PROBABILIDAD CONDICIONAL Y

TEOREMA DE BAYESDEFINICIONES Y EJEMPLOS

MATEMÁTICA 2º AÑO

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TABLA DE CONTINGENCIA

Una tabla de contingencia es una es una distribución (una matriz) en filas y columnas en la que los individuos de una población se clasifican en función de algunas variables.

Por ejemplo: la siguiente es una tabla de contingencia en la que 300 personas se han clasificado según el sexo y por su adicción al tabaco.

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PROBABILIDAD MARGINAL

Probabilidad Marginal: Es la probabilidad de un evento simple sin consideración de algún otro evento. Es también llamada Probabilidad Simple.

Para el ejemplo anterior, si dividimos cada elemento de la tabla por el número de individuos (300), tenemos que:

Fumadores No Fumadores TotalesHombres 0.40 0.20 0.6Mujeres 0.17 0.23 0.4Totales 0.57 0.43 1

P(H)

P(M)P(F) P(NF)

Eventos:H=Es HombreM= Es Mujer

F=Es fumadorNF= No es

fumador

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PROBABILIDAD CONDICIONAL

Esta se define como la probabilidad de que ocurra el suceso “A”, dado que ya sucedió el evento “B”.

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EJEMPLO 1

De acuerdo a la tabla de los fumadores y no fumadores, ¿Quien tiene mayor probabilidad de ser fumador, los hombres o las mujeres?

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SOLUCIÓN

Calculamos la probabilidad de fumar dado que es hombre:

Calculamos la probabilidad de fumar dado que es mujer:

Respuesta: Es más probable que los hombres fumen

%67.666667.06.04.0

)()()(

HPHFPHFP

%50.424250.04.0

17.0)(

)()( MPMFPMFP

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EJEMPLO 2

Al elegir a un fumador, ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?.

Respuesta:

%82.292982.057.017.0

)()()(

FPFMPFMP

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IMPORTANTE!!!

De la tabla de contingencia puede observar que por ejemplo:

P(H)=P(H∩F)+P(H ∩ NF)

P(F)=P(F∩H)+P(F∩M)

Fumadores No Fumadores TotalesHombres 0.40 0.20 0.6Mujeres 0.17 0.23 0.4Totales 0.57 0.43 1

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EVENTOS INDEPENDIENTES

Dos eventos son independientes si y sólo sí la probabilidad condicionada es igual a la probabilidad marginal.

En ese caso la probabilidad de que ocurran ambos al mismo tiempo será:

)()( APBAP

)()()( BPAPBAP

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EJEMPLO 3

Si la probabilidad de lluvia es del 20%, y la probabilidad de que granice es del 35%, ¿Cuál es la probabilidad de que llueva y caiga granizo?

Respuesta:

%707.035.02.0)()()(35.0)(2.0)(

BPAPBAPBPAP

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EJEMPLO 4

En una caja hay 7 profilácticos, se sabe que 2 están defectuosos y los otros 5 están bien, al sacar 2 unidades de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero salga defectuoso y el segundo este bien?

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SOLUCION

Definamos dos eventos A=el primero es defectuoso, y B=el segundo es No Defectuoso.

2381.0215

65

72)()()(

6/5)(7/2)(

BPAPBAP

BPAP

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EJEMPLO 5

Un estudiante recibe un examen de 5 preguntas, de selección múltiple, cada una con 3 opciones. ¿Cuál es la probabilidad de haber seleccionado las respuestas incorrectas a todas las preguntas?

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SOLUCION

En este caso se tienen 2 opciones incorrectas por cada pregunta, por lo tanto la probabilidad de contestar incorrectamente la pregunta es 2/3, contestar una pregunta no depende de la respuesta de la anterior, por lo tanto se tiene que la probabilidad de responder a todas incorrectamente (A) es:

1317.0323/23/23/23/23/2)(

3/2)_(5

AP

incorrectapreguntaP

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TEOREMA DE BAYES

Es una extensión de la probabilidad condicional que ya se presento, tomando en cuenta que los eventos no son independientes, la probabilidad de P(A∩B)=P(B)∙P(A│B), y recordando el resultado importante que deducimos de las tablas de contingencia, se tiene la formula de Bayes:

)()()()(

)()()(

21 ABPABPABPAP

BPBAPBAP

)()()()()()(

)(2211 ABPAPABPAP

ABPAPBAP

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P….pero que fórmula, ¿Se Puede hacer más fácil?

Claro que sí, solo hay que formar la tabla de contingencia y aplicar la probabilidad condicional

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EJEMPLO 6

En la UES, los estudiantes se distribuyen entre las tres carreras que pueden cursarse del siguiente modo: el 20% estudian arquitectura, el 35% medicina y el 45% economía. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%, 12% y del 18%. Elegido un alumno al azar determinar

A) la probabilidad de que haya acabado los estudios. B) la probabilidad de que haya acabado los estudios, si

es de la carrera de economía.

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SOLUCION

PRIMERO CONSTRUIMOS LA TABLA DE CONTINGENCIA.

FINALIZO NO FINALIZO TOTAL

ARQUITECTURA 1.00% 19.00% 20.00% 5%

MEDICINA 4.20% 30.80% 35.00% 12%

ECONOMIA 8.10% 36.90% 45.00% 18%

TOTAL 13.30% 86.70% 100.00%

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Para contestar al literal A), lo hacemos inmediatamente,

FINALIZO NO FINALIZO TOTAL

ARQUITECTURA 1.00% 19.00% 20.00% 5%

MEDICINA 4.20% 30.80% 35.00% 12%

ECONOMIA 8.10% 36.90% 45.00% 18%

TOTAL 13.30% 86.70% 100.00%

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Para el literal B), definamos evento F=finalizo los estudios, y evento E=estudio economía.

18.0%45%1.8

)()()(

EPEFPEFP

EJEMPLO 7: Test diagnósticos: aplicación Regla de Bayes.

Individuo

EnfermoT-

Sano

T+

T-

T+

P. a priori de enfermedad: incid., preval., intuición,…

Sensibilidad, verdaderos +

Falsos +

Especificidad,Verdaderos -

Falsos -

Tema 1: ProbabilidadesEstadística Inferencial

Ejemplo: Test diagnóstico y Regla de Bayes

La diabetes afecta al 20% de los individuos que acuden a una consulta. La presencia de glucosuria se usa como indicador de diabetes. Su sensibilidad es de 0,3 y la especificidad de 0,99. Calcular los índices predictivos.

88,001,08,03,02,0

3,02,0

)()()(

)|(

TSanoPTEnfP

TEnfPTEnfP

Individuo

EnfermoT-

Sano

T+

T-

T+

0,3

0,01

0,99

0,7

0,2

0,8

85,07,02,099,08,0

99,08,0

)()()(

)|(

TEnfPTSanoPTSanoP

TSanoP

Observaciones En el ejemplo anterior, al llegar un individuo

a la consulta tenemos una idea a priori sobre la probabilidad de que tenga una enfermedad.

A continuación se le pasa un test diagnóstico que nos aportará nueva información: Presenta glucosuria o no.

En función del resultado tenemos una nueva idea (a posteriori) sobre la probabilidad de que esté enfermo. Nuestra opinión a priori ha sido modificada

por el resultado de un experimento. Relaciónalo con el método científico.

-¿Qué probabilidad tengo de estar enfermo?

- En principio 0.2. Le haremos unas pruebas.

- Presenta glucosuria. La probabilidad ahora es de 0.88