PROBABILIDADE E ESTATSTICA 1. NATUREZA DA ESTATSTICA 1.1. Panorama Histrico Todas as cincias tm suas razes na histria do homem. A Matemtica, que considerada a cincia que une clareza do raciocnio a sntese da linguagem, originou-se do convvio social, das trocas, da contagem, com carter prtico, utilitrio, emprico. A Estatstica, ramo da Matemtica Aplicada, teve origem semelhante. Embora a palavra ESTATSTICA ainda no existisse, h indcios de que 3.000 anos a.C. j se faziam censos na Babilnia, China e Egito, objetivando a taxao de impostos. A prpria Bblia leva-nos a essa recuperao histrica: O livro quarto (Nmeros) do velho testamento comea com uma instruo a Moiss: Fazer um levantamento dos homens de Israel que estivessem aptos para guerrear. Na poca do imperador Csar Augusto, saiu um edito para que se fizesse um censo em todo o imprio romano. (A palavra CENSO deriva de CENSERE que em latim, significa TAXAR.) Por isso, diz a Bblia, Maria e Jos viajaram para Belm. A palavra ESTATSTICA vem de STATUS (ESTADO, em latim). Sob essa palavra acumularam-se descries e dados relativos ao Estado. A ESTATSTICA, nas mos dos estadistas, constituiu-se uma verdadeira ferramenta administrativa. Em 1805, Guilherme, o conquistador, ordenou que se fizesse um levantamento estatstico da Inglaterra. Esse levantamento deveria incluir informaes sobre terras, proprietrios, uso da terra, empregados e animais. Serviria, tambm, de base para o clculo de impostos. Tal levantamento originou um volume intitulado Domesday Book.

Domesday Book No sculo XVII ganhou destaque na Inglaterra, a partir das tbuas de mortalidade, a aritmtica poltica, de John Graunt, que consistiu de exaustivas anlises de nascimentos e mortes. Dessas anlises resultou a concluso, entre outras, de que a porcentagem de nascimentos de crianas do sexo masculino era ligeiramente superior de crianas do sexo feminino. E saibam que as Tbuas de Mortalidade usadas hoje pelas companhias de seguros originam-se de estudos como esse. A palavra ESTATSTICA (STATISTICS) foi cunhada pelo acadmico alemo GOTTFIRIED ACHENWALL (Godofredo) por volta da metade do sculo XVIII. Deixaram-se de lado o simples levantamento e o

registro de dados numricos para proceder ao estudo de como tirar concluses sobre o todo, observando parte desse todo. O todo seria a populao e a parte do todo, a amostra. 2. MTODO ESTATSTICO 2.1. Mtodo Cientfico Mtodo um conjunto de meios dispostos convenientemente para se chegar a um fim que se deseja. 2.2. Mtodo Experimental O Mtodo experimental consiste em manter todas as causas (fatores), menos uma, e variar a causa de modo que o pesquisador possa descobrir seus efeitos, caso existam.

2.3. Mtodo Estatstico O Mtodo estatstico, diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas essas causas presentes variando-as, registrando essas variaes e procurando determinar, no resultado final, que influncias cabem e cada uma delas.

3. ESTATSTICA A utilizao das PESQUISAS muito comum nas mais diversas atividades humanas. Muitas decises so tomadas tendo como ponto de partida a anlise de resultados de cuidadosas pesquisas. Exemplos: Na poca das eleies, as pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os partidos e os candidatos redimensionem a campanha eleitoral. Quando do levantamento de um novo produto, as indstrias realizam pesquisas junto aos consumidores para sondar a aceitao desse produto. Emissoras de televiso frequentemente fazem pesquisas com os espectadores, a fim de observarem a aceitao de seus programas.Concluso:

A Estatstica uma parte da Matemtica Aplicada que estuda mtodos para a coleta, a organizao, descrio, anlise e interpretao de dados. Todo o seu estudo objetiva, entre outros, a tomada de decises. A coleta, a organizao e a descrio dos dados esto a cargo da Estatstica Descritiva, enquanto a anlise e a interpretao desses dados ficam a cargo da Estatstica Indutiva ou Inferencial. Portanto, a Estatstica uma cincia criada para dar suporte ao mtodo cientfico. A anlise e a interpretao dos dados estatsticos tornam possvel o diagnstico de uma empresa. Exemplo: Na Faculdade, o conhecimento de seus problemas (condies de funcionamento, produtividade), a formulao de solues apropriadas e um planejamento objetivo de ao.

4. FASES DO MTODO ESTATSTICOFASES DO MTODO ESTATSTICO

Coleta de Dados

Crtica dos Dados

Apurao dos Dados

Exposio ou Apresentao dos Dados

Anlise dos Dados

4.1. Coleta de Dados A coleta de dados numricos pode ser direta ou indireta. A coleta direta quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatrio (nascimentos, casamentos e bitos, importao e exportao de mercadorias), elementos pertinentes aos pronturios dos alunos de uma faculdade ou, ainda, quando os dados so coletados pelo prprio pesquisador atravs de inquritos e questionrios, como o caso das notas de verificao e de exames, do censo demogrfico etc. A coleta direta de dados pode ser classificada relativamente ao fator tempo em: a. contnua (registro) quando feita continuamente, tal como a de nascimentos e bitos e a de freqncia dos alunos s aulas; b. peridica quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos (de 10 em 10 anos) e as avaliaes peridicas dos alunos; c. ocasional quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma conjuntura ou a uma emergncia, como no caso de epidemias que assolam ou dizimam rebanhos inteiros. A coleta se diz indireta quando inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou do conhecimento de outros fenmenos relacionados com o fenmeno estudado. Como exemplo, podemos citar a pesquisa sobre a mortalidade infantil, que feita atravs de dados colhidos por uma coleta direta. 4.2. Crtica dos Dados Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, procura de possveis falhas e imperfeies, a fim de no incorrermos em erros grosseiros ou de certo vulto, que possam influir sensivelmente nos resultados. A crtica externa quando visa s causas dos erros por parte do informante, por distrao ou m interpretao das perguntas que lhe foram feitas; interna quando visa observar os elementos originais dos dados da coleta.

4.3. Apurao dos Dados Nada mais do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposio mediante critrios de classificao. Pode ser manual, eletromecnica ou eletrnica. 4.4. Exposio ou Apresentao dos Dados Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser apresentados sob forma adequada (tabelas ou grficos), tornando mais fcil o exame daquilo que est sendo objeto de tratamento estatstico e ulterior obteno de medidas tpicas. 4.5. Anlise dos resultados Como j dissemos, o objetivo ltimo da Estatstica tirar concluses sobre o todo (populao) a partir de informaes fornecidas por parte representativa do todo (amostra). Assim, realizadas as fazes anteriores (Estatstica Descritiva), fazemos uma anlise dos resultados obtidos, atravs dos mtodos da Estatstica Indutiva ou Inferencial, que tem por base a induo ou inferncia, e tiramos desses resultados concluses e previses.

