstavlja slučajne događaje koji nisu kontrolirani od igračevih strategija

(Gambit, 2013).

4.5.2.2. Dodavanje poteza

Postoje dvije opcije za dodavanje poteza u stablo: „drag-and-drop“ i Insert

movedialog. Ako dodajemo pomoću „drag-and-drop“ opcije, iz prozora sa igračima

povučemo ikonu igrača koji će imati potez na čvor gdje želimo taj potez. Stablo će biti

prošireno sa novim potezom igrača sa dvije akcije na tom potezu. Dodavanje poteza za

Chance igrača se radi na isti način osim da su kod Chance igrača na lijevoj strani kockice. Za

igrača Chance, dvije kreirane akcije imat će vjerojatnost od jedne polovine. Ako želimo imati

8

više od dvije akcije, dodatne akcije možemo dodati na način da povučemo ikonu igrača na taj

čvor; to će dodati još jednu akciju na potez igrača svaki put kada to napravimo (Gambit,

2013).

Drugi način dodavanja je pomoću Insert move dialoga. Označimo čvor na koji želimo

dodati akcije i iz izbornika Edit odaberemo Insert move i zatim se otvori prozor za dodavanje

poteza koji možemo čitati kao rečenicu. Prva kontrola označava igrača za kojeg želimo dodati

poteze. Kod druge kontrole biramo kojoj skupini informacija želimo dodati potez. I kod treće

kontrole biramo broj akcija koje želimo dodati (Gambit, 2013).

4.5.2.3. Upravljanje skupinom podataka

Gambit nudi nekoliko načina koji mogu pomoći kod upravljanja strukturom podataka

u ekstenzivnim igrama. Kod izgradnje stabla, novi potezi mogu biti smješteni u određenu

skupinu podataka pomoću Insert move dialoga. Osim toga, novi potezi mogu biti kreirani i

pomoću „drag-and-drop“ opcije tako da držimo tipku Shift i povučemo čvor u neki drugi čvor

u stablu. Taj novi čvor će biti smješten u istu skupinu podataka kao i čvor kojeg smo povukli

(Gambit, 2013).

4.5.2.4. Ishodi i isplate

Gambit podržava specifikaciju isplata na svakom čvoru u stablu. Svaki čvor je kreiran

bez ishoda, u tom slučaju svaki čvor je postavljen na nulu za svakog igrača. U igri to se

prikazuje sa znakom (u) u svijetlo sivoj boji desno od čvora (Gambit, 2013).

4.5.2.5. Ostale funkcije kod izrade stabla

Gambit nudi također označavanje čvorova i grana sa oznakama radi lakšeg snalaženja

u samom stablu. Kontroliranje izgleda stabla je implementirano automatski i to pruža jako

dobre rezultate za većinu igara. Vertikalni razmak između čvorova može se postaviti i ručno

te će stablo imati veći vertikalni razmak. Također postoje i dva načina crtanja grana koje

možemo jednostavno postaviti i vidjeti koji nam najbolje odgovara. Tu je još i izbor fontova

kao i boje, a i veličine (Gambit, 2013).

9

4.5.3. Strateške igre

Gambit pruža punu podršku za kreiranje proizvoljnih strateških igara sa N-igrača. Za

ekstenzivne igre Gambit automatski izračunava odgovarajuću reduciranu stratešku igru.

Takve igre u strateškom obliku se ne mogu izravno mijenjati, umjesto toga možemo urediti

originalnu ekstenzivnu igru i Gambit će automatski izračunati stratešku igru nakon promjena

na ekstenzivnoj igri (Gambit, 2013).

4.5.3.1. Značajke strateške igre

Gambit prikazuje stratešku igru u tabličnom obliku. Svi igrači su dodijeljeni ili u

redove ili u stupce i svaki igrač ima isplate koje su zapisane u tablici i odgovaraju njihovim

strategijama.Za igre s dva igrača, ovo je početni prikaz konfiguriran tako da bude sličan

standardnoj formi prikaza strateških igara u tablicama, gdje je jednom igraču dodijeljeno da

bude „red“ igrač, a drugi da bude „stupac“ igrač. Gambit omogućuje i fleksibilniji raspored u

kojem više igrača može biti dodijeljeno redovima i više igrača stupcima. To je od osobite

koristi za igre s više od dva igrača. Raspored igrača na redove i stupce je u potpunosti

prilagodljiv. Da bismo promijenili raspored igrača, povučemo ikonu osobe s lijeve strane

imena igrača na alatnoj traci na bilo koji dio područja u isplatama u tablici. Isplate za svakog

igrača su navedene posebno za svaku strategiju u igri (Gambit, 2013).

4.5.4. Dominantne strategije i akcije

Alatna traka za dominacije radi na isti način kao i kod ekstenzivnih igara. Strategije

mogu biti iterativno eliminirane na temelju toga da li su strogo ili slabo dominirale. Kod

strateških igara dominirana strategija se prekriži, dok se kod ekstenzivnih igara obriše grana

koja je dominirana. Na alatnoj traci možemo klikom na ikonu za sljedeću razinu vidjeti

postupno kako se uklanjaju dominantne strategije.

10

5. Zaključak

Gambit je jako korisna i jednostavna aplikacija. Nudi mnogo mogućnosti kod izrade i

izračuna igara. Nije previše zahtjevna te ju može koristiti svako računalo. Nedostatak je taj da

još nema podršku za kooperativne igre, već se može koristiti samo za nekooperativne igre.

Imamo dva načina izrade igara, ekstenzivni i strateški oblik odnosno u obliku stabla i u obliku

tablica. Jedna od prednosti je i ta da ima izvoz u razne formate slika što nam olakšava prikaz

igre na nekim drugim uređajima.

11

6. Literatura

[1] Frank C. Zagare (1989) Game Theory: Concepts and Applications. Newbury Park: SAGE Publications, Inc.

[2] Brkić, L. (2003). Temeljni koncepti teorije igara u međunarodnoj ekonomiji. Politička misao. [PDF]. Vol.39 No.3, str. 75-87. Dostupno na: http://hrcak.srce.hr/index.php?show=clanak&id_clanak_jezik=37322 [preuzeto 03.prosinac 2014].

[3] Škurdija, I. (2014). Matrična igra. Završni rad, Varaždin: Fakultet organizacije i informatike Varaždin.

[4] Ereš, M., Bojanić, I.B. (2013). Teorija igara i pravo. Pravni vjesnik. [PDF]. Vol.29 No.1, str. 59-76. Dostupno na: http://hrcak.srce.hr/index.php?show=clanak&id_clanak_jezik=163567 [preuzeto 03. Prosinac 2014].

[5] Gambit (1994-2014). Gambit: Software Tools for Game Theory. [Internet] Preuzeto sa: http://gambit.sourceforge.net/gambit14/index.html [pristupljeno 03. Prosinac 2014].

12