Probabilit es Appliqu ees I Simulationperso-math.univ-mlv.fr/users/printems.jacques/maitrise/... · 2010-10-08 · Simulation d’exp eriences physiques ou des variables doivent ^etre

IntroductionSimulation de la loi uniforme sur (0,1)

Simulation d’une v.a. de loi donnee

Probabilites Appliquees I–

Simulation

Master 1 MathematiquesUniversite de Paris-Est-Creteil-Val-de-Marne

2010–2011

Probabilites Appliquees I – Simulation



1 Introduction

Necessite des simulations

Nombres aleatoires

Conclusions

2 Simulation de la loi uniforme sur (0,1)

Le theoreme de representation de Skorohod

Definition mathematique

Generateurs congruentiels

3 Simulation d’une v.a. de loi donnee

Operations sur les v.a. et premieres applications

Methodes de rejet

Methode de Box-Muller




Necessite des simulationsNombres aleatoiresConclusions

Plan1 Introduction


Nombres aleatoires

Conclusions







Methodes de rejet

Methode de Box-MullerProbabilites Appliquees I – Simulation




Plan1 Introduction


Nombres aleatoires

Conclusions







Methodes de rejet





Simulation de phenomenes physiques

Simulation d’experiences physiques ou des variables doivent etrerendues aleatoires afin d’eliminer des biais.





Resolution de problemes difficiles

Resolution de problemes impliquant des processus physiques complexes.(ici theorie cinetique des gaz)





Approximation d’integrales

Calcul de la valeur approchee d’un integrale comportant beaucoupde variables∫∫B(0,1)

cos(3x) + sin(7√|y |)

1 + x2 + y 2

dxdy

π∼ 1

M

M∑i=1

cos(3xi ) + sin(7√|yi |)

1 + x2i + y 2

i

,

avec (xi , yi ) « bien repartis » dans la boule unite.

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1





Plan1 Introduction


Nombres aleatoires

Conclusions







Methodes de rejet





Qu’est-ce qu’une suite aleatoire de nombres ?

Un amas d’etoiles ?





Les decimales de π ?3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679

8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196

4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273

7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094

3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912

9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132

0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235

4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859

5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303

5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

. . .





Dans “A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates”(1955) ?





Tentatives de definition

Proposition

Une suite de decimales a valeurs dans 0, . . . , 9 est aleatoire sipour tout rang donne on ne peut pas predire le chiffre du rangsuivant avec une probabilite superieure a 1/10.

Proposition (Test de normalite)

Chaque n-uplets de decimales prises dans la suite (infinie) apparaıtavec une frequence de 1/10n, n ≥ 1.





Tentatives de definition

Proposition

Une suite de decimales a valeurs dans 0, . . . , 9 est aleatoire sipour tout rang donne on ne peut pas predire le chiffre du rangsuivant avec une probabilite superieure a 1/10.

Proposition (Test de normalite)

Chaque n-uplets de decimales prises dans la suite (infinie) apparaıtavec une frequence de 1/10n, n ≥ 1.





Commentaires et paradoxes

Une telle definition implique une infinite de test a faire passera la suite : pas realisable en pratique.On ne peut que definir des tests pour des types d’alea et onne peut declarer une telle suite aleatoire qu’en fonction dunombre fini de tests qu’elle a subi.

Le developpement decimal (connu pour le moment) de π apasse tout les test de normalite et pour autant est-ce vraimentune suite aleatoire ?

Plus une suite satisfait de tels tests, plus elle conquiert unecertaine regularite statistique qui peut, dans certains cas,permettre de predire les parties manquantes. Est-elle dans cecas vraiment aleatoire ? Une suite infinie et desordonnee denombres est un concept paradoxal.





















Un terme ambigu

Le meme terme, aleatoire, est utilise pour designer a la foisune suite obtenue de facon aleatoire (ex : PPPPP au jeu depile ou face, une visee au hasard dans un ciel etoile) et a lafois une suite sans ordre apparent.

PPPPP est aleatoire au premier sens mais pas au second

De meme pour la distribution d’etoiles dans la figureprecedente.





Plan1 Introduction


Nombres aleatoires

Conclusions







Methodes de rejet





Buts

On va s’interesser aux methodes de simulations de nombresuniformement repartis sur [0,1], c.-a-d. suivant une loiuniforme.

