Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje

SPLIT

KVALIFIKACIJSKI ISPIT

Primjena Network Calculus teorije u odreĎivanju performansi komunikacijskih mreža

ĐANI VLADISLAVIĆ

Rujan 2012.

2

Sadržaj:

1 Uvod ...........................................................................................................................................5

1.1 Parametri određivanja kvalitete usluge ................................................................................7

2 Metode osiguranja kvalitete usluge u IP mrežama ..................................................................... 10

2.1 Integrirane usluge (Integrated Sevices, IntServ).................................................................. 10

2.2 Razlikovne usluge (Differentiated Services, DiffServ) .......................................................... 10

2.3 MPLS (Multiprotocol Label Switching) ................................................................................ 11

2.4 DiffServ/MPLS ................................................................................................................... 11

2.5 QoS mehanizmi ................................................................................................................. 11

2.5.1 Izbjegavanje zagušenja (congestion avoidance) .......................................................... 12

2.5.2 Upravljanje zagušenjem (congestion management) ................................................... 12

2.5.3 Klasifikacija prometa (traffic classification)................................................................. 12

2.5.4 Upravljanje prometom i oblikovanje prometa (policing and shaping) ......................... 13

3 Sustavi s posluživanjem u analizi komunikacijskih mreža ........................................................... 14

3.1 Teorija sustava .................................................................................................................. 14

3.2 Sustavi s posluživanjem (Queuing Theory).......................................................................... 15

3.2.1 Poisson-ov proces ...................................................................................................... 15

3.2.2 M/M/1 i M/M/N sustavi s posluživanjem ................................................................... 16

3.2.3 Sustavi s posluživanjem i QoS ..................................................................................... 17

4 Network Calculus - osnove ........................................................................................................ 18

4.1 Min-plus algebra ................................................................................................................ 19

4.2 Max-plus algebra ............................................................................................................... 20

5 Deterministički NC .................................................................................................................... 22

5.1 Koncept funkcije dolaznog toka ......................................................................................... 22

5.2 Koncept funkcije posluživanja ............................................................................................ 23

5.3 Temeljni rezultati determinističkog NC-a ........................................................................... 25

5.4 Modeli temeljeni na determinističkom NC-u ...................................................................... 28

5.4.1 Sustavi s gubicima paketa .......................................................................................... 28

5.4.2 Sustavi s povratnom informacijom ............................................................................. 28

5.4.3 Primjena kod raspoređivanja paketa .......................................................................... 29

3

5.4.4 Mrežne topologije...................................................................................................... 33

5.4.5 Deterministički NC na temelju mjerenja ..................................................................... 36

5.5 Prednosti i nedostaci determinističkog NC-a ...................................................................... 37

6 Stohastički NC ........................................................................................................................... 38

6.1 Stohastičke funkcije dolaznog toka .................................................................................... 38

6.1.1 Statističke granične funkcije dolaznog toka kao ne-nasumične funkcije ...................... 38

6.1.2 Statističke granične funkcije dolaznog toka kao nasumični procesi ............................. 40

6.2 Statističke funkcije posluživanja ......................................................................................... 41

6.2.1 Statističke funkcije posluživanja kao ne-nasumične funkcije ....................................... 41

6.2.2 Statističke funkcije posluživanja kao nasumični procesi .............................................. 43

6.3 Sustavi s kraja na kraj......................................................................................................... 44

6.4 Prednosti i nedostaci stohastičkog NC-a............................................................................. 46

7 Zaključak ................................................................................................................................... 47

Literatura: ......................................................................................................................................... 48

Kratice .............................................................................................................................................. 51

4

Slika 1. Penetracija telekoma u poslijednjem desetljeću .....................................................................5

Slika 2. Odnos podatkovnog i glasovnog prometa ..............................................................................5

Slika 3. Odnos prihoda i troškova operatera kroz vrijeme.....................................................................6

Slika 4. Arhitektura QoS-a prema ITU-T ............................................................................................ 12

Slika 5. Algoritam spremnika s otjecanjem (token bucket) .................................................................. 22

Slika 6. Funkcija posluživanja sa kašnjenjem .................................................................................... 25

Slika 7. Nedovršeni posao i kašnjenje ............................................................................................... 26

Slika 8. Gornja granica izlaznog toka ................................................................................................. 26

Slika 9. Ulazni tok , izlaz greedy shaper-a i izlaz paketizatora ......................................... 27

Slika 10. Prozorski algoritam kontrole zagušenja ............................................................................... 29

Slika 11. Linijska topologija s prometom preko čvora ......................................................................... 34

Slika 12. Jednosmjerne i nejednosmjerne mreže ............................................................................... 34

Slika 13. Raščlanjivanje kod jednosmjernih mreža............................................................................. 35

Tablica 1. QoS zahtjevi nekih aplikacija ...............................................................................................9

5

1 Uvod

Proteklo desetljeće u svijetu telekomunikacija obilježeno je izrazitim povećanjem broja korisnika

mobilnih ureĎaja voĎenih u prvom redu penetracijom Smarthphone ureĎaja te HSDPA USB ureĎajima

za bežično spajanje Notebook-a. Slika 1 prikazuje kretanje udjela mobilnih pretplatnika u odnosu na

ostale korisnike.

Slika 1. Penetracija telekoma u posljednjem desetljeću [1]

MeĎutim, izvjesno je da povećanje broja mobilnih ureĎaja ne prati i porast broja korisnika govornih

usluga koje su bile (i još jesu) najveći izvori prihoda operatera. Odnos podatkovnog i govornog

prometa, voĎen izrazitim povećanjem multimedijskih mobilnih aplikacija, nekoliko puta se povećao u

korist podatkovnog prometa u proteklih nekoliko godina (Slika 2).

Slika 2. Odnos podatkovnog i glasovnog prometa [2]

Temeljni problem mrežnih operatera je što trend povećanja prometa, zahtjeva i troškova mreže ne

prati istodobno i povećanje prihoda i dobiti. Rješenje ovog izazova predstavlja osnovni cilj mrežnih

operatera (Slika 3).

6

Slika 3. Odnos prihoda i troškova operatera kroz vrijeme

Povijesno gledajući, postoje dvije svjetske telekomunikacijske mreže: javna telefonska mreža - PSTN i

Internet. PSTN mreža se bazira na komutaciji kanala i radi na temelju konstantne pojasne širine te

malih, ali jednakih zakašnjenja. Nudi široki spektar visoko kvalitetnih govornih usluga. Internet koristi

paketnu mrežu koja se bazira na IP protokolu. Nudi vrlo fleksibilne usluge spajanja kao što su e-pošta,

virtualne privatne mreže (VPN) i pristup Internetu. Svojstva IP protokola ne osiguravaju konstantnu

pojasnu širinu, jednaka zakašnjenja i odgovarajuću kvalitetu usluge. Usluge prijenosa isključivo

govornog prometa putem tradicionalne mreže s komutacijom kanala su u opadanju, ali i dalje čine

velik i važan dio izvora prihoda za telekomunikacijske operatore. Usluge govorne komunikacije će

dominirati i u doglednoj budućnosti, ali temeljene na IP protokolu i obogaćene podrškom za

multimedijske usluge (VoIP, IPTV, VoD, interaktivne mrežne igre,...).

Osnovni zahtjev multimedijalnih usluga na mrežu jest omogućavanje tražene kvalitete usluge (QoS).

Postoji više definicija kvalitete usluge. U najširem smislu, može se definirati kao stupanj zadovoljstva

korisnika usluge (ITU-T Recommendation E.800). ISO 8402 definira kvalitetu kao: “skup karakteristika

odreĎenog entiteta koji označava stupanj zadovoljavanja navedenih i podrazumijevanih potreba“,

slično ISO 9000 definira kvalitetu kao: “stupanj do kojeg su zadovoljeni odreĎeni zahtjevi“.

Mreže sljedeće generacije ili NGN mreže predstavljaju konvergentne mreže koje omogućavaju, ne

samo prijenos podataka već i prijenos govora i multimedije. Definicija NGN-a prema ITU-T-u je

sljedeća: “Paketski zasnovana mreža koja omogućuje uporabu višestrukih širokopojasnih tehnologija s

potporom za kvalitetom usluge u kojoj su uslužne funkcije neovisne o transportnim tehnologijama.

Omogućuje nesputani korisnički pristup mrežama i konkurentskim davateljima usluga te podržava

neograničenu pokretljivost koja omogućuje konzistentno i sveprisutno pružanje usluga“.

Optimalna iskorištenost mrežnih resursa, uz zadovoljavanje tražene kvalitete usluge (QoS) pojedinim

aplikacijama, trebalo bi umanjiti troškove mreže te samim time omogućiti veću dobit mrežnim

operaterima.

Središnji element ovog rada je Network calculus teorija i njena primjena u analizi QoS performansi

komunikacijskih sustava. Istraživanja na području primjene i unapreĎenja Network calculus teorije vrlo

su intenzivna proteklih godina, najnovije dostupne spoznaje prikazuju se u ovom radu.

7

1.1 Parametri određivanja kvalitete usluge

Kvaliteta usluge (QoS) kvantificira se skupom parametara koji odreĎuju performanse prometa u mreži.

Parametri QoS-a ovise od sloju na kojem se razmatraju. Tako se ne mogu razmatrati isti parametri na

fizičkom i aplikacijskom sloju. S druge strane, svi parametri su bitni da bi korisnik na svom

aplikacijskom nivou imao dobar subjektivan doživljaj usluge.

Parametri kvaliteta usluge koji najčešće definiraju razinu QoS-a su:

Gubitak paketa (packet losses)

Kašnjenje (latency)

Varijacija kašnjenja (jitter)

Brzina (throughput)

Brzina (throughput) se definira kao trenutna brzina prijenosa koja se postiže izmeĎu dva kraja mreže

(end-to-end) i osnovni je parametar QoS-a.

Varijacija kašnjenja (jitter) je drugi najvažniji parametar QoS-a. Definira se kao mjera promjenjivosti

kašnjenja. To je pojava koja negativno utječe na performanse mreže, pogotovo ako se radi o prijenosu

u realnom vremenu. Mreža može imati odlične karakteristike kašnjenja, ali izražena varijacija

kašnjenja može biti izrazit problem za aplikacije u realnom vremenu.

Gubici paketa (packet losses) su neizbježni u prijenosnim sustavima, primjerice kao posljedica

zagušenja. Za neke aplikacije kao što su multimedijske aplikacije mali paketski gubici nisu uvijek

problem za zadovoljavajuću kvalitetu usluge. U ovakvim slučajevima periodi gubitaka su takoĎer

značajan parametar. Vrijeme gubitaka ili uzorak gubitaka je važan parametar koji često može pomoći

u odreĎivanju uzroka gubitaka i načina suzbijanja te pojave. Internet je najvidljiviji primjer pojave

uzorka gubitaka, kod kojeg gubici imaju karakteristiku da se pojavljuju u skupovima.

Kašnjenje (latency) je jednako vremenu koje protekne od trenutka slanja paketa s jednog kraja mreže,

do trenutka njegovog prijema na prijemniku. Kašnjenje ovisi o vremenu propagacije elektromagnetnog

signala kroz medij (i samim time o vrsti medija), vremena posluživanja paketa te vremena čekanja

paketa u redovima čekanja.

Različite aplikacije postavljaju i različite QoS zahtjeve na mrežu. [3] dijeli aplikacije prema zahtjevima

za QoS na aplikacije za rad u realnom vremenu (real-time) i aplikacije koje nisu namijenjene za rad u

realnom vremenu (non-real-time), te na simetrične i asimetrične. Osnovne osobine aplikacija za rad u

realnom vremenu su izrazita osjetljivost na kašnjenje i varijacija kašnjenja, dok je moguće tolerirati

manje gubitke informacije. Aplikacije koje nisu namijenjene za rad u realnom vremenu u prvi plan

stavljaju točnost prenesene informacije, dok je vremenska komponenta prijenosa u drugom planu.

Simetrične aplikacije su one koje podjednako koriste resurse za zahtjeve i odgovore na zahtjeve, dok

asimetrične znatno više koriste resurse za odgovore nego za zahtjeve. Primjeri aplikacija koje nisu

namijenjene za rad u realnom vremenu i asimetričnih aplikacija su Web Browsing (HTTP), Enhanced

Web Browsing, E-mail, FTP, Telnet. Primjer aplikacija koje nisu namijenjene za rad u realnom

vremenu i simetričnih aplikacija je Internet relay chat. Aplikacije za rad u realnom vremenu i

asimetrične aplikacije su primjerice Audio Broadcasting, Video Broadcasting, Interactive Audio on

Demand, Interactive Video on Demand, Telemetrija. Primjeri aplikacija za rad u realnom vremenu i

8

simetričnih aplikacija su Videophony i VoIP. Tablica 1 prikazuje neke od aplikacije te njihove zahtjeve

za QoS.

Usluge na Internetu koriste tzv best effort model - mreža će nastojati zadovoljiti korisnikove zahtjeve,

ali bez ikakvih garancija da će tražena kvaliteta zaista biti pružena. U većini primjera zastupa se

elastičan pristup kvaliteti usluge, odnosno prilagoĎavanje promjenama u propusnosti i kašnjenju, dok

se niti u slučaju mrežnog zagušenja usluga ne odbija, već svi korisnici osjećaju pogoršanje kvalitete.

Kako je vidljivo iz Tablica 1, za multimedijske primijene takav model nije prihvatljiv. U tom kontekstu,

postavlja se pitanje o tome na koji način bi se moglo dograditi (modificirati) postojeći Internet (tj.

TCP/IP), tako da ta mreža može pouzdano jamčiti odreĎenu kvalitetu usluge – ovaj cilj očekuje se da

se ostvari u NGN mrežnim arhitekturama. Sljedeće poglavlje donosi pregled postojećih mehanizama

osiguranja kvalitete usluge u IP mrežama.

9

Tablica 1. QoS zahtjevi nekih aplikacija

Vrsta prometa Aplikacija Kodiranje klasa

QoS parametri

Kašnjenje (ms)

Jitter (ms) Bandwidth

(bps) Učestalost gubitaka

Telnet - - Non Real

Time i Asymmetric

< 250 N/A < 1 K Nula

Internet Relay Chat

- - Non Real

Time i Symmetric

< 200 N/A < 1 K Nula

Audio Broadcasting

- -

Real Time i Highly

Asymmetric <150

<100 56–64K <0.1%

Video Broadcasting

VCR Quality MPEG-1 <100 1.2–1.5M <0.001%

Video Quality (NTSC or

PAL) with bit rate of 4M

MPEG-2

<50 4–60 M <0.0001% HDTV

requiring bit rate from 15

–34 M

MPEG-2

Multimedia on Web

MPEG-4 <150 28.8–500K <0.001%

Interactive

Audio on Demand

MP3, 64K for

mono, 128K for stereo

MPEG-1

Real Time i

Highly Asymmetric

<150 <100

32–448K <0.1%

AAC providing CD

quality

audio

MPEG-2 384K <0.01%

Interactive

Video on Demand

VCR Quality MPEG-1

Real Time i

Highly Asymmetric

<150

<100 1.2–1.5M / A

Single Video <0.001%

Video Quality (NTSC or

PAL) with bit rate of 4M

MPEG-2 <50 4–60 M / A

Single Video <0.0001% HDTV

requiring bit rate

from 15–34

M

Multimedia

on Web MPEG-4 <100

28.8–500K / A

Single Video

<0.001%

Audio

Conferencing -

G.711

Real Time i

Symmetric <150 <400

80 K

<1%

G.726 50–22 K

G.728 22 K

G.729 11 K

G.723.1 9/8 K

GSM FR 18 K

GSM EFR 17 K

Video

Conferencing -

H.320 Real Time i

Symmetric <150 <400

80K–2M

<0.01% H.323 80X K

H.324 <80K

Videophony -

H.320 Real Time i Symmetric

<100 <400

80K–2M

<0.01% H.323 80X K

H.324 <80K

VoIP -

G.711

Real Time i Symmetric

<100 <400

80 K

<1%

G.726 50–22 K

G.728 22 K

G.729 11 K

G.723.1 9/8 K

GSM FR 18 K

GSM EFR 17 K

10

2 Metode osiguranja kvalitete usluge u IP mrežama

2.1 Integrirane usluge (Integrated Services, IntServ)

Integrirane usluge je naziv za proširenje Internet arhitekture i protokola kako bi se pružile integrirane

usluge, tj. kako bi se IP koristio za podršku usluga u realnom vremenu (real-time), kao i non-real-time

usluga. U IntServ arhitekturi definirane su dvije vrste usluga: usluga kontroliranog opterećenja (tok

podataka ima QoS kakvu bi imao pri malom opterećenju mreže u best-effort slučaju) i garantirana

(garantirano kašnjenje i propusnost s kraja na kraj). Kod IntServ usluge se pružaju pojedinom toku te

se polazi od pretpostavke da mora postojati izravan mehanizam za rezervaciju kapaciteta u mrežnim

elementima, kako bi se oni pripremili za pružanje usluge tokovima koji uslugu zahtijevaju. Taj

mehanizam u IntServ izvedbama pruža Resource Reservation Protocol (RSVP). Osnovni princip

rezervacije kod RSVP-a je da se resursi rezerviraju za svaki tok za koji se zahtijeva QoS, u svakom

mrežnom elementu (vezi ili usmjeritelju) na putu podataka od izvora do odredišta, tj. s kraja na kraj.

