Lista Enem/Uerj – Análise Combinatória www.professoresdematematica.com.br QuestõesCombinatória da UERJ

1) Uerj 2009 – 2º (M)Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condição de que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos.Para atender às condições de reposição das aulas, o número total de conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados é de:A) 80 B) 96 C) 120 D) 126

2) Uerj 2015 – 1º (F)Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por exemplo, corresponderia a:A = 3 B = 0 C = 0 D = 7Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição:A + B + C + D = 20O mês de nascimento dessa pessoa é:A) agosto B) setembro C) outubro D) novembro

3) Uerj 2019 – 2º (M)Apenas com os algarismos 2, 4, 5, 6 ou 9, foram escritos todos os números possíveis com cinco algarismos. Cada um desses números foi registrado em um único cartão, como está exemplificado a seguir.

Alguns desses cartões podem ser lidos de duas maneiras, como é o caso dos cartões C, D e E. Observe:

O total de cartões que admitem duas leituras é:A) 32 B) 64 C) 81 D) 120

4) Uerj 2012 – 1º (M)Na ilustração, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor. Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de cinco cartas, um exemplo de quadra:

O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é igual a:a) 624 b) 676 c) 715 d) 720

5) Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do Candidato do Vestibular Estadual 2007. Um desses grupos está apresentado a seguir.

Considere que cada grupo de quatro figuras que poderia ser formado é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a: a) 24 b) 35 c) 70 d) 140

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6) Uerj 2009 – 1º (M)Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 meninos e 4 meninas – personagens da tirinha.

A partir desse conjunto, podem-se formar n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de Meninos e de meninas. O maior valor de n é equivalente a:a) 45 b) 56 c) 69 d) 81

7) Uerj 2011 – 2º (M)A tabela apresenta os critérios adotados por dois países para a formação de placas de automóveis. Em ambos os casos, podem ser utilizados quaisquer dos 10 algarismos de 0 a 9 e das 26 letras do alfabeto romano. Considere o número máximo de placas distintas que podem ser confeccionadas no país X igual a n e no país Y igual a p. A razão n/p corresponde a:a) 1 b) 2 c) 3 d) 6

8) Um sistema luminoso, constituído de oito módulos idênticos, foi montado para emitir mensagens em código. Cada módulo possui três lâmpadas de cores diferentes − vermelha, amarela e verde. Observe a figura. Considere as seguintes informações:• cada módulo pode acender apenas uma lâmpada por vez;• qualquer mensagem é configurada pelo acendimento simultâneo de três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas;• duas mensagens são diferentes quando pelo menos uma das posições dessas cores acesas é diferente.Calcule o número de mensagens distintas que esse sistema pode emitir.a) 4800 b) 1580c) 2400 d) 1680

9) Um estudante possui dez figurinhas, cada uma com o escudo de um único time de futebol, distribuídas de acordo com a tabela. Para presentear um colega, o estudante deseja formar um conjunto com cinco dessas figurinhas, atendendo, simultaneamente, aos seguintes critérios:– duas figurinhas deverão ter o mesmo escudo;– três figurinhas deverão ter escudos diferentes entre si e também das outras duas. De acordo com esses critérios, o número máximo de conjuntos distintos entre si que podem ser formados é igual a:a) 32 b) 40 c) 56 d) 72

10) Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação ao lado. Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos percorrendo X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d. Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos, X equivale a:a) 20 b) 15 c) 12 d) 10

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11) Todas as n capitais de um país estão interligadas por estradas pavimentadas, de acordo com o seguinte critério: uma única estrada liga cada duas capitais. Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a construção de mais 21 estradas pavimentadas para que todas as capitais continuassem ligadas de acordo com o mesmo critério. Determine o número n de capitais, que existiam inicialmente nesse país.a) 10 b) 11 c) 12 d) 13

12) Uerj 2015 – 1º (M)Um painel de iluminação possui nove seções distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seções de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas.Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel:

O tempo mínimo necessário para a ocorrência de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, após seu acionamento, é igual a x minutos e y segundos, sendo y<60.Os valores respectivos de x e y são:a) 4 e 12 b) 8 e 24c) 25 e 12 d) 50 e 24

13) Uerj 2016 – DiscursivaUma criança possui um cofre com 45 moedas: 15 de dez centavos, 15 de cinquenta centavos e 15 de um real. Ela vai retirar do cofre um grupo de 12 moedas ao acaso. Há vários modos de ocorrer essa retirada. Admita que as retiradas são diferenciadas apenas pela quantidade de moedas de cada valor.Determine quantas retiradas distintas, desse grupo de 12 moedas, a criança poderá realizar.