5. A ESTATSTICA NAS EMPRESAS No mundo atual, a empresa uma das vigas-mestras da Economia dos povos. A direo de uma empresa, de qualquer tipo, incluindo as estatais e governamentais, exige de seu administrador a importante tarefa de tomar decises, e o conhecimento e o uso da Estatstica facilitaro seu trplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa. Por meio de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opinies, podemos conhecer a realidade geogrfica e social, os recursos naturais, humanos e financeiros disponveis, as expectativas da comunidade sobre a empresa, e estabelecer suas metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcanados a curto, mdio ou longo prazo. A Estatstica ajudar em tal trabalho, como tambm na seleo e organizao da estratgia a ser adotada no empreendimento, ainda, na escolha das tcnicas de verificao e avaliao da quantidade e da qualidade do produto e mesmo dos possveis lucros e/ou perdas. Tudo isso que se pensou, que se planejou, precisa ficar registrado, documentado para evitar esquecimentos, a fim de garantir o bom uso do tempo, da energia e do material e, ainda, para um controle eficiente do trabalho. O esquema do planejamento o plano, que pode ser resumido com o auxlio da Estatstica, em tabelas e grficos, que facilitaro a compreenso visual dos clculos matemtico-estatsticos que lhes deram origem. O homem de hoje, em suas mltiplas atividades, lana mo de processos e tcnicas estatsticos, e s estudando-os evitaremos o erro das generalizaes apressadas a respeito de tabelas e grficos apresentados em jornais, revistas e televiso, frequentemente cometido quando se conhece apenas por cima um pouco de Estatstica.

EXERCCIOS 1. Complete: O mtodo experimental o mais usado por cincias como: 2. As cincias humanas e sociais, para obterem os dados que buscam, lanam mo de que mtodo? 3. O que Estatstica? 3. Cite as fases do mtodo estatstico. 4. Para voc, o que coletar dados? 6. Para que serve a crtica dos dados? 7. O que apurar dados? 8. Como podem ser apresentados ou expostos os dados? 9. As concluses, as inferncias pertencem a que parte da Estatstica? 10. Cite trs ou mais atividades do planejamento empresarial em que a Estatstica se faz necessria.

POPULAO E AMOSTRA1. INTRODUO As pessoas de uma comunidade podem ser estudas sob diversos ngulos. Por exemplo, podem ser estudadas quanto ao sexo (masculino ou feminino), quanto estatura (baixa, mdia ou alta), quanto renda (pobres e ricas), etc. Sexo, estatura e renda so variveis, isto , so propriedades as quais podemos associar conceitos ou nmeros e assim expressar, de certa maneira, informaes sob a forma de medidas. POPULAO (ou UNIVERSO) qualquer conjunto de INFORMAES que tenham, entre si, uma CARACTERSTICA COMUM. Voltemos s pessoas da citada comunidade. O conjunto de TODAS as estaturas constitui uma POPULAO DE ESTATURAS; o conjunto de TODOS os pesos constitui uma POPULAO DE PESOS; o conjunto de TODAS as cores de olhos constitui uma POPULAO DE CORES DE OLHOS. Ento, populao no implica necessariamente GENTE e PESSOAS. O que importa a VARIVEL estudada. Voc pode ter uma POPULAO DE PESO DE RATOS ou COMPRIMENTOS DE MINHOCAS. Se uma populao for muito grande (por exemplo, o conjunto de todas as estaturas de uma comunidade), o pesquisador poder ter um trabalho astronmico para estud-la. E em alguns casos os resultados sero sempre falhos. s pensar no nmero de nascimentos e mortes dirios, isto , na ENTRADA e SADA de informaes, para avaliar a dificuldade e a impreciso do trabalho. Nesses casos, o estatstico recorre a uma AMOSTRA, que, basicamente, constitui uma REDUO da populao a DIMENSES MENORES, SEM PERDA DAS CARACTERSTICAS ESSENCIAIS. Exemplo: Imaginemos uma escola com 400 alunos (meninos, idades entre 6 e 16 anos). Se quisermos fazer um estudo das estaturas (qual a estatura mdia?) podemos simplificar o trabalho colhendo uma amostra de, digamos, 40 alunos e estudar o COMPORTAMENTO DA VARIVEL ESTATURA APENAS nesses alunos. A varivel estudada poderia ser inteligncia, nmero de filhos, nmero de cries, notas em histria ou renda familiar. Uma amostra, para ser BOA, tem de ser REPRESENTATIVA, ou seja, deve conter EM PROPORO tudo o que a populao possui

QUALITATIVA E QUANTITATIVAMENTE. E tem de ser IMPARCIAL, isto , todos os elementos da populao devem ter IGUAL OPORTUNIDADE de fazer parte da amostra. Logo, algum amigo poder fazer parte da amostra, mas no todos.Definies:

VARIVEIS (DADOS) so observaes (tais como medidas, sexos, respostas de pesquisas) que tenham sido coletados. ESTATSTICA uma coleo de mtodos para o planejamento de experimentos, obteno de dados e, consequentemente organizao, resumo, apresentao, anlise, interpretao e elaborao de concluses baseadas nos dados. Uma POPULAO a coleo completa de todos os elementos (escores, pessoas, medidas e outros) a serem estudados. A coleo completa no sentido de que inclui todos os sujeitos a serem estudados. Uma AMOSTRA um subconjunto finito de uma populao. 2. Variveis (Dados) Quantitativas Contnuas e

DiscretasA cada fenmeno corresponde um nmero de resultados possveis. Exemplos: para o fenmeno sexo no dois os resultados possveis: masculino e feminino; para o fenmeno nmero de filhos h um nmero de resultados possveis, expresso atravs dos nmeros naturais: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n; para o fenmeno estatura temos uma situao diferente, pois os resultados podem tomar um nmero infinito de valores numricos dentro de um determinado intervalo. Varivel , convencionalmente, o conjunto de resultados possveis de um fenmeno. Os exemplos acima nos dizem que as variveis podem ser: a. quantitativa quando seus valores so expressos em nmeros (salrios dos operrios, idade dos alunos de uma escola etc.). Uma varivel quantitativa que pode assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites recebe o nome de varivel contnua; uma varivel que s pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumervel recebe o nome de varivel discreta. b. qualitativa quando seus valores so expressos por atributos: sexo (masculino feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda) etc.;

Definimos os termos populao e amostra. Os dois termos seguintes so usados para distinguir entre casos nos quais temos dados para uma populao inteira, e casos nos quais temos dados apenas para uma amostra. Definies: Um PARMETRO uma medida numrica que descreve alguma caracterstica de uma populao. Uma ESTATSTICA uma medida numrica que descreve alguma caracterstica de uma amostra. Exemplos: Parmetros: Quando Lula foi eleito presidente em 2006, ele recebeu 60,83% dos 95.838.220 votos no segundo turno. Se encararmos a coleo de todos esses votos como a populao a ser considerada, ento 60,83% um parmetro, no uma estatstica. Estatstica: Com base em uma amostra de 877 executivos pesquisados, achou-se que 45% deles no contratariam algum que cometesse um erro tipogrfico em sua solicitao de emprego. Esse nmero de 45% uma estatstica porque se baseia em uma amostra, no da populao inteira de todos os executivos. Alguns conjuntos de dados consistem em nmeros (tais como 66 um e 72 um), enquanto outros so no numricos (tais como cor dos olhos: verde e marrom). Os termos dados quantitativos e dados qualitativos so em geral usados para distinguir entre esses dois tipos. Definies: Dados Quantitativos consistem em nmeros que representam contagens ou medidas. Dados Qualitativos (ou categricos ou de atributos) podem ser separados em diferentes categorias que se distinguem por alguma caracterstica no-numrica. Exemplos: Dados Quantitativos: Os pesos de modelos. Dados Qualitativos: Os sexos (masculino/feminino) de atletas profissionais. Quando trabalhamos com dados quantitativos, importante usar as unidades de medida apropriadas, tais como dlares, horas, metros, e assim por diante. Devemos ter especial cuidado em observar referncias como todas as quantidades esto em milhares de dlares ou todos os tempos esto em centsimos de segundo ou as unidades so quilogramas. Ignorar tais unidades de medida pode levar a concluses muito erradas. A NASA perdeu seu Mars Climate Orbiter de $125 milhes de dlares quando ele bateu porque o programa de controle tinha dados de acelerao em unidades