Vidljivo je da kod integriranih usluga sveukupna mrežna infrastruktura, tj. svi mrežni elementi na putu

od primatelja do pošiljatelja moraju podržavati RSVP. RSVP igra ulogu signalizacijskog (kontrolnog)

protokola. Pri tome RSVP ne uspostavlja vezu niti sudjeluje u odabiru staze – to je uloga protokola

usmjeravanja (RSVP konzultira lokalnu bazu usmjeravanja za dobivanje smjera). TakoĎer, RSVP ne

vrši prijenos podataka – to je uloga transportnih protokola. Integrirane usluge pokazale su se

uspješnim za manje zahtjevne mreže, ali u mreži veličine Internet-a nastaje problem opterećivanja

usmjerivača (overhead) zbog obrade u svakom usmjeritelju i za svaki tok pojedinačno. Jedan od

predloženih rješenja je korištenje jedne RSVP rezervacije da grupira druge RSVP rezervacije na

jednom području [4].

2.2 Razlikovne usluge (Differentiated Services, DiffServ)

DiffServ model je novija arhitektura od IntServ-a i omogućava diferenciranje usluga u mreži tako da se

različitim aplikacijama dodijeli odgovarajuća razina usluge uz zadržavanje visokog stupnja

skalabilnosti. Osnovna pretpostavka DiffServ mreža je da usmjeritelji unutar jezgri mreže upravljaju

paketima različitih prometnih tokova vršeći njihovo prosljeĎivanje uporabom različitih Per-Hop

Behavior (PHB). PHB se odreĎuje na temelju Differentiated Services Codepoint (DSCP) oznake

unutar IP polja zaglavlja. Rubni usmjeritelji pridružuju DSCP oznaku paketima na ulazu u DiffServ

mrežu. Prednost ove sheme leži u činjenici da se više prometnih tokova može grupirati u jedan tok i

proslijediti korištenjem istog PHB-a. Klasificiranje prometa može se vršiti na temelju bilo kojeg polja

zaglavlja. Za klasificiranje se može koristiti prijenosni protokol, izvorišna ili odredišna IP adresa i sl.

Jedan od problema sustava s posluživanjem je što je teško predvidjeti ponašanje mreže s kraja na

kraj jer će svaki usmjernik na putu samostalno odlučiti kako se odnositi prema pojedinoj vrsti usluge.

11

2.3 MPLS (Multiprotocol Label Switching)

MPLS ne pripada ni mrežnom sloju, niti sloju podatkovne veze ISO OSI modela. MPLS je po

funkcionalnosti izmeĎu ta dva sloja. Riječ multiprotocol dolazi od mogućnosti MPLS-a da radi s bilo

kojim protokolom mrežnog sloja. Ovdje se prvenstveno koncentrira na IP protokol, no postoji

mogućnost da se tehnologije poput ATM-a, pa čak i Frame Relay-a mogu uklopiti u koncept MPLS-a.

Kod MPLS-a podaci se prenose putem LSP-a (Label Switched Path) koji mogu biti predodreĎeni

eksplicitno od operatera. MPLS pokazuje znatna poboljšanja u smislu TE-a (Traffic Engineering) u

donosu na klasične IGP-ove (Interior Gateway protocol). LSP-ovi se izračunavaju u TE bazama

podataka (TED – TE database) isključivo na ulaznim usmjernicima i to CSPF (Constrained Shortest

Path First) algoritmom za razliku od IGP-ova gdje se zaglavlje svakog paketa koji prolazi mrežom

analizira pri svakom koraku na njegovom putu od usmjeritelja do usmjeritelja. TED-ovi se pune IGP

advertismet-ima. ProsljeĎivanje paketa MPLS mrežom zasniva se na Label-Swapping Forwarding

algoritmu (LFA).

2.4 DiffServ/MPLS

MPLS tehnologija predstavlja prikladnu metodu za osiguranje TE funkcionalnosti kao što su

rezervacija resursa, tolerancija na pogreške i optimizacija iskorištenosti resursa. Kombinirana uporaba

DiffServ i MPLS arhitekture predstavlja atraktivno rješenje problema osiguranja QoS-a za

multimedijski promet uz efikasno iskorištenje mrežnih resursa. Rezultat ove integracije je DiffServ-

aware Traffic Engineering (DS-TE). Ovaj model omogućava da MPLS-TE spozna klase usluge (Class

of Service, CoS) i osigura rezervaciju resursa sa CoS granularnošću, te MPLS toleranciju na pogreške

na CoS razini. U cilju omogućavanja DS-TE funkcionalnosti potrebna je razmjena DiffServ, MPLS i TE

informacija izmeĎu usmjeritelja na kontrolnoj ploči posredstvom dinamičkog signalizacijskog protokola.

Resource Reservation Protocol – Traffic Engineering (RSVP-TE) je odabran kao MPLS signalizacijski

protokol, dok je obustavljen rad na daljnjem razvoju Constraint based Routing Label Distribution

Protocol (CR-LDP). RSVP-TE predstavlja proširenje RSVP protokola koji je razvijen u okviru

Integrated Services (IntServ) arhitekture. S obzirom na nedostatke RSVP-a kao QoS signalizacijskog

protokola, potrebno je izvršiti njegovu optimizaciju. RSVP-TE koristi RSVP poruke za uspostavu,

održavanje (osvježavanje) i prekid TE LSP-a, te signalizaciju pogrešaka. RSVP-TE se koristi u MPLS

okruženju koje se razlikuje u odnosu na okruženje za koje je dizajniran originalni RSVP. U MPLS

mrežama ne dolazi do česte i brze promijene LSP-a. Kao rezultat, RSVP-TE ne mora manipulirati

velikim brojem novih ili modificiranih poruka. Većina razmjenjivanih poruka predstavljaju poruke

osvježavanja koje se upravljaju mehanizmima definiranim u [5]. Definiranje ovog dodatka čini RSVP-

TE idealnim za TE LSP unutar MPLS mreže. Iako se uz TE dodatak može razmatrati izvan QoS

konteksta, RSVP protokol predstavlja primarni QoS signalizacijski protokol u IP mrežama.

2.5 QoS mehanizmi

Mehanizme QoS-a možemo podijeliti na tri razine (Slika 4):

12

Kontrolna ravnina sadrži mehanizme koji upravljaju putevima prijenosa paketa. U ove

mehanizme spadaju kontrola pristupa, QoS usmjeravanje (MPLS), i rezervacija resursa

(RSVP).

Podatkovna ploča sadrži mehanizme koji se direktno bave korisničkim prometom. To su

upravljanje zagušenjem, izbjegavanje zagušenja, klasifikacija prometa, upravljanje prometom i

oblikovanje prometa.

Ravnina upravljanja sadrži mehanizme za administrativne aspekte mreže: pravila, SLA

(Service Level Agreement), mjerenje i snimanje prometa.

2.5.1 Izbjegavanje zagušenja (congestion avoidance)

U situacijama kada doĎe do zagušenja ono se razrješava tako što se odbacuju pristigli paketi.

Odbacivanje može biti inteligentno, kada se vodi računa koji se paketi odbacuju (RED - Random Early

Detection, WRED, Weighted RED) ili neinteligentno kada se odbacuje posljednji pristigli paket (tail

drop).

2.5.2 Upravljanje zagušenjem (congestion management)

U situacijama kada doĎe do zagušenja linka definira se koji će se paketi prvi slati i koji moraju čekati

što se postiže uvoĎenjem raznih redova čekanja i definiranjem pravila za njihovo razrješavanje. Tipovi

redova čekanja su FIFO (First In, First Out), WFQ (Weighted Fair Queuing), CQ (Custom Queuing),

PQ (Priority Queuing).

Slika 4. Arhitektura QoS-a prema ITU-T

2.5.3 Klasifikacija prometa (traffic classification)

Klasifikacija prometa vrši se na temelju TOS (Type of Service) bitova u zaglavlju IP paketa. Moguće je

definirati do šest klasa paketa za korisnički promet dok se preostala dva koriste za interne potrebe

mreže. Po ulasku paketa u mrežu TOS bitovi se najčešće resetiraju te se ažuriraju u skladu s

zahtjevima i dogovorenom potrebnom kvalitetom usluge (SLA).

13

2.5.4 Upravljanje prometom i oblikovanje prometa (policing and shaping)

Upravljanje prometom se zasniva na odbacivanju paketa kada njihov protok prijeĎe neke

administrativno postavljene parametre dok se oblikovanje prometa zasniva na zadržavanju paketa u

redu čekanja kada njihov protok prijeĎe administrativno postavljene parametre. Oba mehanizma

koriste spremnik s otjecanjem (token bucket) za kontrolu prometa. GTS mehanizam (Generic Traffic

Shaping) koristi WFQ dok FRTS (Frame relay Traffic Shaping) koristi CQ, PQ ili FIFO.

IETF Next Step in Signaling (NSIS) radna grupa formirana je s ciljem rješavanja problema QoS

signalizacije. Njen rad se fokusira na definiranju zahtjeva, okvira i protokola neophodnih za postizanje

tog cilja uz analizu postojećih QoS signalizacijskih protokola. Zadatak NSIS radne grupe nije

definiranje novog QoS signalizacijskog protokola, već optimizacija postojećih protokola unutar

definiranog okvira. Namjera je ponovno uporabiti odgovarajuće RSVP mehanizme uz svojevrsno

pojednostavljenje i definiranje generičkog signalizacijskog modela.

14

3 Sustavi s posluživanjem u analizi komunikacijskih

mreža

3.1 Teorija sustava

Teorija sustava koristi se kao alat u mnogim različitim područjima. Svim sustavima je zajedničko da

ulazni signal preslikavaju u izlazni. U različitim područjima ulazi i izlazi signala imaju različita značenja.

Područje u kojem se teorija sustava intenzivno koristi su i komunikacijski sustavi koji su temelj

električnih sklopova. Ulaz u ovim sustavima je električni signal koji je nosilac informacije, sustav je

prijenosni medij (žica ili zrak) preko kojeg se signal prenosi, a izlaz je signal koji dolazi do prijamnika,

koji je obično iskrivljen šumom signala na mediju. Opisani sustav u ISO-OSI modelu za računalne

mreže predstavlja predmet fizičkog sloja. Teoriju sustava za komunikacijske sustave razvio je

Kupfmuller još 1952. godine. Sustav mijenja ulazni signal, a tada se postavlja pitanje mogu li se

informacije iz ulaznog signala preuzeti iz izlaznog. Za to je neophodno znati kako sustav preslikava

ulaz u izlaz. Primjena metode grube sile u ovom slučaju bila bi implementiranje ili simulacija sustava

na način da se iscrpe sve mogućnosti ulaznih signala i zabilježe odgovarajući izlazi. S obzirom da je

broj mogućih ulaznih signala velik ova metoda ne spada u realne opcije.

Postojanje lakše obradivih načina preslikavanja ulaznih u izlazne signale ovisi ponajviše o svojstvima

sustava od kojih ovdje navodimo osnovne. Sustav bez memorije je sustav čiji izlazni signal ovisi

isključivo o trenutnom ulaznom signalu. Ako svaki ulaz ima različiti izlaz (ako se pojedinom izlazu

može pridijeliti jedinstveni ulaz), tada je sustav invertibilan. Uzročni sustav je onaj kod kojeg izlaz ovisi

o trenutnom ulazu i prošlim ulazima, ali ne i budućim ulaznim signalima. U vremenski nepromjenjivim

sustavima ulazni signal daje isti izlaz bez obzira na vrijeme procesiranja. Sustav se smatra linearnim

ako su zadovoljeni uvjeti aditivnosti i skaliranja. U linearnim, neprekidnim i vremenski nepromjenjivim

sustavima izlaz bilo kojeg ulaza može se dobiti konvolucijom ulazne funkcije i impulsnog odziva.

Analogno, izlaz u diskretnim sustavima dobije se konvolucijskom sumom,

Izlaz dvaju slijednih sustava sa impulsnim odzivima i mogu se dobiti uzastopnom

konvolucijom ulaznih signala sa dvama impulsnim odzivima. MeĎutim, drugi način je da se

konvoluiraju impulsni odzivi sustava te se tada s rezultatom konvoluira ulazni signal. Ovo svojstvo je

korisno jer omogućava podjelu kompleksnih sustava na lakše obradive cjeline.

15

3.2 Sustavi s posluživanjem (Queuing Theory)

Sustavi s posluživanjem najstariji su način modeliranja mreža s komutacijom paketa te je u primijeni

od samih početaka Interneta, još iz doba Arpanet-a. Prva veza mreža s komutacijom paketa sa

sustavima s posluživanjem datira od Kleinrock-ove doktorske disertacije iz 1961. [6] koja takoĎer

sadrži i spektar ranijih radova na temu sustava s posluživanjem. To se smatra začetkom mreža s

komutacijom paketa. Kleinrock je imao ključnu ulogu u razvoju Arpanet-a što je i jedan od razloga

važnosti sustava s posluživanja u istraživanjima o mrežama. Osnovna pretpostavka sustava s

posluživanjem je da postoje korisnici koji zahtijevaju uslugu od poslužitelja. Moguće je imati jedan,

više ili neograničen broj poslužitelja. Posluživanje korisnika zahtjeva vrijeme posluživanja, pa je

moguće da su svi poslužitelji zauzeti u vremenu dolaska korisnika. U tom slučaju, paket mora čekati u

redu dok se poslužitelj ne oslobodi. Red čekanja može biti ograničen ili može biti modeliran da je

beskonačno dug. Osnovna pretpostavka sustava s posluživanjem može se primijeniti u mnogim

postavkama. Intuitivan primjer je trgovina gdje kupci čekaju u redu za plaćanje. U komunikacijskim

mrežama kupci su paketi koji dolaze na mrežni čvor. Poslužitelj je jedinica koja postavlja pakete na

odgovarajući odlazni kanal. Red čekanja je memorija u kojoj dolazni paketi čekaju na posluživanje. Iz

pogleda teorije sustava, ulaz je promet koji dolazi u čvor, sustav je poslužitelj koji procesira pakete, a

izlaz je promet koji izlazi iz čvora. I ovdje je izračun izlaza od velikog značenja. Usporedbom dolaznog

i odlaznog prometa mogu se odrediti QoS parametri kao što su propusnost, kašnjenje i gubitak

paketa. Naravno, opis dolaznog prometa i ponašanje poslužitelja je najznačajnije u vidu kvalitete

dobivenih rezultata te kompleksnosti dobivanja rezultata. U teoriji sustava s posluživanjem metoda

odabrana za opis ponašanja su stohastički procesi [7]. Dolasci su modelirani tako da vrijeme izmeĎu

dolazaka paketa ima stohastičku distribuciju. Poslužitelj se modelira na način da vrijeme potrebno da

se paket posluži ima odreĎenu distribuciju te da se paketi poslužuju u odreĎenom redoslijedu (vidi

poglavlje 2.5.2). Neki rezultati sustava s posluživanjem zahtijevaju da poslužitelj radi neprekidno dok

ima paketa za posluživanje (work-conserving). Dakle, postoji pet parametara koji odreĎuju sustav s

posluživanjem.

