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Principi di Elaborazione Digitale
dei Segnali
SERIE TEMPORALISERIE TEMPORALI
Sistemi lineari che elaborano segnali NEL TEMPO (problemi dinamici)
Introduzione della variabile t
Analisi nel dominio del tempo
Analisi nel dominio della frequenza
ES-1
ES-2Serie temporali e computer
I segnali del mondo reale possono essere modellati come funzioni reali x(•) di una variabile reale t (segnali analogici).
-tx
x
finita) (energia
smooth )(:Hp2
Necessità di segnali campionati
A/Dconvertersegnale nT
x(T)x(NT)
sequenza
T
NTxTxTxnTx ,,2,
Teorema di Nyquist
T = periodo di campionamento{x(nT)} = sequenza
ES-3Dal segnale discreto al vettore
Hp: x(t) ad energia finita {x(nT)} di lunghezza finita NT
1,,1, Nnxinxnxnxnx Proiezione lungo l’asse i
Punto dello spazio N-D
EixxL
Nnxinxnxnxx
N
i
T
1
0
2
1,,1,
Un segnale discreto di lunghezza N è un vettore in uno spazio N-dimensionale
{x(n)} = x
x(n)
x(n-1)
x(n-N+1)
ES-4L’operatore ritardo
iN
ii
ixinxixx
Nnxinxnxnxx1
0
1,,1,
ini ini
00
01
n
nn delta di Dirac
basi per rappresentare i segnali discreti nel dominio del tempo
Z-1x(n) x(n-1)
operatore ritardo
Z-1
Z-1
x(n) x(n)
x(n-1)
x(n-N+1)linea di ritardo
1
0
N
i
inixx
ES-5Lo spazio del segnale
Z-1
Z-1
input
linea di ritardo
asse x
asse y
asse z
x(n-3)
x(n-4)
x(n-5)
x(n-3)
x(n-2)
x(n-3)
x(n-4)
x(n-2)
x(n-1)
x(n-2)
x(n-3)
x(n-1)
x(n)
x(n-1)
x(n-2)
x(n)Spazio di ricostruzione
oSpazio del segnale
La “traiettoria” dipende dalle proprietà della serie temporale e può permettere ad un sistema connesso all’output della linea di ritardo di estrarre il modello della serie.
Un enorme numero di campioni enorme dimensione dello spazioSottospazio del segnale
x(n-3)
x(n-2) x(n-1)
x(n)
Traiettoriadel Segnale
yx
z
ES-6Il sottospazio del segnaleSegnale periodico
(K campioni) Spazio K’- dimensionale (K’ K )
K’ dipende dalla complessità della traiettoria
t
x
x1
basta 1-D K’ = 1
x1
x2
x
bastano 2-D K’ = 2(2 << K )Mappaggio uno a uno tra traiettoria e serie temporale
0 20 40 60 80 1000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
I rami si incrociano. Perdo il mappaggio 1 a 1
Potrebbe servire K-D K’=K ? ?
??
ES-7
Trovare la dimensione K’ dello spazio di ricostruzione che quantifichi appropriatamente le proprietà del segnale
x(T)x(NT)
1 2 K’
Finestra temporale “sliding”
ES-8IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE)IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE)
10
0
1
N
T
N
i
Ti
wwww
nxnxnxnx
wnxnxwinxwny
z-1
z-1
z-1
y(n)
x(n)
x(n-1)
x(n-N)
w0
w1
w2
pesi
Linea di ritardo
FIR FINITE IMPULSE RESPONSE(risposta impulsiva finita)
y(n) ha l’espressione vista nelle reti Hebbiane
ES-9
nxwinxwny TN
ii
0
y è la proiezione di x sul vettore peso w Il C.L. è un proiettore lineare dell’input nello spazio del segnale,
secondo la direzione dei pesi
La scelta ottimale dei pesi preserva al massimo l’informazione
contenuta nell’input
Idea base del filtraggio
x
x(n-1)
x(n)
x(n-N)
ES-10Esempi di filtraggio
ES-11ANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPOANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPO
(SISTEMI LINEARI)(SISTEMI LINEARI)
La risposta impulsiva
)(nhnynnx Risposta impulsiva [h(n)]
Descrive completamente un sistema lineare
Nnwnwnwinwnh N
N
ii
0
10 1
per il combinatore lineare
z-1
z-1
w0
w1
w2
(n)
La h(n) di un C.L. ha lunghezza finita FIR
h(0) h(1) h(2) h3