inglesas, que foram interpretadas incorretamente como unidades mtricas. Os dados quantitativos podem ainda ser descritos pela distino entre os tipos discretos e contnuos. Definies: Dados Discretos surgem quando o nmero de valores possveis ou um nmero finito ou uma quantidade enumervel. (Isto , o nmero de valores possveis 0, ou 1, ou 2 e assim por diante.) Dados (numricos) Contnuos resultam de infinitos valores possveis que correspondem a alguma escala contnua que cobre um intervalo de valores sem vazios, interrupes ou saltos. Exemplos: Dados Discretos: Os nmeros de ovos que as galinhas botam so dados discretos porque representam contagens. Dados Contnuos: As quantidades de leite das vacas so dados contnuos porque so medidas que podem assumir qualquer valor em um intervalo contnuo. Durante um dado intervalo de tempo, uma vaca pode produzir uma quantidade de leite que pode ser qualquer valor entre 0 e 5 gales. Seria possvel obter-se 2,34315 gales, porque a vaca no restrita a quantidades discretas de 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 gales. De modo geral, as medies do origem a variveis contnuas e as contagens ou enumeraes, a variveis discretas.

EXERCCIOS

1. Classifique as variveis em qualitativas ou quantitativas (contnuas ou discretas): a. Universo: alunos de uma faculdade. Varivel: cor dos cabelos b. Universo: casais residentes em uma cidade. Varivel: nmero de filhos c. Universo: as jogadas de um dado. Varivel: o ponto obtido em cada jogada d. Universo: peas produzidas por certa mquina. Varivel: nmero de peas produzidas por hora e. Universo: peas produzidas por certa mquina. Varivel: dimetro externo 2. Quais das variveis abaixo so discretas e quais so contnuas: a. Populao: alunos de uma cidade. Varivel: cor dos olhos. b. Populao: estao meteorolgica de uma cidade. Varivel: precipitao pluviomtrica, durante um ano. c. Populao: Bolsa de Valores de So Paulo. Varivel: nmero de aes negociadas. d. Populao: funcionrios de uma empresa. Varivel: salrios. e. Populao: pregos produzidos por uma mquina. Varivel: comprimento. f. Populao: casais residentes em uma cidade. Varivel: sexo dos filhos.

g. Populao: propriedades agrcolas do Brasil. Varivel: produo de algodo. h. Populao: segmentos de reta. Varivel: comprimento. i. Populao: bibliotecas da cidade de Ipatinga. Varivel: nmero de volumes. j. Populao: aparelhos produzidos em uma linha de montagem. Varivel: nmero de defeitos por unidade. k. Populao: indstrias de uma cidade. Varivel: ndice de liquidez.

SRIES ESTATSTICAS 1. Tabelas de Freqncia Um dos objetivos da Estatstica sintetizar os valores que uma ou mais variveis podem assumir, para que tenhamos uma viso global da variao dessa ou dessas variveis. E isso ela consegue, inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e grficos, que iro nos fornecer rpidas e seguras informaes a respeito das variveis em estudo, permitindo-nos determinaes administrativas e pedaggicas mais coerentes e cientficas. Definies: Tabela um quadro que resume um conjunto de observaes. Uma tabela compe-se de: Corpo conjunto de linhas e colunas que contm informaes sobre a varivel em estudo; Cabealho parte superior da tabela que especifica o contedo das colunas; Coluna Indicadora parte da tabela que especifica o contedo das linhas; Linhas retas imaginrias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem nos seus cruzamentos com as colunas; Casa ou Clula espao destinado a um s nmero; Ttulo conjunto de informaes, as mais completas possveis, respondendo s perguntas: O qu?, Quando?, Onde?, localizado no topo da tabela. H ainda a considerar elementos complementares da tabela, que so a fonte, as notas e as chamadas, colocadas, de preferncia, no seu rodap. COLUNA Exemplo: INDICADORA PRODUO DE CAF BRASIL 2005-06 ANOS PRODUO (1.000 t) 2005 2 134 2006 2 594FONTE: IBGE.

TTULO

COLUNA NUMRICA

CABEALHO CORPO RODAP

CASA OU CLULA

LINHAS

De acordo com a Resoluo 886 da Fundao IBGE, nas casas ou clulas devemos colocar: um trao horizontal () quando o valor zero, no s quanto natureza das coisas, como quanto ao resultado do inqurito;

trs pontos (...) quando no temos os dados; um ponto de interrogao (?) quando temos dvida quanto exatido de determinado valor; zero (0) quando o valor muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada. Se os valores so impressos em nmeros decimais, precisamos acrescentar parte decimal um nmero correspondente de zeros (0,0; 0,00; 0,000; ...) 2. Sries Estatsticas Srie estatstica toda tabela que apresenta a distribuio de um conjunto de dados estatsticos em funo da poca, do local ou da espcie. Da, podemos inferir que numa srie estatstica observamos a existncia de trs elementos ou fatores: o tempo, o espao e a espcie. Conforme varie um dos elementos da srie, podemos classific-la em histrica, geogrfica e especfica. Sries Histricas, Cronolgicas, Temporais ou Marchas Descrevem os valores da varivel, em determinado local, discriminados segundo intervalos de tempo variveis. Exemplos: a. O Brasil fecha 2006 com a melhor safra de soja da sua histria: 54,7 milhes de toneladas. Isso 3% a mais que a safra de 2005. Estimando-se um faturamento de R$ 24 bilhes. O pas o segundo maior produtor mundial, atrs dos EUA. Estados que lideram a produo no pas: Mato Grosso, Paran e Gois. (Revista Isto ). PRODUO MEDIA DE SOJA NO BRASIL 2005-06 PRODUO ANOS (1.000 t) 2005 51 138 2006 52 223FONTE: IBGE.

Definio:

2.1.

PREO DO ACM NO VAREJO SO PAULO 1989-94 PREO ANOS MDIO (US$) 1989 2,24 1990 2,73 1991 2,12 1992 1,89 1993 2,04 1994 2,62FONTE: APA.

2.2.

Sries Geogrficas, Espaciais, Territoriais ou de Localizao em determinado instante,

Descrevem os valores da varivel, discriminados segundo regies.

DURAO MDIA DOS ESTUDOS SUPERIORES 1994 NMERO PASES DE ANOS 7,5 Itlia 7,0 Alemanha 7,0 Frana 5,9 Holanda Menos de Inglaterra 4FONTE: APA.

2.3. Sries Especficas ou Categricas Descrevem os valores da varivel, em determinado tempo e local, discriminados segundo especificaes ou categorias. Exemplo: a. A industria da soja gera cerca de 1,5 milho de empregos diretos. Representa 20% do sistema agroindustrial. (Revista Isto ) REBANHOS EXPORTAO BRASILEIROS 1992 BRASILEIRA QUANTIDADE 2005 ESPCIES (1.000 QUANTIDADE cabeas) PRODUTOS (em bilhes Bovinos 154.440,8 de toneladas) Bubalinos 1.423,3 Gros 20,5 Eqinos 549,5 Farelo 14,2 Asininos 47,1 leo 2,4 Muares 208,5 FONTE: Companhia Nacional de Abastecimento (Conab). Sunos 34.532,2 Ovinos 19.955,9 Caprinos 12.159,6 Coelhos 6,1FONTE: IBGE.