Distribucija vremena meĎu dolascima paketa (A)

Distribucija trajanja posluživanja (B)

Broj poslužitelja (C)

Veličina reda čekanja (D)

Metoda rasporeĎivanja paketa (E)

Poznati način opisa sustava s posluživanjem je Kendall-ova notacija A/B/C/D gdje svako slovo

predstavlja parametar iz gore navedene liste. U tom slučaju samo se metoda rasporeĎivanja paketa

zasebno navodi.

3.2.1 Poisson-ov proces

Modeliranje mreže pomoću sustava s posluživanjem ima dva cilja. Prvi je da model bude precizan, a

drugi je da bude lako obradiv. Kao kompromis ovih dvaju neuskladivih zahtjeva koristi se Poisson-ov

16

proces. Poisson-ov proces je nasumični proces koji proizlazi iz tri aksioma. Neka i neka je

srednja vrijednost učestalosti dolazaka paketa. Tada vrijedi sljedeće:

1. Postoji najviše jedan dolazak u .

2. Vjerojatnost dolaska u je proporcionalna njegovom trajanju

.

3. Dolasci u dva intervala i gdje vrijedi (intervali se ne

preklapaju), su neovisna.

Vjerojatnost da postoji dolazaka u vremenskom intervalu , kod Poisson-ovog procesa sa srednjom

vrijednosti učestalosti dolazaka paketa je

Poisson-ov proces ima odreĎena željena svojstva. Može se pokazati da su vremena izmeĎu dolazaka

paketa eksponencijalno distribuirana. TakoĎer, dolasci su neovisni jedni o drugima i ponašaju se kao

sustavi bez memorije. Vjerojatnost dolazaka u intervalu je neovisan o broju dolazaka u bilo kojem

prethodnom intervalu.

3.2.2 M/M/1 i M/M/N sustavi s posluživanjem

Najjednostavniji sustav s posluživanjem je M/M/1. Po Kendall-ovoj notaciji, prvi “M“ govori da se radi o

Poisson-ovom procesu dolazaka paketa, a srednja vrijednost učestalosti dolazaka se obično

označava sa . Drugi “M“ predstavlja vrijeme trajanja posluživanja sa eksponencijalnom distribucijom

pri čemu se brzina posluživanja označava sa . “1“ govori da se radi o sustavu s jednim poslužiteljem.

Prema konvenciji, posljednji parametar koji nedostaje predstavlja beskonačnu memoriju privremenog

spremanja paketa. Iskoristivost sustava sa srednjom vrijednošću dolazaka i srednjim vremenom

posluživanja paketa dana je sa . Vjerojatnost da ce sustav biti u stanju kod M/M/1 sustava s

posluživanjem je geometrijski distribuirana i iznosi

Izlaz M/M/1 sustava s posluživanjem je ponovno Poisson-ov proces.

Pretpostavke M/M/1/N sustava s posluživanjem razlikuju se od M/M/1 sustava samo u memoriji

privremenog spremanja paketa koja je konačna. Broj paketa koji se mogu privremeno spremiti u

sustav označava se sa . Vjerojatnost da ce sustav biti u stanju kod M/M/1/N sustava s

posluživanjem dana je sa

Ako je tada je M/M/1 sustav s posluživanjem dobra aproksimacija M/M/1/N sustava.

17

3.2.3 Sustavi s posluživanjem i QoS

QoS parametri za analizu su propusnost, kašnjenje te gubici paketa. Propusnost sustava s

posluživanjem je trivijalna i dobiva se izravno iz brzine posluživanja.

Da bi se izračunalo kašnjenje sustava s posluživanjem postoji jednostavno rješenje koje povezuje

prosječno kašnjenje, prosječnu duljinu memorije privremenog spremanja paketa i učestalost dolazaka.

Poznato je pod nazivom Little-ov zakon koji govori da je prosječno kašnjenje jednako prosječnoj

duljini reda čekanja podijeljeno sa prosječnom učestalošću dolazaka u sustav s posluživanjem

,

Učestalost dolazaka predstavlja stvarnu učestalost dolazaka paketa u sustav s posluživanjem. Kod

M/M/1 sustava s posluživanjem vrijedi da je , ali u slučaju kad postoji mogućnost odbacivanja

paketa kao kod M/M/1/N sustava s posluživanjem tada je .

Osnovne pretpostavke M/M/1/N sustava s posluživanjem dopuštaju izračun gubitaka paketa. Gubitak

paketa se dogaĎa kad je memorija za privremenu pohranu paketa puna, i.e. u stanju je . Vjerojatnost

da ce M/M/1/N sustav s posluživanjem biti u stanju dobiva se primjenom jednadžbe

Prosječna učestalost gubitaka paketa je tada .

Ovdje su predstavljene osnove sustava s posluživanjem. Kad se opuste pretpostavke o dolascima i

vremenu posluživanja paketa, jednostavnost dobivanja rezultata se ubrzo izgubi. Ovo se posebno

odnosi na pretpostavku dolazaka paketa koji prate Poisson-ov proces. Kako se pokazalo u više

navrata [8] pretpostavka da paketi prate Poisson-ov proces nije u potpunosti realna za promet na

Internetu.

18

4 Network Calculus - osnove

Sustavi s posluživanjem su gotovo stoljeće uspješno korišteni za razumijevanje različitih aspekata

komunikacijskih sustava tako da su u šezdesetim utrli put promijeni iz komutacije kanala u komutaciju

paketa. MeĎutim, u devedesetim godinama prošlog stoljeća pokazalo se da promet na Internetu ne

zadovoljava bez-memorijsko svojstvo Poisson-ovog procesa. Štoviše, dokazane su značajne

korelacije [9]. U protekla dva desetljeća razvijena je nova teorija kojoj je cilj ispuniti ovu prazninu

sustava s posluživanjem.

Network calculus (u nastavku NC) teoriju prvi je objavio Cruz 1991. [10]. Kasnije je elaborirana u

radovima Le Boudec-a [11] i Chang-a [12], koji su prikazali relaciju sa teorijom sustava. NC teorija je

inicijalno zamišljena kao deterministički okvir za analizu nedovršenog posla (backlog) i kašnjenja. Za

razliku od sustava s posluživanjem koji se pretežno bave izračunom prosječnog kašnjenja ili gubitaka,

NC teorija naglasak stavlja na izračun najgoreg slučaja (worst-case). U posljednje vrijeme veliki

napredak napravljen je na polju stohastičke NC teorije.

Kod NC teorije zadržano je osnovno načelo teorije sustava o ulaznim i izlaznim signalima. Sustav je

mreža ili dio mreže. Značaj u ovome je što se implicira da je NC teorijom moguće analizirati jedan čvor

mreže, nekoliko čvorova ili pak cijelu mrežu. Svojstvo teorije sustava, da se kompleksni sustavi mogu

razdijeliti na lakše obradive zadržano je i u NC-u. NC se često naziva i teorijom sustava sa primjenom

u računalnim mrežama. Osnovna razlika u odnosu na teoriju sustava je korištenje nove algebre u kojoj

su operacije promijenjene na način da zbrajanje postaje izračun minimuma, dok množenje postaje

zbrajanje. Ova algebra naziva se min-plus algebra i zasniva se na dioidi definiranoj u polju apstraktne

matematičke algebre. Koristi se još i max-plus algebra sa istim svojstvima kao i min-plus algebra.

Razlog što je min-plus algebra odabrana kao strukturni odabir NC-a pojasnit ćemo na primjeru.

Pretpostavimo link s odreĎenom maksimalnom mogućom brzinom prosljeĎivanja. Brzina na ovom

linku uvijek će biti minimum njegovih mogućnosti i brzine kojom korisnik želi slati pakete, i.e. ako

korisnik želi slati više paketa u vremenu nego li je dopušteno brzinom linka, tada će brzina linka biti

njegova maksimalna brzina. U protivnom, brzina će biti stvarna brzina slanja paketa od korisnika.

Slična logika može se primijeniti i kod konačne memorije za privremenu pohranu paketa. Broj paketa u

memoriji je minimum u odnosu veličine memorije te razlike dolazaka i odlazaka paketa.

Prije nego prikažemo osnove min-plus i max-plus algebre, potrebno je definirati dva operatora,

infimum i supremum.

Infimum nekog skupa , označen sa , je najveća donja granica skupa . Za razliku od

minimum operatora, infimum ne mora nužno biti dio skupa. Primjer gdje infimum nije dio skupa je

. Ako je infimum dio skupa, tada je infimum isto što i minimum skupa (

.

Analogno se definira i supremum operator. Supremum nekog skupa , označen sa , je

najmanja gornja granica skupa . Za razliku od maksimum operatora, supremum ne mora nužno biti

dio skupa.

19

4.1 Min-plus algebra

Tradicionalna matematička algebra koristi skup realnih brojeva gdje predstavlja operator zbrajanja i

predstavlja operator množenja . Ove dvije operacije posjeduju brojna svojstva kao što su

komutativnost, asocijativnost, distributivnost i sl., što ih čini komutativnim poljem. Kako smo već naveli,

operator “zbrajanja“ u min-plus algebri postaje izračun infimum-a (ili minimuma ako postoji), dok

operator “množenja“ postoje klasična operacija zbrajanja. Za razliku od tradicionalne algebre, min-plus

algebra se zasniva na strukturi , i.e. skup realnih brojeva sa i operatorima

minimuma i sume. Navodnici označavaju da se radi o zbunjujućoj nomenklaturi jer je ustaljena

asocijacija zbrajanja sa te množenja sa .

Svojstva strukture su sljedeća:

Zatvorenost od : za sve ,

Asocijativnost od : za sve vrijedi

Postojanje neutralnog elementa za : postoji neki takav da za sve

vrijedi

Idempotentnost od : za svaki vrijedi

Komutativnost od : za sve vrijedi

Zaključenje od : za sve ,

Asocijativnost od : za sve vrijedi

Neutralni element za je apsorbirajuć za : za svaki vrijedi

Postojanje neutralnog elementa za : postoji neki takav da za svaki

vrijedi

Distributivnost od prema : za sve vrijedi

a,

Skup sa operacijama koje zadovoljavaju gore navedena svojstva nazivaju se komutativni dioidi u

području apstraktne matematike. Kod komutativnog polja za postoji poništavajući

element – tako da vrijedi a . Ovo kao posljedicu ima jedinstvenost rješenja jednakosti tipa

za odreĎeni . Slično vrijedi i da se za može zaključiti da je . MeĎutim,

rješavanje jednakosti za neki ne mora uvijek imati jedinstveno rješenje. TakoĎer vrijedi

i da ne mora nužno implicirati .

Prema notaciji Le Boudec-a [11] definiramo i kao prostor strogo rastućih funkcija ili sekvenci

i

Obično se dalje traži da vrijedi za . Skup funkcija kao i skup sekvenci definiraju se

sa

i

20

Osnovna operacija u min-plus algebri je min-plus konvolucija. Min-plus konvolucija sa impulsnim

odzivom je operator koji preslikava ulaznu u izlaznu funkciju. Min-plus konvoluciju definiramo na

sljedeći način. Neka su i dvije u funkcije u . Tada je min-plus konvolucija od i

dana sa

Analogno definiramo i diskretnu min-plus konvoluciju. Neka su i dvije funkcije u . Tada je

diskretna min-plus konvolucija od i funkcija

Neki rezultati, meĎu kojima je najznačajniji onaj o granicama izlaza, zasnivaju se na min-plus

dekonvoluciji. Neka su i dvije funkcije u . Tada je min-plus dekonvolucija od i

funkcija

Rezultat min-plus dekonvolucije dvije funkcije iz nije nužno u . No kako su u praksi važne samo

vrijednosti za , takve funkcije se mogu vratiti u postavljajući im vrijednost u nula za .

Min-plus dekonvolucija je dualna min-plus konvoluciji u smislu da vrijedi

Potrebno je naglasiti da min-plus dekonvolucija nije inverzna min-plus konvoluciji. Komutativnost ne

vrijedi, a umjesto asocijativnosti vrijedi pravilo kompozicije

Daljnja svojstva min-plus konvolucije i dekonvolucije mogu se naći u [11].

4.2 Max-plus algebra

Slične definicije i svojstva definirana za min-plus algebru vrijede i za max-plus algebru kad se zamijeni

infimum operator sa supremum-om. Može se pokazati da je struktura takoĎer dioid

u kojoj se definiraju max-plus konvolucija i dekonvolucija.

Neka su i dvije u funkcije u . Tada je min-plus konvolucija od i dana sa:

Analogno definiramo i max-plus dekonvoluciju. Neka su i dvije funkcije u . Tada je min-plus

dekonvolucija od i funkcija

21

Min-plus dekonvolucija je zapravo operacija koja je linearna u . To proizlazi iz sljedećih

svojstava ( su funkcije iz ).

Distributivnost s obzirom na :

Dodavanje konstante: Za neki

MeĎutim, min-plus konvolucija nije linearna operacija u jer generalno vrijedi

22

5 Deterministički NC

5.1 Koncept funkcije dolaznog toka

Ako mrežu opisujemo kao sustav, tada podaci koje izvor šalje u mrežu predstavljaju ulaz, dok izlaz

predstavljaju podaci koje dolaze na prijamnik. Zbog svojstva da se mreža može podijeliti na više

podmreža, izlaz jedne mreže može biti ulaz drugoj. Tada je važno da ulaz i izlaz pripadaju istom

prostoru. Pogledajmo najprije “mrežu“ s jednim elementom. Kako je prethodno rečeno, ulazna funkcija

mora predstavljati promet koji ulazi u mrežu. Najjednostavniji način opisa prometa kao funkcije je na

način da imamo vremensku os kojoj za svaku vrijednost vremenske jedinice pridijelimo vrijednost

koja predstavlja trenutnu brzinu dolazaka. Deterministički koncept funkcije dolaznog toka

predstavlja promet za najgori slučaj. Korisno je gledati integral trenutnih brzina koji predstavlja ukupnu

količinu podataka poslanih na mrežu do trenutka . Kako je za svaki znači da je i funkcija

strogo rastuća, što je izrazito važno za operacije u min-plus algebri.

Za strogo rastuću funkciju , tok je ograničen sa ako i samo ako za svaki vrijedi

(1)

Tada govorimo da tok ima kao graničnu funkciju dolaznog toka, odnosno da je uglaĎena

funkcijom . Važno je naglasiti da kod granične funkcije dolaznog toka argument ne

predstavlja trenutnu vrijednost, već vremenski interval. Prema tome, vrijednost predstavlja

količinu podataka koja se maksimalno smije poslati na mrežu u nekom intervalu . Funkcija dolaznog

toka se može smatrati apstrakcijom algoritama regulacije prometa.

Najpoznatiji algoritam regulacije prometa je spremnik s otjecanjem (token bucket). Ovaj algoritam ima

dva parametra, brzinu dolijevanja i veličinu spremnika . Kako i ime implicira, spremnik s

otjecanjem se može i slikovno prikazati (Slika 5).

Slika 5. Algoritam spremnika s otjecanjem (token bucket)

Tokeni se pohranjuju u spremnik dok se spremnik ne napuni. Tokeni koji nadolaze nakon što je

spremnik pun se odbacuju. Kad god se paketi pošalju na mrežu, odgovarajuća količina tokena se

23

izbaci iz spremnika. Potrebno je naglasiti da se kod ovog modela samo tokeni pohranjuju u spremnik,

a ne i pravi paketi. Spremnik s otjecanjem kontrolira kad će paketi biti poslani kada ima paketa za

slanje. Brzina otjecanja može biti beskonačna ukoliko ima dostupnih tokena ili je potrebno da paketi

čekaju dolijevanje novih tokena. Algoritam je neovisan o spremniku, odnosno ne specificira što je

potrebno napraviti s paketima koji dolaze kad nema dostupnih tokena. Opcije su pretpostaviti

beskonačnu veličinu spremnika za privremenu pohranu paketa ili fiksnu veličinu kod koje će se

odbaciti paketi koje nije moguće pohraniti. Veza min-plus algebre i paketno komutirane mreže postaje

jasna. Količina podataka koja se pošalje je minimum onoga što pošiljatelj želi poslati na mrežu i što

algoritam dopušta poslati. Funkcija dolaznog toka paketa na mrežu je tada definirana sa:

(2)

Kako smo naveli, jedna od opcija upravljanja paketima koji dolaze dok nema dostupnih tokena je da

se spreme u privremenu memoriju i pošalju na mrežu kad tokeni budu dostupni. Ovaj postupak se

naziva oblikovanje prometa (traffic shaping). Poznati algoritam oblikovanja prometa je greedy shaper

[11]. Ovaj algoritam oblikuje promet na način da šalje svaki bit na mrežu u najkraćem roku ukoliko

zadovoljava funkciju dolaznog toka.