14) Uerj 2015 – DiscursivaCom o objetivo de melhorar o tráfego de veículos, a prefeitura de uma grande cidade propôs a construção de quatro terminais de ônibus. Para estabelecer conexão entre os terminais, foram estipuladas as seguintes quantidades de linhas de ônibus:• do terminal A para o B, 4 linhas distintas;• do terminal B para o C, 3 linhas distintas;• do terminal A para o D, 5 linhas distintas;• do terminal D para o C, 2 linhas distintas.Não há linhas diretas entre os terminais A e C.Supondo que um passageiro utilize exatamente duas linhas de ônibus para ir do terminal A para o terminal C, calcule a quantidade possível de trajetos distintos que ele poderá fazer.

15) Uerj 2014 – 2º (M)Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo:(B,B,M,C,M,C) ou (B,M,M,C,B,C) ou (C,M,M,B,B,C)O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a:A) 6 B) 90 C) 180 D) 720

Gabarito Combinatória da UERJ1) C2) B3) A4) A

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Lista Enem/Uerj – Análise Combinatória www.professoresdematematica.com.br 5) B6) C7) B8) D9) B10) B11) A12) B13) “x+y+z = 12” R: 9114) 12+10 = 2215) B

Combinatória do ENEM

1) Enem 2019 – 1ª Azul – 171 (M)Uma empresa confecciona e comercializa um brinquedo formado por uma locomotiva, pintada na cor preta, mais 12 vagões de iguais formato e tamanho, numerados de 1 a 12. Dos 12 vagões, 4 são pintados na cor vermelha, 3 na cor azul, 3 na cor verde e 2 na cor amarela. O trem é montado utilizando-se uma locomotiva e 12 vagões, ordenados crescentemente segundo suas numerações, conforme ilustrado na figura.

De acordo com as possíveis variações nas colorações dos vagões, a quantidade de trens que podem ser montados, expressa por meio de combinações, é dada por

2) Enem 2019 – 1ª Azul – 156 (M)Durante suas férias, oito amigos, dos quais dois são canhotos, decidem realizar um torneio de vôlei de praia. Eles precisam formar quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos.De quantas maneiras diferentes podem ser formadasessas quatro duplas?A) 69 B) 70 C) 90 D) 104 E) 105

3) Enem 2013 – 1ª Azul – 138 (F)Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.O coeficiente de melhora da alteração recomendada é:

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Solução: https://youtu.be/L9hMQZt01Xk

4) Enem 2018 -1ª Azul – 165 (M)O Salão do Automóvel de São Paulo é um evento no qual vários fabricantes expõem seus modelos mais recentes de veículos, mostrando, principalmente, suas inovações em design e tecnologia.Disponível em: http://gl.globo.com. Acesso em: 4 fev. 2015 (adaptado).Uma montadora pretende participar desse evento com dois estandes, um na entrada e outro na região central do salão, expondo, em cada um deles, um carro compacto e uma caminhonete. Para compor os estandes, foram disponibilizados pela montadora quatro carros compactos, de modelos distintos, e seis caminhonetes de diferentes cores para serem escolhidos aqueles que serão expostos. A posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante. Uma expressão que fornece a quantidade de maneiras diferentes que os estandes podem ser compostos é

5) Enem 2017 – 2ª Azul -149 (F)Desde 1999 houve uma significativa mudança nas placas dos carros particulares em todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres alfanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro últimos devem ser algarismos (de O a 9). Essa mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou significativamente a quantidade de combinações possíveis de placas. Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero.Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual a

6) Enem 2017 – 1ª Azul – 178 (F)Como não são adeptos da prática de esportes, um grupo de amigos resolveu fazer um torneio de futebol utilizando videogame. Decidiram que cada jogador joga uma única vez com cada um dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o maior número de pontos. Observaram que o número de partidas jogadas depende do número de jogadores, como mostra o quadro:

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Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão realizadas?a) 64b) 56c) 49d) 36e) 28

7) Enem 2017 – 1ª Azul – 177 (F)Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.A opção que mais se adequa às condições da empresa éa) I.b) II.c) III.d) IV.e) V.

