PRMIA ChA1 ChA8 Related

8/19/2019 PRMIA ChA1 ChA8 Related

1/40

1PRMIA нэмэлт 1

1 Эрсдэл ба хашир зан (PRMIA I.A.1 introduction)

1.1 Оршил

Эрсдлийн удирдлага нь санамсаргй нхцлд шийдвэр гаргах урлаг. Аюулсаадаас зайлсхийх эсвэл шийдмэг зоригтой алхам хийхийн тулд эрсдэл,ашгийг нарийн дэнслэх ёстой. Тухайлбал, шинээр х.о. хийх эсэх, хрн-гийг тараан байршуулах (diversify), хэдий хэмжээний нэт цаасыг багцаастатах, мн багцад оруулах (hedge), хувь хн, системийн даатгалын нэл-гээ хийх тухай брт шийдвэр гаргах асуудал тулгардаг. Эрсдэлд хандах

хандлага нь гаргах шийдвэрийг тодорхойлно. Ханамжийн онол нь эрсдэлдхандах хандлагыг илэрхийлэх зй зохистой (rational) арга бгд эрсдлийнудирдлагын ндсэн тулгуур нь юм. нээс гадна боломжит хувилбаруу-дыг боловсруулж, биелэх магадлалыг тогтоох нь чухал. Боломжит ху-вилбарууд гй бол шийдэх юмгй, биелэх магадлал гй бол авах аргахэмжээний р дагаварыг тодорхойлж чадахгй.

c2011 Б.Барсболд [email protected]


2/40


Эрсдэлд хандах хандлагыг илэрхийлэх арга нь дараах 2 шалгуурыг хан-гах бол тнийг "зй зохистой"гэж знэ. нд:

1. гаргах шийдвэрд сонголтын аксиомуудтай логикийн хувьд нийцтэйбайх

2. энгийн, ойлгомжтой тохиолдлын хувьд эрсдэлд хандах хандлагыг тооц-

сон хэв маягтай тохирдог байхюм. Эндээс звэл ханамжийн онол нь эрсдэлд хандах хандлагыг хэмжи-хээс эрсдлийн твшин ямар байхыг тогтоодоггй ажээ. Эрсдлийг ямартвшинд байлгахыг хувь хн р, псд бодлогоороо тодорхойлно. Ха-намжийн онол нь хялбар тохиолдолд баримталдаг эрсдэлд хандах хандла-

гыг нарийн твгтэй тохиолдолд шилжлэх зарчмын логик ндэс суурьнь юм.Эрсдэлд хандах хандлагыг илэрхийлэхийн тулд заавал яагаад аксиом-

чилж, уг ндсийг нь судлах ёстой вэ? Яагаад гэвэл звхн зн совиндообхнийг даатгах нь осолтой байдаг. Зн совингоороо хийсэн сонголтуудзрчилтэй байхаар жишээ зохиох хялбархан. Энэ нь "энгийн, ойлгомж-

той"гэсэн шаардлагыг будлиулахад хргэж байна. Иймд шийдвэр гаргахадc2011 Б.Барсболд [email protected]


3/40


наад зах нь баримтлах зарчмуудыг эхлээд тодорхойлж, дараа нь тэднийлогик р дагаварыг тооцох нь зйтэй.

Энэ блэгт санхгийн эрсдлийн удирдлагын ндсэн зарчмуудаас танил-цуулна. 8 дэд блэгт танилцуулах сэдвдийг жагсаавал

2. Эрсдлийг нэлэх хуучны арга, Петербургийн парадокс, Бернуллийн

санаа, ханамжийн функц, логаритм ханамжийн функц3. Члт сонголтын аксиом

4. Дундаж ханамж, хашир , хурц тоглогч, эрсдэлд хандах хандлагын хэм-жрд

5. Ханамжийн функцын тусламжтай эрсдэлд хандах хандлагаа тодорхой-лох

6. Хэдийд дундаж ханамжид тулгуурласан шинжр дундаж-варианс шин-жрт шилжих вэ?

7. Эрсдэлд тохируулсан шинжрд (risk adjusted performance measures)

8. Дгнэлтc2011 Б.Барсболд [email protected]


4/40


Хавсралт



5/40


1.2 Санамсаргй орчны сонголт

1.2.1 Ханамжийн функц

"тоглогч нь x тгргийг p магадлалтай, y тгргийг 1 − p магадлалтайхождог"бооцоог товчоор

p ◦ x ⊕ (1 − p) ◦ y

гэж тэмдэглэе. Уг бооцооны хувьд дараах аксиомууд биелдэг гэж знэ.

A1. 1 ◦ x ⊕ (1 − p) ◦ x ∼ x

A2. p ◦ x ⊕ (1 − p) ◦ y ∼ (1 − p) ◦ y ⊕ p ◦ x тэгш хэмтэй. Дрэмд заагдсанэрэмбэ ач холбогдолгй.