Neka je tok podataka i subaditivna funkcija dolaznog toka, i.e.

, za svaki . Tada je oblikovani tok podataka koji je uglaĎen funkcijom dolaznog toka

na način da se svaki bit šalje u najkraćem mogućem roku

(3)

U slučajevima kada se funkcija toka dobiva iz mjerenja [11] poželjno je znati funkciju minimalnog

dolaznog toka. Može se pokazati [11] da je minimalna funkcija dolazaka za dani tok funkcija

(4)

Pri čemu je “dobra“ funkcija. Neka funkcija je “dobra“ funkcija ako vrijedi:

je subaditivna i

(subaditivni zatvor od ).

Funkcija je subaditivna ako za svaki vrijedi . je subaditivno

zaključenje od ako vrijedi , i je subaditivna. Ako postoji , je subaditivna,

i , tada je i (dokaz u [11]).

5.2 Koncept funkcije posluživanja

U ovom poglavlju govorimo o upravljanju paketima u mreži ili nekom mrežnom čvoru. Osnovna uloga

mrežnog čvora u paketno komutiranim mrežama je sakupljanje paketa na dolaznom linku te njegovo

postavljanje na odlazni link.

24

Funkcija posluživanja računa količinu usluge koju čvor nudi. Funkciju posluživanja determinističkog

NC-a u ovom radu označavamo sa i ona predstavlja vrijeme u kojem se neki paket mora poslužiti

nakon dolaska na mrežni čvor. Po dolasku beskonačno velikog praskovitog toka u trenutku , tada se

u vremenu mora poslužiti paketa.

Neka je dolazni tok u sustav i neka je njegov odgovarajući izlazni tok. Sustav omogućava

toku funkciju posluživanja ako i samo ako je i za svaki vrijedi

(5)

Gornja definicija predstavlja minimalnu funkciju posluživanja koju sustav nudi u najgorem slučaju.

Analogno se definira i maksimalna funkcija posluživanja za najbolji slučaj koju ovdje izostavljamo.

Korištenje maksimalne funkcije posluživanja je u slučajevima kada se traži izračun konstantnog

kašnjenja ili u nekim slučajevima uspostavljanja veze kašnjenja i nedovršenog posla.

Sljedeći tip funkcije posluživanja koju ovdje predstavljamo je striktna funkcija posluživanja. Kažemo da

sustav nudi striktnu funkciju posluživanja toku ako je i maksimalna i minimalna funkcija toka koju

sustav nudi u vremenu dok konstantno ima nedovršenog posla. Slijedi da je

(6)

Primjer striktne funkcije posluživanja je GPS (Generalized Processor Sharing) čvor koji nudi striktnu

funkciju posluživanja .

Koncept striktne funkcije posluživanja i funkcije posluživanja je dalje unaprijeĎen sa [38] gdje je

uveden pojam adaptivne funkcije posluživanja. Sustav omogućuje adaptivnu funkciju posluživanja

ako za svaki vrijedi:

(7)

Adaptivna funkcija posluživanja kombinira definiciju striktne funkcije posluživanja sa definicijom

funkcije posluživanja koja se primjenjuje samo na manjem vremenskom intervalu. Prema striktnoj

funkciji posluživanja, ako su i dio istog intervala u kojem postoji nedovršeni posao tada vrijedi prvi

izraz. U protivnom početak zadnjeg intervala u kojem postoji nedovršeni posao prije mora biti u

intervalu koji je uključen u drugi izraz gornje definicije koji se dobije izračunavajući za

sve . Iz ovoga proizlazi da sustav koji nudi striktnu funkciju posluživanja , takoĎer nudi i

adaptivnu funkciju posluživanja .

Najznačajnija funkcija posluživanja je funkcija posluživanja sa kašnjenjem. Vrijedi

(8)

Parametar predstavlja brzinu, dok predstavlja kašnjenje. Funkcija posluživanja sa kašnjenjem

(Slika 6) predstavlja funkciju posluživanja za GPS algoritam rasporeĎivanja paketa.

25

Slika 6. Funkcija posluživanja sa kašnjenjem

5.3 Temeljni rezultati determinističkog NC-a

U ovom poglavlju prikazani su osnovni, ali vrlo snažni rezultati dobiveni primjenom determinističkog

NC-a.

Spajanje funkcija posluživanja omogućuje prikaz više mrežnih čvorova kao jedan sustav. Ukoliko se

sustav sastoji od puta kroz mrežnih čvorova od kojih svaki ima odreĎenu funkciju posluživanja ,

tada sustav nudi ukupnu funkciju posluživanja jednaku min-plus konvoluciji svih funkcija posluživanja.

(9)

Deterministički NC omogućuje izračun triju granica, nedovršenog posla, kašnjenja i izlazne funkcije

toka. Nedovršeni posao predstavlja broj paketa u sustavu u trenutku . Ukoliko je dolazni tok,

a izlazni, tada maksimalni broj paketa u sustavu iznosi

(10)

Ako sustav nudi funkciju posluživanja i ako je dolazni tok ograničen funkcijom dolaznog toka

tada je maksimalna količina podataka u sustavu

(11)

Granica kašnjenja odreĎuje maksimalno vrijeme potrebno da paket proĎe sustavom. Ukoliko tok

ograničen funkcijom dolazaka dolazi u sustav koji nudi funkciju posluživanja , tada je

maksimalno kašnjenje podataka uvedeno predmetnim sustavom dano sa

(12)

Prikaz nedovršenog posla i kašnjenja prikazan je na donjoj slici (Slika 7).

26

Slika 7. Nedovršeni posao i kašnjenje

Vrijednost jednakosti (9) pokrijepit ćemo primjerom izračuna kašnjenje s kraja na kraj kod mreža

Integriranih usluga. Primjer je pojednostavljen jer je ukupni tok uglaĎen algoritmom spremnika s

otjecanjem, dok kod mreža Integriranih usluga uglaĎivanje vrijedi samo u vremenu najvećeg prometa.

Prema tome vrijedi . Mreža se sastoji od homogenih čvorova od kojih svaka

nudi funkciju posluživanja sa kašnjenjem . Zbog stabilnosti vrijedi da je . Mrežna

funkcija posluživanja iz (9) postaje , a kašnjenje koje proizlazi iz (12) .

Alternativni način izračuna gornjeg kašnjenja je aditivno kašnjenje koje se dobiva po čvorovima gdje

se kašnjenje računa za svaki čvor zasebno [10]. Zbog izračuna aditivnog kašnjenja kompleksnost

ovog načina iznosi za razliku od kompleksnosti izračuna pomoću konvolucije s kraja na kraj koja

iznosi kako je prikazano u [15],[16],[17].

Posljednje ograničenje koje definiramo je gornja granica izlaznog toka. Ukoliko je dolazni tok

ograničen funkcijom dolazaka i sustav nudi funkciju posluživanja , tada je izlazni tok

ograničen min-plus dekonvolucijom funkcije dolazaka i funkcije posluživanja

(13)

Na slici (Slika 8) dan je primjer gornje granice izlaznog toka.

Slika 8. Gornja granica izlaznog toka

Kako vrijednosti za nemaju praktičnu primjenu, funkcija se obično postavlja u nula što je čini

dijelom . Razmatrajući najgori slučaj (Slika 8) imamo da najprije praskovito dolazi paketa, a potom

paketi nastavljaju dolaziti konstantnom brzinom . Maksimalna praskovitost izlaznog toka postiže se

ako je poslužitelj bez posla vremenskih jedinica, a potom poslužuje sav nedovršeni posao od

27

jednom. Nedovršeni posao u tom trenutku je broj paketa koji su došli praskovito plus što god je

sakupljeno u intervalu kašnjenja, i.e. . Prema tome za maksimalnu praskovitost izlaznog

toka, odnosno maksimalnu količinu nedovršenog posla vrijedi

(14)

MeĎu temeljne rezultate determinističkog NC-a definirati ćemo i pojam paketizatora. Problem proizlazi

iz činjenice da realni paketno komutirani sustavi obično procesiraju cijele pakete. Na slici (Slika 9)

prikazan je izlaz linka konstantne brzine , koji na ulazu dobiva pakete različite veličine. Neka je

veličina paketa u bitovima i neka je interval dolaženja -tog paketa. Ulazna funkcija je

(15)

Pretpostavljamo da gledamo samo cijele pakete, što je prikazano kao na slici (Slika 9), a što je

rezultat paketizacije. na slici (Slika 9) predstavlja izlaz greedy shaper-a kojeg smo već definirali u

poglavlju 5.1 sa . Rekli smo da je izlazni tok uglaĎen funkcijom , meĎutim isto ne

vrijedi i za izlaz paketizatora kako je prikazano u [13].

Slika 9. Ulazni tok , izlaz greedy shaper-a i izlaz paketizatora [11]

Uzmemo li sekvencu kumulativnih paketa tada je -paketizator sustav koji transformira ulaz u

pri čemu je

(16)

Više o svojstvima paketizatora može se naći radovima [13], [12].

U ovom smo poglavlju dali pregled osnovnih rezultata NC-a. U sljedećem ćemo dati pregled dostupnih

determinističkih modela i rezultata pretežno nastalih razradom temeljnih rezultata navedenih u ovom

poglavlju.

28

5.4 Modeli temeljeni na determinističkom NC-u

5.4.1 Sustavi s gubicima paketa

Jedna od pretpostavki u temeljnim rezultatima NC-a je da sustav nema gubitaka, odnosno da

posjeduje neograničenu memoriju za privremenu pohranu nadolazećih paketa prije nego li se

procesiraju.

Prvi modeli sustava s gubicima paketa nastali su na temelju koncepta izdvajanja prometa [18]. Ovaj

koncept ne oblikuje promet tako da kasni pakete koji nisu uglaĎeni funkcijom toka, već ih jednostavno

odbacuje, čime postiže traženu uglaĎenost. Sustav koji koristi ovakav koncept zapravo je sustav bez

memorije za privremenu pohranu podataka. [19] koristi isti koncept ali se primjenuje samo ukoliko

promet prelazi ograničenje memorije za privremenu pohranu paketa ili ograničenje kašnjenja paketa.

Koncept funkcije posluživanja u modeliranju sustava s gubicima koristi se u [20],[21],[22]. U ovim

radovima paketi se odbacuju ukoliko ne mogu biti dostavljeni u nekom predodreĎenom vremenu.

Prikazani modeli imaju svojstvo spajanja (9). Model funkcije posluživanja sustava sa ograničenom

memorijom za privremenu pohranu podataka prikazan je u [22]. Za tok ograničen funkcijom dolazaka

koji ulazi u sustav koji ima funkciju posluživanja dobiveno je da je gornja granica učestalosti

gubitaka dosegnuta ako je dostupna memorija najmanje . Intuitivno, ovi rezultati

nalikuju granici nedovršenog posla (14) kad se proces dolazaka umanji za faktor . Slični

rezultati dobiveni su i u [23].

Iako ne zahtjeva posebne pretpostavke, NC model za analizu s kraja na kraj niza sustava s gubicima

paketa do sad još nije razvijen. OdreĎene aproksimacije napravljene su pomoću stohastičkog NC-a

kojeg ćemo prikazati u poglavlju 6. Poznati modeli NC-a ne razmatraju gubitke paketa eksplicitno, no

distribucija ekstremnih vrijednosti (tail distribution [24]) nedovršenog posla kod sustava bez gubitaka

sa konačnom memorijom može se koristiti za aproksimaciju vjerojatnosti gubitaka [12]. Intuitivno se

zaključuje da, ukoliko nedovršeni posao prijeĎe odreĎenu granicu od paketa koja predstavlja

ograničenje memorije, sustav postaje sustav s gubicima.

5.4.2 Sustavi s povratnom informacijom

Sustavi s povratnom informacijom analizirani su u [25][26],[27],[28]. Najpoznatiji sustav s povratnom

informacijom je TCP protokol interneta. Prozorski algoritam kontrole zagušenja (Slika 10) omogućuje

da se u jednom trenutku u prijenosu može naći najviše podatkovnih jedinica. Ako je potrebno poslati

paketa na mrežu uz poznatu izlaznu funkciju mreže , kontrolna funkcija je u mogućnosti

uskladiti dolazni tok na mrežu tako da vrijedi

(17)

Ako mreža nudi funkciju posluživanja , tada vrijedi . Rekurzivnim umetanjem može

se dobiti funkcija posluživanja susjednog sustava koji se sastoji od kontrolne funkcije i mreže na način

da se konvoluira sa subaditivnim okruženjem od .

29

Analiza sustava s povratnom informacijom max-plus algebrom dana je u [29].

Slika 10. Prozorski algoritam kontrole zagušenja

5.4.3 Primjena kod raspoređivanja paketa

NC koncept funkcije posluživanja posebno je značajan za algoritme rasporeĎivanja paketa. Za sustav

s jednim čvorom koji omogućuje funkciju posluživanja definiramo dolazni promet “kroz“ sustav

(through-traffic arrivals ) i dolazni promet “preko“ sustava (cross-traffic arrivals ) (Slika 11,

poglavlje 5.4.4). Načelno je moguće dobiti ograničenje zajedničkih dolazaka koje

takoĎer vrijedi i gledajući svaki tok zasebno. Sustav postaje kompleksniji ukoliko se promet kroz

sustav i preko sustava rasporeĎuje unutar sustava, a zatim se demultipleksira na izlazu, primjerice

zbog usmjeravanja. Kompleksnost se takoĎer povećava razmatrajući sustav sa više čvorova, gdje

promet kroz sustav dočekuje novi promet kroz čvor na svakom koraku kroz sustav. Ponavljajući gore

navedeni pristup za svaki čvor zasebno dobiju se zajedničko ograničenje za sve čvorove u sustavu.

Kako smo već naveli, ovaj način je inferioran izračunu konvolucijom funkcija posluživanja s kraja na

kraj. Prema tome, potrebno je znati preostali kapacitet posluživanja na pojedinom čvoru po

posluživanju prometa preko čvora, kako bi se dobila usluga kroz sustav dana prometu kroz sustav.

Ove tzv. ostatke funkcija posluživanja za pojedine čvorove moguće je spojiti i izvesti mrežnu funkciju

posluživanja koja karakterizira uslugu cijele mreže jednom toku kroz mrežu.

U nastavku ovog poglavlja prikazujemo idealne algoritme rasporeĎivanja paketa i njihov prikaz toka

funkcije posluživanja. Najprije prikazujemo kako se jednostavan ostatak funkcije posluživanja može

izvesti iz općenitog modela posluživanja koristeći svojstva striktne funkcije posluživanja. Kako se

ovdje radi o determinističkim modelima podrazumijeva se da se radi o ostacima funkcije posluživanje

u najgorem slučaju. Primjenom stohastičkog NC-a, kako je prikazano u poglavlju 6, ostaci funkcije

posluživanja postaju nasumični procesi.

Multipleksiranje na slijepo i raspoređivanje s prioritetima

Iz definicije striktne funkcije posluživanja (6) proizlazi da za bilo koji gdje je početak

posljednjeg intervala u kojem postoji nedovršeni posao prije slijedi

. Pretpostavka da je sustav prazan u trenutku koristi se da bi se zamijenilo

. U drugom koraku se dolasci i odlasci razlažu na promet kroz sustav i promet preko sustava,

, odnosno . Zbog uzročnosti se može zamijeniti i

možemo ograničiti za sve . Slijedi da je funkcija posluživanja za

promet kroz sustav

(18)

30

uvjet slijedi pretpostavku da je sustav prazan u trenutku tako da je .

Ostatak funkcije posluživanja (18) nije moguće izvesti iz generalnijeg svojstva funkcije posluživanja. U

[11] je dan primjer koji dokazuje da se (18) ne može izvesti iz osnovne definicije funkcije posluživanja.