3. Sries Conjugadas e Tabela de Dupla Entrada Muitas vezes temos necessidade de apresentar, em uma nica tabela, a variao de valores de mais de uma varivel, isto , fazer uma conjugao de duas ou mais sries. Conjugando duas sries em uma nica tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Em uma tabela desse tipo ficam criadas duas ordens de classificao: uma horizontal (linha) e uma vertical (coluna). Exemplo: TERMINAIS TELEFNICOS EM SERVIO 1991-93 REGIES 1991 1992 1993 Norte 342.938 375.678 403.494 Nordeste 1.287.813 1.379.101 1486.649 Sudeste 6.234.501 6.729.467 7231.634 Sul 1.497.315 1.608.989 1.746.232 Centro713.357 778.925 884.882 OesteFONTE: Ministrio das Comunicaes.

A conjugao, no exemplo dado, foi srie geogrfica-srie histrica, que d origem srie geogrfico-histrica ou geogrfico-temporal. Podem existir, se bem que mais raramente, pela dificuldade de representao, sries compostas de trs ou mais entradas. 4. Distribuio de Frequncia ESTATURA DE 100 ALUNOS DA ESCOLA X 1995 N DE ESTATURAS ALUNOS (cm) 140 145 150 155 160 165 170 |-145 |-150 |-155 |-160 |-165 |-170 |- 175 2 5 11 39 32 10 1

FONTE: Dados fictcios

EXERCCIOS 1. Com base no enunciado apresentado, classifique as sries: a. PRODUO DE BORRACHA NATURAL 1991-93 ANOS TONELADAS 1991 29.543 1992 30.712 1993 40.663FONTE: IBGE.

b.

AVICULTURA BRASILEIRA 1992 NMERO ESPCIES (1.000 CABEAS) Galinhas 204.160 Galos, frangos e 435.465 pintos 2.488 CodornasFONTE: IBGE.

c.

VACINAO CONTRA A POLIOMELITE - 1993 REGIES QUANTIDADE Norte 211.209 Nordeste 631.040 Sudeste 1.119.708 Sul 418.785 Centro-Oeste 185.823FONTE: Ministrio da Sade.

d.

AQUECIMENTO DE UM MOTOR DE AVIO DE MARCA X TEMPERATURA MINUTOS (C) 0 20 1 27 2 34 3 41 4 49 5 56 6 63Dados fictcios.

e.

PRODUO BRASILEIRA DE AO BRUTO 1991-93 QUANTIDADE (1.000 t) PROCESSOS 1991 1992 1993 Oxignio 17.934 18.849 19.698 bsico 4.274 4.637 5.065 Forno eltrico 409 448 444 EOFFONTE: Instituto Brasileiro de Siderurgia.

f.

EXPORTAO BRASILEIRA 1985-1990-1995 IMPORTADORES 1991 1992 Amrica Latina 13,0 13,4 EUA e Canad 28,2 26,3 Europa 33,9 35,2 sia e Oceania 10,9 17,7 frica e Oriente 14,0 8,8 MdioFONTE: MIC e SECEX.

1993 25,6 22,2 20,7 15,4 5,5

2. Procure exemplos de sries estatsticas em jornais e revistas e copie-os, classificando essas sries. 3. Pesquise, junto secretaria da faculdade, os dados necessrios ao preenchimento da tabela abaixo: MATRCULAS NA FACULDADE EM 20.... SEXO PERODOS MASCULINO FEMININO 1 2 3 4 5 6 4. Verificou-se, em 1993, o seguinte movimento de importao de mercadorias: 14.839.804 t, oriundas da Arbia Saudita, no valor de US$ 1.469.104.000; 10.547.889 t, dos Estados Unidos, no valor de US$ 6.034.943 e; 561.024 t do Japo, no valor de US$ 1.518.843.000. Confeccione a srie correspondente e classifiquea, sabendo que os dados a cima forma fornecidos pelo Ministrio da Fazenda.

IMPORTAO DE MERCADORIAS BRASIL - 1993 PASES Arbia Saudita Estados Unidos Japo QUANTIDADE (t) 14.838.804 10.547.889 561.024 VALOR (US$ 1.000) 1.469.104 6.034.946 1.519.943

Fonte: Ministrio da Fazenda

DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS Definies: Dados Absolutos, so dados estatsticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulao se no a contagem ou medida. A leitura dos dados absolutos sempre enfadonha e inexpressiva; embora esses dados traduzam um resultado exato e fiel, no tm a virtude de ressaltar de imediato as suas concluses numricas. Da o uso imprescindvel que faz a Estatstica dos dados relativos. O nmero de vezes que um valor da varivel, de uma pesquisa, citado representa a freqncia absoluta daquele valor. Dados Relativos so o resultado de comparaes por quociente (razes) que se estabelecem entre dados absolutos e tm por finalidade realar ou facilitar as comparaes entre quantidades. Traduzem-se os dados relativos, em geral, por meio de percentagens, ndices, coeficientes e taxas. A freqncia relativa o quociente entre a freqncia absoluta de uma varivel e o total de citaes de todas as variveis da pesquisa. 5.1 As percentagens

Consideremos a srie: MATRCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A - 2007 N DE CATEGORIAS ALUNOS Ensino 19.286 Fundamental 1.681 Ensino Mdio 234 Ensino Superior Total 21.201Dados fictcios.

Calculemos as percentagens de alunos de cada grau: Ensino Fundamental 19286 x 100 21201 = 90,96 = 91,0 Ensino Mdio 1681 x 100 21201 = 7,92 = 7,9 Ensino Superior 234 x 100 21201 = 1,10 = 1,1 Com esses dados, podemos formar uma nova coluna na srie em estudo;

MATRCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A e B - 2007 N DE ALUNOS CATEGORIAS CIDADE CIDADE A B Ensino 19.286 38.660 Fundamental 1.681 3.399 Ensino Mdio 234 424 Ensino Superior Total 21.201 42.483Dados fictcios.

Qual das cidades tem, comparativamente, maior nmero de alunos em cada perodo? Como o nmero total de alunos diferente nas duas cidades, no fcil concluir a respeito usando os dados absolutos. Porm, usando as percentagens, tal tarefa fica bastante facilitada. Assim, acrescentando na tabela anterior as colunas correspondentes s percentagens, obtemos: MATRCULAS NAS ESCOLAS DA CIDADE A e B 2007 CIDADE A CIDADE B CATEGORIAS N DE % N DE % ALUNOS ALUNOS Ensino Fundamental 19.286 91,0 38.660 91,0 Ensino Mdio 1.681 7,9 3.399 8 Ensino 234 1,1 424 1 Superior Total 21.201 100 42.483 100Dados fictcios.

O que nos permite dizer que, comparativamente, contam, praticamente, com o mesmo nmero de alunos em cada grau. 5.2 Os ndices - ndices Econmicos

Definio: Os ndices so razes entre duas grandezas tais que uma no inclui a outra.

Exemplos: ndice Ceflico = (dim. longitudinal do crnio) x 100 transverso da cabea dim.

Quociente Intelectual = (idade mental idade cronolgica) x 100 Densidade Demogrfica = populao superfcie ndices Econmicos: Produo per capta = valor total da produo populao Consumo per capta = consumo do bem populao Renda per capta = renda populao Receita per capta = receita populao 5.3 Os Coeficientes

Definio: Os Coeficientes so razes entre o nmero de ocorrncias e o nmero total (nmero de ocorrncias e nmero de no ocorrncias). Exemplos: Coeficiente de Natalidade = populao total nmero de nascimentos

Coeficiente de Mortalidade = nmero de bitos populao total Coeficientes Educacionais: Coeficiente de evaso escolar =matrculas n de alunos evadidos n inicial de n de alunos aprovados n

Coeficiente de aproveitamento escolar =final de matrculas

Coeficiente de recuperao =recuperao

n de alunos recuperados n de alunos em

5.4

As Taxas

Definio: As Taxas so os coeficientes multiplicados por uma potncia de 10 (10, 100, 1, 1000 etc.) para tornar o resultado mais inteligvel..