Toutes les autres formes d’alea seront simules a partir de la loiuniforme (cf. theoreme fondamental de la simulation).

Necessite d’elaborer des procedures pour tester lesdistributions de nombres.





Buts








Buts







Le theoreme de representation de SkorohodDefinition mathematiqueGenerateurs congruentiels

Plan1 Introduction


Nombres aleatoires

Conclusions







Methodes de rejet





Plan1 Introduction


Nombres aleatoires

Conclusions







Methodes de rejet





Principe fondamental de la simulation

Theoreme (Skorohod)

Soit X : (Ω,A,P)→ (Rd ,B(Rd)) une v.a. de loi PX . Il existe unefonction borelienne ϕ : ([0, 1],B([0, 1]), λ)→ (Rd ,B(Rd),PX ) telleque

PX = λ ϕ−1,

c.-a-d. telle que la loi de X est l’image par ϕ de la mesure deLebesgue λ sur [0, 1] ou encore

Xd= ϕ(U)





Plan1 Introduction


Nombres aleatoires

Conclusions







Methodes de rejet





Une definition formelle

D’un point de vue mathematique, on definit une suite de nombresaleatoires uniformement distribues sur l’intervalle [0,1] par la

Definition

Une suite xnn≥0 de nombres reels a valeurs dans [0,1] est unesuite de nombres aleatoire s’il existe

un espace de probabilite (Ω,A,P),

une suite Unn≥0 de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1] and

ω ∈ Ω

tels que xn = Un(ω).





Approche naıve

ω peut ne pas etre un bon « scenario », c.-a-d. de pas etregenerique , admissible.Ex : tomber dans l’ensemble P-negligeable pour lequel la loides grands nombres n’est pas vraie.

On ne dispose pas en general de suites de v.a. telles queUnn≥0.





Comment generer une suite de nombres aleatoires ?

Par un processus physique tel que le prochain chiffre produitne peut etre predit avec une probabilite superieure a 1/n (enbase n)Ex : pile ou face (en base 2), des (en base 6), icosaedre (avecles chiffres de 0 a 9 repetes deux fois), roulette, . . ..

Avec un ordinateur qui generera des suites« pseudo-aleatoire » (selon un algorithme deterministe).Ex : calcul des decimales de π, generateurs congruentiels, . . .





Comment generer une suite de nombres aleatoires ?

Par un processus physique tel que le prochain chiffre produitne peut etre predit avec une probabilite superieure a 1/n (enbase n)Ex : pile ou face (en base 2), des (en base 6), icosaedre (avecles chiffres de 0 a 9 repetes deux fois), roulette, . . ..

Avec un ordinateur qui generera des suites« pseudo-aleatoire » (selon un algorithme deterministe).Ex : calcul des decimales de π, generateurs congruentiels, . . .





Plan1 Introduction


Nombres aleatoires

Conclusions







Methodes de rejet





Nombres pseudo-aleatoires

xn =yn

N, yn ∈ 0, . . . ,N − 1, yn+1 = ayn + b mod N

ou pgcd(a,N) = 1.

On choisit N le plus grand possible. Ex :N = 231 − 1 pour une architecture 32 bits.

La periode de la suite ynn≥0 est Card(< a >) = ϕ(N).

Generateur Frotran NAG, a = 1313, N = 259 − 1. Simule loiuniforme sur [0, 1]8.

Generateurs de Mersenne (MT − p) de periode Np = 2p − 1ou p est premier.Ex : MT − 19337. Ici Np = 219937 − 1 ∼ 10600. Simule une loiuniforme sur [0, 1]623.

http ://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/ m-mat/MT/emt.html






xn =yn

N, yn ∈ 0, . . . ,N − 1, yn+1 = ayn + b mod N

ou pgcd(a,N) = 1. On choisit N le plus grand possible. Ex :N = 231 − 1 pour une architecture 32 bits.










xn =yn

N, yn ∈ 0, . . . ,N − 1, yn+1 = ayn + b mod N











xn =yn

N, yn ∈ 0, . . . ,N − 1, yn+1 = ayn + b mod N











xn =yn

N, yn ∈ 0, . . . ,N − 1, yn+1 = ayn + b mod N











xn =yn

N, yn ∈ 0, . . . ,N − 1, yn+1 = ayn + b mod N









Operations sur les v.a. et premieres applicationsMethodes de rejetMethode de Box-Muller

Plan1 Introduction


Nombres aleatoires

Conclusions







Methodes de rejet





Plan1 Introduction


Nombres aleatoires

Conclusions







Methodes de rejet





Quelques v.a. importantes

Symbole f (x) E(X ) Var(X ) F (x)

N (µ, σ2) 1σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 µ σ2 cf .cdfnor

G (a, b) 1Γ(a)ba xa−1e−x/b ab ab2 cf .cdfgam

E(λ) λe−λx1[0,+∞[ 1/λ 1/λ2 1− e−λx





Transformation de v.a.