A3. q ◦ [ p ◦ x ⊕ (1 − p) ◦ y] ⊕ (1 − q ) ◦ y ∼ (qp) ◦ x ⊕ (1 − qp) ◦ y

Дээрх 3 аксиомыг хангадаг бх бооцоонуудын олонлогийг бооцооны огтор-гуй гээд L-ээр тэмдэглэе. Дурын бооцооны хувьд тоглогч рийн сэтгэлханамжийг тодорхойлж чаддаг болог. Тоглогчийн сонголт нь бооцооны Lогторгуйд харьцаа тодорхойлно. A1-A3 аксиомуудыг хангадаг сонголтын

харьцааг илэрхийлэгч u : L → R ханамжийн функц олдоно.c2011 Б.Барсболд [email protected]


6/40


A4. { p ∈ [0, 1] : p◦x⊕(1− p)◦y z } ба { p ∈ [0, 1] : z p◦x⊕(1− p)◦y}олонлогууд ∀x ,y,z ∈ L хувьд бит1.

Энэ нь сонголтын харьцаа тасралтгй байх аксиом. Тасралтгй тгс эрэм-бийг илэрхийлдэг тасралтгй фукнц олдоно гэсэн теорем байдаг. ррхэлбэл, ийм бооцооны хувьд

p ◦ x ⊕ (1 − p) ◦ y p ◦ w ⊕ (1 − p) ◦ z ⇔u( p ◦ x ⊕ (1 − p) ◦ y) > u( p ◦ w ⊕ (1 − p) ◦ z )

(1.1)

байх u : L → R тасралтгй функц олдоно.

A5. Хэрэв x ∼ y бол p ◦ x ⊕ (1 − p) ◦ z ∼ p ◦ y ⊕ (1 − p) ◦ z хожил ньялгаагй бол бооцоо нь ижил

A6. ∀l ∈ L ∃b, w ∈ L b l w аливаа бооцооноос ил, дутуу бооцооолдоно.

A7. b w болог. p ◦ b ⊕ (1 − p) ◦ w q ◦ b ⊕ (1 − q ) ◦ w байх гарцаагйбгд хрэлцээтэй нхцл нь p > q

1(x,p) ердийн хоёр хэмжээст Евклид огторгуйн топологи



7/40


Теорем 1. Хэрэв бооцооны (L, ) огторгуй дээр дурдсан бх аксиомуудыг хангах бол сонголтын харьцааг илэрхийлэгч u : L → R функц дараах чанарыг хангадаг байхаар олдоно.

u( p ◦ x ⊕ (1 − p) ◦ y) = pu(x) + (1 − p)u(y)

Нэг ёсондоо тоглогчийн сонголтын харьцаа ямар нэгэн u гэсэн ханамжийн

функцын дундаж E u(·)-аар илэрхийлэгдэх ажээ. Ийм чанартай ханам-жийн функцыг дундажлагч ханамжийн функц гэдэг.Ханамжийн функцыг монотон хувиргахад тний чанар алдагдахгй бо-лох нь (1.1)-ээс тодорхой байна. Тэгвэл Теорем 1-ээс дээд монотон ху-виргалт бр ханамжийн функцын дундажлагч чанарыг хадгалах уу? гэ-

дэг асуулт гарч ирнэ.Теорем 2. Дундажлагч чанарыг хадгалах монотон хувиргалт нь звхн шугаман хувиргалт байна.



8/40


Баталгаа. f : R → R нь дундаж ханамжийн чанар хадгалдаг монотонхувиргалт болог. Тэгвэл дараах нхцлд нэгэн зэрэг биелнэ.

f (u( p ◦ x ⊕ (1 − p) ◦ y)) = pf (u(x)) + (1 − p)f (u(y))

f (u( p ◦ x ⊕ (1 − p) ◦ y)) = f ( pu(x) + (1 − p)u(y))

баруун гар талуудыг тэнцлбэл f шугаман гэж гарна.

Хашир тоглогч X ∈ L санамсаргй хэмжигдэхн авъя. Ханамжийн функцнь u(EX ) ≥ Eu(X ) нхцлийг хангах бол тоглогчийг хашир , харин ур-вуугаар u(EX ) ≥ Eu(X ) бол тнийг хурц гэнэ. Уг тодорхойлолт ёсоорхашир тоглогч нь баталгаатай хожлоос авах ханамжийг дундаж ханам-жаас илд зэж байна. Харин хурц тоглогч баталгаатай хожил авснаастоглоод хртэх дундаж ханамжийг илд знэ.

Одоо хашир тоглогчийн эрсдэлд хандах хандлагыг мнгр хэрхэн мн-гн утгаар хэмжиж болохыг танилцуулъя. ний тулд дараах асуултыгтомъёолъё.