Gornji model naziva se slijepo multipleksiranje u [11] jer nema pretpostavki o redoslijedu posluživanja

prometa kroz sustav i preko sustava, razmatra samo najgori slučaj pa je prema tome pesimističan za

većinu algoritama za rasporeĎivanje. Ipak, ovaj model obično se koristi za dobivanje ostatka funkcije

posluživanja za algoritam s fiksnim prioritetima (Static Priority, SP) u [11],[30],[38]. Za prometnih

klasa, odnosno tokova sa padajućim prioritetima , ostatak funkcije posluživanja za klasu

proizlazi iz (18). Oduzimanjem graničnih funkcija toka klasa viših prioriteta slijedi

(19)

Slijepo multipleksiranje se često koristi za prikaz najgoreg mogućeg slučaja povećanja praskovitosti

prometa kroz sustav koji je razlog interakcije sa prometom preko sustava na multiplekseru. Za dana

dva toka ograničena algoritmom spremnika s otjecanjem sa parametrima i na

poslužitelju s kašnjenjem s parametrima gdje je , izlazna praskovitost prometa kroz

sustav je [11].

First-in first-out (FIFO)

Funkcija posluživanja slijepog multipleksiranja može se unaprijediti ako se uzme u obzir

rasporeĎivanje prosljeĎivanja prometa kroz sustav i preko sustava. Za FIFO multipleksiranje izveden

je skup ostataka funkcija posluživanja za promet kroz sustav sa parametrom kao

(20)

gdje je funkcija posluživanja (u ovom slučaju ne nužno i striktna funkcija posluživanja) koju sustav

nudi za oba toka zajedno, dok je granična funkcija dolaznog toka preko sustava. Za dokaz od

(20) vidi [11]. Za (20) postaje funkcija posluživanja slijepog multipleksiranja (18). Važno je

naglasiti da unatoč tome što (20) omogućuje funkciju posluživanja za bilo koji , maksimum više

takvih funkcija posluživanja (primjerice ) načelno ne zadovoljava definiciju funkcije

posluživanja [11]. Ipak, moguće je izvesti gornju granicu nedovršenog posla, kašnjenja i odlazaka

koristeći različite . Kako je bilo koja od prethodno spomenutih funkcija valjana gornja granica,

podrazumijeva se da je minimum više takvih granica takoĎer gornja granica. Primjer je granična

funkcija odlazaka }. Rješenje ovog problema optimizacije dan je u [11] za

promet kroz sustav ograničen algoritmom sustava s otjecanjem na poslužitelju s

kašnjenjem . Ako je promet preko sustava ograničen algoritmom sustava s otjecanjem

sa graničnom funkcijom gdje vrijedi , tada se optimalni ostatak funkcije

posluživanja prema (20) dobije pri [11]. Rezultirajuća funkcija posluživanja je tada funkcija s

31

kašnjenjem , dok je izlazna praskovitost prometa kroz sustav

. Općenitija rješenja izvedena su u [31],[32].

Dok rješenje odlazne granične funkcije implicira rješenje granice nedovršenog posla, ograničenje

minimalne granice kašnjenja može se izvesti za različite vrijednosti od . Ovim problemom bavi se

[33],[34].

Generalized processor sharing (GPS)

Važan dio algoritama za rasporeĎivanje čine algoritmi koji pridjeljuju resurse mreže tokovima

prema težinskom faktoru . Cilj ovih algoritama je približno omogućavanje svojstava idealnog

GPS algoritma [35]. Za konstantno opterećeni GPS sustav i tok sa odlascima u intervalu

vrijedi

(21)

U odnosu na bilo koji drugi tok sa odlascima . Za sve u sustavu s kapacitetom vrijedi

funkcija posluživanja

(22)

za tok . Za razliku od SP rasporeĎivanja, GPS rasporeĎivanje ne povećava praskovitost toka

ograničenog algoritmom sustava s otjecanjem. Ako su dolasci klase uglaĎeni algoritmom sustava s

otjecanjem sa parametrima ( gdje je , tada su i odlasci uglaĎeni sustavom s

otjecanjem s istim parametrima [12]. Maksimalna praskovitost izlaza identična je maksimalnom

nedovršenom poslu toka [35]. Funkcija posluživanja (22) izvedena je pod pretpostavkom da svi

tokovi imaju nedovršeni posao tako da koriste svoj dio pridijeljenih resursa u potpunosti. Ukoliko neki

od tokova ne koristi predodreĎene resurse u potpunosti, tada će njegovi resursi biti ravnomjerno

rasporeĎeni ostalim tokovima prema težinskom faktoru zadovoljavajući (21). Dakle, ukoliko su tokovi

ograničeni funkcijom dolaznog toka , mogu se izvesti bolje funkcije posluživanja za tokove kroz

sustav. U usporedbi izvedbe ostatka ukupne funkcije posluživanja za pojedine tokove kod slijepog

multipleksiranja (20), problem je što ovdje ne postoji mogućnost sagledavanja združenih tokova, već

se tok svake klase mora razmatrati pojedinačno da bi se odredila količina zauzimanja resursa.

Izvedbom ostatka ukupne funkcije posluživanja GPS sustava bave se [36],[37],[38] koji koji koriste i

postavke stohastičkog NC-a.

Najznačajniji primijenjeni algoritam koji koristi postavke idealnog GPS-a je WFQ.

Earliest deadline first (EDF)

EDF algoritam rasporeĎivanja [39],[40] pretpostavlja svakoj podatkovnoj jedinici davanje krajnjeg roka

isporuke. Po izbacivanju jednog paketa, EDF dinamički odabire sljedeći paket sa najmanjim krajnjim

rokom isporuke. Ukoliko postoji mogućnost rasporeĎivanja da se krajnji rokovi svih paketa poštuju,

32

tada će EDF algoritam to i omogućiti. Za tokove sa funkcijama dolazaka uglaĎene sa

dodjeljuje se maksimalno kašnjenje paketa pojedinom toku , tako da paketi toka koji su došli

u trenutku imaju krajnji rok isporuke . Ostatak ukupne funkcije posluživanja sustava za tok je

(23)

Ovdje se razmatra samo deterministički slučaj kad je dolazni tok uglaĎen funkcijom , za

stohastičke rezultate vidi [36],[37],[38]. Iz (23) slijedi da će dolasci toka koji imaju manje ciljano

kašnjenje biti posluženi prije toka . U protivnom, ako je , tada dolasci toka koji dolaze

nakon neće biti posluženi do , odnosno posluživanje će se prebaciti na tok [38].

Odabirom odgovarajućeg krajnjeg roka isporuke paketa EDF-om se može postići bilo kakvi raspored

prosljeĎivanja. Ovo svojstvo koristi se za davanje krajnjeg roka isporuke na način da se postigne

garantirana minimalna funkcija posluživanja za tok koje je dovelo do definiranja SCED (Service curve

earliest deadline first) rasporeĎivanja [41].

Pretpostavimo li da se za dolazni tok krajnji rokovi isporuke paketa povećavaju i neka je

količina podataka toka sa krajnjim rokovima manjim ili jednakim , tada sustav nudi toku minimalnu

funkciju posluživanja ako svi odlasci zadovoljavaju krajnje rokove isporuke dane sa

.

Sa SCED rasporeĎivanjem u sustavu kapaciteta moguće je zadovoljiti rokove tokova za bilo koje

funkcije posluživanja za koje zadovoljavaju

(24)

Za bilo koji . Dok je ovaj uvjet ispunjen svi rokovi će biti zadovoljeni za sve

i sve . Ukoliko je poznata dolazna funkcija uglaĎivanja za tada je

dovoljan i uvjet

(25)

SCED koristi optimalna svojstva rasporeĎivanja EDF algoritma i omogućuje fleksibilan način

dodjeljivanja krajnjih rokova isporuka paketa, no istovremeno unosi i kompleksnost izračuna. SCED i

EDF detaljnije su razraĎeni u [11].

Modeli funkcija posluživanja za raspoređivanje paketa

Danas postoji veći broj praktičnih algoritama za rasporeĎivanje paketa koji, za razliku od prethodno

navedenih idealnih fluidnih modela, uvode odreĎene neregularnosti. U svrhu analize njihove usluge

izvedeni su različiti parametrizirani modeli. [42],[43] uvodi pojam garantirane brzine rasporeĎivanja. Na

temelju garantirane brzine rekurzivno se definira virtualno vrijeme odlaska paketa sa

33

(26)

gdje je dolazno vrijeme paketa i njegova duljina. Prema definiciji vrijedi . Vremena

garantiranih odlazaka nazivaju se GRC (Guaranteed Rate Clock) vrijednosti. Stvarno vrijeme odlaska

kod rasporeĎivanja s garantiranom brzinom može se kasniti u odnosu na (26) najviše za

definiranu vrijednost greške ,

(27)

[44] proširuje koncept rasporeĎivanja s garantiranom brzinom i uvodi pojam PSRG-a (Packet Scale

Rate Guarantee). Koristeći gornji zapis, i u ovom slučaju vremena odlazaka paketa po

definiciji) mogu varirati za neki prema (27) u odnosu na vremena definirana sa

(28)

[44] ukazuje da je PSRG model striktniji u odnosu na GRC, odnosno algoritmi rasporeĎivanja koji

nude PSRG mogu se modelirati i kao modeli rasporeĎivanja s garantiranom brzinom sa

parametrima , dok obratno ne mora nužno vrijediti. Više algoritama za rasporeĎivanje

zadovoljavaju PSRG, primjerice rasporeĎivanje s prioritetima i emulacija GPS-a. [45] koristi PSRG za

hijerarhijsko rasporeĎivanje. PSRG notacija se može prikazati i kao adaptivna garancija posluživanja

(7) s kašnjenjem [44]. Više značajnih svojstava dokazano je za PSRG sustave, meĎu kojima su

svojstvo spajanja (9) [45], odnos kašnjenja i nedovršenog posla [44] i izvoĎenje PSRG modela iz

sustava ili cijele mreže na osnovu poznatih ograničenja kašnjenja [46]. Dok se [44] bavi isključivo

FIFO sustavom, [47] proširuje PSRG na ne-FIFO sustave.

5.4.4 Mrežne topologije

Svojstvo spajanja funkcija posluživanja min-plus konvolucijom (9) smatra se jednim od najvećih

dostignuća NC-a. Preduvjet ovog svojstva je da su poznate funkcije posluživanja svih čvorova na

putu. RasporeĎivanja kao što su GPS ili EDF mogu omogućiti jamčenu funkciju posluživanja bez

poznavanja funkcija prometa preko sustava koristeći predefinirane parametre kako je definirano u

(22), odnosno (24). Na ovaj se način može izvesti funkcija posluživanja dana toku kroz sustav od

strane svakog čvora na putu na temelju postojećeg prometa preko čvora. Ovo svojstvo je jedno od

temeljnih postavki arhitekture Integriranih usluga u svrhu definiranja jamčene kvalitete usluge, koristi

se u definiranju konfiguracijskih pravila i definiranju kašnjenja s kraja na kraj [48].

U slučaju korištenja ostataka funkcija posluživanja, kao kod rasporeĎivanja s prioritetima, slijepog

multipleksiranja, FIFO multipleksiranja, GPS-a ili EDF-a, izvoĎenje mrežne funkcije posluživanja

značajno je složenije jer je potrebno unaprijed poznavati granice dolazne funkcije za promet preko

pojedinog čvora. Obično se pretpostavlja da je poznata granična dolazna funkcija na ulasku u mrežu.

Granične funkcije prometa preko čvora na pojedinim točkama multipleksiranja mogu se značajno

34

razlikovati od one na ulasku u mrežu i one a priori nisu poznate. Kao posljedica, mrežna funkcija

posluživanja prometa kroz sustav ovisi o povijesti prometa preko pojedinog čvora čija se svojstva

mogu mijenjati prolazeći svojim putanjama zbog multipleksiranja i demultipleksiranja.

U ovom poglavlju prikazane su metode dobivanja mrežne funkcije posluživanja i mjerenja s kraja na

kraj. Pretpostavka je da je granična dolazna funkcija poznata na ulasku u mrežu (definirana

algoritmom spremnika s otjecanjem), te da je poznata funkcija posluživanja pojedinog čvora. Za

topologiju mreže na slici (Slika 11), ostaci funkcije posluživanja izvode se na svakom čvoru prema (18)

i (19), nakon čega se njihovom konvolucijom dobije mrežna funkcija posluživanja za tok kroz sustav

[11]. Naglasimo da izvoĎenje ostatka funkcije posluživanja na pojedinom čvoru ovdje zahtjeva da

pojedini promet preko čvora postoji samo na tom čvoru.

Slika 11. Linijska topologija s prometom preko čvora

Jednosmjerne mreže (feed-forward networks)

Mrežnu funkciju posluživanja osim na temelju ostataka funkcija posluživanja po čvorovima moguće je

izvesti i u acikličkim mrežnim topologijama kako što su topologija razgranatog stabla (spanning tree) ili

topologija stabla opisanog putevima paketa (sink tree) kakva se koristi u MPLS mrežama. Jedna od

osnovnih karakteristika ovih mreža je stabilnost pri svakoj iskoristivosti manjoj od 1.

Mreža je jednosmjerna ako je moguće čvor jednoznačno obilježiti na način da je ako vrijedi da

paketi idu iz čvora u čvor . Slika 12 prikazuje primjer dvije mreže sa čvorovima i i tokove i

. Čvorovi i na slici (Slika 12(a)) zadovoljavaju prethodno navedeno svojstvo jednosmjernih

mreža, dok takvo svojstvo ne vrijedi i za sliku (Slika 12(b)). Bitno obilježje jednosmjernih mreža je

nemogućnost kruženja paketa, što nije slučaj kod nejednosmjernih mreža (Slika 12(b)).

(a) Jednosmjerne mreže (b) Nejednosmjerne mreže

Slika 12. Jednosmjerne i nejednosmjerne mreže

Svojstvo acikličnosti omogućuje izvedbu mrežne funkcije posluživanja korištenjem ostataka funkcija

posluživanja. Za jednosmjernu mrežu moguće je raščlaniti promet preko mreže na putu prometa kroz

mrežu tako da se dobije model kao na slici (Slika 11). Ovdje se promet preko mreže koji prolazi

dvama uzastopnim čvorovima virtualno razdvaja na dva toka, gdje se ograničenje odlazaka jednog

čvora uzima kao ograničenje dolazaka drugog čvora. Slika 13(a) prikazuje sustav prije raščlanjivanja,

35

dok Slika 13(b) prikazuje sustav nakon raščlanjivanja. Granične funkcija odlazaka i postaju

granične funkcije dolazaka i sljedećih čvorova.

Slika 13. Raščlanjivanje kod jednosmjernih mreža

Analiza jednosmjernih mreža NC-om dana je u [49], [34]. Podrazumijeva se da su čvorovi označeni

redoslijedom definiranim za jednosmjerne mreže, te se postupak izvodi u rastućem redoslijedu.

Naglasimo da je dolazna funkcija na prvom čvoru poznata jer tokovi nisu mogli proći ni jedan

prethodni. Za svaki tok koji ulazi u mrežu izvršava se sljedeće:

1) sumiraju se granične funkcije svih tokova u mreži

2) izračunava ostatak funkcije posluživanja za promatrani tok

3) izračunava odlazna granična funkcija promatranog toka

Nakon što se proĎu svi koraci isto se napravi i za svaki čvor u mreži. U jednosmjernim mrežama ovo

podrazumijeva da su sve dolazne funkcije na daljnjim čvorovima poznate i postupak se može nastaviti

dok se ne proĎu svi čvorovi. Na slici (Slika 13) prikazana su tri čvora kroz koji prolaze dva toka sa

graničnim funkcijama dolazaka na ulazni čvor, i . Slika 13(a) prikazuje inicijalno stanje. Odlazna

funkcija prvog toka na prvom čvoru, , može se izvesti odmah i iskoristiti kao dolazna funkcija na

drugom čvoru. Sa ovim saznanjem može se izračunati ostatak funkcije posluživanja za tok 2 na čvoru

2, pa prema tome i odlazna funkcija . Slično slijedi izvoĎenje ostatka funkcije posluživanja za tok 1

na čvoru 2 i funkcija odlazaka . Konačno je odlazna funkcija dolazna funkcija toka 2 na čvoru 3,

iz koje slijedi odlazna funkcija . Rezultat procedure je granična funkcija na svakom od čvorova

za pojedini tok. Ovim se dobije slučaj sa slike (Slika 11) čijim se postavkama dobije mrežna funkcija

posluživanja za pojedini tok.