On peut obtenir de nombreuses v.a. a partir d’autres selon diversesoperations :

1 changement de variables, transformation ;

2 melanges ;

3 tri, statistique d’ordre ;

4 convolution des densites = somme de v.a.





Changement de variables

Theoreme

X de densite f continue sur Rd . On pose S = Supp(f ). Soith : Rd → Rd bijective de S sur T = h(S).

Alors Y = h(X ) ssi X = h−1(Y ) = g(Y ) ou g : Rd → Rd .

Si de plus les derivees partielles gi ,j =∂gi

∂yjexistent et sont

continues alors Y a pour densite

f (g(y))det(J),

ou J designe la matrice jacobienne du changement devariable, c.-a-d.

J = [gi ,j ]






Theoreme






f (g(y))det(J),


J = [gi ,j ]






Theoreme






f (g(y))det(J),


J = [gi ,j ]





Un bon changement de variable

X : Ω→ R de loi image sur R : µ = P X−1.

But : simuler xn = Xn(ω), Xnn≥0 v.a. i.i.d., Xnd= X .

On dit que les xn sont distribues selon la loi image µ.

Soit F (x) = µ(]−∞, x ]) = PX ≤ x. La fonction F est

croissante ;

continue a droite et admet une limite a gauche (propriete dela mesure)

Lemme

Supposons F strictement croissante et continue. Alors si U suitune loi uniforme sur (0, 1) on a

F−1(U)d= X .





Variantes et cas particuliers

Si µ admet une densite qui ne charge pas 0 alors

F (x) =

∫ x

−∞f (u) du est continue et strictement croissante.

Dans le cas ou F est seulement croissante et/ou discontinueen seulement certains points, le lemme reste vrai a conditionde remplacer F par son inverse continu a gauche

F−1g (u)

def= infs | F (s) ≥ u.

Alors F−1g est croissante, continue a gauche et

∀u ∈ (0, 1), F−1g (u) ≤ x ⇐⇒ F (x) ≥ u.





Nombreuses applications

Le lemme precedent permet de simuler les lois suivantes :

1 Loi de la v.a. exponentielle E(λ) de parametre λ > 0.

2 Loi de la v.a. de Cauchy, Cauchy(c), parametre c > 0.

3 Loi de la v.a. de Pareto Pθ de parametre θ > 0.

4 Loi supportee par un ensemble fini E = x1; . . . ; xN.5 Loi de la v.a. de Bernoulli B(p) de parametre p ∈ [0, 1].

6 Loi de la v.a. binomiale B(n, p) de parametre (n, p),p ∈ [0, 1], n ≥ 1.

7 Loi de la v.a. geometrique G (p) de parametre p :

τ = mink ≥ 0 | Xk = 1 d= G (p)













τ = mink ≥ 0 | Xk = 1 d= G (p)













τ = mink ≥ 0 | Xk = 1 d= G (p)










4 Loi supportee par un ensemble fini E = x1; . . . ; xN.

5 Loi de la v.a. de Bernoulli B(p) de parametre p ∈ [0, 1].



τ = mink ≥ 0 | Xk = 1 d= G (p)













τ = mink ≥ 0 | Xk = 1 d= G (p)













τ = mink ≥ 0 | Xk = 1 d= G (p)













τ = mink ≥ 0 | Xk = 1 d= G (p)





v.a. exponentielle E(λ)

Soit X de densite f (x) = λe−λx1[0,+∞[

Fonction de repartition F (x) =∫ x−∞ f (t)dt = 1− e−λx .

=⇒ F−1(u) = − 1

λln(1− u)

Soit Ud= U([0, 1]). Alors − 1

λln(U)

d= X .