Хашир тоглогчийн u(EX ) ≤ Eu(X ) тэнцэлбишийг тэнцэлд хр-

гэхийн тулд дундаж хожил EX -г хэдий хэмжээгээр бууруулахад c2011 Б.Барсболд [email protected]


9/40


хангалттай вэ? Тодорхойлолт 1. Хашир тоглогчийн хувьд

u(EX − π) = E u(X ) (1.2)

байлгах π-г эрсдлээс хртэх шагнал 2 гэнэ.

Хашир тоглогчийн эрсдлээс хртэх шагналыг ойролцоогоор тооцож болно.ний тулд (1.2)-д

u(X ) ≈ u(EX ) + u(EX )(X − EX ) + 1

2u(EX )(X − EX )2

u(EX − π) ≈ u(EX ) − u(EX )π

нхцлдийг тооцвол

u(EX ) − u(EX )π ≈ u(EX ) + 1

2u(EX )E (X − EX )2

π ≈ −1

2

u(EX )

u(EX )E (X − EX )2

2

risk premium



10/40


эндээс эрсдлээс хртэх шагнал ойролцоогоор

π ≈ −1

2

u(EX )

u(EX )V ar(X )

гэж гарна.

Тодорхойлолт 2. x бооцооны хувьд

r(x) = −1

2

u(x)

u(x)

харьцааг хаширын абсолют хэмжр гэнэ.

Санамж. Дурын f : R → R 2 удаа дифференциалчлагддаг функцын

хувьд f (x)

f (x) харьцаа уг функцын графикийн муруйлтыг илэрхийлдэг. Тэ-гэхлээр тоглогчийн тухайн бооцооноос хир хаширлаж буйг ханамжийнфункцын графикийн муруйлт илэрхийлэх нь.Жишээ: Хаширын абсолют хэмжр нь тэгээс ялгаатай тогтмол3 байдагтоглогчийн ханамжийн функцын хэлбэрийг ол.

3Ийм хэрэглэгчийг англиар, товчоор CARA - constant absolute risk aversion ханамжийн функцтэй гэдэг.



11/40


Бодолт: Ханамжийн функцын хэлбэрийг олохын тулд1

2

u(x)

u(x) = −r

тэгшитгэлийг интегралчлах хэрэгтэй.

d ln u(x) = −rdx

ln u(x) = −rx + C 1u(x) = C 2e

−rx

u(x) = −C 2

r e−rx + b

u(x) = −ae−rx + b, a > 0

Жишээ: X хрнгтэй тоглогчийн ханамжийн функц u(x) = −e−rx, (r >0). Мрийд w- хэмжээний хрнг тавихад p магадлалтайгаар 2w хож-но. Тоглогч дундаж ханамжаа хамгийн их байлгахын тулд мрийд хэдийгтавьбал оновчтой вэ?



12/40


Бодолт:

maxw

[ pu(X − w + 2w) + (1 − p)u(X − w)]

maxw

pe−r(X +w) + (1 − p)e−r(X −w)

0 = rpe−r(X +w) − r(1 − p)e−r(X −w)

e−rX +rw+rX +rw = p1 − p

e2rw = p

1 − p

w = 1

2r

p

1 − p, r > 0

Жишээ: Эрс хашир даатгуулагчийн анхны хрнг W , L хэмжээний хо-хирол учрах магадлал p, нэгж нхн олговорт оногдох хураамжийн хэм-жээ π болог. Хохирол учрах тохиолдолд даатгалын пс q хэмжээний н-хн олговор олгодог гэе. Мн даатгуулагч хохирол учрах магадлал p-гсгж бууруулах чадваргй, даатгалын пс тгс рслдний нхцлд

дундаж утгаараа ашиггй ажилладаг гэж знэ. Даатгуулагч нхн олго-c2011 Б.Барсболд [email protected]


13/40


ворын q твшинг хэрхэн тогтоовол дундаж ханамж нь хамгийн их утган-даа хрэх вэ?Бодолт: Псийн дундаж ашиг тэг гэсэн нхцлийг бичвэл:

0 = p(πq − q ) + (1 − p)πq

= pqπ − pq + πq − pπq

=q (π − q )гэж мрдн. Эндээс p = π болно. Даатгуулагч дундаж ханамжаа хамгийних байлгах нхцлс

maxw

[ pu(W − L + q − πq ) + (1 − p)u(W − πq )]

0 = (1 − π) pu(W − L + q − πq ) − π(1 − p)u(W − πq )

u(W − L + q − πq )

u(W − πq ) =

π(1 − p)

p(1 − π)

адилтгал гарна. π = q гэдгийг санавал дээрхээс

u

(W − L + q − πq ) = u

(W − πq ) (1.3)c2011 Б.Барсболд [email protected]


14/40


гэж мрдн. Эрс хашир тоглогч тул u

(x) > 0 биелнэ. рр хэлбэл,u(x) функц эрс буурдаг байна. Тэгэхлээр уг функц урвуутай бгд (1.3)нхцлийг хангах аргументын утгууд цор ганц олдоно. Иймд

W − L + q − πq = W − πq

болно. Эндээс q = L гэж мрдн.