Nejednosmjerne mreže (non feed-forward networks)

Razmotrimo sada mreže koje nisu jednosmjerne, ali ipak za pretpostavku uzimamo da tok ne smije

proći istim čvorom više od jednom. Za razliku od jednosmjernih mreža, ovdje nema mogućnosti

jednoznačnog obilježavanja koje vodi induktivnoj analizi. TakoĎer, nije moguće razlučiti je li

nejednosmjerna mreža stabilna, čak i za slučaj iskoristivosti manjoj od jedan [50].

Jedna od metoda analize nejednosmjernih mreža je metoda zaustavljanja vremena [11]. Ideja je

izračunati granične performanse samo u intervalu . Granice dobivene u ovom intervalu neovisne

su o , odnosno rješenje vrijedi i za . Uzmimo za primjer sliku (Slika 12(b)). Neka je na čvoru

36

funkcija posluživanja i neka je dolazna funkcija ograničena algoritmom spremnika s

otjecanjem za tok na čvoru . A priori su poznate granične funkcije dolazaka i ,

dok nisu poznati i . Vrijeme je zaustavljeno u . Neka i označavaju nepoznatu gornju

granicu praskovitosti za interval . Korištenjem rezultata povećanja praskovitosti zbog slijepog

multipleksiranja imamo i .

[51] koristi koncept zaustavljanja vremena za analizu prometnih klasa koji se poslužuju po prioritetima,

dok se unutar klase primjenjuje FIFO koncept. Značajan rezultat ovog rada je prikaz kašnjenja s kraja

na kraj koji nije ovisan o topologiji mreže niti usmjeravanju. Jedino se koristi informacija o duljini puta

koja se naziva diametar. Granice se računaju za dolazni promet ograničen algoritmom spremnika s

otjecanjem na ulaznom čvoru mreže. Brzina i praskovitost tokova prikazani su parametrima i , gdje

je maksimalna iskoristivost na bilo kojem čvoru, a je maksimalna praskovitost u odnosu na

vezane kapacitete čvorova. Pojednostavljeno gledajući (zanemarujući paketizaciju i maksimalne

brzine čvorova) maksimalno kašnjenje u mreži sa dijametrom je ograničeno sa

(29)

Ako je iskoristivost moguće je konstruirati mrežnu topologiju gdje kašnjenje u najgorem

slučaju može prijeći bilo koju svojevoljno postavljeno granicu. Ovaj rezultat iz [51] implicira da je

topologija ključna u odreĎivanju granica kašnjenja, ukoliko ono postoji.

5.4.5 Deterministički NC na temelju mjerenja

Modeli prikazani u prethodnim poglavljima izvedeni su analitički. Funkciju posluživanja mrežnog čvora

ili cijele mreže moguće je izvesti na temelju mjerenja dolazaka u mrežu ili čvor te odlazaka iz mreže ili

čvora. Korištene metode na ovise o mrežnim detaljima kao što su topologija, kapaciteti čvorova i sl.,

već samo pretpostavljaju da mreža zadovoljava odreĎenu mrežnu funkciju posluživanja. TCP

mehanizam izbjegavanja zagušenja tipičan je primjer u kojem se mjerenje odlazaka i dolazaka

primjenjuje za procjenu stanja mreže, odnosno prilagodbe brzine prijenosa stanju mreže.

Procjena funkcije posluživanja prvi put se koristi u kontekstu kontrole pristupa na temelju mjerenja

[52]. Ovaj pristup analizira vrijeme neprekidnog opterećenja koristeći svojstva striktne funkcije

posluživanja. Cilj je pronaći maksimalnu funkciju posluživanja koja zadovoljava definiciju striktne

funkcije posluživanja (6) za bilo koji par dolazaka i odlazaka. Noviji radovi koriste općenitije definicije

funkcije posluživanja. [53] prikazuje procjenu funkcije posluživanja na temelju inverzije min-plus

konvolucije. Cilj je pronalaženje maksimalne donje granice posluživanja koja će zadovoljavati (6) za

bilo koji par dolazaka i odlazaka. Jedna od prednosti ove metode je što nije potrebno odreĎivati

intervale konstantnog opterećenja.

37

5.5 Prednosti i nedostaci determinističkog NC-a

Deterministički NC pokazao se iznimno kvalitetnim za modeliranje i serijsko spajanje sustava kako je

prikazano u ovom (petom) poglavlju. Deterministički NC odreĎuje performanse sustava u pogledu

najgoreg slučaja, što za većinu aplikacija u konačnici rezultira iznimno pesimističnim procjenama

graničnih parametara kvalitete usluge. Iako su neka ograničenja dokazano točna, njihova vrijednost

postiže se samo u iznimnim slučajevima. Deterministički NC pokazuje se tako izvrsnim rješenjem za

analizu sustava koji zahtijevaju striktnu garanciju usluge, kao što su avio sustavi. Prema [54]

deterministički NC uspješno je primijenjen pri testiranju Airbus A380 AFDX mrežne okosnice. Ipak,

većina danas postojećih aplikacija dozvoljava odreĎenu degradaciju kvalitete usluge, npr. audio i

video prijenos omogućuju prihvatljivu kvalitetu usluge unatoč gubitku odreĎene količine podataka ili

odreĎenog kašnjenja u mreži.

Drugi problem determinističkog NC-a je što se granična funkcija sustava linearno povećava sa brojem

multipleksiranih tokova (svojstvo aditivnosti). Suprotno tome, paketno komutirani sustavi korištenjem

statističkog multipleksiranja u slučaju tokova varijabilne brzine omogućuju uštedu značajne količine

resursa. Dobit statističkog multipleksiranja paketno komutiranih mreža nije moguće prikazati

determinističkim metodama NC-a.

Sljedeći problem je što postoje brojni sustavi za koje nije moguće dati determinističku garanciju usluge

kako se pretpostavlja determinističkim NC-om. OdreĎivanje ostatka funkcija posluživanja za promet

kroz sustav pretpostavlja postojanje ograničenja prometa preko sustava u najgorem slučaju, no

zapravo je ostatak funkcije posluživanja nasumičan, što je posljedica promjenjivosti intenziteta

prometa preko sustava. Primjerice, posluživanje radio kanala je nasumično zbog promjenjivost jakosti

signala i interferencija, kao i zbog različitih pristupnih protokola.

Nedostatke determinističkog NC pokušava nadići teorija stohastičkog NC-a koju ćemo približiti u

sljedećem (šestom) poglavlju.

38

6 Stohastički NC

Komunikacijske mreže, kao što su bežične mreže, jedino su u mogućnosti imati stohastičku garanciju

usluge. Zbog rastućeg razvoja i primjene takvih mreža kojima je cilj omogućiti multimedijske usluge i

usluge u realnom vremenu, a koje traže izrazite QoS garancije, razvoj teorije za analizu stohastičkih

garancija usluge označen je kao veliki izazov u današnjim istraživanjima o mrežnim performansama

[55]. Stohastički NC smatra se značajnim korakom u tom smjeru.

6.1 Stohastičke funkcije dolaznog toka

Mrežni promet se općenito u stohastičkom NC-u prikazuje statističkim graničnim funkcijama dolaznog

toka koje predstavljaju vjerojatnosno proširenje determinističkih graničnih funkcija. Postoji nekoliko

formulacija ovih funkcija koje se klasificiraju s obzirom radi li se o nasumičnim ili ne-nasumičnim

funkcijama.

6.1.1 Statističke granične funkcije dolaznog toka kao ne-nasumične funkcije

Ograničenja definirana statističkim funkcijama dolaznog toka dopuštaju prekoračenja s odreĎenom

vjerojatnošću i definiraju se funkcijom odstupanja ili pogreške.

Jedan od prvih modela iz ove grupe je EBB (Exponentialy Bounded Burstiness) model [56]. Dolazni

tok ograničen je EBB graničnom funkcijom sa brzinom ako postoje konstante , za svaki

i . Tada vrijedi

(30)

Funkcija je EBB statistička granična funkcija i je pripadajuća funkcija

odstupanja. Konstanta predstavlja vjerojatnost kad nema praskovitog prometa ( i obično se

naziva prefaktor1. I brzina i prefaktor ovise o konstanti koja predstavlja eksponencijalnu brzinu

opadanja, a koja odreĎuje oblik funkcije odstupanja. Sam oblik funkcije odstupanja ovisi o

promatranom prometnom modelu. Ako je dolazni tok EBB, tada količina nedovršenog posla

eksponencijalno opada.

SBB model (Stohastically Bounded Burstiness) [57] poopćava EBB model u smislu da se od funkcije

odstupanja u ovom slučaju zahtjeva da bude -puta integrabilna, a ne nužno i eksponencijalna. SBB

je nastao kako bi se prikazao proces kod kojeg nedovršeni posao ne opada eksponencijalno kako se

zahtjeva kod EBB-a. Prednost SBB-a u odnosu na EBB je što je u mogućnosti pokriti širi spektar

modela prometa na mreži.

Efektivni model granične funkcije [58] je drugi statistički model koji proširuje EBB model. Dolazni tok

ograničen je efektivnom graničnom funkcijom za neku vjerojatnost odstupanja ako za

svaki vrijedi

1 Koeficijent koji prethodi izračunu u matematičkoj formuli

39

(31)

EBB, SBB i efektivni model granične funkcije koriste samo dvije vremenske točke u procesu dolazaka

koje smo označavali sa i . Za razliku od njih, gSBB (generalised Stohastically Bounded Burstiness)

model [59] koristi cijelu povijest dolazaka i spada u skupinu sample-path graničnih funkcija. Dolazni

tok ograničen je gSBB graničnom funkcijom s gornjom granicom brzine i funkcijom odstupanja

ako za svaki i vrijedi

(32)

Prednost gSBB modela što proširuje skup modela prometa koje pokriva SBB model. gSBB model

postaje SBB model ukoliko je uvjet da je odgovarajuća funkcija odstupanja -puta integrabilna.

Drugi model koji koristi cijelu povijest dolazaka je efektivni sample-path model granične funkcije [60].

Dolazni tok je ograničen sa sample-path efektivnom graničnom funkcijom za neku

vjerojatnost odstupanja ako za svaki vrijedi

(33)

Ovaj model poopćuje efektivni model granične funkcije na isti način na koji gSBB poopćuje SBB

model. gSBB i sample-path efektivni model granične funkcije omogućuju izvoĎenje graničnih

performansi u pogledu jednog čvora (primjerice nedovršenog posla, kašnjenja, izlaznog toka).

Treći model iz skupine sample-path graničnih funkcija je globalno efektivni sample-path model

granične funkcije [58]. Dolazni tok je ograničen sa globalno efektivnom sample-path graničnom

funkcijom za interval duljine , i za neku vjerojatnost odstupanja ako

vrijedi

(34)

Za razliku od gSBB modela globalno efektivni sample-path model postavlja vjerojatnosne granice na

dolaske u fiksnim vremenskim intervalima .

Prednost efektivnog i globalno efektivnog sample-path modela je što omogućuju izvedbu uvjeta

rasporeĎivanja u sklopu stohastičkog NC-a za nekoliko algoritama za rasporeĎivanje [58], na sličan

način kao i kod determinističkog NC-a.

[58] i [61] izvode uvjete rasporeĎivanja za propuštanje maksimalnog broja tokova na čvor pod

odreĎenim zahtjevima maksimalnog kašnjenja uz neku vjerojatnost odstupanja. Izvedeni uvjeti odnose

se na skup tokova i predstavljaju proširenje odgovarajućih uvjeta rasporeĎivanja kod determinističkog

modela. Na primjeru iz [58], neka je statistička granična funkcija prema (31) primijenjena na

skup tokova. Tada FIFO čvor kapaciteta garantira kašnjenje manje od za te tokove sa

vjerojatnošću odstupanja manjom od ako je ispunjen uvjet

(35)

40

Ispunjenjem uvjeta moguće je propustiti tokova na čvor uz traženu QoS garanciju. Slični uvjeti

dostupni su i za SP i EDF rasporeĎivanje. Rezultati dobiveni korištenjem uvjeta rasporeĎivanja u [58] i

[61] potkrijepljeni su simulacijskim rezultatima, čime se pokazuje da je stohastički NC podoban za

analizu statističkog multipleksiranja.

6.1.2 Statističke granične funkcije dolaznog toka kao nasumični procesi

Za razliku od ne-nasumičnih funkcija, statističke granične funkcije dolaznog toka kao nasumični

procesi ne zahtijevaju nužno funkciju odstupanja kako bi se dobile vjerojatnosti kršenja definiranih

granica. Mogu se definirati na dva načina. Prvi se zasniva na stohastičkom rasporeĎivanju [62] prema

kojem je definirano da je nasumična varijabla stohastički manja od nasumične varijable , pri čemu

pišemo , ako za svaki realni vrijedi . Koristeći stohastičko

rasporeĎivanje, statistička granična funkcija [63] definira se kao ne-negativni nasumični proces za

dolazni tok ako za svaki vrijedi

(36)

Drugi oblik stohastičke granične funkcije zasniva se na definiciji gotovo sigurnog (almost surley)

rasporeĎivanja. Nasumična varijabla je gotovo sigurno manja od nasumične varijable , što se

zapisuje kao , ako vrijedi . rasporeĎivanje implicira stohastičko

rasporeĎivanje, dok obratno ne vrijedi. Statistička granična funkcija sa rasporeĎivanjem dolaznog

toka je nenegativni, dvostruko indeksirani nasumični proces ako za svaki vrijedi

(37)

Za nasumični proces pretpostavka je da je padajući u , rastući u , te da zadovoljava da je

za svaki . Da bi se izvele granične performanse potrebna je

dostupnost granica na funkciji izvodnici momenata, i.e. granica na za neki gdje

predstavlja očekivanje [64]. Pretpostavimo sada da su kumulativni dolasci opisani sa nasumičnim

procesom (npr. Poison-ov proces s nekom brzinom dolazaka). Tada je odgovarajuća statistička

granična funkcija definirana sa , tako da za (37) vrijedi jednakost. Drugim

riječima, nasumični proces je granična funkcija sama za sebe. Mogućnost izvoĎenja granične

funkcije sa gotovo sigurnim rasporeĎivanjem za dolazni tok posebno je korisno kad su

dostupne granice na funkciji izvodnici momenata za , dok nisu dostupni za funkciju izvodnicu

momenata od . Ako granice postoje za funkciju izvodnicu momenata od tada se sama

gleda kao granična funkcija [64]. Razlog potrebe za dvostrukim indeksiranjem statističkih funkcija sa

gotovo sigurnim rasporeĎivanjem je u izbjegavanju korelacija meĎu dolascima. Uzmimo za primjer

Bernoulli-ev izvor2 gdje binomne nasumične varijable i mogu biti različite za

svaki ( je broj dolazaka u intervalu s vjerojatnošću ) što znači da dolasci i

2 Izvor koji poprima dvije vrijednosti s vjerojatnostima p i 1-p

41

nisu u korelaciji. Da je statistička granična funkcija s gotovo sigurnim rasporeĎivanjem definirana

samo s jednim indeksom, npr. za Bernoulli-ev izvor tada bi dolasci bili u korelaciji.

Statističke granične funkcije definirane kao nasumični procesi u stanju su predočiti statistička svojstva

dolazaka te time i statističkog multipleksiranja kako je prikazano u [63] za statističku graničnu funkciju

definiranu sa stohastičkim rasporeĎivanjem, te u [64] za statističku graničnu funkciju sa gotovo

sigurnim rasporeĎivanjem. Nije poznato koji od ovih modela bolje predočuje statističko multipleksiranje

[17].

6.2 Statističke funkcije posluživanja

Statističke funkcije posluživanja predstavljaju proširenje determinističkih funkcija posluživanja.

Rezultat su granične funkcije posluživanja za odreĎeni tok ili skup tokova na čvoru sa odreĎenom

vjerojatnošću. Kao i kod graničnih funkcija dolaznog toka, i statističke funkcije posluživanja mogu se

podijeliti na ne-nasumične funkcije i nasumične procese.

