Sistemi trifase

Principi di ingegneria elettrica

Lezione 15a

Teorema di Boucherot

La potenza attiva assorbita da un bipolo è uguale all a somma aritmetica delle potenze attive assorbite dagli elementi che l o compongono.

La potenza reattiva assorbita da un bipolo è uguale a lla somma algebrica delle potenze reattive assorbite dagli elementi che lo compongono.

La potenza complessa assorbita da un bipolo è uguale a lla somma vettoriale delle potenze complesse assorbite dagli elementi che lo compongono.

Teorema di Boucherot

In base al principio di conservazione delle potenze, attiva e reattiva, i bipoli assumono le seguenti proprietà.

1. I bipoli costituiti esclusivamente da induttori e condensatori sono reattivi:

2. I bipoli costituiti esclusivamente da resistori e induttori sonoinduttivi:

3. I bipoli costituiti esclusivamente da resistori e condensatori sono capacitivi:

[ ] 0Re00 ==⇒==⇒= ∑ RPPPk Zk

k

[ ] 0Im0

0 :induttori gli per ;0:resistori i per

>=⇒>=

>=

∑ XQQ

QQ

kk

kk

Z

[ ] 0Im0

0 :ricondensato i per ;0:resistori i per

<=⇒<=

<=

∑ XQQ

QQ

kk

kk

Z

Reti a scala

È particolarmente conveniente applicare il teorema di Boucherot nelle reti a scala formate da impedenze in serie, alternate con ammettenze in parallelo.

Note le impedenze e le condizioni di funzionamento del carico finale (tensione, potenza attiva, potenza reattiva) si ricavano le condizioni di funzionamento della sezione iniziale in base a semplici calcoli di natura algebrica nel campo dei numeri reali).

La rete viene suddivisa in sezioni contenenti ciascuna una sola impedenza.

Si parte dalla sezione finale (a) e si determinano: i moduli di tensione e corrente e le potenze attiva e reattiva.

Risalendo a monte si incrementano per ogni sezione i valori della potenza attiva e di quella reattiva, per rivalutare il modulo della tensione o della corrente.

Sezione finale

Parametri noti: tensione (V), potenza attiva (P), potenza reattiva (Q).

Si calcola il valore della corrente.

V

SI =

Tratto a-b

Parametri noti: impedenza Z3S = R3S + j X3S

Si calcolano potenza attiva e reattiva.

233

233

IXQ

IRP

SS

SS

=

=

Sezione b

Parametri noti: potenza attiva (P), potenza reattiva (Q).

Si compongono le potenze e si calcola la tensione Vb

b

bb I

SV =

Sb

Sb

QQQ

PPP

3

3

+=

+=

II

QPS

b

bbb

=

+= 22

Sezione c

Parametri noti: ammettenza Y2P = G2P + j B2P

Si calcolano potenza attiva (P2P) e reattiva (Q2P) e la corrente Ic.

222

222

cPP

cPP

VBQ

VGP

=

=bc VV =

c

cc

ccc

V

SI

QPS

=

+= 22

Pbc

Pbc

QQQ

PPP

2

2

+=

+=

Bipoli passivi

Bipolo passivo è un bipolo caratterizzato da:

°+≤≤°−⇒≥=

≥

90900

0

ϕϕS

Pcos

P

°<≤°−⇒<⇒<

°≤<°⇒>⇒>

°±⇒==⇒=⇒=

°=⇒==⇒=⇒=

09000

90000

90000

0100

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

QX

QX

S

PcosPR

S

PcosQX

capacitivi bipoli

induttivi bipoli

reattivi bipoli

resistivi bipoli

Fattore di potenza

Il fattore di potenza viene utilizzato per caratterizzare il comportamento energetico di un circuito passivo.Il cosϕ non dipende dal segno dell’angolo ϕ : cos(ϕ) = cos(-ϕ).Per distinguere i due casi si deve specificare se il fattore di potenza èda intendersi in ritardo (-ϕ) oppure in anticipo (ϕ) di fase.I termini ritardo e anticipo si riferiscono alla fase della corrente rispetto alla tensione.