Exemplos: Taxa de Mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1000 Taxa de Natalidade = coeficiente de natalidade x 1000 Taxa de Evaso Escolar = coeficiente de evaso escolar x 100 Exerccio Resolvido: O Estado A apresentou 733.986 matrculas na 1 srie, no incio do ano de 1994, e 683.816 no fim do ano. O Estado B apresentou, respectivamente, 436.127 e 412.457 matrculas. Qual o Estado que apresentou maior evaso escolar? A TEE = (733.986 683.816) x 100 733.986 = 6,83 = 6,8% B TEE = (436.127 412.457) x 100 436.127 = 5,42 = 5,4% O Estado que apresentou maior evaso escolar foi A.

Considere a srie estatstica: PERODOS 1 2 3 4 Total ALUNOS MATRICULADOS 546 328 280 120 1.274 %

Complete-a, determinando as porcentagens com uma casa decimal e fazendo a compensao, se necessrio. 9. Uma faculdade apresentava, no final do ano, o seguinte quadro:

PERODOS 1 2 3 4 Total

MATRCULAS MARO NOVEMBRO 480 458 436 420 1.794 475 456 430 420 1.781

a. Calcule a taxa de evaso por perodo. b. Calcule a taxa de evaso da faculdade.

10. Considere a tabela abaixo:

EVOLUO DAS RECEITAS DO CAF INDUSTRIALIZADO JAN./ABR. - 2007 MESES Janeiro Fevereiro Maro Abril TotalDados fictcios.

VALOR (US$ milhes) 33,3 54,1 44,5 52,9 184,8

a. Complete-a com uma coluna de taxas percentuais. b. Como se distribuem as receitas em relao ao total c. Qual o desenvolvimento das receitas de um ms para o outro? d. Qual o desenvolvimento das receitas em relao ao ms de janeiro? 11. So Paulo tinha, em 1992, uma populao de 32.182,7 mil habitantes. Sabendo que sua rea terrestre de 248.256 km2, calcule a sua densidade demogrfica. 12. Considere que Minas Gerais, em 1992, apresentou (dados fornecidos pelo IBGE): populao: 15.957,6 mil habitantes;

superfcie: 586.624 km2; nascimentos: 292.036; bitos: 92.281.

Calcule: a. o ndice de densidade demogrfica b. a taxa de natalidade; c. a taxa de mortalidade. 13. Uma frota de 40 caminhes, transportando, cada um, 8 toneladas, dirige-se a duas cidades A e B. Na cidade A so descarregados 65% desses caminhes, por 7 homens, trabalhando 7 horas. Os caminhes restantes seguem para a cidade B, onde 4 homens gastam 5 horas para o seu descarregamento. Em que cidade se obteve melhor produtividade?

ATIVIDADE PARA FIXAO DE CONTEDO DADOS ABSOLUTOS E RELATIVOS 01. Um professor preencheu um quadro, enviado pelo Departamento Acadmico, com os seguintes dados:N DE ALUNOS 30.03 49 49 47 47 192 N DE ALUNOS 30.11 44 42 35 40 161 TOTAL GERAL PROMOVIDOS 40 42 30 33 145 RETIDOS 04 00 05 07 16

SRIE E TURMA 1 PER 2 PER 3 PER 4 PER Total

PROMOVIDOS SEM RECUPERAO 35 42 27 33 137

RETIDOS SEM RECUPERAO 03 00 00 06 09

EM RECUPERAO 06 00 08 01 15

RECUPERADOS 05 00 03 00 08

NORECUPERADOS 01 00 05 01 07

Calcule: a. a taxa de evaso, por perodo; b. a taxa de evaso total; c. a taxa de aprovao, por perodo; d. a taxa de aprovao geral; e. a taxa de recuperao, por perodo; f. a taxa de recuperao geral; g. a taxa de reprovao na recuperao geral; h. a taxa de aprovao, sem a recuperao; i. a taxa de retidos, sem a recuperao.

GRFICOS ESTATSTICOS1.1-Definio: O grfico estatstico uma forma de apresentao dos dados estatsticos, cujo objetivo o de produzir, no investigador ou no pblico em geral, uma impresso mais rpida e viva do fenmeno em estudo, j que os grficos falam mais rpido compreenso que s sries. Para tornarmos possvel uma representao grfica, estabelecemos uma correspondncia entre os termos da srie e determinada figura geomtrica, de tal modo que cada elemento da srie seja representado por uma figura proporcional. A representao grfica de um fenmeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais para ser realmente til: a. Simplicidade o grfico deve ser destitudo de detalhes de importncia secundria, assim como de traos desnecessrios que possam levar o observador a uma anlise morosa ou com erros. b. Clareza o grfico deve possibilitar uma correta interpretao dos valores representativos do fenmeno em estudo. c. Veracidade o grfico deve expressar a verdade sobre o fenmeno em estudo. Os principais tipos de grficos so os diagramas, os cartogramas e os pictogramas.

1.2 DiagramasDefinio:

Os diagramas so grficos geomtricos de, no mximo, duas dimenses: para sua construo, em geral, fazemos uso do sistema cartesiano.

Dentre os principais diagramas, destacamos:

1.3

Grfico em Linha ou em Curva

Este tipo de grfico se utiliza da linha poligonal para representar a srie estatstica. O grfico em linha constitui uma aplicao do processo de representao das funes num sistema de coordenadas cartesianas. Exemplo: a. Para tornar bem clara a explanao, consideremos a seguinte srie:PRODUO BRASILEIRA DE LEO DE DEND 1987-199280 70

MIL TONELADAS

6050

4030

2010

0

Vamos tomar os anos como abscissas e as quantidades como ordenadas. Assim, um ano dado (x) e a respectiva quantidade (y) formam um par ordenado (x, y), que pode ser representado num sistema cartesiano. b. No mundo, diversas aeronaves, incluindo grandes jatos de transporte, foram perdidas e centenas de pessoas, dentre tripulantes e passageiros, faleceram devido aos acidentes provocados pela coliso com aves. Em 2005 as grandes empresas areas sofreram prejuzos superiores a U$ 5.000.000,00 de acordo com o SNEA.

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1.4

Grfico em Colunas ou em Barras

a representao de uma srie por meio de retngulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras). Exemplos: a. Grfico em colunasPRODUO BRASILEIRA DE CARVO MINERAL BRUTO 1987-1992 ANOS QTDE (1.000t) 1989 18196 1990 11169 1991 10468 1992 9241 Fonte: Ministrio da AgriculturaPRODUO BRASILEIRA DE CARVO MINERAL BRUTO 1987-199217241 16241 15241 14241 13241 12241 11241 10241 92411989 1990 1991 1992

MIL TONELADAS

. Grfico em barrasEXPORTAES BRASILEIRAS MARO DE 1995 VALOR (US$ ESTADOS Milhes) So Paulo 1.344 Minas Gerais 542 Rio Grande do Sul 332 Esprito Santo 285 Paran 250 Santa Catarina 202 Fonte: SECEXSo Paulo Minas Gerais Rio Grande Esprito Santo Paran Santa Catarina0 5000 10000 15000 20000

EXPORTAES BRASILEIRA - MARO DE 1995Milhes de Dlares

Notas: Sempre que os dizeres a serem inscritos so extensos, devemos dar preferncia ao grfico em barras (sries geogrficas e especficas). Porm, se ainda assim preferirmos o grfico em colunas, os dizeres devero ser dispostos de baixo para cima, nunca ao contrrio. A ordem a ser observada a cronolgica, se a srie for histrica, e a decrescente, se for geogrfica ou categrica. A distncia entre as colunas (ou barras), por questes estticas, no dever ser menor que a metade nem maior que os dois teros da largura (ou da altura) dos retngulos.