Хаширын глобал хэмжр Хаширын абсолют хэмжр нь тухайн нэгэн бооцоо-ны хувьд тоглогчийн эрсдэлд хандах хандлагыг илэрхийлнэ. Энэ утгаарнь тнийг хаширын локал хэмжр гэж здэг. Хоёр хашир тоглогчийгаль нь ил хашир болохыг тодорхойлох шалгуурыг хаширын глобал хэм-

жр гэнэ. I тоглогчийн ханамжийн функц A, II тоглогчийнх B бгдA, B функцууд эрс хотгор, сдг, 2 удаа дифференциалчлагддаг болог. Iтоглогч II-аас ил хашир гэдгийг тодорхойлох дараах 3 шалгуур байна.

1. Дурын x ∈ L бооцоонуудын хувьд −A(x)

A(x) > −B(x)B(x) нхцл биелэх

2. Дурын x ∈ L бооцоонуудын хувьд A(x) = G(B(x)) нхцлийг хангах

G : R → R эрс хотгор функц олдох (.х. II -ын ханамжийн функцыгc2011 Б.Барсболд [email protected]


15/40


улам хотойлгоход I хэрэглэгчийн ханамжийн функц гардаг.)3. πA > πB тэнцэлбиш биелэх. (Энд πA, πB нь харгалзан хоёр тоглогчийн

нэгэн ижил эрсдлээс хртэх шагнал нь.)

Теорем 3. Хаширын дээр дурдсан глобал хэмжрд эквивалент.

Баталгаа.

Жишээ: Дасгал.

1. Хаширын харьцангуй хэмжр нь гиперболлог буюу r(x) = −u(x)

u(x) =

1ax+b (ax + b = 0) тоглогчийн ханамжийн функцыг ол.

4 Хариу: u(x) =

(x+ ba)1−1a

1−1a

2. Хаширын харьцангуй хэмжр нь хрнгс хамаарч буурдаг5, (с-дг6) бол тоглогчийн ханамжийн функцын муруйлт эерэг (срг), .х.u(x) > 0 (u(x)


16/40


3. Хаширын харьцангуй хэмжр нь тогтмол r тоглогчийн ханамжийнфункцыг ол.7 Хариу: u(x) =

ln хэрэв r = 1x1−r

1−r хэрэв 0 < r


17/40


2 Опционы нэлгээ: тасралтгй загвар

2.1 Броуны хдлгн, Итогийн дрэм

(Ω, F , P ) магадлалын огторгуй ггдсн байг. B(·, ·) : [0; +∞) × Ω → Rнь

1. B(0, ·) = 0, тодруулбал P {ω : B(0, ω) = 0} = 1,2. B(t, ·) тасралтгй

3. 0 = t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn бол

B(t1) − B(t0),...,B(tn) − B(tn−1)

зэгдэлд хэвийн тархалттай л хамаарах санамсаргй хэмжигдэх-нд бгд

B(tk+1) − B(tk) ∼ N (0,

tk+1 − tk), ∀ k = 0, 1,...,n − 1.

нхцлдийг хангах санамсаргй процесс бол тнийг Броуны хдлгн (Винерийн процесс) гэдэг.



18/40


Функцын вариаци. Вариаци нь функцын хувьсамхай чанар (volatility)-ыг илэрхийлдэг.

Нэгдгээр вариаци.

F V [0; T ](f ) = limmax(tk+1−tk)→0

n−1

k=0

|f (tk+1) − f (tk)| (2.1)

Квадратлаг вариаци.

f (T ) = limmax(tk+1−tk)→0

n−1k=0

|f (tk+1) − f (tk)|2 (2.2)

Чанарууд.



20/40


Дифференциал томъёо

df (B(t)) = f (B(t))dB(t) + 1

2f (B(t))dB2(t)

= f (B(t))dB(t) + 1

2f (B(t))dt

Интеграл томъёо

f (B(t)) − f (B(0)) =

t 0

f (B(τ ))dB(τ ) + 1

2

t 0

f (B(τ ))d(τ )

Лемм 1 (Итогийн дрэм). dx = µdt + σdB бгд f : R × R → R функцхоёр удаа тасралтгй дифференциалчлагддаг бол

df (x, t) =

∂f

∂t + µ

∂f

∂x +

1

2σ2

∂ 2f

∂x2

dt + σ

∂f

∂xdB (2.3)



21/40


Баталгаа: Баталгааны ернхий зарчмыг танилцуулъя. Брэн баталгаа[?]-д бий.

df (x, t) =∂f

∂tdt +

∂ f

∂xdx +

1

2

∂ 2f

∂x2dx2 + . . .