I Simulation : On simule (Uk)k≥0 i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1] eton pose

Xk = − 1

λln(Uk).





v.a. ne prenant qu’un nombre fini de valeurs

(xi )1≤i≤N distincts

X : Ω→ x1, . . . , xN de loipk = P(X = xk).

L’inverse continue a gauche de la fonction de repartition de X est

∀u ∈ (0, 1), F−1g (u) =

N∑k=1

xk 1p1+···+pk−1<u≤p1+···+pk.

Donc

Xd=

N∑k=1

xk 1p1+···+pk−1<U≤p1+···+pk, Ud= U([0, 1]).






(xi )1≤i≤N distincts X : Ω→ x1, . . . , xN de loipk = P(X = xk).


∀u ∈ (0, 1), F−1g (u) =

N∑k=1

xk 1p1+···+pk−1<u≤p1+···+pk.

Donc

Xd=

N∑k=1

xk 1p1+···+pk−1<U≤p1+···+pk, Ud= U([0, 1]).






(xi )1≤i≤N distincts X : Ω→ x1, . . . , xN de loipk = P(X = xk).


∀u ∈ (0, 1), F−1g (u) =

N∑k=1

xk 1p1+···+pk−1<u≤p1+···+pk.

Donc

Xd=

N∑k=1

xk 1p1+···+pk−1<U≤p1+···+pk, Ud= U([0, 1]).





Melanges de v.a.

Melange discret : Y : Ω→ N et X de densite conditionnelle fnsachant Y = n, c.-a-d. de densite

f (x) =+∞∑n=1

P(Y = n)fn(x)

Melange continu : Y : Ω→ R de densite g et X de densiteconditionnelle sachant Y , f (·,Y ), c.-a-d. de densite

f (x) =

∫f (x , y)g(y)dy





Tri de v.a.

U1, . . . ,Un, n v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1].

On trie les tirages :

U(1) ≤ U(2) ≤ · · · ≤ U(n), c.-a-d. U(k) = ke plus petit.

Theoreme

Le n-uplet (U(1), . . . ,U(n)) est uniformement reparti dans0 < x1 < · · · < xn.La v.a. U(k) a pour densite

n!

(k − 1)!(n − k)!xk(1− x)n−k , x ∈ [0, 1].





Tri de v.a.

U1, . . . ,Un, n v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1].

On trie les tirages :

U(1) ≤ U(2) ≤ · · · ≤ U(n), c.-a-d. U(k) = ke plus petit.

Theoreme

Le n-uplet (U(1), . . . ,U(n)) est uniformement reparti dans0 < x1 < · · · < xn.La v.a. U(k) a pour densite

n!

(k − 1)!(n − k)!xk(1− x)n−k , x ∈ [0, 1].





Plan1 Introduction


Nombres aleatoires

Conclusions







Methodes de rejet





Une densite simulable, l’autre pas

Soit f et g deux densites de probabilites (par rapport a la mesurede Lebesgue λ) sur Rd telles que g > 0 λ-p.s. et pour lesquelles ilexiste un reel c > 0 tel que

∀x ∈ Rd , f (x) ≤ c g(x).

On souhaite simuler X de densite f et on fait les hypotheses desimulation suivantes :

on sait simuler une suite i.i.d. de vecteurs aleatoires Ykk≥1

de loi g(y)λ et

on sait calculer f et g ,

a un cout raisonnable.





Un lemme de Von Neumann

Lemme (Von Neumann, 1951)

Soit (Un,Yn)n≥1 une suite de v.a. i.i.d. de lois λ⊗ PY definie sur(Ω,A,P) ou PY (dy) = g(y)dy. Posons

τ = mink ≥ 1 | cUkg(Yk) ≤ f (Yk).

Alors, τ suit une loi geometrique G ?(p) de parametrep = PcU1g(Y1) ≤ f (Y1) = 1

c et

Xd= Yτ .





Simulation

Corollaire

On definit par recurrence pour tout n ≥ 1 les v.a. a valeurs entieressuivantes :

τ1 = mink ≥ 1 | cUkg(Yk) ≤ f (Yk),

puisτn+1 = mink ≥ τn + 1 | cUkg(Yk) ≤ f (Yk).

Alors la suite (τn − τn−1)n≥1 est i.i.d. (par convention τ0 = 0) deloi commune G ?(p) et la suite

Xn = Yτn est i.i.d. de loi PX .