1.5

Grfico em Colunas ou em Barras Mltiplas

Este tipo de grfico geralmente empregado quando queremos representar, simultaneamente, dois ou mais fenmenos estudados com o propsito de comparao. Exemplo:

BALANA COMERCIAL DO BRASIL 1989 E 1993VALOR (US$ Milhes) 1990 1991 1992 31.414 31.620 35.793 20.661 21.041 20.554

1989 Exportao (FOB) 34.383 Importao 18.263 Fonte: Ministrio da Fazenda

ESPECIFICAES

1993 38.783 25.711

BALANA COMERCIAL DO BRASIL 1983 A 199350000 40000 30000 20000 10000 01989 1990 1991 1992 1993

US$ Milhes

Exportao (FOB) Importao

1.6

Grfico em Setores

Este grfico construdo com base em um crculo, e empregado sempre que desejamos ressaltar a participao do dado no total. O total representado pelo crculo, que fica dividido em tantos setores quantas so as partes. Os setores so tais que suas reas so respectivamente proporcionais aos dados da srie. Obtemos cada setor atravs de uma regra de trs simples e direta, lembrando que o total da srie corresponde a 360. Exemplo: Dada a srie:

EXPORTAES BRASILEIRAS MARO DE 1995 QTDES (Mil ESTADOS Cabeas) Minas Gerais 3.363,7 Esprito Santo 430,4 Rio de Janeiro 308,5 So Paulo 2.035,9 TOTAL 6.138,5 Fonte: IBGEEXPORTAES BRASILEIRAS MARO DE 1995

Minas Gerais Esprito Santo Rio de Janeiro So Paulo

Notas: O grfico em setores s deve ser empregado quando h, no mximo, sete dados. Se a srie j apresenta os dados percentuais, obtemos os respectivos valores em graus multiplicando o valor percentual por 3,6.

1.7

Grfico Polar

o grfico ideal para representar sries temporais cclicas, isto , sries temporais que apresentam em seu desenvolvimento determinada periodicidade. Exemplos:

a variao da precipitao pluviomtrica ao longo do ano ou da temperatura ao longo do dia; o consumo de energia eltrica durante o ms ou o ano; o nmero de passageiros de uma linha de nibus ao longo da semana.

O grfico faz uso do sistema de coordenadas polares. Exemplo: Dada a srie:PRECIPITAO PLUVIOMTRICA RECIFE - 1993 MILMETROS MESES Janeiro 49,6 Fevereiro 93,1 Maro 63,6 Abril 135,3 Maio 214,7 Junho 277,9 Julho 183,6 Agosto 161,3 Setembro 49,2 Outubro 40,8 Novembro 28,6 Dezembro 33,3 Fonte: Ministrio da Agricultura

PRECIPITAO PLUVIOMTRICA RECIFE 1993Janeiro 300,0 Dezembro 250,0 200,0 Novembro 150,0 100,0 50,0 Outubro Fevereiro Maro

Abril

Setembro Agosto Julho Junho

Maio

1.8

Cartograma

O cartograma geogrfica.

a

representao

sobre

uma

carta

Este grfico empregado quando o objetivo o de figurar os dados estatsticos diretamente relacionados com reas geogrficas ou polticas. Distinguimos duas aplicaes: a. Representar dados absolutos (populao) neste caso, lanamos mo, em geral, dos pontos, em nmero proporcional aos dados. b. Representar dados relativos (densidade) neste lanamos mo, em geral, de hachuras ou cores. Exemplo: caso,

Nota: Quando os nmeros absolutos a serem representados forem muito grandes, no lugar de pontos podemos empregar hachuras.

1.9

Pictograma

O pictograma constitui um dos processos grficos que melhor fala ao pblico, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A representao grfica consta de figuras. Exemplos:

EXERCCIO 1. Represente a srie abaixo usando o grfico em linha:COMRCIO EXTERIOR - BRASIL 1984-1993 QUANTIDADE (1.000 t) ANOS EXPORTAO IMPORTAO 1984 141.737,0 53.988,0 1985 146.351,0 48.870,0 1986 133.832,0 60.597,0 1987 142.378,0 61.975,0 1988 169.666,0 58.085,0 1989 177.033,0 57.293,0 1990 168.095,0 57.184,0 1991 165.974,0 63.278,0 1992 167.295,0 68.059,0 1993 183.561,0 77.813,0 Fonte: Min.Ind.Comrcio e Turismo

2. Represente as tabelas usando o grfico em colunas: a) b) PRODUO BRASILEIRA DE ENTREGA DE GASOLINA PARAPETRLEO BRUTO 1991 - 1993 ANOS QTDE (1.000 m3) 1991 36.180,4 1992 36.410,5 1993 37.164,3 Fonte: PetrobrsANOS 1988 1989 1990 1991 Fonte: IBGE CONSUMO 1988-1991 QTDE (1.000 m3) 9.267,7 9.723,1 10.121,3 12.345,4

3. Usando o grfico de barras, represente as tabelas: a) PRODUO DE OVOS DE GALINHA b) PRODUO DE VECULOS DEBRASIL 1992 REGIES QTDE (1.000 Dz) Norte 57.297 Nordeste 414.804 Sudeste 984.659 Sul 615.978 Centro-Oeste 126.345 Fonte: IBGEAUTOPROPULSO - BRASIL 1993 REGIES QUANTIDADE Automveis 1.100.278 Comrciais Leves 224.387 Comerciais Pesados 66.771 Fonte: ANFAVEA

4. Represente as tabelas por meio de grfico de setores: a) b) PRODUO DE FERRO GUSA - BRASIL REA TERRESTRE - BRASILREGIES Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste TOTAL Fonte: IBGE RELATIVA % 45,25 18,28 10,85 6,76 18,86 100,001993 UN. DA FEDERAO PROD (1.000t) Minas Gerais 12.888 Esprito Santo 3.174 Rio de Janeiro 5.008 So Paulo 2.912 Fonte: Institudo Brasileiro de Siderurgia

5. Represente a tabela por meio de grfico de colunas mltiplas:EXPERTAO BRASILEIRA 1985-1990-1995 NATUREZA PRPRIOS % ALUGADOS % 62,70 22,90 70,30 16,50

ANOS 1990 1991 Fonte: IBGE

CEDIDOS % 14,40 13,20

6. Represente a tabela por meio de grficos polares: a)VENDA DE VACINA CONTRA AFTOSA-BRASIL 1992 MESES MILMETROS Janeiro 37,3 Fevereiro 41,2 Maro 38,6 Abril 47,7 Maio 40,7 Junho 44,7 Julho 41,2 Agosto 46,0 Setembro 41,0 Outubro 55,0 Novembro 52,8 Fonte: Sindam

b)

PRECIPITAO PLUVIOMTRICA FLORIANPOLIS 1993 MESES MILMETROS Janeiro 165,7 Fevereiro 106,6 Maro 71,6 Abril 34,7 Maio 184,9 Junho 102,7 Julho 198,3 Agosto 36,8 Setembro 72,2 Outubro 147,8 Novembro 175,1 Dezembro 198,3 Fonte: Sindam