8) Enem 2017 – 1ª Azul – 160 (F)O comitê organizador da Copa do Mundo 2014 criou a logomarca da Copa, composta de uma figura plana e o slogan “Juntos num só ritmo”, com mãos que se unem formando a taça Fifa. Considere que o comitê organizador resolvesse utilizar todas as cores da bandeira nacional (verde, amarelo, azul e branco) para colorir a logomarca, de forma que regiões vizinhas tenham cores diferentes.

De quantas maneiras diferentes o comitê organizador da Copa poderia pintar a logomarca com as cores citadas?6

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9) Enem 2017 – 1ª Azul – 143 (M)Um brinquedo infantil caminhão-cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura.

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado apenas com uma cor. O caminhão-cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão-cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão-cegonha não gera um novo modelo do brinquedo. Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?

10) Enem 2016 – 2ª Azul – 172 (M)Para estimular o raciocínio de sua filha, um pai fez o seguinte desenho e o entregou à criança juntamente com três lápis de cores diferentes. Ele deseja que a menina pinte somente os círculos, de modo que aqueles que estejam ligados por um segmento tenham cores diferentes.De quantas maneiras diferentes a criança pode fazer o que o pai pediu?a) 6.b) 12.c) 18.d) 24.e) 72.

11) Enem 2016 – 1ª Azul – 147 (M)O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro.

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Lista Enem/Uerj – Análise Combinatória www.professoresdematematica.com.br Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos.Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de exibição?

Solução: https://youtu.be/Z6bYisE6vQM

12) Enem 2016 – 1ª Azul – 168 (M)Para cadastrar-se em um site, uma pessoa precisa escolher uma senha composta por quatro caracteres, sendo dois algarismos e duas letras (maiúsculas ou minúsculas). As letras e os algarismos podem estar em qualquer posição. Essa pessoa sabe que o alfabeto é composto por vinte e seis letras e que uma letra maiúscula difere da minúscula em uma senha.

Disponível em: www.infowester.com. Acesso em: 14 dez. 2012.O número total de senhas possíveis para o cadastramento nesse site é dado por

Resolução: https://youtu.be/fNNqeBVHdmg

13) Enem 2015 -1ª Azul – 164 (F)Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site, as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco.

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Disponível em: www.gebh.net. Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado).O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por

Resolução: https://youtu.be/1idihALcaio

14) Enem 2015 – 1ª Azul – 147 (M)Numa cidade, cinco escolas de samba (I, II, III, IV e V) participaram do desfile de Carnaval. Quatro quesitos são julgados, cada um por dois jurados, que podem atribuir somente uma dentre as notas 6, 7, 8, 9 ou 10. A campeã será a escola que obtiver maior pontuação na soma de todas as notas emitidas. Em caso de empate, a campeã será a que alcançar a maior soma das notas atribuídas pelos jurados no quesito Enredo e Harmonia. A tabela mostra as notas do desfile desse ano no momento em que faltava somente a divulgação das notas do jurado B no quesito Bateria.

Quantas configurações distintas das notas a serem atribuídas pelo jurado B no quesito Bateria tornariam campeã a Escola II?A 21B 90

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Lista Enem/Uerj – Análise Combinatória www.professoresdematematica.com.br C 750D 1 250E 3 125Solução: https://youtu.be/nxFl8hg1OVo

15) Enem 2015 – 2ª Azul – 169 (F)A bandeira de um estado é formada por cinco faixas, A, B, C, D e E, dispostas conforme a figura.

Deseja-se pintar cada faixa com uma das cores verde, azul ou amarelo, de tal forma que faixas adjacentes não sejam pintadas com a mesma cor.O cálculo do número de possibilidades distintas de se pintar essa bandeira, com a exigência acima, éA) 1 X 2 X 1 X 1 X 2.B) 3 X 2 X 1 X 1 X 2.C) 3 X 2 X 1 X 1 X 3.D) 3 X 2 X 1 X 2 X 2.E) 3 X 2 X 2 X 2 X 2.Resolução: https://youtu.be/efHH8FKR3Dc

16) Enem 2014 – Azul – 163 (F)Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido.De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática?A) 20×8 !+(3 !)2

B) 8 !×5 !×3!

C) (8 !×5!×3 !)

28

D) (8 !×5!×3 !)

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E) 16 !28

Resolução: https://youtu.be/f-osGM-STDI

17) Enem 2013 – Azul – 165 (D)Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

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Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?A 6B 12C 18D 24E 36Solução: https://youtu.be/RsG9tYUQV30

GABARITO Enem: 1) E2) C3) A4) C5) C6) E7) E8) E9) B10) C11) A12) E13) A14) C15) B16) B17) B

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