Corrente in ritardo: bipolo induttivo

Corrente in anticipo: bipolo capacitivo

Rifasamento

La resistenza di una linea di trasmissione in generale non è trascurabile.

Per esempio, un cavo di alluminio di diametro 1cm ha una resistenza di circa

2·10-4 Ω/m. Se il cavo è lungo 10 km presenta una resistenza di circa 2 Ω.

llIVVS R2+=

La differenza tra V e VS cresce all’aumentare dell’ampiezza della corrente di

linea.

Aumentando la corrente di linea aumenta la dissipazione di potenza sulla linea di trasmissione.

22 eff,d IRP ll=

Rifasamento

ϕcosIVP eff,effu l=

È possibile diminuire la potenza dissipata in linea, aumentando la sezione dei

cavi oppure riducendo, a parità di potenza attiva trasmessa, l’ampiezza della

corrente di linea.

Condensatore di rifasamento

Il problema consiste nel determinare il valore della capacità C necessaria per ridurre l’angolo da ϕ1 a ϕ2 .

( )

( )

21

0

221

2

2121

22

11

112

22 02

1

eff

u

eff

u

eff

C

uC

u

u

C

effmC

V

tanPC

V

tantanP

V

QC

tantanPQQQ

tanPQ

tanPQ

QQQQ

CVCVQ

ωϕ

ωϕϕ

ω

ϕϕ

ϕ

ϕ

ωω

=

−==

−=−=

=

=

<+=

<−=−=

Rifasamento totale

Sistemi trifase

L’energia elettrica viene generalmente prodotta, trasmessa e distribuita (alle grandi utenze) secondo la disposizione circuitale trifase .

I sistemi trifase presentano una maggiore efficienza rispetto aisistemi monofase di potenza equivalente:

minor peso dei conduttori e degli altri componenti

trasferimento di potenza costante (se il carico elettrico ècostante i generatori richiedono una potenza meccanica all’asse continua, non di tipo oscillante )

Sistemi trifase

Un generatore di tensione monofase (alternatore) è costituito da due parti coassiali: una parte fissa, detta statore, e una parte rotante detta rotore.

Il rotore può essere un magnete permanente oppure un avvolgimento percorso da corrente continua che genera un campo magnetico costante nel tempo.

Lo statore è un cilindro cavo sulla cui superficie interna sono ricavate delle cavein cui sono alloggiate le spire dell’avvolgimento di statore.

Sistemi trifase

Il rotore è conformato in modo tale che il flusso dell’induzione magnetica concatenato con l’avvolgimento fisso sia una funzione sinusoidale dell’angolo di rotazione θ.

( )θsinmΦ=Φ

Il rotore gira a velocità angolare costante ω, quindi il flusso varia nel tempo con legge sinusoidale

( ) ( )tsint m ωΦ=Φ

Per la legge di Faraday, ai capi dell’avvolgimento di statore verrà indotta una tensione pari a

( ) ( )tcosdt

dtv m'aa ωωΦ=Φ=

La frequenza è di norma 50 Hz (ω=100π) ad essa corrisponde per una macchina ad una sola coppia polare una rotazione di 3000 giri al minuto.

Quando viene collegato un carico elettrico al generatore, questo eroga una potenza variabile nel tempo (in modo oscillatorio).

La natura oscillatoria della potenza produce vibrazioni meccaniche che rendono problematica la costruzione di generatori monofase di potenza elevata.

( ) ( ) ( )ivmmivmm tcosIVcosIVtp θθωθθ +++−= 221

21

Nel generatore trifase la disposizione spaziale degli avvolgimenti di ciascuna fase, disposti a 120°, determina flussi concatenati anch’essi sfasati l’uno rispetto all’altro di 120°

Di conseguenza le tre tensioni indotte sono sfasate di 120°

Le tre tensioni hanno stessa ampiezza e frequenza, ma fasi diverse, da cui il nome di generatore trifase.