=∂f

∂t

dt + ∂ f

∂x

(µdt + σdB) + 1

2

∂ 2f

∂x2

(µdt + σdB)2 + . . .

=∂f

∂tdt + µ

∂f

∂xdt + σ

∂f

∂xdB +

1

2

∂ 2f

∂x2(µ2(dt)2 + σ2(dB)2 + 2µσdBdt) + . . .

Цааш нь dt2, dtdB илэрхийлэлд → 0, dB2 = dt гэдгийг тооцвол

df (x, t) =∂f ∂t

dt + µ∂f

∂x

+ 1

2

σ2∂ 2f

∂x2 dt + σ ∂f

∂x

dB



22/40


2.2 Стохастик дифференциал тэгшитгэл

B(t) нь t ∈ [0; T ] брийн хувьд (Ω(t), F (t), P (t)) магадлалын огторгуйдээр тодорхойлогдсон Броуны хдлгн болог.

dx = f (x, t)dt + σ(x, t)dBx(0, ω) = c(ω) = c

(2.4)

тэгшитгэл авч зье. нийг стохастик дифференциал тэгшитгэл гэдэг.Энд f : R × [0; T ] → R, σ : R × [0; T ] → R нь R × [0; T ] дээр хэм-жигдэх функцууд.

Тодорхойлолт 3. x(t) стохастик процесс

1. ∀t ∈ [0; T ] хувьд F (t) хэмжигдэх 2. T 0 |f (t, x(t))| dt


23/40


Хэрэв x1(t), x2(t) нь (2.4)-н шийд гэдгээс

P

sup

t∈[0; T ]|x1(t) − x2(t)| = 0

= 1

биелэх бол уг тэгшитгэлийг цор ганц шийдтэй гэнэ.

Теорем 4. 1. f (x, t), σ(x, t), x(t) функцд бх аргументийнхаа хувьд хэмжигддэг.

2. ∃L > 0 ∀t ∈ [0; T ] ∀x ∈ R, ∀y ∈ R

|f (x, t) − f (t, y)| + |σ(t, y)| ≤ L |x − y|

|f (x, t)|2 + |σ(x, t)|2 ≤ L2(1 + |x|2)

3. x(0, ω)2 < ∞нхцлд биелэх бол ( 2.4) тэнцэтгэл цор ганц шийдтэй. Тнчлэн

supt

Ex2(t) < ∞

байна.c2011 Б.Барсболд [email protected]


24/40


Теорем 5 (Fokker-Planck-ийн тэгшитгэл). v(x, t) ньdx = f (x, t)dt + σ(x, t)dBx(0, ω) = c(ω) = c

тэгшитгэлээр ггдх X (t), X (0, ω) = c процессийн тархалтын няг-тын функц бол

∂ ∂t v(x, t) = − ∂ ∂x [f (x, t)v(x, t)] + 12 ∂ 2

∂x2 [σ2(x, t)v(x, t)]v(x, 0) = p.d.f.(c(ω))

(2.5)

2.2.1 Опционы нэлгээ, Блейк-Шлсийн тэгшитгэл

S (t) нь нэт цаасны t агшны ханш,

X (t) нь хрнг оруулагчийн t агшны хрнг,

H (t) нь t агшинд эзэмшиж буй нэт цаасны хувь хэмжээ,

r хгийн норм.

нэт цаасны ханшийн динамикийг геометр Броуны хдлгн [?] гэж знэ.

dS (t) =µS (t)dt + σS (t)dB(t) (2.6)c2011 Б.Барсболд [email protected]


25/40


Хрнг оруулагч хугацааны агшин брт нэт цаасанд оруулах хрнгийнхувь хэмжээ H -г сонгоно. Хрнг оруулалтад хрнг дутагдаж байвалr > 0 хтэй зээл авч, харин илдэлтэй бол мн хэмжээний хтэй хад-галамжид илдэл хрнгийг байршуулна гэж знэ. Тэгвэл баялагийн ди-намик тэгшитгэл дараах байдлаар олдоно.

dX (t) = H (t)dS (t) + r[X (t) − H (t)S (t)]dt (2.7)= H (t)[µS (t)dt + σS (t)dB(t)] + r[X (t) − H (t)S (t)]dt (2.8)

= [rX (t) + (µ − r)H (t)S (t)]dt + σH (t)S (t)dB(t) (2.9)dS (t) = µS (t)dt + σS (t)dB(t)dX (t) = [rX (t) + (µ − r)H (t)S (t)]dt + σH (t)S (t)dB(t)