6.2.1 Statističke funkcije posluživanja kao ne-nasumične funkcije

Slično statističkim funkcijama graničnog dolaznog toka kao ne-nasumičnih funkcija iz 6.1.1, i

stohastičke funkcije posluživanja kao ne-nasumične funkcije definiraju se sa funkcijom odstupanja

koja podrazumijeva vjerojatnost odstupanja od definiranih ograničenja na uslugu. Prema [65]

statistička funkcija posluživanja definira se kao ne-negativna, ne-padajuća funkcija sa funkcijom

odstupanja za dolazni tok ako odgovarajući odlazni tok za svaki i

zadovoljava

. (38)

U [65] se naziva funkcija posluživanja sa deficitnim profilom . Ako je linearna, a

eksponencijalna, tada je EBB statistička funkcija posluživanja [66].

[67] definira statističku funkciju posluživanja kao ne-negativnu, ne-padajuću funkciju sa

vjerojatnošću odstupanja za dolazni tok ako odgovarajući odlazni tok zadovoljava

. (39)

Gornja formulacija naziva se efektivna funkcija posluživanja. Razlika formulacije (38) i (39) je što

druga postavlja jedinstvenu vjerojatnost odstupanja, dok prva vjerojatnost odstupanja postavlja u

ovisnosti o . Statistička funkcija posluživanja (38) može se reducirati na efektivnu funkciju

posluživanja. Ako zadovoljava (38) sa funkcijom odstupanja , tad je funkcija

efektivna funkcija posluživanja sa vjerojatnošću odstupanja ako je .

Modificirana efektivna funkcija posluživanja iz [67] definira se pomoću modificiranog operatora min-

plus konvolucije. Modificirani operator konvolucije definiran je za svaki kao

42

(40)

Gdje predstavlja nedovršeni posao na čvoru. Osnovna razlika (40) i (5) je što za (40) nije

potrebno znati prethodne dolaske ali uzima u obzir nedovršeni posao na čvoru u trenutku .

Postavljanjem , modificirani operator konvolucije predstavlja obični operator konvolucije .

Funkcija sa modificiranim operatorom konvolucije naziva se -adaptivna efektivna funkcija

posluživanja za interval sa vjerojatnošću odstupanja , ako odlazni tok na čvoru za svaki i

zadovoljava

. (41)

Gornja definicija pojednostavljena je u [60] gdje je definirana adaptivna statistička funkcija

posluživanja, ali samo za .

Formulacija čvrste adaptivne efektivne funkcije posluživanja [67] modificira (41) na

. (42)

Gdje predstavlja interval duljine . Prednost čvrstih adaptivnih efektivnih funkcija posluživanja je što

što se rezultati njihovog spajanja u mrežnu funkciju posluživanja ne razlikuje od determinističke

mrežne funkcije posluživanja.

U nastavku definiramo statistički ostatak funkcija posluživanja. Uzmimo čvor fiksnog kapaciteta koji

poslužuje odreĎeni tok i tok preko čvora . Uzmimo da čvor koristi SP rasporeĎivanje i da

promet preko čvora ima veći prioritet. TakoĎer uzmimo slučaj da je promet preko čvora ograničen

globalno efektivnom graničnom funkcijom za neki prema (34) i da predstavlja

granicu konstantnog opterećenja čvora za svaki tako da vrijedi

, (43)

Gdje predstavlja početak posljednjeg intervala s konstantnim opterećenjem čvora pri čemu vrijedi da

je . Tada je statistički ostatak funkcije posluživanja prema [68] dana s

) (44)

Gdje vjerojatnost odstupanja iznosi , što je u skladu s (39). Nedostatak formulacije (44) je što

granica konstantnog opterećenja zahtjeva dostupnost združene determinističke granične funkcije

dolaznih tokova . Ukoliko združena deterministička granična funkcija ovih tokova ne

predstavlja njihovu točnu karakterizaciju, tada početak posljednjeg intervala s konstantnim

opterećenjem može biti suviše pesimističan. Štoviše, kako je vjerojatnost odstupanja

odgovarajuće granične funkcije dolaznog toka obično proporcionalna sa , tako vjerojatnost

odstupanja za može biti jako velika.

43

Razmotrimo slučaj kad je promet preko čvora ograničen efektivnom graničnom funkcijom dolaznog

toka sa vjerojatnošću odstupanja prema (31). TakoĎer neka je kraj perioda konstantnog

opterećenja čvora prema (43). Tada je statistički ostatak funkcije posluživanja u skladu s (39)

) (45)

Sa vjerojatnošću odstupanja koja je proporcionalna intervalu konstantnog opterećenja koji završava sa

[37]. Za razliku od formulacije u [68], interval konstantnog opterećenja iz [37] ne zahtjeva dostupnost

determinističke granične funkcije združenih dolaznih tokova.

Ako je promet preko čvora ograničen sample-path efektivnom graničnom funkcijom dolaznog

toka prema (33) tada je funkcija iz (45) adaptivna efektivna funkcija posluživanja za bilo koji

interval duljine sa funkcijom odstupanja [60].

[69] konstruira ostatak statističke funkcije posluživanja kad je promet preko mreže ograničen gSBB

graničnom funkcijom dolaznog toka. Neka je promet preko mreže ograničen gSBB graničnom

funkcijom sa funkcijom odstupanja prema (32) tada je statistička funkcija posluživanja

dana prometu kroz čvor ne-nasumična funkcija

, (46)

Sa funkcijom odstupanja .

Iako ostaci statističkih funkcija posluživanja omogućuju ograničenja posluživanja u najgorem slučaju s

odreĎenom vjerojatnošću, rezultati analize graničnih performansi njihovom primjenom pri velikom

podatkovnog prometu vrlo su slični rezultatima dobivenim primjenom statističkih funkcija posluživanja

za EDF ili GPS rasporeĎivanje [37]. Prema tome je izgledno da efekt statističkog multipleksiranja

dominira u odnosu na efekt pojedinog algoritma rasporeĎivanja paketa [61],[37].

6.2.2 Statističke funkcije posluživanja kao nasumični procesi

Da bi definirali statističku funkciju posluživanja, najprije definiramo operator konvolucije dvije

dvostruko indeksirane funkcije i kao za svaki .

Statistička funkcija posluživanja sa gotovo sigurnim rasporeĎivanjem je ne-negativni, dvostruko-

indeksirani nasumični proces za dolazni tok ako odgovarajući odlazni tok za svaki

zadovoljava

(47)

Proces naziva se dinamički F-poslužitelj [12] i padajući je u , rastući u i zadovoljava

za svaki . Razlog potrebe za dvostrukim indeksiranjem je u prikazivanju

promjenjivosti posluživanja u intervalima iste duljine.

44

Još ćemo definirati funkciju ostatka statističke funkcije posluživanja [64]. Neka je promet kroz čvor

uglaĎen statističkom dolaznom funkcijom prema (37). Tada je funkcija posluživanja za

promet preko čvora prikazan dvostruko indeksiranim nasumičnim procesom

. (48)

Općenito je korisno da su i statistički neovisni.

6.3 Sustavi s kraja na kraj

Najnovija dostignuća stohastičke NC teorije odnose se na izvedbu modela spajanja funkcija

posluživanja (9) koristeći koncept ostataka funkcija posluživanja za izvedbu statističkih graničnih

performansi.

Kako je prikazano za deterministički NC u poglavlju 5.3, za dani dolazni tok uglaĎen funkcijom

koji prolazi spojenih čvorova, gdje svaki čvor ima svoju funkciju posluživanja , postoje

dvije alternative izračuna kašnjenja s kraja na kraj. Jedna opcija je zbroj graničnih kašnjenja po

čvorovima, što zahtjeva izračun odlaznih funkcija na svakom čvoru pri čemu odlazna funkcija

prethodnog čvora postaje granična dolazna funkcija trenutnog čvora. Kompleksnost ovog izračuna je

. Druga opcija sa kompleksnošću izračuna je konvolucija funkcija posluživanja svih čvorova

(9) pri čemu se u jednom koraku dobije mrežna funkcija posluživanja čitavog sustava.

Navedene opcije u načelu postoje i u stohastičkom NC-u, no izvedba konvolucije s kraja na kraj dugo

je bila gorući problem. Raniji radovi [56],[57], pa i neki noviji [70] koriste zbroj graničnih kašnjenja po

čvorovima. U [16] je prikazano da aditivne granice kašnjenja EBB modela skaliraju do . Prije

definiranja statističke mrežne funkcije posluživanja razmotrimo problem koji se rješava u [38],[60]. Za

dva spojena čvora sa statističkim funkcijama posluživanja i prema (38) neka i

označavaju dolaske i odlaske čvora gdje je . Ako je vrijedi

Kako je prikazano u [38],[60], u prvoj gornjoj jednadžbi nije moguće zamijeniti za donju

jednadžbu kao u slučaju determinističkog NC-a jer je nasumična varijabla za koju nije lako odrediti

fiksnu vrijednost. Umjesto toga, potrebno je odrediti graničnu funkciju (sample-path) koja će

vrijediti za svaki . Vjerojatnost odstupanja, koristeći Boole-eovu nejednakost takve granične

funkcije, može se procijeniti na . Očito je da bez dodatnih pretpostavki ova vjerojatnost teži u

beskonačnost s obzirom da raste u beskonačnost.

Tri su poznata rješenja za formulaciju statističke mrežne funkcije posluživanja kao ne-nasumične

funkcije.

Jedno od mogućih rješenja je ono predloženo u [38] koje uvodi vremensko ograničenje prema

granicama konstantne opterećenosti poslužitelja. Za vremenski interval vjerojatnost odstupanja

45

granične funkcije prema Boole-ovoj nejednakosti u gornjem primjeru postaje ograničena sa .

Problem ovog modela je što je teško apriori odrediti vremenski interval .

Drugo rješenje [60] izbjegava apriori odreĎivanje vremenskog intervala koristeći stohastičku ekstenziju

adaptivne funkcije posluživanja (7) koja se temelji na modificiranoj definicije operatora konvolucije

(41). Značajno svojstvo adaptivne statističke funkcije posluživanja je što vodi do funkcije posluživanja

prikazane kao u determinističkom NC-u. Uzmimo da svaki čvor omogućuje funkciju

posluživanja prema (41) sa nekom vjerojatnošću odstupanja , za intervale duljine . Tada se

funkcija posluživanja u cjelini prikazuje kao mrežna funkcija posluživanja

, koja zadovoljava (41) kao . Vjerojatnost

odstupanja odnosi se na bilo koju vrijednost . Odabir parametra vrši se obično sa izvoĎenjem

graničnih performansi.

Treće rješenje [71] odnosi se na koncept funkcije posluživanja sa gubicima. Uzmimo tok u

vremenskom intervalu na čvoru s funkcijom posluživanja . Neka -ti paket ima krajnji rok

odlaska

. (49)

Tada je funkcija posluživanja sa parametrom gubitaka paketa ako barem paketa zadovoljava

zadani krajnji rok prema (49). Ostalih paketa se odbacuje. Uzmemo li mrežu gdje svaki čvor

omogućuje funkciju posluživanja sa parametrom gubitaka , tada je funkcija

mrežna funkcija posluživanja sa parametrom gubitaka . Ograničenje

primjenjivosti ovog modela je što je potrebno implementirati algoritam rasporeĎivanja na svakom čvoru

koji će garantirati zahtijevano odbacivanje paketa.

Sljedeće prikazujemo statističku mrežnu funkciju posluživanja definiranu kao nasumični proces prema

modelu (47). Uzmimo da svaki čvor omogućuje funkciju posluživanja . Tada je

konstrukcija odgovarajuće mrežne funkcije posluživanja jednoznačna

(50)

Primjena gornje mrežne funkcije za izvoĎenje performansi s kraja na kraj zahtjeva statističku

neovisnost funkcija posluživanja . TakoĎer se zahtjeva da funkcije izvodnice momenata budu

konačne (ova pretpostavka onemogućuje primjenu na heavy-tailed promet).

[16] izvodi graničnu funkciju koja ne ovisi o ograničenju vremenskog intervala. Sample-path statistička

funkcija posluživanja se definira sa

(51)

Za svaki i bilo koji . Sample-path statistička funkcija posluživanja (51) može se zapisati i

ograničiti kao

46

Umetanjem definicije statističke funkcije (38) sa vjerojatnošću odstupanja i dopuštanjem

izvodi se funkcija posluživanja sa sample-path vjerojatnošću odstupanja .

Integrabilnost funkcije odstupanja se pretpostavlja kao u slučaju SBB dolazne granične funkcije.

Mrežna funkcija posluživanja može se izvesti iz definicije sample-path funkcije posluživanja [16] kao

(52)

Gdje je . Mrežna funkcija posluživanja ima deficitni profil

.

6.4 Prednosti i nedostaci stohastičkog NC-a

Značajan napredak u posljednjih nekoliko godina napravljen je na području stohastičkog NC-a. Jedna

od najznačajnijih je izvedba modela spajanja funkcija posluživanja koristeći koncept ostataka funkcija

posluživanja. U usporedbi sa determinističkim, stohastički NC smatra se značajno težim pa se i

rezultati dobiveni determinističkim NC-om većim dijelom nisu još razmatrali u stohastičkom okruženju.

Iako se stohastički NC uvelike koristi u analizi algoritama rasporeĎivanja sa prometom preko čvora,

sam koncept je univerzalan i vrlo široko primjenjiv kako se i vidi u prvim radovima u primjeni kod

šumovitih radio kanala i pristupnim protokolima [72].

Neki od izazovnijih sustava za analizu su sustavi s povratnom informacijom, npr. prozorski algoritam

kontrole toka i izbjegavanja zagušenja implementiran kod TCP protokola, kod kojeg stohastički modeli

mogu unaprijediti izvedbu budućih protokola. Primjena kod različitih mrežnih topologija takoĎer

predstavlja jedan od izazova, kao i problem odreĎenih tipova prometa, kao što je heavy-tailed promet.

Šira diskusija na ovu temu dana je u [9].

47

7 Zaključak

Omogućavanje tražene kvalitete usluge različitim aplikacijama danas je jedan od osnovnih

zahtjeva multimedijalnih usluga na mrežu. U tu svrhu definirano je više mehanizama i mrežnih

arhitektura u protekla dva desetljeća. Kvaliteta usluge jedan je od osnovnih ciljeva mreža nove

generacije (NGN).

U analizi i unapreĎenju paketno komutiranih mreža godinama je glavnu ulogu imala teorija

sustava s posluživanjem na temelju koje je u drugoj polovini prošlog stoljeća i nastala ideja prelaska iz

mreža s prospajanjem kanala na paketno komutiranu mrežu. Pa ipak, krajem prošlog stoljeća

dokazana su svojstva paketnih tokova koja krše neke od osnovnih pretpostavki teorije sustava s

posluživanjem, kao što je bez-memorijsko svojstvo Poisson-ovog procesa. Navedeni problem

napravio je put definiranju nove teorije za analizu parametara kvalitete – Network Calculus. NC često

se naziva i teorijom sustava sa primjenom u računalnim mrežama.

U ovom radu prikazani su deterministički i stohastički modeli funkcija posluživanja i funkcija

dolaznog toka. Osnovna razlika ovih dvaju modela je što prvi daje pogled na sustav u vidu izračuna

najgoreg slučaja, dok drugi dopušta odreĎena odstupanja od definiranih funkcija.

Izračun mrežne funkcije min-plus konvolucijom funkcija posluživanja pojedinih čvorova

posluživanja sa složenošću najznačajniji je doseg determinističkog NC-a. Izračun granica

nedovršenog posla, kašnjenja i izlazne funkcije takoĎer spada u temeljne rezultate determinističkog

NC-a. Kako je prikazano, različiti modeli nastali na temelju determinističkog NC-a našli su svoju

primjenu u rasporeĎivanju paketa te mrežnim topologijama. Izraziti značaj ima definiranje ostataka

funkcija posluživanja za pojedine tokove. Iako se dokazala izrazitom točnošću i jednostavnošću

odreĎivanja graničnih performansi, pogled najgoreg slučaja na sustav ograničava širu primjenu

determinističkih metoda. Dobit statističkog multipleksiranja paketno komutiranih mreža nije moguće

prikazati determinističkim metodama NC-a te se u smislu toga pribjeglo korištenju stohastičkih

metoda.