Sistemi trifase

Trascurando l’impedenza propria degli avvolgimenti, il generatore trifase si può schematizzare con tre generatori sinusoidali collegati a stella.

Sistemi trifase

Naturalmente si può passare alla notazione fasoriale

Sistemi trifase

Circuiti trifase

Lo schema generale di un circuito trifase è costituito da un generatore trifase collegato tramite una linea trifase ad un carico trifase.

Le tensioni tra i conduttori della linea sono dette tensioni di linea o tensioni concatenate . Applicando la LKT si ha:

Vb

Va

Vc

Quindi anche le tensioni di linea costituiscono una terna simmetrica di tensioni:

Circuiti trifase

Si chiamano correnti di linea le correnti assorbite dal carico.

Per la LKC si ha in generale:

Circuiti trifase

Le configurazioni utilizzate per il carico sono prevalentemente due:

il carico a stella

il carico a triangolo

Circuiti trifase

Circuiti trifase

Carico a stella

Nella configurazione a stella le correnti di fase coincidono con le correnti di linea.Il calcolo delle correnti risulta particolarmente semplice utilizzando l’analisi nodale scegliendo come nodo di riferimento il centro-stella

Vb

Va

Vc

Il centro-stella del carico si trova allo stesso potenziale del centro-stella dei generatori: tra n e n’ esiste un corto circuito virtuale

Carico a stella

Vb

Va

Vc

Le tensioni di fase coincidono con le tensioni dei tre generatori e le correnti di linea si ricavano facilmente con la legge di Ohm

La terna delle correnti di linea è ruotata di un angolo –ϕ rispetto alla terna delle tensioni di fase.

Carico a stella

Poiché:

L

cc

L

bb

L

aa

Z

VI

Z

VI

Z

VI ===

Si può affermare che il circuito trifase equivale a tre circuiti monofase indipendenti

Carico a stella

Tenendo conto delle impedenze di linea:

Carico a stella con impedenze di linea

Ia

Ib

Ic

Va

Vc Vb

a

b cIca

Carico a triangolo

Nella configurazione a triangolo le tensioni di fase coincidono con le tensioni di linea.Il calcolo delle correnti di fase risulta particolarmente semplice utilizzando la legge di Ohm.Le correnti di linea si ricavano applicando la KLC ai tre vertici del triangolo.

Carico a triangolo

Carico a triangolo

Nel caso di carico equilibrato conviene ricorrere alla trasformazione triangolo-stella .

Vb

Va

Vc

Potenza assorbita da un carico 3f equilibrato

La potenza istantanea assorbita da un bipolo in regime sinusoidale è:

Carico equilibrato a stella

Un generatore trifase che alimenta carichi equilibrati eroga una potenza istantanea costante, anziché pulsante come nel caso monofase.

Nel caso del carico a stella:

Nel caso del carico a triangolo:

CllCfCfClfCl

fC cosIVcosIVPIIV

V ϕϕ 3 3 3

====

CllCfCfCl

fClfC cosIVcosIVPI

IVV ϕϕ 3 3 3

====

CllCfCfC sinIVsinIVQ ϕϕ 3 3 ==

( )CCll sinjcosIV ϕϕ += S 3

In entrambi i casi:

ll IVS 3=S

Pcos C =ϕ

Espressione generale della potenza

Nel caso di carico equilibrato a triangolo vale lo stesso risultato, poiché un triangolo equilibrato equivale sempre ad una stella equilibrata.

Confronto monofase-trifase

Confrontiamo il sistema trifase rispetto al monofase considerando uguali:

Circuiti trifase con neutro

Rifasamento di un carico trifase

Rifasamento di un carico trifase

3S

T

CC =

Massimo trasferimento di potenza

Massimo trasferimento di potenza

Massimo trasferimento di potenza

Sovrapposizione della potenza

Schema di alimentazione di una lampada fluorescente

starter

reattore

Tubo fluorescente

V = 230 V

P = 65 W

VL= 110 V

XL= 342 Ω

I = 0,591 A

cosϕ = 0,478

cosϕR = 0,9

C = 5,3 µF