Опционы нэлгээ.Тгсглийн T агшинд g(S (T ))-г тлх европын опцион t ∈ [0; T ] агшинбрт

v(t, S (t))



26/40


гэж нэлэгддэг болог. v(t, S (t))-н динамик тэгшитгэлийг олъё.

dv(t, S (t)) = vtdt + vS dS + 1

2vSS dSdS (2.10)

= vtdt + vS [µS (t)dt + σS (t)dB(t)] + 1

2vSS σ

2S 2dt (2.11)

= [vt + µS (t)vS +

σ2

2 S 2

vSS ]dt + σS (t)vS dB(t) (2.12)

Хугацааны агшин брт

X (t) = v(t, S (t)), ∀t ∈ [0; T ] (2.13)

нхцл биелж байхаар хрнг оруулалт хийгдэнэ гэж зээд (2.9), (2.12)

илэрхийлэлийн dB-ийн мнх коэффициентуудыг тэнцлбэлH (t) = vS (t, S (t)) (2.14)

гэсэн хэжинг8-ийн дрэм гарна. vS (t, S (t)) нь ханшийн ахиу нэлгээ юм.8(to hedge - хрээлэх, хамгаалах) санхгийн хэрэгсэл, бараа материалын нэ рчлгдх эрсдлийг уламжлагдсан хэрэгслийн тусламжтай

хязгаарлах, саармагжуулах аргуудыг нийтэд нь ингэж нэрлэнэ.



27/40


dt-ийн мнх коэффициентуудыг тэнцлж дараах тэгшитгэл гарна.

vt + µS (t)vS + σ2

2 S 2vSS = rX (t) + (µ − r)H (t)S (t) (2.15)

Энд (2.14), (2.13) нхцлдийг тооцвол

vt + rS (t)vS +

σ2

2 S 2

vSS = rv(t, S (t))v(T, S ) = g(S )

vt + rxvx + σ2

2 x2vxx = rv (2.16)

v(T, x

) = g

(x

) (2.17)Зарим нэр томъёонууд.

Опционы нээс авсан тухайн уламжлалуудыг нийтэд нь грекд 9 гэж занш-жээ. S -ээр авсан уламжлалыг delta , t-ээр авсныг нь тэта , S -ээр авсан

9англиар Greeks. Уламжлалуудыг грек цагаан толгойн сгээр delta, theta, gamma, vega гэж нэрлэдэгтэй холбоотой.



28/40


хоёрдугаар эрэмбийн уламжлалыг гамма гэдэг.

delta(t, S ) =∂v(t, S )

∂S

theta(t, S ) =∂v(t, S )

∂t

theta(t, S ) =∂v2(t, S )

∂S 2

Опционы нээс савлалт10 σ-аар авсан уламжлалыг вега гэнэ.

vega(t, S ) = ∂v(t, S )

∂σ10volatility



29/40


2.3 Стохастик оновчтой удирдлагын бодлого

maxu∈U

J (x,u,t) = E

T t

g(x(s), u(s))ds + l(x(t)) (2.18)

dx(s) = f (x(s), u(s)) ds + σdB(s), t ≤ s ≤ T x(t) = x.

(2.19)

стохастик оновчтой удирдлагын бодлого авч зье. Беллманы функцыгv(x, t) = supu∈U J (x,u,t) гэж тодорхойлъё.

Теорем 6. v(x, t) Беллманы функц бол maxu∈U

[f (x, u)∇v(x, t) + g(x, u)] + ∂ ∂t v(x, t) + σ22 v(x, t) = 0

v(x, T ) = l(x)(2.20)

тухайн уламжлалт тэгшитгэлийг хангана. Энд v(x, t) = tr ∂ 2

∂x2v(x, t).

Баталгаа. t + h < T болог. [t; t + h] интервал дээр

∀s ∈ [t; t + h] u(s) ≡ u ∈ U c2011 Б.Барсболд [email protected]


30/40


удирдлагаар x(t + h) тлвт ирээд цааш нь [t + h; T ] интервал дээр u∗

(s)оновчтой удирдлага ашигласан болог. Тэгвэл

v(x, t) ≥ E

t+ht

g(x(s), u(s))ds + v(x(t + h), t + h)

тэнцэлбиш биелнэ. u нь [t; t + h] хэрчим дээрх оновчтой удирдлага байхед уг тэнцэлбиш тэнцэлдээ хрнэ. Цаашилбал ∀u ∈ U удирдлагын хувьд

0 ≥E

t+h

t

g(x(s), u(s))ds + v(x(t + h), t + h) − v(x, t)

(2.21)

=E

t+h t

g(x(s), u(s))ds + E (v(x(t + h), t + h) − v(x, t)) (2.22)