Applications

Loi uniforme sur des domaines bornes D ⊂ Rd :

D ⊂ [−M,M]d , Yd= U([−M,M]d) et τ = minn | Yn ∈ D.

AlorsYτ

d= U(D).

Appliquer le lemme precedent a g(x) = (2M)−d1[−M,M]d (x)

et f (x) = 1λ(D)1D(x).

Loi normale sur R. (cf. exercices)

Loi γ(α), α > 0.





Applications

Loi uniforme sur des domaines bornes D ⊂ Rd :D ⊂ [−M,M]d , Y

d= U([−M,M]d) et τ = minn | Yn ∈ D.

AlorsYτ

d= U(D).

Appliquer le lemme precedent a g(x) = (2M)−d1[−M,M]d (x)

et f (x) = 1λ(D)1D(x).

Loi normale sur R. (cf. exercices)

Loi γ(α), α > 0.





SImulation de la loi γ(α)

X : Ω→ [0,+∞[ de loi PX (dx) = fα(x)λ(dx) ou

fα(x) =1

Γ(α)xα−1 exp(−x)1[0,+∞[(x).

I 0 < α < 1 : methode de rejet

fα(x) ≤ α + e

αeΓ(α)gα(x), gα(x) =

αe

α + e

(xα−11(0,1)(x) + exp(−x)1[1,+∞[(x)

)I α = n ∈ N :

Xd= γ(α), X ′

d= γ(α′) =⇒ X + X ′

d= γ(α) + γ(α′)

γ(1) = E(1)





SImulation de la loi γ(α)

X : Ω→ [0,+∞[ de loi PX (dx) = fα(x)λ(dx) ou

fα(x) =1

Γ(α)xα−1 exp(−x)1[0,+∞[(x).

I 0 < α < 1 : methode de rejet

fα(x) ≤ α + e

αeΓ(α)gα(x), gα(x) =

αe

α + e

(xα−11(0,1)(x) + exp(−x)1[1,+∞[(x)

)I α = n ∈ N :

Xd= γ(α), X ′

d= γ(α′) =⇒ X + X ′

d= γ(α) + γ(α′)

γ(1) = E(1)





Plan1 Introduction


Nombres aleatoires

Conclusions







Methodes de rejet





Un changement de variable en polaire

Soit Rd= E( 1

2) ⊥⊥ Θ

d= U([0, 2π]).

On pose X =√

R cos(Θ), Y =√

R sin(Θ) et f , g fonctions boreliennes sur R :

E f (X )g(Y ) =

Z +∞

0

dx

2exp

“−x

2

”Z 2π

0

dθ

2πf (√

x cos(θ))g(√

x sin(θ)),

=

Z +∞

0

r dr exp

„− r 2

2

«Z 2π

0

dθ

2πf (r cos(θ))g(r sin(θ)),

=

ZR2

dx ′dy ′

2πf (x ′)g(y ′) exp(−(x ′

2+ y ′

2)/2),

La derniere egalite se factorise en

E f (X )g(Y ) =

„ZR

dx ′√2π

exp(−x ′2/2)f (x ′)

«„ZR

dy ′√2π

exp(−y ′2/2)g(y ′)

«= E f (X ′)g(Y ′), ou X ′, Y ′

d= N (0, 1).

En appliquant cette derniere relation a f = 1 puis g = 1, on en deduit dans unpremier temps que X et Y suivent des lois normales et dans un deuxiemetemps qu’elles sont independantes.






Soit Rd= E( 1

2) ⊥⊥ Θ

d= U([0, 2π]).

On pose X =√

R cos(Θ), Y =√


E f (X )g(Y ) =

Z +∞

0

dx

2exp

“−x

2

”Z 2π

0

dθ

2πf (√

x cos(θ))g(√

x sin(θ)),

=

Z +∞

0

r dr exp

„− r 2

2

«Z 2π

0

dθ


=

ZR2

dx ′dy ′

2πf (x ′)g(y ′) exp(−(x ′

2+ y ′

2)/2),


E f (X )g(Y ) =

„ZR

dx ′√2π

exp(−x ′2/2)f (x ′)

«„ZR

dy ′√2π

exp(−y ′2/2)g(y ′)

«= E f (X ′)g(Y ′), ou X ′, Y ′

d= N (0, 1).







Soit Rd= E( 1

2) ⊥⊥ Θ

d= U([0, 2π]).