Rezultati dobiveni stohastičkim metodama pokazuju izraziti potencijal koji je moguće primijeniti u

širokom spektru sustava. Osnovni problem stohastičkih metoda je što je dobivanje rezultata njihovom

primjenom znatno složenije od dobivanja rezultata determinističkim metodama. Ovo je i razlog što se

većina rezultata dobivena determinističkim metodama još nije obradila stohastičkim. Stohastičke

funkcije posluživanja i dolaznog toka dijele se na ne-nasumične funkcije i nasumične procese. Prve

definiraju funkciju odstupanja od rezultirajuće funkcije posluživanja ili dolaznog toka, dok se druge

zasnivaju na definiciji gotovo sigurnog rasporeĎivanja. Jedna od najznačajnijih rezultata stohastičkog

NC-a je izvedba modela spajanja funkcija posluživanja koristeći koncept ostataka funkcija

posluživanja.

48

Literatura:

[1] IDATE, “World Telecom Service Market“, IBM Institute for Business Value (IBV) Analysis, 2009. [2] M. Paolini, “Data revenues to surpass voice revenues in Japan“, 2010 http://www.fiercebroadbandwireless.com/story/paolini-data-revenues-surpass-voice-revenues-docomo/2010-10-27 [3] Y. Chen, T. Farley, N. Ye, “QoS Requirements of Network Applications on the Internet“, Information-Knowledge-Systems Management, Volume 4 Issue 1, IOS Press Amsterdam, 2004. [4] F. Baker, C. Iturralde, F. Le Faucher, B. Davie, “Aggregation of RSVP for Ipv4 and Ipv6 Reservations“, RFC 3175, IETF, 2001. [5] L. Berger, et al, “RSVP Refresh Overhead Reduction Extension“, RFC 2961, IETF, 2001. [6] L. Kleinrock, “Information Flow in Large Communication Nets“, PhD thesis proposal, Massachusetts Institute of Technology, 1961. [7] A. Papoulis, S.U. Pillai, “Probability, Random Variables and Stochastic Processes“, McGraw-Hill, Inc., 4th edition, 2002. [8] W. Leland, M. Taqqu, W. Willinger, D. Wilson, “On the Self-Similar Nature of Ethernet Traffic“, (extended version), IEEE/ACM Transactions on Networking, 1994. [9] M. Fidler, “A Survey of Deterministic and Stochastic Service Curve Models in the Network Calculus“, IEEE Communications Surveys & Tutorials, Vol. 12, No. 1, 2010. [10] R. Cruz, “A Calculus for Network Delay“, parts I. and II. in Network Analysis. IEEE Transactions on Information Theory, 37(1):114–141, January 1991. [11] J.Y. Le Boudec, P. Thiran, “Network Calculus A Theory of Deterministic Queuing Systems for the Internet“, Number 2050 in LNCS. Springer-Verlag, 2001. [12] C.S. Chang, “Performance Guarantees in Communication Networks“, Springer-Verlag, 2000. [13] J.Y. Le Boudec, “Some properties of variable length packet shapers“, In Proc ACM Sigmetrics / Performance ’01, pages 175–183, 2001. [14] C.S. Chang, “Performance Guarantees in Communication Networks“, Springer-Verlag, 2000. [15] F. Ciucu, A. Burchard, J. Liebeherr, “A network service curve approach for the stochastic analysis of networks“, in Proc. ACM SIGMETRICS, 2005, pp. 279–290. [16] F. Ciucu, A. Burchard, J. Liebeherr, “Scaling properties of statistical end-to-end bounds in the network calculus“, IEEE/ACM Trans. Netw., vol. 14, no. 6, pp. 2300–2312, 2006. [17] F. Ciucu, “Scaling Properties in the Stochastic Network Calculus“, Ph.D. thesis, Univ. of Virginia, August 2007. [18] R. Cruz, M. Taneja, “An analysis of traffic clipping“, in Proc. Conference on Information Science and Systems, Princeton University, 1998. [19] J.Y. Le Boudec, P. Thiran, “Network calculus viewed as a minplus system theory applied to communication networks“, Tech. Rep. SSC/1998/016, EPFL, April 1998. [20] C.S. Chang, R.L. Cruz, J.Y. Le Boudec, P. Thiran, “A min-plus system theory for constrained traffic regulation and dynamic service guarantees“, Tech. Rep. SSC/1999/024, EPFL, July 1999. [21] C.S. Chang, R.L. Cruz, J.Y. Le Boudec, P. Thiran, “A min, + system theory for constrained traffic regulation and dynamic service guarantees“, EEE/ACM Trans. Netw., vol. 10, no. 6, pp. 805–817, December 2002. [22] C.M. Chuang, J.F. Chang, “Deterministic loss ratio quality of service guarantees for high speed networks“, IEEE Commun. Lett., vol. 4, no. 7, pp. 236–238, July 2000. [23] T. Chahed, G. H´ebuterne, C. Fayet, “Mapping of loss and delay between IP and ATM using network calculus“, in Proc. IFIP Networking, May 2000, vol. 1815 of LNCS, pp. 240–251. [24] M.I.F Alves, L. de Haan, C. Neves, “Statistical inference for heavy and super-heavy tailed distributions“, 2006. http://docentes.deio.fc.ul.pt/fragaalves/SuperHeavy.pdf [25] R. Agrawal, R. Rajan, “Performance bounds for guaranteed and adaptive services“, Tech. Rep. RC 20649, IBM, May 1996. [26] C.S. Chang, “On deterministic traffic regulation and service guarantees: A systematic approach by filtering“, IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 44, no. 3, pp. 1097–1110, May 1998. [27] R. Agrawal, R.L. Cruz, C.M. Okino, R. Rajan, “Performance bounds for flow control protocols“, IEEE/ACM Trans. Netw., vol. 7, no. 3, pp. 310–323, June 1999 [28] R.L. Cruz, C.M. Okino, “Service guarantees for window flow control“, in Proc. Allerton Conference on Communication, Control, and Computing, Oct. 1996. [29] F. Baccelli, D. Hong, “TCP is max-plus linear and what it tells us on its throughput“, in Proc. ACM SIGCOMM, Oct. 2000, pp. 219–230. [30] J.B. Schmitt, “On average and worst case behaviour in non-preemptive priority queueing“, in Proc. SPECTS, July 2003, pp. 197–204. [31] V. Cholvi, J. Echague, J.Y. Le Boudec, “Worst case burstiness increase due to FIFO multiplexing“, Performance Evaluation, vol. 49, no. 1/4, pp. 491–506, Sept. 2002. [32] M. Fidler, V. Sander, W. Klimala, “Traffic shaping in aggregate based networks: Implementation and analysis“, Computer Communications, vol. 28, no. 3, pp. 274–286, Feb. 2005. [33] L. Lenzini, E. Mingozzi, G. Stea, “Delay bounds for FIFO aggregates: a case study“, Computer Communications, vol. 28, no. 3, pp. 287–299, Feb. 2005.

49

[34] M. Fidler, “Providing Internet Quality of Service based on Differentiated Services Traffic Engineering“, Ph.D. thesis, RWTH Aachen University, Jan. 2004. [35] A. K. Parekh, R. G. Gallager, “A generalized processor sharing approach to flow control in integrated services networks: The singlenode case“, IEEE/ACM Trans. Netw., vol. 1, no. 3, pp. 344–357, June 1993. [36] J. Qiu, C. Cetinkaya, C. Li, E. W. Knightly,v Inter-class resource sharing using statistical service envelopes“, 2000, http://www.ece.rice.edu/networks/papers/QCLK00.ps [37] C. Li, A. Burchard, J. Liebeherr, “A network calculus with effective bandwidth“, Tech. Rep. CS-2003-20, University of Virginia, Nov. 2003. [38] C. Li, A. Burchard, J. Liebeherr, “A network calculus with effective bandwidth“, IEEE/ACM Trans. Netw., vol. 15, no. 6, pp. 1442–1453, Dec. 2007. [39] Q. Z. Zheng, K. G. Shin, “On the ability of establishing real-time channels in point-to-point packet switched networks“, IEEE Trans. Commun., vol. 42, no. 3, pp. 1096–1105, Mar. 1994. [40] L. Georgiadis, R. Guerin, A. Parekh, “Optimal multiplexing on a single link: Delay and buffer requirements“, IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 43, no. 5, pp. 1518–1535, Sept. 1997. [41] H. Sariowan, R.L. Cruz, G.C. Polyzos, “SCED: A generalized scheduling policy for guaranteeing quality-of-service“, IEEE/ACM Trans. Netw., vol. 7, no. 5, pp. 669–684, Oct. 1999. [42] P. Goyal, S.S. Lam, H.M. Vin, “Determining end-to-end delay bounds in heterogeneous networks, Multimedia Systems“, vol. 5, no. 3, pp. 157–163, May 1997. [43] P. Goyal, H.M. Vin, “Generalized guaranteed rate scheduling algorithms: A framework“, IEEE/ACM Trans. Netw., vol. 5, no. 4, pp. 561–571, Aug. 1997. [44] J.C.R. Bennett, K. Benson, W F. Courtney, J.Y. Le Boudec, “Delay jitter bounds and packet scale rate guarantee for expedited forwarding“, IEEE/ACM Trans. Netw., vol. 10, no. 4, pp. 529–540, August 2002. [45] Y. Jiang, “Per-domain packet scale rate guarantee for expedited forwarding“, IEEE/ACM Trans. Netw., vol. 14, pp. 630–643, June 2006. [46] Y. Jiang, “Delay bound and packet scale rate guarantees for some expedited forwarding networks“, Computer Networks, vol. 50, no. 1, pp. 15–28, January 2006. [47] J.Y. Le Boudec, A. Charny, “Packet scale rate guarantee for non-FIFO nodes“, in Proc. IEEE INFOCOM, June 2002, pp. 23–26. [48] J.A. Cobb, “Preserving quality of service guarantees in spite of flow aggregation“, IEEE/ACM Trans. Netw., vol. 10, no. 1, pp. 43–53, Feb. 2002. [49] M. Fidler, V. Sander, “A parameter based admission control for differentiated services networks“, Computer Networks, vol. 44, no. 4, pp. 463–479, Mar. 2004. [50] G. Rizzo, J.Y. Le Boudec, “Stability and delay bounds in heterogeneous networks of aggregate schedulers“, in Proc. IEEE INFOCOM, Apr. 2008, pp. 2162–2170 [51] A. Charny J.Y. Le Boudec, “Delay bounds in a network with aggregate scheduling“, in Proc. QoFIS, Sept. 2000, vol. 1922 of LNCS, pp. 1–13. [52] S. Valaee, B. Li, “Distributed call admission control for ad hoc networks“, in Proc. IEEE VTC, Sept. 2002, pp. 1244–1248 [53] J. Liebeherr, M. Fidler, S. Valaee, “A system theoretic approach to bandwidth estimation“, Tech. Rep. arXiv:0801.0455v1, arXiv, Jan. 2008 [54] M. Boyer, “NC-Maude: A Rewriting Tool to Play with Network Calculus“, Lecture Notes in Computer Science, Volume 6415/2010, Springer, 2011. [55] Workshop Attendees, “Report of the National Science Foundation Workshop on Fundamental research in Networking“, April 2003. http://www.cs.virginia.edu/~jorg/workshop1/NSF-NetWorkshop-2003.pdf [56] O. Yaron, M. Sidi, “Performance and stability of communication networks via robust exponential bounds“, IEEE/ACM Transactions on Networking, 1(3):372–385, June 1993. [57] D. Starobinski, M. Sidi. “Stochastically bounded burstiness for communication networks“, IEEE Transactions on Information Theory, 46(1):206–212, January 2000. [58] R. Boorstyn, A. Burchard, J. Liebeherr, C. Oottamakorn, “Statistical service assurances for traffic scheduling algorithms“, IEEE Journal on Selected Areas in CommunicationsSpecial Issue on Internet QoS, 18(12):2651–2664, December 2000. [59] Q. Yin, Y. Jiang, S. Jiang, P.Y. Kong, “Analysis on generalized stochastically bounded bursty traffic for communication networks“, In Proceedings of IEEE Local Computer Networks (LCN), pages 141–149, November 2002. [60] A. Burchard, J. Liebeherr, S. D. Patek, “A min-plus calculus for end-to-end statistical service guarantees“, IEEE Transactions on Information Theory, 52(9):4105 –4114, September 2006. [61] J. Liebeherr, “A note on statistical multiplexing and scheduling in video networks at high data rates“, In The Internet as a Large-Scale Complex System (Eds: K. Park, W. Willinger), pages 179–201. Oxford University Press, 2005. [62] D. Stoyan, “Comparison Methods for Queues and Other Stochastic Models“, JohnWiley & Sons Inc., 1983. [63] H. Zhang, E.W. Knightly, “Providing end-to-end statistical performance guarantees with bounding interval dependent stochastic models“, In Proceedings of ACM Sigmetrics, pages 211–220, May 1994. [64] M. Fidler, “An end-to-end probabilistic network calculus with moment generating functions“, In IEEE 14th International Workshop on Quality of Service (IWQoS), pages 261–270, June 2006. [65] R.L. Cruz, “Quality of service management in integrated services networks“, In 1stSemi-Annual Research Review, CWC, University of California at San Diego, June 1996.

50

[66] A. Burchard, J. Liebeherr, F. Ciucu. “On £(H logH) scaling of network delays“, In Proceedings of IEEE Infocom, May 2007. [67] A. Burchard, J. Liebeherr, S. D. Patek, “A calculus for end-to-end statistical service guarantees“, Technical Report CS-2001-19, University of Virginia, Computer Science Department, May 2002. [68] J. Liebeherr, S. Patek, A. Burchard, “Statistical per-flow service bounds in a network with aggregate provisioning“, In Proceedings of IEEE Infocom, March 2003. [69] Y. Liu, C.K. Tham, Y. Jiang, “A stochastic network calculus“, Technical report, ECE-CCN-0301, Dept. of Electrical and Computer Engineering, National University of Singapore, November 2004. [70] S. Shioda, “Performance bounds for feedforward queueing networks with upper-constrained inputs“, Performance Evaluation, vol. 64, no. 7-8, pp. 782–801, August 2007. [71] S. Ayyorgun, R. Cruz, “A service-curve model with loss and a multiplexing problem“, In Proceedings of the 24th IEEE International Conference on Distributed Computing System (ICDCS), pages 756–765, March 2004. [72] K. Mahmood, M. Vehkaperä, Y. Jiang, “Cross-Layer Modeling of Randomly Spread CDMA Using Stochastic Network Calculus“, Cornell University Library, 2011.

51

Kratice

ATM - Asynchronous Transfer Mode

CoS - Class of Service

CQ - Custom Queueing

CSPF - Constrained Shortest Path First

DiffServ - Differentiated Services

DSCP - Differentiated Services Codepoint

DS-TE - DiffServ-aware Traffic Engineering

EBB - Exponentialy Bounded Burstiness

EDF - Earliest Deadline First

FIFO - First In, First Out

FRTS - Frame Relay Traffic Shaping

FTP – File Transfer Protocol

GPS - Generalized Processor Sharing

GRC – Guaranteed Rate Clock

gSBB - generalised Stohastically Bounded Burstiness

GTS - Generic Traffic Shaping

HTTP – HyperText Tranfer Protocol

IETF - Internet Engineering Task Force

IGP – Interior Gateway Protocol

IntServ- Integrated Services

IP – Internet Protocol

IPTV – IP television

ISO - International Organization for Standardization

ITU - International Telecommunication Union

ITU-T - ITU Telecommunication Standardization Sector

LFA - Label-Swapping Forwarding

LSP - Label Switched Path

MPLS - Multiprotocol Label Switching

52

NC – Network Calculus

NGN – Next Generation Network

NSIS - Next Step in Signaling

OSI - Open Systems Interconnection

PHB - Per-Hop Behavior

PQ - Priority Queueing

PSRG - Packet Scale Rate Guarantee

PSTN - Public Switched Telephone Network

QoS – Quality of Service

RED - Random Early Detection

RSVP - Resource Reservation Protocol

RSVP-TE - Resource Reservation Protocol – Traffic Engineering

SBB - Stohastically Bounded Burstiness

SLA - Service Level Agreement

TCP - Transmission Control Protocol

TE - Traffic Engineering

TED - Traffic Engineering Database

TOS - Type of Service

WFQ - Weighted Fair Queueing

VoD – Video on demand

VoIP – Voice over IP

VPN – Virtual Private Network

WRED - Weighted Random Early Detection