31/40


Итогийн дрмээр

dv(x, s) = ∂

∂sv(x, s)ds +

n j=1

∂

∂x jv(x, s)dx j(s) +

1

2

ni,j=1

∂

∂xi∂x jv(x, s)dxi(s)dx j(s)

(2.23)

=

∂

∂sv(x, s)ds + [f (x, u)ds + σdB]∇v(x, s) +

σ2

2 v(x, s)ds (2.24)

ний хоёр гар талыг [t; t+h] интервал дээр Итогийнхоор интегралчилбал

v(x(t + h), t + h) − v(x, t) =

t+h t

∂

∂sv + f (x, u)∇v +

σ2

2v

ds + σ

t+h t

∇vdB

болно. Одоо EdB = 0 гэдгийг тооцож дундчилбал

E ((x(t + h), t + h) − v(x, t)) = E

t+h t

∂

∂tv + ∇f (x, u)v +

σ2

2v

ds



32/40


болно. Энэ р дн нь (2.22)-д орлуулбал

0 ≥ E

t+h t

g(x, u) +

∂

∂sv(x, s) + f (x, u)∇v +

σ2

2v

ds

болно. Уг тэнцэлбишийн 2 талыг h-д хувааж → 0 хязгаарт шилжвэл

0 ≥ g(x, u) + dv

dt(x, t) + f (x, u)∇v(x, t) +

σ2

2v(x, t)

тэнцэлбиш ∀u ∈ U, ∀t ∈ [0; T ], ∀x ∈ Rn брийн хувьд хчинтэй. u ньоновчтой удирдлага байх нхцлд тэнцэлдээ хрнэ. Иймд

maxu∈U [g(x, u) + f (x, u)∇v(x, t)] + dv

dt (x, t) + σ2

2 v(x, t) = 0

Оновчтой удирдлагын байгуулалт.

Алхам 1: Гамильтон-Якоби-Беллманы (??)-(??) тэгшитгэлийг бодож v∗(x, t)функцыг ол.



33/40


Алхам 2:

ū(x, t) = arg maxu∈U

f (x, u)

∂v∗

∂x(x, t) + g(x, u)

+

∂v∗

∂t (x, t) +

σ2

2v∗(x, t)

Алхам 3:

ẋ = f (x(s), ū(x(s), s)) (t ≤ s ≤ T )x(t) = x

тэгшитгэлээс x∗(s)-г ол.

Алхам 4:

u∗(s) = ū(x∗(s), s)

гэж орлуулаад оновчтой удирдлагыг байгуул.

Теорем 7 (Баталгаажуулалт).

2.4 Багцын оновчтой сонголтын Мертоны загвар [?]

нэт цаасны багцын оновчтой сонголтын нэгэн динамик загварыг Р.Мертон[?] боловсруулсан. Дараах тэмдэглэгээг оруулъя.

X (t) нь t агшны хрнгийн хэмжээ,c2011 Б.Барсболд [email protected]


34/40


b(t) нь эрсдэлгй хрнг оруулалтын (бонд, хадгаламж) t агшны ханш,S (t) нь эрсдэлтэй хрнг оруулалтын t агшны ханш,α(t) нь t агшинд эрсдэлтэй багцад оруулсан хрнгийн хувь хэмжээ, 0 ≤α(t) ≤ 1,β (t) нь t агшны хэрэглээ β (t) ≥ 0, t ∈ [0; T ].

болог. Эрсдэлгй хрнг оруулалтын ханш

db = rbdt (2.25)

гэсэн детерминистик хуулиар r хэмээр сн (r > 0) гэж знэ. Эрсдэлтэйбагцын ханш

dS = RSdt + σSdB (2.26)

гэсэн стохастик хуулиар рчлгддг болог. Энд R, σ нь ггдсн тогтмо-лууд бгд R нь нэт цаасны дундаж гж юм. R > r > 0 гэж зэх ньзйтэй. нэт цаасны ханш санамсаргй процесс гэж зэж буй тул σ = 0байх ёстой. (2.25), (2.26)-оос хрнг оруулагчийн t агшны хрнгийн хэм-



35/40


жээdX = r(1 − σ(t))Xdt + σ(t)X (Rdt + σdB) − β (t)dt

хуулиар хувьсч рчлгдн гэж мрдн. u = (α(t), β (t)) хос нь удирдла-гын функц болог. Хрнг оруулагч хэрэглээ, хрнг оруулалтаа оновч-той тлвлхийн тулд

max E

T t

F (β (s))e−ρsds

dX = [(r + α(t)(R − r))X − β (t)]dt + σα(t)XdBX (t) = X > 0, (ρ > 0)