On pose X =√

R cos(Θ), Y =√


E f (X )g(Y ) =

Z +∞

0

dx

2exp

“−x

2

”Z 2π

0

dθ

2πf (√

x cos(θ))g(√

x sin(θ)),

=

Z +∞

0

r dr exp

„− r 2

2

«Z 2π

0

dθ


=

ZR2

dx ′dy ′

2πf (x ′)g(y ′) exp(−(x ′

2+ y ′

2)/2),


E f (X )g(Y ) =

„ZR

dx ′√2π

exp(−x ′2/2)f (x ′)

«„ZR

dy ′√2π

exp(−y ′2/2)g(y ′)

«= E f (X ′)g(Y ′), ou X ′, Y ′

d= N (0, 1).







Soit Rd= E( 1

2) ⊥⊥ Θ

d= U([0, 2π]).

On pose X =√

R cos(Θ), Y =√


E f (X )g(Y ) =

Z +∞

0

dx

2exp

“−x

2

”Z 2π

0

dθ

2πf (√

x cos(θ))g(√

x sin(θ)),

=

Z +∞

0

r dr exp

„− r 2

2

«Z 2π

0

dθ


=

ZR2

dx ′dy ′

2πf (x ′)g(y ′) exp(−(x ′

2+ y ′

2)/2),


E f (X )g(Y ) =

„ZR

dx ′√2π

exp(−x ′2/2)f (x ′)

«„ZR

dy ′√2π

exp(−y ′2/2)g(y ′)

«= E f (X ′)g(Y ′), ou X ′, Y ′

d= N (0, 1).







Soit Rd= E( 1

2) ⊥⊥ Θ

d= U([0, 2π]).

On pose X =√

R cos(Θ), Y =√


E f (X )g(Y ) =

Z +∞

0

dx

2exp

“−x

2

”Z 2π

0

dθ

2πf (√

x cos(θ))g(√

x sin(θ)),

=

Z +∞

0

r dr exp

„− r 2

2

«Z 2π

0

dθ


=

ZR2

dx ′dy ′

2πf (x ′)g(y ′) exp(−(x ′

2+ y ′

2)/2),


E f (X )g(Y ) =

„ZR

dx ′√2π

exp(−x ′2/2)f (x ′)

«„ZR

dy ′√2π

exp(−y ′2/2)g(y ′)

«= E f (X ′)g(Y ′), ou X ′, Y ′

d= N (0, 1).







Soit Rd= E( 1

2) ⊥⊥ Θ

d= U([0, 2π]).

On pose X =√

R cos(Θ), Y =√


E f (X )g(Y ) =

Z +∞

0

dx

2exp

“−x

2

”Z 2π

0

dθ

2πf (√

x cos(θ))g(√

x sin(θ)),

=

Z +∞

0

r dr exp

„− r 2

2

«Z 2π

0

dθ


=

ZR2

dx ′dy ′

2πf (x ′)g(y ′) exp(−(x ′

2+ y ′

2)/2),


E f (X )g(Y ) =

„ZR

dx ′√2π

exp(−x ′2/2)f (x ′)

«„ZR

dy ′√2π

exp(−y ′2/2)g(y ′)

«= E f (X ′)g(Y ′), ou X ′, Y ′

d= N (0, 1).







Soit Rd= E( 1

2) ⊥⊥ Θ

d= U([0, 2π]).

On pose X =√

R cos(Θ), Y =√


E f (X )g(Y ) =

Z +∞

0

dx

2exp

“−x

2

”Z 2π

0

dθ

2πf (√

x cos(θ))g(√

x sin(θ)),

=

Z +∞

0

r dr exp

„− r 2

2

«Z 2π

0

dθ


=

ZR2

dx ′dy ′

2πf (x ′)g(y ′) exp(−(x ′

2+ y ′

2)/2),


E f (X )g(Y ) =

„ZR

dx ′√2π

exp(−x ′2/2)f (x ′)

«„ZR

dy ′√2π

exp(−y ′2/2)g(y ′)

«= E f (X ′)g(Y ′), ou X ′, Y ′

d= N (0, 1).



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Probabilit es Appliqu ees I Simulationperso-math.univ-mlv.fr/users/printems.jacques/maitrise/... · 2010-10-08 · Simulation d’exp eriences physiques ou des variables doivent ^etre