w0 w1
w2
h(i) = wi
ES-12La convoluzione
y(n) risposta ad un generico input x(n)
ii
ihinxinhixnhnxny
convoluzione
N
i
N
i
ihinxinhixnhnxny00
sistema causale
Per il combinatore lineare
06
35
234
1233
0122
011
000
2
21
210
210
10
0
y
xwy
xwxwy
xwxwxwy
xwxwxwy
xwxwy
xwy 2
43210
210
Nwwww
Mxxxxx
M + N campioni
(notare la pesantezza del calcolo)
ES-13Sistemi ricorrenti e stabilità
IL FILTRO IIRIL FILTRO IIR
Un filtro IIR è caratterizzato da connessioni ricorrenti o feedback
Esempio:
00
11
y
nxnyny
Eq.ne alle differenze +
y(n)
z-1
1-
y(n-1)
x(n)
inputoutput
Coefficiente di feedback
nnh
h
h
h
1
12
011
100
2
La h(n) ha estensione infinita IIR Infinite Impulse Response(risposta impulsiva infinita)
ES-14Analisi della stabilità
0 < < 1 stabile
= 0
1 h(n)decrescente
n
1h(n)
nmarginalmente stabile
< 01
h(n)
n
instabile
Obiettivo dell’elaborazione dei segnali: avere un sistema che risponda all’input a risposta impulsiva di durata finita
Importanza del coefficiente di feedback
ES-15ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZAANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA
Descrizione di un segnale mediante il suo SPETTRO
x(t) {x(n)} Tf = N Tc n = 0, … , N-1Intervallo di campionamento
Numero di campioni
t
n = 0Tc
x(n) generico campione n = 0, … , N-1
c
N
nc nTtnxtx
1
0
segnale campionato
n=N-1
ES-16La trasformata di Fourier
cfnTjN
n
c
N
nc
enxfX
nTtnxtx
21
0
1
0
t
Tc(N-1)Tc
x(t)
fc
fcfc/20
X( f )
Spettro continuo
Tf = N Tc
Trasformata di Fourierdel segnale
N numeri
ES-17La trasformata di Fourier discreta (DFT)
1
0
21
0
2N
n
nkN
jN
n
nTfkj enxenxkX cf
N
k
nN
jekX
Nnx
1
21
DFT
IDFT
Tc
tN-1
Tf = NTc
N CAMPIONI
c
cfcf TNN
ffTNT
1
X (k)
k
Spettro di N righe
fffc/2
ES-18(n - N +1)
x(N -1)
(n - 1)x(1)
x(0)(n)
Dominio del tempo
X(N -1)
X(1)
X(0)
Dominio della frequenza
X(k) CX(k) = k - esimo coeff. di Fourier{X(k)} = trasformata di Fourier discreta
DFT o spettro{|X(k)|} = spettro delle ampiezze{/ X(k)} = spettro delle fasi
x(k) R
ES-19La Z-trasformata
n
n
n
n
zznzDn
znxzXnx
111
z C
z-1
operatore ritardoCombinatore lineare
zXzHzinxzih
zinxihzinxihzY
inxhny
N
i n
ni
N
i n
n
n
N
i
n
N
ii
0
00
0
)(
)()(
zXzHzY
nhZzHnxZzXnyZzY ;;
ES-20La funzione di trasferimento
zX
zYzH Funzione di trasferimento
nhZzihzHN
i
i
0
)( Z-trasformata della risposta impulsiva(polinomio algebrico)
nhnxny Convoluzione in t
zHzXnY Moltiplicazione in z
ES-21La risposta in frequenza
Tj
ezk
ez
kk k k
TkjnTjknTj
nTj
eHnxzHnxzkhnx
kheekhekhknxny
enx
TiTj
)(
H(e jt) = H’() risposta in frequenza
H’() è H(z) calcolata nel cerchio unitario |e jT|
Im(z)
z
z =1
z =j
z =-1
z =-j
Re(z)
z
0 1 /T /2T j /T 1
H’() è periodica in con 2/T (come e jT)
-1
ES-22
k
kTjTj ekheHH ' DFT della risposta impulsiva
Proprietà:
Risposta a regime
Calcolo veloce (FFT)
H’() C |H’(H’()
ES-23Poli e zeri della risposta in frequenza
111
1
)(])1(1[
1111
1
1
z
z
zzH
zXzzY
nxnynynxnyny
zeri: z = 0poli: z = 1-
Osservazioni qualitative:
valleuna ha '0
0'0
0
0
0
0
HeH
HeHTj
Tj
Stabilità
polo
zero
0< Polo nel cerchio unitario
ES-24Filtri lineari
Tc
y(1)y(N)
x(1)x(N)
H(k)kcut
Segnale +Rumore ad alta frequenza
Segnale filtrato
Tf = N Tc N
f
NTf c
cf
1
k
2cff
rumore|X(k)|
1 Nkcut
|H(k)|
k1 N
|Y(k)|
PASSA – BASSO
ES-25
fc
f
|H’()|
fc
f
|H’()|
fc
f
|H’()|
Passa - basso Passa - altoPassa - banda
Per la scelta dei wi :
Procedura di sintesi
Procedure di ottimizzazione
N
ii inxwny
0