DISTRIBUIO DE FREQUNCIA 1.1 Tabela Primitiva Vamos considerar, neste captulo, a forma pela qual podemos descrever os dados estatsticos resultantes de variveis quantitativas, como o caso de notas obtidas pelos alunos de uma classe, estaturas de um conjunto de pessoas, salrios recebidos pelos operrios de uma fbrica etc. Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos s estaturas de quarenta alunos, que compem uma amostra dos alunos de um colgio A, resultando a seguinte tabela de valores: TABELA 1 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A 160 161 150 162 160 165 167 164 168 161 163 156 173 160 155 164 152 163 160 155 155 169 151 170 161 156 172 153 157 156 158 158

166 162 155 154

160 168 164 161

A esse tipo de tabela, cujos elementos no foram numericamente organizados, denominamos tabela primitiva. 1.2 Rol Partindo dos dados acima tabela primitiva difcil averiguar em torno de que valor tende a se concentrar as estaturas, qual a menor ou qual a maior estatura ou, ainda, quantos alunos se acham abaixo ou acima de uma dada estatura. Assim, conhecidos os valores de uma varivel, difcil formarmos uma idia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir dos dados no ordenados. A maneira mais simples de organizar os dados atravs de uma certa ordenao (crescente ou decrescente). A tabela obtida atravs da ordenao dos dados recebe o nome de rol. TABELA 2 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A 150 154 155 157 160 161 162 164 166 169 151 155 156 158 160 161 162 164 167 170 152 155 156 158 160 161 163 164 168 172 153 155 156 160 160 161 163 165 168 173 Agora, podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor estatura (173 cm); que a amplitude de variao foi de 173 150 = 23 cm; e, ainda, a ordem que um valor particular da varivel ocupa no conjunto. Com um exame mais acurado, vemos que h uma concentrao das estaturas em algum valor entre 160 cm e 165 cm

e, mais ainda, que h poucos valores abaixo de 155 cm e acima de 170 cm. 1.3 Distribuio de Freqncia No exemplo que trabalhamos, a varivel em questo, estatura, ser observada e estudada muito mais facilmente quando dispusermos valores ordenados em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor, o nmero de vezes que aparece repetido. Denominamos freqncia o nmero de alunos que fica relacionado a um determinado valor da varivel. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de distribuio de freqncia: TABELA 3 ESTATURAS FREQ (cm) 150 1 151 1 152 1 153 1 154 1 155 4 156 3 157 1 158 2 160 5 161 4 162 2 163 2 164 3 165 1 166 1 167 1 168 2 169 1 170 1 172 1 173 1 Total 40 Mas o processo dado ainda inconveniente, j que exige muito mais espao, mesmo quando o nmero de valores da varivel (n) de tamanho razovel. Sendo possvel, a soluo mais aceitvel, pela prpria natureza da varivel contnua, o agrupamento dos valores em vrios intervalos.

Assim, se um dos intervalos for, por exemplo, 154 ( 851 um intervalo fechado esquerda e aberto direita, tal que: 154 x < 158), em vez de dizermos que a estatura de 1 aluno de 154 cm; de 4 alunos, 155 cm; de 3 alunos, 156 cm; e de 1 aluno, 157 cm, dizemos que 9 alunos tm estaturas entre 154, inclusive, e 158 cm. Deste modo, estaremos agrupando os valores da varivel em intervalos, sendo que, em Estatstica, preferimos chamar os intervalos de classes. Chamando de freqncia de uma classe o nmero de valores da varivel pertencente classe, os dados da Tabela 3 podem ser dispostos como na Tabela 4, denominada distribuio de freqncia com intervalos de classe: Exemplo: TABELA 4 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A 2007 ESTATURAS FREQUNCIA (cm) 150 451 4 154 851 9 158 261 11 162 661 8 166 071 5 170 471 3 Total 40Dados fictcios.

Ao agruparmos os valores da varivel em classes, ganhamos em simplicidade para perdermos em pormenores. Assim, na Tabela 3 podemos verificar, facilmente, que quatro alunos tm 161 cm de altura e que no existe nenhum aluno com 1,71 cm de altura. J na Tabela 4 no podemos ver se algum aluno tem a estatura de 159 cm. No entanto, sabemos, com segurana, que onze alunos tm estatura compreendida entre 158 e 162 cm. O que pretendemos com a construo dessa nova tabela realar o que h de essencial nos dados e, tambm, tornar possvel o uso de tcnicas analticas para sua total descrio, at porque a estatstica tem por finalidade especfica analisar o conjunto de valores, desinteressando-se por casos isolados.

Notas: Se nosso intuito , desde o incio, a obteno de uma distribuio de freqncia com intervalos de classe, basta, a partir da Tabela 1, fazemos uma tabulao.

Quando os dados esto organizados em uma distribuio de freqncia, so comumente denominados dados agrupados.

1.4 Elementos de uma Distribuio de Freqncia 1) Classes de freqncia ou, simplesmente, classes so intervalos de variao da varivel. As classes so representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ...,

k (onde k o nmero total de classes da distribuio).

Assim, em nosso exemplo, o intervalo 154 158 define a segunda classe (i = 2). Como a distribuio formada de seis classes, podemos afirmar que k = 6. 2) Denominamos limites de classe os extremos de cada classe. O menor nmero o limite inferior da classe (li) e o maior nmero, o limite superior da classe (Li). Na segunda classe, por exemplo, temos: l2 = 154 Nota: Os intervalos de classe devem ser escritos, de acordo com a Resoluo 886/66 do IBGE, em termos desta quantidade at menos aquela, empregando, para isso, o smbolo ( incluso de li e excluso de Li). Assim, o indivduo com uma estatura de 158 cm est includo na terceira classe (i = 3) e no na segunda. 3) Amplitude de um intervalo de classe, ou, simplesmente, intervalo de classe a medida do intervalo que define a classe. Ela obtida pela diferena entre os limites superior e inferior dessa classe e indicada por hi. Assim: hi = Li - li e L2 = 158

Na distribuio da Tabela 1.6.5.4, temos: h2 = L2 l2 h2 = 158 154 = 4 cm 4) Amplitude total da distribuio (AT) a diferena entre o limite superior da ltima classe (limite superior mximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mnimo): AT = L(mx) l(mn) Em nosso exemplo, temos: AT = 174 150 = 24 AT = 24 cm Nota: evidente que, se as classes possuem o mesmo intervalo, verificamos a relao: AT hi = k 5) Amplitude amostral (AA) a diferena entre o valor mximo e o valor mnimo da amostra: AA = x(mx) x(mn)

Em nosso exemplo, temos: AA = 173 - 150 = 23 AA = 23 cm Observe que a amplitude total da distribuio jamais coincide com a amplitude amostral. 6) Ponto mdio de uma classe (xi) , como o prprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Para obtermos o ponto mdio de uma classe, calculamos a semisoma dos limites de da classe (mdia aritmtica): xi = (li + Li) 2 Assim, o ponto mdio da segunda classe, em nosso exemplo, : xi = (li + Li) 2 x2 = (154 + 158) 2 = 156 cm Nota: O ponto mdio de uma classe o valor que a representa.