гэсэн стохастик оновчтой удирдлагын бодлого бодох шаардлагатай. ний



36/40


Гамильтон-Якоби-Беллманы тэгшитгэл ньmax0≤α(t)≤1β (t)≥0

(r + α(t)(R − r))x − β (t)) ∇v(x, t) + 12(σα(t)x)

2v(x, t) + e−ρtF (β (t))

+ ∂ ∂t

v(x, t) = 0

(2.27)

v(x, t) = 0, v(x, T ) = 0. (2.28)болно. Уг тэгшитгэл F (β ) = β γ , (0 < γ


37/40


v(x, t) = γ (γ − 1)g(t)xγ −2

α(t) = − (R − r)γg(t)xγ −1

γ (γ − 1)g(t)xγ −2σ2x =

R − r

(1 − γ )σ2

F (β (t)) = γβ γ −1 = eρtγg(t)xγ −1

β γ −1 = eρtg(t)xγ −1

β (t) = [eρtg(t)] 1

γ −1x

((r+ R − r

(1 − γ )σ2(R−r))x−[eρtg(t)]

1γ −1x)γg(t)xγ −1+

1

2(σ

R − r

(1 − γ )σ2x)2γ (γ −1)xγ −2+

+e−ρt[eρtg(t)]γ

γ −1xγ + g(t)xγ = 0

(rx + (R − r)2

(1 − γ )σ2x − [eρtg(t)] 1γ −1x)γg(t)xγ −1+

+1

2

(R − r)2x2γ (γ − 1)g(t)xσ−2

(1 − γ )2σ2 + e−ρte

γρtγ −1g(t)

γ γ −1xγ + g(t)xγ = 0

rxγg(t)xγ −1 + (R − r)2

(1 − γ )σ2xγg(t)xγ −1 − [eρtg(t)]xγ −1−



38/40


−12

(R − r)2

xγ

γg(t)(1 − γ )σ2

+ e γρtγ −1−ρtg(t) 1γ −1xγ + g(t)xγ = 0

rγg(t)xγ + 1

2

(R − r)2γg(t)

(1 − γ )σ2 xγ − [eρtg(t)]

1γ −1γg(t)xγ +

+eρt

γ −1g(t)γ

γ −1xγ + g(t)xγ = 0

rγg(t)xγ + 1

2

(R − r)2γg(t)

(1 − γ )σ2 xγ + [eρtg(t)]

1γ −1g(t)xγ (γ − 1) + g(t)xγ = 0

(2.29)

w := (R−r)2

2σ2(γ −1) + r гэж тэмдэглэе.

(g(t) + wγg(t) + (γ − 1)g(t)[eρtg(t)] 1

γ −1)xγ = 0 (2.30)

h(t) := (eρtg(t)) 1

γ −1 гэж орлуулбал

g(t) = h(t)1−γ

eρt



39/40


g(t) = (1 − γ )h(t)−γ

h

(t)eρt

− ρh(t)1−γ

eρt

e2ρt = (1 − γ )h(t)

−γ

h

(t) − ρh(t)1−γ

eρt

(1 − γ )h(t) − ρh(t)1−γ + wγh(t)1−γ + (γ − 1)h(t)1−γ [eρth(t)1−γ ] 1

γ −1 = 0

(1 − γ )h(t) − h(t)1−γ (ρ − wγ ) + (γ − 1)eρt

γ −1h(t)−γ = 0

(1 − γ )h(t) − h(t)(ρ − wγ ) + (γ − 1)eρt

γ −1 = 0

h(t) −(ρ − wγ )

(1 − γ ) h(t) = e

ρtγ −1

шугаман тэгшитгэл бодъё.Шийдийг h(t) = h.(t) + h.(t) олъё.

h(t) − const h(t) = 0 h.(t) = −(1−γ )e

ρtγ −1

ρ−wγ h.(t) = Ce

T

t

ρ−wγ 1−γ dt

= C e(ρ−wγ

1−γ )(T −t)

g(t) = e−ρt[ 1 − γ

ρ − vγ (1 − e

−(ρ−vγ )(T −t)1−γ )]1−γ



40/40


Хэрвээ R − r ≤ σ2

(1 − γ ) бол 0 ≤ α1∗

≤ 1 ба αdX = [(r + R−r

(1−γ )σ2(R − r))X − (eρt(e−ρt( 1−γ

ρ−vγ (1 − e−(ρ−vγ )(T −t)

ρ−vγ ))1−γ ) 1γ −1X ]dt + σ R

(1−

X (t) = X > 0, (ρ > 0)

dX = X [[(r + (R−r)2

(1−γ )σ2) − ( 1−γ

ρ−vγ (1 − e−(ρ−vγ )(T −t)

ρ−vγ ))−1]dt + R−r(1−γ )σdB]

X (t) = X > 0, (ρ > 0)

Documents

PRMIA ChA1 ChA8 Related