7) Freqncia simples ou freqncia absoluta ou, simplesmente, freqncia de uma classe ou de um valor individual o nmero de observaes correspondentes a essa classe ou a esse valor. A freqncia simples simbolizada por fi (lemos: f ndice i ou freqncia da classe i). Assim, em nosso exemplo, temos: f1 = 4, f2 = 9, f3 = 11, f4 = 8, f5 = 5 e f6 = 3 A soma de todas as freqncias representada pelo smbolo de somatrio ():

(i=1 k)fi = nPara a distribuio em estudo, temos: (i=1 6)fi = 40 ou fi = 40

Podemos, agora, dar distribuio de freqncia das estaturas dos quarenta alunos da faculdade A, a seguinte representao tabular tcnica:

TABELA 5 ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A ESTATURAS i fi (cm) 150 451 1 4 154 851 2 9 158 261 3 11 162 661 4 8 166 071 5 5 6 170 471 3 fi = 40

1.5 Nmero de Classes Intervalos de Classe A primeira preocupao que temos, na construo de uma distribuio de freqncia, a determinao do nmero de classes e, consequentemente, da amplitude e dos limites dos intervalos de classe. Para a determinao do nmero de classes de uma distribuio podemos lanar mo da regra de Sturges, que nos d o nmero de classes em funo do nmero de valores da varivel:

i 1 +( 3,32. log n )onde: i o nmero de classe; n o nmero total de dados. Essa regra nos permite obter a seguinte tabela: TABELA 6 ESTATURAS fi (cm) 3 5 3 6 11 4 12 22 5 23 64 6 47 09 7 91 181 8 182 263 9 ... ... Alm da regra de Sturges, existem outras frmulas empricas que pretendem resolver o problema da determinao do nmero de classes que deve ter a distribuio (h quem prefira: i = h). Entretanto, a verdade que essas frmulas no nos levam a uma deciso final; esta vai depender, na realidade, de um julgamento pessoal, que deve estar ligado natureza dos dados, da unidade usada para expressa-los e, ainda, do objetivo que se tem em vista, procurando, sempre que possvel, evitar classe com freqncia nula ou com freqncia relativa muito exagerada etc. Decidido o nmero de classes que deve ter a distribuio, resta-nos resolver o problema da determinao da amplitude do intervalo de classe, o que conseguimos dividindo a amplitude total pelo nmero de classes: h AT / i Quando o resultado no exato, devemos arredond-lo para mais. Outro problema que surge a escolha dos limites dos intervalos, os quais devero ser tais que forneam, na medida do possvel, para pontos mdios, nmeros que facilitem os clculos nmeros naturais. Em nosso exemplo, temos: Para n = 40, pela Tabela 6, i = 6 Logo: h = (173 -150) / 6 = 23/6 = 3,8 4 Isto , seis classes de intervalos iguais a 4. Resolva: 1) As notas obtidas por 1 2 3 4 5 2 3 3 4 4 2 3 4 4 5 50 6 6 6 alunos 6 7 6 7 6 7 de 7 8 8 uma classe foram: 8 8 9

2 2

3 3

4 4

5 5

5 5

6 6

6 7

7 7

8 8

9 9

a. Complete a distribuio de freqncia abaixo: i 1 2 3 4 5 6 NOTAS 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 xi 1 .... .... .... .... fi 1 .... .... .... .... fi = 50 b. Agora responda: 1. Qual a amplitude amostral? 2. Qual a amplitude da distribuio? 3. Qual o nmero de classes da distribuio? 4. Qual o limite inferior da quarta classe? 5. Qual o limite superior da classe de ordem 2? 6. Qual a amplitude do segundo intervalo da classe? c. Complete: 1. h3 = .... 2. n = .... .... 6. f5 = .... 3. l1 = .... 4. L3 = .... 5. x2 =

1.6 Tipos de Freqncias 1) Freqncias simples ou absolutas (fi) so os valores que realmente representam o nmero de dados de cada classe. Como vimos, a soma das freqncias simples igual ao nmero total dos dados: fi = n 2) Freqncias relativas (fri) so os valores das razes entre as freqncias simples e a freqncia total: Como vimos, a soma das freqncias simples igual ao nmero total dos dados: fri = fi / fi Logo, a freqncia relativa da terceira classe, em nosso exemplo (Tabela 5), : fr3 = f3 / f3 fr3 = 11 / 40 = 0,275 Evidentemente: fri = 1 ou 100% Nota:

O propsito das freqncias relativas o de permitir a anlise ou facilitar as comparaes. 3) Freqncia acumulada (Fi) o total das freqncias de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe: Fk = f1 + f2 + ... + fk ou Fk = fi (i = 1, 2, ..., k) Assim, no exemplo apresentado no incio deste captulo, a freqncia acumulada correspondente terceira classe : F3 = (i=1 3) fi = f1 + f2 + f3 F3 = 4 + 9 + 11 = 24, O que significa existirem 24 alunos com estatura inferior a 162 cm (limite superior do intervalo da terceira classe). 4) Freqncia acumulada relativa (Fri) de uma classe a freqncia acumulada da classe, dividida pela freqncia total da distribuio: Fri = Fi / fi Assim, para a terceira classe, temos: Fri = Fi / fi Fri = 24/40 = 0,6 Considerando a Tabela 3, podemos montar a seguinte tabela com as freqncias estudadas: TABELA 7 i 1 2 3 4 5 6 ESTATURAS (cm) 150 451 154 851 158 261 162 661 166 071 170 471 fi 4 9 11 8 5 3 = 40 xi 152 156 160 164 168 172 fri 0,100 0,225 0,275 0,200 0,125 0,075 = 1,000 Fi 4 913 24 32 37 40 Fri 0,100 0,325 0,600 0,800 0,925 1,000

O conhecimento dos vrios tipos de freqncia ajuda-nos a responder a muitas questes com relativa facilidade, como as seguintes: a. Quantos alunos tm estatura entre 154 cm, inclusive, e 158 cm? Esses so os valores da varivel que formam a segunda classe. Como f2 = 9, a resposta : 9 alunos. b. Qual a percentagem de alunos cujas estaturas so inferiores a 154 cm? Esses valores so os que formam a primeira classe. Como fr1 = 0,100, obtemos a resposta multiplicando a freqncia relativa por 100:

0,100 x 100 = 10 Logo, a percentagem de alunos 10%. c. Quantos alunos tm estatura abaixo de 162? evidente que as estaturas consideradas so aquelas que formam as classes de ordem 1, 2 e 3. Assim, o nmero de alunos dado por: F3 = (i=1 3) fi = f1 + f2 + f3 F3 = 24 Portanto, 24 alunos tm estatura abaixo de 162 cm. d. Quantos alunos tm estatura no-inferior a 158 cm? O nmero de alunos dado por: (i=1 6) fi = f3 + f4 + f5 + f6 = 11 + 8 + 5 + 3 = 27 Ou, ento: (i=1 6) fi F2 = n - F2 = 40 13 = 27 1.7 Distribuio de Freqncia sem Intervalos de Classe Quando se trata de varivel discreta de variao relativamente pequena, cada valor pode ser tomado como um intervalo de classe (intervalo degenerado) e, nesse caso, a distribuio chamada distribuio sem intervalos de classe, tomando a seguinte forma: TABELA 8 xi x1 x2 . . . xn fri f1 f2 . . . fn fi = n

Exemplo: Seja x a varivel nmero de cmodos das casas ocupadas por vinte famlias entrevistadas: TABELA 9 i 1 2 3 4 5 6 xi 2 3 4 5 6 7 fi 4 7 5 2 1 1 = 40

Completada com vrios tipos de freqncia, temos: TABELA 10 i 1 2 3 4 5 6 xi 2 3 4 5 6 7 = 20 fi 4 7 5 2 1 1 fri 0,20 0,35 0,25 0,10 0,05 0,05 = 1,00 Fi 4 11 16 18 19 20 Fri 0,20 0,55 0,80 0,90 0,95 1,00

Nota: Se a varivel toma numerosos valores distintos, comum tratala como uma varivel contnua, formando intervalos de classe de amplitude diferente de um. Este tratamento (arbitrrio) abrevia o trabalho, mas acarreta alguma perda de preciso. Resolva: 1) Complete a distribuio abaixo, determinando as freqncias simples: i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 fi .... .... .... .... .... = 20 Fi 2 9 21 29 34